圆锥曲线中的定点、最值、范围问题学案教师版
2020版高考数学第8章平面解析几何第9节圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题教学案理北师大版
第九节 圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题[考纲传真] 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想．定点问题【例1】 已知椭圆E ：x 29＋y 2b2＝1(b ＞0)的一个焦点与抛物线Γ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 相同，如图，作直线AF 与x 轴垂直，与抛物线在第一象限交于A 点，与椭圆E 相交于C ，D 两点，且|CD |＝103.(1)求抛物线Γ的标准方程；(2)设直线l 不经过A 点且与抛物线Γ相交于N ，M 两点，若直线AN ，AM 的斜率之积为1，证明l 过定点．[解] (1)由椭圆E ：x 29＋y 2b2＝1(b ＞0)，得b 2＝9－c 2，由题可知F (c,0)，p ＝2c ，把x ＝c 代入椭圆E 的方程，得y 2C ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 29， ∴y C ＝9－c 23.∴|CD |＝103＝－c 23，解得c ＝2.∴抛物线Γ的标准方程为y 2＝4cx ，即y 2＝8x . (2)证明：由(1)得A (2,4)，设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 218，y 1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 228，y 2， ∴k MA ＝y 1－4y 218－2＝8y 1＋4，k NA ＝8y 2＋4， 由k MA ·k NA ＝8y 1＋4·8y 2＋4＝1， 得y 1y 2＋4(y 1＋y 2)－48＝0.(*)设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝my ＋t ，得y 2－8my －8t ＝0，∴y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－8t ， 代入(*)式得t ＝4m －6，∴直线l 的方程为x ＝my ＋4m －6＝m (y ＋4)－6， ∴直线l 过定点(－6，－4)．过抛物线：＝4的焦点且斜率为的直线交抛物线于，两点，且|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)若A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出该点的坐标． [解] (1)易知点F 的坐标为(1,0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，由题意知k ≠0，且Δ＝[－(2k 2＋4)]2－4k 2·k 2＝16(k 2＋1)＞0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，由抛物线的定义知|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8， ∴2k 2＋4k2＝6，∴k 2＝1，即k ＝±1， ∴直线l 的方程为y ＝±(x －1)．(2)由抛物线的对称性知，D 点的坐标为(x 1，－y 1)， 直线BD 的斜率k BD ＝y 2＋y 1x 2－x 1＝y 2＋y 1y 224－y 214＝4y 2－y 1， ∴直线BD 的方程为y ＋y 1＝4y 2－y 1(x －x 1)， 即(y 2－y 1)y ＋y 2y 1－y 21＝4x －4x 1，∵y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，x 1x 2＝1，∴(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16， 即y 1y 2＝－4(y 1，y 2异号)，∴直线BD 的方程为4(x ＋1)＋(y 1－y 2)y ＝0，恒过点(－1,0)． 定值问题【例2】 已知动圆P 经过点N (1,0)，并且与圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝16相切． (1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设G (m,0) 为轨迹C 内的一个动点，过点G 且斜率为k 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，当k 为何值时，ω＝|GA |2＋|GB |2是与m 无关的定值？并求出该定值．[解] (1)由题意，设动圆P 的半径为r ，则|PM |＝4－r ，|PN |＝r ，可得|PM |＋|PN |＝4－r ＋r ＝4，∴点P 的轨迹C 是以M ，N 为焦点的椭圆，∴2a ＝4,2c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.即点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知－2＜m ＜2，直线l ：y ＝k (x －m )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －m ，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝8mk 24k 2＋3，x 1x 2＝4m 2k 2－124k 2＋3， ∴y 1＋y 2＝k (x 1－m )＋k (x 2－m )＝k (x 1＋x 2)－2km ＝－6mk4k 2＋3，y 1y 2＝k 2(x 1－m )(x 2－m )＝k 2x 1x 2－k 2m (x 1＋x 2)＋k 2m 2＝3k2m 2－4k 2＋3，∴|GA |2＋|GB |2＝(x 1－m )2＋y 21＋(x 2－m )2＋y 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2－2m (x 1＋x 2)＋2m 2＋(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝(k 2＋1)[－6m2k 2－＋＋4k2k 2＋2.要使ω＝|GA |2＋|GB |2的值与m 无关，需使4k 2－3＝0， 解得k ＝±32，此时ω＝|GA |2＋|GB |2＝7.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，△ABF 1的周长为8，且△AF 1F 2的面积的最大时，△AF 1F 2为正三角形．(1)求椭圆C 的方程；(2)若MN 是椭圆C 经过原点的弦，MN ∥AB ，求证：|MN |2AB为定值．[解] (1)由已知A ，B 在椭圆上，可得|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， 又△ABF 1的周长为8，所以|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝8，即a ＝2.由椭圆的对称性可得，△AF 1F 2为正三角形当且仅当A 为椭圆短轴顶点， 则a ＝2c ，即c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3， 则椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：若直线l 的斜率不存在，即l ：x ＝1，求得|AB |＝3，|MN |＝23，可得|MN |2AB＝4.若直线l 的斜率存在， 设直线l ：y ＝k (x －1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y23＝1，可得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 有x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝＋k 23＋4k2，由y ＝kx 代入椭圆方程，可得x ＝±233＋4k2，|MN |＝21＋k 2·233＋4k2＝4＋k23＋4k2， 即有|MN |2AB＝4.综上可得，|MN |2AB为定值4.范围问题【例3】 已知m ＞1，直线l ：x －my －m 22＝0，椭圆C ：x 2m2＋y 2＝1，F 1，F 2分别为椭圆C的左、右焦点．(1)当直线l 过右焦点F 2时，求直线l 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，△AF 1F 2，△BF 1F 2的重心分别为G ，H ，若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围．[解] (1)因为直线l ：x －my －m 22＝0经过F 2(m 2－1，0)，所以m 2－1＝m 22，得m 2＝2.又因为m ＞1，所以m ＝2， 故直线l 的方程为x －2y －1＝0. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋m 22，x 2m 2＋y 2＝1，消去x ，得2y 2＋my ＋m 24－1＝0，则由Δ＝m 2－8⎝ ⎛⎭⎪⎫m 24－1＝－m 2＋8＞0，知m 2＜8，且有y 1＋y 2＝－m 2，y 1y 2＝m 28－12.由于F 1(－c,0)，F 2(c,0)，可知G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 13，y 13，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23，y 23.因为原点O 在以线段GH 为直径的圆内， 所以OH →·OG →＜0， 即x 1x 2＋y 1y 2＜0.所以x 1x 2＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 1＋m 22⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2＋m 22＋y 1y 2＝(m 2＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫m 28－12＜0.解得m 2＜4(满足m 2＜8)．又因为m ＞1，所以实数m 的取值范围是(1,2)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求原点O 到直线l 的距离的取值范围．[解] (1)由题意知2b ＝2，∴b ＝1.∵e ＝c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2. 椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx＋4m 2－4＝0，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＞0，化简得m 2＜4k 2＋1 ①，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，∴4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2，∴(4k 2－5)·m 2－4k 2＋1＋4km ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋1＋4m 2＝0，即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简得m 2＋k 2＝54 ②，由①②得0≤m 2＜65，120＜k 2≤54.∵原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k2，∴d 2＝m 21＋k 2＝54－k 21＋k2＝－1＋9＋k2.又120＜k 2≤54，∴0≤d 2＜87，∴0≤d ＜2147. ∴原点O 到直线l 的距离的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2147.最值问题【例4】 (2019·太原模拟)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 23＝1(a ＞0)的一个焦点为F (－1,0)，左、右顶点分别为A ， B ．经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点．(1)当直线l 的倾斜角为45°时，求线段CD 的长；(2)记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1－S 2|的最大值． [解] (1)由题意，c ＝1，b 2＝3，所以a 2＝4，所以椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1，易求直线方程为y ＝x ＋1，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝x ＋1，消去y ，得7x 2＋8x －8＝0，设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，Δ＝288，x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87，所以|CD |＝2|x 1－x 2|＝2x 1＋x 22－4x 1x 2＝247. (2)当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝－1， 此时△ABD 与△ABC 面积相等，|S 1－S 2|＝0；当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x ＋，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， Δ＞0，且x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，此时|S 1－S 2|＝2||y 2|－|y 1||＝2|y 2＋y 1|＝2|k (x 2＋1)＋k (x 1＋1)|＝2|k (x 2＋x 1)＋2k |＝12|k |3＋4k2， 因为k ≠0，上式＝123|k |＋4|k |≤1223|k |·4|k |＝12212＝3当且仅当k ＝±32时等号成立，所以|S 1－S 2|的最大值为 3.(2017·浙江高考)如图，已知抛物线x ＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|PA |·|PQ |的最大值．[解](1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)．(2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋3k 2＋.因为|PA |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－k －k ＋2k 2＋1，所以|PA |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上递增，⎝⎛⎭⎪⎫12，1上递减，因此当k ＝12时，|PA |·|PQ |取得最大值2716.1.(2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．[解] (1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2＞1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上． 因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |＜2，可得A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22，则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋m －x 1＋x 2x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0.即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km 4k 2＋1＝0，解得k ＝－m ＋12.当且仅当m ＞－1时，Δ＞0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．2．(2013·全国卷Ⅰ)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ABCD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． [解] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1， 由此可得b 2x 2＋x 1a 2y 2＋y 1＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝433，y ＝－33，或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－533＜n ＜3，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y23＝1，得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3,4＝－2n ±－n 23.因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝43 9－n 2. 由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2， 当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863. 所以四边形ACBD 面积的最大值为863.。
