第四章 根轨迹法
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第4章 根轨迹法
• 4.4
应用MATLAB绘制根轨迹图
• 使用rlocus命令可以得到连续的单输入单输
出系统的根轨迹。 • （1）Rlocus（num，den）或rlocus（num，
den，k）
• （2）sgrid或sgrid(zeta，wn)
• 解 在图4.11中画出ξ=0.5的射线，与根轨 迹相交得闭环极点的要求位置s0。再画出 Gk(s)的极点到s0的三个向量——
• 得 • 由向量幅值
• 换句话说，如果取K*的值为65，则1+Gk (s) 的一个根将位于s0，另一个根当然是和s0共 轭的。第3个根在何处呢？由根轨迹知道， 第3条根轨迹在负实轴上，在一般情况下， 可以取一试探点，计算相应的K*值，然后 修正试探点直到找出和K*=65相应的点为止。
• ②方法2 根据式(4.14)，求出闭环系统特 征方程。
• 由上式可得
• ③方法3
根据式(4.15)有
• d1在根轨迹上，即为所求的分离点，d2不在根 轨迹上，则舍弃。此系统根轨迹如图4.4。
图4.4
• 以上介绍了9条绘制根轨迹的一般规则。为 了熟练应用上述9条规则，并能绘制复杂系 统根轨迹，下面再举一例说明如何绘制一 个复杂系统的完整根轨迹图。
第4章
• 4.1
• 4.1.1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
根轨迹法
根轨迹的基本概念
根轨迹的定义
• 系统参数（如开环增益K *）由零增加到∞ 时，闭环特征根在S平面移动的轨迹称为该 系统的闭环根轨迹。
• 4.1.2
根轨迹方程
• 既然根轨迹是闭环特征根随参数变化的轨迹，
则描述其变化关系的闭环特征方程就是根轨 迹方程。 • 则根轨迹方程（系统闭环特征方程）为： （4.2）
第四章根轨迹法.
9
4.2.1 绘制根轨迹的基本法则 法则 1 根轨迹的分支数和对称性 : 1. 根轨迹对称于实轴(实数根或者复数根) 根轨迹对称于实轴(实数根或者复数根) 2. n阶系统有 条根轨迹 阶方程有 个确定的根,当根由始点 阶系统有n条根轨迹 阶方程有n个确定的根 阶系统有 条根轨迹(n阶方程有 个确定的根, 向终点移动时,必定形成一条根轨迹) 向终点移动时,必定形成一条根轨迹)
24
法则 8 根之和 : 当 n m ≥ 2 时 , 特征方程第二项系数与 K* 无关 , 无论 K* 取 何值 , 开环 n 个极点之和总是等于闭环特征方程 n 个根之和
∑s = ∑ p
i =1 i i =1
n
n
i
(4-25)
25
画出了几种常见的开环零, 在图 4-15 中 , 画出了几种常见的开环零,极点分布及其相应 的根轨迹 , 供绘制概略根轨迹时参考 .
3
4.1.1 根轨迹概念 一, 根轨迹概念 根轨迹简称根迹 , 它是开环系统某一参数从零变到无穷时 , 闭 环系统特征方程的根(闭环极点 在 环系统特征方程的根 闭环极点)在 s 平面上变化的轨迹 . 闭环极点 设控制系统如图4-1所示 设控制系统如图 所示 , 其 闭环传递函数为 C ( s) 2K φ ( s) = = 2 R( s ) s + 2 s + 2 K 显然 , 其特征根为 s1, 2 = 1 ± 1 2 K 其特征根变化如图4-2所示 令 K = 0 → ∞, 其特征根变化如图 所示 . "×"---------表示开环传递函数的极点 × 表示开环传递函数的极点 "°"---------表示开环传递函数的零点 表示开环传递函数的零点 箭头的指向-------表示 增大是根的移动方向 表示K增大是根的移动方向 箭头的指向 表示
自动控制原理第四章根轨迹法
i 1
j 1
开环极点到此被测零点 (终点)的矢量相角
8. 根轨迹的平衡性(根之和） （ n-m 2）
特征方程 Qs KPs 0
sn an1sn1 a1s a0 K sm bm1sm1 b1s b0 0
n
Qs KPs s p j sn cn1sn1 c1s c0 0 j 1
i 1
j1
k 0,1,2,
s zoi i 开环有限零点到s的矢量的相角
s poj j 开环极点到s的矢量的相角
矢量的相角以逆时针方向为正。
幅值条件：
s
m
m
s zoi
li
A s
i 1 n
i 1 n
s poj
Lj
j 1
j1
li αi
-zoi
Lj βj
×
-poj
开 环 有 限 零 点 到s的 矢 量 长 度 之 积 开环极点到s的矢量长度之积
， 2 2
c 2k 11800 2
由此可推理得到出射角：
其余开环极点到被测极 点(起点)的矢量相角
n1
m
c 2k 1180o j i
j 1
i 1
有限零点到被测极点
(起点)的矢量相角
同理入射角：
其余开环有限零点到被测 零点(终点)的矢量相角
m1
n
r 2k 1180o i j
1 GsHs 0
m
GsHs
KPs Qs
K
i 1
n
s
s
zoi
poj
j 1
P s sm bm1sm1 b1s b0
Q s sn an1sn1 a1s a0
于是，特征方程
第四章 根轨迹法
0 0
r 0,1,2,, n m 1
jω
5 3
r 0, 600 r 1, 1800 r 2, 3000
0
σ
五.实轴上的根轨迹 规则五：实轴右侧的开环零、极点个数总和为奇数时， 该实轴段属于根轨迹。
相角条件
( s z j ) ( s pi ) (2r 1)1800
求取分离点与会合点的方法
计算思想：寻找特征方程中k的极值。 闭环特征方程： 1 G ( s ) H ( s ) 0
k ( s z1 )( s z 2 )....( s z m ) k N( s ) G(s) H (s) ( s p1 )( s p2 )....( s pn ) D( s)
根轨迹终止于[s]平面的无穷远处。
闭环特征方程：
( s z1 )( s z 2 )....( s z m ) 1 ( s p1 )( s p2 )....( s pn ) k
当k→∞，得
( s z1 )( s z2 )....( s zm ) 0
即 s z j ( j 1,2,..., m) 闭环极点就是开环零点。 说明根轨迹终止于开环零点。
( s z j ) ( s pi ) (2r 1)1800
j 1 i 1
m
n
r 0,1,2,
按相角条件绘制根轨迹图
具体方法是：在复平面上选足够多的试验点，对每 一个试验点检查它是否满足相角条件，如果是则该 点在根轨迹上，如果不是则该点不在根轨迹上，最 后将在根轨迹上的试验点连接就得到根轨迹图。
k=2 k=0 －2 k=1 －1
K→∞
jω
j k=0 0
r 0,1,2,, n m 1
jω
5 3
r 0, 600 r 1, 1800 r 2, 3000
0
σ
五.实轴上的根轨迹 规则五：实轴右侧的开环零、极点个数总和为奇数时， 该实轴段属于根轨迹。
相角条件
( s z j ) ( s pi ) (2r 1)1800
求取分离点与会合点的方法
计算思想：寻找特征方程中k的极值。 闭环特征方程： 1 G ( s ) H ( s ) 0
k ( s z1 )( s z 2 )....( s z m ) k N( s ) G(s) H (s) ( s p1 )( s p2 )....( s pn ) D( s)
