高一数学北师大版必修3第三章3.2.2建立概率模型
3.2.2建立概率模型 教案(高中数学北师大版必修3)
2．2建立概率模型●三维目标1．知识与技能(1)使学生进一步掌握古典概型的概率计算公式．(2)能建立概率模型解决实际问题．2．过程与方法根据本节课的内容和学生的实际水平，通过两个试验的观察让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比骰子试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题．3．情感、态度与价值观概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象．适当地增加学生合作学习交流的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例．使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神．重点：建立概率模型解决古典概型在实际生活中的应用．难点：古典概型中比较复杂的背景问题的概率求值问题．●教学建议本节课是在学生已掌握了古典概型的定义及能够解决简单的概率求值问题的基础上学习的，教师可以例题为主线，通过学生自己动手发现问题，引导学生自主解决．●教学流程创设情境，引入新课，通过掷骰子试验建立古典概率模型⇒引导学生分析探究建立概率模型后每次试验的基本事件，掌握树状图是列举基本事件的常用方法⇒通过例1及变式训练掌握“有放回”与“不放回”的古典概型的区别及相应概率的求法与技巧⇒通过例2及变式训练掌握运用树状图解决“有序”与“无序”的古典概型的方法技巧⇒通过例3及变式训练，使学生掌握运用数形结合的方法解决所建立概率模型的技巧⇒归纳整理课堂小结，整体把握本节知识⇒完成当堂双基达标，巩固本节知识并进行反馈、矫正如何观察分析试验中的等可能结果？【提示】一次试验中的“等可能结果”实际是针对特定的观察角度而言的，例如：甲、乙、丙三名同学排成一排，计算甲站在中间的概率时，若从三个同学的站位来看，共有“甲乙丙”、“甲丙乙”、“乙甲丙”、“乙丙甲”、“丙甲乙”、“丙乙甲”六种结果，若仅从甲的站位来看，则只有三种结果，即站左边、中间或右边．1．一般来说，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件是人为规定的．如果每次试验有一个并且只有一个基本事件出现，只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的，就是一个古典概型．2．从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能的结果数越少，问题的解决就变得越简单． 3．树状图是进行列举的一种常用方法.121 (1)若每次取出后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件是次品的概率； (2)若每次取出后又放回，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率．【思路探究】 分别利用列举法列举出可能出现的条件，找到符合要求的事件，利用概率公式求概率．【自主解答】 (1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果为(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．由6个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．事件A 由4个基本事件组成．因而P (A )＝46＝23.(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果为(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)共9个基本事件．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B 表示“恰有一件次品”这一事件，则B ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．事件B 由4个基本事件组成，因而P (B )＝49.1．“有放回”与“无放回”问题的区别在于：对于某一试验，若采用“有放回”抽样，则同一个个体可能被重复抽取，而采用“不放回”抽样，则同一个个体不可能被重复抽取．2．无论是“有放回”还是“无放回”抽取，每一件产品被取出的机会都是均等的．一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1,2,3，…，10这10个数字，今随机地抽取两个小球，如果：(1)小球是不放回的； (2)小球是有放回的．求两个小球上的数字为相邻整数的概率．【解】 设事件A ：两个小球上的数字为相邻整数．则事件A 包括的基本事件有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(10,9)，(9,8)，(8,7)，(7,6)，(6,5)，(5,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)共18个．(1)不放回取球时，总的基本事件数为90，故P (A )＝1890＝945＝15.(2)有放回取球时，总的基本事件为100，故P (A )＝18100＝950.图3－2－1用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：(1)3个矩形颜色都相同的概率；(2)3个矩形颜色都不同的概率．【思路探究】由涂色的有序性可画出树状图解题．【自主解答】所有可能的基本事件共有27个，如图所示：红红红蓝黄蓝红蓝黄黄红蓝黄黄红红蓝黄蓝红蓝黄黄红蓝黄蓝红红蓝黄蓝红蓝黄黄红蓝黄(1)记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A，由图知，事件A的基本事件有3个，故P(A)＝327＝19.(2)记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图知，事件B的基本事件有6个，故P(B)＝627＝29.1．本题列出全部可能的结果采用的是树状图，对于试验结果不太多的情况，都可采用此法．2．列出基本事件时要注意问题是否与顺序有关．将甲、乙两枚骰子先后各抛掷一次，a，b分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所得的点数，若把点P(a，b)落在不等式组{x>0， y>0， x＋y≤4所表示的平面区域的事件记为A，求P(A)．【解】利用直角坐标系表示基本事件数及不等式组所表示的平面区域如图所示(阴影部分)．由图可知基本事件数为36个，落在不等式组所表示的平面区域的点共有6个，所以P(A)＝636＝16.(1)求点数之和出现7点的概率；(2)求出现两个4点的概率；(3)求点数之和能被3整除的概率．【思路探究】明确先后掷两枚骰子的基本事件总数，然后用古典概型概率计算公式求出，可借图来确定基本事件总数．【自主解答】如图所示，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36种．(1)记“点数之和出现7点”为事件A ，从图中可以看出事件A 包含的基本事件共6个，(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)，故P (A )＝636＝16.(2)记“出现两个4点”为事件B .从图中可以看出事件B 包含的基本事件只有1个，即(4,4)，故P (B )＝136.(3)记“点数之和能被3整除”为事件C ，则事件C 包含的基本事件共12个，(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)，故P (C )＝1236＝13.1．求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体基本事件用平面直角坐标系中的点表示，以便准确地找出某事件所包含的基本事件总数．2．数形结合能使解决问题的过程变得形象直观，给问题的解决带来方便．某乒乓球队有男乒乓球运动员4名、女乒乓球运动员3名，现要选一男一女两名运动员组成混合双打组合参加某项比赛，试列出全部可能的结果，若某女乒乓球运动员为国家一级运动员，则她参赛的概率是多少？【解】 由于男运动员从4人中任意选取，女运动员从3人中任意选取，为了得到试验的全部结果，我们设男运动员为A ，B ，C ，D ，女运动员为1,2,3，我们可以用一个“有序数对”来表示随机选取的结果．如(A,1)表示：第一次随机选取从男运动员中选取的是男运动员A ，从女运动员中选取的是女运动员1，可用列举法列出所有可能的结果．