上海市普陀区2012.4高三质量调研(二模)数学(理)试题

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普陀区高三下期数学质量调研数学试题及答案

普陀区第二学期高三数学质量调研考生注意：1本场考试时间120分钟，试卷4页，满分150分，答题纸共2页.2作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号.反面填写姓名.将核对后的条形码贴在答题纸指定位置. 3所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分. 4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1. 设集合}3,2,1{=A ,}02|{2≤--=x x x B ，则=B A I .2. 双曲线C :191622=-y x 的顶点到其渐近线的距离为 . 3. 函数)1(log 221x x y -+=的定义域为 . 4. 设直线l 经过曲线C :⎩⎨⎧+=+=θθsin 21cos 21y x （θ为参数，πθ20<≤）的中心，且其方向向量)1,1(=d ，则直线l的方程为 .5. 若复数i z +=1（i 为虚数单位）是方程02=++d cx x （c 、d 均为实数）的一个根，则=+||di c . 6. 若圆柱的主视图是半径为1的圆，且左视图的面积为6，则该圆柱的体积为 . 7. 设y x ,均为非负实数，且满足⎩⎨⎧≤+≤+625y x y x ，则y x 86+的最大值为 .8. 甲约乙下中国象棋，若甲获胜的概率为6.0，甲不输的概率为9.0，则甲、乙和棋的概率为 . 9. 设实数a 、b 、c 满足1≥a 、1≥b 、1≥c ，且10=abc ，10lg lg lg ≥⋅⋅c b ac b a，则a +b +c = .10.在四棱锥ABCD P -中，设向量)3,2,4(-=AB ，)0,1,4(-=AD ，)8,2,6(--=AP ，则顶点P 到底面ABCD 的距离为 .11.《九章算术》中称四个面均为直角三角形的四面体为鳖臑.如图，若四面体ABCD 为鳖臑，且⊥AB 平面BCD ，CD BC AB ==,则AD 与平面ABC 所成角的大小为 .（结果用反三角函数值表示）.12.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，记2)()(x x f x g -=，且函数)(x g 在区间[)+∞,0上是增函数，则不等式x x f x f 4)2()2(2+>-+的解集为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且仅有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.若椭圆的焦点在x 轴上，焦距为62，且经过点()2,3，则该椭圆的标准方程为…………（）)A (13922=+x y )B ( 1123622=+y x )C (1123622=+x y )D (13922=+y x 14.在△ABC 中，设三个内角C B A ,,的对边依次为c b a ,,.则“⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈32,3ππC ”是“ab c b a +=+222”成立的…………………………………………………………………………………………………（）)A (充分非必要条件 )B (必要非充分条件)C (充要条件 )D (既非充分条件又非必要条件15.某公司对4月份员工的奖金情况统计如下：根据上表中的数据，可得该公司4月份员工的奖金：①中位数为800元； ②平均数为1373元； ③众数为700元. 其中判断正确的个数为…………………………………………………………（）)A (0 )B ( 1 )C ( 2 )D ( 316.设函数)(x f ⎪⎭⎫⎝⎛-=6sin πx ,若对于任意α⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈2,65ππ，在区间[]m ,0上总存在唯一确定的β，使得0)()(=+βαf f ，则m 的最小值为………………………………………………………………（）. )A (6π )B (2π)C (67π )D (π三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，圆锥的顶点为P ，底面中心为O ，母线4=PB ，底面半径OA 与OB 互相垂直，且2=OB （1）求圆锥的表面积；（2）求二面角O AB P --的大小（结果用反三角函数值表示）.18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设函数43cos 3cos 3sin )(2+-⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=x x x x f π （1）当R ∈x 时，求函数)(x f 的最小正周期；（2）设44ππ≤≤-x ，求函数)(x f 的值域及零点.19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某热力公司每年燃料费约24万元.为了“环评”达标，需要安装一块面积为x （0≥x ）（单位：平方米）可用15年的太阳能板，其工本费为2x（单位：万元），并与燃料供热互补工作，从此，公司每年的燃料费为10020+x k（k 为常数）万元. 记y 为该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和.