52向量的加法与减法1
高中数学向量的运算法则经典
高中数学向量的运算法则经典高中数学中，向量的运算法则是非常重要的基础概念，它包括向量的加法、减法以及数量乘法等几个方面。
掌握了向量的运算法则，不仅可以更好地理解向量的性质和特点，还可以为后续的向量运算打下坚实的基础。
下面将详细介绍高中数学中向量的运算法则。
一、向量的加法法则：向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
对于任意两个向量a和b，其加法运算可以表示为a+b。
1.平行四边形法则：平行四边形法则是向量加法的基本法则，它表示两个向量相加所得的向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线。
具体来说，将向量a和向量b的起点放在一起，然后以它们的终点为对角线的端点，得到一个平行四边形，向量a+b就是这个平行四边形的对角线。
2.三角形法则：三角形法则是平行四边形法则的特殊情况，它表示两个向量相加所得的向量等于以这两个向量为边的三角形的第三边。
具体来说，将向量a的起点和向量b的终点连接起来，得到一个三角形，向量a+b就是这个三角形的第三边。
二、向量的减法法则：向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
对于任意两个向量a和b，其减法运算可以表示为a-b。
向量的减法可以通过向量的加法来实现，即a-b=a+(-b)。
其中，-b 表示向量b的负向量，其大小不变，但方向相反。
三、向量的数量乘法：向量的数量乘法是指将一个向量与一个标量相乘得到一个新的向量。
对于一个向量a和一个实数k，其数量乘法运算可以表示为ka。
向量的数量乘法可以通过改变向量的大小和方向来实现。
当k>0时，ka的大小为，k，倍，方向与a相同；当k<0时，ka的大小为，k，倍，方向与a相反；当k=0时，ka为零向量，其大小为0，方向可以是任意方向。
四、向量的运算性质：1.交换律：向量加法满足交换律，即a+b=b+a。
这意味着两个向量相加的结果与加法的顺序无关。
2.结合律：向量加法满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)。
数学中的向量运算
数学中的向量运算在数学中，向量是一种常见的数学概念，它在几何学、物理学和工程学等领域中都有广泛的应用。
向量运算是指对向量进行各种操作的过程，它包括向量的加法、减法、数量乘法、点乘和叉乘等。
1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
在几何上，可以将向量看作是从原点指向某一点的箭头，向量的加法就是将两个箭头首尾相连形成一个新的箭头。
向量的加法满足交换律和结合律。
换句话说，无论是先加第一个向量再加第二个向量，还是先加第二个向量再加第一个向量，结果都是一样的；同时，无论是先加第一个向量再加第二个向量再加第三个向量，还是先加第二个向量再加第三个向量再加第一个向量，结果也都是一样的。
2. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
在几何上，可以将向量看作是从原点指向某一点的箭头，向量的减法就是将第二个箭头的方向反转，并将其起点与第一个箭头的终点相连形成一个新的箭头。
向量的减法可以看作是向量的加法的一种特殊情况。
具体来说，将向量的减法转化为向量的加法，只需将减法转化为加法，然后将第二个向量取相反数即可。
3. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量。
在几何上，可以将向量看作是从原点指向某一点的箭头，向量的数量乘法就是将箭头的长度进行相应的缩放。
向量的数量乘法满足分配律。
换句话说，无论是先将实数乘以第一个向量再加上实数乘以第二个向量，还是先将实数乘以两个向量的和，结果都是一样的。
4. 向量的点乘向量的点乘是指将两个向量进行点乘得到一个实数。
在几何上，可以将向量看作是从原点指向某一点的箭头，向量的点乘就是将两个箭头进行投影，并将投影的长度相乘。
向量的点乘有一些重要的性质。
首先，点乘满足交换律，即两个向量的点乘与它们的顺序无关。
其次，点乘满足分配律，即对于任意的三个向量，将其中两个向量进行点乘，然后再与第三个向量进行点乘的结果等于将两个向量与第三个向量分别进行点乘，然后再将两个结果相加。
【课件】向量的加法运算 向量的减法运算课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
6.2.1 向量的加法运算 6.2.2 向量的减法运算
教学目标
借助实例和平面向量的几何意义，掌握平面向量
1
的加法、减法运算及其运算规律.
2 理解平面向量的加法、减法运算的几何意义.
（1）向量的加法：求两个向量和的运算， 叫做向量的加法.
对于零向量与任意向量a ，规定a+0 0 a a .
本节课学习了平面向量的加法、减 法运算.
