03屈服条件[1]
第3章屈服条件解析
( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2
'
3J 2
s
物理意义：
1 当材料质点内单位体积的弹性形变能（即形状变化的能 量）达到某临界时，材料形状就屈服。
2 当八面体剪应力为某一临界值时，材料形状就屈服了。
对于绝大多数金属材料，密席斯准则更接近于试验数据。 对于各向同性理想塑性材料共同特点： 1).等式左边都是不变量的函数。 2).拉应力和压应力的作用是一样的。
三个主剪力
当 1 2 3
( 1 2 ) / 2 ( 2 3 ) / 2 ( ) / 2 3 1
1 3 C
可用最简单的应力状态，如单向拉伸或纯剪（薄壁管扭转）试 验求C。
单向拉伸时，有
1 s , 2 3 0
3 2
` 8 3J 2
1 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 )]2 C 2
单向拉伸时，有
1 s , 2 3 0
1 2 1 2 ( x y ) 2 ( y z ) 2 ( z x ) 2 6( xy yz zx )
π平面上的屈服轨迹
3.4 中间主应力的影响 设σ 1 ≥σ 2 ≥σ 3 则：屈雷斯加准则可写成：
1 3 s
这时，中间主应力 准则中是有影响的。 罗氏应力参数 当 2 在
2 不影响材料的屈服，但在密席斯
2 1 3
2 2
1 3
1 至 3 之间变化时，
则： C=
s
屈雷斯加屈服准则：
1 3 s
塑性力学-屈服条件 (1)
3
外接圆的半径为: 外接圆的半径为
2 k 3
o
内切圆的半径为: 内切圆的半径为
2 k 2
−30o 1
30o
y 2
x
2 k 2
2 r=k 3
(2) Mises屈服条件 屈服条件(1913) 屈服条件 用外接圆柱面来代替正六棱柱面，屈服曲线就是正六边形的外 用外接圆柱面来代替正六棱柱面， 2 接圆 2 2 2 x + y = k 3 主应力表示： 主应力表示：
o
σ θ = σ ϕ > 0, σ r < 0
最大剪应力为
y
x
1 (σ θ − σ r ) 2
τ max =
σθ σr σϕ
由Tresca和Mises条件给出同样的屈服条件 和 条件给出同样的屈服条件
σθ − σ r = σ s
后继屈服条件及加、 第五节 后继屈服条件及加、卸载准则
1. 后继屈服条件的概念 什么是后继屈服？ 什么是后继屈服？ 后继屈服条件的一般形式？ 后继屈服条件的一般形式？ 简单拉伸： 简单拉伸： 进入塑性后卸载， 进入塑性后卸载，重新加载 •后继弹性、达到最高应力、 后继弹性、 后继弹性 达到最高应力、 再次进入塑性 后继屈服点与初始屈服点 •硬化材料一般要高 硬化材料一般要高 •位置不固定 位置不固定
平面上30度 实验确定 π 平面上 度 范围的初始屈服曲线 2 单拉： 点 单拉：A点
3
4
5
1
σ1 = σ s ,σ 2 = σ 3 = 0
µσ = −1, θσ = −30
o
6
o
−30o A B y
6
1 纯剪： 点 纯剪：B点 σ 1 = τ s , σ 2 = 0, σ 3 = −τ s
第三章 屈服准则
• 下一章来解决材料屈服后的应力应变的本构关系.
