【志鸿优化设计】2016届高考数学(文)一轮复习课件 第四章 三角函数、解三角形4.8
【优化设计】高考数学(人教版,文科)一轮总复习精品课件： 三角函数的图象与性质(共31张PPT)
{y|-1≤ y≤1}
R
3.3 三角函数的图象与性质 第三章
5-5-
在 - π + 2kπ, π + 2kπ
2
2
单 上递增,k∈Z;
调 性
在 π + 2������π, 3π + 2kπ
2
2
上递减,k∈Z
x= π+2kπ (k∈Z)时,
2
最 ymax=1; 值 x=-π+2kπ (k∈Z)时,
2
在
π 4
,
5π 4
单调递减,所以要使函数
f(x)=sin
������������
+
π 4
在
π 2
,π
单调递减,需满足
π 4
×
5π 4
×
���1������1���≤≥π2π,,解得12≤ω≤54.
关闭
A
考点一 考点二 考点三 考点四 思想方法
解析 答案
第三章
3.3 三角函数的图象与性质
-1188-
考点一 考点二 考点三 考点四 思想方法
关闭
解析 答案
第三章
3.3 三角函数的图象与性质
-1166-
方法提炼
1.熟记 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的单调区间是求复杂的三角函数单调区 间的基础.
2.求形如 y=Asin(ωx+φ)+k 的单调区间时,只需把 ωx+φ 看作一个整体 代入 y=sin x 的相应单调区间即可,注意 A 的正负以及要先把 ω 化为正数. 求 y=Acos(ωx+φ)+k 和 y=Atan(ωx+φ)+k 的单调区间类似.
2016届人教A版高考数学大一轮复习课件 第4章 三角函数、解三角形 第4讲
()
基础诊断
考点突破 课堂总结 第二十页，编辑于星期五：十八点 四十二分。
解析 (1)2ωπ＝254π－π4，即 ω＝1， ∴f(x)＝sin(x＋φ)， ∴fπ4＝sinπ4＋φ＝±1. ∵0＜φ＜π，∴π4＜φ＋π4＜54π， ∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4. (2)y＝2cos2x－π4－1＝cos2x－π2＝sin 2x 为奇函数，最小正 周期 T＝22π＝π. 答案 (1)A (2)A
当 t＝1 时，ymax＝1； 当 t＝－ 2时，ymin＝－12－ 2.
∴函数的值域为－12－
2，1.
答案
(1)x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π，k∈Z
(2)－12－
2，1
基础诊断
考点突破 课堂总结 第十八页，编辑于星期五：十八点 四十二分。
考点二 三角函数的奇偶性、周期性、对称性
【例 2】 (1)已知 ω＞0,0＜φ＜π，直线 x＝π4和 x＝54π是函数 f(x)
法二 利用三角函数线， 画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．
∴定义域为x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π，k∈Z
.
基础诊断
考点突破 课堂总结 第十六页，编辑于星期五：十八点 四十二分。
法三 sin x－cos x＝ 2sinx－π4≥0，将 x－π4视为一个整体，
由正弦函数 y＝sin x 的图象和性质可知 2kπ≤x－π4≤π＋2kπ，
基础诊断
考点突破 课堂总结 第十四页，编辑于星期五：十八点 四十二分。
【训练 1】 (1)函数 y＝ sin x－cos x的定义域为________. (2)函数 y＝sin x－cos x＋sin xcos x 的值域为________.
【志鸿优化设计】(山东专用)高考数学一轮复习 第四章三角函数、解三角形4.2同角三角函数的基本关系及三角
课时作业19 同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公式一、选择题1．点M (2，tan 300°)位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．锐角α终边上一点A 的坐标为(2sin 3，－2cos 3)，则角α的弧度数为( )． A ．3 B ．π－3C ．3－π2D ．π2－33．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( )．A ．1－k 2kB ．－1－k 2k C ．k1－k2D ．－k1－k24．(2013山东师大附中高三模拟)已知tan α＝2，则π＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值为( )．A ．－12B ．－2C ．12D ．25．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( )． A ．－7210 B ．7210C ．－210 D ．2106．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin 2α的值为( )．A ．103B ．53C ．23D ．－2 7．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－s in αcos α的值是( )．A ．25B ．－25C ．－2D ．2 二、填空题8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos πx ，x >0，f x ＋＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值为__________．9．sin 29π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－29π3－tan 25π4＝__________.10．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝__________. 三、解答题11．已知f (α)＝π－απ－α－α＋π－－α－π－π－α.(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．12．已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R )的两个根．(1)求cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ的值；(2)求tan(π－θ)－1tan θ的值．参考答案一、选择题1．D 解析：∵tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－3， ∴M (2，－3)．故点M (2，tan 300°)位于第四象限．2．C 解析：tan α＝－2cos 32sin 3＝－1tan 3＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3－π2，且α与3－π2的范围均在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，所以α＝3－π2. 3．B 解析：∵cos(－80°)＝cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－cos 280°＝1－k 2.∴tan 100°＝－tan 80°＝－sin 80°cos 80°＝－1－k2k.4．C 解析：cos(π＋α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－cos α－sin α＝1tan α＝12，选C.5．A 解析：由cos α＝－45，α是第三角限角，得sin α＝－35，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22(sin α＋cos α)＝－7210.6．A 解析：由3sin α＋cos α＝0，有tan α＝－13.∴1cos 2α＋sin 2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＋2sin αcos α＝1＋tan 2α1＋2tan α＝103. 7．A 解析：由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，即tan α＝2. 所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝25. 二、填空题 8．52 解析：由已知，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋2＝－cos 2π3＋2＝52. 9．0 解析：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋5π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－10π＋π3－tan ⎝⎛⎭⎪⎫6π＋π4 ＝sin 5π6＋cos π3－t an π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6＋12－1 ＝sin π6－12＝12－12＝0.10．4512解析：原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋12＋1＝441111++++个＋12＋1＝4512.三、解答题11．解：(1)f (α)＝sin(π－α)cos(2π－α)tan(－α＋π)－tan(－α－π)sin(－π－α)＝sin αcos α(－tan α)tan αsin α＝－cos α.(2)∵α是第三象限角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15， ∴sin α＝－15，∴cos α＝－1－sin 2α－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝－265.∴f (α)＝－cos α＝265.12．解：由已知原方程的判别式Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0，∴a ≥4或a ≤0.又⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝a ，sin θcos θ＝a ，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，则a 2－2a －1＝0，从而a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)，因此sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2.(1)cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin 3θ＋cos 3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－s inθcos θ＋cos 2θ)＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.(2)tan(π－θ)－1tan θ＝－tan θ－1tan θ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θcos θ＋cos θsin θ＝－1sin θcos θ ＝－11－2＝1＋ 2.。
2016届高考数学一轮复习课件 第四章 三角函数、解三角形4.4
图象及应用
第一页，编辑于星期五：二十点 四十二分。
第四章
4.4
考纲要求
1.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物
理意义;能画出 y=Asin(ωx+φ)
的图象,了解参数 A,ω,φ 对函数
图象变化的影响.
2.了解三角函数是描述周期变
化现象的重要函数模型,会用
三角函数解决一些简单实际问
2
12
关闭
π
π
π
y=
2sin
3
+
=
2sin
3
+
的图象,故选 A.
√
√
A
12
2
4
解析
解析
答案
答案
第十一页，编辑于星期五：二十点 四十二分。
4.4
第四章
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
考情概览
考点一
考点二
知识梳理
核心考点
核心考点
学科素养
考点三
π
10
2.将函数 y=sin x 的图象上所有点向右平移 个单位长度,再把所得各
(1)定点:如下表所示.
