人教版八年级上册 第11章 三角形和多边形 讲义(Word版,无答案)
人教版八年级数学上册精品教学课件 第十一章 三角形 多边形的内角和
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°， 用列方程的方法确定x．
解：依题意有 （n+x-2）×180°-（n-2）×180°=360°， 解得x=2． 故x的值是2．
A 方法1：如图，连接AC,
所以四边形被分为两个三角形，
所以四边形ABCD内角和为 180°×2=360°.
B C
方法2：如图，在CD边上任取一点E，连接AE,DE， 所以该四边形被分成三个三角形， 所以四边形ABCD的内角和为 180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3-180°=360°.
解：∵1800÷180＝10， ∴原多边形边数为10＋2＝12. ∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，
可能不变，也可能加1， ∴新多边形的边数可能是11，12，13， ∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.
能力提升：如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数.
【变式题】一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为 1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内 角是多少度？他求的是几边形的内角和？
思路点拨：多边形的内角的度数在0°~180°之间. 解：设此多边形的内角和为x， 则有1125°＜x＜1125°＋180°， 即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°， 因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数， 所以x＝180°×7＝1260°. 所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°. 因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形．
八年级数学上册第十一章三角形11.3多边形及其内角和11.3.1多边形教案新版新人教版
11.3 多边形及其内角和11.3.1 多边形【知识与技能】1.掌握多边形定义及相关概念.2.了解什么是凸多边形,什么是凹多边形.3.掌握正多边形的定义.【过程与方法】复习三角形的有关知识,用类比的方法引出多边形的定义及多边形的对角线概念.运用四边形、五边形等简单的多边形作为例子学习对角线、凸多边形、凹多边形等概念,最后学习正多边形的概念.【情感态度】让学生体验“由特殊到一般”的思维方法,从中体验数学的乐趣.【教学重点】多边形、正多边形的定义及相关概念.【教学难点】1.凸多边形、凹多边形的定义.2.正多边形的定义.一、情境导入,初步认识问题1回顾三角形的定义及边、角、外角的概念,类似地对四边形、五边形、多边形下定义.问题2 如图是五边形ABCDE,连AC、AD,从而引出多边形对角线的定义.问题3 如图,两个四边形ABCD,A1B1C1D1是不同类型的两种四边形,前者是凸四边形,后者是凹四边形,请将两个图形的各边都向两边延长,观察它们的区别,从而探究凸多边形与凹多边形的定义.问题4 画一个正三角形、正方形,从它们的边角特点探究正多边形的定义.【教学说明】全班同学分组讨论,8分钟后交流成果,老师巡回指导,随时了解学习情况.对问题1要顺便指导学生多边形的命名法及表示法.对问题2要求画出五边形的全部对角线,并数一数共有多少条.对问题3要告诉同学们多边形可分为凸多边形和凹多边形两类,今后如果没有特别说明,一般只讨论凸多边形.对问题4,告诉学生要从边角两个方面考虑.教师讲课前,先让学生完成“自主预习”.二、思考探究,获取新知思考为什么正多边形的定义要强调各条边相等,各个角相等？【归纳结论】1.定义：多边形：在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.多边形相邻两边组成的角叫做它的内角,多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.凸多边形与凹多边形：画出多边形的任何一条边所在直线,如果整个多边形都在这条直线的同一侧,这样的多边形叫凸多边形,如果整个多边形不都在这条直线的同一侧,那么这个多边形就是凹多边形.正多边形：各条边都相等,各角都相等的多边形叫做正多边形.2.只有各条边都相等的多边形不一定是正多边形,如菱形的四边都相等,但它不一定是正四边形（即正方形）.只有各角都相等的四边形不一定是正多边形,如长方形的各角都相等,但它不一定是正四边形.三、运用新知,深化理解1.下列图形中是正多边形的是（）A.等边三角形B.长方形C.边长相等的四边形D.每个角都相等的六边形2.如果把一个三角形剪掉一个角,剩余的图形是几边形？3.画出下列多边形的全部对角线,想一想,n边形共有多少条对角线？（提示：n边形共有2)3(nn条对角线）4.某学校七年级六个班举行篮球比赛,比赛采用单循环积分制（即每两个班都进行一次比赛）.一共需进行场比赛.5.四边形的一条对角线将四边形分成几个三角形？从五边形的一个顶点出发,可以画出几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？从n边形的一个顶点出发,可以画出几条对角线？它们将n边形分成几个三角形？（提示：从n边形的一个顶点出发,可以画出（n-3）条对角线,它们把n边形分成（n-2）个三角形.本题为下节课作好铺垫）.【教学说明】题1、2、3由学生自主完成,题4、5让同学们分组讨论,互相交流,再由教师给予指导和总结.【答案】1.A 解析：因为三角形具有稳定性,当三角形的各边相等时,各角也相等,而其他多边形不具有稳定性,因此判定正多边形必须同时具备各边都相等,各内角都相等两个条件.2.解：把一个三角形剪掉一个角分两种情况：第一种情况如图(1)所示,此时剩余部分为三角形；第二种情况如图(2)所示,此时剩余部分为四边形.3.解：如图4.15 解析：本题体现数学与体育学科的综合,解题方法可参照多边形对角线条数的求法,总场数即为多边形的对角线条数加边数.如图所示,共需比赛1562366=+-⨯）（（场）.5.解：四边形可以分成2个三角形；五边形可以画出2条对角线,分成3个三角形；n 边形可以画出（n-3）条对角线,分成（n-2）个三角形.四、师生互动,课堂小结请学生总结本节学习重点,教师将小结内容出示在屏幕上.1.布置作业：从教材“习题11.3”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.学习本课时,可让学生先自主探索再合作交流,小组内、小组之间充分交流后概括所得结论,既巩固了三角形的知识,又用类比的方法引出多边形的有关概念,加深对本课时的学习.。
人教版八年级上册 第11章 三角形和多边形 讲义(Word版)
本文由一线教师精心整理/word 可编辑1 / 11一、三角形相关的概念 （一）三角形的概念三角形和多边形第一部分概念总汇1、三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2、三角形的边：组成三角形的线段叫做三角形的边。
3、三角形的顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。
4、三角形的角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
（二）三角形中的主要线段1、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
2、三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
3、三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段 叫做三角形的角平分线。
（三）三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
（四）三角形的分类1、三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形2、三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）3、把边和角联系在一起，又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。
它是两条直角边相等的直角三角形。
4、在等腰三角形中，相等的两边都叫腰，另一边叫底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
（五）三角形的三边关系定理及推论1、三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
2、三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
（六）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180度。
注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。
（七）三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
新人教版八年级数学上册第11章三角形11.3多边形及其内角和《11.3.2 多边形的内角和》优质课件
探索n 边形的外角和
我们也可以在问题4 的基础上这样理解多边形外角 和等于360°．
如图，从多边形的一 个顶点A 出发，沿多边形 的各边走过各顶点，再回 到点A，然后转向出发的 方向．
A
探索n 边形的外角和
我们也可以在问题4 的基础上这样理解多边形外角 和等于360°．
在行程中转过的各个
角的和，就是多边形的外
180°× 3 = 540 °． B
E D
C
动手操作，探究新知
如图，从六边形的一个顶点出发，可以作___3__条 对角线，它们将六边形分为___4__个三角形，六边形的 内角和等于180°×__4__=___7_2_0__°．
F A
E
B
D
C
归纳总结，获得新知
思考 你能从四边形、五边形、六边形的内角和的 研究过程获得启发： （1）十边形的内角和为 1 440 度． （2）已知一个多边形的内角和为1 080°，则它的边数
为___8___．
动脑思考，例题解析
例2 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一
组对角有什么关系？
C
解：如图，四边形ABCD 中，
D
∠A +∠C =180°．
∵ ∠A +∠B +∠C +∠D
应是整数，因此不存在这样的多边形．
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）我们是怎样得到“多边形外角和等于360°”这
一结论的？
布置作业
教科书习题11.3第6题．
问题4 你能仿照上面的方法求n 边形（n 是不小 于3 的任意整数）的外角和吗？
因为n 边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角， 它们的和是180°，所以n 边形内角和加外角和等于 n ·180°，所以， n 边形的外角和为：
新人教版八年级上册数学第十一章知识点
第十一章三角形、知识框架:二、知识概念：1. 三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形2. 三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边3. 高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高•4•中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线5. 角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.6. 三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7. 多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形8. 多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角9. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角10. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11. 正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形12. 平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13. 公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180 °⑵三角形外角的性质：性质1 :三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和性质2 :三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角⑶多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）• 180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360° .⑸多边形对角线的条数：①从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分成（n -2）个三角形.②n边形共有血勺条对角线.。
人教版八年级上册数学精品教学课件 第11章 三角形 多边形及其内角和 多边形
的多边形指凸多边形．本节我们只讨论凸多边形.
