浙江省宁波市2019版数学高二下学期理数期末考试试卷C卷
2019高二下学期数学期末考试试卷
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由小编为您提供的高二下学期数学期末考试试卷答案，祝您学习愉快!
内容提要：
高二数学(理科)下学期期末考试试卷
注意：选择题答案用2B铅笔涂在答题卡上，填空题、解答题答案写在答题卷上。
一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1、已知复数，则在复平面上对应的点位于()
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聪明出于勤奋，天才在于积累。
我们要振作精神，下苦功学习。
编辑了高二下学期数学期末考试试卷答案，以备借鉴。
1。
2019学年高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……2019学年度第二学期期末考试高二理科数学试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先化简集合B,再求，再求.详解：由题得B={x|x>2},所以={x|≤2}，所以=.故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查集合的化简和集合的交集补集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)化简集合B时，注意它表示函数的定义域，不是函数的值域.2. 已知复数满足（为虚数单位），为的共轭复数，则（）A. 2B.C.D. 4【答案】B【解析】分析：先求复数z,再求，再求.详解：由题得，所以故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的共轭复数和模，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数的共轭复数复数的模.3. 已知是公差为2的等差数列，为数列的前项和，若，则（）A. 50B. 60C. 70D. 80【答案】D【解析】分析：由是公差为的等差数列，，可得，解得，利用等差数列求和公式求解即可.详解：是公差为的等差数列，，，解得，则，故选D.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.4. 设，向量，且，则（）A. 5B. 25C.D. 10【答案】A【解析】分析：首先根据向量垂直的充要条件求出的坐标，进一步求出，利用向量模的坐标表示可得结果.详解：已知，由于，，解得，，，，故选A.点睛：利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.5. 函数的部分图象可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先求函数的奇偶性，排除A,C,再排除D.详解：由题得，所以函数f(x)是奇函数，所以排除A,C.当x=0.0001时，，所以排除D,故答案为：B.点睛：(1)本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的奇偶性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于类似这种根据解析式找函数的图像，一般先找差异，再验证.6. 某几何体的三视图及尺寸大小如图所示，则该几何体的体积为（）A. 6B. 3C. 2D. 4【答案】C【解析】分析：先通过三视图找几何体原图，再求几何体的体积.详解：由三视图可知原几何体是一个四棱锥，底面是一个上底为1，下底为2，高为2的直角梯形，四棱锥的高为2,所以几何体的体积为故答案为：C. 点睛：（1）本题主要考查三视图找几何体原图，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力. (2)通过三视图找几何体原图常用方法有直接法和模型法.7. 某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量（单位：度）与气温（单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了以照表：（单位：）（单位：度）由表中数据得线性回归方程：，则由此估计：当气温为时，用电量约为（）A. 56度 B. 62度 C. 64度 D. 68度【答案】A【解析】分析:先求样本中心点,再求的值,再预测当气温为时的用电量.详解：由题得因为回归直线经过样本中心点，所以40=-20+，所以=60.所以回归方程为，当x=2时，y=56. 故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查回归方程，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 回归直线经过样本中心点，这是回归方程的一个重要性质..................................8. 数学猜想是推动数学理论发展的强大动力，是数学发展中最活跃、最主动、最积极的因素之一，是人类理性中最富有创造性的部分.1927年德车汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.下面是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则输出的为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】执行程序框图可得：不成立，是奇数，不成立不成立，是奇数，不成立不成立，是奇数，不成立不成立，是奇数，成立不成立，是奇数，成立成立，故输出，结束算法故选9. 已知函数最小正周期为，则函数的图象（）A. 关于直线对称B. 关于直线对称C. 关于点对称D. 关于点对称【答案】D【解析】分析：先化简函数f(x)=,再根据周期求出w，再讨论每一个选项的真假. 详解：由题得f(x)=，因为对于选项A,把代入函数得，所以选项A是错误的；对于选项B, 把代入函数得，所以选项B是错误的；对于选项C,令无论k取何整数，x都取不到,所以选项C 是错误的.对于选项D, 令当k=1时，，所以函数的图像关于点对称.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于三角函数图像和性质的判断，要灵活，不要死记硬背.10. 设圆上的动点到直线的距离为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析:先求圆心和半径,再求圆心到直线的距离,再根据数形结合得到d的取值范围. 详解：由题得所以圆心为（2，-2），半径为1.所以圆心到直线的距离为，所以动点P到直线的最短距离为4-1=3，最大距离为4+1=5，故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查圆的方程和点到直线的距离，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法. (2)解答本题的关键是数形结合思想的灵活运用.11. 已知双曲线的一条渐近线截圆为弧长之比为1：2的两部分，则此双曲线的离心率等于（）A. 2B.C.D. 3【答案】A【解析】分析：先通过已知条件求出双曲线的渐近线的倾斜角和斜率，再求双曲线的离心率. 详解：圆的标准方程为，所以圆心坐标为（0,2），半径为2，且过原点.因为双曲线的一条渐近线经过坐标原点，截圆为弧长之比为1：2的两部分，所以双曲线的一条渐近线的倾斜角为，所以所以故答案为：A点睛：（1）本题主要考查双曲线和圆的几何性质，考查双曲线的离心率的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求离心率常用的方法有直接法和方程法.12. 已知是定义在上的偶函数，且满足，若当时，，则函数在区间上零点的个数为（）A. 2018B. 2019C. 4036D. 4037【答案】D【解析】分析：先把问题转化为函数的图像与函数y=的图像的交点的个数，再求函数f(x)的周期为2，再作出两个函数的图像观察图像得到零点个数.详解：函数在区间上零点的个数函数的图像与函数y=的图像的交点的个数，因为函数f(x)是定义在 R上的偶函数，且满足，即f(-x)=f(x),又因为f(x+1)=f(1-x),所以f(x)是周期为2的偶函数，当时，，作出函数f(x)与y=的图像如下图，可知每个周期内有两个交点，所以函数在区间上零点的个数为2018×2+1=4037.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查函数的图像和性质，考查利用函数的图像研究零点个数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理数形结合的能力.(2)本题解答的关键有两点，其一是转化为函数的图像与函数y=的图像的交点的个数，其二是能准确作出两个函数的图像.第Ⅱ卷二、填空题（本题共4个小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 曲线在处的切线方程为__________．【答案】【解析】∵，∴∴曲线在点P(0,3)处的切线的斜率为：，∴曲线在点P(0,3)处的切线的方程为：y=2x+3，故答案为y=2x+3.点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．14. 已知变量满足约束条件，则的最大值与最小值的积为__________．【答案】-8【解析】分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值.解析：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）由得，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，即z最大.由，解得，即.将代入，得，即的最大值为2.故答案为：2.点睛：线性规划问题的解题步骤：(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．15. 展开式的常数项为80，则实数的值为__________．【答案】-2【解析】分析：先利用二项式展开式的通项求常数项，再令常数项为0，解之即得实数a的值. 详解：二项式的展开式中的通项公式为T k+1=C5k•a k•x10﹣2.5k，∵二项式的展开式中的常数项为80，∴当10﹣2.5k=0时，得k=4，此时常数项为C54•a4=80，即5a4=80，解得a=±2，因为a＜0，所以a=-2.故答案为：-2．点睛：（1）本题主要考查二项式定理的应用，考查利用二项式定理求特定项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2) 求出展开式的通项公式和化简是解决本题的关键．16. 设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于两点，若，且的面积为，则此抛物线的方程为__________．【答案】【解析】分析：根据抛物线的定义可得，是等边三角形，由的面积为可得从而得进而可得结果.详解：因为以为圆心，为半径的圆交于两点，，由抛物线的定义可得，是等边三角形，，的面积为，到准线的距离为此抛物线的方程为，故答案为.点睛：本题主要考查抛物线的标准方程、定义和几何性质，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，角所对的边分别为，满足.（1）求角的大小；（2）若，且，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（Ⅰ）由，利用正弦定理可得，从而得，进而可得结果；（Ⅱ）结合（Ⅰ）由余弦定理可得，，即，.详解：（I）由题意得：.，即又，(Ⅱ)，，即点睛：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.18. 已知正项等比数列的前项和为，若，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）利用且得到关于的方程组，解方程组即得，再写出数列的通项公式.(2)先求得，再利用裂项相消求,再证明. 详解：（1）由题意得：∵，∴，即，解得：或（舍去）又∵，∴，∴；（2）∵，∴，∴，又∵为递增数列，的最小值为：∴.点睛：（1）本题主要考查等比数列通项的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和.19. 高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力.某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取100名进行调查，得到如下数据：（1）把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”，由以上数据完成下列2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“移动支付活跃用户”与性别有关？（2）把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”，视频率为概率，在我市所有“移动支付达人”中，随机抽取4名用户.为了鼓励男性用户使用移动支付，对抽出的男“移动支付达人”每人奖励300元，记奖励总金额为，求的分布列及数学期望.附公式及表如下：【答案】（1）能；（2）400元.【解析】分析：（1）先根据已知的数据完成2×2列联表，再计算判断在犯错误概率不超过0.005前提下，能认为“移动支付活跃用户”与性别有关.（2）利用二项分布求的分布列及数学期望.详解：（1）由表格数据可得2×2列联表如下：将列联表中的数据代入公式计算得：所以在犯错误概率不超过0.005前提下，能认为“移动支付活跃用户”与性别有关.（2）视频率为概率，在我市“移动支付达人”中，随机抽取1名用户，该用户为男“移动支付达人”的概率为，女“移动支付达人”的概率为，记抽出的男“移动支付达人”人数为，则，由题意得，∴，；，所以的分布列为所以的分布列为由，得的数学期望元（或元）点睛：（1）本题主要考查独立性检验，考查随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)若～则20. 如图，在正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）中，已知，点为的中点.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】分析：(1)先证明A平面,再证明平面平面.(2)利用向量法求直线与平面所成角的正切值.详解：（1）由题意知：为的中点，∴，由平面得：，∵平面，且，∴平面，又∵平面，∴平面平面；（2）建立如图所示的空间直角坐标系.因为，所以，因此.设为平面的一个法向量，则，即，取，则，，设直线与平面所成角为，则，∵，∴∴，所以直线与平面所成角的正切值为.点睛：（1）本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查直线和平面所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力转化能力及计算能力.(2) 直线和平面所成的角的求法方法一：（几何法）找作（定义法）证（定义）指求（解三角形），其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法），其中是直线的方向向量，是平面的法向量，是直线和平面所成的角. 21. 已知椭圆的离心率为，且椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形周长为.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆相交于两点.①若线段中点的横坐标为，求的值；②在轴上是否存在点，使为定值？若是，求点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】（1）；（2）①,②.【解析】分析：（1）先根据已知得到a,c的两个方程，解方程即得椭圆的方程.(2) ①,先联立直线与椭圆的方程得到韦达定理=2×，即得k的值. ②假设存在定点使得为定值，设点,先求，再分析得到，即得m的值.详解：（1）由题意得：① ，②，由①②解得：，∴，∴椭圆的方程为.（2）由消去得，，设，则，①∵线段的中点的横坐标为，所以，即，所以；②假设存在定点使得为定值，设点，所以为定值，即，故，解得：，所以当时为定值，定值为.点睛：（1）本题主要考查椭圆方程的求法和椭圆的几何性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题的解题关键有两点，其一是计算出，其二是分析得到.22. 已知函数（为自然对数的底数）.（1）讨论函数的单调性；（2）记函数的导函数，当且时，证明：.【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；在上单调递减；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）先求导，再对m分类讨论，求函数f(x)的单调性.(2)先把问题等价转化，，再构造函数设函数求即得证.详解：（1）的定义域为，①当时，；②当时，令，得，令，得，综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；在上单调递减.（2）当时，，设函数，则，记，，则，当变化时，的变化情况如下表：由上表可知而，由，知，所以，所以，即，所以在内为单调递增函数，所以当时，即当且时，，所以当且时，总有.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性和最值，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是转化，，其二是构造函数设函数求。
宁波市2019-2020学年数学高二第二学期期末综合测试试题含解析
宁波市2019-2020学年数学高二第二学期期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）2．某学校有2200名学生,现采用系统抽样方法抽取44人,将2200人按1,2,…,2200随机编号,则抽取的44人中,编号落在[101,500]的人数为（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．103．的展开式中的第7项是常数,则正整数n 的值为( )A ．16B ．18C ．20D ．224．《数学统综》有如下记载：“有凹钱，取三数，小小大，存三角”.意思是说“在凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”.现已知凹函数()222f x x x =-+，在21,23m m ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上取三个不同的点()()()()()(),,,,,a f a b f b c f c ，均存在()()(),,f a f b f c 为三边长的三角形，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[]0,1B ．20,⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．20,⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,2⎡⎤⎢⎥⎣ 5．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为12，4，则输出的n 等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．76．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（ ）A ．5种B ．4种C ．9种D ．20种7．已知等比数列{a n }中，2341a a a =，67864a a a =，则5a =（ ） A ．±2 B ．－2C ．2D ．48．设3i12iz -=+，则z = A ．2B ．3C ．2D ．19．甲、乙两人进行象棋比赛，已知甲胜乙的概率为0.5，乙胜甲的概率为0.3，甲乙两人平局的概率为0.1．若甲乙两人比赛两局，且两局比赛的结果互不影响，则乙至少赢甲一局的概率为（ ） A ．0. 36B ．0. 49C ．0. 51D ．0. 7510．如图，可导函数()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程为()y g x =，设()()()h x g x f x =-，)'(h x 为()h x 的导函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．0'()0h x =，0x 是()h x 的极大值点B ．0'()0h x =，0x 是()h x 的极小值点C ．0'()0h x ≠，0x 不是()h x 的极值点D ．0'()0h x ≠，0x 是()h x 是的极值点11．2019年6月7日，是我国的传统节日“端午节”。
宁波市2019-2020学年数学高二第二学期期末综合测试试题含解析
宁波市2019-2020学年数学高二第二学期期末综合测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()(ln f x x =，则不等式()()10f x f x -+>的解集是（ ）A ．{2}x x >B ．{1}x x <C ．1{}2x x >D ．{0}x x >【答案】C 【解析】 【分析】先判断出函数()f x 为奇函数且在定义域内单调递增，然后把不等式变形为()()1f x f x ->-，再利用单调性求解即可．【详解】由题意得，函数()f x 的定义域为R ．∵()(x x x x f x ln x -+---=-==(()ln x f x ==-+=-，∴函数()f x 为奇函数．又根据复合函数的单调性可得，函数()f x 在定义域上单调递增． 由()()10f x f x -+>得()()()1f x f x f x ->-=-，∴1x x ->-，解得12x >， ∴不等式的解集为1{}2x x >．故选C ． 【点睛】解答本题的关键是挖掘题意、由条件得到函数的奇偶性和单调性，最后根据函数的单调性求解，这是解答抽象不等式（即不知表达式的不等式）问题的常用方法，考查理解和应用能力，具有一定的难度和灵活性． 2．设有两条直线a ，b 和两个平面α、β，则下列命题中错误的是( ) A ．若//a α，且//a b ，则b α⊂或//b α B ．若//a b ，且a α⊥，b β⊥，则//αβC ．若//αβ，且a α⊥，b β⊥，则//a bD ．若a b ⊥，且//a α，则b α⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】对A ，直接进行直观想象可得命题正确；对B ，由线面垂直的性质可判断；对C ，由线面垂直的性质定理可判断；对D ，b α⊥也有可能b α⊆. 【详解】对A ，若//a α，且//a b ，则b α⊂或//b α，可借助长方体直接进行观察命题成立，故A 正确； 对B ，若//a b ，且a α⊥，可得b α⊥，又b β⊥，则由线面垂直的性质可知//αβ，故B 正确； 对C ，若//αβ，且a α⊥，可得a β⊥，又b β⊥，由线面垂直的性质定理可知//a b ，故C 正确； 对D ，若a b ⊥，且//a α，则b α⊥也有可能b α⊆，故D 错误. 故选：D. 【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面之间关系的判定方法及性质定理是解答此类问题的关键． 3．点的极坐标，它关于极点的对称点的一个极坐标是A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】在点极径不变，在极角的基础上加上，可得出与点关于极点对称的点的一个极坐标。