（1）求k 的值，并建立y 关于x 的函数关系式；（2）求y 的最小值，并求出此时所安装太阳能板的面积.20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设数列}{n a 满足：21=a ，112+⋅=+n n a t a （其中t 为非零实常数）. （1）设2=t ，求证：数列}{n a 是等差数列，并求出通项公式；POAB（2）设3=t ，记n n n a a b -=+1，求使得不等式k b b b b ++++Λ3214039≥成立的最小正整数k ；（3）若2≠t ，对于任意的正整数n ，均有1+<n n a a .当1+p a 、1+t a 、1+q a 依次成等比数列时，求t 、p 、q 的值.21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设曲线Γ:px y 22=（0>p ），D 是直线l ：p x 2-=上的任意一点，过D 作Γ的切线，切点分别为A 、B .记O 为坐标原点（1）设)2,4(-D ，求△DAB 的面积；（2）设D 、A 、B 的纵坐标依次为0y 、1y 、2y ，求证：0212y y y =+；（3）设点M 满足OB OA OM +=，是否存在这样的点D ，使得M 关于直线AB 的对称点N 在Γ上？若存在，求出D 的坐标；若不存在，请说明理由.第二学期普陀区高三数学质量调研评分细则一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相xyo应位置直接填写结果. 1.}2,1{ 2.5123.)1,0[4.0=-y x5.226.π37.408.3.09.12 10.2 11.33arcsin12.()()+∞-∞-,04,Y （注：11题36arccos、22arctan 均可，近似值不给分）二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且仅有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）【解】（1）4,2==l r ，πππ4222=⨯==r S 底，……2分 πππ842=⨯⨯==rl S 侧，……4分πππ1248=+=+=底侧全S S S ………………6分（2）以O 为坐标原点，以OP OB OA ,,所在的直线分别为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系，如图所示：⊥PO 平面AOB ，得OB PO ⊥，故△POB 为直角三角形，于是322422=-=OP ……8分所以)0,0,2(A ,)0,2,0(B ,)32,0,0(P ,于是)0,2,2(-=,)32,0,2(-=……10分设平面AOB 的法向量),,(2z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅022AP n AB n ,即⎩⎨⎧=-=-030z x y x ，……11分不妨令1=y ，则33,1==z x ，所以)33,1,1(2=n ，………12分，且平面AOB 的一个法向量为)1,0,0(1=n 13分，设二面角O AB P --的大小为θ，则773733||||cos 2121===n n n n θ，77arccos =θ…15分故二面角O AB P --的大小为77arccos 14分18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）【解】（1）43cos 3cos 23cos sin 21)(22+-+=x x x x x f x x 2cos 432sin 41-=……2分即⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin 21)(πx x f ……4分，所以函数)(x f 的最小正周期ππ==22T ……6分；（2）根据（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin 21)(πx x f ，由44ππ≤≤-x ，得63265πππ≤-≤-x ， 2132sin 1≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-πx ……8分，所以41)(21≤≤-x f ，……9分故函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,21…10分令0)(=x f ，得032sin 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx ，所以ππk x =-32，解得62ππ+=k x ，Z k ∈……12分由于44ππ≤≤-x ，只有0=k ，6π=x ，所以函数)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππ上的零点为6π……14分19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）【解】（1）根据题设条件，当0=x 时，24100=k，得2400=k ；……2分 518002100201524002++=+⨯+=x x x x y ，即518002++=x x y （0≥x ）……6分（2）2115259002255180025=-≥-+++=x x y ……11分（当且仅当5180025+=+x x ，即55=x 时，等号成立）……13分答：当所安装的太阳能板的面积为55平方米时，该公司的费用之和的最小值为5.57万元。

普陀区2012学年第二学期高三理科数学质量调研

