§1.8__函数的连续性与间断点
(整理)函数的连续性与间断点
1.8函数的连续性与间断点一、函数的连续性变量的增量:设变量u 从它的一个初值u 1变到终值u 2, 终值与初值的差u 2-u 1就叫做变量u 的增量, 记作∆u , 即∆u =u 2-u 1.设函数y =f (x )在点x 0的某一个邻域内是有定义的. 当自变量x 在这邻域内从x 0变到x 0+∆x 时, 函数y 相应地从f (x 0)变到f (x 0+∆x ), 因此函数y 的对应增量为∆y = f (x 0+∆x )- f (x 0).函数连续的定义设函数y =f (x )在点x 0 的某一个邻域内有定义, 如果当自变量的增量∆x =x -x 0 趋于零时, 对应的函数的增量∆y = f (x 0+∆x )- f (x 0 )也趋于零, 即0lim 0=∆→∆y x , 或)()(lim 00x f x f x x =→, 那么就称函数y =f (x )在点x 0 处连续.注: ①0)]()([lim lim 0000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x ②设x =x 0+∆x , 则当∆x →0时, x →x 0, 因此0lim 0=∆→∆y x ⇔0)]()([lim 00=-→x f x f x x ⇔)()(lim 00x f x f x x =→. 函数连续的等价定义2:设函数y =f (x )在点x 0的某一个邻域内有定义, 如果对于任意给定义的正数ε , 总存在着正数δ , 使得对于适合不等式|x -x 0|<δ 的一切x , 对应的函数值f (x )都满足不等式|f (x )-f (x 0)|<ε ,那么就称函数y =f (x )在点x 0处连续.左右连续性:如果)()(lim 00x f x f x x =-→, 则称y =f (x )在点0x 处左连续. 如果)()(lim 00x f x f x x =+→, 则称y =f (x )在点0x 处右连续. 左右连续与连续的关系:函数在区间上的连续性:在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续.连续函数举例:1. 如果f (x )是多项式函数, 则函数f (x )在区间(-∞, +∞)内是连续的. 这是因为, f (x )在(-∞, +∞)内任意一点x 0处有定义, 且)()(lim 00x P x P x x =→.2. 函数x x f =)(在区间[0, +∞)内是连续的.3. 函数y =sin x 在区间(-∞, +∞)内是连续的.证明: 设x 为区间(-∞, +∞)内任意一点. 则有∆y =sin(x +∆x )-sin x )2cos(2sin2x x x ∆+∆=,因为当x →0时,y 是无穷小与有界函数的乘积,所以0lim 0=∆→∆y x .这就证明了函数y x 在区间∞, ∞)内任意一点x 都是连续的．4. 函数y =cos x 在区间(-∞, +∞)内是连续的.二、函数的间断点间断定义:设函数f (x )在点x 0的某去心邻域内有定义. 在此前提下, 如果函数f (x )有下列三种情形之一:(1)在x 0没有定义;(2)虽然在x 0有定义, 但0lim x x →f (x )不存在;(3)虽然在x 0有定义且0lim x x →f (x )存在, 但0lim x x →f (x )≠f (x 0); 则函数f (x )在点x 0为不连续, 而点x 0称为函数f (x )的不连续点或间断点.例1. 正切函数y =tan x 在2 π=x 处没有定义, 所以点2π=x 是函数tan x 的间断点.因为∞=→x x tan lim 2π, 故称2π=x 为函数tan x 的无穷间断点.例2. 函数x y 1sin =在点x =0没有定义, 所以点x =0是函数x 1sin 的间断点.当x →0时, 函数值在-1与+1之间变动无限多次, 所以点x =0称为函数x1sin 的振荡间断点.例3. 函数112--=x x y 在x =1没有定义, 所以点x =1是函数的间断点. 因为11lim 21--→x x x 2)1(lim 1=+=→x x , 如果补充定义: 令x =1时y =2, 则所给函数在x =1成为连续. 所以x =1称为该函数的可去间断点.例4. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠==1 211 )(x x x x f y . 因为1lim )(lim 11==→→x x f x x ,21)1(=f , )1()(lim 1f x f x ≠→, 所以x =1是函数f (x )的间断点.如果改变函数f (x )在x =1处的定义:令f (1)=1, 则函数f (x )在x =1 成为连续, 所以x =1也称为该函数的可去间断点.例5. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=010 00 1)(x x x x x x f . 因为1)1(lim )(lim 00-=-=--→→x x f x x , 1)1(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x ,)(lim )(lim 00x f x f x x ++→→≠,所以极限)(lim 0x f x →不存在, x =0是函数f (x )的间断点. 因函数f (x )的图形在x =0处产生跳跃现象, 我们称x =0为函数f (x )的跳跃间断点.间断点的分类:通常把间断点分成两类:如果x 0是函数f (x )的间断点, 但左极限f (x 0-0)及右极限f (x 0+0)都存在, 那么x 0称为函数f (x )的第一类间断点. 不是第一类间断点的任何间断点, 称为第二类间断点. 在第一类间断点中, 左、右极限相等者称为可去间断点, 不相等者称为跳跃间断点. 无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点.。
