向量的加法与减法2
向量的加减法运算法则
向量的加减法运算法则
在向量的加减法运算中，可以用向量的模量和方向来进行计算，并且有四种基本计算规则，分别是：
1、向量的加法：将两个向量在平面上以具有相同方向性的标准坐标系下把向量放在一起，然后把它们合并在一起，将每一个坐标轴上的分量所对应的向量分量累加在一起即可得到两个向量之和。
2、向量的减法：将两个向量以相反方向放在一起，然后把它们合并在一起，将每一个坐标轴上的分量所对应的向量分量累减在一起即可得到两个向量之差。
3、向量的乘法：将两个向量的模量乘在一起，然后乘以向量夹角的余弦值，即可得到两个向量之积。
4、向量的除法：将一个向量的模量除以另一个向量的模量，然后乘以向量夹角的余弦值，即可得到两个向量的商。
向量的加减法是数学中一个基本的操作，但是要掌握它就必须正确理解向量的含义，以及向量的模量和方向性。
如果运算错误，得到的结果可能是不正确的，因此一定要仔细检查计算的准确性，以保证求得的结果是正确的。
2 向量的加法与减法
2向量的加法与减法一、基础知识：1．向量加法：求两个向量和的运算，2．向量加法运算律：（1）交换律：a b b a +=+；（2）结合律：（)()c b a c b a ++=++。
3．向量加法运算的几何方法：(1)三角形法则：以O 起点，作a OA =，再以A 为起点作向量b AB =，则以O 为起点的边OA 就是b a 与的和，这种作两个向量和的方法叫做三角形法则；(2)平行四边形法则：以同一A 为起点的两个已知向量a ，b 为相邻边作平行四边形ABCD ，则以A 为起点的对角线AC 就是b a 与的和，这种作两个向量和的方法叫做平行四边形法则。
4．向量减法：求两个向量差的运算，5．向量减法运算的几何方法：(1)三角形法则：注：方向指向被减向量。
(2)平行四边形法则：二、基本题型：1.在△ABC 中，点M 满足MA MB MC ++=0 ，若 AB AC m AM ++=0，则实数m 的值为 ．2.已知向量p 的模是2，向量q 的模为1，p 与q 的夹角为π4，q p a 23+=，q p b -=， 则以a 、b 为邻边的平行四边形的长度较小的对角线的长是 ．3．设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则 。
（填上正确的序号） ①0PA PB += ；②0PC PA += ；③0PB PC += ；④0PA PB PC ++= 。
4．已知O ，N ，P 在A B C ∆所在平面内，且||||||OC OB OA ==，0=++NC NB NA ， 且PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则点O ，N ，P 依次是A B C ∆的 心、 心、 心。
5．化简下列各式（1）CA BC AB ++；（2）CD BD AC AB -+-；（3）AD OD OA +-；（4）MP QP MN NQ +++结果是零向量的个数是 。
6．已知8||=AB ，5||=AC ，则||BC 的取值范围是 。
【课件】向量的加法运算 向量的减法运算课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
6.2.1 向量的加法运算 6.2.2 向量的减法运算
教学目标
借助实例和平面向量的几何意义，掌握平面向量
1
的加法、减法运算及其运算规律.
2 理解平面向量的加法、减法运算的几何意义.
（1）向量的加法：求两个向量和的运算， 叫做向量的加法.
对于零向量与任意向量a ，规定a+0 0 a a .
本节课学习了平面向量的加法、减 法运算.
解析：由题意和图形可知 BAC 90 ，因为| AB | 300 ，| BC | 300 2 ，
所以| AC | 300 ，因为 ABC 45 ，A 地在 B 地南偏东 30°的方向处. 所以 C 地在 B 地南偏东 75°的方向处. 故飞机从 B 地向 C 地飞行的方向为南偏东 75°.
9.化简下列各式： （1） ( AB MB) (OB MO) . （2） AB AD DC .
B a-b
b Oa A
例 1 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运 输.如图，一艘船从长江南岸 A 地出发，垂直于对岸航行， 航行速度的大小为 15 km/h，同时江水的速度为向东 6 km/h. （1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度 间的夹角表示，精确到 1°）.
（2）向量加法的三角形法则：已知非零向量a，b ，在平面内
任取一点 A ，作 AB a ， BC b ，则向量 AC 叫做a 与b 的和，
记作 a b ，即 a b AB BC AC .如图.
C
b a+b
Aa
B
（3）向量加法的平行四边形法则：已知两个不共线向量a，b ， 作 AB a ， AD b ，以 AB ， AD 为邻边作 ABCD ，则对角线 上的向量 AC a b .如图.
