高中数学选修2-2 北师大版 实际问题中导数的意义 学案
高中数学选修2-2 1.2导数的运算 学案2 含解析
课堂探究探究一 导数公式与导数运算法则的简单应用1．应用导数的定义求导，是求导数的基本方法，但运算较烦琐，而利用导数公式求导数，可以简化求导过程，降低运算难度，是常用的求导方法．2．利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式．有时还要先对函数解析式进行化简整理，这样能够简化运算过程．【典型例题1】 求下列函数的导数：(1)y ＝x x ； (2)y ＝x 4－2x；(3)y ＝sin x ＋3x ； (4)y ＝cos x ·ln x ； (5)y ＝(x －1)(x －2)(x －3)； (6)y ＝x －3x ＋2. 思路分析：分析每个函数的结构特点，紧扣求导运算法则和基本初等函数的导数公式求导，必要时应对函数解析式进行恒等变形．解：(1)y ′＝(x x )′＝(32x )′＝32·12x ＝32x ； (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫x 4－2x ′＝4x 3＋2x2； (3)y ′＝(sin x ＋3x )′＝cos x ＋3x ln 3；(4)y ′＝(cos x ·ln x )′＝－sin x ·ln x ＋cos x ·1x ＝cos x x－sin x ·ln x ； (5)方法1：y ′＝[(x －1)(x －2)(x －3)]′＝[(x －1)(x －2)]′(x －3)＋(x －1)(x －2)(x －3)′＝[(x －1)′(x －2)＋(x －1)(x －2)′](x －3)＋(x －1)(x －2)＝(x －2＋x －1)(x －3)＋(x －1)(x －2)＝3x 2－12x ＋11.方法2：由于(x －1)(x －2)(x －3)＝(x 2－3x ＋2)(x －3)＝x 3－6x 2＋11x －6，所以y ′＝[(x －1)(x －2)(x －3)]′＝(x 3－6x 2＋11x －6)′＝3x 2－12x ＋11.(6)方法1：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3x ＋2′＝(x －3)′(x ＋2)－(x －3)(x ＋2)′(x ＋2)2＝x ＋2－(x －3)(x ＋2)2＝5(x ＋2)2； 方法2：由于y ＝x －3x ＋2＝1－5x ＋2， 于是y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5x ＋2′＝－－5(x ＋2)′(x ＋2)2＝5(x ＋2)2. 探究二 利用导数公式和运算法则求复杂函,数的导数1．对于函数求导问题，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，必须注意变换的等价性，避免不必要的运算错误．2．若要求导的函数解析式与三角函数有关，往往需要先运用相关的三角函数公式对解析式进行化简与整理，然后再套用公式求导．【典型例题2】 求下列函数的导数：(1)y ＝x 5＋x 7＋x 9x； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫sin x 44＋⎝⎛⎭⎫cos x 44； (3)y ＝cos 2x sin x ＋cos x； (4)y ＝x ln x . 思路分析：对于较为复杂，不宜直接套用导数公式和导数运算法则的函数，可先对函数进行适当的变形与化简，然后，再运用相关的公式和法则求导．解：(1)y ＝x 5＋x 7＋x 9x ＝x 2＋x 3＋x 4，∴y ′＝4x 3＋3x 2＋2x .(2)y ＝⎝⎛⎭⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x 4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫34＋14cos x ′＝－14sin x . (3)y ＝cos 2xsin x ＋cos x ＝cos 2x －sin 2x sin x ＋cos x ＝cos x －sin x ，∴y ′＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x .(4)y ＝x ln x ＝12x ln x ， ∴y ′＝12(x )′·ln x ＋12x ·(ln x )′＝12ln x ＋12. 探究三 复合函数的求导1．复合函数的求导法则如下：复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′(其中y x ′表示y 对x 的导数)．即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．2．复合函数的求导应注意以下几点：(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量．(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导的，而其中要特别注意的是中间变量的导数．(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数．(4)复合函数的求导过程熟练后，中间步骤可以省略不写．【典型例题3】 求下列函数的导数：(1)y ＝(3x －1)2； (2)y ＝ln(5x ＋2)；(3)y ＝⎝⎛⎭⎫122x ＋1； (4)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3； (5)y ＝cos 2x .思路分析：抓住构成复合函数的基本初等函数是求复合函数导数的关键，解题时可先把复合函数分拆成基本初等函数，再运用复合函数求导法则．解：(1)设y ＝u 2，u ＝3x －1.则y ′＝y ′u ·u ′x ＝2u ·3＝6(3x －1)＝18x －6；(2)设y ＝ln u ，u ＝5x ＋2，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝1u ·5＝55x ＋2； (3)设y ＝⎝⎛⎭⎫12u ，u ＝2x ＋1.则y ′＝y ′u ·u ′x ＝⎝⎛⎭⎫12u ln 12·2＝－⎝⎛⎭⎫122x ·ln 2；(4)设y ＝sin u ，u ＝2x －π3，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3； (5)y ＝cos 2x ＝cos 2x ＋12，设y ＝12cos u ＋12，u ＝2x ，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝－12sin u ·2＝－sin 2x .探究四 导数运算的综合问题从导数运算的特点及规律出发，可以将导数运算与其他数学问题有机地联系起来，从而获得问题的简单、巧妙的解法．【典型例题4】 用导数的方法求和：1＋2x ＋3x 2＋4x 3＋…＋2 014x 2 013(x ≠0，x ≠1)． 思路分析：从幂函数的求导法则入手，结合所求和式的特点求解．解：设f (x )＝1＋2x ＋3x 2＋…＋2 014x 2 013，g (x )＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x 2 014，则f (x )＝g ′(x )．而由等式数列求和公式可得g (x )＝x (1－x 2 014)1－x ＝x －x 2 0151－x， 于是f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 2 0151－x ′＝(1－2 015x 2 014)(1－x )＋(x －x 2 015)(1－x )2＝1＋2 014x 2 015－2 015x 2 014(1－x )2， 即1＋2x ＋3x 2＋…＋2 014x 2 013＝1＋2 014x 2 015－2 015x 2 014(1－x )2.。