解析：由题意和图形可知 BAC 90 ，因为| AB | 300 ，| BC | 300 2 ，
所以| AC | 300 ，因为 ABC 45 ，A 地在 B 地南偏东 30°的方向处. 所以 C 地在 B 地南偏东 75°的方向处. 故飞机从 B 地向 C 地飞行的方向为南偏东 75°.
9.化简下列各式： （1） ( AB MB) (OB MO) . （2） AB AD DC .
B a-b
b Oa A
例 1 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运 输.如图，一艘船从长江南岸 A 地出发，垂直于对岸航行， 航行速度的大小为 15 km/h，同时江水的速度为向东 6 km/h. （1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度 间的夹角表示，精确到 1°）.
（2）向量加法的三角形法则：已知非零向量a，b ，在平面内
任取一点 A ，作 AB a ， BC b ，则向量 AC 叫做a 与b 的和，
记作 a b ，即 a b AB BC AC .如图.
C
b a+b
Aa
B
（3）向量加法的平行四边形法则：已知两个不共线向量a，b ， 作 AB a ， AD b ，以 AB ， AD 为邻边作 ABCD ，则对角线 上的向量 AC a b .如图.
向量的加减法
变式一：当 a ， b 满足什么条件时， a + b 与 a - b 垂直？ 变式二：当 a ， b 满足什么条件时，| a + b | = | a - b |？ 变式三： a + b 与 a - b 可能是相等向量吗？
注意：
(1)表示a b强调：差向量“箭头”指 向被减数 (2)用“相反向量”定义法作差向量，
注意：
（1）两相向量的和仍是一个向量；
（2）当向量a与b不平行时，a+b与 a,b都不平行,且|a+b|<|a|+|b|;
（3）当a与b同向时，则a+b、a、b 同向，且|a+b|=|a|+|b|;
当a与b反向时，若|a|>|b|,则a+b 的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|;
若|a|<|b|,则a+b的方向与相同b， 且|a+b|=|b|-|a|.
例1.如图，一艘船从A点出发以 2 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河 水的流速为2km/h，求船的实际航行的速 度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).
如图,已知向量 a,b,c , 求作向量 a b c
b
c
a
b
c
a
abc
2.向量的减法运算
三角形法则 B OA OB
B
O
a b = a + (b)
例2.下列等式,正确的个数是( ) ①a+0=a ②b+a=a+b ③-(-a)=a ④a+(-a)=0 ⑤a+(-b)=a-b
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 例3.下列等式中一定能成立的是( )
向量的加减法课件
题目2
已知向量$overset{longrightarrow}{a} = (2,3)$，$overset{longrightarrow}{b} = ( - 1,2)$，求$overset{longrightarrow}{a} overset{longrightarrow}{b}$。
进阶练习题
题目3
三角形法则的几何解释
向量减法的三角形法则可以理解为两个向量在起点和终点之间形成的闭合三角形，减数向量是三角形的一条边。
向量减法的向量场意义
向量场
向量场是由一组有序的向量所组成的集合，每个向量都有一个起点和一个终点。
向量场中向量的加减法
在向量场中，向量的加减法可以通过将减数的起点移动到被减数的起点来实现，然后按照向量的加法 法则进行计算。
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02 向量加法的几何意义
向量加法的平行四边形法则
总结词
向量加法的平行四边形法则是向量的基本运算法则之一，它 基于平行四边形的性质，将两个向量相加得到一个新的向量 。
详细描述
向量加法的平行四边形法则是通过构造一个平行四边形，其 中两个相邻的边分别表示要相加的向量，然后连接对角线来 表示这两个向量的和。
详细描述
在向量场中，向量加法运算可以看作 是将一个向量从一个点平移到另一个 点，这种平移过程可以用来描述物体 在空间中的运动和力的作用。
03 向量减法的几何意义
向量减法的三角形法则
三角形法则
向量减法可以通过作平行四边形并取对角线来实现，也可以通过连接两个向量的起点，并作与减数平行的向量来 实现。
答案3
$2overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b} = (5,5)$
030416§5.2平面向量的加法与减法
B
D
BD C
C A
C A
§5.02 平面向量的加法与减法
朝花夕拾 新课引入 新课讲解 典型例题 巩固练习 知识小结 作业