普陀区2012学年第二学期高三理科数学质量调研考生注意： 2013.41.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟.一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.函数y =的定义域为 . 2. 若i a z 21+=，i z +=12（i 表示虚数单位），且21z z 为纯虚数，则实数=a . 3. 若53sin =θ且02sin <θ，则=2tan θ. 4. 若点)2,4(在幂函数)(x f 的图像上，则函数)(x f 的反函数)(1x f -= .5. 若1111221011)12(x a x a x a a x ++++=+Λ，则2113121020)()(a a a a a a +++-+++ΛΛ= .6. 若函数1)(2++=ax x x f 是偶函数，则函数||)(x x f y =的最小值为 . 7. 若双曲线C :22221x y a b-=的焦距为10，点)1,2(P 在C 的渐近线上，则C 的方程为 .8. 某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为ξ，则ξ的方差ξD = .9. 若曲线Γ：⎩⎨⎧+=+=θθsin 32cos 31y x （θ为参数且323πθπ≤≤），则Γ的长度为 .10. 若三条直线03=++y ax ,02=++y x 和012=+-y x 相交于一点，则行列式11221131-a的值为 .11. △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若3π=A ，c b 2=，则C = .12. 若圆C 的半径为3，单位向量e r 所在的直线与圆相切于定点A ，点B 是圆上的动点，则e AB ⋅r u u u r的最大值为 .13. 函数2sin 2cos y x x =+的定义域为2,3πα⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，值域为]2,41[-，则α的取值范围是 .14. 若,i j a 表示n n ⨯阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n a n ,33211111ΛΛΛΛM ΛM ΛΛΛ中第i 行、第j 列的元素，其中第1行的元素均为1，第1列的元素为n ，，Λ3,2,1，且1,11,,i j i j i j a a a +++=+（i 、1,,2,1-=n j Λ）,则n a ,3= .二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 若集合},4|{2R y x y x A ∈==，1{|0}2xB x x-=≥+，则A B =I ………………………（） A . [0,1]. B .(2,1]-. C . (2,)-+∞. D . [1,)+∞.16. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ，则1S :2S =……………………………………………………………………………………………………（）A . 1:1.B . 2：1.C . 3:2.D . 4:1.17. 若R a ∈，则“关于x 的方程012=++ax x 无实根”是“i a a z )1()12(-+-=（其中i 表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的……………………………………………（）A .充分非必要条件.B .必要非充分条件.C .充要条件.D .既非充分又非必要条件.18.如图，△ABC 是边长为1的正三角形，点P 在△ABC 所在的平面内，且++22||||PB PAaPC =2||（a 为常数）.下列结论中，正确的是………………………………………………（） A .当10<<a 时，满足条件的点P 有且只有一个. B .当1=a 时，满足条件的点P 有三个.C .当1>a 时，满足条件的点P 有无数个.D .当a 为任意正实数时，满足条件的点P 总是有限个.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.已知函数)cos()(ϕω+=x A x f （0>A ,0>ω,02<<-ϕπ）的图像与y 轴的交点为)1,0(，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为)2,(0x 和)2,2(0-+πx （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若锐角θ满足1cos 3θ=，求)2(θf 的值.20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知0>a 且1≠a ，函数)1(log )(+=x x f a ，xx g a-=11log )(，记)()(2)(x g x f x F += （1）求函数)(x F 的定义域D 及其零点；（2）若关于x 的方程0)(=-m x F 在区间)1,0[内仅有一解，求实数m 的取值范围.21.（本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1 （1）求直线DB 与平面11BCD A 所成角的大小；（2）求四棱锥11A BCD D -的体积.第19题22. （本题满分16分）本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，方向向量为),1(k d =的直线l经过椭圆191822=+y x 的右焦点 F ，与椭圆相交于A 、B 两点（1）若点A 在x 轴的上方，且||||OF OA =，求直线l 的方程；（2）若0>k ，)0,6(P 且△PAB 的面积为6，求k 的值；（3）当k （0≠k ）变化时，是否存在一点)0,(0x C ，使得直线AC 和BC 的斜率之和为0,若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由.23.