5.6 利用三角形全等测距离

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利用全等三角形测距离的方法

利用全等三角形测距离的方法宝子们！今天咱们来唠唠一个超有趣的事儿——利用全等三角形测距离。

全等三角形啊，那可是一对长得一模一样的三角形呢。

它们的对应边相等，对应角也相等。

这特性可就被聪明的人儿用来测距离啦。

比如说吧，你站在一个地方，想知道河对岸某个点到你的距离。

但是呢，你又不能直接拿着尺子去量，这时候全等三角形就闪亮登场啦。

你可以在你这边的岸上，找一个点A，然后从这个点出发，沿着河岸走一段距离到点B，再找个合适的角度，比如说让∠ABC是个直角。

然后从点B向对岸的那个目标点C看过去，在这条视线和河岸的交点处标记为点D。

这时候呢，你就构造出了两个三角形啦，一个是△ABC，还有一个是△ABD。

你看啊，∠ABC = ∠ABD = 90°，而且∠BAC和∠BAD是你看同一个方向形成的角，所以这两个角相等，再加上AB是公共边。

这么一来，根据角边角的判定定理，这两个三角形就是全等三角形啦。

那既然全等了，AC和AD的长度就相等喽。

你只要量出AD的长度，就知道河对岸的点C到你的距离啦。

是不是很神奇呢？再比如在野外探险的时候，你想知道两座山之间的距离。

你可以在平地上找一个合适的位置，同样构造出这样的全等三角形。

找个基准点，然后通过测量一些角度和距离，利用全等三角形的性质，就可以算出两座山之间的距离啦。

这种方法就像是我们和数学玩的一个小把戏。

它不需要那些特别高大上的仪器，就靠着我们对全等三角形的了解，就能解决那些看起来很难测量距离的问题。

而且啊，当你通过自己的智慧，用这种方法算出距离的时候，那种成就感简直不要太爽哦。

就像是你和数学之间有了一个小秘密，然后你用这个小秘密解决了实际的大问题呢。

宝子们，是不是也想找个机会去试试这个超酷的测量距离的方法呀。

利用三角形全等测距离(教案说明)

5.6利用三角形全等测距离（教案说明）
本节课是北师大版七年级下册第五章第六节，主要内容是利用三角形全等测距离，通过构建全等三角形来解决实际问题，是一节综合应用课，目的是培养学生构建数学模型，利用所学知识解决实际问题的能力。

本节以实际问题作为知识背景来进行探究，充分体现数学知识的应用性。

学生在学习本节内容之前，已经掌握了全等三角形的性质和判定，具备了自主探究问题的条件，故在教法选择上，教学过程中以教师为主导,学生为主体，主要采用直观演示法、设疑诱导法，操作发现法。

在具体教学过程中学生动手操作、观察发现、自主探究、合作交流，充分相信学生，给他们以成功的体验，必要时在方法上进行点拨。

本节中我以学校的孔子像为情境入手，通过设置情境，激发学生的学习热情,培养学生学习数学的兴趣，在情境中提出问题,引导学生探究问题。

第二部分设计的2个例题，测量我军阵地与敌军碉堡的距离和测量池塘两端的距离，均为通过构建全等三角形解决实际问题，目的在于让学生在此过程中充分掌握构建全等三角形的方法，并且明白其中的数学道理。

紧接着设置了2个活动，测量窄口圆柱形瓶子的内径和孔子像底座对角线的长度，让学生在活动中更快地掌握构建全等三角形解决实际问题的方法，既提高了分析问题和解决问题的能力，又促进了师生感情的交流，这是本节课的亮点。

最后师生共同总结学习收获，交流思想感悟，完成教学目标。

作业布置也是本节的亮点之一，包括1题开放型的必做题，4题选做题，并以水果名字命名，让学生选择，增加了趣味性，学生主动选择的作业，势必做得非常认真。

全等三角形应用

测量问题方法总结数学建模的思想
抽象
利用条件
利用全等三角形性质
转
化
情境导思三：池塘的烦恼
B
A
● ●
已知A、B两点被一个池塘隔开，无法直接测量其距离，
但两点可以到达请你给出一个合适可行的方案，请画出设计图，说明依据。请把你的设计方案在学案上画出来，幵与你的同伴交流你的方案，看看谁的方案更便捷。
对应边相等
对应角相等
情境导思一：昨日的战争
在抗日战争期间，为了炸毁与我军阵地隔河相望的日军碉堡，需要测出我军阵地到鬼子碉堡的距离。由于没有任何测量工具，我八路军战士为此绞尽脑汁，这时一位聪明的八路军战士想出了一个办法，为成功炸毁碉堡立了一功。
情境导思一：昨日的战争
A
B整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部他转过一个角度；保持刚才的姿势，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；步测量出自己与那个点的距离，也就是他与碉堡的距离你觉得他测得的距离准确吗？说明其中的理由。
如左图，现在要测量一透明封闭房间的深度，一名同学根据数学原理制作了一种测量工具——拐尺，其中 O点为AB的中点， CA⊥AB，BD⊥AB， CA=BD，聪明的你能利用这个工具来进行测量吗？
情境导思二：身边的智慧
如图，使AC与房间内壁在一条直线上，且C与一端点接触，然后再BD的延长线上移动F，使得F、O、E三点共线，记下F点，这时量出DF的长，即为房间深度CE。
如图，∵CA⊥AB，DB⊥AB，∴∠A=∠B=90°在 △BOF和△AOE中， ∠B=∠C BO=AO ∠BOF=∠AOE ∴ △BOF≌△AOE（ASA） ∴BF=AE（全等三角形对应边相等）又∵AC=BD，所以AE-AC=BF-BD，即CE=DF