2019学年高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)
2019学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）考试时间：120分，满分150分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在答题卡上）1．已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =，则()U AB ð等于（）． A ．{}1,2,3,4B ．{}3,4C ．{}3D ．{}4【答案】{}1,2,3AB =∴{}()4U A B =ð． 选D ．2．命题“若一个正数，则它的平方是正数”的逆命题是（）． A ．“若一个数是正数，则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数，则它是正数” C ．“若一个数不是正数，则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是正数” 【答案】B【解析】逆命题为条件、结论互换，选B ．3．设函数21,()2,1,x x f x x x⎧+⎪=⎨>⎪⎩≤1,，则((3))f f =（）．A ．15B ．3C ．139D ．23【答案】C 【解析】2(3)3f =2413((3))1399f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭+．选C ．4．设0a b <<，则下列不等式中不成立的是（）． A ．11a b> B ．11a b a>-C ．a b >-D【答案】不妨令2a =-，1b =-，B ：111212=->--+不成立，选B ．5．已知函数11,1()2,1x f x xx a x ⎧->⎪⎨⎪-+⎩≤在R 上满足：对任意12x x ≠，都有12()()f x f x ≠，则实数a 的取值范围是（）． A ．(],2-∞B ．(],2-∞-C ．[)2,+∞D ．[)2,-+∞【答案】C 、【解析】按题意()f x 在R 上单调，而11x-在1x >时为减函数，∴()f x 为减函数， 1x =时，121x a x--≥+，2a -≥0+， ∴2a ≥． 选C ． 6．复数2i12i+-的共轭复数是（）． A ．3i 5-B ．3i 5C ．i -D ．i【答案】C 【解析】2i (2i)(12i)i 12i (12i)(12i)==--++++， ∴共轭复数为i -．选C ．7．由直线π3x =-，π3x =，0y =与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为（）．AB ．1C ．12D【答案】A【解析】π3π3π3cos d sin π3S x x x-⎛=⋅==-= ⎝⎭-⎰ 选A ．8．函数()y f x =的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式()()f x f x x <-+的解集为（）．A ．|0x x ⎧⎪<<⎨⎪⎩或1x ⎫⎪<⎬⎪⎭≤B ．|1x x ⎧⎪-<<⎨⎪⎩1x ⎫⎪<⎬⎪⎭≤ C ．|1x x ⎧⎪-<<⎨⎪⎩0x <<⎪⎭D．|x x ⎧⎪<<⎨⎪⎩}0x ≠ 【答案】A【解析】显然()f x 为奇数， ∴可等价转换为1()2f x x <，当1x =时，1()02f x =<．当01x <<时，()f x ∴22114x x -<，1x <．当10x -<≤时，12x，∴0x <， 综上：|0x x ⎧⎪<<⎨⎪⎩1x ⎫⎪<⎬⎪⎭≤．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填在答题卡的横线上） 9．已知等差数列{}n a ，3510a a +=，2621a a =，则n a =__________． 【答案】1n a n =+【解析】设1(1)n a a n d =-+， ∴1111(2)(4)10()(5)21a d a d a d a d =⎧⎨=⎩++++， 解得：12a =1a =， ∴1n a n =+．10．已知二次函数2()4f x x ax =-+，若(1)f x +是偶函数，则实数a 的值为__________． 【答案】2a =【解析】2(1)(1)(1)4f x x a x =-++++ 2(2)5x a x a =--++为偶函数，有22()(2)5(2)5x a x a x a x a ----=--+++，2a =．11．若“1x m <-或1x m >+”是“2230x x -->”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为__________． 【答案】【解析】（1）2230x x -->，得：3x >或1x <-， 若1x m <-或1x m >+为2230x x -->的必要不充分条件． 则1311m m ⎧⎨--⎩≤≥+，即20m m ⎧⎨⎩≤≥， ∴02m ≤≤．12．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且当[]1,2x ∈时，2()32f x x x =-+，则(6)f = __________；12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________．【答案】【解析】(2)()f x f x -=可知周期为2， (6)(2)0f f ==， ()f x 为奇函数， 113122224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴答案为0，14．13．直线11x t y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）与曲线2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）的位置关系是__________．【答案】【解析】121x tx y y t =⎧⇒-=⎨=-⎩++， 222cos 42sin x x y y αα=⎧⇒=⎨=⎩+，2x =．∴2d =．14．已知数列{}n a 中，n a =4S =__________．【答案】 【解析】n a12⎡⎤=⋅⎣⎦12n =⋅12⎡=⋅⎣ 12⎡=⋅⎣，∴1234110112a a a a ⎡+=-⎣+++ 1(32=．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和是n S ，1220a a +=，4218S S -=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式． （Ⅱ）求满足116n a ≥的n 的值． 【答案】【解析】（1）设11n n a a q -= 1220a a =+，2112a q a ==-， 4218S S -=，41111211112812a a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦--= ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭，11a =， ∴112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）116n a ≥， 111216n -⎛⎫- ⎪⎝⎭≥． 当n 为偶数不成立， 当n 为奇数，141122n -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥ ∴5n ≤． 又∵*n ∈N ， ∴{}1,3,5n =．16．（本小题满分13分）已知数列32()(,)f x ax x bx a b =++∈R ，g()()()x f x f x '=+是奇函数． （Ⅰ）求()f x 的表达式．（Ⅱ）讨论()g x 的单调性，并求()g x 在区间[]1,2上的最大值与最小值． 【答案】【解析】（1）2()32f x ax x b '=++32()()()(31)(2)g x f x f x ax a x b x b '==++++++．∵()()g x g x -=-，∴对x ∀有3232()(31)()(2)()(31)(2)a x a x b x b ax a x b x b ---=-++++++++++． 解得：13a =-，0b =．17．（本小题满分13分）设m ∈R ，不等式2(31)2(1)0mx m x m -+++>的解集记为集合P ． （Ⅰ）若{}|12P x x =-<<，求m 的值． （Ⅱ）当0m >时，求集合P ． 【答案】，【解析】（1）{}12P x x =-<<，∴1-，2为2(31)2(1)0mx m x m -=+++两根， ∴1x =-代入2(1)(31)2(1)0m m m -=++++， 12m =-．（2）[](2)(1)0x mx m -->+， 两根为2，1m m+， ①12m m=+，1m =时，2x ≠． ②12m m >+，01m <<时2x <或1m x m >+． ③12m m <+，1m >时，1m x m<+或2x >． 综上：01m <<时，{|2P x x =<或1}m x m>+， 1m =时，{},2P x x x =∈≠R ， 1m >时，1{|m P x x m=<+或2}m >．18．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32a =-，74S a =．（Ⅰ）1a =__________，d =__________，n a =__________，当n =__________时，n S 取得取小值，最小值为__________．（Ⅱ）若数列{}n a 中相异．．的三项6a ，6m a +，6n a +成等比数列，求n 的最小值． 【答案】【解析】（1）1(1)n a a n d =-+， 3122a a d -==+，1711(6)772132a a d S a d a d ===++++，∴11122618030a d a d a d =-⎧⎨=⇒=⎩+++， 解得2d =，16a =-， ∴6(1)228n a n n =--⋅=-+． 1(628)2n S n n =⋅--+27,*n n n =-∈N ，∴min 92112S =-=．（2）[][]22(6)842(6)8m n -=-++ 2(24)24m n =++，21(2)22n m =-+，6060m n +>⎧⎨+>⎩2m =-，2n =-， 13m -=-，n =分数， 04m =，0n =， 15m =-，n =分数， 26m --，6n =． 4 4- 4 6a 8a12a4 816综上，2m =时，n 的最小值6．19．（本小题满分13分）若实数x ，y ，m 满足x m y m -<-，则称x 比y 靠近m ． （Ⅰ）若1x +比x -靠近1-，求实数x 有取值范围．（Ⅱ）（i ）对0x >，比较ln(1)x +和x 哪一个更靠近0，并说明理由． （ii ）已知函数{}n a 的通项公式为112n n a -=+，证明：1232e n a a a a <．【答案】【解析】（1）|1(1)||(1)|x x --<---+ 22|2||1|(2)(1)x x x x <-⇔<-++， ∴12x <-．（2）①∵0x >，∴ln(1)0x >+， ∴|ln(1)0||0|ln(1)x x x x ---=-++， 记()ln(1)f x x x =-+， (0)0f =． 1()1011x f x x x-'=-=<++， ∴()f x 在(0,)∞+单减．∴()2(0)0f x f =，即ln(1)x x <+， ∴ln(1)x +比x 靠近0． ②120n ->， 由①得： 2323ln()ln ln ln n n a a a a a a =+++12111ln(12)ln(12)ln(12)22n n -----=+++<+++++111112(12)211212n ------=<=--，∴23e n a a a <．又∵12a =， ∴1232e n a a a a <．20．（本小题满分14分）已知函数()f x 的图象在[],a b 上连续不断，定义：{}1()min ()|f x f t a t x =≤≤[](,)x a b ∈， {}2()max ()|f x f t a t x =≤≤[](,)x a b ∈，其中，{}min ()|f x x ∈D 表示函数()f x 在D 上的最小值，{}max ()|f x x ∈D 表示函数()f x 在D 上最大值．若存在最小正整数k ，使21()()()f x f x k x a =-≤对任意的[],x a b ∈成立，则称函数()f x 为[],a b 上的“k 阶收缩函数”． （Ⅰ）若()cos f x x =，[]0,πx ∈，试写出1()f x ，2()f x 的表达式．（Ⅱ）已知函数2()f x x =，[]1,4x ∈-，试判断()f x 是否为[]1,4-上的“k 阶收缩函数”，如果是，求出对应的k ，如果不是，请说明理由．（Ⅲ）已知0b >，函数32()3f x x x =-+是[]0,b 上的2阶收缩函数，求b 的取值范围． 【答案】【解析】（1）1()cos f x x =，[]0,πx ∈，2()1f x =，[]0,πx ∈． （2）21,[1,0]()0,[0,4]x x f x x ⎧∈-=⎨∈⎩，221,[1,1)(),[1,4]x f x x x ∈-⎧=⎨∈⎩，22121,[1,0)()()1,[0,1),[1,4]x x f x f x x x x ⎧-∈-⎪-=∈⎨⎪∈⎩，当[1,0)x ∈-，21(1)x k x -≤+，∴12k x -≥≥， (0,1]x ∈，1(1)k x ≤+，∴11k x ≥+， ∴1k ≥，[1,4]x ∈，2(1)x k x ≤+，21x k x ≥+ 综上，165k ≥． 即存在4k =，使()f x 是[1,4]-上4阶收缩函数．（3）2()363(2)f x x x x x '=-=--+，10x =，22x =，令()0f x =，3x =或0．（ⅰ）2b ≤时，()f x 在[]0,b 单调，∴2()()3f x f x x x ==-+， 1()(0)0f x f ==，因32()3f x x x =-+是[]0,b 上2阶收缩函数．①∴21()()2(0)f x f x x --≤对[]0,x b ∈恒成立． ②[]0,x b ∈，使21()()f x f x x ->成立． ①即3232x x x -≤+对[]0,b 恒成立． 解得01x ≤≤或2x ≥， ∴有01b <≤．②即[]0,x b ∃∈使2(31)0x x x -<+ ∴0x <x <， 只需b ，- 11 - （ⅱ）2b >时，显然[]30,2b ∈∴()f x 在[]0,2上单调递增， 232728f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，1302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴2133273232282f f ⎛⎫⎛⎫-=>⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时21()()2(0)f x f x x --≤不成立． 综（ⅰ）1b ≤．。
浙江省宁波市重点名校2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题含解析
浙江省宁波市重点名校2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数g（x）=log a（x﹣3）+2（a＞0，a≠1）的图象经过定点M，若幂函数f（x）=xα的图象过点M，则α的值等于（）A．﹣1B．C．2D．3【答案】B【解析】【分析】由对数函数的性质得到点M（4，2）在幂函数f（x）=xα的图象上，由此先求出幂函数f（x），从而能求出α的值．【详解】∵y=log a（x﹣3）+2（a＞0，a≠1）的图象过定点M，∴M（4，2），∵点M（4，2）也在幂函数f（x）=xα的图象上，∴f（4）=4α=2，解得α=，故选B．【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、幂函数的性质的合理运用．2．10名学生在一次数学考试中的成绩分别为如1x，2x，3x，…，10x，要研究这10名学生成绩的平均波动情况，则最能说明问题的是（）A．频率B．平均数C．独立性检验D．方差【答案】D【解析】分析：直接根据频率、平均数、独立性检验、方差的基本定义判断即可.详解：因为频率表示可能性大小，A错；平均数表示平均水平的高低，B错；独立性检验主要指两个变量相关的可能性大小，C错；方差表示分散与集中程度以及波动性的大小，D对，故选D.点睛：本题主要考查频率、平均数、独立性检验、方差的基本定义，属于简单题.3．已知直线y＝3x﹣1与曲线y＝ax+lnx相切，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】对函数求导，设切点()00,x y ，表示出切线方程，与已知切线相同，从而得到关于a 和0x 的方程组，解出a 的值.【详解】 设切点()00,x y ，因为ln y ax x =+，所以1y a x'=+ 所以切线斜率01k a x =+则切线为()()00001ln y ax x a x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭整理得001ln 1y a x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭又因为切线方程为31y x =-所以得0013ln 11a x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，解得012x a =⎧⎨=⎩故选B 项. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义，未知切点表示切线方程，属于中档题.4．2018年6月14日，世界杯足球赛在俄罗斯拉开帷幕.通过随机调查某小区100名性别不同的居民是否观看世界杯比赛，得到以下列联表：经计算2K 的观测值8.249k ≈. 附表：参照附表，所得结论正确的是（ ）A ．有99.9%以上的把握认为“该小区居民是否观看世界杯与性别有关”B ．有99.9%以上的把握认为“该小区居民是否观看世界杯与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“该小区居民是否观看世界杯与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“该小区居民是否观看世界杯与性别无关” 【答案】C 【解析】分析：根据题目的条件中已经给出这组数据的观测值，把所给的观测值同节选的观测值表进行比较，发现它大于7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“该小区居民是否观看世界杯与性别有关”． 详解：由题意算得，28.2497.879k ≈＞ ，参照附表，可得在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“该小区居民是否观看世界杯与性别有关”． 故选：A ．点睛：本题考查独立性检验的应用，属基础题．5．对于实数a ，b ，则“20192019log log a b =”是“20192019a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】先判断20192019log log a b =和 20192019a b =成立的条件，然后根据充分性和必要性的定义可以选出正确答案. 【详解】20192019log log a b =成立时，需要0a b =>；20192019a b =成立时，需要a b =，显然由20192019log log a b =能推出20192019a b =，但由20192019a b =不一定能推出20192019log log a b =，故“20192019log log a b =”是“20192019a b =”的充分不必要条件，故本题选A.【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，掌握对数的真数大于零这个知识点是解题的关键. 6．已知,,(0,2)a b c ∈，则(2),(2),(2)a b b c c a ---中（ ） A ．至少有一个不小于1 B ．至少有一个不大于1 C ．都不大于1 D ．都不小于1【答案】B【解析】 【分析】用反证法证明，假设同时大于1，推出矛盾得出结果 【详解】假设()21a b ->，()21b c ->，()21c a ->， 三式相乘得()()()2221a b b c c a -⋅-⋅->，由()02a b c ，，，∈，所以()220212a a a a -+⎛⎫<-≤= ⎪⎝⎭，同理()21b b -≤，()21c c -≤，则()()()2221a a b b c c -⋅-⋅-≤与()()()2221a b b c c a -⋅-⋅->矛盾，即假设不成立，所以()()()222a b b c c a ---，，不能同时大于1，所以至少有一个不大于1，故选B 【点睛】本题考查的是用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，在此基础上推出矛盾，是解题的关键，同时还运用了基本不等式，本题较为综合7．