圆锥曲线定点定值最值范围问题学案
教学过程一、复习预习【高考考情解读】纵观近几年高考，解析几何是重要内容之一，所占分值在30分以上，大题小题同时有，除了本身知识的综合，还会与其它知识如向量、函数、不等式等知识构成综合题，多年高考压轴题是解析几何题.1.填空题主要考查圆锥曲线的几何性质，三种圆锥曲线都有可能涉及.2.在解答题中主要考查圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程和解析几何中的开放题、探索题、证明题，重点关注定点、定值及最值、范围问题．二、知识讲解考点/易错点11．直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．考点/易错点2有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长P1P2＝1＋k2|x2－x1|或P1P2＝1＋1k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：|x 2－x1|＝x1＋x22－4x1x2，|y 2－y 1|＝y 1＋y 22－4y1y 2.(2)当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． 考点/易错点3 弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算． 考点/易错点4 轨迹方程问题(1)求轨迹方程的基本步骤：①建立适当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐标——解析法(坐标法)． ②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系． ③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化． ④化简整理方程——简化．⑤证明所得方程为所求的轨迹方程——完成其充要性． (2)求轨迹方程的常用方法：①直接法：将几何关系直接翻译成代数方程；②定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程； ③代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；④交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直线交点的轨迹；(3)注意①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式．步骤②⑤省略后，验证时常用途径：化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.三、例题精析【例题1】曲线方程的求法及其简单应用【题干】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆B ：16)1(22=+-y x 与点A(－1,0)，P 为圆B 上的动点，线段PA 的垂直平分线交直线PB 于点R ，点R 的轨迹记为曲线C.(1)求曲线C 的方程；(2)曲线C 与x 轴正半轴交点记为Q ，过原点O 且不与x 轴重合的直线与曲线C 的交点记为M ，N ，连结QM ，QN ，分别交直线x ＝t(t 为常数，且t≠2)于点E ，F ，设E ，F 的纵坐标分别为2121,,y y y y ⋅求的值(用t 表示)． 【答案】(1)连结RA ，由题意得RA ＝RP ，RP ＋RB ＝4，所以RA ＋RB ＝4>AB ＝2，由椭圆定义，得点R 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)设M(x 0，y 0)，则N(－x 0，－y 0)，QM ，QN 的斜率分别为k QM ，k QN ， 则k QM ＝y 0x 0－2，k NQ ＝y 0x 0＋2，所以直线QM 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，直线QN 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x －2)．令x ＝t(t≠2)，则y 1＝y 0x 0－2(t －2)，y 2＝y 0x 0＋2(t －2)， 又点M(x 0，y 0)在椭圆x 24＋y 23＝1上，所以y 20＝3－34x 20.所以y 1·y 2＝y 20x 20－4(t －2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－34x 20t －22x 20－4＝－34(t －2)2，其中t 为常数且t≠2.【解析】(1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为圆锥曲线，则可考虑用定义法或待定系数法求解．(2)当曲线上动点的坐标受到另外一些点的坐标制约时，可以用相关点法，利用相关点法求解曲线方程需要注意两个方面：一是准确定位，即确定联动点，动点的轨迹可能与多个动点相关，但要抓住与其一起联动的点；二是找准关系，即根据已知准确求出动点与其联动点的坐标之间的关系，然后代入联动点所在曲线方程求解． 【例题2】【题干】设F(1,0)，点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →.(1)当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹C 的方程；(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，D(x 3，y 3)是曲线C 上的点，且|AF →|，|BF →|，|DF →|成等差数列，当AD 的垂直平分线与x 轴交于点E(3,0)时，求B 点坐标． 【答案】（1）y 2＝4x(x≠0)（2）B(1，±2)．【解析】(1)设N(x ，y)，则由MN →＝2MP →，得P 为MN 的中点，所以M(－x,0)，P(0，y 2)．又PM →⊥PF →得PM →·PF →＝0，PM →＝(－x ，－y 2)，PF →＝(1，－y 2)，所以y 2＝4x(x≠0)．(2)由(1)知F(1,0)为曲线C 的焦点，由抛物线定义知，抛物线上任一点P 0(x 0，y 0)到F 的距离等于其到准线的距离，即P 0F ＝x 0＋p2，所以|AF →|＝x 1＋p 2，|BF →|＝x 2＋p 2，|DF →|＝x 3＋p 2，根据|AF →|，|BF →|，|DF →|成等差数列，得x 1＋x 3＝2x 2， 直线AD 的斜率为y 3－y 1x 3－x 1＝y 3－y 1y 234－y 214＝4y 1＋y 3，所以AD 中垂线方程为y ＝－y 1＋y 34(x －3)，又AD 中点(x 1＋x 32，y 1＋y 32)在直线上，代入上式得x 1＋x 32＝1，即x 2＝1，所以点B(1，±2)．【例题3】圆锥曲线中的定值、定点问题【题干】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1经过点(0，3)，离心率为12，直线l 经过椭圆C 的右焦点F 交椭圆于A 、B 两点，点A 、F 、B 在直线x ＝4上的射影依次为D 、K 、E. (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交y 轴于点M ，且MA →＝λAF →，MB →＝μBF →，当直线l 的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，说明理由；(3)连结AE 、BD ，试探索当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．【解析】(1)待定系数法；(2)用直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y 后可得点A ，B 的横坐标的关系式，然后根据向量关系式MA →＝λAF →，MB →＝μBF →把λ，μ用点A ，B 的横坐标表示出来，只要证明λ＋μ的值与直线的斜率k 无关即证明了其为定值，否则就不是定值；(3)先根据直线l 的斜率不存在时的特殊情况，看两条直线AE ，BD 的交点坐标，如果直线AE ，BD 相交于定点的话，这个特殊位置时的交点就是这个定点，这样只要证明直线AE ，BD 都经过这个定点即证明了两直线相交于定点，否则两直线就不相交于定点．【答案】 (1)依题意得b ＝3，e ＝ca ＝12，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，c ＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)因直线l 与y 轴相交，故斜率存在，设直线l 方程为 y ＝k(x －1)，求得l 与y 轴交于M(0，－k)，又F 坐标为(1,0)，设l 交椭圆于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， ∴x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，又由MA →＝λAF →，∴(x 1，y 1＋k)＝λ(1－x 1，－y 1)， ∴λ＝x 11－x 1，同理μ＝x 21－x 2， ∴λ＋μ＝x 11－x 1＋x 21－x 2＝x 1＋x 2－2x 1x 21－x 1＋x 2＋x 1x 2＝8k 23＋4k 2－24k 2－123＋4k 21－8k 23＋4k 2＋4k 2－123＋4k 2＝－83.所以当直线l 的倾斜角变化时，直线λ＋μ的值为定值－83.(3)当直线l 斜率不存在时，直线l⊥x 轴，则ABED 为矩形，由对称性知，AE 与BD 相交于FK 的中点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，猜想，当直线l 的倾斜角变化时，AE 与BD 相交于定点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，证明：由(2)知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，∴D(4，y 1)，E(4，y 2)，当直线l 的倾斜角变化时，首先证直线AE 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，∵l AE ：y －y 2＝y 2－y 14－x 1(x －4)，当x ＝52时，y ＝y 2＋y 2－y 14－x 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝24－x 1·y 2－3y 2－y 124－x1＝24－x 1·k x 2－1－3k x 2－x 124－x1＝－8k －2kx 1x 2＋5k x 1＋x 224－x1＝－8k 3＋4k 2－2k 4k 2－12＋5k·8k 224－x1·3＋4k 2＝0.∴点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0在直线l AE 上．同理可证，点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0也在直线l BD 上．∴当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0.【例题3】【题干】(2013·陕西)已知动圆过定点A(4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．【答案】如图，设动圆圆心为O 1(x ，y)，由题意，得O 1A ＝O 1M ，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴O 1M ＝x 2＋42， 又O 1A ＝x －42＋y 2，∴x －42＋y 2＝x 2＋42，化简得y 2＝8x(x≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标为(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x.(2)证明 由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b(k≠0)， P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)， 将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中， 得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bkk 2，①x 1x 2＝b 2k2，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b)(x 2＋1)＋(kx 2＋b)(x 1＋1)＝0，2kx 1x 2＋(b ＋k)(x 1＋x 2)＋2b ＝0③将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b)(8－2bk)＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k(x －1)，即直线l 过定点(1,0)． 【解析】(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的． (2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k(x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m)．【例题3】圆锥曲线中的最值范围问题【题干】 (2013·浙江)如图，点P(0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D.(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．【答案】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，D(x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方程为y ＝kx －1.又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离d ＝1k 2＋1，所以AB ＝24－d 2＝24k 2＋3k 2＋1.又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4.消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0，故x 0＝－8k 4＋k 2. 所以PD ＝8k 2＋14＋k 2.设△ABD 的面积为S ，则S ＝12·AB·PD ＝84k 2＋34＋k 2，所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3·134k 2＋3＝161313，当且仅当k ＝±102时取等号．所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1.【解析】求最值及参数范围的方法有两种：①根据题目给出的已知条件列出一个关于参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(即为消元)，然后求解不等式；②由题目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域． 【例题3】 【题干】已知椭圆C 1与抛物线C 2的焦点均在x 轴上且C 1的中心和C 2的顶点均为坐标原点O ，从每条曲线上的各取两个点，其坐标如下表所示：(1)求C 1，C 2(2)过点A(m,0)作倾斜角为π6的直线l 交椭圆C 1于C ，D 两点，且椭圆C 1的左焦点F 在以线段CD 为直径的圆的外部，求m 的取值范围．