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
1. 屈服
物体受到荷载作用后，
随着荷载增大，由弹性状
态到塑性状态的这种过渡，
叫做屈服。
加载路径
2. 屈服条件
屈服点
物体内某一点开始产 生塑性应变时，应力或应 变所必需满足的条件，叫 做屈服条件。
only twist
Twist and extension
著名的Taylor和Quinney铜管拉扭 屈服试验(1931)
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
3. 屈服函数
一般情况下，屈服条件 与应力、应变、时间、温度 等有关，而且是它们的函数， 这个函数F称为屈服函数。
在不考虑时间效应(如应 变率)和温度的条件下：
在不考虑应力主轴旋转 情况下，可以用三个主应力 分量或应力不变量表示：
F( ij ,ij ,t,T ) 0
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
第三章 屈服准则
(yield criteria)
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
塑性模型三要素
屈服条件 流动法则
硬化规律
判断何时 达到屈服
屈服后塑性应变 增量的方向，也 即各分量的比值
决定给定的应力 增量引起的塑性 应变增量大小
弹塑性计算分 析的首要条件
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
这条曲线如图所示的红色曲线. 如果一个应力状态在这条曲线
第3章 屈服条件
3.3 屈服准则的几何表达-------屈服轨迹和屈服表面
一、两向应力状态的屈服轨迹
3 0
即可得到两向应力状态的密席斯屈服准则：
2 1
1 2
2 2
2 s
1 2 坐标平面上是一个椭圆，它的中心在原点，对称轴与坐标轴
成45°，长半轴为 2 s ，短半轴为
2 3
s
，与坐标轴的截距± s
这个椭圆就叫 1 2 平面上的屈服轨迹。
无明显物理屈服点 有物理屈服点
实际金属材料
b)理想弹塑性 c)理想刚塑性材料
d)弹塑性硬化
e)刚塑性硬化
3.2 屈服准则
1、屈雷斯加准则
法国工程师屈雷斯加（H.Tresca）提出
材料的屈服与最大切应力有关，即当受力材
料中的最大切应力达到某一极限值（定值）
时，材料发生屈服。
三个主剪力
当 1 2 3
( (
K
1 2
( 1
3)
2
S
（K表示屈服时的最大剪应力）
1
3
2K
S
屈雷斯加屈服准则K 0.5 S 按密席斯准则K （0.5 ~ 0.577） S
屈雷斯加屈服准则： 1 3 s
密席斯屈服准则：
(1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1)2 2 S 2
3.5 平面问题和轴对称问题中屈服准则的简化
则质点处于塑性状态；对于理想塑性材料，P点不可能在屈服轨迹的外面。
密席斯屈 服准则
屈雷斯加 屈服准则
屈服准则都是空间曲面，叫做屈服表面。
主应力空间中，屈雷斯 加屈服表面是一个内接 于米塞斯圆柱面的正六 棱柱面
1 2 s 2 3 s 3 1 s
屈服表面几何意义：主
弹塑性力学第七章屈服条件
其他领域中的屈服条件应用
生物医学
在生物医学领域，如人体骨骼、牙齿等组织 的力学性能分析中，需要考虑材料的屈服条 件。
能源工程
在核能、太阳能等能源工程领域，相关设备的材料 选择和设计需要考虑其屈服条件。
环境工程
在环境工程领域，如土压力、岩石压力等问 题的分析中，需要利用屈服条件来评估结构 的稳定性和安全性。
20世纪初，德国科学家R.Von Mises 提出Von Mises屈服条件，成为弹塑 性力学中最为广泛应用的屈服条件之 一。
现代屈服条件的进展
随着计算机技术和数值计算方法的不 断发展，现代屈服条件的研究更加深 入和广泛。
目前，研究者们正在探索更加精确和 实用的屈服条件，以适应各种复杂材 料和工程应用的需求。
弹塑性力学的重要性在于，许多工程结构和材料在承受外力 时，其变形行为既不是完全弹性也不是完全塑性，而是介于 两者之间。因此，理解弹塑性行为对于准确预测结构的响应 和保证工程安全至关重要。
屈服条件的概述
屈服条件是弹塑性力学中的一个基本概念，它描述了材料在应力达到某一特定值时开始发生屈服（即 塑性变形）的条件。
07 总结与展望
总结
屈服条件的定义与分类
总结了屈服条件的定义，以及按不同标准分类的屈服条件类型， 如按材料性质、应力状态等。
屈服条件的物理意义
解释了屈服条件在材料力学行为中的物理意义，包括材料内部的微 观结构变化、应力分布等。
屈服条件的应用场景
列举了屈服条件在不同工程领域中的应用，如结构稳定性分析、材 料强度设计等。
混合阶段中，应力-应变关系表现为非线性，材料同时具有弹性和 塑性行为。