如下表所示，设“国家一级运动员参赛”为事件E .由上表可知，可能结果总数是12个．设女运动员1为国家一级运动员，她参赛的可能事件有4个，故她参赛的概率为P (E )＝412＝13.知识性错误致误设袋中有4只白球和2只黑球，现从袋中无放回地摸出2只球． (1)求这2只球都是白球的概率；(2)求这2只球中1只是白球1只是黑球的概率．【错解】 一次摸出2只球，观察结果的颜色只能是(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)3种情况．(1)用A 表示“2只球都是白球”这一事件，则A ＝{(白，白)}，所以P (A )＝13.(2)用B 表示“2只球中1只是白球1只是黑球”这一事件，则B ＝{(白，黑)}，所以P (B )＝13. 【错因分析】 在上述错解中(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)3种结果的出现不是等可能的．【防范措施】 弄清基本事件总数有哪些，注意每个基本事件的出现是等可能的． 【正解】 我们不妨把4只白球标以1,2,3,4号，2只黑球标以5,6号，则基本事件有(1,2)，(1,3)，…，(1,6)，(2,1)，(2,3)，…，(2,6)，…，(6,1)，(6,2)，…，(6,5)，共30个．(1)用A 表示“2只球都是白球”这一事件，则A ＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}共12个．所以P (A )＝1230＝25.(2)用B 表示“2只球中1只是白球1只是黑球”这一事件，则B ＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)}，共16个．所以P (B )＝1630＝815.1．注意区分古典概型中有无放回及有无顺序问题．2．建立概率模型，常用列举法、列表法、树状图法求出基本事件的总数，从而解决问题．1．下列不属于古典概型的性质的是( ) A ．所有基本事件的个数是有限个 B ．每个基本事件发生的可能性相等 C ．任两个基本事件不能同时发生D ．可能有2个基本事件发生的可能性不相等【解析】 古典概型的特征之一就是每个基本事件发生的可能性相等． 【答案】 D2．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是( )A.12B.13C.14D.15【解析】 该试验共4个基本事件，所求事件包含2个基本事件，∴其概率P ＝12.【答案】 A3．从1,2,3，…，20中任取一个数，它恰好是3的倍数的概率是( ) A.320 B.14 C.310 D.15【解析】 从1,2,3，…，20中任取一个数共有20种基本事件，其中是3的倍数是3,6,9,12,15,18共6种基本事件，由古典概型概率公式得是3的倍数的概率是620＝310.【答案】 C4．一个家庭中有两个小孩，设生男还是生女是等可能的，求此家庭中两小孩均为女孩的概率．【解】 所有的基本事件是：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)共4个，均为女孩的基本事件只有1个，故此家庭中两个均为女孩的概率为P ＝14＝0.25.一、选择题1．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是( )A.15B.14C.45D.110【解析】 由古典概型的计算公式得P (A )＝810＝45.【答案】 C2．从{1,2,3,4,5}中随机选一个数为a ，从{1,2,3}中随机选一个数为b ，则b >a 的概率是( )A.45B.35C.25D.15【解析】 从{1,2,3,4,5}中随机选一个数a ，从{1,2,3}中随机选一个数b ，共有以下不同结果：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)共15种．其中满足b >a 的有(1,2)，(1,3)，(2,3)三种，所以b >a 的概率为315＝15，故选D.【答案】 D3．将一颗均匀的正方体骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b 、c ，则方程x 2＋bx ＋c ＝0有相等的实根的概率为( )A.112B.19C.136D.118【解析】 方程x 2＋bx ＋c ＝0有相等实根，故Δ＝b 2－4c ＝0即b 2＝4c .基本事件总数为6×6＝36.当b ＝4，c ＝4或b ＝2，c ＝1时，b 2＝4c 成立，故P ＝236＝118.【答案】 D4．从分别写有A ，B ，C ，D ，E 的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好按字母顺序相邻的概率是( )A.15B.25C.310D.710【解析】 从5张卡片中任取2张的基本事件总数为10，而恰好按字母顺序相邻的基本事件共有4个，故此事件的概率为410＝25.【答案】 B 5．(2013·咸阳检测)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是( )。
3.2.2建立概率模型 课件(北师大版必修3)
2.连续抛掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面. （1）写出这个试验的基本事件； （2）求“至少有两枚正面向上”这一事件的概率； （3）求“恰有一枚正面向上”这一事件的概率.
知能巩固提高
一、选择题（每题5分，共15分）
1.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是
（ ）
1 2 （A）1 （B） （C）1 （D） 3 3 2 6 【解析】选B.就甲的位置而言有三种可能，甲在中间只有一种，
片，若从两盒中各任取一张卡片，求所取卡片上的两数之和
等于6的概率. 甲的解法：因为两数之和可为0,1,2,„,10,共包含11个基本 1 事件，所以所求概率为 . 11 乙的解法：从两盒中各任取一张卡片，共有36种取法，其中
和为6的情况共有5种：（1,5）（5,1）,(2,4),(4,2),(3,3), 5 因此所求概率为 . 36 试问哪一种解法正确？为什么？
二、填空题（每题5分，共10分）
4.从集合{2,4,6,8}中任取两个数，分别作为对数的底数和真
数，则形成的对数值大于2的概率为__________.
【解析】从集合中任取两个数的所有结果为
共12种，而形成的对数大于2的有两个log26和log28，故其概 2 1 率为 . 12 6 1 答案： 6
故其概率为
1 . 3
2.一栋楼有6单元，小王与小李都住在此栋楼内，则他们住在 此楼同一单元的概率为（ ）
（A）1 （B） 1 （C） 1 （D） 1 2 12 6 36 【解析】选C.由题知将小王和小李所住单元号记为（x,y）可 知有36种结果，即n=36,住在同一单元有6种，即m=6,故其概 率为
课程目标设置
主题探究导学
典型例题精析
3.2.2 建立概率模型 课件 (北师大必修3) (2)
【规范解答】任取一个正整数，则该数的平方的末位数字
就是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9的平方的末位数字，
所有的结果为0、1、4、9、6、5，共有6种情况，故任取一
个正整数，该数的平方的末位数字是1的概率为 1 .
6
构建不同的概率模型解决问题
古典概率模型问题的解决方法 古典概率模型具有很强的实用性，同现实生活的联系也很 紧密，是近几年高考的热点内容，考查的形式灵活多样.解 决这类问题，首先要判定它是否属于古典概型，其关键仍 然是通过列举法去分析每个基本事件发生的个数，以及事 件A所包含的基本事件的个数，最后应用公式求解.
数，列表如下：
由表可知共有6×6=36种结果.
(2)若用(a,b)来表示两枚骰子向上的面的点数，则点数之
和是3的倍数的结果有：
（1,2），（2,1），（1,5），（5,1），（2,4）， （4,2），（3,3），（4,5），（5,4），（3,6）， （6,3），（6,6）共12种. （3）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率： P=
事件A包含事件：（1，2），（1，3）；
（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）； （3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10个
由古典概型得P(A)=
10 5 = . 12 6
【审题指导】弄懂“传了三次”是怎么一回事及不重不漏列
出所有的基本事件是解答本题的关键，本题的基本事件可用 树状图全部列出，再观察所求事件包含的基本事件即可 .
