高考数学 必考热点大调查22 选修平面几何问题(选修1)(
数学选修一平面解析几何
数学选修一平面解析几何一、选择题（每题4分，共20分）已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(x) 的最小值为( )A. -1B. 0C. 1D. 4复数z = (1 + i)/(1 - i) 的值为( )A. 0B. iC. -iD. 1若向量a = (1, 2)，b = (3, -1)，则a · b = ( )A. 1B. 5C. -1D. 7等差数列{an} 的前n 项和为Sn，若a1 = 1，S5 = 25，则a3 = ( )A. 4B. 5C. 6D. 7下列函数中，在区间(0, +∞) 上单调递增的是( )A. y = x^2 - 2xB. y = 1/xC. y = log2(x)D. y = (1/2)^x二、填空题（每题4分，共20分）若直线l 过点P(1, 2) 且与直线x - 2y + 1 = 0 垂直，则直线l 的方程为_______。
若双曲线(x^2/9) - (y^2/16) = 1 上一点P 到左焦点的距离为5，则点P 到右焦点的距离为_______。
已知圆C: x^2 + y^2 = 4，直线l: y = kx + 1，若直线l 与圆 C 相切，则k = _______。
已知等比数列{an} 的前n 项和为Sn，若a1 = 1，S3 = 7，则公比q = _______。
若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + a 有两个极值点，则实数 a 的取值范围是_______。
三、解答题（每题10分，共60分）已知函数f(x) = 2sin(2x - π/6)，求f(x) 的单调递增区间。
已知向量a = (1, 2)，b = (3, λ)，若 a ⊥ b，求λ 的值。
已知等差数列{an} 的前n 项和为Sn，若a1 = 1，S5 = 15，求数列{an} 的通项公式。
已知双曲线C: x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0) 的左右焦点分别为F1, F2，离心率e = 2，点P 在双曲线 C 上，且|PF1| × |PF2| = 32，求双曲线 C 的方程。
高考数学必考知识点
高考数学必考知识点1.必修课程由5个模块组成：必修1：集合，函数概念与基本初等函数(指数函数，幂函数，对数函数) 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。
必修3：算法初步、统计、概率。
必修4：基本初等函数(三角函数)、平面向量、三角恒等变换。
必修5：解三角形、数列、不等式。
以上所有的知识点是所有高中生必须掌握的，而且要懂得运用。
选修课程分为4个系列：系列1：2个模块选修1-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。
选修1-2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2: 3个模块选修2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何选修2-2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数选修2-3：计数原理、随机变量及其分布列、统计案例选修4-1：几何证明选讲选修4-4：坐标系与参数方程选修4-5：不等式选讲2.高考数学必考重难点及其考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数，圆锥曲线高考相关考点：1. 集合与逻辑：集合的逻辑与运算(一般出现在高考卷的第一道选择题)、简易逻辑、充要条件2. 函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数函数、对数函数、函数的应用3. 数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求通项、求和4. 三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和差倍半公式、求值、化简、证明、三角函数的图像及其性质、应用5. 平面向量:初等运算、坐标运算、数量积及其应用6. 不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式(经常出现在大题的选做题里)、不等式的应用7. 直线与圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系8. 圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用9. 直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量10. 排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用11. 概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布12. 导数：导数的概念、求导、导数的应用13. 复数：复数的概念与运算高中数学易错知识点整理一.集合与函数1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解.2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况3.你会用补集的思想解决有关问题吗?4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件?5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别.6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则.7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于对称.8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域.9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调.例如：.10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示.12.求函数的值域必须先求函数的定义域。
高二数学选修1知识点
高二数学选修1知识点数学是一门基础性学科，是培养学生综合思维能力和逻辑推理能力的重要学科之一。
高二数学选修1是高中数学课程中的一部分，是为了满足学生个性化发展需求和应对高考的要求而设置的选修课程。
下面将介绍高二数学选修1的几个重要知识点。
一、立体几何1.空间直线和平面的方程空间直线和平面的方程是立体几何中的重要内容。
直线的方程可以用点向式、对称式和一般式表示，平面的方程可以用点法式和一般式表示。
在解题过程中，我们需要根据已知的条件将问题转化为方程，然后进行求解。
2.空间几何体的性质和计算常见的空间几何体包括球、锥、柱、棱柱等。
我们需要掌握它们的性质和计算方法，如球的体积和表面积的计算公式，锥的体积计算公式等。
通过熟练掌握这些知识点，可以帮助我们解决与空间几何体相关的问题。
二、数列与数学归纳法1.数列的定义和计算数列是按照一定规律排列的数的集合。
我们需要了解常见数列的定义和计算方法，如等差数列、等比数列等。
在计算数列的首项、公差或公比以及前n项和时，需要掌握相应的公式和求解思路。
2.数学归纳法的应用数学归纳法是数学中一种重要的证明方法。
它的基本思想是证明第一个命题成立，然后假设第k个命题成立，利用这个假设证明第k+1个命题成立。
在解决数列问题、不等式问题以及推理证明问题时，数学归纳法都是一个有效的工具。
三、概率与统计1.随机事件及其运算随机事件是指在一定条件下随机发生的事件。
我们需要了解随机事件的基本概念和性质，如事件的取非、和、积运算。
通过对随机事件的运算，可以帮助我们计算复杂的概率问题。
2.概率的计算和应用概率是描述随机事件发生可能性大小的数值。
我们需要掌握基本的概率计算方法，如古典概率、几何概率和条件概率等。
在实际生活中，概率的应用非常广泛，如抽样调查、事件发生的可能性预测等。
总结：高二数学选修1包括立体几何、数列与数学归纳法以及概率与统计等多个知识点。
在学习这些知识点时，我们需要理解概念、记忆公式，并能够熟练运用于解决实际问题。
2020版高考数学总复习第八篇平面解析几何(必修2、选修2_1)第3节椭圆课件理
等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨
焦点
,两焦点间的距离叫做椭圆
2.椭圆的标准方程及其简单几何性质
标准 方程
焦点在 x 轴上 x2 + y 2 =1(a>b>0) a2 b2
图形
范围 对称性
|x|≤a;|y|≤b
曲线关于 x轴、 y轴、原点 对称
焦点在 y 轴上 y 2 + x2 =1(a>b>0) a2 b2
答案:④⑤
考点专项突破
在讲练中理解知识
考点一 椭圆的定义及其应用
【例1】 (1)已知△ABC的周长为26且点A,B的坐标分别是(-6,0),(6,0),则点
C的轨迹方程为
.
解析:(1)因为△ABC 的周长为 26,顶点 A(-6,0),B(6,0),所以|AB|=12,|AC|+|BC|=2612=14,且 14>12,点 C 到两个定点的距离之和等于定值,所以点 C 的轨迹是椭圆,因为
【跟踪训练 3】
(1)过椭圆 x2 a2
+ y2 b2
=1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2
为椭圆的右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为( )
(A) 2 (B) 3 (C) 1
5 55 以 b2≥1,所以 a2-c2≥1,4-c2≥1,解得 0<c≤ 3 ,所以 0< c ≤ 3 ,所以椭圆的离心率
a2 的取值范围为(0, 3 ).故选 A.
2
反思归纳 (1)求椭圆离心率的方法 ①直接求出a,c的值,利用离心率公式直接求解. ②列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=a2-c2消去b,转化为含有e 的方程(或不等式)求解. (2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路 求解与椭圆几何性质有关的参数问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、 焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的关系.
高考调研数学选修1
高考调研数学选修1一、引言数学作为一门重要的学科，对高中生的学业发展具有举足轻重的影响。
为了更好地了解高考数学选修1的情况，本文将对该选修课进行调研和分析，以期为学生选课和备考提供帮助和指导。
二、数学选修1的背景与基本信息2.1 背景数学选修1是高中数学课程的一部分，属于选修课程，授课内容主要围绕数学的基础和应用展开，涵盖的知识点较为广泛。
2.2 基本信息•课程目标：通过学习数学选修1课程，使学生能够掌握基本的数学思维方法和解题技巧，培养学生的数学兴趣和创新意识。
•课程内容：包括平面几何、立体几何、向量、数列、概率等内容。
•教材参考：《数学选修1教材》（具体教材可根据地区和学校而有所不同）。
三、数学选修1的教学现状3.1 教学方法根据调研结果，数学选修1的教学方法主要包括理论讲解、示例演示和习题辅导。
教师通常采用讲解和演示相结合的方式，帮助学生理解知识点，并通过习题辅导提高学生的解题能力。
3.2 教学资源数学选修1的教学资源主要包括教材、习题集、学校图书馆以及各类辅导资料。
教师会根据教学需要选用不同的教材和辅导资料，为学生提供丰富的学习资源。
3.3 学生反馈从学生的反馈中可以看出，数学选修1的内容相对较难，需要投入较多的时间和精力来学习和理解。
但同时，学生也认为数学选修1能够锻炼他们的逻辑思维和解决问题的能力，对培养学生的数学素养起到了积极的作用。
四、数学选修1的备考建议4.1 制定学习计划针对数学选修1的学习内容和难点，学生可以制定详细的学习计划，合理安排每天的学习时间，保证学习的效果和效率。
4.2 多做习题数学是一门需要实践的学科，通过多做习题可以加深对知识点的理解和记忆，提高解题能力。
建议学生选择合适的习题集，根据自己的实际情况进行练习。
4.3 寻求辅导和帮助在学习过程中，学生遇到困难和疑惑时，可以积极寻求教师和同学的帮助，或参加一些数学辅导班，提高自己的学习效果。
4.4 备考技巧备考期间，建议学生重点复习各个知识点的基本概念和公式，掌握解题的常用方法和技巧。
高考数学选修考点全析
考殇
高 考 数 学 选 修 考 点 呈 析
■珠海市斗门区第一 中学 于发智
考
点
解 读
选修 考点 主要考查考生对数 学概念 、 定义、 公式与 法则以及 中学数学基础知识 、 基本技能 、 基本思想和方
ｆ
ｔ ｙ ＝Ｖ ２ ． ｙ
此时易误选 Ａ选项 ， 由于 Ｉ ，可知 ≥２ ， １ 但 ≥Ｏ ，， ≥一
排除 Ａ选项． 正确选项为 Ｄ ．
１ 点评｝ 求曲线的极坐标方程的步骤是：①据题意
义 ，运 用 定性 分析 得 出结论 即 可 ．
囹在 坐 系 定 极 标 中， 点Ａ（ ＂， 在 １ ７） ，７ 点Ｂ 直
线 ｐ ｏＯｐ ｉＯ Ｏ上运 动 ，当线段 Ａ ｃｓ＋ ｓ ＝ ｎ Ｂ最短 时 ，点 曰
的极 坐 标 是
Ｉ 考点２ｌ 平面直角坐标系中的伸缩变换
平面几何 图形 的伸缩 变换是 常见 的几何 变换 ，将 图形看成是点的运动轨迹 ，并在 平面直角坐标 系中用 方程表示它，那么图形的伸缩变换就 可归结为 坐标 的
．
８ 上的点的横坐标保持不变， 纵坐
倍， 得到曲线 Ｃ． 曲线 ｃ的方程． 求
，
）．
， ＿标变为原来的 Nhomakorabea解此类 问题 的关键要 熟练掌握 点的直 角坐
标 与 极 坐 标 的 互化 、 曲 线 的 极 坐 标 方 程 与 直 角 坐 标
方程 的互 化 ．
Ｉ 解析１ 设所求曲线 ｃ 上的任一点坐标为（，） 圆 Ｙ ，
＋ ２８上 的对应 点的坐标 为 （ ｙ ＝ ，Ｙ） ，由题意可 得
闽
以 坐 系中 点Ａ（ １为 心， 为 极 标 的 １ ） 圆 １ ，
高中数学选修一综合测试题总结(重点)超详细(带答案)
高中数学选修一综合测试题总结(重点)超详细单选题1、已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则平面AB 1D 1与平面BDC 1的距离为（ ） A ．√2a B ．√3a C ．√23a D ．√33a 答案：D分析：建立空间直角坐标系，用空间向量求解由正方体的性质，AB 1∥DC 1,D 1B 1∥DB ，AB 1∩D 1B 1=B 1，DC 1∩DB =D ， 易得平面AB 1D 1∥平面BDC 1，则两平面间的距离可转化为点B 到平面AB 1D 1的距离．以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴 建立空间直角坐标系，则A (a,0,0)，B (a,a,0)，A 1(a,0,a )，C (0,a,0)，B 1(a,a,a )，D 1(0,0,a ) 所以CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(a,−a,a )，BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,−a,0)，AB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,a,a )，B 1D 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−a,−a,0)．连接A 1C ，由CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(a,−a,a )⋅(0,a,a )=0，CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅B 1D 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(a,−a,a )⋅(−a,−a,0)=0，且AB 1∩B 1D 1=B 1，可知A 1C ⊥平面AB 1D 1，得平面AB 1D 1的一个法向量为n ⃑ =(1,−1,1)，则两平面间的距离d =|BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n⃑ |n ⃑ ||=√3=√33a ． 故选：D2、已知两圆分别为圆C 1:x 2+y 2=49和圆C 2:x 2+y 2−6x −8y +9=0，这两圆的位置关系是（ ） A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切 答案：B分析：先求出两圆圆心和半径，再由两圆圆心之间的距离和两圆半径和及半径差比较大小即可求解. 由题意得，圆C 1圆心(0,0)，半径为7；圆C 2:(x −3)2+(y −4)2=16，圆心(3,4)，半径为4， 两圆心之间的距离为√32+42=5，因为7−4<5<7+4，故这两圆的位置关系是相交. 故选：B.3、在直角坐标平面内，与点A(0,3)距离为2，且与点B(4,0)距离为3的直线共有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 答案：C分析：根据直线是否存在斜率，分类讨论，利用点到直线距离公式进行求解即可. 当直线不存在斜率时，设为x =a ，由题意可知：|a −0|=2且|a −4|=3， 没有实数a 使得两个式子同时成立；当直线存在斜率时，设直线方程为：y =kx +b ⇒kx −y +b =0， 点A(0,3)到该直线的距离为2，所以有22=2(1)， 点B(4,0)到该直线的距离为3，所以有22=3(2)，由(1)(2)得：b =8k +9或b =9−8k 5，当b =8k +9时，代入(1)中，得15k 2+24k +8=0，该方程的判别式Δ=242−4×15×8=96>0，该方程有两个不相等的实数根， 当b =9−8k 5时，代入(1)中，得9k 2−24k +16=0，该方程的判别式Δ=(−24)2−4×9×16=0，该方程有两个相等的实数根， 所以这样的直线共有三条，故选：C.