5.5 ～5.6 作三角形～～利用三角形全等测距离练习

5.5 ～5.6 作三角形～～利用三角形全等测距离练习一.目标导航1．在分别给出的两角夹边、两边夹角和三边的条件下，能够利用尺规作三角形.2．能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学于实际生活的联系；二.基础过关1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（）A．用尺规作一条线段等于已知线段；B．用尺规作一个角等于已知角C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角；D．不能确定2．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（）A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角C．作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角3．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上就是已知的条件是（）A．三角形的两条边和它们的夹角；B．三角形的三条边C．三角形的两个角和它们的夹边；D．三角形的三个角4．如图所示，已知线段a，b，∠α，求作△ABC，使BC=a，AC=b，∠ACB=∠α，•根据作图在下面空格中填上适当的文字或字母．（1）如图甲所示，作∠MCN=________；（2）如图乙所示，在射线CM上截取BC=________，在射线CN上截取AC=________．（3）如图丙所示，连接AB，△ABC即为_________．4题图5．如图所示，△ABC中，a=5cm，b=3cm，c=3.5cm，∠B=36°，∠C=44°，•请你从中选择适当的数据，画出与△ABC全等的三角形，不写画法，但要在所画的三角形中标出用到的数据，并说明符合条件的三角形共有多少个．5题图三.能力提升６．已知三边作三角形时，用到所学知识是（）A．作一个角等于已知角B．作一个角使它等于已知角的一半C．在射线上取一线段等于已知线段D．作一条直线的平行线或垂线７．如图所示，已知线段a及线段m，n，（n<m），求作：△ABC，使BC=a，BC边上中线和高分别为m和n．7题图８．如图所示，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，因无法直接量出A，B两点的距离，请你设计一种方案，求出A，B的距离，并说明理由．8题图9. 为在池塘两侧的A，B两处架桥，要想测量A，B两点的距离，有以下两种方法：（1）如图所示，找一处看得见A，B的点P，连接AP并延长到D，使PA=PD，连接BP并延长到C，使PC=PB．测得CD=35m，就确定了AB也是35m，说明其中的理由；9题图（2）如图所示，也可先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C，D•两点，•使BC=CD．接着过点D作BD的垂线DE交AC的延线长于E，则测出DE的长即为A，B的距离．•你认为这种方案是否切实可行，请说出你的理由．作BD⊥AB，ED⊥BF的目的是什么？若满足∠ABD=∠BDE≠90°，此方案是否仍然可行？为什么？9题图10. 如图所示，小王想测量小口瓶下半部的内径，他把两根长度相等的钢条AA′，BB′的中点连在一起，A，B两点可活动，使M，N卡在瓶口的内壁上，A′，B•′卡在小口瓶下半部的瓶壁上，然后量出AB的长度，就可量出小口瓶下半部的内径，请说明理由．10题图11.如图所示，四边形ABCD是长方形，O是它的中心，E，F是对角线AC上的点．（1）如果_________，则△DEC≌△BFA；（请你填上能使结论成立的一个条件）（2）说明你的结论的正确性．12．公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE=CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M•恰好在一条直线上．四.聚沙成塔如图（1）所示，OP是∠MON的平分线，•请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形方法，解答下列问题：（1）如图（2），在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AC、CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线交于F，试判断FE与FD之间的数量关系．（2）如图（3），在△ABC中，若∠ACB≠90°，而（1）中其他条件不变，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．。

《第四章5利用三角形全等测距离》作业设计方案-初中数学北师大版12七年级下册

《利用三角形全等测距离》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在巩固学生对三角形全等概念的理解，并熟练掌握利用三角形全等测距离的技巧，增强学生的空间想象力和实践能力，为学生今后解决实际问题打下坚实基础。

二、作业内容作业内容主要包括以下几个部分：1. 理论知识回顾：要求学生复习三角形全等的定义和判断方法，如SSS、SAS、ASA等全等条件，加深对全等三角形性质的理解。