【答案】（1）椭圆C 1的方程为x 26＋y 22＝1，抛物线C 2的方程为y 2＝9x.（2）m 的取值范围是(－23，－3)∪(0,23)【解析】 (1)先判断出(－6，0)在椭圆上，进而断定点(1，－3)和(4，－6)在抛物线上，故(3，1)在椭圆上，所以椭圆C 1的方程为x 26＋y 22＝1，抛物线C 2的方程为y 2＝9x.(2)设C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝33(x －m)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x －m x 26＋y 22＝1，消去y 整理得2x 2－2mx ＋m 2－6＝0，由Δ>0得Δ＝4m 2－8(m 2－6)>0，即－23<m<2 3 ①而x 1x 2＝m 2－62，x 1＋x 2＝m ，故y 1y 2＝33(x 1－m)·33(x 2－m)＝13[x 1x 2－m(x 1＋x 2)＋m 2]＝m 2－66.欲使左焦点F 在以线段CD 为直径的圆的外部，则FC →·FD →>0，又F(－2,0)，即FC →·FD →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋4>0. 整理得m(m ＋3)>0，即m<－3或m>0.②由①②可得 m 的取值范围是(－23，－3)∪(0,23)．四、课堂运用【基础】 1. 已知方程x 2k ＋1＋y 23－k＝1(k∈R)表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________．2． △ABC 的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________________．3． 若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________．【巩固】1. 直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________．2. 设F 1、F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ，Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF →1·PF →2的值等于________． 【拔高】1. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，其左、右焦点分别是F 1、F 2，过点F 1的直线l 交椭圆C 于E 、G 两点，且△EGF 2的周长为4 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C 相交于两点A 、B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP →(O 为坐标原点)，当|PA →－PB →|<253时，求实数t 的取值范围．课程小结1． 求轨迹与轨迹方程的注意事项(1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变．(2)求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)．检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形．2．定点、定值问题的处理方法定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明．对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果．3．圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.课后作业【基础】1.直线3x－4y＋4＝0与抛物线x2＝4y和圆x2＋(y－1)2＝1从左到右的交点依次为A，B，C，D，则ABCD的值为________．2.已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________． 【巩固】1. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F 1、F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若PF 1＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是________．2.已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，P 到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________．【拔高】1. 已知直线x －2y ＋2＝0经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线l ：x ＝103分别交于M ，N 两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)求线段MN 的长度的最小值．2.在平面直角坐标系中，点P(x ，y)为动点，已知点A(2，0)，B(－2，0)，直线PA 与PB 的斜率之积为－12.(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)过点F(1,0)的直线l 交曲线E 于M ，N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为Q(M 、Q 不重合)，求证：直线MQ 过x 轴上一定点．3．设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率e＝32，左顶点M到直线xa＋yb＝1的距离d＝455，O为坐标原点．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值；(3)在(2)的条件下，试求△AOB的面积S的最小值．。
圆锥曲线中的最值及范围问题探究教案1
圆锥曲线中的最值及范围问题探究一、内容的地位和作用纵观历年高考，以圆锥曲线为载体，求最值及范围的问题经常出现，这类问题不仅涉及的知识面广，综合性强，变量多，应用性强，而且情景新颖，能很好地考察学生的突破性思维和数学素养，所以一直是高考的热门。
题型有选择题、填空题、解答题，难度较大。
二、教学目标1、知识与技能通过本节内容的学习，使学生进一步理解和掌握圆锥曲线的定义，学会利用定义及转化与整合、函数与方程等数学思想解决圆锥曲线中的最值及范围问题，强化数学概念及几何图形在解题中的重要作用，提高应用定义及几何图形解题意识，同时向学生渗透数形结合、划归转化、函数与方程思想。
2、过程与方法通过学生的积极参与，让学生自己体会从例题中寻找解决问题的方法，理解知识的形成过程，培养学生发现问题，解决问题的能力，归纳总结深化知识的探究能力。
本节课主要采用“讲练结合法”教学，层次渐进地设计问题，从不同方法解决同类问题，引导学生会用类比的方法发现问题、提出问题、解决问题。
教师参与其中适当引导，为学生营造一个愉快而振奋的学习情境，并围绕“情知融合点”展开积极、有效、丰富的认知活动，配以反馈思考题，检验教学效果。
用问题组织教学，通过层层深入的问题将教学的各环节连成一线，融为一体，充分调动学生的学习积极性，活跃学生思维，从而使一个个问题得到解决。
3、情感态度与价值观通过对同类问题不同解决方法的讲解，增强学生学习的自觉性和主动性增强学生善于发现问题、解决问题的探究意识，善于寻找知识间的内在联系及相互转化的意识，使思维得到升华，同时体会到成功的喜悦，体会到数学知识的奥秘与神奇，体会到数学中的语言美、图形美、联系美、变化美、方法美、在学习数学知识的同时得到美的享受。
三、重点难点的确立及依据重点：求最值及范围问题的思路分析及方法探究难点：问题的转化过程及利用函数与方程思想解决问题设计依据：在复习过程中发现多数高三学生对圆锥曲线的定义及解题方法基本理解，但掌握不准，用的不活，在运用定义时，只是停留在肤浅的层面上，凭感觉和经验做题，缺少学习的动机及兴奋点，没有形成梳理知识和归纳总结的好习惯，更少去分析每个问题考察的知识点是什么，出题者的意图在哪，针对此实际情况，在经过一轮复习之后，特设计了此专题。
《圆锥曲线中的最值问题》数学教案
《圆锥曲线中的最值问题》数学教案一、教学目标：1. 让学生掌握圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）中最值问题的解法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学内容：1. 椭圆中最值问题2. 双曲线中最值问题3. 抛物线中最值问题5. 圆锥曲线中最值问题的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：圆锥曲线中最值问题的解法及应用。
2. 教学难点：圆锥曲线中最值问题的灵活运用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究圆锥曲线中最值问题的解法。
2. 通过案例分析，让学生了解圆锥曲线中最值问题在实际中的应用。
3. 利用数形结合思想，帮助学生直观地理解圆锥曲线中最值问题。
五、教学过程：1. 导入：回顾圆锥曲线的定义及性质，引导学生关注圆锥曲线中最值问题。
2. 讲解：（1）椭圆中最值问题：分析椭圆的性质，引导学生运用几何方法、代数方法解决最值问题。
（2）双曲线中最值问题：分析双曲线的性质，引导学生运用几何方法、代数方法解决最值问题。
（3）抛物线中最值问题：分析抛物线的性质，引导学生运用几何方法、代数方法解决最值问题。
4. 练习：布置课后作业，让学生巩固圆锥曲线中最值问题的解法。
5. 拓展：介绍圆锥曲线中最值问题在实际应用中的例子，激发学生兴趣。
六、课后作业：1. 复习圆锥曲线中最值问题的解法。
2. 完成课后练习题。
3. 探索圆锥曲线中最值问题在实际应用中的例子。
七、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况。
2. 课后作业：检查学生的作业完成情况，评估学生对圆锥曲线中最值问题的掌握程度。
3. 实践应用：评估学生在实际问题中运用圆锥曲线中最值问题的能力。
八、教学资源：1. 教材、教辅资料。
2. 圆锥曲线的图形软件。
3. 实际问题案例。
九、教学进度安排：1. 第一课时：导入及椭圆中最值问题讲解。
2. 第二课时：双曲线中最值问题讲解。
《圆锥曲线中的最值问题》数学教案
《圆锥曲线中的最值问题》数学教案一、教学目标1. 让学生掌握圆锥曲线中的最值问题的解法。
2. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 提高学生对圆锥曲线的理解和运用能力。
二、教学内容1. 圆锥曲线中最值问题的定义和性质。
2. 圆锥曲线中最值问题的解法。
3. 圆锥曲线中最值问题在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：圆锥曲线中最值问题的解法。
2. 教学难点：圆锥曲线中最值问题的应用。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解圆锥曲线中最值问题的解法。
2. 采用案例分析法，分析圆锥曲线中最值问题在实际问题中的应用。
3. 采用小组讨论法，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入：通过复习圆锥曲线的定义和性质，引导学生进入圆锥曲线中最值问题的学习。
2. 讲解：讲解圆锥曲线中最值问题的解法，结合实例进行讲解。
3. 案例分析：分析圆锥曲线中最值问题在实际问题中的应用，引导学生学会将理论应用于实际问题。
4. 小组讨论：让学生分组讨论圆锥曲线中最值问题的解法和应用，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调圆锥曲线中最值问题的关键点。
6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
7. 课后反思：教师对课堂教学进行反思，总结经验教训，为下一节课的教学做好准备。
六、教学评价1. 评价内容：学生对圆锥曲线中最值问题的理解程度和解题能力。
2. 评价方法：通过课堂提问、作业批改和课后讨论等方式进行评价。
3. 评价指标：学生对圆锥曲线中最值问题的定义、性质和解法的掌握程度，以及在实际问题中的应用能力。
七、教学拓展1. 圆锥曲线中最值问题与其他数学领域的联系，如微积分、线性代数等。
2. 圆锥曲线中最值问题在实际生活中的应用，如优化问题、物理学中的运动问题等。
3. 引导学生探索圆锥曲线中最值问题的深入研究，如求解更一般性的问题。
八、教学资源1. 教材：圆锥曲线的相关教材和辅导书。
圆锥曲线最值、范围问题学案
圆锥曲线最值、范围问题1.如图，过x 轴上动点A(a,0)引抛物线y ＝x 2＋1的两条切线AP ，AQ.切线斜率分别为k 1和k 2，切点分别为P ，Q.(1)求证：k 1·k 2为定值，并且直线PQ 过定点；(2)记S 为面积，当PQ S APQ 最小时，求·的值．圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．求解范围问题的常见求法1．利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；2.利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；3．利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；4．利用基本不等式求出参数的取值范围；5．利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法．AP AQ例3.如图，设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．(1)已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；(2)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a－b. 课堂练习可变式练习，举一反三1.设P是椭圆x225＋y29＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为()A．9,12B．8,11 C．8,12 D．10,12课后巩固1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点⎝⎛⎭⎪⎫1，22，右焦点为F 2.设A ，B 是C 上的两个动点，线段AB 的中点M 的横坐标为－12，线段AB 的中垂线交椭圆C 于P ，Q 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)求·的取值范围．2F P 2F Q。
《圆锥曲线中的最值问题》数学教案
《圆锥曲线中的最值问题》数学教案一、教学目标1. 理解圆锥曲线中的最值问题的概念和意义。
2. 掌握解决圆锥曲线中最值问题的方法和技巧。
3. 能够运用圆锥曲线中最值的性质和定理解决实际问题。
二、教学内容1. 圆锥曲线中最值问题的定义和分类。
2. 圆锥曲线中最值问题的解决方法和技巧。
3. 圆锥曲线中最值的性质和定理。
4. 圆锥曲线中最值问题的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：圆锥曲线中最值问题的解决方法和技巧，圆锥曲线中最值的性质和定理。
2. 教学难点：解决复杂圆锥曲线中最值问题，运用圆锥曲线中最值的性质和定理解决实际问题。
四、教学方法与手段1. 教学方法：采用讲解法、例题解析法、讨论法、实践法等。
2. 教学手段：黑板、PPT、数学软件、教具等。
五、教学安排1. 第一课时：介绍圆锥曲线中最值问题的定义和分类。
2. 第二课时：讲解解决圆锥曲线中最值问题的方法和技巧。
3. 第三课时：讲解圆锥曲线中最值的性质和定理。
4. 第四课时：通过例题解析，让学生掌握解决圆锥曲线中最值问题的方法。
5. 第五课时：开展小组讨论，让学生运用圆锥曲线中最值的性质和定理解决实际问题。
六、教学过程1. 导入：通过复习圆锥曲线的基础知识，引导学生进入圆锥曲线中最值问题的学习。
2. 讲解：详细讲解圆锥曲线中最值问题的定义和分类，让学生理解最值问题的意义。
3. 示范：通过例题解析，展示解决圆锥曲线中最值问题的方法和技巧。
4. 练习：让学生独立解决一些简单的圆锥曲线中最值问题，巩固所学方法。
5. 讨论：开展小组讨论，让学生分享解题心得，互相学习。
6. 拓展：引导学生运用圆锥曲线中最值的性质和定理解决实际问题。
七、教学评价1. 课堂问答：通过提问，了解学生对圆锥曲线中最值问题的理解和掌握程度。
2. 练习题：布置一些圆锥曲线中最值问题的练习题，检验学生的掌握情况。
3. 小组讨论：评价学生在小组讨论中的参与程度和问题解决能力。
八、教学反思在课后，教师应反思本节课的教学效果，包括学生的学习兴趣、参与程度、知识掌握情况等。