已知函数()ln f x x x x =+，若m Z ∈且()(1)0f x m x -->对任意的1x >恒成立，则m 的最大值是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】分析：问题转化为对任意11x lnx xx m x ⋅+∈+∞-（，），＜ 恒成立，求正整数m 的值．设函数1xlnx xh x x +=-（） ，求其导函数，得到其导函数的零点0x 位于34（，）内，且知此零点为函数h x （）的最小值点，经求解知00h x x =（） ，从而得到m x ＜ 0，则正整数m 的最大值可求．．详解：因为()ln f x x x x =+，所以()()10f x m x -->对任意1x >恒成立，即问题转化为对任意11x lnx xx m x ⋅+∈+∞-（，），＜ 恒成立．令1xlnx xh x x +=-（），则22(1)x lnx h x x （），--'=- 令21x x lnx x ϕ=--（）（＞） ，则1110x x x xϕ-'=-=（）＞ ， 所以函数x ϕ（） 在1（，）+∞ 上单调递增． 因为313042220ln ln ϕϕ=-=-（）＜，（）＞，所以方程0x ϕ=（） 在1（，）+∞ 上存在唯一实根0x ，且满足034x ∈（，） ． 当01x x ＜＜ 时，0x ϕ（）＜ ， 即0h x '（）＜ ，当0x x ＞ 时，0x ϕ（）＞，即0h x '（）＞，所以函数h x （）在01x （，）上单调递减， 在0x （，）+∞上单调递增． 所以00000(12)[]341x x h x min h x x x +-===∈-（）（）（，）．所以0[]min m g x x =＜（），因为034x ∈（，）），故整数m 的最大值是3， 故选：B ．点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调区间，考查了数学转化思想，解答此题的关键是，如何求解函数h x （）的最小值，属难题． 8．若将函数()()()2cos 1cos 1cos f x x x x =+-图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的单调递减区间为（ ） A ．(),2k k k Z πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．(),2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C ．()11,844k k k Z πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．()11,484k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简()f x 的解析式，再根据()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律求得()g x 的解析式，再利用余弦函数的单调性，求得函数()y g x =的单调递减区间. 【详解】解：将函数()()()22221cos 1cos 1cos cos sin sin 24f x x x x x x x =+-=⋅=11cos 411cos 44288x x -=⋅=-的图象上所有的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()11cos 288y g x x -==的图象，令222k x k πππ-≤≤，求得2k x k πππ-≤≤，可得()g x 的单调递减区间为(),2k k k Z πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 故选：A. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的单调性，属于基础题.9．若函数()ln f x ax x =-在区间(]0,e 上的最小值为3，则实数a 的值为（ ） A ．2e B ．2e C ．2e D ．1e【答案】A 【解析】 【分析】求出()f x '，()0f x '≤（或()0f x '≥）是否恒成立对a 分类讨论，若恒成立求出最小值（或不存在最小值），若不恒成立，求出极值最小值，建立a 的关系式，求解即可. 【详解】()1f x a x'=-. （1）当0a ≤时，()0f x ¢<，所以()f x 在(]0,e 上单调递减，()()min 13f x f e ae ==-=，4a e=（舍去）.（2）当0a >时，()1a x a f x x⎛⎫- ⎪⎝⎭'=.①当10a e <≤时，1e a≥，此时()0f x ¢<在(]0,e 上恒成立， 所以()f x 在(]0,e 上单调递减，()()min 13f x f e ae ==-=，解得4a e=（舍去）； ②当1a e >时，10e a <<.当10x a<<时，()0f x ¢<， 所以()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 当1x e a <<时，()0f x ¢>，所以()f x 在1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 于是()min11ln 3f x f a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，解得2a e =. 综上，2a e =.故选：A 【点睛】本题考查函数的最值，利用导数是解题的关键，考查分类讨论思想，如何合理确定分类标准是难点，属于中档题.10．已知复数(1)(2)z m m i =+--在复平面内对应的点在第一象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,2)- B ．(1)-∞-，C ．(2,1)-D ．(2,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】由实部虚部均大于0联立不等式组求解． 【详解】解：Q 复数(1)(2)z m m i =+--在复平面内对应的点在第一象限，∴()1020m m +>⎧⎨-->⎩，解得12m -<<．∴实数m 的取值范围是(1,2)-．故选：A ． 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查不等式组的解法，是基础题．11．已知函数f(x)＝12log ,1,24,1,x x x x >⎧⎪⎨⎪+≤⎩则1(())2f f )等于( )A ．4B ．－2C ．2D ．1【答案】B 【解析】121242242f ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，则()1214log 422f f f ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B. 12．7(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ） A ．42 B ．35C ．28D ．21【答案】D 【解析】试题分析：2x 的系数为2721C =．故选D ．考点：二项式定理的应用．二、填空题：本题共4小题13．若函数()()222,2log ,2x x f x x a x -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩的最小值为()2f ，则实数a 的取值范围为______.【答案】[)0,+∞ 【解析】 【分析】分析函数()y f x =的单调性，由题设条件得出()()2log 22a f +≥，于此求出实数a 的取值范围。
浙江省宁波市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量检测试题含解析
浙江省宁波市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设x ∈R ，则“213x -≤”是“10x +≥”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】首先解这两个不等式，然后判断由题设能不能推出结论和由结论能不能推出题设，进而可以判断出正确的选项. 【详解】213x -≤12x ⇒-≤≤，10x +≥ 1x ⇒≥-，显然由题设能推出结论，但是由结论不能推出题设，因此“213x -≤”是“10x +≥”的充分不必要条件，故本题选A. 【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的判断，解决本问题的关键是正确求出不等式的解集.2．函数()f x =的最大值为（ ）A ．5BC ．1D ．2【答案】B 【解析】分析：直接利用柯西不等式求函数()f x 的最大值.详解：由柯西不等式得222(12)+≥，≤=即x=65时取最大值） 故答案为B.点睛：（1）本题主要考查柯西不等式求最值，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 二元柯西不等式的代数形式：设a b c d ,,,均为实数，则 22222()()()a b c d ac bd ≥+++，其中等号当且仅当ad bc =时成立.3．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．16π B ．20πC ．24πD ．32π【答案】C【分析】根据正四棱柱的底面是正方形,高为4,体积为16,求得底面正方形的边长,再求出其对角线长,然后根据正四棱柱的体对角线是外接球的直径可得球的半径,再根据球的表面积公式可求得. 【详解】依题意正四棱柱的体对角线1BD 是其外接球的直径, 1BD 的中点O 是球心, 如图:依题意设AB BC ==x ,则正四棱柱的体积为:24x 16=,解得2x =, 所以外接球的直径2222444162426R x x ++=++=所以外接球的半径6R =,则这个球的表面积是2424R ππ=.故选C . 【点睛】本题考查了球与正四棱柱的组合体,球的表面积公式,正四棱柱的体积公式,属中档题. 4．已知,a b ∈R ，则“a b >”是“()20a a b ->”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】首先判断充分性可代特殊值，然后再判断必要性.当a b >时，令0,0a b =<，此时()20a a b -=，所以不是充分条件；反过来，当()20aa b ->时，可得20a >，且0a b ->，即a b >，所以是必要条件，a b ∴>是()20a a b ->的必要不充分条件，故选B. 【点睛】本题考查必要不充分条件，根据必要不充分条件的判断方法判断即可. 5．若321()nx x -二项展开式中的系数只有第6项最小，则展开式的常数项的值为（ ） A ．-252 B ．-210C ．210D ．10【答案】C 【解析】10n =，3103051101021()(1)rr r r r rr T C x C xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令30506r r -=⇒=，所以常数项为6641010(1)C C -=210=，故选C ．点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.6．盒子里共有7个除了颜色外完全相同的球，其中有4个红球3个白球，从盒子中任取3个球，则恰好取到2个红球1个白球的概率为（ ）． A ．2435B ．1835C ．1235D ．635【答案】B 【解析】由题意得所求概率为214337C C 6318C 3535P ⋅⨯===．选B ． 7．函数()2f x ax a =--在[2,6]上有唯一零点，则a 的取值范围为 A ．2(,2]5B ．2(,2)5C ．2[,2]5D ．2(,][2,)5-∞⋃+∞【答案】C 【解析】分析：函数有唯一零点，则()()260f f ≤即可详解：函数()2f x ax a =--为单调函数，且在[]26，上有唯一零点， 故()()260f f ≤()()2520a a --≤，解得225a ≤≤故选C点睛：函数为一次函数其单调性一致，不用分类讨论，为满足有唯一零点列出关于参量的不等式即可求解。
2019-2020学年宁波市数学高二第二学期期末综合测试试题含解析
2019-2020学年宁波市数学高二第二学期期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知(0,)x ∈+∞有下列各式：12x x +≥，2244322x x x x x +=++≥，3327274333x x x x x x +=+++≥成立，观察上面各式，按此规律若45ax x+≥，则正数a =（ ）A ．34B ．45C ．44D ．552．11||d x x -=⎰（ ）A ．0B ．12C ．1D ．23．下列两个量之间的关系是相关关系的为（ ） A ．匀速直线运动的物体时间与位移的关系 B ．学生的成绩和体重C ．路上酒后驾驶的人数和交通事故发生的多少D ．水的体积和重量 4．已知ξ的分布列为设23ηξ=+，则()E η的值为（ ）A ．4B ．73C ．54D ．15．已知函数()24,0,ln ,0,x x x f x x x x ⎧+≤=⎨>⎩()1g x kx =-，若方程()()0f x g x -=在()22,e x ∈-上有3个实根，则k 的取值范围为（） A ．(]1,2B ．{}31,22⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦C ．331,,222⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．23311,,222e ⎛⎫⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．曲线33y x x =-和直线y x =所围成图形的面积是（ ） A ．4B ．6C ．8D ．107．一个均匀的正方体，把其中相对的面分别涂上红色、黄色、蓝色，随机向上抛出，正方体落地时“向上面为红色”的概率是8．函数32()log f x x x=-的一个零点所在的区间是( ) A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)9．有10名学生和2名老师共12人,从这12人选出3人参加一项实践活动则恰有1名老师被选中的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．10．.盒子里有25个外形相同的球，其中10个白的，5个黄的，10个黑的，从盒子中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率为 A ． B ． C ． D ．11．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，形成三棱锥C ABD -的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为( )A ．12B ．22 C ．14D 212．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ，若直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切，则双曲线的渐近线方程是（ ） A ．y x =±B ．2y x =±C ． 3y x =D ．2y x =二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，E 为其标准线与x 轴的交点，过F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，且||20ME =||AB =__________．14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若(2)()f x f x +=-，(1)3f =，则(2018)(2019)f f +的值为__________．若关于x 的方程()0f x ax -=恰有两个根，则实数a 的取值范围为__________．16．已知空间整数点的序列如下：111（，，），112（，，），121（，，），211（，，），113（，，），131（，，），311（，，），122（，，），212（，，），221（，，），114（，，），141（，，）,411（，，）,123（，，）,132（，，）…，则421（，，）是这个序列中的第____________个.三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知复数26(2)2(1)1mz i m i i=+----，其中i 是虚数单位，根据下列条件分别求实数m 的值. （Ⅰ）复数z 是纯虚数；（Ⅱ）复数z 在复平面内对应的点在直线0x y +=上.18．为了增强环保意识，某社团从男生中随机抽取了31人，从女生中随机抽取了51人参加环保知识测试，统计数据如下表所示： 优秀 非优秀 总计 男生 41 21 31 女生 21 31 51 总计3151111（1）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；（2）为参加市举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，现在环保测试优秀的同学中选3人参加预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为，若随机变量表示这3人中通过预选赛的人数，求的分布列与数学期望． 附:＝1．511 1．411 1．111 1．111 1．1111．4551．7182．7133．33511．82819．（6分）中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛.据统计，2016年卫星导航与位置服务产业总产值达到2118亿元，较2015年约增长22.06%.下面是40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求产值小于500万元的城市个数；（2）在上述抽取的40个城市中任取2个，设Y 为产值不超过500万元的城市个数，求Y 的分布列及期望和方差.20．（6分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n n n S na a =+-． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：4n T <．21．（6分）已知函数()|2|||f x x a x a =+--． （1）若()12f >，求a 的取值范围；（2）x y R ∀∈、，()()6f x f y >- ，求a 的取值范围． 22．（8分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1238650a a a +=>， 66332S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2log n n b a =-， n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】 【分析】11242x x 3273x x x由题,观察上面各式可得112xx+≥,22243222x xxx x+=++≥,3332734333x x xxx x+=+++≥,则44464454444x x x xxx x+=++++≥,所以44a=,故选:C【点睛】本题考查类比推理,考查理解分析能力. 2．C【解析】【分析】根据定积分的意义和性质，1110||2x dx xdx-=⎰⎰，计算即可得出.【详解】因为11210 101||2=2|12x dx xdx x-=⨯=⎰⎰，故选C.【点睛】本题主要考查了含绝对值的被积函数的定积分求值，定积分的性质，属于中档题. 3．C【解析】【分析】根据相关关系以及函数关系的概念，逐项判断，即可得出结果.【详解】A选项，匀速直线运动的物体时间与位移的关系是函数关系；B选项，成绩与体重之间不具有相关性；C选项，路上酒后驾驶的人数和交通事故发生的多少是相关关系；D选项，水的体积与重量是函数关系.故选C【点睛】本题主要考查变量间的相关关系，熟记概念即可，属于常考题型.4．B由ξ的分布列，求出1()3E ξ=-，再由()2()3E E ηξ=+，求得7()3E η=. 【详解】111111()(1)01236263E ξ=-⨯+⨯+⨯=-+=-，因为23ηξ=+，所以17()2()32()333E E ηξ=+=⨯-+=.【点睛】本题考查随机变量的期望计算，对于两个随机变量a b ηξ=+，具有线性关系，直接利用公式()()E aE b ηξ=+能使运算更简洁.5．B 【解析】 【分析】利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的极值和最值，利用数形结合进行求解即可． 【详解】当0x =时，()()00,01f g ==-，则()()000f g -=不成立， 即方程()()0f x g x -=没有零解.①当0x >时，ln 1x x kx =-，即ln 1kx x x =+，则1ln .k x x=+ 设()1ln ,h x x x =+则()22111,x h x x x x-='=-由()0h x '>，得21e x <<，此时函数()h x 单调递增；由()0h x '<，得01x <<，此时函数()h x 单调递减，所以当1x =时，函数()h x 取得极小值()11h =；当2e x =时，()221e2e h =+；当0x →时，()h x →+∞；②当0x <时，241x x kx +=-，即241kx x x =++，则14k x x =++.设()14,m x x x=++则()222111,x m x x x-=-='由()0,m x '>得1x >（舍去）或1x <-，此时函数()m x 单调递增；由()0,m x '<得10x -<<，此时()m x 单调递减，所以当1x =-时，函数()m x 取得极大值()12m -=；当2x =-时，()13224;22m -=--+=当0x →时，().m x →-∞作出函数()h x 和()m x 的图象，可知要使方程()()0f x g x -=在()22,e x ∈-上有三个实根，则31,22k k ⎛⎤∈= ⎥⎝⎦或.故选：B. 【点睛】(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 6．C 【解析】分析：先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为2，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可.