【规范解答】依据题意画出树状图如图所示：
………………………………………………………………8分 由上图可知，共有27种结果，其中经过三次传球球仍传回 到甲的手中有6种结果，故所求概率为 6 2 . ………12分
北师大版高中数学必修3《三章 概率 2 古典概型 2.2建立概率模型》优质课教案_6
§2.2建立概率模型教学设计一、教材的地位和作用本节课是高中数学必修三第三章概率的第二节古典概率模型的第二课时，是在随机事件的概率之后，几何概率模型之前，学生对古典概率模型的特点有了初步的认识，对于同一个实验，建立不同的概率模型，培养学生发散思维能力，让学生体会数学文化价值，进一步深入的理解古典概率模型，为其它概率的学习奠定基础，加深对概率和随机事件的理解，体会随机事件和确定事件的不同，有利于解释生活中的一些问题。
二、学情分析：高一文科班学生，数学基础整体偏弱，其中有二十多名学生数学基础较差，优点在于学生听讲还比较认真，学习态度比较端正，因此在教学设计中，必须抓好基本概念，帮助学生理清概念内涵脉络，低起点，小步走，异步达标，对于培养优秀学生要通过课后训练来逐步实现，因此在课后配备古典概率模型核心素养检测试题。
三、教学目标1.知识与技能（1）进一步正确理解古典概率模型的两大特点，能从实际问题中识别和抽象出古典概率模型。
（2）会用列举法计算一些随机事件的基本事件及其发生的概率，进一步掌握古典概率模型的概率公式根据实际问题建立适当的概率模型解决简单的实际问题。
（3）会2.过程与方法（1）通过掷骰子问题的分析以及例2的学习，经历对同一个问题从不同的角度分析，建立不同的古典概率模型，感知应用数学解决问题的方法，发展学生提出问题，分析问题和解决问题的能力。
（2）通过模拟实验解决摸奖公平问题的过程，转化为例2用古典概率模型来解决问题，探究数学解决问题的方法。
（3）对于同一个实际问题，通过不同角度的思考，建立不同的概率模型，使问题的解决不断地简化，发展学生的发散思维能力，体验求简意识，发展学生批判性思维的能力。
3.情感态度价值观：通过本节课的学习，增强学生数学建模意识，树立学生数学应用意识，体会数学的应用价值与社会价值。
4.本节课程内容涉及的核心素养和数学文化：本节课的引入以生活中的抓阄摸奖为素材让学生体会数学源于生活，数学文化根植于我们的生活，本节课涉及到了数学建模意识（古典概率模型），数学应用、数学抽象和数学逻辑推理等。
(北师大版)数学必修三：3.2.2《建立概率模型》ppt课件
1.古典概型的特点
（1）试验的所有可能结果(即
基本事件)只有有限个,每次试验只出现其中的一 个结果.（2）每一个结果出现的可能性相同. 2.古典概型的概率公式
事件A包含的可能结果数 m P ( A) 试验的所有可能结果数 n .
3.列表法和树状图
1. 从集合 {1,2,3,4,5} 的所有子集中任取一个, 这个集合恰是集合 {1,2,3}
所有可能的结果如下:
2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2
1
2 2 1 2 2 1
2 2 2 1 1 2
1 2 1
1 2 1 1
2 1 1 1
1
2 2
2 1
1 2
2
12 1 P(A) 24 2
模型2：只考虑前两个人摸球的情况
1 2 1 2
1
2
1 2
1 2 1 2
1 2 1
2
1
2 1
2
6 1 P( A) 12 2
模型3：只考虑球的颜色
3 1 P(A) 6 2
模型4：只考虑第二个人摸出的球的情况
2 1 P(A) 4 2
评析:
模型1 利用树状图列出了试验的所有可能结果(共24种),
可以计算出4个人依次摸球的任何一个事件的概率.
模型2 利用试验结果的对称性,只考虑前两个人摸球的 情况,所有可能结果减少为12种. 模型3 只考虑球的颜色,对2个白球不加区分,所有可能 结果减少为6种. 模型4 只考虑第二个人摸出的球的情况,所有可能的结
【解析】按照上面的第四种方法：
1 P 4
1.甲、乙、丙、丁四位同学排队,其中甲站在排
3.2.2建立概率模型课件ppt(北师大版必修三)
课前探究学习 课堂讲练互动
(3)在计算基本事件的总数时，由于分不清“有序”和“无序”，
解
随机选取两个小球，记事件A为“两个小球上的数为
相邻整数”，可能结果为(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)， (5，6)，(6，7)，(7，8)，(8，9)，(9，10)，(2，1)，(3， 2)，(4，3)，(5，4)，(6，5)，(7，6)，(8，7)，(9，8)， (10，9)共18种．
2.2 建立概率模型
【课标要求】 1．根据需要会建立合理的概率模型，解决一些实际问 题． 2．理解概率模型的特点及应用． 【核心扫描】 1．会利用所学知识建立合理的概率模型．(重点) 2．本节常与统计知识结合命题．
3．古典概率模型的实际应用．(难点)
课前探究学习
课堂讲互动
自学导引
建立概率模型 1．
(1)在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件(即一 个试验结果)是人为规定的．我们只要求：每次试验有 一个并且只有 _____________一个基本事件出现．只要基本事件的个数 等可能的 有限的 是_______，并且它们的发生是_________，就是一个古典
概型．
(2)从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为 古典概型 古典概型 不同的_________来解决，而所得到的_________的所有可 越简单 能结果越少，问题的解决就变得_______．
课前探究学习 课堂讲练互动
题型二
建立概率模型
北师大版数学高一(北师大)必修3学案 建立概率模型
2.教辅资料
3.预习下一节内容
学习小结/教学
反思
3.课本p139例2用了几种方法？你是怎样理解的？
精讲互动
(1)解析“自主学习”；
(2)例题解析
例1．一个口袋中有形状、大小都相同的6个小球，其中有2个白球、2个红球和2个黄球。从中一次随机摸出2个球，试求：
（1）2个球都是红球的概率；
（2）2个球同色的概率；
（3）“恰有1个球是白球的概率”是“2个球都是白球的概率”的多少倍？
例2．（选讲）先后抛掷一枚骰子两次，将得到的点数分别记为a，b。
（1）求a+b=4的概率；
(2)求点（a，b）在函数 图像上的概率；
(3)将a，b，5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率。
（3）回答教材p141的“思考交流”
达标训练
1.课本p142练习1 2
2.教辅资料
作业
布置
§3.2.2
授课
时间第周星期第节课型 Nhomakorabea新授课
主备课人
学习
目标
理解概率模型的特点及应用，根据需要会建立合理的概率模型，解决一些实际问题。
重点难点
重点：建立古典概型,解决简单的实际问题
难点：从多种角度建立古典概型
学习
过程
与方
法
自主学习
1．在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件（即一个试验结果）是人为规定的，要求每次试验_______________基本事件出现，只要基本事件的个数是___________,并且它们的发生是_____________，就是一个________________。
2．从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的来解决，而所得到的古典概型的所有可能结果数，问题的解决就变得越简单。
《建立概率模型》课件(北师大版必修3)
问题导入：
1.单选题是标准化考试中常用的题型. 如果考生不会做,他从4个备选答案中 随机地选择一个作答,他答对的概率 1/4 是____.
2. 从集合 {1,2,3,4,5} 的所有子集 中任取一个, 这个集合恰是集合 ８/32 {1,2,3} 的子集的概率是____.
3.抛掷两枚均匀的骰子,出现数字之积 为偶数与出现数字之积为奇数的概率 27/36 9/36 分别是_____、______.
2 1
模型2 利用试验结果的对称性,因为是计算“第二个人摸 到红球”的概率，我们可以只考虑前两个人摸球的情 况,
2 1 1 2 2
1
1 2 1
1 2 2 2
2 1 1
这个模型的所有可能结果数为12，第二个摸到红球的结果有6种：
P(A)=6/12=0.5
模型3 只考虑球的颜色，4个人按顺序摸出一个 球所有可能结果
(2)100个人依次抓阄决定1件奖品的归属,求最 后一个人中奖的概率.