典例精析 例1 凸六边形纸片剪去一个角后，得到的 多边形的边数可能是多少？画出图形说明． 解：∵ 六边形截去一个角的边数有增加 1、减少 1、 不变三种情况，∴ 新多边形的边数有 7，5，6 三种 情况，如图所示.
总结 一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能 增加了一条，也可能不变或减少了一条.
正三角形 正方形 正五边形 正六边形
想一想：下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明 为什么？
(四条边都相等)
(四个角都相等)
答：都不是，第一个图形不符合四个角都相等；
第二个图形不符合各边都相等.
注意 判断一个多边形是不是正多边形，就看“各边 都相等，各角都相等”这两个条件是否同时具备.
当堂练习
1. 下列多边形中，不是凸多边形的是（ B ）
解：设这个多边形为 n 边形，则有 (n - 3) 条对角线， 所分得的三角形个数为 (n - 2)， ∴ n - 3 + n - 2 = 21， 解得 n = 13． 答：该多边形的边数为 13．
画一画：画出下列多边形的全部对角线.
三 正多边形 定义： 像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形.
在平面内，由一些线段首尾顺次相接 组成的封闭图形叫做多边形.
思考：比较多边形的定义与三角形的定义，为什么要
强调“在平面内”呢？怎样命名多边形呢？ 这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个
平面内，而四点，五点，甚至更多的点就有可能不 在同一个平面内.
多边形用图形名称以及它的各个顶点的字母表示. 字母要按照顶点的顺序书写，可以按顺时针或逆时 针的顺序.
从同一顶点
引出的对角 0
1
2
人教版八年级数学上册第十一章三角形知识点 整理(完整版)
人教版八年级数学上册知识点整理（完整版）第十一章三角形一、三角形的有关概念（一）三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
（二）基本元素1、三个顶点：点A、点B、点C2、三个内角：∠A、∠B、∠C3、三条边（1）表示方法①线段AB、AC、BC②a（∠A所对的边BC用a表示）、b、c（2）三角形的三边关系（依据：两点之间线段最短）①三角形两边之和大于第三边，数学语言：a+b>c，a+c>b，b+c>a。
；②三角形两边之差小于第三边，数学语言：a−b<c，a−c<b，b−c<a。
③判断三条线段能否组成三角形，只需判断“两条较短的线段之和大于第三条”即可。
4、三角形的表示方法：顶点是A、B、C的三角形，记作∆ABC，读作“三角形ABC”。
（三）三角形的稳定性：三角形三条边的长度确定之后，三角形的形状就唯一确定了。
二、三角形的分类（一）按边分类1、三边都不相等的三角形2、等腰三角形（1）概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
（2）等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形（特殊的等腰三角形）。
（二）按角分类1、锐角三角形：三个内角都是锐角。
2、直角三角形：有一个内角是直角的三角形。
3、钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形。
三、与三角形有关的线段（一）三角形的高1、定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的这条边上的高。
从∠ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做∠ABC 的边BC上的高，记作AD∠BC于点D。
3、几何语言（1）AD是三角形的边BC上的高。
（2）AD⊥BC于点D。
4、三角形三条高的位置（1）锐角三角形：三条高及其交点都在三角形内部。
（2）直角三角形：有两条高与两条直角边重合，斜边上的高在三角形内部，三条高交于三角形的直角顶点。
人教版数学八年级上册教师辅导讲义-第十一章三角形
人教版数学八年级上册教师辅导讲义-第十一章三角形work Information Technology Company.2020YEAR三角形1．“三角形两边的和大于第三边”在实际中的应用；2．三角形的“三线”（高、中线、角平分线）在实际中的应用；3．三角形、多边形内（外）角和定理及其应用。
一、概念由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相连而构成的平面图形叫三角形。
注意其中：①不在同一直线上（或说不共线）；②是三条线段；③首尾顺次相连这三个条件缺一不可。
二、分类（1）按角分类：分为斜三角形（包括锐角三角形和钝角三角形）直三角形（即直角三角形）（2）按边分类：分为不等边三角形等腰三角形（包括只有两边相等/或说是底腰不等的三角形和三边相等/即等边的三角形）注：①、等边三角形是特殊的等腰三角形；②、一个三角形中最多只有一个钝角，最少有二个锐角。
三、三角形的三边关系1、三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边。
( 即 a+b>c ,或a+c>b ,或b+c>a )2、推论：三角形的任意两边之差小于第三边。
特别注意：（1）、以上两点就是判断任意给定的三条线段能否组成三角形的条件，但在实际做题时，并不需要去分析全部三组边的大小关系，可简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条较短线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条较长线段之差的绝对值时，即可组成三角形。
（2）、已知三角形的两边a，b(a>b)，则第三边c的取值范围为：a–b < c < a + b（3）、并不需要知道三条线段的具体长度，而只要根据它们长度的比值，即可判断是否可组成三角形。
例ⅰ：现有长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任取三根，能组成_______个三角形。
例ⅱ：下列几组长度的线段能组成三角形的是：_____________①、3a ,5a ,8a(a>0) ②、a² + 3 ,a² + 4 ,a² + 7 (a≠0) ③、3a , 4a , 2a + 1 (a>1/5)例ⅲ：已知M是△ABC内一点，试说明：AB + AC > MB + MC (图自画)四、有关三角形边长的综合问题1、等腰三角形：等腰三角形有两相等的腰和一底边，题目中往往并不直接说明腰和底边，因此，解题时要分类讨论，以免丢解。
八年级数学上册第十一章三角形11.3.2多边形的内角和同步讲义(新人教版).ppt
(1)求证：DB平分∠ADC；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD，
∠CBD＋∠CDB＝90°，
∴∠ADB＝∠CDB，即DB平分∠ADC；
15
课后巩固
(2)求证：∠ABC＝∠EDC. ∵∠A＋∠ABC＋∠C＋∠ADC＝360°， ∠A＝∠C＝90°， ∴∠ABC＋∠ADC＝180°， ∵∠ADC＋∠EDC＝180°， ∴∠ABC＝∠EDC.
