相机建模问题

数码相机定位摘要：本文针对数码相机定位问题，主要是数码相机成像模型的讨论。

问题一：要建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标，这里首先要考虑到物平面和像平面存在的夹角问题，应该建立三维坐标系；利用空间坐标变换确定靶标上任意一点在像平面上的像坐标的算法模型，择切线法来求出靶标上的圆的圆心在像平面上的像坐标。

问题二：在实际计算中，假设图像是靶标的线性映射，因此用椭圆拟合图像轮廓，再利用线性映射中公切线交点为圆心的性质将公切点看做特征点，求解圆心的像素坐标，最后将像素坐标转换成像坐标。

求出圆心的像坐标为A(-50.8313,-49.2130)，B(-49.1781,-23.0004)，C(-44.8127,34.2860)，D(31.7288,19.3701)，E(31.5118,-59.5371)问题三：在对模型的精度和稳定性的分析时，由于图像识别的精度，实际得到的坐标是存在误差的；我们在圆外重新找了三个不共线点，找出他们在像坐标上的射影，与拍摄出来的图片对比,计算出偏移量检验稳定性和精度；前面的公切线确定圆心的方法误差在一个像素内。

问题四：模型可以看做两个单个的相机成像组合而成，通过成像原理的分析，得出两个相机的相对位置。

关键词：坐标变换、双目定位、最小二乘法、切线法、matlab一．问题重述数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。

所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。

最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。

对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。

只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。

于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。

图 1 靶标上圆的像标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点，同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。

然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。

实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了。

而它们的像一般会变形，如图1所示，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。

有人设计靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆。

以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆，如图2所示。

图 2 靶标示意图用一位置固定的数码相机摄得其像，如图3所示。

图3 靶标的像请你们：（1）建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的光学中心，x-y 平面平行于像平面；（2）对由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机的像距（即光学中心到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024×768； （3）设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论； （4）建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。

二．模型的建立2.1 模型符号的设定和说明Rij ——对应两点的距离ix ，iy ，i z——物平面的坐标x ，y ，z ——相机坐标系里的坐标'ix ，'iy ，'i z ——像平面的坐标,u v ——计算机图像坐标，以像素为单位R ——旋转正交矩阵 T ——平移矩阵2.2 模型建立2.2.1 问题一图为相机成像原理图数码相机成像原理涉及凹凸透镜的光学原理，凸透镜成像公式为1/f=1/u+1/v，另外考虑到照相时物距远远大于像距和焦距，光线又是穿过光学中心成像，所以凸透镜成像模型(如上面左图)可以转化为针孔成像模型（如上面右图）。

首先要建立一个模型来确定靶标上的任意圆的圆心在像平面上的像坐标。

已经知道了五个圆及它们之间的相对位置，再考虑到物平面和像平面之间的夹角，所成像会变形，这样一个不规则的图形的几何中心是无法确定的。

所以先确定标靶与像的关系。

靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标——公切线法求圆心：在二维平面中，考虑两不相交圆，对两个圆做公切线，它们的外公切线与内公切线分别交于A,B两点，则过A,B两点的直线经过它们的圆心，该直线叫正割线，因为射影变换中相交性和相切性不变，所以在像平面内经过A,B两点射影A’，B’的直线也经过两圆射影椭圆的圆心。

考虑三个不相交且圆心不共线圆时，像平面上是三个不相交椭圆，且圆心不共线。

从而得到三条不共线的正割线，因为每条正割线经过两个圆心，所以三条正割线的三个交点就是三个椭圆圆心。

实际求解：（1）求公切线上图是五个圆的公切线，我们已知射影变换中相交性和相切性不变，又有上面分析可知，在像平面中公切线的相交点即为圆心。

设两椭圆方程分别为22111111111110x b x y c y d x e y f +++++=，22222222222220x b x y c y d x e y f +++++= 考虑其中一条公切线，其切点分别为()()1122,,,x y x y ，将y Ax B =+代入椭圆方程，并令0∆=。

