2018版高中数学苏教版必修一学案：3.4.1 第2课时 用二分法求方程的近似解

第2课时 用二分法求方程的近似解
学习目标 1.理解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法的实施步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想．
知识点一 二分法的原理
思考 我们已经知道f (x )＝e x －3x 的零点在区间(1,2)内，如何缩小零点所在区间(1,2)的范围？
梳理 二分法的概念
对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解． 知识点二 用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤 用二分法求方程f (x )＝0近似解的一般步骤：
第一步：取一个区间(a ，b )，使f (a )·f (b )<0，令a 0＝a ，b 0＝b ； 第二步：取区间(a 0，b 0)的中点，x 0＝1
2(a 0＋b 0)；
第三步：计算f (x 0)．
(1)若f (x 0)＝0，则x 0就是f (x )＝0的解，计算终止；
(2)若f (a 0)·f (x 0)<0，则解位于区间(a 0，x 0)中，令a 1＝a 0，b 1＝x 0； (3)若f (x 0)·f (b 0)<0，则解位于区间(x 0，b 0)中，令a 1＝x 0，b 1＝b 0.
第四步：取区间(a 1，b 1)的中点，x 1＝1
2(a 1＋b 1)，重复第二步和第三步，直到第n 步，方程的
解总位于区间(a n ，b n )内．
第五步：当a n，b n精确到规定的精确度的近似值相等时，那么这个值就是所求的近似解．
以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．
类型一二分法的操作
例1用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个零点(精确到0.1)．
引申探究
如何求3
2的近似值(精确到0.1)?
反思与感悟用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算．跟踪训练1借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解(精确到0.1)．
类型二 二分法取中点的次数问题
例2 若函数f (x )在(1,2)内有1个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1,2)二等分的次数至少为________．
反思与感悟 对于区间(a ，b )二分一次区间长度为|a －b |2，二分二次区间长度为|a －b |
22，…，二
分n 次区间长度为|a －b |2n .令|a －b |2n <ε，即2n >|a －b |ε，n lg2>lg |a －b |
ε，n >lg
|a －b |
εlg2，从而估算出至
少要使用多少次二分法．
跟踪训练2 在用二分法求方程的近似解时，若初始区间的长度为1，精确度为0.05，则取中点的次数不小于__________．
1．下列函数中，只能用二分法求其零点的是________． ①y ＝x ＋7; ②y ＝5x －1； ③y ＝log 3x;
④y ＝(1
2
)x －x .
2．用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时，验证f (2)·f (4)<0，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0所在的区间是________．
3．方程2x －
1＋x ＝5的根所在的区间为________．
4．定义在R 上的函数f (x )的图象是连续不断的曲线，已知函数f (x )在区间(a ，b )上有一个零点x 0，且f (a )f (b )<0，用二分法求x 0时，当f (a ＋b
2)＝0时，则函数f (x )的零点是________．
5．用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时，验证f (2)·f (4)<0，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42
＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0所在的区间是________．
1．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．二分法求方程近似解的适用范围：在包含方程解的一个区间上，函数图象是连续的，且两端点函数值异号．
3．求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同．
答案精析
问题导学
知识点一
思考①取区间(1,2)的中点1.5.
②计算f(1.5)的值，用计算器算得f(1.5)≈－0.018.因为f(1.5)·f(2)<0，所以零点在区间(1.5,2)内．
题型探究
例1解由于f(0)＝－3＜0，
f(1)＝－2＜0，f(2)＝5＞0，
故可取区间(1,2)作为计算的初始区间．
用二分法逐次计算，列表如下：
因为1.4375和1.445313精确到0.1的近似值都是1.4，所以f(x)的零点的近似值为1.4.
引申探究
解设x＝3
2，则x3＝2，即x3－2＝0，
令f(x)＝x3－2，则函数f(x)的零点的近似值就是3
2的近似值，以下用二分法求其零点．
由f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0，故可以取区间(1,2)为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：
由于1.265625和1.2578125精确到0.1的近似值都是1.3，所以3
2的近似值是1.3. 跟踪训练1 解 原方程即2x ＋3x －7＝0，令f (x )＝2x ＋3x －7， 用计算器或计算机作出函数f (x )＝2x ＋3x －7的对应值表与图象如下：
观察图或表可知f (1)·f (2)＜0，说明这个函数在区间(1,2)内有零点x 0. 取区间(1,2)的中点x 1＝1.5，用计算器算得f (1.5)≈0.33. 因为f (1)·f (1.5)＜0， 所以x 0∈(1,1.5)．
再取区间(1,1.5)的中点x 2＝1.25， 用计算器算得f (1.25)≈－0.87. 因为f (1.25)·f (1.5)＜0， 所以x 0∈(1.25,1.5)． 同理可得，x 0∈(1.375，1.5)， x 0∈(1.375,1.4375)．
因为1.375与1.4375精确到0.1的近似值都为1.4， 所以原方程的近似解为1.4. 例2 7
解析 设对区间(1,2)至少二等分n 次，初始区间长为1. 第1次二等分后区间长为12；
第2次二等分后区间长为1
22；
第3次二等分后区间长为1
2
3；
…，
第n 次二等分后区间长为1
2
n .
根据题意，得1
2n ＜0.01，∴n ＞log 2100.
∵6＜log 2100＜7，∴n ≥7. 故对区间(1,2)至少二等分7次． 跟踪训练2 5
解析 ∵初始区间的长度为1，精确度为0.05，∴1
2n ≤0.05，即2n ≥20.又∵n ∈N *，∴n ≥5，
∴取中点的次数不小于5. 当堂训练
1．④ 2.(2,3) 3.(2,3) 4.x ＝a ＋b
2
5．(2,3)。