根轨迹终止于[s]平面的无穷远处。
闭环特征方程：
( s z1 )( s z 2 )....( s z m ) 1 ( s p1 )( s p2 )....( s pn ) k
当k→∞，得
( s z1 )( s z2 )....( s zm ) 0
即 s z j ( j 1,2,..., m) 闭环极点就是开环零点。 说明根轨迹终止于开环零点。
( s z j ) ( s pi ) (2r 1)1800
j 1 i 1
m
n
r 0,1,2,
按相角条件绘制根轨迹图
具体方法是：在复平面上选足够多的试验点，对每 一个试验点检查它是否满足相角条件，如果是则该 点在根轨迹上，如果不是则该点不在根轨迹上，最 后将在根轨迹上的试验点连接就得到根轨迹图。
k=2 k=0 －2 k=1 －1
K→∞
jω
j k=0 0
第四章根轨迹法
系统得闭环根轨迹图。
j
已知负反馈系统开环零极点 分布如图示。
2 p2
在s平面找一点s1 ,
1
画出各开环零、极点到 z1
s1
1
p1 0
s1点得向量。
3
检验s1就是否满足相角条件: p3
(s1 z1) [(s1 p1) + (s1 p2) + (s1 p3)]
= 1 1 2 3 = (2k+1) ？？
点,称为根轨迹得分离点(会合点)。
Kg=0 p1
j
j1
Kg A
Kg z1
0
p2 Kg=0
分离点得性质:
1)分离点就是系统闭环重根; 2)由于根轨迹就是对称得,所以分离点或位于实轴上,或 以共轭形式成对出现在复平面上; 3)实轴上相邻两个开环零(极)点之间(其中之一可为无穷 零(极)点)若为根轨迹,则必有一个分离点;
n
m
(s p j ) K g (s zi ) 0
j 1
i 1
d
ds
n j 1
(s
pj)
Kg
d ds
m
(s zi ) 0
i 1
d n
ds j1
n
(s
pj)
dm
ds i1
m
(s zi )
(s pj ) (s zi )
j 1
i 1
(lnV ) V V
n
m
d ln (s pj ) d ln (s zi )
如果s1点满足相角条件,则就是根轨迹上得一点。寻找
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
在s 平面内满足相角条件得所有s1 点,将这些点连成光滑曲 线,即就是闭环系统根轨迹。
第4章根轨迹法
六 . 根 轨 迹 与 实 轴 的 交 点 (分 离 点 与 会 合 点 )
规则六：根轨迹与实轴交点(分离点或会合点)坐标α是方程
d i1 ( S Pi ) 0 m d s i1 ( S Z i ) S
n
的根。
例 .已 知 某 负 反 馈 系 统 开 环 传 函 为 G ( S ) H ( S ) 试画出其根轨迹. 解:
z1
p
4
g [例]设系统的开环传递函数为： G ( s ) k 2 s ( s 1 )( s 5 )( s 10 ) 试求实轴上的根轨迹。
K (s 2)
[解]：零极点分布如下：
10
5
2
1
0
红线所示为实轴上根轨迹，为：[-10，-5]和[-2，-1] 。注意 在原点有两个极点，双重极点用“ ”表示。
(p
a
i 1
i
)
(z
j 1
m
j
)
nm
k→∞，s→∞时，点O ′才既是s向量又是 OB向量上的点，所以向量s端点描绘的线 AO′, 便是(n-m)个闭环极点趋于〔s〕平面 无穷远处的渐近线， n m 规则四: 如果控制系统的开环零点数目m小于开环 极点数目n，当k→∞时，伸向无穷远处根轨迹的渐近线 ( p i ) ( z j ) i 1 j 1 , j0) 共有(n-m)条。这些渐近线在实轴上交于一点，其坐标 ( nm 是: 2 l 1 而渐近线与实轴正方向的夹角分别是 :
v
s 1)(
p v 1
( z
K k
j 1
m
j
第4章 根轨迹法
Kr(s2+2s+2) G(s)H(s)= s(s+1)(s+2) 解： 开环零、极点分布： 两条根轨迹终止于开环传 z1 递函数的两个零点，另一条 p1= 0 p2= -1 p3= -2 趋于无穷远。z = -1-j z1= -1+j 2 p3 p
2
jω
1 p
1 0
系统的三条根轨迹起始 于三个开环传递函数的极 点。
红河学院自动化系
自动控制原理
实轴上的根轨迹段 系统开环零、极点分布为： 共轭开环零、极点构 υ 1 p3 设实轴上任意点s1 成的相角正负抵消 θ 3 θ 1 p1 θ 2 s1与开环零、极 s1 0 σ p2 实轴上根轨迹段右侧 点之间的矢量： θ 4 的开环零、极点个数之和 s1的相角方程为： υ 2 p4 4 2 为奇数。 z2 ∑ (s1-zi) -∑ (s1–pj)
一、根轨迹
二、根轨迹方程
红河学院自动化系
自动控制原理
根轨迹法: 三大分析校正方法之一
特点： （1）图解方法，直观、形象。
（2）适用于研究当系统中某一参数 变化时，系统性能的变化趋势。 （3）近似方法，不十分精确。
§4.1 根轨迹法的基本概念 根轨迹：系统某一参数由0 → ∞变化时，l在
s平面相应变化所描绘出来的轨迹。
红河学院自动化系
自动控制原理
例1 系统结构图如图所示，分析 l 随开环增益K 变化的趋势。 K K * 2K 解. G( s) s(0.5 s 1) s( s 2) K : 开环增益 K*: 根轨迹增益 ∞ ↑ K＊ s2 K＊=0 1 -1 -2 K＊ ∞ ↑
ω j
1 s1 0 σ -1
红河学院自动化系
第四章控制系统的根轨迹法
9
应掌握的内容
180度，0度根轨迹的绘制 参数根轨迹的绘制 增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响 分析系统的稳定性 分析系统的瞬态和稳态性能 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶 系统），根据性能指标的要求在复平面上划出满足这一 要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区域。
10
[例4-1]系统的开环传递函数为：Gk (s)
由根轨迹图可知，当0 k 0.858时，闭环系统有一对
不等的负实数极点，其瞬态响应呈过阻尼状态。当 0.858 k 29.14 时，闭环系统有一对共轭复数极点，其瞬 态响应呈欠阻尼状态。当29.14 k 时，闭环系统又有一 对不等的负实数极点，瞬态响应又呈过阻尼状态。
14
[例4-3]控制系统的结构图如下图所示。试绘制以a为参变 量时的根轨迹。
解得 k 5, 5 由图可知当k 5 时直线OB与圆相切，系统的阻 尼比 1 ，特征根为 5 j5 。
2
13
对于分离点 2.93 ，由幅值条件可知
2.93 5 2.93 k1 10 2.93 0.858
对于会合点17.07 ，有
45
17.07 5 17.0 k2 10 17.07 29.14
论过，利用根轨迹可清楚地看到开环根轨迹增益或其他参 数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。