向量坐标加减公式
向量坐标加减公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：向量是线性代数中一个非常重要的概念，它是具有大小和方向的量。
在三维空间中，一个向量可以用坐标表示，常见的形式是（x，y，z）。
向量之间的加减运算是线性代数中的基本操作，也是很多数学问题中常见的计算方法。
本文将介绍向量坐标的加减公式及其相关知识。
在向量的加减运算中，主要涉及到向量之间的加法和减法两种运算。
向量的加法是将两个向量的对应分量分别相加，而向量的减法则是将第二个向量的对应分量取反后再进行加法运算。
下面分别介绍向量的加法和减法公式。
1. 向量的加法公式设向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)，则这两个向量的和向量C = A + B = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)。
也就是说，向量的加法是将两个向量的对应分量相加并得到新的向量。
举例来说，如果我们有向量A = (1, 2, 3)和向量B = (4, 5, 6)，那么它们的和向量C = A + B = (1+4, 2+5, 3+6) = (5, 7, 9)。
2. 向量的减法公式设向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)，则这两个向量的差向量C = A - B = (x1-x2, y1-y2, z1-z2)。
也就是说，向量的减法是将第二个向量的对应分量取反后再进行加法运算得到新的向量。
举例来说，如果我们有向量A = (1, 2, 3)和向量B = (4, 5, 6)，那么它们的差向量C = A - B = (1-4, 2-5, 3-6) = (-3, -3, -3)。
通过向量的加减公式，我们可以很方便地计算任意两个向量之间的加减运算。
这在几何学、物理学以及工程学等领域中都有着广泛的应用。
例如，在几何学中，可以通过向量的加减运算来求解线段的长度、方向及等相关问题；在物理学中，可以通过向量的运算来描述物体的位移、速度以及加速度等运动相关问题；在工程学中，可以通过向量的运算来解决力的合成与分解、力矩及力的平衡等静力学问题。
向量的加法与减法讲解学习
b
bC
a
B
作法:(1)在平面取一点A
(2)以点A为起点以向量a、b为邻边作平行
四边形ABCD.即 AD＝BC＝a, AB=DC=b
（3）则以点A为起点的对角线 AC＝a+b
练习2.如图,已知 a b 用向量加法的平行四
边形法则作出 a b
（1）
b
b
ab a
（2）
b
a
ab
a
三、运算律
a
(1) 交换律 : a b b a b a b b
下面我们就来学习向量的线性运算.
阅读教材回答问题：何为向量的加法运算？
一、向量的加法： (1)、定义：求两个向量和的运算叫向量的加法。
(2)、图示：
A
B
a a a a a a a a aa
b b b bO b
b
b
b
b
a+b
(3)、作法 1在平面内任取一点O
2作OA a, AB b 3则向量OB a b
当a，b 反向时，且| a || b |,则| a b || b | | a |
结论: || a | | b ||| a b || a | | b |
向量的加法与减法(2)
向量的减法 相反向量：长度相等方向相反的向量.
a的相反向量,记作- a，a 与 a 互为相反向量.
于是 (a ) a , a (a ) 0 . 规定， 0 0 .
向量的加法与减法(1)
复习回顾
1.向量的概念：有大小，有方向的量
2.向量的表示：
B
有向线段 A
黑体小写字母 a
记作AB
r 手写体 a
向量的长度：向量AB的大小即为向量AB的长度（或称模）.
向量的加减法
编辑ppt
20
2．如图，D、E、F 分别是△ABC 的边 AB、BC、
CA 的中点，则下列等式中正确的是 ①②③ . ①F→D＋D→A＋D→E＝0 ②A→D＋B→E＋C→F＝0 ③F→D＋D→E＋A→D＝A→B ④A→D＋E→C＋F→D＝B→D
解析 F→D＋D→A＋D→E＝F→A＋D→E＝0， A→D＋B→E＋C→F＝A→D＋D→F＋F→A＝0， F→D＋D→E＋A→D＝F→E＋A→D＝A→D＋D→B＝A→B，
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11
利用向量加法的多边形法则化简多个向量的和
有时非常有效．例如，在正六边形 ABCDEF 中， A→C＋B→D＋C→E＋D→F＋E→A＋F→B＝____0____. 解析 A→C＋B→D＋C→E＋D→F＋E→A＋F→B＝(A→B＋B→C)＋(B→C＋C→D) ＋(C→D＋D→E)＋(D→E＋E→F)＋(E→F＋F→A)＋(F→A＋A→B) ＝(A→B＋B→C＋C→D＋D→E＋E→F＋F→A)＋(B→C＋C→D＋D→E＋E→F＋F→A ＋A→B)＝0＋0＝0.
后一个向量的终点，并指向后一个向量的终点，就
得到两个向量的和向量．
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5
问题 1 当向量 a，b 是共线向量时，a＋b 又如何作出？
答 (1)当 a 与 b 同向时：
O→B＝O→A＋A→B＝a＋b (2)当 a 与 b 反向时：
O→A＝a，A→B＝b，O→B＝O→A＋A→B＝a＋b.
