行列式的基本性质0
行列式的性质
k
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a11 a12 a13 a14
k 0 0
性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和, 例如：
a11 a12 b12 a13 D a21 a22 b22 a23 a31 a32 b32 a33 a11 a12 a13 a11 b12 a13 D a21 a22 a23 a21 b22 a23 a31 a32 a33 a31 b32 a33
性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则 行列式可按该行（列）拆成两个行列式的和。 性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数 然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．
计算行列式
a b c d a ab abc abcd D . a 2a b 3a 2b c 4a 3b 2c d a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d a1 a2 0 1 xa a D a a
注：以数 k 乘第 j 行（列）加到第 i 行（列）上，记作
ri krj (ci kc j ).
验证
我们以三阶行列式为例. 记
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 , a31 a32 a33
则 D D1 .
a11 D1 a21 a31
a12 ka13 a22 ka23 a32 ka33
性质1
行列式与它的转置行列式相等,即 D D .
T
行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行 成立的对列也同样成立.
性质2
交换行列式的两行（列）,行列式变号.
注：交换第 i 行（列）和第j 行（列），记作 ri rj (ci c j ) .
§1.5 行列式的性质
§1.5 行列式的性质行列式是矩阵最为基础的性质之一，它具有众多的特性、定理和性质。
行列式在线性代数、微积分、算法设计、物理、统计学等众多学科中都有着广泛的应用。
了解行列式的性质可以帮助我们更好地掌握矩阵的相关知识，在各个领域更为灵活地应用数学知识。
行列式的性质包括：1. 矩阵中任意两行（列）交换，行列式的值变号，即 $det(A) = - det(A^T)$，其中$A^T$ 表示 $A$ 的转置矩阵。
2. 矩阵中某一行（列）加上另一行（列）的若干倍，行列式的值不变。
3. 矩阵中某一行（列）乘以一个非零常数 $k$，行列式的值乘以 $k$。
5. 对于$n$阶矩阵，行列式可以按任意一行（列）展开，展开后的行列式值等于该行列式中所有元素的代数余子式乘以对应元素的余子式。
6. 若矩阵中有两行（列）的对应元素成比例，则该矩阵的行列式为 $0$。
7. 若矩阵 $A$ 是可逆的，则其行列式值不为 $0$，并且$det(A^{-1})=\dfrac{1}{det(A)}$。
8. 对于矩阵 $A$ 和 $B$，$det(AB)=det(A)det(B)$，其中 $A$ 和 $B$ 的阶数应当相同。
9. 对于 $n$ 级单位矩阵 $I_n$，其行列式的值为 $1$。
这些性质并不是行列式的全部，但是是最基本的性质。
它们在计算行列式的各种方法和技巧中发挥了重要的作用。
掌握这些性质可以使我们更加熟练地应用行列式进行矩阵运算和分析问题。
接下来，我们将对一些常用的性质和定理进行详细的讲解。
对于$n$级方阵$A$，若将它的任意两行交换，则其行列式$det(A)$的值变号。
这意味着行列式具有交换性和反对称性。
对于$n$级矩阵$A$，如将它的第$i$行与第$j$行交换，则有：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\... & ... & ... & ... \\a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in} \\... & ... & ... & ... \\a_{j1} & a_{j2} & ... & a_{jn} \\... & ... & ... & ... \\a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}\end{vmatrix} = -\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\a_{j1} & a_{j2} & ... & a_{jn} \\... & ... & ... & ... \\a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in} \\... & ... & ... & ... \\a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in} \\... & ... & ... & ... \\a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}\end{vmatrix}$$使用这一方法可以将行列式划分成多个简单的子项，方便进行计算。
