2018版高中数学苏教版必修四学案：2.4 第1课时 向量的数量积
高一数学苏教版必修4教师用书2.4 第1课时 数量积的定义 Word版含解析
向量的数量积第课时数量积的定义.了解向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念.(易错点).理解平面向量数量积的含义及其几何意义.(重点).能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题.(难点)[基础·初探]教材整理向量的数量积阅读教材的有关内容，完成下列问题.θ已知两个非零向量和，它们的夹角是，我们把数量)，记作内积叫做向量和的数量积(或θ，即·＝.θ·规定：零向量与任一向量的数量积为.已知＝，＝，则()若与夹角为°，则·＝；()若与的夹角为°，则·＝；()若与的夹角为°，则·＝.【解析】()若∥，则与的夹角为°，∴·＝°＝＝.()·＝°＝××＝＝.()·＝°＝××＝.【答案】() () ()教材整理两个向量的夹角阅读教材的有关内容，完成下列问题..定义：已知两个非零向量，，如图--所示.作＝，称为向量与的夹角.∠＝，则图--.°≤θ≤°围：.范时，与反向.°＝θ时，与同向；当°＝θ.当.⊥时，则称向量与垂直，记作°＝θ.当试指出图--中向量的夹角，图①中向量与的夹角；图②中向量与的夹角；图③中向量与的夹角；图④中向量与的夹角.图--【答案】θ ° ° θ教材整理 向量的数量积的运算律及性质阅读教材及链接完成下列问题..向量数量积的运算律：已知向量，，和实数λ.；·()·＝；·λ＝(·)λ＝)λ·()·＝λ()(.·＋·()(＋)·＝.数量积的性质：()·＝或＝；；≤·()()⊥⇒·＝..数量积的几何意义：的乘积.θ 等于的长度与在的方向上的投影·积的几何意义是数量·。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 2.4.1 向量的数量积》43
课题：平面向量数量积的应用【预习学案】学习目标：1．掌握平面向量数量积，会进行数量积的运算；能利用数量积表示两个向量夹角的余弦，会用数量积求向量的长度。
2．通过对平面向量数量积应用的研究，渗透数形结合的数学思想，帮助学生形成良好的思维习惯和严谨的科学态度． 知识梳理：设向量a ＝1，1，b ＝2，2，θ为向量a ，b 的夹角． 1．平面向量的数量积a ·b ＝ ； a ·b ＝ 2．平面向量数量积的性质及其坐标表示 1模：|a |＝错误!＝2夹角：co θ＝ ＝ 3两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔3．平面向量数量积的运算律1a ·b ＝ ； 2λa ·b ＝ ＝ ； 3a ＋b ·c ＝ ．激活思维：的夹角为30°，|a |=2，|b |=3，则a ·b ==1，-1，b =2，若a ·b =1，则实数=，b 的夹角为12021a=1，b =3，那么b -a 5 =4若|a |=2，|b |=4，且ab ⊥a ，则a 与b 的夹角为【互动学案】分类解析:=1，2，b =1，-1，则2ab 与a -b 的夹角为1，e 2的夹角为α，且coα＝错误!，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________例3△ABC 中，若∠ABC=12021BA=2，BC=3，D ，E是线段AC 的三等分点，则·=【体验学案】课堂练习:1 若单位向量a 与b 的夹角为3π，则b a -= 2 已知|a |=1，|b |=2，ab =1，，那么向量a ，b 的夹角为 3 已知向量⊥，||=3，则·= 的边长为4，∠ABC=60°，则·=课堂小结: 1知识： 2思想方法：D。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 2.4.1 向量的数量积》3
平面向量数量积的再研究
教学目标
1.理解平面向量的数量积的含义及几何意义
2.掌握向量的数量积的坐标表示，会进行平面向量的数量积的运算。
3.培养学生的观察能力、化归能力、运算能力以及灵活运用的实践能力。
【诊断练习】
1.，,，那么
2.菱形的边长为2，，那么
【探究1】
正方形的边长为6，是以为直径的圆上任一点，那么的取值范围是。
【变式1】
1.如图,在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB = 60︒，C为弧上的动点, AB与OC 交于点P ,那么的取值范围是．
【探究2】
2.圆是的外接圆，点是的中点，假设,那么
【变式2】
2.是锐角的外接圆的圆心，且,假设,
那么。
〔用表示〕
总结：
【当堂反应】
1.是圆的直径，长为，是圆上异于、的一点，是圆内一点〔含圆周〕，那么的最小值为。
2.点是的重心，且，，那么。
【课后检测】
1、直角中，，、是线段的动点，且，那么的取值范围为。
2、正边长为，点在其外接圆上运动，那么的取值范围是。
3、中，是的中点，，，，，那么。
4、假设点和点分别是双曲线的中心和左焦点，点为双曲线右支上任意一点，那么的取值范围是。
5、中，，，。
假设是所在平面内任意一点，且，那么的最大值为。
6、在锐角中，，，那么的取值范围是。
7、在平面直角坐标系中，O为原点，,动点满足,那么的最大值是。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 2.4.1 向量的数量积》7
数量积中有关三角形中线问题的探究金沙中学数学组 陈刚一、【课堂引入】引例：已知(1,2),(2,3),C(2,1)A B ----，求以线段,AB AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长二、【例题解析】例1：如图1，在三角形ABC 中，AB=4,AC=3,D 为BC 中点，求 AD BC ⋅的值；变：如图1-1，在三角形ABC 中，AB=4,AC=3,D 为BC 中点，点P 为边BC 的中垂线上一点，求AP BC ⋅的值；图1 图1-1变：如图1-2，已知点G,H 分别为ABC ∆的重心、垂心，若4,6AC AB ==,则求HG BC ⋅的值；AB AC ⋅的值；例2：如图2，在三角形ABC 中，AD=3,BC=4,D 为BC 中点,求变 如图2-1，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA=3,OC=5,若7AB AD ⋅=-,求BC DC ⋅的值；变，如图2-2，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E,F 分别是AD 上的两个三等分点，4,1BA CA BF CF ⋅=⋅=-,求BE CE ⋅的值；图2-1图1-2图2三、【课堂巩固】1如图3，ABC ∆的边BC 的中垂线交AC 于点P ，交BC 于点Q ，若3,5AB Ac ==，则()()AP AQ AB AC +⋅-的值为 ；2如图4，半圆的直径AB=6,O 为圆心，C 为半圆上不同于A,B 的任意一点，若点P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值为 ；图2-2图3 图4四、【课后作业】1. 如图：P 是直线3=y 上的任意一点，AB 是以原点为圆心，1为半径的圆的直径求PB PA ⋅的最小值2ABC ∆中,M 是中线AD 的中点,60,32=∠==BAC ,求BM AM ⋅的值A B CM DA B =3 O P。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 2.4.1 向量的数量积》65
平面向量数量积及其应用复习目标：掌握平面向量数量积运算的基本方法，应用“平面向量数量积”这一工具处理向量中的常见问题 复习重点：平面向量数量积运算方法的合理选择复习难点：向量的几何特征在平面向量数量积运算中的作用一、回顾经典1、 已知a (2,1)=，b (,3)λ=-，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是 ．2、 在ABC ∆中,1AB =,AC =AB AC BC +=，则BA BCBC = ．3、如图，在ABC ∆中, O 是ABC ∆的外心, 2AB =,3AC =,则AO BC = ．解题感悟：①平面向量数量积问题处理的本质是什么？②转化的策略是什么？二、聚焦核心例1、 等腰三角形ABC 中，2BC =，AD DC =，12AE EB =，12BD AC =-，则CE AB = ．变式1、正方形ABCD 中，2AB =，M 为BC 的中点，若N 为正方形内（含边界）的任意一点，则AM AN 的最大值是 ．变式2、如图，AB 是半径为3的圆O 的直径，P 是圆O 上异于A ，B 的一点，Q 是线段AP 上靠近A 的三等分点，且AQ AB =4，则BQ BP 的值为 ．A解题感悟：③转化时的操作要点是什么？ 例2、设向量a ，b ，c 满足1==a b ，a b 12=-，(),()60--=a c b c ，则c 的最大值等于 ．变式、已知向量a ，b 满足=a 1=b ，且对一切实数x ，x ≥a +b a +b 恒成立，则a 与b 夹角的大小为 ．三、专题小结四 、挑战高考如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅的值是 （2021江苏高考13）。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 2.4.1 向量的数量积》6
平面向量的数量积的应用一、知识回忆：1．平面向量的数量积1定义：设θ是a与b的夹角，那么|a|co θ叫做a在b的方向上的投影，|b|co θ叫做b在a的方向上的投影．b在a的方向上的投影是一个实数，而不是向量，当0°≤θ＜90°时，它是正数，当90°＜θ≤180°时，它是负数，当θ＝90°时，它是02b在a方向上的投影是一个数量，可正，可负，可为零．3．平面向量数量积的坐标表示设a＝1，1，b＝2，2，那么1a·b＝12＋12；2|a|＝错误!，|b|＝错误!；3a⊥b：12＋12＝0其中a，b≠0；4假设非零向量a与b夹角为θ，那么co θ＝错误!；5假设c的起点坐标和终点坐标分别为1，1，2，2，那么|c|＝错误!二、根底自测1．假设向量a＝1,1，b＝2,5，c＝3，满足条件8a－b·c＝30，那么等于________．解析：根据向量的坐标运算，8a－b·c＝30,18＋3＝30，＝42．向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝错误!，那么向量a和向量b 的数量积a·b＝________解析：由题意得a·b＝|a||b|co 30°＝2×错误!×错误!＝33．平面向量a与b的夹角为60°，a＝2,0，|b|＝1，那么|a＋2b|＝________解析：因为a＝2,0，|b|＝1，所以|a|＝2，a·b＝2×1×co 60°＝1，故|a＋2b|＝错误!＝2错误!4．a＝1,2，b＝－3，－3，假设b⊥a＋λb，那么实数λ的值为________．解析：a＋λb＝1,2＋λ－3，－3＝1－3λ，2－3λ∵a＋λb·b＝0，∴－31－3λ－32－3λ＝0，∴λ＝错误!三、例题讲解例1|a|＝4，|b|＝3，2a－3b2a＋b＝611求a与b的夹角θ；2求|a＋b|；3假设＝a，＝b，求△ABC的面积．【解析】1∵2a－3b2a＋b＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6∴co θ＝错误!＝错误!＝－错误!又0≤θ≤π，∴θ＝错误!2|a＋b|＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!3∵与的夹角θ＝错误!，∴∠ABC＝π－错误!＝错误!又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，∴S△ABC＝错误!||||in ∠ABC＝错误!×4×3×错误!＝3错误!【点评】1平面向量的数量积的运算有两种形式：一是依据长度与夹角，二是利用坐标来计算。
2017-2018学年高三数学苏教版必修4学案：2.4.1 数量积的定义
2.4向量的数量积第1课时数量积的定义1．了解向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念．(易错点)2．理解平面向量数量积的含义及其几何意义．(重点)3．能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题．(难点)[基础·初探]教材整理1向量的数量积阅读教材P83的有关内容，完成下列问题．已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.已知|a|＝3，|b|＝6，则(1)若a与b夹角为0°，则a·b＝________；(2)若a与b的夹角为60°，则a·b＝________；(3)若a与b的夹角为90°，则a·b＝________.【解析】(1)若a∥b，则a与b的夹角为0°，∴a·b ＝|a||b |cos 0°＝|a||b |＝18.(2)a·b ＝|a||b |cos 60°＝3×6×12＝182＝9. (3)a·b ＝|a||b |cos 90°＝3×6×0＝0. 【答案】 (1)18 (2)9 (3)0 教材整理2 两个向量的夹角阅读教材P 83的有关内容，完成下列问题．1．定义：已知两个非零向量a ，b ，如图2-4-1所示．作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 称为向量a 与b 的夹角．图2-4-12．范围：0°≤θ≤180°.3．当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向． 4．当θ＝90°时，则称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b .试指出图2-4-2中向量的夹角， 图①中向量OA →与OB →的夹角________； 图②中向量OA →与OB →的夹角________； 图③中向量OA →与OB →的夹角________； 图④中向量OA →与OB →的夹角________．图2-4-2【答案】 θ 0° 180° θ教材整理3向量的数量积的运算律及性质阅读教材P84及P85链接完成下列问题．1．向量数量积的运算律：已知向量a，b，c和实数λ.(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.2．数量积的性质：(1)a·a＝|a|2或|a|＝a2；(2)|a·b|≤|a||b|；(3)a⊥b⇒a·b＝0.3．数量积的几何意义：a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．已知|a|＝3，|b|＝5，a与b的夹角为45°，则a在b上的投影为________；b 与a上的投影为________．【解析】a在b上的投影为|a|cos 45°＝3×22＝322；b在a上的投影为|b|cos 45°＝5×22＝522.【答案】322522[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型](1)a·b ；(2)a 2－b 2；(3)(2a －b )·(a ＋3b )．【精彩点拨】 借助数量积的定义及运算律求解(1)(2)(3)． 【自主解答】 (1)a·b ＝|a||b |cos 120°＝2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－3.(2)a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝4－9＝－5. (3)(2a －b )(a ＋3b )＝2a 2＋5a·b －3b 2 ＝2|a |2＋5|a||b |cos 120°－3|b |2 ＝8－15－27 ＝－34.1．求平面向量数量积的步骤：①求a 与b 的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a |和|b |；③求数量积，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.