相贯线
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相贯线1-两平面立体,平面与曲面立体相交.
2、求相贯线上的贯穿点。
3、先判断可见性，依次
连接贯穿点。
4、补全棱线。
例5：补全带孔三棱柱的水平投影，求作侧面投影。
空间分析
d' a' b'
c'
1、三个截平面相交，在三棱 d" 柱体内形成三条交线。
2、三个截平面与三棱柱形成
a"
b" 前、后 两部分截交线，且截交
(c")
线均在棱柱表面，其水平投影
7
(3) 立体相对位置不同，相贯线形状不一样：
两圆柱轴 线斜交
两圆柱轴线 偏交
8
图例：
全贯
互贯
平×曲
柱柱正交
柱柱正交(等径) 孔孔正交
柱柱偏交
柱穿锥
锥穿柱
球柱偏交
球柱正交 9
二、 平面体与平面体 相交
10
相贯及相贯线的概念
相贯：两立体相交。
相贯线：两立体相交，
其表面的交线。
相贯线
11
平面立体相贯种类及 相贯线的特点
(11’) 1’ 2’ 3’
(31’)
(41’) 4’
11
41 31
1
3
11” 1” (31”) (3”)
41”
2” 4”
解题步骤： 1、分析两立体的 空间关系，确定相 贯线的已知投影。
2、从已知投影出发，确定相贯 线上的贯穿点。
3、先判断可见性，再连接贯穿点。
2 4
例2：已知三棱锥上穿有三棱柱孔洞，求作相贯线。
(41’) 4’
11
(41) 31
1
3
2 (4)
11” 1” (31”) (3”)
第五章 相贯线
第五章相贯线两立体表面相交，交线称为相贯线。
准确地画出相贯线的投影能更完整地表达立体。
实际中两立体相交可分为三种情况：平面立体与平面立体相交；平面立体与曲面立体相交；两曲立体相交，如图5-0-1所示。
相贯线有如下性质：1．相贯线一般是封闭的空间折线或曲线。
其形状随两相交立体表面的性质和相对位置的变化而不同。
2．相贯线是两立体表面的共有线，是两立体表面公共点的集合。
求相贯线，也就是求两相交立体表面的公共点。
第三节两曲面立体相交两曲面立体相交，相贯线为封闭的空间曲线，特殊情况为平面曲线。
下面介绍常用的两种方法。
一、表面取点法两回转体相交，如果其中有一个是轴线垂直于投影面的圆柱，则相贯线在该投影面上的投影，就积聚在圆柱面的有积聚性的投影上。
于是可以在这个相贯线有积聚性的投影上取一些点，按已知曲面立体表面上的点的一个投影，求其它投影的方法，即表面取点法，作出相贯线的投影。
例1：如图5-3-1所示，求作两正交圆柱的相贯线。
解：相贯线系两圆柱表面公共点的集合，应在铅垂轴线的小圆柱面上，其水平投影重合在水平投影中的小圆周上；同理相贯线的侧面投影也应重合在侧面投影的大圆周上。
故只有它的正面投影需要画出，可以用已知曲面上点的一个投影求另外投影的方法。
作图步骤如下：（1）先求特殊点，即求相贯线上的最前、最后、最左、最右、最上、最下等点。
在水平投影的小圆周上直接确定出相贯线上最左、最右点的投影1、3和最前、最后点的投影2、4；对应在侧面投影中为1″、3″和2″、4″，也是最高、最低点的侧面投影；按投影关系可得出它们的正面投影1′、3′和2′、4′。
因为两曲面立体前后对称相贯，故最前、最后两点的正面投影重合。
（2）求作若干一般位置点。
依连线光滑准确的需要，作出相贯线上若干个中间点的投影。
如在水平投影上取5、6点，其侧面投影为5″、6″，再求出其正面投影5′和6′。
（3）依次光滑连接1′、5′、2′（4′）、6′、3′各点，即得相贯线的正面投影。
第四节相贯线
椭圆)(图5-14)。 四、 相贯线的简化画法
当圆柱与圆柱、圆柱与圆锥轴线相交，并公切于一圆球时，相贯线为椭圆，该椭圆的正面投影为一直线段，水平面投影为类似形(圆或 椭圆)(图5-14)。
三、 相贯性的特殊情况
• 两回转体相交时，其相贯线一般为空间曲线，但 在特殊情况下，也可能是平面曲线或直线。
• 当两个回转体具有公共轴线时，相贯线为圆，该 圆的正面投影为一直线段，水平面投影为圆的实 形(图5-13)。
图5-13 相贯线的特殊情况(一)
当圆柱与圆柱、圆柱与圆锥轴线相交，并公切于一圆球时，相贯线为椭圆，该椭圆的正面投影为一直线段，水平面投影为类似形(圆或
椭圆)(图5-14)。
例5-4求作圆柱与圆交时的相贯线。
当圆柱与圆柱、圆柱与圆锥轴线相交，并公切于一圆球时，相贯线为椭圆，该椭圆的正面投影为一直线段，水平面投影为类似形(圆或
四、 相贯线的简化画法