函数的连续性与间断点
1.8函数的连续性与间断点一、函数的连续性 变量的增量:设变量u 从它的一个初值u 1变到终值u 2, 终值与初值的差u 2u 1就叫做变量u 的增量, 记作u , 即u u 2u 1.设函数yf (x )在点x 0的某一个邻域内是有定义的. 当自变量x 在这邻域内从x 0变到x 0x 时, 函数y 相应地从f (x 0)变到f (x 0x ), 因此函数y 的对应增量为y f (x 0x ) f (x 0).函数连续的定义 设函数y f (x )在点x 0 的某一个邻域内有定义, 如果当自变量的增量xx x 0 趋于零时, 对应的函数的增量yf (x 0x ) f (x 0 )也趋于零, 即lim 0=∆→∆y x 或)()(lim 00x f x f x x =→,那么就称函数yf (x )在点x 0 处连续.注 ①0)]()([lim lim 000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x②设x x 0+x , 则当x 0时, x x 0, 因此lim 0=∆→∆y x 0)]()([lim 00=-→x f x f x x )()(lim 00x f x f x x =→.函数连续的等价定义2:设函数y f (x )在点x 0的某一个邻域内有定义, 如果对于任意给定义的正数 , 总存在着正数 , 使得对于适合不等式|x x 0|<的一切x , 对应的函数值f (x )都满足不等式|f (x )f (x 0)|<,那么就称函数y f (x )在点x 0处连续.左右连续性:如果)()(lim 00x f x f x x =-→, 则称yf (x )在点0x 处左连续. 如果)()(lim 00x f x f x x =+→, 则称yf (x )在点0x 处右连续.左右连续与连续的关系: 函数yf (x )在点x 0处连续Û函数y f (x )在点x 0处左连续且右连续.函数在区间上的连续性:在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续. 连续函数举例:1. 如果f (x )是多项式函数, 则函数f (x )在区间(¥, ¥)内是连续的.这是因为, f (x )在(¥, ¥)内任意一点x 0处有定义, 且)()(lim 00x P x P x x =→2. 函数xx f =)(在区间[0,¥)内是连续的.3. 函数y sin x 在区间(¥,¥)内是连续的.证明 设x 为区间(¥, ¥)内任意一点. 则有y sin(xx )sin x )2cos(2sin 2x x x ∆+∆=,因为当x 0时,y 是无穷小与有界函数的乘积,所以0lim 0=∆→∆y x .这就证明了函数ysin x 在区间(¥,¥)内任意一点x 都是连续的．4. 函数y cos x 在区间(¥, ¥)内是连续的. 二、函数的间断点 间断定义:设函数f (x )在点x 0的某去心邻域内有定义. 在此前提下, 如果函数f (x )有下列三种情形之一: (1)在x 0没有定义;(2)虽然在x 0有定义, 但0lim x x →f (x )不存在;(3)虽然在x 0有定义且0lim x x →f (x )存在, 但0lim x x →f (x )¹f (x 0);则函数f (x )在点x 0为不连续, 而点x 0称为函数f (x )的不连续点或间断点. 例1. 正切函数ytan x 在2π=x 处没有定义, 所以点2π=x 是函数tan x 的间断点.因为∞=→x x tan lim 2π, 故称2π=x 为函数tan x 的无穷间断点.例2. 函数xy 1sin =在点x 0没有定义, 所以点x0是函数x1sin的间断点.当x ®0时, 函数值在1与1之间变动无限多次, 所以点x 0称为函数x1sin 的振荡间断点.例3. 函数112--=x x y 在x 1没有定义, 所以点x1是函数的间断点.因为11lim 21--→x x x 2)1(lim 1=+=→x x , 如果补充定义: 令x 1时y 2, 则所给函数在x 1成为连续. 所以x 1称为该函数的可去间断点. 例4. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠==1 211)(x x x x f y .因为1lim )(lim 11==→→x x f x x ,21)1(=f , )1()(lim 1f x f x ≠→, 所以x1是函数f (x )的间断点.如果改变函数f (x )在x1处的定义:令f (1)1, 则函数f (x )在x 1 成为连续, 所以x 1也称为该函数的可去间断点.例5. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=010 00 1)(x x x x x x f .因为1)1(lim )(lim 00-=-=--→→x x f x x ,1)1(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x)(lim )(lim 00x f x f x x ++→→≠,所以极限)(lim 0x f x →不存在, x =0是函数f (x )的间断点. 因函数f (x )的图形在x 0处产生跳跃现象, 我们称x0为函数f (x )的跳跃间断点.间断点的分类:通常把间断点分成两类:如果x0是函数f(x)的间断点, 但左极限f(x00)及右极限f(x00)都存在, 那么x0称为函数f(x)的第一类间断点. 不是第一类间断点的任何间断点, 称为第二类间断点. 在第一类间断点中, 左、右极限相等者称为可去间断点, 不相等者称为跳跃间断点. 无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点.希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、常自认为是福薄的人，任何不好的事情发生都合情合理，有这样平常心态，将会战胜很多困难。