小提示：关键点睛：本题的关键是解方程组.4、过点P(√3,−2√3)且倾斜角为135∘的直线方程为（ ） A ．3x −y −4√3=0B ．x −y −√3=0 C ．x +y −√3=0D ．x +y +√3=0 答案：D分析：由倾斜角为135∘求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程 解：因为直线的倾斜角为135∘，所以直线的斜率为k =tan135°=−1， 所以直线方程为y +2√3=−(x −√3)，即x +y +√3=0， 故选：D5、如图，下列各正方体中，O 为下底面的中心，M ，N 为顶点，P 为所在棱的中点，则满足MN ∥OP 的是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A分析：根据给定条件，建立空间直角坐标系，再对每一个选项逐一分析，利用空间位置关系的向量证明推理作答.在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，令正方体棱长为2，点O (1,1,0)， 对于A ，M (0,0,2),N (2,0,0),P (2,0,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,-2),OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,-1,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，MN ∥OP ，A 是；对于B ，M (2,0,2),N (0,2,2),P (0,2,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(-2,2,0),OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(-1,1,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =4≠0，MN 与OP 不垂直，B 不是；对于C ，M (0,2,2),N (0,0,0),P (2,1,2)，MN →=(0,-2,-2),OP →=(1,0,2)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =-4≠0，MN 与OP 不垂直，C 不是；对于D ，M (2,2,2),N (0,2,0),P (0,0,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(-2,0,-2),OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,0,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =-4≠0，MN 与OP 不垂直，D 不是.故选：A6、已知直线l 经过点P(1,3)，且l 与圆x 2+y 2=10相切，则l 的方程为（ ）A ．x +3y −10=0B ．x −3y +8=0C ．3x +y −6=0D ．2x +3y −11=0 答案：A分析：直线l 经过点P(1,3)，且l 与圆x 2+y 2=10相切可知k l =−1k op，再使用点斜式即可.直线l 经过点P(1,3)，且l 与圆x 2+y 2=10相切，则k l =−1k op=−13−01−0=−13,故直线l 的方程为y −3=−13(x −1)，即x +3y −10=0.故选：A.7、美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的13，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm ，五眼中一眼的宽度为1cm ，若图中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）A ．5√24B ．7√24C ．9√24D ．11√24答案：B分析：建立平面直角坐标系，求出直线AB 的方程，利用点到直线距离公式进行求解.如图，以鼻尖所在位置为原点O ，中庭下边界为x 轴，垂直中庭下边界为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (12,4),B (-32,2)，直线AB:y-42-4=x-12-32-12，整理为x-y+72=0，原点O到直线距离为|7 2 |√1+17√24，故选：B8、若平面内两条平行线l1：x+(a−1)y+2=0，l2：ax+2y+1=0间的距离为3√55，则实数a=（）A．−2B．−2或1C．−1D．−1或2答案：C分析：根据平行关系得出a=2或a=−1，再由距离公式得出a=−1满足条件.∵l1//l2，∴a⋅(a−1)=2，解得a=2或a=−1当a=2时d=|2−1 2 |√2=3√24，当a=−1时d=√5=3√55故选：C多选题9、已知直线l1：x−y−1=0，动直线l2：(k+1)x+ky+k=0(k∈R)，则下列结论正确的是（）A．存在k，使得l2的倾斜角为90∘B．对任意的k，l1与l2都有公共点C．对任意的k，l1与l2都不重合D．对任意的k，l1与l2都不垂直答案：ABD分析：当k=0时可判断A；直线l1与l2均过点(0,−1)可判断B；当k=−12时可判断C，由两直线垂直斜率乘积等于−1可判断D，进而可得正确选项.对于A：当k=0时，直线l2：x=0，此时直线l2的倾斜角为90∘，故选项A正确；对于B，直线l1与l2均过点(0,−1)，所以对任意的k，l1与l2都有公共点，故选项B正确；对于C ，当k =−12时，直线l 2为12x −12y −12=0，即x −y −1=0与l 1重合，故选项C 错误；对于D ，直线l 1的斜率为1，若l 2的斜率存在，则斜率为−k+1k≠−1，所以l 1与l 2不可能垂直，所以对任意的k ，l 1与l 2都不垂直，故选项D 不正确； 故选：ABD.10、已知F 为椭圆C ：x 24+y 22=1的左焦点，直线l ：y =kx(k ≠0)与椭圆C 交于A ，B 两点，AE ⊥x 轴，垂足为E ，BE 与椭圆C 的另一个交点为P ，则（ ）A ．1|AF|+4|BF|的最小值为2B ．△ABE 面积的最大值为√2 C ．直线BE 的斜率为12k D ．∠PAB 为钝角答案：BC分析：A 项，先由椭圆与过原点直线的对称性知，|AF|+|BF|=4，再利用1的代换利用基本不等式可得最小值94，A 项错误； B 项，由直线与椭圆方程联立，解得交点坐标，得出面积关于k 的函数关系式，再求函数最值； C 项，由对称性，可设A(x 0,y 0)，则B(−x 0,−y 0)，E(x 0,0)，则可得直线BE 的斜率与k 的关系； D 项，先由A 、B 对称且与点P 均在椭圆上，可得k PA ⋅k PB =−b 2a 2=−12，又由C 项可知k PB =k BE =12k ， 得k PA ⋅k AB =−1，即∠PAB =90°，排除D 项.对于A ，设椭圆C 的右焦点为F ′，连接AF ′，BF ′， 则四边形AF ′BF 为平行四边形， ∴|AF|+|BF| =|AF|+|AF ′|=2a =4， ∴1|AF|+4|BF|=14(|AF|+|BF|)(1|AF|+4|BF|)=14(5+|BF||AF|+4|AF||BF|)≥94，当且仅当|BF|=2|AF|时等号成立，A 错误；对于B ，由{x 24+y 22=1y =kx 得x =√1+2k 2，∴|y A −y B |√1+2k 2，∴△ABE 的面积S =12|x A ||y A −y B |=4|k|1+2k 2=41|k|+2|k|≤√2，当且仅当k =±√22时等号成立，B 正确；对于C ，设A(x 0,y 0)，则B(−x 0,−y 0)，E(x 0,0)， 故直线BE 的斜率k BE =0+y 0x0+x 0=12⋅ y 0x 0=12k ，C 正确；对于D ，设P(m,n)，直线PA 的斜率额为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ， 则k PA ⋅k PB = n−y 0m−x 0⋅n+y 0m+x 0=n 2−y 02m 2−x 02，又点P 和点A 在椭圆C 上，∴m 24+n 22=1①，x 024+y 022=1②，①−②得n 2−y 02m 2−x 02=−12，易知k PB =k BE =12k ，则k PA ⋅12k =−12，得k PA =−1k，∴k PA ⋅k AB =(−1k )⋅k =−1，∴∠PAB =90°，D 错误. 故选：BC.小提示：椭圆常用结论：已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，AB 为椭圆经过原点的一条弦，P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，若k PA ,k PB 都存在，则k PA ⋅k PB =−b 2a 2. 11、设椭圆C:x 24+y 2=1的的焦点为F 1，F 2，P 是C 上的动点，则下列结论正确的是（ ）．A ．离心率e =√32B ．|PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |的最大值为3C ．△PF 1F 2面积的最大值为2√3D ．|PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |的最小值为2 答案：AD分析：根据椭圆方程求出a 、b 、c ，即可判断A ，设P(x,y)根据二次函数的性质判断BD ，由S △PF 1F 2=12|y|⋅2c 判断C ； 解：因为椭圆C:x 24+y 2=1，所以a 2=4，b 2=1，所以a =2，b =1，c =√a 2−b 2=√3，所以F 1(−√3,0)，F 2(√3,0)，e =c a=√32，故A 正确；设P(x,y)，所以PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(√3−x,−y)，所以|PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |2=(x −√3)2+y 2=(x −√3)2+1−x 24=3x 24−2√3x +4=34(x −43√3)2，因为−2≤x ≤2，所以当x =−2时(|PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |2)max=7+4√3，即|PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |max =2+√3，故B 错误；因为S △PF 1F 2=12|y|⋅2c =12|y|×2√3=√3|y|，又−1⩽y ⩽1，所以当y =±1时，即P 在短轴的顶点时△PF 1F 2面积的取得最大值，(S △PF 1F 2)max=√3×1=√3，故C 错误；对于D ：|PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=2|PO ⃑⃑⃑⃑⃑ |=2√x 2+y 2=2√3x 24+1，因为−2≤x ≤2，所以1≤3x 24+1≤4，所以2≤|PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |≤4，故D 正确； 故选：AD 填空题12、已知平面直角坐标系中，A(−1,0),B(1,−1)，若A,B,C 是等边三角形的顶点，且依次按逆时针方向排列，则点C 的坐标是___________. 答案：(√32,√3−12)分析：分别点A,B 为圆心，AB 为半径作圆，根据题意得两圆在第一象限中的交点即为所求点C ，进而写出圆的方程并联立求解即可得答案.解：如图，分别以点A,B 为圆心，AB 为半径作圆，两圆在第一象限的交点即为所求的点C . 因为A(−1,0),B(1,−1)，|AB |=√(−1−1)2+1=√5所以以点A 为圆心，AB 为半径的圆的方程为(x +1)2+y 2=5； 以点B 为圆心，AB 为半径的圆的方程为(x −1)2+(y +1)2=5. 联立方程{(x +1)2+y 2=5(x −1)2+(y +1)2=5 ，解得x =±√32（负舍），y =√3−12 所以点C 的坐标是(√32,√3−12) 所以答案是：(√32,√3−12)13、已知直线kx −y +2k =0与直线x +ky −2=0相交于点P ，点A (4,0)，O 为坐标原点，则tan∠OAP 的最大值为_____________. 答案：√33##13√3分析：根据给定条件，求出点P 的轨迹，结合图形利用几何意义求解作答. 直线kx −y +2k =0恒过定点M(−2,0)，直线x +ky −2=0恒过定点N(2,0)， 显然直线kx −y +2k =0与直线x +ky −2=0垂直，当k ≠0时，PM ⊥PN ， 点P 在以MN 为直径的圆x 2+y 2=4（除点M ，N 外）上，当k =0时，点P(2,0), 因此，点P 的轨迹是以原点O 为圆心，2为半径的圆（除点M(−2,0)外），如图，观察图形知，点A 在圆O ：x 2+y 2=4(x ≠−2)外，当直线AP 与圆O 相切时，∠OAP 为锐角且最大，tan∠OAP最大，所以(tan∠OAP)max=√42−22=√33.所以答案是：√3314、已知函数f(x)=√1−x2+k(x−2)有两个不同的零点，则常数k的取值范围是___________.答案：0≤k<√33分析：根据题意，函数f(x)=√1−x2+k(x−2)有两个不同的零点，等价于y=√1−x2与y=−k(x−2)的图象有两个不同的交点，作出图象，数形结合即可求解.由函数f(x)=√1−x2+k(x−2)有两个不同的零点，可知y=√1−x2与y=−k(x−2)的图象有两个不同的交点，故作出如下图象，当y=√1−x2与y=−k(x−2)的图象相切时，√k2+1=1，即k=±√33，由图可知−k<0，故相切时k=√33，因此结合图象可知，当0≤k<√33时，y=√1−x2与y=−k(x−2)的图象有两个不同的交点，即当0≤k<√33时，函数f(x)=√1−x2+k(x−2)有两个不同的零点.所以答案是：0≤k<√33.解答题15、设直线l的方程为(a+1)x+y−3+a=0（a∈R）.(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值；(2)若l 不经过第三象限，求a 的取值范围.答案：(1)0或3(2)[−1,3]分析：（1）通过讨论−3+a 是否为0，求出a 的值即可；（2）根据一次函数的性质判断a 的范围即可.（1）当直线l 过原点时，该直线l 在x 轴和y 轴上的截距为零， ∴a ＝3，方程即为4x +y ＝0；若a ≠3，则3−a a+1=3−a ，即a +1＝1，∴a ＝0，方程即为x +y −3=0，∴a 的值为0或3.（2）若l 不经过第三象限，直线l 的方程化为y =−(a +1)x +3−a ，则{−(a +1)≤03−a ≥0，解得−1≤a ≤3， ∴a 的取值范围是[−1,3].。
高考数学压轴专题人教版备战高考《平面解析几何》图文解析
【高中数学】数学《平面解析几何》复习知识要点一、选择题1．已知平面向量,,a b c r r r满足()()2,21a b a b a c b c ==⋅=-⋅-=r r r r r r r r ，则b c -r r 的最小值为（ ）A ．2B ．2C ．2-D ．12【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，易知a r 与b r的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，由()()21a c b c -⋅-=r r r r ，可得221202x y x +-+=，所以原问题等价于，圆221202x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值， 利用圆心和点()20，的距离与半径的差，即可求出结果. 【详解】因为2a b a b ==⋅=r r r r ，所以a r 与b r 的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r，因为()()21a c b c -⋅-=r r r r ，所以221202x y x +-+=，又b c -=r r所以原问题等价于，圆221202x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值，又圆221202x y x +-+=的圆心坐标为1⎛ ⎝⎭，所以点()20，与圆221202x y x +-+=上一动点距离的最小值为22=. 故选：A. 【点睛】本题考查向量的模的最值的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查学生的转换思想和运算能力，属于中档题．2．设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，抛物线C 与圆22525:()416C x y +-='于,A B 两点，且5AB =若过抛物线C 的焦点的弦MN 的长为8，则弦MN 的中点到直线2x =-的距离为（ ）A ．2B ．5C ．7D ．9【答案】B 【解析】 【分析】易得圆C '过原点，抛物线22y px =也过原点，联立圆和抛物线方程由AB 求得交点坐标，从而解出抛物线方程，根据抛物线定义即可求得弦MN 的中点到直线2x =-的距离. 【详解】圆:22525:,416C x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭'即为2252x y y +=,可得圆经过原点.抛物线22y px =也过原点. 设()()0,0,,,0A B m n m >. 由5AB =可得225m n +=， 又2252m n n +=联立可解得2,1n m ==. 把()1,2B 代人22y px =，解得2p =，故抛物线方程为24y x =，焦点为()1,0F ，准线l 的方程为1x =-.如图，过,M N 分别作ME l ⊥于E ，NK l ⊥于K ，可得,MF ME NK NF ==，即有MN MF NF ME KN =+=+|. 设MN 的中点为0P ，则0P 到准线l 的距离11(|)422EM KNI MN +==， 则MN 的中点0P ，到直线2x =-的距离是415+=. 故选：B 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，考查学生的分析问题，解决问题的能力，数形结合思想.