详解：曲线33y x x =-和直线y x =的交点坐标为（0,0）,(2,2),(-2,-2),根据题意画出图形，曲线33y x x =-和直线y x =所围成图形的面积是 3322=2[(3)]2(4)00S x x x dx x x dx ⎰--=⎰-24212(2)2(84)804x x =-⎰=-=.故选C.点睛：该题所考查的是求曲线围成图形的面积问题，在解题的过程中，首先正确的将对应的图形表示出来，之后应用定积分求得结果，正确求解积分区间是解题的关键. 7．B 【解析】 【分析】 【详解】∵随机抛正方体，有6种等可能的结果， 其中正方体落地时“向上面为红色”有2种情况， 218．C 【解析】 【分析】根据函数零点的判定定理进行判断即可 【详解】32()log f x x x =-是连续的减函数，又()()3221log 20;3103f f =->=-< 可得f （2）f （3）＜0，∴函数f （x ）的其中一个零点所在的区间是(2,3) 故选C 【点睛】本题考查了函数零点的判定定理，若函数单调，只需端点的函数值异号即可判断零点所在区间，是一道基础题． 9．A 【解析】 【分析】先求出从12人中选3人的方法数，再计算3人中有1人是老师的方法数，最后根据概率公式计算． 【详解】从12人中选3人的方法数为，3人中愉有1名老师的方法为，∴所求概率为．故选A ． 【点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出完成事件的方法数． 10．D 【解析】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有5+10=15种结果， 满足条件的事件是取出的球是一个黑球，共有10种结果， ∴根据等可能事件的概率得到P=故选D ．取BD 的中点E ，连结CE ，AE ， ∵平面ABD ⊥平面CBD ， ∴CE ⊥AE ，∴三角形直角△CEA 是三棱锥的侧视图， ∵2,∴CE=AE=22， ∴△CEA 的面积S=122214， 故选C. 12．B 【解析】 【分析】先设直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切于点M ，根据题意，得到1//EM PF ，再由22114F E F F =，根据勾股定理求出2b a =，从而可得渐近线方程. 【详解】设直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切于点M ，因为12PF F ∆是以圆O 的直径12F F 为斜边的圆内接三角形，所以1290F PF ∠=o，又因为圆E 与直线2PF 的切点为M ，所以1//EM PF ，又22114F E F F =，所以144b PF b =⋅=， 因此22PF a b =+， 因此有222(2)4b a b c ++=，所以2b a =，因此渐近线的方程为2y x =±.本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．8. 【解析】分析：求得抛物线的焦点和准线方程，可得E 的坐标，设过F 的直线为y=k （x-1），代入抛物线方程y 2=4x ，运用韦达定理和中点坐标公式，可得M 的坐标，运用两点的距离公式可得k ，再由抛物线的焦点弦公式，计算可得所求值．详解：F （1，0）为抛物线C ：y 2=4x 的焦点， E （-1，0）为其准线与x 轴的交点， 设过F 的直线为y=k （x-1）， 代入抛物线方程y 2=4x ，可得 k 2x 2-（2k 2+4）x+k 2=0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则12242x x k +=+，中点222(1,)M k k +⇒= 解得k 2=1，则x 1+x 2=6，由抛物线的定义可得|AB|=x 1+x 2+2=8，故答案为8.点睛：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题． 14．3- 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和()()2f x f x +=-可推导得到函数为周期函数，周期为4；将()()20182019f f +变为()()23f f +，根据奇函数可得()()200f f ==，且()()()3113f f f =-=-=-可求得结果.【详解】()f x Q 为奇函数 ()()f x f x ∴-=-，又()()2f x f x +=- ()()2f x f x ∴+=- ()()()42f x f x f x ∴+=-+=()f x ∴是周期为4的周期函数()()()()()()20182019450424504323f f f f f f ∴+=⨯++⨯+=+本题正确结果：3- 【点睛】本题考查利用函数的周期性求解函数值的问题，关键是能够利用函数的奇偶性和对称性求解得到函数的周期，从而将所求函数值变为已知的函数值. 15．{}11[ln 2,)(,ln 2]1,133--⋃⋃- 【解析】 【分析】根据()f x 满足()()13f x f x -=+，得到()f x 的周期是4，再根据方程()0f x ax -=恰有两个根，转化为(),y f x y ax ==两个函数图象交点问题求解. 【详解】因为()f x 满足()()13f x f x -=+， 所以()()4f x f x +=， 所以函数()f x 的周期是4，又因为()f x 是偶函数，且当02x ≤≤时，()21,012,12x x f x x x ⎧-≤≤=⎨-+<≤⎩，作出()f x 的图象，如图所示：已知()()()()3,1,1,1,1,1,3,1A B C D --， 所以11,1,1,33OA OB OC OD k k k k ===-=-， 当01x ≤≤时，()ln 22xf x '=⋅，()0ln 2f '=，当10x -≤≤时，()ln 22xf x -'=-⋅，()0ln 2f '=-，因为关于x 的方程()0f x ax -=恰有两个根，所以实数a 的取值范围为{}11[ln 2,)(,ln 2]1,133--⋃⋃-.故答案为：{}11[ln 2,)(,ln 2]1,133--⋃⋃- 【点睛】本题主要考查函数与方程，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 16．29 【解析】按照规律：三个数字和相等的先看最小数字，再看第二小的数字；相同数字组成的点，先看最小数字排的位置，再看第二小的数字排的位置。
浙江省宁波市数学高二下学期理数期末考试试卷
浙江省宁波市数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知X和Y是两个分类变量，由公式K2=算出K2的观测值k约为7.822根据下面的临界值表可推断（）P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828A . 推断“分类变量X和Y没有关系”犯错误的概率上界为0.010B . 推断“分类变量X和Y有关系”犯错误的概率上界为0.010C . 有至少99%的把握认为分类变量X和Y没有关系D . 有至多99%的把握认为分类变量X和Y有关系2. （2分） (2016高二下·重庆期末) 在利用随机模拟方法估计函数y=x2的图象、直线x=﹣1，x=1以及x 轴所围成的图形面积时，做了1000次试验，数出落在该区域中的样本点数为302个，则该区域面积的近似值为（）A . 0.604B . 0.698C . 0.151D . 0.3023. （2分）在回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和（）A . 越大B . 越小C . 可能大也可能小D . 以上均错4. （2分） (2020高一下·河西期中) 设A、B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（）A . 事件A⊆B，则P（A）＜P（B）B . 若A和B互斥，则A和B一定相互独立C . 若A和B相互独立，则A和B一定不互斥D . P（A）+P（B）≤15. （2分）为了解社区居民的家庭收入与年支出的关系，随机抽查5户家庭得如下数据表：收入x（万元）8.28.610.011.311.9支出y（万元） 6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程，其中，，据此估计，该社区一户收入20万元家庭的支出是（）A . 15.6万元B . 15.8万元C . 16万元D . 16.2万元6. （2分）现将5名学生分成两个小组，其中甲、乙两人必须在同一个小组里，那么不同的分配方法有（）A . 7种B . 6种C . 5种D . 4种7. （2分）(2012·重庆理) 的展开式中常数项为（）A .B .C .D . 1058. （2分）某地某高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015和2018年高考情况，得到如下饼图：2018年与2015年比较，下列结论正确的是（）A . 一本达线人数减少B . 二本达线人数增加了0.5倍C . 艺体达线人数相同D . 不上线的人数有所增加9. （2分）已知函数f（x）=cos ，集合A={2，3，4，5，6}，现从集合A中任取两数m，n，且m≠n，则f（m）•f（n）≠0的概率为（）A .B .C .D .10. （2分） (2020高二下·徐州月考) 设表示不超过的最大整数（如，），对于给定的，定义，；当时，函数的值域是（）A .B .C .D .11. （2分）节日里某家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的月秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在4秒内间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后它们第一次闪亮的时刻相差不超过1秒的概率是（）A .B .C .D .12. （2分）为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如下图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为（）A . 0.27,78B . 0.27,83C . 2.7,78D . 2.7,83二、填空题 (共4题；共8分)13. （1分） (2020高二下·天津期中) 若，则的展开式的第4项的系数为________.（用数字作答）14. （1分） (2017高二下·钦州港期末) （1+x）5（1﹣）5的展开式中的x项的系数等于________．15. （5分） (2017高二下·钦州港期末) 冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系，调查结果如表所示：根据以上数据试判断含杂质的高低与设备改造有无关系？16. （1分） (2017高二下·钦州港期末) 若回归直线方程中的回归系数 =0时，则相关系数r=________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）已知函数f（x）=2x的定义域是[0，3]，设g（x）=f（2x）﹣f（x+2）．（1）求g（x）的解析式及定义域；（2）求函数g（x）的最大值和最小值．18. （10分） (2019高一上·金华月考) 设函数．（1）判断的奇偶性并证明；（2）当时，求的值域.19. （5分）已知函数f（x）=log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）、B（5，2），（1）求函数f（x）的解析式及定义域；（2）求的值．20. （10分）(2019·新乡模拟) 已知函数 .（1）求的单调区间；（2）当时，恒成立，求的取值范围.21. （10分） (2018高三下·鄂伦春模拟) 已知点是抛物线上一点，且到的焦点的距离为 .（1）求抛物线在点处的切线方程；（2）若是上一动点，且不在直线上，过作直线垂直于轴且交于点，过作的垂线，垂足为 .证明：为定值，并求该定值.22. （10分）化简：（1）（）﹣2+（1﹣）0﹣（3 ） + ；（2） a b﹣2•（﹣3a b﹣1）÷（4a b﹣3）．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共8分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
浙江省宁波市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量检测试题含解析
浙江省宁波市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．若关于x 的不等式2k x x >-恰好有4个整数解，则实数k 的范围为（ ）A ．20,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．23,55⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．32,53⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．2,13⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】【分析】 依题意可得，0＜k ＜1，结合函数 y ＝k|x|与 y ＝﹣|x ﹣2|的图象可得4个整数解是2，3，4，5，由2y kx y x =⎧⎨=-⎩⇒x (]2561k =∈-，，即可得35＜k 23≤. 【详解】解：依题意可得，0＜k ＜1，函数 y ＝k|x|与 y ＝﹣|x ﹣2|的图象如下，由0＜k ＜1，可得x A ＞1，∴关于x 的不等式k|x|﹣|x ﹣2|＞0恰好有4个整数解，他们是2，3，4，5， 由2y kx y x =⎧⎨=-⎩⇒x B (]2561k =∈-，，故35＜k 23≤；故选：C【点睛】本题主要考查根据含参绝对值不等式的整数解的个数，求参数范围问题，着重考查了数形结合思想，属于中档题．2．已知函数2,1()1,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若1x ∃、2R x ∈，12x x ≠，使得12()()f x f x =成立，则a 的取值范围是（ ）．A ．2a >B ．2a <C ．22a -<<D ．2a <-或2a >【分析】对a 的范围分类讨论，当2a <时，函数()f x 在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递增，在,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，即可判断：1x ∃、2R x ∈，12x x ≠，使得12()()f x f x =成立. 当2a ≥时，函数()f x 在R 上单调递增，即可判断：一定不存在1x 、2R x ∈，12x x ≠，使得12()()f x f x =成立，问题得解.【详解】当2a <时，12a <，函数()f x 在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递增，在,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减， 则：1x ∃、2R x ∈，12x x ≠，使得12()()f x f x =成立.当2a ≥时，12a ≥，函数()f x 在(),1-∞上递增，在()1,+∞也递增， 又21111a a -+⨯=⨯-，所以函数()f x 在R 上单调递增，此时一定不存在1x 、2R x ∈，12x x ≠，使得12()()f x f x =成立.故选：B【点睛】本题主要考查了分类思想及转化思想，还考查了函数单调性的判断，属于难题。
浙江省宁波市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量检测试题含解析
浙江省宁波市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知()()1,21,0,2,,a t t b t t =--=，则a b -的最小值为（ ）A BCD 2．某中学在高二下学期开设四门数学选修课，分别为《数学史选讲》.《球面上的几何》.《对称与群》.《矩阵与变换》．现有甲.乙.丙.丁四位同学从这四门选修课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同，下面关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选《球面上的几何》，也不选《对称与群》：②乙同学不选《对称与群》，也不选《数学史选讲》：③如果甲同学不选《数学史选讲》，那么丁同学就不选《对称与群》．若这些信息都是正确的，则丙同学选修的课程是（ ） A ．《数学史选讲》B ．《球面上的几何》C ．《对称与群》D ．《矩阵与变换》3．平面内平行于同一直线的两直线平行，由类比思维，我们可以得到（ ） A ．空间中平行于同一直线的两直线平行 B ．空间中平行于同一平面的两直线平行 C ．空间中平行于同一直线的两平面平行 D ．空间中平行于同一平面的两平面平行4．已知等比数列{a n }中，2341a a a =，67864a a a =，则5a =（ ） A ．±2B ．－2C ．2D ．45．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） （A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 （B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 （D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 6．已知函数1()f x x=，则曲线()y f x =在1x =处的切线的倾斜角为（） A ．4π B ．34π C ．3π D ．23π 7．一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13，14，19，x ，23，27，28，31，其中，中位数为22，则x 等于（） A ．21B ．22C ．23D ．248．已知函数()ln f x x x =，则()f x 在x e =处的切线方程为（ ） A ．0x y -=B ．10x y --=C ．20x y e --=D ．(1)0e x ey e +--=9．二项式61(2)x x-展开式中的常数项为（ ） A ．960- B ．160- C ．160D ．96010．下列说法错误的是( ) A ．回归直线过样本点的中心(),x yB ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C ．在回归直线方程0.2 0.8y x =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y 平均增加0.2个单位D ．对分类变量X 与Y ，随机变量2K 的观测值k 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小 11．在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限12．已知单位向量,OA OB 的夹角为60，若2OC OA OB =+，则ABC ∆为（ ） A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．观察如图等式，照此规律，第n 个等式为______.11234934567254567891049=++=++++=++++++=14．6(13)x +展开式中含有2x 的系数为________15．在数列{}n a 中，1,52,(5nn nn a n ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩（是奇数）是偶数），2122n n S a a a =+++，则2lim →∞=n n S ________. 16．某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n =__________． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围. 18．已知函数关系式：()sin()f x A t ωϕ=+0,0,22A ππωϕ⎛⎫>>-<<⎪⎝⎭的部分图象如图所示：（1）求A ，ω，ϕ的值； （2）设函数()()4g x f x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，求()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间． 19．（6分）在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，E 是AB 的中点，F 是1BB 的中点.（1）求证：//EF 平面11A DC ；（2）若123AA =11E A D C --的正弦值. 20．（6分）实数m 取什么数值时，复数221(2)z m m m i =-+--分别是：(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？21．（6分）已知函数()()ln 1xf x e a x =-+，其中e 为自然对数的底数.（1）若1a =，求()f x 的最小值； （2）若0a e ≤≤，证明：()0f x >.22．（8分）已知i 为虚数单位，m 为实数，复数()(12)z m i i =+-. （1）m 为何值时，z 是纯虚数？ （2）若||5z ≤，求||z i -的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．C 【解析】试题分析：由题意得，(1,1,)a b t t t -=----，所以(1a b -=--=，当0t =时，a b -，故选C. 考点：向量的运算及模的概念. 2．D 【解析】 【分析】列举出所有选择可能，然后根据三个信息，确定正确的选项. 【详解】4个同学，选4门课，各选一门且不重复的方法共24种，如下：满足三个信息都正确的，是第2种.故本小题选D. 【点睛】本小题主要考查分析与推理，考查列举法，属于基础题. 3．D 【解析】 【分析】由平面中的线类比空间中的面即可得解。
2019-2020学年浙江省宁波市数学高二第二学期期末质量检测试题含解析
