高三数学 二诊后中档题(一)
高考数学一天十道中档题 1-4(1)
《一天十道中档题》中档题（一）一、单选题1．已知函数221ln 11f x x x，则不等式 211f x f x 的解集为（）A ． ,01,B ． ,2C ．,20, D ．2,0 2．设函数 f x 的定义域为 ,11y f x R 为奇函数， 2y f x 为偶函数，若 2024f 1，则 2f （）A ．1B ．1C ．0D ．33．下列不等式中正确的是（）A ．11πeπeB ．1eπC ．2e2ππeD ．2π2e lnπ4．已知函数 e ,0,ln ,0,x x x f x x x ，若关于x 的方程 10f x a 的不同实数根的个数为4，则a 的取值范围为（）A ．11,1eB ．11,1eC ．11,1eD ．111,1ee5．已知函数 32697f x x x x ，直线l 过点 0,1且与曲线 y f x 相切，则直线l 的斜率为（）A ．24B ．24或3C ．45D ．0或45二、多选题6．已知函数 f x 的定义域为R ，且 21f x 的图象关于点1,02对称， 11f x f x ，则下列结论正确的是（）A ． f x 奇函数B ． f x 的图象关于直线2x 对称C ． f x 的最小正周期为4D ．若 12f ，则 12200f f f三、填空题7．已知0b ，函数 42bxxa f x 是奇函数，则ab ．8．设0a ，已知函数 2ln 2f x x ax 的两个不同的零点1x 、2x ，满足121x x ，若将该函数图像向右平移 0m m 个单位后得到一个偶函数的图像，则m．四、解答题9．已知函数2ln(),0,()23,0,a x x f x x x x且(e)3f ．(1)求实数a 的值；(2)若函数()() g x f x k 在R 上恰有两个零点，求实数k 的取值范围．10．设 2cos 1f x ax x ，a R .(1)当12a时，证明： 0f x ；(2)证明： *1114cos cos cos ,1233n n n n N L .中档题（二）一、填空题1．(1)已知0y x ，则42y x y x x y的最小值为.(2)设,0x y ，已知2xyx y，则22x y 的最小值为.(3)已知x >0，y >0，且3x y ，则141x y 的最小值为.(4)设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ﹐且满足 222cos cos b a a B b A ，ABC 的周长为51，则ABC 面积的最大值为．(5)已知0a ，0b ，且1ab ，则111822a b a b的最小值为.(6)正实数x ，y 满足132x y时，则x y 的最小值为．(7)已知222x xy y ，则22x y 的最大值为.(8)已知0x ，0y ，2xy x y ，则xy 的最小值是．(9)设10,0,22x y y x，则1x y 的最小值为．(10)已知正实数x ，y 满足2x y ，则12x y的最小值为．二、多选题2．已知0a ，0b ，a b ab ，则（）A ．1a 且1bB ．4abC ．49a b D ．11b ab3．在ABC 中，角A ，B ，C 的边分别为a ，b ，c ，已知60B ，b 的是（）A ．若π4A ，则aB ．若1a ，则72cC ．ABC 周长的最大值为D ．ABC 面积的最大值124．若正实数,a b 满足1a b ，则下列选项中正确的是（）A ．ab 有最大值14B ．122a bC ．14a b的最小值是10D5．若0,0,1a b a b ，则下列不等式恒成立的是（）A ．14abB C ．2212a bD ．114a b6．下列说法正确的是（）A ．若12x，则函数1221y x x 的最小值为1 B ．若,,a b c 都是正数，且2a b c ，则411a b c的最小值是3C ．若0,0,26x y x y xy ，则2x y 的最小值是4D ．已知0xy ，则22222222x y x y x y 的最大值为4 7．设11a b ,，且()1ab a b ，那么（）A ．a b 有最小值21B ．a b 有最大值21C ．ab 有最大值3 .D ．ab 有最小值3 .8．已知x ，y 是正数，且21x y ，下列结论正确的是（）A ．xy 的最大值为18B ．224x y 的最小值为12C ． x x y 最大值为14D ．2x yxy最小值为99．下列结论正确的是（）A ．当1x 2B ．当54x时，14245x x 的最小值是5C ．当0x 时，1x x的最小值是2D ．设0x ，0y ，且2x y ，则14x y 的最小值是9210.已知不等式220ax bx 的解集是 12x x ．(1)求实数,a b 的值．(2)解不等式2203ax bx x ．一天十道中档题（三）一、单选题1．已知0a ，且1a ，若函数1()(ln )x f x a x a 在(1,) 上单调递减，则a 的取值范围是（）A ．1(0,]eB ．1[,1)eC ．(1,e]D ．[e,)2．已知曲线:e x E y 与y 轴交于点A ，设E 经过原点的切线为l ，设E 上一点B 横坐标为(0)m m ，若直线//AB l ，则m 所在的区间为（）A ．10mB ．01mC ．312m D ．322m 3．设等比数列 n a 中，3a ，7a 使函数 3223733f x x a x a x a 在=1x 时取得极值0，则5a 的值是（）A ．BC ．D ．4．函数 y f x 在R 上的图象是一条连续不断的曲线，且与x 轴有且仅有一个交点，对任意x ，R y ， f x f y f ， 11f ，则下列说法正确的是（）A ． 22f B ． f x 为奇函数C ． f x 在 0, 单调递减D ．若 4f x ，则2,2x 5．已知 0f x ，且0x 时， 22cos f x x f x ，若2π42πf ，若 22sin x f x g x x是常函数，则方程 1f x 在区间 0,1内根的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．06．函数 y f x 的导数 y f x 仍是x 的函数，通常把导函数 y f x 的导数叫做函数的二阶导数，记作 y f x ，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数……．一般地，n 1 阶导数的导数叫做n 阶导数，函数 y f x 的n 阶导数记为n y f x ，例如e x y 的n 阶导数e e n x x ．若 e cos 2xf x x x ，则500f （）A ．50502 B ．50C ．49D ．49492 二、解答题7．已知函数 ln 0x f x x a a x.(1)讨论 f x 的最值；(2)若1a ，且 e x k xf x x≤，求k 的取值范围.8．已知函数 2ln ,R f x x a x a .(1)若函数 g x f x x 在定义域上单调递增，求实数a 的取值范围;(2)讨论函数 2h x f x a x 的单调性.9．若函数 y f x 存在零点a ，函数 y g x 存在零点b ，使得1a b ，则称 f x 与 g x 互为亲密函数.(1)判断函数 22xf x x 与 1ln 210g x x x x是否为亲密函数，并说明理由；(2)若 1ex h x x 与 32212k x x mx m x m 互为亲密函数，求m 的取值范围.附：ln3 1.1 .10．柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f (x )，g (x )满足:①图象在 ,a b 上是一条连续不断的曲线；②在 ,a b 内可导;③对 ,x a b ， 0g x ，则 ,a b ，使得f b f a fg b g a g .特别的，取 g x x ，则有： ,a b ，使得 f b f a f b a，此情形称之为拉格朗日中值定理.(1)设函数 f x 满足 00f ，其导函数 f x 在 0, 上单调递增，证明：函数 f x y x在 0, 上为增函数.(2)若 ,0,e a b 且a b ，不等式ln ln 0a b b a m b a a b恒成立，求实数m 的取值范围.一天十道中档题（四）一、填空题1．已知实数,a b 满足221a ab b ，则ab 的最大值为；221111a b 的取值范围为．2．函数y 的值域为.3．2223164sin 20sin 20cos 20 ．4．在ABC 中，若sin(2)2sin A B B ，则tan B 的最大值为．5．设 ， 为锐角，且满足 22sin sin sin ，则 .6．已知锐角 ， 满足条件：4422sin cos 1cos sin ，则 .7．设G 为ABC 的重心，满足0AG BG .若11tan tan tan A B C ，则实数 的值为.二、单选题8．已知ABC 非直角三角形，G 是ABC 的重心，GA GB ，则tan tan tan tan tan A B C A B （）A ．12B ．1C D ．29．已知 ， 0,π ，且cos 10， 1tan 3 ，则2 （）A ．π4 或3π4B ．3π4 或π4C ．π4D ．3π410．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222222a b a b c c ab ，若ABC 为锐角三角形，则角B 的取值范围是（）A ．π0,6 B ．ππ,64C ．ππ,43D ．ππ,32 三、解答题11．ABC 中，求3sin 4sin 18sin A B C 的最大值。
江苏省高三数学复习中档题满分练习(含答案)
江苏省高三数学复习中档题满分练习（含答案）所以OA=OC1.又因为F为AC的中点，所以OF∥CC1且OF=CC1.因为E为BB1的中点，所以BE∥CC1且BE=CC1，所以BE∥OF且BE=OF，所以四边形BEOF是平行四边形，所以BF∥OE.又BF平面A1EC，OE平面A1EC，所以BF∥平面A1EC. (2)由(1)知BF∥OE，因为AB=CB，F为AC的中点，所以BFAC，所以OEAC.又因为AA1底面ABC，而BF底面ABC，所以AA1BF.由BF∥OE得OEAA1，而AA1，AC平面ACC1A1，且AA1AC=A，所以OE平面ACC1A1.因为OE平面A1EC，所以平面A1EC平面ACC1A1.3.(1)解由题意可知A1(-，0)，A2(，0)，椭圆C1的离心率e=.设椭圆C2的方程为+=1(a0)，则b=.因为==，所以a=2.所以椭圆C2的方程为+=1.(2)证明设P(x0，y0)，y00，则+=1，从而y=12-2x.将x=x0代入+=1得+=1，从而y2=3-=，即y=.因为P，H在x轴的同侧，所以取y=，即H(x0，).所以kA1PkA2H====-1，从而A1PA2H.又因为PHA1A2，所以H为△PA1A2的垂心.4.解 (1)S1=asin acos =a2sin 2，设正方形边长为x，则BQ=，RC=xtan ，+xtan +x=a，x==，S2==.(2)当a固定，变化时，令sin 2=t，则=(0利用单调性求得t=1时，=.2019届江苏省高三数学复习中档题满分练习的内容就是这些，希望对考生提高成绩有帮助。
2013—2014学年高三数学(苏教版)考前小练习：中档题训练
高三数学中档题训练一1．已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线， 则“α⊥β”是“m ⊥β” 的 ___ ____ 条件．（填“充分不必要”、 “必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）2．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，则满足不等式 f (1)＜f (lg(2x ))的x 的取值范围是 ______ ．3．在△ABC 中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝6，若D 点在斜边BC 上，CD ＝2DB ，则AB →·AD →的值为 ______ ．4．在平面直角坐标系xOy 中，点M 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P ，Q 两点．若△PQM 是钝角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是 ________ ．5．对于定义域内的任意实数x ，函数f (x )＝x 2+(a －1)x －2a +22x 2+ax －2a的值恒为正数，则实数a 的取值范围是 _______ ．6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b －3c 3a＝cos C cos A ． （1）求角A 的值；（2）若角6B π=，BC 边上的中线AM ABC ∆的面积．7．某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10cm 的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为x cm ，体积为Vcm 3．在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V 的最大值是多少？并求此时x 的值．高三中档题训练二1. 若关于x 的不等式2230x x a -+<的解集为(),1m ，则实数m =．2. 已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6AB BC ==，则棱锥O ABCD -的体积为 ．3. 已知锐角A ，B 满足)tan(tan 2B A A +=,则B tan 的最大值为 ．4. 已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22(2)1x y -+=相交，则双曲 线C 离心率的取值范围是 ．5. 设函数)102)(36sin(2)(<<-+=x x x f ππ的图像与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数()f x 的图像交于另外两点B 、C .O 是坐标原点，则()OB OC OA +u u u r u u u r u u r g = ．6.已知,(0,)2αβπ∈，且7sin(2)sin 5αβα+=． （1）求证：tan()6tan αββ+=； （2）若tan 3tan αβ=，求α的值．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为32，两个顶点分别为A 1(－2，0)，A 2(2，0)．过点D (1，0)的直线交椭圆于M ，N 两点，直线A 1M 与NA 2的交点为G ．（1）求实数a ，b 的值；（2）当直线MN 的斜率为1时，若椭圆上恰有两个点P 1，P 2使得△P 1MN 和△P 2MN 的面积为S ，求S 的取值范围；。
高三数学中档题+详细答案(全)精选