向量加法 (2)对任意向量a，b，则a b ？
设a AB,b CD 若a,b不共线，则
B B
C
D
A
A
C
D
§5.02 平面向量的加法与减法
朝花夕拾 新课引入 新课讲解 典型例题 巩固练习 知识小结 作业
（1）AB BC CD DE ？ AE （2）AB BC CD DA ？ 0 （3）（PO DM）（OD MP） ？ 0
例题 1 例题 2 例题 3 例题 4
§5.02 平面向量的加法与减法
朝花夕拾 新课引入 新课讲解 典型例题 巩固练习 知识小结 作业
练习：书P99~100 (做在书上)。
问题一、两个向量之间能不能进行运算？
引例1、英国飞人刘易斯在96年亚特兰大奥运会百米 决赛时平均速度达到了10米/秒，当时恰好刮 起了与运动员奔跑方向相同的风，风速达到 了2米/秒。问刘易斯的速度实际是多少？
若当时的风向是与运动员奔跑方向恰好成60 度，那么刘易斯的速度将是多少？
引例 1 引例 2
§5.02 平面向量的加法与减法
§5.02 平面向量的加法与减法
朝花夕拾 新课引入 新课讲解 典型例题 巩固练习 知识小结 作业
§5.02 平面向量的加法与减法
朝花夕拾 新课引入 新课讲解 典型例题 巩固练习 知识小结 作业
练习 1 练习 2 练习 3 练习 4
§5.02 平面向量的加法与减法
朝花夕拾 新课引入 新课讲解 典型例题 巩固练习 知识小结 作业
abc bc c
5.2 向量的加法与减法
求合力例1．如图，一物体受到两个大小均为60N 的力的作用，两力的夹角为60且有一力方向水平，求合力的大小及方向．分析：首先应根据题目已知条件作出向量图，从图中观察合力与分力的关系．解：设,分别表示两力，以OB OA ,为邻边作平行四边形OACB ，则即为合力．由已知可得△OAC 为等腰三角形，且30=∠COA ．过A 作OC AD ⊥于D ，则在O A D Rt ∆330236030cos =⨯=⋅=．360==，即合力的大小为N 360，方向与水平方向成30角． 小结：在这种向量的合成中注意和向量的模并不是两向量的模的简单相加，只有在两向量方向相同时才可以．说明向量意义例2．设a 表示“向东走10km ”，b 表示“向西走5km ”，c 表示“向北走10km ”，d 表示“向南走5km “．说明下列向量的意义．(1)a +b (2)b +d (3)d +a +d分析：根据实际意义来确定向量的方向，再根据三角形法则进行加法运算．解： (1) a +b 表示向东走5km ． (2) b +d 表示向西南走25km (3) d +a +d 表示向东南走210km ．小结：关于向量的加法实际就是向量的合成，而向量的合成在实际中有着广泛的应用，此题就是初步了解其应用．C向量加法的作图例1．如图1所示，已知向量c b a ,,，试求作和向量c b a ++．分析：求作三个向量的和的问题，首先求作其中任两个向量的和，因为这两个向量的和仍为一个向量，然后再求这个向量与另一个向量的和．即先作c a +，再作b c a ++)(．解：如图2所示，首先在平面内任取一点O ，作向量a =，再作向量bAB =，则得向量b a +=，然后作向量c BC =，则向量c b a ++=即为所求．小结：此题的目的主要在于用几何作图熟悉加法的三角形法则及对结合律的认识．向量加减的化简例1．化简下列各式(1)BC CA AB ++； (2)DO OD OF OE --+-．分析：化简含有向量的关系式一般有两种方法①是利用几何方法通过作图实现化简；②是利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序，有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量．解： (1)原式=0)(=-=+=++=++(2)原式=EF OF EO DO OD OF EO =-+=+-+0)()(．小结：向量的加法，减法的运算并不困难，但运算的途径很多，十分灵活，如平面任一向量都可以写成两个向量的和，同样任一向量都可以分成两个向量的差等．通过这种调整来简化运算．向量加减法运算的选择题例1、若A 、B 、C 、D 是平面内任意四点，则下列四式中正确的是（ ）①+=+ ②+=- ③DC DB AC AB =-- ④DC AD BC AB =-+a b c图1a ba+b+c OAB C c 图2A ．1B ．2C ．3D ．4分析：向量的加减法运算通常借助于其几何性质求解，因此在运算时可以画出图象帮助观察题目中的等量关系是否成立，有时等式需要适当的变形．解：选择C小结：向量的加、减法的基本法则分别为CB AC AB AC BC AB =-=+ ，而本题的四个式子①②两式无法直接应用法则，故可变形后再算①式等价于BD AD BC AC -=-．左边=+=．故①式成立．②式等价于BD DC AB AC +=-，左BC =，右BC DC BD =+= ，所以②式正确．③式左边=+=-=与右式不等，故③式不正确，④式中，左边=-=．故④式正确，所以选C ．用向量证明平行四边形例1．用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 分析：要证明四边形是平行四边形只要证明某一组对边平行且相等．