画相贯线常采用的方法是辅助平面法。
当两个回转体具有公共轴线时，相贯线为圆，该圆的正面投影为一直线段，水平面投影为圆的实形(图5-13)。
当两圆柱轴线平行或两圆锥共顶相交时，相贯线为直线(图5-15)。
四、 相贯线的简化画法
画相贯线常采用的方法是辅助平面法。
图5-14 相贯线的特殊情况(二)
• 当圆柱与圆柱、圆柱与圆锥轴线相交，并公切于 一圆球时，相贯线为椭圆，该椭圆的正面投影为 一直线段，水平面投影为类似形(圆或椭圆)(图514)。
• 当两圆柱轴线平行或两圆锥共顶相交时，相贯线 为直线(图5-15)。
图5-13 相贯线的特殊情况(一)
例5-4求作圆柱与圆锥台正交时的相贯线。
辅助平面法的原理是用一个截平面依次截切两个相贯的物体，所得的截交线必有几点处于三面共点的位置。
第五章相贯线讲解
(a) 两外表相交 (b) 外表面与内表面相交 (c) 两内表面相交 图3-41 求正交两圆柱的相贯线
24
两圆柱相交时，相贯线的形状和位置取决于它们直径的相 对大小和轴线的相对位置，表中表示两圆柱面的直径相对大小 变化时对相贯线的影响。这里特别指出的是，当相贯线（也可 不垂直）的两圆柱面直径相等，即公切一个球时，相贯线是相 互垂直的两椭圆，且椭圆所在的平面垂直于两条轴线所确定的 平面。
互贯
两轴线平行
27
28
29
30
31
32
例2 求轴线交叉垂直圆柱相贯线的投影。
5'
1' 8'
4' 6' 2'
7'
3'
4" 5“(6 1““) (2“) 8“(7“)
3“
y
4
5
6
1
2
y
8
37
33
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
● ●
●
●
● ●
● ●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯 ◆ 一内表面和一外表面相贯
空间分析： 四棱柱投的影四分个析棱：面分别与
圆柱由面于相相交贯，线前是后两两立棱体面表与圆 面柱的轴共线有平线行，，所截以交相线贯为线两的段直 侧线面；投左影右积两聚棱在面一与段圆圆柱弧轴上线，垂 水直平，投截影交积线聚为在两矩段形圆上弧。。
5
6
例2：求作主视图
7
三、回转体与回转体相贯
1. 相贯线的性质
相贯线是由若干段平面曲线 （或直线）所组成的空间折线， 每一段是平面体的棱面与回转体 表面的交线。
24
两圆柱相交时，相贯线的形状和位置取决于它们直径的相 对大小和轴线的相对位置，表中表示两圆柱面的直径相对大小 变化时对相贯线的影响。这里特别指出的是，当相贯线（也可 不垂直）的两圆柱面直径相等，即公切一个球时，相贯线是相 互垂直的两椭圆，且椭圆所在的平面垂直于两条轴线所确定的 平面。
互贯
两轴线平行
27
28
29
30
31
32
例2 求轴线交叉垂直圆柱相贯线的投影。
5'
1' 8'
4' 6' 2'
7'
3'
4" 5“(6 1““) (2“) 8“(7“)
3“
y
4
5
6
1
2
y
8
37
33
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
● ●
●
●
● ●
● ●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯 ◆ 一内表面和一外表面相贯
空间分析： 四棱柱投的影四分个析棱：面分别与
圆柱由面于相相交贯，线前是后两两立棱体面表与圆 面柱的轴共线有平线行，，所截以交相线贯为线两的段直 侧线面；投左影右积两聚棱在面一与段圆圆柱弧轴上线，垂 水直平，投截影交积线聚为在两矩段形圆上弧。。
5
6
例2：求作主视图
7
三、回转体与回转体相贯
1. 相贯线的性质
相贯线是由若干段平面曲线 （或直线）所组成的空间折线， 每一段是平面体的棱面与回转体 表面的交线。
11 第五章第三讲 相贯线
3'
4' 6' • • •• 7' 5' R3
•
R4 R5 R4 R1
•Ⅰ •Ⅱ
•Ⅲ •Ⅳ
完
R5
•1 • 7） （ •2 （6） R2 •3 • • （4）5） • （ R3
求相贯线作图步骤：
1、求特殊点； 2、求一般点； 3、找出分界点； 4、顺次连接各点（连接原则是：如果两曲面的 两个共有点分别位于一曲面的相邻两素线 上， 同时也分别在另一曲面的相邻两素线 上，则 这两点才能相连)。 5、判别可见性(其判别原则是：两曲面的可见 部分的交线才是可见的；否则是不可见的）。
三、相贯线的类型