高三数学中档题+详细答案(全) 班级 姓名1.如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，⊥=11,AC BB AB 平面D BD A ,1为AC 的中点．（1）求证：//1C B 平面BD A 1；（2）求证：⊥11C B 平面11A ABB ；（3）在1CC 上是否存在一点E ，使得∠1BA E =45°，若存在，试确定E 的位置，并判断平面1A BD 与平面BDE 是否垂直？若不存在，请说明理由．2. 设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点，)1,0(-B ．（Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅u u u r u u u u r 的最大值和最小值; （Ⅱ）若C 为椭圆上异于B 一点，且11CF BFλ=，求λ的值； （Ⅲ）设P 是该椭圆上的一个动点，求1PBF ∆的周长的最大值.3． 已知定义在R 上的奇函数()3224f x ax bx cx d =-++ （a b c d R ∈、、、），当1x = 时，()f x 取极小值.23-（1）求a b c d 、、、的值；（2）当[,]11x ∈-时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论.（3）求证:对]2,2[,21-∈∀x x ,都有34)()(21≤-x f x f4．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，d 为常数，已知对*∈∀N m n ,，当m n >时，总有d m n m S S S m n m n )(-+=--.⑴ 求证：数列｛n a ｝是等差数列；⑵ 若正整数n , m , k 成等差数列，比较k n S S +与mS 2的大小，并说明理由！高三数学中档题训练27班级 姓名1. 在平面直角坐标系xoy 中，已知圆心在直线4y x =+上，半径为的圆C 经过坐标原点O ，椭圆()222109x y a a +=>与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.（1）求圆C 的方程；（2）若F 为椭圆的右焦点，点P 在圆C 上，且满足4PF =，求点P 的坐标.18. 某厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进先进设备，并马上投入生产，第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元.请你根据以上数据，解决下列问题：(1)引进该设备多少年后，开始盈利？(2)引进该设备若干年后，有两种处理方案：第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，哪种方案较为合算？请说明理由′3.设二次函数2()f x ax bx c=++在区间[]2,2-上的最大值、最小值分别是M、m，集合{}|()A x f x x==.（1）若{1,2}A=，且(0)2f=，求M和m的值；（2）若{2}A=，且1a≥，记()g a M m=+，求()g a的最小值.4.设数列{}{},n na b满足1122336,4,3a b a b a b======，若{}1n na a+-是等差数列，{}1n nb b+-是等比数列.（1）分别求出数列{}{},n na b的通项公式；（2）求数列{}n a 中最小项及最小项的值；（3）是否存在*k N ∈，使10,2k k a b ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，若存在，求满足条件的所有k 值；若不存在，请说明理由.高三数学中档题训练28班级 姓名1、已知E F 、分别是正三棱柱111ABC A B C -的侧面11AA B B 和侧面11AA C C 的对角线的交点,D 是棱BC 的中点. 求证:(1)//EF 平面ABC ;(2)平面AEF ⊥平面1A AD .2．在平面区域2100,260,270x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩≥≥≤内有一个圆,向该区域内随机投点,当点落在圆内的概率最大时的圆记为⊙M ．（1）试求出⊙M 的方程；（2）过点P （0，3）作⊙M 的两条切线，切点分别记为A ，B ；又过P 作⊙N ：x 2+y 2-4x +λy +4=0的两条切线，切点分别记为C ，D ．试确定λ的值，使AB ⊥CD ．3. 已知函数22()ln ()f x x a x ax a R =-+∈．（1）当a=1时，证明函数()f x 只有一个零点；（2）若函数()f x 在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a 的取值范围．4. 已知函数2()1f x x x =+-，αβ，是方程()0f x =的两个根()αβ>，()f x '是()f x 的导数．设11a =，1()(12)()n n n n f a a a n f a +=-='L ，，．（1）求αβ，的值；（2）已知对任意的正整数n 有n a α>，记ln(12)n n n a b n a βα-==-L ，，．求数列{}n b 的前n 项和n S ．高三数学中档题训练29班级 姓名1．已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． （1）求()f x 的最大值和最小值；（2）若不等式()2f x m -<在ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围2、已知椭圆C ：12222=+b y a x )0(>>b a 的两个焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，且211F F PF ⊥，341=PF ，3142=PF ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过圆02422=-++y x y x 的圆心M ，交椭圆C 于A ，B 两点，且A ，B 关于点M 对称，求直线l 的方程．3．已知集合是满足下列性质的函数)(x f 的全体：在定义域D 内存在0x ，使得)1(0+x f )1()(0f x f +=成立．（1）函数xx f 1)(=是否属于集合M ？说明理由； （2）若函数b kx x f +=)(属于集合M ，试求实数k 和b 的取值范围；（3）设函数1lg)(2+=x a x f 属于集合M ，求实数a 的取值范围．4．设常数0a ≥，函数2()ln 2ln 1f x x x a x =-+-((0,))x ∈+∞. （1）令()()g x xf x '=(0)x >，求()g x 的最小值，并比较()g x 的最小值与零的大小；（2）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．高三数学中档题训练30班级 姓名1．若函数)0(cos sin sin )(2>-=a ax ax ax x f 的图象与直线y=m 相切，并且切点的横坐标依次成公差为2π的等差数列.（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若点)(),(00x f y y x A =是图象的对称中心，且]2,0[0π∈x ，求点A 的坐标.2．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过M (1,324), N ( －223,2)两点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）在椭圆上是否存在点P(x,y)，使P 到定点A(a,0)（其中0＜a ＜3）的距离的最小值为１？若存在，求出a 的值及P 点的坐标；若不存在，请给予证明．3.设A (x 1 , y 1),B(x 2 , y 2)是函数f(x )=21+log 2x x -1图象上任意两点，且OM =21(+),点M 的横坐标为21.⑴求M 点的纵坐标；⑵若S n =)(11∑-=n i n i f =f (1n )+f (2n )+…+f (1n n -),n ∈N *,且n ≥2，求S n ; ⑶已知a n =1231(1)(1)n n S S +⎧⎪⎪⎨⎪++⎪⎩(1)(2)n n =≥n ∈N *,T n 为数列{a n}的前n 项和，若T n <λ(S n+1+1) 对一切n >1且n ∈N *都成立，求λ的取值范围.4.已知函数f(x)= n +lnx 的图像在点P(m,f(m))处的切线方程为y=x ,设()2ln ng x mx xx =--．（1）求证：当()1,0x g x ≥≥恒成立；（2）试讨论关于x 的方程：()322nmx g x x ex txx --=-+ 根的个数．高三数学中档题训练261.证明：（1）连接1AB 与B A 1相交于M ，则M 为B A 1的中点.连结MD ，又D 为AC 的中点，MD C B //1∴，又⊄C B 1平面BD A 1，MD ⊂平面BD A 1//1C B ∴平面BD A 1 . …………………………………………4′（2）B B AB 1=Θ，∴平行四边形11A ABB 为菱形，11AB B A ⊥∴， 又⊥1AC Θ面BD A 1B A AC 11⊥∴，⊥∴B A 1面11C AB …………………………7′ 111C B B A ⊥∴.又在直棱柱111C B A ABC -中，111C B BB ⊥， ⊥∴11C B 平面A ABB 1. ……………………………………9′（3）当点E 为C C 1的中点时，∠1BA E=45°，且平面⊥BD A 1平面BDE .设AB=a ，CE=x，∴111A B AC =，1C E a x =-，∴1A E ==BE ∴在1A BEV 中，由余弦定理得22211112cos 45BE A B A E A B A E =+-⋅⋅︒即222222322a x a x a ax +=++--⋅2a x =-，∴x =12a ，即E 是C C 1的中点. ………………………………………13′D Θ、E 分别为AC 、C C 1的中点，1//AC DE ∴.1AC Θ平面BD A 1，⊥∴DE 平面BD A 1.又⊂DE 平面BDE ，∴平面⊥BD A 1平面BDE . …………………………15′ 2．解：（Ⅰ）易知2,1,a b c ===所以())12,F F ，设(),P x y ，则())2212,,,3PF PF x y x y x y ⋅=--=+-u u u r u u u u r()2221133844x x x =+--=-因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅u u u r u u u u r有最小值2- 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅u u u r u u u u r有最大值1（Ⅱ）设C （0x 0，y ），)1,0(-B ()1F由11CF BFλ=得001x y λ==-，又 220014x y += 所以有2670λλ+-=解得舍去）01(7>=-=λλ．（Ⅲ） 因为|P 1F |＋|PB |＝4－|PF 2|＋|PB |≤4＋|BF 2|，∴1PBF ∆的周长≤4＋|BF 2|＋|B 1F |≤8．所以当P 点位于直线BF 2与椭圆的交点处时，1PBF ∆周长最大，最大值为8．3．解（1）∵函数()f x 图象关于原点对称，∴对任意实数()()x f x f x -=-有，∴32322424ax bx cx d ax bx cx d ---+=-+--，即220bx d -=恒成立 ∴0,0b d == …………4分∴,3)(',)(23c ax x f cx ax x f +=+=， ∵1x =时，()f x 取极小值23-,∴2303a c a c +=+=-且， 解得1,31-==c a ………8分（2）当[1,1]x ∈-时，图象上不存在这样的两点使结论成立. …………10分假设图象上存在两点),(),,(2211y x B y x A ，使得过此两点处的切线互相垂直，则由,1)('2-=x x f 知两点处的切线斜率分别为,1211-=x k ,1222-=x k 且2212(1)(1)1x x -⋅-=-…………（*） …………13分1x Q 、2[1,1]x ∈-，2222121210,10,(1)(1)0x x x x ∴-≤-≤∴-⋅-≥此与（*）相矛盾，故假设不成立. ………………16分 4（本小题满分18分）⑴证明：∵当m n >时，总有dm n m S S S m n m n )(-+=--∴ 当2≥n 时，dn S S S n n )1(11-+=--即,)1(1d n a a n -+= 2分且1=n 也成立 ………3分∴ 当2≥n 时，dd n a d n a a a n n =----+=--)2()1(111∴数列｛na ｝是等差数列 …………5分⑵解： ∵正整数n , m , k 成等差数列，∴,2m k n =+∴)2)1((22)1(2)1(2111d m m ma d k k ka d n n na S S S m k n -+--++-+=-+))2(2(2)2(2222222k n k n d m k n d +-+=-+=2)(4k n d-=……9分∴ ① 当0>d 时，k n S S +mS 2> ② 当0<d 时，k n S S +mS 2<③ 当0=d 时，k n S S +mS 2= ……10分 高三数学中档题训练271. 解：（1）由已知可设圆心坐标为(),4t t +， …………………………2'∴()2248t t ++=得2t =-，∴圆心坐标为()2,2-， …………………………4'所以圆的方程为()()22228x x ++-= ……………………………6'（2）由题意，椭圆中210a =，即5a =Q 29b =，∴216c =，∴()4,0F …………………………8'设(),P m n ，则()()224016m n -+-=，()()22228m n ++-= ……………………………11'解之得：4050125m m n n ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩或即()4120,0,55P P ⎛⎫⎪⎝⎭或 …………………………………………14' 2. 解：(1)设引进设备几年后开始盈利，利润为y 万元则y =50n -[12n +n(n -1)2×4]-98=-2n 2+40n -98由y >0可得10n <10 ∵n ∈N *，∴3 ≤n ≤17，即第3年开始盈利 …………………… 5′(2)方案一：年平均盈利y 98=-2n -+40≤40=12n 2当且仅当982n =n 即n =7时取“＝”共盈利12×7+26=110万元 …………………………………………9′ 方案二：盈利总额y =-2n 2+40n -98=-2(n -10)2+102 当n =10时，y max =102共盈利102+8=110万元………………………………………13′方案一与方案二盈利客相同，但方案二时间长，∴方案一合算…………153. (1)由(0)22f c ==可知， ……………………1′ 又{}2A 1212(1)0.ax b x c =+-+=，，故，是方程的两实根1-b 1+2=a ,c 2=a ⎧⎪⎪∴⎨⎪⎪⎩ ……………………………………………3′1,2a b ==-解得 ………………………………………4′ []22()22(1)1,2,2f x x x x x ∴=-+=-+∈-min 1()(1)1,1x f x f m ====当时，即 ………………………5′ max 2()(2)10,10.x f x f M =-=-==当时，即 ……………………6′（2）2(1)0ax b x c +-+=由题意知，方程有两相等实根x=2,,4ca ⎧⎪⎧⎪∴⎨⎨⎩⎪=⎪⎩1-b 2+2=b=1-4a a 即c=4a ………………………8′ []2()(14)4,2,2f x ax a x a x ∴=+-+∈-4112,22a a a -==-其对称轴方程为x131,2,222a a ⎡⎫≥-∈⎪⎢⎣⎭又故 ……………………………10′(2)162,M f a ∴=-=- ………………………11′4181,24a a m f a a --⎛⎫==⎪⎝⎭ ………………………12′1()164g a M m a a ∴=+=-…………………………13′[)min 63()1,1().4g a a g a +∞∴==又在区间上为单调递增的，当时， ……15′4.解：（1）21322,1a a a a -=--=-由{}1n n a a +-成等差数列知其公差为1，故()12113n n a a n n +-=-+-⋅=- ……………………3'21322,1,b b b b -=--=-由{}1n n b b +-等比数列知，其公比为12，故11122n n n b b -+⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭ …………6'11223211()()()()n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-+⋅⋅⋅+-+=()()()12(1)212n n n ---⋅-+⋅+6=232282n n n -+-+=27182n n -+ ………8'11223211()()()()n n n n n n n b b b b b b b b b b -----=-+-+-+⋅⋅⋅+-+＝2121()2112n -⎛⎫-- ⎪⎝⎭-+6=2+42n- …………………………………………………10'(2)由(1)题知,n a =27182n n -+ ,所以当3n =或4n =时，n a 取最小项，其值为3…12' （3）假设k 存在，使k k a b -=27182n n -+-2-42n -=27142n n -+-42n -10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 则0<27142n n -+-42n-12< 即2527132714n n n n n --+<<-+ …………15' ∵22713714n n n n -+-+与是相邻整数 ∴52nZ -∉，这与52n Z -∈矛盾，所以满足条件的k 不存在 ………………17'高三数学中档题训练282、证明：（1）连结11A B A C和，因为E F 、分别是侧面11AA B B和侧面11AA C C的对角线的交点，所以E F 、分别是11A B A C 和的中点…………………………………………4分所以//EF BC ，且BC 在平面ABC 中，而EF 不在平面ABC 中，故//EF 平面ABC (7)分（2）因为三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱，所以1A A ⊥平面ABC ，∴1BC A A⊥，故由//EF BC 得1EF A A⊥……9分又因为D 是棱BC 的中点，且ABC ∆为正三角形，∴BC AD ⊥，故由//EF BC 得EF AD ⊥，……11分 而1A A AD A=I ，1,A A AD ⊂平面1A AD，所以EF ⊥平面1A AD，又EF ⊂平面AEF ，故平面AEF ⊥平面1A AD .……………………………………14分2. （1）设⊙M 的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2(r ＞0)，则点(a ，b )在所给区域的内部．