2005年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛

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2005年全国高中数学联赛试题及解答

二〇〇五年高中数学联赛试卷
一、选择题
1. 使关于 x 的不等式 x 3 6 x k 有解的实数 k 的最大值是 A.
6 3
B.
3
C.
6 3
D.
6
2. 空间四点 A、B、C、D，满足 | AB | 3 、 | BC | 4 、 | CD | 11 、 | DA | 9 ，则 AC BD 的取值 A. 只有一个 B. 有两个 C. 有四个 D. 有无穷多个 3. △ ABC 内接于单位圆，三个内角 A、B、C 的平分线交此圆于 A1、B1、
12. 若自然数 a 的各位数字之和为 7，则称 a 是 “吉祥数” 。将所有 “吉祥数”从小到大排成一列：a1、a2、a3„，若 an=2005，则 a5n=______。
三、解答题
2 7an 45an 36 13. 数列{an}满足 a0=1， an1 ， n N ，证明：(1)对于任意 n N ，a 2 为整数；(2)对于任意 n N ， an an 1 1为完全平方数。
14. 将编号为 1、2、3、„9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各一个小球，设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为 S，求值 S 达到最小面反射可与另一种方法重合，则认为是相同方法）。 2 15. 过抛物线 y=x 一点 A(1,1)作抛物线的切线交 x 轴于 D，交 y 轴于 B，C 在抛物线上，E 在线段 AC 上，
素按从大到小顺序排列，则第 2005 个数是
5 5 6 3 5 5 6 2 1 1 0 4 1 1 0 3 2 3 4 B. 2 3 4 C. 2 3 4 D. 2 3 4 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 二、填空题 2 3 19 20 7. 将多项式 f ( x) 1 x x x x x 表示为关于 y 的多项式 g ( y )

浙江省2005高等数学(微积分)竞赛试题(解答)

2005浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答) *一、计算题（每小题12分，满分60分）1、计算23400sin ln(1)38lim (sin )(1)xx x x x t t dt x x e →+-+--⎰. 解: 3200sin 1cos 1limlim 36x x x x x x x →→--== 原式34050sin ln(1)386lim x x x x t t dt x →+-+=⎰3240sin ln(1)26lim 5x x x x x x→+-+= 230sin 3cos ln(1)2126lim 20x x x x x x x x→++-++= 22cos (1)cos sin sin ln(1)231(1)lim10x x x x xx x x x x x→+--+++-+++= 22200cos (1)cos sin 23sin ln(1)1(1)lim lim 1010x x x x x xxx x x x x x →→+-+-+-+++=+ 2222012(1)cos sin 2(1)3(1)lim 1010(1)x x x x x x x x x →+--+++=-++ 222012(1)cos sin 2(1)3(1)lim 1010x x x x x x x x →+--+++=-+ 201cos 2(1)sin 4(1)3(1)6(1)lim 1020x x x x x x x x x →-+-+++++=-+ 20012(1)sin cos 4(1)3(1)6(1)lim lim 102020x x x x x x x x x x x→→-+-+++++=-++*周晖杰 2008/11/22011cos 198lim 101020x x x x x →-++=--+ 20011cos 198lim lim 10102020x x x x x x x→→-+=--++ 114101010105=--++=. 2、计算sin 3cos 4sin xdx x x+⎰.解: sin (3cos 4sin )(3cos 4sin )x A x x B x x '=+++ 解得: 34,2525A B =-=34(3cos 4sin )(3cos 4sin )sin 25253cos 4sin 3cos 4sin x x x x x dx dx x x x x '-+++=++⎰⎰ 3(3cos 4sin )43cos 4sin 253cos 4sin 253cos 4sin x x x x dx dx x x x x '++=-+++⎰⎰ 34ln(3cos 4sin )2525x x C =-+++. 3、计算40min(4,)xt dt ⎰.解:①x <时, 5405x x t dt =⎰,②x ≥, 4400min(4,)45x xt dt dt dt x =+=-⎰,③x ≤, 4400min(4,)4xxt dt dt dt x =+=+⎰⎰⎰. 4、设()f x 在0x =点二阶可导,且0()lim11cos x f x x→=-,求(0),(0),(0)f f f '''的值.解: ①由0()lim11cos x f x x→=-得: 0lim ()0x f x →=, ()f x 在0x =点二阶可导, 则(),()f x f x '在0x =点连续;lim ()(0)0x f x f →⇒==;②002()()lim lim 112x x f x f x x x →→'==, 同理得: (0)0f '=; ③00()()limlim 11x x f x f x x →→'''==, 则(0)1f ''=.5、设(,)()z f x y x y g x ky =-+++,,f g 具有二阶连续偏导数,且0g ''≠, 如果222222224z z zf x x y y∂∂∂''++=∂∂∂∂,求常数k 的值. 解:12zf fg x∂'''=++∂, 12z f f kg y ∂'''=-++∂212111221222f f z g f f f f g x x x x '''∂∂∂∂''''''''''=++=++++∂∂∂∂ 21211122122f f z g f f f f kg x y y y y'''∂∂∂∂''''''''''=++=-+-++∂∂∂∂∂ 2212111221222f f z g k f f f f k g y y y y'''∂∂∂∂''''''''''=-++=--++∂∂∂∂ ,f g 具有二阶连续偏导数, 1221f f ''''=, 代入222222224z z zf x x y y∂∂∂''++=∂∂∂∂得: 2(21)0k k g ''++=,由于0g ''≠, 则1k =-.二、(满分20分)计算22323lydx xdyx xy y --+⎰Ñ,其中l 为1x y +=沿正向一周.解: 令2222,323323y xP Q x xy y x xy y-==-+-+⇒其中22:1C x y +=,令cos ,sin x y θθ==,转化为定积分得:2232332C Cydx xdy ydx xdyx xy y xy--=-+-⎰⎰蜒22222002sin cos 12(cos sin )22sin ()4d d ππθθθθπθθθ--==-+-+-⎰⎰ 7242024111()421sin 22sin ()4d dt t ππππθπθ-=--=-++-⎰⎰2222001111221sin 1sin 1sin dt dt dt tt t ππππ-=-=-=-+++⎰⎰⎰. 令21tan ,arctan ,1t x t x dt dx x===+212122dt x +∞=-=-+⎰.注意:②0()(),a TT af x dx f x dx +=⎰⎰2200(sin ,cos )(sin ,cos )llf d f d ππθθθθθθ++=⎰⎰三、(20分) 在某平地上向下挖一个半径为R 的半球形池塘,若某点泥土的密度为22r R e ρ=,其中r 为此点离球心的距离,试求挖池塘需做的功.解：①定积分难计算在于同一水平面上泥土的密度不一样; ②二重积分??? ③三重积分蓝色这一点泥土做的功为:2222()xy z R dW e dvgz ++= 2222()xy z R W e gzdv ++Ω⇒=⎰⎰⎰,用球面坐标sin cos sin sin cos x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩222222()2cos sin xy z R rR W e gzdv e gr r drd d ϕϕϕθ++ΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222233200sin 2sin 222R rR rR gg e r drd d d d e r dr ππϕϕθθϕϕΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰42gR π=.注意:①dxdydz z y x f ⎰⎰⎰Ω),,(222111()(,)2()(,)(cos sin ,sin sin ,cos )sin r r d d f r r r r dr θϕθθϕθϕθθϕθϕθϕθϕϕϕ=⎰⎰⎰②先重后单 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩzD dc dxdy z y x f dz dxdydz z y x f ),,(),,(．一方面, 要求平行于坐标面的平面截空间Ω得截面是规则图形，如圆、椭圆等；另一方面, 被积函数为)(),,(z f z y x f =，或)(),,(x f z y x f =或)(),,(y f z y x f =时，利用先重后单法计算常能简单．R2222()(,)x y zR x y e ρ++=z22R z -四、(20分)证明: 当02x π<<时,(1) 3tan 3x x x >+;(2) 35721tan 31563x x x x x >+++．证明: (1)3()tan 3x f x x x =--, 22()sec 1f x x x '⇒=--2()2(sec tan )0f x x x x ''⇒=->, 由于2tan ,sec 1x x x >>;(0,),()(0)02x f x f π''⇒∀∈>=(0,),()(0)02x f x f π⇒∀∈>=即: 当02x π<<时, 3tan 3x x x >+(2) 35721tan 31563x x x x x >+++ 200tan sec 1x x x x=='==, 200tan 2sec tan 0x x x x x==''==22400tan [4sec tan 2sec ]2x x x x x x =='''=+=(4)23440tan [8sec tan 8sec tan 8sec tan ]0x x xx x x x x x ===++=没法再求下去了,看来泰勒公式不适用了!35721()tan 31563x f x x x x x =----224622462121()sec 1tan 3939f x x x x x x x x x '=----=---2642224211tan (69)tan (69)99x x x x x x x x =-++=-++22232222221(3)tan (3)tan tan 0933x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤+=-+=-=-+>⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.五、(15分)判别级数11(1)n n∞=-⋅∑的敛散性. 解： [][]1x x x ≤<+或1[]x x x -<≤11(1)n n∞=-⋅∑222111111111111(1)1234589101512n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++++-+++++-++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L L L令22211112n a n n n n =+++++L ,则111(1)(1)n n n n a n ∞∞==-⋅=-∑∑交错项级数 ①222111lim lim 012n n n a n n n n →∞→∞⎛⎫=+++= ⎪++⎝⎭L 由夹逼定理; ②122221111(1)(1)1(1)2(1)2(1)n a n n n n n n +=+++++++++++++L L六、(15分)对下列函数()f x ,分别说明是否存在一个区间[,]a b , 0a >,使{()[,]}{[,]}f x x a b x x a b ∈=∈，并说明理由.(1) 212()33f x x =+; (2) 1()f x x=; (3)1()1f x x=-.解: (1) 由于212()033f x x =+>, 所以若这样的区间[,]a b 要存在的话,必有0a ≥.又由于212()33f x x =+在[,]a b 是单调递增的, 所以必须要满足21233x x +=, 解得: 12x x ==或, 由于212()33f x x =+是连续函数, 故该区间为[1,2].总结: 对单调递增连续函数来说, 只要保证两个端点的值相等. (2) 1()f x x=, 0x ≠所以讨论0,0a b ><或,当0a >, 由于1()f x x=在(0,)+∞单调递减且连续, 所以只要11,b a a b==, 即该区间为1[,],01a a a<<或1[,],1a a a>. (3) 1()1f x x =-, 21()0f x x '=> 令11x x-=, 无根,223+。