-φ 3 -φ 2-φ
φ
-φ
2
x
2
ω
ω
ω
ω
ω
3
0
π
2π
ωx+φ
2
2
y=Asin(ωx+φ)
0
A
0
-A
0
(2)作图:在坐标系中描出这五个关键点,用平滑的曲线顺次连接得到
y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象.
2016届人教A版高考数学大一轮复习课件 第4章 三角函数、解三角形 第1讲
考点突破
课堂总结
第一页，编辑于星期五：十八点 四十二分。
第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数
最新考纲 1.了解任意角的概念；2.了解弧度制的概念，能进行 弧度与角度的互化；3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正 切)的定义．
基础诊断
考点突破
课堂总结
第二页，编辑于星期五：十八点 四十二分。
解析 设扇形圆心角为 α，半径为 r，则 2r＋|α|r＝4，∴|α|＝4r－2. ∴S 扇形＝12|α|·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1， ∴当 r＝1 时，(S 扇形)max＝1， 此时|α|＝2. 答案 1 2 1
基础诊断
考点突破
课堂总结
第二十六页，编辑于星期五：十八点 四十二分。
微型专题 三角函数线的应用 三角函数线是三角函数的几何特征，具有重要的意义，考生 在平时的备考中总认为它是概念性内容，事实并不然，其应 用十分广泛，除了用来比较三角函数值的大小，解三角不等 式外，还是数形结合的有效工具，借助它不但可以准确画出 三角函数图象，还可以讨论三角函数的性质．
＝
()
A．45
B．35
C．－35
D．－45
解析 由三角函数的定义知 cos α＝ －－442＋32＝－45 .
故选 D．
答案 D
基础诊断
考点突破
课堂总结
第十页，编辑于星期五：十八点 四十二分。
5．(人教A必修4P10A6改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对 的圆心角大小为_________弧度．
答案
解 (1)设弧长为 l，弓形面积为 S 弓，则
α＝60°＝π3，R＝10，l＝π3×10＝103π (cm)，
S 弓＝S 扇－S△＝12×103π×10－12×102×sin
【志鸿优化设计】(湖南专用)高考数学一轮复习 第四章三角函数、解三角形4.1任意角和弧度制及任意
第四章 三角函数、解三角形4．1 任意角和弧度制及任意角的三角函数考纲要求1．了解任意角的概念和弧度制的概念． 2．能进行弧度与角度的互化．3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．1．任意角 (1)角的分类任意角可按旋转方向分为____、____、____. (2)2(1)弧度制长度等于__________长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，以__________作为单位来度量角的制度叫做弧度制．(2)角度与弧度之间的换算360°＝__________rad,180°＝__________rad,1°＝π180rad ，1 rad ＝__________.(3)弧长、扇形面积公式 设扇形的弧长为l ，圆心角为α(弧度)，半径为r ，则l ＝__________；S 扇形＝__________＝__________.有向线段MP 叫做角的正弦线 有向线段OM 叫做α的余弦线 有向线段AT 叫做角的正切线1．终边与坐标轴重合的角α的集合为( )．A ．{α|α＝k ·360°，k ∈Z }B ．{α|α＝k ·180°，k ∈Z }C ．{α|α＝k ·90°，k ∈Z }D ．{α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z }2．设角α终边上一点P (－4a,3a )(a ＜0)，则sin α的值为( )． A ．35 B ．－35 C ．45 D ．－453．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( )．A ．2B ．sin 2C ．2sin 1D ．2sin 14．已知sin θ＜0，tan θ＞0，那么θ是( )． A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角5．若点P 在角23π的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标为__________．一、象限角及终边相同的角【例1－1】若α是第三象限的角，则π－12α是( )．A ．第一或第二象限的角B ．第一或第三象限的角C ．第二或第三象限的角D ．第二或第四象限的角【例1－2】已知角α是第一象限角，确定2α，α2的终边所在的位置．方法提炼1．对与角α终边相同的角的一般形式α＋k ·360°的理解． (1)k ∈Z ；(2)α是任意角；(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无穷多个，它们相差360°的整数倍．2．已知α的终边位置，确定k α，αk(k ∈N *)的终边的方法：先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出k α或αk 的范围，然后就k 的可能取值讨论k α或αk的终边所在位置．提醒：不少同学往往容易把“小于90°的角”等同于“锐角”，把“0°～90°的角”等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°＜α＜90°}，第一象限角的集合为{α|k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z }．请做演练巩固提升1二、扇形的弧长、面积公式的应用【例2】已知一扇形的圆心角为α(α＞0)，所在圆的半径为R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C (C ＞0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 方法提炼(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷． (2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．(3)记住下列公式：①l ＝αR ；②S ＝12lR ；③S ＝12αR 2.其中R 是扇形的半径，l 是弧长，α(0＜α＜2π)为圆心角，S 是扇形面积．请做演练巩固提升2不理解三角函数的定义而致误【典例】 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上的一点，且sin θ＝－255，则y ＝__________.错解：因P (4，y )是角θ终边上的一点，且sin θ＝－255.∴sin θ＝y ＝－255.错因：题中P 点不在单位圆，不能直接用定义表示sin θ，而应利用下列方法求解， 若角α终边上任意一点P (x ，y )，|OP |＝r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x这两个定义是等价的．正解：P (4，y )是角θ终边上的一点，由三角函数的定义知sin θ＝y16＋y2，又sin θ＝－255，∴y 16＋y2＝－255，解得y ＝－8. 答案：－8答题指导：对于三角函数的定义要牢固记忆，并且与单位圆中的要区分开，要知道只有在单位圆中点的纵坐标才是角θ的正弦，而本题的错因恰是对三角函数的定义理解不清而导致．1．若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α在( )． A ．第一或第三象限 B ．第一或第二象限 C ．第二或第四象限 D ．第三或第四象限2．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )． A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或43．(2012大纲全国高考)正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝13.动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为( )．A ．8B ．6C ．4D ．34．角α的终边上有一点P (3t,4t )(t ∈R 且t ≠0)，则sin α的值是__________． 5．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)正角 负角 零角 (2){α|2k π＜α＜2k π＋π2，k ∈Z } {α|2k π＋π2＜α＜2k π＋π，k ∈Z }{α|2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z } {α|2k π＋3π2＜α＜2k π＋2π，k ∈Z } 2．(1)半径 弧度 (2)2π π ⎝ ⎛⎭⎪⎫180π° (3)|α|r 12lr 12|α|r 23．y x yx正 正 正 正 负 负负 负 正 负 正 负 sin α cos α tan α基础自测1．C 解析：当角α的终边在x 轴上时，可表示为k ·180°，k ∈Z .当角α的终边在y 轴上时，可表示为k ·180°＋90°，k ∈Z .∴当角α的终边在坐标轴上时，可表示为k ·90°，k ∈Z . 2．B 解析：设P 与原点的距离为r ， ∵P (－4a,3a )，a ＜0，∴r ＝(－4a )2＋(3a )2＝|5a |＝－5a .∴sin α＝3a r ＝－35.3．C 解析：由已知可得该圆的半径为1sin 1.∴2弧度的圆心角所对的弧长为2×1sin 1＝2sin 1.4．C 解析：∵sin θ＜0，∴θ在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上， 又tan θ＞0，∴θ在第一或第三象限， ∴θ在第三象限．5．(－1，3) 解析：根据三角函数的定义，x ＝|OP |cos 23π＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，y ＝|OP |sin 23π＝2×32＝ 3.∴P 点的坐标为(－1，3)．考点探究突破【例1－1】B 解析：由已知，得2k π＋π＜α＜2k π＋32π(k ∈Z )，∴－k π＋π4＜π－α2＜－k π＋π2(k ∈Z )．∴π－α2是第一或第三象限的角．【例1－2】 解：∵α是第一象限的角，∴k ·2π＜α＜k ·2π＋π2(k ∈Z )．(1)k ·4π＜2α＜k ·4π＋π(k ∈Z )． 即2k ·2π＜2α＜2k ·2π＋π(k ∈Z )．∴2α的终边在第一象限或第二象限或y 轴的非负半轴上．(2)k ·π＜α2＜k ·π＋π4(k ∈Z )，当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＜α2＜2n π＋π4(n ∈Z )．∴α2的终边在第一象限．当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，(2n ＋1)π＜α2＜(2n ＋1)π＋π4(n ∈Z )，即2n π＋π＜α2＜2n π＋5π4(n ∈Z )，∴α2的终边在第三象限． 综上，α2的终边在第一象限或第三象限．【例2】 解：(1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，则α＝60°＝π3，R ＝10，l ＝|α|R ＝π3×10＝10π3(cm)， S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×102×sin π3＝50π3－5032＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32(cm 2)．(2)扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴R ＝C2＋α，∴S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋α2 ＝C 22α·14＋4α＋α2 ＝C 22·14＋α＋4α≤C 216. 当且仅当α2＝4，即α＝2弧度时，扇形面积有最大值为C 216cm 2.演练巩固提升1．A 解析：当k 为奇数时，α在第三象限；当k 为偶数时，α在第一象限．2．C 解析：设扇形的半径为r ，弧长为l ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2.解得r ＝1，l ＝4或r ＝2，l ＝2.3．B 解析：如图，由题意：tan∠BEF ＝12，∴KX 21＝12，∴X 2为HD 中点，X 2D X 3D ＝12，∴X 3D ＝13， X 4C X 3C ＝12，∴X 4C ＝13， X 5H X 4H ＝12，∴X 5H ＝12， X 5A X 6A ＝12，∴X 6A ＝13，∴X 6与E 重合， 故选B.4．±45解析：∵P (3t,4t )，∴原点O 到P 点的距离|OP |＝5|t |，∴sin α＝4t 5|t |＝±45.5．解：∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，设P 到原点的距离为r ， 则x ＝4t ，y ＝－3t .r ＝x 2＋y 2＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |，当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45.tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35.cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45.tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34.。
高三数学一轮课件 第四章 三角函数与解三角形 4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
解得 x=������2π + 1π2-θ,k∈Z.
