数列专项l练习题

数列专项练习睿凡分卷I一、选择题(共20小题,每小题5.0分,共100分)1.数列，，…，，，…前n项的和Sn＝()A． 3－B．－3C． 3－D． 3－2.数列，，…，的前10项和为()A．B． 11C． 11D． 113.如果一个数列{an}满足an＋an＋1＝H(H为常数，n∈N*)，则称数列{an}为等和数列，H为公和，Sn是其前n项的和，已知等和数列{an}中，a1＝1，H＝－3，则S2 011等于()A．－3 016B．－3 015C．－3 014D．－3 0134.在等比数列{an}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于()A． 90B． 70C． 40D． 305.数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6等于()A． 3×44B． 3×44＋1C． 45D． 45＋16.等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1＋a，则a的值为()A． 3B．－3C．－1D．任意实数7.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝27，则S9＝()A． 81B． 72C． 63D． 548.等比数列{an}中，S4＝4，S8＝8，则a17＋a18＋a19＋a20＝()A． 4B． 3C． 16D． 249.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于() A． 16B． 26C． 30D． 8010.已知一个等比数列的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为() A． 63B． 108C． 75D． 8311.某种细胞开始时有2个，一小时后分裂成4个并死去1个，两小时后分裂成6个并死去1个，三小时后分裂成10个并死去1个，…按照这种规律进行下去，100小时后细胞的存活数是（）个．A． 2100－1B． 2100＋1C． 299－1D． 299＋112.若等比数列{an}对于一切自然数n都有an＋1＝1－Sn，其中Sn是此数列的前n项和，又a1＝1，则其公比q为()A． 1B．－C．D．－13.若等比数列{an}各项都是正数，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则a3＋a4＋a5的值为()A． 21B． 42C． 63D． 8414.设Sn为数列{an}的前n项和，an＝1＋2＋22＋…＋2n－1，则Sn的值为()A． 2n－1B． 2n－1－1C． 2n－n－2D． 2n＋1－n－215.等比数列{an}各项均为正数，且a1，a3，a2成等差数列，则＝()A．－B．C．D．－或16.下列命题中一定正确的是()A．若a，b，c是等差数列，则lg a，lg b，lg c是等比数列B．若a，b，c是等比数列，则lg a，lg b，lg c是等差数列C．若a，b，c是等差数列，则10a，10b，10c是等比数列D．若a，b，c是等比数列，则10a，10b，10c是等差数列17.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝()A． 1B．－1C． 2D．18.把正整数以下列方法分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，…，其中每组都比它的前一组多一个数，设Sn 表示第n组中所有各数的和，那么S21等于()A． 1113B． 4641C． 5082D． 5336119.在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为()A． 4B． 6C． 8D． 1020.若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为() A． 0B． 1C． 2D． 1或2分卷II二、填空题(共10小题,每小题5.0分,共50分)21.如果数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝________.22.已知函数f(x)＝，当x1＋x2＝1时，f(x1)＋f(x2)＝，则f＋f＋…＋f＝__________.23.等比数列{an}中，前n项和为Sn，S3＝2，S6＝6，则a10＋a11＋a12＝________.24.等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝__________.25.等比数列{an} 中，S2＝7，S6＝91，则S4＝___________.26.在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝1，a4＋a5＋a6＝－2，则该数列的前15项的和S15＝________.27.数列1,1＋2,1＋2＋22，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…前n项和等于________．28.如果数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝________.29.已知6，a，b,48成等差数列，6，c，d,48成等比数列，则a＋b＋c＋d＝_______.30.已知{an}是等比数列，且a3a5a7a9a11＝243，则的值为__________．三、解答题(共10小题,每小题12.0分,共120分)31.已知等比数列{an}中，a1＝2，a3＋2是a2和a4的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝an log2an，求数列{bn}的前n项和Sn.32.求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．33.求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)·an－1的前n项和．34.设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.35.求和：Sn＝12－22＋32－42＋52－62＋…＋992－1002.36.设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.(1) 求数列{an}的通项公式；(2) 令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.37.已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.(1) 求an及Sn；(2) 令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.38.已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和．39.