由相等向量的意义可知，只需证明其一组对边对应的向量是相等向量．(需首先将命题改造为数学符号语言)已知：如图3，ABCD 是四边形，对角线AC 与BD 交于O ，且AO=OC ，DO=OB ． 求证：四边形ABCD 是平行四边形． 证明：由已知得OD BO OC AO ==,，=+=+=+= ，且A ，D ，B ，C 不在同一直线上， 故四边形ABCD 是平行四边形． 小结：这种类型的题目由于要求用向量的方法来证明，故应把平面几何的语言准确无误的转换为平面向量的语言，如本题中AD ∥BC AD BC =且BC AD =⇔，而不能写AD ∥BC AD BC =且=⇔．证明向量模的不等式例1．证明：对于任意两个向量b a ,都有b a b a b a +≤+≤-．分析：由于不等式本身有明显的几何意义，故应选用向量的几何意义进行证明．可根据向量b a ,共线与不共线两种情况进行讨论．证明：若b a ,中有一个为零向量，则不等式显然成立．若b a ,都不是0时，记BDCb AB a OA ==,，则b a OB +=．(1) 当b a ,<<．即b a b a b a +≤+≤-．(2) 当b a ,共线时，若b a ,同向，+=，即b a b a +=+；若b a ,=-b a b a +=-． 综上可知b a b a b a +≤+≤-．小结：两个向量之间无大小可言而两个向量的长度之间可以比大小．此不等式一般称为三角不等式，它的几何意义就是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值．在证明之后还可以让学生一起讨论不等式中两个等号成立的条件．O AB图甲O A B图乙O AB 图丙。
(完整版)向量公式汇总
向量公式汇总平面向量1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b 的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。
若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。
向量加减法首尾规律
向量加减法首尾规律
向量的加法口诀：首尾相连，首连尾，方向指向末向量。
向量的减法口诀：首首相连，尾连尾，方向指向被减向量。
三角形定则解决向量加减的方法
将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。
注：两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同；差向量的终点指向被减向量的终点。
平行四边形定则解决向量加法的方法
将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，结果为公共起点的对角线。
平行四边形定则解决向量减法的方法
将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，结果由减向量的终点指向被减向量的终点。
(平行四边形定则只适用于两个非零非共线向量的加减。
)
注：当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时常选用平行四边形法则。
坐标系解向量加减法
在直角坐标系里面,定义原点为向量的起点.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差若向量的表示为(x,y)形式,
A(X1,Y1)B(X2,Y2)，则A+B=(X1+X2，Y1+Y2)，A-B=(X1-X2，Y1-Y2)
简单地讲：向量的加减就是向量对应分量的加减。
类似于物理的正交分解。
向量的加法与减法
向量的加法与减法向量是一个有向线段，由起点和终点确定。
在数学中，向量可以表示为一个有序对或是空间中的一个点，也可以表示为一个列向量或行向量。
向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
向量的加法满足以下性质：1. 交换律：A + B = B + A2. 结合律：(A + B) + C = A + (B + C)3. 加法单位元：存在一个零向量0，使得A + 0 = A4. 加法逆元：对于任意的向量A，存在一个唯一的向量-B，使得A + (-B) = 0向量的加法可以用三角形法则来解释，即把两个向量的起点对齐，然后将它们的终点相连，就可以得到它们的和向量。
除了三角形法则外，我们还可以用平行四边形法则来求两个向量之和。
将两个向量的起点对齐，然后将它们的终点连成一个平行四边形，那么对角线就是它们的和向量。
向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
向量的减法可以转化为向量的加法，即A - B = A + (-B)。
向量的减法也可以用三角形法则来解释。
将B取反然后按照向量加法的方法相加，所得结果就是A - B。
另外，我们还可以用平行四边形法则来求两个向量之差。
将A和-B的起点对齐，然后将它们的终点连成一个平行四边形，那么对角线就是它们的差向量。