2020版高考数学第8章平面解析几何第9节圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题教学案理新人教版
第九节 圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题[考纲传真] 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想．定点问题【例1】 已知椭圆E ：x 29＋y 2b 2＝1(b ＞0)的一个焦点与抛物线Γ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 相同，如图，作直线AF 与x 轴垂直，与抛物线在第一象限交于A 点，与椭圆E 相交于C ，D 两点，且|CD |＝103. (1)求抛物线Γ的标准方程；(2)设直线l 不经过A 点且与抛物线Γ相交于N ，M 两点，若直线AN ，AM 的斜率之积为1，证明l 过定点．[解] (1)由椭圆E ：x 29＋y 2b2＝1(b ＞0)，得b 2＝9－c 2，由题可知F (c,0)，p ＝2c ，把x ＝c 代入椭圆E 的方程，得y 2C ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 29， ∴y C ＝9－c 23.∴|CD |＝103＝－c 23，解得c ＝2.∴抛物线Γ的标准方程为y 2＝4cx ，即y 2＝8x . (2)证明：由(1)得A (2,4)，设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 218，y 1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 228，y 2， ∴k MA ＝y 1－4y 218－2＝8y 1＋4，k NA ＝8y 2＋4， 由k MA ·k NA ＝8y 1＋4·8y 2＋4＝1， 得y 1y 2＋4(y 1＋y 2)－48＝0.(*) 设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝my ＋t ，得y 2－8my －8t ＝0，∴y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－8t ， 代入(*)式得t ＝4m －6，∴直线l 的方程为x ＝my ＋4m －6＝m (y ＋4)－6， ∴直线l 过定点(－6，－4)．引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关 ＝8.(1)求l 的方程；(2)若A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出该点的坐标．[解] (1)易知点F 的坐标为(1,0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，由题意知k ≠0，且Δ＝[－(2k 2＋4)]2－4k 2·k 2＝16(k 2＋1)＞0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，由抛物线的定义知|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8， ∴2k 2＋4k2＝6，∴k 2＝1，即k ＝±1，∴直线l 的方程为y ＝±(x －1)．(2)由抛物线的对称性知，D 点的坐标为(x 1，－y 1)， 直线BD 的斜率k BD ＝y 2＋y 1x 2－x 1＝y 2＋y 1y 224－y 214＝4y 2－y 1， ∴直线BD 的方程为y ＋y 1＝4y 2－y 1(x －x 1)， 即(y 2－y 1)y ＋y 2y 1－y 21＝4x －4x 1，∵y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，x 1x 2＝1，∴(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16， 即y 1y 2＝－4(y 1，y 2异号)，∴直线BD 的方程为4(x ＋1)＋(y 1－y 2)y ＝0，恒过点(－1,0)． 定值问题【例2】 已知动圆P 经过点N (1,0)，并且与圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝16相切． (1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设G (m,0) 为轨迹C 内的一个动点，过点G 且斜率为k 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，当k 为何值时，ω＝|GA |2＋|GB |2是与m 无关的定值？并求出该定值．[解] (1)由题意，设动圆P 的半径为r ，则|PM |＝4－r ，|PN |＝r ，可得|PM |＋|PN |＝4－r ＋r ＝4，∴点P 的轨迹C 是以M ，N 为焦点的椭圆，∴2a ＝4,2c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝3， ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.即点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知－2＜m ＜2，直线l ：y ＝k (x －m )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －m ，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝8mk 24k 2＋3，x 1x 2＝4m 2k 2－124k 2＋3， ∴y 1＋y 2＝k (x 1－m )＋k (x 2－m )＝k (x 1＋x 2)－2km ＝－6mk4k 2＋3，y 1y 2＝k 2(x 1－m )(x 2－m )＝k 2x 1x 2－k 2m (x 1＋x 2)＋k 2m 2＝3k2m 2－4k 2＋3，∴|GA |2＋|GB |2＝(x 1－m )2＋y 21＋(x 2－m )2＋y 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2－2m (x 1＋x 2)＋2m 2＋(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝(k 2＋1)[－6m2k 2－＋＋4k2k 2＋2.要使ω＝|GA |2＋|GB |2的值与m 无关，需使4k 2－3＝0， 解得k ＝±32，此时ω＝|GA |2＋|GB |2＝7. 求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得已知椭圆C ：a 2＋b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，△ABF 1的周长为8，且△AF 1F 2的面积的最大时，△AF 1F 2为正三角形． (1)求椭圆C 的方程；(2)若MN 是椭圆C 经过原点的弦，MN ∥AB ，求证：|MN |2AB为定值．[解] (1)由已知A ，B 在椭圆上，可得|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， 又△ABF 1的周长为8，所以|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝8，即a ＝2.由椭圆的对称性可得，△AF 1F 2为正三角形当且仅当A 为椭圆短轴顶点， 则a ＝2c ，即c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3， 则椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：若直线l 的斜率不存在，即l ：x ＝1，求得|AB |＝3，|MN |＝23，可得|MN |2AB＝4.若直线l 的斜率存在， 设直线l ：y ＝k (x －1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y23＝1，可得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 有x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝＋k 23＋4k2，由y ＝kx 代入椭圆方程，可得x ＝±233＋4k2，|MN |＝21＋k 2·233＋4k2＝4＋k23＋4k2， 即有|MN |2AB＝4.综上可得，|MN |2AB为定值4.范围问题【例3】 已知m ＞1，直线l ：x －my －m22＝0，椭圆C ：x 2m2＋y 2＝1，F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点．(1)当直线l 过右焦点F 2时，求直线l 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，△AF 1F 2，△BF 1F 2的重心分别为G ，H ，若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围．[解] (1)因为直线l ：x －my －m 22＝0经过F 2(m 2－1，0)，所以m 2－1＝m 22，得m 2＝2.又因为m ＞1，所以m ＝2， 故直线l 的方程为x －2y －1＝0. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋m 22，x 2m 2＋y 2＝1，消去x ，得2y 2＋my ＋m 24－1＝0，则由Δ＝m 2－8⎝ ⎛⎭⎪⎫m 24－1＝－m 2＋8＞0，知m 2＜8，且有y 1＋y 2＝－m 2，y 1y 2＝m 28－12.由于F 1(－c,0)，F 2(c,0)，可知G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 13，y 13，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23，y 23.因为原点O 在以线段GH 为直径的圆内， 所以OH →·OG →＜0， 即x 1x 2＋y 1y 2＜0.所以x 1x 2＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 1＋m 22⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2＋m 22＋y 1y 2＝(m 2＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫m 28－12＜0.解得m 2＜4(满足m 2＜8)．又因为m ＞1，所以实数m 的取值范围是(1,2)． 利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.利用已知的或隐含的不等关系，构建不等式，从而求出参数的取值范围利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求原点O 到直线l 的距离的取值范围．[解] (1)由题意知2b ＝2，∴b ＝1.∵e ＝c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2.椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m2－4＝0，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＞0，化简得m 2＜4k 2＋1 ①， x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，∴4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2，∴(4k 2－5)·m 2－4k 2＋1＋4km ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋1＋4m 2＝0， 即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简得m 2＋k 2＝54 ②，由①②得0≤m 2＜65，120＜k 2≤54.∵原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k2，∴d 2＝m 21＋k 2＝54－k 21＋k2＝－1＋9＋k2. 又120＜k 2≤54，∴0≤d 2＜87，∴0≤d ＜2147. ∴原点O 到直线l 的距离的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2147.最值问题【例4】 (2019·太原模拟)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 23＝1(a ＞0)的一个焦点为F (－1,0)，左、右顶点分别为A ，B .经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点． (1)当直线l 的倾斜角为45°时，求线段CD 的长；(2)记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1－S 2|的最大值． [解] (1)由题意，c ＝1，b 2＝3，所以a 2＝4，所以椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1，易求直线方程为y ＝x ＋1，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝x ＋1，消去y ，得7x 2＋8x －8＝0，设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，Δ＝288，x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87，所以|CD |＝2|x 1－x 2|＝2x 1＋x 22－4x 1x 2＝247. (2)当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝－1， 此时△ABD 与△ABC 面积相等，|S 1－S 2|＝0；当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x ＋1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， Δ＞0，且x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，此时|S 1－S 2|＝2||y 2|－|y 1||＝2|y 2＋y 1|＝2|k (x 2＋1)＋k (x 1＋1)|＝2|k (x 2＋x 1)＋2k |＝12|k |3＋4k2， 因为k ≠0，上式＝123|k |＋4|k |≤1223|k |·4|k |＝12212＝3当且仅当k ＝±32时等号成立，所以|S 1－S 2|的最大值为 3.代数法：从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值几何法：从圆锥曲线几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值(2017·浙江高考)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|PA |·|PQ |的最大值．[解] (1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)．(2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋3k 2＋.因为|PA |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－k －k ＋2k 2＋1，所以|PA |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，因此当k ＝12时，|PA |·|PQ |取得最大值2716.1.(2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．[解] (1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2＞1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上． 因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |＜2，可得A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22，则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋m －x 1＋x 2x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0.即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km 4k 2＋1＝0，解得k ＝－m ＋12.当且仅当m ＞－1时，Δ＞0， 于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．2．(2013·全国卷Ⅰ)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)右焦点的直线x＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ABCD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． [解] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1， 由此可得b 2x 2＋x 1a 2y 2＋y 1＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝433，y ＝－33，或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－533＜n ＜3，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y23＝1，得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3,4＝－2n ±－n 23.因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2.由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝869 9－n 2，当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863.所以四边形ACBD 面积的最大值为863.。