三、相贯线的类型
四、作图方法
（1）重影性法。 （2）辅助平面法。 （3）辅助球面法。
二、相贯线的作图
1、方法： （1）求特殊点。(一定要标注） （2）求一般点。
（3）光滑连接。
（4）判别可见性。
（5）体的完整。（画完剩余转向线）
2、连线的原则：
两立体表面上都处于相邻两素线之间的点才能相连。
已知直三棱柱与圆柱贯穿后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’ 2’ (11)’ 11’’ (10)’’ 3’’ 2’’
1’
1’’ (8)’ 6’ (9)’ 5’ 9’’ 5’’
7’
8’’
7’’
6’’
(8) 11 10 (9)
1 (7)
3 (5) 2 (6)
例:93题：求三棱柱与圆球的相贯线
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯 ◆ 一内表面和一外表面相贯
● ● ● ●
பைடு நூலகம்★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
相贯线
2 半剖视图
适用范围：要求物体具有对称面；或接近对称且不对称部分 另有视图表示时；
视图与剖视之间应以 点划线分界； 半剖中已表达清楚的 结构，在半个视图的虚 线可不画；
3.局部剖视图
适用范围：仅有部分内部结构需要表达；或不宜画成全剖视 图或半剖视图的情况；
注意：剖视与视图的分界线为波浪线； 剖切范围不要过于零乱
相贯的画法
相贯---两立体（回转体）表面相交，其交线称为相贯线。
1、相贯线的性质：共有性、封闭性
相贯线是相交两立体表面的共有线，也是两立体表面的分界线。 由于立体均具有一定的范围，所以相贯线一般由封闭的空间线段组成。
相贯线的形状取决于立体的几何性质、相对大小以 及它们的相对位置。
x a y b r 2 2 2 y c z d r2
2
消去y得相贯线V面的投影的曲线方程
3）有公共内切球--柱锥相贯
4）两柱轴线平行
5）两锥共顶
影响相贯线形状的因素
影响相贯线的空间形状有 三个因素：相贯两曲面立 体的表面性质、相对位置、 尺寸大小。
正交两圆柱当直径相对变化时对相贯线形状的影响
两圆柱尺 寸关系
相贯线 的特点
水平圆柱直径大
两圆柱直径相等
A-A
A A A A A
3.旋转剖切 用两个相交的剖切面剖切
注意: 1)必须标注 2)两剖切面的交线应通过物体的回转轴线 3)先剖切、转平后再投影 4)一般用于盘类零件
当剖切后产生不完整的要素时，应按不剖绘制；
4.用组合的平面剖切—复合剖
复合剖可采用展 开画法，这时需 注明：x - x展开
5.用圆柱面剖切
求出特殊点1’和2’ 求出特殊点3’（4’） 过点1’、3’和2’作垂 直平分线，交点为 圆心O 以O为圆心画圆弧， 取代相贯线的投影。
相贯线
两轴线垂直相交 两轴线垂直交叉 全 贯 互 贯 两轴线平行
27
28
29
30
31
32
例2
求轴线交叉垂直圆柱相贯线的投影。 求轴线交叉垂直圆柱相贯线的投影。 5' 1' 8' 3'
y
4' 6' 2' 7'
4"
5“(6 1“(2“) “) 8“(7“) 3“
4 5 1 8 3 7
33
6 2
y
例3：补全主视图 ：
确定交线 的范围 确定交线的 弯曲趋势
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
利用表面取点法求作相贯线
如果两回转体相交， 如果两回转体相交，其中 有一个是轴线垂直 轴线垂直于投影面 有一个是轴线垂直于投影面 圆柱， 的圆柱，则相贯线在该投影 面上的投影积聚在圆柱面上。 面上的投影积聚在圆柱面上。 利用回转体表面取点的方法 可以作出相贯线的其余投影。 可以作出相贯线的其余投影。 按已知曲面立体表面上点 的投影求其它投影的方法， 的投影求其它投影的方法， 称为表面取点法。 称为表面取点法。
41
两个回转体具有公共轴线时， 两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为垂直轴线的圆
42
组合相贯线
三个或三个以上的立体相交在一起，称为组合相贯。 三个或三个以上的立体相交在一起，称为组合相贯。这时 相贯线由若干条相贯线组合而成，结合处的点称为结合点。 相贯线由若干条相贯线组合而成，结合处的点称为结合点。 处理组合相贯线，关键在于分析， 处理组合相贯线，关键在于分析，找出有几个两两曲面立 体相交在一起，从而确定其有几段相贯线结合在一起。 体相交在一起，从而确定其有几段相贯线结合在一起。