函数的连续性与间断点
1.8函数的连续性与间断点一、函数的连续性变量的增量设变量u从它的一个初值u1变到终值u2终值与初值的差u2−u1就叫做变量u的增量记作Δu即Δu=u2−u1设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内是有定义的当自变量x在这邻域内从x0变到x0+Δx时函数y相应地从f(x0)变到f(x0+Δx) 因此函数y的对应增量为Δy= f(x0+Δx)− f(x0)函数连续的定义设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义如果当自变量的增量Δx=x −x0趋于零时对应的函数的增量Δy= f(x0+Δx)− f(x0)也趋于零即或那么就称函数y=f(x)在点x0处连续注①②设x=x0+Δx则当Δx0时xx0因此函数连续的等价定义2设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义如果对于任意给定义的正数ε总存在着正数δ使得对于适合不等式|x−x0|<δ的一切x对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)−f(x0)|<ε那么就称函数y=f(x)在点x0处连续左右连续性如果则称y=f(x)在点处左连续如果则称y=f(x)在点处右连续左右连续与连续的关系函数y=f(x)在点x0处连续函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续函数在区间上的连续性在区间上每一点都连续的函数叫做在该区间上的连续函数或者说函数在该区间上连续如果区间包括端点那么函数在右端点连续是指左连续在左端点连续是指右连续连续函数举例1 如果f(x)是多项式函数则函数f(x)在区间(−+)内是连续的这是因为f(x)在(−+)内任意一点x0处有定义且.2 函数在区间[0 +)内是连续的3 函数y=sin x在区间(−+)内是连续的证明设x为区间(−+)内任意一点则有Δy sin(xΔx)sin x因为当D x0时 D y是无穷小与有界函数的乘积所以这就证明了函数y=sin x在区间(-+)内任意一点x都是连续的．4 函数y=cos x在区间(−+)内是连续的二、函数的间断点间断定义设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义在此前提下如果函数f(x)有下列三种情形之一(1)在x0没有定义(2)虽然在x0有定义但f(x)不存在(3)虽然在x0有定义且f(x)存在但f(x)f(x0)则函数f(x)在点x0为不连续而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点例1正切函数y=tan x在处没有定义所以点是函数tan x的间断点因为故称为函数tan x的无穷间断点例2 函数在点x=0没有定义所以点x=0是函数的间断点当x0时函数值在−1与+1之间变动无限多次所以点x=0称为函数的振荡间断点例3函数在x=1没有定义所以点x=1是函数的间断点因为如果补充定义令x=1时y=2 则所给函数在x=1成为连续所以x=1称为该函数的可去间断点例4 设函数因为所以x=1是函数f(x)的间断点如果改变函数f(x)在x=1处的定义令f(1)=1 则函数f(x)在x=1 成为连续所以x=1也称为该函数的可去间断点例5 设函数因为,所以极限不存在x0是函数f(x)的间断点因函数f(x)的图形在x=0处产生跳跃现象我们称x=0为函数f(x)的跳跃间断点间断点的分类:通常把间断点分成两类如果x0是函数f(x)的间断点但左极限f(x0−0)及右极限f(x0+0)都存在那么x0称为函数f(x)的第一类间断点不是第一类间断点的任何间断点称为第二类间断点在第一类间断点中左、右极限相等者称为可去间断点不相等者称为跳跃间断点无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点。
函数的连续性与间断点
设函数 f (x) 在点 x0 的某去心邻域内有定义，如果 函数 f (x) 在点 x0 满足下列三种情况之一，则点 x0 为
f (x) 的间断点：
①、在 x0 处没有定义；
②、在 x0 处有定义，但 lim f (x) 不存在；
xx0
③、在 x0 处有定义，且 lim f (x) 存在，但
xx0
例3 证明函数 y sin x 在 (, ) 内连续 .
证 x (, )
y sin(x x) sin x
2sin
x 2
cos(x
x 2
)
y
2
sin
x 2
cos(x
x 2
)
2
x 2
1
x
0
(x 0)
即
lim y 0
x0
这说明 y sin x 在 (, ) 内连续 .
同样可证：函数 y cos x 在 (, ) 内连续 .
五、函数的间断点
定义5 如果函数 f (x) 在点 x0 不连续， 则称 f (x)
在点 x0 处间断， 并称点 x0为函数 f (x) 的间断点或
不连续点 .
1
o
x
1
解 因为 lim f (x) lim(x 1) 1 f (0 0)
x0
x0
lim f (x) lim (x 1) 1 f (0 0)
x0
x0
但
f (0 0) f (0 0)
所以是跳跃间断点 .
第二类间断点
如果函数 f (x) 在 x0 的左、 右极限至少有一个 不存在， 则称 x0 为 f (x) 的第二类间断点 .