2. 基础练习：设计一系列练习题，包括选择题、填空题和简答题，重点训练学生判断三角形全等的能力，并能够根据全等三角形的性质进行简单的计算。

3. 实践操作：提供具体的测距情境，要求学生运用所学知识，通过实地测量或绘图，利用三角形全等原理测量指定距离。

具体可以设计为两个活动：- 活动一：测量校园内两个点之间的距离。

学生需要先画出示意图，再根据实地情况确定两个点，并利用三角形全等原理测量出距离。

- 活动二：绘制图形并标注数据。

学生需根据所给条件绘制出符合要求的三角形，并标注出必要的测量数据，以验证三角形全等的条件。

4. 拓展延伸：设计一些更具挑战性的问题，如通过多边形中某些边的关系求证多边形内的两点间距离等问题，激发学生自主探索和解决问题的能力。

三、作业要求1. 理论知识回顾部分要求学生务必熟悉全等三角形的相关概念和性质。

2. 基础练习部分要求学生认真完成，对每一道题目都要进行充分的思考和计算。

3. 实践操作部分要求学生按照活动要求进行实地测量或绘图，并准确记录测量数据和计算结果。

同时，学生需在作业中附上详细的步骤说明和解释。

4. 拓展延伸部分鼓励学生自主探索和创新，尝试解决更具挑战性的问题。

如有困难，可查阅相关资料或请教老师。

四、作业评价1. 教师根据学生完成作业的情况，给予相应的评价和指导。

评价内容包括理论知识的掌握程度、解题思路的正确性、计算结果的准确性以及实践操作的规范性等方面。

2. 对于优秀的学生作品，可以在班级内进行展示和交流，以激发学生的积极性和自信心。

《第四章5利用三角形全等测距离》作业设计方案-初中数学北师大版12七年级下册

《利用三角形全等测距离》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节课的作业设计旨在让学生通过实际操作，理解并掌握三角形全等的基本原理，并能够运用这一原理来测量实际距离。

通过作业的完成，达到巩固知识、提升技能的目标，为后续学习打下坚实基础。

二、作业内容1. 理论知识复习：学生需回顾并熟练掌握三角形全等的定义、性质和判定方法，了解不同全等条件下的三角形关系。

2. 动手实践操作：（1）绘制一系列全等的三角形图案，通过剪切和拼接的方式，直观感受三角形全等的基本概念。

（2）结合生活实际，选择合适的地点（如校园内、家中），利用三角形全等原理，测量已知角度的两点间的距离。

学生需绘制测量示意图，并记录详细的测量步骤和结果。

3. 作业题目练习：设计一系列与三角形全等相关的题目，包括选择题、填空题和解答题，重点考察学生对三角形全等知识的理解和应用能力。

三、作业要求1. 理论复习部分：学生需自行整理笔记，总结三角形全等的相关知识点，并能够流利地与同学进行交流。

2. 动手实践操作部分：（1）图案绘制要求准确、清晰，剪切和拼接过程需保持小心谨慎，确保三角形全等的准确性。

（2）实地测量时，学生需注意安全，遵循正确的测量步骤，准确记录测量数据和结果。

测量示意图应清晰明了，能够准确反映测量过程和结果。

3. 作业题目练习部分：学生需独立完成题目，并按照格式要求书写答案。

如有不懂之处，可查阅教材或请教老师。

四、作业评价1. 教师将根据学生提交的作业进行批改，对理论知识复习部分进行评价，看学生是否掌握了三角形全等的基本概念和原理。

2. 对动手实践操作部分进行评价，看学生是否能够正确运用三角形全等原理进行实地测量，并准确记录测量结果。

3. 对作业题目练习部分进行评价，看学生是否能够正确理解和应用三角形全等的知识点。

五、作业反馈1. 教师将针对学生的作业情况进行反馈，对表现优秀的学生给予表扬和鼓励，对存在问题的地方进行指导和纠正。

2. 学生需根据教师的反馈意见进行反思和总结，找出自己的不足之处，并加以改进。

利用三角形全等公理(一)测距离课件

利用三角形全等公理(一)计算距离的方法：根据已知的测量点和目标点的坐标信息，利用三角形全等公理(一) 计算出测量点和目标点之间的距离。具体步骤如下
2. 在直线段上取一点作为第三个点，与测量点和目标点构成两个三角形。
3. 根据已知的测量角度和距离信息，计算出第三个点的坐标。
4. 利用三角形全等公理(一)判断两个三角形是否全等，如果全等则说明计算出的距离是正确的。
利用三角形全等公理(一)测距离ppt课件
CONTENTS
• 引言 • 三角形全等公理(一)的原理 • 利用三角形全等公理(一)测距离
的方法 • 实例分析 • 结论
01
引言
主题介绍
主题背景
介绍利用三角形全等公理(一)测距离的背景和应用场景，说明其在实际生活和工程中的重要性。
主题目的
阐述本课件的主题目的，即通过学习三角形全等公理(一)来掌握测量距离的方法。
实例三：测量点到平面的距离
总结词
利用三角形全等公理测量点到平面的最短距离
详细描述
选取一点A，作AB垂直于平面M于点B。在平面M上作线段BC平行于AB，并取一点D使得AD=CD。然后，过B作线段BE垂直于平面M于点E。此时，三角形ABC全等于三角形 BDE，因此，AB=BE，即点A到平面M的最短距离就是BE，也就是我们测量的结果。
三角形全等公理(一)简介
三角形全等定义
简要介绍三角形全等的定义，为后续课件内容做铺垫。
三角形全等公理(一)
详细解释三角形全等公理(一)的内容，包括其表述、应用条件和推导过程等。
02
三角形全等公理(一)的原理
三角形全等公理(一)的定义
总结词
三角形全等公理(一)是几何学中的基本定理，它定义了两个三角形在满足一定条件下可以被认为是全等的。