属于一般性题目.3．已知双曲线2221(0)2x y b b-=>的左右焦点分别为12,F F ，其一条渐近线方程为y x =，点0(3,)P y 在该双曲线上，则12PF PF ⋅u u u r u u u u r=( )A ．12-B ．2-C ．0D ．4【答案】C 【解析】 由题知，故，∴12(23,1)(23,1)3410PF PF ⋅=-±⋅±=-+=u u u r u u u u r ，故选择C ．4．已知1F 、2F 分别为双曲线22146x y -=的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点且满足120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v，若直线2MF 与双曲线的另一个交点为N ，则1MF N ∆的面积为（ ）A ．12B ．2C ．24D ．242【答案】C 【解析】 【分析】设1MF m =，2MF n =，根据双曲线的定义和12MF MF ⊥，可求出6m =，2n =，再设2NF t =，则14NF t =+根据勾股定理求出6t =即可求出三角形的面积. 【详解】解：设1MF m =，2MF n =，∵1F 、2F 分别为双曲线22146x y -=的左、右焦点，∴24m n a -==，122210F F c == ∵120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v， ∴12MF MF ⊥， ∴222440m n c +==， ∴()2222m n m n mn -=+-， 即2401624mn =-=， ∴12mn =， 解得6m =，2n =，设2NF t =，则124NF a t t =+=+，在1Rt NMF ∆中可得()()222426t t +=++， 解得6t =， ∴628MN =+=， ∴1MF N ∆的面积111862422S MN MF =⋅=⨯⨯=. 故选C ．【点睛】本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．5．已知双曲线22:1124x y C -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,P Q ．若POQ ∆为直角三角形，则PQ =（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C 【解析】 【分析】由题意不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒，解三角形即可. 【详解】不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒.则易知30POF ∠=︒，4OF =，∴23OP =POQ n 中，60POQ ∠=︒，90OPQ ∠=︒，23OP =∴36PQ OP ==. 故选C 【点睛】本题主要考查双曲线的性质，根据双曲线的特征设出P ，Q 位置，以及POQ V 的直角，即可结合条件求解，属于常考题型.6．过抛物线212x y =的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交抛物线的准线于点C ，若3AF FB =uu u r uu r，则BC =（ ）A ．4B ．43C ．6D ．8【答案】D 【解析】 【分析】作出图象，作BM CP ⊥，AN CP ⊥，BH AN ⊥，设BF x =，根据抛物线的性质可得BM BF HN x ===，3AN AF x ==，进而得到1sin 2ACN ∠=，则可求出x 的值，进而得到BC 的值. 【详解】作BM CP ⊥，AN CP ⊥，BH AN ⊥，如图，因为3AF FB =uu u r uu r，不妨设BF x =，所以33AF BF x ==，4AB x =， 根据抛物线的定义可得BM BF HN x ===，3AN AF x ==，6FP p ==， 则32AH AN HN x x x =-=-=， 所以1sin sin 2AH ABH ACN AB ∠=∠==，则212CF FP ==，2CB x =， 则312CF CB BF x =+==，所以4x =，则28BC x ==， 故选：D ． 【点睛】本题考查抛物线的性质，涉及抛物线定义的应用，考查数形结合思想，属于中档题．7．已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是（ ）A ．125 B ．65C ．2D ．55【答案】A 【解析】试题分析：根据抛物线的定义可知抛物线24y x =上的点P 到抛物线的焦点距离1PF d =,所以122d d MF d +=+,其最小值为()1,0F 到直线3490x y -+=的距离，由点到直线的距离公式可知()()122min min223912534d d MF d ++=+==+，故选A. 考点：抛物线定义的应用.8．在平面直角坐标系中，已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，实轴长为8，离心率为，则它的渐近线的方程为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：渐近线的方程为，而，因此渐近线的方程为，选D.考点：双曲线渐近线9．已知抛物线2:6C x y =的焦点为F 直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，若AB 中点的纵坐标为5，则||||AF BF +=（ ） A ．8 B ．11 C ．13 D ．16【答案】C 【解析】 【分析】设点A 、B 的坐标，利用线段AB 中点纵坐标公式和抛物线的定义，求得12y y +的值，即可得结果； 【详解】抛物线2:6C x y =中p ＝3， 设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由抛物线定义可得：|AF |+|BF |＝y 1+ y 2+p ＝y 1+ y 2+3， 又线段AB 中点M 的横坐标为122y y +=5， ∴12y y +＝10， ∴|AF |+|BF |＝13； 故选：C . 【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用及中点坐标公式，是中档题．10．已知0mn ≠，则方程是221mx ny +=与20mx ny +=在同一坐标系内的图形可能是 ( ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】方程20mx ny +=即2my x n=-，表示抛物线，方程()2210mx ny mn +=≠表示椭圆或双曲线，当m 和n 同号时，抛物线开口向左，方程()2210mx ny mn +=≠表示椭圆，无符合条件的选项，当m 和n 异号时，抛物线2my x n=-开口向右，方程221mx ny +=表示双曲线，故选A.11．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2a C 2aD 2a 【答案】D 【解析】 【分析】设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求HI 的长度即可.【详解】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点， 则ABEG 四点共面， 且平面1//A BGE 平面1B HI ， 又1//B F Q 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，Q 正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，1122HI CD a ∴==，即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是2a ． 故选D ．【点睛】本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.12．设P 为椭圆C ：22x y 173+=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点，延长1FP 至点Q ，使得2PQ PF =，则动点Q 的轨迹方程为( )A ．22(x 2)y 28-+=B ．22(x 2)y 7++=C ．22(x 2)y 28++=D ．22(x 2)y 7-+= 【答案】C 【解析】 【分析】推导出12PF PF 2a 27+==2PQ PF =，从而11PFPQ FQ 27+==Q 的轨迹为圆，由此能求出动点Q 的轨迹方程． 【详解】P Q 为椭圆C ：22x y 173+=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点， 延长1FP 至点Q ，使得2PQ PF =，12PF PF 2a 27∴+==，2PQ PF =，11PF PQ FQ 27∴+==， Q ∴的轨迹是以()1F 2,0-为圆心，27为半径的圆， ∴动点Q 的轨迹方程为22(x 2)y 28++=．故选：C ． 【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查椭圆的定义、圆的标准方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13．已知点M 是抛物线24x y =上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆C ：22(1)(4)1x y -+-=上一动点，则||||MA MF +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线定义和三角形三边关系可知当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，根据圆的性质可知最小值为CP r -；根据抛物线方程和圆的方程可求得CP ，从而得到所求的最值. 【详解】如图所示，利用抛物线的定义知：MP MF =当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，且最小值为1CP r CP -=-Q 抛物线的准线方程：1y =-，()1,4C415CP ∴=+= ()min 514MA MF ∴+=-=本题正确选项：B 【点睛】本题考查线段距离之和的最值的求解，涉及到抛物线定义、圆的性质的应用，关键是能够找到取得最值时的点的位置，从而利用抛物线和圆的性质来进行求解.14．点为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在点使（为坐标原点）为正三角形，则椭圆的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】为正三角形，点在椭圆上，代入椭圆方程，计算得到.【详解】由题意，可设椭圆的焦点坐标为， 因为为正三角形，则点在椭圆上，代入得，即，得，解得，故选B ． 【点睛】本题考查了椭圆离心率的计算，意在考查学生的计算能力.15．已知曲线C 的方程为22121x y m m+=-，现给出下列两个命题：p ：102m <<是曲线C 为双曲线的充要条件，q ：12m > 是曲线C 为椭圆的充要条件，则下列命题中真命题的是（ ）A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．p q ∧【答案】C 【解析】 【分析】根据充分必要条件及双曲线和椭圆定义，分别判定命题p 与命题q 的真假，进而判断出复合命题的真假． 【详解】若曲线C 为双曲线，则()210m m -< ，可解得102m << 若102m <<，则()210m m -<，所以命题p 为真命题若曲线C 为椭圆，则12m >且m≠1，所以命题q 为假命题 因而()p q ∧⌝为真命题所以选C【点睛】 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程，充分必要条件的判定，属于基础题．16．若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：()()22112x y +++=的周长，则12m n +的最小值为（ ） A ．92B ．9C ．6D ．3 【答案】D【解析】【分析】把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程，由题意知圆2C 的圆心在直线l 上，可得()123,213m n m n +=∴+=，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】 把圆2C ：()()22112x y +++=化为一般式，得22220x y x y +++=， 又圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >），两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=. Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，()()12150m n ∴-+-++=，即()123,213m n m n +=∴+=. ()112225331212121n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭⎭()115522333⎛≥+=+⨯= ⎝. 当且仅当2322m n n m m n +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1m n ==时，等号成立. 12m n∴+的最小值为3. 故选：D .【点睛】本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.17．若A ，B 分别是直线20x y --=与x 轴，y 轴的交点，圆C ：()()22448x y -++=上有任意一点M ，则AMB ∆的面积的最大值是（ ） A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】C【解析】【分析】 先求出AB ，再求出M 到直线的最大距离为点M 到直线20x y --=加上半径，进而可得面积最大值.【详解】由已知()2,0A ，()0,2B -则AB ==，又点M =所以最大面积为1102⨯=. 故选：C.【点睛】 本题考查圆上一点到直线的最大距离问题，是基础题.18．已知1F ，2F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点A 是双曲线上第二象限内一点，且直线1AF 与双曲线的一条渐近线b y x a=平行，12AF F ∆的周长为9a ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B C ．3 D ．【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义，结合三角形的周长可以求出1AF 和2AF 的表达式，根据线线平行，斜率的关系，结合余弦定理进行求解即可.【详解】 由题意知212AF AF a -=，2192AFAF a c +=-， 解得21122a c AF -=，1722a c AF -=，直线1AF 与b y x a =平行，则12tan b AF F a ∠=，得12cos a AF F c∠=， 222121214cos 22AF c AF a AF F c AF c+-∠==⋅， 化简得22280c ac a +-=，即2280e e +-=，解得2e =.故选：A【点睛】本题考查求双曲线的离心率，考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.19．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=u u u v u u u v （ ）A ．-16B ．0C ．16D ．32【答案】B【解析】【分析】 先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r，再利用平面向量的数量积求解.【详解】∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点. 由24y x y x ⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r ，∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r .故选B【点睛】本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20．已知,A B 两点均在焦点为F 的抛物线()220y px p =>上，若4AF BF +=，线段AB 的中点到直线2p x =的距离为1，则p 的值为 （ ） A ．1B ．1或3C ．2D ．2或6 【答案】B【解析】4AF BF +=1212442422p p x x x x p x p ⇒+++=⇒+=-⇒=-中 因为线段AB 的中点到直线2p x =的距离为1，所以121132p x p p -=∴-=⇒=中或 ，选B. 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若00(,)P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点，由定义易得02p PF x =+；若过焦点的弦AB AB 的端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．。
高考数学-选修部分(1)《几何证明选讲》知识点归纳与练习(内含答案)
《几何证明选讲》一、相似三角形的判定及有关性质平行线等分线段定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
平分线分线段成比例定理平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
相似三角形的判定及性质相似三角形的判定：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。