2019-2020学年浙江省宁波市数学高二第二学期期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x ，y 之间关系最强的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】在频率等高条形图中，a a b +与c c d+相差很大时，我们认为两个分类变量有关系，即可得出结论． 【详解】在频率等高条形图中，a ab +与c c d+相差很大时，我们认为两个分类变量有关系， 四个选项中，即等高的条形图中x 1，x 2所占比例相差越大，则分类变量x ，y 关系越强， 故选D ． 【点睛】本题考查独立性检验内容，使用频率等高条形图，可以粗略的判断两个分类变量是否有关系，是基础题 2．球的体积是323π，则此球的表面积是（ ） A ．12π B ．16π C ．163πD ．643π【答案】B 【解析】 【分析】先计算出球的半径，再计算表面积得到答案. 【详解】设球的半径为R ，则由已知得343233R ππ=，解得2R =，故球的表面积2416S R ππ==表. 故选：B 【点睛】本题考查了圆的体积和表面积的计算，意在考查学生的计算能力.3．已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB u u u v 在CD uuu v方向上的投影为（ ）A ．322B ．3152C ．322-D ．3152-【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】(2,1)AB =u u u r ，(5,5)CD =u u u r ，向量AB u u u v 在CD uuu v 方向上的投影为3252AB CD CD⋅==u u u r u u u ru u u r ，故选A ． 4．在空间给出下列四个命题：①如果平面α内的一条直线a 垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β； ②如果直线a 与平面β内的一条直线平行，则a ∥β； ③如果直线a 与平面β内的两条直线都垂直，则a ⊥β；④如果平面α内的两条直线都平行于平面β，则a ∥β．其中正确的个数是 A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】本题考查空间线面关系的判定和性质．解答：命题①正确，符合面面垂直的判定定理． 命题②不正确，缺少a α⊄条件．命题③不正确，缺少两条相交直线都垂直的条件． 命题④不正确，缺少两条相交直线的条件．5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 （ ）A ．1235π B ．1243π C ．1534π D ．1615π 【答案】D由题设中提供的三视图中的图形信息与数据信息可知该几何体是一个底面是边长分别为３,３,４的等腰三角形，高是４的三棱锥，如图，将其拓展成三棱柱，由于底面三角形是等腰三角形，所以顶角的余弦为99161cos 2339B +-==⨯⨯，则2145sin 1()99B =-=，底面三角形的外接圆的半径45252r ==⨯，则三棱锥的外接球的半径228116142020R d r =+=+=，其表面积1611614205S ππ=⨯=，应选答案D 。
浙江省宁波市2019-2020学年数学高二下期末质量检测试题含解析
浙江省宁波市2019-2020学年数学高二下期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有( )种. A ．36 B ．30 C ．12 D ．6【答案】A 【解析】从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员， 其中甲、乙二人不能担任文娱委员，因为先从其余3人中选出1人担任文艺委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，所以不同的选法共有123436C A =种.本题选择A 选项.2．用0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A ．24个 B ．30个 C ．36个 D ．42个【答案】B 【解析】 【分析】利用分类计数原理，个位数字为0时有24A ；个位数字为2或4时均为1133C C ⋅，求和即可. 【详解】 由已知得：个位数字为0的偶数有24A ，个位数字为2的偶数为1133C C ⋅， 个位数字为4的偶数有1133C C ⋅，所以符合条件的偶数共有211114333330A C C C C +⋅+⋅=.故选：B 【点睛】本题考查了分类计数运算、排列、组合，属于基础题. 3．已知函数1()2ln (R)f x x a x a x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭在定义域上有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(,0)-∞C ．(0,)+∞D ．(1,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据等价转化的思想，可得'()0f x =在定义域中有两个不同的实数根，然后利用根的分布情况，进行计算，可得结果. 【详解】222122'()1x ax af x a xx x -+⎛⎫=--+= ⎪⎝⎭，令2()2g x x ax a =-+，方程()0g x =有两个不等正根1x ，2x ，则：21212(2)402010a a x x a a x x a ⎧∆=-->⎪+=>⇒>⎨⎪=>⎩ 故选：D 【点睛】本题考查根据函数极值点求参数，还考查二次函数根的分布问题，难点在于使用等价转化的思想，化繁为简，属中档题.4．平面向量a r 与b r 的夹角为120,(2,0),||1a b ︒==r r ，则|2|a b +=r r （ ）A ．4B ．3C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，得出向量b r的坐标，进行向量的和的计算，遂得到所求向量的模．【详解】由题目条件，两向量如图所示：可知132b ⎛=- ⎝⎭r则(|2||3|2a b +==r r∴答案为2.【点睛】本题考查了向量的坐标和线性加法运算，属于基础题．5．4名同学报名参加两个课外活动小组，每名同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( ) A ．4种 B ．16种C ．64种D ．256种【答案】B 【解析】根据题意，每个同学可以在两个课外活动小组中任选1个，即有2种选法， 则4名同学一共有222216⨯⨯⨯=种选法； 故选B.6．已知函数()21,1254,12xx f x x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-+->⎪⎩，若函数()()g x f x mx m =--的图象与x 轴的交点个数不少于2个，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(]1,2ln2,64⎡-∞-⋃⎢⎣ B．1,64⎡⎢⎣C ．(]1,2ln2,64e ⎡-∞-⋃-⎢⎣D．1,64⎡+⎢⎣【答案】C 【解析】分析：根据()()g x f x mx m =--的图象与x 轴的交点个数不少于2个，可得函数()f x 的图象与y mx m =+的交点个数不少于2个，在同一坐标系中画出两个函数图象，结合图象即可得到m 的取值范围.详解：Q ()()g x f x mx m =--的图象与x 轴的交点个数不少于2个，∴函数()y f x =的图象与函数y mx m =+的图象的交点个数不少于2个，Q 函数()21,1254,12xx f x x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-+->⎪⎩，∴1x ≤时，函数()f x 为指数函数，过点(0,1)，1(1,)2A1x >时，函数23()(2)2f x x =--+，为对称轴2x =，开口向下的二次函数.Q (1)y mx m m x =+=+，∴y mx m =+为过定点(1,0)-的一条直线.在同一坐标系中，画出两函数图象，如图所示. （1）当0m ≥时，①当y mx m =+过点1(1,)2A 时，两函数图象有两个交点，将点1(1,)2A 代入直线方程12m m =+，解得14m =.②当y mx m =+与25()42f x x x =-+-相切时，两函数图象有两个交点.联立2542y mx my x x =+⎧⎪⎨=-+-⎪⎩，整理得25(4)()02x m x m +-++= 则25(4)4()02m m ∆=--+=，解得6m =6m =如图当1[,64m ∈+，两函数图象的交点个数不少于2个. （2）当0m <时，易得直线y mx m =+与函数25()4(1)2f x x x x =-+->必有一个交点 如图当直线y mx m =+与1()(1)2xf x x ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭相切时有另一个交点 设切点为1(,())2tt ，Q 1'()ln 2()2x f x =-⋅，∴切线的斜率1'()ln 2()2t k f t ==-⋅， 切线方程为11ln 2()()22tty x t ⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭ Q 切线与直线y mx m =+重合，即点(1,0)-在切线上.∴110ln 2(1)221ln 22t ttt m ⎧⎛⎫⎛⎫-=---⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得21log 2ln 2t e m e =--⎧⎨=-⎩ 由图可知，当(,2ln 2]m e ∈-∞-,两函数图象的交点个数不少于2个. 综上，实数m的取值范围是1(,2ln 2][,64e -∞-⋃+ 故选C.点睛：本题考查函数零点问题，考查数形结合思想、转化思想及分类讨论的思想，具有一定的难度. 利用函数零点的情况，求参数值或取值范围的方法 （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解 （2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 7．由曲线y x =直线2y x =-及y 轴所围成的平面图形的面积为( )A ．6B ．4C ．103D ．163【答案】D 【解析】 【分析】先求可积区间，再根据定积分求面积. 【详解】 由y x =2y x =-得交点为(4,2)， 所以所求面积为322440016(2)(2)3232x x x x dx x +=-+=⎰，选D. 【点睛】本题考查定积分求封闭图形面积，考查基本求解能力，属基本题.8．用数学归纳法证明“()()()()12213...21nn n n n n ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅-”,从“k 到1k +”左端需增乘的代数式为( ) A ．21k + B ．()221k +C ．211k k ++ D ．231k k ++ 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出n k =时左端的表达式，和1n k =+时左端的表达式，比较可得“n 从k 到1k +”左端需增乘的代数式.【详解】由题意知，当n k =时，有(1)(2)()213(21)kk k k k k +++=⋅⋅-L L ， 当1n k =+时，等式的左边为(2)(3)(2)(21)(22)k k k k k ++++L ， 所以左边要增乘的代数式为(21)(22)1k k k +++2(21)k =+.故选：B . 【点睛】本题主要考查的是归纳推理，需要结合数学归纳法进行求解，熟知数学归纳法的步骤，最关键的是从k 到1k +，考查学生仔细观察的能力，是中档题.9．设函数f （x ），g （x ）在[A ，B]上均可导，且f′（x ）＜g′（x ），则当A ＜x ＜B 时，有（） A ．f （x ）＞g （x ）B ．f （x ）+g （A ）＜g （x ）+f （A ）C ．f （x ）＜g （x ）D ．f （x ）+g （B ）＜g （x ）+f （B ） 【答案】B 【解析】试题分析：设F （x ）=f （x ）-g （x ）， ∵在[A ，B]上f'（x ）＜g'（x ）， F ′（x ）=f ′（x ）-g ′（x ）＜0， ∴F （x ）在给定的区间[A ，B]上是减函数． ∴当x ＞A 时，F （x ）＜F （A ）， 即f （x ）-g （x ）＜f （A ）-g （A ） 即f （x ）+g （A ）＜g （x ）+f （A ） 考点：利用导数研究函数的单调性10．若函数()xf x xe ax =-有2个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．(),1e --B ．()(),0,1e -∞-⋃C ．()()1,00,1-UD ．()()1,01,-⋃+∞【答案】D 【解析】分析：首先研究函数xy xe =的性质，然后结合函数图象考查临界情况即可求得最终结果.详解：令()xg x xe =，()h x ax =，原问题等价于()g x 与()h x 有两个不同的交点，当0x ≥时，()xg x xe =，()()'10xg x ex =+≥，则函数()g x 在区间()0,∞+上单调递增，当0x ≤时，()x g x xe =-，()()'1xg x ex =-+，则函数()g x 在区间(),1-∞-上单调递增，在区间()1,0-上单调递减， 绘制函数图象如图所示，函数()h x 表示过坐标原点的直线，考查临界情况，即函数()h x 与函数()g x 相切的情况， 当0x ≥时，()()0'0011a g e ==⨯+=，当0x <时，()()0'0011a g e ==-⨯+=-，数形结合可知：a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的切线方程，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．函数()f x 的定义域为R ，且()()3f x f x =-，当20x -≤<时，()()21f x x =+；当01x ≤<时，()21f x x =-+，则()()()()1232018(2019)f f f f f +++++=L A ．672 B ．673C ．1345D ．1346【答案】D 【解析】 【分析】根据函数周期的定义，得到函数()f x 是周期为3的周期函数，进而求得(1)(2)(3)f f f ++的值，进而得到()()12(2019)673(1)(]()3)[2f f f f f f +++++=⨯L ，即可求解. 【详解】根据题意，函数()f x 的定义域为R ，且()()3f x f x =-， 则函数()f x 是周期为3的周期函数，又由当20x -≤<时，()()21f x x =+，则()21,(1)0f f -=-=，当01x ≤<时，()21f x x =-+，则()01f =，由函数()f x 是周期为3的周期函数，则(1)(2)1,(2)(1)0,(3)(0)1f f f f f f =-==-=== 则(1)(2)(3)1012f f f ++=++=，所以()()()()(1)(2)(3)67321232018(2019)673[]1346f f f f f f f f +++++=⨯++=⨯=L ， 故选D. 【点睛】本题主要考查了函数周期性的应用，以及函数值的计算，其中解答中根据函数周期性的定义，求得函数()f x 是周期为3的周期函数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．已知点P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点，点F 1，F 2分别为双曲线的左右焦点，点I 是△PF 1F 2的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有12122IPF IPF IF F S S S -≥V V V 成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ）A ．（1）B ．（1，）C ．（1，]D ．（1]【答案】D 【解析】 【分析】根据条件和三角形的面积公式，求得,a c 的关系式，从而得出离心率的取值范围，得到答案． 【详解】设12PF F ∆的内切圆的半径为r ，则12121212111,,222IPF IPF IF F S PF r S PF r S F F r ∆∆∆=⋅=⋅=⋅，因为12122IPF IPF IF F S S S ∆∆∆-≥，所以1212PF PF F -≥,由双曲线的定义可知12122,2PF PF a F F c -==，所以2a ≥，即c a ≤又由1ce a=>，所以双曲线的离心率的取值范围是， 故选D ． 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知椭圆22194x y +=，直线2180x y ++=，则椭圆上点到这条直线的最短距离是______________．【解析】 【分析】可将椭圆的标准式转化为参数方程，再由点到直线距离公式求解即可 【详解】由22194x y +=⇒对应参数方程为：3cos 2sin x y =⎧⎨=⎩θθ，由点到直线距离公式得d ==()sin 1+=-θϕ时，min d==【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，点到直线的距离公式，属于中档题 14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3577,13,a a S ===_____；【答案】70 【解析】 【分析】设等差数列的公差为d ，由等差数列的通项公式，结合357,13,a a ==可列出两个关于1,a d 的二元一次方程，解这个二元一次方程组，求出1,a d 的值，再利用等差数列的前n 项和公式求出7S 的值.【详解】设等差数列的公差为d ，由357,13,a a ==可得：11127,1,4133a d a a d d +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，77671370.2S ⨯=⨯+⨯= 【点睛】本题考查了等差数列基本量的求法，熟记公式、正确解出方程组的解，是解题的关键.本题根据等差数列的性质，可直接求解：3547,1103a a a ===⇒，1774)7(7072a a S a ⋅===⋅+.15．5(31)x -的展开式中，设各项的系数和为a ，各项的二项式系数和为b ，则ab=________. 【答案】1 【解析】 【分析】分别求得各项系数和a 与各项的二项式系数和b ，从而求得ab的值． 【详解】解：在5(31)x -的展开式中，令1x =可得设各项的系数和为5232a ==， 而各项的二项式系数和为5232b ==，∴1ab=， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意各项系数和与各项的二项式系数和的区别，属于基础题． 16．i 是虚数单位，若复数(12)()i a i ++是纯虚数，则实数a =____________. 【答案】2 【解析】 【分析】化简复数，实部为0，计算得到答案. 【详解】(12)()2(12)i a i a a i ++=-++为纯虚数2a =故答案为2 【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知圆C 经过点(2,0)A -,(0,2)B 且圆心C 在直线y x =上，又直线:1l y kx =+与圆C 相交于P,Q 两点.（1）求圆C 的方程；（2）若•2OP OQ =-u u u v u u u v ，求实数k 的值.【答案】（1）224x y +=；（2）0【解析】(1)设圆心C(a ，a)，半径为r.因为圆C 经过点A(－2,0)，B(0,2)，所以|AC|＝|BC|＝r ，易得a ＝0，r ＝2，所以圆C 的方程是x 2＋y 2＝4. (2)因为OP uuu r ·OQ uuu r ＝2×2×cos 〈OP uuu r ，OQ uuu r 〉＝－2，且OP uuu r 与OQ uuu r 的夹角为∠POQ ，所以cos ∠POQ ＝－12，∠POQ ＝120°， 所以圆心C 到直线l ：kx －y ＋1＝0的距离d ＝1，又d，所以k ＝0.18．已知椭圆C ：2214x y +=，F 为右焦点，圆22:1O x y +=，P 为椭圆C 上一点，且P 位于第一象限，过点P 作PT 与圆O 相切于点T ，使得点F ，T 在OP 的两侧.（Ⅰ）求椭圆C 的焦距及离心率；（Ⅱ）求四边形OFPT 面积的最大值.【答案】（Ⅰ）【解析】分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何性质求椭圆C 的焦距及离心率. （Ⅱ）设()00,P x y （00x >，00y >），先求出四边形OFPT 面积的表达式OFPT S 四边形=. （Ⅰ）在椭圆C ：2214x y +=中，2a =，1b =，所以c ==，故椭圆C 的焦距为2c =2c e a ==．（Ⅱ）设()00,P x y （00x >，00y >）， 则220014x y +=，故220014x y =-． 所以2222220003||||14TP OP OT x y x =-=+-=， 所以032TP x =， 0132OTP S OT TP ∆=⋅=． 又()0,0O ，)3,0F ，故00132OFP S OF y y ∆=⋅=． 因此0032OFP OTP OFPT x S S S y ∆∆⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭四边形 22000000331242x x y y x y =++=+ 由220014x y +=，得2200214x y ⋅，即001x y ⋅≤， 所以00361OFPT S x y =+≤四边形， 当且仅当2200142x y ==，即02x =02y =. 点睛：本题的关键在于求此OFPT S 四边形的表达式和化简，由于四边形OFPT 是不规则的图形，所以用割补法求其面积OFP OTP OFPT S S S 四边形∆∆=+，其面积求出来之后，又要利用已知条件将其化简为0031x y +. 19．已知()|1||1|f x x x =++-，不等式()4f x <的解集为M .（1）求M ；（2）当,a b M ∈时，证明：2|||4|a b ab +<+.【答案】（I ） M ＝(－2，2)．（Ⅱ）见解析【解析】试题分析：（1）将函数写成分段函数，再利用()4f x <，即可求得M ；（2）利用作差法，证明22224(2)168a ab b ab a b ++<++，即可得到结论．试题解析：（1）2,1()11{2,12,11x x f x x x x x x >=++-=-<--≤≤，当1x >时，24x <，解得12x <<；当1x <-时，24x -<，解得21x -<<-；当11x -≤≤时，24<恒成立；综合以上：{}|22x x -<<（2）证明24a b ab +<+，只需22224(2)168a ab b ab a b ++<++，只需22224416a b a b +<+∵2222224416(4)(4)a b a b a b --+=--又∵22(0,4),(0,4)a b ∈∈，∴222244160a b a b --+>因此结果成立.考点：不等式证明；绝对值函数20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n n n S na a =+-．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：4n T <． 【答案】（1）1()2n n a n N *+=∀∈；（2）见解析 【解析】【分析】(1)根据前n 项和与通项间的关系得到，221n n n S na a =+-，()1112121n n n S n a a ---=-+-，两式做差即可得到数列11n n a a n n -=+，数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列，112n a n =+，即12n n a +=；（2）根据第一问得到()()22144114111n a n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪++⎝⎭+，裂项求和即可. 【详解】 （1）当1n =时，111221S a a =+-，即11a =，当2n ≥时，221n n n S na a =+- ①， ()1112121n n n S n a a ---=-+- ②-①②，得()112122n n n n n a na n a a a --=--+-，即()11n n na n a -=+，所以11n n a a n n -=+，且1122a =， 所以数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列，112n a n =+，即()*12n n a n N +=∀∈． （2）由（1）得12n n a +=，所以()()22144114111n a n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪++⎝⎭+， 所以()()22224444444423412233411n T n n n =++++<++++⨯⨯⨯++L L ，11111111414142233411n n n L ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等．21．如图四棱锥中，底面ABCD 是平行四边形，平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上，且，，，，E 是BC 的中点． 求异面直线GE 与PC 所成的角的余弦值；求点D 到平面PBG 的距离；若F 点是棱PC 上一点，且，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】以点为原点，为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，写出两条异面直线对应的向量，根据两个向量的所成的角就可以确定异面直线所成的角。