行列式的性质及求解方法
行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。
一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。
1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。
- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。
- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。
- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。
线性代数-行列式(完整版)
01
对于二元一次方程组，可以直接应用克拉默法则求解
未知数。
02
对于三元一次方程组，需要先判断系数矩阵的行列式
是否为零，若不为零，则可以使用克拉默法则求解。
03
对于更高元次的线性方程组，克拉默法则同样适用，
但计算量会随着元次的增加而急剧增大。
矩阵可逆性判别方法
01
一个方阵可逆的充分必要条件是其行列式不等于零。
行列式基本性质
行列式中如果有两行（或两列）元素成比例，则此行列式等于零。
若行列式的某一行（或某一列）的元素都是两数之和，例如第i行的元素都是两数之 和：$a_{ij}=b_{ij}+c_{ij}$，则此行列式等于两个行列式之和，这两个行列式的第i行 分别为$b_{ij}$和$c_{ij}$，其余各行与原行列式的相应的行相同。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作|A|或det(A)， 是一个数值。
行列式的值可以通过对矩阵元素进行特定的运算 得到，该运算满足一定的性质。
行列式基本性质
行列式与它的转置行列式相等。
交换行列式的两行（或两列），行列式变号。 行列式的某一行（或某一列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘 此行列式。
克拉默法则介绍
克拉默法则（Cramer's Rule）是线性 代数中一个关于求解线性方程组的定理。
该法则适用于具有相同数量方程的方程组， 且系数矩阵的行列式不为零的情况。
克拉默法则通过计算系数矩阵的行 列式以及将系数矩阵的某一列替换 为常数项列后得到的新矩阵的行列 式，来求解方程组的解。
克拉默法则在方程组求解中应用
应用领域
范德蒙德行列式在多项式插值、数值分析等领域有广 泛应用。
范德蒙德行列式在多项式拟合中应用
行列式(递归定义)
递归定义的合理性分析
递归定义的可行性
递归定义将n阶行列式降阶为n-1阶行列式，不断降阶直至1阶，使得高阶行列式的计算变得可行 。
递归定义的效率
虽然递归定义可以计算高阶行列式，但随着阶数的增加，计算量呈指数增长，因此在实际应用中 需要注意计算效率问题。
递归定义的优势与局限性
• 可计算性：对于某些问题，递归定义可以 直接转化为计算机程序，从而实现问题的 自动求解。
递归定义的优势与局限性
01
02
03
效率问题
递归定义往往需要多次重 复计算，导致算法效率低 下。
空间占用
递归定义需要占用大量的 内存空间来保存中间结果， 对于大规模问题可能会导 致内存溢出。
得出结果。
判断行列式是否为零
如果行列式中存在一行或一列全为零，则根据递归定 义可知该行列式的值为零。
如果行列式中存在两行或两列成比例，则可以通过行 列变换将其化为一行或一列全为零的形式，从而判断 该行列式的值为零。
证明行列式的性质
行列式的性质包括交换两行（列）、一行（列）的公 因子可以提出、一行（列）是另一行（列）的线性组 合等。这些性质可以通过递归定义进行证明。
收敛性问题
某些递归定义可能不存在 解或者解不唯一，需要额 外的条件来保证递归的收 敛性。
未来研究方向
优化递归算法
研究如何优化递归算法的效率，减少重复计算和内存占用，提高算 法的实用性。
拓展应用领域
探索递归定义在更多领域的应用，如图像处理、自然语言处理等， 进一步拓展其应用范围。
完善理论基础
深入研究递归定义的理论基础，探讨其数学性质、计算复杂性等方面 的问题，为实际应用提供坚实的理论支持。
2.2 行列式的性质
2
1
2
0
0 1
1 1 2
0 1 1
2 2 0
×1 ×(-2)
2 1 10
2 1 10
1 1 0 2
1 1 1 2
0 1 1 2
×1
×3
0 1 1 2
0 1 1 2
0 0 2 4 ×(-1)
0 3 1 4
0 0 2 2
二、行列式的计算举例
第2章 方阵的行列式 18
如 a1 b1 c1 2 1
a2 b2 c2 3 0
a3 b3 c3 1 5
a1 2 1
b1 2 1
a2 3 0 b2 3 0