应用向量的加法与减法在数学中有着广泛的应用。
在物理学中，向量的加法常常用于求两个力的合力。
在航空航天领域，向量的减法常常用于求两个物体之间的相对速度。
此外，在计算机图形学中，向量的加法和减法非常重要。
向量可以表示一个点在空间中的位置或者是它在一个坐标系中的位置。
通过向量的加法和减法我们可以方便地计算两个点之间的距离和方向。
总结向量的加法与减法是数学中非常基本且重要的概念。
通过它们，我们可以方便地求出力的合力、计算物体之间的相对速度、以及在计算机图形学中计算两个点之间的距离和方向。
掌握了向量的加法与减法，可以帮助我们更好地理解和应用它们。
向量的加法与减法
向量的加法与减法在数学中，向量是一种具有大小和方向的量。
向量的加法和减法是两个基本操作，用于将多个向量组合在一起或从一个向量中减去另一个向量。
本文将介绍向量的加法和减法的定义、性质以及应用。
一、向量的加法向量的加法是将两个向量合并成一个新的向量。
假设有两个向量A 和A，表示为A = (A₁, A₁)和A = (A₂, A₂)。
向量的加法定义如下：A + A = (A₁ + A₂, A₁ + A₂)通过上述公式，我们可以将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。
向量的加法满足交换律和结合律。
向量的加法有许多应用，例如在物理学中，当我们需要计算多个力的合力时，就需要使用向量的加法。
另外，在几何学中，向量的加法可以用来计算多边形的边向量和对角线向量。
二、向量的减法向量的减法是将一个向量从另一个向量中减去得到一个新的向量。
假设有两个向量A和A，表示为A = (A₁, A₁)和A = (A₂, A₂)。
向量的减法定义如下：A - A = (A₁ - A₂, A₁ - A₂)通过相应分量相减，我们可以得到一个新的向量。
向量的减法没有交换律，即A - A≠ A - A，但满足结合律。
向量的减法也有许多实际应用。
例如在导航系统中，我们可以使用向量的减法来计算两个位置之间的位移向量，从而确定行进方向和距离。
总结：向量的加法和减法是数学中常见的操作，可以将多个向量合并或从一个向量中减去另一个向量得到新的向量。
向量的加法满足交换律和结合律，而减法仅满足结合律。
这些操作在物理学、几何学以及导航系统等领域都有广泛的应用。
掌握向量的加法和减法的概念和应用将有助于我们更好地理解和解决相关问题。
【注意：根据题目要求，文章直接回答标题，不再重复题目或其他无关内容。
】。
向量运算公式大全
向量运算公式大全向量是数学中一个非常重要的概念，它在物理、工程、计算机科学等领域都有着广泛的应用。
向量运算是对向量进行各种操作的过程，包括加法、减法、数量乘法、点积、叉积等。
本文将为大家介绍向量运算的各种公式，希望能帮助大家更好地理解和运用向量。
1. 向量加法。
向量加法是指两个向量相加的运算。
设有两个向量a和b，它们的加法运算可以表示为：a +b = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)。
其中a1, a2, ..., an分别表示向量a的各个分量，b1, b2, ..., bn分别表示向量b的各个分量。
这个公式表明，向量加法就是将两个向量对应分量相加得到新的向量。
2. 向量减法。
向量减法是指一个向量减去另一个向量的运算。
设有两个向量a和b，它们的减法运算可以表示为：a b = (a1 b1, a2 b2, ..., an bn)。
与向量加法类似，向量减法也是将两个向量对应分量相减得到新的向量。
3. 数量乘法。
数量乘法是指一个向量乘以一个标量的运算。
设有一个向量a和一个标量k，它们的数量乘法运算可以表示为：k a = (k a1, k a2, ..., k an)。
这个公式表明，数量乘法就是将向量的每个分量都乘以标量得到新的向量。
4. 点积。
点积是指两个向量之间的一种运算。
设有两个向量a和b，它们的点积可以表示为：a ·b = a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn。
点积的结果是一个标量，它等于两个向量对应分量相乘再相加得到的值。
5. 叉积。
叉积是指两个向量之间的另一种运算。
设有两个向量a和b，它们的叉积可以表示为：a ×b = (a2 b3 a3 b2, a3 b1 a1 b3, a1 b2 a2 b1)。
叉积的结果是一个新的向量，它的方向垂直于原来两个向量所在的平面，大小等于这两个向量构成的平行四边形的面积。
以上就是向量运算的一些基本公式，通过这些公式我们可以进行各种向量运算，包括向量的加法、减法、数量乘法、点积、叉积等。
《向量的加减法》课件
03 向量的数乘
数乘的定义
定义
对于向量$overset{longrightarrow}{a}$ 和实数$k$，数乘 $koverset{longrightarrow}{a}$是一个 向量，其长度为 $|k||overset{longrightarrow}{a}|$，方 向与$overset{longrightarrow}{a}$相同 或相反，取决于$k$的正负。
向量加法的性质
向量加法满足结合律