《高等数学》函数的连续性与间断点
lim
x x0
(2
x
1)
2
x0
1，
f (x0 ) 3
所以有 x0 1，a 2
《高等数学》 1.8 函数的连续性与间断点
2、间断点及其分类
间断点
不连续点
设函数 y f (x) 在点 x0 的某去心邻域内有定义，若下列情形至少一个成立，则 x0 是
f(x)的不连续点。
1）f(x)在 x0 点无定义。
y1 x
其中至少有一个是振荡，称 x0 为振荡间断点 y sin 1
x
《高等数学》 1.8 函数的连续性与间断点
f(x)在点 x0 连续
lim
xx0
f (x)
f (x0 )
lim f (x) lim f (x) f (0)
本
x0
x0
讲
lim y 0
x0
内
容
可去间断点
小
第Ⅰ类间断点
结
间
（包括） 跳跃间断点
x0
所以函数在x=0处连续。
lim f (x) lim f (x) 1
x0
x0
lim f (x) 1
x0
f(x)在点 x0 连续
lim f (x) lim f (x) f (0)
x0
x0
《高等数学》 1.8 函数的连续性与间断点
定义2 设变量 u 从它的一个初值 u1 变化到终值 u2 ，则称终值与初值的差 u2 u1
《高等数学》 1.8 函数的连续性与间断点
函数的连续性与间断点
本讲学习目标：
1、描述函数在一点连续的概念，列举连续的三个定义式。 2、描述函数在一点左右连续的概念。 3、描述函数在区间上连续的概念。 4、列举间断点的类型，描述其分类标准。
高数高等数学1.8函数的连续性与间断点
2
cos
2
x x y 2 sin cos( x ) 2 2
x 0, sin x x
x
x 0
0
即函数 y sin x在(, )内连续 .
同理可证 y cos x在(, )内连续 .
x 2 , x 0, 例3 讨论函数 f ( x ) 在 x 0处的 x 2, x 0, 连续性.
下列情形之一，y f ( x)在 x0不连续：
(1) f ( x)在 x0无定义；
(2) f ( x )在 x0有定义，但 lim f ( x )不存在；
x x0
(3) f ( x )在 x0有定义，且 lim f ( x )存在，但是
x x0
x x0
lim f ( x ) f ( x0 )
lim f ( x0 x ) f ( x0 )
yy f ( x) Nhomakorabealim y 0
y
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )
左连续 右连续
x
o
x0
x
x
0 , 0, 当 x x0 x 时，有
f ( x ) f ( x0 ) y .
x U ( x0 ),
y f ( x) f ( x0 ) ---函数的增量
y
y f ( x)
y
y
x
0
x
0
x0
x 0 x x
x0
x 0 x
x
2. 函数连续的定义 定义 设函数y f ( x )在 x0的某邻域内有定义，如果
1-8 函数的连续性与间断点 (高等数学)
§1.8 函数的连续性与间断点教学内容：一．函数连续的概念定义 增量：设变量u 从它的一个初值1u 变到终值2u ，终值与初值的差21-u u 称为变量u 的增量，记为∆u ，即21∆=-u u u .定义 在某一点处的连续性：（1）设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，如果当自变量x 有增量x ∆时，函数相应的有增量y ∆， 若0lim 0x y ∆→∆=，则称函数()y f x =在点0x 处连续，0x 为()f x 的连续点.（2）设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，若00lim ()()x x f x f x →=，则称()y f x =在点0x 处连续.（3）设函数()y f x =在点0x 的某邻域有定义，如果对于任意正数ε，总存在正数δ，使得当x 满足不等式0x x δ-<时，有0()()f x f x ε-<，则称函数()y f x =在点0x 处连续.定义 函数在区间上的连续性：如果函数()f x 在开区间(,)a b 内每一点都连续，则称()f x 在(,)a b 内连续；如果函数()f x 在开区间(,)a b 内每一点都连续，且在左端点x a =处右连续，在右端点x b =处左连续，则称()f x 在闭区间a b [,]上连续，并称a b [,]是()f x 的连续区间.注 (1) ()f x 在左端点x a =右连续是指满足lim ()();x a f x f a +→=(2) ()f x 在右端点x b =左连续是指满足lim ()()x b f x f b -→=.定理：函数()f x 在点0x 处连续的充分必要条件是函数()f x 在点0x 处既左连续又右连续.二．函数的间断点定义函数间断点：如果函数()f x 在点0x 处不连续，则称函数()f x 在点0x 处间断，点0x 称为()f x 的间断点.第一类间断点 ()f x 在点0x 的左右极限00()f x -和00()f x +都存在的间断点为第一类间断点. 它包含两种类型：可去间断点与跳跃间断点.第二类间断点 称00()f x -和00()f x +中至少有一个不存在的间断点为第二类间断点.。
函数的连续性与间断点
函数的连续性定义 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义, 如果
x → 0
lim y = 0 , 或 lim f ( x) = f ( x0 ) ,
x → x0
那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续. 讨论: 如何用εδ 语言叙述函数的连续性定义？ 提示:
x → x0
lim f ( x) = f ( x0 )
x → x0
lim P( x) = P( x0 ) .
注: 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续.
