2016-2017学年四川省遂宁市高二下学期期末教学水平监测数学(理)试题(解析版)

2016-2017学年四川省遂宁市高二下学期期末教学水平监测数学（理）试题一、选择题 1．复数为纯虚数，则实数a 的值为A. 2-B. 2C. 12-D. 12【答案】A【解析】 由题意得()()()()1222i ai a a i -+=++-，所以202a a +=⇒=-，故选A.2．已知,,a b R ∈则使得a b >成立的一个必要不充分条件为A. a b >B. 1a b >+C. 1a b >-D. 22a b>【答案】C【解析】因为a b > 1,22a b a b ⇒>-> ,所以去掉A,B,而22a ba b >⇒>,所以选C.3．在63x ⎫⎪⎭的展开式中，常数项为A. 135B. 105C. 30D. 15【答案】A【解析】33633221663302rrr r r r r r T CC xr x ---+⎛⎫==∴=⇒= ⎪⎝⎭即常数项为2263159135C =⨯= ,选A.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.4．已知,x y 的取值如图所示，若y 与线性相关，且线性回归方程为ˆˆ6ybx =+，则ˆb 的值为 A.110 B. 12 C. 110- D. 12- 【答案】D【解析】12,552ˆ2ˆ6,x y bb ==∴=+=- ,选D. 5．设函数sin cos y x x x =+的图象上点()(),P t f t 处的切线斜率为k ，则函数()k g t =的大致图象为A. B. C. D.【答案】B【解析】()cos cos y x x f t t t =∴=' 为奇函数,舍去A,C;因为()π0,,02x f t ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭所以舍去D,选B.6．运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6道中的一位选手得第一名；观众丁猜测：4，5，6道的选手都不可能得第一名。

比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D【解析】若甲对,则乙也对,所以甲错;若甲错乙对,则丙也对,所以乙错,即3道的选手得第一名,此时只有丁对,因此选D. 7．函数()31ln 13f x x x =-+的零点个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】()2101f x x x x=-=⇒'= ,所以当()0,1x ∈ 时()()20,,3f x f x ⎛⎫>∈-∞ ⎝'⎪⎭ ; 当()1,x ∈+∞ 时()()20,,3f x f x ⎛⎫<∈-∞ ⎝'⎪⎭ ;因此零点个数为2,选C.8．甲、乙、丙、丁、戊5名学生参加遂宁市劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次（无并列）.甲乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”.从这个人的回答中分析，5人的名次情况共有 A. 72种 B. 48种 C. 36种 D. 54种 【答案】D【解析】先排乙有3种方法,再排甲有3种方法,其余三人全排列,共有3333=54A ⨯⨯ ,选D.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法： (1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.9．已知圆(x ＋3)2＋y 2＝64的圆心为M ，设A 为圆上任一点，点N 的坐标为(3，0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线 【答案】B【解析】由题意得,=86PA PN MP PN AM r MN =∴+==>= ,所以动点P 的轨迹是椭圆,选B.点睛：(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF 1|＋|PF 2|＞|F 1F 2|，双曲线的定义中要求||PF 1|－|PF 2||＜|F 1F 2|，抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.(2)注意数形结合，画出合理草图. 10．设F 为抛物线28y x =的焦点， ,,A B C 为该抛物线上不同的三点，且0FA FB FC ++=， O 为坐标原点，若OFA OFB OFC ∆∆∆、、的面积分别为123S S S 、、，则222123++=S S SA. 36B. 48C. 54D. 64 【答案】B【解析】试题分析：由题意可知()1,0F ，设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则()()()1122331,,1,,1,FA x y FB x y FA x y =-=-=- ，由0F A F B F C ++=得()()()1231110x x x -+-+-=，即1233x x x ++=，又()()()112233,,,,,A x y B x y C x y在抛物线上，所以，111222333111111,,,222222S OF y y S OF y y S OF y y =⋅==⋅==⋅=，所以()()22222212312312311++=444344S S S y y y x x x ++=⨯++=，故选B.