要特别注意书写时，a 与b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．2．较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．[再练一题]1．已知正三角形ABC 的边长为1，求： (1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →.【解】 (1)∵AB →与AC →的夹角为60°， ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12. (2)∵AB →与BC →的夹角为120°， ∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120° ＝1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12.(3)∵BC →与AC →的夹角为60°，∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.已知向量OA ＝a ，OB ＝b ，∠AOB ＝60°，且|a |＝|b |＝4.求|a ＋b |，|a－b |，|3a ＋b |.【精彩点拨】 根据已知条件将向量的模利用|a |＝a·a 转化为数量积的运算求解．【自主解答】 ∵a·b ＝|a|·|b |cos ∠AOB ＝4×4×12＝8， ∴|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋16＋16＝43，|a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝16－16＋16＝4，|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a·b ＋b 2＝9×16＋48＋16＝413.1．求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，要灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．2．一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．[再练一题]2．已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝10，则|b|＝________.【解析】因为|2a＋b|＝10，所以(2a＋b)2＝10，所以4a2＋4a·b＋b2＝10，又因为向量a与b的夹角为45°，且|a|＝1，＋|b|2＝10，所以4|a|2＋4|a||b|cos 45°＋|b|2＝10，故4×12＋4×1×|b|×22整理得|b|2＋22|b|－6＝0，解得|b|＝2或|b|＝－32(舍去)，故|b|＝ 2.【答案】 2已知a a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．【精彩点拨】解答本题可由已知中两个条件的垂直得到两个等式，从而得求得夹角．到a，b之间的关系，再由cos θ＝a·b|a||b|【自主解答】由已知，得(a＋3b)·(7a－5b)＝0，即7a 2＋16a ·b －15b 2＝0，① (a －4b )·(7a －2b )＝0， 即7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0，② ①②两式相减，得2a ·b ＝b 2， ∴a ·b ＝12b 2，代入①②中任一式，得a 2＝b 2， 设a ，b 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b2|b |2＝12， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.1．求向量a ，b 夹角的流程图：求|a |，|b |→计算a ·b →计算cos θ＝a ·b |a ||b |→结合θ∈[0，π]，求解θ 2．若两非零向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b ＞0且a·b ≠|a||b|；两非零向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b ＜0且a·b ≠－|a||b |.[再练一题]3．已知单位向量e 1，e 2的夹角为60°，求向量a ＝e 1＋e 2，b ＝e 2－2e 1的夹角θ.【解】 ∵e 1，e 2为单位向量且夹角为60°， ∴e 1·e 2＝1×1×cos 60°＝12. ∵a·b ＝(e 1＋e 2)·(e 2－2e 1)＝－2－e 1·e 2＋1＝－2－12＋1＝－32， |a |＝a 2＝(e 1＋e 2)2＝1＋2×12＋1＝3，|b |＝b 2＝(e 2－2e 1)2＝1＋4－4×12＝3，∴cos θ＝a·b|a||b |＝－32×13×3＝－12. 又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.[探究共研型]探究1 a 在b 上的投影． 【提示】 a 在b 上的投影为|a |cos θ， 又cos θ＝a·b |a||b |，∴|a |cos θ＝a·b |b |.探究2 数量积a·b ＝|a||b |cos θ的几何意义是什么？【提示】 数量积a·b 等于a 的模与b 在a 方向上的投影|b |cos θ的乘积，或等于b 的模与a 在b 方向上的投影|a |cos θ的乘积．已知a·b ＝－9，a 在b 方向上的投影为－3，b 在a 方向上的投影为－32，求a 与b 的夹角θ.【导学号：06460060】【精彩点拨】 分别列出a 在b 方向上的投影和b 在a 方向上的投影，解方程组便可．【自主解答】 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a·b|b |＝－3，a·b |a |＝－32，a·b ＝－9，∴|a |＝6，|b |＝3，∴cos θ＝a·b|a||b |＝－96×3＝－12，又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.1．投影是个数量，可正、可负、可为零．2．计算投影时要分清“谁是投影线”，即a 在b 上的投影为|a |cos θ＝a·b|b |；b 在a 上的投影为|b |cos θ＝a·b|a |.[再练一题]4．在△ABC 中，已知|AB →|＝5，|BC →|＝4，|AC →|＝3，求： (1)AB →·BC →；(2)AC →在AB →方向上的投影； (3)AB →在BC →方向上的投影．【解】 ∵|AB →|＝5，|BC →|＝4，|AC →|＝3， ∴△ABC 为直角三角形，且C ＝90°， ∴cos A ＝AC AB ＝35，cos B ＝BC AB ＝45.(1)AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－5×4×45＝－16； (2)|AC →|·cos 〈AC →，AB →〉＝AC →·AB →|AB →|＝5×3×355＝95；(3)|AB →|·cos 〈AB →，BC →〉＝BC →·AB →|BC →|＝－BA →·BC →|BC →|＝－5×4×454＝－4.[构建·体系]1．若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角为135°，则m ·n ＝________. 【解析】 m ·n ＝|m ||n |cos 135°＝4×6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－12 2.【答案】 －12 22．已知|a |＝3，|b |＝5，且a ·b ＝12，则向量a 在b 方向上的投影为________． 【解析】 |a |cos θ＝a ·b |b |＝125. 【答案】 1253．设|a |＝3，|b |＝5，且a ＋λb 与a －λb 垂直，则λ＝______. 【解析】 (a ＋λb )·(a －λb )＝a 2－λ2b 2＝9－25λ2＝0， ∴λ＝±35.【答案】 ±354．下面给出的关系式中正确的有________． ①0·a ＝0； ②a·b ＝b·a ； ③a 2＝|a |2； ④a·b ≤|a||b |； ⑤(a·b )2＝a 2·b 2.【解析】 ①②③正确；④|a|·|b |≥a·b ，⑤(a·b )2＝a 2·b 2·cos 2θ. 【答案】 ①②③④5．已知|a |＝1，a·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12. (1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |. 【导学号：06460061】【解】 (1)∵(a －b )·(a ＋b )＝a 2－b 2＝12，|a |＝1， ∴b 2＝a 2－12＝1－12＝12，∴|b |＝22， ∴cos θ＝a·b|a||b|＝121×22＝22，又θ∈[0，π]， ∴θ＝π4，故a 与b 的夹角为π4. (2)|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a·b＋b 2＝102.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(二十一) 数量积的定义(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．e 1，e 2是两个平行的单位向量，则e 1·e 2＝________.【解析】 ∵e 1∥e 2，∴e 1，e 2的夹角为0°或180°，∴e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos θ＝±1. 【答案】 ±12．已知|a |＝8，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，则向量b 在a 方向上的投影为________．【解析】 ∵|a |＝8，|b |＝4，b 在a 方向上的投影为|b |cos 120°＝4×cos 120°＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2.【答案】 －23．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角θ为120°，则a·a ＋a·b ＝________. 【解析】 ∵|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为120°， ∴a·b ＝|a||b |cos 120°＝－12. 又a·a ＝|a |2＝1， ∴a·a ＋a·b ＝1－12＝12. 【答案】 124．在△ABC 中，|AB →|＝13，|BC →|＝5，|CA →|＝12，则AB →·BC →的值是________． 【解析】 ∵|AB →|＝13，|BC →|＝5，|CA →|＝12， ∴|AB →|2＝|BC →|2＋|CA →|2， ∴△ABC 为直角三角形． 又cos ∠ABC ＝513，∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(π－∠ABC ) ＝13×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝－25. 【答案】 －255．若向量|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，则|a ＋b |＝________.【解析】 ∵|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝4，即|a |2－2a ·b ＋|b |2＝4，得1－2a ·b ＋4＝4，∴2a ·b ＝1.于是|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋1＋4＝ 6. 【答案】66．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝________. 【解析】 ∵|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b )2＝10， ①(a －b )2＝6， ②①－②得a·b ＝1. 【答案】 17．已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 之间的夹角为60°，那么向量a －4b 的模为________．【导学号：06460062】【解析】∵|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，∴a·b＝2×1×cos 60°＝1，∴|a－4b|＝(a－4b)2＝a2＋16b2－8a·b＝4＋16－8＝2 3.【答案】2 38．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为π3，则实数λ＝________.【解析】由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.【答案】－8或5二、解答题9．(2016·南通高一检测)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求|a＋b|；(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．【解】(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6，∴|a＋b|＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝42＋32＋2×(－6)＝13.(2)∵a·(a ＋b )＝|a |2＋a·b ＝42－6＝10，∴向量a 在向量a ＋b 方向上的投影为a·(a ＋b )|a ＋b |＝1013＝101313.10．已知e 1与e 2是两个互相垂直的单位向量，k 为何值时，向量e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为锐角？【解】 ∵e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为锐角， ∴(e 1＋k e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋k e 22＋(k 2＋1)e 1·e 2 ＝2k ＞0，∴k ＞0.但当k ＝1时，e 1＋k e 2＝k e 1＋e 2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去． 综上，k 的取值范围为k ＞0且k ≠1.[能力提升]1．(2016·镇江高一检测)定义：|a ×b |＝|a|·|b |·sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－6，则|a ×b |等于________．【解析】 由|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－6，得cos θ＝－35，sin θ＝45， ∴|a ×b |＝|a|·|b|·sin θ＝2×5×45＝8. 【答案】 82．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为________． 【解析】 ∵(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2＝0， ∴a ·b ＝－12|b |2，设a 与b 的夹角为θ， ∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12|b |2|a ||b |＝－12， ∵θ∈[0，π]，∴θ＝120°. 【答案】 120°3．(2016·苏州高一检测)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．【解析】 设|AB →|＝x (x ＞0)，则AB →·AD →＝12x ，所以AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝1－12x 2＋14x ＝1，解得x ＝12，即AB 的长为12.【答案】 124．已知平面上三个向量a ，b ，c 的模均为1，它们相互之间的夹角为120°. (1)求证：(a －b )⊥c ；(2)若|k a ＋b ＋c |＞1(k ∈R )，求k 的取值范围． 【解】 (1)证明：∵|a |＝|b |＝|c |＝1且a ，b ，c 之间的夹角均为120°， ∴(a －b )·c ＝a·c －b·c＝|a ||c |cos 120°－|b||c |cos 120°＝0，∴(a －b )⊥c . (2)∵|k a ＋b ＋c |＞1，∴(k a ＋b ＋c )·(k a ＋b ＋c )＞1， 即k 2a 2＋b 2＋c 2＋2k a ·b ＋2k a ·c ＋2b·c ＞1. ∵a·c ＝a·b ＝b·c ＝cos 120°＝－12， ∴k 2－2k ＞0，解得k ＜0或k ＞2. 即k 的取值范围是k ＜0或k ＞2.。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 2.4.1 向量的数量积》8