利用根轨迹确定系统的有关参数 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶系 统），通常可根据性能指标的要求在复平面上划出满足 这一要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区 域。如下页图所示，具有实部 和阻尼角 划成的左区域 满足的性能指标为：
17
例4-4（续2）
其分离回合点计算如下：
N(s) s2 3s, N ' (s) 2s 3
应掌握的内容
180度，0度根轨迹的绘制 参数根轨迹的绘制 增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响 分析系统的稳定性 分析系统的瞬态和稳态性能 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶 系统），根据性能指标的要求在复平面上划出满足这一 要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区域。
10
[例4-1]系统的开环传递函数为：Gk (s)
由根轨迹图可知，当0 k 0.858时，闭环系统有一对
不等的负实数极点，其瞬态响应呈过阻尼状态。当 0.858 k 29.14 时，闭环系统有一对共轭复数极点，其瞬 态响应呈欠阻尼状态。当29.14 k 时，闭环系统又有一 对不等的负实数极点，瞬态响应又呈过阻尼状态。
14
[例4-3]控制系统的结构图如下图所示。试绘制以a为参变 量时的根轨迹。
解得 k 5, 5 由图可知当k 5 时直线OB与圆相切，系统的阻 尼比 1 ，特征根为 5 j5 。
2
13
对于分离点 2.93 ，由幅值条件可知
2.93 5 2.93 k1 10 2.93 0.858
对于会合点17.07 ，有
45
17.07 5 17.0 k2 10 17.07 29.14
论过，利用根轨迹可清楚地看到开环根轨迹增益或其他参 数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。
利用根轨迹确定系统的有关参数 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶系 统），通常可根据性能指标的要求在复平面上划出满足 这一要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区 域。如下页图所示，具有实部 和阻尼角 划成的左区域 满足的性能指标为：
17
例4-4（续2）
其分离回合点计算如下：
N(s) s2 3s, N ' (s) 2s 3
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
第4章 根轨迹法
i =1
m n
sk
s+
jω
s+p
s
j=1 n
=
1 ； K gk
−z j
z
j
i
αj
βi
σ
0
∑ α jk − ∑ βik = ±180 (1 + 2k) (k = 1, 2,⋯)
j=1 i =1
−p i
幅值条件为：
∏ s + zj ∏ s + pi
i =1 j=1 n
m
1 = Kg
幅角条件：
∑ α j − ∑ βi = ±180 (1 + 2k)
j=1 i =1
m
n
(k = 1, 2,⋯)
三、应用幅值条件确定 K g 值
jω
△
某控制系统的开环传递函数为
1 K g (s + ) K(8s + 1) 8 G(s)H(s) = 2 = s (2s + 1) s 2 (s + 1 ) 2
-0.5 L3
sk L 1,2 l 60° σ
1 8 1 p1 = − 2 z1 = −
可见，闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成， 闭环零极点放大系数等于前向通道零极点放大系数 K Gg 。
一、根轨迹的连续性 第二节 绘制根轨迹的一般规则 二、根轨迹的分支数 三、根轨迹的对称性 四、根轨迹的起点和终点
m m
j=1 lim n s→∞ i =1
∏ s + zj ∏ s + pi
六、根轨迹的分离点和会合点
D(s) K g (s) = − N(s)
dK g (s) ds
=0
D' (s)N(s) − N ' (s)D(s) = 0
m n
sk
s+
jω
s+p
s
j=1 n
=
1 ； K gk
−z j
z
j
i
αj
βi
σ
0
∑ α jk − ∑ βik = ±180 (1 + 2k) (k = 1, 2,⋯)
j=1 i =1
−p i
幅值条件为：
∏ s + zj ∏ s + pi
i =1 j=1 n
m
1 = Kg
幅角条件：
∑ α j − ∑ βi = ±180 (1 + 2k)
j=1 i =1
m
n
(k = 1, 2,⋯)
三、应用幅值条件确定 K g 值
jω
△
某控制系统的开环传递函数为
1 K g (s + ) K(8s + 1) 8 G(s)H(s) = 2 = s (2s + 1) s 2 (s + 1 ) 2
-0.5 L3
sk L 1,2 l 60° σ
1 8 1 p1 = − 2 z1 = −
可见，闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成， 闭环零极点放大系数等于前向通道零极点放大系数 K Gg 。
一、根轨迹的连续性 第二节 绘制根轨迹的一般规则 二、根轨迹的分支数 三、根轨迹的对称性 四、根轨迹的起点和终点
m m
j=1 lim n s→∞ i =1
∏ s + zj ∏ s + pi
六、根轨迹的分离点和会合点
D(s) K g (s) = − N(s)
dK g (s) ds
=0
D' (s)N(s) − N ' (s)D(s) = 0
第四章：根轨迹法
第四章：根轨迹法第四章根轨迹法本章⽬录4.1 根轨迹的⼀般概念4.2 绘制根轨迹的数学依据及其性质4.3 绘制根轨迹的⼀般规则4.4 *绘制根轨迹的MATLAB函数介绍4.5 例题4.6 参数根轨迹和多回路系统的根轨迹4.7 正反馈回路和⾮最⼩相位系统根轨迹——零度根轨迹⼩结本章简介从前章得知闭环极点在根平⾯上的分布，反映着系统的固有性能。
故为了获得较好性能，就希望极点在根平⾯上有较好的分布。
亦即，为了研究系统的动态性能，就可以通过闭环极点在根平⾯上的分布来进⾏。
闭环极点是系统特征⽅程的根sb。
若其特征⽅程中，各系数变化，则⽆疑，其根sb也在变化。
各系数的变化往往相应着系统的许多实际参数的变化⽽形成。
在根迹中，⼀般总是以增益 (当然也可其它参数,如时间常数 )的变化⽽导致各系数的变化,即sb的变化。
如果连续变化,则sb也连续变化。
相应于由0连续变化到∞时, sb在根平⾯上的连续变化⽽形成的轨迹,即闭环系统特征根的根轨迹--若⼲条曲线。
这样,相应于各个值下的闭环极点在根平⾯上的分布就⼀⽬了然了。
这对系统的分析、设计带来了极⼤的⽅便.。
所谓根轨迹法，就是⽤图解的⽅法确定出闭环特征根的⼀种⽅法。
先在复数平⾯上画出系统某⼀参数的全部数值下的特征⽅程的所有根，即根轨迹。
然后⽤图解的⽅法确定出该参数某⼀特定数值时的闭环特征根。
从⽽分析出系统所具有的性能。
或反之，在根迹上先确定出符合系统性能要求的闭环特征根。
从⽽⽤图解的⽅法求出相应的系统应具有的参数值。
相对时域法，很直观，且避免了求解系统⾼阶特征⽅程的困难。