即$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + overset{longrightarrow}{c} = overset{longrightarrow}{a} + (overset{longrightarrow}{b} + overset{longrightarrow}{c})$。
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02
当$k < 0$时，$koverset{longrightarrow}{a}$表示向 量$overset{longrightarrow}{a}$按比例缩小$-k$倍。
03
当$k = 0$时，$0overset{longrightarrow}{a} = mathbf{0}$，即零向量。
数乘的性质
箭头表示法
详细描述
向量通常用带箭头的线段表示，箭头指向代表方向，长度代表大小。
向量的模
总结词
向量的长度
详细描述
向量的模表示向量的长度，记作$|overrightarrow{AB}|$，计算公式为$sqrt{x^2+y^2}$。
02 向量的加法
向量加法的定义
定义
向量加法是指将两个向量首尾相接，以第一个向量的起点为 共同起点，以第二个向量的终点为共同终点，连接第一个向 量的终点与第二个向量的起点的向量。
《向量的加法与减法》课件
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向量加法的几何意义
总结词
向量加法的几何意义是表示两个向量在平面或空间中的相对 位置关系。
详细描述
向量加法的几何意义在于表示两个向量在平面或空间中的相 对位置关系。通过向量加法，我们可以理解一个向量是如何 由另一个向量产生的，以及它们之间的角度和长度关系。
向量加法的性质
总结词
向量加法满足交换律和结合律，不满足消去律。
向量减法的性质
总结词
向量减法的性质
详细描述
向量减法具有一些重要的性质，包括交换律、结合律和反身性。交换律指的是向量减法 的结果不依赖于减数向量的顺序，结合律指的是向量的加减运算满足结合律，反身性指
的是任意向量减去其自身等于零向量。
03 向量的加法与减 法的应用
在物理中的应用
力的合成与分解
在物理中，向量加法和减法常用于表 示力的合成与分解。通过向量加法， 可以将多个力合成一个力；通过向量 减法，可以将一个力分解成多个分力 。
速度和加速度的计算
在运动学中，向量的加法和减法用于 计算速度和加速度。例如，在平抛运 动中，水平和垂直方向的速度可以通 过向量加法和减法计算出物体的最终 速度和加速度。
在数学中的应用
向量模的计算
向量的加法和减法可以用于计算向量的 模。通过向量加法，可以计算两个向量 的和的模；通过向量减法，可以计算两 个向量的差的模。
详细描述
向量加法满足交换律，即向量a加向量b等于向量b加向量a。同时，向量加法也 满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)。但是，向量加法不满足消去律，即 a+b=b+a并不意味着a=b。这是因为向量的加法不具有唯一性，与实数加法不 同。
向量的加法与减法运算
向量的加法与减法运算向量是物理学中非常重要的概念，它用来描述有大小和方向的物理量。
在进行向量的运算时，我们需要掌握向量的加法和减法运算规则。
本文将详细介绍向量的加法和减法运算方法，并通过实例进行说明。
一、向量的加法运算向量的加法是指将两个向量相加得到一个新向量的运算。
向量的加法运算需要满足以下规则：1. 两个向量相加的结果是一个新的向量，该向量的大小等于两个向量大小的和，并且方向与两个向量之间的夹角相同。
2. 如果两个向量的方向相同，则它们的加法运算非常简单，只需将两个向量的大小相加即可。
3. 如果两个向量的方向相反，则它们的加法运算也很简单，只需将较大的向量大小减去较小的向量大小即可，并将结果的方向与较大的向量保持一致。
4. 如果两个向量不在同一直线上，则需要通过平行四边形法则进行计算。
首先，将两个向量的起点放在同一个点上，然后，按照两个向量的方向，将它们依次连接起来，形成一个平行四边形。
新向量的大小等于平行四边形对角线的大小，方向与对角线的方向相同。
下面通过实例来说明向量的加法运算方法：假设有两个向量A和B，它们的大小分别为|A|和|B|，方向分别为θ和φ。
根据上述规则，可以得出：1. 如果θ等于φ，则向量A和B的加法运算结果为新向量C，大小等于|A|+|B|，方向与θ或φ相同。
2. 如果θ等于180°-φ，则向量A和B的加法运算结果为新向量C，大小等于|A|-|B|，方向与θ或φ相同。
3. 如果θ和φ不相等，则向量A和B的加法运算结果为新向量C，大小等于平行四边形对角线的大小，方向与对角线的方向相同。
通过以上方法，我们可以简便而准确地求得向量的加法结果。
二、向量的减法运算向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新向量的运算。
向量的减法运算可以通过向量的加法运算来实现。
具体方法如下：1. 将减去的向量取反，即将向量的方向取反，并保持其大小不变。