2005年-2013年全国高中数学联赛浙江省预赛试卷及答案

A. B. C. 3 D.
二、填空题（本题满为非负实数，满足，则
＝。
9．设，则。
10.设实系数一元二次方程有两个相异实根，其中一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是。
11．已知，直线与的交点在直线上，则。
11.在轴的正方向上，从左向右依次取点列，以及在第一象限内的抛物线上从左向右依次取点列，使（）都是等边三角形，其中是坐标原点，则第2005个等边三角形的边长是。
12.根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O沿正东偏北（）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定。假定机器人行走速度为10米/分钟，则行走2分钟时，机器人所在位置的可能范围的面积是。
14.设，，求的最大值。
15．设，求证：。
2008年浙江省高中数学竞赛试卷
一．选择题（本大题满分36分，每小题6分）
1．已知集合，则下列正确的是（）
A． B.
C. D.
2．当时，，则下列大小关系正确的是（）
A． B.
C. D.
3．设在上有定义，要使函数有定义，则a的取值范围为（）
7、手表的表面在一平面上。整点这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上。从整点到整点的向量记作，则＝。
8、设且，则对任意
。
9、在中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是。
10、设是非零实数，，若，则。
11、已知，
。若为单元素集，则。
12、。
三、解答题
13、在轴同侧的两个圆：动圆和圆外切，且动圆与轴相切，求
A、20 B、4 C、42 D、145

2005年全国高中数学联赛试题及解答

1 1 0 4 + 2+ 3+ 4 7 7 7 7
D．
1 1 0 3 + 2+ 3+ 4 7 7 7 7
ak p 表示 k 位 p 进制数，将集合 M 中的每个数乘以 7 4 ，得
M = a1 73 + a2 72 + a3 7 + a4 | ai T , i = 1,2,3,4 = a1a2 a3a4 7 | ai T , i = 1,2,3,4 ．
DA2 = DA = AB + BC + CD
2
(
)
2
= AB 2 + BC 2 + CD 2 + 2 AB BC + BC CD + CD AB
(
)
= AB 2 − BC 2 + CD 2 + 2 BC + AB BC + BC CD + CD AB
(
2
)
= AB2 − BC 2 + CD2 + 2 AB + BC BC + CD ，即 2 AC BD = AD 2 + BC 2 − AB 2 − CD 2 = 0, AC BD 只有
(sin 2 − sin 3) − (cos 2 − cos 3) = 2 2 sin −

2

2− 3 2 + 3 3 3 2+ 3 2− 3 0，， + ． 0 ，∴ sin 2 2 2 4 4 2 4 2 2+ 3 + ) 0 ，∴ ()式 0. 2 4
5 +1 ． 6 解：由题设知， f ( x) 和式中的各项构成首项为 1，公比为 − x 的等比数列，由等比数列的求和公式，得：

