高中数学必修五北师大版 3.2 基本不等式与最大(小)值教案
北师大版高中数学必修5《三章 不等式 3 基本不等式 3.2基本不等式与最大(小)值》赛课导学案_20
基本不等式与最大（小）值【教材分析】1.知识内容与结构分析本小节内容使学生在感性问题出发，利用基本不等式求最值；课后思考设置了应用题的解决，体现基本不等式在实际问题中的实用性，并同时锻炼学生理解题义并将实际问题转化为函数最值问题的能力。
2.知识学习意义分析熟练运用基本不等式求函数最值的技能，掌握一些代数式变形的方法。
3.教学建议与学法指导在“一正、二定、三相等”解决具体问题的思路指导下，引导学生对实际问题分析、讨论得出相应函数式，指导并解决问题.【学情分析】了解学生对基本不等式的掌握程度，明确运用基本不等式的要点“一正、二定、三相等”。
【教学目标】1.知识与技能2a b +≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题；2.过程与方法2a b +≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值； 3.情感、态度与价值观引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【重点难点】1.2a b +≤的应用 2.2a b +求最大值、最小值。
【教学环境】◆多媒体教室◆课件【教学过程】一、复习回顾1、基本不等式链2、若0a b ≥>，利用基本不等式的变形形式二、探究新知题型一 给定关系求最值 例1、若 且 ，求 的最大值。
例2、若 且 ，求的最小值。
和定积最大，积定和最小211a b ≤+2a b +≤22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭a b +≥2a b +≥0,0x y >>xy 2+5=20x y 0,0a b >>8ab =2a b +题型二 利用基本不等式求函数的最值例3、已知 ，求 的最大值。
解 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，∴2－3x ＞0.∴y ＝x (2－3x )＝13·3x ·(2－3x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2－3x 22＝13， 当且仅当3x ＝2－3x ，即x ＝13时，等号成立． ∴当x ＝13时，函数y ＝x (2－3x )有最大值13. 规律方法：求两数积的最值时，一般需要知道这两数的和为定值，当条件不满足时，往往利用题目中的已知条件将两数进行适当的拆项和添项，通过变形使转化后的两数和为定值，再利用基本不等式求最值，变形后仍要求满足“一正二定三相等”．例4、已知 ，求 的最小值。
北师大版高中数学必修5《三章 不等式 3 基本不等式 3.2基本不等式与最大(小)值》公开课课件_12
课后作业
1. 阅读教材； 2.《习案》作业三十二.
复习引入
小结:
1. 两个正数的和为定值时，它们的积有最
大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为
定值，则ab≤ M 2 ，等号当且仅当值时，它们的和有最 小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定 值，则a＋b≥2 P ，等号当且仅当a＝b
时成立.
讲授新课
例1. (1)用篱笆围成一个面积为100m2的 矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为 多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆 是多少？
讲授新课
归纳: 用均值不等式解决此类问题时，应按如下 步骤进行： (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把
要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽
象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小
值； (4)正确写出答案.
课堂小结
本节课我们用两个正数的算术平均数 与几何平均数的关系顺利解决了函数的一 些最值问题.
2
变式3. a,b是正数且2a+3b=4,求ab的最值和 此时a、b的值.
讲授新课
例2.
复习引入
练习
(1) f ( x) 2 3x 4 最 ___ 值是 _______( x 0). x
(2)sin x 1 最 ___ 值是 _____( x 0).
2sin x
(3)已知2a b 2,求f ( x) 4a 2b的最值及 此时的a和b.
学科：数学 年级：高中一年级 课题：基本不等式与最值
教师： 职称： 单位：
复习引入
1．基本不等式：
(1) 如果a, b R,那么a2 b2 2ab(当且仅 当a b时取“”号) ; (2) 如果a, b是正数,那么 a b ab(当且
北师大版高中数学必修5《三章 不等式 3 基本不等式 3.2基本不等式与最大(小)值》赛课导学案_15
3．4基本不等式教案（第一课时）
一、知识与技能
1.探索并了解基本不等式的证明过程；
2.了解基本不等式的代数及几何背景；
3.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。
通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法。
三、情感态度与价值观
通过对基本不等式成立条件的分析，培养分析问题的能力及严谨的数学态度。
教学重点：1.数形结合的思想理解基本不等式；
2.基本不等式成立的条件及应用。
教学难点：基本不等式成立的条件及应用。
教具准备：投影仪
教学过程。
北师大版高中数学必修5课件33.2 基本不等式与最大(小)值 课件
1 由(1)可知(－x)＋ ≥2，当且仅当 x＝－1 时等号成立。 x
所以－ x
1 1 ≤－ 2 ，即 y ＝ x ＋ ≤－2 x x
综上，可知|y|≥2
例 3 如图 1，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间。一面可利用原有的墙，其
他各面用钢筋网围成。
图1
(1)现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为 24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网 总长最小？
探索新知
例如：你可以把一段 16 cm 长的细铁丝弯成形状不同的矩形，如边长为 4 cm 的正方形；
长 5 cm 宽 3 cm 的矩形；长 6 cm 宽 2 cm 的矩形……，你会发现边长为 4 cm 的那 个正方形的面积最大。这是因为：设矩形的长为 x cm，宽为 y cm，则 x＋y＝8，这 时，由 基本 解方程组 得 2 x 3 y 18 y 3
答：每间虎笼设计长、宽分别为 4.5 m 和 3 m 时，可使面积最大。
(2)学生解答。
例4
某种汽车，购车费用是 10 万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为 0.9
万元，年维修费第一年是 0.2 万元，以后逐年递增 0.2 万元，问这种汽车使用多少年时，它 的年平均费用最少？
北京师范大学出版社 | 必修五
第三单元 · 不等式
基本不等式与最大 ( 小 ) 值
新课导入
回忆上节课我们探究的基本不等式：
ab ab (当且仅当 a＝b 时等号成立) 如果 a，b 是正数，那么 2
a +b 为 a，b 的算术平均数， ab 为 a，b 的几何平均数 2
《3.2 基本不等式与最大(小)值》课件4-优质公开课-北师大必修5精品
-6-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
题型一
1 ������ 9 ������ 1 ������ 9 ������
求代数式的最值
【例 1】 已知 x>0,y>0,且 + =1,则 x+y 的最小值是 解析:∵x>0,y>0, + =1,
.