由于函数 y=g(x)的图象关于点
5π 12
,0
成中心对称,令������2π + 1π2-
θ=51π2,k∈Z,解得 θ=������2π − π3,k∈Z. 由 θ>0 可知,当 k=1 时,θ 取得最小值π6.
考点1
考点2
考点3
-16-
解题心得1.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种作法:
3
上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变),
即可得到 y=2sin
2������ + π
3
的图象.
-20-
考点1
考点2
考点3
考点 2 求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式(多考向)
考向一 由函数的图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
例2函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则( )
=2sin x'.
列表:
x
x'=2x+������
3
y=sin x' y=2sin 2x + ������
3
-���6���
������ 12
������
0
2
01
02
������ 7������ 3 12
3������ π
2 0 -1
0 -2
5������ 6 2π
0 0
-19-
考点1
考点2
考点3
高三数学一轮复习教学课件
第四章 三角函数、解三角形
4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
【志鸿优化设计】(湖南专用)高考数学一轮复习 第四章三角函数、解三角形4.3三角函数的图象与性质
课时作业19 三角函数的图象与性质一、选择题1．(2013届湖南师大附中月考)若点(m,4)在函数y ＝2x的图象上，则函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12mx ＋π3的最小正周期为 ( )．A ．πB ．π2C ．2πD ．4π2．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )． A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π23．(2012福建高考)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一条对称轴是( )．A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π24．将函数y ＝sin x －3cos x 的图象沿x 轴向右平移a (a ＞0)个单位长度，所得函数的图象关于y 轴对称，则a 的最小值是( )．A.7π6B.π2C.π6D.π35．函数f (x )＝1－2sin 2x ＋2cos x 的最小值和最大值分别为( )．A ．－1,1B ．－32，－1C ．－32，3D ．－2，326．函数y ＝sin x ＋tan x －|sin x －tan x |在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，32π内的取值范围是( )． A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．[－2,0] D ．[0,2]7．已知函数f (x )的导函数的图象如图所示．若△ABC 为锐角三角形，则一定成立的是( )．A ．f (sin A )＞f (cosB ) B ．f (sin A )＜f (cos B )C ．f (sin A )＞f (sin B )D ．f (cos A )＜f (cos B )二、填空题8．函数y ＝1－tan x 的定义域是__________．9．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π3的值域是__________．10．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________．三、解答题11．已知f (x )＝23cos 2x ＋sin 2x －3＋1(x ∈R )． (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间；(3)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，求f (x )的值域． 12．是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题1．D 解析：当a ＝1或a ＝－1时，相邻两交点间的距离最大，为2π.2．A 解析：C ，D 两项中函数的周期都为2π，不合题意，排除C ，D ；B 项中y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为增函数，不合题意；A 项中y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，该函数符合题意，故选A.3．C 解析：函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的对称轴是x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即x＝k π＋3π4，k ∈Z .当k ＝－1时x ＝－π＋3π4＝－π4.故选C.4．C 解析：∵y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，经平移后的函数图象所对应解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －a －π3，它关于y 轴对称，∴－a －π3＝k π＋π2，k ∈Z .又a ＞0，由分析可知a 的最小值为π6.故选C.5．C 解析：∵f (x )＝1－2sin 2x ＋2cos x ＝1－2(1－cos 2x )＋2cos x ＝2cos 2x ＋2cos x－1＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋122－32， 又∵x ∈R ，∴cos x ∈[－1,1]．∴当cos x ＝－12时，f (x )min ＝－32；当cos x ＝1时，f (x )max ＝3.选C.6．A 解析：∵y ＝sin x ＋tan x －|sin x －tan x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2tan x ，π2<x ≤π，2sin x ，π<x <32π，当π2＜x ≤π时，2tan x ∈(－∞，0]， 当π＜x ＜32π时，2sin x ∈(－2,0)．∴y 的值域为(－∞，0]．7．A 解析：因为△ABC 为锐角三角形，所以A ＋B ＞π2，即A ＞π2－B .又A ，π2－B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin A ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ＞0. 由图象知，在(0，＋∞)上f ′(x )＞0， 所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 所以f (sin A )＞f (cos B )．故选A. 二、填空题8.⎝⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π＋π4(k ∈Z ) 解析：由1－tan x ≥0，得tan x ≤1，∴k π－π2＜x ≤k π＋π4(k ∈Z )．9.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，12 解析：∵0＜x ≤π3， ∴π3＜x ＋π3≤23π， 又y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 23π≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＜cos π3，即－12≤y ＜12.10．(1,3) 解析：f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝3sin x ，x ∈[0，π]， －sin x ，x ∈(π，2π]．如图所示，则k 的取值范围是1＜k ＜3.三、解答题11．解：f (x )＝sin 2x ＋3(2cos 2x －1)＋1＝sin 2x ＋3cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1.(1)函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，得2k π－5π6≤2x ≤2k π＋π6.∴k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )．∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． (3)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4， ∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6.∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. ∴f (x )∈[0,3]．12．解：y ＝1－cos 2x ＋a cos x ＋58a －32＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －a 22＋a 24＋58a －12.∵0≤x ≤π2，∴0≤cos x ≤1.①若a2＞1.即a ＞2，则当cos x ＝1时，y max ＝a ＋58a －32＝1⇒a ＝2013＜2(舍去)；②若0≤a2≤1，即0≤a ≤2，则当cos x ＝a 2时，y max ＝a 24＋58a －12＝1，∴a ＝32或a ＝－4＜0(舍去)；③若a2＜0，即a ＜0，则当cos x ＝0时，y max ＝58a －12＝1 a ＝125＞0(舍去)．综上可知存在a ＝32符合题意．。
【志鸿优化设计】(安徽专用)高考数学一轮复习 第四章三角函数、解三角形4.5三角恒等变换试题 新人教A版
课时作业22 三角恒等变换一、选择题1．计算1－2sin 222.5°的结果等于( )． A ．12 B ．22 C ．33 D ．322．已知tan α＝－43，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( )．A ．－7B ．7C ．－17D ．173．已知sin θ＝45，sin θ－cos θ＞1，则sin 2θ＝( )．A ．－2425B ．－1225C ．－45D ．24254．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )． A ．1318 B ．1322 C ．322 D ．165．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝( )．A ．－34B ．－14C ．34D ．146．函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则θ为( )．A ．k π，(k ∈Z )B ．k π＋π6，(k ∈Z )C ．k π＋π3，(k ∈Z )D ．－k π－π3，(k ∈Z )7．(2012四川高考)如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连结EC ，ED ，则sin∠CED ＝( )．A ．31010B ．1010C ．510 D ．515 二、填空题 8．已知tan α＝2，则2sin 2α＋1sin 2α＝__________.9．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是__________．10．若sin ()π－α＝45，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin 2α－cos 2α2的值等于__________．三、解答题11．(2013届安徽皖南八校联考)△AB C 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(sin A －sin B ＋sin C )＝3a sin C ．(1)求角B ；(2)若f (x )＝cos(2x －B )＋2sin 2x ，求f (x )的最小正周期及单调递增区间．12．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－45，sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－α2＝513，且π2＜α＜π，0＜β＜π2，求cos α＋β2的值．参考答案一、选择题1．B 解析：1－2sin 222.5°＝cos 45°＝22. 2．A 解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝tan π4－tan α1＋tan π4·tan α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－431＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－7. 3．A 解析：由题意知cos θ＜0，又sin θ＝45，∴cos θ＝－35，故sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425.4．C 解析：因为α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4， 所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝ta n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝tan(α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan(α＋β)tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝322.