高中数学选修2-2 北师大版 3.2.1 实际问题中导数的意义教案
第七课时 导数的实际应用（一）一、教学目标：1、知识与技能：⑴让学生掌握在实际生活中问题的求解方法；⑵会利用导数求解最值。
2、过程与方法：通过分析具体实例，经历由实际问题抽象为数学问题的过程。
3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法 二、教学重点：函数建模过程 教学难点：函数建模过程 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程（一）、复习：利用导数求函数极值和最值的方法 （二）、探究新课例1、在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高602xh -=cm ，得箱子容积260)(322xx h x x V -== )600(<<x ． 23()602x V x x '=- )600(<<x令 23()602x V x x '=-＝0，解得 x=0（舍去），x=40， 并求得 V(40)=16 000由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 3解法二：设箱高为x cm ，则箱底长为(60-2x )cm ，则得箱子容积x x x V 2)260()(-=)300(<<x ．（后面同解法一，略） 由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数260)(322x x h x x V -==、x x x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极例2、圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S=2πRh+2πR 2由V=πR 2h ，得2Vh R π=，则 S(R)= 2πR2V R π+ 2πR 2=2V R+2πR 2令 22()Vs R R '=-+4πR=0 解得，h=2V R π即h=2R 因为S(R)变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？ 提示：S =2Rh π+22R π⇒h =RR S ππ222-⇒V (R )=RR S ππ222-πR 2=3221)2(21R SR R R S ππ-=- )('R V )=026R S π=⇒ ⇒R h R Rh R 222622=⇒+=πππ．例3、已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为q p 8125-=．求产量q 为何值时，利润L 最大？ 分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格．由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润．解：收入211252588R q p q q q q ⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭，利润221125(1004)2110088L R C q q q q q ⎛⎫=-=---=-- ⎪⎝⎭(0q <<1214L q '=-+令0L '=，即12104q -+=，求得唯一的极值点84q =84时，利润L （三）、小结：本节课学习了导数在解决实际问题中的应用.（四）、课堂练习：第69页练习题 （五）、课后作业：第69页A 组中1、3 B 组题。
2.2《导数的概念及其几何意义》课件(北师大版选修2-2)
（2）f′(3)=-4的实际意义是什么？如果f(3)=60(℃)，你能
画出函数在点t=3时图象的大致形状吗？
2.已知曲线C:y=x2与定点A（2，3），过定点A与曲线相切的直 线方程为________.
3.求曲线f(x)=x2-x+3在点（1,3)处的切线方程.
∴切线方程为y-1=3(x-1) 即3x-y-2=0. 如图所示 易求得直线x=2与直线3x-y-2=0 的交点为（2，4）
1 2 4 8 (2- ) 4=2 = . 2 3 3 3 8 答案： 3
∴S△=
4.（15分）已知抛物线C1：y1=x2+2x和C2：y2=-x2+a.如果直线l
(A)4
(B) - 1 (C)2 (D) 1 4 2 【解题提示】求y=f(x)在点（1，f(1)）处切线的斜率即
求f′(1),可借助g′(1)求解.
【解析】
2.（5分）垂直于2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-1相切的直线方 程一般形式为_______.
【解析】直线2x-6y+1=0的斜率为 1 , 3 ∴所求直线的斜率为-3.
课程目标设置
主题探究导学
1.“函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是Δ x=0时的平均变化率”.
这种说法对吗？
提示：这种说法不对，y=f(x)在x=x0处的导数值是Δx趋向于
y 0时，平均变化率 无限接近的一个常数值，而不是Δx=0时 x y 的值，实际上，在平均变化率的表达式 中，Δx≠0. x
2.能否认为函数在x=x0处导数越大，其函数值变化就越快? 提示：这种说法不正确.导数的正、负号确定函数值变化的趋 势，其绝对值大小确定变化的快慢.应说导数的绝对值越大， 函数值变化越快，即切线“越陡”.
高二数学北师大版选修2-2课件：3.2.1 实际问题中导数的意义
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
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D 典例透析 IANLI TOUXI
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是反映一次降雨大小的一个重要指标. (3)在经济学中,通常把生产成本y关于产量x的函数y=f(x)的导函数称为边际成
本,f'(x0)指的是当产量为x0时,生产成本的增加速度,也就是当产量为x0时,每增加一 个单位的产量,需要增加f'(x0)个单位的成本.
