材料力学梁弯曲时内力和应力第5节正应力强度计算

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梁的应力计算公式全部解释

梁的应力计算公式全部解释应力是材料受力时产生的内部力，它是描述材料内部抵抗外部力的能力的物理量。

在工程领域中，计算材料的应力是非常重要的，可以帮助工程师设计和选择合适的材料，以确保结构的安全性和稳定性。

梁的应力计算公式是计算梁在受力时产生的应力的公式，它可以帮助工程师了解梁在不同条件下的应力情况，从而进行合理的设计和分析。

梁的应力计算公式是由弹性力学理论推导而来的，它可以根据梁的几何形状、受力情况和材料性质来计算梁的应力。

在工程实践中，梁的应力计算公式通常包括弯曲应力、剪切应力和轴向应力三种类型的应力。

下面将分别对这三种类型的应力计算公式进行详细解释。

1. 弯曲应力计算公式。

梁在受到外部力的作用时，会产生弯曲应力。

弯曲应力是由于梁在受力时产生的弯曲变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：σ = M c / I。

其中，σ表示梁的弯曲应力，单位为N/m^2；M表示梁的弯矩，单位为N·m；c表示梁截面内的距离，单位为m；I表示梁的惯性矩，单位为m^4。

弯曲应力计算公式可以帮助工程师了解梁在受力时产生的弯曲应力大小，从而进行合理的设计和分析。

在工程实践中，通常会根据梁的几何形状和受力情况选择合适的弯曲应力计算公式进行计算。

2. 剪切应力计算公式。

梁在受到外部力的作用时，会产生剪切应力。

剪切应力是由于梁在受力时产生的剪切变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：τ = V Q / (I b)。

其中，τ表示梁的剪切应力，单位为N/m^2；V表示梁的剪力，单位为N；Q 表示梁的截面偏心距，单位为m；I表示梁的惯性矩，单位为m^4；b表示梁的截面宽度，单位为m。

剪切应力计算公式可以帮助工程师了解梁在受力时产生的剪切应力大小，从而进行合理的设计和分析。

在工程实践中，通常会根据梁的几何形状和受力情况选择合适的剪切应力计算公式进行计算。

3. 轴向应力计算公式。

梁在受到外部力的作用时，会产生轴向应力。

轴向应力是由于梁在受力时产生的轴向变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：σ = N / A。

材料力学第五章弯曲应力分析

B
D
1m
1m
1m
y2
20
120
FRA
F1=9kN FRB F2=4kN
A C
BD
1m
1m
1m
2.5 Fs
+
+
4 kN
-
6.5 2.5
M
kNm
-
+
4
解： FRA 2.5kN FRB 10.5kN
88
52
-
+
C 2.5
4 B 80
z
20
120
20
B截面
σ t max
M B y1 Iz
4 • 52 763
20
+
-
+
10
Fs
kN
10
20
30
30
25
25
M
kNm
max
M max W
[ ]
W Mmax 30 187.5cm3
[ ] 160
1)圆 W d 3 187.5
32
d 12.4cm
A d 2 121cm2
4
2）正方形
a3 W 187.5
6
3）矩形
a 10.4cm
A a2 108cm2
压，只受单向拉压. （c）同一层纤维的变形相同。（d）不同层纤维的变形不相同。
推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
中性轴
中性轴⊥横截面对称轴
中性层
横截面对称轴
二、变形几何关系
dx
dx
图（a）
O
O
zb
O yx b
y
图（b）