（本题满分18分）本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于任意的*N n ∈，若数列}{n a 同时满足下列两个条件，则称数列}{n a 具有“性质m ”：①122++<+n n n a a a ； ②存在实数M ,使得M a n ≤成立. （1）数列}{n a 、}{n b 中，n a n =、6sin 2πn b n =（5,4,3,2,1=n ），判断}{n a 、}{n b 是否具有“性质m ”；（2）若各项为正数的等比数列}{n c 的前n 项和为n S ，且413=c ，473=S ，证明：数列}{n S 具有“性质m ”，并指出M 的取值范围；（3）若数列}{n d 的通项公式nn n n t d 21)23(+-⋅=（*N n ∈）.对于任意的3≥n （*N n ∈），数列}{n d 具有“性质m ”，且对满足条件的M 的最小值90=M ，求整数t 的值.第22题普陀区2012学年第二学期高三理科数学质量调研试题答案一.填空题1.}2|{≥x x2.2-3.34.=-)(1x f 2x （0≥x ） 5.113- 6.2 7.152022=-y x 8.4.0 9.π 10.0 11. 6π12.3 13.]32,0[π 14.221212++n n 二.选择题三.解答题19.解：（1）由题意可得2=A ……………………………………………………………1分π22=T 即π4=T ，21=ω……………………………………………… 3分 )21cos(2)(ϕ+=x x f ，1)0(=f由21cos =ϕ且02<<-ϕπ，得3πϕ-= ………………………………………5分函数)321cos(2)(π-=x x f …… ………………………………………………6分由于1cos 3θ=且θ为锐角，所以322sin =θ…… ………………………………8分 )2(θf )3sin sin 3cos(cos 2)3cos(2πθπθπθ+=-=…………………………………10分)233222131(2⨯+⨯⋅=3621+=……………………12分20. 解：（1）)()(2)(x g x f x F +=xx a a -++=11log )1(log 2（0>a 且1≠a ） ⎩⎨⎧>->+0101x x ，解得11<<-x ，所以函数)(x F 的定义域为)1,1(-……2分令)(x F 0=，则011log )1(log 2=-++xx aa ……（*）方程变为 )1(log )1(log 2x x a a -=+，x x -=+1)1(2，即032=+x x ……3分解得01=x ，32-=x ……4分经检验3-=x 是（*）的增根，所以方程（*）的解为0=x ……5分所以函数)(x F 的零点为0.……6分（2）xx m aa -++=11log )1(log 2（10<≤x ） =m )4141(log 112log 2--+-=-++x x x x x a a ……8分4141--+-=xx a m ……9分设]1,0(1∈=-t x ，则函数tt y 4+=在区间]1,0(上是减函数…11分当1=t 时，此时1=x ，5min =y ，所以1≥m a ………………12分 ①若1>a ，则0≥m ，方程有解；………………13分 ②若10<<a ，则0≤m ，方程有解.……14分 21.解：（1）以D 为坐标原点，分别以射线DA 、DC 、1DD 为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示。

上海市普陀区高三数学下学期质量调研考试试题理(普陀二模)苏教版

上海市普陀区2014届高三4月教学质量调研（二模）数学理试题考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.3.本试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．不作评分依据．．．．．．. 一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题， 1．若复数ii i z 1=（i 是虚数单位），则=z . 2．若集合}40,tan |{π≤<==x x y y A ，}02|{2<--=x x x B ，则=B A .3．【理科】方程1)4(log )1(log 42=+-+x x 的解=x .4．【理科】若向量),1(x a =，)1,2(=b ，且b a ⊥，则=+||b a . 5．【理科】若0>a ，在极坐标系中，直线2)3cos(=+⋅πθρ与曲线a =ρ相切，则实数=a .6．【理科】若偶函数)(x f y =(R x ∈)满足条件：)1()(x f x f +=-，则函数)(x f 的一个周期为 . 7．【理科】若P 为曲线⎩⎨⎧==ααtan sec y x （α为参数）上的动点，O 为坐标原点，M 为线段OP的中点，则点M 的轨迹方程是 .8．【理科】某质量监测中心在一届学生中随机抽取39人，对本届学生成绩进行抽样分析.统计分析的一部分结果，见下表:根据上述表中的数据，可得本届学生方差的估计值为 (结果精确到1.0).9．【理科】等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数k ，均有)(lim k n n k S S a -=∞→成立，则公比=q .10．【理科】在一个质地均匀的小正方体六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方体连续掷两次，若向上的数字的乘积为偶数ξ，则=ξE .11．【理科】如图所示，在一个)12()12(-⨯-n n (N n ∈且2≥n )的正方形网格内涂色,要求两条对角线的网格涂黑色，其余网格涂白色.若用)(n f 表示涂白色网格的个数与涂黑色网格的个数的比值，则)(n f 的最小值为 .12．【理科】若三棱锥ABC S -的底面是边长为2的正三角形，且⊥AS 平面SBC ，则三棱锥ABC S -的体积的最大值为 .13．