得：2221111111111(2)4(1)()0b B c AB d e A c A b A c B e B f ∆=+++-++++=2222222222222(2)4(1)()0b Bc A Bde A c A b A c B e Bf ∆=+++-++++= 因为21111122222111111222222222y y x b y d x b y d dy A x x dxb xc y e b x c y e -++++===-=--++++11y Ax B =+ ，22y Ax B =+设圆A 的射影椭圆A 的圆心为（x ，y ），四个公切点分别为A111(,)x y ，A222(,)x y ，A333(,)x y ，A444(,)x y ，联立得方程组：12123434y y y y x x x x y y y y x x x x --⎧=⎪--⎪⎨--⎪=⎪--⎩，即可求出圆心像素坐标。

（2） 像素坐标到像坐标的转换像素坐标与像坐标关系图（p u O v 为像素坐标，xOy 为像坐标）因为其分辨率为1024*768，我们可以将平面划分，并且用来标记坐标，看做1024*768个小方格，则O ()00,u v 的像素坐标为（512,384），假设,x y D D 表示每一个像素在x 轴，y 轴上的物理尺寸，则：'0'0i x i y x u u D y v v D ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩即'0'0000111i xx i y y x D D u u y D D v v ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（3） 相机坐标到物坐标的转换转换关系如下：i i i x x y R y T z z ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中R 为三阶单位正交矩阵：cos cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin sin cos sin sin cos sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos sin cos cos R αβγαβγβγαβγβαβγαβγβγαβγβααλαγ--⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦123t T t t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（4） 像坐标与相机坐标的转换它们的几何关系为：'',fx fy x y zz==所以'''00000000101x x f y z y f z z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（5） 像素坐标到物坐标的转换有前面的四个式子可以得出: 0000,001110010i x iTi y f u x D u R T y f z v M M v z D O ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦其中000O ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦M 就是物与像的对应关系2.2.2 问题二：利用matlab 提取轮廓线，图如下：（程序见附录一）在椭圆A 所得的轮廓上分别取三十个尽可能离散的点(,)(1,2...30)i i i p x y i =，建立方程：220i i i i i i x bx y cy dx ey h +++++=即：22111111222222222211..................1n nnnnnb x x y y x yc x y yx y x d e x y yx y x f--=-用最小二乘法（见附录二）解得椭圆的拟合方程为：A:：220.08920.9752244.6511147.267419518.20750x xy y x y ++--+=B ：220.0812 1.0041316.8527157.967530135.14180x xy y x y ++--+=C ：220.27170.9323491.0356209.972265720.90980x xy y x y ++--+=D ：220.3645 1.0463495.6962463.669695673.10150x xy y x y ++--+=E ：220.2309 1.2147252.4949471.217156409.13790x xy y x y ++--+=经matlab 验证拟合度高椭圆之间的公切线切点的求解：先求解椭圆A 和B 的公切线：设两椭圆方程分别为22111111111110x b x y c y d x e y f +++++=，22222222222220x b x y c y d x e y f +++++= ，两者的一条外公切线为y=Ax+B; 其切点分别为()()1122,,,x y x y ，对联立的方程组用最小二乘法（见附录三）可求得A ，B 的公切线为：y=0.0513x+79.0824 y=0.0766x+45.7406同理可得：A ，E 的两条外公切线为：y=-7.5254x+1079.5359 y=-8.5866x+965.4573B ，C 的两条外公切线为：y=0.0658x+76.8534 y=0.0854x+44.3537 B ，D 的两条外公切线为：y=1.8436x-183.0276 y=1.9669x-266.3146 C ，D 的两条外公切线为：y=-4.9070x+1295.5962 y=-5.3903x+1273.3998 D ，E 的两条外公切线为：y=-0.0034x+197.1047 b y=0.0082x+170.3364 则切点坐标如下：圆心的像素坐标求解：通过公切线连线交点可以求得圆心，设圆A 的射影椭圆A 的圆心为（x ，y ），四个公切点分别为A111(,)x y ，A222(,)x y ，A333(,)x y ，A444(,)x y ，联立得方程组：12123434y y y y x x x x y y y y x x x x --⎧=⎪--⎪⎨--⎪=⎪--⎩，即可求出圆心像素坐标。