2分于是有,,.r r r ==⎪= ………………………………………………8分（未能去掉绝对值，每个方程给1分）解得 a =3，b =4，r(x -3)2+(y -4)2=5． …………………10分（2）当且仅当PM ⊥PN 时，AB ⊥CD ． ………………………………14分因13PM k =，故λ3232PNk --==-，解得λ=6． …………………………18分当λ=6时，P 点在圆N 外，故λ=6即为所求的满足条件的解．（本验证不写不扣分）3. 解：（1）当a=1时，2()ln f x x x x =-+，其定义域是(0,)+∞，2121()21x x f x x x x --'∴=-+=-令()0f x '=，即2210x x x ---=，解得12x =-或1x =．0x >Q ，12x ∴=-舍去．当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．∴函数()f x 在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减∴当x=1时，函数()f x 取得最大值，其值为2(1)ln1110f =-+=． 当1x ≠时，()(1)f x f <，即()0f x <． ∴函数()f x 只有一个零点．（2）法一：因为22()ln f x x a x ax =-+其定义域为(0,)+∞， 所以222121(21)(1)()2a x ax ax ax f x a x a x x x -++-+-'=-+==①当a=0时，1()0,()f x f x x '=>∴在区间(0,)+∞上为增函数，不合题意②当a>0时，()0(0)f x x '<>等价于(21)(1)0(0)ax ax x +->>，即1x a >．此时()f x 的单调递减区间为1(,)a +∞．依题意，得11,0.a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩解之得1a ≥．③当a<0时，()0(0)f x x '<>等价于(21)(1)(0)ax ax x +->>，即12x a >-·此时()f x 的单调递减区间为1(,)2a -+∞，11,0.a a ⎧-≤⎪∴⎨⎪<⎩得12a ≤- 综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U法二：22()ln ,(0,)f x x a x ax x =-+∈+∞Q 2221()a x ax f x x -++'∴=由()f x 在区间(1,)+∞上是减函数，可得22210a x ax -++≤在区间(1,)+∞上恒成立．① 当0a =时，10≤不合题意② 当0a ≠时，可得11,4(1)0a f ⎧<⎪⎨⎪≤⎩即210,4210a a a a ⎧><⎪⎨⎪-++≤⎩或10,4112a a a a ⎧><⎪⎪∴⎨⎪≥≤-⎪⎩或或 1(,][1,)2a ∴∈-∞-+∞U4. (1) 由 210x x +-=得x =α∴=β=(2) ()21f x x '=+221112121n n n n n n n a a a a a a a ++-+=-=++(221122112n n n n n n n nn n a a a a a a a a βαβα+++++++-==-⎛⎫ ⎪⎛⎫-== ⎪-⎝⎭⎝⎭∴12n nb b += 又111lna b a βα-===- ∴数列{}n b 是一个首项为14ln2+，公比为2的等比数列；∴)()12242112n n n S -==--高三数学中档题训练291．解：（1）π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵π12sin 23x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭． 又ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∵，ππ2π2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤≤， max min ()3,()2f x f x ==∴．（2）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，14m <<∴，即m 的取值范围是(1,4)．2.（1）14922=+y x …………7分 （2）02598=+-y x …………7分3．（本小题满分16分）解：（1）),0()0,(+∞-∞=Y D ，若M xx f ∈=1)(，则存在非零实数0x ，使得111100+=+x x ，……（2分）即0102=++x x ，……（3分） 因为此方程无实数解，所以函数M xx f ∉=1)(．……（4分） （2）R D =，由M b kx x f ∈+=)(，存在实数0x ，使得 b k b kx b x k +++=++00)1(，……（6分） 解得0=b ，……（7分）所以，实数k 和b 的取得范围是R k ∈，0=b ．……（8分） （3）由题意，0>a ，R D =．由M x ax f ∈+=1lg)(2，存在实数0x ，使得 2lg 1lg 1)1(lg2020ax a x a =+=++，……（10分） 所以，)1(21)1(20220+=++x a x a ， 化简得0222)2(202202=-++-a a x a x a a ，……（12分）当2=a 时，210-=x ，符合题意．……（13分） 当0>a 且2≠a 时，由△0≥得0))(2(84224≥---a a a a a ，化简得0462≤+-a a ，解得]53,2()2,53[+-∈Y a ．……（15分）综上，实数a 的取值范围是]53,53[+-．……（16分）4．解（Ⅰ）∵()(ln )(ln )2ln 1f x x x x a x =-+-，(0,)x ∈+∞∴112()1[ln (ln )]a f x x x x x x '=-⨯+⨯+2ln 21x ax x =-+，∴()()2ln 2g x xf x x x a '==-+，(0,)x ∈+∞∴22()1x g x x x -'=-=，令()0g x '=，得2x=，列表如下：∴()g x 在x 处取得极小值， 即()g x 的最小值为(2)22ln 22g a =-+．(2)2(1ln 2)2g a =-+，∵ln 21<，∴1ln 20->，又0a ≥，∴(2)0g >． （Ⅱ）证明由（Ⅰ）知，()g x 的最小值是正数，∴对一切(0,)x ∈+∞，恒有()()0g x xf x '=>从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，∞上是增函数． （Ⅲ）证明由（Ⅱ）知：()f x 在(0)+，∞上是增函数， ∴当1x >时，()(1)f x f >， 又2(1)1ln 12ln110f a =-+-=， ∴()0f x >，即21ln 2ln 0x x a x --+>，∴2ln 2ln 1x x a x >-+故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．高三数学中档题训练301．解析：解：（1）)42sin(23212sin 2122cos 1)(π+-=--=ax ax ax x f 3分由于y=m 与)(x f y =的图象相切，则221221-=+=m m 或； 5分（2）因为切点的横坐标依次成公差为2π等差数列，所以42,2=∴=a T π).21,167()21,163(,21),(21640),(164)(44,0)44sin(.21)44sin(22)(000πππππππππππ或点或得由则令A k k Z k k Z k k x Z k k x x x x f ∴==∈≤-≤∈-=∴∈=+=+++-=2．解：（Ⅰ）设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n,＞0且m≠n) ……………2分∵椭圆过M,N 两点，∴m+,1932=n 1229=+n m …………………4分∴m=41,91=n ………………………………………………6分 ∴椭圆方程为 14922=+y x …………………………………………7分（Ⅱ）设存在点P(x,y)满足题设条件，∴|AP|=(x-a)2+y 2,又14922=+y x ,∴y 2=4(1 -92x ),∴|AP|=(x-a)2+ 4(1 -92x )=95(x-59a)2+4-54a 2(|x|≤3)，…………………10分 若时，即350,359≤≤＜a a |AP|的最小值为4-54a 2，依题意，4-54a 2=1 ，∴a=215±⎥⎦⎤ ⎝⎛∉35,0;………………………………………12分 若,359〉a 即335＜a＜时，当x=3时,|AP|2的最小值为（3-a ）2,（3-a ）2=1,∴a=2,此时点P 的坐标是（3，0） .…………………………………………15分 故当a=2时，存在这样的点P 满足条件，P 点的坐标是（3，0）.…………16分3.解:(1) ∵x 1+x 2=1,∴y M =2)()(21x f x f +=21log 1log 1222112x xx x -+-+=21； 4分(2) ∵对任意x ∈(0,1)都有f(x)+f(1-x)=1∴f(i n )+f(1-i n )=1,即f(i n )+f(n in -)=1而S n =)(11∑-=n i n i f =f （1n )+f(2n )+…+f(1n n -),又S n =)(11∑-=n i n i f =f(1n n -)+f(2n n -)+…+f(1n )两式相加得2S n =n-1,∴S n =21-n . 10分(3) n≥2时，a n =)2)(1(4++n n =4(2111+-+n n ),T n =22+n n <λ22+n ,λ>n n 444++,而n n 444++≤4424+⋅n n =21，等号成立当且仅当n=2,∴λ>21. 16分4．（本小题满分16分）（1）由k=11=m 得m=1∴f(m)=1=n+0,n=1 ∴()12ln 2ln n g x mx x x xx x =--=--． ———2′∴()()222221122110x x x g x x x x x --+'=+-==≥，∴()g x 在[)1,+∞是单调增函数，∴()g x ()1112ln10g ≥=--=对于[)1,x ∈+∞恒成立．———6′（2）方程()322nmx g x x ex tx x --=-+，∴322ln 2x x ex tx =-+．∵ 0x >，∴ 方程为22ln 2xx ex tx =-+． 令22ln (),()2xL x H x x ex t x ==-+，21ln ()2xL x x -'=Q ，当()()(0,),0,(0,]x e L x L x e ''∈≥∴时在上为增函数；()()[,),0,[0,)x e L x L x e ''∈+∞≤∴时在上为减函数，当e x =时，max 2()().L x L e e == ———11′ ()()2222H x x ex t x e t e =-+=-+-，∴()x 函数L 、()H x 在同一坐标系的大致图象如图所示，∴①当2222,t e e e e ->>+即t 时，方程无解． ②当2222,t e e e e -==+即t 时，方程有一个根． ③当2222,t e e e e -<<+即t 时，方程有两个根．—16′15、。
最新上海高中数学二模中档题汇编
2019上海高中数学二模中档题汇编------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxx高中数学上海１9届二模真题中档题汇编姓名：年级 :宝山区1。
将半径为1和２的两个铅球,熔成一个大铅球，那么,这个大铅球的表面积是 2. 方程sec 301sin x x-=的解集为3。
如图,扇形OAB 的半径为１,圆心角为2π，若P 为弧AB 上异于A 、B 的点,且PQ OB ⊥交OB 于Q 点，当△POQ 的面积大于3时,POQ ∠的大小范围为４. 一个口袋中有9个形状大小完全相同的球,球的编号分别为1,2，⋅⋅⋅，9,随机摸出两个球，则两个球的编号之和大于9的概率是 (结果用分数表示)5． 设点12(,)A a a ,12(,)B b b ，12(,)C c c 均非原点,则“OC 能表示成OA 和OB 的线性组合＂是“方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩有唯一解”的( )A. 充分不必要条件 B 。
必要不充分条件 Ｃ. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6。
已知双曲线22221x y a b -=(0a b >>）的右焦点为(,0)F c ,直线()y k x c =-与双曲线的右支有两个交点,则（ ）Ａ。
||b k a > B 。
||b k a < C 。
||c k a> D. ||c k a<7. 已知21()3sin cos cos 2f x x x x =-+.(1）若[0,]2x π∈，求()f x 的取值范围;（2）设△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，周长１，若1()2f B =-，求△ABC 面积最大值。
8。
对年利率为r 的连续复利,要在x 年后达到本利和A ,则现在投资值为rx B Ae -=,e 是自然对数的底数。
高中数学中档题1,4
高三数学中档题训练(一)1、已知向量OA=3i-4j，OB=6i-3j，OC=(5-m)I-(3+m)j，其中i、j分别是直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量.①若A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；②若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值.2、已知数列{a n}的前n项之和为S n，且S n=a(a n-1)(a≠0，a≠1，n∈N n)(1)求数列{a n}的通项公式；(2)数列{b n}=2n+b(b是常数)，且a1=b1，a2>b2，求a的取值范围.3、如图，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC ，△ABC 为正三角形，D 、E 分别是BC 、CA 的中点.(1)证明：平面PBE ⊥平面PAC ； (2)如何在BC 上找一点F ，使AD//平面PEF ？并说明理由； (3)若PA=AB=2，对于(2)中的点F ，求三棱锥B-PEF 的体积.4、某种细菌两小时分裂一次，(每一个细菌分裂成两个，分裂所需的时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y 是研究时间t 的函数，记作y=f(t)(1)写出函数y=f(t)的定义域和值域；(2)在所给坐标系中画出y=f(t)；(0≤t<6)的图象；(3)写出研究进行到n 小时(n ≤0，n ∈Z)时细菌的总数有多少个(用关于n 的式子表示).答案在第9页A B D CFP高三数学中档题训练(二)1、求函数x x x f 4131)(3-=的单调区间，并求f(sinx)的最大值.2、数列{a n }共有k 项(k 为定值)，它的前n 项和S n =2n 2+n(1≤n ≤k ，n ∈N)，现从k 项中抽取一项(不抽首项、末项)，余下的k-1项的平均值是79.(1)求数列{a n }的通项.(2)求出k 的值并指出抽取的第几项.3、若一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，试求所有的满足上述条件的三棱锥的体积.4、某服装公司生产的衬衫，若每件定价80元，则在某市年销售量为8万件. 若该服装公司在该市设立代理商来销售该衬衫，代理商要收取代销费，代销费是销售额的p%(即每销售100元时收取p 元). 为此，该衬衫每件的价格要提高到%180p 元，而每年销售量将减少0.62p 万件.(1)设该衬衫每年销售额为y 元，试写y 与p 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； (2)若代理商对衬衫每年收取的代理费不小于16万元，求p 的取值范围.高三数学中档题训练(三)1、已知：A 、B 是△ABC 的两个内角，j BA i b A m 2sin 252cos ++-=，其中i 、j 为互相垂地的单位向量. 若|m |=423，试求tanA ·tanB 的值.2、如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=AC=4,∠BAC=90°，侧面ABB 1A 1为正方形，D 为正方形ABB 1A 1的中心，E 为BC 的中点.(1)求证：平面DB 1E ⊥平面BCC 1B 1； (2)求异面直线A 1B 与B 1E 所成的角.1A 1C BA C D1B E3、某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为K(K>0)，货款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放货出去.