加载和卸载路径的影响
在混合阶段，材料的响应不仅取决于当前的应力状态，还受到之前 加载和卸载路径的影响。
屈服条件
2 （2）纯剪：屈服时剪切应力为 s ,
主应力状态： 1 由Tresca屈服条件：
k1
1 3
2
s
s , 2 0, 3 s
k1
1 3
2
s
如材料服从Tresca屈服条件，则：
s 2 s
二、Mises屈服条件： • Tresca屈服条件没有考虑中间主应力对屈服的影响。 Mises屈服条件：当偏应力的第二个不变量达到某个极 限时，材料进入屈服。即：
有相同的形式，与坐标选择无关，故屈服函数可 表述为应力不变量的函数：
f ( I1，I 2，I3 )＝0
2、屈服与静水应力张量无关 屈服仅与应力偏量有关
f ( J 2，J3 )＝0 对岩土类材料，此假设不适用
3、拉伸和压缩是一致的 即应力分量改变符号时，屈服函数的值保持不变。
f ( ij )＝f ( ij )
（1）单轴拉伸：屈服时的主应力状态为1
同样Mises屈服条件中的材料常数k2可由简单实验确定
s , 2 3 0
3
J2
s2
3
k2 J 2
s
（2）纯剪：屈服时剪切应力为 主应力状态： 1
s,
k2 s
s , 2 0, 3 s
弹性状态
f ( ij ) 0
塑性状态
****一点的应力状态可用3个主应力和三个主方 向表示，屈服函数：
f (1， 2， 3，1，2，3 )＝0
二、基本假设 引入3个假设对屈服条件进行简化。 1、材料初始是各向同性的 由该假设，屈服条件与主应力作用的方位无 关，即屈服函数仅是主应力的函数： f (1， 2， 3 )＝0 应力空间以3个主应力为坐标轴，构成一个3 维空间（主应力空间）。屈服面可用3维空间的几 何图形直观地表示。 各向同性——在不同坐标系下，屈服函数具
3.屈服准则
1 3 1 23 33 3
1 2 1 22 32 2
(4-5) (4-6)
I’3 反映的是材料的变形类型
3.2 屈服平面和屈服曲线
由于一点的应力状态是个张量，因此该点的屈服与坐标 轴的选取无关，可以写成主应力的函数： (4-8) f (1, 2 , 3 ) 0 OP 1 i 2 j 3 k ( , , ) 3 1 2 3
3
C
B
CC
BB
A 30
屈服轨迹必须是封闭的，而且和 从原点出发的射线只能交于一点 （外凸的），否则将导致同一应 力状态既对应于弹性又对应塑性。
A
B
1
C
AA
2
单位矢量在平面上的长度
2
B v j v i
3.3 应力在平面上的坐标
’ 2
B’ v j’
Yield criteria
max 1 , 2 3 0
1 s 屈服发生， 此时
1 3 s C
扭转实验时：
σ1=k，σ2=0，σ3=-k
(4-13)
1 3 2 1 2k C
(4-14)
Yield criteria
Tresca 屈服条件表示为： 1 3 s 2k 在 平面： x
Yield criteria
在极坐标系中,
r x 2 y 2 1 1 ( 1 3 ) 2 (2 2 1 3 ) 2 2I 2 2 6
(4-9) (4-10)
tg
y 1 2 2 1 3 1 x 1 3 3 3
Yield criteria
第七章 屈服条件
****应力达到或超过该边界，材料进入塑性状态 应力达到或超过该边界， 应力达到或超过该边界 屈服）并开始发生塑性变形。 （屈服）并开始发生塑性变形。 应力空间中该边界以外的区域为塑性区， 应力空间中该边界以外的区域为塑性区， 该边界即为屈服面，该边界的函数即为屈服函数。 该边界即为屈服面，该边界的函数即为屈服函数。 ****屈服面将应力空间分成弹性区和塑性区，且塑 屈服面将应力空间分成弹性区和塑性区， 屈服面将应力空间分成弹性区和塑性区 形区将弹性区包围在内。 形区将弹性区包围在内。 f (σ ij ) < 0 弹性状态 f (σ ij )＝0 屈服条件 f (σ ij ) > 0 塑性状态 ****一点的应力状态可用 个主应力和三个主方 一点的应力状态可用3个主应力和三个主方 一点的应力状态可用 向表示，屈服函数： 向表示，屈服函数：
分析： 分析： ****应力空间的原点对应零应力状态。 应力空间的原点对应零应力状态。 应力空间的原点对应零应力状态 ****在应力空间的原点的某一邻域内，应力很小，材 在应力空间的原点的某一邻域内，应力很小， 在应力空间的原点的某一邻域内 料处于弹性状态， 料处于弹性状态，即围绕应力空间的原点有一个弹 性区，应力在弹性区内变化时，只发生弹性变形， 性区，应力在弹性区内变化时，只发生弹性变形， ****物体中一点的应力状态落在围绕应力空间的原 物体中一点的应力状态落在围绕应力空间的原 点的弹性区内时，该点发生弹性变形。 点的弹性区内时，该点发生弹性变形。 ****物体中一点的应力状态落在围绕应力空间的原 物体中一点的应力状态落在围绕应力空间的原 点的弹性区内时，该点发生弹性变形。 点的弹性区内时，该点发生弹性变形。 ****当应力增加到一定程度，材料将进入塑性状态。 当应力增加到一定程度，材料将进入塑性状态。 当应力增加到一定程度 即弹性区存在一个边界， 即弹性区存在一个边界，