《圆锥曲线中的最值问题》数学教案
《圆锥曲线中的最值问题》数学教案一、教学目标：1. 让学生理解圆锥曲线中最值问题的意义和背景。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 引导学生掌握解决圆锥曲线中最值问题的方法和技巧。
二、教学内容：1. 圆锥曲线中最值问题的定义和性质。
2. 解决圆锥曲线中最值问题的基本方法。
3. 常见圆锥曲线中最值问题的类型及解题策略。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：圆锥曲线中最值问题的解法及应用。
2. 教学难点：解决圆锥曲线中最值问题的策略和技巧。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究圆锥曲线中最值问题的解决方法。
2. 利用数形结合法，帮助学生直观地理解圆锥曲线中最值问题的性质。
3. 运用案例分析法，让学生通过分析实际问题，提高解决圆锥曲线中最值问题的能力。
五、教学安排：1. 第一课时：介绍圆锥曲线中最值问题的定义和性质。
2. 第二课时：讲解解决圆锥曲线中最值问题的基本方法。
3. 第三课时：分析常见圆锥曲线中最值问题的类型及解题策略。
4. 第四课时：运用所学的知识和方法解决实际问题。
5. 第五课时：总结和复习，查漏补缺。
六、教学过程：1. 导入新课：通过复习圆锥曲线的基本概念，引导学生关注圆锥曲线中最值问题。
2. 自主学习：让学生独立思考，探究圆锥曲线中最值问题的解决方法。
3. 合作交流：分组讨论，分享各自解决问题的方法和经验。
4. 教师讲解：针对学生讨论中的共性问题进行讲解，揭示解决圆锥曲线中最值问题的规律。
5. 练习巩固：布置适量习题，让学生巩固所学知识。
七、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 练习作业：检查学生完成的习题，评估学生的掌握程度。
3. 小组讨论：评价学生在合作交流中的表现，包括思考问题、解决问题等方面的能力。
八、教学反思：1. 总结本节课的收获：回顾教学内容，总结解决圆锥曲线中最值问题的方法和技巧。
2. 分析存在的问题：反思教学过程中学生遇到的问题，思考解决办法。
圆锥曲线背景下的最值、范围问题教案
专题：圆锥曲线背景下的最值、范围问题临澧一中李云贵一、考情引入以圆锥曲线为背景的问题，因其考查知识的容量大，对分析运算能力的要求高，而成为高考命题者青睐的热点。
可以预测，今年的高考，圆锥曲线部分将会是常规思想方法的创新组合，综合性强，区分度大。
据此，本课以“圆锥曲线背景下的最值、范围问题”为例进行专题研究。
二、回顾适应训练课前下发并完成，检查收集典型解法，课堂展示分享1.已知点P(x，y)是圆(x＋2)2＋y2＝1上任意一点,y-的最大值和最小值。
(1)求x－2y的最大值和最小值；(2)求225. 已知椭圆C ：x 2a 2 +y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的两焦点为F 1，F 2，如果曲线C上存在点P ，使120PF PF ⋅=，求椭圆离心率e 几何法：最大角 不等式法：均值不等死 函数法：椭圆的参数方程归纳：解决圆锥曲线背景下最值、范围问题的常见方法有： 几何法，不等式法，函数法而数学中，与以上这些方法相关的知识有很多，同学们在平时的训练中要多积累和总结。
三、深入研究例题：直线：y=kx+m(m ≠0)与椭圆2212x y +=交于不同的两点A ，B,若直线OA ，AB ，OB 的斜率成等比数列，求实数m 的取值范围.点评：1.韦达定理在圆锥曲线中应用广泛，同学们要强化将各种条件向韦达定理靠拢的能力训练；2.由1m ≠±说明：含参数的问题特别要注意思维的严谨性。
变式一：直线：y=kx+m(k ≠0)与双曲线2212x y -=交于不同的两点A ，B,若A 、B 在以D （0,1）为圆心的圆上，求实数m 的取值范围.点评：1.条件的运用不要范经验主义错误； 2.变式二：设椭圆C 1：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是F 1、F 2，下顶点为A ，线段OA 的中点为B （O 为坐标原点），如图．若抛物线C 2：21y x =-与y 轴的交点为B ，且经过F 1，F 2点． （Ⅰ）求椭圆C 1的方程；（Ⅱ）设M （0，45-），N 为抛物线C 2上的一动点，过点N 作抛物线C 2的切线交椭圆C 1于P 、Q 两点，求MPQ ∆面积的最大值．点评：在这个问题的基础上，还可以变形出更多。
专题二：圆锥曲线中的定点、定值问题 教案
（2）点 为直线 ： 上任意一点，过 作曲线 的切线，切点分别为 ，求证：直线 恒过定点，并求出该定点．
二、课后巩固：
1．如图所示，已知直线l：y＝k(x＋1)(k>0)与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线C的准线上的射影分别是点M，N.若|AM|＝2|BN|，则k的值是()
学生独立思考，培养学生的独立思考能力以及思维的严密性。（1）观察图形中的直线与圆锥曲线 的位置关系：（2）可以利用直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，消去某个变量（x或y）后，所得的方程根的情况来研究。
通过运用类比的方法，激发学生的探究热情。通过观察图形，教会学生如何判断直线与圆锥曲线的位置关系，其中有一种方法：数形结合的方法。
课题：专题二：圆锥曲线中的定点、定值问题
第1课时
共1课时
教学目标
知识与技能
通过类比直观判断直线与圆的位置关系的方法即距离法，判断直线与圆锥曲线的三种位置关系，距离法转化为方程组解来研究直线与圆锥曲线的位置关系；
过程与方法
在解答直线与圆锥曲线的相关问题中，体会解决直线与圆锥曲线位置关系问题的一般步骤与方法；
A. B. C. D．2
2.已知左焦点为 的椭圆过点 ．过点 分别作斜率为 的椭圆的动弦 ，设 分别为线段 的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若 为线段 的中点，求 ；
（3）若 ，求证直线 恒过定点，并求出定点坐标．
观察图形：直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离。类比到直线与圆锥曲线 的位置关系，即：相交、相切、相离。从交点的个数相交（二个）、相切（一个）、相离（0个）的特征。
情感态度
价值观
在探究的过程中运用数、形结合和方程组解的思想，以运动的观点去观察、思考、分析直线与圆锥曲线的位置关系，从而提高解决问题的能力；
2019-2020学年高考数学一轮复习 与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题导学案.doc
2019-2020学年高考数学一轮复习与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题导学案知识梳理教学重、难点作业完成情况典题探究例1 在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．(1)求曲线C1的方程；(2)设P(x0，y0)(y0≠±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．例2如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2,1)的距离为10.不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(1)求椭圆C 的方程；(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程．例3如图，椭圆的中心为原点O ，离心率e ＝22，且a2c＝2 2.(1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点P 满足：OP →＝OM →＋2ON →，其中M 、N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12.问：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|PF 1|＋|PF 2|为定值？若存在，求F 1，F 2的坐标；若不存在，说明理由．例4在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝23，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．演练方阵A 档（巩固专练）1．已知点(2,1)A ,抛物线24y x =的焦点是F ,若抛物线上存在一点P ,使得PA PF +最小,则P 点的坐标为（ ）A ．(2,1)B ．(1,1)C ．1(,1)2D ．1(,1)42．已知椭圆22212x y a +=的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合,则该椭圆的离心率是（ ）A B C D 3．抛物线24y x =的焦点为F ,点P 为抛物线上的动点,点M 为其准线上的动点,当FPM∆为等边三角形时,其面积为A ．B ．4C ．6D ．4．已知抛物线22y px =的焦点F 到其准线的距离是8，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|||AK AF =，则AFK ∆的面积为（ ）A ．32B ．16C ．8D ．45．点P 是抛物线24y x =上一点，P 到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ）A ．5B ．2C ．115D ．37．抛物线22y x =的准线方程是______;该抛物线的焦点为F ,点00(,)M x y 在此抛物线上,且52MF =,则0x =______.8．已知椭圆C :22221x y a b +=(0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ,离心率为2,且过点.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)M ,N ,P ,Q 是椭圆C 上的四个不同的点,两条都不和x 轴垂直的直线MN 和PQ 分别过点1F ,2F ,且这两条直线互相垂直,求证:11||||MN PQ +为定值.9．已知椭圆22:143x y C +=和点(4,0)P ,垂直于x 轴的直线与椭圆C 交于A B ,两点,连结PB 交椭圆C 于另一点E .(Ⅰ)求椭圆C 的焦点坐标和离心率; (Ⅱ)证明直线AE 与x 轴相交于定点.10．已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,一个顶点为)1,0(-B ,且其右焦点到直线022=+-y x 的距离等于3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)是否存在经过点)23,0(Q ,斜率为k 的直线l ,使得直线l 与椭圆C 交于两个不同的点N M ,,并且BN BM =?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由.B 档（提升精练）1．双曲线221x my -=的实轴长是虚轴长的2倍,则m 等于 （ ）A ．14B ．12C ．2D ．42．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，又点(1,0)A -，则||||PF PA 的最小值是（ ）A ．12 B C D3．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为2，一个焦点与抛物线x y 162=的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．x y 23±= B ．x y 23±= C ．x y 33±= D ．x y 3±=4．已知1(,0)F c -，2(,0)F c 分别是双曲线1C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的两个焦点，双曲线1C 和圆2C ：222x y c +=的一个交点为P ，且12212PF F PF F ∠=∠，那么双曲线1C 的离心率为（ ）A B C ．2 D 15．已知P (,)x y 是中心在原点，焦距为10的双曲线上一点，且y x的取值范围为33(,)44-，则该双曲线方程是（ ） A ．221916x y -= B ．221916y x -=C ．221169x y -= D ．221169y x -=6．已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|||AK AF =，则△AFK 的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．327．方程2x xy x +=的曲线是（ ）A ．一个点B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点和一条直线8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,M N 两点，O 为坐标原点.若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A B C D9．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ）A ．5B ．2C ．115D ．310．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A.12(,)33 B.1(,1)2 C. 2(,1)3 D.111(,)(,1)322C 档（跨越导练）1．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )．A ．18B ．24C ．36D ．482．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )．A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)3．若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则O P →·F P →的取值范围为( )．A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－74，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞4．定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝________.5．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为( )．A ．－2B ．－8116C ．1D ．06．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是( )．