若ij a 表示n n ⨯阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn a25191410181396128537421中第i 行、第j 列的元素（i 、n j ,,3,2,1 =），【理科】则=nn a （结果用含有n 的代数式表示）.14．【理科】已知函数⎩⎨⎧>≤+-=0,ln 0,2)(2x x x x x x f ，若不等式1|)(|-≥ax x f 恒成立，则实数a的取值范围是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分. 15. 下列命题中，是假命题．．．的为…………………………………………………………………………（）)(A 平行于同一直线的两个平面平行. )(B 平行于同一平面的两个平面平行. )(C 垂直于同一平面的两条直线平行. )(D 垂直于同一直线的两个平面平行.16.【理科】已知曲线1C :122=+y m x （1>m ）和2C :122=-y nx （0>n）有相同的焦第11题图点，分别为1F 、2F ,点M 是1C 和2C 的一个交点,则△21F MF 的形状是………………………………………（）)(A 锐角三角形. )(B 直角三角形. )(C 钝角三角形. )(D 随m 、n 的值的变化而变化. 【17. 若函数a x x x f -+=2)(，则使得“函数)(x f y =在区间)1,1(-内有零点”成立的一个必要非充分条件是…………………………………………………………………………………………………………（）)(A 241≤≤-a . )(B 241<≤-a . )(C 20<<a . )(D 041<<-a .18. 对于向量i PA （n i ,2,1=），把能够使得||||||21n PA PA PA +++ 取到最小值的点P 称为i A （n i ,2,1=）的“平衡点”. 如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ,延长BC 至E ,使得CE BC =，联结AE ,分别交BD 、CD 于F 、G 两点.下列结论中，正确的是……………………………………（）)(A A 、C 的“平衡点”必为O . )(B D 、C 、E 的“平衡点”为D 、E的中点.)(C A 、F 、G 、E 的“平衡点”存在且唯一. )(D A 、B 、E 、D 的“平衡点”必为F .三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤. 19、 (本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．如图，在xoy 平面上，点)0,1(A ，点B 在单位圆上，θ=∠AOB （πθ<<0）（1）【理科】若点)54,53(-B ，求)42tan(πθ+的值；（2）若OC OB OA =+，四边形OACB 的面积用θS 表示，求OC OA S ⋅+θ的取值范围.20、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，已知AB 是圆柱1OO 底面圆O 的直径，底面半径1=R ，圆柱的表面积为π8；点C 在底面圆O 上，且直线C A 1与下底面所成的角的大小为︒60. （1）【理科】求点A 到平面CB A 1的距离；（2）【理科】求二面角C B A A --1的大小（结果用反三角函数值表示）.21、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数12)(-=x x f 的反函数为)(1x f y -=，记)1()(1-=-x f x g .（1）求函数)()(21x g x fy -=-的最小值；（2）【理科】若函数)()(2)(1x g m x f x F -+=-在区间),1[+∞上是单调递增函数，求实数m 的取值范围.22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分．已知曲线Γ:x y 42=，直线l 经过点)2,0(且其一个方向向量为),1(k d =. （1）若曲线Γ的焦点F 在直线l 上，求实数k 的值；（2）当1-=k 时，直线l 与曲线Γ相交于A 、B 两点，求||AB 的值；（3）当k （0>k ）变化且直线l 与曲线Γ有公共点时，是否存在这样的实数a ,使得点第20题图)0,(a P 关于直线l 的对称点),(00y x Q 落在曲线Γ的准线上. 若存在,求出a 的值；若不存在，请说明理由.23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.用记号∑=ni ia表示n a a a a a +++++ 3210，∑==ni in ab 02，其中N i ∈，*N n ∈.（1）设n n n n nk kx a x a x a x a a x 221212221021)1(+++++=+--=∑ （R x ∈），求2b 的值；（2）若0a ，1a ，2a ，…，n a 成等差数列，求证：()∑==ni iniC a 0102)(-⋅+n n a a；（3）【理科】在条件（1）下，记∑=-+=ni i nii n Cb d 1])1[(1，且不等式n n b d t ≤-⋅)1(恒成立，求实数t 的取值范围.第22题图数学理答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1.i +-1；2.]1,0(；3.【理科】5；4. 【理科】10；5. 【理科】2；6. 【理科】1等；7. 【理科】4122=-y x ；；8.【理科】.56； 9. 【理科】21； 10. 【理科】83；； 11. 【理科】 54； 12. 【理科】21； 13. 