a 3 1 5
b31 5
c1 2 1 c2 3 0
c3 1 5
一、行列式的性质
第2章 方阵的行列式 15
性 质5 行列式某一行(列)的所有元素乘以同一数，加到 另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变．
一、行列式的性质
第2章 方阵的行列式 16
证明
a11
L
ai1 kas1 L
as1 L
an1
a11 a12 LL
ai1 ai2
L L
as1 as 2 LL
an1 an 2
a12
L
a1n
LLL
ai2 kas2 L ain kasn LLL
as 2
L
asn
LLL
an 2
L
ann
L a1n LL
对列也成立
a1 b1 2 1 a2 b2 3 0 a3 b3 1 5
a1 2 1 b1 2 1 a2 3 0 b2 3 0
理学-线性代数行列式的计算与性质
线性代数行列式的计算与性质线性代数行列式的计算与性质行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵，取值为一个标量，写作或。
行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。
或者说，在维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。
无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。
行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。
十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。
十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。
十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。
矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。
行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。
矩阵A 的行列式有时也记作|A|。
绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。
不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如：），且可以使用下标。
此外，矩阵的绝对值是没有定义的。
因此，行列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。
例如，一个矩阵：A=????? ??i h g fe d c b a ，行列式也写作，或明确的写作：A=i h gf e dc b a，即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。
行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。
一、行列式的定义与计算一个n 阶方块矩阵 A 的行列式可直观地定义如下：其中，是集合{ 1, 2, ..., n }上置换的全体，即集合{ 1, 2, ..., n }到自身上的一一映射（双射）的全体；表示对全部元素的求和，即对于每个，在加法算式中出现一次；对于每一对满足的数对，是矩阵 A 的第i 行第j 列的元素。
行列式的性质与计算
1b bb
a (n 1)b
ab
ab 0
0 ab
a (n 1)b(a b)n1.
a0 1 1
1
1 a1 0
0
例 求行列式的值 D 1 0 a2
0
100
an
解
D
c1
(
1 a1
)c2
(
1 an
)cn1
a0
1 a1
0
0
0
1 an
1 a1 0
0
1 0 a2
0
1 0 0
an
(a0
3
2 2
0 0 0 1 0 0 0 2 2 2
1 1 2 3 1
0 2 1 5 3 r5 2r3 0 0 1 1 2
0 0 0 1 0 4
0 0 0 4 6
1 1 2 3 1
0 2 1 5 3
r5 4r4 0 0 1 1 2 2 1 6 12.
0 0 0 1 0
0 0 0 0 6
ni j1
x1n1 x2n1 xnn1
证 用数学归纳法
1 D2 x1
1
x2
x2 x1
( xi x j ),
2i j1
当 n 2 时（1）式成立．
假设（1）对于 n 1 阶范德蒙德行列式成立，
11
1
x1 x2
xn
Dn x12
x22
xn2
x x n1
n1
1
2
x n1 n
rn ( x1 )rn1 1 rn1 ( x1 )rn2 0
1 16 81 256 625
解 D5 是 5 阶范德蒙行列式
D5
(xi xj )
矩阵与行列式的基本运算与性质