故选C.5．B 解析：a ·b ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋4cos α－3＝23sin α＋6cos α－3＝43sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3－3＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－14.故选B. 6．D 解析：f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x －θ＋π6，由函数为奇函数得－θ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得θ＝－k π－π3(k ∈Z )，故选D.7．B 解析：因为四边形ABCD 是正方形，且AE ＝AD ＝1，所以∠AED ＝π4.又因为在Rt△EBC 中，EB ＝2，BC ＝1，所以sin∠BEC ＝55，cos∠BEC ＝255.于是sin∠CED ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－∠BEC ＝sin π4cos∠BEC －co s π4sin∠BEC＝22×255－22×55＝1010.故选B. 二、填空题8．134 解析：2sin 2α＋1sin 2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝3tan 2α＋12tan α＝3×22＋12×2＝134.9．π 解析：f (x )＝22(sin 2x －cos 2x )－2(1－cos 2x )＝22(sin 2x ＋cos 2x )－2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2，故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 10．425 解析：∵sin (π－α)＝45，∴sin α＝45.又∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝35.∴sin 2α－cos 2α2＝2sin αcos α－1＋cos α2＝2×45×35－1＋352＝425.三、解答题11．解：(1)由(a ＋b ＋c )(sin A －sin B ＋sin C )＝3a sin C ， 得(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝3ac ，即(a ＋c )2－b 2＝3ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝ac ，由余弦定理，得cos B ＝12，∴B ＝π3；(2)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin 2x ＝cos 2x cos π3＋sin 2x sin π3＋1－cos 2x ，f (x )＝32sin 2x －12cos 2x ＋1 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，∴k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． 12．解：∵π2＜α＜π，0＜β＜π2，∴α－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，β－α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π4. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝35，cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－α2＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫β－α2＝1213.∵⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2＝α＋β2，∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2·sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－α2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×1213－35×513＝－6365.。
高考数学文一轮分层演练：第4章三角函数与解三角形 第3讲 Word版含解析
[学生用书P225(单独成册)]一、选择题 1.cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°的值为( )A ．33 B ． 3 C ．－33D ．－ 3解析：选B.原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3. 2．(1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是( )A ． 3B ．1＋ 2C ．2D ．2(tan 18°＋tan 27°) 解析：选C.原式＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 18°tan 27°＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＝2，故选C.3．已知sin α＋cos α＝13，则sin 2(π4－α)＝( )A ．118B.1718 C ．89D.29解析：选B.由sin α＋cos α＝13两边平方得1＋sin 2α＝19，解得sin 2α＝－89，所以sin 2(π4－α)＝1－cos （π2－2α）2＝1－sin 2α2＝1＋892＝1718.4．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235B ．235C ．45D ．－45解析：选D.由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sin α＋32cos α＝435，所以3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 5．已知cos(π3－2x )＝－78，则sin(x ＋π3)的值为( )A ．14B ．78C ．±14D ．±78解析：选C.因为cos [π－(π3－2x )]＝cos(2x ＋2π3)＝78，所以有sin 2(x ＋π3)＝12(1－78)＝116，从而求得sin(x ＋π3)的值为±14，故选C.6.3cos 10°－1sin 170°＝( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4解析：选 D.3cos 10°－1sin 170°＝3cos 10°－1sin 10°＝3sin 10°－cos 10°sin 10°cos 10°＝2sin （10°－30°）12sin 20°＝－2sin 20°12sin 20°＝－4，故选D.二、填空题7．已知cos θ＝－513，θ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6的值为________． 解析：由cos θ＝－513，θ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2得sin θ＝－1－cos 2θ＝－1213，故sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝sin θcos π6－cos θsin π6＝－1213×32－⎝⎛⎭⎫－513×12＝5－12326.答案：5－123268．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝________． 解析：cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3 ＝cos x ＋12cos x ＋32sin x＝32cos x ＋32sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝3×⎝⎛⎭⎫－33＝－1. 答案：－1 9.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是________．解析：原式＝2cos （30°－20°）－sin 20°sin 70°＝2（cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°）－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.答案： 310．设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________． 解析：因为α为锐角，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2425， cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝725， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎫α＋π6－π4 ＝2425×22－725×22＝17250. 答案：17250三、解答题11．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎫－π4的值； (2)若cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3的值． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. (2)f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)． 因为cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以sin θ＝35.所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2 θ－sin 2θ＝725，所以f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝22(sin 2θ－cos 2θ) ＝22×⎝⎛⎭⎫2425－725＝17250. 12．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值． 解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2＜α＜π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－32. (2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π，所以－π2＜α－β＜π2.又由sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.所以cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35 ＝－43＋310.。
【志鸿优化设计】(湖南专用)高考数学一轮复习 第四章三角函数、解三角形4.6正、余弦定理及其应用
4.6 正、余弦定理及其应用举例考纲要求1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．在视线和水平线所成的角中，视线在水平线__________的角叫仰角，在水平线______的角叫俯角(如图①)．3．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)． 4．方向角相对于某一方向的水平角(如图③)．图③(1)北偏东α°：指北方向向东旋转α°到达目标方向． (2)东北方向：指北偏东45°或东偏北45°. (3)其他方向角类似． 5．坡角和坡比坡角：坡面与水平面的夹角(如图④，角θ为坡角)．图④坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡比)．1．(2012广东高考)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( )．A ．4 3B ．2 3 C. 3 D.322．在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )． A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是( )．A ．5海里/时B ．5 3 海里/时C ．10海里/时D ．10 3 海里/时4．如图，为了测量隧道AB 的长度，给定下列四组数据，无法求出AB 长度的是( )．A ．α，a ，bB ．α，β，aC ．a ，b ，γD ．α，β，γ5．△ABC 中，若a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝__________.一、利用正弦、余弦定理解三角形【例1－1】 (2012辽宁高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .角A ，B ，C 成等差数列．(1)求cos B 的值；(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值．【例1－2】 △ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B，sin(B－A )＝cos C .(1)求A ，C ；(2)若S △ABC ＝3＋3，求a ，c . 方法提炼应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理．二、三角形形状的判定【例2－1】△ABC 满足sin B ＝cos A sin C ，则△ABC 的形状是( )． A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 【例2－2】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． 