A.43B.75C.85D ．3 7．设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过F 的直线L 与C 相交于A ，B 两点．(1)设L 的斜率为1，求|AB |的大小； (2)求证：OA →·OB →是一个定值．8．在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .(1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量OP →＋OQ →与AB →共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由．9．抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点M (0，－2)作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足OA →＋OB →＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线的方程；(2)当抛物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求△ABP 面积的最大值．10．已知动点),(y x P 与一定点)0,1(F 的距离和它到一定直线4:=x l 的距离之比为21. (Ⅰ) 求动点),(y x P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）已知直线:l '1+=my x 交轨迹C 于A 、B 两点，过点A 、B 分别作直线4:=x l 的垂线，垂足依次为点D 、E .连接AE 、BD ，试探索当m 变化时，直线AE 、BD 是否相交于一定点N ？若交于定点N ，请求出N 点的坐标，并给予证明；否则说明理由.成长足迹课后检测学习（课程）顾问签字： 负责人签字：教学主管签字： 主管签字时间：与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题参考答案典题探究例1．(1)解 法一 设M 的坐标为(x ，y )，由已知得|x ＋2|＝－3.易知圆C 2上的点位于直线x ＝－2的右侧，于是x ＋2＞0， 所以＝x ＋5.化简得曲线C 1的方程为y 2＝20x .法二 由题设知，曲线C 1上任意一点M 到圆心C 2(5,0)的距离等于它到直线x ＝－5的距离．因此，曲线C 1是以(5,0)为焦点，直线x ＝－5为准线的抛物线．故其方程为y 2＝20x .(2)证明 当点P 在直线x ＝－4上运动时，P 的坐标为(－4，y 0)，又y 0≠±3，则过P 且与圆C 2相切的直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y －y 0＝k (x ＋4)，即kx －y ＋y 0＋4k ＝0.于是|5k ＋y 0＋4k |k 2＋1＝3.整理得72k 2＋18y 0k ＋y 20－9＝0.①设过P 所作的两条切线PA ，PC 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1，k 2是方程①的两个实根，故k 1＋k 2＝－18y 072＝－y 04.②由⎩⎪⎨⎪⎧k 1x －y ＋y 0＋4k 1＝0，y 2＝20x得k 1y 2－20y ＋20(y 0＋4k 1)＝0.③设四点A ，B ，C ，D 的纵坐标分别为y 1，y 2，y 3，y 4，则y 1，y 2是方程③的两个实根，所以y 1y 2＝错误!.④同理可得y 3y 4＝错误!.⑤ 于是由②，④，⑤三式得y 1y 2y 3y 4＝错误!＝400[y 20＋4k 1＋k 2y 0＋16k 1k 2]k 1k 2＝错误!＝6 400.所以，当P 在直线x ＝－4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6 400.例2．解 (1)设椭圆左焦点为F (－c,0)，则由题意得错误!得错误!所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M .当直线AB 与x 轴垂直时，直线AB 的方程为x ＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12消去y ，整理得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，(1) 则Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8km3＋4k2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2.所以线段AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2.因为M 在直线OP ：y ＝12x 上，所以3m 3＋4k 2＝－2km3＋4k 2.得m ＝0(舍去)或k ＝－32.此时方程(1)为3x 2－3mx ＋m 2－3＝0，则Δ＝3(12－m 2)＞0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－33.所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝396·12－m 2. 设点P 到直线AB 距离为d ，则d ＝|8－2m |32＋22＝2|m －4|13. 设△ABP 的面积为S ，则S ＝12|AB |·d ＝36·. 其中m ∈(－2 3，0)∪(0,2 3)．令u (m )＝(12－m 2)(m －4)2，m ∈[－2 3，2 3]，u ′(m )＝－4(m －4)(m 2－2m －6)＝－4(m －4)(m －1－7)(m －1＋7)． 所以当且仅当m ＝1－7，u (m )取到最大值． 故当且仅当m ＝1－7，S 取到最大值． 综上，所求直线l 方程为3x ＋2y ＋2 7－2＝0.例3．解 (1)由e ＝c a ＝22，a 2c＝22，解得a ＝2，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2，故椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由＝＋2，得(x ，y )＝(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(x 1＋2x 2，y 1＋2y 2)，即x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2.因为点M 、N 在椭圆x 2＋2y 2＝4上， 所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 22＋4x 1x 2)＋2(y 21＋4y 22＋4y 1y 2) ＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2) ＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以x 2＋2y 2＝20. 所以P 点是椭圆x 2252＋y 2102＝1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F 1，F 2，则由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|为定值，又因c ＝252－102＝10，因此两焦点的坐标为F 1(－10，0)，F 2(10，0)．例4．[满分解答] (1)由e ＝ca ＝a 2－b 2a 2＝ 23，得a ＝3b ， 椭圆C ：x 23b 2＋y 2b2＝1，即x 2＋3y 2＝3b 2，设P (x ，y )为C 上任意一点， 则|PQ |＝ x 2＋y －22＝ －2y ＋12＋3b 2＋6，－b ≤y ≤b .若b ＜1，则－b ＞－1，当y ＝－b 时，|PQ |max ＝ －2－b ＋12＋3b 2＋6＝3，又b ＞0，得b ＝1(舍去)，若b ≥1，则－b ≤－1，当y ＝－1时，|PQ |max ＝ －2－1＋12＋3b 2＋6＝3，得b ＝1.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(6分)(2)法一 假设存在这样的点M (m ，n )满足题意，则有m 23＋n 2＝1，即n 2＝1－m 23，－3≤m ≤ 3.由题意可得S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12，当∠AOB ＝90°时取等号，这时△AOB 为等腰直角三角形， 此时圆心(0,0)到直线mx ＋ny ＝1的距离为22， 则1m 2＋n 2＝22，得m 2＋n 2＝2，又m 23＋n 2＝1，解得m 2＝32，n 2＝12，即存点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫62，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，－22满足题意，且△AOB 的最大面积为12.(12分)法二 假设存在这样的点M (m ，n )满足题意，则有m 23＋n 2＝1，即n 2＝1－m 23，－3≤m ≤3，又设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝1x 2＋y 2＝1，消去y 得(m 2＋n 2)x 2－2mx ＋1－n 2＝0，①把n 2＝1－m 23代入①整理得(3＋2m 2)x 2－6mx ＋m 2＝0，则Δ＝8m 2(3－m 2)≥0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝6m3＋2m ，x 1x 2＝m23＋2m 2，②而S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ，当∠AOB ＝90°，S △AOB 取得最大值12，此时·＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1y 2＝1－mx 1n ·1－mx 2n ＝3－3m x 1＋x 2＋3m 2x 1x 23－m2，∴x 1x 2＋3－3m x 1＋x 2＋3m 2x 1x 23－m 2＝0， 即3－3m (x 1＋x 2)＋(3＋2m 2)·x 1x 2＝0， 把②代入上式整理得2m 4－9m 2＋9＝0， 解得m 2＝32或m 2＝3(舍去)，∴m ＝±62，n ＝±1－m 23＝±22，∴M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫62，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，－22，使得S △AOB 取得最大值12.演练方阵A 档（巩固专练）1．答案：D 2．答案：D 3．答案：D 4．答案：A解：由题意知8p =，所以抛物线方程为216y x =，焦点(4,0)F ,准线方程4x =-，即(4,0)K -,设2(,)16y A y , 过A 做AM 垂直于准线于M,由抛物线的定义可知A M AF =,所以AK ==,即AM MK =,所以2(4)16y y --=，整理得216640y y -+=，即2(8)0y -=，所以8y =，所以11883222AFK S KF y ∆==⨯⨯=,5．答案：B解：抛物线的准线为1x =-，根据抛物线的对应可知，P 到该抛物线焦点的距离等于P 到该准线的距离，即(1)4x --=，所以3x =，即点P 的横坐标为3，选B.6．答案：B解：因为抛物线的方程为24y x =，所以焦点坐标(1,0)F ,准线方程为1x =-。
2022年教学教材《2021江苏高中数学一轮学案 圆锥曲线中的范围、最值问》优秀教案
第九节圆锥曲线中的范围、最值问题[最新考纲]1掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法2 理解数形结合的思想；3 会求与圆锥曲线有关的范围、最值问题．考点1范围问题求参数范围的4种方法1函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．2不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围．3判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的范围．4数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．2021·山师附中模拟椭圆C：错误!＋错误!＝1，直线：＝＋mm≠0，设直线与椭圆C交于A，B两点．1假设|m|>错误!，求实数的取值范围；2假设直线OA，AB，OB的斜率成等比数列其中O为坐标原点，求△OAB的面积的取值范围．[解]1联立方程错误!＋错误!＝1和＝＋m，得2＋322＋6m＋3m2－6＝0，所以Δ＝6m2－42＋323m2－6>0，所以m23，即2>错误!，解得>错误!或错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!b>0过点错误!，且椭圆C关于直线＝c对称的图形过坐标原点．1求椭圆C的方程；2过点错误!作直线与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为M，点A是椭圆C的右顶点，求直线MA的斜率的取值范围．[解]1∵椭圆C过点错误!，∴错误!＋错误!＝1，①∵椭圆C关于直线＝c对称的图形过坐标原点，∴a＝2c，∵a2＝b2＋c2，∴b2＝错误!a2，②由①②得a2＝4，b2＝3，∴椭圆C的方程为错误!＋错误!＝12依题意，直线过点错误!且斜率不为零，故可设其方程为＝m＋错误!由方程组错误!消去，并整理得43m2＋42＋12m－45＝0设E1，1，F2，2，M0，0∴1＋2＝－错误!，∴0＝错误!＝－错误!，∴0＝m0＋错误!＝错误!，∴＝错误!＝错误!①当m＝0时，＝0②当m≠0时，＝错误!，当m>0时，4m＋错误!≥8，∴0错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误! 0，错误!＝2－错误!＝2－错误!≥2－错误!＝1＋错误!，∴当m＝错误!时，错误!取得最小值为1＋错误!，此时G2,0．抛物线2＝4的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．1假设错误!错误!＋的方程与抛物线的方程联立，消去得2－4m－4＝0设A1，1，B2，2，所以1＋2＝4m，12＝－4①因为错误!错误!＝±错误!所以直线AB的斜率是±2错误!2由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB＝2·错误!·|OF|·|1－2|＝错误!因为2S△AOB＝4错误!，所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4。
2021-2022年高三数学 第57课时 圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题教案
2021年高三数学第57课时圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题教案教学目标：会处理动曲线（含直线）过定点的问题；会证明与曲线上动点有关的定值问题；会按条件建立目标函数，研究变量的最值问题及变量的取值范围问题，注意运用“数形结合”“几何法”求某些量的最值.（一）主要知识及主要方法：在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值.问题1．（广东）在平面直角坐标系中，抛物线上异于坐标原点的两不同动点、满足．（Ⅰ）求得重心的轨迹方程；（Ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．问题2．已知椭圆上的两个动点及定点，为椭圆的左焦点，且，，成等差数列.求证：线段的垂直平分线经过一个定点；设点关于原点的对称点是，求的最小值及相应的点坐标.问题3．（全国Ⅱ）已知抛物线的焦点为，、是抛物线上的两动点，且（）．过、两点分别作抛物线的切线，设其交点为．（Ⅰ）证明为定值；（Ⅱ）设的面积为，写出的表达式，并求的最小值．问题4．直线：和双曲线的左支交于、两点，直线过点和线段的中点，求在轴上的截距的取值范围.（四）课后作业：已知椭圆（）的右焦点为，过作直线与椭圆相交于、两点，若有，求椭圆离心率的取值范围.过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的弦、，求证：交抛物线的对称轴上一定点.如图，在双曲线的上支上有三点，，，它们与点的距离成等差数列.求的值；证明：线段的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标.（六）走向高考：（重庆）已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别为的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点.（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）若直线：与椭圆及双曲线都恒有两个不同的交点，且与的两个交点和满足（其中为原点），求的取值范围.（江西）是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为（重庆）如图，中心在原点的椭圆的右焦点为，右准线的方程为：. 求椭圆的方程；在椭圆上任取三个不同点，使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠ 证明：为定值，并求此定值.(全国Ⅰ）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为且过椭圆右焦点的直线交椭圆于、两点，与共线。