【理科】1222+-n n ；14、5二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 19、 (本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．【解】（1）【理科】由于)54,53(-B ，θ=∠AOB ，所以53cos -=θ，54sin =θ 253154cos 1sin 2tan =-=+=θθθ于是)42tan(πθ+321212tan12tan1-=-+=-+=θθ（2）θS θθsin sin 11=⨯⨯=由于)0,1(=,)sin ,(cos θθ=……7分，所以)sin ,cos 1(θθ+=+=OB OA OCθθθcos 1sin 0)cos 1(1+=⨯++⨯=⋅OC OA …………9分OC OA S ⋅+θ1)4sin(21cos sin ++=++=πθθθ（πθ<<0）由于4544ππθπ<+<，所以1)4sin(22≤+<-πθ，所以120+≤⋅+<S θ20、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．【解】（1）【理科】设圆柱的母线长为l ，则根据已知条件可得，πππ8222=+⋅=Rl R S 全，1=R ，解得3=l因为⊥A A 1底面ACB ，所以AC 是C A 1在底面ACB 上的射影，所以CA A 1∠是直线C A 1与下底面ACB 所成的角，即CA A 1∠=︒60在直角三角形AC A 1中，31=AA ，CA A 1∠=︒60，3=AC .AB 是底面直径，所以6π=∠CAB .以A 为坐标原点，以AB 、1AA 分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系如图所示：则)0,0,0(A 、)0,23,23(C 、)3,0,0(1A 、)0,2,0(B ,于是)0,23,23(=,)3,2,0(1=A ,)0,21,23(-=CB 设平面CB A 1的一个法向量为),,(z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅03202123001z y y x A CB n ，不妨令1=z ，则)1,23,23(=n ，所以A 到平面CB A 1的距离232|4943|||=+==n AC n d 所以点A 到平面CB A 1的距离为23。

上海市普陀区2012届高三数学4月质量调研(二模)试题理沪教版

上海市普陀区2012年高三年级第二次质量调研数学试卷（理科）说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。

本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写．．．在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分. 1. 函数22()sin cos 22x xf x =-的最小正周期是 . 2. 二项式6)1(xx -的展开式中的常数项是．（请用数值作答） 3. 函数1log 121-=x y 的定义域是 .4. 设1e 与2e 是两个不共线的向量，已知122AB e ke =+，123CB e e =+，122CD e e =-，则当A B D 、、三点共线时，k = .5. 已知各项均为正数的无穷等比数列{}n a 中，121a =+，321a =-，则此数列的各项和S = .6. 已知直线l 的方程为230x y --=，点(1,4)A 与点B 关于直线l 对称，则点B 的坐标为 .7. 如图，该框图所对应的程序运行后输出的结果S 的值为 .8. 若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点的坐标为(10,0)，则该双曲线的标准方程为 .9. 如图，需在一张纸上印上两幅大小完全相同，面积都是32cm 2的照片. 排版设计为纸上左右留空各3cm ，上下留空各2.5cm ，图间留空为1cm .照此设计，则这张纸的最小面积是 cm 2.10. 给出问题：已知ABC △满足cos cos a A b B ⋅=⋅，试判定ABC △的形状.某学生的解答如下：解：（i ）由余弦定理可得，开始2012?n ≤sin3n S S π←+1n n ←+输出S 结束是否0,0S n ←←第7题图第9题图22222222b c a a c b a b bc ac+-+-⋅=⋅，⇔()()()2222222a b c a b a b -=-+， ⇔222c a b =+,故ABC △是直角三角形.（ii ）设ABC △外接圆半径为R .由正弦定理可得，原式等价于2sin cos 2sin cos R A A R B B =sin2sin2A B ⇔=A B ⇔=，故ABC △是等腰三角形.综上可知，ABC △是等腰直角三角形.请问：该学生的解答是否正确？若正确，请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法；若不正确，请在下面横线中写出你认为本题正确的结果. . 11. 已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为nS.若1020S =，2060S =，则3010S S = . 12.的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为 . 13. 用红、黄、蓝三种颜色分别去涂图中标号为1,2,3,,9的9个小正方形（如右图），需满足任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色. 则符合条件的所有涂法中，恰好满足“1、3、5、7、9”为同一颜色，“2、4、6、8”为同一颜色的概率为 .14. 设*N n ∈，n a 表示关于x 的不等式144log log (54)21n x x n -+⨯-≥-的正整数解的个数，则数列{}n a 的通项公式n a = .