§向量数量积（第一课时）教学设计人民中学田佳教学内容分析:本课内容选自普通高中课程标准实验教科书数学必修4苏教版§平面向量的数量积的第一课时，本课主要内容是向量的数量积的定义。
本节课是在学生系统的学习了向量的概念和向量的加法、减法、数乘等线性运算的基础上，探索向量的又一种新的运算，它既是前面所学知识和方法的延续，又是后继学习解三角形、解析几何以及空间向量等内容的基础，因此本节内容起到了承上启下的作用。
平面向量数量积是一个很重要的数学概念，它是从物理中功的概念抽象而来的，是沟通代数、几何、三角的桥梁，是数形结合方法的典范。
这些都使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。
教学目标：1.理解平面向量数量积的概念2.掌握平面向量数量积的性质3.体会数形结合与类比等数学思想方法，培养自主学习能力教学重难点：数量积概念的理解教学过程：一、回顾旧知已经学习了哪几种向量运算？它们的运算结果是什么量？【设计意图】通过知识回忆的问题让学生复习回顾向量运算，为平面向量数量积的学习奠定基础。
二、问题情境问题1：一个物体在力F的作用下产生位移，=？此时重力做了多少功？问题2：当力F与位移S成某一角度时，力F所做的功W=问题3：能否将此公式推广到一般向量？【设计意图】从学生已有的认知水平出发，通过熟悉的生活实例，创设数量积的物理背景，激发学生的学习热情，同时，也为抽象数量积的概念做好铺垫。
三、 建构数学 师：物理中的F 和S 是两个向量，用两个一般的非零向量和来替换F 和S ，其夹角不变，则θθcos ||||cos |||| b a S F W ==。
在数学中称θcos ||||b a 为非零向量和的数量积，记作：θcos |||| b a b a =⋅，从而得到平面向量数量积的定义：1. 定义：b a b a ,,,叫做向量它们的夹角为两个非零向量θθθcos ,b a b a =⋅⋅即的数量积，记作规定：零向量与任一向量的数量积为0注意点：（1）“·”是数量积的运算符号，不能省略也不能用“”代替；（2）数量积的结果为数量；（3）影响因素是向量的模及夹角。
2018高中数学苏教版必修四教学案：第2章 2.4 向量的数量积 含答案
第1课时 向量数量积的概念及运算律问题：一个物体在力F 的作用下位移为s ，则力F 所做功W ＝|F||s|cos θ，θ为F 和位移s 的夹角，试想功W 是力F 和位移s 的乘积吗？提示：不是．1．数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则把数量|a||b|²cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ²b ，即a ²b ＝|a||b|cos θ.2．规定零向量与任一向量的数量积为0.如图，△ABC 为等边三角形．问题1：向量AB 与向量AC 的夹角的大小是多少？提示：60°.问题2：向量AB 与向量BC 的夹角的大小是多少？提示：120°.两非零向量的夹角(1)定义：对于两非零向量a 和b ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a与b 的夹角．(2)范围：0≤θ≤180°.(3)当θ＝0°时，a与b同向．当θ＝180°时，a与b反向．当θ＝90°时，则称a与b垂直，记作a⊥b.已知向量a和b都是非零向量，θ为a与b的夹角．问题1：若θ＝90°，求a²b；若a²b＝0，求θ.提示：若θ＝90°，则a²b＝|a|²|b|cos 90°＝0；若a²b＝0，则|a|²|b|cos θ＝0，∴cos θ＝0.又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝90°.问题2：若θ＝0°，求a²b；若θ＝180°，求a²b.提示：若θ＝0°，则a²b＝|a|²|b|cos 0°＝|a|²|b|；若θ＝180°，则a²b＝|a|²|b|cos 180°＝－|a|²|b|.1．两个向量的数量积(1)当a与b同向时，a²b＝|a||b|；(2)当a与b反向时，a²b＝－|a||b|；(3)a²a＝|a|2或|a|＝a²a.2．数量积的运算律(1)a²b＝b²a；(2)(λa)²b＝a(λb)＝λ(a²b)＝λa²b；(3)(a＋b)²c＝a²c＋b²c.1．两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，其大小与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值的符号决定．2．向量数量积的几何意义，是一个向量的长度乘以另一向量在该向量方向上的投影值．这个投影值可正可负也可以为零，向量的数量积的结果是一个实数．3．数量积的运算只适合交换律，加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(a ²b)²c ≠a ²(b ²c)，这是因为a ²b ，b ²c 都是实数，(a ²b)²c 与向量c 方向相同或相反．a ²(b ²c)与向量a 方向相同或相反，而a 与c 不一定共线，就是a 与c 共线，(a ²b)²c 与a ²(b ²c)也不一定相等．[例1] 已知正方形ABCD 的边长为2，分别求：(1)AB ²CD ；(2)AB ²AD ；(3)DA ²AC .[思路点拨] 求数量积时，利用定义要注意两个向量的夹角大小和实际图形联系起来．[精解详析] (1)∵AB ，CD 的夹角为π，∴AB ²CD ＝|AB ||CD |cos π＝2³2³(－1)＝－4.(2)∵AB ，AD 的夹角为π2， ∴AB ²AD ＝|AB ||AD |cos π2＝2³2³0＝0. (或∵AB ，AD 的夹角为π2，∴AB ⊥AD ，故AB ²AD ＝0) (3)∵DA ，AC 的夹角为3π4， ∴DA ²AC ＝|DA ||AC |cos 3π4＝2³22³⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－4. [一点通] 求平面向量的数量积时，常用到以下结论：(1)a 2＝|a|2；(2)(xa ＋yb)(mc ＋nd)＝xma ²c ＋xna ²d ＋ymb ²c ＋ynb ²d ，其中x ，y ，m ，n ∈R ，类似于多项式的乘法法则；(3)(a ＋b)2＝a 2＋2a ²b ＋b 2；(4)(a ＋b ＋c)2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ²b ＋2b ²c ＋2a ²c.。
高中新课程数学苏教版必修四2.4.1.1向量的数量积教案2
第十课时 平面向量的数量积及运算律(二)教学目标：掌握平面向量数量积运算规律，能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用.教学过程：Ⅰ.复习回顾上一节，我们一起学习向量数量积的定义，并一起由定义推证了5个重要性质，并得到了三个运算律，首先我们对上述内容作一简要回顾.这一节，我们通过例题分析使大家进一步熟悉数量积的定义、性质、运算律，并掌握它们的应用.Ⅱ.讲授新课［例1］已知：｜a ｜＝3，｜b ｜＝6，当①a ∥b ，②a ⊥b ，③a 与b 的夹角是60°时，分别求a ·b .分析：由数量积的定义可知，它的值是两向量的模与它们夹角余弦值的乘积，只要能求出它们的夹角，就可求出a ·b .解：①当a ∥b 时，若a 与b 同向，则它们的夹角θ＝0°，∴a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos0°＝3×6×1＝18；若a 与b 反向，则它们的夹角θ＝180°，∴a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos180°＝3×6×(－1)＝－18；②当a ⊥b 时，它们的夹角θ＝90°，∴a ·b ＝0；③当a 与b 的夹角是60°时，有a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos60°＝3×6×12＝9 评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当a ∥b 时，有0°或180°两种可能.［例2］已知a 、b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角.分析：要求a 与b 的夹角，只要求出a ·b 与｜a ｜，｜b ｜即可.解：由已知(a ＋3b )⊥(7a －5b )⇔(a ＋3b )·(7a －5b )＝0⇔7a 2＋16a ·b －15b 2＝0 ①又(a －4b )⊥(7a －2b )⇔(a －4b )·(7a －2b )＝0⇔7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0 ②①－②得：46a ·b ＝23b 2即有a ·b ＝12 b 2＝12｜b ｜2， 将它代入①可得：7｜a ｜2＋8｜b ｜2－15｜b ｜2＝0即｜a ｜2＝｜b ｜2有｜a ｜＝｜b ｜∴若记a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b ｜a ｜｜b ｜ ＝12 ｜b ｜2｜b ｜｜b ｜ ＝12又θ∈［0°，180°］，∴θ＝60°所以a 与b 的夹角为60°.［例3］四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DA →＝d ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·d ＝d ·a ，试问四边形ABCD 是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量. 解：四边形ABCD 是矩形，这是因为：一方面：∵a ＋b ＋c ＋d ＝0，∴a ＋b ＝－(c ＋d )，∴(a ＋b )2＝(c ＋d )2即｜a ｜2＋2a ·b ＋｜b ｜2＝｜c ｜2＋2c ·d ＋｜d ｜2由于a ·b ＝c ·d ，∴｜a ｜2＋｜b ｜2＝｜c ｜2＋｜d ｜2 ①同理有｜a ｜2＋｜d ｜2＝｜c ｜2＋｜b ｜2 ②由①②可得｜a ｜＝｜c ｜，且｜b ｜＝｜d ｜即四边形ABCD 两组对边分别相等.∴四边形ABCD 是平行四边形另一方面，由a ·b ＝b ·c ，有b ·(a －c )＝0，而由平行四边形ABCD 可得a ＝－c ，代入上式得b ·(2a )＝0即a ·b ＝0，∴a ⊥b 也即AB ⊥B C.综上所述，四边形ABCD 是矩形.评述：(1)在四边形中，AB →，BC →，CD →，DA →是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即a ＋b ＋c ＋d ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.［例4］已知｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，a ·b ＝－3，求｜a ＋b ｜，｜a －b ｜.解：∵｜a ＋b ｜2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝22＋2×(－3)＋52＝23∴｜a ＋b ｜＝23 ，∵(｜a －b ｜)2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝22－2×(－3)＋52＝35， ∴｜a －b ｜＝35 .［例5］已知｜a ｜＝8，｜b ｜＝10，｜a ＋b ｜＝16，求a 与b 的夹角θ.解：∵(｜a ＋b ｜)2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝｜a ｜2＋2｜a ｜｜b ｜cos θ＋｜b ｜2∴162＝82＋2×8×10cos θ＋102， ∴cos θ＝2340，∴θ≈55° ［例6］在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，且a ·b ＜0，则△ABC 的形状是 ( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定分析：此题主要考查两向量夹角的概念，应避免由a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos B ＜0得cos B ＜0，进而得B 为钝角，从而错选C.解：由两向量夹角的概念，a 与b 的夹角应是180°－B∵a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos(180°－B )＝－｜a ｜｜b ｜cos B ＜0∴cos B ＞0又因为B ∈(0°，180°)所以B 为锐角.又由于角B 不一定最大，故三角形形状无法判定. 所以应选D.［例7］设e 1、e 2是夹角为45°的两个单位向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋e 2，试求：｜a ＋b ｜的值.分析：此题主要考查学生对单位向量的正确认识.解：∵a ＋b ＝(e 1＋2e 2)＋(2e 1＋e 2)＝3(e 1＋e 2)，∴｜a ＋b ｜＝｜3(e 1＋e 2)｜＝3｜(e 1＋e 2)｜＝3（e 1＋e 2）2＝3e 12＋2 e 1·e 2＋e 22 ＝3222121||45cos ||||2||e e e e ︒++＝322+.［例8］设｜m ｜＝2，｜n ｜＝1，向量m 与n 的夹角为π2，若a ＝4m －n ，b ＝m ＋2n ，c ＝2m －3n ，求a 2＋3(a ·b )－2(b ·c )＋1的值.解：∵｜m ｜＝2，｜n ｜＝1且m ⊥n ，∴m 2＝｜m ｜2＝4，n 2＝｜n ｜＝1，m ·n ＝0.∴a 2＋3(a ·b )－2(b ·c )＋1＝(4m －n )2＋3(4m －n )·(m ＋2n )－2(m ＋2n )·(2m －3n )＋1＝16m 2－8m ·n ＋n 2＋12m 2＋24m ·n －3n ·m －6n 2－4m 2－6m ·n －8n ·m ＋12n 2＋1＝24m 2＋7n 2＋1＝104.Ⅲ. 课时小结通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质解决相关问题.Ⅳ. 课后作业课本P 83习题 4，7平面向量的数量积及运算律1．