梁弯曲时的强度计算

max
2、正应力强度条件
max
M max Wz
3、正应力强度计算 ①强度校核： M
max
max
Wz

②设计截面：
Wz
M max

max
③确定许可荷载：MFra bibliotek Wz
三、正应力强度条件
1、危险点的应力——最大正应力弯矩绝对值最大的截面称为危险截面，危险截面上最大正应力的点（截面的上下边缘）称为危险点。 Iz 令： Wz 则： M
max
Wz ymax 式中 Wz 称为抗弯截面模量，它是一个与截面形状和 3 mm3 尺寸有关的几何量，单位为 m 或
工程中常见弯曲实例
中性层与中性轴图示
二、梁横截面上的正应力梁横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的垂直距离y成正比。即正应力沿着截面高度按线性规律分布。中性轴上各点的正应力为零。上、下边缘正应力最大。
My Iz
——梁横截面上的正应力
y——所求正应力的点到中性轴的垂直距离 I z ——横截面对中性轴的惯性矩
梁横截面上的正应力y所求正应力的点到中性轴的垂直距离横截面对中性轴的惯性矩三正应力强度条件1危险点的应力最大正应力弯矩绝对值最大的截面称为危险截面危险截面上最大正应力的点截面的上下边缘称为危险点
§6—7 梁弯曲时的强度计算
水利工程系丁灿辉
一、基本概念
1、纯弯曲与横力弯曲平面弯曲时，某梁段各横截面上只有弯矩而没有剪力，这种弯曲称为纯弯曲。如果既有弯矩又有剪力则称为横力弯曲。 2、中性层与中性轴假设梁是由无数层纵向纤维组成的，且各层纤维互不挤压。发生纯弯曲时，上部各层纤维缩短，下部各层纤维伸长，中间必有一层纤维既不伸长也不缩短，称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。中性轴将横截面分为受压区和受拉区。

《材料力学》第五章弯曲内力与弯曲应力

第五章弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。

二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。

变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。

三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。

四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。

变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。

五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。

2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。

3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。

4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。

5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。

六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。

（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。

（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。

2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。

3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。

（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。

2、固定铰支座——有二个约束反力。

3、可动铰支座——有一个约束反力。

（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长）（六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。

超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。

§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。

求：距A 端x 处截面上内力。

解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。

材料力学《第五章》弯曲应力

上海交通大学
1
2
c
O1
d
O2
a
1 1 2
b
2
M
d
O2
c
O1
a
1
b
2
O z y
由变形的连续形可知：
从伸长到缩短的过程中，必存在一层纵向纤维既不伸长也不缩短，保持原来的长度。中性层：由既不伸长也不缩短的纵 M 向纤维组成。中性轴：中性层与梁横截面的交线。中性轴垂直于梁横截面的纵向对称轴。 a
1
1
2
c
O1
d
O2
a
1 1 2
b
2
M
d
O2
c
O1
b
2
3. 在伸长区，梁宽度减小，在缩短区，梁宽度增加。与轴向拉、压时变形相似。
上海交通大学
O z y
二、假设 1. 梁弯曲平面假设梁弯曲变形后，横截面仍保持为平面，并仍与已变弯后的梁轴线垂直，只是绕该截面内某轴转过一个微小 M 角度。 2. 单向受力假设设想梁由许多层纵向纤维组成，弯曲时各纵向纤维处于单向受拉或单向受压状态。由实验现象和假设可推知：弯曲变形时：靠近梁顶面的纵向纤维受压、缩短；靠近梁底面的纵向纤维受拉、伸长。
O1Biblioteka 1dqr2
O2
M
a
1
y
b
2
中性层下方，y 为正值， s 也为正值，表示为拉应力；中性层上方，y 为负值， s 也为负值，表示为压应力。 y =0 (中性轴上)，s = 0 ； y |max (上、下表层)， s max 。
由(b)式可得s 的分布规律，但因r 的数值未知，中性轴的位置未确定， y 无从算起，所以仍不能计算正应力，用静力学关系解决。

材料力学第五章弯曲应力

x
F F d F 0 N 2 N 1 S
将FN2、FN1和dFS′的表达式带入上式，可得
* M M d M * S S b d x 0 z z
I z I z
简化后可得
dM S z* dx I z b
dM F S ，代入上式得由公式（4－2）， dx