分析:只考虑最后一个抓阄的情况,他可能抓到 100个阄中的任何一个,而他抓到有奖的阄的结 果只有一种,因此,最后一个人中奖的概率为 1/100.
小结： 一般来说,在建立概率模型时把什么 看作是基本事件,即试验结果是人为规定 的,也就是说,对于同一个随机试验,可以根 据需要,建立满足我们要求的概率模型。
3.2.2 建立概率模型
温故知新：
1.古典概型的概念 1)试验的所有可能结果(即基本事件)只有有限个,每次 试验只出现其中的一个结果; 2)每一个结果出现的可能 性相同。 2.古典概型的概率公式
m( A包 含 的 基 本 事 件 数 ) P( A) n( 基 本 事 件 总 数 )
3.列表法．
一般来说,在建立概率模型时把什么看作是 基本事件,即试验结果是人为规定的,也就是说,对 于同一个随机试验,可以根据需要,建立满足我们 要求的概率模型
北师大版高中必修32.2建立概率模型课程设计
北师大版高中必修32.2建立概率模型课程设计一、教学目标1.了解概率模型的基本概念和性质2.掌握一些常见的离散型和连续型的概率模型3.学会利用概率模型分析和解决实际问题二、教学内容1. 概率模型的概念和分类（1）概率的概念：随机试验、样本空间、事件、概率（2）概率分布的分类：离散型概率模型、连续型概率模型2. 常见的概率模型（1）离散型概率模型：0-1分布、二项分布、泊松分布（2）连续型概率模型：正态分布、t分布、F分布、卡方分布3. 举例分析实际问题（1）利用0-1分布模型分析硬币抛掷问题（2）利用二项分布模型分析文本分类问题（3）利用正态分布模型分析身高体重问题三、教学重点和难点1.概率模型的概念和分类2.连续型概率模型的使用3.实际问题的分析和解决四、教学方法1.讲授法2.分组讨论3.案例分析4.实验操作五、教学过程1. 课堂讲授（1）概率模型的基本概念和性质（2）离散型概率模型的概念和性质（3）连续型概率模型的概念和性质（4）实际问题的分析和解决2. 分组讨论（1）根据老师布置的问题进行讨论（2）学生分成小组进行讨论，回答问题并给出解题过程3. 案例分析（1）老师给出一个实际问题（2）学生分析问题，并用所学的概率模型解决问题4. 实验操作（1）老师布置实验任务（2）学生在实验室中进行实验操作，并记录实验数据六、教学评价1. 学生自评（1）学生自拟题目，运用所学知识解决问题（2）学生总结所学内容，结合实际应用进行思考2. 老师评价（1）老师从作业和课堂表现等方面对学生进行评价（2）老师听取学生的意见，针对性改进教学方法七、教学资源1.教材：《高中数学32》2.教具：投影仪、电脑、台式计算机3.实验器材：数学实验室设备八、教学反思本次教学中，我注重思维方法的培养，提高学生的问题解决能力，鼓励学生思考和交流。
同时，我也发现学生对于概率模型应用较为生疏，需要更多的练习和示范。
在教学方法上，需要在课堂上更多地引导学生进行实验和案例分析，提高学生的动手能力。
高中数学北师大版必修三3.2.2【教学课件】《建立概率模型》
（1）从上面的4种解法可以看出, 我们从不同的角度去考虑一个实际问题, 可以将问
题化为不同的古典概型来解决, 而所得到的古典概型的所有可能结果数越少, 问题的 解决就变得越简单。 （2）解法1列出了试验的所有可能结果, 利用这个模型可以计算出4个人依次摸球的 任何一个事件的概率, 比如“第一个人和第四个人中有一人摸到2号白球”的概率。
（2）甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排，试求下列事件的概率。 ①甲在边上；②甲和乙都在边上；③甲和乙都不在边上。 解：利用树状图来列举基本事件，如图所示。
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由树状图可看出共有24个基本事件。
①甲在边上有12种情形
(甲，乙，丙，丁), (甲，乙，丁，丙), (甲，丙，乙，丁)，
试验的所有结果数为6, 并且这6种结果的出现是等可能的, 这个模型是古典概
型。在这6种结果中，第二个人摸到白球的结果有3种，因此“第二个人摸到白球
”的概率
3 1 P (A) 6 2
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【解法4】 只考虑第二个人摸出球的情况, 他可能摸到这4个球中的任何一个, 这4种 结果出现的可能性相同。第二个人摸到白球的结果只有2种, 因此“第二个人摸到 2 1 白球”的概率 P (A) 4 2 【抽象概括】
若问题与顺序无关，则(a，b)与(b，a)表示同一个基本事件。
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巩固练习
(1)某人射击5枪, 命中了3枪, 所命中的三枪中, 恰好有2枪连中的概 率是多少?
⊙ ⊙ ⊙ × ×; × ⊙ ⊙ ⊙ ×; × × ⊙ ⊙ ⊙; × ⊙ ⊙ × ⊙; × ⊙ × ⊙ ⊙;
⊙ ⊙ × ⊙ ×;
一球的所有可能结果, 可用树状图直观地表示出来。
高中数学 第三章 概率 3_2_2 建立概率模型教案 北师大版必修31
2．2 建立概率模型整体设计教学分析本节教科书通过例2的四种模型的所有可能结果数越来越少，调动起学生思考探究的兴趣；教师在教学中要注意通过引导学生体会不同模型的特点以及对各种方法进行比较，提高学生分析和解决问题的能力．三维目标1．使学生能建立概率模型来解决简单的实际问题，提高学生分析问题和解决问题的能力．2．通过学习建立概率模型，培养学生的应用能力．重点难点教学重点：建立古典概型．教学难点：建立古典概型．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.计算事件发生概率的大小时，要建立概率模型，把什么看成一个基本事件是人为规定的．今天我们学习如何建立概率模型，教师点出课题．思路2.解决实际应用问题时，要转化为数学问题来解决，即建立数学模型，这是高中数学的重点内容之一，也是高考的必考内容，同样解决概率问题也要建立概率模型，教师点出课题．推进新课新知探究提出问题1．回顾解应用题的步骤？2．什么样的概率属于古典概型？讨论结果：1.解应用题的一般程序：(1)读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础．(2)建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关．(3)解：求解数学模型，得到数学结论．一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程．(4)答：将数学结论还原给实际问题的结果．2．同时满足以下两个条件的概率属于古典概型：(1)试验的所有基本事件只有有限个，每次试验只出现其中一个基本事件；(2)每一次试验中，每个基本事件出现的可能性相等．应用示例思路1例 口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一球．试计算第二个人摸到白球的概率．分析：我们只需找出4个人按顺序依次摸球的所有可能结果数和第二个人摸到白球的可能结果数．为此考虑用列举法列出所有可能结果．解法一：用A 表示事件“第二个人摸到白球”．把2个白球编上序号1,2；2个黑球也编上序号1,2.于是，4个人按顺序依次从袋中摸出一球的所有可能结果，可用树状图直观地表示出来(如图1)．图1树状图是进行列举的一种常用方法．从上面的树状图可以看出，试验的所有可能结果数为24.由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，因此，这24种结果的出现是等可能的，试验属于古典概型．在这24种结果中，第二个人摸到白球的结果有12种，因此“第二个人摸到白球”的概率P (A )＝1224＝12，这与第一节的模拟结果是一致的． 还可以建立另外的模型来计算“第二个人摸到白球”的概率．如果建立的模型能使得试验的所有可能结果数变少，那么我们计算起来就更简便．解法二：因为是计算“第二个人摸到白球”的概率，所以我们可以只考虑前两人摸球的情况．前两人依次从袋中摸出一球的所有可能结果可用树状图列举出来(如图2)．图2从上面的树状图可以看出，这个模型的所有可能结果数为12，因为口袋里的4个球除颜色外完全相同，因此，这12种结果的出现是等可能的，这个模型也是古典概型．