2005年全国高中数学联赛一等奖名单

2005年全国高中数学联赛一等奖名单安徽省（30名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号黄昊阳安庆一中M052301 邵帅马鞍山二中M052316 张神星铜陵市一中M052302 章潇枫安师大附中M052317 郭晓朦合肥一中M052303 陈铖安庆一中M052318 章俊安庆一中M052304 高超安庆一中M052319 胡恩龙安庆一中M052305 阮威安师大附中M052320 刘锐芜湖市一中M052306 赵天然马鞍山二中M052321 尤雪柏马鞍山二中M052307 柳亚子安庆一中M052322 朱智安师大附中M052308 朱晓然蚌埠二中M052323 田超安庆一中M052309 杨涛铜陵市一中M052324 李让坤滁州中学M052310 施韬芜湖市一中M052325 张奎合肥一中M052311 张皓马鞍山二中M052326 钱朝阳淮南二中M052312 程昕芜湖市一中M052327 林棽铜陵市一中M052313 黄学洪桐城中学M052328 潘春辉铜陵市一中M052314 吴伟伟歙县中学M052329 张连云芜湖县一中M052315 王通蒙城一中M052330北京省（35名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号李冰洁人大附中(高二) M051001 林峥人大附中M051019 晋捷人大附中(高二) M051002 郭经天北师大实验中学M051020 章尧人大附中M051003 杨典清华附中(高二) M051021 陈轩北京二中M051004 孙婧譞北师大实验中学M051022 徐劼人大附中M051005 张雨辰清华附中(高二) M051023 张瑞祥人大附中(高一) M051006 闫梦怡人大附中(高二) M051024 张一楠人大附中(高二) M051007 刘文静人大附中(高二) M051025 王汉超人大附中M051008 林博人大附中(初三) M051026 邓瑞伶人大附中M051009 叶希白人大附中(高一) M051027 李黎人大附中(高一) M051010 司梁北京二十二中M051028 于涛北京十二中(高二) M051011 施韵北京二中M051029 袁晨人大附中M051012 焦逸展人大附中M051030 杨奔人大附中(高一) M051013 申井然北大附中(高二) M051031 石钰人大附中M051014 魏来北大附中M051032 叶旭涛北京五中M051015 宋灏北师大二附中(高二) M051033 易天旸人大附中(高二) M051016 孟弘博人大附中M051034 李泽昊人大附中(高一) M051017 赵澎人大附中(高二) M051035 蔡桥人大附中M051018福建省（32名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号谢凌曦福州一中M053501 王远波福清一中M053517 黄洪武南安一中M053502 徐艺哲福州一中(高二) M053518 黄智杰仙游私立一中(高二) M053503 杨潇峰南安一中M053519 连政星龙岩一中M053504 黄靖福州三中M053520 黄强连城一中M053505 卢键方龙岩一中M053521 吴祥峰福建师大附中M053506 肖纲仙游私立一中(高二) M053522 章颀厦门双十中学M053507 黄桦烽永春一中(高二) M053523 苏诗泽泉州七中M053508 赵诣厦门双十中学M053524 刘家鑫福州一中M053509 李力古田一中M053525 谢巧闽龙岩一中M053510 陈笔澄厦门外国语学校M053526 陈云青厦门外国语学校M053511 吴经纬邵武一中M053527 庄世龙厦门双十中学M053512 郑直福州一中(高二) M053528 梁天祥南安一中M053513 郑泽敏福州三中M053529 朱亦博厦门外国语学校(高二) M053514 林珺福州一中(高二) M053530 陈华明漳平一中(高二) M053515 陈龙福州一中(高二) M053531 朱敏永春一中M053516 陈节约厦门一中M053532甘肃省（35名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号路昊兰州一中M057301 郭磊兰州一中M057319 樊昊阳西北师大附中M057302 高源兰州一中(高二) M057320 周文涓兰州一中M057303 许丽娜民勤一中M057321 高原西北师大附中M057304 杨文韬兰州一中(高二) M057322 王睿兰化一中M057305 刘涛西北师大附中M057323 樊昊霏西北师大附中M057306 牛纪平西北师大附中M057324 陶森西北师大附中M057307 邢昊天水一中M057325 靳岩钦西北师大附中M057308 胡永杰西北师大附中M057326 甄俊西北师大附中M057309 曹云龙西北师大附中M057327 雷洋西北师大附中(高二) M057310 高旸西北师大附中M057328 周邦达兰州一中M057311 陈璐兰州一中M057329 张伟会宁一中M057312 黄骁飞东风中学M057330 徐新阳兰州一中M057313 刘树君靖远二中M057331 郭飞霄兰州一中M057314 庞皓西北师大附中(高二) M057332 马洁馨甘肃矿区一中M057315 邹巍西北师大附中(高二) M057333 严勤文西北师大附中M057316 苏子杰西北师大附中M057334 刘源杰兰州一中M057317 张蓉蓉兰州一中M057335 刘祺西北师大附中(高二) M057318广东省（41名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号王烜深圳中学(高二) M055101 张洪生汕头市金山中学M055122 章光达深圳中学M055102 李小毅中山纪念中学M055123 罗鹏深圳中学M055103 曾超群华南师大附中M055124 冯春远华南师大附中M055104 刘家旭韶关市第一中学M055125 邓煜深圳高级中学(高二) M055105 罗澍忻普宁二中M055126 张峻豪翠园中学M055106 杨威中山市第一中学(高二) M055127 李卓钊深圳中学M055107 许卓然华南师大附中M055128 李健广州市第二中学M055108 孙腾翠园中学M055129 俞骏华南师大附中M055109 苏宇坚中山纪念中学(高二) M055130 许家进华南师大附中M055110 古嘉渝中山纪念中学(高二) M055131 何毅峰中山纪念中学M055111 陈慧聪华南师大附中(高二) M055132 杨佶彦华南师大附中(高二) M055112 李勇锋翠园中学(高二) M055133 陈嘉华华南师大附中(高二) M055113 黄宏华南师大附中(初三) M055134 欧文浩华南师大附中(高二) M055114 陈鹏佳华南师大附中M055135 胡冰芳深圳中学M055115 郑霄华南师大附中M055136于弢华南师大附中(高二)M055116 黎铭深圳实验学校高中部(高二) M055137陈锦标湛江第一中学M055117 陈辉林华南师大附中M055138 李波澎深圳外国语学校M055118 朱丰深圳中学M055139 梁磊华南师大附中(高一) M055119 谢佳广州市第六中学M055140 陈陶然华南师大附中(高二) M055120 饶杞戈华南师大附中M055141 骆思强华南师大附中M055121广西省（21名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号曹阳南宁二中M055301 王建明广西师大附中M055312 吕诚南宁二中M055302 王瑞超南宁二中M055313 潘锦钊南宁二中(高一) M055303 陈学轩梧州高中M055314 蒋海菁全州高中M055304 邱思南宁二中M055315 张远南宁二中(高二) M055305 刘杰梅藤县中学M055316 梁宁玉林高中M055306 黄昌睿河池高中M055317陆海旭广西师大附属外国语学校(高二)M055307 李健生南宁二中M055318杨小强南宁二中(高二) M055308 张南飞桂林中学(高二) M055319 廖奔犇北海中学M055309 罗洋南宁二中(高二) M055320 王支荣全州高中M055310 周敏桂林中学M055321 杨永亮百色高中M055311贵州省（20名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号陈振航天中学M055501 韦嵥贵阳一中M055511 王博贵阳一中M055502 覃英勇荔波民族中学M055512 陈文琪水矿一中M055503 张卡兴义一中M055513 吴贵川贵州师大附中M055504 周红斌兴义一中M055514 黄鸿武剑河民族中学M055505 艾应涛遵义县一中M055515 曾洋贵州师大附中M055506 刘军兴义一中M055516 苏然贵阳一中M055507 龚浩然贵阳一中M055517 金颖安顺市二中M055508 马秋林兴义一中M055518 王波铜仁一中M055509 严龙都匀一中M055519 罗元波余庆中学M055510 肖长远思南中学M055520海南省（28名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号段聿飞海南中学M055701 陈焱洋浦中学M055715 张镞远海南中学M055702 林琳海南中学M055716 符晓海南中学M055703 林云龙海师附中M055717 郑妮海南中学M055704 陈龙海南中学M055718 林资山海南中学M055705 孙博海南中学M055719 叶民崇海南中学M055706 曾小龙海南侨中M055720 王小惠海南中学M055707 何天鹰海南中学(高二) M055721 陈一冰海南中学M055708 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马腾宇东北师大附属中学M051306 赵华厦东北师大附属中学M051324 郝瀚东北师大附属中学M051307 赵博东北师大附属中学M051325 王子贺吉林市一中M051308 李雨龙东北师大附属中学M051326 张祎东北师大附属中学M051309 梁舒吉林省实验中学M051327 李岩吉林市一中M051310 彭飞东北师大附属中学M051328 肖龙东北师大附属中学M051311 迟明宇东北师大附属中学M051329李育龙四平一中M051312 徐恩智长春市十一高中M051330 胡维奇东北师大附属中学M051313 郭放东北师大附属中学M051331 修养东北师大附属中学M051314 王骥雄东北师大附属中学M051332 赵蒙东北师大附属中学M051315 阎昊德吉林省实验中学M051333 王蕾东北师大附属中学M051316 金龙延边一中M051334 崔振华延边一中M051317 康毅夫东北师大附属中学M051335 杨声东北师大附属中学M051318江苏省（45名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号陈祖维江苏省启东中学M052101 王璟金陵中学M052124 姚添宇江苏省启东中学M052102 郑耀南师附中(高二) M052125周韦康金陵中学M052103 祝铖无锡市第一中学(高二)M052126黄溢辰南师附中(高二) M052104 易坤南京外国语学校(高二)M052127邢豫盛江苏省启东中学M052105 丁雪涛华罗庚中学M052128 李超江苏省苏州中学M052106 施龙金陵中学河西分校M052129 张翰钦金陵中学M052107 仲引辉省姜堰中学M052130 毛海柱省靖江高中M052108 陈涛江苏省启东中学M052131 朱垚省靖江高中M052109 潘昊金陵中学(高二) M052132刘浩江苏省如东高级中学M052110 龚云飞江苏省前黄高级中学(高二)M052133徐鑫江苏省华罗庚中学(高二)M052111 缪仁龙扬州中学M052134左辰镇江中学M052112 