设a ，b ，c 为任意非0向量，且相互不共线，则真命题为 （ ）（1）（a ·b ）·c －(c ·a )·b ＝0 （2）|a |－|b |＜|a －b |（3）(b ·c )·a －(c ·a )·b 不与c 垂直 （4）（3a +2b )(3a －2b )=9|a |2－4|b |2A.（2）（4）B.（2）（3）C.（1）（2）D.（3）（4）2．已知|a |＝3，|b |＝4，（a ＋b ）·（a ＋3b ）＝33，则a 与b 的夹角为 （ ）A.30°B.60°C.120°D.150°3．△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，且a ·b ＞0，则△ABC 为 （ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形4．已知等边△ABC 的边长为1，且BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a 等于 （ ）A.－32B. 32C.0D. 945．已知|a |2＝1，|b |2＝2，（a －b )⊥a ，则a 与b 的夹角为 （ ）A.60°B.90°C.45°D.30°6．设e 1，e 2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则（2e 1－e 2）（3e 1＋2e 2）＝ .7．已知| i |＝| j |＝1，i ·j ＝0，且a ＋b ＝2i －8j ，a －b ＝8i ＋16j ，求a ·b ＝ .8．已知|a |＝3，|b |＝5，如果a ∥b ，则a ·b ＝ .9．已知a ，b ，c 两两垂直，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，求r ＝a ＋b ＋c 的长及它与a ，b ，c 的夹角的余弦.10．设a ，b 为两个相互垂直的单位向量，是否存在整数k ，使向量m ＝k a ＋b 与n ＝a ＋k b的夹角为60°，若存在，求k 值；若不存在，说明理由.11．非零向量（a ＋3b )⊥(2a －b )，(a －2b )⊥(2a ＋b )，求向量a 与b 夹角的余弦值.平面向量的数量积及运算律答案1．A 2．C 3．C 4．A 5．C 6．927．－63 8．±15 9．已知a ，b ，c 两两垂直，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，求r ＝a ＋b ＋c 的长及它与a ，b ，c 的夹角的余弦. 解：|r |＝|a ＋b ＋c |＝（a ＋b ＋c ）2＝1＋4＋9＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝14设a ＋b ＋c 与a 、b 、c 的夹角分别为θ1，θ2，θ3 则cos θ1＝ a ·（a ＋b ＋c ）|a |·|a ＋b ＋c | ＝114同理cos θ2＝214＝147，cos θ3＝31414. 10．设a ，b 为两个相互垂直的单位向量，是否存在整数k ，使向量m ＝k a ＋b 与n ＝a ＋k b的夹角为60°，若存在，求k 值；若不存在，说明理由.解：∵|a |＝|b |＝1，又a ·b ＝0m ·n ＝(k a ＋b )·(a ＋k b )＝2k ，又|m|＝k2＋1 ，|n|＝k2＋1若cos60°＝m·n|m|·|n |＝2kk2＋1＝12∴k2＋4k＋1＝0∵k＝2±3 Z，∴不存在.11．19 38。
苏教版高中数学必修四新课程第课时向量的数量积导学案
总课题平面向量总课时第25课时分课题向量的数量积（1）分课时第 1 课时教学目标理解平面向量数量积的概念及其几何意义；知道两个向量数量积的性质；了解平面向量数量积的概念及其性质的简单应用。
重点难点平面向量数量积的概念的理解；平面向量数量积的性质的应用。
引入新课1、已经知道两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，我们把数量叫做向量a与向量b的数量积，记作a·b。
即a·b= 。
a·0= 。
2、两个非零向量a，b夹角θ的范围为。
3、（1）当a，b同向时，θ= ，此时a·b= 。
（2）当a，b反向时，θ= ，此时a·b= 。
（3）当a⊥b时，θ= ，此时a·b= 。
4、a·a= = = 。
5、设向量a，b，c和实数λ，则（1）（λa）·b=a·（）=λ（）=λa·b（2）a·b= ；（3）（a+b）·c= 。
例题剖析例1、已知向量a与向量b的夹角为θ, |a|=2 , |b|=3 , 分别在下列条件下求a·b。
（1）θ=135°（2）a//b（3）a⊥b变1：若a·b=3-，求θ。
变2：若θ=120°，求（4a+b）（3b－2a）和|a+b|的值。
变3：若（4a +b ）（3b －2a ）=－5，求θ。
变4：若|a +b |19=，求θ。
巩固练习1、 判断下列各题正确与否，并说明理由。
（1）若=a 0，则对任意向量b ，有a ·b =0； ______________________________ （2）若≠a 0，则对任意向量b ，有a ·b ≠0； ______________________________ （3）若≠a 0，a ·b =0，则b =0；______________________________ （4）若a ·b =0，则a ，b 中至少有一个为零； ______________________________ （5）若≠a 0，a ·b =a ·c ，则b =c ； ______________________________ （6）对任意向量a ，有=2a 2||a ；______________________________（7）对任意向量a ，b ，c ，有（a ·b ）·c =a ·（b ·c ）；___________________ （8）非零向量a ，b ，若|a +b |=|a －b |，则a ⊥b ；___________________________ （9）|a ·b |≤|a ||b |。
数学苏教版必修4导学案：2.4第1课时 向量的数量积
2.4向量的数量积第1课时向量的数量积1．向量的数量积(1)向量的数量积：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角是θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 和b 的数量积(或内积)记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定零向量与任一向量的数量积为0.(2)两个向量的夹角：对于两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角．其范围是0°≤θ≤180°，当θ＝0°时，a 与b 同向，a ·b ＝|a ||b |；当θ＝180°时，a 与b 反向，a ·b ＝－|a ||b |；当θ＝90°时，称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b .预习交流1(1)已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |等于__________． (2)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则a ·b ＝__________. (3)已知|a |＝5，|b |＝4，a ·b ＝－102，则a 与b 的夹角θ＝__________. 提示：(1)|2a －b |＝(2a －b )2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝8＝2 2. (2)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×4cos 120°＝－10.(3)由公式得cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1025×4＝－22，所以θ＝135°.2．向量数量积的性质及其运算律(1)向量数量积的性质：①a ·a 可简写为a 2，所以a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |②a ⊥b ⇔a ·b＝0；③a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |；④|a ·b |≤|a ||b |.(2)向量数量积的运算律：已知向量a ，b ，c 和实数λ. ①a ·b ＝b ·a ； ②(λa )·b ＝a ·(λb )＝λ(a ·b )＝λa ·b ； ③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 预习交流2对于向量a ，b ，c ，等式(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )一定成立吗？ 提示：不一定成立，因为若(a ·b )·c ≠0，其方向与c 相同或相反，而a ·(b ·c )≠0时其方向与a 相同或相反，而a 与c 方向不一定相同，故该等式不一定成立．3．向量数量积的几何意义(1)向量b 在a 方向上的投影：设a ，b 是两个非零向量，|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影，它是数量．当θ为锐角时，投影为正值．当θ为钝角时，投影为负值；当θ＝90°时，投影为0.(2)数量积a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 方向上的投影|b |cos θ的乘积．预习交流3下列说法正确的是__________．①a·b＝0⇒a＝0或b＝0；②a∥b⇒a在b上的投影为|a|；③a⊥b⇒a·b＝(a·b)2；④a·c＝b·c⇒a＝b. 提示：③一、平面向量的数量积及几何意义已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°. (1)求a ·b ；(2)求a 在b 上的投影．思路分析：已知向量a ，b 的模及其夹角，求a ·b 及a 在b 上的投影，解答本题只需依据数量积的定义及其几何意义求解便可．解：(1)∵|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×4×cos 120°＝5×4×⎝⎛⎭⎫－12＝－10. (2)由数量积的几何意义可知，a 在b 上的投影为|a |cos θ＝5×cos 120°＝5×⎝⎛⎭⎫－12＝－52.1．已知|a |＝3，|b |＝5，且其夹角θ＝45°，则向量a 在向量b 上的投影为__________．★答案★：322解析：向量a 在向量b 上的投影为|a |cos θ，应用公式时要分清|a |与|b |，不能套错公式，由已知|a |＝3，|b |＝5，cos θ＝cos 45°＝22，则向量a 在向量b 上的投影为|a |cos θ＝3×22＝322. 2．已知a ，b ，c 是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为__________．①|a ·b |＝|a |·|b |⇔a ∥b ； ②a ，b 反向⇔a ·b ＝－|a |·|b |； ③a ⊥b ⇔|a ＋b |＝|a －b |； ④|a |＝|b |⇔|a ·c |＝|b ·c |. ★答案★：3 解析：①∵a ·b ＝|a ||b |cos θ，∴由|a ·b |＝|a ||b |及a ，b 为非零向量可得|cos θ|＝1，∴θ＝0或π.∴a ∥b ，且以上各步均可逆，故命题①是真命题．②若a ，b 反向，则a ，b 的夹角为π，∴a ·b ＝|a ||b |cos π＝－|a ||b |，且以上各步均可逆，故命题②是真命题．③当a ⊥b 时，将向量a ，b 的起点确定在同一点，以向量a ，b 为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有|a ＋b |＝|a －b |.反过来，若|a ＋b |＝|a －b |，则以a ，b 为邻边的四边形为矩形，故有a ⊥b ，因此命题③是真命题．④当|a |＝|b |，但a 与c 的夹角和b 与c 的夹角不等时，就有|a ·c |≠|b ·c |，反过来由|a ·c |＝|b ·c |也推不出|a |＝|b |，故命题④是假命题．1．数量积的符号同夹角的关系：(1)若a ·b ＞0⇔θ为锐角或零角；(2)若a ·b ＝0⇔θ＝π2或a 与b 至少有一个为0；(3)若a ·b ＜0⇔θ为钝角或平角． 2．平面向量数量积的求法：(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式 a ·b ＝|a ||b |cos θ.(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求a ·b . 二、平面向量数量积的运算已知|a |＝4，|b |＝5，且a 与b 夹角为60°，求值： (1)a 2－b 2； (2)(2a ＋3b )·(3a －2b )．思路分析：充分利用条件及数量积的定义性质即可求解． 解：(1)a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝42－52＝－9；(2)(2a ＋3b )·(3a －2b )＝6a 2＋5a ·b －6b 2＝6|a |2＋5|a ||b |cos 60°－6|b |2＝6×42＋5×4×5×12－6×52＝－4.1．已知正△ABC 的边长为2，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，求a ·b ＋b ·c ＋c ·a .解：如图，a 与b ，b 与c ，a 与c 夹角均为120°，∴原式＝|a ||b |cos 120°＋|b ||c |cos 120°＋|a ||c |cos 120°＝2×2×⎝⎛⎭⎫－12×3＝－6. 2．已知|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，求(a ＋2b )·(a －3b )．解：(a ＋2b )·(a －3b )＝a ·a －a ·b －6b ·b ＝|a |2－a ·b －6|b |2＝|a |2－|a ||b |cos θ－6|b |2 ＝62－6×4×cos 60°－6×42＝－72.1．利用定义求向量的数量积时，要注意a 与b 的夹角大小．若|a ||b |是一个定值k ，则当这两个向量的夹角从0°变化到180°时，两向量的数量积从k 减到－k ，其图象是从0到π的半个周期内的余弦函数图象．2．求平面向量的数量积的一般步骤：(1)运用数量积的运算律展开、化简；(2)确定向量的模和夹角；(3)根据定义求出数量积．三、求向量的夹角问题设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角． 思路分析：n 和m 是两个单位向量且夹角已知，可求其数量积，又向量a ，b 均有向量n 和m 线性表示，待求向量a ，b 的夹角，求解时可先利用|a |＝|2m ＋n |，|b |＝|2n －3m |求模，再利用a ·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )求数量积，最后代入cos α＝a ·b|a ||b |求α.解：|m |＝1，|n |＝1，由夹角为60°，得m ·n ＝12，则有|a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2 ＝4m 2＋4m ·n ＋n 2＝7， |b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2 ＝4n 2－12n ·m ＋9m 2＝7.∴a ·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m ·n －6m 2＋2n 2＝－72.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－727×7＝－12.