现在计算机科学有了飞速发展，特别是MATLAB语⾔及其相应⼯具箱，有强⼤的数值计算和图形绘制功能。
所以利⽤MATLAB语⾔相关函数绘制系统根迹及求根等均是轻⽽易举的事。
这就给根迹法的应⽤开辟了更好的前景。
本章在介绍传统的根轨迹法及其⽰例的同时，有机结合介绍MATLAB语⾔相关的根轨迹函数及相应⽰例的解题程序。
(完整版)第四章根轨迹法
j
8K * (1 K * )2 j
2
2
(1 K * ) K * 2 1
2
2 8K * (1 K * )2 8(2 1) 4 2 2 4 2
4
4
2 4 4 2 2
( 2)2 2
第四章 根轨迹法
自动控制原理课程的任务与体系结构
时域：微分方程 复域：传递函数 频域：频率特性
描述
控制系统
校正
时域法 复域法 频域法
评价系统的性能指标 稳定性 快速性（动态性能） 准确性（稳态性能）
分析
自动控制原理
§4 根轨迹法
§4.1 根轨迹法的基本概念 §4.2 绘制根轨迹的基本法则 §4.3 广义根轨迹 §4.4 利用根轨迹分析系统性能
• s平面上满足相角条件的点（必定满足模值条件） 一定在根轨迹上。 满足相角条件是s点位于根轨迹上的充分必要条件。
• 根轨迹上某点对应的 K* 值，应由模值条件来确定。
§4.2
m
绘制根轨迹的基本法则（1） G(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
K*
(s zi )
i 1 n
1
(s pj)
— 模值条件
j 1
m
n
G(s)H (s) (s zi ) (s p j ) (2k 1)
i 1
j1
— 相(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
§4 根 轨 迹 法
根轨迹法: 三大分析校正方法之一
特点： （1）图解方法，直观、形象。 （2）适合于研究当系统中某一参数变化时，系统性能的变化
自动控制原理第四章根轨迹法
仿真与实验研究
根轨迹法可用于仿真和实验研究，通过模拟和实验 验证系统的性能和稳定性，为实际系统的设计和优 化提供依据。
根轨迹法的历史与发展
历史
根轨迹法最早由美国科学家威纳于1940年提出，经过多年的 发展与完善，已经成为自动控制领域中一种重要的分析和设 计方法。
发展
随着计算机技术和数值分析方法的不断发展，根轨迹法的应 用范围和精度得到了进一步拓展和提高。未来，根轨迹法有 望与其他控制理论和方法相结合，形成更加完善和高效的控 制系统分析和设计体系。
根轨迹的性能分析
根轨迹的增益敏感性和鲁棒性
通过分析根轨迹在不同增益下的变化情况，可以评估系统的性能和鲁棒性。
根轨迹与性能指标的关系
通过比较根轨迹与某些性能指标（如超调量、调节时间等），可以评估系统的 性能。
04
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹法与PID制根轨迹图，直观地分析系统的稳定性、响应速度和超调量等性
特点
根轨迹法具有直观、简便、易于掌握等优点，特别适合用于分析 开环系统的稳定性和性能。
根轨迹法的应用场景
控制系统设计
根轨迹法可用于控制系统设计，通过调整系统参数 ，优化系统的性能指标，如稳定性、快速性和准确 性等。
故障诊断与排除
根轨迹法可用于故障诊断与排除，通过观察系统根 轨迹的变化，判断系统是否出现故障，以及故障的 类型和程度。
在绘制根轨迹时，需要遵循一定 的规则，如根轨迹与虚轴的交点 、根轨迹的分离点和汇合点等。
03
根轨迹分析方法
根轨迹的形状分析
根轨迹的起点和终点
根轨迹的起点是开环极点的位置，而 终点是闭环极点的位置。通过分析起 点和终点的位置，可以判断根轨迹的 形状。
根轨迹的分支数
根轨迹法可用于仿真和实验研究，通过模拟和实验 验证系统的性能和稳定性，为实际系统的设计和优 化提供依据。
根轨迹法的历史与发展
历史
根轨迹法最早由美国科学家威纳于1940年提出，经过多年的 发展与完善，已经成为自动控制领域中一种重要的分析和设 计方法。
发展
随着计算机技术和数值分析方法的不断发展，根轨迹法的应 用范围和精度得到了进一步拓展和提高。未来，根轨迹法有 望与其他控制理论和方法相结合，形成更加完善和高效的控 制系统分析和设计体系。
根轨迹的性能分析
根轨迹的增益敏感性和鲁棒性
通过分析根轨迹在不同增益下的变化情况，可以评估系统的性能和鲁棒性。
根轨迹与性能指标的关系
通过比较根轨迹与某些性能指标（如超调量、调节时间等），可以评估系统的 性能。
04
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹法与PID制根轨迹图，直观地分析系统的稳定性、响应速度和超调量等性
特点
根轨迹法具有直观、简便、易于掌握等优点，特别适合用于分析 开环系统的稳定性和性能。
根轨迹法的应用场景
控制系统设计
根轨迹法可用于控制系统设计，通过调整系统参数 ，优化系统的性能指标，如稳定性、快速性和准确 性等。
故障诊断与排除
根轨迹法可用于故障诊断与排除，通过观察系统根 轨迹的变化，判断系统是否出现故障，以及故障的 类型和程度。
在绘制根轨迹时，需要遵循一定 的规则，如根轨迹与虚轴的交点 、根轨迹的分离点和汇合点等。
03
根轨迹分析方法
根轨迹的形状分析
根轨迹的起点和终点
根轨迹的起点是开环极点的位置，而 终点是闭环极点的位置。通过分析起 点和终点的位置，可以判断根轨迹的 形状。
根轨迹的分支数
第4章 根轨迹法
j 1 i 1 n
(2k 1)180 (2k 1)
k 0, 1, 2,
zj
4.2 绘制根轨迹的基本规则
1.根轨迹的对称性
根轨迹关于实轴对称。因为系统的闭环极 点为实根或复根，复根共轭成对出现且关于 实轴对称，因此系统的根轨迹关于实轴对称。
2.根轨迹的条数（分支数）
zj
[例4-3]
已知单位负反馈系统的开环传递函数为
Kr G(s) H (s) s ( s 2)( s 4)
试概略绘制该系统的根轨迹。
[解] 根据开环传递函数可知，无系统的开环
零点，则m=0；开环极点有3个，即n=3，分别 为 p1 0 、p2 2 和 p3 4 。将开环极点 用“×”在复平面上标出，如图4-4所示。根据 根轨迹绘制规则确定其根轨迹。
p 180 ( p1 z1 ) ( p1 p2 ) 180 90 90 180
1
zp j
l
[例4-4] [解]
p p 180
2 1
jω
×j 2
-2
-1
0 0
σ
j2 ×
图4-5 例4-4系统的根轨迹
4.4 本章小结
第4 章
根轨迹法
根轨迹法的基本概念 绘制根轨迹的基本规则 参量根轨迹的绘制 本章小结
4.1 根轨迹法的基本概念
1948年，伊凡斯（W.R.Evans）提出 了一种简便的求解闭环极点的图解方 法—根轨迹法。
4.1.1 根轨迹
根轨迹定义
根轨迹与系统性能的关系
根轨迹定义
根轨迹：当控制系统的开环传递函数的某个 参数从零变化到无穷大时，闭环极点在s平面上 的变化轨迹称之为根轨迹。 根轨迹法：利用根轨迹进行线性控制系统分 析和设计的方法称为根轨迹法。 [例4-1]单位负反馈控制系统如图4-1所示， 试分析参数K变化对系统性能的影响
(2k 1)180 (2k 1)
k 0, 1, 2,
zj
4.2 绘制根轨迹的基本规则
1.根轨迹的对称性