2019-2020学年浙江省宁波市数学高二下期末质量检测试题含解析
2019-2020学年浙江省宁波市数学高二(下)期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知抛物线22y px ＝（p 是正常数）上有两点()11,A x y 、()22,B x y ，焦点F ，甲：2124p x x =；乙：212y y p =-；丙：234OA OB p ⋅=-u u u v u u u v ；丁：112FA FB p+=. 以上是“直线AB 经过焦点F ”的充要条件有几个（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．若12i -是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个虚数根，则（ ） A ．2b =，3c =B ．2b =，1c =-C ．2b =-，1c =-D ．2b =-，3c =3．若非零向量a v ，b v满足||a b v v|=|，向量2a b +vv 与b v 垂直，则a v 与b v的夹角为（ ） A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30°4．为了调查胃病是否与生活规律有关，某同学在当地随机调查了500名30岁以上的人，并根据调查结果计算出了随机变量2K 的观测值 6.080k =，则认为30岁以上的人患胃病与生活无规律有关时，出错的概率不会超过( ) 附表：A ．0.001B ．0.005C ．0.010D ．0.0255．已知1a ，2a ，{}32,4,6a ∈，记()123,,N a a a 为1a ，2a ，3a 中不同数字的个数，如：()2,2,21N =，()2,4,22N =，()2,4,63N =，则所有的()123,,a a a 的排列所得的()123,,N a a a 的平均值为（ ）A ．199B ．3C ．299D ．46．已知()()2sin 1f x x f x π+'=，则()1f =( )A ．12B ．πC ．2π D ．以上都不正确7．4名同学分别从6所大学中选择一所参观，则不同选法有（ ）A ．64种B ．46种C ．46A 种D ．46C 种8．函数()21cos 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A ． B ． C ．D ．9．已知i 为虚数单位，则复数1z ii=+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．随机变量X 的分布列如下表，其中a ，b ，c 成等差数列，且12c ab =， X2 46Pabc则()2P X ==（ ）A ．47B ．45C ．14D ．22111．已知命题p 是命题“若ac bc >，则a b >”的否命题；命题q ：若复数22(1)(2)x x x i -++-是实数，则实数1x =，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∨B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝12．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,7二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．某校从6名教师中选派3名教师去完成3项不同的工作，每人完成一项，每项工作由1人完成，其中甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有_____种. 14．函数31log x y -=的定义域为____________.15．若实数，则的最小值是 .16．已知0sin a xdx π=⎰，则5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中1x -项的系数为______.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知数列{}n a 满足：()1(2)1n n na n a +=+-，且16(11)(211)a ==+⨯+. （Ⅰ）求2a ，3a ，4a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）试用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想.18．学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出300人进行统计.其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的60%，对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的75%，其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有120人. （1）填写教师教学水平和教师管理水平评价的22⨯列联表：对教师管理水平好评 对教师管理水平不满意 合计 对教师教学水平好评 对教师教学水平不满意 合计请问是否可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关？ （2）若将频率视为概率，有4人参与了此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随机变量X .①求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数X 的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求X 的数学期望和方差.20()P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828（()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）19．（6分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B ⊥底面ABC ，1AA AB =，90ABC ∠=o ．（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BC ；（Ⅱ）若2AB =，160A AB ∠=o，且1A C 与平面11BB C C 所成的角为30o ，求二面角11B A C C --的平面角的余弦值．20．（6分）在2018年高校自主招生期间，某校把学生的平时成绩按“百分制”折算，选出前n 名学生，并对这n 名学生按成绩分组，第一组[75,80)，第二组[80,85)，第三组[85,90)，第四组[90,95)，第五组[95,100].如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60.（1）请写出第一、二、三、五组的人数，并在图中补全频率分布直方图；（2）若Q 大学决定在成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试.①若Q 大学本次面试中有B ，C ，D 三位考官，规定获得至少两位考官的认可即为面试成功，且各考官面试结果相互独立.已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为12，13，15，求甲同学面试成功的概率；②若Q 大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B 的面试，第3组有ξ名学生被考官B 面试，求ξ的分布列和数学期望.21．（6分）2017年5月，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”：高铁、扫码支付、共享单车和网购.乘坐高铁可以网络购票，为了研究网络购票人群的年龄分布情况，在5月31日重庆到成都高铁9600名网络购票的乘客中随机抽取了120人进行了统计并记录，按年龄段将数据分成6组：[15,25),[25,35),[65,75)L ，得到如下直方图：（1）试通过直方图，估计5月31日当天网络购票的9600名乘客年龄的中位数；（2）若在调查的且年龄在[55,75)段乘客中随机抽取两人，求两人均来自同一年龄段的概率. 22．（8分）设数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，.若，，成等比数列.（I ）求及；（Ⅱ）设， 求数列的前项和.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】 【分析】设直线AB 的方程为x my t =+，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理验证四个选项结论成立时，实数t 的值，可以得出“直线AB 经过焦点F ”的充要条件的个数. 【详解】设直线AB 的方程为x my t =+，则直线AB 交x 轴于点(),0T t ，且抛物线的焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭. 将直线AB 的方程与抛物线的方程联立22y px x my t⎧=⎨=+⎩，消去x 得，2220y pmy pt --=，由韦达定理得122y y pm +=，122y y pt =-.对于甲条件，()()22222122121222224444y y pt y y p x x t p p p -=====，得2p t =±， 甲条件是“直线AB 经过焦点F ”的必要不充分条件；对于乙条件，2122y y pt p =-=-，得2pt =，此时，直线AB 过抛物线的焦点F ， 乙条件是“直线AB 经过焦点F ”的充要条件；对于丙条件，221212324OA OB x x y y t pt p ⋅=+=-=-uu r uu u r ，即223204t pt p -+=，解得2p t =或32pt =，所以，丙条件是“直线AB 经过焦点F ”的必要不充分条件；对于丁条件，11121111112222p p p pFA FB x x my t my t +=+=+++++++()()()()()12122121212222222m y y t p m y y t p p p p p my t my t m y y m t y y t ++++++==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22222222222222222pm t ppm t p p p p p m pt m t pm t p m t ++++===⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++⋅++++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得224p t =，得2p t =±，所以，丁条件是“直线AB 经过焦点F ”的必要不充分条件.综上所述，正确的结论只有1个，故选B. 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，以及直线与抛物线的综合问题，同时也考查了充分必要条件的判定，解题时要假设直线的方程，并将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求解，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中等题. 2．D 【解析】 【分析】利用实系数一元二次的虚根成对原理、根与系数的关系即可得出． 【详解】解：∵1是关于x 的实系数方程x 2+bx+c ＝0的一个复数根， ∴1i 是关于x 的实系数方程x 2+bx+c ＝0的一个复数根，∴()()1111bc ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝1．故选：D ． 【点睛】本题考查了实系数一元二次的虚根成对原理、根与系数的关系，属于基础题． 3．B 【解析】∵||||a b =r r ，且2a b +r r 与b r 垂直，∴(2)0a b b +⋅=v v v ，即220a b b ⋅+=v v v ，∴2||2b a b ⋅=-v v v ，∴2||12cos ,2b a b a b a b b b-⋅===-⋅⋅v v v v v v v v v ，∴a r 与b r 的夹角为120︒．故选B ． 4．D 【解析】 【分析】把相关指数2K 的观测值k 与临界值比较，可得判断30岁以上的人患胃病与生活无规律有关的可靠性程度及犯错误的概率． 【详解】∵相关指数2K 的观测值 6.080 5.024k =>， ∴在犯错误的概率不超过0.025的情况下，判断30岁以上的人患胃病与生活无规律有关． 故选：D ． 【点睛】本题考查了独立性检验思想方法，熟练掌握在独立性检验中，观测值与临界值大小比较的含义是解题的关键． 5．A 【解析】 【分析】由题意得()123,,a a a 所有的的排列数为3327=，再分别讨论()123,,123N a a a ，，=时的可能情况则均值可求 【详解】由题意可知，()123,,a a a 所有的的排列数为3327=，当()123,,1N a a a =时，有3种情形，即()2,2,2，()4,4,4，()6,6,6；当()123,,2N a a a =时，有21132318C C C ⋅⋅=种；当()123,,3N a a a =时，有336A =种，那么所有27个()123,,a a a 的排列所得的()123,,N a a a 的平均值为132183619279⨯+⨯+⨯=.故选：A 【点睛】本题考查排列组合知识的应用，考查分类讨论思想，考查推理论证能力和应用意识，是中档题 6．B 【解析】 由题意可得：()()()()()'cos 2'1,'1cos 2'1,'1,f x x f x f f f πππππ=+∴=+=据此有：()()2sin ,1sin f x x x f πππππ=+=+=. 本题选择B 选项.7．B 【解析】 【分析】每名同学从6个大学点中选择一个参观，每个同学都有6种选择，根据乘法原理，计算即可得答案． 【详解】因为每名同学都有6种选择，相互不影响， 所以有466666⨯⨯⨯=种选法． 故选：B. 【点睛】本题考查分步计数原理的运用，注意学生选择的景区可以重复．属于基础题. 8．B 【解析】 【分析】利用奇偶性可排除A 、C ；再由(1)f 的正负可排除D. 【详解】()21e 1cos cos 1e 1e x x x f x x x -⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，()1e cos()1e x xf x x ----=-=+e 1cos e 1x x x -+ ()f x =-，故()f x 为奇函数，排除选项A 、C ；又1e(1)cos101ef -=<+，排除D ，选B. 故选：B. 【点睛】本题考查根据解析式选择图象问题，在做这类题时，一般要结合函数的奇偶性、单调性、对称性以及特殊点函数值来判断，是一道基础题. 9．A 【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，从而可得结果. 详解：：由于复数，1iz i =+()()()i 1i 1+i 11i 1i 1i 222-===++-，在复平面的对应点坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭， ∴在第一象限，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 10．A 【解析】 【分析】根据a,b,c 成等差数列，a+b+c=1，12c ab =可解得a,b,c ，进而求出()2P X =. 【详解】由2121b a c c ab a b c =+⎧⎪⎪=⎨⎪++=⎪⎩，得4713221a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩.则()427P X ==，故选A. 【点睛】本题考查根据随机变量X 的分布列求概率，分析题目条件易求出． 11．D 【解析】分析：先判断命题p ，q 的真假，再判断选项的真假. 详解：由题得命题p:若a>b,则ac bc >，是假命题.因为()()2212x x x i -++-是实数，所以220,2 1.x x x x +-=∴=-=或所以命题q 是假命题，故()()p q ⌝∧⌝是真命题.故答案为 D.点睛：（1）本题主要考查四个命题和复数的基本概念，考查复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)复合命题的真假判断口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真. 12．C 【解析】分析：根据集合{}{}1,3,5,7,2,3,4,5A B ==可直接求解{3,5}A B =I .详解：{}{}1,3,5,7,2,3,4,5A B ==Q ,{}3,5A B ∴⋂=,故选C点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn 图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．48 【解析】 【分析】先选人后分配，选人分有甲丙和没有甲丙2种情况，然后选出的3人全排列，两步的结果相乘可得解. 【详解】根据题意，可以分两步完成选派：①先从6名教师中选出3名老师，需分2种情况进行讨论.1.甲和丙同去，有14C 4=种不同选法；2.甲和丙同不去，有344C =种不同选法，所以不同的选法有448+=种.②将选出的3名老师全排列，对应3项不同的工作，有336A =种情况.根据分步计数原理得不同的选派方案共有4868=⨯种.【点睛】本题主要考查排列组合的综合题，先选人后分配是解决本题的关键. 14．(0,1)(1,3]⋃ 【解析】分析：令3101log 0x x -≠-≥，即可求出定义域 详解：令101x x -≠≠，，31log 0x -≥，3log 1x ≤，解得03x <≤综上所述，函数31log x y -=的定义域为()(]0113⋃，， 点睛：在求定义域时找出题目中的限制条件，有分母的令分母不等于零，有根号的令根号里面大于或者等于零，对数有自身的限制条件，然后列出不等式求出定义域。
浙江省宁波市慈溪市2019-2020学年高二下学期期末数学试题(解析版)