1 9 ������ 9������ ������ 9������ + (x+y)= + +10≥2 · +10=6+10=16, ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ 9������ 1 9 当且仅当 = ,且 + =1, ������ ������ ������ ������
-3-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
������+������ 求最值时需要的条件 2 ������+������ 剖析:根据解题经验,应用基本不等式 ������������ ≤ 求最值需要的条件是: 2
应用基本不等式 ������������ ≤
第一,a,b 都是正实数,即所求最值的代数式中的各项必须都是正数,否
∴x+y=
即 x=4,y=12 时,等号成立,此时(x+y)min=16. 答案:16 反思由 + =1,得 + ≥2
1 ������ 9 ������ 1 ������ 9 ������ 1 9 · ������ ������
北师大版高中数学必修5《三章 不等式 3 基本不等式 3.2基本不等式与最大(小)值》公开课课件_13
由22xx＋ ＝33yy＝ ，18， 解得xy＝ ＝43..5， 故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大． (2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网的总长为l，则l＝4x＋ 6y. ∵2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy＝24， ∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时等号 成立．
规律方法 解决本题的关键是拼凑.1中将4x－2拼凑成4x－5.2 中将x拼凑成3x，从而可产生定值.1中是积为定值.2中是 和为定值.
求函数y＝x－1 3＋x(x>3)的最小值．
【解析】
∵x>3，∴x－3>0，∴y＝
1 x－3
＋x＝
1 x－3
＋
(x－3)＋3≥2
x－1 3·x－3
规律方法 1.解实际应用问题要遵循以下几点： 1在理解题意的基础上设变量，设变量时一定要把求 最大值或最小值的变量定义为函数； 2建立相应的函数解析式，将实际应用问题转化，抽 象为函数的最大值或最小值问题纯数学问题； 3在定义域内使实际问题有意义的自变量取值范围 求出函数的最大值、最小值； 4回到实际问题中，写出正确答案.
【例4】 某商品进货价为每件50元，据市场调
查，当销售价格每件x元(50<x≤80)时，每天销售的件数
为p＝
105 x－402
，若想每天获得的利润最多，则销售价为
多少元？
【思路探究】 首先据题意建立关于利润的函数模 型，利润＝销售件数×(销售价格－进货价格)．再应用基本 不等式解决最值问题．
【尝试解答】 解法一：由题意知利润 S＝(x－50)·x－104502 ＝(x－50)·x－502＋2100x5－50＋100 ＝x－50＋1x0－ 15 0500＋20. ∵x－50>0， ∴(x－50)＋x－ 10500≥20.
北师大版高中数学必修5《三章 不等式 3 基本不等式 3.2基本不等式与最大(小)值》公开课课件_26
第二十四届国际数学家大会
2002年在北京国际会议中心隆重举行。此次大会在世界上创造了四 个第一:
1、这次会议，是历史上，"国际数学家大会"第一次在发展中国家召开。 2、这次会议是科技史上，中国数学家和外国数学家参加人数最多的一 次会议。 3、在世界上，第一次在中国召开的国际数学家大会，并由中国数学家 吴文俊院士担任大会主席。 4、是世界历史上，发展中国家规模最大的数学会议。
这是2002年在北京召开的 第24届国际数学家大会的会 标．会标是根据中国古代数 学家赵爽的弦图设计的，颜 色的明暗使它看上去像一个 风车，代表中国人民热情好 客。
设直角三角形的两直角边分 别为a,b，那么四个直角三角形的 面积之和与正方形的面积有什么 关系呢？
D
在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.