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例 2 化简： (1) B→C＋A→B；(2)D→B＋C→D＋B→C； (3) A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A. 解 (1) B→C＋A→B＝A→B＋B→C＝A→C. (2)D→B＋C→D＋B→C＝B→C＋C→D＋D→B＝(B→C＋C→D)＋D→B＝B→D＋ D→B＝0. (3) A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A＝A→B＋B→C＋C→D＋D→F＋F→A
平面向量的加法与减法
平面向量的加法与减法一、向量的概念与表示在数学中，向量是一种具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。
平面向量可以表示为一个有序的数对（a，b），其中a是向量在x 轴上的分量，b是向量在y轴上的分量。
向量通常用小写字母加箭头来表示，例如：→a。
二、向量的加法要进行向量的加法，我们需要将两个向量的对应分量分别相加。
例如，对于向量→a = (a₁, a₂)和→b = (b₁, b₂)，它们的和向量→c = →a + →b可以表示为：→c = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。
三、向量的减法向量的减法与向量的加法类似，但是需要将相应分量相减。
例如，对于向量→a = (a₁, a₂)和→b = (b₁, b₂)，它们的差向量→c = →a - →b 可以表示为：→c = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)。
四、向量的性质1. 交换律：向量的加法满足交换律，即对于任意向量→a和→b，→a + →b = →b + →a。
2. 结合律：向量的加法满足结合律，即对于任意向量→a、→b和→c，(→a + →b) + →c = →a + (→b + →c)。
3. 零向量：零向量是一个特殊的向量，它的分量均为0，通常用0或者→0表示。
对于任意向量→a，→a + →0 = →a。
4. 逆向量：对于任意向量→a，存在一个与之相反的向量−→a，使得→a + (−→a) = →0。
5. 数乘：向量的数乘指将向量的每个分量都乘以一个常数。
例如，对于向量→a = (a₁, a₂)和常数k，k * →a = (k * a₁, k * a₂)。
五、向量的应用1. 位移向量：向量可以表示物体在平面上的位移。
例如，一个物体在平面上从点A移动到点B，可以用向量→AB来表示，它的分量为B的横坐标减去A的横坐标，以及B的纵坐标减去A的纵坐标。
2. 力学应用：向量在力学中有着广泛的应用。
例如，力可以用向量来表示，向量的方向表示力的作用方向，向量的大小表示力的大小。
向量的运算的加减
向量的加减如下：
简单地讲：向量的加减就是向量对应分量的加减，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差若向量的表示为（x,y）形式。
具体如下：向量的加法：A+B=（X1+X2，Y1+Y2）。
向量的减法：A-B=（X1-X2，Y1-Y2）。
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则；向量的加减乘（向量没有除法）运算满足实数加减乘运算法则。
向量加减法定则：
三角形定则
三角形定则解决向量加法的办法：将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的起点指向比较后一个向量的终点。
平行四边形定则
平行四边形定则解决向量加法的办法：将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，结果为公共起点的对角线。
2.2.2向量的减法
重要提请示问: AB重的要相B提A反示向: A量B是 BA
uuur uuur 重要提示 : AB BA
A
B
练习1： （1） (a)
(2)a (a)
_____a__0____(a)
a
__0____
a(3)如__果__ab_, b_互, b为 _相__反_a_的_,向a量 b，那__么0____
b就
可以表示为从向量b的终点指向向量a
的终点的向量.
(比较：如果两个向量a,
b首尾顺次连接，
则a b可表示为从向量a的始点指向向量
向量的减法：
r
r
a
Oa
r
起 A点
r
b
rr
相
b
ab
同
B 指向被减向量
rr
uuur r uuur r
已知向量 a 、b , 在平面内任取一点O，作OA a,OB b,
((33))aa((aa)) 00;; (４)(若3)a,b(是a互) 为0相; 反向量,那么(3)a =_(__ba_), 0b; (=3–_)_a_, (a)
(3)(a1)(b0a)=__00;_;_
§ 2.2 向量的减法
向量的加法：
a r b
首
C
尾
相
ab
r接
b
A
a
B
rr
uuur r uuur r
已知非零向量 a 、b , 在平面内任取一点A，作 AB a, BC b,
uuur r r
rr
则向量 AC叫做a与b的和，记作a b,即
r r uuur uuur uuur
向量加减法运算
向量加减法运算
向量加法满足和三角形法则。
向量加法的运算律有交换律：
a+b=b+a；：(a+b)+c=a+(b+c)。
向量减法的运算法则为：如果a、b是互为相反的向量，那么a-b=0。
在数学中，向量（也称为向量、几何向量、矢量），指具有大小和方向的量。
它可以形象化地表示为带箭头的线段。
向量定义是既有大小，又有方向的量叫做向量。
在几何上，向量用有向线段来表示，有向线段长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。
其实有向线段本身也是向量，称为几何向量。
在实际问题中，有些向量与其起点有关，有些向量与其起点无关。
由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，所以在数学上我们只研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量（以后简称向量），即只考虑向量的大小和方向，而不论它的起点在什么地方。
在只讨论自由向量的约定下，向量可以平行移动，所以两个向量相等的定义如下：定义如果两个向量大小相等，且方向相同，我们就说这两个向量是相等的。
即：经过平行移动后能完全重合的向量是相等向量，或者说它们是同一个向量。
15平面向量加减运算-学生版