屈服准则新版
各向同性应变硬化材料旳后续屈服轨迹
屈服轨迹 形状和中心位置由应力状态函数f(ij)决定， 轨迹旳大小取决于材料旳性质。
对于硬化材料和理想塑性材料旳屈服准则都可表达为 f ( ij ) Y
后续屈服准则也叫加载函数，因为各向同性应变硬化材料 旳硬化曲线 f ( ) Y 是等效应力旳单调增长函数，所以，对 硬化材料有： 1）当 d 0 时，为加载，表达应力状态从屈服轨迹向外移 动，发生了塑性流动；理想塑性材料不存在该情况； 2）当 d 0时，为卸载，表达应力状态从屈服轨迹向内移 动，发生了弹性卸载； 3）当d 0 时，表达应力状态保持在屈服轨迹上移动，对 于硬化材料，既不产生塑性流动，也不发生弹性卸载，为 中性变载。 对于理想塑性材料，此时，塑性流动继续进行， 仍为加载。
两个屈服准则旳统一体现式
设1>2>3，Tresca屈服准则为 1 3 s
表白中间主应力2不影响材料旳屈服。
为评价2对屈服旳影响，引入罗德（Lode）应力参数
2
3 1
1 3
2
2
1
2
1 3
3
2
式中：分子是三向应力莫尔圆中2到大圆圆心旳距离，分母为 大圆半径。当2在1与3之间变化时，则在1~-1之间变化。 所以， 实际上表达了2在三向莫尔圆中旳相对位置变化。
三、密塞斯（Von Mises）屈服准则
Mises屈服准则：当等效应力到达定值时，材料质点发 生屈服，该定值与应力状态无关。或者说，材料处于塑性 状态时，其等效应力是不变旳定值，该定值取决于材料变 形时旳性质，而与应力状态无关。
体现如下：
1
2
1 2 2 2 3 2 3 1 2 C
屈服准则
屈服准则:又称屈服条件或塑性条件，是判断材 料从弹性状态进入塑性状态旳判据。
塑性力学第三章-屈服条件
R P σ θ = q ,σ z = ,σ r ≈ 0 h 2πRh
P q
σ1 σ2
P
令
σ 1 = σ θ ,σ 2 = σ z ,σ 3 = σ r = 0
2σ 2 − σ 1 − σ 3 P − π R 2 q = µσ = σ1 − σ 3 πR 2 q
2σ 2 − σ 1 − σ 3 P − πR 2 q = µσ = σ1 −σ3 πR 2 q
_____ p
_____ p
2 p p dε ij dε ij 3
K = ϕ ( ∫ dW p ) , dW p = σ ij dε ijp
采用Mises屈服条件，线性强化 屈服条件， 采用 屈服条件
f = σ −σ s = 0
φ =σ −K = 0
简单拉伸时， 简单拉伸时，
σ = σ s + E pε p
第三章
一维问题的屈服
屈服条件
应力应变状态
三维应力状态的屈服
初始屈服条件 初始屈服曲面 初始屈服曲线
Tresca 屈服条件 Mises屈服条件
实验验证
初始屈服条件
初始弹性状态的界限为初始屈服条件
ɺ φ (σ ij , ε ij , ε ij , t , T ) = 0
影响因数： 应力 影响因数： 1应力、2应变、3应变率、4时间、5温度 应力、 应变 应变、 应变率 应变率、 时间 时间、 温度
1.15 1.10 1.05 1
M
µσ
用下的实验(Taylor,1931) 薄壁管轴向拉伸和内压作用下的实验(Taylor,1931)
T
T P
τ
P T , τ zθ = σz = 2πRh 2πR 2 h
屈服条件与破坏条件
rσ = 2J2 = 2c = 常数
若米塞斯条件τ s =0.57 σ s 4、两屈服条件关系 （a）规定简单拉伸时两屈服条件重合，则屈氏六边外形接米塞斯 圆。 （b）规定纯剪时两屈服条件重合，则米塞斯圆内切屈氏六边形。 5、米塞斯圆物理意义 与 J2 等，畸比能有关，表示其值达到某值时材料屈服。
( τ 12 (
≥ τ 23时)
τ12 ≤ τ 23 时)
1 1 1 F (τ13 , τ12 ) = (τ13 + τ12 ) = σ1 − (σ2 + σ3 ) = k 2 2 2 当τ > τ 时 12 23 F ( τ , τ ) = 1 ( τ + τ ) = 1 1 (σ + σ ) − σ = k 2 3 13 23 2 13 23 2 2 1 当τ12 < τ23时
谢谢大家！
b、 φ＝0， θσ = 0为米氏条件 c、θσ =-30°时，受拉破坏条件（平面上内角）
d、θσ =30°时，受拉破坏条件（平面上的外角） e、 σ =− sin φ ，内切圆破坏条件（屈服面积最小） θ
3
，k不同，塑性区差别可达4—5倍。屈服面积是关键，屈服曲 线形状影响不大。
3．4．3广义双剪应力条件 ． ． 广义双剪应力条件 广义压缩： = 1 ( τ13 + τ12 + β(σ 13 + σ12 ) − k ), σ ij = σ i + σ j F