7
课堂导学
【答案】解：方法一：设此正多边形的边数为n，则
：
(n－2)·180＝120·n，解得n＝6.
答：这个多边形的边数为6.
方法二：设此正多边形的边数为n，则： (180－120)·n＝360，解得n＝6.
答：这个多边形的边数为6. 【点拔】本题考查了多边形的内角和及外角和定理
：n边形的内角和为(n－2)×180°；n边的外角和为 8
11.3.2 多边形的内角 和
1 …核…心…目…标…..
…
2 …课…前…预…习…..
…
3 …课…堂…导…学…..
…
4 …课…后…巩…固…..
…
5 …能…力…培…优…..
…
1
核心目标
掌握多边形的外角 和及内角和公式，会应用公 式进行计算．
2
课前预习
1．n边形内角和等于_(_n_－_2_)_•_1_8_0_°．
∴多边形的边数为11.
13
课后巩固
16．已知：如下图，AB∥CD，求图形中 的∠E的度数．
∵AB∥CD，∴∠B＝180°－∠C＝120° ，x＝(5－2)×180°－∠A－∠B－∠C－ ∠D＝85°.
14
课后巩固
17．如下图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝
八年级数学人教版上册第11章三角形11.3多边形及其内角和(图文详解)
八年级数学上册第11章三角形
2.用边长相等的两种正多边形铺地面，哪两种正多边形 能铺满地面？
八年级数学上册第11章三角形
正三角形和正方形
【例】已知四边形ABCD，∠A+∠C=180°D ，
求∠B+∠D.
A
B
解:四边形的内角和为: (4-2) ×180 =360° ∠A+∠C=180° 所以∠B+∠D= 360°- (∠ A+∠C)=180°
八年级数学上册第11章三角形
1.十二边形的内角和是 1800° . 2.一个多边形当边数增加1时，它的内角和增加 180° . 3.一个多边形的内角和是720°，则此多边形共有_六____个 内角. 4.如果一个多边形的内角和是1440度，那么这是 十 边 形.
八年级数学上册第11章三角形
4.如果一个多边形的内角和是1440度，那么这是______ 边形. 【解析】由多边形的内角和公式可得:
（n - 2）· 180 = 1440 (n - 2) = 8 n = 10 ∴这是十边形. 答案：十
八年级数学上册第11章三角形
5、在四边形ABCD中，∠A=120度，∠B：∠C：∠D =3：4：5，求∠B，∠C，∠D的度数. 【解析】设∠B，∠C,∠D的度数分别是3x,4x,5x度由四 边形的内角和等于360度可得： 120 + 3x + 4x + 5x = 360 12x = 240 x = 20 ∴ 3x = 60
4x = 80 5x = 100 答：∠B,∠C，∠D的度数分别为60,80,100度.
人教版八年级上册 第11章 三角形(5)多边形内角和 讲义(无答案)-word文档
140°三角形（5）——多边形内角和班别：_________ 姓名： 学号：________学习目标：了解多边形的有关概念，能求出多边形的内角和。
教学过程【环节一】知识回顾1、在ABC ∆中，已知︒=∠80A ，︒=∠52B ，则_________.C ∠=2、求出下列图形中∠1的度数。
（1）∠1 = （2）∠1 = （3）∠3、求出下列图中x 的值：（1） x =________ （2） x =________ 【环节二】新课学习一、多边形的有关概念1、多边形——由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
如果一个多边形由n 条线段组成，这个多边形就叫做n 边形。
如图，多边形是 边形2、对角线——连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线 。
例1：如图，请画出下列多边形中点A 与其他顶点的对角线，并回答问题：四边形被对角线分成 个三角形 五边形被对角线分成 个三角形【环节三】多边形多边形的内角和：问题：已知“三角形的内角和=180°”四边形的内角和是多少？五边形呢？探索1：如图所示，（1）连接AC ，四边形ABCD 被拆分为___个三角形（2）四边形的内角和=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=△ABC 的内角和+△ADC 的内角和 =__ _°+__ _°=2× °=（4—2）×°归纳：四边形的内角和=（边数—2）×_______°探索2：如图所示，（1）连接AC、AD，五边形ABCDE被拆分为___个三角形（2）五边形的内角和=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠8+∠9=___°+___°+___°Array =3×°=（5—2）×归纳：五边形的内角和=（边数—2）×_______°公式：n边形的内角和＝（n—2）×_______°例1、（1）十边形的内角和是提示：根据内角和公式，十边形内角和=（ -2）×180°（2）九边形的内角和是例2、一个多边形的内角和是1080°，求多边形的边数。
人教版八年级数学第十一章三角形考点例析(三)多边形及其内角和(word版无答案)
第十一章三角形第三部分：多边形及其内角和一、学习目标1．知道多边形、多边形的内角、多边形的外角、多边形的对角线和正多边形的有关概念．2．知道多边形的内角和与外角和定理；运用多边形内角和与外角和定理进行有关的计算．二、知识精讲知识点1：基本概念（1）在平面内，由一些线段相接组成的叫做多边形。
（2）多边形组成的角叫做多边形的内角。
（3）多边形的边与它的的邻边的组成的角叫做多边形的外角。
（4）连接多边形的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
（5）都相等，都相等的多边形叫做正多边形。
【例1】探究：画出下列多边形的对角线．回答问题：（1）从四边形的一个顶点出发可以画条对角线，把四边形分成了个三角形；四边形共有条对角线．（2）从五边形的一个顶点出发可以画条对角线，把五边形分成了个三角形；五边形共有条对角线．（3）从六边形的一个顶点出发可以画条对角线，把六边形分成了个三角形；六边形共有条对角线．（4）猜想：①从100 边形的一个顶点出发可以画条对角线，把100 边形分成了个三角形；100 边形共有条对角线．②从n边形的一个顶点出发可以画条对角线，把n分成了个三角形；n 边形共有条对角线．【题组训练】：1.从n边形的一个顶点出发可作条对角线，从n边形n个顶点出发可作条对角线，除去重复作的对角线，则n边形的对角线的总数为条．2.过m边形的一个顶点有7条对角线，n 边形没有对角线，k 边形有2条对角线，则（m-k）3.过十边形的一个顶点可作出条对角线，把十边形分成了个三角形。
4.十二边形共有条对角线，过一个顶点可作条对角线，可把十二边形分成个三角形。
5.过n边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是6.一个多边形的对角线的条数等于它的边数的4倍，这个多边形的边数是。
7.下列图形中，是正多边形的是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.长方形D.正方形8.九边形的对角线有（）A.25 条B.31 条C.27 条D.30 条知识点2：多边形的内角和与外角和n 边形的内角和= ;任意多边形的外角和都为 .【例1】探索规律：【例2】一个多边形的内角和为1980°，求多边形的边数。
人教版八年级上册 第十一章 和三角形有关的线段 讲义(无答案)
人教版八年级上册第十一章和三角形有关的线段讲义（无答案）第十一章三角形第一节与三角形有关的线段知识点一：三角形概念及分类1、学习三角形相关概念：（1）三角形概念：由不在同一直线上的三条线段所组成的图形叫做三角形。
如图，线段、、是三角形的边；点A、B、C是三角形的。