待提升的知识点/题型…知识点一：向量的加法1:向量的加法(1) 求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。
(2)已知向量a,b，在平面内任取一点A,作AB a, BC b，则向量AC叫做向量a,b的和。
记作：a b，即a b AB BC AC2 :向量的加法法则(1)三角形法则：两个向量“首尾”相接(2) 平行四边形法则:由同一点A为起点的两个已知向量a,b为邻边作平行四边形ABCD，则以A为起点的向量AC就是向量a,b 的和。
这种作两个向量和的方法叫做平行四边形法则3:向量和的特点(1)两相向量的和仍是一个向量；r r r r r r r「r「(2)当向量a与b不平行时，a +b与a,b的方向不同向，且|a + b |<|a|+|b |；(3)当向量a,b同向时，a b的方向与a,b同向，且|a b | | a | | b |当向量a,b反向时，若|a| |b|，则a b的方向与a,b同向，且|a b | |a | |b | ；若| a | | b |，则a b的方向与a,b反向，且|a b | |b | |a | ；4:向量的运算律(1)交换律：abb a ；( 2)结合律：(a b) c a (b c)说明：由于向量的加法满足交换律和结合律，对于多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与任意的组合来进行了如：(a b) (c d) (b d) (a c)；abcd e[d (ac)] (b e)(3) 实数的运算律与向量运算律比较丄…知识点二：向量的减法1向量的减法(1)用"相反向量”定义向量的减法①与a长度相同、方向相反的向量•叫做a的相反向量，记作a。
②规定：零向量的相反向量仍是零向量r r r r r r r③性质：(a) a ；a ( a) ( a) a 0如果a、b互为相反向量，则a= b，b = a，a+b = 0④向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.r r r r即: a b a ( b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.(2)用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b+x = a，则x叫做a与b的差，记作a2:向量的减法法则 已知如图有a , b ，求作a(1)三角形法在平面内任取一点 uuu O ，作 OA r uuu r mu a ，OB b ，贝U BA(2)平行四边形: 在平面内任取一点uuu O ，作 OA r uuura , BOuuu uuw uuu r r则 BA BO OA a b . 知识精析、向量的加法 uuu uuruuu umr r r r r r (1) 如果 AB CD , 则 AB CD 5 (2) a (b c) (a b) cuuur uuur uuur uuuuuur AC uur uuu(3) AC CD DE AE (4) CD DA 0A . 1个B . 2个C . 3个D 4个uuu r uuur r r r r r 1-2 已知正万形 ABCD 的边长为 1, AB =a , AC =c , BC = b ,则 | a + b + c A.0 B.3 C. 72 D.2 72(一)典例分析、学一学例1-1下列各式中正确的有 ( )例 I 为()a例1-3已知正六边形 ABCDEF , O 为它的中心，若 BA a , BC b ，试用a , b 来表示向量 OE, BF,BD.（二）限时巩固，练一练1. (1) umr uuu uuu 在四边形 ABCD 中，向量 AB 、BC 、CD 的和向量是3. (2) (3) 向量(AB + MB )+( BO + BC )+ OM 化简后等于a ="向东走 4km ”，b ="向南走 3km ”，则 | a + b | == c ,DE=d ,AE3, AOB 60，则 a b且有 EB=DF 中，设 uuur r uur EC a,EA uuur r ,AD c ，则:r c 、向量的减法（一）典例分析、学一学uuu r uuu r uiur r uuu ur 例2-1如图，已知 AB a, BC b,CD c, DE d ，在图中标出已知的4个向量，并用向量r r r u uuu uuu uuu(2) AB AE a, b, c, d 表示卜列向量 (1) AD例2-2已知平行四边形 ABCD ，对角线AC 和BD 相交于点O ，下列等式成立的是（2. 如图，B 、D 在口AECF 的对角线上,UJ UUT uuur JUU UU UJU uuur UJ A. AB CD AC BD B. AB CD AC BD UU J UUT ULUT uuu UU J uuur UUT uu ur C. AB CD AC BD D. AB CD AC BD例2-3化简下列各式：① AB + BC + CA ；② AB — AC + BD — CD ；③ OA — OD + AD ； A 、1 B 、2 (二) 限时巩固、 练一练如图， 已知向量uuu r AB a 、 uuu BC r b 、 uuu CD UUJ uuuruuu uuu（ 1)AB AC ； （2） A B AE ④ NQ + QP + MN — MP C 、3 D 、4 r uuu J r r r u c 、 DEd ；试用a 、b 、c 、d 表示下列向量 E结果为零向量的个数是（ )D C B 三、向量的画法（一）典例分析，学一学例3-1已知向量a, b,c ；r cr r c 例3-2如图，已知向量 r r r u a 、b 、c 、d ，分别画出下列向量:1.在平行四边形ABCD中，若uuu r uuu r uuurAD a, AB b,贝U DB （用a和b表示）2. 已知向量a、b的模分别为3, 4,则| a —b |的取值范围为3. 已知I OA | =4, |OB | =8, / AOB=60 ,则 | AB | =4.uu已知OA a ,uurOBuuub ,若OA 12 ,5，且AOB 90°,则a b5•如图，在平行四边形ABCD中，已知AC BD交于点uuu O,ABr ujura, ADuur 则AO uur DO6.平行四边形ABCD中，M为DC中点, N为BC的中点. uunAB,AD b,7 .8.9. …uuuu则MN （用a , b表示）.F列等式中，正确的个数是（① abba ② abbauurF列四式不能化简为AD的是（uuu uuu uuu A.( AB + CD )+ BCuuu uur uuuuC. AD + AD - BMa ④（a）C. 3a) 0uur uurB. (AD + MB)+(uuir uuu uuu D.OC -OA + CD已知AD是厶ABC的中线，试用第二部分1 .