高考数学总复习：第4章《平面向量、数系的扩充与复数的引入》【1】

[规律方法]
在进行向量的线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三 角形中，运用平行四边形法则、三角形法则求解，并注意 利用平面几何的性质，如三角形中位线、相似三角形等知 识．
[跟踪训练] → 4→ 2．(1)(2014· 四川广元模拟)如图，已知AP＝ AB， 3 → → → → 用OA，OB表示OP，则OP等于 ( 1→ 4→ A. OA－ OB 3 3 1→ 4→ C．－ OA＋ OB 3 3 1→ 4→ B. OA＋ OB 3 3 1→ 4→ D．－ OA－ OB 3 3 )
答案 D
→ → → 1→ (2)在△ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若AD＝2DB，CD＝ CA 3 → ＋λCB，则 λ 等于 ( 2 A. 3 1 C．－ 3 1 B. 3 2 D．－ 3 )
→ → → → → → [听课记录] ∵CD＝CA＋AD，CD＝CB＋BD， → → → → → ∴2CD＝CA＋CB＋AD＋BD. → → 又∵AD＝2DB， → → → 1→ ∴2CD＝CA＋CB＋ AB 3 → → 1 → → ＝CA＋CB＋ (CB－CA) 3 2→ 4→ ＝ CA＋ CB. 3 3 2 → 1→ 2→ ∴CD＝ CA＋ CB，即 λ＝ . 3 3 3 答案 A
6 解之得 t＝ . 5 6 故存在实数 t＝ 使 C，D，E 三点在一条直线上． 5
【创新探究】 忽略 0 的特殊性致误 (2014· 临沂调研)下列命题正确的是 ( )
A． 向量 a， b 共线的充要条件是有且仅有一个实数 λ， 使 b＝λa → → → B．在△ABC 中，AB＋BC＋CA＝0 C． 不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能同时成立 D．向量 a，b 不共线，则向量 a＋b 与向量 a－b 必不共线
【错解一】 故选 A.
a，b 共线，必然是有且只有一个实数 λ 使 b＝λa，
→ → → 【错解二】 首尾相连始终如一，在△ABC 中，AB，BC，CA围 → → → 成了一个封闭图形，故AB＋BC＋CA＝0.故选 B. 【错解三】 当 a 与 b 同向时，式子中第一个等号不成立； 当 a 与 b 反向时，式子中第二个等号不成立；当 a 与 b 不共线时，两 个等号都不成立．故两个等号不可能同时成立，故选 C.
共线向量定理应用时的注意点 (1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存 在，也可能有无数个． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向 量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共 点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量 所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．

(
)

A ．1 C ．3
B．2 D．4
[听课记录] ①不正确． 当起点不在同一直线上时， 虽然终点相同， 但向量不共线． → → ②正确．∵AB＝DC， → → → → ∴|AB|＝|DC|且AB∥DC. 又∵A，B，C，D 是不共线的四点， ∴四边形 ABCD 是平行四边形． 反之，若四边形 ABCD 是平行四边形， → → → → 则 AB 綊 DC 且AB与DC方向相同，因此AB＝DC.
→ → → → 4→ → 4 → → 解析 OP＝OA＋AP＝OA＋ AB＝OA＋ (OB－OA) 3 3 1→ 4→ ＝－ OA＋ OB，选 C. 3 3 答案 C
(2)(2013· 四川高考)如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 → → → BD 交于点 O，AB＋AD＝λAO.则 λ＝__________．
[互动探究] → 若(2)中的条件作如下改变：若点 D 是 AB 边延长线上一点且|BD| → → → → ＝|BA|，若CD＝λ CB＋μ CA，则λ －μ 的值为________． → → → → → → → → → 解析 ∵CD＝CA＋AD＝CA＋2AB＝CA＋2(CB－CA)＝2CB－CA → → ＝λCB＋μCA. ∴λ＝2，μ＝－1.∴λ－μ＝3. 答案 3
③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.
上述命题中，假命题的个数是

(
)


A．0
C．2
B．1
D．3

D [向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同， 但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与 a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－ |a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.]