又θ∈[0°，180°]，∴a ，b 夹角为120°.1．向量m 和n 满足|m |＝1，|n |＝2，且m ⊥(m －n )，求m 与n 的夹角． 解：∵|m |＝1，|n |＝ 2.又m ⊥(m －n )， ∴m ·(m －n )＝m 2－m ·n ＝0. 设m 与n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n |m ||n |＝m 2|m ||n |＝|m ||n |＝22.又θ∈[0°，180°]，∴θ＝45°.2．已知a ，b 是两个非零向量，同时满足|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角． 解：根据|a |＝|b |，有|a |2＝|b |2. 又由|b |＝|a －b |，得|b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2，∴a ·b ＝12|a |2.∴|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3|a |2. ∴|a ＋b |＝3|a |.设a 与a ＋b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝|a |2＋12|a |2|a |3|a |＝32.∴θ＝30°.1．求向量a ，b 夹角的流程图求|a |，|b |→计算a ·b →计算cos θ＝a ·b|a ||b |→结合θ∈[0，π]，求解θ 2．由于|a |，|b |及a ·b 都是实数，因此在涉及有关|a |，|b |及a ·b 的相应等式中，可用方程的思想求解(或表示)未知量．1．若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角为135°，则m ·n ＝__________. ★答案★：－12 2 解析：m ·n ＝|m ||n |cos 135°＝4×6×cos 135°＝－12 2.2．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影是23，则a ·b 为__________．★答案★：2解析：∵a 在b 方向的投影为|a |cos θ，∴a ·b ＝|b |·|a |cos θ＝3×23＝2.3．已知a 与b 是相反向量，且|a |＝2，则a ·b ＝__________. ★答案★：－4解析：∵a 与b 互为相反向量， ∴|a |＝|b |且两向量夹角为180°. ∴a ·b ＝2×2×cos 180°＝－4.4．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角为__________．★答案★：π3解析：cos θ＝a ·b |a ||b |＝21×4＝12，又∵0≤θ≤π，∴θ＝π3.5．已知|a |＝3，|b |＝6，当(1)a ∥b ，(2)a ⊥b ，(3)a 与b 的夹角是60°时，分别求a ·b . 解：(1)当a ∥b 时，若a 与b 同向，则它们的夹角θ＝0°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos 0°＝3×6×1＝18； 若a 与b 反向，则它们的夹角θ＝180°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos 180°＝3×6×(－1)＝－18； (2)当a ⊥b 时，它们的夹角θ＝90°， ∴a ·b ＝0；(3)当a 与b 的夹角是60°时，有a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝3×6×12＝9.。
苏教版必修四 2.4.1向量的数量积(1) 教案
2.4 向量的数量积（1）一、课题：向量的数量积（1）二、教学目标：1．理解平面向量数量积的概念；2．掌握两向量夹角的概念及其取值范围[0,]π；3．掌握两向量共线及垂直的充要条件；4．掌握向量数量积的性质。
三、教学重、难点：向量数量积及其重要性质。
四、教学过程：（一）引入：物理课中，物体所做的功的计算方法：||||cos W F s θ=（其中θ是F 与s 的夹角）．（二）新课讲解：1．向量的夹角：已知两个向量a 和b （如图2），作OA a =，OB b =，则 AOB θ∠=（0180θ≤≤）叫做向量a 与b 的夹角。
当0θ=时，a 与b 同向； 当180θ=时，a 与b 反向；当90θ=时，a 与b 的夹角是90，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b ．2．向量数量积的定义： 已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量||||cos a b θ⋅⋅叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a b ⋅，即||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅．说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关；②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量；实 数与向量的积是一个向量；③规定，零向量与任一向量的数量积是0．3．数量积的几何意义：（1）投影的概念：如图，OA a =，，过点B 作1BB 垂直于直线OA ，垂足为1B ，则1||cos OB b θ=．||cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影，当θ为锐角时，它是正值；当θ为钝角时，它 是一负值；当90θ=时，它是0；当0θ=时，它是||b ；当180θ=时，它是||b -．（2）a b ⋅的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影||cos b θ的乘积。
【练习】：①已知||5a =，||4b =，a 与b 的夹角120θ=，则a b ⋅=10-；A ab ） B b1B O 1 1()B②已知||4b =，a 在b 上的投影是1||b ，则a b ⋅= 8 ； ③已知||5a =，||4b =，32a b ⋅=-a 与b 的夹角θ=135． （3）数量积的性质： 设a 、b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则①cos ||||a b a b θ⋅=； ②当a 与b 同向时，||||a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，||||a b a b ⋅=-； 特别地：2||a a a ⋅=或||a a a =⋅； ③||||||a b a b ⋅≤； ④a b ⊥0a b ⇔⋅=；若e 是与b 方向相同的单位向量，则⑤||cos e a a e a θ⋅=⋅=．4．例题分析：例1 已知正ABC ∆的边长为2，设BC a =，CA b =，AB c =，求a b b c c a ⋅+⋅+⋅． 解：如图，a 与b 、b 与c 、a 与c 夹角为120，∴原式||||cos120||||cos120||||cos120a b b c a c =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅122()362=⨯⨯-⨯=-．例2 已知||3a =，||3b =，||23c =，且0a b c ++=，求a b b c c a ⋅+⋅+⋅．解：作AB c =，BC a =，∵0a b c ++=， ∴CA b =，∵||||||||||||a b c a b -<<+且222||||||c a b =+，∴ABC ∆中，90C =， ∴tan A =，∴30A ∠=，60B ∠=， 所以，3323cos1209312a b b c c a ⋅+⋅+⋅=⨯+⨯=--=-．五、课后练习：补充：1．若非零向量a 与b 满足||||a b a b +=-，则a b ⋅= 0 ．六、课堂小结：1．向量数量积的概念；2．向量数量积的几何意义；3．向量数量积的性质。
高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的数量积教案 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学教案
2.4 向量的数量积整体设计教学分析课本从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的5个重要性质、运算律．向量的数量积把向量的长度和三角函数联系起来，这样为解决三角形的有关问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题．因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系．既然向量可以进行加减运算，一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢？如果能，运算结果应该是什么呢？另外，距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系．众所周知，向量概念的引入与物理学的研究密切相关，物理学家很早就知道，如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1)，那么力F所做的功图1W＝|F||s|cosθ.功W是一个数量，其中既涉及“长度”，也涉及“角”，而且只与向量F，s有关．熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算，从而引进向量的数量积的定义a·b＝|a||b|cosθ.这个定义不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等)，而且还可以用它来更加简捷地表述几何中的许多结果．向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样，它也有明显的物理意义、几何意义．但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量．平面向量的数量积，教材将其分为两部分，在第一部分向量的数量积中，首先研究平面向量所成的角，其次，介绍了向量数量积的定义，最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论；在第二部分平面向量数量积的坐标表示中，在平面向量数量积的坐标表示的基础上，利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式，得到了两向量垂直的判定的方法．本节课可采用“启发探索”式的教学方法，从教材内容看，由于前面已经学习了平面向量的线性运算的坐标表示，因此在教学中运用指导探究为教学的主线，通过启发引导学生运用科学的思维方法进行自主探索，将学生的独立思考、自主探究、交流讨论等探索活动贯穿于课堂教学的全过程，突出学生的主体地位．三维目标1．通过经历探究过程，掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，并掌握向量垂直的条件．2．通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力；培养学生的交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力．3．通过探究平面向量的数量积的坐标运算，掌握两个向量数量积的坐标表示方法；掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题．4．通过平面向量数量积的坐标表示，进一步加深学生对平面向量数量积的认识，提高学生的运算速度，培养学生的运算能力，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质．重点难点教学重点：平面向量数量积的定义，平面向量数量积的坐标表示．教学难点：平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用，平面向量坐标表示的应用．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答地更简捷、更清晰．并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具，而且用数学的思想方法去审视相关物理现象，研究相关物理问题，可使我们对物理问题认识更深刻．物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移等都是向量，这些物理现象都可以用向量来研究．在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W可由下式计算：W ＝|F||s |cosθ.其中θ是F 与s 的夹角．我们知道力和位移都是向量，而功是一个标量(数量)． 故从力所做的功出发，我们就顺其自然的引入向量数量积的概念．思路2.前面我们已学过，任意的两个向量都可以进行加减运算，并且两个向量的和与差仍是一个向量．我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算，就自然地会想到，任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能，其运算结果是什么呢？推进新课新知探究1．平面向量数量积的概念，向量的夹角．2．数量积的重要性质及运算律．3．两向量垂直的条件．活动：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量|a||b |cosθ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a·b ，即a·b ＝|a||b |cosθ(0≤θ≤π)，其中θ是a 与b 的夹角．图2为两向量数量积的关系，并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.图2教师在与学生的一起探究活动中，应特别点拨引导学生注意：(1)两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积；(2)零向量与任一向量的数量积为0，即a ·0＝0；(3)符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；(4)当0≤θ<π2时cosθ>0，从而a·b >0；当π2<θ≤π时，cosθ<0，从而a·b <0.与学生共同探究并证明数量积的运算律．已知a ，b ，c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：①a·b ＝b·a (交换律)；②(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(数乘结合律)；③(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c (分配律)．特别是：(1)当a ≠0时，由a·b ＝0不能推出b 一定是零向量．这是因为任一与a 垂直的非零向量b ，都有a·b ＝0.(2)已知实数a 、b 、c(b≠0)，则ab ＝bc a ＝c ，但对向量的数量积，该推理不正确，即a·b＝b·c不能推出a＝c.由图3很容易看出，虽然a·b＝b·c，但a≠c.图3(3)对于实数a、b、c有(a·b)c＝a(b·c)，但对于向量a、b、c，(a·b)c＝a(b·c)不成立．这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)不成立．讨论结果：由向量数量积的定义可知，当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a.