5.6 利用三角形全等测距离(说课稿)

课题：5.6 利用三角形全等测距离（说课稿）一、教材分析（一）地位和作用这节课是北师大版七年级下册第五章《三角形》的第六节，是在学生学习了全等三角形的性质及其判定条件之后的一节综合应用课。

利用三角形全等解决实际问题，首先就要把实际问题转化为三角形全等问题。

其目的是培养学生构建数学模型，并用数学知识来解决实际问题。

同时，培养学生说理表达能力，为今后学习几何证明打下良好的基础。

（二）学情分析在此之前，学生已经掌握了全等三角形的性质和全等三角形的判定条件等相关知识，并能用三角形全等的性质证明两对应边相等，同时也掌握了利用尺规作三角形和图案设计方法。

但学生对这些数学知识的综合应用意识还未形成，在解决实际问题时不知如何转化为数学模型来思考。

另外，七年级学生活泼好动，又有了一定的活动经验，喜欢在活动中学习知识。

（三）教学目标分析1．知识技能（1）进一步巩固和理解全等三角形的性质与判定。

（2）会利用三角形全等测距离，掌握几种构建全等三角形较常用的方法，并能说明其中的数学道理。

2．数学思考（1）在利用三角形全等知识测距离的过程中，经历多种方案设计过程，培养思维的逻辑性和发散性。

（2）在解决实际问题、与同伴交流的过程中发展有条理地思考与表达的能力。

3.问题解决（1）学会发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决实际问题，增强数学应用意识，提高实践能力。

（2）通过引导学生参与知识的探求过程，培养学生的创新意识和合作能力。

4．情感态度（1）通过生动、有趣、现实的例子来激发学生学习数学的兴趣。

（2）通过对问题的探索、思考、讨论，培养学生的探索精神与科学态度。

（3）通过课内外的活动，让学生体会数学来源于生活，又服务于生活。

（四）教学重难点1．教学重点：利用三角形全等来测量距离。

2．教学难点：如何把实际问题转化成数学问题（即数学建模），能用所学的知识设计可行的测量方案。

二、教学准备计算机媒体、透明圆柱形玻璃杯、刻度尺、卷尺、小铁棒、橡皮绳、尼龙绳三、教法和学法1. 教法：直观演示法、设疑诱导法、操作发现法2. 学法：动手操作法、观察发现法、自主探究法、合作交流法教学过程教学环节主要内容教师活动学生活动设计目的(一)创设情境，设疑引入我们学校的孔子像有一个矩形的底座，这个矩形的边长我们都可以测量出来，但是你能直接测量出这个底座的对角线长度吗？设疑：不能用尺直接测量，那可以如何测量呢？对教师的提问进行思考，带着问题进入课堂知识就在身边，从生活中激发对数学的爱好，新课标指出：“数学来源于生活，回归于生活。

利用三角形全等测距离利用三角形全等测距离事件报告的证明过程

利用三角形全等测距离利用三角形全等测距离事件报告的证明过程x一、实验目的和原理1.1 实验目的本实验旨在证明，通过利用三角形全等测距离，可以测量出两点之间的距离，求出每一个角的大小，并最终确定两点之间的距离。

1.2 实验原理本实验的原理为三角形全等测距原理。

通过三角形全等测距，将测量区域划分为三角形，将其中一点作为起始点，从该点开始测量两边的距离，即可确定该角度的两条边与其相对角度的距离。

二、实验器材、工具及材料2.1 实验器材本次实验主要使用的器材为仪器站（Instrument Station），由两部分组成，包括水准仪（Level）和量角器（Theodolite）。

2.2 实验工具实验所用的工具包括水准仪杆和测距绳，水准仪杆用于测量水平距离，而测距绳则是用于测量垂直距离的。

2.3 实验材料本实验需要铅笔、纸条和尺子。

铅笔用于标出实验所需标记点的位置；纸条用于记录所测角度和距离，以保证实验结果的准确性；尺子则用于确定垂直距离。

三、实验步骤1. 使用铅笔在实验区域画出三个标记点，标记点在到达测量点时进行标记。

2. 将水准仪调节至等高线，并测量第一个标记点到第二个标记点的水平距离。

3. 使用量角器测量从第一个标记点到第二个标记点之间的角度。

4. 使用测距绳测量从第二个标记点到第三个标记点之间的距离。

5.重复步骤2-4，测量第二个标记点到第三个标记点的水平距离和角度。

6. 计算第一个标记点到第三个标记点之间的距离，使用测距公式：D = c/2sinA三角形腰等腰定理，D表示第一个标记点到第三个标记点的距离，c为第一个标记点到第二个标记点的水平距离，A为第一个标记点到第二个标记点的角度。

