4. 平面任意力系

FBx = 0
q ⋅ 12 =0 2 FC − 2
∑M
FC = 0.5kN FBy = 1.5kN
∑F
y
=0
FBy + FC − q ⋅ 1 = 0
（2）以AB为研究对象：
M
q FBx C FBy B FC q MA A FAy B
M
q
B
C
A 1m
1m
1m
1m FAx
F'By F'Bx
∑F
x
=0
(F ) = 0
m
3m
2m
60o D 1m 1m P 60o D FE E
P
E
m
∑ M B (F ) = 0
2 FC + 6 FE − 5 P sin 60o − q ⋅ 1 ⋅ 0.5 − m = 0
FC = 25 KN
（3）以整体为研究对象：
q
m
C FC
P 60o D 1m 1m E FE
3m FAx MA
A
FDy D
∑ M (F ) = 0
∑ Fy = 0
FDy + FE − P sin 60o = 0
q
C 1m A 1m B 1m 1m
m
3m
2m q
60o D 1m 1m
P
E
D C FC m
F'Dy F'Dx
FBx B FBy （2）以BD为研究对象：
∑F
x
=0
FBx = FDx = −5kN
FC = 25 KN
MA FAx
A FAy
∑F
x
=0
FAx = FBx = −5 KN
∑ M (F ) = 0
A
M A + 3 FBx − 2 FBy − q ⋅ 1 ⋅ 1.5 = 0
∑F
M A = −9 KNm
y
=0
FAy − FBy − q ⋅ 1 = 0
FAy = −10.67 KN
解法二：（1）以DE为研究对象： q
本章将研究平面任意力系的简化和平衡。
4-1 力的平移
力的平移定理 可以把作用在刚体上点A 的力F 平行移到任一 点B ，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的 矩等于原来的力F 对新作用点B 的矩。
附加力偶
M = rBA × F = M B ( F )
4-2 平面任意力系向一点简化
1.平面任意力系向一点简化
q
3m A 2m
FCx E B 1.5m 1.5m
P
FCy E B FB
解： 以BC为研究对象：
∑M
C
(F ) = 0
3 FB − P ⋅ 1.5 2 = 0
FB = 50 2 = 70.7 kN
以整体为研究对象： 1m
D
M
C
q
P E
∑F
x
=0
3m A FAx MA FAy 2m
FAx − P cos 45o + 4q = 0
∑F
y
=0
FA ⋅ cos α + Foy = 0
Foy = − P
[负号表示力的方向与图中所设方向相反]
[例11] 已知：M=10kN.m, q= 2kN/m , 求：A、C 处的反力。
M
q
C FBx FBy B B
q C
A 1m
1m
1m 1m
FC
解：（1）以BC为研究对象：
∑F
x
B
=0
(F ) = 0
4-4 刚体系的平衡
• 刚体系：若干刚体用约束联结起来的系统
一、刚化原理 变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变 形体刚化为刚体其平衡状态保持不变。
刚体的平衡条件是变形体平衡必要条件，而不是 充分条件
4-4 刚体系的平衡
二、刚体系的平衡
求解方法：
选择适当的研究对象 画出其分离体图和受力图 列平衡方程求解
[例13] 已知： P1=1000kN, P2=2000kN, m=1000kNm, q=1000kN/m, 求：A、B 处的反力及BC杆对铰C的约束力。
解： (1)以整体为研究对象：
∑ M (F ) = 0
B
∑F
x
=0
q ⋅ 32 P1 + 3 P2 + + m − 6 FA sin α = 0 2 FA = 2604.2kN C
平面任意力系简化为一个力偶的情形 FR′=0, MO≠0 合成为一个力偶,合力偶矩为MO=∑MO(F) 主矩与简化中心的选择无关。 平面任意力系简化为一个合力的情形 （1） FR′≠0, MO=0 FR′就是原力系的合力，而合力的作用线恰好通过选定的 简化 中心O。
（2） FR′≠0, MO≠0 可进一步简化 合力矢等于主矢；合力作用线到点O的距离d， d=MO/FR 合力矩定理 ：平面任意力系的合力对作用面内任一 点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。 平面任意力系平衡的情形 FR′=0, MO=0 力系平衡