(1)若存款的利率为x ，x ∈(0，0.048)，试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息(x)；(2)存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？4、已知函数f(x)=nxx a x a a n 2210a …++++(n ∈N n)，且y=f(x)的图象经过点(1，n 2)，数列{a n }(n ∈N +)为等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为奇函数时，设g(x)=)]()([21x f x f --,是否存在自然数m 和M ，使不等式m<g(21)<M 恒成立，若存在，求出M-m 的最小值；若不存在，说明理由.高三数学中档题训练(四)1、已知函数)R (2sin 3cos 2)(2∈++=a a x x x f ．（1）若x ∈R ，求f （x ）的单调递增区间；（2）若x ∈[0，2π]时，f （x ）的最大值为4，求a 的值，并指出这时x 的值．2、设两个向量1e 、2e ，满足|1e |＝2，|2e |＝1，1e 、2e 的夹角为60°，若向量2172e te +与向量21te e +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．3、如图，平面VAD ⊥平面ABCD ，△VAD 是等边三角形，ABCD 是矩形，AB ∶AD ＝2∶1，F 是AB 的中点．（1）求VC 与平面ABCD 所成的角；（2）求二面角V -FC -B 的度数；（3）当V 到平面ABCD 的距离是3时，求B 到平面VFC 的距离．4、已知数列{n a }中531=a ，112--=n n a a （n ≥2，+∈N n ），数列}{n b ，满足11-=n n a b（1）求证数列{n b }是等差数列；（2）求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由； （3）记++=21b b S n …n b +，求1)1(+-n nS b n高三数学中档题训练(一)答案1、①当m ≠21时，A 、B 、C 三点能构成三角形； ②当m=47时，三角形ABC 为直角三角形，且∠A=90°.2、(1)n n a a a )1(-= (2))2,1()1,21(⋃3、(1) ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BE又∵△ABC 是正三角形，且E 为AC 的中点，∴BE ⊥CA又PA A CA =⋂，∴BE ⊥平面PAC ∵BE ⊂平面PBE ，∴平面PBE ⊥平面PAC. (2)取CD 的中点F ，则点F 即为所求. ∵E 、F 分别为CA 、CD 的中点，∴EF//AD 又EF ⊂平面PEF ，AD ⊄平面PEF ，∴AD//平面PEF. (3)43 4、 (1)函数y=f(t)的定义域为[0，+∞)；值域为{y|y=2n，n ∈N *} (2)(3)y=⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅-为奇数时当为偶数当n n n,22n ,22212 高三数学中档题训练(二)答案1、f(sinx)有最大值121. 2、(1)a n =4n-1(1≤n ≤k) (2)抽取的是第20项. 3、1 2 3 4 5 6x12 3 4 5 6 78y4、解：(1))31400p (0 )62.08(%180<<--=p p y(2)16100)6.08(%180≥⨯--pp p 10311000100411.32≤≤∴≤+-∴p p p高三数学中档题训练(二)答案1、91 2、(1)证明：延长B 1D 至A ，连结AE∵三棱柱为直三棱柱，∴平面BCC 1B 1⊥平面ABC 又△ABC 中AB=AC ，E 为AB 中点 ∴AE ⊥BC ∴AE ⊥平面BCC 1B 1又∵AC ⊂平面B 1DE ∴平面B 1DE ⊥平面BCC 1B 1 (2)63 3、(1)由题意，存款量g(x)=Kx 2，银行应支付的利息h(x)=x ·g(x)=Kx 36(2)存款利率为3.2%时，银行可获得最大利益4、(1)据题意：f(1)=n 2 即a 0+a 1+a 2+……+a n =n 2令n=1 则a 0+a 1=1，a 1=1-a 0 令n=2 则a 0+a 1+a 2=22，a 2=4-(a 0+a 1)=4-1=3令n=3 则a 0+a 1+a 2+a 3=32，a 3=9-(a 0+a 1+a 2)=9-4=5 ∵{a n }为等差数列 ∴d=a 3-a 2=5-3=2 a 1=3-2=1 a 0=0 a n =1+(n-1)·2=2n-1(2)由(1)f(x)=a 1x 1+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x nn 为奇数时，f(-x)=-a 1x 1+a 2x 2-a 3x 3+…+a n-1x n-1-a n x ng(x)=n n n n x a x a x a x a x a x f x f +++++=----22553311)]()([21n n n n g )21)(12()21)(52()21(9)21(5211)21(253-+-++⋅+⋅+⋅=-2753)21)(12()21)(52()21(9)21(5)21(1)21(41+-+-++⋅+⋅+⋅=n n n n g相减得 253)21)(12(])21()21()21[(4211)21(43+--++++⋅=n n n g∴n n n g )21(32)21(913914)21(+-= 令n n n C )21(32= ∵*1N n ,021)21(32∈≤-⋅⋅=-+n C C n n n ∴C n+1≤C n ，C n 随n 增大而减小 又n )21(913⋅随n 增大而减小 ∴g(21)为n 的增函数，当n=1时，g(21)=21 而914)21(32)21(913914<-⋅-n n n 914)21(21<≤∴g ∴使m<g(21)<M 恒成立的自然m 的最大值为0，M 最小值为2. M-m 的最小值为2.高三数学中档题训练(三)答案解析：1、（1）a x a x x x f +++=+++=1)6π2sin(212cos 2sin 3)(． 解不等式2ππ26π22ππ2+≤+≤-k x k ． 得)Z (6ππ3ππ∈+≤≤-k k x k∴ f （x ）的单调增区间为3ππ[-k ，)Z ](6ππ∈+k k ．（2）∵ 0[∈x ，2π]， ∴ 6π76π26π≤+≤x ．∴ 当2π6π2=+x 即6π=x 时，a x f +=3)(max ． ∵ 3＋a ＝4，∴ a ＝1，此时6π=x ． 2、解析：由已知得421=e ，122=e ，160cos 1221=⨯⨯=⋅ e e ．∴ 71527)72(2)()72(222212212121++=+++=++⋅t t te e e t te te e e te ． 欲使夹角为钝角，需071522<++t t ． 得 217-<<-t ． 设)0)((722121<+=+λte e i e te ． ∴ ⎩⎨⎧==λλt t 72，∴ 722=t ．∴ 214-=t ，此时14-=λ． 即214-=t 时，向量2172e te +与21te e +的夹角为π ． ∴ 夹角为钝角时，t 的取值范围是（-7，214-） （214-，21-）． 3、解析：（甲）取AD 的中点G ，连结VG ，CG ．（1）∵ △ADV 为正三角形，∴ VG ⊥AD ．又平面VAD ⊥平面ABCD ．AD 为交线，∴ VG ⊥平面ABCD ，则∠VCG 为CV 与平面ABCD所成的角．设AD ＝a ，则a VG 23=，a DC 2=． 在Rt △GDC 中， a a a GD DC GC 23422222=+=+=． 在Rt △VGC 中，33tan ==∠GC VG VCG ． ∴ 30=∠VCG ． 即VC 与平面ABCD 成30°．（2）连结GF ，则a AF AG GF 2322=+=． 而 a BC FB FC 2622=+=． 在△GFC 中，222FC GF GC +=． ∴ GF ⊥FC ．连结VF ，由VG ⊥平面ABCD 知VF ⊥FC ，则∠VFG 即为二面角V -FC -D 的平面角． 在Rt △VFG 中，a GF VG 23==． ∴ ∠VFG ＝45°． 二面角V -FC -B 的度数为135°．（3）设B 到平面VFC 的距离为h ，当V 到平面ABCD 的距离是3时，即VG ＝3． 此时32==BC AD ，6=FB ，23=FC ，23=VF ． ∴ 921==⋅∆FC VF S VFC ， 2321==⋅∆BC FB S BFC ． ∵ VCF B FCB V V V --=， ∴ VFC FBC S h S VG ∆∆⋅⋅⋅⋅=3131． ∴ 93123331⋅⋅=⨯⨯h ． ∴ 2=h 即B 到面VCF 的距离为2解析：（1）4、4、 4、1112111111-=--=-=---n n n n n a a a a b ， 而 1111-=--n n a b ， ∴ 11111111=-=-=-----n n n n n a a a b b ．)(+∈N n ∴ {n b }是首项为251111-=-=a b ，公差为1的等差数列． （2）依题意有n n b a 11=-，而5.31)1(25-=-+-=⋅n n b n ， ∴ 5.311-=-n a n ． 对于函数5.31-=x y ，在x ＞3.5时，y ＞0，0<y'，在（3.5，∞+）上为减函数． 故当n ＝4时，5.311-+=n a n 取最大值3 而函数5.31-=x y 在x ＜3.5时，y ＜0，0)5.3(12<--=x y'，在（∞-，3.5）上也为减函数．故当n ＝3时，取最小值，3a ＝-1． （3）2)5)(1(2)25225)(1(1-+=-+-+=+n n n n S n ，5.3-=n b n ，∴ ∞→+∞→=-+--=-n n n n n n n n S b n 2)5)(1()5.3)(1(2lim )1(lim 1．。
2015届高三理科数学二轮复习中档题压轴题训练10份
高考中档题训练(一)1.(2014嘉兴二模)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且=.(1)若C=π,求角B的大小;(2)若b=2,≤C<,求△ABC面积的最小值.解:(1)由正弦定理,得==,则sin B=sin 2C=sin π=.故B=(B=舍去).(2)由(1)中sin B=sin 2C,可得B=2C或B+2C=π.又B=2C时,≤C<,B≥π,即B+C≥π,不符合题意.所以B+2C=π,π-A-C+2C=π,即A=C.设△ABC的边AC上的高为h,则S△ABC=hb=tan C≥,即当C=时,S△ABC的最小值是.2.(2014浙江省“六市六校”联考)已知等差数列{an}的公差不为零,其前n项和为Sn ,若S5=70,且a2,a7,a22成等比数列,(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{}的前n项和为Tn ,求证:≤Tn<.解:(1)设等差数列公差为d(d≠0), 由题知即解得a1=6,d=4或a1=14,d=0(舍去),所以数列的通项公式为an=4n+2.(2)由(1)得Sn=2n2+4n,则==(-),则Tn=(1-+-+-+…+-+-)=(1+--)=-(+),由(+)>0可知-(+)<,即Tn<,由Tn+1-Tn=(-)>0可知{Tn}是递增数列,则Tn≥T1=,可证得:≤Tn<.3.(2014浙江建人高复模拟)如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD ∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=AD=1,CD=.(1)求证:平面PQB⊥平面PAD;(2)若二面角M BQ C为30°,设=t,试确定t的值.(1)证明:法一∵AD∥BC,BC=AD,Q为AD的中点,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD∥BQ.∵∠ADC=90°,∴∠AQB=90°,即QB⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴BQ⊥平面PAD.∵BQ⊂平面PQB,∴平面PQB⊥平面PAD.法二∵AD∥BC,BC=AD,Q为AD的中点,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD∥BQ.∵∠ADC=90°,∴∠AQB=90°.∵ PA=PD,∴PQ⊥AD.∵PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面PBQ.∵ AD⊂平面PAD,∴平面PQB⊥平面PAD.(2)解:∵PA=PD,Q为AD的中点,∴PQ⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PQ⊥平面ABCD.如图,以Q为原点建立空间直角坐标系.则平面BQC的一个法向量为n=(0,0,1);Q(0,0,0),P(0,0,),B(0,,0),C(-1,,0). 设M(x,y,z),则=(x,y,z-),=(-1-x,-y,-z),∵=t,∴∴在平面MBQ中,=(0,,0),=(-,,),∴平面MBQ的一个法向量为m=(,0,t).∵二面角M BQ C为30°,∴cos 30°===,∴t=3.高考中档题训练(二)1.(2014嘉兴一模)设数列{an }的前n项和为Sn,4Sn=+2an-3,且a1,a2,a3,a4,…,a11成等比数列,当n≥11时,an>0.(1)求证:当n≥11时,{an}成等差数列;(2)求{an }的前n项和Sn.(1)证明:由4Sn =+2an-3,4Sn+1=+2an+1-3,得4an+1=-+2an+1-2an,(an+1+an)(an+1-an-2)=0,当n≥11时,an >0,所以an+1-an=2,所以当n≥11时,{an}成等差数列.(2)解:由4a1=+2a1-3,得a1=3或a1=-1,又a1,a2,a3,a4,…,a11成等比数列,所以an+1+an=0(n≤10),q=-1,而a11>0,所以a1>0,从而a1=3.当1≤n≤10时,Sn==[1-(-1)n],当n≥11时,a11,a12,…,an成等差数列首项a11=3,公差d=2,于是Sn =S10+a11+…+an==n2-18n+80.所以Sn=2.(2013高考江苏卷)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min,山路AC长为1260 m,经测量,cos A=,cosC=.(1)求索道AB的长;(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?解:(1)在△ABC中,因为cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=.从而sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=³+³=.由正弦定理=,得AB=²sin C=³=1040(m).所以索道AB的长为1040 m.(2)假设乙出发t min后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130t m,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2³130t³(100+50t)³=200(37t2-70t+50).由于0≤t≤,即0≤t≤8,故当t=(min)时,甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理=,得BC=²sin A=³=500(m).乙从B出发时,甲已走了50³(2+8+1)=550(m),还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min,由题意得-3≤-≤3,解得≤v≤,所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min,乙步行的速度应控制在[,](单位:m/min)范围内.3.(2013高考北京卷)如图,在三棱柱ABC A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.(1)求证:AA 1⊥平面ABC;(2)求二面角A 1BC 1B 1的余弦值;(3)证明:在线段BC 1上存在点D,使得AD ⊥A 1B.并求的值.(1)证明:因为AA 1C 1C 为正方形, 所以AA 1⊥AC.因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C,且AA 1垂直于这两个平面的交线AC, 所以AA 1⊥平面ABC.(2)解:由(1)知AA 1⊥AC, AA 1⊥AB.由题知AB=3,BC=5,AC=4, 所以AB ⊥AC.如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz, 则B(0,3,0),A 1(0,0,4),B 1(0,3,4),C 1(4,0,4). 