* 式中 S z

A1
y1dA ，是横截面距中性轴为 y 的横线 pq 以下的面积对中性轴的静矩。同理，
可以求得左侧面 rn 上的内力系的合力 FN 1 为
M * FN 1 S z Iz
在顶面rp上，与顶面相切的内力系的合力是
d F b d x S
根据水平方向的静平衡方程
F 0 ，可得
综上所述，对于各横截面剪力相同的梁和剪力不相同的
细长梁（l>5h），在纯弯曲情况下推导的弯曲正应力公式（5－2）仍然适用。
例5－1
图5－10(a)所示悬臂梁，受集中力F与集中力
偶Me作用，其中F＝5kN，Me＝7.5kN· m，试求梁上B点左邻面1－1上的最大弯曲正应力、该截面K点处正应力及全梁的最大弯曲正应力。
第五章弯曲应力
5.1 弯曲正应力 5.2 弯曲切应力简介 5.3 弯曲强度条件及其应用 5.4 提高梁弯曲强度的主要措施
5.1 弯曲正应力
上一章研究表明，一般情况下，梁横截面上同时存在
剪力FS和弯矩M。由于只有切向微内力τ dA才可能构成剪力，也只有法向微内力σdA才可能构成弯矩，如图5－1（a)所示。因此，在梁的横截面上将同时存在正应力σ和切应力τ（见图 5－1(b)）。梁弯曲时横截面上的正应力与切应力分别称为弯曲正应力与弯曲切应力。

材料力学--弯曲正应力及其强度条件

C
E
15 106 200 109
7.5 105
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
例21：图示木梁，已知下边缘纵向总伸
长为 10 mm，E=10GPa，求载荷P的大小。
P
300
A
C
B 200
2m
2m
解： AC
l/2
(x) dx
0
l/2 (x) d x l/2 M ( x) d x
1m
例20：简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面
的下边缘贴一应变片，已知材料的 E=200GPa，试问该应变片所测得的应变值应为多大？
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
解：C截面的弯矩
ql2 MC 8 45kN m
C截面下边缘的应力 C
MC Wz
15MPa
应变值
P
y1
y2
Cz
解：
max
M max y1 Iz
[ ]
(1)
max
M max y2 Iz
[ ]
(2)
(1) 得： y1 [ ]
(2)
y2 [ ]
例16：图示外伸梁，受均布载荷作用，
材料的许用应力［σ］=160 MPa，校核该梁的强度。
10 kN / m
2m
4m
200 100
10 kN / m
变形几何关系从三方面考虑：物理关系
静力学关系
1、变形几何关系
m
mn
m
aa
bb
mn
m
m
观察到以下变形现象: (1)aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长 (2)mm、nn变形后仍保持为直线，且仍与变为

梁弯曲时横截面上的应力及强度计算.

《机械设计基础》课程单元教学设计单元标题：梁弯曲时横截面上的应力及强度计算单元教学学时 2在整体设计中的位置第16次授课班级上课地点教学目标能力目标知识目标素质目标能利用强度计算条件进行承载能力计算1．掌握应力计算公式2．掌握强度计算条件1.培养学生热爱本专业、爱学、会学的思想意识。

2.培养学生应用理论知识分析和解决实际问题的能力；3.培养学生的团队合作意识；4.培养学生仔细、认真、严谨的工作态度。

能力训练任务及案例任务：能利用强度计算条件进行承载能力计算教学材料1.教材2.使用多媒体辅助教学单元教学进度步骤教学内容教学方法学生活动工具手段时间分配1复习、导入复习总结：弯曲变形截面上剪力和弯矩的求法，剪力图、弯矩图的绘图步骤。

导入：梁弯曲时横截面上的应力及强度计算。

提问讲授讨论回答黑板课件视频5分钟2设置情景提出问题简支矩形截面木梁如图所示，L=5m,承受均布载荷q=3.6kN/m，木材顺纹许用应力［σ］＝10MPa，梁截面的高宽比h/b=2，试选择梁的截面尺寸。