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高中数学北师大版选修2-2 导数的概念和几何意义
求平均变化率 已知函数 f(x)＝3x＋1 和 g(x)＝2x2＋1，分别计算在下列 区间上 f(x)及 g(x)的平均变化率． (1)[－3，－1]； (2)[1，1＋d]．
【解】 (1)①对于 f(x)＝3x＋1 在区间[－3，－1]上， 因为 d＝－1－(－3)＝2，
f(－1)－f(－3) ＝[3×(－1)＋1]－[3×(－3)＋1]＝6， 所以f（－1）－d f（－3）＝62＝3， 即函数 f(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为 3. ②对于 g(x)＝2x2＋1 在区间[－3，－1]上， 因为 d＝－1－(－3)＝2，g(－1)－g(－3) ＝[2×(－1)2＋1]－[2×(－3)2＋1]＝－16，
1．当自变量从 x0 变到 x1 时函数值的增量与相应自变量的增量 之比是函数( ) A．在区间[x0，x1]上的平均变化率 B．在 x0 处的变化率 C．在 x1 处的变化量 D．在区间[x0，x1]上的导数 答案：A
2．已知函数 y＝f(x)＝x2＋1，则在 x＝2，d＝0.1 时，f(x＋d)－
【解】 因为 f(x0＋d)－f(x0)＝(2x0－7)d＋d2， 所以f（x0＋d）d－f（x0）＝2x0－7＋d. 当 d 趋于 0 时，f（x0＋d）d－f（x0）趋于 2x0－7， 所以 f(x)在 x＝2 和 x＝6 时的瞬时变化率分别为－3 和 5. 说明在第 2 h 附近，原油温度大约以 3 °C/h 的速度下降；在 第 6 h 附近，原油温度大约以 5 °C/h 的速度上升．
利用导数定义求导数，“三步法”的模式是固定的，关键是要注 意在求f（x0＋d）d－f（x0）时，分式的通分，无理式的分子有 理化等常用技巧的使用．
求函数 y＝x2＋ax＋b(a，b 为常数)在 x＝1 处的 导数． 解：令 f(x)＝y＝x2＋ax＋b，
2.1实际问题中导数的意义-北师大版选修2-2教案
2.1 实际问题中导数的意义-北师大版选修2-2教案
一、教学目标
•理解导数的概念及其作用；
•掌握求导数的方法；
•理解导数的物理意义；
•能够运用导数解决实际问题。
二、教学内容
本课时主要探讨导数的意义及其应用，包括以下几个方面：
1.导数定义的引入；
2.导数的物理意义；
3.导数的计算方法；
4.应用于实际问题，如最优化问题、极值问题等。
三、教学重点与难点
1.理解导数的概念及其作用；
2.掌握求导数的方法；
3.理解导数的物理意义。
四、教学方法
通过引入实例、图像等方式，引导学生探究导数的概念、物理意义及其应用，同时配合小组讨论等方式，提高学生互动性和课堂效率。
五、教学流程
5.1 热身（5分钟）
复习前几节课所学内容，如函数的极限、连续性等。
5.2 引入（10分钟）
引入导数定义，引导学生观察函数图像，并通过观察、思考，引入导数的概念。
5.3 实验探究（20分钟）
将学生分为小组，探究导数的物理意义，通过实例、图像等方式，引导学生理解导数在实际问题中的应用。
5.4 讲解（20分钟）
讲解导数的计算方法，包括基本公式、求导法则等。
5.5 练习（20分钟）
布置练习题，要求学生运用导数解决实际问题，如最优化问题、极值问题等。
5.6 总结（5分钟）
回顾本节课所学内容，引导学生总结导数的概念及其应用。
六、教学资源
1.教师课件；
2.学生练习册。
七、教学评估
1.课堂讨论及小组合作情况的观察；
2.练习题及作业的完成情况。
高中数学选修2-2北师大版教案：3..2.1实际问题中导数的意义
课时教案科目：数学授课时间：第周星期年月日一、复习引入：本章知识网络:二、典例精析例1.若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，求实数m 的取值范围变式：若函数(]21()2,0,1f x ax x x =-∈在(]0,1x ∈上单调递增，求实数a 的取值范围. 例2．已知函数()ln f x x x =. （Ⅰ）求()f x 的最小值； （Ⅱ）若对所有1x ≥都有()1f x ax ≥-， 求实数a 的取值范围. 解析：()f x 的定义域为0∞(，+)， ()f x 的导数()1ln f x x '=+. 令()0f x '>，解得1e x >；令()0f x '<，解得10e x <<. 从而()f x 在10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，在1e ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，+单调递增. 所以，当1e x =时，()f x 取得最小值1e -. 22.（2011·江西高考理科·Ｔ19）设3211()232f x x x ax =-++ （1）若()f x 在2(,)3+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围. （2）当02a <<时，()f x 在[1,4]的最小值为163-，求()f x 在该区间上的最大值.三、作业必做题：课本71页1题（2）（4）（6）（8）2题（2）3、4题选做题;B组1精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
2.2 导数的概念及几何意义 导学案(高中数学选修2-2 北师大版)
2．2导数的概念及几何意义1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数,理解导数的实际意义.3.理解导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.如图,当点P n(x n,f(x n))(n=1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近点P(x0,f(x0))时,割线PP n的变化趋势是什么?问题1:根据创设的情境,割线PP n的变化趋势是.问题2:导数的概念与求法:我们将函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率称为f(x)在x=x0处的导数,即有f'(x0)==,所以求导数的步骤为:(1)求函数的增量:Δy=f(x0+Δx)-f(x0);(2)算比值:=;(3)求极限:y'=.问题3:函数y=f(x)在x=x0处的导数,就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率k=f'(x0)= .相应的切线方程是:.问题4:曲线上每一点处的切线斜率反映了什么?直线与曲线有且只有一个公共点时,直线是曲线的切线吗?它反映的是函数的情况,体现的是数形结合,以曲代直的思想.不一定是,有些直线与曲线相交,但只有一个公共点.相反,有些切线与曲线的交点.1.函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)的几何意义是().A.在点x0处的函数值B.在点(x0,f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值C.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率D.点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率2.若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则().A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-13.设P0为曲线f(x)=x3+x-2上的点,且曲线在P0处的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标为.4.