27
28
29
30
31
32
例2
求轴线交叉垂直圆柱相贯线的投影。 求轴线交叉垂直圆柱相贯线的投影。 5' 1' 8' 3'
y
4' 6' 2' 7'
4"
5“(6 1“(2“) “) 8“(7“) 3“
4 5 1 8 3 7
33
6 2
y
例3：补全主视图 ：
确定交线 的范围 确定交线的 弯曲趋势
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
利用表面取点法求作相贯线
如果两回转体相交， 如果两回转体相交，其中 有一个是轴线垂直 轴线垂直于投影面 有一个是轴线垂直于投影面 圆柱， 的圆柱，则相贯线在该投影 面上的投影积聚在圆柱面上。 面上的投影积聚在圆柱面上。 利用回转体表面取点的方法 可以作出相贯线的其余投影。 可以作出相贯线的其余投影。 按已知曲面立体表面上点 的投影求其它投影的方法， 的投影求其它投影的方法， 称为表面取点法。 称为表面取点法。
41
两个回转体具有公共轴线时， 两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为垂直轴线的圆
42
组合相贯线
三个或三个以上的立体相交在一起，称为组合相贯。 三个或三个以上的立体相交在一起，称为组合相贯。这时 相贯线由若干条相贯线组合而成，结合处的点称为结合点。 相贯线由若干条相贯线组合而成，结合处的点称为结合点。 处理组合相贯线，关键在于分析， 处理组合相贯线，关键在于分析，找出有几个两两曲面立 体相交在一起，从而确定其有几段相贯线结合在一起。 体相交在一起，从而确定其有几段相贯线结合在一起。
相贯线复习讲解
交 线 是 圆
返回
辅助平面法举例
常用的辅助平面为投影面的平行面或垂直面,要 使辅助平面与两立体表面交线的投影为直线或圆。
返回
例1：求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线（类似P14 第一题）
1`
1`
2`
1``
(1)求特殊点。
2``
2``
最后最低点投影
最 左
最 左
2
最最 右高
最 高
1
最点 高
点
点
投
2
投
影
影
最前最低点投影
Y
1`
2`
4` 3` 5`
1`` 4`` 3`` 3``
3
1
2
Y
43 5
Y
2
1
5
43
返回
例2：求两轴线斜交圆柱的相贯线
Y
2`
4``
4` 5`
Y
4
5
Y
5
4
返回
例3：求两轴线交叉圆柱的相贯线
RW 作图：
Y
1.求特殊点
4`` 3``
2``
(5``)
(6``) a``
垂直圆柱的水平投影中
标注特殊点。先确定转向 轮廓线上的点。
返回
6、作图步骤 （1）形体分析（两立体之间及立体与投影面之间的相对位置） （2）相贯线空间分析、投影分析 （3）求特殊位置点 （4）求一般位置点 （5）依次连接各点 （6）判断可见性 （7）整理轮廓线
返回
两圆柱相交的三种形式
外表面和内表面相交
外表面和内表面相交
返回
两圆柱相交的三种形式
挖孔后
切割后
作图：
1.求特殊点
相 贯 线
的投影，如图（b）所示。
c. 求一般位置点的投影。先在俯视图的相贯线上 适当位置取点m和点n，然后根据“宽相等”求出其 在左视图中的投影，最后根据“长对正、高平齐” 求出这两个点在主视图中的投影，如图（c）所示。
d. 根据点在空间的连接顺序， 用曲线板顺次光滑连接主视图 中的各点，如图（d）所示。
2．简化画法
b. 求柱面对H面转向轮廓线上的点。
过柱面对H面的转向轮廓线，假想用一个水 平面将物体切开，辅助平面和柱面的交线就是柱 面的转向轮廓线，和锥面的交线是水平圆，该圆
2 和柱面转向轮廓线的交点C和D是相贯线上的点。
先求出C，D点的水平投影c，d，然后根据“长对 正”求出其V面投影c′，d′，如图（b）所示。
两圆柱正交时，按柱面的 可见性分为外圆柱与外圆柱、 外圆柱与内圆柱、内圆柱与内 圆柱相贯，如表所示。
外圆柱与外 圆柱正交
截外圆柱与 内圆柱正交
内圆柱与内 圆柱正交
绘制圆柱与圆柱正交相贯线的方法有三种：即表面取点法、简化画法和模糊画法。
1．表面取点法
1
右图为直径不等的两圆柱正交的立体图。小圆柱面
上的所有素线均与大圆柱面相交，大圆柱面上只有部分
d. 光滑连接相贯线上的点。
连接相贯线上的点时，要注意判断相