问题探究问题引领听讲思考黑板、ppt5分钟一.纯弯曲概念：１.纯弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力为零，该梁段称为纯弯曲梁段。

２.剪切弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力不为零（存在剪力），该梁段称为剪切弯曲梁段。

二.纯弯曲时梁的正应力：1.中性层和中性轴的概念：中性层：纯弯曲时梁的纤维层有的变长，有的变短。

其中有一层既不伸长也不缩短，这一层称为中性层。

中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。

10分钟3讲授新知提供咨询２.纯弯曲时梁的正应力的分布规律：以中性轴为分界线分为拉区和压区，正弯矩上压下拉，负弯矩下压上拉，正应力成线性规律分布，最大的正应力发生在上下边沿点。

３、纯弯曲时梁的正应力的计算公式：（１）.任一点正应力的计算公式：（２）.最大正应力的计算公式：其中：M---截面上的弯矩；I Z---截面对中性轴(z轴)的惯性矩； y---所求应力的点到中性轴的距离。

1_第五章章直梁抗弯强度计算

第二节
剪力和弯矩
图5-8 外伸梁
解1)求支座反力：取整梁为研究对象，设FA、ＦB方向向上，列平衡方程
第二节
剪力和弯矩
2)求各截面的剪力和弯矩：1-1截面左侧(图5-8b)，得二、剪力图和弯矩图 (1)绘制梁内力图的基本方法和步骤 1)求支座反力。
第二节
剪力和弯矩
5M9.t作用处，以及分布载荷的分布规律变化处(对均布载荷而言，
5M18.tif
3.组合截面惯性矩、平行移轴公式
第三节
(1)平行移轴公式
梁弯曲时横截面上的应力
工程上，梁常用的横截面形状，除了有简单的矩
形、圆形截面外，还有一些比较复杂的形状,这些截面可以看成由简单截面组合而成。 (2)组合截面惯性矩的计算由惯性矩定义可知，组合截面对某轴的
惯性矩等于各简单形状截面对同一轴惯性矩之和。
第四节
梁弯曲时的强度计算
图5-26 改善载荷的布置
2.选择合理的截面形状
(1)根据抗弯截面系数与截面面积的比值Wz/A选择截面
梁的承载能
力与抗弯截面系数Wz成正比，而用料的多少又与截面面积A成正比，所以合理的截面形状应该是在截面积相同的情况下具有较大的抗弯截面系数。
第四节
梁弯曲时的强度计算
表5-2 /A比值
第四节
梁弯曲时的强度计算
5M22.tif
解1)作弯矩图(图5-22b)。截面B有最大的负弯矩值，截面C有最大正弯矩值。
第四节
3)校核强度。
梁弯曲时的强度计算
2)计算截面形心的位置及对中性轴的惯性矩。
二、提高梁弯曲强度的措施 1.降低最大弯矩值M (1)合理布置梁的支座以简支梁受均布载荷作用为例(图5-23a),跨中

第六章：梁弯曲时的内力和应力

FS FS (x) M M (x)
剪力图和弯矩图：以梁轴线为横坐标，分别以剪力值和弯矩值为纵坐标，按适当比例作出剪力和弯矩沿轴线的变化曲线，称作剪力图和弯矩图。
剪力、弯矩方程便于分析和计算，剪力、弯矩图形象直观，两者对于解决梁的弯曲强度和刚度问题都非常重要，四者均是分析弯曲问题的基础。
第三节：剪力图和弯矩图
5-5 截面
FS5 q 2 FB 5.5 kN
1 23 4
5
1 23 4
5
M5 (q 2)1 8 kN m
第三节：剪力图和弯矩图
第三节：剪力图和弯矩图
一、剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
剪力方程和弯矩方程：为了描述剪力与弯矩沿梁轴线变化的情况，沿梁轴线选取坐标 x 表示梁截面位置，则剪力和弯矩是 x 的函数，函数的解析表达式分别称为剪力方程和弯矩方程。
M 为常数，即对应弯矩图应为水平直线；其他两段的弯矩图则均为斜直线。
第三节：剪力图和弯矩图
3）判断剪力图和弯矩图形状 AC、CD、DB 各段梁的剪力图均为水平直线。在 CD 段，弯矩 M 为常数，对应弯矩图应为水平直线；其他两段的弯矩图则均为斜直线。
4）作剪力图和弯矩图
剪力图弯矩图
第四节：弯曲时的正应力
第一节：梁的计算简图第二节：弯曲时的内力计算第三节：剪力图和弯矩图第四节：弯曲时的正应力第五节：正应力强度计算第六节：弯曲切应力第七节：提高梁弯曲强度的一些措施
第一节：梁的计算简图
第一节：梁的计算简图
一、梁的支座梁的支座形式：工程中常见的梁的支座有以下三种形式。 1、固定铰支座：如图 a)所示，固定铰支座限制梁在支承处任何方向的线位移，其支座反力可用两个正交分量表示，即沿梁轴线方向的 FAx 和垂直于梁轴线方向的 FAy 。