5、子午平面上屈服曲线的特征 、
F = F1 ( I 1 ) + F 2 ( J 2 , θ σ ) θ 子午面上 I 1 、J 2 （ θ σ 为常数），平面上 J 2 、 σ （ I 1 为常数）
塑力 3、屈服条件
故，k 1 s / 2
纯剪切试验：
1 s , 2 0, 3 s
故，k 1 s
若材料满足Tresca屈服条件，则：
s
2
s
二、 Mises屈服条件
Tresca屈服条件有以下问题：没考虑中间主应力的影响； 当应力处在屈服面的棱线上时，处理会遇到数学上的困难； 主应力大小未知时，屈服条件十分复杂。因此， Mises(1913) 提出了另一个屈服条件：
（3）弹性形变比能形式： （Hencky） 根据弹性理论，形状改变比能 ：
Mises条件的常用形式([( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ]
6E (1 ) 1 1 4 2 2k 2 J2 ' J2 ' k2 E 2G 2G 3 3G
②、屈服面的形状 1 4 2 2 2 2 J 2 ' [( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) ] k 2 6 3
4k 2 8 r 2 J 2 ' 2 k 2 const 3 3
2
Mises屈服条件在平面上的一个圆，在应
2
1 2 2 k
1 2 k
2 2k
1 2k
0
1 2 2k
1
2 2k
Tresca屈服柱被 得到的图形。
3＝ 0
平面所截后
k的试验确定：
简单拉伸试验： 1 s , 2 3 0, 1 3 s
力空间是一个圆柱体。
③、 k的试验确定： 简单拉伸试验： J ' 2
4 2 1 k2 k2 s 3 3 2 纯剪切试验： J ' 2 4 k 2 k 3 2 s 2 2 s 3 2
塑性力学之屈服条件与破坏条件
强度条件
1 ( 2
3
)
b
n
[ ]
实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的 断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。
3. 最大切应力理论（第三强度理论）
最大切应力是引起材料屈服的主要因素。 即认为无论材料处
J2
1 2 Sij Sij
2J2
Sij Sij
J2
1 2
Sij
Sij
传统塑性力学中与I1无关
F (1, 2, 3) F1(J2, J3) F2 (q, ) F3(J2, ) 0
q
p
图3.4主应力空间金属材料屈服面 图3.5 p ,q,空间金属材料屈服面
3.1.5 子午线与π平面上的屈服线
图3.2 著名的Taylor-Quinney铜管拉 扭屈服试验(1931)
3.1.3 屈服函数
一般情况下，屈服条件 与应力、应变、时间、温度 等有关，而且是它们的函数 ，这个函数F称为屈服函数 。
在不考虑时间效应(如应 变率)和温度的条件下：
在各向同性的情况下， 可以用三个主应力分量或应 力不变量表示：
(当 s时) (当 s时)
◆ 理想刚塑性力学模型
理想刚塑性 力学模型亦 称刚性完全 塑性力学模 型，特别适 宜于塑性 极限载荷的 分析。其表 达式为:
s
(当 s时)
◆ 理想线性强化刚塑性力学模型
理想线 性强化刚 塑性力学 模型，其 应力应变 关系的数 学表达式 为：
s E1
3
1
3
2
2
2
1
3
2
3 1 3
第六章屈服条件
第六章 屈服条件§6.1应力空间与屈服条件弹性力学只研究物体在弹性范围内的变形规律；塑性力学的研究范围扩展到塑性变形阶段，研究材料在塑性变形情况下力与变形之间的关系。
材料在塑性变形时其内力应该满足一定的条件—屈服条件。
屈服条件是求解塑性力学问题所必需的补充方程。
屈服条件是塑性力学中的重要概念之一。
正确理解屈服条件的有关概念，对于分析和解决塑性力学问题是至关重要的。
在单向拉伸时，标志材料进入塑性状态的是应力达到材料的屈服极限s σ。
对于具有明显屈服极限的材料，s σ可以在拉伸曲线上找到。
而对于没有明显屈服极限的材料，则按规定用取对应于残余应变2.0=ε％时的应力作为材料的s σ。
但对于复杂应力状态，问题就复杂多了，因为一点的应力状态是由六个应力分量确定的，显然不应选取海六个应力分量中的某一个作为判断材料是否进入塑性状态的判据。
因此，在分析中需要引进应力空间和应变空间的概念。
所谓应力空间或应变空间就起以应力分量或应变分量为坐标轴所确定的空间。
任一点的应力状态或应变状态，可以通过变换用主应力或主应变来表示，由于其几何图形和数学表达式都比较简单，使用起来也非常方便，一般都采用主应力或主应变坐标系。
由主应力1σ、2σ和3σ所确定的应力状态，可以用应力空间中的一个点来表示。
在应力空间或应变空间中，每一个点都代表一个应力状态或一个应变状态。