设平面A 1BC 1的法向量为n=(x,y,z), 则即令z=3,则x=0,y=4,所以n=(0,4,3).同理可得,平面B 1BC 1的一个法向量为m=(3,4,0). 所以cos<n,m>==.由题知二面角A 1BC 1B 1为锐角, 所以二面角A 1BC 1B 1的余弦值为. (3)证明:设D(x 1,y 1,z 1)是线段BC 1上一点, 且=λ.所以(x 1,y 1-3,z 1)=λ(4,-3,4).解得x1=4λ,y1=3-3λ,z1=4λ.所以=(4λ,3-3λ,4λ). 由²=0,得9-25λ=0, 解得λ=.因为∈[0,1],所以在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B.此时,=λ=.高考中档题训练(三) 1.已知函数f(x)=4cos xsin(x+)-1.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[-,]上的最大值和最小值. 解:(1)∵f(x)=4cos xsin(x+)-1=4cos x(sin x+cos x)-1=sin 2x+2cos2x-1=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+),∴f(x)的最小正周期为π.(2)∵-≤x≤,∴-≤2x+≤.∴当2x+=时,即x=时,f(x)取得最大值2,当2x+=-,即x=-时,f(x)取得最小值-1.2.围建一个面积为360 m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口,如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元).(1)将y表示为x的函数;(2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.解:(1)如图,设矩形的另一边长为a m,则y=45x+180(x-2)+180²2a=225x+360a-360.由已知xa=360,得a=,∴y=225x+-360(x>0).(2)∵x>0,∴225x+≥2=10800.∴y=225x+-360≥10440.当且仅当225x=时,等号成立.即当x=24 m时,修建围墙的总费用最小.最小总费用是10440元.3.(2014温州期末)如图,四边形ABCD为矩形,∠AEB=,BC⊥平面ABE,BF⊥CE,垂足为F.(1)求证:BF⊥平面AEC;(2)已知AB=2BC=2BE=2,在线段DE上是否存在一点 P,使二面角P AC E为直二面角,如果存在,请确定P点的位置,如果不存在,请说明理由.解:以A为原点,AB为y轴,AD为z轴,建立直角坐标系.则A(0,0,0),B(0,2,0),C(0,2,1),D(0,0,1),E(,,0),F(,,),(1)∵=(,-,),=(0,2,1),=(,,0),∴²=0,²=0,所以BF⊥平面AEC.(2)设=t(0≤t≤1),∴=+t=(0,0,1)+t(,,-1)=(t,t,1-t),设平面APC的法向量为n=(x,y,z),∵=(0,2,1),∴令y=1,则z=-2,x=,而平面AEC的一个法向量是=(,-,),∴²--1=0,解得t=,所以存在点P,且DP=DE.高考中档题训练(四)1.(2014温州一模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin B+bcos A=0.(1)求角A的大小;(2)若a=,b=1,求△ABC的面积.解:(1)由asin B+bcos A=0得sin Asin B+sin Bcos A=0,tan A=-1,A=.(2)由=得=,sin B=,B=,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=³+³=,S △ABC =absin C=³³1³=.2.(2013江西南昌二模)如表所示是一个由正数组成的数表,数表中各行依次成等差数列,各列依次成等比数列,且公比都相等,已知a 1,1=1,a 2,3=6,a 3,2=8.a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 1,4 … a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 2,4 … a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 3,4 … a 4,1 a 4,2 a 4,3 a 4,4 … … … … … … (1)求数列{a n,2}的通项公式; (2)设b n =+(-1)n a 1,n (n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和S n .解:(1)设第一行依次组成的等差数列的公差是d,各列依次组成的等比数列的公比是q(q>0),则a 2,3=qa 1,3=q(1+2d)⇒q(1+2d)=6, a 3,2=q 2a 1,2=q 2(1+d)⇒q 2(1+d)=8,解得d=1,q=2,所以a 1,2=2,a n,2=2³2n-1=2n . (2)由(1)得a 1,n =n,所以b n =+(-1)n n,S n =(+++…+)+[-1+2-3+…+(-1)n n],记T n =+++…+,则T n =+++…+,两式相减得,T=+++…+-n=1-,=2-,所以Tn=+2-,所以n为偶数时,Sn=-+2-.n为奇数时,Sn3.(2013高考广东卷)如图①,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=6,D,E分别是AC,AB上的点,CD=BE=,O为BC的中点.将△ADE沿DE折起,得到如图②所示的四棱锥A′BCDE,其中A′O=.(1)证明:A′O⊥平面BCDE;(2)求二面角A′CD B的平面角的余弦值.解:(1)由题意,易得OC=3,AC=3,AD=2.连接OD,OE.在△OCD中,由余弦定理可得OD==.由翻折不变性可知A′D=2,所以A′O2+OD2=A′D2,所以A′O⊥OD.同理可证A′O⊥OE,又OD∩OE=O,所以A′O⊥平面BCDE.(2)法一(传统法)过O作OH⊥CD交CD的延长线于H,连接A′H,如图.因为A′O⊥平面BCDE,所以A′H⊥CD,所以∠A′HO为二面角A′CD B的平面角.结合OC=3,∠BCD=45°,得OH=,从而A′H==.所以cos∠A′HO==,所以二面角A′CD B的平面角的余弦值为.法二(向量法)以O点为原点,建立空间直角坐标系O xyz,如图所示,则A′(0,0,),C(0,-3,0),D(1,-2,0),所以=(0,3,),=(-1,2,).设n=(x,y,z)为平面A′CD的一个法向量,则即解得令x=1,得n=(1,-1,),即n=(1,-1,)为平面A′CD的一个法向量.由(1)知=(0,0,)为平面CDB的一个法向量,所以cos<n,>===,即二面角A′CD B的平面角的余弦值为.高考中档题训练(五)1.(2014嘉兴一模)已知函数f(x)=2sin(x+)cos x.(1)若x∈[0,],求f(x)的取值范围;(2)设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知A为锐角,f(A)=,b=2,c=3,求cos (A-B)的值.解:(1)f(x)=(sin x+cos x)cos x=sin xcos x+cos2x=sin 2x+cos 2x+=sin(2x+)+,∵x∈[0,],∴2x+∈[,],-≤sin(2x+)≤1.∴f(x)∈[0,1+].(2)由f(A)=sin(2A+)+=,得sin(2A+)=0,又A为锐角,所以A=,又b=2,c=3,所以a2=4+9-2³2³3³cos =7,a=.由=,得sin B=,又b<a,从而B<A,cos B=.所以,cos (A-B)=cos Acos B+sin Asin B=³+³=.2.如图,长方体物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向做匀速移动,速度为v(v>0),雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R).E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:①P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|³S成正比,比例系数为;②其他面的淋雨量之和,其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量.当移动距离d=100,面积S=时,(1)写出y的表达式;(2)设0<v≤10,0<c≤5,试根据c的不同取值范围,确定移动速度v,使总淋雨量y 最少.解:(1)由题意知,E移动时单位时间内的淋雨量为|v-c|+,故y=(|v-c|+)=(3|v-c|+10).(2)由(1)知,当0<v≤c时,y=(3c-3v+10)=-15;当c<v≤10时,y=(3v-3c+10)=+15.故y=①当0<c≤时,y是关于v的减函数,=20-.故当v=10时,ymin②当<c≤5时,在(0,c]上,y是关于v的减函数,在(c,10]上,y是关于v的增函数.=.故当v=c时,ymin3.(2014杭州外国语学校)在如图所示的几何体中,△ABC是边长为2的正三角形,AE>1,AE⊥平面ABC,平面BCD⊥平面ABC, BD=CD,且BD⊥CD.(1)若AE=2,求证:AC∥平面BDE;(2)若二面角A DE B为60°,求AE的长.(1)证明:分别取BC,BA,BE的中点M,F,P,连接DM,MF,FP,DP,则MF∥AC,FP∥AE,且FP=AE=1,因为BD=CD,BD⊥CD,BC=2,M为BC的中点,所以DM⊥BC,DM=1.又因为平面BCD⊥平面ABC,所以DM⊥平面ABC.又AE⊥平面ABC,所以DM∥AE,所以DM∥FP,且DM=FP,因此四边形DMFP为平行四边形,所以MF∥DP,所以AC∥DP.又AC⊄平面BDE,DP⊂平面BDE,所以AC∥平面BDE.(2)解:法一取BC中点M,过M作MN⊥ED,交ED的延长线于N,连接BN,AM,DM,因为BC⊥AM,BC⊥DM,所以BC⊥平面DMAE,因为ED⊂平面DMAE,所以BC⊥ED.所以ED⊥平面BMN,又BN⊂平面BMN,所以ED⊥BN.所以∠MNB为二面角A ED B的平面角,即∠MNB=60°,在Rt△BMN中,BM=1,则MN=,BN=.在Rt△MND中,DN=.设AE=h+1,则DE=,所以NE=+,又BE=,在Rt△BNE 中,BE2=BN2+NE2,即(h+1)2+22=()2+(+)2,解得h=,所以AE=+1.法二由(1)知DM⊥平面ABC,AM⊥MB,建立如图所示的空间直角坐标系M xyz.设AE=h,则M(0,0,0),B(1,0,0),D(0,0,1),A(0,,0),E(0,,h), =(-1,0,1),=(-1,,h),设平面BDE的法向量n1=(x,y,z),则所以令x=1,所以n1=(1,,1).又平面ADE的法向量n2=(1,0,0),所以cos<n1,n2>===. 解得h=+1, 即AE=+1.高考压轴题训练(一)1.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d 万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元.(1)用d 表示a 1,a 2,并写出a n+1与a n 的关系式;(2)若公司希望经过m(m ≥3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示).解:(1)由题意得a 1=2000(1+50%)-d=3000-d, a 2=a 1(1+50%)-d=a 1-d=4500-d.a n+1=a n (1+50%)-d=a n -d.(2)由(1)得a n =a n-1-d=(a n-2-d)-d=()2a n-2-d-d=…=()n-1a 1-d[1++()2+…+()n-2].整理得a n =()n-1(3000-d)-2d[()n-1-1]=()n-1(3000-3d)+2d. 由题意,知a m =4000, 即()m-1(3000-3d)+2d=4000,解得d==.故该企业每年上缴资金d的值为时,经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4000万元.2.(2014宁波二模)已知椭圆Γ:+=1(a>b>0)的离心率为,其右焦点F与椭圆Γ的左顶点的距离是3.两条直线l1,l2交于点F,其斜率k1,k2满足k1k2=-.设l1交椭圆Γ于A、C两点,l交椭圆Γ于B、D两点.2(1)求椭圆Γ的方程;的函数表达式,并求四边形ABCD的面积S的最(2)写出线段AC的长|AC|关于k1大值.解:(1)设右焦点F(c,0)(其中c=),依题意=,a+c=3,所以a=2,c=1.所以b==,故椭圆Γ的方程是+=1.(2)由(1)知,F(1,0).将通过焦点F的直线方程y=k(x-1)代入椭圆Γ的方程+=1,可得(3+4k2)x2-8k2x+(4k2-12)=0,其判别式Δ=(8k2)2-16(k2-3)(3+4k2)=144(k2+1).特别地,对于直线l1,若设A(x1,y1),C(x2,y2),则|AC|==|x1-x2|=² ,k 1∈R且k1≠0.又设B(x3,y3),D(x4,y4),由于B、D位于直线l1的异侧,所以k1(x3-1)-y3与k1(x4-1)-y4异号.因此B、D到直线l1的距离之和d=+===²|x3-x4|=².综合可得,四边形ABCD的面积S=|AC|²d=.因为k1k2=-,所以t=+≥2|k1k2|=,于是S=f(t) ==6=6当t∈[,+∞)时,f(t)单调递减,所以当t=,即或时,四边形ABCD的面积取得最大值.高考压轴题训练(二)1.设a为实数,函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|.(1)若f(0)≥1,求a的取值范围;(2)求f(x)的最小值;(3)设函数h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集.解:(1)因为f(0)=-a|-a|≥1,所以-a>0,即a<0.由a2≥1知a≤-1,因此,a的取值范围为(-∞,-1].(2)记f(x)的最小值为g(a),则有f(x)=2x2+(x-a)|x-a|=错误！未找到引用源。
高考数学中档题强化训练(1)——(3
高考数学中档题精选（1）1. 已知函数f(x)=cos x 2+cos 3x 2+cos 5x 2csc x 2 +cos 23x2 .(1) 求函数f(x)的最小正周期和值域； (2) 求函数f(x)的单调递增区间.解：(1) y=sin x 2(cos x 2+cos 3x 2+cos 5x 2)+1+cos3x2=12sinx+12(sin2x-sinx)+12(sin3x-sin2x)+12cos3x+12=12sin3x+12cos3x+12 =22sin(3x+π4)+12∴T=2π3 ,值域y ∈[1-22,1+22]. (2)由2k π-π2 ≤3x+π4 ≤2k π+π2 ,k ∈Z.得:2k π3-π4 ≤x ≤2k π3+π12(k ∈Z). 2. 设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,S n =na n -2n(n-1)(n ∈N)(1)求证数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式；(2)是否存在非零常数p 、q 使数列{S npn+q }是等差数列？若存在，试求出p 、q应满足的关系式，若不存在，请说明理由. 解：（1）当n ≥2时，a n =S n -S n-1=na n -(n-1)a n-1-4(n-1)，即a n -a n-1=4(n ≥2) ∴{a n }为等差数列.∵a 1=1,公差d=4,∴a n =4n-3. （2）若{S n pn+q }是等差数列，则对一切n ∈N ，都有S npn+q＝An+B, 即S n =(An+B)(pn+q),又S n =12(a 1+a n )n =2n 2-n,∴2n 2-n=Apn 2+(Aq+Bp)n+Bq要使上式恒成立，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=012Bq Bp Aq Ap ，∵q ≠0,∴B ＝0，∴p q=-2,即：p+2q=0.3. 已知正三棱锥A-BCD 的边长为a ，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，且AC ⊥DE. （Ⅰ）求此正三棱锥的体积； （Ⅱ）求二面角E-FD-B 的正弦值. 解：（Ⅰ）作AO ⊥平面BCD 于O,由正三棱锥的性质可知O 为底面中心，连CO,则CO ⊥BD,由三垂线定理 知AC ⊥BD ，又AC ⊥ED,∴AC ⊥平面ABD,∴AC ⊥AD, AB ⊥AC,AB ⊥AD.在Rt △ACD 中，由AC 2+AD 2=2AC 2=a 2 可得：AC=AD=AB=22a .∴V=V B-ACD =13·12·AC ·AD ·AB=224a 3.