函数y=3x+2上有一点(x0,y0),求该点处的导数f'(x0).导数概念的理解已知f'(x0)=2,求.求切线方程已知曲线y=上两点P(2,-1),Q(-1,).(1)求曲线在点P,Q处的切线的斜率;(2)求曲线在P,Q处的切线方程.导数几何意义的综合应用抛物线y=x2在点P处的切线与直线4x-y+2=0平行,求P点的坐标及切线方程.已知f(x)=x3-8x,则= ; = ;= .过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线,求出当Δx=0.1时割线的斜率,并求曲线在点P处的切线的斜率.已知曲线C:y=x3.(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程;(2)上述切线与曲线C是否还有其他公共点?1.已知函数y=f(x)的图像如图,则f'(x A)与f'(x B)的大小关系是().A.f'(x A)>f'(x B)B.f'(x A)<f'(x B)C.f'(x A)=f'(x B)D.不能确定2.已知y=,则y'的值是().A.B.C.2D.3.已知y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则= .4.求y=x2在点A(1,1)处的切线方程.已知函数y=f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线方程是x-2y+1=0,则f(1)+2f'(1)的值是().A.B.1 C. D.2考题变式(我来改编):。
2012-2013高二北师大数学选修2-2第三课时3.2.1实际问题中导数的意义教学设计
第三课时 3.2.1实际问题中导数的意义教学目的：1．理解用函数思想解决优化问题的基本思路； ⒉初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题 教学重点：解有关函数最大值、最小值的实际问题． 教学难点：解有关函数最大值、最小值的实际问题． 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点2.极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0).就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点3.极大值与极小值统称为极值4. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值 5. 求可导函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) (2)求方程f ′(x ) =0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值6.函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个7.利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值二、讲解范例：例1 某机车拖运货物时对货物所做的功W （单位：J ）是时间t （单位：s ）的函数，设这个函数可以表示为：753-+=t t t w )(。
高中数学：3.2.1 实际问题中导数的意义(一) 教案 (北师大选修2-2)
3.2.1 实际问题中导数的意义教学过程：一、主要知识点：1. 基本方法：（1）函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y ＝f （x ）在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y ＝f （x ）为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y ＝f （x ）为这个区间内的减函数.（2）用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f （x ）的导数f ′（x ）. ②令f ′（x ）＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令f ′（x ）＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间.（3）判别f （x 0）是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值.（4）求函数f （x ）的极值的步骤：①确定函数的定义区间，求导数f ′（x ）. ②求方程f '（x ）＝0的根. ③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格. 检查f '（x ）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f （x ）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f （x ）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f （x ）在这个根处无极值.（5）利用导数求函数的最值步骤：（1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值.2、基本思想：学习的目的，就是要会实际应用，本讲主要是培养学生运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力.解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数. 把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再化为常规问题，选择合适的数学方法求解.根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化区间，构造相应的函数关系，是这部分的主要技巧．二、典型例题例1、在边长为60 cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？ 思路一：设箱底边长为x cm ，则箱高602x h -=cm ，得箱子容积V 是箱底边长x 的函数：23260()(060)2x x r x x h x -==<<，从求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的16，这个结论是否具有一般性？变式：从一块边长为a 的正方形铁皮的各角截去相等的方块，把各边折起来，做成一个无盖的箱子，箱子的高是这个正方形边长的几分之几时，箱子容积最大？提示：2()(2) (0)2a V x x a x x =-<<答案：6a x =． 评注：这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数是三次函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，即使能求出，也要涉及到较高的技能技巧. 而运用导数知识，求三次目标函数的最值就变得非常简单，对于实际生活中的优化问题，如果其目标函数为高次多项式函数，简单的分式函数，简单的无理函数，简单的指数，对数函数，或它们的复合函数，均可用导数法求其最值. 可见，导数的引入，大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.例2、（福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为y （升），关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120).12800080y x x x =-+<≤已知甲、乙两地相距100千米．