方法提炼判断三角形的形状的基本思想是：利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．结论一般为特殊的三角形．如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等．另外，在变形过程中要注意A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．提醒：1.在△ABC 中有如下结论sin A ＞sin B a ＞b .2．当b 2＋c 2－a 2＞0时，角A 为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，角A 为直角，三角形为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2＜0时，角A 为钝角，三角形为钝角三角形． 请做演练巩固提升2三、与三角形面积有关的问题【例3】在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积． 方法提炼1．正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用；在解决三角形问题中，面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B 最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．2．解三角形过程中，要注意三角恒等变换公式的应用． 请做演练巩固提升5四、应用举例、生活中的解三角形问题【例4－1】 某人在塔的正东沿着南偏西60° 的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．【例4－2】 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量．已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．方法提炼1．测量距离问题，需注意以下几点：(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型；(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解； (3)应用题要注意作答． 2．测量高度时，需注意：(1) 要准确理解仰、俯角的概念；(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理； (3)注意铅垂线垂直于地面构成的直角三角形．3．测量角度时，要准确理解方位角、方向角的概念，准确画出示意图是关键． 请做演练巩固提升6忽视三角形中的边角条件而致误【典例】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．错解：由1＋2cos(B ＋C )＝0，知cos A ＝12，∴A ＝π3.根据正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，∴B ＝π4或3π4.以下解答过程略．错因：忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根． 正解：∵在△ABC 中，cos(B ＋C )＝－cos A ，又∵1＋2cos(B ＋C )＝0，∴1－2cos A ＝0，∴A ＝π3.在△ABC 中，根据正弦定理a sin A ＝bsin B，得sin B ＝b sin A a ＝22. ∴B ＝π4或3π4.∵a ＞b ，∴B ＝π4.∴C ＝π－(A ＋B )＝512π.∴sin C ＝sin(B ＋A )＝sin B cos A ＋cos B sin A ＝22×12＋22×32＝6＋24. ∴BC 边上的高为b sin C ＝2×6＋24＝3＋12. 答题指导：1．考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件．2．解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件．1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )．A ．－12B ．12C ．－1D ．12．(2012湖南高考)在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )．A ．32B ．332C ．3＋62D ．3＋3943．在△ABC 中，(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且a cos B ＝b cos A ，则△ABC 的形状为__________．4．(2012陕西高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝______.5．(2012山东高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列；(2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S .6．某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．参考答案基础梳理自测知识梳理1.asin A＝bsin B＝csin Cb 2＋c 2－2bc ·cos A c 2＋a 2－2ca ·cos B a 2＋b 2－2ab ·cos C ①2R sin A 2R sin B 2R sin C ②a 2Rb 2Rc 2R③sin A ∶sin B ∶sin C b 2＋c 2－a 22bc c 2＋a 2－b 22ca a 2＋b 2－c 22ab2．上方 下方 基础自测1．B 解析：由正弦定理得BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝ACsin 45°，解得AC ＝2 3.2．B 解析：∵cos 2B 2＝a ＋c 2c ， ∴2cos 2B 2－1＝a ＋c c －1， ∴cos B ＝a c，∴a 2＋c 2－b 22ac ＝a c，∴c 2＝a 2＋b 2.3．C 解析：如图，A ，B为灯塔，船从O 航行到O ′，OO ′BO ＝tan 30°， OO ′AO＝tan 15°，∴BO ＝3OO ′， AO ＝(2＋3)OO ′. ∵AO －BO ＝AB ＝10，∴OO ′·[(2＋3)－3]＝10， ∴OO ′＝5，∴船的速度为512＝10海里/时．4．D 解析：利用余弦定理，可由a ，b ，γ或α，a ，b 求出AB ；利用正弦定理，可由a ，α，β求出AB ，当只知α，β，γ时，无法计算AB .5．2 3 解析：由cos C ＝13，得sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×b ×223＝43.∴b ＝2 3.考点探究突破【例1－1】 解：(1)由已知2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，解得B ＝60°，所以cos B＝12. (2)方法一：由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C ，所以sin A sin C ＝1－cos 2B ＝34.方法二：由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－ac2ac ，解得a ＝c ，所以B ＝A ＝C ＝60°，故sin A sin C＝34. 【例1－2】 解：(1)因为tan C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B，即sin C cos C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B， 所以sin C cos A ＋sin C cos B ＝cos C sin A ＋cos C sin B ， 即sin C cos A －cos C sin A ＝cos C sin B －sin C cos B ， 得sin(C －A )＝sin(B －C )．所以C －A ＝B －C ，或C －A ＝π－(B －C )(不成立)，即2C ＝A ＋B ，得C ＝π3，所以B ＋A ＝2π3.又因为sin(B －A )＝cos C ＝12，则B －A ＝π6或B －A ＝5π6(舍去)，得A ＝π4，B ＝5π12.(2)S △ABC ＝12ac sin B ＝6＋28ac ＝3＋3，又a sin A ＝c sin C ，即a 22＝c 32，得a ＝22，c ＝2 3.【例2－1】 A 解析：∵sin B ＝cos A ·sin C ，∴b ＝b 2＋c 2－a 22bc·c .∴b 2＋a 2＝c 2.∴△ABC 为直角三角形，选A.【例2－2】 解：(1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .①由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，A ＝120°.(2)由①得，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C . 又sin B ＋sin C ＝1，故sin B ＝sin C ＝12.因为0°＜B ＜90°，0°＜C ＜90°，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰钝角三角形．【例3】 解：(1)由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)由题意得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ，即sin B cos A ＝2sin A cos A .当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，a ＝433，b ＝233.所以△ABC 的面积 S ＝12ab sin C ＝12×433×233×32＝233； 当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ， 由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×233×433×32＝233.综上知，△ABC 的面积为233.【例4－1】 解：依题意画出图，某人在C 处，AB 为塔高，他沿CD 前进，CD ＝40米，此时∠DBF ＝45°，从C 到D 沿途测塔的仰角，只有B 到测试点的距离最短，即BE ⊥CD 时，仰角才最大，这是因为tan∠AEB ＝AB BE，AB 为定值，BE 最小时，仰角最大．在△BCD 中，CD ＝40，∠BCD ＝30°，∠DBC ＝135°. 由正弦定理，得CDsin∠DBC ＝BDsin∠BCD，∴BD ＝40sin 30°sin 135°＝20 2.在Rt△BED 中，∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°，BE ＝BD sin 15°＝202×6－24＝10(3－1)．在Rt△ABE 中，∠AEB ＝30°，∴AB ＝BE tan 30°＝103(3－3)(米)．∴所求的塔高为103(3－3)米．【例4－2】 解：作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M .DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1702＝10298， DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130，EF ＝(BE －FC )2＋BC 2＝902＋1202＝150. 在△DEF 中，由余弦定理，cos∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ×EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.演练巩固提升1．D 解析：根据正弦定理a sin A ＝bsin B＝2R 得，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴a cos A ＝b sin B 可化为sin A cos A ＝sin 2B .∴sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1. 2．B 解析：在△ABC 中，由余弦定理可知：AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，即7＝AB 2＋4－2×2×AB ×12.整理得AB 2－2AB －3＝0.解得AB ＝－1(舍去)或AB ＝3.故BC 边上的高AD ＝AB ·sin B ＝3×sin 60°＝332.3．等边三角形 解析：∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，∴(a ＋b )2－c 2＝3ab . ∴a 2＋b 2－c 2＝ab .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12.∴C ＝π3.∵a cos B ＝b cos A ，∴sin A cos B ＝sin B cos A . ∴sin(A －B )＝0. ∴A ＝B .故△ABC 为等边三角形．4．2 解析：∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋12－2×2×23×32＝4， ∴b ＝2.5．(1)证明：在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C ，所以sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ·sin C cos C，因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C ， 所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C ， 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C )＝sin B ，因此sin 2B ＝sin A sinC .