应用示例思路1例1见课本本节例1.例2已知|a|＝3，|b|＝4，且a 与b 不共线．当k 为何值时，向量a ＋k b 与a －k b 互相垂直？活动：教师引导学生利用数量积的性质来求两向量垂直需满足的条件，教师可让学生独立完成，可找几个学生到黑板上去演练．解：a ＋k b 与a －k b 互相垂直的条件是(a ＋k b )·(a －k b )＝0，即a 2－k 2b 2＝0.∵a 2＝32＝9，b 2＝42＝16，∴9－16k 2＝0.∴k＝±34. 也就是说，当k ＝±34时，a ＋k b 与a －k b 互相垂直． 点评：本题主要考查向量的数量积性质中垂直的条件.思路2例1已知四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DA →＝d ，且a·b ＝c·d ＝b·c ＝d·a ，试问四边形ABCD 的形状如何？活动：教师引导学生总结如何判断四边形的形状．利用向量的关系来判断四边形的形状，就是借助两个向量的共线或者垂直来判断四边形是平行四边形或是矩形．教师先让学生明确四边形各边的位置关系与长度关系，这可以借助向量的有关运算来完成．解：∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，即a ＋b ＋c ＋d ＝0，∴a ＋b ＝－(c ＋d )．由上可得(a ＋b )2＝(c ＋d )2，即a 2＋2a·b ＋b 2＝c 2＋2c·d ＋d 2.又∵a·b ＝c·d ，故a 2＋b 2＝c 2＋d 2.同理，可得a 2＋d 2＝b 2＋c 2.由上两式可得a 2＝c 2，且b 2＝d 2.即|a|＝|c|，且|b|＝|d |，也即AB ＝CD ，且BC ＝DA.∴四边形ABCD 是平行四边形．故AB →＝－CD →，即a ＝－c .又a·b ＝b·c ＝－a·b ，即a·b ＝0，∴a ⊥b .即AB →⊥BC →.综上所述，四边形ABCD 是矩形．点评：本题考查的是向量数量积的性质应用，利用向量的数量积解决有关垂直问题，然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状．例2已知a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |，|b |＝|a ＋b |，求向量b 与a －b 的夹角． 解：∵|b|＝|a ＋b|，|b|＝|a|，∴b 2＝(a ＋b )2.∴|b|2＝|a|2＋2a·b ＋|b|2.∴a·b ＝－12|b|2.而b·(a －b )＝b·a －b 2＝－12|b|2－|b|2＝－32|b |2，①由(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝|b|2－2×(－12)|b|2＋|b|2＝3|b|2，而|a －b|2＝(a －b )2＝3|b|2，∴|a －b|＝3|b|.②设a 与a －b 的夹角为θ，则cosθ＝b·a －b |b||a －b|， 代入①②，得cosθ＝－32|b|2|b|×3|b|＝－32. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6. 点评：本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角的问题，解完后教师及时引导学生对本解法进行反思、总结、体会.知能训练判断正误，并简要说明理由．①a ·0＝0；②0·a ＝0；③0－AB →＝BA →；④|a·b|＝|a||b |；⑤若a ≠0，则对任一非零b 有a·b ≠0；⑥a·b ＝0，则a 与b 中至少有一个为0；⑦对任意向量a ，b ，c 都有(a·b )c＝a(b·c)；⑧a与b是两个单位向量，则a2＝b2.解：上述8个命题中只有③⑧正确．对于①，两个向量的数量积是一个实数，应有0·a＝0；对于②，应有0·a＝0；对于④，由数量积定义有|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a||b|，这里θ是a与b的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有|a·b|＝|a||b|；对于⑤，若非零向量a、b垂直，有a·b＝0；对于⑥，由a·b＝0可知a⊥b，可以都非零；对于⑦，若a与c共线，记a＝λc，则a·b＝(λc)·b＝λ(c·b)＝λ(b·c)，∴(a·b)c＝λ(b·c)c＝(b·c)λc＝(b·c)a.若a与c不共线，则(a·b)c≠(b·c)a.课堂小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识，数量积的定义、运算，数量积的重要性质，数量积的运算律．2．教师与学生总结本节学习的数学方法：归纳类比、定义法、数形结合等．在领悟数学思想方法的同时，鼓励学生多角度、发散性的思考问题，并鼓励学生进行一题多解．作业课本习题2.4 1、2、3、4、5.设计感想1．本节的重点是平面向量数量积的概念，以及平面向量数量积的运算律，难点是平面向量数量积的应用．利用平面向量的数量积可以解决一些垂直问题，或者解决有关夹角问题．我们发现向量的引入使高中物理学科中的矢量理论有了数学依据，两门学科相互呼应，既可以促进高中学生对两门学科知识更好地理解和吸收，也有助于理科学生高中学习后期整个知识结构体系的整合．其实，“向量”和“矢量”是在数学和物理两门学科对同一量的两种不同称呼而已．在物理学中，矢量是相对于有大小而没有方向的“标量”的另一类重要物理量．几乎全部的高中物理学理论都是通过这两类量来阐释的．矢量广泛地应用于力学(如力，速度，加速度等)和电学(如电流方向，电场强度等)理论之中，在高中新教材中引入向量的数量积后，物理中的功和压强等就自然地形成．对向量进行系统深入的学习和研究，对学生在物理课上学习和理解矢量和标量的知识无疑将提供一个数学根据和许多运算便利．同样，学生在物理课上碰到的与矢量有关的物理实际又会使他们对向量有更深入的了解，并激发他们学习向量知识的兴趣和热情．如在力学中，对力、速度等的分解和合成，使用的就是向量的加减理论，数学和物理的完美结合，起到异曲同工之作用．2．本节的重要性是显而易见的，但本节有几个常见思维误区：不能正确理解向量夹角的定义，对于两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因此向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区．同时利用向量的数量积不但可以解决两向量垂直问题，而且还可以解决两向量共线问题，要深刻理解两向量共线、垂直的充要条件，应用的时候才能得心应手．备课资料一、向量的向量积在物理学中，由于讨论像力矩以及物体绕轴旋转时的角速度与线速度之间的关系等这类问题的需要，就必须引进两向量乘法的另一运算——向量的向量积．定义如下：两个向量a与b的向量积是一个新的向量c：(1)c的模等于以a及b两个向量为边所作成的平行四边形的面积；(2)c垂直于平行四边形所在的平面；(3)其指向使a、b、c三向量成右手系——设想一个人站在c处观看a与b时，a按逆时针方向旋转一个小于180°的角而达到b.向量a与b的向量积记作a×b.设a与b两个向量的夹角为θ，则|a×b|＝|a||b|sinθ.(1) (2)图4在上面的定义中已默认了a、b为非零向量，若这两个向量中至少有一个是零向量，则a×b＝0.向量的向量积服从以下运算律：(1)a×b＝－b×a；(2)a×(b＋c)＝a×b＋a×c；(3)(m a)×b＝m(a×b)．二、备用习题1．已知a，b，c是非零向量，则下列四个命题中正确的个数为( )①|a·b|＝|a||b|a∥b②a与b反向a·b＝－|a||b|③a⊥b|a＋b|＝|a－b|④|a|＝|b||a·c|＝|b·c|A．1 B．2C ．3D ．42．有下列四个命题：①在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则△ABC 是锐角三角形；②在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则△ABC 为钝角三角形；③△ABC 为直角三角形AB →·BC →＝0；④△ABC 为斜三角形AB →·BC →≠0.其中为真命题的是( )A ．①B ．②C ．③ D．④3．设|a |＝8，e 为单位向量，a 与e 的夹角为60°，则a 在e 方向上的投影为( )A ．4 3B ．4C ．4 2 D.324．设a ，b ，c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，有下列四个命题： ①(a·b )c －(c·a )b ＝0；②|a|－|b|<|a －b |；③(b·c )a －(c·a )b 不与c 垂直；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a|2－4|b |2.其中正确的是( )A ．①② B．②③C ．③④ D．②④5．在△ABC 中，设AB →＝b ，AC →＝c ，则|b||c|2－b·c 2等于( )A ．0 B.12S △ABC C ．S △ABC D ．2S △ABC6．设i 、j 是平面直角坐标系中x 轴、y 轴方向上的单位向量，且a ＝(m ＋1)i －3j ，b ＝i ＋(m －1)j ，如果(a ＋b )⊥(a －b )，则实数m ＝________.7．若向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a·b ＋b·c ＋c·a ＝________.8．设|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为150°，求：(1)(a －3b )·(2a ＋b )；(2)|3a －4b |.9．已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为45°，且向量λa ＋b 与a ＋λb 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．10．已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为π3，求向量m ＝2a ＋b 与向量n ＝a －4b 的夹角的余弦值．参考答案：1．C 2.B 3.B 4.D 5.D6．－2 7.－138．(1)－30＋303； (2)337＋144 3.9．{λ|λ<－11－856或λ>－11＋856且λ≠1}． 10．解：由向量的数量积的定义得a·b ＝2×1×cosπ3＝1. ∵m ＝2a ＋b ，∴m 2＝4a 2＋b 2＋4a·b ＝4×4＋1＋4×1＝21，∴|m |＝21.又∵n ＝a －4b ，∴n 2＝a 2＋16b 2－8a·b ＝4＋16－8＝12.∴|n |＝2 3.设m 与n 的夹角为θ，则m·n ＝|m||n |cosθ.①又m·n ＝2a 2－7a·b －4b 2＝2×4－7－4＝－3， 把m·n ＝－3，|m|＝21，|n|＝23代入①式，得－3＝21×23cosθ，∴cosθ＝－714， 即向量m 与向量n 的夹角的余弦值为－714. (设计者：仇玉法)第2课时导入新课思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，其运算的表示方式也会改变．向量的坐标表示，为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便．上一节，我们学习了平面向量的数量积，那么向量的坐标表示，对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题．思路2.在平面直角坐标系中，平面向量可以用有序实数对来表示，两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来，那么学习了平面向量的数量积之后，它能否用坐标来表示？若能，如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时，平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示，在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示．推进新课新知探究1．平面向量的数量积的坐标表示和运算，向量垂直的坐标表示．2．由向量的坐标计算其数量积并由坐标形式求两个向量的夹角．3．运用向量垂直的坐标表示的条件解决一些综合问题．活动：平面向量的数量积这个实数如何用坐标表示，是培养学生数形结合这种重要思想方法的很好内容，在教学中抓住数形结合这条主线，不但推出了两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，推出平面内两点间的距离公式，并应用平面向量的数量积的坐标表示解决问题，这样不但能够提高学生的解题能力，而且培养学生会运用数形结合这种重要思想方法．本节课开始时应向学生指出：对平面向量的数量积的研究不能仅仅停留在几何角度，还要寻求其坐标表示；在引入新知识之前应复习前面的有关知识，如平面向量，两个向量的和与差，实数与向量的积的坐标表示，以及平面向量的基本定理．应将平面向量数量积的两种形式结合起来，交待等式a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．这个等式体现了数与形的结合，揭示了数与形的内在联系．教学中还应注意设计综合性问题，加强与前段知识的联系．若两个向量为a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何用a，b的坐标来表示它们的数量积a·b?设i，j分别是x轴和y轴上的单位向量，则i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0.∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1i·j＋y1y2j2.又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，∴a·b＝x1x2＋y1y2.教师给出结论性的总结，由此可归纳如下：(1)平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(2)向量模的坐标表示若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝x2＋y2.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，那么a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝x2－x12＋y2－y12.(3)两向量垂直的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b x1x2＋y1y2＝0.(4)两向量夹角的坐标表示设a、b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得：cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.特别地，若a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0；反之，若x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b.应用示例例1课本本节例2.例2课本本节例3.变式训练1．(1)已知三点A(2，－2)，B(5,1)，C(1,4)，求∠BAC的余弦值；(2)a＝(3,0)，b＝(－5,5)，求a与b的夹角．活动：教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)的数量积a·b ＝x1x2＋y1y2和模|a|＝x21＋y21，|b|＝x22＋y22的积，其比值就是这两个向量夹角的余弦值，即cosθ＝a·b |a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时，需注意两向量夹角的范围是0≤θ≤π.