矩阵与行列式的基本运算与性质矩阵和行列式是线性代数中重要的数学工具，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将探讨矩阵与行列式的基本运算和性质，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、矩阵的定义与基本运算矩阵是由m行n列元素组成的矩形数组，通常用大写字母表示。
矩阵中的元素可以是实数或复数。
一个m×n的矩阵可以表示为：A = [aij]m×n其中，aij表示第i行第j列的元素。
矩阵的基本运算包括加法、减法和数乘。
对于两个相同维度的矩阵A和B，它们的加法和减法定义如下：A +B = [aij + bij]m×nA -B = [aij - bij]m×n对于一个矩阵A和一个实数k，数乘定义如下：kA = [kaij]m×n二、矩阵的乘法与转置矩阵的乘法是一种比较复杂的运算，需要符合一定的规则。
对于一个m×n的矩阵A和一个n×k的矩阵B，它们的乘积AB定义如下：AB = [cij]m×k其中，cij = a1j*b1i + a2j*b2i + ... + anj*bni。
需要注意的是，矩阵的乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA。
矩阵的转置是指将矩阵的行变为列，列变为行。
一个m×n的矩阵A 的转置记为AT，其定义如下：(A^T)ij = Aji转置操作可以改变矩阵的维度，即如果A是一个m×n的矩阵，则AT是一个n×m的矩阵。
三、行列式的定义与性质行列式是一个与矩阵相关的数值。
对于一个n阶方阵A，其行列式记为|A|或det(A)，它的定义如下：|A| = a11a22...ann + a12a23...a(n-1)n + ... + (－1)^(n+1)an1a2...a(n-1)行列式有一些基本的性质，包括以下几点：性质1：如果矩阵的某一行或某一列都是0，则其行列式的值为0。
性质2：如果矩阵的两行或两列相等，则其行列式的值为0。
行列式的求解方法
行列式的求解方法行列式是矩阵所具备的的一个重要的数学性质，它可以为我们解决很多的线性代数问题。
在数学和工程的应用中，行列式常常应用于解决线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、线性变换、矩阵的可逆性等问题上。
本文将对行列式的定义、基本性质、计算方法以及相关的应用等方面进行详细的讲解。
一、行列式的定义行列式是由数学家Cramer所发明的。
行列式又叫矩阵行列式，是由一个n*n的方阵中所计算出来的一个标量值。
对于二阶方阵$\bold A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$，其行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$$对于更高阶的n阶矩阵，则可以采用逐步消元的方法来进行求解。
对于一般的n*n阶矩阵A的行列式，我们可以采用下面的定义进行计算：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}=\sum_{i_1,i_2,\cdots,i_n} (-1)^{N(i_1,i_2,\cdots,i_n)}a_{1i_1}a_{2i_2}\cdots a_{ni_n} $$其中，$N(i_1,i_2,\cdots,i_n)$表示将$i_1,i_2,\cdots,i_n$从小到大排列时所需的逆序对个数，$a_{1i_1}a_{2i_2}\cdotsa_{ni_n}$为行列式的元素积。
行列式的性质及其运用
1111
解： D 1
3
1
1 r1 r2 r3 r4
1
3
1
11 6
3
1
r2 r1
1 6 0 r3 r1
2
0
0
1131
1131
1 1 3 1 r4 r1 0 0 2 0
1113
1 1 1 3 1113
0002
6 23 48 ．
1.2 行列式性质的运用
例题
ab
c
d
例 5 计算行列式 D a a b a b c
0 0 a 2a b
0 0 3a 7a 3b
00 0
a
1.2 行列式性质的运用
例题
方法二：
ab
c
a ab abc D
a 2a b 3a 2b c
d abcd 4a 3b 2c d
ab c
d
0 a r4 r3
r3 r2
ab
abc
r2 r1 0 a 2a b 3a 2b c
a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d
a11 a12
a1n
a11
a12
a1n
ai1 ai2 D
a j1 a j2
ain
ai1 ka j1 ai2 ka j2
ri krj
a jn
a j1
aj2
ain ka jn a jn
an1 an2
ann
an1
an2
ann
1.1 行列式的性质
性质
性质 2、性质 3 和性质 5 常用来计算行列式，它们的标记如下． ① 互换 i,j 两行（列）： ri rj (ci c j ) ． ② 第 i 行（列）乘以某非零常数 k： kri (kci ) ． ③ 将第 j 行（列）的 k 倍加到第 i 行（列）上： ri krj (ci kcj ) ．
行列式的基本性质与计算
性质2. 互换两行(列),行列式改变符号.