7. 重复步骤6，计算第二个和第三个标记点之间的距离。

8. 将所得结果进行核对，确保结果的准确性。

四、实验结果和分析实验结果表1 三点实验结果标记点距离（米）角度1 -2 12.3 33.2°2 -3 16.2 45.8°1 - 3 11.4从表中可以看出，最终计算出的第一个标记点到第三个标记点的距离为11.4米，与实际测量的结果基本一致。

生活中的“利用三角形全等测距离”

生活中的“利用三角形全等测距离”利用三角形全等测距离实际就是构造两个全等的三角形，通过全等三角形对应边相等这一性质，把较难测得长度的线段，转化为已知的或是较易得到结果的线段．［例1］某铁路施工队在建设铁路的过程中，需要打通一座小山，设计时要测量隧道的长度．小山前面恰好是一块空地，利用这样的有利地形，测量人员是否可以利用三角形全等的知识测量出需要开挖的隧道的长度说明道理．点拨：A、B两点直接测量有难度，因此，可利用山前面的空地，构造全等的两个三角形，使含AB的一对对应边相等，则测量出对应边的长，即得出AB 的长．解：方法：可在空地上取一个能直接到达A点、B点的点O，连结AO延长到D，使OD＝OA；连接BO延长到E，使OE＝OB。

连结DE并测出它的长度，则DE的长就是A、B间的距离．如图所示：∴△AOB≌△DOE（SAS）∴AB＝DE（全等三角形，对应边相等）．［例2］如图，要测量河两岸两点A、B间的距离，可用什么方法并说明这样做的合理性．点拨：直接测量A、B间的距离有困难，而若用上题中的方法，则会出现这种情况：得到的O点在河中间，很难取到；即使O点取好，而寻找的全等三角形中AB的对应边CD的两点仍然在河的两岸，与A、B的位置相同，因此此法不可取．要寻求另一种使对应边在岸上的方法．利用下面图示的方法就行了．解：方法：在AB的垂线BE上取两点C、D，使CD＝BC。

过点D作BE的垂线D G，并在DG上取一点F，使A、C、F在一条直线上，这时测得的DF的长就是A、B间的距离．理由：∵AB⊥BE，DG⊥BE∴∠B＝∠BDF＝90°∴△ABC≌△FDC（ASA）∴AB＝DF（全等三角形对应边相等）．注意：要注意区分这两种情况，根据具体情况或题目的语言叙述来判断方法．最明显的区别是第一种没有垂直的情况，利用SAS证全等；而第二种有垂直的情况，会用ASA证明三角形全等．当然，若特殊情况，需具体分析．。