已知正方形ABCD的边长为1 ,uuiu uuuuBC +CM )uuiruuu uurAB, AD, AC表示向量uuurBD, DCuuiruuuABr uuu r a , BC b,则 a b为.uuu r uuu r 2 .在口ABCD中 , AC = a , AB = b , uuu BC =uuu uuu uuu 3.在四边形ABCD中，若AC AB ADuuu,且ABuurAD ,那么四边形ABCD为（7.如图，点 E 、 F 在平行四边形 ABCD 的对角线 uuu uurULU UUU (1)填空: BC BA =BA AF =BC AF6.如图，已知在梯形 ABCD 中，AD // BC ,点E 在边BC 上，联结 DE , AC .「士宀 uuir uuur uuu uuu(1) 填空：CD DE ______________ ; BC BA _______________ ;(2)如果把图中线段都画成有向线段 ，那么在这些有向线段所表示的向量中，试写出四个与向量 uuuBE 平行的向量是 __________________ ;uuu uur(3) 求作：AB AD .(请说明哪个向量是所求作的向量)8.已知口 ABCD 点E 是BC 边的中点，请回答下列问题：uuir ULUT ULUT uuir(1)在图中求作 AD 与DC 的和向量：AD DC = ______________ A 、矩形 B 、菱形 C 、正方形 D 、不是矩形、菱形的四边形4.已知平行四边形 ABCD , O 为平面上任意一点 UJU r uun •设 OA a ,0B r uuu r uuur u b ，OC c ，OD d ，则（ r o r o 出d In d M dr 出d r uuu uuur 5.化简：（1） AB CD uuu uuir BE DE uur uuu uuur_________ ； （2） BC DA MBuuu u CMA nBD 上，且 EB = DF . uuu ULUT______ ； BC AF _________1. __________________ (1) 既有 __________ 、又有的量，叫做向量.(2) _________________ 向量的--------------------------- 也叫向量的模(或向量的长度) ______________________ 它是一个--------------------------(3)零向量：大小为 ______ ，方向_________ 的向量；记作_________.2. __________________ (1)方向 ______ 且大小的两个向量叫做相等向量.(2) ____________ 方向___________ 且大小的两个向量叫做相反向量.(3) _____________________方向的两个向量叫做平行向量.(1) 向量加法、减法的三角形法则：uuu uuu ujur ujuAB BC;AC BC(2) 向量加法、减法的平行四边形法则：uuu uuur uuu uuuAB AD;AB AD3. 向量的运算(3)向量的加法运算律：向量加法满足交换律，即：_________________________向量加法满足结合律，即：_________________________1.如图，梯形ABCD中，AD//BC , AB=CD, O为对角线AC与BD的交点，那么下列结论正确的B第6题图C . AB AD BD2•下列关于向量的运算，正确的是（（A ） AB BC CA 0;(C ) AB AC CB ；D . ABAD BD)(B ) AB CB CA ；匚(D ) AB AD BD 。
《向量的加减法》课件
03 向量的数乘
数乘的定义
定义
对于向量$overset{longrightarrow}{a}$ 和实数$k$，数乘 $koverset{longrightarrow}{a}$是一个 向量，其长度为 $|k||overset{longrightarrow}{a}|$，方 向与$overset{longrightarrow}{a}$相同 或相反，取决于$k$的正负。
向量加法的性质
向量加法满足结合律
即$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + overset{longrightarrow}{c} = overset{longrightarrow}{a} + (overset{longrightarrow}{b} + overset{longrightarrow}{c})$。
谢谢聆听
02
当$k < 0$时，$koverset{longrightarrow}{a}$表示向 量$overset{longrightarrow}{a}$按比例缩小$-k$倍。
03
当$k = 0$时，$0overset{longrightarrow}{a} = mathbf{0}$，即零向量。
数乘的性质
箭头表示法
详细描述
向量通常用带箭头的线段表示，箭头指向代表方向，长度代表大小。
向量的模
总结词
向量的长度
详细描述
向量的模表示向量的长度，记作$|overrightarrow{AB}|$，计算公式为$sqrt{x^2+y^2}$。
02 向量的加法
向量加法的定义
定义
向量加法是指将两个向量首尾相接，以第一个向量的起点为 共同起点，以第二个向量的终点为共同终点，连接第一个向 量的终点与第二个向量的起点的向量。
向量的加法与减法
1.向量的加法：
2 5 3
0
1
2
3
4
5
6
7
A
a+b=? a b
A
C
a+b a
=
AC
b
B
a+b=
AB + BC
例1：已知向量a、 b,求作向量a+b。 b a
O A
三 角 形 法 则
B
作法：在平面内任取一点O，作OA=AB=b, 则
OB=a+b.
a+b=b+a
D
a
C
a+b
A
b
B
b+a
a
（a+b)+c=a+(b+c)
0 1 2 3 4 5 6
5-3=?
7 8
例3.已知：向量a、b如图所示，则ab=? O a A a b b a-b B
BA= a-b
注意方向呦！
例4.已知：如图，a//b,怎样做出
a-b?
a -b b
O
A
b -b b
B OB=
a
O
OA=
a-b
a-b
例5.已知：向量a,b,c,d,求作向量ab,c-d。
b d c
B A
BA =a-b
DC =c-d
a
a
b
O
d c
D C
例：如图：平行四边形ABCD中， AB=a,AD=b,用a,b表示向量 AC,DB。
解：由作向量和的平 行四边形法则，得 AC=a+b; 由作向量差的方法， 知DB=AB-AD=a-b.