（Ⅱ）过E 作EG ⊥平面BCD 于G ，过G 作GH ⊥FD 于H ，连EH ，由三垂线定理知EH ⊥FD,即∠EHG 为二面角E-FD-B 的平面角. ∵EG ＝12 AO 而AO ＝V B-ACD 13·S △BCD =66a ,∴EG=612a .又∵ED ＝AE 2+AD 2=(24a)2+(22a)2=104a ∵EF ∥AC ，∴EF ⊥DE.∴在Rt △FED 中，EH ＝EF ·ED DF =1512a ∴在Rt △EGH 中，sin ∠EHG ＝EG EH =105*选做题：定义在区间（－1,1）上的函数f(x)满足：①对任意x 、y ∈（－1,1）都有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy );②当x ∈（－1,0）时，f(x)>0.（Ⅰ）求证：f(x)为奇函数；（Ⅱ）试解不等式f(x)+f(x-1)>f(12).A BCDE FOG H解：（Ⅰ）令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0),∴f(0)=0. 又令x ∈（－1,1），则-x ∈（－1,1），而f(x)+f(-x)=f(x-x1-x 2)=f(0)=0 ∴f(-x)=-f(x),即f(x)在（－1,1）上是奇函数. （Ⅱ）令－1<x 1<x 2<1,则x 1-x 2<0,1-x 1x 2>0,于是f(x 1)-f(x 2)=f(x 1)+f(-x 2)=f(x 1-x 21-x 1x 2)>0,即f(x 1)>f(x 2),所以f(x)在定义域上为减函数.从而f(x)+f(x-1)>f(12)等价与不等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+-<-<-<<-)21()112(111112f x x x f x x.213503*********111210222-<<⇔⎩⎨⎧+-<<⇔⎩⎨⎧+-<-<<⇔⎪⎩⎪⎨⎧<-+-<<⇔x x x x x x x x x x x x 高考数学中档题精选（2）1. 已知z 是复数，且arg(z-i)=π4,|z|= 5 .求复数z. 解法1.设复数z-i 的模为r(r>0),则z-i=r(cosπ4 +isin π4), ∴i r z )122(22++=，042,5)122()22(,5||222=-+=++∴=r r r r z 即解得r= 2 ,z=1+2i.解法2.设z=x+yi,则5)1()0(15)01(145222222=++⇒⎩⎨⎧>+==+⇒⎪⎩⎪⎨⎧>--==+x x x x y y x y x y tg y x π解得x=1或－2(舍去)，所以z=1+2i.解法3.设)sin (cos 5θθi z +=则1sin 5cos 51cos 51sin 54-=⇒=-=θθθθπtg解得：,10103)4cos(,0cos ,1010)4sin(=-∴>=-πθθπθ.21)55255(5554sin )4sin(4cos )4cos(]4)4cos[(cos ,5524sin )4cos(4cos )4sin(]4)4sin[(sin i i z +=+=∴=---=+-==-+-=+-=∴ππθππθππθθππθππθππθθ 2. 已知f(x)=sin 2x-2(a-1)sinxcosx+5cos 2x+2-a,若对于任意的实数x 恒有|f(x)|≤6成立，求a 的取值范围.解：f(x)=(1-a)sin2x+2cos2x+5-a=5-2a+a 2 sin(2x+ψ)＋5-a.(ψ为一定角，大小与a 有关).∵x ∈R,∴[f(x)]max =5-a+5-2a+a 2 ,[f(x)]min =5-a-5-2a+a 2 .由|f(x)|≤6,得⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-+≤+-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≥+---≤+-+-aa a aa a a a a a a a 1125125625562552222 .52915291111)11(25)1(251112222≤≤∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤≤-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-+≤+-≤≤-a a a a a a a a a a a 3.斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，顶点A 1在底面的射影O 是△ABC 的中心，异面直线AB 与CC 1所成的角为45°. (1)求证：AA 1⊥平面A 1BC ；(2)求二面角A 1－BC-A 的平面角的正弦值； (3)求这个斜三棱柱的体积.(1)由已知可得A 1-ABC 为正三棱锥，∠A 1AB=45° ∴∠AA 1B=∠AA 1C=90°即AA 1⊥A 1B,AA 1⊥A 1C∴AA 1⊥平面A 1BC(2)连AO 并延长交BC 于D,则AD ⊥BC ，连A 1D,则∠ADA 1为所求的角。
四川省成都市玉林中学2023届高三二诊模拟理科数学试题(一)
成都玉林中学高三数学二诊模拟理科试题（一）本卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}1|{},0)1)(3(|{2+==≤+−=x y y B x x x A ，则B A 等于（ ） A ． ),1(+∞ B ．),1[+∞− C ．]3,1( D ． ),1(+∞− 2. 在复平面内，复数z 满足(1)2z i +=，则复数z 对应的点位于（ ）A. 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3. 记等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若=+++=1193111,22a a a a S 则（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．164．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（ ） A ．45−B ．35−C ．35D ．455．已知向量a 、b 为单位向量，则||||(0)λλλ+=−≠a b a b 是a b ⊥的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为（ ） A ． 圆B ． 椭圆C ． 抛物线D ． 直线7．函数()f x =的图象大致为（ ）A B CD8．执行如图所示的程序框图，输出的n =（ ） A ． 3B ． 4C ． 5D ． 69．在△ABC 中，点D 在BC 上，且满足BC BD 41=，点E 为AD 上任意一点，若实数x,y 满足BE xBA yBC =+，则12x y+的最小值为（ ）A ．22B ．43C ．423+D ．942+10．已知某几何体的三视图如下图所示，其中小方格是边长为1的正方形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．36πB ．48πC ．52πD ．68π11．已知双曲线C ： 22221(0)x y a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 且与双曲线C 的一条渐近线垂直的直线l 与C 的两条渐近线分别交于M ，N 两点，若112NF MF =，则双曲线C 的离心率为（ AC ） A ．2B ．3C ．233D ．3212．已知1a >，123,,x x x 为函数2()x f x a x =−的零点，123x x x <<，若1322x x x +=，则（ ）A ．322ln x a x < B ．322ln x a x = C ．322ln x a x > D ．32x x 与2ln a 大小关系不确定 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是_______． 14．已知数列{}n a 的首项12a =，其前n 项和为n S ，若121n n S S +=+，则7a =_______． 15．已知双曲线()222210,0x y a b a b −=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A ，B 两点，2AF ，2BF 分别交y 轴于P ，Q 两点，若2PQF 的周长为16，则21b a +的最大值为________．16．在长方体1111ABCD A B C D −中，3AB AD ==，11AA =，点P 为线段1A B 上的一个动点，当P 为1A B 中点时，三棱锥11P AA D −的外接球表面积为_______；当1AP D P +取最小值时，1A P PB=_______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设函数()sin(2) (0),()f x x y f x ϕπϕ=+−<<=图像的一条对称轴是直线8π=x ．（1）求ϕ；（2）求函数)(x f y =的单调增区间；（3）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像．18．如图，四棱锥P ABCD −的底面为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，M 是侧面PBC 上一点． （1）过点M 作一个截面α，使得PA 与BC 都与α平行．作出α与四棱锥P ABCD −表面的交线，并证明； （2）设12BM BC BP λ=+，其中1[0]2λ∈，．若PB 与平面MCD 所成角的正弦值为155，求λ的值．19．某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2m ）和材积量（单位：3m ），得到如下数据： 样本号ｉ12345678910总和并计算得10101022ii i i i=1i=1i=10.038, 1.6158,0.2474xy x y ===∑∑∑．（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0．01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m ．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数ii( 1.377)()nx x y y r −−=≈∑．20．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的右焦点为F ，P ，Q 分别为右顶点和上顶点，O 为坐标原点，3FP FP e OFOP+=（e 为椭圆的离心率），OPQ △（1）求E 的方程；（2）设四边形ABCD 是椭圆E 的内接四边形，直线AB 与CD 的倾斜角互补，且交于点()3,0，求证：直线AC 与BD 交于定点．21．已知函数()()()22ln 11af x x x =+−+有两个不同的零点x 1，x 2．（1）当112x −<<−时，求证：()12ln 11x x +>−+；（2）求实数a 的取值范围．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，极轴所在的直线为x 轴，建立极坐标系，曲线1C 是经过极点且圆心在极轴上直径为2的圆，曲线2C 是著名的笛卡尔心形曲线，它的极坐标方程为[]()1sin 0,2ρθθπ=−∈．（1）求曲线1C 的极坐标方程，并求曲线1C 和曲线2C 交点（异于极点）的极径；（2）曲线3C 的参数方程为cos 3sin 3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．若曲线3C 和曲线2C 相交于除极点以外的M ，N 两点，求线段MN 的长度．参考答案1-5 BDCBC 6-10 AABDD 11-12 CC 13．分层抽样 14．96 15．4 16．133π；158．执行第一次循环，2123b b a =+=+=，312,12a b a n n =−=−==+=， 222231220.0124b a −=−=>； 执行第二次循环，2347b b a =+=+=，725,13a b a n n =−=−==+=， 222271220.01525b a −=−=>； 执行第三次循环，271017b b a =+=+=，17512,14a b a n n =−=−==+=，2222171220.0112144b a −=−=<，此时输出4n =． 故选：B12．易知1230,x x x <<<123,,x x x 为函数2()x f x a x =−的零点， ()()11322321222244213221323,,,,x x x x x x a x a x a x x a x x x x a x +⎧=⎪∴=∴==∴=⎨⎪=⎩22130,x x x ∴+=又()22331322233222,20,210x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=∴+−=∴−−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解之：321x x =，负根舍去；又2220,,ln l (n )x x f x a x x a x x a =∴∴==−=，即ln y x a =与2ln y x =有三个交点，交点横坐标分别为123,,x x x ，如下图先计算过原点的切线方程，不妨设切点为()()''22,2ln ,2ln ,,t t y x k x t==∴=切线方程为：()22ln y t x t t−=−过原点，e t ∴= 此时22,ln ek y x a t ==∴=的斜率比切线斜率小，结合图像容易分析出， 24ln ,2ln 22 1.e e a a ∴<∴<<<+故选：C15.∵AB x ⊥轴且过1F ，则AB 为双曲线的通径，由A B x x c ==-，代入双曲线可得2A B by y a=-=，故22b AB a =. O 为12F F 的中点，AB PQ ∥，则PQ 为2ABF △的中位线，故22222,2,2AB PQ AF PF BF QF ===，又2PQF 的周长为2216PF QF PQ ++=，则2ABF △的周长为2232AF BF AB ++= ①， ∵2221214AF BF AB AF AF BF BF a +-=-+-= ②，故由①②可得2222324b b a a a-=+，即()280b a a =−>，可得()0,8a ∈. 故22891104111b a a a a a a −⎛⎫==−++−≤ ⎪+++⎝⎭，当且仅当911a a +=+即2a =时取等号.故答案为：416．当P 为1A B 中点时，取1AA 中点E ，连接PE ，四边形11ABB A 为矩形，1PA PA ∴=，1PE AA ∴⊥， 平面11ABB A ⊥平面11ADD A ，平面11ABB A 平面111ADD A AA =，PE ⊂平面11ABB A ，PE ∴⊥平面11AA D ；111AA A D ⊥，11AA D ∴的外接圆圆心为1AD 中点，设1AD 中点为G ，三棱锥11P AA D −外接球球心为O ，连接OG ，则OG ⊥平面11AA D ， 作OM PE ⊥于M ，则四边形OMEG 为平行四边形， 设OG h =，1OP OD R ==，2211112PA PA AB AA ==+=，13142PE ∴=−=，又111322EG A D ==， 在Rt OMP △和1Rt OGD 中，22233124R h h ⎛⎫=−+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，解得：21312R =， ∴三棱锥11P AA D −的外接球表面积21343S R ππ==； 将侧面1AA B 和对角面11A BCD 沿着1A B 展开，可得展开图如下图所示，则1AP D P +的最小值为1AD ，此时P 为1AD 与1A B 交点， 11AA =，3AB =，1AB AA ⊥，13BA A π∴∠=，1156AA D π∴∠=，2221111111112cos 7AD AA A D AA A D AA D ∴=+−⋅∠=，17AD ∴=；设AP m =，则17D P m =−，11sin sin 3mAPA π∴=∠，即13sin 2APA m ∠=； 1137sin sin 2mA PD π−=∠，即113sin 7A PD m ∠=−； 111APA A PD π∠+∠=，111sin sin APA A PD ∴∠=∠，即3327m m=−， 解得：73m =，即73AP =，1273D P =，22111113A P D P A D ∴=−=，则1115233BP A B A P =−=−=，115A P PB∴=. 17．解：（Ⅰ）)(8x f y x ==是函数π的图像的对称轴，,1)82sin(±=+⨯∴ϕπ,.42k k Z ππππ∴+=+∈.43,0πϕϕπ−=<<− （Ⅱ）由（Ⅰ）知).432sin(,43ππϕ−=−=x y 因此 由题意得.,2243222Z k k x k ∈+≤−≤−πππππ所以函数.],85,8[)432sin(Z k k k x y ∈++−=πππππ的单调增区间为 （Ⅲ）由知)432sin(π−=x y x 08π 83π 85π 87π πy22−－1 0 1 022− 故函数上图像是在区间],0[)(πx f y =18．