根轨迹关于实轴对称。因为系统的闭环极 点为实根或复根，复根共轭成对出现且关于 实轴对称，因此系统的根轨迹关于实轴对称。
2.根轨迹的条数（分支数）
zj
[例4-3]
已知单位负反馈系统的开环传递函数为
Kr G(s) H (s) s ( s 2)( s 4)
试概略绘制该系统的根轨迹。
[解] 根据开环传递函数可知，无系统的开环
零点，则m=0；开环极点有3个，即n=3，分别 为 p1 0 、p2 2 和 p3 4 。将开环极点 用“×”在复平面上标出，如图4-4所示。根据 根轨迹绘制规则确定其根轨迹。
p 180 ( p1 z1 ) ( p1 p2 ) 180 90 90 180
1
zp j
l
[例4-4] [解]
p p 180
2 1
jω
×j 2
-2
-1
0 0
σ
j2 ×
图4-5 例4-4系统的根轨迹
4.4 本章小结
第4 章
根轨迹法
根轨迹法的基本概念 绘制根轨迹的基本规则 参量根轨迹的绘制 本章小结
4.1 根轨迹法的基本概念
1948年，伊凡斯（W.R.Evans）提出 了一种简便的求解闭环极点的图解方 法—根轨迹法。
4.1.1 根轨迹
根轨迹定义
根轨迹与系统性能的关系
根轨迹定义
根轨迹：当控制系统的开环传递函数的某个 参数从零变化到无穷大时，闭环极点在s平面上 的变化轨迹称之为根轨迹。 根轨迹法：利用根轨迹进行线性控制系统分 析和设计的方法称为根轨迹法。 [例4-1]单位负反馈控制系统如图4-1所示， 试分析参数K变化对系统性能的影响
第四章根轨迹法
s z i ( i 1, 2, , m )
根轨迹终止于开环零点
四.根轨迹的渐近线
渐近线与实轴正向夹角：
(2l 1) a nm
l 0,1, 2,, n m 1
举例 求下面闭环特征方程式根轨 迹的渐近线
s( s 4)( s 2 2 s 2) k ( s 1) 0
2
kc 6
方法2
上例中
应用劳斯判据
k G(S ) H (S ) S ( S 1)( S 2)
s3 3s 2 2s k 0
劳斯表如下
s s
s s
3 2
1
3
6k 3 k
2
k
令
6k =0,得 kc 6 3
辅助方程为
F ( s) 3s 2 kc 0
d s 2 3s 3.25 ds s 1 0
0
s=
2 2 0.25 0 解得 1 -2.12, 2 0.12(舍去)
6、求出射角
p 180 ( p1 z1 ) ( p1 p2 )
1
180 116.6 90 206
解：
1 G ( s) H ( s) 0 s 3 3s 2 2 s k 0
s1 s2 s3 3
s3 3 s1 s2 3 j 2 j 2 3
kc s1 s2 s3 6
十.放大倍数的求取
幅值条件
|G(s)H(s)| k | s zi | | s pi |
p 206
2
j
0
九.闭环极点的和与积
设系统的特征方程为：
第4章 根轨迹法
j 1 j i 1 i
m
n
( k 0, 1, 2,)
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
看出：模值方程与K*有关，而相角方程 与K*无关。因此，相角方程是决定闭环 根轨迹的充分必要条件，而模值方程是 用来确定根轨迹上各点对应的K*值。
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
4.2 绘制根轨迹图的基本法则 法则1 根轨迹的分支数： n 阶系统根轨迹有 n 条分支。
i 1 m i j 1 j j 1 n j
m
1 * K
K *
0
(s z ) 0
*
j 1 s n i 1
s zj
( j 1, 2, , m )
当 K m ，设 s ， 则
(s z )
j i
lim
(s p )
sm 1 1 lim n lim n m 0 lim * s s s s K * K
法则9 根轨迹与虚轴交点及临界根轨迹增益
a
nm 开环极点值－ 开环零点值
有限极点数－有限零点数
p z
＝
i 1 i j 1
n
m
j
nm
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
常见 n-m＝1,2,3,4时渐近线的图像:
j j
180
90
0
0
90
n m 1 nm 2
j
j
180
60
135
45 60
将开环传递函数用其分子、分母多项式方程 根的因式来表示，得 开环传递函数
开环传递 K * (s z j ) 函数的零 j 1 G( s) H ( s) n ( m n) 、极点表 达式
m
n
( k 0, 1, 2,)
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
看出：模值方程与K*有关，而相角方程 与K*无关。因此，相角方程是决定闭环 根轨迹的充分必要条件，而模值方程是 用来确定根轨迹上各点对应的K*值。
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
4.2 绘制根轨迹图的基本法则 法则1 根轨迹的分支数： n 阶系统根轨迹有 n 条分支。
i 1 m i j 1 j j 1 n j
m
1 * K
K *
0
(s z ) 0
*
j 1 s n i 1
s zj
( j 1, 2, , m )
当 K m ，设 s ， 则
(s z )
j i
lim
(s p )
sm 1 1 lim n lim n m 0 lim * s s s s K * K
法则9 根轨迹与虚轴交点及临界根轨迹增益
a
nm 开环极点值－ 开环零点值
有限极点数－有限零点数
p z
＝
i 1 i j 1
n
m
j
nm
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
常见 n-m＝1,2,3,4时渐近线的图像:
j j
180
90
0
0
90
n m 1 nm 2
j
j
180
60
135
45 60
将开环传递函数用其分子、分母多项式方程 根的因式来表示，得 开环传递函数
开环传递 K * (s z j ) 函数的零 j 1 G( s) H ( s) n ( m n) 、极点表 达式
自动控制原理 第四章 根轨迹法
K S ( 0.5 S 1)
R(s)
C(s)
下 面 分 析 参 数从0到 无 穷 变 化 对 系 统 闭 极 点 分 布 的 影 响 k 环 : k 0时 k 1/2时 k 1/2时 s 1 0 s 2 2 闭 环 极 点 与 开 环 极 点同 相 0 k 1 2时 s1 , s2均 为 负 实 数 s 1 s 2 -1 s 1,2 -1 j 2k - 1 , 实 部 相 同 位 于 垂 直 与 实 轴 的 直上 线 k 时 沿 上 述 直 线 趋 于 无 穷 . 远
P Z
i 1 i i 1
n
m
i
nm 2l 1 渐近线与实轴的交角 a : ( l 0,1, , n m 1) nm
例.设控制系统的开环传函 为 G(S)
K(S 1) S ( S 4 )( S 2 2 S 2 )
试根据目前所知的法则 确定根轨迹的有关数据 解 :(1)根 轨 迹 起 始 于P1 0, P2 -4, P3 -1 j, P4 -1 - j