【考点】1.向量的坐标运算；2.抛物线的标准方程与性质；3.三角形面积公式.【名师点睛】本题考查向量的坐标运算、抛物线的标准方程与性质、三角形面积公式，中档题.向量与圆锥曲线的相关知识融合，是最近高考命题的热点，解题思路上由向量运算得到坐标之间的关系或几何元素之间的关系，然后再根据圆锥曲线相关的知识经过运算求解.11．已知()(),f x g x 都是定义在R 上的函数, ()0,g x ≠ ()()()(),f x g x f x g x ''<()(),xf x ag x = ()()()()115112f f g g -+=-，在有穷数列()()f n g n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭(n =1,2,…,10）中，任意取前k 项相加，则前k 项和不小于6364的概率是A.15B. C.12D.【答案】C 【解析】令()()()xf x h x ag x == ,则()()()()()()1251120ln 0222xf xg x f x g x a a ah x a a a g x --+=⇒==<⇒<''⇒'=或，1111632216126412k k k S k ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴==-≥⇒≥- ,因此概率为1051102-= ,选C. 点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e=，()()0f x f x '+<构造()()xg x e f x =， ()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x +<'构造()()g x xf x =等12．已知点3,A ⎛- ⎝⎭是抛物线C ： 22(0)y px p =>准线上的一点，点F 是C 的焦点，点P 在C 上且满足PF m PA =，当m 取最小值时，点P 恰好在以原点为中心， F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为A. 3B. 32C. 1D.12【答案】A【解析】 由点A 在抛物线的准线上，所以362pp -=-⇒=，所以抛物线的方程为212y x =，所以抛物线的焦点()3,0F ，准线方程为:3l x =-， 过点P 作准线的垂线，垂直为N ， 由抛物线的定义可知PF PN =, 因为PF m PA =，则PF m PA=，当直线PA 与抛物线相切时，此时m 取得最小值，设直线PA 的斜率为k ，则直线PA的方程为()3y k x =+，联立方程组()23{212y k x y x+=+= ，整理，由0∆=，解得k =，此时直线的方程为)3y x y x +=+⇒=由y x =+212y x =联立，解得点(2,P ， 此时双曲线的焦点坐标为()()13,0,3,0F F -，且过点(2,P 根据双曲线的定义可知1222PF PF a a -=⇒==，所以1a =，所以双曲线的离心率为3ce a== ，故选A 。

二、填空题13．若()723012312x a a x a x a x -=++++…77a x +，则0127a a a a ++++= ____【答案】1-【解析】令1x = 得01271a a a a ++++=-14．如图所示，机器人明明从A 地移到B 地，每次只移动一个单位长度，则明明从A 移到B 最近的走法共有____种.【答案】80【解析】A C - 有22A 种方法； C B - 有36C 种方法； D B - 有22A 种方法；共有23226280A C A =15．若“()00,x ∃∈+∞，使得00ln 0x ax ->”为假命题，则实数a 的取值范围为____ 【答案】1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】()x 0,∀∈+∞， ln x 0x a -≤恒成立，所以maxln x a x ⎛⎫≥⎪⎝⎭ '2maxln 1ln ln 11()0,x x x x e a x x x e e -⎛⎫==∴=∴=≥ ⎪⎝⎭ 16．已知函数()()23xf x x e =-，现给出下列结论：①()f x 有极小值，但无最小值 ②()f x 有极大值，但无最大值③若方程()f x b =恰有一个实数根，则36b e -> ④若方程()f x b =恰有三个不同实数根，则306b e -<< 其中所有正确结论的序号为____ 【答案】②④【解析】()()223013xf x x x e x =+'-=∴=- 或所以当3x <- 时，()()()30,0,6f x f x e -∈'> ；当31x -<< 时，()()()30,2,6f x f x e e -<∈-' ；当1x > 时， ()()()0,2,f x f x e ∈-'>+∞ ；因此()f x 有极小值()1f ，也有最小值()1f ，有极大值()3f -，但无最大值；若方程()f x b =恰有一个实数根，则36b e ->或2b e =-; 若方程()f x b =恰有三个不同实数根，则306b e -<<,即正确结论的序号为②④点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．