材料力学梁的弯曲变形第5节梁的刚度校核提高梁弯曲刚度的措施

根据对强度和刚度的校核结果，选用 63a 工字钢满足设计要求。
二、提高梁弯曲刚度的措施
梁的弯曲变形与梁的抗弯刚度
EI
、梁的跨度
z
l
以及梁的载荷等因素有关，要降低梁的弯曲变形，
以提高梁的刚度，可以从以下几方面考虑：
1、合理选择截面形状
影响梁弯曲刚度的截面几何性质是惯性矩
I
。
z
因此，从提高梁的刚度考虑，增大截面的惯性矩是
提高梁抗弯刚度的主要途径。例如使用工字形、圆
环形截面，可提高单位面积的惯性矩。
2、合理选择材料要提高梁的刚度，应选用弹性模量较大的材料。
但要注意的是，各类钢材的弹性模量的数值非常接近，故采用高强度优质钢来提高弯曲刚度是不经济的。
3、改变梁上的载荷作用位置、方向和作用形式合理调整载荷的位置及分布形式，可以降低弯
y
y
y
5、减小梁的跨度增加梁的支座也可以减小梁的挠度。
一、梁的刚度条件
设梁的最大挠度和最大转角分别为ymax和max， [ f ]和[ ]分别为挠度和转角的许用值，则
梁的刚度条件
| y |max [ f ]
| |max [ ]
挠度的许用值[ f ]一般为梁的跨度l的1/200～1/1000。
在安装齿轮或滑动轴承处，轴的[ ]=0.001rad。
矩，从而减小梁的变形。如图所示作用在跨中的集中力，如果分成一半对称作用在梁的两侧（见右图），甚至化为均布载荷，则梁的变形将会减小。
4、减小梁的跨度
因梁的挠度与梁的跨度的数次方成正比，所以减小梁的跨度，将使梁的挠度大为减小。
如果把简支梁的支座向内移动 a ，简支梁变成外伸梁，梁的跨度减小了。因为外伸梁段上的载荷使梁产生向上的挠度，中间梁段的载荷使梁产生向下的挠度，它们之间有一部分相互抵消，因此挠度减小了。

梁的弯曲应力与强度计算

虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但是应用纯弯曲时正
应力计算公式来计算横力弯曲时的正应力，所得结果误差不大，
足以满足工程中的精度要求。且梁的跨高比 l/h 越大，其误差越小。

My Iz
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
例：已知 l=1m，q=6kN/m，10号槽钢。求最大拉应力和压应力。解：（1）作弯矩图
28 . 8 MPa t
y2

( 2 . 5 10 N m )( 88 10 763 10
8
3
m)
Iz
m
4
故该梁满足强度条件。
8 梁的弯曲应力与强度计算 8.3.1 梁的弯曲剪应力
8.3 梁的剪应力及其强度条件
1. 矩形截面梁的弯曲剪应力
关于横截面上剪应力的分布
M
max