余力金陵中学M052135 陈益山江苏省海门中学M052113 孟超南京外国语学校M052136陈博南师附中M052114 欧阳云南京外国语学校(高二)M052137黄励博江苏省启东中学M052115 潘晟祯江苏省华罗庚中学(高二)M052138黄磊南京师大附中江宁分校M052116 张晨江苏省华罗庚中学M052139 陆丰隆南京外国语学校M052117 吴海飞江苏省南菁高级中学M052140 吉飞飞江苏省启东中学(高二) M052118 许中华江苏省启东中学M052141 卢伟翔宇宝应中学M052119 李应聪金陵中学M052142 张晓翔无锡市大桥实验中学M052120 黄海峰江苏省如皋中学M052143 唐春扬扬州中学M052121 李坤睢宁中学M052144 张磊淮阴中学M052122 郭昊坤江苏省南菁高级中学M052145 丁薇金陵中学M052123江西省（41名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号熊欢南昌二中M053301 谢可临川一中(高二) M053322 杨涛临川一中M053302 艾志波东乡一中M053323 乔罡南昌十中M053303 张炜南昌二中(高二) M053324 吴昊南昌十中M053304 高四维临川二中M053325 陈拉明鹰潭一中M053305 漆思远南昌二中M053326 干灵文南昌二中M053306 谭宸浩景德镇二中M053327 余孟洋南昌十中M053307 黎敏萍乡中学M053328 甘霖南昌二中M053308 孙文哲临川二中M053329 王翔鹰潭一中(高二) M053309 詹宇佳九江市一中M053330 付文波临川二中M053310 易祺坤余江一中M053331 许欣吉安市一中M053311 袁牧鹰潭一中M053332 郭宏礼吉安市一中M053312 袁俏南昌外国语学校M053333 周桓宇南昌十中M053313 刘亮新余市一中M053334 曾夏临川二中M053314 高师景德镇二中M053335 袁泉吉安市一中M053315 王波南昌二中M053336 邱璿临川一中M053316 舒智超南昌十中M053337 廖承伟上饶市二中M053317 赖博彦石城中学M053338 廖望景德镇二中M053318 刘婧蓉高安教育集团M053339 郑忠亮上饶县中学M053319 许嫣然抚州一中M053340 许克明临川一中M053320 罗阳南昌十中(高二) M053341 吕岚春吉安白鹭洲中学M053321辽宁省（36名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号王忱大连育明高中M051101 郭瑛鞍山一中M051119 石文博辽宁省实验中学(高二) M051102 郑旭东东北育才学校M051120 赵守琦大连育明高中(高二) M051103 刘晔东北育才学校(高一) M051121 熊英大连二十四中M051104 姜琳东北育才学校M051122 刘斌东北育才学校(高二) M051105 刘畅源东北育才学校M051123 费忠达大石桥高中M051106 王镜锡东北育才学校M051124高小松大连育明高中M051107 许晔堃辽宁省实验中学(高二)M051125蒋喆大连育明高中M051108 温潇杨东北育才学校M051126 于皓月辽宁省实验中学M051109 王凡大连二十四中M051127 丁乃达东北育才学校M051110 李轩大连育明高中M051128 杨威东北育才学校M051111 王沫大连二十四中(高二) M051129 罗惠洲东北育才学校(高二) M051112 刘锦阳辽宁省实验中学M051130 谭丰大连育明高中M051113 李凝紫东北育才学校M051131 胡金铭大连八中M051114 郭韦宏大连育明高中M051132 王旭霏东北育才学校(高一) M051115 陈珏大连育明高中M051133 孙天鸣锦州中学M051116 王磊阜新市实验中学M051134 毛文广东北育才学校(高二) M051117 冯程辽宁省实验中学M051135 李研辽宁省实验中学(高二) M051118 刘天择东北育才学校M051136内蒙古自治区（22名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号乔磊赤峰市二中(高二) M050101 魏坤通辽市铁中M050112 李泽淼包头市九中M050102 梁菲菲赤峰市二中M050113 李迪亚赤峰市元宝山一中M050103 全加赤峰市天山一中M050114 王林赤峰市二中M050104 张海东赤峰市红旗中学M050115贾希杰呼市二中M050105 张帅巴彦淖尔市巴彦淖尔市中学M050116王晓坤包头市北方重工三中M050106 孟繁荣巴彦淖尔市巴彦淖尔市中学M050117孙涛呼市二中M050107 高睿鹏呼市二中M050118刘文宝通辽市开鲁一中M050108 冀途包头市北方重工三中M050119孙明包头市九中(高二) M050109 王一然包头市北方重工三中M050120金秋实包头市一机一中M050110 杨光呼市二中M050121 乌丽雅斯呼市师大附中M050111 孟琦通辽市一中M050122宁夏自治区（21名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号杨攀东银川一中M057501 张可银川二中M057512 姜晨银川一中M057502 张郑乐银川一中M057513 吴光宇银川二中M057503 吕良柱银川一中M057514 汤博洋银川二中M057504 杜玮银川一中M057515 周俊涛银川二中M057505 徐悦银川九中M057516 孙建波银川二中M057506 任刚银川二中M057517 马文长吴忠中学M057507 刘彬银川一中M057518 沈阳银川高级中学M057508 董旭银川九中M057519 马少楠银川一中M057509 宋亮平罗中学M057520 李方远银川二中M057510 王泽林银川一中M057521 姚维杰宁夏六盘山中学M057511青海省（10名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号肖婧青海湟川中学一分校M058101 李佳媛青海湟川中学M058106 袁虎青海省油田一中M058102 苟金平青海湟川中学M058107 焦新海青海省格尔木市一中M058103 陈姝君青海湟川中学M058108 魏元珍青海湟中县多巴中学M058104 刘亢青海省油田一中M058109 刘皋青海湟川中学一分校M058105 周睿杰青海湟川中学M058110山东省（47名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号陈晨青岛二中M052501 缪晨东营市胜利一中M052525 宿国龙东营市胜利一中M052502 张帜山师附中M052526 张小楠寿光一中M052503 王家龙寿光一中M052527 王少峰外语学校M052504 张忠山寿光一中M052528 刘笑彤实验中学M052505 徐晓娜文山中学M052529 张德兵实验中学M052506 王月伟利津一中M052530 任世全实验中学M052507 李增辉广饶一中M052531 张浩然东营市胜利一中M052508 王鹏青岛一中M052532 赵立祥宁阳一中M052509 刘扬潍坊一中M052533 姜晓磊牟平一中M052510 徐玉鹏泰山中学M052534 祝万晨烟台一中M052511 林晓波栖霞一中M052535 王侃淄博四中M052512 张斌东营市胜利一中M052536 侯春伟广饶一中M052513 孙世铎潍坊一中M052537 梁荣晓莒县一中M052514 徐广亮烟台三中M052538 张原实验中学M052515 陈德苏山师附中M052539 郭峻峰山师附中M052516 艾小星泰安一中M052540 宋倚天德州一中M052517 朱剑锋文山中学M052541 赵真龙实验中学M052518 王琳东营市胜利一中M052542 董涛实验中学M052519 李岱青岛二中M052543 马松实验中学M052520 孙佳寿光一中M052544 张童玉招远一中M052521 宋希懿青岛二中M052545 蔺昊天泰安一中M052522 刘晓恺实验中学M052546 白凯东营市胜利一中M052523 侯欣诸城繁华中学M052547 张亚男临沂一中M052524山西省（36名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号成宇翔山西省实验中学M050301 折晋遥太原五中M050319曹馨宇山西大学附属中学(高二)M050302 姚佳雄山西省实验中学M050320姚佳伟山西省实验中学M050303 李辉喜阳泉一中M050321 罗威山西省实验中学M050304 贾强太原市外国语学校M050322 白钰山西大学附属中学M050305 吴冰洁山西大学附属中学M050323 冀弘帅山西大学附属中学M050306 郑利杰榆次二中M050324 吴晓龙清徐中学M050307 武尚智山西省实验中学M050325 任斐长治学院附属太行中学M050308 丁倞山西省实验中学M050326 魏赟山西省实验中学M050309 许丁丁山西大学附属中学M050327王振峰运城中学M050310 杨宇长治学院附属太行中学M050328杨辰禹山西省实验中学M050311 赵问许山西省实验中学M050329陈杰山西大学附属中学M050312 李龙山西省实验中学(高二)M050330石欢山西大学附属中学M050313 张鹏长治学院附属太行中学M050331史尧山西大学附属中学M050314 乔佩忻州一中M050332 丁维聪山西省实验中学M050315 程璐大同一中M050333 朱凯山西大学附属中学M050316 赵瑞宇翼城中学M050334 广强山西省实验中学M050317 王硕珏山西大学附属中学M050335 张腾康杰中学M050318 冯丕杰山西大学附属中学M050336陕西省（38名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号林楠西安高新一中M057101 赵龙西安铁一中M057120赵欣西安铁一中M057102 司轩斌陕西户县一中(高二)M057121王欣西工大附中M057103 武星西安铁一中(高二) M057122 方扬钦西安铁一中M057104 汤鹏飞西安市一中(高二) M057123 邓琨西安中学M057105 卢钊西安铁一中(高二) M057124 冯鹏斌西安铁一中(高二) M057106 郭瑞西工大附M057125 武震西安高新一中M057107 王炜辰西工大附中(高二) M057126 杨胜华西安铁一中M057108 张楠西安铁一中M057127 王冠西安高新一中M057109 梁深西安高新一中M057128 张晓强西安博迪中学M057110 马婷婷西安交大附中M057129 陈硕然西安高新一中M057111 任路陕西师大附中M057130 李由西安中学M057112 黄游西安铁一中M057131 李杨帆西安交大附中M057113 王源陕西师大附中M057132 程寰宇咸阳渭城中学M057114 田野西安高新一中M057133 成亮陕西师大附中M057115 康兴西工大附中M057134 杨逸飞西工大附中(高二) M057116 李昂西安铁一中M057135 姚波远西安交大附中M057117 李子路西安铁一中M057136 马定宇西安高新一中M057118 左宇西工大附中(高二) M057137 赵鹏飞西安铁一中M057119 马舒洁榆林绥德一中M057138上海市（45名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号金睿璋南洋模范中学(高二) M052001 朱汀一复旦大学附属中学M052024 金文超华东师大二附中M052002 金晶复旦大学附属中学M052025 张子立华东师大二附中M052003 蔡辰杰上海中学(高二) M052026 应鲍龙上海中学(高二) M052004 磨景源上海中学(高二) M052027姜子麟复旦大学附属中学(高二)M052005 边远华东师大二附中(高二)M052028。

