高考数学 必考热点大调查22 选修平面几何问题(选修1)(

2014高考数学必考热点大调查：热点22选修平面几何问题（选修

1）

【最新考纲解读】

1．复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理，证明直角三角形射影定理．

2．证明圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理．

3．证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.

【回归课本整合】

一、相似三角形

1．相似三角形

(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)．

(2)判定

①判定定理1 两角对应相等的两个三角形相似．

判定定理2 三边对应成比例的两个三角形相似．

判定定理3 两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似．

②如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似．

如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．

如果一个直角三角形的斜边与一条直角边和另一个直角三角形的斜边与一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似．

(3)性质

①性质定理1 相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比．

②性质定理2 相似三角形面积的比等于相似比的平方．

相似三角形对应角的平分线的比，外接圆直径的比、周长的比，内切圆直径的比、周长的比都等于相似比．

相似三角形外接圆面积的比，内切圆面积的比都等于相似比的平方．

2．平行截割定理

平行截割定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

推论：平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．直角三角形的射影定理：

若Rt△ABC斜边AB上的高为CD，则CD2＝AD·BD，BC2＝BD·AB，AC2＝AD·AB.

二、圆幂定理与圆锥截线

1．圆的切线

(1)切线判定定理经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

(2)切线性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径．

①经过圆心且垂直于切线的直线必过切点．

②经过切点垂直于切线的直线必经过圆心．

推论1 从圆外一点所引圆的两条切线长相等．

推论2 经过圆外一点和圆心的直线平分从这点向圆所引两条切线的夹角．

(3)内切圆、旁切圆与一个三角形三边都相切的圆，叫做这个三角形的内切圆；与三角形的一边和其它两边的延长线都相切的圆，叫做三角形的旁切圆．

2．圆心角定理

圆心角的度数等于它所对的弧的度数．

3．圆周角定理

圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半．

推论1 直径(或半圆)所对的圆周角都是直角．

推论2 同弧或等弧所对的圆周角相等．

推论3 等于直角的圆周角所对的弦是圆的直径．

4．弦切角定理

弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．

推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．

5．圆幂定理

(1)相交弦定理圆的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等．

(2)切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项．

(3)割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．

圆幂定理已知⊙(O，r)，通过一定点P，作⊙O的任一条割线交圆于A、B两点，则PA·PB ＝定值k.

①当点P在圆外时，k＝PO2－r2，②当点P在圆内时，k＝r2－OP2，③当点P在⊙O上时，k ＝0，通常把这里的定值k称作点P对⊙O的幂．

6．圆内接四边形

(1)圆内接四边形性质定理

①对角互补．②外角等于它的内对角

(2)圆内接四边形判定定理

如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆．

推论如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形四个顶点共圆．

【方法技巧提炼】

1．辅助线作法：

几何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线，相似关系的基础就是平行截割定理，故作辅助线的主要方法就是作平行线，见中点取中点连线利用中位线定理，见比例点取等比的分点构造平行关系，截取等长线段构造全等关系，立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常用的作辅助线方法．

2．比例的性质的应用

相似关系的证明中，经常要应用比例的性质：

若a

b

＝

c

d

，则①

a

c

＝

b

d

；②ad＝bc；③

a＋b

b

＝

c＋d

d

；④

a－b

b

＝

c－d

d

；⑤

a＋b

a－b

＝

c＋d

c－d

；⑥

a＋c

b＋d

＝

a

b

.

3．同一法：先作出一个满足命题结论的图形，然后证明图形符合命题已知条件，确定所作图形与题设条件所指的图形相同，从而证明命题成立．

4.证明多点共圆，当两点在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．

5.与圆有关的比例线段

(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．

(2)相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．