（I ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：（I ）当40x =时，汽车从甲地到乙地行驶了100 2.540=小时，要耗油313(40408) 2.517.512800080⨯-⨯+⨯=（升）．答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．（II ）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x 小时，设耗油量为()h x 升， 依题意得3213100180015()(8).(0120),1280008012804h x x x x x x x =-+=+-<≤ 332280080'()(0120).640640x x h x x x x -=-=<≤令'()0,h x =得80.x =当(0,80)x ∈时，'()0,()h x h x <是减函数；当(80,120)x ∈时，'()0,()h x h x >是增函数．∴当80x =时，()h x 取到极小值(80)11.25.h = 因为()h x 在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．例3、求抛物线221x y =上与点)0,6(A 距离最近的点. 解：设),(y x M 为抛物线221x y =上一点， 则=+-=22)6(||y x MA 4241)6(x x +-. ||MA Θ与2||MA 同时取到极值. 令42241)6(||)(x x MA x f +-==. 由0)62)(2()(2/=++-=x x x x f 得2=x 是唯一的驻点.当-∞→x 或+∞→x 时，2,)(,||=∴+∞→∴+∞→x x f MA 是)(x f 的最小值点，此时2221,22=⨯==y x . 即抛物线221x y =上与点)0,6(A 距离最近的点是（2，2）.例4、烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境. 已知落在地面某处的烟尘浓度与该处至烟囱距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，现有两座烟囱相距20km ，其中一座烟囱喷出的烟尘量是另一座的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点，使该点的烟尘浓度最小.解：不失一般性，设烟囱A 的烟尘量为1，则烟囱B 的烟尘量为8并设AC ＝)200(<<x x x CB -=∴20，于是点C 的烟尘浓度为)200()20(822<<-+=x x k x k y ， 其中k 为比例系数.332333/)20()80001200609(2)20(162x x x x x k x k x k y --+-⋅=-+-= 令0/=y ，有08000120060923=-+-x x x ，即0)4003)(203(2=+-x x .解得在（0，20）内惟一驻点320=x . 由于烟尘浓度的最小值客观上存在，并在（0，20）内取得，∴在惟一驻点320=x 处，浓度y 最小，即在AB 间距A 处km 320处的烟尘浓度最小. 例5、已知抛物线y ＝－x 2+2，过其上一点P 引抛物线的切线l ，使l 与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求l 的方程.解：设切点P （x 0，－x 02+2）（x 0＞0），由y ＝－x 2+2得y ′＝－2x ，∴k 1＝－2x 0.∴l 的方程为y －（－x 02+2）＝－2x 0（x －x 0），令y ＝0，得x 0202x 令x ＝0，得y ＝x 02+2，∴三角形的面积为S ＝21·02022x x +·（x 02+2）＝02040444x x x ++. ∴S ′＝2020204)2)(23(x x x +-. 令S ′＝0，得x 0＝36 （∵x 0＞0）. ∴当0＜x 0＜36时，S ′＜0; 当x 0＞36时，S ′＞0. ∴x 0＝36时，S 取极小值∵只有一个极值， ∴x ＝36时S 最小，此时k 1＝－362，切点为（36，34）. ∴l 的方程为y －34＝－362 （x －36），即26x +3y －8＝0.例6、在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km 的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50 km ，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？解：设∠BCD ＝Q ，则BC ＝θsin 40，CD ＝40cot θ，（0＜θ＜2π＝， ∴AC ＝50－40cot θ设总的水管费用为f （θ），依题意，有f （θ）＝3a （50－40·cot θ）+5a ·θsin 40 ＝150a +40a ·θθsin cos 35- ∴f ′（θ）＝40a ·θθθθθθθ22sin cos 5340sin )(sin )cos 35(sin )cos 35(-⋅='⋅--⋅'-a 令f ′（θ）＝0，得cos θ＝53 根据问题的实际意义，当cos θ＝53时，函数取得最小值， 此时sin θ＝54，∴cot θ＝43， ∴AC ＝50－40cot θ＝20（km ），即供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省.例7、（江苏卷）请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如图所示）．试问当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO 1为x m ，则41<<x 由题设可得正六棱锥底面边长为：22228)1(3x x x -+=--，故底面正六边形的面积为： (436⋅⋅22)28x x -+＝)28(2332x x -+⋅，（单位：2m ） 帐篷的体积为：)28(233V 2x x x -+=）（]1)1(31[+-x )1216(233x x -+=（单位：3m ） 求导得)312(23V'2x x -=）（． 令0V'=）（x ，解得2-=x （不合题意，舍去），2=x ， 当21<<x 时，0V'>）（x ，）（x V 为增函数； 当42<<x 时，0V'<）（x ，）（x V 为减函数．∴当2 x 时，）（x V 最大．答：当OO 1为2m 时，帐篷的体积最大，最大体积为3163m ．点评：本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力．三、小结 ：⑴解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．⑵根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．⑶相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单四、课后作业：。
2.2导数的概念及其几何意义 学案(高中数学选修2-2 北师大版)