2005年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛

图１
（５Ａ）
（）Ｂ７
（）２Ｃ１
（）３Ｄ１
６设函数Ｙ＝。满足ｆ＋１：ｆ）．／）（（）（＋１则方程ｆ（）＝根的个数可能是．
（）．
行走一段时问，何时改变方向不定．但假定机器人行走速度为１ｍｎ则机器人行走０ｍ／ｉ，
（）“ Ａ３
７孚＋＝＋）泼＝字刍， Ⅳ ＋＝＋）＝．
求ｎＮ＝— — ．８已知数列｛｝满足（．，ｎ七１＋＝）．
＋凡且ｌ．０．嘶＝，＝２贝９１；２
—
（）一２Ｂ３
…
）．
）是等边三角形，中Ａ都其。是坐标原点．
（） ②④ Ｂ① （）Ｄ ③④ ⑤
则第２０个等边三角形的边长是— — ．５０１．２根据指令，机器人在平面上能完成下
列动作：图ｌ先如，从原点０沿正东
５已知ａ、．ｂ是两个相互垂直的单位向
２ｍｎｉ时的可能落点区域的面积是— — ．
（）有或者有限个Ｂ没
（无穷多Ａ）
三、解答题（每小题２，６）０分共ｏ分１．双曲线一Ｙ＝ｌ的左、焦点分３设右别为．．、若△ Ｐ。２的顶点Ｐ在第一象ＦＦ
圆心轨迹以及该内切圆在边
轨迹．
１．ｚ，２… ，４设Ｉｚ，ｚ ∈Ｒ＋定义，
ｓ＝