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分. 15. “lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的（）A ．充分非必要条件；B ．必要非充分条件；C ．充要条件；D ．既非充分也非必要条件.16. 设θ是直线l 的倾斜角，且cos 0a θ=<，则θ的值为（）第13题图A. arccos a π-；B. arccos a ；C. arccos a -；D. arccos a π+.17. 设全集为R ，集合22|14x M x y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，3|01x N x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，则集合2231|24x x y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫++=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭可表示为（）A. M N ；B. MN ； C. R C M N ⋂； D. R M C N ⋂18. 对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是（）A ．若,,a m a n ⊥⊥,m n αα≠≠⊂⊂，则a α⊥； B. 若//,,a b b α≠⊂则//a α； C. 若,,//,//a b a b ββαα≠≠⊂⊂，则//a β； D. 若//,,,a a b βαγβγ⋂=⋂=则//a b ．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤. 19. （本题满分12分）已知函数()2f x kx =+，0k ≠的图像分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，且22AB i j =+，函数6)(2--=x x x g . 当x 满足不等式()()f xg x >时，求函数()1()g x y f x +=的最小值.20. （本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）如图,已知圆锥体SO 的侧面积为15π，底面半径OA 和OB 互相垂直，且3OA =，P 是母线BS 的中点. （1）求圆锥体的体积；（2）异面直线SO 与PA 所成角的大小（结果用反三角函数表示）．21. （本大题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）已知ABC △中，1AC =，23ABC π∠=.设BAC x ∠=，记()f x AB BC =⋅. （1）求()f x 的解析式及定义域；AB第20题图（2）设()6()1g x m f x =⋅+，是否存在实数m ，使函数)(x g 的值域为31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.22. （本大题满分16分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分）已知数列{}n a 是首项为2的等比数列，且满足nn n pa a 21+=+*(N )n ∈.（1）求常数p 的值和数列{}n a 的通项公式；（2）若抽去数列{}n a 中的第一项、第四项、第七项、……、第23-n 项、……，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列{}n b ，试写出数列{}n b 的通项公式；（3）在（2）的条件下，设数列{}n b 的前n 项和为n T .是否存在正整数n ，使得1113n n T T +=？若存在，试求所有满足条件的正整数n 的值；若不存在，请说明理由.23. （本大题满分20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题最高分10分）设点F 是抛物线L ：22y px =(0)p >的焦点，123n P P P P 、、、、是抛物线L 上的n个不同的点（3,n ≥*N n ∈）.（1）当2p =时，试写出抛物线L 上的三个定点1P 、2P 、3P 的坐标，从而使得123||||||6FP FP FP ++=；（2）当3n >时，若1230n FP FP FP FP ++++=，求证：123||||||||n FP FP FP FP np ++++=；（3）当3n >时，某同学对（2）的逆命题，即： “若123||||||||n FP FP FP FP np ++++=，则1230n FP FP FP FP ++++=.”开展了研究并发现其为假命题.请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究：① 试构造一个说明该逆命题确实是假命题的反例（本研究方向最高得4分）； ② 对任意给定的大于3的正整数n ，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由（本研究方向最高得8分）；③ 如果补充一个条件后能使该逆命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由（本研究方向最高得10分）.【评分说明】本小题若选择不止一个研究方向，则以实得分最高的一个研究方向的得分作为本小题的最终得分.2012年普陀区高三第二次质量调研数学试卷参考答案一、填空题（每小题4分，满分56分）： 1. π2； 2. 20-； 3. （文） )1(∞+，；（理）(0,1)(12)，； 4. 8-；5. 2232+； 6. )2,5(； 7. 3； 8. 