2018年高考数学二轮复习专项精练中档大题规范练(四)数列理 Word版 含答案

(四)数 列
1．(2017届湖南省长沙市雅礼中学模拟)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝9，且a n ＝a n －1＋λn －1(n ≥2，n ∈N *)．
(1)求λ的值及数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝(－1)n (a n ＋n )，且数列{b n }的前2n 项和为S 2n ，求S 2n . 解 (1)∵a 1＝1，a 3＝9，且a n ＝a n －1＋λn －1(n ≥2，n ∈N *)， ∴a 2＝2λ，a 3＝5λ－1＝9，解得λ＝2，
∴a n －a n －1＝2n －1(n ≥2，n ∈N *)，
∴a n ＝(2n －1)＋(2n －3)＋…＋3＋1
＝n (2n －1＋1)2
＝n 2. (2)b n ＝(－1)n (a n ＋n )＝(－1)n (n 2＋n )，
b 2n －1＋b 2n ＝－[(2n －1)2＋(2n －1)]＋[(2n )2＋2n ]＝4n ，
S 2n ＝4×n (n ＋1)2
＝2n 2＋2n . 2．(2017·河北省衡水中学二模)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＋3＝a n ＋3＋2，n ∈N *.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设以2为公比的等比数列{b n }满足4log 2b n ·log 2b n ＋1＝a n ＋12n ＋11(n ∈N *)，求数列{b n －log 2b n }的前n 项和S n .
解 (1)由题意知，数列{a n ＋3}是以2为首项，2为公差的等差数列， ∴a n ＋3＝2＋2(n －1)＝2n ，故a n ＝4n 2－3.
(2)设等比数列{b n }的首项为b 1，则b n ＝b 1×2
n －1， 依题意有4log 2b n ·log 2b n ＋1＝4log 2(b 1×2
n －1)·log 2(b 1×2n )＝4(log 2b 1＋n －1)(log 2b 1＋n ) ＝4(log 2b 1)2－4log 2b 1＋4×(2log 2b 1－1)n ＋4n 2
＝4n 2＋12n ＋8，
即⎩⎪⎨⎪⎧ 4×(2log 2b 1－1)＝12，4(log 2b 1)2－4log 2b 1＝8，
解得log 2b 1＝2，b 1＝4，
故b n ＝4×2n －1＝2n ＋1.
∵b n －log 2b n ＝2
n ＋1－(n ＋1)， ∴S n ＝22(1－2n
)1－2－n (2＋n ＋1)2＝2n ＋2－4－n (n ＋3)2.
3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a n ＝S n n ＋2n －2，n ∈N *，且S 2＝6.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)证明：1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <53
. (1)解 由a n ＝S n n ＋2n －2，得a 2＝S 22
＋2＝5， ∴a 1＝S 2－a 2＝1.
由a n ＝S n n
＋2n －2，得 S n ＝na n －2n 2＋2n ，
∴S n －1＝(n －1)a n －1－2(n －1)2＋2(n －1)，n ≥2，
∴a n ＝S n －S n －1＝na n －(n －1)a n －1－4n ＋4，
即(n －1)a n ＝(n －1)a n －1＋4(n －1)，
∴a n ＝a n －1＋4，
即数列{a n }是首项为1，公差为4的等差数列，
∴a n ＝1＋4(n －1)＝4n －3.
(2)证明 由(1)得a n ＝4n －3，则S n ＝2n 2－n .
方法一
1S n ＝1(2n －1)n ＝2(2n －1)·2n ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1－12n ， 当n ＝1时，1S 1＝1<53
成立， 当n ≥2时，1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n
＝1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫15－16＋…＋2⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1－12n ＝1＋23＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫15－14＋2⎝ ⎛⎭
⎪⎫17－16＋…＋ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n －2＋2⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12n <1＋23＝53， ∴1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <53
. 方法二 当n ＝1时，1S 1＝1<53成立，当n ＝2时，1S 1＋1S 2＝1＋16<53
成立， 当n ≥3时，1S n ＝1(2n －1)n <1(n －1)n ＝1n －1－1n
，
∴1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <1＋16＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝53－1n <53， ∴1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <53
. 4．(2017届南京、盐城模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }，{c n }满足(n ＋1)b n ＝a n ＋1－S n n ，(n ＋2)c n ＝a n ＋1＋a n ＋22－S n n
，其中n ∈N *. (1)若数列{a n }是公差为2的等差数列，求数列{c n }的通项公式；
(2)若存在实数λ，使得对一切n ∈N *，有b n ≤λ≤c n ，求证：数列{a n }是等差数列．
(1)解 因为{a n }是公差为2的等差数列，
所以a n ＝a 1＋2(n －1)，S n n ＝a 1＋n －1，
从而 (n ＋2)c n ＝
a 1＋2n ＋a 1＋2(n ＋1)2－(a 1＋n －1) ＝n ＋2，
即c n ＝1.