2005全国高中数学联赛试题及答案[1]

a1 a2 a3 a4 2 3 4 ai T , i 1,2,3,4 ，将 M 中的元素按从大 7 7 7 7
D.
5 5 6 3 2 3 4 7 7 7 7
B.
5 5 6 2 1 1 0 4 2 3 4 C. 2 3 4 7 7 7 7 7 7 7 7
）
大到小的顺序排列，则第 2005 个数是（
5 5 6 3 2 3 4 7 7 7 7 1 1 0 4 C． 2 3 4 7 7 7 7
A．
5 5 6 2 2 3 4 7 7 7 7 1 1 0 3 D． 2 3 4 7 7 7 7
B．
4
解：用 [a1a2 ak ] p 表示 k 位 p 进制数，将集合 M 中的每个数乘以 7 ，得
2
1 AC 2 ，则 CD=_________。，∠ACB=45° ， AD BC 6 2 2 11. 正方形 ABCD 的一条边在直线 y 2 x 17 上，另外两顶点在 y x 上，则正方
10. 如图，四面体 DABC 的体积为形面积的最小值为_____________。 12. 若自然数 a 的各位数字之和为 7，则称 a 是“吉祥数” 。将所有“吉祥数”从小到大排成一列：a1、a2、a3„，若 an=2005，则 a5n=______。
即 sin 2 sin 3 cos 2 cos 3. 曲线表示焦点在 y 轴上的椭圆，选 C。 6.记集合 T {0,1,2,3,4,5,6}, M {
a1 a 2 a3 a 4 | ai T , i 1,2,3,4}, 将 M 中的元素按从 7 7 2 73 7 4
二〇〇五年高中数学联赛试卷

2005年全国高中数学联合竞赛试题及解答.

2005年全国高中数学联合竞赛一试一、选择题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。

2005*1、使关于x 的不等式k x x ≥-+-63有解得实数k 的最大值为A.36- B.3C.36+ D.6◆答案：D ★解析：令=y x x -+-63，63≤≤x，可得62≤y，即6max =y，所以6≤k 2005*2、空间四点D C B A ,,,3=7=11=9=，则BD AC ⋅的取值A.只有一个B.有二个C.有四个D.有无穷多个◆答案：A★解析：注意到,9711301132222+==+由于,0 =+++则22DA DA ==-=⋅+⋅+⋅+++=++22222)(2)(AB AB CD CD BC BC AB CD BC AB CD BC AB +++-=⋅+⋅+⋅+++CD BC AB BC CD BC (2)(2222222),()CD BC BC +⋅即,022222=--+=⋅CD AB BC AD BD AC ⋅∴只有一个值为0，故选A。

2005*3、ABC ∆内接于单位圆，三个内角C B A ,,的平分线延长后分别交此圆于111,,C B A .则CB AC CC B BB A AA sin sin sin 2cos 2cos 2cos111++++的值为A.2B.4C.6D.8◆答案：A★解析：如图，连1BA ，则12sin()2sin()2222A A B C B C AA B ++=+=+-2cos().22B C =-所以B C B C A C B A A C B A AA sin sin 2cos 2cos 2cos 22cos 22cos 1+=-++-+=⎪⎭⎫⎝⎛-=，C A B BB sin sin 2cos 1+=,B A CCC sin sin 2cos 1+=。

所以()C B A CCC B BB A AA sin sin sin 22cos 2cos 2cos 111++=++，即可求得。

2005年全国高中数学联赛(浙江赛区)预赛试卷及详细解答

(D) 4
2 是以任何正实数为周期的周期函数；
1
f 2 ( x) 不是周期函数。因为 sin x 是以 T1 2 为周期的周期函数, cos 2 x 是以 T2
为周期的周期函数, 而 T1 与 T2 之比不是有理数，故 f 2 ( x ) 不是周期函数。
2 2
f 3 ( x) 不是周期函数。因为 sin T2 2 2
2
(C)
12
2
(D) 13
2 2
答：【 C 】
c t1 a t 2 b c 6t1 8t 2 t1 t 2
169 (t1 3) 2 (t 2 4) 2 25 144 (t1 3) 2 (t 2 4) 2 144
当 t1 3, t 2 4 时， c t1 a t 2 b
联合（1）（2）消去 f ( ) ，可得
――――――――― （2）
1 x
f ( x) x 和命题 Q: 对任何 x R ， x 4cx 1 0 有且仅有一个成立，则实数 c 的取值范围是
2
2
1 1 , 0 , 1 。 2 2
1 1 a1 a12 ，而 a1 0 ，故 a1 1 。 2 2
因此第 2005 个等边三角形的边长为 a 2005 2005 。 y 12. 根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点 O 沿正东偏北（ 0
）方向行走一段时 2
P(x,y) A
间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定。假定机器人行走速度为 10 米/分钟，则机器人行走 2 分钟时的可能落点区域的面积是。
a n 1

2005年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案

二〇〇五年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案一、选择题1.使关于x的不等式≥k有解的实数k的最大值是（）A. B. C. D.2.空间四点A、B、C、D，满足、、、，则的取值（）A.只有一个B.有两个C.有四个D.有无穷多个3.△ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线交此圆于A1、B1、C1三点，则的值是（）A.2B.4C.6D.84.如图，ABCD－A′B′C′D′为正方体，任作平面α与对角线AC′垂直，使α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则（）A.S是定值，l不是定值B.S不是定值，l是定值C.S、l均是定值D.S、l均不是定值5.方程表示的曲线是（）A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线6.记集合T={0,1,2,3,4,5,6}，，将M中的元素按从大到小顺序排列，则第2005个数是（）A. B.C. D.二、填空题7.将多项式f(x)=1-x+x2-x3+…-x19+x20表示为关于y的多项式g(y)=a0+a1y+a2y2+…+a19y19+a20y20，且y=x-4，则a0+a1+…+a20=__________.8.f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，若f(2a2+a+1)＜f(3a2-4a+1)成立，则实数a的取值范围是_____________.9.设α、β、γ满足0＜α＜β＜γ＜2π，若对任意x∈R，cos(x+α)+cos(x+β)+cos(x+γ)=0成立，则γ-α=___________.10.如图，四面体DABC的体积为，∠ACB=45°，，则CD=_________.11.正方形ABCD的一条边在直线y=2x-17上，另外两顶点在y=x2上，则正方形面积的最小值为_____________.12.若自然数a的各位数字之和为7，则称a是“吉祥数”。