5.7 利用三角形全等测距离

5.7利用三角形全等测距离57利用三角形全等测距离在我们的日常生活和实际工作中，常常会遇到需要测量一些难以直接到达或难以直接测量的距离。

这时候，三角形全等的知识就能派上大用场啦！先来说说什么是三角形全等。

当两个三角形的三条边及三个角都对应相等时，这两个三角形就全等。

全等三角形的对应边相等，对应角也相等。

那怎么利用三角形全等测距离呢？让我给您举几个例子。

假设我们面前有一条河，想要知道河的宽度。

我们可以在河的一侧选定一个点 A，然后在河对岸找到一个能够直接到达的点 B。

接着，在河的这一侧沿着与河岸垂直的方向选一个点 C，并测量出 AC 的长度。

然后，保持方向不变，再往前走一段距离，到达点 D，使得 AD 和 AC 长度相等。

接下来，连接 CD，并延长 CD 与河岸相交于点 E。

此时，我们发现三角形 ABC 和三角形 ADE 是全等的。

因为角BAC 和角 DAE 是对顶角，所以它们相等；角 ACB 和角 ADE 都是直角，也相等；而我们刚刚特意让 AD 等于 AC 。

根据三角形全等的判定定理，这两个三角形全等。

既然全等，那么 AB 的长度就等于 DE 的长度。

我们只要测量出 DE 的长度，就知道河的宽度 AB 啦！再比如，有一个无法直接测量深度的池塘。

我们可以在池塘旁边找一个点 A，然后取一根足够长的杆子，将杆子的一端固定在点 A 处，让杆子与地面垂直。

接着，把杆子沿着水平方向移动一段距离到点B ，使得 AB 的长度是我们能够测量的。

再在点 B 处将杆子向池塘方向倾斜，让杆子的顶端恰好能够接触到池塘的底部 C 点。

这时，在地面上连接 AC 并测量出其长度。

我们会发现三角形 ABC 和三角形A'B'C' 全等（其中A'B' 是我们事先设定好的已知长度的线段，且三角形 A'B'C' 的角度和三角形 ABC 相同）。

因为全等，所以池塘的深度 BC 就等于 A'B' ，我们只要测量出 A'B' 的长度，就知道池塘的深度啦。

5.7 利用三角形全等测距离

5.7利用三角形全等测距离57 利用三角形全等测距离在我们的日常生活和实际工作中，常常会遇到需要测量一些难以直接到达的距离的情况。

这时候，三角形全等的知识就可以派上大用场啦！想象一下，你站在一片空旷的操场上，想要知道从你所在的位置到对面教学楼某个特定点的距离，但又不能直接走过去测量。

这该怎么办呢？其实，我们可以通过构建全等三角形来解决这个问题。

首先，让我们来了解一下什么是三角形全等。

三角形全等指的是两个三角形的形状和大小完全相同，对应的边和角都相等。

在数学中，我们有几种判定三角形全等的方法，比如“边边边”（SSS）、“边角边”（SAS）、“角边角”（ASA）、“角角边”（AAS）。

那么，如何利用三角形全等来测量距离呢？假设我们要测量一条河流的宽度。

我们可以在河流的一侧选择一个点 A，然后在对岸选择一个能够直接到达的点 C。

接着，从点 A 沿着与河岸垂直的方向走到另一点 B，使得 AB 的长度可以测量。

然后，连接点 C 和点 B，构成一个三角形 ABC。

接下来，在河流这一侧，另选一点 D，使得 BD ＝ AB，再沿着与刚才相同的方向，从点 D 走到点 E，使得 DE 的长度与 AC 的长度相等。

这样，三角形 DBE 就和三角形 ABC 全等了。

因为它们的三条边分别相等（AB ＝ BD，AC ＝ DE，BC 是两个三角形共有的边），根据“边边边”定理，这两个三角形全等。

所以，河流的宽度就等于AE 的长度，我们只需要测量出 AE 的长度，就知道了河流的宽度。

再比如，要测量一座山脚下到山顶的垂直距离。

我们可以在山脚下找一个合适的位置 A，然后沿着水平方向走一段距离到 B 点，使得 AB 的长度可以测量。

接着，在 B 点处竖起一根标杆，然后人后退，直到在 C 点处通过标杆顶端看到山顶 D 的顶点。

这时，人的眼睛所在的位置 C、标杆顶端 B 和山顶 D 构成一个三角形 BCD。

然后，在 A 点处同样竖起一根标杆，人再后退，直到在 E 点处通过A 点的标杆顶端看到B 点的标杆顶端，此时人的眼睛所在的位置 E、A 点的标杆顶端和 B 点的标杆顶端构成一个三角形 BAE。

《第四章5利用三角形全等测距离》作业设计方案-初中数学北师大版12七年级下册

《利用三角形全等测距离》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本课作业旨在通过练习和实际操作，使学生能够：1. 理解三角形全等的概念及其在现实生活中的应用。