基本不等式
基本不等式的代数解释
我们常把
a＋b 2
叫做正数a，b的算术平均数，
把 ab 叫做正数a，b的几何平均数.
基本不等式的数列解释
我们把
a＋b 2
看做正数a，b的等差中项，
把 ab 看做正数a，b的正的等比中项.
利用不等式的基本性质推导基本不等式
要证： 只要证： 只要证： 只要证： 显然成立，当且仅当a=b时，等号成立
课题：3.4.1 基本不等式 ab a b
2
国际数学家大会
(International Congress of Mathematicians，ICM)
它是由国际数学联盟(IMU)主办的国际数学界规模最大也是最 重要的会议 。会议是数学家们为了数学交流，展示、研讨数学的 发展，会见老朋友、结交新朋友的国际性会议，是国际数学界的 盛会 。大会每四年举行一次，首届大会1897年在瑞士苏黎世举行， 至今已有百余年的历史 。它是全球性数学科学学术会议，被誉为 数学界的奥林匹克盛会 。
北师大版高中数学必修5《三章 不等式 3 基本不等式 3.2基本不等式与最大(小)值》公开课课件_27
D a OC b B
E
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
如图, AB是圆的直径, O为圆心，
点C是AB上一点, AC=a, BC=b.
过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
A
ab ①如何用a, b表示OD? OD=___2___
②如何用a, b表示CD? CD=____a_b_
点C是AB上一点, AC=a, BC=b.
过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
A
ab ①如何用a, b表示OD? OD=___2___
②如何用a, b表示CD? CD=____a_b_
Rt△ACD∽Rt△DCB， 所以 BC DC DC AC
所以DC2 BC AC ab
②
(a 0,b 0, a ( a)2,b ( b)2)
要证②，只要证 (__a_ __b_)2≥0
③
显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立.
基本不等式
特别地，若a>0，b>0，则 a b __≥___ 2 ab
通常我们把上式写作： ab≤ a b (a 0,b 0) 2
思考：这会标中含有 怎样的几何图形？
思考：你能否在这个 图案中找出一些相等 关系或不等关系？
D
探究１：
a2 b2
b
G
F
1、正方形ABCD的
a b 2
2
面积S2= ＿＿＿＿＿
C ２、四个直角三角形的
A
a HE
面积和S1 =＿2a＿b
３、S2与S1有什么 样的不等关系？
B
S2>S1即
问：那么它们有相等的情况吗？ a2 b2 > 2ab (a≠b)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
基本不等式与最大（小）值
【教材分析】
1.知识内容与结构分析
本小节内容包括两部分，第一部分是使学生在感性问题出发，利用基本不等式求最值；第二部分利用应用题的解决体现基本不等式在实际问题中的实用性，并同时锻炼学生理解题义并将实际问题转化为函数最值问题的能力。
2.知识学习意义分析
熟练运用基本不等式求函数最值的技能，掌握一些代数式变形的方法。
3.教法与学法指导
在“一正、二定、三相等”解决具体问题的思路指导下，引导学生对实际问题分析、讨论得出相应函数式，指导并解决问题.
【学情分析】
了解学生对基本不等式的掌握程度，明确运用基本不等式的要点“一正、二定、三相等”。
【教学目标】
2
a b +≤
；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题； 【重点难点】
1.2
a b +的应用
2.2a b +求最大值、最小值。
【教学环境】
◆ppt 课件
【教学过程】
一、情境引入，提出问题
1、基本不等式及其等号成立的条件
2a b +≥，222a b ab +≥ 2、若0x >，求1y x x
=+的最小值； “模块一”中可以利用函数的单调性得出解答，但利用基本不等式更方便；
二、讲授新课
1、思考、讨论下列问题
（1）长为16cm 的细铁丝围成的矩形中，面积最大有多大？
（2）面积为162cm 的矩形中，周长最小为多少？
2、抽象概括
（1）长为16cm 的细铁丝围成的矩形中，边长为4cm 的正方形面积最大；面积为162cm 的矩形中，边长为4cm 的正方形周长最小；
（2）当x y 、都为正数时，有下列结论：
若x y s +=（定值）时，则当x y =时，积xy 取得最大值，且最大值
为2
4
s ； 若xy p =（定值）时，则当x y =时，和x y +取得最小值，且最小值
为
（3）“一正、二定、三相等”
三、范例及思考
例1
求出函数x x y -+=33的最小值 已知2
30<<x ，求函数)23(x x y -=的最大值 例2 设x y 、为正数，且2520x y +=，求lg lg u x y =+的最大值。
例3 某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为48003,m 深为3 m 。
如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价为多少元？
四、课堂练习及思考
1、若1x >，求121
u x x =+
-的最小值。
2、若2a <，求2(2)u x x =-的最大值。
3、求证：直径为d 的圆的内接矩形中，面积最大的是正方形，这个正方形的面积等于212d 。
五、课堂小结
1、和一定时，积最大；积一定时，和最小；“一正、二定、三相等”
2、解应用题时，要审题、列函数式、合理准确地利用基本不等式解
决问题。