在上面12种结果中，第二个人摸到白球的结果有6种，因此“第二个人摸到白球”的概率P (A )＝612＝12. 这里，我们是根据事件“第二个人摸到白球”的特点，利用试验结果的对称性，只考虑前两人摸球的情况，从而简化了模型．还可以从另外一个角度来考虑这个问题．因为口袋里的4个球除颜色外完全相同，因此，可以对2个白球不加区别，对2个黑球也不加区别，这样建立的模型的所有可能结果数就会更少，由此得到另一种解法．解法三：只考虑球的颜色，4个人按顺序依次从袋中摸出一球的所有可能结果可用树状图列举出来(如图3)．图3试验的所有可能结果数为6，并且这6种结果的出现是等可能的，这个模型是古典概型．在这6种结果中，第二个人摸到白球的结果有3种，因此“第二个人摸到白球”的概率P (A )＝36＝12. 下面再给出一种更为简单的解法．解法四：只考虑第二个人摸出的球的情况，他可能摸到这4个球中的任何一个，这4种结果出现的可能性是相同的．第二个人摸到白球的结果有2种，因此“第二个人摸到白球”的概率P (A )＝24＝12. 点评：画树状图进行列举是计算结果个数的基本方法之一．解法一利用树状图列出了4个人依次从袋中摸出一球的所有可能结果，共有24种，其中第二个人摸到白球的结果有12种，因此算得“第二个人摸到白球”的概率为12. 解法二利用试验结果的对称性，只考虑前两人摸球的情况，所有可能结果减少为12种，简化了模型．解法三只考虑球的颜色，对2个白球不加区别，对2个黑球也不加区别，所有可能结果只有6种．解法四只考虑第二个人摸出的球的情况，所有可能结果变为4种，这个模型最简单．尽管解法二、三、四建立的模型在解决该问题时比解法一简便，但解法一也有它的优势，利用解法一可以计算出4个人顺次摸球的任何一个事件的概率，而解法二、三、四却不能做到．教师要提醒学生，本章古典概率的计算，解法一是最基本的方法．对于一个实际问题，有时从不同的角度考虑，可以建立不同的古典概型来解决.变式训练小明和小刚正在做掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子，当两枚骰子点数之和为奇数时，小刚得1分，否则小明得1分．这个游戏公平吗？分析：计算双方获胜的概率，来判断游戏是否公平．解：设(x ，y )表示小明抛掷骰子点数是x ，小刚抛掷骰子点数是y ，则该概率属于古典概型．所有的基本事件是：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3), (4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3), (6,4)，(6,5)，(6,6)，即有36种基本事件．其中点数之和为奇数的基本事件有：(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,3)，(6,5)．即有18种．所以小刚得1分的概率是1836＝12.则小明得1分的概率是1－12＝1 2.则小明获胜的概率与小刚获胜的概率相同，游戏公平.思路2例在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )．A.310B.15C.110D.112解析：用(x，y)(x≠y)表示从这5个球中随机取出2个小球上数字的结果，其结果有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，即共有10种，取出的小球标注的数字之和为3或6的结果有：(1,2)，(1,5)，(2,4)，共有3种，所以取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为310.答案：A点评：求古典概型的概率的步骤：①利用枚举法计算基本事件的总数；②利用枚举法计算所求事件所含基本事件的个数；③代入古典概型的概率计算公式求得.变式训练：该自动包装机包装的食盐质量在497.5～501.5 g之间的概率约为________．分析：观察表格可得在497.5～501.5 g之间的食盐有：498,501,500,501,499共5袋，则食盐质量在497.5～501.5 g之间的概率520＝0.25.答案：0.252.某校要从高一、高二、高三共2 007名学生中选取50名组成访问团，若采用下面的方法选取：先用分层抽样的方法从2 007人中剔除7人，剩下的2 000人再按简单随机抽样的方法进行，则每人入选的概率( )．A.不全相等B．均不相等C.都相等且为502 007D．都相等且为140分析：按分层抽样抽取样本时，每个个体被抽到的概率是相等的，都等于502 007.答案：C知能训练1．袋中有4个红球，5个白球，2个黑球，从里面任意摸2个小球，________不是基本事件．( )．A ．{正好2个红球}B ．{正好2个黑球}C ．{正好2个白球}D ．{至少一个红球}解析：至少一个红球包含：一红一白或一红一黑或2个红球，所以{至少一个红球}不是基本事件，其他事件都是基本事件．答案：D2.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷10 000次，那么第9 999次出现正面朝上的概率是( )．A.19 999B.110 000C.9 99910 000D.12答案：D3．有4条线段，长度分别为1,3,5,7，从这四条线段中任取三条，则所取三条线段能够成一个三角形的概率是( )．A.14B.13C.12D.25 答案：A4．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为________．解析：按简单随机抽样抽取样本时，每个个体被抽到的概率是相等的，都等于5100，即120. 答案：1205．某小组有5名女生，3名男生，现从这个小组中任意选出一名组长，则其中一名女生小丽当选为组长的概率是________．答案：186．袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：(1)事件A ：取出的两球都是白球；(2)事件B ：取出一个是白球，另一个是红球．分析：首先应求出任取两球的基本事件的总数，然后需分别求出事件A 的个数和事件B的个数，运用公式求解即可．解：设4个白球的编号为1,2,3,4，两个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取两个的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15个．(1)取出的全是白球的基本事件，共有6个，即为(1,2)，(1,3)，(1,4), (2,3)，(2,4)，(3,4)，故取出的两个球都是白球的概率为P (A )＝615＝25. (2)取出一个是白球，而另一个为红球的基本事件，共有8个，即为(1,5)，(1,6), (2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，故取出的两个球一个是白球，另一个是红球的概率为P (B )＝815. 拓展提升1．连续掷两次骰子，以先后得到的点数m ，n 为点P (m ，n )的坐标，设圆Q 的方程为x 2＋y 2＝17.(1)求点P 在圆Q 上的概率；(2)求点P 在圆Q 外部的概率．解：m 的值的所有可能是1,2,3,4,5,6，n 的值的所有可能是1,2,3,4,5,6，所以，点P (m ，n )的所有可能情况有6×6＝36种，且每一种可能出现的可能性相等，本问题属古典概型问题．(1)点P 在圆Q 上只有P (1,4)，P (4,1)两种情况，根据古典概型公式，点P 在圆Q 上的概率为236＝118. (2)点P 在圆Q 内的坐标是：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共有8个点，所以点P 在圆Q 外部的概率为1－2＋836＝1318. 2．将一枚质地均匀的硬币连续投掷3次，求以下事件的概率：(1)3次正面向上；(2)2次正面向上，1次反面向上．解：(1)将一枚质地均匀的硬币连续投掷3次的基本事件总数为8，又事件“3次正面向上”共有基本事件数为1，设事件“3次正面向上”为A ，∴P (A )＝18. ∴事件“3次正面向上”发生的概率为18.(2)又事件“2次正面向上，1次反面向上”共有基本事件数为3，设事件“2次正面向上，1次反面向上”为B ，∴P (B )＝38. ∴事件“2次正面向上，一次反面向上”发生的概率为38. 