由正弦定理得b 2＝ac ， 即a ，b ，c 成等比数列． (2)解：因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝2，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－(2)22×1×2＝34，因为0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝74，故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2×74＝74.6．解：(1)解法一：设相遇时小艇的航行距离为s 海里，则s ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°)＝900t 2－600t ＋400＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋300.故当t ＝13时，s min ＝103，v ＝10313＝30 3.即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．解法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向，如图，设小艇与轮船在C 处相遇．在Rt△OAC 中，OC ＝20c os 30°＝103，AC ＝20sin 30°＝10. 又AC ＝30t ，OC ＝vt ，此时，轮船航行时间t ＝1030＝13，v ＝10313＝30 3.即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)如图，设小艇与轮船在B 处相遇，由题意，可得(vt )2＝202＋(30t )2－2·20·30t ·cos(90°－30°)．化简，得v 2＝400t 2－600t ＋900＝400⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －342＋675. 由于0＜t ≤12，即1t≥2， 所以当1t＝2时，v 取得最小值1013， 即小艇航行速度的最小值为1013海里/时．。
【志鸿优化设计】(湖南专用)高考数学一轮复习 第四章三角函数、解三角形4.1任意角和弧度制及任意
课时作业17 任意角和弧度制及任意角的三角函数一、选择题1．若－π2＜α＜0，则点P (tan α，cos α)位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若α＝m ·360°＋θ，β＝n ·360°－θ(m ，n ∈Z )，则α，β终边的位置关系是( )．A ．重合B ．关于原点对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称3．若α是第三象限角，则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2sin α2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2cosα2的值为( )．A ．0B ．2C ．－2D ．2或－24．已知点P ⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )．A.π4B.3π4C.5π4D.7π45．若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于( )． A ．5 B ．2 C ．3 D ．46．一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )． A.π3 B.2π3C. 3D. 2 7．(2012上海高考)若S n ＝sin π7＋sin 2π7＋…＋sin n π7(n ∈N *)，则在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )．A ．16B ．72C ．86D ．100 二、填空题8．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第__________象限．9．若角α的终边落在射线y ＝－x (x ≥0)上，则sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α＝__________. 10．若β的终边所在直线经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin 3π4，则sin β＝__________，tan β＝__________.三、解答题11．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x .求sin α，tan α的值．12．已知扇形AOB 的周长为8，(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .参考答案一、选择题1．B 解析：∵－π2＜α＜0，∴tan α＜0，cos α＞0， ∴点P 在第二象限． 2．C3．A 解析：∵α是第三象限角， ∴α2是第二或第四象限角． 当α2为第二象限角时，y ＝1＋(－1)＝0； 当α2为第四象限角时，y ＝－1＋1＝0. ∴y ＝0.4．D 解析：设P 到坐标原点的距离为r ，r ＝sin23π4＋cos 23π4＝1， 由三角函数的定义，tan θ＝cos3π4sin3π4＝－1.又∵sin 3π4＞0，cos 3π4＜0，∴P 在第四象限．∴θ＝7π4.5．B 解析：设扇形的半径为R ，圆心角为α，则有2R ＋R α＝12R 2α，即2＋α＝12R α，整理得R ＝2＋4α，由于4α≠0，∴R ≠2.6．C 解析：设圆的半径为R ，由题意可知：圆内接正三角形的边长为3R ，∴圆弧长为3R .∴该圆弧所对圆心角的弧度数为3RR＝ 3.7．C 解析：由sin π7＝－sin 8π7，sin 2π7＝－sin 9π7，…，sin 6π7＝－sin 13π7，sin7π7＝sin 14π7＝0，所以S 13＝S 14＝0.同理S 27＝S 28＝S 41＝S 42＝S 55＝S 56＝S 69＝S 70＝S 83＝S 84＝S 97＝S 98＝0， 所以在S 1，S 2，…，S 100中，其余各项均大于0. 故选C. 二、填空题8．二 解析：由已知⎩⎪⎨⎪⎧tan α<0cos α<0，∴α是第二象限的角．9．0 解析：由题意，角α的终边在第四象限．∴sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α＝sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α－sin αcos α＝0.10.22或－22 －1 解析：因为β的终边所在直线经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin 3π4，所以β的终边所在直线为y ＝－x ，则β在第二或第四象限．所以sin β＝22或－22，tanβ＝－1.三、解答题11．解：∵P (x ，－2)(x ≠0)，∴P 到原点的距离r ＝x 2＋2.又cos α＝36x ，∴cos α＝x x 2＋2＝36x . ∵x ≠0，∴x ＝±10， ∴r ＝2 3.当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)，由三角函数定义，有sin α＝－66，tan α＝－55；当x ＝－10时，P 点坐标为(－10，－2)，∴sin α＝－66，tan α＝55.12．解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr＝6.(2)∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝l r＝2时，扇形面积取得最大值4.∴r ＝2，∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.。
【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形4.5三角恒等变换教学案 理 新人教A版
4.5 三角恒等变换考纲要求1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4．能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式公式名 公式 两角和与差的正弦 sin(α±β)＝__________ 两角和与差的余弦 cos(α±β)＝__________ 两角和与差的正切 tan(α±β)＝__________ 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式公式名 公式 二倍角的正弦 sin 2α＝______ 二倍角的余弦 cos 2α＝______＝______＝______ 二倍角的正切 tan 2α＝______ 3．半角公式4．形如a sin α＋b cos α的化简a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中cos φ＝__________，sin φ＝__________，即tan φ＝b a.1．(2012重庆高考)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )．A ．－32B ．－12C ．12D ．322．化简2＋cos 2－sin 21的结果是( )． A ．－cos 1 B ．cos 1C ．3cos 1D ．－3cos 13．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝a ，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4等于( )． A ．－a B ．aC ．1－aD ．1＋a4．函数f (x )＝2sin x －2cos x 的值域是__________．5．若1＋tan α1－tan α＝2 013，则tan 2α＋1cos 2α＝__________.一、两角和与差的三角函数公式的应用【例1－1】在△ABC 中，角C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( )．A.14B.13C.12D.53【例1－2】 化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .方法提炼1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．提醒：在T (α＋β)与T (α－β)中，α，β，α±β都不等于k π＋π2(k ∈Z )，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是k π＋π2(k ∈Z )，可利用诱导公式化简．请做演练巩固提升2 二、角的变换【例2－1】 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－34，则sin 2x ＝__________.【例2－2】 已知0＜β＜π4＜α＜34π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．方法提炼1．当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； 2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．3．常见的配角技巧：α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]；π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α. 提醒：特殊的角也看成已知角，如α＝π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α. 请做演练巩固提升3三、三角函数式的化简、求值【例3－1】 化简：＋sin α＋cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋2cos α(π＜α＜2π)．【例3－2】 已知34π＜α＜π，tan α＋1tan α＝－103，求5sin2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2的值．方法提炼1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则．(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．2．三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角．(1)给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数．(2)给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用．同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．(3)给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数的值，其次判断该角对应的区间，从而达到解题的目的．请做演练巩固提升5 四、三角恒等式的证明【例4－1】 求证：cos 2α1tanα2－tan α2＝14sin 2α.【例4－2】 已知0＜α＜π4，0＜β＜π4，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan2α2，证明：α＋β＝π4. 方法提炼1．证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的的化繁为简、左右归一或变更论证．2．三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式．(1)证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同．(2)条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径．常用代入法、消元法、两头凑等方法．