2010年第五届卡西欧杯全国高中青年教师优秀课观摩与评比活动教案-《数学归纳法及其应用举例》(重庆邓礼咸

数学归纳法
——人教版高中数学选修2-2第二章第三节
参赛教师: 赵亮
选手单位:蚌埠一中
2010年4月
课题：数学归纳法
人民教育出版社全日制普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第三节
蚌埠一中赵亮
【教材分析】
1、教学内容：数学归纳法是人教社全日制普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第3节的内容，根据课标要求，本书该节共2课时，这是第一课时，其主要内容是数学归纳法的原理及其应用。

2、地位作用：在已经学习了不完全归纳法的基础上，介绍了数学归纳法，它是一种用于关于正整数命题的直接证法。

教材通过剖析生活实例中蕴含的思维过程揭示数学思想方法，即借助“多米诺骨牌”的设计思想，揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。

【教学目标】
1、知识与技能：
（1）了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。

（2）会证明简单的与正整数有关的命题。

2、过程与方法：
努力创设课堂愉悦的情境，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。

3、情感、态度与价值观：
通过本节课的教学，使学生领悟数学思想和辩证唯物主义观点，
激发学生学习热情，提高学生数学学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，以及发现问题、提出问题的意见和数学交流能力。

【教学重点】
借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n （n 取无限多个值）有关的数学命题。

【教学难点】
（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明。

（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

【教学方法】运用类比启发探究的数学方法进行教学；
【教学手段】借助多媒体呈现多米诺骨牌等生活素材辅助课堂教学； 【教学程序】
第一阶段：创设问题情境，启动学生思维 情境
1、法国数学家费马观察到：
6553712,25712,1712,5124
23
221
2=+=+=+=+
归纳猜想：任何形如122+n
（n ∈*N ）的数都是质数，这就是著名的费马猜想。

半个世纪以后，数学家欧拉发现，第5个费马数
6700417641125
25⨯=+=F 不是质数,从而推翻了费马的猜想。

——“不完全归纳有时是错误的”
（培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力．概括能力是思维能力的核心．鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的．心理学认为“迁移就是概括”，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，我找的突破口就是学生的概括过程．）
情境2 、数列{}()
,1,1,*11N n a a a a a n
n
n n ∈+=
=+已知通过对4,3,2,1=n 前4项归纳，猜想n
a n 1=——可以让学生通过数列的知识加以验证——“不完全归纳有时是正确的”。

通过对上述两个情况的探究可以发现用“不完全归纳法”得到的结论不一定可靠。

为了寻求一种能够证明与正整数有关的数学问题的方法，从而引入本节课的新课内容一数学归纳法。

第二阶段：搜索生活实例，激发学习兴趣 1、“多米诺骨牌”游戏动画演示： 探究“多米诺骨牌”全部倒下的条件
引导学生思考并分析“多米诺骨牌”全部倒下的两个条件；
①第一块骨牌倒下；
②任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。

强调条件②的作用：是一种递推关系（第k 块倒下，使第k+1块倒下）。

2、类比“多米诺骨牌”的原理来验证情境2中对于通项公式n
a n 1
=的猜想。

“多米诺骨牌”原理
①第一块骨牌倒下； ②若第k 块倒下，则使得第k+1块倒下
验证猜想
↓ ↓
①1=n 验证猜想成立 ②如果k n =时，猜想成立。

即k
a k 1=，则
当1+=k n 时，11
111
11+=+=+=+k k
k a a a k k k 即1+=k n 时猜想成立
3、引导学生概括, 形成科学方法
证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下： (1) 证明当n 取第一个值0n 时结论正确；（归纳奠基）
(2) 假设当n ＝k (k ∈*N ，k ≥0n ) 时结论正确, 证明当n ＝k ＋1时结论也正确．（归纳递推）
完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都正确．
这种证明方法叫做数学归纳法．
第三阶段：巩固认知结构，充实认知过程
例1.用数学归纳法证明6
)
12)(1(3212222++=
++++n n n n
证明：（1）当n=1时，左边112==，右边6
)
112()11(1+⋅⋅+⋅=，等式成立。

（2）假设当n=k 时，等式成立，即6
)
12)(1(3212222++=++++k k k k
则当n=k+1时，左边=()223221321++++++k k
[][][]1)1(21)1()1(61
)672)(1(61)1(6)12()1(61
)1(6)12)(1(22+++++=+++=++++=++++=
k k k k k k k k k k k k k k =右边
由（1）、（2）可知，n ∈*N 时，等式成立。

师生共同总结：
1、数学归纳法是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自然数有关的问题。

2、两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立；
3、在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，进行恒等变换。

4、完成第1)、2）步骤的证明后，要对命题成立进行总结。

练习：用数学归纳法证明
等式成立。

()()12121217
51531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n
n n
证明：(1) n=1时，左边=
3
11
⨯右边= 1
121
+⨯(2) 假设n=k （k ∈N *)时等式成立，即
()()12121217
51531311+=
+-++⨯+⨯+⨯k k k k 即当n=k+1时等式也成立。

探究:已知数列
,)
13)(23(1,,10
71,741,411+-⨯⨯⨯n n 设S n 为数列前n 项和，计算S 1, S 2 ,S 3 ,S 4,根据计算结果， 猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明。

解:
可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数一致， 分母可用项数n 表示为3n+1,可以猜想1
3+=n n
S n 证明过程由学生自主完成。

【课堂小结】
（1）数学归纳法只适用于证明与正整数有关的命题。

（2）用数学归纳法证明命题的一般步骤：
1°验证n=n 0（n 0为命题允许的最小正整数）时，命题成立 2°假设n=k （k ≥n 0）时命题成立，证明n=k+1时命题成立， 由1°和2°对任意的n ≥n 0, n ∈N* 命题成立。

（3）本节课通过从“多米诺骨牌”讲起，借助这个游戏的设计理念，
则n=k+1时，
()()()()32121121217
51531311+++
+-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()
3212112++++=
k k k k ()1121
321+++=
++=k k k k 即当n=k+1时等式也成立。

根据（1）和（2），可知等式对任何n ∈N * 都成立。

13
4131011031031071727274141414114321=
⨯+==
⨯+==
⨯+==⨯=S S S S
揭示了数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。

（4）本节课使用数学归纳法只证明了与正整数有关的等式成立的问题，在以后的学习中，我们将会遇到使用数学归纳法证明与正整数有关的不等式及几何问题，也会遇到n 0的取值不是1的情况。

在下一节课我们还将通过具体的例子使同学们明白为什么在使用数学归纳法证明时两个步骤缺一不可。

【作业】
1. 习题
2.3 A 组 1.2.3
2. 思考：平面内有n 条直线，其中任意两条不平行，任意三条不共点，设f(n)为n 条直线的交点个数，求证： 证明：(1) n=1时，f(1)=1 等式成立
(2) 假设n=k 时,等式成立 即 )1(21
)(-=k k k f 成立
那么当n=k+1时，
根据（1）和（2），可知等式对任何n ∈N *都成立
【板书设计】
()12
1)(-=n n n f ()[]1)1()1(2
1
121
)()1(+++=+-=+=+k k k k k k k f k f 即当n=k+1时等式也成立。