将所有“吉祥数”从小到大排成一列：a1、a2、a3…，若a n=2005，则a5n=______.三、解答题13.数列{a n}满足a0=1，，n∈N，证明：(1)对于任意n∈N，a 为整数；(2)对于任意n∈N，a n a n+1-1为完全平方数.14.将编号为1、2、3、…、9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各一个小球，设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S，求值S达到最小值的方法的概率（若某种方法，经旋转或镜面反射可与另一种方法重合，则认为是相同方法）.15.过抛物线y=x2一点A(1,1)作抛物线的切线交x轴于D，交y轴于B，C在抛物线上，E在线段AC上，，F在线段BC上，，且λ1+λ2=1，线段CD与EF交于P，当C在抛物线上移动时，求P的轨迹方程.参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准.选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其它中间档次.一、选择题(本题满分36分，每小题6分)本题共6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的.请将正确答案的代表字母填在题后的括号内.每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1.解：令，3≤x≤6，则..∴0＜y≤，∴实数k的最大值为.选D.2.解：注意到32+112=130=72+92，由于，则，即，∴只有一个值0.故选A.3.解：如图，连，则. ∴，同理，，∴，∴原式.选A.4.解：将正方体切去两个正三棱锥A-A′BD与C′-D′B′C后，得到一个以平行平面A′BD与D′B′C为上、下底面的几何体V，V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱A′B′剪开，展开在一张平面上，得到一个平行四边形A′B′B1A1，而多边形W的周界展开后便成为一条与A′A1平行的线段(如图E′E1)，显然E′E1=A′A1，故l为定值.当E′位于A′B′中点时，多边形W为正六边形，而当E′移至A′处时，W为正三角形，易知周长为定值l的正六边形与正三角形面积分别为与，故S不为定值.选B.5.解：∵，∴.∴，即sin＞sin.又，∴cos＞0，cos＜0.∴cos-cos＞0，方程表示的曲线是椭圆.∵……(*)，∴.∴.∴.∴(*)式＜0，即sin-sin＜cos-cos.∴曲线表示焦点在y轴上的椭圆.选C.6.解：用{a1a2…a k}p表示k位p进制数，将集合M中的每个数乘以74，得M′={a1·73+a2·72+a3·7+a4，｜a i∈T，i=1,2,3,4}={[a1a2a3a4]7|a i∈T，i=1,2,3,4 }，M′中的最大数为[6666]7=[2400]10.在十进制数中,从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400-2004=396.而[396]10=[1104]7，将此数除以74,便得M中的数.故选C.二、填空题(本题满分54分，每小题9分)本题共有小题，要求直接将答案写在横线上.7.解：由题设知，f(x)和式中的各项构成首项为1，公比为-x的等比数列，由等比数列的求和公式，得.令x=y+4，得，取y=1，有.8.解：∵f(x)在(0,+∞)上定义，又；3a2-4a+1=(3a-1)(a-1)，仅当a＞1或a＜时，3a2-4a+1＞0.(*)∵f(x)在(0,+∞)上是减函数，∴2a2+a+1＞3a2-4a+1，，∴0＜a＜5，结合(*)知.9.解：设f(x)=cos(x+α)+cos(x+β)+cos(x+γ)，由x∈R，f(x)=0知，f(-α)=0，f(-γ)=0，f(-β)=0，即cos(β-α)+cos(γ-α)=-1，cos(α-β)+cos(γ-β)=-1，cos(α-γ)+cos(β-γ)=-1，∴cos(β-α)=cos(γ-β)=cos(γ-α)=-.∵0＜α＜β＜γ＜2π，∴β-α，γ-α，γ-β∈[].又β-α＜γ-α，γ-β＜γ-α，只有β-α=γ-β=.∴γ-α=.另一方面，当β-α=γ-β=，有β=α+，γ=α+.x∈R，记x+α=0，由于三点(cosθ,sinθ)，(cos(θ+),sin(θ+))，(cos(θ+),sin(θ+))构成单位圆x2+y2=1上正三角形的三个顶点，其中心位于原点，显然有cosθ+cos(θ+)+cos(θ+)=0.即cos(x+α)+cos(x+β)+cos(x+γ)=0.10.解：∵，即.又，等号当且仅当AD=BC==1时成立，这时AB=1，AD⊥面ABC，∴DC=.11.解：设正方形的边AB在直线y=2x-17上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为C(x1,y1)、D(x2,y2)，则CD所在直线l的方程y=2x+b，将直线l的方程与抛物线方程联立，得.令正方形边长为a，则a2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=5(x1-x2)2=20(b+1).①在y=2x-17上任取一点(6,-5)，它到直线y=2x+b的距离为a，∴②.①、②联立解得b1=3，b2=63.∴a2=80，或a2=1280.∴.12.解：∵方程的非负整数解的个数为.而使x1≥1，x i≥0(i≥2)的整数解个数为.现取m=7，可知，k位“吉祥数”的个数为P(k)=.∵2005是形如2abc的数中最小的一个“吉祥数”，且，，，对于四位“吉祥数”1abc，其个数为满足a+b+c=6的非负整数解个数，即个，∴2005是第1+7+28+28+1=65个“吉祥数”，即a65=2005.从而n=65，5n=325.又，而，∴从大到小最后六个五位“吉祥数”依次是：70000，61000，60100，60010，60001，52000.∴第325个“吉祥数”是52000，即a5m=52000.三、解答题(本题满分60分，每小题20分)13.证明：(1)由题设得a1=5，且{a n}严格单调递增.将条件式变形得，两边平方整理得，①∴.②①-②得(a n+1-a n)(a n+1+a n-1-7a n)=0.∵a n+1＞a n，∴a n+1+a n-1-7a n=0..③由③式及a0=1，a1=5可知，对任意n∈N，a n为正整数.……10分(2)将①两边配方，得，∴.④记，由于，从而，∴④式成立.∴a n a n+1-1是完全平方数.……20分14.解：九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上，每点放一个，相当于九个不同元素在圆周上的一个圆形排列，故共有8！种放法，考虑到翻转因素，则本质不同的方法有种. ……5分下求使S达到最小值的放法数：在圆周上，从1到9有优弧和劣弧两条路径，对其中任一条路径，设x1，x2，…，x k是依次排列于这段弧上的小球号码，则|1-x1|+|x1-x2|+…+|x k-9|≥|(1-x1)+(x1-x2)+…+(x k-9)|=|1-9|=8.上式取等号当且仅当1＜x1＜x2＜…＜x k＜9，即每一弧段上的小球编号都是由1到9递增排列.因此S最小=2·8=16. ……10分由上知，当每个弧段上的球号{1,x1,x2,…,x k,9}确定之后，达到最小值的排序方案便唯一确定.在1，2，…，9中，除1与9外，剩下7个球号2，3，…，8，将它们分为两个子集，元素较少的一个子集共有种情况，每种情况对应着圆周上使S值达到最小的唯一排法，即有利事件总数是26种，故所求概率. ……20分15.解一：过抛物线上点A的切线斜率为，∴切线AB的方程为y=2x-1.∴B、D的坐标为B(0,-1)，D(,0).∴D是线段AB的中点. ……5分设，则由知，；.∴EF所在直线方程为，化简得.…①……10分当时，直线CD的方程为.…②联立①、②解得，消去，得P点轨迹方程为.……15分当时，EF方程为，CD方程为，联立解得也在P点轨迹上.因C与A不能重合，∴.∴.∴所求轨迹方程为. ……20分解二：由解一知，AB的方程为y=2x-1，B(0,-1)，D(,0)，故D是AB的中点. (5)分令，则t1+t2=3.因AD为△ABC的中线，∴S△CAB=2S△CAD=2S△CBD.而，∴.∴P是△ABC的重心. ……10分设P(x,y)，，因点C异于A，则，故重心P的坐标为(x≠)，，消去，得.故所求轨迹方程为. ……20分。

