2018届高三数学(理)二轮复习专题集训：专题七 概率与统计7.3 Word版含解析

A 级1．(2017·西安市八校联考)某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60个同学按01,02,03，…，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读，则选出的第6个个体是( )(注：下表为随机数表的第8行和第9行)A ．07B ．25C ．42D ．52解析： 依题意得，依次选出的个体分别是12,34,29,56,07,52，…因此选出的第6个个体是52，选D.答案： D2．设随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，若P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，则a 的值为( ) A.73 B ．2 C.53D ．23解析： 由题意知，2a －3与a ＋2关于直线x ＝3对称，所以2a －3＋a ＋2＝6，解得a ＝73. 答案： A3．某同学为了解自己记忆成语的个数与所花费的时间(秒)的关系，做了5次试验，收集到的数据如表所示，由最小二乘法求得的回归直线方程为y ∧＝0.74x ＋50.则m ＋n A ．130 B ．129 C ．121D ．118 解析： 由表中数据得，x ＝30，y ＝15(61＋m ＋n ＋81＋89)＝15(231＋m ＋n )，将x ＝30，y ＝15(231＋m ＋n )代入回归直线方程，得m ＋n ＝130.故选A.答案： A4．一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{a n }，若a 3＝8，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是( )A ．13,12B ．13,13C ．12,13D ．13,14解析： 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，a 3＝8，a 1a 7＝a 23＝64，(8－2d )(8＋4d )＝64，(4－d )(2＋d )＝8,2d －d 2＝0，又d ≠0，故d ＝2，故样本数据为：4、6,8,10,12,14,16,18,20,22，平均数为S 1010＝(4＋22)×510＝13，中位数为12＋142＝13.答案： B5．若正数2,3,4，a ，b 的平均数为5，则其标准差的最小值为( ) A ．2 B ．4105C ．3D ．215解析： 由已知得2＋3＋4＋a ＋b ＝5×5，整理得a ＋b ＝16.其方差s 2＝15[(5－2)2＋(5－3)2＋(5－4)2＋(5－a )2＋(5－b )2]＝15[64＋a 2＋b 2－10(a ＋b )]＝15(a 2＋b 2－96)＝15[a 2＋(16－a )2－96]＝15(2a 2－32a ＋160)＝25(a 2－16a )＋32＝25(a －8)2＋325， 所以当a ＝8时，s 2取得最小值，最小值为325，此时标准差为4105.故选B.答案： B6．高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为________．解析： 因为47－33＝14，所以由系统抽样的定义可知样本中的另一个学生的编号为5＋14＝19.答案： 197．某校举行了由全部学生参加的校园安全知识考试，从中抽出60名学生，将其成绩分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后，画出如图所示的频率分布直方图．观察图形中的信息，回答下列问题：估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)为________________________________________________________________________，平均分为________．解析： 及格的频率是(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，即及格率约为75%.样本的均值为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71，以这个分数估计总体的分数即得总体的平均分数约为71.答案： 75% 718．(2017·石家庄市教学质量检测(二))设样本数据x 1，x 2，…，x 2 017的方差是4，若y i＝2x i －1(i ＝1,2，…，2 017)，则y 1，y 2，…，y 2 017的方差为________．解析： 设样本数据的平均数为x ，则y i ＝2x i －1的平均数为2x －1，则y 1，y 2，…，y 2 017的方差为12 017[(2x 1－1－2x ＋1)2＋(2x 2－1－2x ＋1)2＋…＋(2x 2 017－1－2x ＋1)2]＝4×12 017[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 2 017－x )2]＝4×4＝16. 答案： 169．(2017·合肥市第二次教学质量检测)某校在高一年级学生中，对自然科学类、社会科学类校本选修课程的选课意向进行调查．现从高一年级学生中随机抽取180名学生，其中男生105名；在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45名．(1)试问：从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为多少？(2)根据抽取的180名学生的调查结果，完成下面2×2列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？附：K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解析： (1)从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为105180＝712.(2)根据统计数据，可得2×2列联表如下：∴K 2＝180×(60×45－30×45)105×75×90×90＝367≈5.142 9>5.024.∴在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为科类的选择与性别有关．10．(2017·太原市模拟试题)某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵．某汽车经销商推出A ，B ，C 三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期100位采用上述分期付款的客户进行统计分析，得到如下的柱状图．已知从A ，B ，C 三种分期付款方式的销售中，该经销商每销售此品牌汽车一辆所获得的利润分别是1万元，2万元，3万元．