圆柱与圆锥正交时也可以采用模糊
贯线的可见性，完成的视图如图（d）所示。 画法表示相贯线，如下图所示。
2
3 相贯线绘制案例
【案例1】 已知图所示的俯视图和左视图，参考立体图补画主视图。
3
形体分析和线面分析：本案 例的基础形体为水平放置的圆柱 筒，在该圆柱筒上方钻了一个通 孔，所钻通孔的直径小于圆筒的 内径，通孔和圆筒的内、外圆柱 面共产生4条相贯线，在主视图中 孔和孔的相贯线不可见。由于所 钻通孔的直线与圆筒的直径不相 等，因此可采用简化画法，即用 圆弧绘制相贯线的V面投影。
相贯线的投影作图
相贯线的分类
按两立体的形状分类：平面立体 与平面立体、平面立体与曲面立
体、曲面立体与曲面立体。
按两立体的相对位置分类：正交 与非正交。
按两立体表面的性质分类：回转 体与非回转体。
相贯线的性质
封闭性
相贯线是封闭的平面曲线或曲面 曲线。
唯一性
对于给定的两个立体，其相贯线是 唯一的。
可分性
相贯线是由若干段平面曲线或曲面 曲线组成的，每一段都是可分的。
VS
详细描述：在艺术造型中，相贯线的 应用常常与创意和表现力相结合。通 过巧妙地运用相贯线，艺术家可以创 造出独特的视觉效果和艺术造型。例 如，在雕塑和装置艺术中，相贯线的 运用能够增强作品的空间感和立体感， 使其呈现出更加丰富的视觉效果。
05
相贯线投影作图的注意事项
投影面的选择
投影面选择
在相贯线的投影作图中，选择合适的 投影面非常重要。通常选择垂直于相 贯线表面的投影面，以便更好地展示 相贯线的形状和位置。
避免作图误差
消除误差源
在相贯线的投影作图中，误差可能来源于多个方面，如测量工具、投影设备、 作图方法等。消除误差源是避免作图误差的关键，需要选择高精度的测量工具 和投影设备，采用可靠的作图方法。
检查与修正
在完成相贯线投影作图后，需要进行仔细的检查和修正。通过对比实际模型或 实物，发现并修正作图中的误差和偏差，确保相贯线投影的准确性和可靠性。
特点
应用
在建筑、室内设计和影视制作等领域 中，中心投影法常用于绘制透视图和 效果图。
中心投影法能够产生具有透视效果的 图像，使物体看起来更加立体。
斜投影法
定义
斜投影法是一种将物体投 影到二维平面的方法，其 中投影线与投影面不平行 且不通过共同的点。
工程制图(第9讲)相贯线
4.整理相贯立体在各投 影中的投影轮廓线
相贯线投影的近似画法
当两正交圆柱直径相差较大时，其相贯线的投影 可用圆弧近似代替。 d/2
1′ 2′ 4〞 3′(4′) 1〞(2〞) 3〞
d/2
1′′ 2′
d
4 1 2 1 2
3
三点画圆弧
以大圆柱半径为半径画弧
d
两圆柱正交相贯的基本形式及其投影特点
当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。
⒉ 作图
当相贯线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： ⑴ 找点 ☆ 先找特殊点
特殊点包括：最上点、最下点、最左点、 最右点、最前点、最后点、轮廓线上的点等。
☆ 补充若干中间点 ⑵连线 ⑶检查、加深
尤其注意检查回转体轮廓素线的投影。
三、两圆柱体相贯 ⒈ 相贯线的产生：
外表面与外表面相交， 外表面与内表面相交， 内表面与内表面相交。 ⒉ 求相贯线的方法：
求相贯线投影的方法
求相贯线的实质-----求立体表面的共有点
常用的求相贯线上点的投影的方法有：
①表面取点法：利用积聚性 ②辅助平面法：a）作辅助平面 b）和立体产生两条截交线 c）截交线的交点即为共有点
一、表面取点法
两相贯立体中如果有一正圆 柱轴线垂直于某一投影面，就可 以利用圆柱面投影的积聚性得到 相贯线的一个投影。然后，用表 面取点的方法求出相贯线的其他 投影。
PV
P1V 3"
5"
6" 4" 2"
3 5 2 1 6 4
PV
2'
QV 5',6' 1' 3',4' 4" 5"
2"
相贯线
6 4` `
分析整理轮廓线 分析整理轮廓线
7 4``` a" 4`` 6`
a`7` 5`
1` 3` 2`` 3``
2`
1``
2
3
4` 1` 2`
5`
4
5
a
1
3` 返回
例题1 例题 平面立体与曲面立体相贯
6` 7`
讨论： 讨论：如果三棱柱为孔
7` 6`
a"
外表面和外表面相交
a 返回
例题1 例题 平面立体与曲面立体相贯
（2）、辅助平面法 ）