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2(n∈N*)，在数列{bn}中，b1＝1，点P(bn，bn＋1)在直线x－y＋2＝0上．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)记Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，求Tn.40.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.(1)设bn＝.证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn.答案解析1.【答案】A【解析】∵a1＝2·，a2＝3·，…，an＝(n＋1)·∴Sn＝2·＋3·＋…＋(n＋1)· ………… ①＝ 2·＋3·＋…＋n·＋(n＋1)………… ②Sn由①－②得Sn＝1＋＋＋…＋－－∴2.【答案】C【解析】∵∴S10＝10＋＋＋＋…＋＝10＋＝11. 故选C.3.【答案】C【解析】S2 011＝a1＋(a2＋a3＋…＋a2 011)＝a1＋1 005×H＝1＋1 005×(－3)＝－3 014.4.【答案】C【解析】∵S30≠3S10，∴q≠1.由得∴∴q20＋q10－12＝0.∴q10＝3，∴S20＝＝S10(1＋q10)＝10×(1＋3)＝40.5.【答案】A【解析】当n≥1时，an＋1＝3Sn，则an＋2＝3Sn＋1，∴an－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，＋2即an＋2＝4an＋1，∴该数列从第3项起每一项都是前一项的4倍，即该数列从第2项起是以4为公比的等比数列．又a2＝3S1＝3a1＝3，即∴an＝∴当n＝6时，a6＝3×46－2＝3×44.6.【答案】B【解析】由q≠1时，等比数列的前n项和为Sn＝A·qn－A的形式知，Sn＝3n＋1＋a＝3·3n＋a中a＝－3.7.【答案】C【解析】∵S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，∴ 9,18，S9－27成等比数列，∴ 182＝9(S9－27)，∴S9＝63. 故选C.8.【答案】A【解析】等比数列中，Sn的性质：S4，S8－S4，…，S20－S16成等比数列，∴它们分别为4,4,4， (4)9.【答案】C【解析】不妨设n＝1，则a1＝S1＝2，数列2,4,8,16，…，符合S3＝14，则S4＝30. 10.【答案】A【解析】由题意Sn＝48，S2n＝60，∴S2n－Sn＝12且Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，∴S3n－S2n＝3，∴S3n＝3＋S2n＝63.11.【答案】B【解析】由题意得1个，2个，3个，4个，5个…小时后分别有3,5,9,17,33…，可知，3＝2＋1,5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，∴ 100小时后细胞存活数为2100＋1个．12.【答案】C【解析】∵当n＝1时，an＋1＝1－Sn………………①………………②∵当n≥ 2时，an＝1－Sn－1两式相减，得an＋1－an＝－an，∴＝.13.【答案】D【解析】∵a1＋a2＋a3＝21，∴a1(1＋q＋q2)＝21，又a1＝3，∴ 1＋q＋q2＝7，∵an>0，∴q>0，∴q＝2，∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝22×21＝84.14.【答案】D【解析】∵an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，∴Sn＝2n＋1－n－2.15.【答案】C【解析】a1，a3，a2成等差数列，∴a3＝a1＋a2，从而q2＝1＋q，即q2－q－1＝0∵q＞0，∴q＝，∴＝＝.16.【答案】C【解析】A、D显然错误，当a，b，c中有负数时，其对数无意义，故B错误；对于C，若a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c，∴ 10a·10c＝10a＋c＝102b＝(10b)2，∴ 10a,10b,10c是等比数列．17.【答案】A【解析】＝＝×＝1，故选A.18.【答案】B【解析】因为第n组有n个数，所以前20组一共有1＋2＋3＋…＋20＝210个数，于是第21组的第一个数为211，这组一共有21个数，S21＝21×211＋×1＝4641，故选B.19.【答案】C【解析】由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，∴a7－a8＝(2a7－a8)＝(a6＋a8－a8)＝a6＝8.20.【答案】D【解析】∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.21.【答案】2n－1【解析】an－an－1＝a1qn－1＝2n－1，即各式相加得an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，故an＝a1＋2n－2＝2n－1.22.【答案】【解析】令S＝f＋f＋…＋f，则S＝f＋f＋…＋f，∴ 2S＝＋＋…＋＝(n－1)×.∴S＝.23.【答案】16【解析】∵S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，∴(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)．又∵S3＝2，S6＝6，∴S9＝14.再由S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，即(S9－S6)2＝(S6－S3)·(S12－S9)，求出S12－S9＝16，即a10＋a11＋a12＝16.也可以由S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，此数列首项为S3＝2，公比q′＝＝＝2，得S12－S9＝2×23＝16.24.【答案】2【解析】依题意得∴∴公比q＝＝＝2.25.【答案】－21【解析】∵数列{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，∴ (S4－S2)2＝S2(S6－S4)，即 (S4－7)2＝7·(91－S4)，∴S－7S4－588＝0，∴S4＝28或S4＝－21.26.【答案】11【解析】S3＝1，S6－S3＝－2，∴S9－S6＝4，S12－S9＝－8，S15－S12＝16，∴S15＝S3＋S6－S3＋S9－S6＋S12－S9＋S15－S12＝1－2＋4－8＋16＝11.27.【答案】2n＋1－n－2【解析】∵数列通项公式为an＝＝2n－1. ∴28.【答案】C【解析】答案2n－1解析an－an－1＝a1qn－1＝2n－1，即相加得an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，故an＝a1＋2n－2＝2n－1.29.