、、是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。
图中三角形记作。
（2）三角形按角分类可分为、、。
（3）三角形按边分类可分为三角形 _____________（4）如图1，等腰三角形ABC中，AB=AC,腰是，底是 ,顶角指，底角指。
等边三角形DEF是特殊的三角形，DE= = 。
图1练习一：1、如图2。
下列图形中是三角形的有。
图22、如图3。
中有几个三角形？用符号表示这些三角形．AB CDE FAB C知识点二：知道三角形三边的不等关系，并判断三条线段能否构成三角形1、探究：请同学们画一个△ABC，分别量出AB，BC，AC的长，并比较下列各式的大小：AB+BC_____AC AB+ AC _____ BC AC +BC _____ AB从中你可以得出结论：练习二：1、下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？（1）3，4，8；（2）5，6，11；（3）5，6，102、有四根木条，长度分别是12cm、10cm、8cm、4cm，选其中三根组成三角形，能组成三角形的个不同的三角形。
3、如果三角形的两边长分别是3和5，那么第三边长可能是（）A、1B、9C、3D、104、一个三角形有两条边相等，周长为20cm，三角形的一边长6cm，求其他两边长。
知识点三：理解三角形的高、中线与角平分线的概念，掌握三角形的高、中线与角平分线的画法并会运用其性质三角形高、三角形中线（中线交点为重心）、三角形角平分线1、在下列图形中分别作出点A到BC的垂线段。
在上面的图形当中分别连接AB、AC组成△ABC是否影响过点A做BC的垂线段？思考：根据三角形高的定义，三角形每条边上的高有几条？共几条？根据上面画的图形你总结一下不同类型三角形的高有何特点？2、三角形的中线 （1）根据定义总结三角形中线的画法： a 、用刻度尺量出一边长，找出它的 。
人教版八年级上册 第11章 三角形 讲义(Word版,无答案)
第一讲三角形一、知识精讲三角形是最简单、最基本的几何图形，它不仅是研究其他图形的基础，而且在解决实际问题中也有着广泛的应用.本节知识包含：三角形三边关系定理、三角形内角和定理及推论，它们在线段、角度的计算、图形的计数，基本模型的变式等.二、典型例题【例1】已知△ABC中，∠CAB＞∠CBA，CD平分∠ACB，E 为直线AB上一点，过E作E D垂直于C D，垂足为D．（1）当E与A重合时，如图 1，求证：∠BED =12(∠CAB－∠CBA)（2）当E在A B延长线上时，如图 2，（1）中的结论是否仍成立，写出证明过程．【练1】如图，∠D=40°，∠C=30°，A E、B E平分∠D A C、∠C B D，求∠A E B的度数.例2：如图已知点P为△ABC内任意一点，证明：PA+PB+PC＞1（AB+BC+AC)2【练2】P是△ABC内一点，连接BP，PC延长BP交AC与点D .求证：AB+AC > PB+PC.图形归纳：【例3】如图，P A、P B分别平分△A O B的两个外角，A E⊥P B，求∠P A E.【练3】如图x轴、y轴分别平分∠DBC、∠EAD，求∠AED+∠BCD的值.【例4】如图1，△ABC中AD、AE分别为高、角平分线，F在BC的延长线上，过 F作FG⊥AE于G且交AB于 H.（1）求证：∠DAE =∠F；（2）求证：2∠DAE =∠ACB－∠B；（3）△ABC中，若∠ACB为钝角，其它条件不变，如图2，请画出图形并直接写出∠DAE、∠ACB、∠B之间的数量关系.【练4】已知在平面直角坐标系中，M、N分别为x轴、y轴上的两个动点，M在原点的左侧，N在原点的上方．(1)如图1，射线MO、NO平分∠BMC、∠DNC，∠BMC 与∠DNC的各边分别交于A、B、C、D，试判断∠BAD、∠C之间有何确定的数量关系？证明你的结论.（2）如图 2，ND平分∠MNO，ND交x轴于E，∠ FEO =1∠3NEF，且∠ FMO =1∠ NMF，∠MFE = 11.25°，求 n的值．n【例5】已知P为第四象限一动点，Q为x轴负半轴上一动点，R在P Q下方且为y轴负半轴上一动点．（1）如图 1，若 P（2，－1），Q（－3，0），R（0，－5），求S△PQR。
人教版八年级上学期 数学 第十一章 三角形 辅导讲义(解析版)
2019年秋八年级上学期 第十一章 三角形 辅导讲义一．解答题〔共20小题〕1．正多边形的一个内角是120度 ,多边形是几边形？内角和是多少？2．如图〔1〕中是一个五角星 ,你会求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的值吗？〔2〕图中的点A 向下移到BE 上时 ,五个角的和〔即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E 〕有无变化？如图〔2〕说明你的结论的正确性．〔3〕把图〔2〕中的点C 向上移动到BD 上时 ,五个角的和〔即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E 〕有无变化？如图〔3〕说明你的结论的正确性．3．〔1〕如下图 ,在△ABC 中 ,AD 丄BC 于D ,AE 平分∠BAC ,且∠C 大于∠B ,求证：∠EAD=21〔∠C ﹣∠B 〕．〔2〕假设把问题〔1〕中的“AD 丄BC 〞改为“点F 为EA 上一点且FD 丄BC 于D 〞 ,画出新的图形 ,并试说明∠EFD=21〔∠C ﹣∠B 〕． 〔3〕假设把问题〔2〕中的“F 为EA 上一点〞改为“F 为AE 延长线上的一点〞 ,那么问题〔2〕中的结论成立吗？请说明你的理由．4．如图 ,PB 和PC 是△ABC 的两条外角平分线． ①求证：∠BPC=90°﹣21∠BAC ． ②根据第①问的结论猜测：三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？5．如下图 ,AD ,BE 是BC ,AC 边上的高 ,O 是AD ,BE 的交点 ,假设∠AOB=∠C+20度．求∠OBD ,∠C ．6．一个多边形的每个外角都相等 ,且比它的内角小140° ,求它的边数和每个内角的度数．7．小明说 ,在一个三角形中 ,如果两个角不相等 ,那么这两个角所对的边也不相等 ,你认为这个结论成立吗？如果成立 ,你能证明它？8．：△ABC 的周长为18cm ,AB 边比AC 边短2cm ,BC 边是AC 边的一半 ,求△ABC 三边的长．9．如图．AM 、CM 分别平分∠BAD 和∠BCD ．〔1〕假设∠B=32゜ ,∠D=38゜ ,求∠M 的度数；〔2〕求证：∠M=21〔∠B+∠D 〕． 10．如图 ,在△ABC 中 ,∠ABC=∠ACB ,∠A=40° ,P 是△ABC 内一点 ,且∠1=∠2 ,求∠BPC 的度数．11．一个多边形的每一个内角都相等 ,一个内角与一个外角的度数之比为m ：n ,其中m ,n 是互质的正整数 ,求这个多边形的边数〔用m ,n 表示〕及n 的值．12．如图1、图2、图3中 ,点E 、D 分别是正△ABC 、正四边形ABCM 、正五边形ABCMN 中以C 点为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点 ,且△ABE 与△BCD 能互相重合 ,BD 延长线交AE 于点F ．〔1〕求图1中 ,∠AFB 的度数；〔2〕图2中 ,∠AFB 的度数为 ,图3中 ,∠AFB 的度数为 ．13．如下图．∠A=10° ,∠ABC=90° ,∠ACB=∠DCE ,∠ADC=∠EDF ,∠CED=∠FEG ．求∠F 的度数．14．如图 ,四边形ABCD 中 ,AB ∥CD ,P 为BC 上一点 ,设∠CDP=α ,∠CPD=β ,当点P 在BC 上移动时 ,猜测α ,β与∠B 的关系 ,并说明理由．15．请你来推算：〔1〕一只蚂蚁绕一个矩形的水池边缘爬行 ,爬完一圈后 ,它的身体转过的角度之和是多少？