A
D b a
向量加减法的运算法则
向量加减法的运算法则
1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，即对于任意向量a、b和c，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。
2. 向量的减法：向量的减法等价于加上一个负向量，即a-b=a+(-b)。
其中，-b 是向量b的负向量，它方向与b相反，大小相等。
3. 向量的数乘：向量的数乘指将一个实数k与向量a相乘，将a的大小缩放为原来的k倍，即ka。
如果k是负数，它会将向量a逆向，即大小不变，方向发生改变。
4. 零向量：零向量是一个特殊的向量，它所有的分量都为零。
零向量与任何向量进行加法，得到的结果是该向量本身，即a+0=a。
5. 反向量：每个向量都有一个对应的反向量，它的大小相等，方向相反。
向量a 的反向量记作-a，它满足a+(-a)=0。
6. 同向量和异向量：如果两个向量的正负方向相同，则它们是同向量；反之，如果它们正负方向相反，则称它们为异向量。
2.2.1-2.2.2向量的加法、减法运算及其几何意义
2.2.1 向量的加法运算及其几何意义教学目标：掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义. 学 法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律. 教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路： 一、设置情景：复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置情景设置：（1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：=+（2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：=+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：=+（4）船速为，水速为，则两速度和：=+ 二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作＝a ，＝ｂ，则向量叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂ=+=，规定： a + 0-= 0 + aA BC A BCA BCCaa b b aO ABaaa bbb探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； （3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加３．例一、已知向量a 、b ，求作向量a +b作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=. ４．加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应） ２）向量加法的交换律：a +b =b +a ５．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 证：如图：使a AB =， b BC =， c CD =则(a +b ) +c =AD CD AC =+，a + (b +c ) =AD BD AB =+ ∴(a +b ) +c =a + (b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.三、应用举例： 例二（P94—95）略 练习：P95 四、小结1、向量加法的几何意义； ２、交换律和结合律；３、注意：|a +b | ≤ |a | + |b |，当且仅当方向相同时取等号. 五、课后作业：六、板书设计（略） 七、备用习题1、一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为h km /4，求水流的速度.2、一艘船距对岸，以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速.3、一艘船从A 点出发以1v 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2v ，船的实际航行的速度的大小为h km /4，方向与水流间的夹角是60︒，求1v 和2v .4、一艘船以5km/h 的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h ，则船的实际航行速度大小最大是km/h ，最小是km/h５、已知两个力F1，F2的夹角是直角，且已知它们的合力F 与F1的夹角是60︒，|F|=10N 求F1和F2的大小.６、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形2.2.2 向量的减法运算及其几何意义教学目标：了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义； 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定.学 法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量. 教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路： 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则 向量加法的运算定律：例：在四边形中，=++ . 解：CD AD BA CB BA BA CB =++=++提出课题：向量的减法用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0A BD C（3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a -b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a作法：在平面内取一点O ， 作= a ， = b 则= a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1︒表示a - b.强调：差向量“箭头”指向被减数2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b)显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.探究：如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b - a.２）若a ∥b ， 如何作出 a - b ？ 例题： 例一、（P ９７ 例三）已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d. 解：在平面上取一点O ，作= a ， = b ， = c ， = d ， 作BA ， ， 则BA = a -b ， = c -dO AB a B’b-b bB a+ (-b)a b O abBa ba -bABbad Da -b A B B B’ O a -b a a bb O A O B a -b a -b B A O -b例二、平行四边形ABCD 中，=AB a ，=ADb， 用a 、b 表示向量AC 、DB . 解：由平行四边形法则得：AC = a + b ， DB = AD AB - = a -b变式一：当a ， b 满足什么条件时，a+b 与a -b 垂直？（|a| = |b|） 变式二：当a ， b 满足什么条件时，|a+b| = |a -b|？（a ， b 互相垂直）变式三：a+b 与a -b 可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同） 练习：Ｐ98小结：向量减法的定义、作图法| 板书设计（略） 备用习题：1.在△ABC 中， BC =a ， CA =b ，则AB 等于( ) A.a+b B.-a+(-b) C.a-bD.b-a2.O 为平行四边形ABCD 平面上的点，设OA =a ， OB =b ， OC =c ， OD =d ，则 A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0 ３.如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空：a+b= ，b+c= ，c-d= ，a+b+c-d= .４、如图所示，O 是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a 、b 、c 、d 的方向（用箭头表示），使a+b=AB ，c-d=DC ，并画出b-c 和a+d.A BD C。