2
返回
a11 a1n
a11
即
ai1
ain
ri rj
a j1
a j1 a jn
ai1
an1 ann
an1
注: 换行: ri rj; 换列: ci c j .
a1n a jn . ain ann
例如:
x1 y1 z1
z1
a22
D
bi1 ci1 bi 2 ci 2
a1n a2n bin cin
an1
an2
ann
a11 a12 a1n
a11 a12
a21 a22 a2n
a21 a22
bi 1
bi 2
bin
ci1
ci 2
an1 an2 ann
an1 an2
7
a1n a2n cin ann
0 8 4 6 r4 8r2 0 0 8 10
0 16 2 7
0 0 10 15
r4
5 4
r3
1 0
返回
证明:当 i=1时，由行列式的定义知
b11 c11 b12 c12 b1n c1n
a21
a22 a2n
an1
an2 ann
n
(1)1 j (b1 j c1 j )M1 j
j 1
n
n
(1)1 jb1 j M1 j (1)1 jc1 j M1 j
j 1
j 1
8
返回
b11 b12 b1n c11 c12 c1n
x2 y2 z2 c1 c3 z2
x3 y3 z3
z3
y1 x1 y2 x2 . y3 x3
第2讲 行列式性质
… ………
… ………
an1 an2 … ann
an1 an2 … ann
性质4 如果行列式有两行(列)的对应元素成
比例，则此行列式的值为零
15 6
例1 D= 2 3 8 =0
4 6 16
例2 设
a11 a12 a13
6a11 2a12 10a13
a21 a22 a23 =1，求 3a21 a22 5a23 。
123
例2 计算行列式的值 D= ○3 1 2 ○2 ○3 1
化成上三角式
解
123
123
D= 0 5 7 =- 0 1 5 =-
123
0 1 5
=18
0 1 5
0 5 7
0 0 18
r2 3r1 r3 2r1
r2 r3
120 1 例3 计算行列式的值 D= 1 3 5 0
r2 r1 r4 r1
a31 a32 a33
3a31 a32 5a33
解：
6a11 2a12 10a13 3a21 a22 5a23 3a31 a32 5a33
3a11 a12 5a13 2 3a21 a22 5a23
3a31 a32 5a33
a11 a12 a13 2(3)5 a21 a22 a23
a31 a32 a33
第二讲 行列式的性质
一 行列式的性质（6条） 二 一些特殊的行列式
行列式的转置：
第1行变为第1列， 第2行变为第2列,
… 第n行变为第n列
将行列式D的同号数的行换为同号数的列得到
的行列式称为D的转置行列式，记为DT或D
a11 a12 … a1n
D=
a21 …
a22 …
1.4 行列式的性质
a 1n
则
D b1 a n1
bn c1 ann a n1
一、行列式的性质
注： 性质5可以推广到某一行（列）的元素为几组 数的和的情形. 性质6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一
个倍数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行
列式的值不变．
注：以数 k 乘第 j 行（列）加到第 i 行（列）上，记作
例5 设 D
ak1 c 11 c n1
a b 11 a 1 k 11 b 1 n D a ,D b , 1 det( ij) 2 det( ij) a b k 1 a kk n 1 b nn
D D . 证明 D 1 2
二、行列式性质的应用
1 1 3 1
1 1 1 3
二、行列式性质的应用
r2 ( 1 ) r1 r3 ( 1 ) r1 r4 ( 1 ) r1
1 0 6 0 0
1 2 0 0
1 0 2 0
1 0 6 8 48. 0 2
二、行列式性质的应用
例4 计算行列式
a b c d a ab abc abcd D . a 2a b 3a 2b c 4a 3b 2c d a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d
D 4 1
r1 r2
6 1
0 2
0 1
4 1 1
二、行列式性质的应用
6 0 0 4 1 1 1 2 1
c3 c2
6
0