三、解答题17．已知命题:p 函数()223f x x ax =-+在区间[]1,2-上单调递增；命题:q 函数()()2lg 4g x x ax =++的定义域为R ；若命题“p q ∧”为假，“p q ∨”为真，求实数a 的取值范围. 【答案】414a a ≤--<<或【解析】试题分析：先根据二次函数单调性确定a 的取值范围；根据对数真数恒大于零得a 的取值范围；再根据命题“p q ∧”为假，“p q ∨”为真得p,q 中一真一假，最后分两种情况分类求解集，并集为实数a 的取值范围.试题解析： p :a 1≤-解：命题2q :Δa 1604a 4=-<-<<命题即“p q?,?p q?p,q ∧∨⇔命题为假为真中一真一假1p q { a 444a a a ≤-⇔≤-≤-≥真假：或1p q { 1a 444a a >-⇔-<<-<<假真：a 41a 4≤--<<综上：或18．已知直线1y kx =+与抛物线2y x =交于,A B 两点.O 为坐标原点 （1）求证： OA OB ⊥;（2）若AOB ∆的面积为2，求k 的值.【答案】（1）见解析（2）k =±【解析】试题分析：（1）设A ，B 坐标，利用向量数量积表示OA OB ⋅ ，代入直线方程得关于横坐标和与积的关系式，联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理化简可得0OA OB ⋅=（2）利用点到直线距离公式可得三角形的高，利用弦长公式可得底边长度，根据三角形面积公式可得方程，解方程可得k 的值. 试题解析： ()()()()1122121,,,A x y B x y x x ≠解：设 221{10y kx x kx y x =+⇒--== 240k k R ∆=+>⇒∈1212,1x x k x x +==-()()221212*********OA OB x x y y x x kx kx k k ⋅=+=+++=--++=OA OB ∴⊥()2O ABd =到直线的距离AB =122AOB S AB d ∆=⋅==212k k ∴=⇒=±19．已知函数()3296.2f x x x x a =-+- （1）对任意实数(),x f x m '≥恒成立，求m 的最大值； （2）若函数()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）34-（2）522a a 或 【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据二次函数性质求导函数最大值，最后根据恒成立含义得m 的取值范围，即得m 的最大值（2）先求导函数零点，列表分析函数单调性变化规律，结合函数图像确定函数()f x 恰有一个零点的条件，解不等式即得a 的取值范围. 试题解析：()223333963244f x x x x ⎛⎫=-+=--≥- ⎪⎝'⎭解：⑴()33,44f x m m m ≥≤-'-恒成立故即的最大值为()()()2396321f x x x x x =-+=-'-⑵ ()()021012f x x x f x x ''>⇒><<⇒<<或； ()()()(),12,,1,2f x ∞∞∴-+在和上单增在上单减 ()()()()51,222fx f a f x f a ∴==-==-极大极小 ()55020222f x a a a a ⇒-- 恰有一个零点或即或点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 20．现在颈椎病患者越来越多，甚至大学生也出现了颈椎病，年轻人患颈椎病多与工作、生活方式有关，某调查机构为了了解大学生患有颈椎病是否与长期过度使用电子产品有关，在遂宁市中心医院随机的对入院的50名大学生进行了问卷调查，得到了如下的4×4列联表：（1）是否有99.5%的把握认为大学生患颈锥病与长期过度使用电子产品有关？（2）已知在患有颈锥病的10名未过度使用电子产品的大学生中，有3名大学生又患有肠胃炎，现在从上述的10名大学生中，抽取3名大学生进行其他方面的排查，记选出患肠胃炎的学生人数为ε，求ε的分布列及数学期望． 参考数据与公式：()()()()()22,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++其中【答案】（1）有把握（2）分布列见解析， 0.9E ε=【解析】试题分析：（1）先根据卡方公式求出2K ，再根据参考数据确定是否有把握（2）先确定随机变量取法，再分别利用组合数求对应概率，列表可得分布列，最后根据熟悉期望公式求期望试题解析：解：（1）()22502015510258.3337.879252530203K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯ 观测值 且P （k2≥7.879）=0.005=0.5%，∴我们有99.5%的把握认为大学生患颈锥病与长期过度使用电子产品有关系； （2）根据题意，ɛ的所有可能取值为0，1，2，3；∴P （ε=0）=37310C C =724，P （ε=1）=1237310·C C C =2140， P （ε=2）=2137310·C C C =740，P （ε=3）=33310C C =1120； ∴的分布列如下：∴ε的数学期望为E ɛ=0×724+1×2140+2×740+3×1120=910=0.9. 