课堂小结本节课学习了同一个古典概型的概率计算问题，可以建立不同的概率模型来解决．作业习题3—2 A 组 7,8.设计感想本节教学设计过程中，注重培养学生的应用能力，以及古典概型的计算方法．在实际教学过程中，教师要根据学生的实际，重点指导学生如何建立古典概型．备课资料不同背景的实际问题归为同一模型对于一个实际问题，我们有时可以通过建立不同的模型来解决；另一方面，有很多不同的问题，我们还可以把它们归为同一个模型来解决．复习题三的A 组第7题的一般情形就是研究r 个球随机放入n 个盒子中的可能分布，这是一个很重要的概率模型．有许多实际问题，尽管它们的直观背景很不相同，但都可以抽象为r 个球随机地分布于n 个盒子中的模型．例如，6个盒子分别代表数字1,2,3,4,5,6，掷一粒骰子，若向上的点数为3，则这个结果对应于把一个球放入代表数字3的盒子中，因此，掷r 粒骰子的可能结果就相当于把r 个球随机地放入这6个盒子中(n ＝6)；两个盒子分别代表正面朝上和反面朝上，掷一枚硬币，若出现正面朝上，则这个结果对应于把一个球放入代表正面朝上的盒子中，掷r 枚硬币的可能结果就相当于把r 个球随机地放入这两个盒子中(n ＝2)；类似地，r 个人的生日的可能情形相当于r 个球随机地放入n ＝365个盒子中的可能结果(假定一年是365天)；一部电梯，开始有r 个乘客，它在n 层楼中的每一层都停，乘客走出电梯的各种可能情形相当于r 个球随机地放入n 个盒子中的可能结果；等等．。
北师大版高中数学必修三3.2.2建立概率模型.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作2．2 建立概率模型[读教材·填要点]建立不同的古典概型在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的．我们只要求：每次试验有一个并且只有一个基本事件出现．只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的，就是一个古典概型．[小问题·大思维]甲、乙、丙三人站队，求甲站在最左边的概率．问题1，若只考虑甲的站法，基本事件的总数是多少？甲站在最左边的概率是多少？ 提示：3种；P ＝13.问题2，若只考虑最左边位置的站法，基本事件总数是多少？甲站在最左边的概率是多少？提示：3种；P ＝13.问题3，若考虑所有人的站法，基本事件的总数是多少？甲站在最左边的概率是多少？ 提示：6种；P ＝13.[研一题][例1] 从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．[自主解答] 每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的．用A 表示“取出的两件中恰有一件次品”，这一事件，所以A ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．因为事件A 由4个基本事件组成，所以P (A )＝46＝23.[悟一法]“有放回”与“不放回”问题的区别在于：对于某一试验，若采用“有放回”抽样，则同一个个体可能被重复抽取，而采用“不放回”抽样，则同一个个体不可能被重复抽取．[通一类]1．一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1,2,3，…，10这10个数字，今随机地抽取两个小球，如果：(1)小球是不放回的； (2)小球是有放回的．求两个小球上的数字为相邻整数的概率． 解：设事件A ：两个小球上的数字为相邻整数．则事件A 包括的基本事件有：(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(10,9)，(9,8)，(8,7)，(7,6)，(6,5)，(5,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)共18个．(1)不放回取球时，总的基本事件数为90， 故P (A )＝1890＝945＝15.(2)有放回取球时，总的基本事件数为100， 故P (A )＝18100＝950.[研一题][例2] 某乒乓球队有男乒乓球运动员4名、女乒乓球运动员3名，现要选一男一女两名运动员组成混合双打组合参加某项比赛，试列出全部可能的结果；若某女乒乓球运动员为国家一级运动员，则她参赛的概率是多少？[自主解答] 由于男运动员从4人中任意选取，女运动员从3人中任意选取，为了得到试验的全部结果，我们设男运动员为A ，B ，C ，D ，女运动员为1,2,3，我们可以用一个“有序数对”来表示随机选取的结果．如(A,1)表示：第一次随机选取从男运动员中选取的是男运动员A ，从女运动员中选取的是女运动员1，可用列表法列出所有可能的结果．如下表所示，设“国家一级运动员参赛”为事件E .女结果 男12 3A (A,1) (A,2) (A,3)B (B,1) (B,2) (B,3)C (C,1) (C,2) (C,3) D(D,1) (D,2) (D,3)由上表可知，可能的结果总数是12个．设女运动员1为国家一级运动员，她参赛的可能事件有4个，故她参赛的概率为P (E )＝412＝13.[悟一法]本题列出全部可能的结果用的是列表法．列表法的优点是准确、全面、不易漏掉，对于试验的结果不是太多的情况，都可以采用此法，当然也可以用列举法． [通一类]2．在一次数学研究性实践活动中，兴趣小组做了两个均匀的正方体玩具，组长同时抛掷2个均匀的正方体玩具(各个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6)后，让小组成员求：(1)两个正方体朝上一面数字相同的概率是多少？(2)两个正方体朝上一面数字之积为偶数的概率是多少？解：两个玩具正面向上的情况如下表： 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)(1)事件“两个正方体朝上一面数字相同的情况”只有6种，故它的概率是636＝16.(2)事件“两个正方体朝上一面数字之积为偶数的情况”有27种，如表中有下划线的情况，即两个正方体朝上一面数字之积为偶数的概率为2736＝34.[研一题][例3] 口袋里装有两个白球和两个黑球，这四个球除颜色外完全相同，甲、乙、丙、丁四个人按顺序依次从中摸出一球，试求乙摸到白球，且丙摸到黑球的概率．[自主解答] 把两白球编上序号1、2，把两黑球也编上序号1、2，于是甲、乙、丙、丁四个人按顺序依次从袋内摸出一个球的所有可能结果，可用树形图直观地表示出来如下：从上面的树状图可以看出，试验的所有可能结果数为24，乙摸到白球，且丙摸到黑球的结果有8种，则P ＝824＝13.[悟一法]当基本事件较多、较为复杂时采用树状图，可以很直观的对事件进行分类、枚举，准确地找出所有的基本事件．[通一类]3．甲、乙两同学下棋，胜一盘得2分，和一盘各得1分，负一盘得0分．连下三盘，得分多者为胜，求甲获胜的概率．解：甲同学的胜负情况画树状图如下：每盘棋都有胜、和、负三种情况，三盘棋共有3×3×3＝27种情况．设“甲获胜”为事件A ，甲获胜的情况有：三盘都胜，得6分有1种情况，两胜一和得5分有3种情况，两胜一负得4分有3种情况，一胜两和得4分有3种情况，共10种情况．故甲获胜的概率为P (A )＝1027.任意抛掷两枚质地均匀的骰子，计算： (1)出现点数相同的概率； (2)出现点数之和为奇数的概率；[错解] (1)点数相同，是指同为1点，2点，…，6点，其中之一的概率是16.(2)点数和为奇数，可取3,5,7,9,11，共5种；点数之和为偶数，可取2,4,6,8,10,12，共6种．于是出现点数之和为奇数的概率为55＋6＝511. [错因] (1)原事件是要求在抛掷的所有结果中出现点数同为1,2,3,4,5,6的概率，而不是点数相同时，其中之一的概率；(2)点数之和为奇数和偶数的11种情况不是等可能事件，如点数之和为2只出现一次，为(1,1)；点数之和为3出现2次，为(2,1)，(1,2)．[正解] (1)任意抛掷两枚骰子，由于骰子质地均匀，故可以看成等可能事件，其结果可表示为数组(i ，j )(i ，j ＝1,2，…，6)，其中两个数i ，j 分别表示两枚骰子出现的点数，共有36种结果．