请做演练巩固提升6不能挖掘隐含条件而增解【典例】 若sin θ，cos θ是关于x 的方程5x 2－x ＋a ＝0(a 是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos 2θ的值．错解：由题意知：sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝125.∴sin 2θ＝－2425.∵θ∈(0，π)，∴2θ∈(0,2π)．∴cos 2θ＝±1－2sin 22θ＝±725.正解：由题意知：sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝125.∴sin 2θ＝－2425，即2sin θcos θ＝－2425＜0.则sin θ与cos θ异号．又sin θ＋cos θ＝15＞0，∴π2＜θ＜3π4.∴π＜2θ＜3π2. 故cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－725.答题指导：涉及到角的终边、函数符号和同角函数关系问题时，应深挖隐含条件，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误．1．(2012辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin 2α＝( )．A ．－1B ．－22 C. 22D ．12．如果cos 2α－cos 2β＝a ，则sin(α＋β)sin(α－β)等于( )． A ．－a 2B.a2 C ．－a D ．a 3．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝37，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为( )．A.2941B.129C.141 D ．1 4．＋3－cos 20°cos 80°·1－cos 20°＝__________.5．化简：sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β.6．已知sin β＝m sin(2α＋β)(m ≠1)，求证：tan(α＋β)＝1＋m1－mtan α.参考答案基础梳理自测知识梳理1．sin αcos β±cos αsin β cos αcos β∓sin αsin β tan α±tan β1∓tan αtan β2．2sin αcos α cos 2α－sin 2α 2cos 2α－11－2sin 2α 2tan α1－tan 2α3．2α α 1－2sin 2α2 2cos 2α2－1±1－cos α2±1＋cos α2 sin α1＋cos α 1－cos αsin α 4．a a 2＋b2ba 2＋b 2基础自测1．C 解析：因为sin 47°＝sin(30°＋17°)＝sin 30°cos 17°＋sin 17°cos 30°，所以原式＝sin 30°cos 17°＋sin 17°cos 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°＝12， 故选C.2．C 解析：2＋cos 2－sin 21＝1－sin 21＋1＋cos 2＝cos 21＋2cos 21＝3cos 1.3．B 解析：∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝a ＝22(sin θ＋cos θ)， 又cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22(sin θ＋cos θ)，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a . 4．[－22，22]解析：f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，又－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4≤1，∴－22≤f (x )≤2 2.5．2 013 解析：tan 2α＋1cos 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝(cos α＋sin α)2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α ＝1＋tan α1－tan α＝2 013. 考点探究突破【例1－1】 B 解析：由题意得 tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－3，又tan A ＋tan B ＝233，解得tan A tan B ＝13.故选B.【例1－2】 解：原式＝12(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝(2cos 2x －1)24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝cos 22x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x . 【例2－1】 18 解析：sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－342－1＝18.【例2－2】 解：∵π4＜α＜3π4，∴－3π4＜－α＜－π4，－π2＜π4－α＜0.又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－45. ∵0＜β＜π4，∴3π4＜3π4＋β＜π.又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1213， ∴sin(α＋β)＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋(α＋β)＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×35－513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝3665＋2065＝5665.【例3－1】 解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22·2cos2α2＝2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2·(－cos α)⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2.又∵π＜α＜2π，∴π2＜α2＜π.∴cos α2＜0.∴原式＝cos α2·(－cos α)－cosα2＝cos α.【例3－2】 解：∵tan α＋1tan α＝－103，∴3tan 2α＋10tan α＋3＝0，解得tan α＝－3或tan α＝－13.又∵3π4＜α＜π，∴tan α＝－13.∵5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2＝5·1－cos α2＋4sin α＋11·1＋cos α2－8－2cos α＝5－5cos α＋8sin α＋11＋11cos α－16－22cos α＝8sin α＋6cos α－22cos α＝8tan α＋6－22＝－526.【例4－1】 证明：∵左边＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cosα2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin2α2＝cos 2αsin α2cos α2cos α＝cos αsin α2cos α2＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边． ∴原式成立．【例4－2】 证明：∵3sin β＝sin(2α＋β)， 即3sin(α＋β－α)＝sin(α＋β＋α)， ∴3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α， ∴2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α， ∴tan(α＋β)＝2tan α.又∵4tan α2＝1－tan 2α2，∴tan α＝2tanα21－tan2α2＝12.∴tan(α＋β)＝2tan α＝1.∵α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β＝π4.演练巩固提升1．A 解析：将sin α－cos α＝2两端同时平方得，(sin α－cos α)2＝2， 整理得1－2sin αcos α＝2，于是sin 2α＝2sin αcos α＝－1，故选A. 2．C 解析：sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β)＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝(1－cos 2α)cos 2β－cos 2α(1－cos 2β)＝cos 2β－cos 2α＝－a . 3．D 解析：tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝37＋251－37×25＝29352935＝1，故选D. 4. 2 解析：∵sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝2sin 40°cos 40°cos 10°＝sin 80°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1，cos 80°·1－cos 20°＝sin 10°·2sin 210°＝2sin 210°.∴sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2. 5．解：解法一：原式＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12(2cos 2α－1)(2cos 2β－1)＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12(4cos 2αcos 2β－2cos 2α－2cos 2β＋1)＝sin 2α·sin 2β－cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·sin 2β＋cos 2β－12＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12.解法二：原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－12cos 2α·cos2β＝14(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋14(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－12cos 2α·cos 2β＝12＋12cos 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β＝12.6．证明：由β＝(α＋β)－α，2α＋β＝(α＋β)＋α得sin[(α＋β)－α]＝m ·sin[(α＋β)＋α]，即sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝m [sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]，即(1－m )sin(α＋β)cos α＝(1＋m )cos(α＋β)sin α. 两边同除以(1－m )cos(α＋β)cos α，得tan(α＋β)＝1＋m1－mtan α(m ≠1)，即等式成立．。
【志鸿优化设计】(安徽专用)高考数学一轮复习 第四章三角函数、解三角形4.4函数y=Asin(ω
课时作业21 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质一、选择题1．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )．A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20 2．(2013届安徽省示范高中摸底)若把函数f (x )＝sin ωx 的图象向左平移π3个单位，恰好与函数y ＝cos ωx 的图象重合，则ω的值可能是( )．A ．13B ．12C ．23D ．323．函数y ＝2sin 3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤5π6与函数y ＝2的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是( )．A ．43B ．π3C ．4π3D ．1 4．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0＜θ＜π)，其图象与直线y ＝2的某两个交点的横坐标为x 1，x 2，若|x 2－x 1|的最小值为π，则( )．A ．ω＝2，θ＝π2B ．ω＝12，θ＝π2C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π45．若把函数y ＝cos x －3sin x ＋1的图象向右平移m (m ＞0)个单位长度，使点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1为其对称中心，则m 的最小值是( )．A ．πB ．π2C ．π3D ．π66．(2012山东高考)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )．A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 37．函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，给出下列三个命题：①函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π8上是减函数；②直线x ＝π8是函数f (x )的图象的一条对称轴；③函数f (x )的图象可以由函数y＝2sin 2x 的图象向左平移π4个单位得到．其中正确的是( )． A ．①③ B．①② C ．②③ D．①②③ 二、填空题8．