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连续函数 在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的 连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 连续函数举例 2. 函数 y=sin x 在区间(∞, +∞)内是连续的. 这是因为, 函数y=sin x在(∞, +∞)内任意一点x处有 定义, 并且
x →0
lim y = lim [sin( x + x) sin x]
= lim 2 sin x cos(x + x ) = 0 . x →0 2 2
x →0
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二、函数的间断点
间断点的定义 设函数 f(x)在点x0的某去心邻域内有定义. 在此前提 下, 如果函数 f(x)有下列三种情形之一: (1)在x0没有定义; (2)虽然在x0有定义, 但 lim f(x)不存在;
§1.8 函数的连续性与间断点
一、函数的连续性 二、函数的间断点
1-8函数的间断点与连续性
⎧∆x可正可负，但不为0 ⎨ ⎩ ∆y可正可负，但可为0
例：y = c
⇒ ∆y = 0
3
从几 何 上 看： （ 图 ）
y = f ( x)
lijuan
y
f ( x0 + ∆x)
当 ∆ x → 0时 ，
∆y
f ( x0 )
∆y → 0
o
∆x x 0 x0 + ∆x
x
4
例：设函数y = x ，当x0 = 2, ∆x = 0.01时，函数的
x →0
在该点连续
2 lim f ( x ) = lim x =0 − −
x →0
� o
∴ 函数在 x = 0处不连续，为可去间断点。
x
可改变定义，令：f (0) = 0，则可在x = 0处连续
17
⎧ x2 x <1 例、讨论函数f ( x) = ⎨ 的连续性 ⎩ln x + 1 x > 1
lijuan
lijuan
⎧ tan x = 0 ⇒ x = kπ （k = 0, ±1, ±2,...） 解： ⎨ ⎩ tan x → ∞ ⇒ x = kπ + π
x (1)当x = 0时，lim x → 0 tan x
2 = 1, 但在x = 0处无定义，
∴ x = 0为可去间断点， 补充定义：f (0) = 1
5
反之：曲线在x0处不连续，如图: 则当∆x → 0时, ∆y → 0
lijuan
y
∆y
o
x0
x0 + ∆x
x
6
连续性的定义：
lijuan
设函数y = f ( x)在x0的某邻域内有定义，若在x0处， 当∆x = x − x0 → 0时， 相应的∆y = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) → 0，
1.8 函数的连续性与间断点(1)
对 x 1:
lim f ( x) lim(1 x) 2,
x 1
x 1
lim f ( x) lim cos x 0
x 1
x1
2
x 1是其跳跃间断点。
16
对 x 1: f (1 0) 0, f (1 0) 0, f (1) 0 f ( x)在x 1点连续。
注 由定义1.8.1知，函数 f(x)在x0点处连续，需满足 以下条件：
(1) f ( x)在U( x0 )内有定义 x0 Df
(2) lim f ( x)存在 x xo
f ( x0 ), f ( x0 )都存在且相等
(3) lim x x0
f (x)
f ( x0 )
若三者有一不满足,则x0为f ( x)的间断点。 7
2. 间断点的分类 定义1.8.5 设点 x0 是函数 f ( x ) 的间断点， (1)如果 f－( x0)与 f＋( x0)都存在，则称点x0是函 数 f (x)的第一类间断点； (2)凡不是第一类间断点的任何间断点称为第 二类间断点。 下面举例说明：
lim y 0
x 0
那么就称函数 y = f(x)在 x0 点处连续。
对该定义进行分析，可得与此等价的另外一 种定义：
2
定义1.8.2 设函数 y = f (x)在x0的某邻域内有定
义，如果
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
那么就称函数 y = f (x) 在 x0 点处连续。
x1
x1 2x 2
x 1为f (x)的无穷间断点。
注 找间断点时,不可先将函数表达式变形,
否则失去x 0为间断点。 15ຫໍສະໝຸດ 例7讨论f ( x)
1-8 函数的连续性与间断点
f (x)
f ( x0 ),
则称 f ( x)在 x0点右连续.
( f ( x)在x0点连续 f ( x)在x0点既左连续又右连续.)
2. 函数在区间上的连续性
定义4. 若 f ( x)在区间 I上每点连续,则称 f ( x)为 I上的 连续函数, 记作 : f ( x) C(I ). 如: f ( x) C[a, b]
(2) lim f ( x)存在 x xo
f ( x 00). f ( x0 0)都存在且相等
(3) lim x x0
f (x)
f ( x0 )
若三者有一不满足,则 x0为 f ( x)的间断点.
2. 间断点的分类: (各举一例,分别说明)
例1. 讨论 y f ( x) x2 1在 x 1点的连续性. 图像 x 1
都存在
第二类间断点
无穷间断点 振荡间断点
f ( x0 0). f ( x0 0)
至少有一不存在
例5.讨论函数 f ( x) 3 的间断点. 2 2 x
解：观察知 x 0.x 1时 f (x)无定义,
x 0.x 1为 f (x)的间断点.
例 证明 y sin x 在 (, )内连续.