由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。
所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似。
预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。
判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两角对应相等，两三角形相似。
判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。
沈阳高考数学选修一知识点
沈阳高考数学选修一知识点数学作为一门重要的学科，对于每一个学生而言都是必修的课程。
在高考中，数学作为其中一门科目更是扮演着举足轻重的角色。
而对于沈阳地区的学生来说，数学选修一是他们需要着重掌握的一个知识点。
下面将从代数、函数、几何等几个方面介绍一下数学选修一的相关知识点。
一、代数篇1.1 复数复数是由实数和虚数部分组成的数，通常用 a+bi表示。
其中i 为虚数单位，满足i²=-1。
在高考数学中，我们通常需要将复数进行运算，如加减乘除、开平方等。
1.2 二次函数二次函数是一种抛物线函数，其标准形式为y=ax²+bx+c。
在高考数学中，我们需要熟练掌握二次函数的图像、顶点、对称轴、零点等基本性质，以及如何根据已知条件解二次方程。
1.3 不等式不等式是数学中常见的一种关系，用于比较两个数或两个式子的大小关系。
在高考数学中，我们需要掌握不等式的基本性质，如加减乘除、移项变号等运算规则，并能够根据已知条件解不等式。
二、函数篇2.1 函数的定义和表示函数是一种描述自变量和因变量之间关系的数学工具。
在高考数学中，我们需要了解函数的定义、图像表示、定义域和值域等基本概念，以及如何根据已知条件确定函数的表达式。
2.2 指数函数与对数函数指数函数和对数函数是高考数学中常见的两种函数类型。
指数函数的标准形式为y=a^x，其中a>0且a≠1；对数函数的标准形式为y=logₐ(x)，其中a>0且a≠1。
我们需要掌握它们的基本性质，如图像、定义域和值域等，并能够根据已知条件求解相关的题目。
2.3 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
在高考数学中，我们需要掌握三角函数的定义、图像、周期性质等，并能够运用三角函数解决实际问题。
三、几何篇3.1 三角形与三角形的性质三角形是平面几何中最基本的图形之一。
在高考数学中，我们需要了解三角形的基本性质，如内角和、外角和、斜边关系、中线定理等，并能够运用它们解决相关的几何问题。
教材高考·审题答题(五) 平面解析几何热点问题
教材高考·审题答题（五）平面解析几何热点问题热点预测真题印证核心素养求曲线(轨迹)方程2019·全国Ⅰ，10；2019·全国Ⅰ，19(1)；2019·全国Ⅱ，21(1)；2018·全国Ⅰ，19(1)；2018·全国Ⅱ，19；2017·全国Ⅰ，20(1)；2017·全国Ⅱ，20(1)；2017·全国Ⅲ，5；2017·全国Ⅲ，20(2).数学运算、直观想象测度类问题（长度、面积、角度等）2019·全国Ⅰ，19；2019·全国Ⅱ，21(2)；2019·全国Ⅲ，10；2019·全国Ⅲ，21(2)；2018·全国Ⅰ，11；2018·全国Ⅰ，19(2)；2018·全国Ⅲ，6；2018·全国Ⅲ，20(2)；2017·全国Ⅰ，10；2017·全国Ⅱ，16；数学运算、直观想象特殊位置类问题（相切、定点等）2019·全国Ⅲ，21；2017·全国Ⅰ，20(2)；2018·全国Ⅱ，19(2)；2017·全国Ⅱ，20(2)；2017·全国Ⅲ，20(1).数学运算、直观想象教材链接高考——求曲线(轨迹)方程[教材探究] 1.（苏教版选修2-1P64习题2.6（2）第9题）求与圆2240x y x+-=外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程.2.（苏教版选修2-1P38习题2.2（2）第13题）如图，1,,A A B分别是椭圆顶点，从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足为焦点F，且AB//OP，1105FA=.[试题评析] 1. 当动圆圆心在y轴右侧时，可依据抛物线的定义直接得到其轨迹方程为28(0)y x x=>；当动圆圆心在y轴左侧时，设出动圆圆心坐标，根据几何意义列出等式，代入动点坐标后，化简可得所求的轨迹方程为0(0)y x=<. 将两种情况的结果合在一起，可得所求的轨迹方程为28(0)y x x=>或0(0)y x=<.2. 设出椭圆的方程后，先根据题意求出点P的坐标，然后利用待定系数法，根据AB//OP和1FA的长度列出方程组，解方程组求出待定的系数，进而写出椭圆的方程.两题分别从不同角度回顾了求曲线（轨迹）方程的常用思想与方法，凸显数学运算与直观xyO ABPFA1想象等数学核心素养.【教材拓展】（2016全国卷Ⅰ理 改编）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ，试求点E 的轨迹方程.【链接高考】（2016全国卷Ⅲ理）已知抛物线2:2C y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR //FQ ；（2）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．教你如何审题——特殊位置类问题（相切、定点等）【例题】 （2017全国Ⅰ卷）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，四点1(1,1)P ，2(0,1)P，3(1,2P -，4(1,2P 中恰有三点在椭圆C 上．（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A ，B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．[审题路线][自主解答]探究提高 1.本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、直线的斜率以及直线过定点问题，突出数学运算和直观想象等核心素养，准确计算是求解的关键.2.在知道曲线类型的前提下，利用待定系数法求方程是常用的方法.3.对于直线（曲线）过定点问题，常用的方法有两个：（1）引参法：引进参数，设出直线（曲线）方程，根据题设条件化简方程，然后确定直线（曲线）所经过的定点；（2）特例法：先根据一些特殊位置探索出定点，然后证明直线(曲线)过该点与条件中的运动无关.【尝试训练】 （2017全国Ⅱ卷）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =．（1）求点P 的轨迹方程； （2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．满分答题示范——测度类问题（长度、角度、面积等）【例题】 (12分) （2015全国1卷）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：24x y =与直线y kx a =+(0)a >交与M ，N 两点，（1）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（2）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由．[规范解答] 解析 （1）由题设可得)M a，()N a -，或()M a -，)N a .…………………………………………………………………………………1分 (得分点1)因为1y x '=，故24x y =在x =C 在)a 处的切线方程为y a x-=-0y a --=. ……………………………3分(得分点2) 又因为24x y =在x =-处的导数值为C 在()a -处的切线方程为y a x -=+，0y a ++=. …………………………………5分 (得分点3)0y a --=0y a ++=. …………………6分 (得分点4) （2）存在符合题意的点P ，其坐标为(0,)a -. ……………………………7分 (得分点5) 证明：设(0,)P b 为符合题意的点，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k .将y kx a =+代入C 的方程，整理得2440x kx a --=.∴12124,4x x k x x a +==-. …………………………………………………8分 (得分点6)∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a+. ……10分 (得分点7) 当b a =-时，恒有12k k +=0，则恒有直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故此时恒有∠OPM =∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意．………………12分 (得分点8)[高考状元满分心得]❶得步骤分：抓住解题的关键步骤，呈现清晰的解题思路，在第(1)问中，把开口向上的抛物线看成是二次函数，利用导数法求切线方程；在第(2)问中，假设存在符合题意的点P ，将“两角度相等”等价转化为“两直线的斜率互为相反数”，进而转化为“等式恒成立”问题，由此解得点P 坐标.❷得严谨分：(1)点M ，N 的坐标有两种情况；(2)两个切线方程的综述；(3)先交待存在符合题意的点P ，再给出证明. 这些都是不可少的步骤，有则给分，无则没分.❸得计算分：解题过程中的计算准确是得满分的根本保证，如(得分点2)，(得分点3)，(得分点6) ，(得分点7).[构建模板]【规范训练】(2018·长沙调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且过点P 3(1,)2，F 为其右焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点A (4，0)的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点(点M 在A ，N 两点之间)，是否存在直线l 使△AMF 与△MFN 的面积相等？若存在，试求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.设出后续运算所需的点坐标、直线方程等 联立直线与曲线方程成方程组，然后消元得一元二次方程 根据题设条件用根的判别式、韦达定理、弦长公式、面积公式等进行运算 …… …… ………… 反思解题过程，检验易错点，规范解题步骤。
2021高考数学 必考热点大调查22 选修平面几何问题（选修1）(1)
2021高考数学必考热点大调查：热点22选修平面几何问题（选修1）【最新考纲解读】1．温习相似三角形的概念与性质，了解平行截割定理，证明直角三角形射影定理．2．证明圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理．3．证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.【回归讲义整合】一、相似三角形1．相似三角形(1)概念：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)．(2)判定①判定定理1 两角对应相等的两个三角形相似．判定定理2 三边对应成比例的两个三角形相似．判定定理3 两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似．②若是两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似．若是两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．若是一个直角三角形的斜边与一条直角边和另一个直角三角形的斜边与一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似．(3)性质①性质定理1 相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比．②性质定理2 相似三角形面积的比等于相似比的平方．相似三角形对应角的平分线的比，外接圆直径的比、周长的比，内切圆直径的比、周长的比都等于相似比．相似三角形外接圆面积的比，内切圆面积的比都等于相似比的平方．2．平行截割定理平行截割定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．直角三角形的射影定理：若Rt△ABC斜边AB上的高为CD，那么CD2＝AD·BD，BC2＝BD·AB，AC2＝AD·AB.二、圆幂定理与圆锥截线1．圆的切线(1)切线判定定理通过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(2)切线性质定理圆的切线垂直于通过切点的半径．①通过圆心且垂直于切线的直线必过切点．②通过切点垂直于切线的直线必通过圆心．推论1 从圆外一点所引圆的两条切线长相等．推论2 通过圆外一点和圆心的直线平分从这点向圆所引两条切线的夹角．(3)内切圆、旁切圆与一个三角形三边都相切的圆，叫做那个三角形的内切圆；与三角形的一边和其它两边的延长线都相切的圆，叫做三角形的旁切圆．2．圆心角定理圆心角的度数等于它所对的弧的度数．3．圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半．推论1 直径(或半圆)所对的圆周角都是直角．推论2 同弧或等弧所对的圆周角相等．推论3 等于直角的圆周角所对的弦是圆的直径．4．弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．5．圆幂定理(1)相交弦定理圆的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等．(2)切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项．(3)割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．圆幂定理已知⊙(O，r)，通过一定点P，作⊙O的任一条割线交圆于A、B两点，那么PA·PB ＝定值k.①当点P在圆外时，k＝PO2－r2，②当点P在圆内时，k＝r2－OP2，③当点P在⊙O上时，k＝0，通常把那个地址的定值k称作点P对⊙O的幂．6．圆内接四边形(1)圆内接四边形性质定理①对角互补．②外角等于它的内对角(2)圆内接四边形判定定理若是一个四边形的一组对角互补，那么那个四边形内接于圆．推论若是四边形的一个外角等于它的内对角，那么那个四边形四个极点共圆．【方式技术提炼】1．辅助线作法：几何证明题的一个重要问题确实是作出适当的辅助线，相似关系的基础确实是平行截割定理，故作辅助线的要紧方式确实是作平行线，见中点取中点连线利用中位线定理，见比例点取等比的分点构造平行关系，截取等长线段构造全等关系，立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是经常使用的作辅助线方式．2．比例的性质的应用相似关系的证明中，常常要应用比例的性质：若ab＝cd，那么①ac＝bd；②ad＝bc；③a＋bb＝c＋dd；④a－bb＝c－dd；⑤a＋ba－b＝c＋dc－d；⑥a＋cb＋d＝a b.3．同一法：先作出一个知足命题结论的图形，然后证明图形符合命题已知条件，确信所作图形与题设条件所指的图形相同，从而证明命题成立．4.证明多点共圆，当两点在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也能够证明它们与某必然点距离相等；如两点在一条线段异侧，那么证明它们与线段两头点连成的凸四边形对角互补．5.与圆有关的比例线段(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．(2)相交弦定理、切割线定理主若是用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．【考场体会分享】1．应用相似三角形的性质时，对应量必需找准(对应边，对应角，对应边上的高、中线，对应的角平分线等等)，牢牢把握对应角对的边是对应边，对应边对的角是对应角．2．判定两三角形相似时，能够用三边对应成比例，也能够用两角对应相等(只要两角对应相等，第三个角也对应相等)．但两边对应成比例时，必需有夹角相等的条件．3．等弧对等弦、对等圆心角、对等圆周角、对等弦切角的前提是同圆或等圆．4．相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理统称为圆幂定理：圆的两条弦或其延长线假设相交，各弦被交点分成的两条线段长的积相等.当两交点在圆内时为相交弦定理，当两交点在圆外时为割线定理，两交点重合时为切线，一条上两点重合时为切割线定理，两条都重合时为切线长定理，应用此定理必然要分清两条线段是指哪两条．【新题预测演练】1.【东北三省三校2021届高三3月第一次联合模拟考试】（本小题总分值10分）选修4 - 1：几何证明选讲如图，圆O 的半径OC 垂直于直径AB ，弦CD 交半径OA 于E ，过D 的切线与BA 的延长线交于M 。
一轮复习理科数学第八篇 平面解析几何(必修2、选修1-1) 第4节 椭 圆
F 为其右焦点,若 AF⊥BF,且∠ABF= π ,则该椭圆的离心率为( ) 12
(A)1
(B) 6 3
(C) 3 2
(D) 2 2
解析:(1)设椭圆的左焦点为 F′,根据椭圆的对称性可知:四边形 AF′BF 为矩形,所以 AB=FF′=2c,
在 Rt△ABF 中,易得 AF=2csin π ,BF=2ccos π =AF′,
考查角度1:椭圆的简单几何性质
【例3】 (2018·银川三模)椭圆mx2+y2=1的焦点在y轴上,短轴长与焦距相等,则 实数m的值为( )
(A)2
(B) 1 2
(C)4 (D) 2
解析:根据题意,椭圆 mx2+y2=1 的焦点在 y 轴上,则标准方程为 y 2 + x2 =1,
11
m
其中 a=1,b= 1 ,则 c= 1 1 ,
2.(2018·全国Ⅰ卷)已知椭圆 C: x2 + y 2 =1 的一个焦点为(2,0),则 C 的离心率为 a2 4
(C)
(A) 1 3
(B) 1 2
(C) 2 2
(D) 2 2 3
解析:因为 a2=4+22=8,所以 a=2 2 , 所以 e= c = 2 = 2 .故选 C.