终 止 于 Z 1 1和 无 穷 远 (2)有 四 条 根 轨 迹 且 对 称 实 轴 于 (3)n - m 3条 根 轨 迹 终 止 于 无 穷 , 其 渐 近 线 与 实 轴 的 交 为 远 点 0 ( 4) ( 1 j ) ( 1 j ) ( 1) a 1.67 41 与实轴的交角为 a ( 2nl 1) 1 60 ( l 0) m 3
Pl 180 ( Pl Z j ) ( Pl P j )
j 1 j 1 jl
m
n
Zl 180 ( Z l P j ) ( Z l Z j )
R(s)
C(s)
下 面 分 析 参 数从0到 无 穷 变 化 对 系 统 闭 极 点 分 布 的 影 响 k 环 : k 0时 k 1/2时 k 1/2时 s 1 0 s 2 2 闭 环 极 点 与 开 环 极 点同 相 0 k 1 2时 s1 , s2均 为 负 实 数 s 1 s 2 -1 s 1,2 -1 j 2k - 1 , 实 部 相 同 位 于 垂 直 与 实 轴 的 直上 线 k 时 沿 上 述 直 线 趋 于 无 穷 . 远
P Z
i 1 i i 1
n
m
i
nm 2l 1 渐近线与实轴的交角 a : ( l 0,1, , n m 1) nm
例.设控制系统的开环传函 为 G(S)
K(S 1) S ( S 4 )( S 2 2 S 2 )
试根据目前所知的法则 确定根轨迹的有关数据 解 :(1)根 轨 迹 起 始 于P1 0, P2 -4, P3 -1 j, P4 -1 - j
终 止 于 Z 1 1和 无 穷 远 (2)有 四 条 根 轨 迹 且 对 称 实 轴 于 (3)n - m 3条 根 轨 迹 终 止 于 无 穷 , 其 渐 近 线 与 实 轴 的 交 为 远 点 0 ( 4) ( 1 j ) ( 1 j ) ( 1) a 1.67 41 与实轴的交角为 a ( 2nl 1) 1 60 ( l 0) m 3
Pl 180 ( Pl Z j ) ( Pl P j )
j 1 j 1 jl
m
n
Zl 180 ( Z l P j ) ( Z l Z j )
第4章根轨迹法
R( s )
−
G (s)
H ( s)
C (s)
系统的开环传递函数为 G ( s) H ( s)
西华大学电气信息学院
C (s) G ( s) = 系统的闭环传递函数为： 系统的闭环传递函数为： R( s) 1 + G( s) H ( s)
则系统的闭环特征方程为： 则系统的闭环特征方程为： + G ( s) H ( s) = 0 1 因此，满足开环传递函数等于-1的 ， 因此，满足开环传递函数等于 的s，即为闭环 特征根，也就是根轨迹上的一个点。 特征根，也就是根轨迹上的一个点。 一般系统的开环传递函数可表示成如下形式 m
其中K称为根轨迹增益。 其中 称为根轨迹增益。 称为根轨迹增益 系统的闭环传递函数为
C ( s) G(s) K = = 2 R( s ) 1 + G ( s ) s + 2s + K
西华大学电气信息学院
系统的特征方程为
s 2 + 2s + K = 0
系统的特征根或闭环极点为
s1,2 = −1 ± 1 − K
(2)根轨迹的起点与终点 根轨迹的起点与终点 根轨迹的起点是指根轨迹上对应于K=0的点；终 的点； 根轨迹的起点是指根轨迹上对应于 的点 点是指根轨迹上对应K=+∞的点。 点是指根轨迹上对应 ∞的点。 根据幅值条件式， 根据幅值条件式，可得
1 = ∏ | s − pi | K
j =1 n i =1
jω
z2
jω
z1
p3
−3
p2
−1
p1
σ
z2
其中， 表示开环传递函数的极点（ 其中，“X”表示开环传递函数的极点（根轨迹的 表示开环传递函数的极点 起点）； ）；“ 表示开环传递函数的零点 表示开环传递函数的零点（ 起点）；“O”表示开环传递函数的零点（根轨迹 的终点）。 的终点）。
−
G (s)
H ( s)
C (s)
系统的开环传递函数为 G ( s) H ( s)
西华大学电气信息学院
C (s) G ( s) = 系统的闭环传递函数为： 系统的闭环传递函数为： R( s) 1 + G( s) H ( s)
则系统的闭环特征方程为： 则系统的闭环特征方程为： + G ( s) H ( s) = 0 1 因此，满足开环传递函数等于-1的 ， 因此，满足开环传递函数等于 的s，即为闭环 特征根，也就是根轨迹上的一个点。 特征根，也就是根轨迹上的一个点。 一般系统的开环传递函数可表示成如下形式 m
其中K称为根轨迹增益。 其中 称为根轨迹增益。 称为根轨迹增益 系统的闭环传递函数为
C ( s) G(s) K = = 2 R( s ) 1 + G ( s ) s + 2s + K
西华大学电气信息学院
系统的特征方程为
s 2 + 2s + K = 0
系统的特征根或闭环极点为
s1,2 = −1 ± 1 − K
(2)根轨迹的起点与终点 根轨迹的起点与终点 根轨迹的起点是指根轨迹上对应于K=0的点；终 的点； 根轨迹的起点是指根轨迹上对应于 的点 点是指根轨迹上对应K=+∞的点。 点是指根轨迹上对应 ∞的点。 根据幅值条件式， 根据幅值条件式，可得
1 = ∏ | s − pi | K
j =1 n i =1
jω
z2
jω
z1
p3
−3
p2
−1
p1
σ
z2
其中， 表示开环传递函数的极点（ 其中，“X”表示开环传递函数的极点（根轨迹的 表示开环传递函数的极点 起点）； ）；“ 表示开环传递函数的零点 表示开环传递函数的零点（ 起点）；“O”表示开环传递函数的零点（根轨迹 的终点）。 的终点）。
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第四章 根轨迹法
第四章 根轨迹法
本章主要内容
4.1 根轨迹法的基本概念
4.2 绘制根轨迹的一般原则
4.3 控制系统根轨迹分析
4.4 广义根轨迹
第四章 根轨迹法
根轨迹法实质：
由开环传递函数确定闭环特征根的图解法。 根轨迹法适用范围： 线性系统
第四章 根轨迹法
4.1 根轨迹法的基本概念
一、根轨迹法基本概念
第四章 根轨迹法
j
K
K 0.25
根轨迹 随着K值的增 加，根轨迹的 变化趋势 － 运动的方向
与特征根位置 相应的开环增 [ s] 益的数值
K 0
K 0 0
1
K
系统开环增益确定闭环极点在[s]平面上的位臵也确定。 变化参数为开环增益K，且其变化取值范围为0到∞。
第四章 根轨迹法
K G( s) H ( s) s( s 1)(s 2) 试求根轨迹在实轴上的分离点。
解：
N (s) s(s 1)(s 2)
M ( s) 1
d N ( s) d [ ] [s(s 1)(s 2)] 3s 2 6s 2 0 ds M (s) ds
根轨迹图->系统的相关动静态性能信息
（1）稳定性。闭环极点不可能出现在[s]平面右半部， 系统始终稳定。 （2）因为开环传递函数有一个极点位于[s]平面原 点，所以系统为I型系统，阶跃作用下的稳态误差为 零，静态速度误差系数 K v 即为根轨迹上对应的值K。 （3）暂态性能。当K值确定之后，根据闭环极点 的位臵，该系统的阶跃响应指标便可求出。
C (s)
闭环特征方程式 根为：
K＝0时
D(s) s 2 s K 0
s1, 2
1 1 1 4K 2 2
s1 0, s2 1
0 K 1 / 4 两个负实根
K值增加 相对靠近移动
K＝1 / 4
s1 s2 1 / 2
1/ 4 K