证. x0 R 0 y sin( x0 x) sin x0
2sin x cos 2x0 x 2 x 1 x
2
2
2
由两边夹准则,
lim y 0,
x0
y sin x在 x0 点连续.
函数的图形在 x 0 处产生了 跳跃
例3. 讨论 y tan x 在 x 点的连续性。
§1.8 函数的连续性与间断点
.
解 f (1 0) 2, f (1 0) 2,
2
lim f ( x) 2 f ((11)), 2 x1
y2 x 1
x 1 为函数的第一类 间断点.
O1
x
且是可去间断点(removable discontinuity).
则
f (x)
2
x,
1 x,
所以,函数在点x 1不连续.
y
但 lim x2 1 limx 1 2
x1 x 1 x1
2
如补充定义:令 f (1) 2,
1
则 所给函数在x 1处连续. O 1
x
所以x 1称为函数的可去间断点.
23
例
函数f
(
x)
x, 1 x,
x 0, x 0,
12
sin x
设
f
(
x)
x a
b
x
sin
1 x
x0 x 0 问a, b为何值时, x0
(1) lim f ( x)存在; (2) f ( x)在x 0处连续. x0
解 因为 lim f ( x) 1, lim f ( x) b, 所以
x0
x0
(1) 要lim f ( x)存在,必需且只需
left);
若 lim x x0 0
f (x)
f ( x0 ) f ( x0 0)
f ( x0 ),
则称f ( x)在点x0处右连续(continuity from the
right).y
y
左连续
右连续
O
函数的连续性与间断点
练习：证明 f (x) x 在 x 0点连续。 二、函数的间断点
定义 4 设函数 f (x) 在 x0 的某一领域内有定义，如果 f (x) 在 x0 点不
连续，就称 x0 为 f (x) 的间断点，或不连续点。
间断点有下列三种情况：
（1） f (x) 在 x x0 没有定义；
（2）虽在 x
x0 处
f (x) 在 x0
点处连续。
定义1 ：设 y f (x) 在 x0 的某邻域内有定义，若对 0, 0 ，
当 x x0 时，有 f (x) f (x0 ) ，就称 f (x) 在 x0 点连续。
注
1、 f (x) 在 x0 点连续，不仅要求
f
(
x)
在
x
0
点有意义，
lim
x x0
是函数的连续性。
设函数 y f (x) 在 x0 的某邻域内有定义，当自变量由 x0 变到 x 时，
对应的函数值从 f (x0 ) 变化到 f (x) ，这时称 x x0 为自变量的增量，
f (x) f (x0 ) 为函数的增量，分别记为：
x x x0（ x 可正、可负、也可为零，这些取决于 x 与 x0 的大小）
【例
1】证明函数
f
(x)
x sin
1 x
,
0
x 0 在 x 0 处是连续的。
x0
证明：由于 lim f (x) lim x sin 1 0 ，又 f (0) 0 得
x0
x0
x
lim f (x) 0 f (0) ，所以 f (x) 在点 x 0 处是连续的。
x0
下面给出区间内连续的定义：
f
(x)
高等数学方明亮版课件1.8 函数的连续性与间断点
20XX.XX.XX
高等数学方明亮版课件1.8 函数 的连续性与间断点
,
汇报人：
目 录
01 函 数 的 连 续 性 02 函 数 的 间 断 点 03 连 续 性 与 间 断 点 的 关 系
01
函数的连续性
连续性的定义
函数在某点处连续， 是指在该点处函数 值等于该点的极限 值
YOUR LOGO
THANK YOU
汇报人：
连续函数的应用
微积分：连续 函数是微积分 的基础，用于 计算面积、体
积等
物理：连续函 数在物理中用 于描述物体的 运动、力、能
量等
工程：连续函 数在工程中用 于描述物体的 运动、力、能
量等
经济：连续函 数在经济学中 用于描述价格、 需求、供给等
02
函数的间断点
间断点的定义
间断点：函数在某点处没有定义的点 间断点类型：跳跃间断点、可去间断点、无穷间断点、振荡间断点 跳跃间断点：函数在该点处左右极限不相等 可去间断点：函数在该点处左右极限相等，但函数值不等于极限值 无穷间断点：函数在该点处极限不存在 振荡间断点：函数在该点处左右极限相等，但函数值不等于极限值，且函数在该点处左右极限不相等
ห้องสมุดไป่ตู้
间断点对函数性质的影响
间断点可能导致函数不连 续
间断点可能导致函数值跳 跃
间断点可能导致函数值无 法定义
间断点可能导致函数无法 求导
连续性与间断点在数学分析中的应用
连续性与间断点在函数极限中的应用 连续性与间断点在函数导数中的应用 连续性与间断点在函数积分中的应用 连续性与间断点在函数微分方程中的应用
连续性是函数最重 要的性质之一，它 决定了函数的光滑 程度和可导性
§1.8函数的连续性与间断点
lim
x x0
f (x)
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
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高
等
数 学
由定义可知， f ( x)在 x0满足下列三条中的任一
教 案
条， x0就是 f ( x)的间断点。
华 南
1、 f ( x)在 x0没有定义
理
工 大
2、 lim f ( x)不存在
学
x x0
广
州 汽 车
3、 lim x x0
f (x)
f ( x0 )
学
院
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高
例
讨论函数
f
(
x)
x 2
1,0 x,1
x x
1 3
等 数
在 x 1处的连续性。
学
教 案
解：
lim f x limx 1 0
x1
x1
华 南 理
学 教
极限运算法则，容易得连续函数以下性质：
案 1、 若 函数 f x 与 g( x) 在点 x0 处连续，
华 南
则 f (x) g(x)、 f (x)g(x)、 f (x) (g(x) 0)
理
g( x)
工 大
在点 x0 处连续。
学
广 州
2、设 函数 u ( x) 在点 x0处连续，
案
1、 若函数 f ( x)在点 x0处连续，则 f ( x)在点 x0处
华 南 理
的极限一定存在连；续反之，若极f限( x存)在在点 x0处的极限存在，
工
大 学
1.8 函数的连续性与间断点
间断点
第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点:无穷型,振荡型.