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚，以免出现不必要的错误．解：(1)AB →＝(5,1)－(2，－2)＝(3,3)，AC →＝(1,4)－(2，－2)＝(－1,6)，∴AB →·AC →＝3×(－1)＋3×6＝15.又∵|AB →|＝32＋32＝32，|AC →|＝－12＋62＝37， ∴cos∠BAC＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝1532×37＝57474. (2)a·b ＝3×(－5)＋0×5＝－15，|a|＝3，|b |＝5 2.设a 与b 的夹角为θ，则cosθ＝a·b |a||b |＝－153×52＝－22. 又∵0≤θ≤π，∴θ＝3π4. 点评：本题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角．利用基本公式进行运算与求解主要是对基础知识的巩固与提高．2．设a ＝(5，－7)，b ＝(－6，－4)，求a·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1°)． 解：a·b ＝5×(－6)＋(－7)×(－4)＝－30＋28＝－2.|a |＝52＋72＝74，|b |＝－62＋－42＝52， 由计算器得cosθ＝－274×52≈－0.03. 利用计算器得θ≈92°.例3课本本节例4.例4已知|a|＝3，b＝(2,3)，试分别解答下面两个问题：(1)若a⊥b，求a；(2)若a∥b，求a.活动：对平面中的两向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，向量垂直的坐标表示x1x2＋y1y2＝0与向量共线的坐标表示x1y2－x2y1＝0很容易混淆，要让学生在应用中深刻领悟其本质属性，两向量垂直是a·b＝0，而共线是方向相同或相反．教师可多加强反例练习，多给出这两种类型的同式变形训练，以此巩固并能熟练地掌握和运用．解：(1)设a ＝(x ，y)，由|a |＝3且a ⊥b ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝|a |2＝9，2x ＋3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－91313，y ＝61313或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝91313，y ＝－61313， ∴a ＝(－91313，61313)或a ＝(91313，－61313)． (2)设a ＝(x ，y)，由|a |＝3且a ∥b ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝|a |2＝9，3x －2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝61313，y ＝91313或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－61313，y ＝－91313，∴a ＝(61313，91313)或a ＝(－61313，－91313)． 点评：本题主要考查学生对公式的掌握情况，学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断垂直或者共线，也能熟练地进行公式的逆用，利用已知关系来求向量的坐标.知能训练课本练习1～8.课堂小结1．在知识层面上，先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示，向量的模，两向量的夹角，向量垂直的条件．其次引导学生总结数量积的坐标运算规律，夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示．2．在思想方法上，教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法，定义法，待定系数法等．作业课本习题2.4 8、9、10.设计感想1．由于本节课是对平面向量的进一步探究与应用，是对平面向量几何意义的综合研究提高，因此教案设计流程是探究、发现、应用、提高，这符合新课程理念，符合新课标要求．我们知道平面向量的数量积是本章最重要的内容，也是高考中的重点，既有选择题、填空题，也有解答题(大多与立体几何、解析几何一起综合考查)，故学习时要熟练掌握基本概念和性质及其综合运用．而且数量积的坐标表示又是向量运算的一个重要内容，用坐标表示直角坐标平面内点的位置，是解析几何的一个基本特征，从而以坐标为桥梁可以建立向量与解析几何的内在联系．以三角函数表示点的坐标，又可以沟通向量与三角函数的相互关系，由此就产生出一类向量与解析几何及三角函数交汇的综合性问题．2．本节课学习的重点是两个向量数量积的坐标表示；两个向量垂直的坐标表示以及利用向量数量积的坐标表示解决有关的几何问题．本节学习的难点是建立向量与坐标之间的关系．平面向量数量积的坐标表示使得向量数量积的应用更为方便，也拓宽了向量应用的途径，通过学习本节的内容，要更加加深对向量数量积概念的理解．同时善于运用坐标形式运算解决数量问题，尤其是有关向量的夹角、长度、垂直等，往往可以使问题简单化．灵活使用坐标形式，综合处理向量的线性运算、数量积、平行等，综合地解决向量综合题，体现数形结合的思想．在本节的学习中可以通过对实际问题的抽象来培养学生分析问题、解决问题和应用知识解决问题的意识与能力．备课资料一、|a·b|≤|a||b|的应用若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则平面向量的数量积的性质|a·b|≤|a||b|的坐标表示为x1x2＋y1y2≤x21＋y21x22＋y22 (x1x2＋y1y2)2≤(x21＋y21)(x22＋y22)．不等式(x1x2＋y1y2)2≤(x21＋y21)(x22＋y22)有着非常广泛的应用，由此还可以推广到一般(柯西不等式)：(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2≤(a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n )．例1(1)已知实数x ，y 满足x ＋y －4＝0，则x 2＋y 2的最小值是________；(2)已知实数x ，y 满足(x ＋2)2＋y 2＝1，则2x －y 的最大值是________．解析：(1)令m ＝(x ，y)，n ＝(1,1)．∵|m ·n |≤|m ||n |，∴|x＋y|≤x 2＋y 2·2，即2(x 2＋y 2)≥(x＋y)2＝16.∴x 2＋y 2≥8.故x 2＋y 2的最小值是8.(2)令m ＝(x ＋2，y)，n ＝(2，－1)，2x －y ＝t.由|m ·n |≤|m ||n |，得|2(x ＋2)－y|≤x ＋22＋y 2·5＝5，即|t ＋4|≤5， 解得－4－5≤t≤5－4，故所求的最大值是5－4.答案：(1)8 (2)5－4例2已知a ，b∈R ，θ∈(0，π2)，试比较a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ与(a ＋b)2的大小． 解：构造向量m ＝(a cosθ，b sinθ)，n ＝(cosθ，sinθ)，由|m ·n |≤|m ||n |得 (a cosθcosθ＋b sinθsinθ)2≤(a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)， ∴(a＋b)2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ. 同类变式：已知a ，b∈R ，m ，n∈R ，且mn≠0，m 2n 2>a 2m 2＋b 2n 2，令M ＝m 2＋n 2，N ＝a ＋b ，比较M 、N 的大小． 解：构造向量p ＝(a n ，b m)，q ＝(n ，m)，由|p ·q |≤|p ||q |得 (a n ×n＋b m ×m)2≤(a 2n 2＋b 2m 2)(m 2＋n 2)＝a 2m 2＋b 2n 2n 2m2(m 2＋n 2)<m 2＋n 2，∴M>N. 例3设a ，b∈R ，A ＝{(x ，y)|x ＝n ，y ＝na ＋b ，n∈Z }，B ＝{(x ，y)|x ＝m ，y ＝3m 2＋15，m∈Z }，C ＝{(x ，y)|x 2＋y 2≤144}是直角坐标平面xOy 内的点集，讨论是否存在a 和b ，使得A∩B≠∅与(a ，b)∈C 能同时成立．解：此问题等价于探求a 、b 是否存在的问题，它满足⎩⎪⎨⎪⎧ na ＋b ＝3n 2＋15，①a 2＋b 2≤144.②设存在a和b 满足①②两式，构造向量m ＝(a ，b)，n ＝(n,1)．由|m ·n |2≤|m |2|n |2得(na ＋b)2≤(n 2＋1)(a 2＋b 2)，∴(3n 2＋15)2≤144(n 2＋1) ⇒n 4－6n 2＋9≤0. 解得n ＝±3，这与n∈Z 矛盾，故不存在a 和b 满足条件．二、备用习题1．若a ＝(2，－3)，b ＝(x,2x)，且a ·b ＝43，则x 等于( ) A ．3 B.13 C ．－13D ．－3 2．设a ＝(1,2)，b ＝(1，m)，若a 与b 的夹角为钝角，则m 的取值范围是( )A ．m>12B ．m<12C ．m>－12D ．m<－123．若a ＝(cosα，sinα)，b ＝(cosβ，sinβ)，则( )A ．a ⊥bB ．a ∥bC ．(a ＋b )⊥(a －b )D ．(a ＋b )∥(a －b )4．与a ＝(u ，v)垂直的单位向量是( )A ．(－v u 2＋v 2，u u 2＋v2) B ．(v u 2＋v 2，－u u 2＋v2) C ．(v u 2＋v 2，u u 2＋v2) D ．(－v u 2＋v 2，u u 2＋v 2)或(v u 2＋v 2，－u u 2＋v2) 5．已知a ，b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角．6．已知△ABC 的三个顶点为A(1,1)，B(3,1)，C(4,5)，求△ABC 的面积．参考答案：1．C 2.D 3.C 4.D5．解：由已知(a ＋3b )⊥(7a －5b ) (a ＋3b )·(7a －5b )＝0 7a 2＋16a ·b －15b 2＝0，① 又(a －4b )⊥(7a －2b ) (a －4b )·(7a －2b )＝0 7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0，②①－②得46a ·b ＝23b 2，即a ·b ＝b 22＝|b |22.③ 将③代入①式可得7|a |2＋8|b |2－15|b |2＝0，即|a |2＝|b |2，有|a |＝|b |，∴若记a 与b 的夹角为θ，则cosθ＝a ·b |a ||b |＝|b |22|b ||b |＝12. 又θ∈[0°，180°]，∴θ＝60°，即a 与b 的夹角为60°.6．分析：S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin∠BAC，而|AB →|，|AC →|易求，要求sin∠BAC 可先求出cos∠BAC.解：∵AB →＝(2,0)，AC →＝(3,4)，|AB →|＝2，|AC →|＝5，∴cos∠BAC＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝2×3＋0×42×5＝35.∴sin∠BAC＝45. ∴S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin∠BAC＝12×2×5×45＝4. 三、新教材新教法的二十四个“化”字诀新课导入新颖化，揭示概念美丽化；纵横相联过程化，探索讨论热烈化；探究例题多变化，引导思路发散化；学生活动主体化，一石激浪点拨化；大胆猜想多样化，论证应用规律化；变式训练探究化，课堂教学艺术化；学法指导个性化，对待学生情感化；作业抛砖引玉化，选题质量层次化；学生学习研究化，知识方法思想化；抓住闪光激励化，教学相长平等化；教学意识超前化，与时俱进媒体化；灵活创新智慧化，学生素质国际化．(设计者：仇玉法)附：2．4 向量的数量积第1课时作者：蒋国庆，江苏省泰兴市第四高级中学教师，本教学设计获江苏省教学设计大赛一等奖．整体设计在《普通高中课程标准实验教科书·数学4(必修)》中，2.4平面向量的数量积约用3课时完成．本文从教材分析、目标分析、教学过程、设计说明等几个方面系统阐述第1课时的教学设计．教材分析1．教材的地位和作用向量在物理学中的应用非常广泛，在解析几何中应用更为直接，用向量方法特别便于研究涉及空间里直线与平面的各种问题．平面向量的数量积是向量的基本运算之一，在处理有关长度、角度和垂直问题等方面有很好的应用．“平面向量的数量积”是《平面向量》中的基础知识与重点内容．2．教学重点与难点本节课的重点是理解平面向量的数量积的概念及运算律，这也是本节课的难点．目标分析通过本节课的教学，预计达到下面三个目标：1．知识目标：理解平面向量的数量积的概念；能用公式和运算律进行计算．2．能力目标：培养学生的理性思维能力、创造性思维能力、逻辑思维能力和思维的批判性．3．情感目标：鼓励学生探索发现规律，激发学生学习数学的兴趣．学法分析向量的数量积的结果是一个数量，而不是一个向量．像这样的运算结果与运算对象不在同一“范围”内的运算，学生首次接触，理解上有一定的困难，本文的教学设计准备通过预设的系列问题，发动学生进行合作讨论，调动学生参与到探索中来，让他们总结规律，从而充分经历，体验“发现定义”的过程．教学过程本节课共分四大环节：理解定义、总结性质、学习运算律、巩固训练．1．理解定义教学设想：首先引导学生复习已学过的向量运算，并与实数的加法、减法及实数的乘法进行比较，让学生大胆思维，猜想有无这样的向量运算，结果是一个数量而不是一个向量？在数学上，以前肯定没学过．引导学生进一步联想，在物理上见过两个矢量运算的结果是一个标量的例子吗？有部分学生联想到力对物体作用产生的位移所做的功，力F是一个向量，位移s是一个向量，而功W是一个标量，这时又让学生思考相应的物理公式W＝|F||s|cosθ，这样就为向量数量积概念的引入做了一个积极的铺垫．通过学生联想类比物理学中的“功”，找到向量数量积的原型；通过讨论求功运算的特点，进而抽象出向量数量积的定义．这一过程培养了学生的发散性思维能力及创造性思维能力．复习思考：运算结果向量的加法―→向量向量的减法―→向量实数与向量的乘法―→向量两个向量的乘法―→？？？？。
高中新课程数学(苏教版必修四)《2.4.1.1 向量的数量积》课件
名师点睛 1．平面向量的数量积 (1)两个向量的数量积 a· b 是两个向量之间的一种规定的运算， 其结果不再是向量，而是数量，它的符号与两向量夹角的余弦值 的符号相同． (2)两个向量 a，b 的数量积 a· b 与代数中两个数 a，b 的乘积 ab(或 a· b)不同，但又类似，书写时一定要严格区分．a· b 中的“· ” 不能省略，也不能写成“×”形式．
题型一
向量数量积的运算
【例 1】 (1)已知|a|＝4，|b|＝5，且向量 a 与 b 的夹角为 60° ， 求(2a＋3b)· (3a－2b)； (2)在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，AB＝5，AC＝4， →· →. 求AB BC
[思路探索] 运用向量数量积的定义及运算律展开求解．
解
(1)(2a ＋ 3b)· (3a － 2b) ＝ 6a2 － 4a· b ＋ 9a· b － 6b2 ＝ 6×42 ＋
【核心扫描】 1．平面向量的数量积及其运算律．(重点) 2．向量数量积的应用．(难点)
自学导引 1．向量的夹角
→ ＝ a ， OB → ＝ b ，则∠ AOB ＝ 已知两个非零向量 a ， b ，作 OA θ(0≤θ≤π)叫做 a 与 b 的夹角．当 θ＝0 时，a 与 b同向；当 θ ＝ π π 反向 时，a 与 b ．如果 a 与 b 的夹角是2，则称 a 与 b 垂直，记 作 a⊥b.