§2 导数的概念及其几何意义2．1 导数的概念2．2 导数的几何意义课标解读 1.理解导数的概念及导数的几何意义．(难点) 2.会求导函数及理解导数的实际意义．(重点) 3.掌握利用导数求切线的方程．(重点)导数的概念及其几何意义1.设函数y ＝f (x )，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值从f (x 0)变到f (x 1)，函数值y 关于x的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x 0点的导数，通常用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝lim x 1→x 0 f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x 0处的导数，是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．函数y ＝f (x )在x 0处切线的斜率反映了导数的几何意义.求函数的导数求函数y ＝x 在x ＝1处的导数．【思路探究】 先求在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率，再求当Δx 趋于0时的平均变化率的趋近值．【自主解答】 ∵Δy ＝1＋Δx －1，∴Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， 当Δx 趋于0时，Δy Δx ＝11＋Δx ＋1趋于12， ∴函数y ＝x 在x ＝1处的导数为12.1．本题中用到了分子有理化的技巧，主要目的是使整个式子的趋近值容易求出．切忌算到1＋Δx －1Δx时，就下结论：当Δx 趋于0时，分子分母的值都趋于0，所以整个式子的值不确定．2．计算函数在某点处的导数可以分以下三个步骤：(1)计算Δy ；(2)计算Δy Δx ；(3)计算lim Δx →0 Δy Δx.求函数y ＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数．【解】 ∵f (x )＝2x 2＋4x ，∴Δy ＝f (3＋Δx )－f (3)＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3)＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx .∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx＝2Δx ＋16. 当Δx →0时，Δy →16，∴f ′(3)＝16.热．如果第x h 时，原油的温度(单位：°C)为y ＝f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．求函数f (x )在x ＝2和x ＝6时的导数，并说明它们的意义．【思路探究】 先算出平均变化率，再利用定义求f ′(2)，f ′(6)，而导数就是瞬时变化率，可解释它的实际意义．【自主解答】 ∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝(2x －7)Δx ＋(Δx )2，∴Δy Δx ＝2x ＋Δx －7，当Δx 趋于0时，Δy Δx趋于2x －7， 故f ′(2)＝－3，f ′(6)＝5.说明在第2 h 附近，原油温度大约以3 °C/h 的速度下降；在第6 h 附近，原油温度大约以5 °C/h 的速度上升．1．理解导数就是瞬时变化率是解答本题的关键．2．一般地，函数在某点处的导数值反映了函数在这一点处的变化情况，从而也揭示了事物在某一时刻的运动状况．某物体走过的路程s (单位：m)是时间t (单位：s)的函数：s ＝2t 2.求函数s ＝2t 2在t ＝1处的导数s ′(1)，并解释它的实际意义．【解】 当t 从1变到1＋Δt 时，函数值s 从2×12变到2(1＋Δt )2，函数值s 关于t 的平均变化率为s (1＋Δt )－s (1)Δt ＝2(1＋Δt )2－2×12Δt＝4＋2Δt (m/s)．当Δt 趋于0时，平均变化率趋于4方程．【思路探究】设切点坐标P (x 0，y 0)→求导函数y ′＝f ′(x 0)→由斜率k ＝4，求x 0→求P 点坐标(x 0，y 0)→求切线方程【自主解答】 设P 点坐标为(x 0，y 0)，先求f (x )＝x 2在x ＝x 0处的导数：f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0Δx ＋(Δx )2Δx＝2x 0＋Δx .∴令Δx 趋于0，可知y ＝x 2在x ＝x 0处的导数为f ′(x 0)＝2x 0.∴2x 0＝4，∴x 0＝2.∵P (2，y 0)在抛物线y ＝x 2上，∴y 0＝4.∴点P 的坐标为(2,4)．∴切线方程为y －4＝4(x －2)．即4x －y －4＝0.1．理解导数的几何意义即函数在某点处的导数就是在该点切线的斜率．2．求曲线C ：y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程，关键是求切线的斜率，而求斜率实际上是求函数f (x )在x 0处的导数．将本例中“与直线4x －y ＋2＝0平行”改为“与直线4x －y ＋2＝0垂直”，其他不变．【解】 设P 点坐标为(x 0，y 0)，则f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＋Δx .令Δx 趋于0，则f ′(x 0)＝2x 0.∵切线与直线4x －y ＋2＝0垂直，∴2x 0＝－14， ∴x 0＝－18. ∵P (－18，y 0)在y ＝x 2上， ∴y 0＝164， ∴点P 的坐标为(－18，164)． ∴切线方程为y －164＝－14(x ＋18)， 即16x ＋64y ＋1＝0.以直代曲的思想在研究函数变化中的应用(12分)如图2－2－1，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10的图像，根据图像，请描述、比较曲线h (t )在t 0，t 1，t 2，t 3附近的变化情况．图2－2－1【思路点拨】 因为导数描述函数的变化情况，而导数的几何意义表示切线斜率，故可作出曲线h ＝h (t )在点t 0，t 1，t 2，t 3处的切线，并通过其斜率的大小，加以描述．【规范解答】 我们用曲线h (t )在t 0，t 1，t 2，t 3处的切线，刻画曲线h (t )在上述四个时刻附近的变化情况．2分(1)当t ＝t 0时，曲线h (t )在t 0处的切线l 0平行于t 轴．所以，在t ＝t 0处附近曲线比较平坦，几乎没有升降，即函数h (t )没有变化.4分(2)当t ＝t 1时，曲线h (t )在t 1处的切线l 1的斜率h ′(t 1)<0，所以函数h (t )是递减的，曲线是下降的.6分(3)当t ＝t 2时，曲线h (t )在t 2处的切线l 2的斜率h ′(t 2)<0.所以函数h (t )在t ＝t 2附近单调递减，曲线是下降的.8分(4)当t ＝t 3时，曲线h (t )在t 3处的切线l 3的斜率h ′(t 3)>0.所以，函数h (t )在t ＝t 3附近单调递增，曲线是上升的.10分从图中可以看出，直线l 1的倾斜程度小于直线l 2的倾斜程度，这说明h (t )在t 1附近比在t 2附近下降的缓慢.12分既然导数f ′(x 0)描述了函数f (x )在x ＝x 0处的变化率，那么我们就可以利用导数的几何意义，曲线的切线，研究函数的变化情形．一般地，当f ′(x 0)>0(<0)时，曲线y ＝f (x )在x 0处的切线为上升(下降)的，函数f (x )在x ＝x 0处是单调递增(递减)的，且|f ′(x 0)|越大，说明函数瞬时变化率越大，函数值变化的越快，图像越“陡峭”；|f ′(x 0)|越小，说明函数变化的越慢，图像越平缓．1．导数描述了函数在某一点处的瞬时变化率；导数为正(负)说明函数在对应点附近递增(减)．2．求导数的步骤：(1)求平均变化率Δy Δx； (2)求导：f ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx. 3．导数f ′(x 0)的几何意义：表示曲线y ＝f (x )在点(x ，f ′(x 0))处的切线斜率． 曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为：y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．。