(2)证明 由(n ＋1)b n ＝a n ＋1－S n n ，
得n (n ＋1)b n ＝na n ＋1－S n ，
(n ＋1)(n ＋2)b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2－S n ＋1,
两式相减，并化简得a n ＋2－a n ＋1＝(n ＋2)b n ＋1－nb n .
从而(n ＋2)c n ＝
a n ＋1＋a n ＋22－S n n ＝
a n ＋1＋a n ＋22－[a n ＋1－(n ＋1)
b n ] ＝a n ＋2－a n ＋12＋(n ＋1)b n ＝(n ＋2)b n ＋1－nb n 2
＋(n ＋1)b n ＝12
(n ＋2)(b n ＋b n ＋1)， 因此c n ＝12
(b n ＋b n ＋1)． 因为对一切n ∈N *
，有b n ≤λ≤c n ，
所以λ≤c n ＝12
(b n ＋b n ＋1)≤λ， 故b n ＝λ，c n ＝λ.
所以(n ＋1)λ＝a n ＋1－S n n ， ①
(n ＋2)λ＝12(a n ＋1＋a n ＋2)－S n n
， ② 由②－①，得12
(a n ＋2－a n ＋1)＝λ， 即a n ＋2－a n ＋1＝2λ.
故a n ＋1－a n ＝2λ(n ≥2)．
又2λ＝a 2－S 11
＝a 2－a 1，则a n ＋1－a n ＝2λ(n ≥1)． 所以数列{a n }是等差数列．
5．(2017届天津市耀华中学模拟)各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＝4，
a 2
n ＋1＝6S n ＋9n ＋1，n ∈N *，各项均为正数的等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 3＝a 2. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(2)若c n ＝(3n －2)·b n ，数列{c n }的前n 项和为T n .
①求T n ；
②若对任意n ≥2，n ∈N *，均有(T n －5)m ≥6n 2－31n ＋35恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)∵a 2n ＋1＝6S n ＋9n ＋1，
∴a 2n ＝6S n －1＋9(n －1)＋1，
∴a 2n ＋1－a 2n ＝6a n ＋9(n ≥2)，
∴a 2n ＋1＝(a n ＋3)2.
又∵数列{a n }各项均为正数，
∴a n ＋1＝a n ＋3(n ≥2)．
∴数列{a n }从a 2开始成等差数列，
又a 2＝4,42＝6a 1＋9＋1，∴a 1＝1，
∴a 2－a 1＝3，
∴{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，
∴a n ＝3n －2.
∵b 1＝1，b 3＝4，∴b n ＝2
n －1. (2)c n ＝(3n －2)·2
n －1， ①T n ＝1·20＋4·21＋…＋(3n －2)·2
n －1， 2T n ＝1·21＋4·22＋…＋(3n －2)·2n ，
∴两式相减得
－T n ＝1＋3(21＋22＋…＋2
n －1)－(3n －2)·2n ＝1＋6(2n －1－1)－(3n －2)·2n ，
∴T n ＝(3n －5)·2n ＋5.
②(3n －5)·2n ·m ≥6n 2
－31n ＋35恒成立，
∴m ≥6n 2－31n ＋35(3n －5)·2n ＝(3n －5)(2n －7)(3n －5)·2n ＝2n －72n ， 即m ≥2n －72n 恒成立， 设k n ＝2n －72n ， k n ＋1－k n ＝2n －52n ＋1－2n －72n ＝9－2n 2
n ＋1， 当n ≤4时，k n ＋1>k n ，当n ≥5时，k n ＋1<k n ，
∴(k n )max ＝k 5＝332，∴m ≥332.。