2. 将取反后的向量与被减向量进行加法运算。
向量的加法和减法
向量的加法和减法向量是数学中非常重要的概念，用来表示空间内的一个点到另一个点的位移。
在实际应用中，向量在物理、工程、计算机图形学等领域都有广泛的应用。
向量的加法和减法是主要的运算方式，在本文中，我们将深入探讨这两种运算，帮助读者更加充分地理解向量的本质和应用。
向量的基本定义在最简单的情况下，我们可以将向量看作是由两个点之间的位移所定义的箭头。
在三维空间中，向量通常写为一个有序数列，如 (x, y, z)。
这个有序数列表示从原点到该点的位移，可以用箭头表示。
向量的长度表示位移的大小，通常用 ||v|| 表示。
在几何学中，两个向量之间的夹角定义为向量的点积除以向量长度的乘积的反余弦：cosθ = (u · v) / (||u|| ||v||)其中，u 和 v 分别表示向量的两个方向，·表示两个向量的点积，||u|| 和||v|| 分别表示这两个向量的长度。
θ 是两个向量之间的夹角。
向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
在几何学中，两个向量相加的结果通常被称为它们的和。
几何上，向量的加法可以通过将两个向量的起点相连，并将该连接点结束的向量作为它们的和来完成。
从定义上讲，给定两个向量 u 和 v，它们的和可以通过按照以下方式计算得出：w = u + v例如，如果我们有向量 u 和向量 v，其坐标分别为 (1, 0) 和 (0, 1)。
那么我们可以将它们相加得到向量 w，其坐标为 (1, 1)。
这里我们可以将 (1, 0) 和 (0, 1) 连接起来看成是一个从原点开始到坐标(1, 1) 结束的向量。
向量的减法向量的减法是指将一个向量从另一个向量中减去，得到一个新的向量。
它通常表示一些样本之间的差异，或者表示一个位置和另一个位置之间的位移矢量。
在几何学中，向量的减法可以通过将两个向量的起点对齐，并将结束点连接成新向量来完成。
给定两个向量 u 和 v，它们的差可以通过按照以下方式计算来获得：w = u - v例如，如果我们有向量 u 和向量 v，其坐标分别为 (1, 0) 和 (0, 1)。
高一数学-5.2向量的加法与减法
பைடு நூலகம்｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜．要重视该式中等号成立的条件，应用它可以解决许多相关的问题．
4．力与速度的合成与分解，实际上就是向量的加减法运算问题，因此加减法运算法则在实际生活中有着广泛的应用，学习中注意提炼出相关的模型．
正确运用向量加法的三角形法则与平行四边形法则，以及向量减法的三角形法则，注意分清起点与终点．
例1 如图5－2－4，已知三个向量a、b、c，试用三角形法则和平行四边形法则作a＋b＋c．
［解析］ 利用三角形法则时使三个向量首尾相接；利用平行四边形法则时先求两个向量的和再加上第三个向量．
对于相反向量有如下结论：①－（－a）＝a；②a＋（－a）＝（－a）＋a＝0．
（2）向量的减法：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差．
即a－b＝a＋（－b）．求两个向量差的运算，叫做向量的减法．
（口诀：共起点，连终点，指向被减向量）
解题方法、技巧培养
出题方向1 考查向量加法、减法的几何作图
点拨 三角形法则和平行四边形法则运用时，要特别注意不同的起点和终点间的关系，不要在连接上出现错误．三角形法则是首尾相接，平行四边形法则是起点重合．
点拨 充分利用图中相等向量，来进行转化，以便简化运算．图中以A、B、C、D、E、F、O七点中的任意两点为起点与终点的向量，都可以用向量a，b来表示．
出题方向2 考查向量加法与减法运算
对于多个向量的加法与减法运算，要灵活运用向量的运算法则与运算定律，以及相等向量、相反向量等知识．
例3 化简下列各式：
［解析］ 运用向量的运算定律及法则，求解．
点拨 深刻理解向量的运算法则，并熟练掌握向量的等价变形（主要运用向量相等、相反向量、向量的运算定律）．易错易混点警示
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2、根据向量加法的定义，易得
A1 A 2 +A 2 A 3 + +A n-1 A n +A n A1 =0
C
例题 例1、已知向量a,b,c不共线，求作向量a+b+c(三维）
a c
AD=a+b+c
bC BBiblioteka AD变式1例2、在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线上， 取两点E、F，使BE=DF，用向量方法证明：四边 形AECF也是平行四边形。（三维）
F C D A B E
解： AE=AB+BE
又AB=DC
B O A P
PA+PB+PC+PD=4PO
PA+PC=2PO,PB+PD=2PO
C D
例6、在水流速度为 4 3 km/h的河中，如果要使船以 12km/h的实际航速与河岸成直角地行驶，求船的航行 速度的大小和方向。 C D 解：如图， 设AB表示水流速度， AD表示船的行驶速度，