应力或应变状态的变化，可以在相应空间中绘出一条相应的曲线，这样的曲线称为应力路径或应变路径。
根据不同路径所进行的实验，可以确定从弹性阶段进入塑性阶段的界限，即确定屈服点，这些屈服点连结起来后形成一个曲面，这样的曲面称为屈服面。
屈服面的数学表达式称为屈服函数。
对于理想塑性材料，这个曲面称为极限曲面，应力状态只能在这个曲面之内或在曲面之上。
在屈服面内的应力状态为弹性应力状态(弹塑性材料)或刚性状态(刚塑性材科)，而在屈服面上的应力状态则为塑性状态，即一旦应力状态到达屈服面之上，则认为材料已进入塑性状态了。
3-3屈服准则
3-3屈服准则第16章屈服准则yield criteria本章内容：屈服准则本章重点：两个屈服准则的表达及应用单向应力时：只要单向应力达到屈服极限，材料就屈服，进入塑性状态。
多向应力时：各应力分量—（屈服准则）—材料性能即?()ijσ=C材料性质：实际材料（理想弹塑性elastic-perfectly plastic，理想刚塑性rigid-perfectly plastic，弹塑性硬化harding plastic，刚塑性硬化）符合各向同性理想塑性材料perfectly plastic material的Tresca 和Mises 屈服准则16．1 Tresca 屈服准则（最大切应力不变条件）最大切应力达到一定值时，材料屈服。
由于()3212m ax 31σσστσσ>>±=-Tresca 屈服准则为：C =-31σσ（C 为常数，与材料有关）单向拉伸时由于0,321===σσσσs 有：s C σ=因此Tresca 准则为：s σσσ=-31或者=-=-=-s ssσσσσσσσσσ13平面问题中任意坐标系应力分量表示的Tresca准则为：()222m ax xyy x ττσσ+=-或者：()2s224στσσ=+-xyy x16．2 Mises 屈服准则（弹性形变能elastic strain energy 不变条件）等效应力σ达到一定值时，材料屈服。
()()()[]21323222121σσσσσσσ-+-+-=()()()()C zx yz xy x z z y y x =+++-+-+-=222216τττσσσσσσ单向拉伸时s σσσ==1 032==σσ 有s C σ=Mises 准则为：()()()22132322212sσσσσσσσ=-+-+-或()()()()222222226szxyzxyx z z y y xστττσσσσσσ=+++-+-+-平面应力状态：()003====σττσxz yz z Mises:=+-=+-+222212122223s s xy y x y x σσσσσστσσσσ 平面应变状态：0==zy yz ττ()23221σσσσσσ++==yx zMises:()?=++=-2342232214s xyy x s στσσσσσ 轴对称状态：0==z θρθττ()θρσσ= Mises:()??=-=+-s s z z σσσστσσρρ312223 ()()()2222226szz z στσσσσσσγγθθγ=+-+-+-16．3 屈服轨迹和屈服表面yield locus and yield surface 16．3．1 平面应力状态（03=σ）Tresca:s σσσ=-21 s σσ=2s σσ=1Mises:2222121sσσσσσ=+-两准则图上相同点：A 、C 、E 、G 、I 、K ，相差最大点：B 、D 、F 、H 、J 、L其中：A 、E 、G 、K ，单向应力状态。
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第3章屈服条件屈服条件的概念两个常用的屈服条件屈服条件的试验验证后继屈服条件3.1. 屈服条件的概念•3.1.1 屈服•3.1.2 屈服条件•3.1.3 屈服函数•3.1.4 屈服曲面•3.1.5 π平面上屈服曲线•3.1.6 应力偏张量矢量的计算1. 屈服物体受到荷载作用后，随着荷载增大，由弹性状态到塑性状态的这种过渡，叫做屈服。
物体内某一点开始产生塑性应变时，应力或应变所必需满足的条件，叫做屈服条件。
2.屈服条件屈服条件是材料处于弹性状态或塑性状态的判断准则。
单向拉伸时的屈服条件：考虑应力的组合对材料是否进入塑性状态的影响。
s σσ<sσσ=弹性状态进入塑性状态σσ空间应力状态：3. 屈服函数在不考虑应力主轴旋转情况下，可以用三个主应力分量或应力不变量表示：)(=ijFσ),,(321=σσσF321=),,(JJJF32=''),(JJF在不考虑时间效应(如应变率)和温度的条件下：4.屈服面在应力空间内屈服函数表示为屈服面。
根据不同的应力路径实验，在应力空间将这些屈服点连接起来，就形成一个区分弹性和塑性的屈服面。
L 直线——通过原点，与三条坐标轴成相同夹角的直线。
p 平面——通过主应力空间原点，与L 直线垂直的平面。