《圆锥曲线中的最值问题》导学案
第3讲 圆锥曲线中的最值问题[内容解析]在解析几何中，运动是曲线的灵魂，在形的运动中必然伴随着量的变化，而在变化中，往往重点关注变化中不变的量或关系，以及变量的变化趋势，由此产生圆锥曲线中的定点、定值问题，圆锥曲线的中的参数取值范围问题，圆锥曲线中的最值问题等. 圆锥曲线的最值问题是复习综合性较强的内容.重点研究变化的距离、弦长、角度、面积、斜率、定比等几何量的最值及相关问题.解决圆锥曲线的最值问题，不仅要用到圆锥曲线定义、方程、几何性质，还常用到函数、方程、不等式及三角函数等重要知识，综合性强，联系性广,策略性要求高.其基本的思想是函数思想和数形结合思想，基本策略主要是代数和几何两个角度分析. 由于圆锥曲线是几何图形，研究的量也往往是几何量，因此借助几何性质，利用几何直观来分析是优先选择；但几何直观往往严谨性不强，难以细致入微，在解析几何中需要借助代数的工具来实现突破. 几何方法主要结合图形的几何特征，借助圆锥曲线的定义以及平面几何知识作直接论证及判断;代数方法主要是将几何量及几何关系用代数形式表示,通过设动点坐标或动直线的方程，将目标表示为变量的函数，从而转化为函数的最值问题，再借助函数、方程、不等式等知识解决问题.[考题回放]（深一模第20题）：直线l : y=x+b(b>0), 抛物线C: y 2=2x 上的点到直线l 的距离的最小值为23,求直线l 的方程. 解法一：(__________法)______法：根据图形的特点，借助圆锥曲线的定义及几何图形的性质，作直接论证及判断，体现数形结合的数学思想.解法二：（__________法）______法：选取变量，找关系，建立目标函数求最值，体现函数与方程的数学思想.[案例探究]例1. 已知F (1,0),M (3,0), P 是抛物线C : y 2=4x 上的一动点，（1）求|PF |的最小值；（2）求|PM |的最小值；[练习1]已知点F 是双曲线 112y 4x 22=-的左焦点，定点 A （1，4），P 是双曲线右支上动点，则|PF|+|PA|的最小值为（ ）A. 5B. 5+43C. 7D. 9例2. 直线l :y=kx(k>0)与椭圆1y 4x 22=+交于P,Q 两点,A,B 分别是椭圆的右、上顶点, 求四边形APBQ 面积的最大值.[练习2] (2012广东高考题改编):在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =且椭圆C 的上顶点到圆D:(x-3)2+y 2=1上的任意一点距离的最大值为3．(1) 求椭圆C 的方程(2) 在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n ，使得直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交于 不同的两点A 、B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的 面积；若不存在，请说明理由．[总结反思]通过本节课的学习探究，你有什么收获？（1）你认为解决最值问题有哪些策略？（2）每种策略如何操作？（3）这些方法体现了怎样的数学思想？（4）还有其他收获或感想吗？x。
天津市高考数学一轮复习 与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题导学案-人教版高三全册数学学案
与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题知识梳理教学重、难点作业完成情况典题探究例1 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1上的点均在圆C 2：(x －5)2＋y 2＝9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x ＝－2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值．(1)求曲线C 1的方程；(2)设P (x 0，y 0)(y 0≠±3)为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别与曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D .证明：当P 在直线x ＝－4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值．例2如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2,1)的距离为10.不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(1)求椭圆C 的方程；(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程．例3如图，椭圆的中心为原点O ，离心率e ＝22，且a2c＝2 2.(1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点P 满足：OP →＝OM →＋2ON →，其中M 、N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12.问：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|PF 1|＋|PF 2|为定值？若存在，求F 1，F 2的坐标；若不存在，说明理由．例4在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝23，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．演练方阵A 档（巩固专练）1．已知点(2,1)A ,抛物线24y x =的焦点是F ,若抛物线上存在一点P ,使得PA PF +最小,则P 点的坐标为（ ）A ．(2,1)B ．(1,1)C ．1(,1)2D ．1(,1)42．已知椭圆22212x y a +=的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合,则该椭圆的离心率是（ ）A ．2B ．3C ．2D ．33．抛物线24y x =的焦点为F ,点P 为抛物线上的动点,点M 为其准线上的动点,当FPM∆为等边三角形时,其面积为A ．B ．4C ．6D ．4．已知抛物线22y px =的焦点F 到其准线的距离是8，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|||AK AF =，则AFK ∆的面积为（ ）A ．32B ．16C ．8D ．45．点P 是抛物线24y x =上一点，P 到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ）A ．5B ．2C ．115D ．37．抛物线22y x =的准线方程是______;该抛物线的焦点为F ,点00(,)M x y 在此抛物线上,且52MF =,则0x =______.8．已知椭圆C :22221x y a b+=(0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ,离心率为2,且过点.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)M ,N ,P ,Q 是椭圆C 上的四个不同的点,两条都不和x 轴垂直的直线MN 和PQ 分别过点1F ,2F ,且这两条直线互相垂直,求证:11||||MN PQ +为定值.9．已知椭圆22:143x y C +=和点(4,0)P ,垂直于x 轴的直线与椭圆C 交于A B ,两点,连结PB交椭圆C 于另一点E .(Ⅰ)求椭圆C 的焦点坐标和离心率; (Ⅱ)证明直线AE 与x 轴相交于定点.10．已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,一个顶点为)1,0(-B ,且其右焦点到直线022=+-y x 的距离等于3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)是否存在经过点)23,0(Q ,斜率为k 的直线l ,使得直线l 与椭圆C 交于两个不同的点N M ,,并且BN BM =?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由.B 档（提升精练）1．双曲线221x my 的实轴长是虚轴长的2倍,则m 等于 （ ）A ．14 B ．12C ．2D ．42．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，又点(1,0)A -，则||||PF PA 的最小值是（ ）A ．12 B ．2C D ．33．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为2，一个焦点与抛物线x y 162=的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．x y 23±= B ．x y 23±= C ．x y 33±= D ．x y 3±=4．已知1(,0)F c -，2(,0)F c 分别是双曲线1C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的两个焦点，双曲线1C 和圆2C ：222x y c +=的一个交点为P ，且12212PF F PF F ∠=∠，那么双曲线1C 的离心率为（ ）A B C ．2 D 15．已知P (,)x y 是中心在原点，焦距为10的双曲线上一点，且y x的取值范围为33(,)44-，则该双曲线方程是（ ）A ．221916x y -= B ．221916y x -=C ．221169x y -= D ．221169y x -=6．已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|||AK AF =，则△AFK 的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．327．方程2x xy x +=的曲线是（ ）A ．一个点B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点和一条直线8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,M N 两点，O 为坐标原点.若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A B C D9．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ）A B ．2 C ．115D ．310．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A.12(,)33 B.1(,1)2 C. 2(,1)3 D.111(,)(,1)322C 档（跨越导练）1．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )．A ．18B ．24C ．36D ．482．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )．A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)3．若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则O P →·F P →的取值范围为( )．A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－74，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞4．定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝________.5．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为( )．A ．－2B ．－8116C ．1D ．06．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是( )．A.43B.75C.85D ．3 7．设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过F 的直线L 与C 相交于A ，B 两点．(1)设L 的斜率为1，求|AB |的大小； (2)求证：OA →·OB →是一个定值．8．在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .(1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量OP →＋OQ →与AB →共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由．9．抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点M (0，－2)作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足OA →＋OB →＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线的方程；(2)当抛物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求△ABP 面积的最大值．10．已知动点),(y x P 与一定点)0,1(F 的距离和它到一定直线4:=x l 的距离之比为21. (Ⅰ) 求动点),(y x P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）已知直线:l '1+=my x 交轨迹C 于A 、B 两点，过点A 、B 分别作直线4:=x l 的垂线，垂足依次为点D 、E .连接AE 、BD ，试探索当m 变化时，直线AE 、BD 是否相交于一定点N ？若交于定点N ，请求出N 点的坐标，并给予证明；否则说明理由.成长足迹课后检测学习（课程）顾问签字：负责人签字：教学主管签字：主管签字时间：与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题参考答案典题探究例1．(1)解法一设M的坐标为(x，y)，由已知得|x＋2|＝－3.易知圆C2上的点位于直线x＝－2的右侧，于是x＋2＞0，所以＝x＋5.化简得曲线C1的方程为y2＝20x.法二由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x＝－5的距离．因此，曲线C1是以(5,0)为焦点，直线x＝－5为准线的抛物线．故其方程为y2＝20x.(2)证明当点P在直线x＝－4上运动时，P的坐标为(－4，y0)，又y0≠±3，则过P 且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y －y 0＝k (x ＋4)，即kx －y ＋y 0＋4k ＝0.于是|5k ＋y 0＋4k |k 2＋1＝3.整理得72k 2＋18y 0k ＋y 20－9＝0.①设过P 所作的两条切线PA ，PC 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1，k 2是方程①的两个实根，故k 1＋k 2＝－18y 072＝－y 04.②由⎩⎪⎨⎪⎧k 1x －y ＋y 0＋4k 1＝0，y 2＝20x 得k 1y 2－20y ＋20(y 0＋4k 1)＝0.③设四点A ，B ，C ，D 的纵坐标分别为y 1，y 2，y 3，y 4，则y 1，y 2是方程③的两个实根，所以y 1y 2＝错误!.④同理可得y 3y 4＝错误!.⑤ 于是由②，④，⑤三式得y 1y 2y 3y 4＝错误!＝400[y 20＋4k 1＋k 2y 0＋16k 1k 2]k 1k 2＝错误!＝6 400.所以，当P 在直线x ＝－4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6 400.例2．解 (1)设椭圆左焦点为F (－c,0)，则由题意得错误!