a 22 2
3.(2018·延安模拟)方程x2+ y 2 =1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数m的取值范围
图形
y 2 + x2 =1 a2 b2 (a>b>0)
范围 对称性
性
顶点
质
轴
焦距
离心率
a,b,c的关系
-a ≤x≤ a , -b ≤y≤ b 1
-b ≤x≤ b , -a ≤y≤ a 1
高考数学压轴专题盘锦备战高考《平面解析几何》知识点总复习附答案解析
数学《平面解析几何》知识点练习一、选择题1．如图，设椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是（ ） A ．12B ．23C ．13D ．14【答案】C 【解析】如图，设AC 中点为M ，连接OM ，则OM 为△ABC 的中位线， 于是△OFM ∽△AFB ，且OF OM 1FAAB2==， 即c c a -=12可得e=c a =13． 故答案为13． 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.2．已知一条抛物线恰好经过等腰梯形ABCD 的四个顶点，其中4AB =，2BC CD AD ===，则该抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）A 3B 3C 3D ．23【答案】B 【解析】 【分析】不妨设抛物线标准方程22(0)x py p =>，将条件转化为坐标，代入解出p ，即得结果. 【详解】不妨设抛物线标准方程22(0)x py p =>，可设(1,),(2,C m B m ，则123242(pm p p m =⎧⎪∴==⎨=+⎪⎩B. 【点睛】本题考查抛物线方程及其性质，考查基本分析求解能力，属基本题.3．已知直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（ ）A ．12k >B ．16k <-或12k > C ．62k -<< D ．1162k -<< 【答案】D 【解析】 【分析】联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，可得00x y >⎧⎨>⎩，解得即可． 【详解】解：联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得24216121k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， Q 直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限， ∴2402161021kk k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得：1162k -<<．故选：D ． 【点睛】本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征．4．设抛物线E ：26y x =的弦AB 过焦点F ，||3||AF BF =，过A ，B 分别作E 的准线的垂线，垂足分别是A '，B '，则四边形AA B B ''的面积等于( ) A．B．C．D．【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程，设直线AB 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AB ，由抛物线的性质可得梯形的上下底之和求出，求出A ，B 的纵坐标之差的绝对值，代入梯形的面积公式即可求出梯形的面积． 【详解】解：由抛物线的方程 可得焦点3(2F ，0)，准线方程：32x =-，由题意可得直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为：32x my =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线与抛物线的方程：2326x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理可得：2690y my --=，所以126y y m +=，129y y =-，21212()363x x m y y m +=++=+，因为||3||AF BF =，所以3AF FB =uu u r uu r，即13(2x -，123)3(2y x -=-，2)y ，可得：123y y =-， 所以可得：2222639y m y -=⎧⎨-=-⎩即213m =， 由抛物线的性质可得： 21233166668223AA BB AB x x m ''+==+++=+=+=g ， 221212121||()436363636433y y y y y y m -=+-=+=+=g ，由题意可知，四边形AA B B ''为直角梯形，所以1211()||84316322AA B B S AA BB y y ''''=+-==gg g ， 故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的相交弦长，梯形的面积公式，属于中档题．5．如图所示，已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且3BF AF =，则双曲线C 的离心率是( )A ．27B ．52C ．7 D ．7【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线的性质，推出AF ，BF ，通过求解三角形转化求解离心率即可． 【详解】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且||3||BF AF =，可得||||2BF AF a -=，||AF a =，||3BF a =，60F BF ∠'=︒，所以2222cos60F F AF BF AF BF '=+-︒g ，可得222214962c a a a =+-⨯，2247c a =，所以双曲线的离心率为：72e =． 故选：C ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．6．已知点(,)P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线,PA PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，,A B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是（ ） A ．2 BC．D ．4【答案】A 【解析】圆22:20C x y y ++=即22(y 1)1x ++=,表示以C (0,-1)为圆心，以1为半径的圆。
高考数学压轴专题荆州备战高考《平面解析几何》基础测试题含答案
高中数学《平面解析几何》复习知识点一、选择题1．如图，12,F F 是双曲线221:13yC x -=与椭圆2C 的公共焦点，点A 是1C ，2C 在第一象限的公共点，若112F A F F =，则2C 的离心率是（ ）A ．13B ．15C ．23D ．25【答案】C 【解析】由221:13y C x -=知2c =，1124F A F F ==∵122F A F A -= ∴22F A =∵由椭圆得定义知1226a F A F A =+= ∴23,3c a e a === 故选C2．已知一条抛物线恰好经过等腰梯形ABCD 的四个顶点，其中4AB =，2BC CD AD ===，则该抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）A 3B 3C 3D ．23【答案】B 【解析】 【分析】不妨设抛物线标准方程22(0)x py p =>，将条件转化为坐标，代入解出p ，即得结果. 【详解】不妨设抛物线标准方程22(0)x py p =>，可设(1,),(2,3)C m B m ，则123323242(3)pm p p m =⎧⎪∴==⎨=+⎪⎩3B.【点睛】本题考查抛物线方程及其性质，考查基本分析求解能力，属基本题.3．已知椭圆C ：2212x y +=的右焦点为F ，直线l ：2x =，点∈A l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若3FA FB =u u u v u u u v，则AF u u u v ＝( )A ．2B ．2C ．3D ．3【答案】A 【解析】 【分析】设点()2,A n ，()00,B x y ，易知F (1,0)，根据3FA FB =u u u v u u u v，得043x =，013y n =，根据点B 在椭圆上，求得n=1，进而可求得2AF =u u u v【详解】 根据题意作图：设点()2,A n ，()00,B x y ．由椭圆C ：2212x y += ，知22a =，21b =，21c =，即1c =，所以右焦点F (1,0)．由3FA FB =u u u v u u u v，得()()001,31,n x y =-． 所以()0131x =-，且03n y =. 所以043x =，013y n =. 将x 0，y 0代入2212x y +=，得221411233n ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解得21n =，所以AF u u u v ===故选A 【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，考查了向量的模的求法，考查了向量在解析几何中的应用；正确表达出各点的坐标是解答本题的关键.4．已知抛物线x 2＝16y 的焦点为F ，双曲线22145x y-=的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P是双曲线右支上一点，则|PF|＋|PF 1|的最小值为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 【答案】C 【解析】 【分析】由题意并结合双曲线的定义可得1222(4)44PF PF PF PF PF PF FF +=++=++≥+，然后根据两点间的距离公式可得所求最小值． 【详解】由题意得抛物线216x y =的焦点为()0,4F ，双曲线22145x y -=的左、右焦点分别为()()123,0,3,0F F -．∵点P 是双曲线右支上一点， ∴124PF PF =+．∴1222(4)44549PF PF PF PF PF PF FF +=++=++≥+=+=，当且仅当2,,F P F 三点共线时等号成立，∴1PF PF +的最小值为9． 故选C ． 【点睛】解答本题的关键是认真分析题意，然后结合图形借助数形结合的方法求解．另外在解题中注意利用双曲线的定义将所求问题进行转化，考查分析理解能力和解决问题的能力，属于基础题．5．设D 为椭圆2215y x +=上任意一点，A （0，－2），B （0，2），延长AD 至点P ，使得|PD|＝|BD|，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．x 2＋（y －2）2＝20 B ．x 2＋（y －2）2＝5 C ．x 2＋（y ＋2）2＝20D ．x 2＋（y ＋2）2＝5【答案】C 【解析】 【分析】由题意得PA PD DA DB DA =+=+=，从而得到点P 的轨迹是以点A 为圆心，半径为 【详解】由题意得PA PD DA DB DA =+=+，又点D 为椭圆2215y x +=上任意一点，且()()0,2,0,2A B -为椭圆的两个焦点，∴DB DA +=，∴PA =∴点P 的轨迹是以点A 为圆心，半径为 ∴点P 的轨迹方程为()22220x y ++=． 故选C ． 【点睛】本题考查圆的方程的求法和椭圆的定义，解题的关键是根据椭圆的定义得到PA =然后再根据圆的定义得到所求轨迹，进而求出其方程．考查对基础知识的理解和运用，属于基础题．6．抛物线y 2＝8x 的焦点为F ,设A ,B 是抛物线上的两个动点, AF BF +=, 则∠AFB 的最大值为（ ） A ．3π B ．34π C ．56π D ．23π 【答案】D 【解析】 【分析】设|AF |＝m ,|BF |＝n ,再利用基本不等式求解mn 的取值范围,再利用余弦定理求解即可. 【详解】设|AF |＝m ,|BF |＝n ,∵AF BF +=,AB ≥∴213mn AB ≤,在△AFB中,由余弦定理得22 222()2cos22m n AB m n mn ABAFBmn mn+-+--∠==212213222AB mn mn mnmn mn--=≥=-∴∠AFB的最大值为23π.故选：D【点睛】本题主要考查了抛物线的焦半径运用,同时也考查了解三角形与基本不等式的混合运用,属于中等题型.7．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y=+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy+=<表示的曲线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( )A．①③B．②④C．①②③D．②③④【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式得224x y+≤，可判断②；224x y+=和()3222216x y x y+=联立解得222x y==可判断①③；由图可判断④.【详解】()2223222216162x yx y x y⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，解得224x y+≤（当且仅当222x y==时取等号），则②正确；将224x y+=和()3222216x y x y+=联立，解得222x y==，即圆224x y +=与曲线C 相切于点，(，(，，则①和③都错误；由0xy <，得④正确. 故选：B. 【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.8．已知直线(3)(0)y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点.若5FA FB =，则k 等于（ ）A B ．12C ．23D ．2【答案】B 【解析】 【分析】 由2(3)4y k x y x=+⎧⎨=⎩，得()22226490k x k x k +-+=，()22464360k k ∆=-->，得213k <，129x x =①，再利用抛物线的定义根据5FA FB =，得到1254x x =+②，从而求得21x =，代入抛物线方程得到(1,2)B ，再代入直线方程求解. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，易知1 0x >，20x >，10y >，20y >， 由2(3)4y k x y x=+⎧⎨=⎩，得()22226490k x k x k +-+=，()22464360k k ∆=-->， 所以213k <，129x x =①. 因为1112p FA x x =+=+，2212pFB x x =+=+，且5FA FB =， 所以1254x x =+②. 由①②及20x >得21x =， 所以(1,2)B ，代入(3)y k x =+，得12k =. 故选：B 【点睛】本题考查抛物线的定义，几何性质和直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9．若双曲线223mx my -=3的一个焦点是()0,2,则m 的值是 A ．-1 B ．1C． D【答案】A 【解析】双曲线223mx my -=3的标准方程为22113x y m m-=, ∵焦点在y 轴上,∴134m m+=,且0m <, ∴ 1.m =- 故选A ．10．过抛物线212x y =的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交抛物线的准线于点C ，若3AF FB =uu u r uu r，则BC =（ ） A ．4 B．C ．6D ．8【答案】D 【解析】 【分析】作出图象，作BM CP ⊥，AN CP ⊥，BH AN ⊥，设BF x =，根据抛物线的性质可得BM BF HN x ===，3AN AF x ==，进而得到1sin 2ACN ∠=，则可求出x 的值，进而得到BC 的值. 【详解】作BM CP ⊥，AN CP ⊥，BH AN ⊥，如图，因为3AF FB =uu u r uu r，不妨设BF x =，所以33AF BF x ==，4AB x =， 根据抛物线的定义可得BM BF HN x ===，3AN AF x ==，6FP p ==， 则32AH AN HN x x x =-=-=， 所以1sin sin 2AH ABH ACN AB ∠=∠==，则212CF FP ==，2CB x =， 则312CF CB BF x =+==，所以4x =，则28BC x ==， 故选：D ． 【点睛】本题考查抛物线的性质，涉及抛物线定义的应用，考查数形结合思想，属于中档题．