利用辅助平面法求相贯线， 利用辅助平面法求相贯线，就是利用辅助平面与参 加相贯的两曲面立体相交，各得一截交线， 加相贯的两曲面立体相交，各得一截交线，而这两截交 线的交点，就是所求相贯线上的点。 线的交点，就是所求相贯线上的点。
辅助平面 辅助平面
A A B B
A
B
甲立体表面 辅助平面 R
辅助平面法原理
截交线 两截交线的 交点即为 截交线 甲面 R面 乙面 共点
乙立体表面 为了作图简便和准确，在 选取辅助平面时，应尽量使 辅助平面与两曲面立体的截 直线或圆。 交线的投影都是直线或圆 直线或圆
Ⅶ
交 线 是 平 行 两 直 线
Ⅵ Ⅳ Ⅴ
常用的辅助平面 为投影面的平行面或 为投影面的平行面或 垂直面, 垂直面,要使辅助平面 与两立体表面交线的 投影为直线或圆。 投影为直线或圆。
讨论： 讨论： 相贯线的变 化 （2）当圆柱变为孔
5、例题 、
返回
例5：求两轴线斜交圆柱的相贯线 ：
1` 3`
2` 3``
1``
3``
2 3 1 2 3 1 3
分析整理轮廓线 分析整理轮廓线
7 4``` a" 4`` 6`
a`7` 5`
1` 3` 2`` 3``
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2
3
4` 1` 2`
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4
5
a
1
3` 返回
例题1 例题 平面立体与曲面立体相贯
6` 7`
讨论： 讨论：如果三棱柱为孔
7` 6`
a"
外表面和外表面相交
a 返回
例题1 例题 平面立体与曲面立体相贯
（2）、辅助平面法 ）
利用辅助平面法求相贯线， 利用辅助平面法求相贯线，就是利用辅助平面与参 加相贯的两曲面立体相交，各得一截交线， 加相贯的两曲面立体相交，各得一截交线，而这两截交 线的交点，就是所求相贯线上的点。 线的交点，就是所求相贯线上的点。
辅助平面 辅助平面
A A B B
A
B
甲立体表面 辅助平面 R
辅助平面法原理
截交线 两截交线的 交点即为 截交线 甲面 R面 乙面 共点
乙立体表面 为了作图简便和准确，在 选取辅助平面时，应尽量使 辅助平面与两曲面立体的截 直线或圆。 交线的投影都是直线或圆 直线或圆
Ⅶ
交 线 是 平 行 两 直 线
Ⅵ Ⅳ Ⅴ
常用的辅助平面 为投影面的平行面或 为投影面的平行面或 垂直面, 垂直面,要使辅助平面 与两立体表面交线的 投影为直线或圆。 投影为直线或圆。
讨论： 讨论： 相贯线的变 化 （2）当圆柱变为孔
5、例题 、
返回
例5：求两轴线斜交圆柱的相贯线 ：
1` 3`
2` 3``
1``
3``
2 3 1 2 3 1 3
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49
第三节 立体与立体相交 一、两曲面立体相交（圆柱与圆柱）
完成开孔半圆筒 相贯线的投影
分析：
• 本例要作两条相
贯线：外圆柱面与 内圆柱面（圆柱孔） 相贯，两内圆柱面 相贯。 • 由于正交的两圆 柱孔直径相同，因 此“内-内” 相贯 线在非积聚性投影 （正面投影）变成 相交两直线，因不 可见，要画虚线
如图（a）所示，圆柱与圆锥相贯，过锥顶并平行于 圆柱轴线作辅助截面P，截圆锥面为两相交直线；截圆 柱面为两平行直线。交点Ⅰ、Ⅱ，即为相贯线上的点。 图（b）所示，圆柱与圆锥相贯，辅助截面Q垂直于圆 锥轴线并平行于圆柱轴线，截圆锥为平行于H投影面的 圆，截圆柱为两平行直线。交点Ⅲ、Ⅳ即为相贯线上的 点。选择一系列的辅助面，求得一系列公有点，依次光 滑连接相邻的点完成相贯线的投影。
例2 完成开孔立体的H、W投影。
（1）分析 该组合体是由 共轴线的圆柱和 圆台组成，轴线 垂直于H面。组合 体开有上下、前 后通孔，且互相 垂直相交。组合 体前后、左右均 对称。
（2）作图
如图所示，圆柱开孔在外表面是不 等径圆柱正交的空间曲线和平行于圆柱 轴线的二平行直线，相贯线经过Ⅹ、Ⅺ、 Ⅻ、ⅩⅢ、ⅩⅣ点，其V、H积聚，W为 曲线投影；交线Ⅺ（Ⅰ）和Ⅻ（Ⅱ）是 铅垂线，W投影为直线。 内孔是二等直径圆柱正交，交线椭 圆的W积聚成直线（不可见）。 圆台开圆柱孔在外表面的交线是空 间曲线和双曲线，空间曲线经过Ⅴ、Ⅵ、 Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ点，其V积聚，H，W为曲线 投影；交线Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ和Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ是 双曲线，其V、H投影积聚，W为曲线投 影。内孔是二等直径圆柱正交，交线椭 圆的W积聚成直线（不可见）。W中，圆 柱和圆台的转向轮廓线在点Ⅹ、Ⅸ之间 已不存在，交线前后对称。 最后，补全其它投影，完成作图。