→ → 性质：(1)从图可以看出OA与OB的夹角是 θ，但由向量夹角的 → → 定义可知OA与OB的夹角不是 θ，而是 π－θ . (2)向量夹角是针对非零向量定义的． (3)两个非零平面向量夹角范围是 [0，π] ．
2．平面向量数量积 (1)定义：已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|· cos θ 叫 做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a· b，即 a· b＝|a||b|· cos θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角． (2)规定：零向量与任一向量的数量积为 0 . 试一试：由向量数量积的定义，判断两向量夹角与数量积的 关系．
必修四 2.4平面向量数量积导学案 导学案
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义【课标要求】1、掌握平面向量数量积的意义，体会数量积与投影的关系。
2、平面向量积的重要性质及运算律。
【考纲要求】1、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
2、会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
【学习目标叙写】1、知道平面向量数量积的物理意义，记住其含义；2、会用向量数量积的公式解决相关问题；3、记住数量积的几个重要性质。
4、【使用说明与学法指导】先阅读教材P103-P105.在理解物理学中作“功”的实例引出数量积的几何概念之后，学习向量数量积的性质与运算律。
【预习案】1.____________________叫做a b r r与的夹角。
2.已知两个____向量a b r r 与，我们把_________叫a b r r与的数量积。
（或______）记作_________即a b ⋅r r ＝_________________其中θ是a b r r与的夹角。
___________叫做向量a b r r在方向上__。
3.零向量与任意向量的数量积为_________。
4.平面向量数量积的性质：设a b r r与均为非零向量：①a b ⊥⇔r r ___________②当a b r r 与同向时，a b •r r ＝_____ 当a b r r与反向时，a b •r r ＝_____，特别地，a b •r r ＝________或a =r_________。
③cos =θ_________ ④a b ⋅r r_____________ 5. a b •r r的几何意义：______________ _____ 6.向量的数量积满足下列运算律已知向量a b c r r r ，，与实数λ。
①a b ⋅r r＝__ _ （___律）②()a b λ⋅r r＝___ __ __③()a+b c ⋅r r r＝_____ __【探究案】例1.已知a =4,b =2a b r r r r且与的夹角为120º，则a b=•r r例2.已知ABC V 中，AB =AC =4AB AC=8•u u u r u u u v u u u v且，则这三角形的形状为______________。
高中数学(苏教版)必修4精品教学案全集：第2章第四课时向量的数乘(一)
第四课时向量的数乘(一)教学目标：掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律，理解两个向量共线的条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行.教学重点：实数与向量积的定义；实数与向量积的运算律；教学难点：对向量共线的理解.教学过程：Ⅰ.复习回顾前面两节课，我们一起学习了向量加减法运算.这一节，我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简便计算及其推广.Ⅱ.讲授新课在代数运算中，a＋a＋a＝3a，故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，所以相同向量的求和运算也有类似的简便计算.上述过程推广后即为实数与向量的积.1.实数与向量的积实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)(2)根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律.2.实数与向量的积的运算律(1)(2)(3)说明：对于运算律的验证要求学生通过作图来进行.3.向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λa.说明：(1)推证过程引导学生自学；(2)可让学生思考把“非零向量”的“非零”去掉后，是否正确，目的是通过0与任意向量的平行来加强学生对于充要条件的认识.下面我们通过例题分析来进一步熟悉向量与实数积的定义、运算律及两向量共线的充要条件的应用.［例1］若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，求m，n.分析：此题可把已知条件看作向量m、n的方程，通过方程组的求解获得m、n.解：评述：在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.［例2］凸四边形ABCD的边AD、BC的中点分别为E、F，求证EF→＝12(AB→＋DC→).证法一：构造三角形，使EF作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决.证法二：创造相同起点，以建立向量间关系Ⅲ.课堂练习课本P66练习1，2，3，4.Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家掌握实数与向量的积的定义，掌握实数与向量的积的运算律，理解两个向量共线的充要条件，并能在解题中加以运用.Ⅴ.课后作业课本P68习题 5，6，7。
苏教版高中数学必修四向量的数量积教案(4)
第 10 课时：§2.4 向量的数量积（二）【三维目标】：一、知识与技能1. 掌握平面向量数量积运算规律，能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题.2. 掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题 二、过程与方法1.通过师生互动，学生自主探究、交流与合作培养学生探求新知及合作能力；2.通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力；3.让学生充分经历，体验数量积的运算律以及解题的规律。
三、情感、态度与价值观1.让学生进一步领悟数形结合的思想；2.让学生进一步理解向量的数量积，进一步激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.【教学重点与难点】：重点：运算律的理解和平面向量数量积的应用 难点：平面向量的数量积运算律的理解 【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题【复习提问】：1.（1）两个非零向量夹角的概念； （2）平面向量数量积（内积）的定义； （3）“投影”的概念；（4）向量数量积的几何意义； （5）两个向量的数量积的性质。
2．判断下列各题正确与否：①若0a =r r ，则对任一向量b r ，有0a b ⋅=r r； ( √ ) ②若0a ≠r r ，则对任一非零向量b r ，有0a b ⋅≠r r； ( × ) ③若0a ≠r r ，0a b ⋅=r r ，则0b =r r； ( × )④若0a b ⋅=r r ，则,a b r r至少有一个为零向量； ( × ) ⑤若a b a c ⋅=⋅r r r r ，则b c =r r 当且仅当0a ≠r r时成立； ( × )⑥对任意向量a r ，有22||a a =r r ． ( √ )二、研探新知1.数量积的运算律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）（1）交换律：a b b a ⋅=⋅r r r r证明：设,a b r r 夹角为θ，则||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅r r r r ，||||cos b a b a θ⋅=⋅⋅r r r r，∴a b b a ⋅=⋅r r r r ． （2）数乘结合律：()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r证明：若0=λ，此式显然成立.若0λ>，()||||cos a b a b λλθ⋅=r r r r ， ()||||cos a b a b λλθ⋅=r r r r，()||||cos a b a b λλθ⋅=r r r r ，∴()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r若0λ<，()||||cos()||||(cos )||||cos a b a b a b a b λλπθλθλθ⋅=-=--=r r r r r r r r，()||||cos a b a b λλθ⋅=r r r r，()||||cos()||||(cos )||||cos a b a b a b a b λλπθλθλθ⋅=-=--=r r r r r r r r．∴()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r综上可知()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r成立.（3）分配律：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅r r r r r r r．在平面内取一点O ，作−→−OA =a r , −→−AB =b r，−→−OC =c r ，∵a b +r r （即−→−OB ）在c r 方向上的投影等于,a b r r 在c r 方向上的投影和，即：12||cos ||cos ||cos a b a b θθθ+=+r r r r∴12||||cos ||||cos ||||cos c a b c a c b θθθ+=+r r r r r r r ，∴()c a b c a c b ⋅+=⋅+⋅r r r r r r r即：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅r r r r r r r ．【说明】：（1）一般地，(a b ⋅r r)·c r ≠a r ·（b r ·c r ）（2）a r ·c r ＝b r ·c r ，c r ≠0ra r ＝b r（3）有如下常用性质：a r 2＝|a r |2,(a r ＋b r )2＝a r 2＋２a b ⋅r r ＋b r 2θθ1θ2a rb rABO Cc r（a r ＋b r ）·（c r ＋d u r ）＝a r ·c r ＋a r ·d u r ＋b r ·c r ＋b r ·d u r,2 向量的数量积不满足结合律分析：若有（a b ⋅r r ）c r ＝a r （b r ·c r ），设a r 、b r 夹角为σ，b r 、c r 夹角为β，则(a b ⋅r r )c r＝|a r |·|b r |cos α·c r ，a r ·(b r ·c r )＝a r ·|b r ||c r |cos β，∴若a r ＝c r ，α＝β，则|a r |＝|c r |，进而有：（a b ⋅r r ）c r ＝a r ·(b r •c r )，这是一种特殊情形，一般情况下不成立。
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第1课时向量的数量积学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，了解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直．知识点一平面向量的数量积一个物体在力F的作用下产生位移s，如图．思考1如何计算这个力所做的功？思考2力做功的大小与哪些量有关？梳理平面向量的数量积(1)已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的______(或______)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.(2)我们规定：零向量与任一向量的数量积为________．特别提醒：两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，其大小与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值的符号决定．知识点二 两个向量的夹角思考 把两个非零向量的起点移至同一点，那么这两个向量构成的图形是什么？梳理 两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，如图所示．作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ，称为向量a 与b 的夹角．(2)范围：________________.(3)当θ＝________时，a 与b 同向；当θ＝________时，a 与b 反向．(4)当θ＝________时，则称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b .知识点三 平面向量数量积的几何意义思考1 什么叫做向量b 在向量a 上的投影？什么叫做向量a 在向量b 上的投影？思考2 向量b 在向量a 上的投影与向量a 在向量b 上的投影相同吗？梳理 (1)条件：向量a 与b 的夹角为θ.(2)投影：(3)a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与________________________________的乘积．知识点四平面向量数量积的性质及运算律思考1向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？思考2非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？梳理(1)数量积性质①当a与b同向时，a·b＝|a||b|；②当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；③当a⊥b时，a·b＝0；④a·a＝|a|2或|a|＝a·a.(2)数量积的运算律①a·b＝b·a；②(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b；③(a＋b)·c＝a·c＋b·c.类型一求两向量的数量积例1已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．反思与感悟 求平面向量数量积的步骤是：(1)求a 与b 的夹角θ，θ∈[0°，180°]；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即a·b ＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a 与b 之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去．跟踪训练1 已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →＝________.类型二 求向量的模例2 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.引申探究若本例中条件不变，求|2a ＋b |，|a －2b |.反思与感悟 此类求解向量模的问题就是要灵活应用a 2＝|a |2，即|a |＝a 2，勿忘记开方． 跟踪训练2 已知|a |＝|b |＝5，且|3a －2b |＝5，求|3a ＋b |的值．类型三 求向量的夹角例3 设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．反思与感悟 求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．跟踪训练3 已知|a |＝2|b |＝2，且a ·b ＝－1.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求(a －2b )·b ；(3)当λ为何值时，向量λa ＋b 与向量a －3b 互相垂直？1．已知|a |＝8，|b |＝4，〈a ，b 〉＝120°，则向量b 在a 方向上的投影为________．2．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝________.3．若a ⊥b ，c 与a 及与b 的夹角均为60°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则(a ＋2b －c )2＝_____.4．在△ABC 中，|AB →|＝13，|BC →|＝5，|CA →|＝12，则AB →·BC →的值是________．5．已知正三角形ABC 的边长为1，求：(1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →.1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0，0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0，90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)．2．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆．3．a·b ＝|a||b |cos θ中，|b |cos θ和|a |cos θ分别叫做b 在a 方向上的投影和a 在b 方向上的投影，要结合图形严格区分．4．求投影有两种方法(1)b 在a 方向上的投影为|b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)，a 在b 方向上的投影为|a |cos θ.(2)b 在a 方向上的投影为a ·b |a|，a 在b 方向上的投影为a ·b |b |. 5．两非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a ·b ＝0，求向量模时要灵活运用公式|a |＝a 2.答案精析问题导学知识点一思考1 W ＝|F ||s |cos θ.思考2 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．梳理 (1)数量积 内积 (2)0知识点二思考 角．梳理 (2)0°≤θ≤180° (3)0° 180° (4)90°知识点三思考1 如图所示，OA →＝a ，OB →＝b ，过B 作BB 1垂直于直线OA ，垂足为B 1，则OB 1＝|b |cosθ.|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影，|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影．思考2 由投影的定义知，二者不一定相同．梳理 (3)b 在a 的方向上的投影|b |cos θ知识点四思考1 向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积是数量． 思考2 由两个非零向量的夹角决定．当0°≤θ＜90°时，非零向量的数量积为正数．当θ＝90°时，非零向量的数量积为零．当90°＜θ≤180°时，非零向量的数量积为负数．题型探究例1 解 (1)a ∥b ，若a 与b 同向，则θ＝0°，a ·b ＝|a ||b |cos 0°＝4×5＝20；若a 与b 反向，则θ＝180°，∴a ·b ＝|a ||b |cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.(2)当a ⊥b 时，θ＝90°，∴a ·b ＝|a ||b |cos 90°＝0.(3)当a 与b 的夹角为30°时，a ·b ＝|a ||b |cos 30°＝4×5×32＝10 3. 跟踪训练1 32a 2 例2 解 a·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×12＝252. |a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2 ＝25＋2×252＋25＝5 3. |a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a·b ＋|b |2 ＝25－2×252＋25＝5. 引申探究解 a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×12＝252， |2a ＋b |＝(2a ＋b )2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |2 ＝4×25＋4×252＋25＝57. |a －2b |＝(a －2b )2＝|a |2－4a ·b ＋4|b |2 ＝25－4×252＋4×25＝5 3. 跟踪训练2 解 |3a －2b |2＝9|a |2－12a ·b ＋4|b |2 ＝9×25－12a ·b ＋4×25＝325－12a ·b ， ∵|3a －2b |＝5，∴325－12a ·b ＝25， ∴a ·b ＝25.∴|3a ＋b |2＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2 ＝9×25＋6×25＋25＝400，故|3a ＋b |＝20.例3 解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°，∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12.|a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m·n ＝4×1＋1＋4×12＝7， |b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2＝4×1＋9×1－12m·n ＝4×1＋9×1－12×12＝7， a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2 ＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝－727×7＝－12. 又∵θ∈[0，π]， ∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3. 跟踪训练3 解 (1)∵|a |＝2|b |＝2， ∴|a |＝2，|b |＝1，∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－1，∴cos θ＝－12， 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3. (2)(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝－1－2＝－3.(3)∵λa ＋b 与a －3b 互相垂直， ∴(λa ＋b )·(a －3b )＝λa 2－3λa ·b ＋b ·a －3b 2＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝47. 当堂训练1．－2 2.1 3.11 4.－255．(1)12 (2)－12 (3)12。