空间向量的运算
空间向量的运算空间向量是在三维空间中表示的有大小和方向的量。
在数学和物理学中，进行空间向量的运算是一项重要的任务。
本文将介绍空间向量的加法、减法、数量乘法、向量积和标量积等运算。
一、空间向量的加法空间向量的加法是指将两个向量进行相加，得到一个新的向量。
设有两个空间向量A和B，它们的加法运算可以表示为：C=A+B。
其中，向量C的坐标分别等于向量A和向量B对应坐标的和。
例如，设有向量A(1,2,3)和向量B(4,5,6)，则它们的和向量C为(5,7,9)。
二、空间向量的减法空间向量的减法是指将一个向量从另一个向量中减去，得到一个新的向量。
设有两个空间向量A和B，它们的减法运算可以表示为：C=A-B。
其中，向量C的坐标分别等于向量A对应坐标减去向量B对应坐标。
例如，设有向量A(1,2,3)和向量B(4,5,6)，则它们的差向量C为(-3,-3,-3)。
三、空间向量的数量乘法空间向量的数量乘法是指将一个向量乘以一个实数，得到一个新的向量。
设有一个空间向量A和一个实数k，它们的数量乘法运算可以表示为：C=kA。
其中，向量C的坐标分别等于向量A对应坐标乘以实数k。
例如，设有向量A(1,2,3)和实数k为2，则它们的乘积向量C为(2,4,6)。
四、空间向量的向量积空间向量的向量积，也称为叉乘或矢积，是运算结果为向量的一种运算。
设有两个空间向量A和B，它们的向量积可以表示为：C=A×B。
其中，向量C的坐标可通过以下公式求得：Cx = AyBz - AzByCy = AzBx - AxBzCz = AxBy - AyBx例如，设有向量A(1,2,3)和向量B(4,5,6)，则它们的向量积为(-3,6,-3)。
五、空间向量的标量积空间向量的标量积，也称为点乘或数量积，是运算结果为标量的一种运算。
设有两个空间向量A和B，它们的标量积可以表示为：C=AB。
其中，标量C的值可通过以下公式求得：C = |A||B|cosθ其中，|A|和|B|分别代表向量A和B的模，θ代表两个向量之间的夹角。
向量的加减法
向量的加减法向量是数学中一个重要的概念，它在物理、几何、工程等领域有广泛的应用。
而向量的加减法是向量运算的基础，本文将详细介绍向量的加减法及相关的概念和计算方法。
1. 向量的定义在平面直角坐标系或三维空间直角坐标系中，向量是由一个起点和一个终点确定的有向线段。
它既有大小也有方向，可以用箭头表示，箭头指向表示向量的方向。
2. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量的操作。
两个向量相加的结果是一个新的向量，其起点与第一个向量的起点相同，终点与第二个向量的终点相同。
向量的加法可以用三角形法则或平行四边形法则进行计算。
三角形法则指将两个向量首尾相连，所得的第三个向量的起点为第一个向量的起点，终点为第二个向量的终点。
平行四边形法则指将两个向量的起点相同，终点分别与第二个向量的起点和终点相连，所得的对角线就是两个向量相加的结果。
3. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量的操作。
相当于将被减的向量取反，再与减去的向量进行加法运算。
向量的减法可以通过将被减向量取反后与减去向量进行加法运算来实现。
4. 向量的性质向量的加法和减法满足以下性质：（1）交换律：向量的加法满足交换律，即A + B = B + A。
（2）结合律：向量的加法满足结合律，即(A + B) + C = A + (B + C)。
（3）零向量：零向量是一个特殊的向量，它的大小为0，方向可以是任意方向。
任何向量与零向量相加都等于自身。
（4）相反向量：两个向量大小相等，方向相反的向量称为相反向量。
两个相反向量相加等于零向量。
5. 向量的运算例题例题1：已知向量A = (3, 4)和向量B = (5, -2)，求向量C = A + B和向量D = A - B。
解：向量C = A + B = (3, 4) + (5, -2) = (3 + 5, 4 + (-2)) = (8, 2)。
向量D = A - B = (3, 4) - (5, -2) = (3 - 5, 4 - (-2)) = (-2, 6)。
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向量的加法与减法
综合训练卷（120分钟，满分150分）
一、选择题（每题5分，共60分）
1 .下列命题中，正确的是（）
C.才二农=卞卩？
D.若方"马且正,则方“三
—■- __^&.
2 .化简以下各式：（1）嵌曲+阪；（2）朋一也+班；（3）OA-DD十疝；」+」
(4) 「“「•」—。
结果为零向量的个数是（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3.若|< |CD |,且应|二！5,则1曲I的值是（）
A .必小于5
B .必大于10 C.有可能为0 D .不可能为0
4.若屈=3,1乩|=5,则阿的取值范围是（）
A . [3 , 8]
B . （3, 8）C. [3 , 13] D . （3, 13）
5.在平行四边形ABCD中，若卜「讣'：'・-卜,则必有（）
A . ABCD是菱形
B . ABCD是梯形
C . ABCD是正方形
D . ABCD是矩形
6.把所有单位向量的起点平移到同一点P,各向量终
点的集合构成什么图形（A .点P B .过点P的一条直线
C.过点P的一条射线D .以点P为圆心，1为半径的圆
7.下列有关零向量的说法正确的是（）
A .零向量是无长度，无方向的向量B.零向量是无长度，有方向的向量
C.零向量是有长度，无方向的向量 D .零向量是有长度，有方向的向量
8 .已知丽，同丁,则匠一而的取值范围是（）
A . [2 , 12]
B . （2, 12）
C . [2 , 7]
D . （2, 7）
9.“谢昭CA=O”是“ A , B , C是三角形三个顶点的”的（）
A .充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D .既不充分又不必要条件
10 .已知两个向量鱼，^ ,则下列说法正确的是（）
A .向量可以比较大小
B .向量不可以比较大小，但是模可以比较大小
是共线向量时，可以比较大小
D.当自，11两个向量中，有一个是零向量时，可以比较大小
11.一艘船从A点出发以2・3km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流
速为2km/h。
则船实际航行速度大小和方向（用与流速间的夹角表示）
A .大小为4km/h，方向与流速夹角为60°
B .大小为2.3km/h，方向与流速夹角为60°
C.大小为4km/4，方向垂直于对岸
D .大小为2.3km / h，方向垂直于对岸
____
J
12.