（1）过点M 作BC 的平行线，分别交,PB PC 于点,E F ，过E 作PA 的平行线，交AB 于点N ，过N 作BC 的平行线交CD 于点Q ， 则截面EFQN 为所求截面α，证明如下：因为//,PA EN PA ⊄截面α,EN ⊂截面α,所以//PA 截面α, 因为//,BC NQ BC ⊄截面α,NQ ⊂截面α,所以//BC 截面α．（2）因为PD ⊥平面ABCD ，,⊂DA DC 平面ABCD ，所以,PD DA PD DC ⊥⊥， 且DA DC ⊥，所以以D 为坐标原点，,,DA DC DP 为,,x y z 轴建系如图， 则(0,0,0),(0,2,0),(2,2,0),(0,0,2),D C B P所以(2,0,0),(2,2,2)BC BP =−=−−，(0,2,0)DC =所以1(2,0,0)(1,1,1)(21,1,1)2BM BC BP λλλ=+=−+−−=−−−，又因为(12,1,1)DM DB BM λ=+=−，所以(12,1,1)M λ−， 设平面MCD 的法向量为(,,)m x y z =，所以20(12)0DC m y DM m x y z λ⎧⋅==⎪⎨⋅=−++=⎪⎩令1,0,21x y z λ===−，所以(1,0,21)m λ=−，设PB 与平面MCD 所成角为θ，Oy1-11212− 8π 4π 38π 2π 58π 34π 78ππ则sin cos ,3BP mBP m BP m θ⋅=<>=== 整理得28210λλ+−=，解得12λ=−（舍），14λ=． 19．（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值0.60.0610x == 样本中10棵这种树木的材积量的平均值 3.90.3910y == 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为20.06m ，平均一棵的材积量为30.39m（2）()()1010i ii i 10x x y y x y xy r−−−==∑∑0.01340.970.01377==≈≈ 则0.97r ≈（3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为3m Y ，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比， 可得0.06186=0.39Y，解之得3=1209m Y ． 则该林区这种树木的总材积量估计为31209m20．（1）∵3FPFPe OF OP+=，∴3a c a c c c a a−−+=，∴2a c =，又12OPQ S ab =△222a b c =+，∴2a =，b = ∴椭圆E 的方程为22143x y +=． （2）∵直线AB 与CD 的倾斜角互补，且交于点()3,0，∴直线AB 与CD 关于x 轴对称，∴A 与D ，B 与C 分别关于x 轴对称． 设()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,C x y −，()11,D x y −，∴直线AC 的方程为()()121112y y y y x x x x −−−=−−，直线BD 的方程为()122212y y y y x x x x −−−=−−， 联立解得122112x y x y x y y +=+，0y =， ∴直线AC 与BD 交于点122112,0x y x y y y ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭． 设直线AB 的方程为3x ty =+，与椭圆E 的方程22143x y +=联立得()223418150t y ty +++=， 由题意得，()()226038014t t =+∆−>，解得253t >， 又1221843t y y t +−+=，1221543y y t =+， ∴()()1221122112121212332215433183ty y ty y x y x y ty y t y y y y y y t ++++⋅==+=+=+++−， ∴直线AC 与BD 交于定点4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭． 21．（1）令()()12ln 11h x x x =+++，则()()()222121111x h x x x x +=−=+++'． 当112x −<<−时，()0,h x '<所以()h x 在11,2⎛⎫−− ⎪⎝⎭上单调递减． 所以()112ln 20.22h x h ⎛⎫>−=+> ⎪⎝⎭所以()12ln 11x x +>−+． （2）()()()()2332122,1111x a a f x x x x x ⎡⎤++⎣'⎦=+=>+++， 当0a ≥时，()0f x '≥，此时f （x ）为增函数，不合题意；当0a <时，()0f x '=，得11x =，21x =(舍)所以当()1x ∈−，()0f x '<，f （x）单调递减；当)1,x ∞∈+，()0f x ¢>，f （x ）单调递增． 如果f （x ）有两个不同的零点，必有)10f<，则()20a <，得()ln 1a −<−，所以10ea −<<．110<<，又此时()00f a =−>，1,∞+）有一个零点：由（1）知，112x −<<−时，()12ln 11x x +>−+，令()2111a x x −≥++， 解得1x a ≤−−，故当1x a <−−时，()0f x >，故当11min ,12x a ⎧⎫−<<−−−⎨⎬⎩⎭时，()0f x >，故在()1−）上有一个零点，所以f （x ）有两个不同的零点时，a 的取值范围为1,0e ⎛⎫− ⎪⎝⎭ 22．（1）曲线1C 的直角坐标方程为()2211x y −+=，即2220x y x +−=， 将222x y ρ+=，cos x ρθ=代入并化简得1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，[)0,2θ∈π． 由2cos 1sin ρθρθ=⎧⎨=−⎩消去θ，并整理得2580ρρ−=，∴10ρ=或285ρ=． ∴所求异于极点的交点的极径为85ρ=． （2）由cos 3sin 3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数t 得曲线3C的普通方程为y =， ∴曲线3C 的极坐标方程为()03πθρ=≥和()403πθρ=≥ 由31sin πθρθ⎧=⎪⎨⎪=−⎩和431sin πθρθ⎧=⎪⎨⎪=−⎩得曲线3C 与曲线2C两交点的极坐标为13M π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，413N π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴112MN OM ON ⎛⎛=+=+= ⎝⎭⎝⎭(O 为极点)． 23．（1）∵()29,41,4529,5x x f x x x x −+<⎧⎪=≤≤⎨⎪−>⎩，∴4x <时，()1f x >，且5x >时 ，()1f x >，∴()min 1f x =，∴1m =； （2）由（1）知1231x x x ++=，∴1231114x x x +++++=， ∵()()()2222223312121231231234111111111x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++⨯=+++++++≥⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎝⎭()21231x x x ++=，∴22231212311114x x x x x x ++≥+++，当且仅当12313x x x ===取等号．。
江苏省高三数学复习中档题满分练习(含答案)-学习文档
2019届江苏省高三数学复习中档题满分练习（含答案）从某种角度看数学属于形式科学的一种，下面是2019届江苏省高三数学复习中档题满分练习，请考生及时练习。
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设向量m=(a，c)，n=(cos C，cos A).(1)若m∥n，c=a，求角A;(2)若mn=3bsin B，cos A=，求cos C的值.2.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别为BB1，AC 的中点.(1)求证：BF∥平面A1EC;(2)求证：平面A1EC平面ACC1A1.3.若两个椭圆的离心率相等，则称它们为相似椭圆.如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：+=1，A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点.椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为相似椭圆.(1)求椭圆C2的方程;(2)设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQx 轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H.求证：H为△PA1A2的垂心.(垂心为三角形三条高的交点)4.如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC=a，ABC=，设△ABC的面积为S1，正方形的PQRS面积为S2.(1)用a，表示S1和S2;(2)当a固定，变化时，求的最小值.中档题满分练(一)1.解(1)∵m∥n，acos A=ccos C.由正弦定理得sin Acos A=sin Ccos C，化简得sin 2A=sin 2C.∵A，C(0，)，2A=2C(舍)或2A+2C=，A+C=，B=，在Rt△ABC中，tan A==，故A=.(2)∵mn=3bcos B，acos C+ccos A=3bsin B.由正弦定理得sin Acos C+sin Ccos A=3sin2B，从而sin(A+C)=3sin2B.∵A+B+C=，sin(A+C)=sin B，从而sin B=，∵cos A=0，A(0，)，A，sin A=.∵sin Asin B，ab，从而AB，B为锐角，cos B=.cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B2.证明 (1)连接AC1并交A1C于点O，连接OE，OF，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形ACC1A1为平行四边形，所以OA=OC1.又因为F为AC的中点，所以OF∥CC1且OF=CC1.因为E为BB1的中点，所以BE∥CC1且BE=CC1，所以BE∥OF且BE=OF，所以四边形BEOF是平行四边形，所以BF∥OE.又BF平面A1EC，OE平面A1EC，所以BF∥平面A1EC. (2)由(1)知BF∥OE，因为AB=CB，F为AC的中点，所以BFAC，所以OEAC.又因为AA1底面ABC，而BF底面ABC，所以AA1BF.由BF∥OE得OEAA1，而AA1，AC平面ACC1A1，且AA1AC=A，所以OE平面ACC1A1.因为OE平面A1EC，所以平面A1EC平面ACC1A1.3.(1)解由题意可知A1(-，0)，A2(，0)，椭圆C1的离心率e=.设椭圆C2的方程为+=1(a0)，则b=.因为==，所以a=2.所以椭圆C2的方程为+=1.(2)证明设P(x0，y0)，y00，则+=1，从而y=12-2x.将x=x0代入+=1得+=1，从而y2=3-=，即y=.因为P，H在x轴的同侧，所以取y=，即H(x0，).所以kA1PkA2H====-1，从而A1PA2H.又因为PHA1A2，所以H为△PA1A2的垂心.4.解 (1)S1=asin acos =a2sin 2，设正方形边长为x，则BQ=，RC=xtan ，+xtan +x=a，x==，S2==.(2)当a固定，变化时，令sin 2=t，则=(0利用单调性求得t=1时，=.2019届江苏省高三数学复习中档题满分练习的内容就是这些，希望对考生提高成绩有帮助。
高三数学中档练习题
高三数学中档练习题一、选择题1. 已知集合A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∪B的结果是：A) {1, 2, 3, 4, 5}B) {1, 2, 3}C) {3, 4, 5}D) {1, 2}选择：_____2. 若函数f(x) = x^2 + 2x + 1，则f(-1)的值为：A) 1B) -1C) 0D) 2选择：_____3. 若log2(8x) = 4，则x的值为：A) 2B) 4C) 8D) 16选择：_____4. 已知三角形ABC，∠ACB = 90°，AB = 5 cm，BC = 12 cm，则AC的长度为：A) 7 cmB) 13 cmC) 17 cmD) 25 cm选择：_____5. 若p(x) = x^3 - 2x^2 + kx + 6，其中k为常数，若p(2) = 4，则k的值为：A) -8B) -6C) -4D) -2选择：_____二、填空题1. 解方程组：2x + 3y = 7x + 2y = 4x = _____, y = _____2. 已知函数f(x) = x^2 + bx + c，若f(1) = 0，f(-1) = 0，则b = _____，c = _____3. 从1、2、3、4、5、6、7、8、9中任选3个数字，不放回地抽取，若抽取的三个数字的和为12，则这三个数字可能是_____、_____、_____三、解答题1. 三角形ABC中，∠ACB = 90°，AB = 8 cm，BC = 15 cm。
求三角形ABC的面积。
解答：2. 已知函数f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x + 1，求f'(x)。
解答：3. 解方程组：3x - 2y = 72x + 3y = 1解答：四、证明题证明：在任意三角形ABC中，角平分线和边所构成的角的两边比例相等。
证明：五、应用题一块长方形的地皮，长为20米，宽为15米，现需要在长方形的四周围上一圈环形花坛，假设花坛的宽度为1米，求花坛的面积。
高三数学中档题汇总(新课程)
高三数学中档题汇总一、导数考查重点：掌握运用导数的有关知识，研究一元三次函数的性质（单调性、极值与图象），进而研究与三个二次有关的问题。
利用导数的几何意义解决函数或解析几何中与切线有关的问题。
二、三角考查重点是：正弦型函数的图象与性质及三角形中的三角函数问题，基础是合理选择公式进行三角函数式的变换，对图象与性质关键是利用倍角公式、和异变形公式转化为一个正弦型函数，第二类解题的关键是恰当地利用各种关系，角角关系和边角关系，同时渗透方程思想。
三、数列考查重点是:等差、等比数列的通项公式及前n项和的灵活运用，等差等比数列的综合运用，递推数列问题，解题的关键是综合运用各种思想方法解题，如利用求等差、比数列的通项公式、前n项公式的思想方法（累加法、累积法和倒序求和法、错位相减法）解决有关杂数列问题，利用方程思想及转化思想解题，构造辅助数列解决递推数列问题，综合运用数列、函数方程，不等式等知识。
四、解析几何考查重点是:求曲线的轨迹方程，直线与圆锥曲线的位置关系，圆锥曲线中的最值问题，解题关键是注意转化思想的运用，利用韦达定理、点差法、待定系数法、圆锥曲线的定义及弦长公式解题，对于以向量为背景的解析问题，常用思考方法是向量代数法和向量几何法。
五、立体几何考查重点是：空间位置关系（平行垂直）的确定和空间度量问题。
对于空间位置关系要严格利用相关的判定定理和性质定理证明，并掌握一般的证明思路和方法；空间度量问题主要是空间的角度和体积，异面直线所成的角主要是通过平移使得相交，线面角主要是找斜线的射影（或找垂线），二面角的平面角主要是利用定义法和垂线法确定，最后通过解三角形求得，同时注意解题步骤是一作（找）、二证、三求；体积问题主要是确定图形的形状利用相关公式求解，或利用等体积法和分解法求解。
高三数学中档题汇总（一）1． 已知函数)(x f 的定义域是()+∞,0，当x>1时，)(x f >0，且)()()(y f x f xy f +=1) 求)1(f2) 求证：)(x f 在定义域上是增函数 3) 如果1)31(-=f ，求满足不等式1)21()(≥--x f x f 的x 的取值范围2、已知向量1),1,3(),cos ,(sin =⋅-==n m n A A m，且A 为锐角。
2025届湖南省岳阳市第一中学高三二诊模拟考试数学试卷含解析