〔2〕如果它绕一个不规那么的四边形的边缘爬行呢？〔如图2〕 ,为什么？〔3〕如果它绕五边形的水池边缘爬行呢？你是怎么推算出来的？如果绕n 边形呢？16．在△ABC 中 ,如果∠A=21∠B=21∠C ,求∠A ,∠B ,∠C 分别等于多少度． 17．如下图 ,在四边形ABCD 中 ,∠C 与∠D 的平分线相交于P ,且∠A=70° ,∠B=80° ,求∠P 的度数．18．四边形ABCD 中 ,∠A ：∠B=7：5 ,∠A ﹣∠C=∠B ,∠C=∠D ﹣40° ,求各内角的度数．19．AD 是△ABC 的一条高 ,也是△ABC 的角平分线 ,假设∠B=40° ,求∠BAC 的度数．20．一个零件的形状如下图 ,零件要求∠A 必须等于90° ,∠B 和∠C 分别为45°和35° ,检验工人量得∠BDC=159° ,就断定这个零件不合格 ,你知道为什么吗？2019年秋八年级上学期 第十一章 三角形 辅导讲义参考答案与试题解析一．解答题〔共20小题〕1．【分析】一个正多边形的每个内角都相等 ,根据内角与外角互为邻补角 ,因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度 ,利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数 ,即多边形的边数 ,根据内角和公式即可求出内角和．【解答】解：外角是180﹣120=60度 ,360÷60=6 ,那么这个多边形是六边形．内角和为：〔6﹣2〕×180°=720°．【点评】考查了多边形内角与外角 ,根据外角和的大小与多边形的边数无关 ,由外角和求正多边形的边数 ,是常见的题目 ,需要熟练掌握．2．【分析】〔1〕如图 ,连接CD ,把五个角和转化为同一个三角形内角和．根据三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和 ,再根据三角形内角和定理可得．〔2〕〔3〕五个角转化为一个平角．【解答】解：〔1〕如图 ,连接CD ．在△ACD 中 ,根据三角形内角和定理 ,得出∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB=180°．∵∠1=∠B+∠E=∠2+∠3 ,∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E=∠A+∠B+∠E+∠ACE+∠ADB=∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB=180°； 〔2〕无变化．根据平角的定义 ,得出∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°．∵∠BAC=∠C+∠E ,∠EAD=∠B+∠D ,∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°；〔3〕无变化．∵∠ACB=∠CAD+∠D ,∠ECD=∠B+∠E ,∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°．【点评】此题考查的是三角形外角的性质及三角形内角和定理 ,利用了转化思想求解 ,〔1〕是把五个角转化在一个三角形中求解 ,〔2〕〔3〕是把五个角转化为一个平角求解．3．【分析】〔1〕在Rt △ADE 中 ,可得∠AED+∠DAE=90° ,又由∠AED=∠AEC=180°﹣∠C ﹣∠CAE ,且AE 平分∠BAC ,即可证得：∠EAD=21〔∠C ﹣∠B 〕． 〔2〕在△EFD 中 ,由三角形的外角性质知：∠FED=∠AEC=∠B+21∠BAC ,所以∠B+21∠BAC+∠EFD=90°；联立△ABC 中 ,由三角形内角和定理得到的式子 ,即可推出∠EFD ,∠B ,∠C 的关系．〔3〕在△EFD 中 ,由三角形的外角性质知：∠FED=∠AEC=∠B+21∠BAC ,所以∠B+21∠BAC+∠EFD=90°；联立△ABC 中 ,由三角形内角和定理得到的式子 ,即可推出∠EFD ,∠B ,∠C 的关系．【解答】〔1〕证明：在Rt △ADE 中 ,∵∠AED+∠DAE=90° ,∴∠DAE=90°﹣∠AED ,∵∠AED=∠AEC=180°﹣∠C ﹣∠CAE ,且AE 平分∠BAC ,∴∠CAE=21∠BAC=21〔180°﹣∠C ﹣∠B 〕 , ∴∠DAE=90°﹣[180°﹣∠C ﹣21〔180°﹣∠C ﹣∠B 〕]=21〔∠C ﹣∠B 〕． 〔2〕由三角形的外角性质知：∠FED=∠AEC=∠B+21∠BAC , 故∠B+21∠BAC+∠EFD=90°；① 在△ABC 中 ,由三角形内角和定理得：∠B+∠BAC+∠C=180° , 即：21∠C+21∠B+21∠BAC ═90° ,② ②﹣① ,得：∠EFD=21〔∠C ﹣∠B 〕． 〔3〕由三角形的外角性质知：∠FED=∠AEC=∠B+21∠BAC , 故∠B+21∠BAC+∠EFD=90°；① 在△ABC 中 ,由三角形内角和定理得：∠B+∠BAC+∠C=180° , 即：21∠C+21∠B+21∠BAC ═90° ,② ②﹣① ,得：∠EFD=21〔∠C ﹣∠B 〕． 【点评】此题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质以及角平分线的定义．此题难度适中 ,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．4．【分析】①根据三角形的内角和定理、角平分线定义和三角形的外角的性质即可证明；②根据①的结论 ,知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角 ,那么该三角形是锐角三角形．【解答】①证明：∵PB 和PC 是△ABC 的两条外角平分线 ,∴∠P=180°﹣〔∠PBC+∠PCB 〕 =180°﹣21〔∠CBD+∠BCE 〕 =180°﹣21〔∠A+∠ACB+∠BCE 〕 =180°﹣21〔∠A+180°〕 =90°﹣21∠A ； ②根据①的结论 ,知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角 , 三个角都是锐角的三角形是锐角三角形 ,故该三角形是锐角三角形．【点评】此题综合运用了三角形的内角和定理、角平分线定义和三角形的外角的性质． 注意：三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．5．【分析】从图形中寻找∠OBD 与∠C 关系 ,运用外角和定理 ,直角三角形的性质寻找∠OBD 与∠C 关系构建方程求解．【解答】解：∵∠AOB=90°+∠OBD=∠C+20° ,∠OBD+∠C=90° ,∴∠C=90°﹣∠OBD ,∴90°+∠OBD=90°﹣∠OBD+20° ,∴∠OBD=10° ,∠C=80°．【点评】此题的关键是寻找∠OBD 与∠C 关系 ,运用外角和定理寻找∠OBD 与∠C 关系构建方程求解．6．【分析】根据邻补角的定义 ,内角和的公式与外角和的特征 ,即可求出多边形的边数和每个内角的度数．【解答】解：设每个内角的度数为n° ,那么每个外角的度数为〔n°﹣140°〕 ,由n+〔n ﹣140〕=180 ,得n=160．即每个内角为160° ,从而每个外角为20°．由于360÷20=18 ,所以这个多边形为十八边形．【点评】此题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征．同时考查了互为邻补角的两个角的和为180°．7．【分析】先假设AB=AC ,根据“等边对等角〞定理得出与条件相矛盾的结论 ,从而证明在一个三角形中 ,如果两个角不相等 ,那么这两个角所对的边也不相等．【解答】证明：假设AB=AC ,那么根据“等边对等角〞定理可得∠C=∠B ,但条件是∠B ≠∠C ．