高等数学竞赛浙江省2005数学

614895097.doc 共1页第1页高等数学竞赛浙江省2005数学类（摘自华工藏书：卢兴江金蒙伟主编《高等数学竞赛教程》，浙江大学出版社）一、计算题（每小题12分共60分）1．计算()()()23400sin ln 138lim sin 1x x x x x t t dt x x e →+-+--⎰2．计算sin 3cos 4sin x dx x x+⎰3．计算2200501tan dx x π+⎰ 4．设()f x 在0x =点二阶可导,且()0lim11cos x f x x →=-,求()0f 、()0f '和()0f ''的值.5．设()(),,,z f x y x y g x ky f g =-+++具有二阶连续偏导数，且g 不恒为0，如果222222224z z z f x x y y ∂∂∂''++=∂∂∂∂，求常数k 的值二、（满分20）在某平地上向下挖一个半径为R 的半球形池塘,若某点泥土的密度为2r R e ρ=,其中r 为此点离球心的距离,试求挖此池塘需做做的功.三、（满分20分）判别级数()111n n∞--⋅∑的收敛性。

四、（满分15分）证明对任意连续函数()f x ,有()()112211max sin ,cos 1x x f x dx x f x dx --⎧⎫---≥⎨⎬⎩⎭⎰⎰。

五、（满分15分）对下列函数()f x ,分别说明是否存在一个区间[],,0a b a >,使()[]{}[]{},,f x x a b x x a b ∈=∈,并说明理由。

()()2121;33f x x =+()()12;f x x= ()()131f x x =-六、（满分15分）设()f x 在[]1,1-上二阶导数连续,证明都有()()()112133xf x dx f f ξξξ-'''=+⎰。

2005年全国高中数学联赛.doc

2005年全国高中数学联赛
报名通知
各县（市）教研室：
市本级各有关学校：
接省数学会通知，2005年全国高中数学联赛定于10月份进行。

从2005年起，因浙江省举办全国高中数学联赛预赛，只有取得决赛资格的学生才能参加全国联赛加试，并由省数学会确定集中竞赛地点。

嘉兴市考点只设全国联赛一试考试。

现将具体事项通知如下：
1.竞赛时间
高中数学联赛一试：2005年10月16日(星期日)8:00—9:40 （高中数学联赛加试：2005年10月16日(星期日)10:00—12:00）2.命题范围与竞赛办法
全国高中数学联赛一试的命题范围，完全按照全日制中学《数学教学大纲》（02年版）中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。

试题包括6道选择题，6道填空题和3道解答题,全卷150分．
（“全国高中数学联赛加试”命题范围以现行《高中数学竞赛大纲》为准,试卷包括3道解答题，其中一道是平面几何题,全卷150分．）
3.设奖办法
2005年团体成绩与个人一等奖成绩根据考生一、二试成绩总和划定。

只参加全国联赛一试的考生可以获全国二等奖和浙江省
一、二等奖以及嘉兴市一、二等奖。

4.报名办法
所有准备参加全国联赛的学生均需向所在学校报名。

各学校报名工作在5月20日前完成，并将参赛人数电话上报所在县（市）教研室，数字要确切，不要事后更动，请同时收取报名费，收费标准：10元/人。

各县（市）教研室于5月25日前将参赛人数报嘉兴市数学会。

嘉兴市数学会
2005年5月11日。

2005年全国高中数学联赛试题及解答

一个值得 0． 3. △ABC 内接于单位圆，三个内角 A 、 B 、 C 的平分线交此圆于 A1 、 B1 、 C1 三点，则 A B C AA1 cos + BB1 cos + CC1 cos 2 2 2 的值是 sin A + sin B + sin C A．2 B．4 C．6 D．8 答案：A． A A+ B +C B C B C + − 1 = 2sin B + = 2sin 2 2 2 2 2 2
2005 年高中数学联赛试卷一、选择题 1. 使关于 x 的不等式 A ． 6 − 3 B． 3 答案：D．解：令 y = x − 3 + 6 − x ,3 x 6, 则 y 2 = ( x − 3) + ( 6 − x ) + 2
x − 3 + 6 − x k 有解的实数 k 的最大值是
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答案：B．解：将正方体切去两个正三棱锥 A − ABD与 C − DBC 后，得到一个以平行平面 ABD与DBC 为上、下底面的几何体 V，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形 W 的每一条边分别与 V 的底面上的一条边平行，将 V 的侧面沿棱 AB 剪开，展平在一张平面上，得到一个平行四边形 ABB1 A1 ，而多边形 W 的周界展开后便成为一条与 AA1 平行的线段（如图中 E E1 ），显然 E E1 = AA1 ，故 l 为定值．当 E 位于 AB 中点时，多边形 W 为正六边形，而当 E 移至 A 处时，W 为正三角形，易知周长为定值 l 的正六边形与正三角形面积分别为定值．
∴ sin(

2005年全国高中数学联赛试题及参考答案

二○○五年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准。

选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。

2．如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。

请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。

每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1．使关于x 的不等式36x x k -+-≥有解的实数k 的最大值是（） A ．63- B ．3 C ．63+ D ．6 解：令36,36,y x x x =-+-≤≤则2(3)(6)2(3)(6)2[(3)y x x x x x =-+-+--≤-(6)] 6.x +-=06,y k ∴<≤∴实数的最大值为6。

选D 。

2．空间四点A 、B 、C 、D 满足,9||,11||,7||,3||====DA CD BC AB 则BD AC ⋅的取值（）A ．只有一个B ．有二个C ．有四个D ．有无穷多个解：注意到,9711301132222+==+由于,0 =+++DA CD BC AB 则22DA DA ==-=⋅+⋅+⋅+++=++22222)(2)(AB AB CD CD BC BC AB CD BC AB CD BC AB +++-=⋅+⋅+⋅+++AB CD BC AB AB CD CD BC BC AB BC CD BC (2)(2222222),()CD BC BC +⋅即BD AC CD AB BC AD BD AC ⋅∴=--+=⋅,022222只有一个值得0，故选A 。

2005年全国高中数学联合竞赛一试试题解析

11. 若正方形 ABCD 的一条边在直线 y = 2x − 17 上，另外两个顶点在抛物线
y = x2 上，则该正方形面积的最小值为
.
解答
设 A(t, t2)，直线 AB : y − t2 = 2(x − t) ⇒ y = 2x + t2 − 2t. y = x2,
联立 y = 2x + t2 − 2t ⇒ x2 − 2x = t2 − 2t ⇒ (x − 1)2 = (t − 1)2 √
2 A1I AI
AA1
a b+c−a b+c
+
=2
2
AA1
=
2 AA1
⇒
AA1
cos
A 2
= b + c. 2
于是
AA1
cos
A 2
+
BB1
cos
B 2
+ CC1 cos
C 2
sin A + sin B + sin C
=
sin A
a+b+c + sin B +
sin C
=
2R
=
2.
所以选
A.
第1页共6页
()
A.
5 7
+
5 72
+
6 73
+
3 74
C.
1 7
+
1 72
+
0 73
+
4 74
解答
B.
5 7
+
5 72
+
6 73
+
2 74
D.