2F 3W z
Wz

3 2
( 237 10
6
)( 160 10 ) N 56 . 9 kN
6
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.2 弯曲正应力的强度条件
例：一矩形截面木梁，已知 F =10 kN，a =1.2 m。木材的许用应力
=10MPa。设梁横截面的高宽比为h/b=2，试选梁的截面尺寸。

bh 6
2
对于直径为 D 的圆形截面
Wz Iz y max

D / 64
4

D
32
3
D /2
对于内外径分别为 d 、D 的空心圆截面
Wz Iz y max

D (1 ) / 64

材料力学第五章

FS FS (x) M M (x) 上两式分别称为梁的剪力方程和弯矩方程，为了形象地描述剪力、弯矩沿梁轴线的变化，常将剪力、弯矩方程用图线表示。这种图线分别称为剪力图和弯矩图。
例5-2 求图5-9所示简支梁各截面内力，并作内力图。（a）
（c）（d）
（b）
图5-9
（e）
解（1）求约束力。注意固定铰 A 处 FAx 0 ，故梁 AB 受力如图 5-9（a）所示。
材料力学
第五章弯曲内力与强度计算
一平面弯曲的概念与实例
二梁的内力——剪力与弯矩
三
剪力图与弯矩图
四
载荷集度、剪力与弯矩间的关系
五
纯弯曲时梁横截面上的正应力
六
梁的弯曲正应力强度条件及其应用
七
弯曲切应力
八
提高梁的弯曲强度的措施
第一节平面弯曲的概念与实例
直杆在垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的外力偶作用下，杆的轴线将由直线变成曲线，这种变形称为弯曲。承受弯曲变形为主的杆件通常称为梁。
（a）
（b）（c）
图5-12
解（1）由静力平衡方程求出支座约束力。
FA
Me L
（方向向上）
FB
Me L
（方向向下）
（2）列剪力方程和弯矩方程。
FS ( x)
FA
Me L
(0 x L)
（a）
由于力偶在任何方向的投影皆等于零，所以无论在梁的哪一个横截面上，
剪力总是等于支座约束力 FA （或 FB ）。所以在梁的整个跨度内，只有一个剪力方程式（a）。
设 a x2 a b ，左段受力如图 5-9（c）所示。由平衡方程求得
FS2 FAy F 0

材料力学(5)

I y = z 2 dA =
A
Iz
∫ ∫∫ z dydz = ∫ y dA = ∫∫ z dydz
2 2 2 A
则分别定义为图形对 y 轴和 z 轴的惯性矩（也称为二次矩）惯性矩性质：惯性矩性质：当一个平面图形是由若干个简单图形组成时，可以先算出每一个简单图形对某一轴的惯性矩，然后求其总和，即等于整个图形对同一轴的惯性矩。
z o y x
5-1 梁纯弯曲时的正应力
正应力计算公式的使用条件和范围
正应力公式是在纯弯曲情况下导出的。但是按弹性力学理论与工程实践表明：在有些情况下，横力弯曲的正应力分布规律与纯弯曲的完全相同；在有些情况下虽略有差异，但是当梁跨度与截面高度之比大于5时，误差是非常小的。所以，该公式应用于横力弯曲的正应力计算有足够的精度，完全可以应用于横力弯曲时的正应力计算。对于具有纵向对称截面的梁，包括不对称于中性轴的截面（即无横向对称面，如T字型截面），正应力公式都可以使用。正应力公式不适用于非对称弯曲的情况。当梁的材料不服从胡克定律时，正应力公式不适用。正应力公式只适用于直梁。但可近似地用于曲率半径较梁高大得多的曲梁。对变截面梁也可近似地应用。
平行移轴公式:截面对任一轴的惯性矩，平行移轴公式等于它对平行于该轴的形心轴的惯性矩，加上截面面积与两轴间距离平方的乘积。
5-2 惯性矩计算
T字型截面对其形心轴(z轴)的惯性矩为：
I z = I zI + I zII
y
矩形Ⅰ和矩形Ⅱ对 z 轴的惯性矩可以通过平行移轴公式写成如下形式：
z1
a
b
E
5-1 梁纯弯曲时的正应力
（三）静力学关系(续3)
Mz = ∫A yσdA = ML(e)