21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点(P ，一个焦点F 的坐标为()2,0.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,A B 两点， O 为坐标原点，若12OA OB k k ⋅=-，求OA OB ⋅的取值范围.【答案】（1）22184x y +=（2）[)2,2- 【解析】试题分析：（1）根据椭圆定义求a ，再根据a,b,c 勾股关系求b,代入椭圆方程即可（2）先设A ，B 坐标，利用向量数量积表示OA OB ⋅，利用斜率公式表示OA OB k k ⋅，再根据直线方程得关于横坐标和与积的关系式，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理化简OA OB k k ⋅，根据条件12OA OB k k ⋅=-可解得2242m k =+，代入OA OB ⋅ 化简可得24221k -+，最后根据判别式求2k 范围，代入即得OA OB ⋅ 的取值范围.试题解析：解：(1) 222a a c b ====⇒=22184x y C ∴+=椭圆的方程为(2) ()()1122,,,A x y B x y 设()22222{12428028y kx mk x kmx m x y =++++-=+=由得： ()()2222221641228648320k m k mk m ∆=-+-=-+>2284m k <+即2121222428,1212km m x x x x k k-+=-=++ ()22222222221212122222848121212k m k k m m k y y k x x mk x x m m k k k--=+++=-+=+++ 221221281282OA OBy y m k k k x x m -⋅===-- 2222224168424284m k m k k k k R ∴-==++<+⇒∈即，故222221212222288388121212m m k m k OA OB x x y y k k k ----⋅=+=+=+++22242421221k k k -==-++ [)2,2OA OB ⋅-故的取值范围为22．已知函数()2ln f x a x x =-.（1）当2a =时，求函数()y f x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值；（2）令()()g x f x ax =+，若()y g x =在区间()0,3上为单调递增函数，求a 的取值范围； （3）当时，函数的图象与轴交于两点，且，又是的导函数.若正常数满足条件.试比较()12h x x αβ'+与0的关系，并给出理由. 【答案】（1）-1；（2）92a ≥；（3）见解析. 【解析】试题分析：（1）根据导数，即可得出函数的单调性，从而得到函数的最大值. （2）由在区间单调递增函数，所以()0g x '≥在（0，3）恒成立，分离参数得出221x a x ≥+，即可求解实数a 的取值范围. （3）由题意得()0f x mx -=有两个实根12,x x ，化简可得()()1212122ln ln x x m x x x x -=-+-，可得()()()()12122112122ln ln 221x x h x x x x x x x x αβααβ-+=-+--+-'，只需证明 令，设即可得到．试题解析： （1） ()22222,x f x x x x='-=- 函数在[,1]是增函数，在[1,2]是减函数， 所以．（2）因为，所以， 因为在区间单调递增函数，所以()0g x '≥在（0，3）恒成立()0g x '≥，有221x a x ≥+=，（）综上： 92a ≥ （3）()12h x x αβ'+与0的关系为： ()120h x x αβ+<'理由如下：∵()22h x x m x -'=-，又有两个实根， ∴，两式相减，得， ∴,于是()()()()1212121212122ln ln 22x x h x x x x x x x x x x αβαβαβ-+=-+-+++'-．()()211,21,210.a a x x βααβ≥+=∴≤∴--≤ 且．要证： ()120h x x αβ+<'，只需证： 只需证：．() 令，∴()化为，只证即可． ()u t 在（0，1）上单调递增，， 即．∴．（其他解法根据情况酌情给分）点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性求函数在闭区间上的最值，用分析法证明不等式，体现了转化的数学思想，试题有一定的难度，属于难题，此类问题解答的关键是认真梳理条件，合理转化，转化为利用导数研究函数的单调性与极值（最值），其中合理转化、构造新函数是解得难点.。