慈溪市2019学年第二学期高二年级期末测试数学学科试卷第Ⅰ卷一、选择题1.设全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}0,1,4A = ，则UA（ ）A. {}1,4B. {}1,2,3C. {}2,3D. {}0,2,4【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的概念直接求得结果.【详解】由题可知：全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}0,1,4A = 所以{}2,3UA =故选：C【点睛】本题考查补集的概念，属基础题. 2.11sin 3π= （ ）A. 12-B. 2-C.D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式得到答案.【详解】11sin sin 4sin sin 3333πππππ⎛⎫⎛⎫=-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：D.点睛】本题考查了诱导公式.属于容易题.3.若甲、乙、丙、丁四人排队照相，则甲、乙两人必须相邻的不同排法数是（ ） A. 6 B. 12C. 18D. 24【答案】B【分析】使用捆绑法，然后进行排列，简单计算可得结果.【详解】由题可知：甲、乙两人必须相邻，使用捆绑法，看作一个整体，则所求的不同排法数为232312A A =故选：B 【点睛】本题考查相邻问题的排列，简单计算，属基础题.4.设复数11iz i的共轭复数为(),z a bi a b R =+∈，则a b +=（ ） A. 1-B. 12-C.12D. 1【答案】D 【解析】 【分析】本题首先可以通过复数的运算得出z i =-，然后根据共轭复数的相关性质得出z i =，再然后根据复数的实部与虚部定义得出0a =以及1b =，最后两者相加，即可得出结果.【详解】因为()()()()2211112211112i i i i i iz i i i i i ----+-=====-++--， 所以复数z 的共轭复数为z i =，0a =，1b =， 则011a b +=+=， 故选：D.【点睛】本题考查复数的相关性质，主要考查复数的乘法以及除法运算，考查共轭复数以及复数的实部与虚部，考查计算能力，是简单题. 5.已知函数()()f x x ϕ=+，其中tan m ϕ=（m 是常数），则“()f x 为奇函数”是“0m =”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】根据函数为奇函数可得0m =，若0m =，可得函数为奇函数，最后根据充分、必要条件的概念，可得结果. 【详解】由题可知：()()f x x ϕ=+，其中tan m ϕ=（m 是常数）当()f x 为奇函数时，则,k k Z ϕπ=∈，可知tan 0ϕ==m当0m =时，可知tan 0ϕ==m ，则,k k Z ϕπ=∈，所以()=f x x 所以()()f x f x -=-，可知函数奇函数故“()f x 为奇函数”是“0m =”的充要条件 故选：C【点睛】本题考查奇偶性的判断以及充分、必要条件的概念，理清思路，细心计算，属基础题.6.在二项式8x -（的展开式中，含5x 的项的系数是（ ） A. 28- B. 28C. -8D. 8【答案】B 【解析】二项式8x （的展开式中，通项公式为()()16382211188r r r rr r r r T C x x C x ---+=⋅⋅-⋅=-⋅⋅. 令16352r -=，解得2r =，故含5x 的项的系数是()221288C -⋅=， 故选B.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.7.若变量x 、y 满足约束条件010330y x y x y ≥⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩，则x y +的最大值为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】A 【解析】本题首先可以根据题意绘出可行域，然后设z x y =+，最后结合图像即可得出结果.【详解】如图，根据约束条件010330y x y x y ≥⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩绘出可行域，设z x y =+，结合图像易知，当目标函数z x y =+过点()3,0时取最大值， 此时303z =+=，x y +的最大值为3， 故选：A.【点睛】本题主要考查与线性规划相关的问题，主要考查根据线性规划求最值，考查数形结合思想，考查计算能力，是简单题.8.已知实数x 、y 满足2160x x y -+=，若8x ≤-，则y 的最小值（ ）A. 8B. 10C. 12D. 16【答案】B 【解析】 【分析】本题首先可以根据题意得出16y x x =--，然后令()16f x x x=--，根据导函数()0f x '<判断出函数()f x 在区间(],8-∞-上是减函数，最后根据减函数的相关性质即可得出结果. 【详解】因为2160x x y -+=，所以216x y x=+，因为8x ≤-，所以21616x y x x x=-+=--，令()16f x y x x ==--，则()()()2244161x x f x x x-+'=-+=， 当8x ≤-时，()()440x x -+<， 即()0f x '<，函数()16f x x x=--是减函数， 则当8x =-时，函数()f x 取最小值，88210f ，故y 的最小值为10， 故选：B.【点睛】本题考查根据导函数求最值，主要考查根据导函数判断函数在指定区间的单调性，考查去绝对值，考查计算能力，体现了基础性，是中档题.9.设R λ∈，若单位向量1e ，2e 满足：12e e ⊥12e +与12-e e λ的夹角为3π，则λ=（ ）A.3B. 3-C.D. 1【答案】A 【解析】 【分析】先利用已知条件得到11e =，21e =，120e e ⋅=，再利用向量的数量积运算法则代入求解即可. 【详解】由题意得，11e =，21e =，120e e ⋅=，12e +与12-e e λ的夹角为3π，得)()221212112122333e e e e e e e e e λλλλ⋅=+--⋅+⋅-=，122e +=，12-1e e λ=+则)()12121212cos33e e e e e e e πλλλ⋅==+-+-=，所以3λ=. 故选：A.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算.属于较易题.10.已知二次函数()2f x x ax b =++的图象经过四点：()1,0x ，()2,0x ，()1,p ，()2,q ，其中1212x x <≤<，则pq 的最大值为（ ）A. 2B.14C.12D.116【答案】D 【解析】 【分析】已知12,x x 的取值范围，于是考虑把二次函数的解析式用两根式表示，进而可以表示出p q ，,构造基本不等式可以求得pq 的最大值.【详解】由题意得12x x ，是方程()=0f x 的两根，则12()()()f x x x x x =--. 因为函数()f x 的图象过点()1,p ，()2,q ，所以12(1)(1)(1)p f x x ==--，12(2)(2)(2)q f x x ==--. 所以1122(1)(2)(1)(2)pq x x x x =----.由1212x x <≤<，可得110x ，120x ->，210x ，220x ->，所以2111111(1)(2)(12)24x x x x ⎡⎤--≤-+-=⎢⎥⎣⎦，当132x =时等号成立； 2222211(1)(2)(12)24x x x x ⎡⎤--≤-+-=⎢⎥⎣⎦，当232x =时等号成立. 所以1114416pq ≤⨯=，当1232x x ==时等号成立.所以pq 的最大值为116.故选：D.【点睛】本题考查二次函数的相关问题和用基本不等式求最值.求含两个变量的式子的最值，常考虑利用基本不等式，解题的关键是构造定值.第Ⅱ卷二、填空题11.已知lg3a =，则lg 30=______（用a 表示）；100a =______.（用整数值表示）.【答案】 (1). 1a + (2). 9 【解析】 【分析】利用指对数运算性质计算即可.【详解】解：()lg30lg 103lg10lg31a =⨯=+=+；()222lg3lg9100101010109aaa =====.故答案为：1a +；9 【点睛】本题考查指对数运算，是基础题.12.已知函数()4x xf x e e -=+和点()0,5M ，则导数()f x '=______；()y f x =的图像在点M 处的切线的方程是______. 【答案】 (1). 4x x e e -- (2). 35y x =+【解析】 【分析】本题首先可以根据导函数的求法得出()4xxf x e e-'=-，然后求出()03f '=，最后通过直线的点斜式方程即可求出()y f x =的图像在点M 处的切线的方程.【详解】因为()4xxf x e e -=+，所以()()()()=4+144x x x x x x f x e e e e e e ----⨯='=-''+，因为()0034f e e '=-=，()0,5M ，所以()y f x =的图像在点M 处的切线的方程是530y x ，即35y x =+，故答案为：4x x e e --；35y x =+.【点睛】本题考查函数的求导以及函数上一点的切线方程，考查导函数的几何意义，考查直线的点斜式方程，考查计算能力，是简单题. 13.若有恒等式()()()()323620123655(2)222x x a a x a x a x a x -+-=+-+-+-++-，则6a =______；0246135a a a a a a a +++=++______.【答案】 (1). 1- (2). 0【解析】 【分析】首先根据展开式中x 的指数特点，即可求出6a 的值.再分别令1x =和3x =得到02460a a a a ++=+，即可得到02461350a a a a a a a +++=++. 【详解】由题知：()3255x x -+-展开式中，6x项为66a x ，所以()3632663a x C x x =-=-，所以61a =-.对等式()()()()323620123655(2)222x x a a x a x a x a x -+-=+-+-+-++-，令1x =，得01234561a a a a a a a =+++++-+①， 令3x =，得01234561a a a a a a a =-+-+-+②，①+②得：()024602a a a a =+++，即02460a a a a ++=+.所以02461350a a a a a a a +++=++. 故答案为：1-；0【点睛】本题主要考查二项式定理得应用，同时考查学生的运算求解能力，属于中档题.14.已知函数()2sin cos f x x x x =-，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭______；函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为______.【答案】 (1). 0 (2). ⎡-⎢⎣⎦【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式、余弦公式以及辅助角公式，化简式子可得()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把6x π=代入计算即可，然后使用整体法以及余弦函数的性质，可得结果.【详解】由题可知：()2sin cos f x x x x =-则()cos 2111sin 22sin 222222+⎫=--=-⎪⎭x f x x x x 所以()cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 则cos 20666πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦x ， 又函数cos y t =在,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在7,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增 当26x ππ+=，即512x π=时，()min cos 1π==-f x当266x ππ+=，即0x =时，()max cos62π==f x所以函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡-⎢⎣⎦故答案为：0，⎡-⎢⎣⎦【点睛】本题考查二倍角，辅助角公式的应用以及余弦型函数的性质，重在对公式的掌握，以及整体法的使用，属基础题.15.若有三个新冠肺炎重症突击小分队，已知第一小分队人数多于第二小分队，第二小分队人数多于第三小分队，但第三小分队人数的两倍却要多于第一小分队.则这三个小分队人数的总和的最小值为______. 【答案】12 【解析】 【分析】本题首先可根据题意设出三个小分队的人数分别为2x +、1x +、x ，然后根据第三小分队人数的两倍却要多于第一小分队即可求出x 的最小值，最后通过计算即可得出结果.【详解】因为第一小分队人数多于第二小分队，第二小分队人数多于第三小分队，这三个小分队人数的总和的最小，且人数只能为正整数，所以可设第三小分队人数为x ，第二小分队人数为1x +，第一小分队人数为2x +，因为第三小分队人数的两倍却要多于第一小分队， 所以22x x >+，2x >，故取3x =，此时这三个小分队人数的总和为123312x x x x ，故答案为12【点睛】本题考查学生从题意中提取信息的能力，能否明确三个小分队人数之间的关系是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题.16.给出下列四组函数：①()()f x x x R =∈，())g x x R =∈；②()()01f x x x =≤≤，()()201g x x x =≤≤；③(){}()0,1f x x x =∈，(){}()10,1g x x x =-∈；④(){}()0,1f x x x =∈，(){}()20,1g x x x =∈，其中，表示不同一个函数的组的序号是______.（把你认为表示不同一个函数的组的序号都写上） 【答案】②③ 【解析】 【分析】对于①：对()g x 进行整理即可判断；对于②③：找特殊值代入即可判断；对于④：对()(),f x g x 分别整理即可判断.【详解】对于①：()()g x x f x ===，正确；对于②：当12x =时，1122f g ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不正确； 对于③：当0x =时，()()00,01f g ==，不正确；对于④：()()()0011x f x x ⎧=⎪=⎨=⎪⎩，()()()0011x g x x ⎧=⎪=⎨=⎪⎩，正确.故答案为：②③.【点睛】本题主要考查了函数相等的三要素，定义域，值域，对应关系.属于较易题. 17.已知集合(){},320,A a b a b a N =+-=∈，()(){}2,10,B a b k aa b a N =-+-=∈，若存在非零整数k ，满足A B ⋂≠∅，则k =______. 【答案】1- 【解析】 【分析】首先根据条件得到()2231b a b k a a =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩有实数解，从而得到1133k -+≤≤，又根据k 为非零整数，所以1,1,2k =-，再分别验证k 的值即可得到答案. 【详解】因为存在非零整数，满足A B ⋂≠∅，所以()2231b ab k a a =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩有实数解，且a N ∈. 整理得：()2320ka k a k +-+-=有实数解，且0k ≠，a N ∈.所以()()23420k k k ∆=---≥，解得1133k -+≤≤， 因为k 为非零整数，所以1,1,2k =-当1k =-时，2430a a -+=，解得1a =或3，符合题意. 当1k =时，2210a a +-=，解得a N ∉，舍去. 当2k =时，220a a +=，解得a N ∉，舍去. 综上1k =-. 故答案为：1-【点睛】本题主要考查集合的交集运算，同时一元二次不等式的解法，属于中档题.三、解答题18.在ABC 中，已知内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足222cos 22b c a a Cbc b c+-=-. （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）若5a =，10b c +=，求ABC 的面积ABCS .【答案】（Ⅰ）12；【解析】 【分析】（Ⅰ）根据余弦定理以及正弦定理化简可得2cos sin sin A B B =，然后可得cos A .（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论以及余弦定理可求得25bc =，然后根据三角形面积公式简单计算可得结果.【详解】（Ⅰ）由余弦定理及已知得：222cos cos 22b c a a CA bc b c+-==-，由正弦定理得：cos sin cos cos 22sin sin a C A CA b cB C==--，所以2cos sin cos sin sin cos A B A C A C -=，2cos sin cos sin sin cos A B A C A C =+，所以()2cos sin sin sin A B A C B =+= 所以1cos 2A =. （Ⅱ）由（Ⅰ）可得222b c a bc +-= 即()222b c bc a bc +--=，所以25bc = 所以113253sin 252224ABC S bc A ==⨯⨯=△. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式，重在掌握公式以及边角转化，审清题意，细心计算，属基础题.19.如图，五面体ABCDEF 中，平面EAD ⊥平面ABCD ，而ABCD 是直角梯形，EAD 等腰三角形，且AB //CD ，CD EF =，90ABC AED ∠=∠=︒，120ADC =∠︒，4AB =，22AE =.（Ⅰ）求证：四边形CDEF 为平行四边形； （Ⅱ）求二面角D BC F --的平面角的余弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；5. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据AB //CD ，可知CD //平面ABE ，然后根据线面平行的性质定理可得结果.（Ⅱ）建立空间直角坐标系，分别计算平面BCF 的一个法向量和平面ABCD 的一个法向量，然后使用空间向量的夹角公式进行计算，可得结果.【详解】（Ⅰ）在直角梯形ABCD 中，AB //CD . 因为AB平面ABE ，CD ⊄平面ABE ，所以CD //平面ABE .因为CD ⊂平面CDE ，且平面ABE 平面CDE EF =，所以CD //EF .因为CD EF =，所以四边形CDEF 为平行四边形. （Ⅱ）取AD 的中点N ，连接BN ，EN . 在等腰ADE 中，EN AN ⊥因为平面ADE ⊥平面ABCD ，交线为AD ， 又EN AD ⊥，所以EN ⊥平面ABCD . 所以EN BN ⊥，由题意易得AN BN ⊥. 建立如图空间直角坐标系N xyz -，则()0,0,0N ，()2,0,0A ，()0,23,0B ，()3,0C -，()2,0,0D -，()0,0,2E ，又EF CD =，所以()3,2F -.设平面BCF 的法向量为(),,n x y z =，()1,3,2BF =--，()3,3,0BC =--，则00n BF n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即320330x z x y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令3y =，则1x =-，1z =.于是()1,3,1n =-.又平面ABCD 的法向量为()0,0,2NE =，所以5cos ,5⋅==n NE n NE n NE. 由题知二面角D BC F --的平面角为锐角， 所以二面角D BC F --【点睛】本题考查线面平行的判定定理和性质定理以及利用向量方法求解二面角，掌握线线、线面、面面的位置关系以及相关的判定定理和性质定理，属中档题. 20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ， 且()*14n n a a n N+=-∈ .（Ⅰ）若10a >，且1a ，2a ，3a 成等比数列，求1a 和4S ； （Ⅱ）若数列{}n a 为等差数列，求1a 和nS .【答案】（Ⅰ）12a =或14a =+，48S =；（Ⅱ）12a =，2n S n =. 【解析】 【分析】（Ⅰ）先计算2a ，3a ，然后根据2132a a a =以及对1a 范围的讨论，可得1a ，最后简单计算可得结果.（Ⅱ）计算2a ，3a ，然后根据等差数列的性质可得()1112444a a a -=+--，对1a 进行讨论，并判断可得12a =，最后简单计算可得结果. 【详解】（Ⅰ）因为10a >，所以21144a a a =-=-，1132111,044448,4a a a a a a a <≤⎧=-=--=⎨->⎩因为1a ，2a ，3a 成等比数列，所以2132a a a =，①当104a <≤时，所以()22114a a =-，得12a =；②当14a >时，所以()()211184a a a -=-，得14a =-14a =+ 综合①②可知，12a =或14a =+.当12a =时，22a =，32a =，4342a a =-=，所以48S =；当14a =+2140a a =-<，3180a a =->，43144a a a =-=-，所以48S =；故48S =.（Ⅱ）因为214a a =-，321444=-=--a a a ，所以由等差列定义得2132a a a =+，得()1112444a a a -=+--（*） 当14a >时，由（*）得10a =，矛盾. 当104a <≤时，由（*）得12a =，符合条件. 当10a ≤时，因为公差2140d a a =-=>， 所以必存在2m ≥使得()1414m a a m =+->， 这与140m m m m d a a a a +=-=--<矛盾.故综上可知：只有12a =时符合条件且此时公差210d a a =-=， 所以()*2n a n =∈N ， 所以12a =，2n S n =.【点睛】本题考查等差和等比数列的综合，考查分类讨论的思想和分析问题的能力，属中档题.21.已知抛物线C ：()220x py p =>，其焦点到准线的距离等于1，设动点1,2M t ⎛⎫-⎪⎝⎭，过M 作C 的两条切线MA ，MB （A ，B 为切点）. （Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）求证：直线AB 恒过定点Q ；（Ⅲ）设圆E ：()222502x y r r ⎛⎫+-=> ⎪⎝⎭，若圆E 与直线AB 相切，且切点正好是线段AB 的中点，求r 的值.【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）当0t =时，2r；当1t =±时，r =【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意可得122p p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，简单计算，可得结果. （Ⅱ）利用导数可得切线MA ，MB 的方程，进一步可得直线AB 的方程，然后判断可得结果.