“∠C=∠B 〞与条件“∠B ≠∠C 〞相矛盾 ,因此AB ≠AC ．【点评】此题考查了反证法．先假设命题的结论不成立 ,然后由此推导出了与或公理或已证明过的定理相矛盾 ,从而证明命题的结论一定成立．这也是证明命题的一种方法 ,我们把它叫做反证法．8．【分析】设AC 的边长为xcm ,分别表示出AB 、BC 边的长为〔x ﹣2〕cm ,21xcm ,根据三角形的周长为18cm ,列出方程即可求出三边的长．【解答】解：设AC 边长为xcm ,那么AB 边长为〔x ﹣2〕cm ,BC 边长为21x , 根据题意 ,得x+〔x ﹣2〕+21x=18 , 解得x=8 ,∴x ﹣2=6 ,21x=4 , 即AB=6cm ,BC=4cm ,AC=8cm ．【点评】此题是三角形周长与一元一次方程相结合的题 ,根据周长列一元一次方程是解题的关键．【分析】〔1〕根据三角形内角和定理用∠B 、∠M 表示出∠BAM ﹣∠BCM ,再用∠B 、∠M 表示出∠MAD ﹣∠MCD ,再根据角平分线的定义可得∠BAM ﹣∠BCM=∠MAD ﹣∠MCD ,然后求出∠M 与∠B 、∠D 关系 ,代入数据进行计算即可得解；〔2〕根据三角形内角和定理用∠B 、∠M 表示出∠BAM ﹣∠BCM ,再用∠B 、∠M 表示出∠MAD ﹣∠MCD ,再根据角平分线的定义可得∠BAM ﹣∠BCM=∠MAD ﹣∠MCD ,然后求出∠M 与∠B 、∠D 关系．【解答】〔1〕解：根据三角形内角和定理 ,∠B+∠BAM=∠M+∠BCM ,∴∠BAM ﹣∠BCM=∠M ﹣∠B ,同理 ,∠MAD ﹣∠MCD=∠D ﹣∠M ,∵AM 、CM 分别平分∠BAD 和∠BCD ,∴∠BAM=∠MAD ,∠BCM=∠MCD ,∴∠M ﹣∠B=∠D ﹣∠M ,∴∠M=21〔∠B+∠D 〕=21〔32°+38°〕=35゜； 〔2〕证明：根据三角形内角和定理 ,∠B+∠BAM=∠M+∠BCM ,∴∠BAM ﹣∠BCM=∠M ﹣∠B ,同理 ,∠MAD ﹣∠MCD=∠D ﹣∠M ,∵AM 、CM 分别平分∠BAD 和∠BCD ,∴∠BAM=∠MAD ,∠BCM=∠MCD ,∴∠M ﹣∠B=∠D ﹣∠M ,∴∠M=21〔∠B+∠D 〕． 【点评】此题考查了三角形的内角和定理 ,角平分线的定义．注意利用“8字形〞的对应角相等求出角的关系是解题的关键 ,要注意整体思想的利用．10．【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ACB 的度数 ,再由∠1=∠2得出∠2+∠3的度数 ,根据三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵∠ABC=∠ACB ,∠A=40° ,∴∠ACB=21〔180°﹣40°〕=70° ,即∠1+∠3=70°． ∵∠1=∠2 ,∴∠2+∠3=70° ,在△BPC 中 ,∠BPC=180°﹣〔∠2+∠3〕=180°﹣70°=110°．【点评】此题考查的是三角形内角和定理 ,熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． 11．【分析】设多边形的边数为a ,多边形内角和为〔a ﹣2〕180度 ,外角和为360度得到m ：n=180〔a ﹣2〕：360 ,从而用m 、n 表示出a 的值．【解答】解：设多边形的边数为a ,多边形内角和为〔a ﹣2〕180度 ,外角和为360度 , m ：n=180〔a ﹣2〕：360a=()nn m +2 , 因为m ,n 是互质的正整数 ,a 为整数 ,所以n=2 ,故答案为：()nn m +2 ,2． 【点评】此题考查了多边形的内角与外角 ,解答此题的关键在于熟练掌握多边形内角和与多边形外角和．【分析】〔1〕由全等三角形的性质可得出∠D=∠E ,由对顶角相等结合三角形内角和定理即可得出∠BFE=∠BCD ,再根据邻补角互补即可得出∠AFB=∠ACB ,结合等边三角形内角的度数即可得出结论；〔2〕结合〔1〕即可得出：∠AFB=∠BCM ,结合多边形内角和定理以及正多边形的性质即可得出结论．【解答】解：〔1〕∵△ABE与△BCD能互相重合 ,∴∠D=∠E ,∵∠DBC=∠EBF ,∴∠BFE=180°﹣∠E﹣∠EBF=180°﹣∠D﹣∠B=∠BCD．∵∠BCD+∠ACB=180° ,∠ACB=60° ,∠AFB+∠BFE=180° ,∴∠AFB=∠ACB=60°．〔2〕同理可得出：∠AFB=∠BCM ,∵四边形ABCD为正方形 ,五边形ABCMN为正五边形 ,∴图2中∠BCM=90° ,图3中∠BCM=108°．故答案为：90°；108°．【点评】此题考查了全等三角形的性质、正多边形的性质、三角形内角和定理、邻补角以及多边形内角与外角 ,解题的关键是：〔1〕通过全等三角形的性质结合角的计算找出∠AFB=∠ACB；〔2〕根据多边形内角和定理以及正多边形的性质找出每个内角的度数．13．【分析】根据直角三角形的两个锐角互余 ,得∠ACB=80° ,结合条件和三角形的外角的性质 ,求得∠ADC=70° ,依此类推即可求解．【解答】解：在△ABC中 ,∠A=10° ,∠ABC=90° ,∴∠ACB=80° ,∵∠DCE=∠ACB=80° ,在△ACD中 ,∠DCE是它的一个外角 ,∴∠DCE=∠A+∠ADC ,∴∠ADC=70° ,∠EDF=∠ADC=70°．在△ADE中 ,∠EDF是它的一个外角 ,∴∠EDF=∠A+∠AED ,∴∠AED=60° ,∠FEG=∠AED=60°．在△AEF中 ,∠FEG是它的一个外角 ,∴∠FEG=∠A+∠F ,∴∠F=∠FEG﹣∠A=60°﹣10°=50°．【点评】此题综合运用了三角形的内角和定理及其推论．14．【分析】在△CDP中 ,先由三角形内角和为180° ,得出α+β=180°﹣∠C；再由AB∥CD ,根据平行线的性质 ,得出∠B=180°﹣∠C；从而得出α+β=∠B．【解答】解：在△CDP中 ,∵∠CDP+∠CPD+∠C=180° ,∠CDP=α ,∠CPD=β ,∴α+β=∠CDP+∠CPD=180°﹣∠C；∵AB∥CD ,∴∠B+∠C=180° ,∴∠B=180°﹣∠C；∴α+β=∠B．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理及平行线的性质．15．【分析】蚂蚁身体转过的角度之和就是多边形的外角和 ,因而是360度．多边形的外角和与多边形的边数无关 ,因而水池是矩形 ,不规那么的四边形、五边形 ,n 边形都有相同的结论．【解答】解：〔1〕∵各角是矩形的外角 ,∴蚂蚁身体转过的角度之和是360°．故蚂蚁的身体转过的角度之和是360°；〔2〕∵各角是不规那么的四边形的外角 ,∴蚂蚁身体转过的角度之和是360°．故蚂蚁的身体转过的角度之和是360°；〔3〕∵各角是五边形的外角 ,∴蚂蚁身体转过的角度之和是360°；∵各角是n 边形的外角 ,∴蚂蚁身体转过的角度之和是360°．故蚂蚁的身体转过的角度之和都是360°．【点评】此题考查了多边形的外角和定理．多边形的外角和是360度 ,多边形的外角和与多边形的边数无关．16．【分析】由三角形内角和定理和条件得出∠A+2∠A+2∠A=180° ,求出∠A=36° ,即可得出∠B=∠C=72°．【解答】解：∵∠A=21∠B=21∠C , ∴∠B=∠C=2∠A ,∵∠A+∠B+∠C=180° ,∴∠A+2∠A+2∠A=180° ,解得：∠A=36° ,∴∠B=∠C=72°．【点评】此题考查了三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理 ,并能进行推理计算是解决问题的关键．17．【分析】∠A=70° ,∠B=80° ,根据四边形的内角和是360度 ,就可以求出∠ACD+∠CDB=210度．根据角平分线的概念就可以求出△CPD 的两个角的和 ,进而根据三角形的内角和定理求出∠P 的度数．