一对共轭复根 离开负实轴，分别s=-1/2 直线向上和向下移动。
根轨迹方程 G(s)H(s) 1
G (s)H(s) K
' i 1 n i 1
(s z )
i i
m
(s p )
m
1
m个零点
n个极点 （nm） 相角条件（k=0,1,2, …）
幅值条件
K
' i 1 n i 1
sz
m
i
s pi
1
(s z ) (s p ) (2k 1)
K (s 1) G( s) ( T 0) s(Ts 1) 试确定根轨迹的分支数及起点、终点。
解： 将开环传递函数改写成
K 1 s( s ) T 开环传递函数分母多项式最高阶次 n=2
K (s 1) G( s) s(Ts 1)
K (s )
1
K / T
第四章 根轨迹法
二、根轨迹方程
[例] 闭环传递函数为
( s) G(s) 1 G( s) H ( s)
R(s)
G(s) H (s)
C (s)
闭环特征方程是 1 G(s) H (s) 0
根轨迹增益
就其实质来说，根轨迹方程就是闭环的特征方程式 系统开环 传递函数 开环传递函数化成如下形式： 零点 m
K s(s 1)
C (s)
！试探法
j
判断 s1 (1, j1) s2 (0.5, j1) 点和是否在其根轨迹上。
、
解：将开环零、极点表示在图上（无开环 零点），其中， p1 0 p2 1 。作p1、p2 s1 引向s1的矢量 ( s1 p 2 ) ( s1 p1 )
有（n-m）条根轨迹终止于无穷远处。
幅值条件 K '＝ i 1 m
s p sz
i 1
n
i
i
K' 0
s值必须趋近于某 根轨迹起始于开环极点。 个开环极点 s值必须趋近于某 根轨迹终止于开环零点。 个开环零点
K'
第四章 根轨迹法
[例]已知单位反馈控制系统的开环传递函数为
第四章 根轨迹法
K [例]求 G( s) 根轨迹上s2点 (0.5, j1) 对应的K*值 s( s 1)
解：根据幅值条件得 ：
用幅值条件确定K*值
| s p1 | | s p2 | | s pn | K | s2 p1 | | s2 p2 | | s z1 | | s z2 | | s zm |
K ( s z1 )(s z 2 ) ( s z m ) G( s) H ( s) ( s p1 )(s p 2 ) ( s p n )
K (s zi )
i 1
(s p
j 1
n
j
)
系统开环传 递函数极点
第四章 根轨迹法
p1
j
[s]
s1 p1
180
p3 p3
s1 z1
s2 z1
s1
s1 p2
0
每对共轭复数极点所提供的 幅角之和为0°或360°； s1左边所有位于实轴上的每一个极 点或零点所提供的幅角为0° ；
p2
s1右边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为 180° 。
第四章 根轨迹法
i 1 j 1
m
n
0
s2 p2
(s 2 p1 ) (s2 p2 ) 180
s2 p1
s2
满足相角条件，所以s2在根轨迹上，即s2是该系统的闭环极 点。
第四章 根轨迹法
• 通过选择若干次试验点，检查这些点是否满足相角条 件，由那些满足相角条件的点可连成根轨迹，这就是 绘制根轨迹的试探法 。 • 对任何正值，在[s]平面上从G(s)H(s)的各零点和极点分
i 1 i
n
1）幅值条件不但与开环零、极点 有关，件只与开环零、极点 有关 2）充要条件。
i 1
i
用相角条件来绘制根轨迹，用幅值条件来确定 已知根轨迹上某一点K’的值。
第四章 根轨迹法
用相角条件求根轨迹曲线
R(s)
[例]开环传递函数为
K G( s) s( s 1)
0 K 1/ 4
j
K
K 0.25
[ s]
K 0 0
K 0
1
K
过阻尼系统，阶跃响应为非周期过程； 临界阻尼系统，
K＝ / 4 1
K 1 / 4 欠阻尼系统，阶跃响应为阻尼振荡过程。
第四章 根轨迹法 根轨迹与系统性能之间有密切的联系。利用根轨迹不仅能够分析闭 环系统的动态性能以及参数变化对系统动态性能的影响，而且还可以根 据对系统暂态特性的要求确定可变参数和调整开环零、极点位臵以及改 变它们的个数。这就是说，根轨迹法可用来解决线性系统的分析和综合
(2) 当系统开环传递函数的零点数m小于极点数n
第四章 根轨迹法
根轨迹的连续性和对称性
根轨迹是连续曲线，且对称于实轴。
闭环特征方程的根在开环零、极点已定的情况下， 各根分别是K的连续函数； 特征方程的根为实根或共轭复数根。
第四章 根轨迹法
根轨迹的起点和终点
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。如果n≠m，则
第四章 根轨迹法
d N (s) [ ]0 ds M ( s)
在一般情况下，如果根轨迹位于实轴上两相邻开环极点之间， 则这两极点之间至少存在一个分离点。如果根轨迹位于两相 邻开环零点之间（其中一个零点可位于无穷远处），那么， 这两个零点之间至少存在一个会合点。
第四章 根轨迹法
[例]已知控制系统开环传递函数
故根轨迹分支数为2（即有两条根轨迹）
第四章 根轨迹法
开环有两个极点：
p1 0
p2 1/ T
开环有一个有限零点 ：
z1 1 /
根轨迹起始于开环极点，即起始于0和 其中一条根轨迹终止于开环零点，即 另一条终止于无穷远处。
1/ T
1/
，
j
[s]
1 T
1
0
第四章 根轨迹法
| 0.5 j 0 | | 0.5 j 1| 1.118 1.118 1.25
第四章 根轨迹法
4.2 绘制根轨迹的一般原则
• • • • • • • • • 根轨迹分支数 根轨迹对称于实轴 确定根轨迹的起点和终点 确定实轴上的根轨迹 根轨迹的分离点和会合点 根轨迹的渐近线 根轨迹的起始角和终止角 根轨迹的与虚轴交点 根之和
j 1
n
第四章 根轨迹法
不满足相角条件，所以s1不在根轨迹上，即s1不是该系统的 闭环极点。 同样作 p1、p2 引向s2的矢量
j
(s2 p1 ) 116.5
(s2 p2 ) 63.5
s1
[s]
s1 p1
0.5
s1 p2
1
135
(s2 zi ) (s2 p j )
实轴上的根轨迹
如果实轴上某一区段右侧的实数开环零点、极点数目之 和为奇数，则该区段实轴必是根轨迹。 开环零点：z1 开环极点：p1、p2、p3 其中 ： p1、p2是一对共轭极点
s1 z1
s2 z1
p1
j
[s]
s1 p1
180
p3 p3
s1
s1 p2
0
p2
第四章 根轨迹法
[s]
s1 p1
第四章 根轨迹法
本章主要内容
4.1 根轨迹法的基本概念
4.2 绘制根轨迹的一般原则
4.3 控制系统根轨迹分析
4.4 广义根轨迹
第四章 根轨迹法
根轨迹法实质：
由开环传递函数确定闭环特征根的图解法。 根轨迹法适用范围： 线性系统
第四章 根轨迹法
4.1 根轨迹法的基本概念
一、根轨迹法基本概念
第四章 根轨迹法
j
K
K 0.25
根轨迹 随着K值的增 加，根轨迹的 变化趋势 － 运动的方向
与特征根位置 相应的开环增 [ s] 益的数值
K 0
K 0 0
1
K
系统开环增益确定闭环极点在[s]平面上的位臵也确定。 变化参数为开环增益K，且其变化取值范围为0到∞。
第四章 根轨迹法
K G( s) H ( s) s( s 1)(s 2) 试求根轨迹在实轴上的分离点。
解：
N (s) s(s 1)(s 2)