其方程为：321=++σσσσ3Nσ2σ 1OSP(σ1,σ2,σ3)Lp 332211i i i σσσ++=OP ONOS S S S OP m m m +=+++++=)()(321332211i i i i i i σσσP 1ON 沿L 直线，OS 在p 平面上结论：屈服曲面是以SP 为母线的柱面设：P 为屈服曲面上的一点屈服曲线（屈服轨迹）—屈服曲面与p 平面的交线5. 屈服曲线的性质σ1'σ2'σ3'1σ'⊥2σ'⊥3σ'⊥1. 原点必在屈服曲线内。
屈服曲线是外凸的封闭曲线。
2.321σσσ'⊥'⊥'⊥,,3.是对称轴321σσσ''',,是对称轴结论：只需确定中心角30范围内的曲线即可。
6.应力偏张量矢量的计算()2321233J OS ON '=++=σσσσ3Nσ2σ1OSP(σ1,σ2,σ3)Lpp P 1332211i i i σσσ++=OP ONOS S S S OP m m m +=+++++=)()(321332211i i i i i i σσσ()232221221s s s J ++='σ1' σ2'σ3'OSxyq设i , j 的端点用1 ，2 表示投影用1’，2’表示21222=+=j iσ1σ2σ3O12σ1’σ2’σ3’O1’2’21221==''32322230121211=⨯=︒''='cos O jj σσ32='在p 平面上取直角坐标系Oxy则S 在x 、y 轴上的投影为：()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-6 , 22,0,032 , 00,,06 , 220,0,33322111σσσσσσσσ如果在p 平面上取极坐标r 、q ，则σμσσσσσq 31231231312222=---=='=+=x y tg J y x r ()()3123126121σσσσσ--=-=y xσ1'σ2'σ3'OSxyq常见应力状态单向拉伸：σσ︒-=-=301q μσ , 单向压缩：σσ︒==301q μσ , 纯剪切：τ︒==00q μσ , 11≤≤-σμ故，取单拉--纯剪：0~30曲线最后，将代入式x,y的表示式，就有：解得：基本概念小结屈服条件屈服函数屈服曲面屈服曲线以应力(应变)函数形式表达在应力空间内的表示在π平面的投影屈服弹性塑性的过渡应力(应变)满足条件. 几种常用的屈服条件3.2.1 Tresca 屈服条件（1864，法国）在物体中，当最大剪应力达到某一极限值时，材料便进入塑性状态。
1. 主应力次序已知时：321σσσ≥≥k=-=231max σστ单向拉伸时：σσ,321===σσσσk s==2max στs σσ=2sk σ=纯剪切应力状态时：τsττ=τσστσ-===321 ,0 ,ks ==ττmax ss στ=k231=-σσ2. 主应力次序未知时：三个式子中，只要一个式子取等号，材料便进入塑性状态。
几何表示：正六棱柱面k231=-σσk 221=-σσk232=-σσp 平面：通过坐标原点的等倾面将σ1，σ2 ，σ3向p 平面投影σ'1σ'2σ'312001200σ1σ3σ2p垂直于平面p 平面上的屈服轨迹：正六边形。
322k3. 平面应力状态：03=σk21=σk 221=-σσk22=σσ1σ2k221=-σσk 221-=-σσk21=σk21-=σk22=σk22-=σ 在主应力次序已知时使用方便。
当主应力次序未知时，数学表达式不连续，使用不便。
但在主应力未知的情况下，使用Tresca 屈服条件往往就很不方便。
这时，可用应力偏量的两个不变量来表示Tresca 屈服条件。
由偏张量第三不变量表示式及（2-40）和2-41）有：()3123323322222sin sin sin 3332sin 333J S S S r J p p q q q q'=⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'=-故有：13322331sin ,32()6J J p q q -⎡⎤'-⎛⎫=≤⎢⎥ ⎪'⎝⎭⎣⎦于是，Tresca 屈服条件将变成：1322cos 2cos 2S S r J k q q '-===或一般地写为：()213322331cos sin 1032J J f k J -⎧⎫⎡⎤''-⎪⎪=-=⎢⎥⎨⎬'⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭3.2.2 Mises 屈服条件（1913，德国）322k382222kR y x ==+()3122σσ-=x ()312261σσσ--=y ()()()22132322218k=-+-+-σσσσσσσ1'σ2'σ3'Oxyσ'1σ'2σ'3322kxy()()()22132322218k=-+-+-σσσσσσ Mises 