2. 掌握利用三角形全等测量距离的基本方法。

3. 培养学生的空间想象能力和实际操作能力。

二、作业内容本课作业主要包括理论练习和实际操作两部分。

（一）理论练习1. 基础概念练习：让学生复习三角形全等的定义及全等三角形的性质。

2. 案例分析：提供几个利用三角形全等测距离的实例，让学生分析其应用过程。

（二）实际操作1. 实地测量任务：要求学生选择校园内的一个场景，利用三角形全等原理，实地测量两点之间的距离，并记录测量过程和结果。

2. 制作报告：学生需将实地测量的过程和结果整理成书面报告，包括测量步骤、所使用的工具、测量结果及误差分析等。

三、作业要求1. 理论练习部分：学生需认真完成案例分析，理解并掌握三角形全等测距离的原理和方法。

2. 实际操作部分：学生需在保证安全的前提下，按照测量步骤进行实地测量，确保测量结果的准确性。

报告需详细记录测量过程和结果，字迹工整，条理清晰。

3. 提交方式：学生需在规定时间内将书面报告交给老师，同时将实地测量的照片或视频（如有）一并提交，以便老师了解学生的实际操作情况。

4. 作业评分：老师将根据学生的理论练习完成情况、实地测量的准确性和报告的完整性、条理性等方面进行评分。

四、作业评价1. 过程评价：老师将关注学生在完成作业过程中的态度、合作能力和实际操作能力，给予相应的指导和建议。

2. 结果评价：老师将根据学生的理论练习和实地测量的结果，以及报告的完整性、条理性等方面进行评价，给出相应的分数。

3. 反馈机制：老师将对学生的作业进行详细批改，指出存在的问题和不足，提出改进建议，帮助学生更好地掌握知识和技能。

五、作业反馈1. 对于学生在作业中表现出的优点和亮点，老师将在课堂上进行表扬和鼓励，激发学生的学习兴趣和自信心。

2. 对于学生在作业中存在的问题和不足，老师将通过个别指导、小组讨论等方式进行辅导和帮助，确保学生能够及时纠正错误，提高学习效果。

七年级下《5.6利用三角形全等测距离》

D
A
B
C
在△ABD和△CBD中， ABD和 CBD中
∠ADB= ∠CDB ∵ BD=BD ∠ABD= ∠CBD ∴ △ABD≌△CBD ABD≌△ ∴ AB=BC
利用三角形全等测距离的目的：目的：变不可测距离为可测距离。测距离。依据：全等三角形的性质。依据：全等三角形的性质。关键：构造全等三角形。关键：构造全等三角形。
●
B )
D、 D、SAS
C、 C、AAS
C
D F E
2、山脚下有A、B两点，要山脚下有A 两点，测出A 两点间的距离。测出A、B两点间的距离。在地上取一个可以直接到达A、B点的点O，连接AO 点的点O 连接AO 并延长到C AO=CO；并延长到C，使AO=CO；连 BO并延长到并延长到D BO=DO，接BO并延长到D，使BO=DO，连接CD CD。连接CD。可以证 ABO≌△CDO， CD=AB， △ABO≌△CDO，得CD=AB，因此，测得CD的长就是AB 因此，测得CD的长就是AB CD的长就是的长。判定△ABO≌△ 的长。判定△ABO≌△CDO 的理由是( 的理由是( ) B、 A、SSS B、ASA D D、 C、AAS D、SAS
D
一分耕耘，一分耕耘，一分收获。一分收获。
1、知识：知识：利用三角形全等测距离的目的：利用三角形全等测距离的目的：变不可测距离为可测距离。离为可测距离。依据：全等三角形的性质。依据：全等三角形的性质。关键：构造全等三角形。关键：构造全等三角形。方法：延长法构造全等三角形； 2、方法：（1）延长法构造全等三角形；垂直法构造全等三角形。（2）垂直法构造全等三角形。数学思想： 3、数学思想：树立用三角形全等构建数学模型解决实际问题的思想。题的思想。

初中数学《利用三角形全等测距离》

实践操作
归纳 1.不能直接解决的数学问题需要借助转化的数学思想解决. 2.本题的解决过程体现了数学建模意识.先发现问题，然后分析抽象出其中的数学元素，借助______画__图__、__标___注__和__列__表_ 格等方法利于更好的理解和分析问题.
古人实践
仰望星空的人---几何鼻祖泰勒斯
的理由是 SAS .
A
B′
O
AO = A′O
∠AOB = ∠A′OB′
B
A′
BO = B′O
探究新知
2. 小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的第块2 带去，就能配一块与原来完全一样的三角形玻璃吗？
ASA
2 3
4
1
探究新知
3. 雨伞的中截面如图所示，伞骨AB=AC，支撑杆OE=OF，
用于判定全等的是（ C）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
2. 在一座楼相邻两面墙（两墙面互相垂直），墙根的外面有两点 A，B ，如图所示，请设计方案测量A，B两点间的距离，画出设计图形，写出设计方案，A并说明理由. B 参考设计图：
C
E （设计方案和说明略）
D
A
B
第1题图
归纳总结
归纳：建立数学模型解决问题的一般步骤：相等的边；相等的角
古人实践
《海岛算经》
三国魏景元四年（公元263年）刘徽编撰，是中国学者编撰的最早一部测量数学著作，为地图学提
供了数学基础。
书中研究对象都是有关高与距离的测量，使用工具多是利用垂直关系连接起来的测杆与横棒，通过两次或多次测量、观望所得数据，进而推算目标的广、远、高、深。例如，有这样一个问题：立两根高三丈的标杆BC和DE，两竿相距BD=1000步，D、B、H成一线，从BC退行123 步到F，人目着地观察A，A、C、F三点共线；从DE退行127步到G，从 G看A，A、E、G三点也共线，求山峰的高度AH及HB的距离。