2025届湖南省岳阳市第一中学高三二诊模拟考试数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知||3a =，||2b =，若()a ab ⊥-，则向量a b +在向量b 方向的投影为（ ） A ．12B ．72C ．12-D ．72-2．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．113 B ．4 C ．133D ．53．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．3C ．113D ．44．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =，则ED =（ ）A ．1233AD AB - B ．2133AD AB + C ．2133AD AB -D ．1233AD AB +5．点,,A B C 是单位圆O 上不同的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点M ，若,(0,0),2OC mOA nOB m n m n =+>>+=，则AOB ∠的最小值为（ ）A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π 6．要得到函数()sin(3)3f x x π=+的导函数()f x '的图像，只需将()f x 的图像（ ）A ．向右平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 B ．向右平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 C ．向左平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 D ．向左平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 7．已知函数()()()1sin,13222,3100x x f x f x x π⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，若函数()f x 的极大值点从小到大依次记为12,?··n a a a ，并记相应的极大值为12,,?··n b b b ，则()1niii a b =+∑的值为（ ）A ．5022449+B ．5022549+C ．4922449+D ．4922549+8．已知复数z 满足()()5z i i --=，则z =（ ） A ．6iB ．6i -C ．6-D ．69．已知F 为抛物线2:8C y x =的焦点，点()1,A m 在C 上，若直线AF 与C 的另一个交点为B ，则AB =( ) A ．12B ．10C ．9D ．810．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点与圆M ：22(2)5x y -+=的圆心重合，且圆M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为22，则双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．2C ．3D ．311．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（ ） A ．25B ．2C ．72D ．312．由曲线y ＝x 2与曲线y 2＝x 所围成的平面图形的面积为( ) A ．1B ．13C ．23D ．43二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2025届山东省牟平第一中学高三二诊模拟考试数学试卷含解析
2025届山东省牟平第一中学高三二诊模拟考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数有三个不同的零点（其中），则 的值为( )A ．B ．C ．D ．2．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．3．()712x x-的展开式中2x 的系数为（ ）A ．84-B ．84C ．280-D ．2804．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =-，77S =-，则n S 的最小值为（ ） A ．12-B ．15-C ．16-D ．18-5．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为,F O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双 曲线C 的一条渐近线交于点O 及点33,22A ⎛ ⎝⎭，则双曲线C 的方程为（ ） A ．2213y x -=B ．22126x y -=C ．2213x y -=D ．22162x y -=6．已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点01,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则cos2α等于（ ）A ．19B ．79-C ．23-D ．137．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大正整数，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的值域是[]0,1 B ．()f x 是奇函数 C ．()f x 是周期函数D ．()f x 是增函数8．若复数z 满足3(1)1z z i -+=，复数z 的共轭复数是z ，则z z +=（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．1322i -+ 9．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A ．8B ．83C ．4D ．4310．已知20,()1(0),{|()},{|(())()}a f x ax x x A x f x x B x f f x f x x >=-+>=≤=≤≤，若A B φ=≠则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,1]B ．3(0,]4C ．3[,1]4D ．[1,)+∞11．已知实数x ，y 满足约束条件2211x y y x y kx +≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，若2z x y =-的最大值为2，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．53C ．2D ．7312．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若312S a S +=，46a =，则5S =（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省示范名校2025届高三二诊模拟考试数学试卷含解析
福建省示范名校2025届高三二诊模拟考试数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
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3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．i 是虚数单位，复数1z i =-在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．把满足条件（1）x R ∀∈，()()f x f x -=，（2）1x R ∀∈，2x R ∃∈，使得()()12f x f x =-的函数称为“D 函数”，下列函数是“D 函数”的个数为（ ）①2||y x x =+ ②3y x = ③x x y e e -=+ ④cos y x = ⑤sin y x x =A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．已知集合2{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（ ）A ．1M ∈B ．{1,1}M =-C ．M ∅⊆D ．M N ⊆4．下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞的是（ ）A ．()lg 1y x =+B ．12y x =C ．2x y =D ．ln y x =5．如图，平面α与平面β相交于BC ，AB α⊂，CD β⊂，点A BC ∉，点D BC ∉，则下列叙述错误的是（ ）A ．直线AD 与BC 异面B ．过AD 只有唯一平面与BC 平行C ．过点D 只能作唯一平面与BC 垂直D ．过AD 一定能作一平面与BC 垂直6．已知数列{}n a 的通项公式是221sin 2n n a n π+⎛⎫= ⎪⎝⎭，则12312a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．0B ．55C ．66D ．787．已知:|1|2p x +> ，:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．3a ≤-C ．1a ≥-D ．1a ≥8．若[]x 表示不超过x 的最大整数(如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-)，已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（ ）A ．2B ．5C ．7D ．89．已知函数()2943,02log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩，则函数()()y f f x =的零点所在区间为（ ）A ．73,2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．()1,0- C ．7,42⎛⎫⎪⎝⎭ D ．()4,510．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为2317,,927n S S S ==，则12n a a a 的最小值为（ ）A ．24()27 B ．34()27 C ．44()27 D ．54()2711．已知函数21,0()2ln(1),0x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪+≥⎩，若函数()()g x f x kx =-有三个零点，则实数k的取值范围是（）A ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．112⎛⎫⎪⎝⎭， C ．(0,1) D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，12．函数2()ln(1)x xe ef x x --=+在[3,3]-的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2010年高考“二诊后”中档题冲刺训练（一）
1·1已知0αβπ<<
4，为()cos 2f x x π⎛
⎫=+ ⎪8⎝⎭的最小正周期，1tan 14αβ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，a (cos 2)α=，b ，且∙a b m =．求
22cos sin 2()
cos sin ααβαα
++-的值
1·2在一次由三人参加的围棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0．4，乙胜丙的概率为0．5，丙胜甲的概率为0．6，比赛按以下规则进行；第一局：甲对乙；第二局：第一局胜者对丙；第三局：第二局胜者对第一局败者；第四局：第三局胜者对第二局败者，求： （1）乙连胜四局的概率； （2）丙连胜三局的概率．
1·3四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD 。
已知∠ABC ＝45°，AB ＝2，BC=22，SA ＝SB ＝3。
(Ⅰ)证明：SA ⊥BC ；(Ⅱ)求直线SD 与平面SAB 所成角的大小；
1·4已知数列{n a }为等比数列，.162,652==a a
（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式； （Ⅱ）设n S 是数列{n a }的前n 项和，证明.12
1
2
≤⋅++n n n S S S
参考答案（一）
17．解：因为β为π()cos 28f x x ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的最小正周期，故πβ=．
O
D
B
C
A
S
因m =·a b ，又1cos tan 24ααβ⎛
⎫
=+
- ⎪⎝⎭
a b ··． 故1cos tan 24m ααβ⎛
⎫
+
=+ ⎪⎝
⎭
·．由于π04α<<，所以
222cos sin 2()2cos sin(22π)
cos sin cos sin ααβαααααα++++=--
22cos sin 22cos (cos sin )cos sin cos sin ααααααααα
++==--
1tan π2cos 2cos tan 2(2)1tan 4m αα
ααα+⎛
⎫==+=+ ⎪-⎝
⎭·
18．解：（1）当乙连胜四局时，对阵情况如下：
第一局：甲对乙，乙胜；第二局：乙对丙，乙胜；第三局：乙对甲，乙胜； 第四局：乙对丙，乙胜．所求概率为1P ＝20.4)(1-×2
0.5＝2
0.3＝0．09 ∴ 乙连胜四局的概率为0．09． （2）丙连胜三局的对阵情况如下： 第一局：甲对乙，甲胜，或乙胜．
当甲胜时，第二局：甲对丙，丙胜．第三局：丙对乙，丙胜；第四局：丙对甲，丙胜． 当乙胜时，第二局：乙对丙，丙胜；第三局：丙对甲，丙胜；第四局：丙对乙，丙胜． 故丙三连胜的概率2P ＝0．4×2
0.6×0．5＋（1-0．4）×20.5×0．6＝0．162． 19．解法一：
（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．
因为SA SB =，所以AO BO =，
又45ABC =
∠，故AOB △为等腰直角三角形，
AO BO ⊥，由三垂线定理，得SA BC ⊥．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设AD BC ∥，
故SA AD ⊥
，由AD BC ==
SA =
AO =
得1SO =
，SD =SAB △
的面积112S AB ==
连结DB ，得DAB △的面积21
sin13522
S AB AD =
∙= 设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=，得
1211
33
h S SO S ∙=∙
，解得h = 设SD 与平面SAB 所成角为α
，则sin 11
h SD α=
==
． 所以，直线SD 与平面SBC
所成的我为． 解法二：
（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结
AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．
因为SA SB =，所以AO BO =．
又45ABC =
∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥． 如图，以O 为坐标原点，OA 为x 轴正向，建立直角坐标系O xyz -，
0)A ，
，(0B
，(0C ，(001)S ，，
，1)SA =- ，，
(0CB =
，0SA CB =
，所以SA BC ⊥． （Ⅱ）取AB 中点E
，0E ⎫
⎪⎪⎝⎭
，
连结SE ，取SE 中点G ，连结OG
，12G ⎫
⎪⎪⎝
⎭，．
1442OG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，
，122SE ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
，
，(AB =． 0SE OG = ，0AB OG = ，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直．
所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，则α与β
互余．D
，(DS =．
cos OG DS OG DS
α⋅=
=
⋅
，sin β= 所以，直线SD 与平面SAB
所成的角为arcsin
11
． 17.解：（I ）设等比数列{a n }的公比为q ，则a 2=a 1q, a 5=a 1q 4
. 依题意，得方程组⎪⎩⎪⎨⎧==1626
4
1
1q a q a 解此方程组，得a 1=2, q=3. 故数列{a n }的通项公式为a n =2·3n －
1.
（II ） .133
1)
31(2-=--=
n n n S .1,113231
332313231)33(32
1
2
1
22222122222212≤⋅=+⋅-+⋅-≤+⋅-++-=⋅++++++++++++n n n n n n n n n n n n n n n n S S S S S S 即。