得错误!所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M .当直线AB 与x 轴垂直时，直线AB 的方程为x ＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12消去y ，整理得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，(1) 则Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2.所以线段AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2.因为M 在直线OP ：y ＝12x 上，所以3m 3＋4k 2＝－2km3＋4k 2.得m ＝0(舍去)或k ＝－32.此时方程(1)为3x 2－3mx ＋m 2－3＝0，则Δ＝3(12－m 2)＞0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－33.所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝396·12－m 2. 设点P 到直线AB 距离为d ，则d ＝|8－2m |32＋22＝2|m －4|13. 设△ABP 的面积为S ，则S ＝12|AB |·d ＝36·. 其中m ∈(－2 3，0)∪(0,2 3)．令u (m )＝(12－m 2)(m －4)2，m ∈[－2 3，2 3]，u ′(m )＝－4(m －4)(m 2－2m －6)＝－4(m －4)(m －1－7)(m －1＋7)． 所以当且仅当m ＝1－7，u (m )取到最大值． 故当且仅当m ＝1－7，S 取到最大值． 综上，所求直线l 方程为3x ＋2y ＋2 7－2＝0.例3．解 (1)由e ＝c a ＝22，a 2c＝22，解得a ＝2，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2，故椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由＝＋2，得(x ，y )＝(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(x 1＋2x 2，y 1＋2y 2)，即x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2.因为点M 、N 在椭圆x 2＋2y 2＝4上， 所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 22＋4x 1x 2)＋2(y 21＋4y 22＋4y 1y 2) ＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2) ＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以x 2＋2y 2＝20. 所以P 点是椭圆x 2252＋y 2102＝1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F 1，F 2，则由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|为定值，又因c ＝252－102＝10，因此两焦点的坐标为F 1(－10，0)，F 2(10，0)．例4．[满分解答] (1)由e ＝ca ＝a 2－b 2a 2＝ 23，得a ＝3b ， 椭圆C ：x 23b 2＋y 2b2＝1，即x 2＋3y 2＝3b 2，设P (x ，y )为C 上任意一点， 则|PQ |＝ x 2＋y －22＝ －2y ＋12＋3b 2＋6，－b ≤y ≤b .若b ＜1，则－b ＞－1，当y ＝－b 时，|PQ |max ＝ －2－b ＋12＋3b 2＋6＝3，又b ＞0，得b ＝1(舍去)，若b ≥1，则－b ≤－1，当y ＝－1时，|PQ |max ＝ －2－1＋12＋3b 2＋6＝3，得b ＝1.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(6分)(2)法一 假设存在这样的点M (m ，n )满足题意，则有m 23＋n 2＝1，即n 2＝1－m 23，－3≤m ≤ 3.由题意可得S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12，当∠AOB ＝90°时取等号，这时△AOB 为等腰直角三角形， 此时圆心(0,0)到直线mx ＋ny ＝1的距离为22， 则1m 2＋n 2＝22，得m 2＋n 2＝2，又m 23＋n 2＝1，解得m 2＝32，n 2＝12，即存点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫62，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，－22满足题意，且△AOB 的最大面积为12.(12分)法二 假设存在这样的点M (m ，n )满足题意，则有m 23＋n 2＝1，即n 2＝1－m 23，－3≤m ≤3，又设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝1x 2＋y 2＝1，消去y 得(m 2＋n 2)x 2－2mx ＋1－n 2＝0，①把n 2＝1－m 23代入①整理得(3＋2m 2)x 2－6mx ＋m 2＝0，则Δ＝8m 2(3－m 2)≥0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝6m3＋2m 2，x 1x 2＝m23＋2m 2，②而S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ，当∠AOB ＝90°，S △AOB 取得最大值12，此时·＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1y 2＝1－mx 1n ·1－mx 2n ＝3－3m x 1＋x 2＋3m 2x 1x 23－m 2， ∴x 1x 2＋3－3m x 1＋x 2＋3m 2x 1x 23－m 2＝0， 即3－3m (x 1＋x 2)＋(3＋2m 2)·x 1x 2＝0， 把②代入上式整理得2m 4－9m 2＋9＝0， 解得m 2＝32或m 2＝3(舍去)，∴m ＝±62，n ＝±1－m 23＝±22，∴M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫62，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，－22，使得S △AOB 取得最大值12.演练方阵A 档（巩固专练）1．答案：D 2．答案：D 3．答案：D 4．答案：A解：由题意知8p =，所以抛物线方程为216y x =，焦点(4,0)F ,准线方程4x =-，即(4,0)K -,设2(,)16y A y , 过A 做AM 垂直于准线于M,由抛物线的定义可知AM AF=,所以22AK AF AM ==,即AM MK =,所以2(4)16y y --=，整理得216640y y -+=，即2(8)0y -=，所以8y =，所以11883222AFK S KF y ∆==⨯⨯=,5．答案：B解：抛物线的准线为1x =-，根据抛物线的对应可知，P 到该抛物线焦点的距离等于P 到该准线的距离，即(1)4x --=，所以3x =，即点P 的横坐标为3，选B.6．答案：B解：因为抛物线的方程为24y x =，所以焦点坐标(1,0)F ,准线方程为1x =-。
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圆锥曲线中的定点、最值、范围问题学案
考点一、定点问题
[典例1] (2014·杭州二模)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A (－2,0)，离心率e ＝32
，过点P (1,0)的直线交椭圆E 于B ，C 两点，直线AB ，AC 分别交直线x ＝3于M ，N 两点.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)以线段MN 为直径的圆是否过定点，若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.
[解] (1)由a ＝2，e ＝c a ＝32
得c ＝3，b ＝1， 所以椭圆E 的方程为x 24
＋y 2＝1. (2)设直线BC 的方程为x ＝ty ＋1(t ∈R )，点B ，C 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2). 把直线BC 的方程代入椭圆方程，
得(t 2＋4)y 2＋2ty －3＝0，
所以y 1＋y 2＝－2t t 2＋4，y 1·y 2＝－3t 2＋4
， 所以x 1x 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＝4－4t 2t 2＋4
， x 1＋x 2＝(ty 1＋1)＋(ty 2＋1)＝t (y 1＋y 2)＋2＝8t 2＋4
， 因为直线AB 的斜率k AB ＝y 1
x 1＋2， 所以直线AB 的方程为y ＝y 1x 1＋2
(x ＋2)， 所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5y 1x 1＋2，同理，N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3，5y 2x 2＋2，
故以MN 为直径的圆方程为
(x －3)(x －3)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －5y 1x 1＋2⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －5y 2x 2＋2＝0， 即(x －3)2＋y 2
－⎝ ⎛⎭⎪⎫5y 1x 1＋2＋5y 2x 2＋2y ＋25y 1y 2(x 1＋2)(x 2＋2)＝0. 又因为25y 1y 2
(x 1＋2)(x 2＋2)＝25y 1y 2x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4 ＝25y 1y 2t 2y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9
＝－2512， 5y 1x 1＋2＋5y 2
x 2＋2＝5y 1(x 2＋2)＋5y 2(x 1＋2)(x 1＋2)(x 2＋2) ＝5×3(y 1＋y 2)＋2ty 1y 2
t 2y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9
＝－5t 3 故以MN 为直径的圆的方程为
(x －3)2＋y 2＋5t 3y －2512＝0. 令y ＝0，即得定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－536，0或⎝ ⎛⎭
⎪⎫3＋536，0. [方法提炼]
1.求解直线和曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.
2.由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m ).
考点二、最值问题
[典例2](理科)(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233
，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；
(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.
解：(1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233
，得c ＝ 3.
又c a ＝32
，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24
＋y 2＝1. (2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，
Q (x 2，y 2).
将y ＝kx －2代入x 24
＋y 2＝1， 得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.
当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34
时， x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1
. 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1
. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2
k 2＋1. 所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1
. 设 4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4
t
. 因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72
时等号成立，且满足Δ>0. 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝
72x －2或y ＝－72
x －2.
[方法提炼]
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
考点三、范围问题 [典例3] (2014·广东名校质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)上的任意一点到它的两
个焦点(－c,0)，(c,0)的距离之和为22，且它的焦距为2.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知直线x －y ＋m ＝0与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点不在圆x 2＋y 2＝59
内，求m 的取值范围. [解] (1)依题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝22，
2c ＝2.
又b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝1. 则椭圆C 的方程为x 22
＋y 2＝1. (2)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧
x 22＋y 2＝1，
x －y ＋m ＝0，
消去y 整理得 3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0.
则Δ＝16m 2－12(2m 2－2)＝8(－m 2＋3)＞0， 解得－3＜m ＜ 3.①
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4m 3
， y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m ＝－4m 3＋2m ＝2m 3
， 即AB 的中点为⎝⎛⎭
⎫－2m 3，m 3. 又∵AB 的中点不在圆x 2＋y 2＝59
内， ∴4m 29＋m 29＝5m 29≥59
， 解得m ≤－1或m ≥1.② 由①②得，－3＜m ≤－1或1≤m ＜ 3.
故m 的取值范围为(－3，－1]∪[1，3).
[方法提炼]
(1)解决这类问题的基本思想是建立目标函数和不等关系．
(2)建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题；
建立不等关系的关键是运用圆锥曲线的几何特征、判别式法或基本不等式等灵活处理．
[针对训练]
(2014·辽宁五校联考)设点A 1，A 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点，若在椭圆上存在异于点A 1、A 2的点P ，使得PO ⊥P A 2，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是________.
解析：由题设知∠OP A 2＝90°，设P (x ，y )(x ＞0)，以OA 2为直径的圆的方程为⎝⎛⎭
⎫x －a 22＋y 2
＝a 24，与椭圆方程联立，得⎝⎛⎭⎫1－b 2a 2x 2－ax ＋b 2＝0.易知，此方程有一实根a ，且由题设知，此方程在区间(0，a )上还有一实根，由此得0＜b 2
a ⎝⎛⎭⎫1－
b 2a 2＜a ，化简得0＜a 2－
c 2c 2＜1，即0＜1－e 2
e 2＜1，得12＜e 2＜1，所以e 的取值范围为⎝⎛⎭
⎫22，1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1。