【解答】解：∠P=180°﹣21∠ACD ﹣21∠CDB =180°﹣21〔∠ACD+∠CDB 〕 =180°﹣21〔360°﹣∠A ﹣∠B 〕 =180°﹣21〔360°﹣150°〕 =75°．【点评】解题技巧：∠A+∠B+∠ACD+∠CDB=360° ,整体代入法求∠ACD+∠CDB 度数．18．【分析】根据四边形内角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D=360° ,联立∠A ：∠B=7：5 ,∠A ﹣∠C=∠B ,∠C=∠D ﹣40°作出方程组可求∠A ,∠B ,∠C ,∠D 的度数．【解答】解：由四边形内角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D=360° ,联立∠A：∠B=7：5 ,∠A﹣∠C=∠B ,∠C=∠D﹣40° ,可得 ,解得．故∠A的度数是140° ,∠B的度数是100° ,∠C的度数是40° ,∠D的度数是80°．【点评】考查了多边形内角与外角 ,需要结合多边形的内角和公式 ,构建方程组即可求解．19．【分析】先根据题意得出△ABC是等腰三角形 ,再由三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵AD是△ABC的一条高 ,也是△ABC的角平分线 ,∴AB=AC．∵∠B=40° ,∴∠C=40° ,∴∠BAC=180°﹣40°﹣40°=100°．【点评】此题考查的是三角形内角和定理 ,熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．20．【分析】延长CD交AB于E ,可由∠C ,∠B ,∠A求∠BDC ,假设∠BDC≠170° ,那么零件就不合格．【解答】解：延长CD交AB于E．那么∴∠CDB=∠B+∠DEB ,∠DEB=∠C+∠CAB ,∵∠C=35° ,∠B=45° ,∠CAB=90° ,∴∠CDB=∠B+∠DEB=∠B+∠C+∠CAB=170° ,而量得∠CDB=159° ,故零件不合格．【点评】此题是“三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和〞在生产中的应用．。
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人教版八年级上册 第11章 三角形和多边形 讲义（Word 版，无答案）1 / 11一、三角形相关的概念 （一）三角形的概念三角形和多边形第一部分概念总汇1、三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2、三角形的边：组成三角形的线段叫做三角形的边。
3、三角形的顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。
4、三角形的角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
（二）三角形中的主要线段1、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
2、三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
3、三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段 叫做三角形的角平分线。
（三）三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
（四）三角形的分类1、三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形2、三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）3、把边和角联系在一起，又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。
它是两条直角边相等的直角三角形。
4、在等腰三角形中，相等的两边都叫腰，另一边叫底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
（五）三角形的三边关系定理及推论1、三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
人教版八年级上册 第11章 三角形和多边形 讲义（Word 版，无答案）2 / 11推论：三角形的两边之差小于第三边。
2、三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
（六）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。
注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。
（七）三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角三角形外角的性质：性质 1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
性质 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
性质 3：三角形的外角和为 360 度。
（八）三角形的面积1三角形的面积= 2×底×高二、多边形的有关概念（一）多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形1、内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角2、外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角3、对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.4、正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形（二）多边形的内角和：多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于 (n - 2) ∙ 180° （三）多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于 360° （四）多边形对角线的条数：1、从 n 边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。
2、n 边形共有(3)2n n -条对角线。
第二部分例题讲解例1、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=56°，AD⊥BC，DE∥CA．求∠ADE的度。
AECBD【分析】：根据平行线的性质推知△AED是直角三角形；在直角△ABD中，利用“直角三角形的两个锐角互余的性质”求得∠BAD=34°；然后在直角△AED中，利用“直角三角形的两个锐角互余的性质”求得∠ADE的度数．【解答】：∵∠BAC=90°，DE∥AC（已知）∴∠DEA=180°-∠BAC=90°（两直线平行，同旁内角互补）．∵AD⊥BC，∠B=56°，∴∠BAD=34°，在△ADE中，∵DE⊥AB，∴∠ADE=56°．变式1、如图，AE，AD 分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝36°，∠C＝76°，则∠DAE 的度数为（）A、40°B、20°C、18°D、38°AB D E C【解答】∵△ABC中已知∠B=36°，∠C=76，∴∠BAC=68°．∴∠BAD=∠DAC=34，∴∠ADC=∠B+∠BAD=70°，∴∠DAE=20°．3 / 114 / 11变式 2、如图，在△ABC 中，D 是 BC 边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC 的度数。