P FB = cos α
∑F
x
=0
FN − FB ⋅ sin α = 0
FN = P tanα
再以轮O为研究对象：
∑M
O
(F ) = 0
Foy
FA ⋅ cos α ⋅ R − M = 0
M = PR
Fox
∑ Fx = 0
Fox + FA ⋅ sin α = 0
FA
Fox = − P tanα
FN
FB
4-3 平面任意力系的平衡条件 平面任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢 和力系对于任一点的主矩都等于零。
FR′=0， MO= 0
平面任意力 系的平衡 方程。 所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数 和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代 数和也等于零。
两个力矩式的平衡方程方程 x轴不得垂直于A、B两点的连线。
C 1m A FDx FDy 1m B 1m 1m 2m
m
P 60o D 1m 1m P 60o D FE E E
3m
∑ M (F ) = 0
D
2 FE − P sin 60o ⋅ 1 = 0
FE = 2.5 3 KN
q
C 1m A 1m B 1m q FBx FBy B （2）以BDE为研究对象： C FC 1m
1m A FAy
1m
B
1m 1m
=0
2m
∑F
x
FAx = − P cos 60 o = −5kN
∑ M ( F ) = 0 M A + 4FC + 8FE − q ⋅ 2 ⋅ 2 − m − 7 P sin 60o − 3 P cos 60o = 0
M A = −9 KNm ∑ Fy = 0 FAy + FC + FE − q ⋅ 2 − P sin 60o = 0
（b）静不定
静不定梁（图b），但比起原来的静定梁 （图a），耍安全可靠——些。
第四章作业 4-1（c）; 4-4; 4-12; 4-16; 4-19
q
m
C 1m A 1m B 1m 1m 2m
P 60o D 1m 1m P FDx 60o FE E
FE = 2.5 3 KN FDy = 2.5 3 KN
E
3m
解法一：（1）以DE为研究对象：
∑ Fx = 0
D
FDx = − P cos 60 o = −5kN
2 FE − P sin 60o ⋅ 1 = 0
解题技巧
4-5 静定与静不定的问题的概念
• 静定问题
• 当未知量的数目少于或等于独立平衡方程数目时，应用刚体 平衡条件，应用刚体平衡条件，就可以求出全部未知量。
• 静不定问题
• 若未知量的数目多于力可能有的独立平衡方程的数目，则仅 应用刚体静力学的平衡方程是不能求出全部未知量的
刚体系的平衡问题
三个力矩式的平衡方程 A、B、C三点不得共线。
平面平行力系的平衡方程 平面平行力系的平衡方程
两个力矩式的平衡方程
A、B 两点的连线不得与各力平行。
例4-5 塔式起重机的结构 简图如图所示。设起重机 架自生为W，作用线距右轨 B为e，载重W1离右轨B最 远距离为l,平衡物重为W2， 离左轨A为a,轨距为b。要 使起重机在空载，满载且 载重W1在最远均不翻倒， 试求平衡物重W2。
解：
解：
解：
若必要，也可计算 出销钉C处的力。 是否还有其它方 法？？
[例10] 已知：OA=R, AB= l , 当OA水平时，冲压力为P时， 求：①M=？ ②O点的约束反力？ ③AB杆内力？ ④冲头给导轨的侧压力？
解：以B为研究对象：
∑F
y
=0
FN
FB
P − FB ⋅ cos α = 0
B
∑ M (F ) = 0
A
2m FCx FCy C P
2 FCx − 2.3 P = 0
FCx = 2.3kN
∑F
x
=0
FAx = − FCx = −2.3kN
∑F
y
=
FAy + FCy − P = 0
(1)
以BC为研究对象：
1m A 2m E C FE
(1)
1m D B
∑ M B (F ) = 0
q m P1 B FBx 1m FBy 4m
∑F
FBx = P 1 − FA cos α = −562.5kN
y
P2 A FA 3m
=0
α
FBy + FA sin α − P2 − 3q = 0