第一章 命题逻辑基本概念

p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∧q 0 0 0 1
例5
设p：我们学习好。q：我们身体好。
则p∧q表示“我们学习好并且身体好。”
3. 析取“∨”
设命题p和q为二命题，复合命题“p或q”称作p 与q的析取式，记作p∨q， ∨称作析取连接词。
规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假。 由定义可知， p∨q取值为真当且仅当p和q至少有一个 取值为真。
只要p,就q 只有q才p
因为p,所以q 除非q才p
p仅当q 除非q,否则非p
上述表面叙述不同，但都表达q是p的必要条件。用→
★ 自然语言，“如果p,则q”，前件和后件具有某种内
在联系 ，在数理逻辑中，p与q可以无联系。
★ 在数学和其它科学中，“如果p,则q”，往往表达的
是前件为真，后件也为真的推理关系。但在数理逻辑 中，作为一种规定，当p为假时，无论q是真还是假，p → q均为真。
5．等价（双条件）“↔”
定义设p和q为二命题，复合命题“p当且仅当q”，称为 p与q的等价式，记作“p↔q” ，“↔”称为等价连接词。
规定p↔q 为真当且仅当p与q 同时为真或同时为假 p↔q 的逻辑关系为p与q互为充分必要条件。
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p q 1 0 0 1
例10 非本仓库工作人员，一律不得入内。 解 令p：某人是仓库工作人员； q：某人可以进入仓库。
离散数学简介
• 离散：反义词？ 连续 • 计算机存储数值—按字节—不连续
与离散有关的课程
计 算 方 法 数 值 计 算
1、连续量离散化：如数值积分、微分
离散量连续化：如数值逼近 2、离散量之间关系、运算：离散数学
离散数学的特点：
• 顾名思义，内容又离又散，概念繁多。
• 离散数学的内容： 数理逻辑、集合论（关系、函数）、 代数结构、 图论
q：他可能是空军。 （p∧¬ q）∨(¬ p∧q)
则命题可以表示为p∨q吗？
设p、q是两个命题，p异或q是一个复合命题，记作p∨q。
p 0
0 q 0 1 p∨ q 0 1
1
1
0
1
1
0
例7
今天晚上我在家看电视或去剧场看戏。
令p：今天晚上我在家看电视。q：今天晚上我去剧场看戏
命题可表示为p∨ q，或者表示为（p∧¬ q）∨(¬ p∧q)。
• 另一方面,如果理发师的头由自己理，那么按照规定，
师的头由自己理，也不行。
二、命题联结词
原子（简单）命题 ：由简单陈述句形成的命题。 复合命题：由一个或几个原子命题(简单陈述句)通 过联结词联接而构成的命题。
例3 p：雪不是白的（并非雪是白的）
q：李明既是三好学生又是足球队员。 r：张平正在钓鱼或者正在睡觉。 s：如果明天天气晴朗，那么我们举行运动会。
具体（现实“记忆实例”）
抽象（性质、 定理）
具体（计算机实现）
3．学习态度：
积极.
“有用” “无用”？
教材、笔记和参考书
• 教材：详细、流式 • 笔记：结构、典型实例 • 参考书： 一般参考： 《离散数学》左孝凌等 上海科技出版社 《离散数学》李俊锋等 清华大学出版社
《离散数学》 贲可荣等 清华大学出版社
究命题公式间的等值关系和蕴含关系，并给出推理规则，
主要内容
1.1
命题与联结词 命题公式及其赋值
1.2
1.1
命题与联结词
一、 命题的概念
二、命题联结词 三、命题符号化
一、 命题的概念
命题：能分辨真假的陈述句。
一个命题总是具有一个值，称为“真值”。 “真值”只有“真”和“假”两种， 记作：T（true）、F(false) 或 1、0
例4
数。
设p：上海是一个城市； q：每个自然数都是偶
则有 ¬p：上海不是一个城市;
¬ q：并非每个自然数都是偶数。
2．合取“∧”
定义 设p和q是两个命题，复合命题“p并且q”(或“ p与
q”) ，称为p与q的合取式，记作“p ∧ q” 、∧称作合取连接词。
规定： p∧q为真当且仅当命题p与q同时为真。
《离散数学》李盘林等 高教出版社 深入学习： 《数理逻辑》、《集合论》、 《近式代数》 、《图论》
引
逻辑？
思维的规律
入
逻辑学： 思维规律、思维形式结构
思维：
在表象、概念的基础上进行分析、综合、推理 等认识活动的过程。
思维形式结构：概念——判断——推理 思维的表示： 语言、文字……
推理方法：
•实验形式：公理化体系 •语言形式：推理小说、算命 •形式化+数学方法数理逻辑
例13 用符号形式表示下列命题
（1）如果明天早上下雨或下雪，那么我不去学校
（2）如果明天早上不下雨且不下雪，那么我去学校。 （3）如果明天早上不是雨夹雪，那么我去学校。 （4）只有当明天早上不下雨且不下雪时，我才去学校。 解 令p：明天早上下雨； q：明天早上下雪；