其中点数相同的数组为(i ，j )(i ＝j ，i ，j ＝1,2，…，6)，共有6个结果，故出现点数相同的概率为636＝16.(2)出现的点数之和为奇数，从而由数组(奇，偶)和(偶，奇)组成(如1,2)，(2,1)．又由于每枚骰子上有3个偶数，3个奇数，3×3＋3×3＝18，从而所求概率为1836＝12.1．若书架上放的数学、物理、化学书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是物理书的概率为( )A.15 B.310 C.35D.12解析：任意抽取一本得到任何一本书的可能性是相同的，故为古典概型，其中总基本事件数n ＝10，事件A “抽得物理书”包含的基本事件数m ＝3，所以依据古典概型概率的计算公式得P (A )＝m n ＝310.答案：B2．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是( )A.12B.13C.14D.15解析：该试验共4个基本事件，所求事件包含2个基本事件，其概率为12.答案：A3．(2013·日照高一检测)一枚硬币连掷3次，有且仅有2次出现正面向上的概率为( ) A.38 B.23 C.13D.14解析：所有的基本事件是(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共有8个，仅有2次出现正面向上的有：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，共3个．则所求概率为38.答案：A4．在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下的两个数字都是奇数的概率是________．(结果用数值表示)解析：在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下的两个数字有10种可能的结果：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}，其中两个数字都是奇数包含3个结果：{1,3}，{1,5}，{3,5}，故所求的概率为310.答案：3105．(2011·福建高考)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．解析：红色球分别用A 、B 、C 表示，黄色球分别用D 、E 表示，取出两球的所有可能结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )共10种．从中取两球颜色不同的结果有：(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )共6种，取出两球颜色不同的概率P ＝610＝35.答案：356．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n ≥m ＋2的概率．解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个，从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个．因此所求事件的概率P ＝26＝13.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果(m ，n )有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足条件n ≥m ＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，所以满足条件n ≥m ＋2的事件的概率为P 1＝316.一、选择题1．从100台电脑中任取5台进行质量检测，每台电脑被抽到的概率是( ) A.1100 B.15 C.16D.120解析：把抽到每一台电脑看成一个基本事件，试验的所有基本事件数是100，任取5台这一事件含5个基本事件，所求概率为5100＝120. 答案：D2．从分别写有A ，B ，C ，D ，E 的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好按字母顺序相邻的概率是( )A.15B.25C.310D.710 解析：从5张卡片中任取2张有AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE 、CD 、CE 、DE 共10种结果，而恰好按字母顺序相邻的有AB 、BC 、CD 、DE 4种结果，故此事件的概率为410＝25. 答案：B3．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )A.110B.18C.16D.15解析：假设正六边形的6个顶点分别为A 、B 、C 、D 、E 、F ，则从6个顶点中任取4个顶点共有15种结果，以所取4个点作为顶点的四边形是矩形有3种结果，故所求概率为15.答案：D4．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )A.310 B.15 C.110D.112解析：随机取出2个小球有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10种情况，和为3只有1种情况(1,2)，和为6有(1,5)，(2,4)两种情况．∴P ＝310.答案：A5．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是( )A.45B.35C.25D.15解析：设Ω＝{(a ，b )|a ∈{1,2,3,4,5}，b ∈{1,2,3}}，包含的基本事件总数n ＝15，事件“b >a ”为{(1,2)，(1,3)，(2,3)}，包含的基本事件数m ＝3.其概率P ＝315＝15.答案：D 二、填空题6．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5，2.6，2.7，2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m 的概率为________．解析：从5根竹竿中任取2根有：(2.5,2.6)、(2.5，2.7)、(2.5,2.8)、(2.5,2.9)、(2.6,2.7)、(2.6,2.8)、(2.6,2.9)、(2.7,2.8)、(2.7,2.9)、(2.8,2.9)共10种取法，其中长度恰好相差0.3 m 的情况有：(2.5，2.8)、(2.6,2.9)，共2种．故所求概率为P ＝210＝15.答案：157．第1,2,5,7路公共汽车都在一个车站停靠，有一位乘客等候着1路或5路公共汽车，假定各路公共汽车首先到站的可能性相等，那么首先到站的正好为这位乘客所要乘的车的概率是________．解析：∵4种公共汽车先到站共有4个结果，且每种结果出现的可能性相等，所以“首先到站的车正好是所乘车”的结果有2个，∴P ＝24＝12.答案：128．将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取1个，其中恰有三个面涂有颜色的概率是________．解析：如图每层分成9个小正方体，共分成了三层，其中8个顶点处的小正方体三个面涂有颜色，概率为827.答案：827三、解答题9．假设有5个条件很类似的女孩，把她们分别记为A 、C 、J 、K 、S ，她们应聘秘书工作，但只有3个秘书职位，因此5人中仅有3人被录用，如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率：(1)女孩K 得到一个职位； (2)女孩K 和S 各得到一个职位； (3)女孩K 或S 得到一个职位．解：5个人仅有3人被录用，结果共有10种，如图所示，由于5个人被录用的机会相等，所以这10种结果出现的可能性相同．(1)女孩K 被录用的结果有6种，所以她得到一个职位的概率为35.(2)女孩K 和S 各得到一个职位的结果有3种，所以K 和S 各自得到一个职位的概率为310.(3)女孩K 或S 得到一个职位的结果有9种，所以K 或S 得到一个职位的概率为910. 10．