11．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点()(),0F c c b >，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆交圆222x y b +=于P 、Q 两点，且PQ OF =，则椭圆C 的离心率为（ ） A 3B ．12C ．22D ．63【答案】D 【解析】 【分析】设点P 为两圆在第一象限的交点，利用对称性以及条件PQ OF =可得出点P 的坐标为,22c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再将点P 的坐标代入圆222x y b +=的方程，可得出2b 与2c 的等量关系，由此可得出椭圆的离心率的值. 【详解】如下图所示，设点P 为两圆在第一象限的交点，设OF 的中点为点M ，由于两圆均关于x 轴对称，则两圆的交点P 、Q 也关于x 轴对称，又PQ OF c ==，则PQ 为圆M 的一条直径，由下图可知，PM x ⊥轴，所以点P 的坐标为,22c c ⎛⎫⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入圆222x y b +=得22222c c b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得2222222c b a c ==-，所以，2223a c =，因此，椭圆的离心率为222633c c e a a ==== D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，根据题意得出a 、b 、c 的等量关系是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.12．过双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B ，两点，OAB ∆的面积为133bc，则双曲线的离心率为（ ） A ．132B ．133 C ．222D ．223【答案】D 【解析】 【分析】令x c =，代入双曲线方程可得2by a=±，由三角形的面积公式，可得,a b 的关系，由离心率公式计算可得所求值． 【详解】右焦点设为F ，其坐标为(),0c令x c =，代入双曲线方程可得2221c by b a a=±-=± OAB V 的面积为212132b c a ⋅⋅= 13b a ⇒=可得3c e a ==== 本题正确选项：D 【点睛】本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的离心率和渐近线方程，属于中档题．13．已知椭圆22:195x y C +=左右焦点分别为12F F 、，直线):2l y x =+与椭圆C 交于A B 、两点（A 点在x 轴上方），若满足11AF F B λ=u u u v u u u v，则λ的值等于（ ）A．B ．3C ．2D【答案】C 【解析】由条件可知，直线l 过椭圆的左焦点()12,0F -.由)222195y x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得232108630x x ++=，解得34x =-或218x =-． 设1122(,),(,)A x y B x y ，由A 点在x 轴上方可得12321,48x x =-=-． ∵11AF F Bλ=u u u v u u u v， ∴1122(2,)(2,)x y x y λ---=+, ∴122(2)x x λ--=+． ∴3212()(2)48λ---=-+， 解得2λ=．选C14．如图，设椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是（ ） A ．12B ．23C ．13D ．14【答案】C 【解析】如图，设AC 中点为M ，连接OM ，则OM 为△ABC 的中位线，于是△OFM ∽△AFB ，且OF OM1FA AB 2==， 即c c a -=12可得e=c a =13． 故答案为13． 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.15．在圆M ：224410x y x y +---=中，过点(0,1)E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．6B ．12C ．24D ．36 【答案】B【解析】【分析】先将圆M 的方程化为标准方程,得到其圆心坐标与半径,再结合直线与圆的位置关系可得AC ､BD 的值,进而求出答案.【详解】圆M 的标准方程为:22(2)(2)9x y -+-=,其圆心为(2,2)M ,半径3r =,过点E 最长的弦长是直径,故6AC =,最短的弦是与ME 垂直的弦,又415ME =+= 所以2219522BD r ME =-=-=,即4BD =, 所以四边形的面积11641222S AC BD =⋅⋅=⨯⨯=, 故选:B.【点睛】本题考查直线与圆相交的性质,解题关键是明确AC 和BD 的位置关系,难度不大.16．过坐标轴上的点M 且倾斜角为60°的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为M 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】设出直线方程，根据弦长公式，转化为圆心到直线的距离建立等量关系求解.【详解】由直线的斜率为tan 60k ︒==y b =+.圆2240x y y +-=可化为22(2)4x y +-=，圆心为(0,2)，半径为2r =， 则由弦长公式得：圆心(0,2)到直线y b =+的距离为1d ===，即|2|12b -+=，解得0b =，4b =，故直线的方程为y =或4y =+.直线y =过坐标轴上的点(0,0)，直线4y =+过坐标轴上的点()0,4与3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故点M 的个数为3.故选：C.【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，根据弦长公式将弦长问题转化为圆心到直线的距离求解.17．已知1F ，2F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点A 是双曲线上第二象限内一点，且直线1AF 与双曲线的一条渐近线b y x a=平行，12AF F ∆的周长为9a ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B C ．3D ．【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义，结合三角形的周长可以求出1AF 和2AF 的表达式，根据线线平行，斜率的关系，结合余弦定理进行求解即可.【详解】 由题意知212AF AF a -=，2192AF AF a c +=-，解得21122a c AF -=，1722a c AF -=， 直线1AF 与b y x a =平行，则12tan b AF F a ∠=，得12cos a AF F c∠=， 222121214cos 22AF c AF a AF F c AF c+-∠==⋅， 化简得22280c ac a +-=，即2280e e +-=，解得2e =.故选：A【点睛】本题考查求双曲线的离心率，考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.18．已知直线1:(1)(1)20l a x a y -++-=和2:(1)210l a x y +++=互相垂直，则a 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】分析：对a 分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出． 详解：1a =-时，方程分别化为：10210x y +=+=，， 此时两条直线相互垂直，因此1a =-满足题意．1a ≠-时，由于两条直线相互垂直，可得：11()112a a a -+-⨯-=-+， 解得1a =-，舍去．综上可得：1a =-.故选A ．点睛：本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题19．已知椭圆22198x y +=的一个焦点为F ，直线220,220x y x y -+=--=与椭圆分别相交于点A 、B 、C 、D 四点，则AF BF CF DF +++=（ ）A ．12B．6+ C ．8 D ．6【答案】A【解析】【分析】画出图像，根据对称性得到()()224AF BF CF DF AF AF DF DF a +++=+++=，得到答案.【详解】画出图像，如图所示：直线220,220x y x y -+=--=平行，根据对称性知：()()22412AF BF CF DF AF AF DF DF a +++=+++==. 故选：A .【点睛】本题考查了椭圆的性质，意在考查学生对于椭圆知识的灵活运用.20．在矩形ABCD 中，已知3AB =，4=AD ，E 是边BC 上的点，1EC =，EF CD ∥，将平面EFDC 绕EF 旋转90︒后记为平面α，直线AB 绕AE 旋转一周，则旋转过程中直线AB 与平面α相交形成的点的轨迹是（ ）A ．圆B ．双曲线C ．椭圆D ．抛物线【答案】D【解析】【分析】 利用圆锥被平面截的轨迹特点求解【详解】由题将平面EFDC 绕EF 旋转90︒后记为平面α，则平面α⊥平面ABEF ,，又直线AB 绕AE 旋转一周，则AB 直线轨迹为以AE 为轴的圆锥，且轴截面为等腰直角三角形，且面AEF 始终与面EFDC 垂直，即圆锥母线AF ⊥平面EFDC 则则与平面α相交形成的点的轨迹是抛物线故选：D【点睛】本题考查立体轨迹，考查圆锥的几何特征，考查空间想象能力，是难题。
高考数学压轴专题三明备战高考《平面解析几何》知识点
【最新】《平面解析几何》专题解析一、选择题1．如图，12,F F 是双曲线221:13yC x -=与椭圆2C 的公共焦点，点A 是1C ，2C 在第一象限的公共点，若112F A F F =，则2C 的离心率是（ ）A ．13B ．15C ．23D ．25【答案】C 【解析】由221:13y C x -=知2c =，1124F A F F ==∵122F A F A -= ∴22F A =∵由椭圆得定义知1226a F A F A =+= ∴23,3c a e a === 故选C2．已知抛物线2:6C x y =的焦点为F 直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，若AB 中点的纵坐标为5，则||||AF BF +=（ ） A ．8 B ．11 C ．13 D ．16【答案】C 【解析】 【分析】设点A 、B 的坐标，利用线段AB 中点纵坐标公式和抛物线的定义，求得12y y +的值，即可得结果； 【详解】抛物线2:6C x y =中p ＝3， 设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由抛物线定义可得：|AF |+|BF |＝y 1+ y 2+p ＝y 1+ y 2+3，又线段AB 中点M 的横坐标为122y y +=5， ∴12y y +＝10， ∴|AF |+|BF |＝13； 故选：C . 【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用及中点坐标公式，是中档题．3．已知椭圆22:12y C x +=，直线:l y x m =+，若椭圆C 上存在两点关于直线l 对称，则m 的取值范围是( )A ．33⎛- ⎝⎭B ．,44⎛- ⎝⎭C ．33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ D ．44⎛- ⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ，根据椭圆C 上存在两点关于直线:l y x m =+对称，将A ，B 两点代入椭圆方程，两式作差可得002y x =，点M 在椭圆C 内部，可得2221m m +<，解不等式即可.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ， 则1202x x x +=，1202y y y +=，1AB k =-.又因为A ，B 在椭圆C 上，所以221112y x +=，222212y x +=，两式相减可得121212122y y y y x x x x -+⋅=--+，即002y x =. 又点M 在l 上，故00y x m =+，解得0x m =，02y m =.因为点M 在椭圆C 内部，所以2221m m +<，解得33m ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系以及在圆锥曲线中“设而不求”的思想，属于基础题.4．已知抛物线x 2＝16y 的焦点为F ，双曲线22145x y -=的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P是双曲线右支上一点，则|PF|＋|PF 1|的最小值为（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11【答案】C 【解析】 【分析】由题意并结合双曲线的定义可得1222(4)44PF PF PF PF PF PF FF +=++=++≥+，然后根据两点间的距离公式可得所求最小值． 【详解】由题意得抛物线216x y =的焦点为()0,4F ，双曲线22145x y -=的左、右焦点分别为()()123,0,3,0F F -．∵点P 是双曲线右支上一点， ∴124PF PF =+．∴1222(4)44549PF PF PF PF PF PF FF +=++=++≥+=+=，当且仅当2,,F P F 三点共线时等号成立，∴1PF PF +的最小值为9． 故选C ． 【点睛】解答本题的关键是认真分析题意，然后结合图形借助数形结合的方法求解．另外在解题中注意利用双曲线的定义将所求问题进行转化，考查分析理解能力和解决问题的能力，属于基础题．5．设D 为椭圆2215y x +=上任意一点，A （0，－2），B （0，2），延长AD 至点P ，使得|PD|＝|BD|，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．x 2＋（y －2）2＝20 B ．x 2＋（y －2）2＝5 C ．x 2＋（y ＋2）2＝20 D ．x 2＋（y ＋2）2＝5 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得PA PD DA DB DA =+=+=，从而得到点P 的轨迹是以点A 为圆心，半径为 【详解】由题意得PA PD DA DB DA =+=+，又点D 为椭圆2215y x +=上任意一点，且()()0,2,0,2A B -为椭圆的两个焦点，∴DB DA +=，∴PA =∴点P 的轨迹是以点A 为圆心，半径为 ∴点P 的轨迹方程为()22220x y ++=． 故选C ． 【点睛】本题考查圆的方程的求法和椭圆的定义，解题的关键是根据椭圆的定义得到PA =然后再根据圆的定义得到所求轨迹，进而求出其方程．考查对基础知识的理解和运用，属于基础题．6．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ，以12F F 为直径的圆交双曲线C 于P ,Q ,M ,N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2BC ．2D【答案】D 【解析】 【分析】设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出P ⎫⎪⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程，即可求出双曲线C 的离心率. 【详解】设双曲线C 的焦距为()20c c >，设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，由双曲线的对称性可知，点P 、Q 关于y 轴对称，P 、M 关于原点对称，P 、N 关于x 轴对称，由于四边形PQMN 为正方形，则直线PM 的倾斜角为4π，可得,22P c c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入双曲线C 的方程得2222122c c a b -=，即()22222122c c a c a -=-， 设该双曲线的离心率为()1e e >，则()2221221e e e -=-，整理得42420e e -+=，解得22e =，因此，双曲线C【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题.7．