《材料力学基础》5弯曲应力

y
27
FN
dA 0
A
M y
z( dA)
A
0
M z
y( dA)
A
M
该梁段各横截面上 FN 和 My 均等于零，而 Mz 就是横截面上的弯矩 MA Z
x
dA
y
28
E E y
FN
dA
A
E
A
ydA
E
Sz
0
M y
z( dA)
A
E
A
z
y
dA
Iz
bh3 12
0.583104 m4
K
MC Iz
y
3103 0.583 10 4
0.06
3.09MPa
（+）
60
F
A
C
5m 10m
12.5
B
z a
166
例题：图示简支梁由 56 a 工字钢制成，F = 150kN。求
(1) 梁上的最大正应力 max
(2) 同一截面上翼缘与腹板交界处 a 点的应力
M max W z[ ]
58
例题：长为 l 的矩形截面梁，在自由端作用有集中力 F。已知： h=0.18m，b=0.12m，y=0.06m，a=2m，F=1.5kN。求 C 截面上 K点的正应力。
F
A
C
B
a
l
K y h z
b
59
F
A
C
B
a
l
K y h z
b
My Iz
解：
MC = -Fa = -3kN.m
3
一、纯弯曲梁横截面上的正应力
RA

梁弯曲时的强度条件

梁弯曲时的强度条件第五节梁弯曲时的强度条件梁截面上的弯矩M是随截面位置而变化的。

因此，在进行梁的强度计算时，应使在危险截面上，即最大弯矩截面上的最大正应力不超过材料的弯曲许用应力［］，即梁的弯曲强度条件为: (1-29)应用强度条件，同样可以解决强度校核、设计截面和确定许可载荷等三类问题。

下面例题说明了它在解决强度校核方面的应用。

本节另外附有例1-17，1-18和1-19三道例题来加强读者对此部分地掌握。

有兴趣的可以点击作进一步的学习。

例1-16．图a所示容器，借助四个耳座支架在四根各长2.4m的工字钢梁的中点上，工字钢再由四根混凝土柱支持。

容器包括物料重110kN，工字钢为16号型钢，钢材弯曲许用应力[]=120MPa，试校核工字钢的强度。

解析：将每根钢梁简化为简支梁，如图a，通过耳座加给每根钢梁的力为kN。

简支梁在集中力的作用下，最大弯矩发生在集中力作用处的截面上，P力在梁的中间L/2处，最大弯矩值为：由型钢表查得16号工字钢的，故钢梁的最大正应力为：故此梁安全。

MPa＜120MPa第二十章弯曲的强度计算第一节概述如图20-1所示的车轴，图20-2所示的桥式吊车梁，以及桥梁中的主梁，房屋建筑中的梁等。

受力后这些直杆的轴线将由原来的直线弯成曲线，这种变形称为弯曲。

以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。

一般说来，当杆件受到垂直于杆轴的外力，或在通过杆轴的平面内受到外力偶作用时，杆将发生弯曲变形。

我们先来研究比较简单的情况，即梁的横截面具有对称轴[图20-3（a）]，全梁有对称面，并且所有外力都作用在对称面内的情形。

在这种情形下梁的轴线弯成位于对称平面内的一条平面曲线[图20-3（b）]，这种弯曲属于平面弯曲。

本章就是讨论平面弯曲时横截面上的内力、应力和变形问题。

第二节静定梁的基本形式梁是一种常用的构件，几乎在各类工程结构中都占有重要地位。

本章只讨论以下几种最基本的梁。

一、简支梁图20-4（a）所示为某型内燃机凸轮轴的结构示意图，挺杆作用于轴的力P垂直于轴线，在P力作用下，凸轮轴将产生弯曲变形。