2．如图所示，向量a－b等于

(
)

A．－4e1－2e2
C．e1－3e2
B．－2e1－4e2
D．3e1－e2
→ ＝e －3e .] C [由题图可得 a－b＝BA 1 2
→ ＝a＋2b，BC → ＝－4a 3．(教材习题改编)设 a，b 为不共线向量，AB → ＝－5a－3b，则下列关系式中正确的是 －b，CD ( → ＝BC → A.AD → ＝－BC → C.AD → ＝2BC → B.AD → ＝－2BC → D.AD )

向量的有关概念
[典题导入] 给出下列命题： ①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量； → ＝DC → 是四边形 ABCD ②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则AB 为平行四边形的充要条件；

③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b； ④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中假命题的个数为
向量的线性运算 [典题导入]
→ → → (1)如图，正六边形 ABCDEF 中，BA＋CD＋EF＝ ( A．0 → C.AD → B.BE → D.CF )
[听课记录] 如图， ∵在正六边形 ABCDEF 中， → → CD＝AF， → → BF＝CE， → → → → → → ∴BA＋CD＋EF＝BA＋AF＋EF → → → → ＝BF＋EF＝CE＋EF → ＝CF.

[规律方法]
1．当两向量共线时，只有非零向量才能表示与之共线的 其他向量，解决向量共线问题要注意待定系数法和方程 思想的运用． 2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意 向量共线与三点共线的区别与联系．

[跟踪训练] → → → → → 3．已知 a，b 不共线，OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e， 设 t∈R，如果 3a＝c，2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数 t 使 C，D，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数 t 的值，若不 存在，请说明理由．
→ ＝AB → ＋BC → ＋CD → ＝a＋2b＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝ B [AD → .] －8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC
→ －CB → ＋CD → |＝________． 4．若菱形 ABCD 的边长为 2，则|AB → －CB → ＋CD → |＝|AB → ＋BC → ＋CD → |＝|AD → |＝2. 解析 |AB 答案 2
减法
求a与b的相反向 量－b的和的运算 叫做a与b的差
三角形法则

三、向量的数乘运算及其几何意义

1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向 量的数乘，记作 ，它的长度与方向规定如下： λa (1)|λa|＝ ；
|λ||aλ | a的方向与a的方向 (2)当λ>0时， ；当λ<0时，λa 的方向与a的方向 ；当λ＝0时，λa＝ ． 相同 相反 0

③不正确．两向量不能比较大小． ④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足 λa＝μb，但a与b不一定共线． 答案 C


[规律方法]
1．平面向量的概念辨析题的解题方法 准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别 是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用 反例进行否定也是行之有效的方法．
[听课记录]
→ → (1)证明：∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，
→ CD＝3(a－b)， → → → ∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b) ＝2a＋8b＋3a－3b → ＝5(a＋b)＝5AB. → → ∴AB，BD共线， 又∵它们有公共点 B，∴A，B，D 三点共线．
(2)∵ka＋b 与 a＋kb 共线， ∴存在实数 λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)， 即 ka＋b＝λa＋λkb. ∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a，b 是不共线的两个非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0， 即 k2－1＝0. ∴k＝± 1.

2．几个重要结论 (1)向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性； (2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量； (3)向量平行与起点的位置无关．

[跟踪训练]
1．设a0为单位向量， ①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0； ②若a与a0平行，则a＝|a|a0；

第一节
平面向量的概念及其线性运 算

[主干知识梳理]
一、向量的有关概念 1．向量：既有大小又有 的量叫向量；向量的大小 方向 叫做向量的 ． 模 2．零向量：长度等于 的向量，其方向是任意的． 0 3．单位向量：长度等于 1个单位 的向量．


4．平行向量：方向相同或 的非零向量，又叫共线 相反 向量，规定：0与任一向量共线． 5．相等向量：长度相等且方向 相同 6．相反向量：长度相等且方向 相反 的向量． 的向量．
5．已知 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a＋λb 与－(b－3a)共 线，则 λ＝________． 解析 由题意知 a＋λb＝k[－(b－3a)]， 1 k＝ ， λ ＝－ k ， 3 所以 解得 1＝3k， λ＝－1. 3 答案 1 － 3

[关键要点点拨]


A．不平行的向量一定不相等
B．平面内的单位向量有且仅有一个