0
4 1 0 18. 1 2 3
1
（方法二）
2 D 1 4 1 1 200+1 100+2 100+1
矩阵的行列式的性质
矩阵的行列式的性质
1. 行列式的值等于其所有元素的乘积减去其所有余子式的乘积；
2. 任意行（列）交换，行列式的值不变；
3. 任意行（列）同乘一个非零常数，行列式的值也不变；
4. 如果一个矩阵的行列式为0，则该矩阵必定不是满秩矩阵；
5. 如果一个矩阵的行列式不为0，则该矩阵必定是满秩矩阵；
6. 如果一个矩阵的行列式不为0，则该矩阵的逆矩阵存在；
7. 行列式的值等于其展开式中各项乘积的符号相反的和；
8. 对于n阶方阵A，若A的某一行（列）的元素全为0，则
|A|=0；
9. 对于n阶方阵A，若A的某一行（列）的元素都相等，则
|A|=0；
10. 如果一个n阶方阵A可以分解成A=LU，其中L是下三角
矩阵，U是上三角矩阵，则|A|=|L|×|U|。
行列式为0的必要条件
行列式为0的必要条件
摘要：
一、行列式的概念
二、行列式为0 的定义
三、行列式为0 的必要条件
四、结论
正文：
一、行列式的概念
行列式是一个数学概念，主要用于表示方阵的某个性质。
它是一个数表，由一些数按照一定规则排列成矩阵形式。
行列式可以反映一个方阵的性质，例如方阵的逆矩阵、行列式为0 时表示方阵不可逆等。
二、行列式为0 的定义
行列式为0 是指一个方阵的行列式数值等于0。
这意味着该方阵不可逆，即不能通过一个矩阵将其转换为单位矩阵。
三、行列式为0 的必要条件
行列式为0 的必要条件是方阵中至少存在一个元素为0。
具体来说，如果一个方阵的某一行或某一列的所有元素之和为0，那么该方阵的行列式就为0。
这是因为在计算行列式时，需要对矩阵中的元素进行加减运算，如果存在一个元素为0，那么这一行或一列在计算行列式时对结果的贡献为0，从而导致行列式为0。
四、结论
总之，行列式为0 是方阵不可逆的充分必要条件。
只有当方阵中至少存在
一个元素为0 时，该方阵的行列式才可能为0。
行列式转换成三角行列式技巧
行列式转换成三角行列式技巧行列式转换成三角行列式是线性代数中一个重要的操作，可以简化行列式的计算过程，并且在解线性方程组、求逆矩阵等问题中有广泛的应用。
本文将介绍一些常用的技巧，帮助读者灵活运用行列式的性质，将行列式转换成三角行列式。
一、行列式的基本性质回顾在进行行列式的转换之前，让我们先回顾一下行列式的基本性质。
设A是一个n阶方阵，其行列式记作det(A)或|A|，其中n为正整数。
行列式具有以下几个基本性质：1. 若A的某行（列）的所有元素都是0，则det(A) = 0；2. 若A的两行（列）互换位置，行列式的值变号，即det(A) = -det(A')，其中A'表示互换位置后的行列式；3. 若A的某行（列）的各元素乘以同一数k后加到另一行（列）对应元素上，行列式的值不变；4. 若A的某行（列）的各元素乘以同一数k，行列式的值乘以k。
二、将行列式转换成三角行列式的技巧1. 利用行列式的性质进行行变换：可以通过对行进行适当的变换，使得矩阵的上三角部分全为0。
常用的变换方式有：（1）将某一行的k倍加到另一行上；（2）交换两行的位置；（3）将某一行的倍数加到另一行上；（4）将某一行乘以一个非零常数。
2. 利用行列式的性质进行列变换：可以通过对列进行适当的变换，使得矩阵的下三角部分全为0。
常用的变换方式与行变换类似。
3. 利用行列式的性质进行行列组合：可以通过将两行或两列进行适当的组合，将矩阵转换成上三角形式或下三角形式。
常用的组合方式有：（1）将某一行（列）的k倍加到另一行（列）上；（2）将某一行（列）乘以一个非零常数再加到另一行（列）上；（3）交换两行（列）的位置。
4. 利用行列式的性质进行数乘：可以通过对矩阵的某一行或某一列进行数乘，将矩阵转换成上三角形式或下三角形式。
常用的数乘方式有：（1）将某一行（列）的元素乘以一个非零常数；（2）将某一行（列）的元素除以一个非零常数。
5. 利用行列式的性质进行行列互换：可以通过对行或列进行适当的互换，将矩阵转换成上三角形式或下三角形式。
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题 设 n 阶行列式
1 2 3 n 1 2 0 0 Dn 1 0 3 0 1 0 0 n
求第一行各元素的代数余子式之和
A11 A12 A1n .