r：我去学校。 （1）（p∨q）→ ¬ r； （3）¬ (p∧q）→r； （2）（¬ ∧¬ p q）→r； （4）r→（¬ p∧¬ q）（必要）
定义
பைடு நூலகம்
p
0 0 1
1
q 0 1 0
1
p∨q 0 1 1
1
例6
将命题“他可能是100米或400米赛跑的冠军。”符号化。
解
令 p：他可能是100米赛跑冠军；
q：他可能是400米赛跑冠军。
则命题可表示为p∨q。 注意：这是一种可兼（相容性）或。 将命题“他可能是海军，也可能是空军。”符号化。
解
令 p：他可能是海军；
原始陈述－>符号化－>符号化陈述
定义五种联结词（或称命题的五种运算）。
1. 否定“¬ ” 定义 设p是一个命题，复合命题“非p”(或“p的否定” ）称
规定：命题p取值为真时，命题¬ p取值为假； 命题p取值为假时，命题¬ p取值为真。 p 1 0 ¬ p 0 1
为p的否命题，记作“¬ (读作“非p”)， 符号¬ p” 称作否定连接词 。
可以推导出q为假, 又从q为非真推导出q 为真, 我们就说命题q是一个悖论。
• 显然如果从命题p可引出一个命题q, 而q
是一个悖论, 那么p也是一个悖论。
例：说谎悖论
有一个人断言:“我正在说谎”。 我们要问: 这个人是在说谎还是在讲真话? 如果他在说谎，这表明他的断言“我正在说谎”是 谎话，也就是说他在讲真话。即他说谎， 推出他是讲 真话(即没有说谎)。 另一方面，如果他讲真话， 这表明他的断言“我 正在说谎”是真话， 也就是说他正说谎话， 即他讲真
三、命题符号化
利用联结词可以把许多日常语句符号化。基本步骤如下：
（1）从语句中分析出各原子命题，将它们符号化； （2）使用合适的命题联结词，把原子命题逐个联结起来， 组成复合命题的符号化表示。
联结词的优先顺序为：
( )、 “┐ ”、 “∧” 、“∨” 、 “→” 、
“↔”
对于同一优先级的连接词，先出现者先运算。
例2 判断下列陈述句是否是命题。 p：地球外的星球上也有人； q：小王是我的好朋友； r：101+1=110 解： p、q、r都是命题，因为其真值是确定的。 只是p的真值现在不能确定； q的真值由时间、人物等因素确定；
r的真值靠上下文确定，二进制运算为真否则为假。
一类特殊的陈述句 悖论
• 所谓悖论, 是指对于命题q，如果从q为真,
命题表示为（┐p∧ ┐q）→(┐r∧┐s)或
┐p∧ ┐q→(┐r∧┐s)
☻要善于确定原子命题，不要把一个概念硬拆成几个概念， 或倒过来。
（3）我和你之间至少有一个要去海南岛。
（4）我和你之间有一个要去海南岛。 （3） p：我去海南岛，q：你去海南岛； 命题表示为p∨q。 （4） p：我去海南岛，q：你去海南岛； 命题表示为(┐p∧q)∨(p∧┐q)。 ☻将语句形式化时，一定要注意形式化了的语句与原来 的汉语语句有相同的语义。
离散数学与计算机课程
• 培养抽象思维、缜密概括能力
现实问题[抽象为]数学模型[概括为]程序的机械操作 • 先行课程: 高等代数、数学分析 • 后继的课程：数据结构、数据库系统、操作系统、数 字电路、编译原理、算法的分析与设计、人工智能、
计算机网络等。
课程情况
• 课程开设一学期，教学总学时数为64学时。
例1
判断下列语句是否是命题。 （2）请不要喧哗! （4）你吃饭了吗？ （6）啊，真美呀！
（1）空气是人生存所必需的。 （3）南京是中国的首都。 （5）明年春节是个大晴天。
解
语句（1）,（3）,（5）是陈述句，也是命题 。 语句（2）、（4）、(6)不是陈述句，因此,不是命题 。
形式化：
命题用大或小写的字母p、q、……或者带下标的字母来表 示。本书采用小写字母
命题符号化，无法表示“程度”
P=“我一定去上学”， ¬ P是什么意思？
例12 将下列语句形式化。 （1）我和他既是弟兄又是同学。 （2）如果我和他都不是傻子，那么我们俩都不会去。 （1） p：我和他是弟兄，q：我和他是同学； 命题表示为p∧q。
（2） p:我是傻子, q:他是傻子, r:我会去, s:他会去。
（5）狗急跳墙。 （6）风雨无阻，我去上学。 （5） p：狗急了，q：狗跳墙，命题表示为 （6） p：天刮风，q：天下雨，r：我去上学。 命题表示为 (p∧q→r) ∧(p∧┐q→r) ∧(┐p∧q→r) ∧(┐p∧┐q→r) p→q。
☻要善于识别自然语言中的联结词（有时它们被省略）。例 如“狗急跳墙”一句，可理解为“如果狗急了，它就会 跳墙”。“风雨无阻，我去上学”一句，可理解为“不 管是否刮风、是否下雨我都去上学”。
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p→q 1 1 0 1