(见下图)
第 一
y
类
可去型
间
断
点
o x0
x
第y
二
类
间
断 点
o
x0
x
无穷型
y 跳跃型
o
x0
x
y
o
x
振荡型
思考题
若 f ( x)在 x0连续，则| f ( x) |、 f 2 ( x)在 x0 是否连续？又若| f ( x) |、 f 2 ( x)在 x0连续， f ( x)在 x0是否连续？
但
lim
x→ x0
f (x) ≠
f ( x0 )
1. 跳跃间断点 如果 f ( x)在点 x0处左, 右极限都
存在, 但 f ( x0− ) ≠ f ( x0+ ), 则称点 x0 为函数 f ( x)的跳跃间断点.
例4
讨论函数
f
(
x
)
=
− x, 1 + x,
x ≤ 0, 在x = 0处的连续性.
∆y = sin( x + ∆x) − sin x = 2 sin ∆x ⋅ cos( x + ∆x)
2
2
cos(
x
+
∆x 2
)
≤
1,
则 ∆y ≤ 2 sin ∆x . 2
对任意的 α , 有 | sinα |≤ |α |, 故 ∆y ≤ 2sin ∆x ≤ ∆x ,
2
− | ∆x |≤ ∆y ≤| ∆ x | ∴当∆x → 0时, ∆y → 0.
f (x)
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则点x0为函数 f(x) 的 跳跃型间断点(Jump discontinuity).
18
函数的连续性与间断点
lim f ( x ) f ( x0 ), , 如果 f ( x)在点 x 处的极限存在 x x 0 例 讨论函数 但 lim f ( x ) 则称 f ( x0x )0或 为ff((x )的间断点 x )在点x0 . 0 x 1, 2 x , x 0 x 则称点x0为函数 f ( x)的 处无定义 , f ( x ) 1, 在x 1处 的 连 续 性. x 1 可去间断点. f (1) 11 x , x 1, y 1 x y
y
1
lim ( x ) 0
x 0
lim (1 x ) 1
f (0 0) f (0 0),
O
x
故 x 0 为f (x)的第一类 间断点. 且是跳跃间断点.
f ( x )的第一类间断点. 但f ( x0 0) f ( x0 0),
f ( x0 0 ) 及 f ( x0 0 ) 均存在, 则点x0为
右端点 x b 左连续 ( lim f ( x ) f (b ))
x b
x a
f ( x ) C [a , b ]
12
函数的连续性与间断点
例如, 有理整函数(多项式)
P ( x ) a0 a1 x an x
x0 ( , ) , lim P ( x ) P ( x0 )
O
x
第二类间断点: f ( x0 0), f ( x0 0) 至少有 一个不存在. 若f ( x0 0), f ( x0 0)之中有 . 一个为 , 则x x0称为无穷型间断点
16
1 sin , 例 函数f ( x ) x 0,
x 0, x 0,
x 0
lim y 0
则称函数f(x)在x0处 连续,并称x0为函数f(x)的
连续点. 采用了无穷小定义法 自变量在x0点的增量为无穷小时, 函数的增量也为无穷小.形象地表示了 连续性的特征.
3
函数的连续性与间断点
例 证明函数 y sin x在区间( ,)内连续. 证 任取 x (,),
§1.10 函数的连续性 与间断点
函数的连续(continuity) 函数的间断点 (discontinuous point) 小结 思考题 作业
第一章 函数与极限
1
一、函数的连续性
1. 函数的增量
自变量 x0 x , 称差 x x x0 为自变量在 x0 的增量; 函数随着从f ( x0 ) f ( x ), 称差
11
4. 连续函数(continous function)与连续区间 在区间上每一点都连续的函数, 称该区间 上的 连续函数,或称函数在该区间上连续. 这时也称该区间为 连续区间.