利用三角形全等测量距离的方法

利用三角形全等测量距离的方法“哎呀，这河好宽呀，咋知道有多宽呢？”我和小伙伴们站在河边发愁。

旁边的小明说：“用三角形全等说不定能行呢。

”
嘿，利用三角形全等测量距离的方法可有意思啦。

首先呢，在河这边找一个点A，然后在对岸找一个能清楚看到点A 的点B。

接着，从点A 出发，沿着河走一段距离，找到点C，让角BAC 是个固定的角度。

再从点B 出发，朝着和AC 平行的方向走，找到点D，使得角ABD 和角BAC 相等。

这就像在玩一个神秘的游戏，得把每个点都找得准准的。

那注意啥呢？角度可得量准喽，不然就全乱套啦。

还有走的距离也不能马虎。

这方法在生活中有啥用呢？比如说测量两个不能直接到达的地方之间的距离。

就像两个好朋友隔得老远，想知道有多远，用这个方法就可以。

多棒呀！就像有个魔法棒能把远处的距离变到眼前。

有一次，我们在公园里想知道两个小亭子之间有多远。

大家就想到了用三角形全等的方法。

我们分工合作，有的找角度，有的量距离。

最后算出了两个小亭子之间的距离。

哇，那一刻，大家都兴奋得不行，就像打了一场大胜仗。

利用三角形全等测量距离的方法真的超棒。

它能让我们像小侦探一样，解开距离的秘密。

大家都可以试试哦，肯定会有惊喜。

利用全等测距离

B
一个叔叔帮小明出了这样一个主意：一个叔叔帮小明出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C 连接AC AC并上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到 CD=AC;连接BC并延长到连接BC 延长到D，使CD=AC;连接BC并延长到E，使CE=CB, 连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是 DE并测量出它的长度的长度就是A 连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A，B间的距离. 的距离. 你能说明其中的道理吗？的道理吗？
例3 你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角你能说明其中的道理吗？吗？你能说明其中的道理吗？
B D D’ B’
解：连结BC、B’C’. 连结、在△DOC和△D’O’C’中，和中 OC=O’C’ , ∵ OD=O’D’ ,
O
C
A
O’
C’
A’
CD=C’D’ . ∴△DOC≌△D’O’C’（SSS）. ≌ （） ∴∠DOC=∠D’O’C’ (全等三角形对应角相等全等三角形对应角相等). ∴∠ ∠ 全等三角形对应角相等
解：∵AC∥A’C’, ∵AC∥A’ ∴∠ACB=∠A’ ∴∠ACB=∠A’C’B’ (两直线平行，同位角相等). 两直线平行，同位角相等). ABC和 A’B’C’中在△ABC和△A’B’C’中， ∠ABC=∠A’B’C’=90°, ∠ ° ∵ ∠ACB=∠A’C’B’, ∠ AB=A’B’. ∴△ABC≌△A’B’C’（AAS）. ≌ （） ∴BC=B’C’ (全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等). 全等三角形对应边相等
你能解释其中的道理吗？你能解释其中的道理吗？
二
议一议
• 你能从战士所讲述的方法中，方法中，画出相应的图形吗？图形吗？并与同学进行交流。行交流。

利用三角形全等测距离

想一想
例1 如图，A，B两点分别位于一个池
塘的两端，小明想用绳子测量A，B间
的距离，但绳子不够长，你能帮他想
个办法吗？
A
B
一个叔叔帮小明出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC 并延长到D，使CD=AC;连接BC并延长到E，使 CE=CB,连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A，B间的距离.
5.6 利用三角形全等测距离
[教学目标]
1. 能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系.
2. 能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达.
[重点]
能应用所学的知识设计可行的方案测量距离，能用有关的知识进行说理.
[难点]
用所学的知识设计可行的测量方案.
1. 请你在下列各图中，以最快的速度画出一个三角形，使它与△ABC全等，比比看谁快！
你能说明其中的道理吗？
解：在△CED与△CBA中，有 CE=CB, ∠ECD=∠BCA,
CD=CA. ∴△CED≌△CBA (SAS) .
解决该问题还 ∴DE=AB 有其它方法吗？ (全等三角形对应边相等).
例2 如图，太阳光线AC与A’C’是平行的，同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗？说说你的理由？
一位战士想出来这样一个办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部.然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上.接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离.
你能解释其中的道理吗？
A
12
B
？碉堡距离 D
解：∵AC∥A’C’, ∴∠ACB=∠A’C’B’ (两直线平行，同位角相等). 在△ABC和△A’B’C’中，有 ∠ABC=∠A’B’C’=90°, ∠ACB=∠A’C’B’,

初中数学_利用三角形全等测距离教学设计学情分析教材分析课后反思

《利用三角形全等测距离》教学设计执教者指导教师一、课题：利用三角形全等测距离二、解读理念：面向全体学生，着眼于学生的全面发展，帮助学生过积极健康的生活，促进学生个性发展；尊重学生，充分调动学生学习的主动性和积极性；引导学生解决成长过程中的实际问题；鼓励学生实施自主、合作、探究学习，注重培养学生的独立思考能力和实践能力。

三、教材分析：1、地位和作用：这节课是在学生学习了全等三角形的性质及其判定条件之后的一节综合应用课。

利用三角形全等解决实际问题，首先就要把实际问题转化为三角形全等问题。

其目的是培养学生构建数学模型，并用数学知识来解决实际问题。

同时，培养学生说理表达能力，为今后学习几何证明打下良好的基础。

2、教育教学目标：根据新《课标》要求和上述教材分析，结合学生的情况，我制定了以下教学目标：知识目标：能够利用三角形全等解决实际问题。

能力目标：通过自主探究、实验，培养学生的自主探究能力、小组合作能力、语言表达能力，以及灵活运用所学解决实际问题的能力。

情感目标：通过学习使学生明白数学来源于生活，学习数学是为了解决实际问题，培养学生科学的学习态度，同时通过多媒体演示激发学生探究数学问题的兴趣，通过小组合作，培养合作意识。

3. 重点，难点以及确定依据：教学重点：根据新课标的要求以及对教学目标的分析将重点设定为能够利用三角形全等测量距离。

教学难点：针对本节课内容及学生的心理、认知结构将难点设定为灵活利用三角形全等解决实际问题。

四、教学策略本节课涉及的知识点不多，知识的切入点比较低。

教师以多媒体为教学平台，通过精心设计的问题串和活动系列来落实知识点并不断地制造思维兴奋点，让学生脑、嘴、手动起来，充分调动学生的学习积极性，达到事半功倍的教学效果。

在教学中，教师主要采用启发引导的方法，鼓励学生发现问题，利用所学解决问题，在探究阶段，教师应关注学生的思路、方法，鼓励学生小组合作，教师进行适当点拨，以这种形式突出重点，突破难点，同时培养学生的合作意识。