B A 3 则AD+AB=AC， AB =4 3, AC =12,tanACB= 3 BAD=120 ACD=30=CAD, AD = BC =8 3
A、 0
B、 2
C、 2
D、 2 2
4、下列问题，其中真命题的个数为 C ①如果非零且模不相等的向量a与b的方向相同或 相反，那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同。 ② 在 ABC中，必有 AB+BC+CA=0
③ 若AB+BC+CA=0，则A、B、C为一个 三角形的 三顶点
向量a,b将OB,OC,OD表示出来。 OP=OA+OE=a+b OB=OA+OP=a+a+b
A a O
B
b OC=OP+OP=a+a+b+b E
OD=OE+OP=a+b+b
P
D
C
例5、如图所示，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD 交于O点，P为平面内任意一点，求证：
AB+CD+DE+BC+EF+FA=0
向量还可以进行分解：
如 EF=EO+OF=EA+AF 教材例2
随堂练习
1、下列等式不正确的是 A、a+0=a B、a+b=b+a C、 a+b = a + b D、AC=DC+AB+BD
C
2、已知正方形ABCD的边长为1，AB+BC 等于 C
3、已知a,b,c是非零向量，那么向量 a+c +b,b+ a+c , b+ c+a ,c+ a+b ,c+b+a与向量a+b+c相等的是 A A、 5 B、 4 C、 3 D、 2
2)首尾相连。
b
a
a+b
b a
3)实质：若干个向量的和是第1个向量的起点指向 最后一个向量的终点的有向线段。即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
特殊情况： (1)
a b a a+b
(2)
b
a+b
(3)
0+a=a
2、平行四边形法则：
A、 0
B、 1
C、2
D、3
F A B D C E
AB 5、AC=____+BC AB 6、如图， CB+ED+DC+FE+AF=____
AB 7、在平行四边形ABCD中， =a, AD=b,那么AC+BA等于 B A、 a B、 b C、 0 D、 a+b
FC=FD+DC BE=FD
得AB+BE=DC+FD
AE=FC
所以AECF也是平行四边形。
变式2
例3、一物体受到两个大小均为60N的力的作用，两 力的夹角为60o，且有一力方向为水平，求合力的大 小和方向。（三维）
B
合力为OC
AC =60 3
C
O
A
方向为与水平方向成30 角
例4、在正六边形OABCDE中，OA=a,OE=b ，试用
8、向量 AB+MB + BO+BC +OM化简后等于 C A、BC B、AB C、AC D、AM
9、在
ABCD中，AB+CA+BD等于 D
C、BC D、BA A、DA B、DC 10、如图所示，O是四边形对角线 B 的交点，使得a+d=c+b成立的充要 D c 条件是四边形ABCD为 d a O b A、等腰梯形 C、菱形 A B、平行四边形 D、矩形 B
一、向量的加法法则
在平面内任取一点A， AB=a ,以B为起点,作 BC=b， 作 连接AC，则向量AC叫 a与b的和，即 a+b=AB+BC= AC
特点：
1、三角形法则：
1)第一个向量的终点是 第二个向量的起点。
(2)若o是ABC的重心，则OA+OB+OC=0
(3) a b a b a b
二、加法交换律与结合律：
a+b=b+a
a+b+c=a+b+c
多个向量加法运算可任意组合
a+b+c+d+e=a+c +b+d +e AB+CD+DE+BC+EF=AF
AC表示船的实际行驶速度， 连接BC，作AD BC,且AD=BC，
答：船的航行速度为8 3 km/h,方向与水流方向成120o角。
学后反思 向量运算是运用向量方法解决问题的基本工具， 而向量的加法运算是最基本的向量运算。 1、向量的加法是用三角形法则来定义的，作两个向量 的和向量除用三角形法则外，还可用平行四边形法则。 当两向量不共线时，两个法则是一致的；而当两
以同一点A为起点作两个向量，使 AB =a, AD=b,
以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD，连续AC，则
AC= AB + AD=a+b
a
b D
如图
C
b
a+b A a
B
结论（1）在△ABC中，BC中点为D，由平行四边形 法 则易得中线 1 AD= AB+AC 2
5.2向量的加法与减法1
教学目标： 1、掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加 法的意义。 2、能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角 形法则，并能作出已知两向量的和向量。 3、理解向量加法满足交换律和结合律，表述两个运 算律的几何意义。 4、掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线 向量、共起点向量、共终点向量。 教学重点：向量加法的平行四边形法则与三角形 法则。 难点：对向量加法定义的理解。