抛物线y 2＝8x 的焦点为F ,设A ,B 是抛物线上的两个动点, AF BF +=, 则∠AFB 的最大值为（ ） A ．3π B ．34π C ．56π D ．23π 【答案】D 【解析】 【分析】设|AF |＝m ,|BF |＝n ,再利用基本不等式求解mn 的取值范围,再利用余弦定理求解即可. 【详解】设|AF |＝m ,|BF |＝n ,∵AF BF +=,AB ≥∴213mn AB ≤,在△AFB 中,由余弦定理得22222()2cos 22m n ABm n mn ABAFB mnmn+-+--∠==212213222AB mnmn mn mn mn --=≥=-∴∠AFB 的最大值为23π. 故选：D 【点睛】本题主要考查了抛物线的焦半径运用,同时也考查了解三角形与基本不等式的混合运用,属于中等题型.8．已知O 为平面直角坐标系的原点，2F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，E 为2OF 的中点，过双曲线左顶点A 作两渐近线的平行线分别与y 轴交于C ，D 两点，B 为双曲线的右顶点，若四边形ACBD 的内切圆经过点E ，则双曲线的离心率为（ ）A ．2BCD【解析】 【分析】由对称性可得四边形ACBD 为菱形，其内切圆圆心为坐标原点O ，求出圆心O 到BC 的距离d ，由四边形ACBD 的内切圆经过点E ，可得212d OF =，化简得出双曲线的离心率. 【详解】由已知可设()0A a -，，()0B a ，，AC bk a=， 有直线点斜式方程可得直线AC 方程为()by x a a=+， 令0x =，可得()0C b ，， 由直线的截距式方程可得直线BC 方程为1x ya b+=，即0bx ay ab +-=， 由对称性可得四边形ACBD 为菱形，其内切圆圆心为坐标原点O ，设内切圆的半径为r ， 圆心O 到BC的距离为abd r c===， 又∵四边形ACBD 的内切圆经过点E ， ∴2122ab cOF r c ===, ∴22ab c =， ∴()22244aca c -=，同除以4a 得，42440e e -+=，∴()2220e -=，∴22e =，∴e =(舍)，∴e =故选：B. 【点睛】本题考查求双曲线离心率的问题，通过对称的性质得出相关的等量关系，考查运算求解能力和推理论证能力，是中档题.9．已知双曲线22x a－22y b ＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．B ．C ．D ．【解析】 【分析】 【详解】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1）， 即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线y 2＝2px 的准线方程为2px =-，则p=4， 则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（-2，0），即a=2；点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为12y x =±， 由双曲线的性质，可得b=1；则c =故选A ．10．已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是（ ）A ．125 B ．65C ．2D 【答案】A 【解析】试题分析：根据抛物线的定义可知抛物线24y x =上的点P 到抛物线的焦点距离1PF d =,所以122d d MF d +=+,其最小值为()1,0F 到直线3490x y -+=的距离，由点到直线的距离公式可知()()122min min125d d MF d +=+==，故选A. 考点：抛物线定义的应用.11．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点()(),0F c c b >，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆交圆222x y b +=于P 、Q 两点，且PQ OF =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．3B ．12C ．2D ．3【答案】D 【解析】 【分析】设点P 为两圆在第一象限的交点，利用对称性以及条件PQ OF =可得出点P 的坐标为,22c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再将点P 的坐标代入圆222x y b +=的方程，可得出2b 与2c 的等量关系，由此可得出椭圆的离心率的值. 【详解】如下图所示，设点P 为两圆在第一象限的交点，设OF 的中点为点M ，由于两圆均关于x 轴对称，则两圆的交点P 、Q 也关于x 轴对称，又PQ OF c ==，则PQ 为圆M 的一条直径，由下图可知，PM x ⊥轴，所以点P 的坐标为,22c c ⎛⎫⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入圆222x y b +=得22222c c b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得2222222c b a c ==-， 所以，2223a c =，因此，椭圆的离心率为22263c c e a a ====，故选：D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，根据题意得出a 、b 、c 的等量关系是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.12．已知0mn ≠，则方程是221mx ny +=与20mx ny +=在同一坐标系内的图形可能是 ( ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】方程20mx ny +=即2my x n=-，表示抛物线，方程()2210mx ny mn +=≠表示椭圆或双曲线，当m 和n 同号时，抛物线开口向左，方程()2210mx ny mn +=≠表示椭圆，无符合条件的选项，当m 和n 异号时，抛物线2my x n=-开口向右，方程221mx ny +=表示双曲线，故选A.13．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，12AB F F ⊥于2F ，4AB =，12F F = ）A ．2213x y +=B ．22132x y +=C ．22196x y +=D ．221129x y +=【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的性质，根据4AB =，12F F =c =22 4b a=，求解a ，b 然后推出椭圆方程． 【详解】椭圆2222 10x y a b a b +=>>（）的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，12AB F F ⊥于2F ，4AB =，12F F =c =，22 4b a=，222c a b =-，解得3a =，b =，所以所求椭圆方程为：22196x y +=，故选C ．【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查．14．如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．23y x =±B ．2y x =±C ．3y x =D ．2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由by x a=±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =， 所以2212||46413F F =+=13c ⇒=因为2521a x a =-=⇒=，所以23b = 所以双曲线的渐近线方程为23by x x a=±=±. 【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.15．倾斜角为45︒的直线与双曲线22214x y b-=交于不同的两点P 、Q ，且点P 、Q 在x轴上的投影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的焦距为（ ） A ．232 B ．252C 31D 51【答案】B 【解析】 【分析】方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，可得2Rt QOF △为等腰三角形且245QOF ∠=︒，根据勾股定理及双曲线的定义可得：51c =.方法二：等腰2Rt QOF △中，可得22b QF a=，且2b c a =.又根据222b a c =-，联立可解得51c =. 【详解】方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，在等腰2Rt QOF △中，245QOF ∠=︒，则122F F c =，2QF c =，1QF =. 由双曲线的定义可得：122QF QF a-=，41c c -==，，故22c =.方法二：等腰2Rt QOF △中，22b QF a=， ∴2b c a=. 又222b a c =-，∴2240c c --=，得1c =.∴22c =.故选：B .【点睛】本题考查双曲线的性质，解题关键是将题目条件进行转化，建立等量关系求解，属于中等题.16．O 为坐标原点，F 为抛物线2:4C y x =的焦点，P 为C 上一点，若4PF =，则POF V 的面积为AB C ．2 D ．3 【答案】B【解析】【分析】由抛物线的标准方程24y x =可得抛物线的焦点坐标和准线方程,设出(,)P x y ,由PF =4以及抛物线的定义列式可得(1)4x --=,即3x =,再代入抛物线方程可得点P 的纵坐标,再由三角形的面积公式1||2S y OF =可得. 【详解】由24y x =可得抛物线的焦点F (1,0),准线方程为1x =-,如图:过点P 作准线1x =- 的垂线,垂足为M ,根据抛物线的定义可知PM =PF =4,设(,)P x y ,则(1)4x --=,解得3x =,将3x = 代入24y x =可得y =±,所以△POF 的面积为1||2y OF ⋅=112⨯= 故选B .【点睛】本题考查了抛物线的几何性质,定义以及三角形的面积公式,关键是①利用抛物线的定义求P 点的坐标;②利用OF 为三角形的底,点P 的纵坐标的绝对值为高计算三角形的面积.属中档题.17．已知双曲线()2222100x y C a b a b-=：＞，＞的一条渐近线与圆22(23)4x y +-=相交于A ，B 两点，若|AB |＝2，则C 的离心率为（ ）A 23B 3C ．2D ．4【答案】C【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程，圆的圆心与半径，利用距离公式得到a 、b 关系式，然后求解离心率即可．【详解】由题意可知不妨设双曲线的一条渐近线方程为：bx +ay ＝0， 圆22(23)4x y +-=的圆心为(0,23)，半径为2，由题意及|AB |＝2，可得2222223(12aa b +=+，222123a a b =+，即b 2＝3a 2，可得c 2﹣a 2＝3a 2，即224c a =所以e c a==2． 故选：C ．【点睛】 本题主要考查求双曲线离心率的问题，此类问题的解题关键是建立,,a b c 的方程或不等关系，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.18．已知双曲线222:41(0)x C y a a -=>2:2E y px =的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线1:4360l x y -+=和2:1l x =-距离之和的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】 分析：由双曲线的右顶点到渐近线的距离求出234a =，从而可确定双曲线的方程和焦点坐标，进而得到抛物线的方程和焦点，然后根据抛物线的定义将点M 到直线2l 的距离转化为到焦点的距离，最后结合图形根据“垂线段最短”求解． 详解：由双曲线方程22241(0)x y a a-=>可得， 双曲线的右顶点为(,0)a ，渐近线方程为12y x a =±，即20x ay ±=．=234a =， ∴双曲线的方程为224413x y -=， ∴双曲线的焦点为(1,0)．又抛物线2:2E y px =的焦点与双曲线C 的右焦点重合，∴2p =，∴抛物线的方程为24y x =，焦点坐标为(1,0)F ．如图，设点M 到直线1l 的距离为||MA ，到直线2l 的距离为||MB ，则MB MF =， ∴MA MB MA MF +=+．结合图形可得当,,A M F 三点共线时，MA MB MA MF +=+最小，且最小值为点F 到直线1l 的距离22416243d ⨯+==+．故选B ．点睛：与抛物线有关的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，根据定义实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化，具体有以下两种情形：（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决．19．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2aC 2aD 2a 【答案】D【解析】【分析】 设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求HI 的长度即可.【详解】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点，则ABEG 四点共面，且平面1//A BGE 平面1B HI ，又1//B F Q 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，Q 正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，1122HI CD a ∴==， 即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是22a ． 故选D ．【点睛】本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.20．已知P 是双曲线C 上一点，12,F F 分别是C 的左、右焦点，若12PF F ∆是一个三边长成等差数列的直角三角形，则双曲线C 的离心率的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】【分析】设直角三角形三边分别为3,4,5x x x ，分23c x =，24c x =和25c x =三种情况考虑，即可算得双曲线离心率的最小值.【详解】如图，易知该直角三角形三边可设为3,4,5x x x .①若23c x =，则254a x x x =-=，得232c e a==；②若24c x =，则2532a x x x =-=，得222c e a ==； ③若25c x =，则243a x x x =-=，得252c e a==. 故选：A【点睛】 本题主要考查双曲线的离心率的求法，体现了分类讨论的数学思想.。
高考数学热点集中营 热点22 选修平面几何问题 选修1 新课标