f ( x ) 在开区间 ( a , b ) 内连续 f ( x ) C (a , b)
f ( x ) f ( a )) 左端点 x a 右连续 ( lim
y sin(x x ) sin x
x 0
lim y 0
x x x x x sin 1 2 sin cos( x )2 2 2 2 2 2 x x 0 0 即 lim y 0 cos( x x ) 1 x 0
(3) lim f ( x ) f ( x0 )
x x0
7
函数的连续性与间断点
3. 左、右连续
若 lim f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 0) f ( x0左连续(continuity from the
left); 若 lim f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 0) f ( x0 ),
x 0 x 0 x 0
解 因为 lim f ( x ) 1, lim f ( x ) b, 所以
(1) 要 lim f ( x )存在, 必需且只需
x 0
x0
). lim f ( x ) lim f ( x ), 即 b 1 (a可任取
x 0
(2) 要f ( x )在x 0处连续 , 必需且只需
15
函数的连续性与间断点
函数的连续性与间断点
1 例 函 数f ( x ) , x 由于函数 f ( x )在x 0处 无定义,
x0
x0
f ( x)在点x0处无定义 , 则称 x0为f ( x )的间断点 .
y
f ( x) 1 x
且 lim f ( x ) , lim f ( x ) 皆不存在. 故 x 0 为f(x)的第二类 间断点. 且是无穷型间断点.
1 证 limx si n 0, x 0 x
x 0, x 0,
在x 0
f ( x ) f (0), 又 f (0) 0, lim x 0
函数 f ( x )在 x 0处连续.
6
连续性 三个要素: (1) f (x)在
0
x 0 处有定义;
lim f ( x ) 存在; (2) x x
0
解 f (1 0) 2, f (1 0) 2,
f( (1 1), )2 lim f ( x ) 2
x 1
2 1
O
y2 x
1
x 1 为函数的 第一类 间断点.
且是可去间断点(removable discontinuity).
2 x , 0 x 1, 则 f ( x) 在x 1处连续. x 1, 1 x ,
1 x
且是无穷次振荡型间断点.
1 y sin x
17
函数的连续性与间断点
函数的连续性与间断点
x x0
lim f ( x )不存在,
x , x 0, 例 函数f ( x ) 1 x , x 0, f ( x )在x 0处有定义,
x 0
则称 x0为f ( x )的间断点 .
x x0
n
因此有理整函数在 ( , ) 内是连续的. P( x) 有理分式函数 R( x ) Q( x ) 只要 Q( x0 ) 0 , 都有 lim R( x ) R( x0 )
x x0
因此有理分式函数在其定义域内的每一点 都是连续的.
13
二、函数的间断点及其分类
x2 1 但 lim lim x 1 2 x 1 x 1 x 1
y
2 1
如补充定义:令 f (1) 2,
则 所给函数在 x 1处连续 .
O
1
x
所以x 1称为函数的可去间断点 .
21
函数的连续性与间断点
第 一 类 间 断 点 第 二 类 间 断 点
y
可去型
y
则称 x0为f ( x )的间断点 .
x x0
lim f ( x )不存在,
1 f ( x )在x 0处 有定义, 但 当x 0时, sin 在 x 1 1, 1 之间来回无穷次振荡, li msin 不存在, x 0 x 故 x 0 为f (x)的第二类 间断点.
y sin
跳跃型
O
x0
x
O
x0
x
y y
无穷型
O O
x0
x
x
无穷次振荡型
22
函数的连续性与间断点
总结两类间断点: 第一类间断点: 跳跃型, 可去型 第二类间断点: 无穷型, 无穷次振荡型 极限与连续之间的关系: f(x)在x0点连续
f(x)在x0点存在极限
23
函数的连续性与间断点
sin x x0 x a x 0 问a, b为何值时 , 设 f ( x) b x sin 1 x 0 x . (1) lim f ( x )存在; (2) f ( x)在x 0处连续
O
x 1
f ( 1 ), lim ( x 1 ) 2 lim f ( x )
x 1
1
x
所以 f ( x )在x 1左连续,在x 1右不连续.
故函数 f ( x )在点x 1处不连续 .
10
函数的连续性与间断点
例 当a取何值时,
cos x , x 0, 函数 f ( x ) 在 x 0处连续. a x , x 0,
f ( x0 0) f ( x0 )
此定理常用于判定分段函数在分段点
9
函数的连续性与间断点
x2 , 例 讨论函数 f ( x ) x 1, 在 x 1处的连续性.
x 1
x 1, x 1,
y
2 lim x 1 f (1), f ( x ) 解 lim x 1
x 0 即为 x x0 , y 0 即为 f ( x ) f ( x0 ).
lim f ( x ) f ( x0 ), 则称函数f(x)在x0处 定义2 若x x
0
连续.
5
函数的连续性与间断点
lim f ( x ) f ( x0 ) 定义2 x x
0
1 x sin , 例 试证函数 f ( x ) x 0, 处连续.
定义4 若f ( x )在x0处 出现如下三种情形之一:
(1) f ( x )在点x0处 无定义;
( 2) lim f ( x ) 不存在;
x x0
( 3) lim f ( x ) f ( x0 ).
x x0
则称 x0为f ( x )的 间断点.
14
函数的连续性与间断点