44
第三节 立体与立体相交 一、两曲面立体相交（圆柱与圆柱）
3、两圆柱相交的三种形式
两圆柱相交可能是它们的外表面，也可能是内表面， 但其相贯线的形状和求作方法都是相同的。
两外表 面相交
外表面 与内表 面相交
两内表 面相交
圆筒开孔例1 圆筒开孔例2 圆筒相交例
45
第三节 立体与立体相交 一、两曲面立体相交（圆柱与圆柱） 例1 圆筒穿圆柱孔
（5）连线并判别可见性
两立体公共可见 部分的交线可见， 由已知的H投影分 析知：V投影中， 以点I、II为虚实 分界点，相贯线的 前面部分为可见。 圆柱和球的前后转 向轮廓线在V投影 中补画情况亦如图 所示。
3.4.4.3 相贯线的特殊情况 1 两立体相交，它们公切于一个球面时
相贯线由空间曲线蜕化成两个椭圆。如图，各椭 圆所在平面均与V面垂直，它们的V投影积聚成直线， 由两立体在V面上的转向轮廓线的交点所连成。
50
第三节 立体与立体相交 一、两曲面立体相交（圆柱与圆柱）
【题】完成圆筒 相贯线的投影
• 两圆筒正 交 • 外外相贯 内内相贯 • 两圆筒外 径相等
51
例2 求不等直径圆柱斜交相贯线的投影。
（1）分析 两圆柱轴线倾斜相 交，且平行于V面，因 此相贯线是一封闭的 空间曲线，其前后对 称。由于水平大圆柱 垂直于W面，所以相贯 线的W投影有积聚性， H、V投影需要求作。
（3）求特殊点
如图所示，I、 II是最高点、又 是最左、最右点， 也是V投影方向上 的虚实分界点， III、IV是最低点、 又是最前、最后 点。各点的V投影 1′、2′、3′、 4′由已知的H、W 投影求得。
（4）求一般点
如图所示，V、VI两点选择辅助平面P求得。
（5）连线并判别可见性
相贯线前后对称，其V投影虚实重叠。
例1 求立体交线的投影。
（1）分析 该组合体是由三个直径 不同的圆柱组成。 其中左右水平的小、大 两圆柱共轴线并⊥W面; 直立圆柱⊥H面并与水平 两圆柱垂直相交。 组合体前后对称。 直立圆柱与水平大、小 圆柱的相贯线均为不等直 径圆柱正交，各是前后对 称的空间曲线。
（2）作图
点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅵ、Ⅶ、 Ⅷ，分别在W、H中积聚，V为 前后重影。 水平大圆柱左端面是侧 面平行面，与直立圆柱轴线 平行，交线是二铅垂线。其V 重影即3′4′一段，H积聚成 一点即3（4），W是3″4 ″。 后面与前面对称。 直立圆柱下端面是水平面， 与水平小圆柱面相交是二侧 垂线。其V重影即5′6′一段， W积聚成一点即（5 ″）6 ″， H是56（不可见）。后面与前 面完全对称。 最后，补全其它投影，完 成作图。
例4 求圆柱与圆球偏交相贯线的投影。
（1）分析 如图所示，圆柱 与球轴线平行但不 相交。相贯线是一 封闭的空间曲线。 由于直立圆柱垂直 于H面，所以相贯 线的H投影有积聚 性，现仅求作V投 影。
（2）辅助截平面的选择
选择投影面平行面为辅助平面，其与圆柱面的 交线是直线或平行于投影面的圆，而与球面的交 线是平行于投影面的圆。
3.4.4.2 相贯线的求作方法
相贯线是两立体表面的公有线，相贯线上的点称为相贯点， 是两立体表面的公有点。 相贯线的求作过程是先求出两立体表面的一系列公有点， 然后依次光滑连接成曲线。 相贯点有特殊点和一般（中间）点。如曲面立体的转向轮 廓线与另一曲面立体的交点（称为转向点）；相贯线上的最 高、最低、最左、最右、最前、最后点以及相贯线与曲面上 素线的切点（称为极限位置点）等是特殊点。 作图时，应求出特殊点，这有助于确定相贯线的投影范围 和变化趋势，使相贯线的投影更准确。一般点则按需要求出。 具体求作方法： （1）表面取点法。条件是必须至少已知相贯线的一个投影 （2）辅助截面法。没有投影条件限制，但辅助截面的选择 应使所截得的截交线是直线或平行于投影面的圆。辅助截面 法在相贯截交线均 为直线，而其他 平面截两圆柱面 会出现椭圆。所 以选正平面P为辅 助平面，如图所 示。
（3）求特殊点