【两年真题重温】(Ⅰ) 证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(Ⅱ) 若∠90A =︒，且4m =，6n =，求C ，B ，D ，E所在圆的半径． 【解析】本题考查了四点共圆的判定与圆的性质．(Ⅰ)连结DE ，根据题意在ADE ∆和ACB ∆中，AD AB m n AE AC ⨯==⨯， 即AD AEAC AB=． 又DAE CAB ∠=∠，从而ADE ∆∽ACB ∆． 因此ADE ACB ∠=∠．所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(Ⅱ)4m =，6n =时，方程2140x x mn -+=的两根为12x =，212x =． 故2AD =，12AB =．．【2010⋅新课标全国理，22】【2010⋅新课标全国文，22】如图，已经圆上的弧AC BC =，过C 点的圆切线与BA 的延长线交于E 点，证明：（Ⅰ）ACE BCD ∠=∠； （Ⅱ）2BC BE CD =⨯.解：命题意图：本题主要考查几何选讲中圆、三角形相似等知识，考查分析问题、解决问题的能力，属于基础题.（I ）因为AC BC =,所以BCD ABC ∠=∠.AD BC GEM又因为EC 与圆相切于点C ，故ACE ABC ∠=∠，所以ACE BCD ∠=∠.（II ）因为,ECB CDB EBC BCD ∠=∠∠=∠, 所以BDC ∆∽ECB ∆，故BC CDBE BC=，即2BC BE CD =⨯.【最新考纲解读】1．复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理，证明直角三角形射影定理． 2．证明圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理．3．证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理. 4．了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，体会平行投影；证明平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆)．定理 在空间中，取直线l 为轴，直线l ′与l 相交于O 点，其夹角为α，l ′围绕l 旋转得到以O 为顶点，l ′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l 交角为β(π与l 平行，记β＝0)，则： (1)β>α，平面π与圆锥面的交线为椭圆； (2)β＝α，平面π与圆锥面的交线为抛物线； (3)β<α，平面π与圆锥面的交线为双曲线． 6．利用Dandelin 双球(这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥面均相切)证明上述定理(1)情况． 【回归课本整合】 一、相似三角形 1．相似三角形①性质定理1 相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比． ②性质定理2 相似三角形面积的比等于相似比的平方．相似三角形对应角的平分线的比，外接圆直径的比、周长的比，内切圆直径的比、周长的比都等于相似比．2．圆心角定理圆心角的度数等于它所对的弧的度数．3．圆周角定理6．圆内接四边形(1)圆内接四边形性质定理①对角互补．②外角等于它的内对角(2)圆内接四边形判定定理如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆．推论如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形四个顶点共圆．【方法技巧提炼】3．同一法：先作出一个满足命题结论的图形，然后证明图形符合命题已知条件，确定所作图形与题设条件所指的图形相同，从而证明命题成立．4.证明多点共圆，当两点在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．例1 如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.(1)证明B、D、H、E四点共圆；(2)证明CE平分∠DEF.【证明】(1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.因为AD，CE是角平分线，所以∠HAC＋∠HCA＝60°.故∠AHC＝120°.于是∠EHD＝∠AHC＝120°，所以∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B、D、H、E四点共圆．(2)例2 如图所示，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P.(1)求证：AD∥EC；(2)若AD是⊙O2的切线，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长．【解】(1)证明：连接AB(图略)，∵AC 是⊙O 1的切线，∴∠BAC ＝∠D . 又∵∠BAC ＝∠E ，∴∠D ＝∠E . ∴AD ∥EC .(2)∵PA 是⊙O 1的切线，PD 是⊙O 1的割线， ∴PA 2＝PB ·PD ，∴62＝PB ·(PB ＋9)，∴PB ＝3. 在⊙O 2中由相交弦定理，得PA ·PC ＝BP ·PE ， ∴PE ＝4.∵AD 是⊙O 2的切线，DE 是⊙O 2的割线， ∴AD 2＝DB ·DE ＝9×(9＋3＋4)， ∴AD ＝12.【考场经验分享】【新题预测演练】1.【2012年河北省普通高考模拟考试】 选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，F 为BA 延长线上一点，且BD BE BA BF =，求证：（Ⅰ）EF FB ⊥；（Ⅱ）90DFB DBC ∠+∠=︒．【解析】：（Ⅰ）证明：连接AD ，在ADB EFB ∆∆和中BD BE BA BF ⋅=⋅BD BFBA BE∴=………..2分又DBA EBF ∠=∠ADB ∴∆∽EFB ∆ ………..4分 则90EFB ADB ∠=∠=EF FB ∴⊥ ………..5分 (Ⅱ)在ADB ∆中，90ADB ADE ∠=∠= 又90EFB ∠=∴E F A D、、、四点共圆； ………..7分DFB AEB ∴∠=∠ ………..9分 又AB 是⊙O 的直径，则90ACB ∠=，∴90DFB DBC AEB DBC ∠+∠=∠+∠= ………..10分 2.【2012年邯郸市高三第一次模拟考试】 选修4—1：几何证明选讲3.【河南省2012年普通高中毕业班高考适应性测试】选修4—1：几何证明选讲如图，已知ABC ∆中，AB=BC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过D 作DE BC ⊥，垂足为E ，连结OE 。
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2014高考数学必考热点大调查：热点22选修平面几何问题（选修1）【最新考纲解读】1．复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理，证明直角三角形射影定理．2．证明圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理．3．证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.【回归课本整合】一、相似三角形1．相似三角形(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)．(2)判定①判定定理1 两角对应相等的两个三角形相似．判定定理2 三边对应成比例的两个三角形相似．判定定理3 两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似．②如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似．如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．如果一个直角三角形的斜边与一条直角边和另一个直角三角形的斜边与一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似．(3)性质①性质定理1 相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比．②性质定理2 相似三角形面积的比等于相似比的平方．相似三角形对应角的平分线的比，外接圆直径的比、周长的比，内切圆直径的比、周长的比都等于相似比．相似三角形外接圆面积的比，内切圆面积的比都等于相似比的平方．2．平行截割定理平行截割定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．直角三角形的射影定理：若Rt△ABC斜边AB上的高为CD，则CD2＝AD·BD，BC2＝BD·AB，AC2＝AD·AB.二、圆幂定理与圆锥截线1．圆的切线(1)切线判定定理经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(2)切线性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径．①经过圆心且垂直于切线的直线必过切点．②经过切点垂直于切线的直线必经过圆心．推论1 从圆外一点所引圆的两条切线长相等．推论2 经过圆外一点和圆心的直线平分从这点向圆所引两条切线的夹角．(3)内切圆、旁切圆与一个三角形三边都相切的圆，叫做这个三角形的内切圆；与三角形的一边和其它两边的延长线都相切的圆，叫做三角形的旁切圆．2．圆心角定理圆心角的度数等于它所对的弧的度数．3．圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半．推论1 直径(或半圆)所对的圆周角都是直角．推论2 同弧或等弧所对的圆周角相等．推论3 等于直角的圆周角所对的弦是圆的直径．4．弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．5．圆幂定理(1)相交弦定理圆的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等．(2)切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项．(3)割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．圆幂定理已知⊙(O，r)，通过一定点P，作⊙O的任一条割线交圆于A、B两点，则PA·PB ＝定值k.①当点P在圆外时，k＝PO2－r2，②当点P在圆内时，k＝r2－OP2，③当点P在⊙O上时，k ＝0，通常把这里的定值k称作点P对⊙O的幂．6．圆内接四边形(1)圆内接四边形性质定理①对角互补．②外角等于它的内对角(2)圆内接四边形判定定理如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆．推论如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形四个顶点共圆．【方法技巧提炼】1．辅助线作法：几何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线，相似关系的基础就是平行截割定理，故作辅助线的主要方法就是作平行线，见中点取中点连线利用中位线定理，见比例点取等比的分点构造平行关系，截取等长线段构造全等关系，立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常用的作辅助线方法．2．比例的性质的应用相似关系的证明中，经常要应用比例的性质：若ab＝cd，则①ac＝bd；②ad＝bc；③a＋bb＝c＋dd；④a－bb＝c－dd；⑤a＋ba－b＝c＋dc－d；⑥a＋cb＋d＝ab.3．同一法：先作出一个满足命题结论的图形，然后证明图形符合命题已知条件，确定所作图形与题设条件所指的图形相同，从而证明命题成立．4.证明多点共圆，当两点在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．5.与圆有关的比例线段(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．(2)相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．【考场经验分享】1．应用相似三角形的性质时，对应量必须找准(对应边，对应角，对应边上的高、中线，对应的角平分线等等)，牢牢把握对应角对的边是对应边，对应边对的角是对应角．2．判定两三角形相似时，可以用三边对应成比例，也可以用两角对应相等(只要两角对应相等，第三个角也对应相等)．但两边对应成比例时，必须有夹角相等的条件．3．等弧对等弦、对等圆心角、对等圆周角、对等弦切角的前提是同圆或等圆．4．相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理统称为圆幂定理：圆的两条弦或其延长线若相交，各弦被交点分成的两条线段长的积相等.当两交点在圆内时为相交弦定理，当两交点在圆外时为割线定理，两交点重合时为切线，一条上两点重合时为切割线定理，两条都重合时为切线长定理，应用此定理一定要分清两条线段是指哪两条．【新题预测演练】1.【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】（本小题满分10分）选修4 - 1：几何证明选讲如图，圆O的半径OC垂直于直径AB，弦CD交半径OA于E，过D的切线与BA的延长线交于M。
（1）求证：MD = ME；（2）设圆O的半径为1，MD= 3，求MA及CE的长。
2.【河北省唐山市2012—2013学年度高三年级第一次模拟考试】请考生在第（22)，（23), (24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.(22)(本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图，直线M N交圆O于A ，B两点，AC是直径，AD平分CAM∠M，交圆0于点D, 过D作DE上MN于E.(I)求证： DE是圆O的切线：(II)若 DE=6，AE=3,求ΔABC 的面积3. 【2013年石家庄市高中毕业班复习教学质量检测（二）】选修4-1几何证明选讲如图，AB是O的直径，BE为圆0的切线，点c为o 上不同于A、B的一点，AD为BAC∠的平分线，且分别与BC 交于H，与O交于D，与BE交于E，连结BD、CD.(I )求证:BD平分CBE∠（II）求证：AH•BH=AE•HC4. 【2013届贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考】OHEDC BAOAE BDFC如图，已知PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点B 、C ，APC ∠的平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ，（Ⅰ）证明：AED ADE ∠=∠；（Ⅱ）若AC=AP ，求PC PA的值。
5. 【江苏省南通市2013届高三第二次调研测试】选修4－1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，,C F 是⊙O 上的两点，OC ⊥AB ， 过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D ．连结CF 交 AB 于点E .求证：2DE DB DA =⋅.6. 【宁夏回族自治区石嘴山市2013届高三第一次模拟】如图，已知⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，过点A 作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ，过点B 和两圆的割线，分别交⊙O 1、 ⊙O 2于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P 。
（1）求证：AD ∥EC ；（2）若AD 是⊙O 2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD 的长。
7. 【河北省邯郸市2013年高三第一次模拟考试】如图所示，PA 为0的切线,A 为切点，PBC 是过点O 的割线，PA =10,PB =5.(1)求证：PCPAAC AB =; (2)求AC 的值.8. 【2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】如图，AB 是的直径，AC 是弦，直线CE 和切于点C ， AD 丄CE ，垂足为D.(I) 求证:AC 平分；(II) 若A B =4A D ，求的大小.9. 【河北省唐山市2012—201 3学年度高三年级期末考试】 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，D 是»AC 的中点，BD 交AC 于点E ． （I ）求证：CD 2=DE 2=AE ×EC;（II ）若CD 的长等于⊙O 的半径，求∠ACD 的大小．10. .【2013年长春市高中毕业班第一次调研测试】如图，已知⊙O 和⊙M 相交于A 、B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为»BD中点，连结AG 分别交⊙O 、BD 于点E 、F ，连结CE ． ⑴ 求证：GD CE EF AG ⋅=⋅； ⑵ 求证：.22CE EF AG GF =11. 【云南师大附中2013届高三适应性月考卷（三）】【选修4—1：几何证明选讲】如图6，在正△ABC 中，点D,E 分别在边AC, AB 上，且AD=13AC ， AE= 23AB ，BD ，CE 相交于点F 。
（I ）求证：A ，E ，F ，D 四点共圆；（Ⅱ）若正△ABC 的边长为2，求，A ，E ，F ，D 所在圆的半径．∴23GD AG AD ===，即23GA GE GD ===，12. 【河北省唐山市2012-2013学年度高三年级摸底考试】 如图，圆O 的圆心O 在Rt △ABC 的直角边BC 上，该圆与直角边AB 相切，与斜边AC 交于D ，E ，AD ＝DE ＝EC ，AB 14 （I ）求BC 的长； （II ）求圆O 的半径。
AECDOF。