已知向量|
是（）
A .两者必不相等
C.两者可能相等
二、填空题（每题
13.如图5—5，在口ABCD 中，已知肚二卞，叽二b ,则AD = ________________________
AC =
[5 5—5
15.把平行于直线I的所有向量的起点移到I上的点P,则所有向量的终点构成图形
O
三、解答题（共74分）
17.—辆火车向东行驶400km后，改变方向向北行驶400km，求火车行驶的路程及两
次位移之和。
（10分）
18.飞机按东偏北25°从甲地飞行300km到达乙地，再从乙地按北偏西25°飞行400km 到达丙地，求甲丙两地之间的距离。
（12分）
19.一艘船以7km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为3km/h。
求航
A为
14 .已知的和向量，且AC
16 .已知a , b是非零向量，则-b a时，应满足条件
,b ,则下列有关吕一b与I乩丨一 | b |的说法正确的
B .廿-u |>R-hl
D.无法比较大小
4分，共16分）
20. 飞机从A 地按北偏西75°的飞向飞行 400km 后到达B 地，然后向C 地飞行。
已 知C 地从A
地西偏南30。
的方向处，且 A , C 两地相距为200.2km ，求飞机从B 地向C 地飞行的方向，及 B ，C 两地的距离。
（12分）
■ °F I
21 .已知O ABC 的外心，H 为垂心，求证：
丨-1「 ：
o （ 14分）
参考答案
1. C
2. D
3. D
4. C
5. D
6. D
7. D
8. A
9. B10. 13
. 七
a
—
-T
,2已 T
« - 6 a + £
14 . 2 * 2
15 .直线l 16 .江与匕’反向
17 .火车两次行驶路程为 800km ，因为位移是向量，则两次位移之和为
400・.2k
方向是东偏北45 ° o
18 . 500km ，甲、乙两地的连线与乙、丙两地连线垂直。
19 .航船实际航速为.58km/h 。
方向与河岸夹角为 arctan 7。
3
20 . B 地飞向C 地方向为东偏南60°,距离为200.2km 。
21. 略
22 .球对斜面压力为40
3N ，对挡板的压力为20
3N
3
3
［解题点拨］
1 .选项D 中：当“ =°时，对任意向量（非零）
已，匚，都有洼//
b /
c 但此时二才与百不一定平行。
22.在倾角为30 °的斜面上有一块坚直放置的挡板,
的光滑圆球，求这个球对斜面的压力和对挡板的压力。
在挡板和斜面之间有一个重为 （14 分）
20N
B11A . 12 . C
图 5—30
由1寸―亡“ 「V 诜，d -，：心「 加1 = 1垃/.I r
2< I AB- CDI < 12
11 •速度是向量，禾U 用向量加法的平行四边形法则或三角形法则求
解。
与异向进行讨论。
当
mm
以下16题类似求解。
14 •利用向量加、减法的三角形法则求解。
20•准确画出图形后，经分析、计算知：△ ACB 是等腰直角三角形,
3•当 A , B , C , D 四点位置如图5— 29所示时，J
-
>5，排除A 。
D 四点如图5— 30时:
图 5—
29 而I <10 ,排除B 。
假设
=0, 则A 、D 两点重合,
4. •.nU；：当厂,,''- 同向时,
I 环 I =8-5=3 ; 当
AB
AC 不平行时，3<
<13。
结上可知 3W|BC|W 13
=8+5=13 ;,当 /应选C
注意：本题要根据问题的实际作好分类讨论，作到分类不漏不重。
7.零向量是特殊向量，符合向量的定义，零向量的长度为
0,零向量的方向是任意的。
& (1)若
与共线:
①AB 与伽同向时：
— 一 ・■ ■
\ AB- CD\ = \
CD\ -
［与
反向时：丨刖-3丨・丨胭1十［仞1=7 + "12
(2)若
CD 不共线，则由向量的可平移性及向量的三角形法则知：
12•分“
1
共线与不共线”两种情况进行讨论,
共线时又分同向
故IBCI 二 I -ICI =200^2
反向时，
共线且同向时：若
它们的内在联系，由三角形法则可知I H
' +、I ,而H 总是△ ABC 的垂心，说明AH 与
接0B 并延长它交圆于 D 点，由圆的知识可知 DC 与BC 垂直，则'11
与・上 的方向相同。
同时由图可知HC 与AT 的方向相同，四个点A ,H ,D ,c 可以构成平行四边形，右H 与
等是相反向量，
决问题。
本题在分析图形的基础上， 的思想，是向量考查中的一个难点。
22.
本题考查向量加法、 减法在实际物理问题中的运用。
力是一个既有大小又有方向的
量，它是一个向量。
力的分解也就是向量的分解。
已知了重力，即已知了两个向量的和，禾U 用直角三角形求两个向量的大小。
先画出草图，利用平面几何的知识分析直角三角形的内角， 再要求直角三角形中斜边与直角边的关系，
求出两个分力的大小。
高考在考查向量加、 减法
21.由图形可知,
0H 0A
oc 之间不存在表面上的联系，要借助圆来找到
BC 垂直，利用这一关系来寻找与
间的联系。
△ ABC 是圆0的内接三角形，可连
方向相同，大小相等是相等向量，而
DC — 0D ，向量0D 与方向相反，大小相
通过图形的分析，可以找出四个向量之间的联系，可以解 借助向量的方法，解决几何问题， 充分体现了数形结合
的运算中，一般不会直接考查，会借助一些实际的应用问题来考查向量的加、减法。