高中数学选修2-2导数导学案
高中数学选修2-2导数导学案§1.1.3【知识要点】导数的几何意义导学案1．导数的几何意义（1）割线斜率与切线斜率设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx)) Δy的一条割线，此割线的斜率是＝__________________.Δx当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋向于在点A的切线AD的斜率k，即k＝＝___________________. （2）导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是．相应地，切线方程为_______________________． 2．函数的导数当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f?(x)是x的一个函数，称f?(x)是f(x)的导函数(简称导数)．f?(x)也记作y′，即f?(x)＝y′＝_______________【问题探究】探究点一导数的几何意义例1 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况．跟踪训练1 （1）根据例1的图象，描述函数h(t)在t3和t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况．（2）若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是 ( )探究点二求切线的方程问题1 怎样求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？问题2 曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？例2 已知曲线y＝x2，求：（1）曲线在点P(1,1)处的切线方程；（2）曲线过点P(3,5)的切线方程．跟踪训练2 已知曲线y＝2x2－7，求：（1）曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0? （2）曲线过点P(3,9)的切线方程．1【当堂检测】1．已知曲线f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为 ( ) A．4 B．16 C．8 D．22．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则 ( )A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 3．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为_______【课堂小结】1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝limΔx→0f?x0＋Δx?－f?x0?＝f′(x0)，Δx物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.【拓展提高】，f(1))处的切线方程是y?1．已知函数y?f(x)的图象在点M(121x?2，则f(1)?f?(1)? 22．设P为曲线C：y?x?2x?3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为?0，?，则点P横坐4标的取值范围为?????2§1．2.1 常数函数与幂函数的导数导学案§1．2.2 导数公式表及数学软件的应用导学案【知识要点】1．几个常用函数的导数原函数 f(x)＝c f(x)＝x f(x)＝x2 1f(x)＝ xf(x)＝x2．基本初等函数的导数公式原函数 y＝c y＝xn(n∈N＋) y＝xμ(x>0，μ≠0且μ∈Q)y＝sin x y＝cos x y＝ax(a>0，a≠1) y＝ex y＝logax(a>0，a≠1，x>0) y＝ln x 导函数y′＝____ y′＝______ y′＝_______ y′＝________ y′＝________ y′＝________ y′＝_____ y′＝______ y′＝______ 导函数f′(x)＝___ f′(x)＝___f′(x)＝___ f′(x)＝_____ f′(x)＝_______ 【问题探究】探究点一求导函数问题1 怎样利用定义求函数y＝f(x)的导数？问题2 利用定义求下列常用函数的导数：（1） y＝c；（2）y＝x；（3）y＝x2；（4）y＝x；（5）y＝x.问题3 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？例1 求下列函数的导数：π14（1）y＝sin；（2）y＝5x；（3）y＝3；（4）y＝x3；（5）y＝log3x.3x跟踪训练1 求下列函数的导数：1（1）y＝x8；（2）y＝()x；（3）y＝xx；（4）y?log1x2313探究点二求某一点处的导数例2 判断下列计算是否正确．π??π?ππ3cos′＝－sin ＝－. 求f(x)＝cos x在x＝处的导数，过程如下：f′?＝?3??3?332跟踪训练2 求函数f(x)＝13在x＝1处的导数．x探究点三导数公式的综合应用例3 已知直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧AB上求一点P，使△ABP的面积最大．跟踪训练3 点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．【当堂检测】1．给出下列结论：其中正确的个数是 ( )131313－①若y＝3，则y′＝－4；②若y＝x，则y′＝x；③若y＝2，则y′＝－2x3； xx3x④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.A．1 B．2 C．3 D．4 2．函数f(x)＝x，则f′(3)等于 ( ) 3D． 22x3．设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是 A．B．0C．π3πA．[0，]∪[，π)44π3πB．[0，π) C．[，]44ππ3πD．[0，]∪[，]424361( )4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________【课堂小结】1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．xx如求y＝1－2sin2的导数．因为y＝1－2sin2＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.223．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.【拓展提高】1．若函数f(x)＝ex cos x，则此函数的图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为( ) A．0° B．锐角 C．直角 D．钝角2．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为___________4§1.2.3【知识要点】导数的运算法则设两个可导函数分别为f(x)和g(x)两个函数的和的导数两个函数的差的导数两个函数的积的导数两个函数的商的导数导数的四则运算法则(一)导学案[f(x)＋g(x)]′＝________________ [f(x)－g(x)]′＝_________________ ?f(x)g(x)??＝____________________ ??f(x)??g(x)?＝___________________ ??