M ( s) 1
d N ( s) d [ ] [s(s 1)(s 2)] 3s 2 6s 2 0 ds M (s) ds
根轨迹图->系统的相关动静态性能信息
（1）稳定性。闭环极点不可能出现在[s]平面右半部， 系统始终稳定。 （2）因为开环传递函数有一个极点位于[s]平面原 点，所以系统为I型系统，阶跃作用下的稳态误差为 零，静态速度误差系数 K v 即为根轨迹上对应的值K。 （3）暂态性能。当K值确定之后，根据闭环极点 的位臵，该系统的阶跃响应指标便可求出。
C (s)
闭环特征方程式 根为：
K＝0时
D(s) s 2 s K 0
s1, 2
1 1 1 4K 2 2
s1 0, s2 1
0 K 1 / 4 两个负实根
K值增加 相对靠近移动
K＝1 / 4
s1 s2 1 / 2
1/ 4 K
一对共轭复根 离开负实轴，分别s=-1/2 直线向上和向下移动。
根轨迹方程 G(s)H(s) 1
G (s)H(s) K
' i 1 n i 1
(s z )
i i
m
(s p )
m
1
m个零点
n个极点 （nm） 相角条件（k=0,1,2, …）
幅值条件
K
' i 1 n i 1
sz
m
i
s pi
1
(s z ) (s p ) (2k 1)
K (s 1) G( s) ( T 0) s(Ts 1) 试确定根轨迹的分支数及起点、终点。
解： 将开环传递函数改写成
K 1 s( s ) T 开环传递函数分母多项式最高阶次 n=2
K (s 1) G( s) s(Ts 1)
K (s )
1
K / T
第四章 根轨迹法
二、根轨迹方程
[例] 闭环传递函数为
( s) G(s) 1 G( s) H ( s)
R(s)
G(s) H (s)
C (s)
闭环特征方程是 1 G(s) H (s) 0
根轨迹增益
就其实质来说，根轨迹方程就是闭环的特征方程式 系统开环 传递函数 开环传递函数化成如下形式： 零点 m
K s(s 1)
C (s)
！试探法
j
判断 s1 (1, j1) s2 (0.5, j1) 点和是否在其根轨迹上。
、
解：将开环零、极点表示在图上（无开环 零点），其中， p1 0 p2 1 。作p1、p2 s1 引向s1的矢量 ( s1 p 2 ) ( s1 p1 )
有（n-m）条根轨迹终止于无穷远处。
幅值条件 K '＝ i 1 m
s p sz
i 1
n
i
i
K' 0
s值必须趋近于某 根轨迹起始于开环极点。 个开环极点 s值必须趋近于某 根轨迹终止于开环零点。 个开环零点
K'
第四章 根轨迹法
[例]已知单位反馈控制系统的开环传递函数为
第四章 根轨迹法
K [例]求 G( s) 根轨迹上s2点 (0.5, j1) 对应的K*值 s( s 1)
解：根据幅值条件得 ：
用幅值条件确定K*值
| s p1 | | s p2 | | s pn | K | s2 p1 | | s2 p2 | | s z1 | | s z2 | | s zm |
K ( s z1 )(s z 2 ) ( s z m ) G( s) H ( s) ( s p1 )(s p 2 ) ( s p n )
K (s zi )
i 1
(s p
j 1
n
j
)
系统开环传 递函数极点
第四章 根轨迹法
p1
j
[s]
s1 p1
180
p3 p3
s1 z1
s2 z1
s1
s1 p2
0
每对共轭复数极点所提供的 幅角之和为0°或360°； s1左边所有位于实轴上的每一个极 点或零点所提供的幅角为0° ；
p2
s1右边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为 180° 。
第四章 根轨迹法
i 1 j 1
m
n
0
s2 p2
(s 2 p1 ) (s2 p2 ) 180
s2 p1
s2
满足相角条件，所以s2在根轨迹上，即s2是该系统的闭环极 点。
第四章 根轨迹法
• 通过选择若干次试验点，检查这些点是否满足相角条 件，由那些满足相角条件的点可连成根轨迹，这就是 绘制根轨迹的试探法 。 • 对任何正值，在[s]平面上从G(s)H(s)的各零点和极点分
i 1 i
n
1）幅值条件不但与开环零、极点 有关，件只与开环零、极点 有关 2）充要条件。
i 1
i
用相角条件来绘制根轨迹，用幅值条件来确定 已知根轨迹上某一点K’的值。
第四章 根轨迹法
用相角条件求根轨迹曲线
R(s)
[例]开环传递函数为
K G( s) s( s 1)
0 K 1/ 4
j
K
K 0.25
[ s]
K 0 0
K 0
1
K
过阻尼系统，阶跃响应为非周期过程； 临界阻尼系统，
K＝ / 4 1
K 1 / 4 欠阻尼系统，阶跃响应为阻尼振荡过程。
第四章 根轨迹法 根轨迹与系统性能之间有密切的联系。利用根轨迹不仅能够分析闭 环系统的动态性能以及参数变化对系统动态性能的影响，而且还可以根 据对系统暂态特性的要求确定可变参数和调整开环零、极点位臵以及改 变它们的个数。这就是说，根轨迹法可用来解决线性系统的分析和综合
(2) 当系统开环传递函数的零点数m小于极点数n
第四章 根轨迹法
根轨迹的连续性和对称性
根轨迹是连续曲线，且对称于实轴。
闭环特征方程的根在开环零、极点已定的情况下， 各根分别是K的连续函数； 特征方程的根为实根或共轭复数根。
第四章 根轨迹法
根轨迹的起点和终点
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。如果n≠m，则
第四章 根轨迹法
d N (s) [ ]0 ds M ( s)
在一般情况下，如果根轨迹位于实轴上两相邻开环极点之间， 则这两极点之间至少存在一个分离点。如果根轨迹位于两相 邻开环零点之间（其中一个零点可位于无穷远处），那么， 这两个零点之间至少存在一个会合点。
第四章 根轨迹法
[例]已知控制系统开环传递函数
故根轨迹分支数为2（即有两条根轨迹）
第四章 根轨迹法
开环有两个极点：
p1 0
p2 1/ T
开环有一个有限零点 ：
z1 1 /
根轨迹起始于开环极点，即起始于0和 其中一条根轨迹终止于开环零点，即 另一条终止于无穷远处。
1/ T
1/
，
j
[s]
1 T
1
0
第四章 根轨迹法
| 0.5 j 0 | | 0.5 j 1| 1.118 1.118 1.25
第四章 根轨迹法
4.2 绘制根轨迹的一般原则
• • • • • • • • • 根轨迹分支数 根轨迹对称于实轴 确定根轨迹的起点和终点 确定实轴上的根轨迹 根轨迹的分离点和会合点 根轨迹的渐近线 根轨迹的起始角和终止角 根轨迹的与虚轴交点 根之和
j 1
n
第四章 根轨迹法
不满足相角条件，所以s1不在根轨迹上，即s1不是该系统的 闭环极点。 同样作 p1、p2 引向s2的矢量
j
(s2 p1 ) 116.5
(s2 p2 ) 63.5
s1
[s]
s1 p1
0.5
s1 p2
1
135
(s2 zi ) (s2 p j )
实轴上的根轨迹
如果实轴上某一区段右侧的实数开环零点、极点数目之 和为奇数，则该区段实轴必是根轨迹。 开环零点：z1 开环极点：p1、p2、p3 其中 ： p1、p2是一对共轭极点
s1 z1
s2 z1
p1
j
[s]
s1 p1
180
p3 p3
s1
s1 p2
0
p2
第四章 根轨迹法
[s]
s1 p1