（Ⅲ）联立直线AB 与抛物线的方程并使用韦达定理，可得线段AB 的中点N 的坐标，然后根据EN AB ⊥的坐标表示，进行计算可得结果.【详解】（Ⅰ）因为抛物线C 的焦点和准线分别为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭和2p y =-， 所以由122p p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，得1p =. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，则2112x y =，2222x y =，因为抛物线C 的方程可写为212y x =， 由于y x '=，所以切线MA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=-，整理得切线MA 的方程为112210tx y -+=， 同理可得切线MB 的方程为222210tx y -+=因为两点A ，B 确定直线AB ，所以直线AB 的方程为2210tx y -+=， 所以直线AB 过定点0,21Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （Ⅲ）通过直线AB 和抛物线C ，则 由222102tx y x y-+=⎧⎨=⎩，可得2210x tx --= 于是122x x t +=，()21212121y y t x x t +=++=+设N 为线段AB 的中点，则21,2N t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭由于EN AB ⊥，而()2,2EN t t =-，AB 与向量()2,QN t t=平行，所以()22220+-=t t t ，解得0t =或1t =± 当0t =时，2r EN == 当1t =±时，2r EN ==【点睛】本题考查抛物线的综合应用，直线与圆锥曲线的几何关系常会联立方程且使用韦达定理，考查分析能力以及计算能力，属中档题.22.已知函数()1ln f x kx k x -=-+，k ∈R .（Ⅰ）当1k =时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()0f x ≥在()0,x ∈+∞上恒成立，求k 的取值范围； （Ⅲ）当0k =时，对意0b c >>，若()()b ca fb fc -=-，求证：a b <.【答案】（Ⅰ）单调增区间为[)1,+∞，单调减区间为(]0,1；（Ⅱ）{}1；（Ⅲ）证明见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）求得函数()y f x =的定义域，求得()21x f x x-'=，分析导数的符号变化，可得到函数()y f x =的单调递增区间和单调递减区间； （Ⅱ）求得()2x kf x x -'=，分0k ≤和0k >两种情况讨论，利用导数分析函数()y f x =的单调性，求得函数()y f x =的最小值()min f x ，解不等式()min 0f x ≥可得出实数k 的取值范围；（Ⅲ）由题意得出ln1ln ln bb c c a b c b c-==--，由（Ⅱ）得出1ln 1x x ≥-，可推导出ln 1b c b c c b b -≥-=，进而得出11a b>，利用不等式的性质可得出结论.【详解】（Ⅰ）当1k =时，()11ln f x x x -=-+，定义域为()0,∞+，()22111x f x x x x-'=-=，所以当1x >时，()0f x '>；当01x <<时，()0f x '<.所以，函数()y f x =的单调增区间为[)1,+∞，单调减区间为(]0,1； （Ⅱ）由已知可得：()221k x kf x x x x-'=-=，()0,x ∈+∞. 当0k ≤时，对任意的0x >，()0f x '>，所以，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增，当01x <<时，()()10f x f <=，不合乎题意；当0k >时，若0x k <<，()0f x '<，函数()y f x =单调递减； 若x k >，()0f x '>，函数()y f x =单调递增.所以，函数()y f x =在()0,∞+上有最小值()ln 1f k k k =+-，所以()ln 10f k k k =+-≥.① 令()ln 1g x x x =+-，所以()2111x g x x x-'=-=， 所以当01x <<时，()0g x '>，函数()y g x =单调递增； 当1x >时，()0g x '>，函数()y g x =单调递减.所以，函数()y g x =在()0,∞+上有最大值()10g =，()ln 10g x x x =+-≤， 所以ln 10k k +-≤.②所以由①②得ln 10k k +-=，故1k =， 综上可得，所求k 的取值范围为{}1；（Ⅲ）当0k =时，()ln f x x =，则ln1ln ln bb c c a b c b c-==--，③由（Ⅱ）可知1ln 10x x+-≥，所以1ln 1x x ≥-（当且仅当1x =时取等号），因为0b c >>，所以1b c >，ln 1b c b cc b b->-=，④故由③④得11a b>，即a b <.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题以及证明不等式，考查推理能力与计算能力，属于难题。
2019-2020学年宁波市数学高二第二学期期末综合测试试题含解析
2019-2020学年宁波市数学高二第二学期期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10 , 1)，(11.3 , 2)，(11.8 , 3)，(12.5 , 4)，(13 , 5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10 , 5)，(11.3 , 4)，(11.8 , 3)，(12.5 , 2)，(13 , 1)．1r 表示变量Y X 之间的线性相关系数，2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( ) A ．120r r << B ．210r r <<C ．210r r <<D ．21r r =【答案】C 【解析】 【分析】求出1r ，2r ，进行比较即可得到结果 【详解】Q 变量X 与Y 相对应的一组数据为()()()()()10111.3211.8312.54135，，，，，，，，，()1011.311.812.513511.72X∴=++++÷=& ()1234553Y=++++÷=& 即17.20.375519.172r ==变量U 与V 相对应的一组数据为()()()()()10511.3411.8312.52131，，，，，，，，，1234535U++++==& ∴这一组数据的相关系数20.3755r =-则第一组数据的相关系数大于0，第二组数据的相关系数小于0 则210r r << 故选C 【点睛】本题主要考查的是变量的相关性，属于基础题． 2．函数22cos sin 44y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为（ ）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π 【答案】B 【解析】 【分析】先利用二倍角的余弦公式化简函数解析式，然后利用周期公式可求答案． 【详解】22cos sin cos 2sin2442y x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴函数的最小正周期为：22ππ= 本题正确选项：B 【点睛】本题考查三角函数的周期性及其求法，考查二倍角的余弦公式，属基础题． 3．函数2ln y x =的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 ∵20x ≠， ∴0x ≠，∴函数2ln y x =的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ， 又()()f x f x -=，∴函数2ln y x =为偶函数，且图象关于y 轴对称，可排除C 、D ．又∵当1x >时，2ln 0y x =>，可排除A ． 综上，故选B ．点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．4．已知复数2()(1)z m m m i =-+-是纯虚数，m R ∈，则21(1)z =+（）A ．2i -B ．2i C ．iD ．i -【答案】B 【解析】 【分析】根据纯虚数定义，可求得m 的值；代入后可得复数z ，再根据复数的除法运算即可求得21(1)z +的值.【详解】复数2()(1)z m m m i =-+-是纯虚数，则2010m m m ⎧-=⎨-≠⎩，解得0m =，所以z i =-， 则221111(1)(1)22i z i i ===+--，故选：B. 【点睛】本题考查了复数的概念，复数的除法运算，属于基础题. 5．设0a >，当0x >时，不等式2213(1)ln 222x a x a x a a +-->-恒成立，则a 的取值范围是 A ．(0,1)(1,)⋃+∞ B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(0,1)【答案】A 【解析】∵当0x >时，不等式()22131ln 222x a x a x a a +-->-恒成立∴当0x >时，不等式()22131ln 2022x a x a x a a +---+>恒成立令2213()(1)ln 2(0)22f x x a x a x a a x =+---+>，则2(1)()(1)()(1)a x a x a x a x f x x a x x x+---+=+--==' ∵0a >∴当0x a <<时，()0f x '<，即()f x 在(0,)a 上为减函数 当x a >时，()0f x '>，即()f x 在(,)a +∞上为增函数∴222min 13()()(1)ln 2ln 022f x f a a a a a a a a a a a a ==+---+=-->，即1ln 0a a --> 令()1ln (0)g a a a a =-->，则11()1a g a a a-'=-=∴当01a <<时，()0g a '<，即()g a 在(0,1)上为减函数 当1a >时，()0g a '>，即()g a 在(1,)+∞上为增函数 ∴()(1)0g a g ≥= ∵()0g a > ∴01a <<或1a > 故选A点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为()min 0f x >，若()0f x <恒成立，转化为()max 0f x <；（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为()()min 0f x g x ⎡⎤->⎣⎦.6．若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值为（ ）A ．9B ．5C ．11D ．3【答案】A 【解析】 【分析】先作出不等式组所表示的可行域，然后平移直线z x y =+，观察直线z x y =+在x 轴上的截距取最大值时对应的最优解，将最优解代入函数即可得出答案。
2019-2020学年宁波市数学高二第二学期期末综合测试试题含解析
【答案】D
【解析】
五人选四人有 种选择方法，分类讨论：
若所选四人为甲乙丙丁，有 种；
若所选四人为甲乙丙戊，有 种；
若所选四人为甲乙丁戊，有 种；
若所选四人为甲丙丁戊，有 种；
若所选四人为乙丙丁戊，有 种；
由加法原理：不同组队方式有 种.
5．已知顶点在 轴上的双曲线实轴长为4，其两条渐近线方程为 ，该双曲线的焦点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
f′(x)＝ ，则f′(1)＝1，
故函数f(x)在点(1，－2)处的切线方程为y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.
故选C
7．某个命题与正整数 有关，如果当 时命题成立，那么可推得当 时命题也成立. 现已知当 时该命题不成立，那么可推得（）
A．当 时该命题不成立B．当 时该命题成立
A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法
【答案】D
【解析】
试题分析：由于样本中男生与女生在学习兴趣与业余爱好方面存在差异性，因此所采用的抽样方法是分层抽样法，故选D.
考点：抽样方法.
4．古有苏秦、张仪唇枪舌剑驰骋于乱世之秋，今看我一中学子论天、论地、指点江山．现在高二某班需从甲、乙、Байду номын сангаас、丁、戊五位同学中，选出四位同学组成重庆一中“口才季”中的一个辩论队，根据他们的文化、思维水平，分别担任一辩、 二辩、三辩、 四辩，其中四辩必须由甲或乙担任，而丙与丁不能担任一辩，则不同组队方式有（ ）
2019-2020学年宁波市数学高二第二学期期末综合测试试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
宁波市2019-2020学年高二第二学期期末数学综合测试试题
同步练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若数据123,,x x x 的均值为1，方差为2，则数据123,s,x s x x s +++的均值、方差为（ ） A ．1，2B ．1+s ，2C ．1，2+sD ．1+s ，2+s2．函数()3224f x x x x =--+,当[]3,3x ∈-时,有()214f x m m ≥-恒成立,则实数m 的取值范围是 （ ）A ．()311-，B ．()311， C ．[]2，7D ．[]311， 3．若曲线3222y x ax ax =-+上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角，那么整数a 等于（ ） A ．0B ．1C ．2-D ．1-4．两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R 2如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）A ．模型1的相关指数R 2为0.98B ．模型2的相关指数R 2为0.80C ．模型3的相关指数R 2为0.50D ．模型4的相关指数R 2为0.255．复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．期末考试结束后，甲、乙、丙、丁四位同学预测数学成绩 甲：我不能及格. 乙：丁肯定能及格. 丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.成绩公布后，四人中恰有一人的预测是错误的，则预测错误的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁7．若12nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为A ．132B ．164C ．1-64D ．11288．已知||1a =，||2b =，||3a b +=，则下列说法正确是（ ）A ．2a b ⋅=-B ．()()a b a b +⊥-C ．a →与b →的夹角为3π D ．||7a b -=9．利用数学归纳法证明不等式()()1111++++,2,232nf n n n N +<≥∈的过程中，由n k =变成1n k =+时，左边增加了（ ）A ．1项B ．k 项C ．12k -项D ．2k 项10．100件产品中有6件次品，现从中不放回的任取3件产品，在前两次抽到正品的条件下第三次抽到次品的概率为（ ） A ．349B ．198C ．197D ．35011． 设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4B ．15x 4C ．－20ix 4D ．20ix 412．用反证法证明命题“已知函数()f x 在[,]a b 上单调，则()f x 在[,]a b 上至多有一个零点”时，要做的假设是（ ）A ．()f x 在[,]a b 上没有零点B ．()f x 在[,]a b 上至少有一个零点C ．()f x 在[,]a b 上恰好有两个零点D ．()f x 在[,]a b 上至少有两个零点二、填空题：本题共4小题13．如图，将标号为1，2，3，4，5的五块区域染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻区域(有公共边)的颜色不同，则不同的染色方法有______种.14．已知集合(){}2|(1)20,A x x x a a a =++--∈R 若0A ∈，则a 的取值范围是________.15．由曲线cos y x =，,x y 坐标轴及直线2x π=围成的图形的面积等于______。
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浙江省宁波市2019版数学高二下学期理数期末考试试卷C卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2019高一上·中山月考) 若集合，则（）
A .
B .
C .
D . ∅
2. （2分）(2019·江西模拟) 已知复数，则（）
A .
B . 2
C . 1
D .
3. （2分）的值等于（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）已知函数满足对任意x1≠x2 ，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0成立，则a的取值范围为（）
B . （0，1）
C .
D . （0，3）
5. （2分）如果执行图中的程序框图，那么最后输出的正整数i＝（）
A . 43
B . 44
C . 45
D . 46
6. （2分）在区间和分别取一个数,记为,则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）
A .
B .
D .
7. （2分）定义在上的函数满足则的值为（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
9. （2分）(2014·广东理) 设集合A={（x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5）|xi∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）
A . 60
B . 90
C . 120
D . 130
10. （2分） (2018高一下·宜昌期末) 三棱锥中，且，是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分）(2017·武汉模拟) 已知椭圆内有一点M（2，1），过M的两条直线l1 ，l2分别与椭圆E交于A，C和B，D两点，且满足（其中λ＞0，且λ≠1），若λ变化时，AB的斜率总为，则椭圆E的离心率为（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分） (2018高二下·雅安期中) 若，，且函数在处有极值，则的最大值等于（）
A . 2
B . 3
C . 6
D . 9
二、填空题 (共4题；共7分)
13. （1分） (2017高三上·盐城期中) 设菱形ABCD的对角线AC的长为4，则 =________．
14. （1分） (2018高二下·泰州月考) 在的展开式中,若第三项和第七项的系数相等,则
________．
15. （3分） (2015高一下·湖州期中) 已知实数x，y满足，则点P（x，y）构成的区域的面积为________，2x+y的最大值为________，其对应的最优解为________．
16. （2分） (2020高三上·贵阳期末) 已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，
，则角 ________，的周长的取值范围是________.
三、解答题 (共7题；共60分)
17. （5分） (2018·新疆模拟) 在等差数列中，已知， .
（I）求数列的通项；
（II）若，求数列的前项和 .
18. （10分） (2018高二下·临泽期末) 如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小；
19. （15分） (2017高二上·景德镇期末) 如图，李先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家开车到公
司上班路上有L1、L2两条路线，L1路线上有A1、A2、A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有B1、B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．
（1）若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；
（2）若走L2路线，求遇到红灯次数X的数学期望；
（3）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．
20. （5分） (2018高三上·嘉兴期末) 如图，为半圆的直径，点是半圆弧上的两点，，．曲线经过点，且曲线上任意点满足：为定值.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与曲线交于不同的两点，求面积最大时的直线的方程．
21. （10分）(2017·荆州模拟) 设函数f（x）=x2﹣ax（a＞0，且a≠1），g（x）=f′（x）（其中f′（x）为f（x）的导函数）．
（1）当a=e时，求g（x）的极大值点；
（2）讨论f（x）的零点个数．
22. （10分）(2019高三上·大同月考) 在中，分别为角的对边，
（1）求；
（2）若，求的最大值.
23. （5分） (2017高二下·台州期末) 已知函数f（x）=x2+bx+c的图象过点（﹣1，3），且关于直线x=1对称
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若m＜3，求函数f（x）在区间[m，3]上的值域．
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共7分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共7题；共60分)
17-1、
18-1、
18-2、
19-1、19-2、
19-3、
20-1、21-1、
22-1、22-2、
23-1、。