编号分别为A 1，A 2，…，A 16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 得分 15 35 21 28 25 36 18 34 运动员编号A 9 A 10 A 11 A 12 A 13 A 14 A 15 A 16 得分1726253322123138(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：区间 [10,20) [20,30) [30,40] 人数(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人， ①用运动员编号列出所有可能的抽取结果； ②求这2人得分之和大于50的概率． 解：(1)4,6,6.(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A 3，A 4，A 5，A 10，A 11，A 13，从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 10}，{A 3，A 11}，{A 3，A 13}，{A 4，A 5}，{A 4，A 10}，{A 4，A 11}，{A 4，A 13}，{A 5，A 10}，{A 5，A 11}，{A 5，A 13}，{A 10，A 11}，{A 10，A 13}，{A 11，A 13}，共15种．②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B )的所有可能结果有：{A 4，A 5}，{A 4，A 10}，{A 4，A 11}，{A 5，A 10}，{A 10，A 11}，共5种．所以P (B )＝515＝13.。
2020学年高中数学第3章概率3_2_2建立概率模型课件北师大版必修3
树状图与图表是解古典概型多元素问题的常用方法．
(1)据人口普查统计，育龄妇女生男生女是等可能的，如果 允许生育二胎，则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是( )
1111 A.2 B.3 C.4 D.5 (2)甲、乙两同学下棋，胜一盘得 2 分，和一盘各得 1 分，负 一盘得 0 分．连下三盘，得分多者为胜，求甲获胜的概率．
(3)当试验的所有可能结果数不是很大时，为了计算试验的所 有可能结果数和随机事件 A 包含的基本事件数，我们一般用列举 法列出所有可能结果．列举的基本方法是画树状图和列表，分步 完成的结果可以用树状图进行列举．列表法一般只适用于分两步 完成的结果的列举．
某种饮料每箱装有 6 听，如果其中有 2 听不合格，质检人 员从某箱中随机抽出 2 听检查，问：抽到不合格产品的概率有多 大？
(1)小球是不放回的； (2)小球是有放回的． 求两个小球上的数字为相邻整数的概率．
【错因分析】 容易忽视放回和不放回的区别，或造成两个 问号同样的解法，或由于找不到二者的区别而无法弄清各自的基 本事件．
【思路启迪】 (1)这是否为古典概型？ (2)用什么方法求基本事件的个数？ (3)如何求概率？
【解】 解法一：用 A 表示事件“第二个人摸到白球”，把 两个白球编上序号：白 1，白 2,2 个黑球也编上序号：黑 1，黑 2.于是，4 个人按顺序依次从袋中摸出一球的所有可能结果可以 用树状图直观地表示出来，如图．
解：解法一：我们把每听饮料标上号码，合格的 4 听分别 记作 1、2、3、4，不合格的 2 听分别记作 a、b，只要检测的 2 听中有一听不合格，就表示查出了不合格产品．
依次不放回从箱中取出 2 听饮料，得到两个标号，分别为 x 和 y，则(x，y)表示一次抽取的结果，即基本事件，由于是随 机抽取，所以抽取到基本事件的概率相等．
高中数学第三章概率3.2古典概型3.2.2建立概率模型课件北师大版必修3
1 6
1 3
1 2
2 3
解析:只考虑B的情况,B可能第一个、第二个、第三个通过主席台, 1 而B先于A,C通过的情况只有一种,故所求概率为 . 3 答案:B
1
2
3
4
5
4.20名高一学生,25名高二学生和30名高三学生在一起座谈,如果任 意抽其中一名学生讲话,抽到高一学生的概率是 ,抽到高 二学生的概率是 ,抽到高三学生的概率是 .
2
题型一
题型二
易错辨析 易错点:因建模错误而致错 【例2】 把一枚质地均匀的硬币连续抛掷2次,求出现两次正面 朝上的概率. 错解:把一枚质地均匀的硬币连续抛掷2次,面朝上的结果有“2次 正面”“2次反面”“1次正面,1次反面”3种,即有3个基本事件.所以出 1 现两次正面朝上的概率为 . 3 错因分析:因为“1次正面,1次反面”包含“一正一反”和“一反一正” 两种情况.所以出现“2次正面”“2次反面”“1次正面,1次反面”的可能 性是不相同的,因此,把这3个事件看成基本事件建立的模型不是古 典概型.
由古典概型的概率计算公式得所求概率 P(A)=
2 6
=
1 . 3
反思可以用传统解法,但是基本事件较多;还可以从另一角度巧 妙建立古典概率模型,使基本事件个数较少,理解、运算都较简便.
题型一
题型二
【变式训练1】 求一次投掷两粒颜色不同但质地均匀的骰子,出 现的点数之和为奇数的概率. 解法一:设A表示“出现的点数之和为奇数”,用(i,j)表示“第一粒骰 子出现i点,第二粒骰子出现j点”.显然共有36种可能结果.其中事件A 包括的(i,j)只能为(奇,偶)或(偶,奇),所以包含的基本事件个数为 1 3×3+3×3=18, 故 P(A)= . 2 解法二:设A表示“出现的点数之和为奇数”,若把一次试验的所有 可能结果取为:(奇,奇),(奇,偶),(偶,奇),(偶,偶),则它们也组成等概率 1 总体.基本事件总数为4,A包含的基本事件个数为2, 故 P(A)= .
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安边中学高一年级下学期数学学科导学稿执笔人：邹英总第课时
备课组长签字：包级领导签字：学生：上课时间：7周
集体备课个人空间
一、课题：3.2.2.建立概率模型
二、学习目标
1．理解从不同的角度考虑可以建立不同的概率模型；
2．能够建立概率模型来解决简单的实际问题。
三、教学过程
【自主预习】
阅读教材134-137页
一般地，在解决实际问题中的古典概型时，对同一个古典概型，把
什么看作一个________(即一次试验的结果)是人为规定的，也就是从不
同的______去考虑，只要满足以下两点：
①试验中所有可能出现的基本事件只有______个，每次试验只出现
其中的一个结果；
②每个试验结果出现的可能性______．
就可以将问题转化为不同的________来解决，所得可能结果越____，
那么问题的解决就变得越______．
【合作探究】
合作探究、概率模型的构建
例1、任取一个正整数，求该数的平方的末位数字是1的概率。
合作探究、构建不同的概率模型解决问题
例2、袋中装有除颜色外其他均相同的6个球，其中4个白球、2个红球，
从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：
(1)A：取出的两球都是白球；
(2)B：取出的两球一个是白球，另一个是红球．
- 1 -
【检测训练】
1、一个口袋中有形状、大小都相同的6个小球，其中有2个白球、2个红球和2个黄球。
从中一次随机摸出2个球，试求：
（1）2个球都是红球的概率；（2）2个球同色的概率；
（3）“恰有1个球是白球的概率”是“2个球都是白球的概率”的多少倍？
2、在分别写有1,2，…，9的9张卡片中任意抽取一张，则抽得卡片上的数字能被3整除的概率是( )．
A．1
9
B．
1
6
C．
2
3
D．
1
3
3、有红心1,2,3和黑桃4,5这5张扑克，将牌点向下置于桌上，现从中任意抽取一张，那么抽到的牌为红心的概率为( )．
A．3
5
B．
2
5
C．
1
5
D．
4
5
4、甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是( )．
A．1
2
B．
1
3
C．
1
4
D．
1
5
5、20名高一学生，25名高二学生和30名高三学生在一起座谈，如果任意抽其中一名学生讲话，抽到高一学生的概率是______，抽到高二学生的概率是______，抽到高三学生的概率是______．
6、100个人依次抓阄，决定1件奖品的归属，求最后一个人中奖的概率．
反
思
栏
- 2 -
- 3 -。