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内有最小值，无最大值，则ω＝__________.9．已知函数y ＝sin ωx (ω＞0)在一个周期内的图象如图所示，要得到函数y ＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π12的图象，则需将函数y ＝sinωx 的图象向__________平移__________个单位长度．10．水渠横断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为h ，梯形面积为S ，为了使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及底边CD 之和达到最小．此时α应该是__________．三、解答题11．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的图象如图所示：(1)求ω、φ的值；(2)设g (x )＝f (x )f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，求函数g (x )的单调递增区间．12．(2012安徽合肥一中模拟)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x ，cos 2x －12，b ＝(cos x ，－3)，其中x ∈R ，函数f (x )＝5a ·b －3.(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)确定函数f (x )的单调递增区间；(3)函数f (x )的图象可以由函数y ＝5sin 2x 的图象经过怎样的变化而得到？参考答案一、选择题1．C 解析：函数y ＝sin x 的图象上的点向右平移π10个单位长度可得函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10的图象；再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10的图象，所以所求函数的解析式是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10.故选C. 2．D 解析：将函数y ＝sin ωx 的图象向左平移π3个单位，则得到函数y ＝sin ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋ωπ3的图象，因为y ＝cos ωx ＝cos(－ωx )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋ωx ，所以ωπ3＝π2＋2k π，ω＝32＋6k ，k ∈Z ，所以当k ＝0时，ω＝32，选D.3．C 解析：在同一坐标系中画出函数y ＝2sin 3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤5π6和函数y ＝2的图象，如图，根据图象的对称性，所求的面积即为图中所示阴影部分的面积，为4π3.4．A 解析：∵y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数，0＜θ＜π，∴θ＝π2.∵图象与直线y ＝2的两个交点的横坐标为x 1，x 2，|x 2－x 1|min ＝π， ∴2πω＝π，ω＝2.故选A. 5．D 解析：y ＝cos x －3sin x ＋1＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋1，把该函数图象向右平移m (m＞0)个单位后所得函数的解析式为y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m ＋π3＋1，由平移后⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1为其对称中心得1＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－m ＋π3＋1，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－m ＝0， ∴2π3－m ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得m ＝－k π＋π6(k ∈Z )，故m 的最小值是π6. 6．A 解析：由0≤x ≤9可得，－π3≤π6x －π3≤7π6，所以－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤2，所以最大值为2，最小值为－3，最大值与最小值之差为2－ 3.7．B 解析：∵π2≤x ≤5π8，∴5π4≤2x ＋π4≤3π2， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π8上是减函数，故①正确．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π4＝2，故②正确． y ＝2sin 2x 向左平移π4个单位得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2cos2x ≠f (x )，故③不正确．故选B.二、填空题 8．143 解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值， ∴f (x )在x ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π3＝π4处取得最小值．∴π4ω＋π3＝2k π－π2(k ∈Z )． ∴ω＝8k －103(k ∈Z )．∵ω＞0，∴当k ＝1时，ω＝8－103＝143；当k ＝2时，ω＝16－103＝383，此时函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内已存在最大值．故ω＝143. 9．左 π6 解析：由图象知函数y ＝sin ωx 的周期为T ＝3π－(－π)＝4π，∴ω＝2πT ＝12，故y ＝sin 12x .又y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π12＝sin 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以将函数y ＝sin 12x 的图象向左平移π6个单位长度，即可得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π12的图象．10．60° 解析：设CD ＝a ，由题意知CB ＝h sin α，AB ＝a ＋2htan α，∴S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a ＋2h tan α·h ，∴a ＝S h －htan α.设两腰与底边CD 之和为l ，则l ＝a ＋2CB ＝S h －h tan α＋2hsin α＝S h ＋2－cos αsin α·h ＝Sh ＋1＋2sin2α22sin α2cosα2·h＝Sh ＋3sin 2α2＋cos2α22sin α2cosα2·h ＝S h ＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫32tan α2＋12tan α2·h ≥S h ＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫232tan α2×12tan α2·h ＝S h＋3·h ， 当且仅当32tan α2＝12tanα2，即tan α2＝33时，上式取等号，∴α2＝30°，即α＝60°. 三、解答题11．解：(1)由图可知T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π4＝π， ω＝2πT ＝2，又由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1， 得sin(π＋φ)＝1，sin φ＝－1.∵|φ|＜π，∴φ＝－π2.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x . 因为g (x )＝－cos 2x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2 ＝cos 2x sin 2x ＝12sin 4x ，所以2k π－π2≤4x ≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π2－π8≤x ≤k π2＋π8(k ∈Z )． 故函数g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π8，k π2＋π8(k ∈Z )．12．解：f (x )＝5a ·b －3＝5sin x cos x ＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x －12·(－3)－3＝5sin x cos x －53cos 2x ＋532－3＝52sin 2x －53·1＋cos 2x 2＋532－3＝52sin 2x －532cos 2x －3 ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－3.(1)T ＝2π2＝π.(2)递增区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z )． (3)先向右平移π6个单位，再向下平移3个单位．。
高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第4讲三角函数的图象与性质第1课时三角函数的图象与性质一课件
数学
01
基础知识 自主回顾
02
核心考点 深度剖析
03
方法素养 助学培优
04
高效演练 分层突破
一、知识梳理
1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
图象
y＝tan x
函数 定义域
值域
函数的 最值
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
R
R
{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}
则 3tan x－
3>0，即
tan
x>
3 3.
所以π6＋kπ<x<π2＋kπ，k∈Z.
答案：π6＋kπ，π2＋kπ，k∈Z
2．函数 y＝ sin x－cos x的定义域为__________． 解析：要使函数有意义，需 sin x－cos x≥0， 即 sin x≥cos x. 解得 2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π(k∈Z)，故原函数的定义域为2kπ＋π4，2kπ＋54π(k∈Z)． 答案：2kπ＋π4，2kπ＋54π(k∈Z)
[－1，1]
[－1，1]
R
最大值 1，当且
最大值 1，当且
仅当__x_＝__2_k_π___ _＋__π2_，__k_∈__Z_；
仅当__x_＝__2_k_π_，__ ___k_∈__Z____；
无最大值和最小值
最小值－1，当 最小值－1，当且 且仅当_x_＝__2_k_π_－__π2_， 仅当_x_＝__2_k_π_－__π_，
【迁移探究 2】 (变条件)本例(2)f(x)变为：f(x)＝sin2x－π3，试讨论 f(x)在区间－π4，π4上 的单调性． 解：令 z＝2x－π3，易知函数 y＝sin z 的单调递增区间是－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z. 由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，得－1π2＋kπ≤x≤51π2＋kπ，k∈Z. 设 A＝－π4，π4，B＝x|－1π2＋kπ≤x≤51π2＋kπ，k∈Z，易知 A∩B＝－1π2，π4. 所以，当 x∈－π4，π4时，f(x)在区间－1π2，π4上单调递增，又因为π4－－π4＝π2<T，所以 f(x)在区间－π4，－1π2上单调递减．
高三数学一轮课件 第四章 三角函数与解三角形 4.7 解三角形
于是由余弦定理可得 c= ������2 + ������2-2������������cos������
=
22 + 32-2 × 2 × 3 ×
-
1 4
=4.
-21-
考点1
考点2
考点3
考点4
(2)解:①由正弦定理可知,2cos A(sin Bcos C+sin Ccos B)=sin A,
即2cos Asin A=sin A.
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知识梳理 双基自测
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4.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标 视线的夹角,目标视线在水平视线 上方 的角叫做仰角,目标视 线在水平视线 下方 的角叫做俯角(如图①).
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知识梳理 双基自测
1234
(2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30°、北偏西45°、 西偏北60°等.
关闭
D
解析 答案
-11BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b= √6 ,c=3,
则A=
.
关闭
关闭
D
解析 答案
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知识梳理 双基自测
123456
4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos
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知识梳理 双基自测
1234
2.三角形中的常见结论 (1)在△ABC中,A+B+C=π. (2)在△ABC中,A>B⇔a>b⇔sin A>sin B. (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
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