返回
例1. 利用定理一计算前面的例1
3 1 1 3 1 3 2 4 . 1 3 5 1 D 2 0 1 5
上述证法按列进行, 同理可得 a1i Aj1 a2 i Aj 2 an1 Anj 0 (i j ).
证毕.
小结: 关于代数余子式的性质有:
D, (1). ai 1 Aj 1 ai 2 Aj 2 ain Ajn 0, D, (2). a1i A1 j a2 i A2 j ani Anj 0,
返回
a11
a12
a1n
D ai 1 0 0 0 ai 2 0 0 0 ain a n1 an 2 ann
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
返回
同理, 若按列证明, 可得
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj An列)的元素与另一行(列)的 对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 ai 1 Aj1 ai 2 Aj 2 ain Ajn 0 (i j );
aij D1 a1 j anj
0
0 .
a11 a1n an1 ann
由上式可知, D1中第一行第一列的元素aij 的余子式就是 a11 a1 j a1n D 0 aij 0 中第i 行第 j 列的元素 aij 的余 an1 anj ann 子式 M ij , 因此由(1) 的证明得
n
( i j ), ( i j ). ( i j ), ( i j ).
D, ( i j ), 或简写成: (1'). aik Ajk k 1 0, ( i j ). n D, ( i j ), (2'). aki Akj k 1 0, ( i j ).
ij
D ( 1)
i 1
( 1)
j 1
a1 j anj
a11 a1n an1 ann 0 .
( 1)i j 2 D1 ( 1)i j D1 .
aij
其中
0
D1
a1 j anj
a11 a1n an1 ann
返回
返回
D1 aij M ij .
于是
D ( 1)i j D1 ( 1)i j aij M ij aij ( 1)i j M ij aij Aij .
证毕.
行列式按行（列）展开法
定理一. 行列式等于它的任一行(列)的各元素与 它们对应的代数余子式乘积之和，即 D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain (i 1,2,, n), 或 D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj ( j 1,2,, n). 证明: 把行列式 D 的第 i 行的每个元素按下面的 方式拆成 n 个数的和, 再根据性质3, 可将 D 表示成 n 个行列式之和:
a i 1 0 0 0 a i 2 0 0 0 a in a n1 a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn
引理
ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain (i 1,2,, n).
a11 0 a21 a22 D a n1 a n 2
0 a2 n . ann
由定义, 按第一行展开得
D a11 ( 1)11 M11 a11 A11.
(2). 再证一般情形(第 i 行除 aij 外,其它元素全为 零), 此时
返回
a11 a1 j a1n D 0 aij 0 . an1 anj ann
a1i A1 j a2 i A2 j an1 Anj 0 (i j ).
证明: 不妨设 i＜ j, 考虑辅助行列式
返回
a11 a i1 D1 a i1
a12 ai 2 ai 2
a1n ain ←第 i 行 ain ←第 j 行
an1 an 2 ann
其中第i行与第 j行对应元素相同, 故 D1 0; 又将 D1 按第 j行展开,有
D1 ai 1 Aj1 ai 2 Aj 2 ain Ajn ,
于是得
ai 1 Aj1 ai 2 Aj 2 ain Ajn 0 (i j ).
返回
也就是: 若
a11 a21 D 0 a n1
a12 a22 0 an 2
a1 j a2 j aij anj
a1n a2 n 0 ,
ann
则 D aij Aij .
返回
证明: 先证 (1). 当 aij 位于第一行第一列的情形, 即
将D的第i行依次与第i 1, i 2,,1行交换, 得 0 a ij 0
D ( 1)
i 1
a nj
a nn
返回
ai 1,1 ai 1, j ai 1,n . a n1
然后再将D的第j列依次与第j 1, j 2,,1列交换, 得 a 0 0