【答案】90【解析】∵ 6，a，b,48成等差数列，∴a＋b＝6＋48＝54；又6，c，d,48成等比数列，∴q3＝＝8，解得q＝2，∴故c＝12，d＝24，∴a＋b＋c＋d＝90.30.【答案】3【解析】∵a3a5a7a9a11＝a＝243，∴a7＝3，＝＝a7＝3.31.【答案】(1)设数列{an}的公比为q，由题意知：2(a3＋2)＝a2＋a4，∴q3－2q2＋q－2＝0，即(q－2)(q2＋1)＝0.∴q＝2，即an＝2·2n－1＝2n.(2)bn＝n·2n，∴Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n.①2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1.②①－②得－Sn＝21＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n＋1＝－2－(n－1)·2n＋1.∴Sn＝2＋(n－1)·2n＋1.【解析】32.【答案】分x＝1和x≠1两种情况．当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，xSn∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1＝－nxn＋1.∴Sn＝－.综上可得Sn＝【解析】33.【答案】(1)当a＝0时，Sn＝1.(2)当a＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n－1)，则Sn＝＝n2.(3)当a≠1且a≠0时，有Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an－1①＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1)·an②aSn①－②得－aSn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)·an，Sn(1－a)Sn＝1－(2n－1)an＋2(a＋a2＋a3＋a4＋…＋an－1)＝1－(2n－1)an＋2·＝1－(2n－1)an＋，又1－a≠0，∴Sn＝＋.综上，Sn＝【解析】34.【答案】设{an}的公比为q，由题设得解得或当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，＝＝＝3(2n－1)；Sn当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，＝＝＝3n－1.Sn【解析】35.【答案】【解析】由平方差公式，得＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋(5－6)(5＋6)＋…＋(99－100)(99＋100)Sn＝－[(1＋2)＋(3＋4)＋(5＋6)＋…＋(99＋100)]＝－(1＋2＋3＋4＋…＋100)＝36.【答案】Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]【解析】(1) 由已知，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.又a1＝2，∴数列{an}的通项公式为an＝22n－1.(2) 由bn＝nan＝n·22n－1得＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1……………… ①Sn∴ 22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1……………… ②由①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]．37.【答案】（1）an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)；（2）Tn＝.【解析】(1) 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由a3＝7，a5＋a7＝26，得解得a1＝3，d＝2.∴an＝a1＋(n－1)d，Sn＝，∴an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．(2)∵an＝2n＋1，∴a－1＝4n(n＋1)．∴bn＝＝.∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝＝∴数列{bn}的前n项和Tn＝.38.【答案】(1)an＝2－n；(2)Sn＝.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得解得.故数列{an}的通项公式为an＝2－n.(2)设数列的前n项和为Sn，即Sn＝a1＋＋…＋，①＝＋＋…＋. ②所以，当n＞1时，①－②得＝a1＋＋…＋－＝1－(＋＋…＋)－＝1－(1－)－＝.所以Sn＝.当n＝1时也成立．综上，数列的前n项和Sn＝.39.【答案】(1)bn＝2n－1；(2)Tn＝(2n－3)·2n＋1＋6.【解析】(1) 由Sn＝2an－2，得Sn－1＝2an－1－2(n≥2)，两式相减得an＝2an－2an－1，即＝2(n≥2)，又a1＝2a1－2，∴a1＝2，∴{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴an＝2n.)在直线x－y＋2＝0上，∵点P(bn，bn＋1∴bn－bn＋2＝0，即bn＋1－bn＝2，＋1∴{bn}是等差数列，∵b1＝1，∴bn＝2n－1.(2) ∵Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n①∴2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)·2n＋1②①－②得：－Tn＝1×2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)·2n＋1＝2＋2·－(2n－1)2n＋1＝2＋4·2n－8－(2n－1)2n＋1＝(3－2n)·2n＋1－6∴Tn＝(2n－3)·2n＋1＋6.40.【答案】(1)证明由已知an＋1＝2an＋2n，得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1.∴bn－bn＝1，又b1＝a1＝1.＋1∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)解由(1)知，bn＝n，＝bn＝n.∴an＝n·2n－1.∴Sn＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，两边乘以2得：2Sn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，两式相减得：－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1，∴Sn＝(n－1)·2n＋1.【解析】。