【问题探究】探究点一导数的运算法则例1 求下列函数的导数：x5＋x7＋x9（1）y＝3－lg x；（2）y＝(x＋1)(x－1)；（3）y＝.x跟踪训练1 求下列函数的导数：x2x－1xsin x（1）f(x)＝x・tan x；（2）f(x)＝2－2sin2；（3）f(x)＝；（4）f(x)＝. 2x＋11＋sin x探究点二导数的应用例2 （1）曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为_______________（2）在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为________t－1（3）已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝2＋2t2(位移单位：m，时间单位：s)，求t＝3 s时物体的瞬时t速度．跟踪训练2 （1）曲线y＝1A．－2π?sin x1－在点M??4，0?处的切线的斜率为 ( ) sin x＋cos x21B. 2C．－22 D． 221a（2）设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，其中a>0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，确定b、c的值．32【当堂检测】1．设y＝－2exsin x，则y′等于 ( )A．－2excos x B．－2exsin x C．2exsin x x2．曲线f(x)＝在点(－1，－1)处的切线方程为( )x＋2A．y＝2x＋1D．－2ex(sin x＋cos x)B．y＝2x－1 C．y＝－2x－35D．y＝－2x＋2感谢您的阅读，祝您生活愉快。
高中数学选修2-2 北师大版 2.1实际问题中导数的意义 学案
2.1实际问题中导数的意义一、学习要求能综合运用导数的几何意义及函数的单调性、极值、最值与导数的关系，解决有关问题。
二、问题探究■合作探究例1．设函数．（1）求的单调区间；（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。
解：（1）函数的定义域是.∵，∴，由即，解得或；由即，解得，∴的单调递增区间是，；单调递减区间是。
（2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，∴当时，是函数的极小值点，又，，，∴当时，∵时，不等式恒成立，∴，即，∴实数的取值范围是。
■自主探究1．设函数．（1）求的单调区间；（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。
解：（1）函数的定义域是.∵，∴，由即，不等式无解； 由即，解得或，∴的单调递减区间是。
（2）由（1）知，在上单调递减， ∴，∵时，不等式恒成立，∴，即，∴实数的取值范围是。
四、总结提升本节课你主要学习了 。
五、问题过关 1. 设，若函数（）有大于零的极值点，则（ ）。
．．．．解：∵，∴；∵函数（）有大于零的极值点，∴方程有正根，∴，此时, 由，得，∴。
故选。
2.设函数321()(1)4243f x x a x ax a =-+++，其中常数a R ∈。
（1）当1a >时，求函数()f x 的单调区间；（2）若3x ≥，()0f x '>恒成立，求实数a 的取值范围。
解：（1）∵2()2(1)4(2)(2)f x x a x a x x a '=-++=--，又1a > 由()(2)(2)0f x x x a '=-->，解得2x <或2x a >； 由()(2)(2)0f x x x a '=--<，解得22x a <<。
∴函数()f x 的单调递增区间为(,2)-∞，(2,)a +∞；函数()f x 的单调递减区间为(2,2)a 。
（2）若3x ≥，()0f x '>恒成立，等价于3x ≥时，(2)(2)0x x a -->恒成立，即3x ≥时，2xa <恒成立； ∵3x ≥时， 322x ≥， ∴32a <，即实数a 的取值范围是.。
北师大高中数学选修2-2课件：3.2.1实际问题中导数的意义(3)
问题: (１)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
(２)瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
答案
答案(续)
解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是
y f (r) 0.2 4 r3 0.8 r2
0.8 ( r 3
3 r 2 ),
0 r ≤6
3
令 f '(r ) 0.8(r 2 2r ) 0
L( x) x (3 x)2 1.52 (3 x) x2 1 0 , (3 x)2 1.52 x2 1
x (3 x)2 1.52 (3 x) x2 1, 1.25 x2 6 x 9 0. 解得 x 1.2 和 x 6 (舍去).
课外练习：
某造船公司年最高造船量是 20 艘. 已知造船 x 艘的产值函数 R(x)=3700x + 45x2–10x3(单位：万元), 成本函数为 C(x) = 460x + 5000 (单位：万元). 又在经济学中，函数 f(x)的边 际函数 Mf (x)定义为: Mf (x) = f (x+1) – f (x). 求:（提示：利润 = 产值 – 成本） (1)利润函数 P(x) 及边际利润函数 MP(x); (2)年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大?
复习
实际生活中的很多优化问题的解决都可归结
为寻求一个量的最值问题,一个量的最值问题转化
为数学问题通常都是求一个函数的最值问题,而函
数的最值问题的解决导数是一个强有力的工具.
利用导数解决优化问题的基本思路：
建立数学模型
优化问题
用函数表示数学问题
优化问题的答案 作答
解决数学模型
用导数解决数学问题
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实际问题中导数的意义
一、学习要求
能综合运用导数的几何意义及函数的单调性、极值、最值与导数的关系，解决有关问题。
二、先学后讲
1．导数的几何意义
函数在点处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即。
【注意】“切点”既在曲线上，也在切线上。
2.导数与单调性的关系
若函数在给定区间I单调递增(或单调递减)，则不等式（或
）在区间I上恒成立。
3．导数与极值的关系
若是可导函数的极值点，则。
三、问题探究
■合作探究
例1．设函数，其中，曲线在点
处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）求函数的单调区间。
解：（1）∵，∴，
依题意，得，即.
（2）由（1），得，；
∵，
∴由，解得或；
由，解得，
∴的单调递增区间是，；单调递减区间是。
四、总结提升
本节课你主要学习了。
五、问题过关
1.已知函数的图象与轴相切于点.
（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间；
（3）求函数在上的最值。
解：（1）∵，∴。
依题意，得，即，解得，，
∴。
（2）由（1）得，
令，解得或；
令，解得，
∴函数的单调递增区间是，；单调递减区间是。
（3）由（2）知，是极大值点，是极小值点；
又，，，，
∴函数在上的最大值是2，最小值是。
2.设函数，其中．
(Ⅰ)求的单调区间；
(Ⅱ)讨论的极值。
解：(Ⅰ)∵，∴，
令，解得，。
当时，，在上单调递增；
当时，，随的变化情况如下表：
递增递减递增
∴由表可知，函数的单调递增区间是，；单调递减区间是。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
当时，函数没有极值。
当时，函数在处取得极大值，极大值是1；在处取得极小值，极小值是.。