如图所示，Ⅰ、 Ⅱ是最高点、又是 最左、最右点，也 是V投射方向上的 虚实分界点，Ⅲ、 Ⅳ是最低点、又是 最前、最后点。各 点的V、H投影由已 知的W投影求得。
（3）求特殊点
如图所示，I、II是 最左、最右点，III、 IV是最前点、最后点。 而最高、最低点E、F的 H投影应是在H投影中圆 柱和球中心连线与圆周 相交的点e、f。以上各 点的V投影由它们已知 的H投影和通过作正平 面P为辅助平面的方法 求得。
（4）求一般点
可同样选择正平面为辅助平面求得， 本例图中未作。
（6）不同表面相交情况的分析
上述两圆柱外表面 相交的相贯线，同样 可出现在圆柱上开圆 柱孔的情况下，即圆 柱与圆柱孔（外和内 表面）、圆柱孔与圆 柱孔（内和内表面） 正交时。它们的求作 方法是相同的，如图 所示。
（7）二等直径圆柱正交
其相贯线由空间 曲线蜕化成两个椭 圆。如图所示，各 椭圆所在平面均与V 面垂直，因此它们 的V投影都积聚成直 线，由两立体在V面 上的转向轮廓线的 交点所连成。
2 回转体与球相交，且回转体轴线过球心时 其相贯线为一垂直于回转体轴线的圆。
3.4.5 综合举例
概述
几个基本几何体相交组成一个复杂的组合 体时，如何正确作出它们的交线。 1.必须很好掌握单一基本几何体被平面所 截产生截交线和两个基本几何体相交产生相 贯线的分析和求作方法； 2.必须分析清楚组合体由哪几个基本几何 体组成、它们的相对位置以及何处存在交线。 特别注意对形体的认识和分析； 3.必须分析清楚交线的形状和不同交线的 分界点，以及它们的投影情况。 4.按逐一作图，注意衔接，综合完成进行 正确求作。
【题】完成两相交空心 圆柱相贯线投影
分析： • 两个空心圆柱正交产生 外外相贯 和 内内相贯。 • 水平圆筒的侧面投影具 有积聚性，因而两相贯线 的侧面投影与之重合。同 理，相贯线的水平投影与 直立圆筒的水平投影重合 • 只须求两相贯线的正面 投影（预判相贯线弯曲趋 向由左朝右）。
• 求“外-外”相贯线 1)特殊点 相贯线上的最 高、最低点Ⅰ、Ⅱ；最右 点(最前点）Ⅲ的投影 2）一般点 Ⅳ、Ⅴ 3）连接曲线 即为相贯线 的前半段 • 求“内-内”相贯线 方法相同。相贯线上的最 高、最低点Ⅵ、Ⅶ ；最 右点Ⅷ。此相贯线被遮挡， 不可见，应画虚线。
（4）求一般点
选择水平面或过锥顶的侧垂面为辅 助平面可求得，本例图中未作。
（5）连线并判别可见性
两立体公共可见部 分的交线可见，由已 知的W投影分析知：V 投射方向，以点Ⅲ、 Ⅳ和Ⅸ、Ⅹ为分界， 相贯线的前面部分为 可见；H投射方向， 以点Ⅶ、Ⅷ为分界， 相贯线的上面部分为 可见。因此得到如图 中的投影结果。圆柱 前后转向轮廓线的V 投影和上下转向轮廓 线的H投影补画情况 亦如图所示。
•外内相贯
•内内相贯
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第三节 立体与立体相交 一、两曲面立体相交（圆柱与圆柱） 例2 圆筒穿圆柱孔
•外内相贯 •内内相贯 •圆筒内径 与圆柱孔径 相同
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第三节 立体与立体相交 一、两曲面立体相交（圆柱与圆柱）
例3 两圆筒正交
• 外外相贯 • 内内相贯
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第三节 立体与立体相交 一、两曲面立体相交（圆柱与圆柱）
辅助截面法
例1 求不等直径圆柱正交相贯线的投影。
（1）分析：如图所示，两圆柱轴线互相垂直相 交。小圆柱垂直于H面、大圆柱垂直于W面，相贯 线是一封闭的空间曲线，其前后、左右对称。相 贯线的H、W投影分别有积聚性，V投影需要求作。
（2）辅助截平面的选择
分析可知，投影面的平行面均能截出直线或平 行于投影面的圆，因此可作为辅助平面。如图所 示，本例选正平面P为辅助截平面。
例3 求圆柱与圆锥偏交相贯线的投影
（1）分析 如图所示，圆柱与圆锥轴线垂直但不相交。相 贯线是一封闭的空间曲线，其左右对称。由于水 平圆柱垂直于W面，所以相贯线的W投影有积聚性， H、V投影需要求作。
（2）辅助截平面的选择
选择水平面或过锥顶的侧垂面为辅助平面（分 析为什么？）
（3）求特殊点
如图所示，Ⅱ是最高点，Ⅺ、Ⅻ是最低点、Ⅶ、Ⅷ是最 前点，Ⅰ是最后点。各点的V、H投影由已知的W投影和通过 作水平辅助平面方法求得。而两点Ⅴ、Ⅵ，是相贯线与圆 锥素线的切点。