条件的常用形式：（1）应力张量第二不变量形式：222k J ='()()()[]2221323222161k =-+-+-σσσσσσ()()()222132322216k =-+-+-σσσσσσ单向拉伸时：0 ,321===σσσσsσσ=纯剪切时：sττ=τσστσ-===321 ,0,32sk σ=sk τ=23ss στ=Mises 条件的常用形式：（1）应力张量第二不变量形式：222k J ='()()()222132322216k =-+-+-σσσσσσ单向拉伸时：纯剪切时：32sk σ=sk τ=2()()()22132322212sσσσσσσσ=-+-+-()()()()[]2222222661zx yz xy x z z y y x J τττσσσσσσ+++-+-+-='()()()()222222226szxyzxyx z z y y x στττσσσσσσ=+++-+-+-Mises 条件的常用形式：（2）应力强度形式：()()()22132322212sσσσσσσσ=-+-+-()()()[]s σσσσσσσ=-+-+-21323222121sσσ= 应力强度达到单伸时材料的屈服极限时，材料便进入塑性状态。
（A.A.Ilinshin ）（4）等倾面上的剪应力形式：（A.L.Nadai ）（3）形变比能形式：（Hencky ）2832J '=τ平面应力问题的Mises 条件：()()()22132322212sσσσσσσσ=-+-+-2222221sσσσσσ=+-σ1σ2k2sk σ=2()()()()222222226szxyzxyx z z y y x στττσσσσσσ=+++-+-+-0,,0,,===zx yz xy z y x τττσσσ22223sxyy x y x στσσσσ=+-+ 平面应变问题的Mises 条件？=zε解：())(1yxzz Eσσμσε+-=)(21yxzσσσ+=Mises屈服条件：()()()()222222226szxyzxyxzzyyxστττσσσσσσ=+++-+-+-==zxyzττ()()222222622sxyxyxyyxστσσσσσσ=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-222312sxyyxστσσ=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-)(212yxzσσσσ+==Tresca屈服条件：22122xyyxyxτσσσσσ+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++===zxyzττ222412sxyyxστσσ=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-22322xyyxyxτσσσσσ+⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+=sσσσ=-31sxyyxστσσ=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2222例2：两端封闭薄壁管受轴向拉伸应力σ 和内压p 作用，内半径为：r 。
壁厚为：t 。
写出M 和T 条件。
0,2,321≈-=+==p tpr t pr σσσσpσσσ2σ1:Mises 1:31=-sTresca σσσ解：()()()22132322212sσσσσσσσ=-+-+-12322=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛st prs σσσ1:2=≥st pr t pr σσ12:2=+≤ss t pr t pr σσσσ:Mises :Tresca 1:2=≥st prt pr σσ12:2=+≤ss t prt pr σσσσ12322=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s t prs σσσ0=σ32st pr σ=22st pr σ=MPacm t cm r s 240,4,40===σ:Mises MPap l 65.5=:Tresca MPap l 9.4=作业：3－1，3－2，3－3. . 最大偏应力屈服条件（双剪应力屈服条件）静水压力对屈服条件没有显著影响，当最大偏应力（绝对值）达到某一极值时，材料屈服。
假定拉伸和压缩的屈服极限相同时，屈服条件：1. 简单拉伸试验：此时：最大偏应力屈服条件可等价为：不难看出，T屈服条件和最大偏应力屈服条件分别对应于屈服面的下界和上界。
主剪应力的绝对值定义式为或显然与双剪应力屈服条件是等价的。
一般情况下，最大偏应力屈服条件改写为：其中结合（2-40）和（2-41）可写成：。