【解答】∵∠ADB=∠DAC+∠4∴180°-∠1-∠2=∠DAC+∠4∠DAC=63°-∠1∴180°-∠1-∠2=63°-∠1+∠4∴180°-∠2=63°+∠4∵∠3=∠4∠3=∠1+∠2∴∠1=∠2∴180°-∠2=63°+2∠2∴∠1=∠2=39°∴∠DAC=63°-39°=24°变式 3、如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的内角平分线，CE 是∠ACB 的外角平分线，BE 、CE 交于 E 点， 试探究∠E 与∠A 的大小关系．【解答】∵∠ACD=∠A+∠ABC ，CE 平分∠ACD ， ∴∠ECD=12∠ACD=12（∠A+∠ABC ）（角平分线的定义）， ∵BE 平分∠ABC ， ∴∠EBC=12∠ABC （角平分线的定义）， ∵∠ECD 是△BCE 的外角， ∴∠E=∠ECD-∠EBC=12∠A人教版八年级上册 第11章 三角形和多边形 讲义（Word 版，无答案）5 / 11例 2、一个多边形的每一个内角都等于144,则它的内角和等于( )A. 1 260B.1 440C. 1 620D.1 800【分析】 一个正多边形的每一个内角都相等，根据内角和外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度 数，根据任何多边形的外角和都是 360°，利用 360°除以一个内角的度数就可以知道多边形的边数， 然后再根据多边形内角和的公式（n-2）*180°，即可求出。
【解答】多边形的边数是 360°÷（180°-144°）=360°÷36°=10， 则内角和是（10-2）×180°=1440° 故选择 B变式 1、不能作为正多边形的内角的度数的是( ) A ．120° B ． (12847)° C ．144° D ．145°【解答】A 、（n-2）•180°=120•n ，解得 n=6，所以 A 选项错误；B 、（n-2）•180°=（12847）°•n ，解得 n=7，所以 B 选项错误；C 、（n-2）•180°=144°•n，解得 n=10，所以 C 选项错误；D 、（n-2）•180°=145°•n，解得 n=727，不为整数，所以 D 选项正确． 故选 D ．变式 2、两个正多边形的边数之比为 1∶2，内角和之比为 3∶8，求这两个多边形的边数、内角和。
【解答】设小正多边形的边为 n ，大的为 2n6 / 11则[(n-2)×180]:[2n-2)×180]=3:88n-16=6n-62n=10 n=5 5×2=10答这两个正多边形分别为正 5 边形和正 10 边形变式 3、一个多边形截去一个角后,所得的新多边形的内角和为 2520°,则原多边形有条边。
【解答】设新多边形的边数是 n ，则（n-2）180°=2520°， 解得 n=16，∵截去一个角后的多边形与原多边形的边数可以相等，多 1 或少 1，∴原多边形的边数是 15，16，17．例 3、求图 1、2、3 中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数。
【分析】都是根据三角形内角和和外角和的性质进行解答【解答】（1）∠FGC=∠B+∠E∠GFC=∠A+∠D∠FGC+∠GFC+∠C=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°（2）∠FGD=∠B+∠E∠GFD=∠A+∠C∠FGD+∠DFG+∠D=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°(3)连接ED∠A+∠C=∠ADE+∠CED∠ADE+∠CED+∠B+∠D+∠E=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°变式1、如图，已知DC是△ABC中∠ACB的外角平分线，说明为什么∠BAC＞∠B.【解答】∵∠BAC是△ACD的一个外角（已知）∴∠BAC＞∠ACD（三角形的一个外角大于任意与它不相邻的内角)∵∠ECD是△BCD的一个外角（已知）∴∠ECD＞∠B又∵CD是∠ACB的外角平分线（已知）∴∠ACD=∠ECD∠BAC＞∠ACD＞∠B∠BAC＞∠B变式2、如图，在△ABC 中，AD BC ，AE 平分∠BAC ，∠B ＝70°，∠C ＝30°．（1）求∠BAE的度数；（3）探究：小明认为如果只知道∠B －∠C ＝ 40°，也能得出∠DAE的度数？你认为可以吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由B D E C7 / 118 / 11【解答】（1）.∵AE 平分∠BAC ，∠B ＝70°，∠C ＝30° ∴∠BAE=12（180°-70°-30°）=40°（2）.由（1）知，∠CAE=40°∵AD ⊥BC∴∠CAD=90°-30°=60°∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=60°-40°=20°（3）.能理由如下：∵AE 是角平分线∴∠BAE=01802B C -∠-∠∵∠BAD=90°-∠B∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=01802B C-∠-∠-(90°-∠B ）=2B C ∠-∠若∠B-∠C=40°，则∠DAE=20°变式 3、(1)如图①②,试研究其中 ∠1、∠2与∠3、∠4 之间的数量关系；(2)如果我们把 ∠1、∠2 称为四边形的外角,那么请你用文字描述上述的关系式. (3)用你发现的结论解决下列问题:如图, AE 、DE 分别是四边形 ABCD 的外角 ∠NAD 、∠MDA 的平分线, ∠B + ∠C = 240 ,求 ∠E 的度数.人教版八年级上册 第11章 三角形和多边形 讲义（Word 版，无答案）9 / 11【解答】（1）解：∵∠3、∠4、∠5、∠6 是四边形的四个内角，∴∠3+∠4+∠5+∠6=360°，∴∠3+∠4=360°-（∠5+∠6），∵∠1+∠5=180°，∠2+∠6=180°，∴∠1+∠2=360°-（∠5+∠6），∴∠1+∠2=∠3+∠4；（2）答：四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和；（3）解：∵∠B+∠C=240°，∴∠MDA+∠NAD=240°，∵AE 、DE 分别是∠NAD 、∠MDA 的平分线，∴∠ADE=12∠MDA ，∠DAE=∠NAD ， ∴∠ADE+∠DAE=12（∠MDA+∠NAD ）=12×240°=120°，∴∠E=180°-（∠ADE+∠DAE ）=180°-120°=60°．第三部分课后作业1、已知等腰三角形的一个外角是 120°，则它是()A.等腰直角三角形B.一般的等腰三角形C.等边三角形D.等腰钝角三角形2、一个多边形的边数增加一倍，它的内角和增加( )A. 180°B. 360°C. (n-2)·180°D. n ·1803、已知三角形的三个外角的度数比为 2∶3∶4，则它的最大内角的度数( ).A. 90°B. 110°C. 100°D. 120°4、如图所示，在△ABC 中 E 、F 分别在 AB 、AC 上，则下列各式不能成立的是（）人教版八年级上册 第11章 三角形和多边形 讲义（Word 版，无答案）10 / 11A ．∠BOC=∠2+∠6+∠AB ．∠2=∠5-∠AC ．∠5=∠1+∠4D ．∠1=∠ABC+∠45、如图，若∠A=32°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE 等于6、将一个三角形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和 。