现甲、乙两人从该汽车经销商处，采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆．以这100位客户所采用的分期付款方式的频率代替1位客户采用相应分期付款方式的概率．(1)求甲、乙两人采用不同分期付款方式的概率；(2)记X (单位：万元)为该汽车经销商从甲、乙两人购车中所获得的利润，求X 的分布列与期望．解析： (1)由柱状图可知，1位客户采用A ，B ，C 三种分期付款方式的概率分别为0.35,0.45,0.2，则甲、乙两人都采用A 种分期付款方式的概率为0.352＝0.122 5， 甲、乙两人都采用B 种分期付款方式的概率为0.452＝0.202 5， 甲、乙两人都采用C 种分期付款方式的概率为0.22＝0.04，∴甲、乙两人采用不同分期付款方式的概率为1－0.122 5－0.202 5－0.04＝0.635. (2)由题意得，X 的所有可能取值为2,3,4,5,6， P (X ＝2)＝0.352＝0.122 5， P (X ＝3)＝2×0.35×0.45＝0.315， P (X ＝4)＝2×0.35×0.2＋0.452＝0.342 5， P (X ＝5)＝2×0.45×0.2＝0.18， P (X ＝6)＝0.22＝0.04， ∴X 的分布列为∴E (X )＝2×B 级1．在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (－1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )A ．1 193B ．1 359C ．2 718D ．3 413附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4. 解析： 由题意知μ＝－1，σ＝1，因为P (0<x ≤1)＝12[P (－1－2<X ≤－1＋2)－P (－1－1<X ≤－1＋1)]＝12×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9，所以落入阴影部分的个数为0.135 9×10 000＝1 359，故选B.答案： B2．某新闻媒体为了了解观众对某节目的喜爱与性别是否有关系，随机调查了观看该节目的观众110名，得到如下的列联表：关”．参考附表：⎝ ⎛⎭⎪⎫参考公式：K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 解析： 假设喜爱该节目和性别无关，分析列联表中数据，可得K 2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.822>6.635，所以有99%的把握认为“喜爱该节目与否和性别有关”．答案： 99%3．第31届夏季奥林匹克运动会于2016年8月5日～21日在巴西里约热内卢举行，下表是近几届奥运会中国代表团获得的金牌数之和y (从第26届算起，不包括之前已获得的金牌数)随时间x 变化的数据：由图可以看出，金牌数之和y 与时间x 之间存在线性相关关系． (1)求y 关于x 的线性回归方程；(2)预测第32届中国代表团获得的金牌数之和为多少？(3)现已知第31届中国代表团实际所获的金牌数为26，求残差e ∧.参考数据：x ＝28，y ＝85.6，∑i ＝1n (x i －x )(y i －y )＝381，∑i ＝1n(x i －x )2＝10.附：对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归直线y ∧＝b ∧x ＋a ∧的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b ∧＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2，a ∧＝y －b ∧x .解析： (1)b ∧＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2＝38110＝38.1， a ∧＝y －b ∧x ＝85.6－38.1×28＝－981.2，所以金牌数之和y 关于时间x 的线性回归方程为y ∧＝38.1x －981.2.(2)由(1)知，当x ＝32时，中国代表团获得的金牌数之和的预测值y ∧＝38.1×32－981.2＝238，故预测第32届中国代表团获得的金牌数之和为238枚．(3)当x ＝31时，中国代表团获得的金牌数之和的预测值为y ∧＝38.1×31－981.2＝199.9，第31届中国代表团获得的金牌数之和的真实值为165＋26＝191，所以残差e ∧＝191－199.9＝－8.9.4线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性； ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得x ＝116∑i ＝116x i ＝9.97，s ＝116∑i ＝116(x i －x )2＝116(∑i ＝116x 2i －16x 2)≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ∧，用样本标准差s 作为σ的估计值σ∧，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ∧－3σ∧，μ∧＋3σ∧)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z <μ＋3σ)＝0.997 4,0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.解析： (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X ～B (16，0.002 6)．因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8. X 的数学期望为EX ＝16×0.002 6＝0.041 6.(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．②由x ＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为μ∧＝9.97，σ的估计值为σ∧＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ∧－3σ∧，μ∧＋3σ∧)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(μ∧－3σ∧，μ∧＋3σ∧)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115×(16×9.97－9.22)＝10.02，因此μ的估计值为10.02.i ＝116x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134， 剔除(μ∧－3σ∧，μ∧＋3σ∧)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09.。