1922=-y x ； 9. 196； 10. 等腰或直角三角形； 11. （文）6；（理）7； 12. （文）π34；（理） 29π； 13. （文）108；（理）181； 14. 1*341,N n n -⋅+∈. 二、选择题（每题5分，满分20分）：三、解答题（满分74分）： 19.（本题满分12分）解：由题意知：)0,2(k A -、)2,0(B ，则)2,2()2,2(==kAB 可解得：1=k ，即2)(+=x x f因为)()(x g x f >，即622-->+x x x ，解不等式得到()4,2-∈x2()15()2g x x x y f x x +--==+2(2)5(2)112522x x x x x +-++==++-++ 因为()4,2-∈x ，则()6,0)2(∈+x 所以35212)(1)(-≥-+++=+x x x f x g ，当且仅当212+=+x x ，即12=+x ，1-=x 时，等号成立. 所以，当1-=x 时，)(1)(x f x g +的最小值为3-.20.（本题满分12分）解：（1）由题意，15OA SB ππ⋅⋅=得5BS =，xCBA 故2222534SO SB OB =-=-=从而体积2211341233V OA SO πππ=⋅⋅=⨯⨯=.（2）如图2，取OB 中点H ，联结PH AH 、.由P 是SB 的中点知PH SO ∥，则APH ∠(或其补角)就是异面直线SO 与PA 所成角.由SO ⊥平面OAB ⇒PH ⊥平面OAB ⇒PH AH ⊥.在OAH ∆中，由OA OB ⊥得22352AH OA OH =+=；在Rt APH ∆中，90AHP O ∠=，122PH SB ==，35AH =，则35tan AH APH PH ∠==SO 与PA 所成角的大小35arctan .21. （本题满分14分，其中第1小题7分，第2小题7分）解：（1）如图，在ABC ∆中，由23ABC π∠=，x BAC =∠，可得x ACB -=∠3π，又 1AC =，故由正弦定理得 2sin 3sin()sin 33ABBC AC x x ππ===- ⇒sin()33AB x π=-、3BC x =.则函数()f x AB BC =⋅2||||cossin sin()333AB BC x x ==-ππ231sin sin )32x x x =-2312sin 3x x =- 11(32cos 2)66x x =+-11sin(2)366x π=+-，其中定义域为0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π. 说明：亦可用积化和差方法化简：2111()sin sin()[cos cos(2)]cos(2)33333336f x x x x x ==-=---=--ππππ. （2）()6()12sin(2)16g x mf x m x m =+=+-+π由0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π可得52(,)666x πππ+∈⇒)62sin(π+x ]1,21(∈.显然，0m ≠，则 1O 当0>m 时，()(1,1]g x m ∈+，则)(x g 的值域为]23,1(⇔231=+m ⇔21=m ； 2O 当0m <时，()[1,1)g x m ∈+，不满足)(x g 的值域为]23,1(；因而存在实数21=m ，使函数)(x g 的值域为31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.22. （本大题满分16分，第1小题满分5分，第二小题满分5分，第3小题满分6分）（1）解：由n n n pa a a 2,211+==+得222+=p a ，42223++=p p a ，又因为存在常数p ，使得数列{}n a 为等比数列，则3122a a a =即)422(2)22(22++=+p p p ，所以1=p .故数列{}n a 为首项是2，公比为2的等比数列，即nn a 2=.此时11222++=+=n n n n a 也满足，则所求常数p 的值为1且*2(N )n n a n =∈.（2）解：由等比数列的性质得：（i ）当*2(N )n k k =∈时，kk n a b 332==；（ii ）当*21(N )n k k =-∈时，13132--==k k n a b ，所以312*322,21,(N )2,2,n n nn k b k n k +⎧=-⎪=∈⎨⎪=⎩. （3）（文科）解：注意到21{}n b -是首项14b =、公比8q =的等比数列，2{}n b 是首项28b =、公比8q =的等比数列，则（i ）当2n k =*(N )k ∈时，21321242()()n k k k T T b b b b b b -==+++++++4(81)8(81)8181kk--=+--2128121281277nk⋅-⋅-==；（ii ）当21n k =-*(N )k ∈时，12212212812581258128777n k kk n k k k T T T b +-⋅-⋅-⋅-==-=-==. 即12*25812,217(N )12812,27n n nn k T k n k+⎧⋅-⎪=-⎪=∈⎨⎪⋅-⎪=⎩.（3）（理科）解：（续文科解答过程）假设存在正整数n 满足条件，则1111118133n n n n n n n n n T T b b b T T T T +++++==+=⇔=，则（i ）当*2,(N )n k k =∈时，3212122288888128121281237k k k n k k kn kb b T T +++⋅====⇒=⋅-⋅-1k ⇒=，即当2n =时满足条件；（ii ）当*21,(N )n k k =-∈时，128788968581258123197k k kn k k k n n b b T T +⋅====⇒=⋅-⋅-. 因为*N k ∈，所以此时无满足条件的正整数n . 综上可得，当且仅当2n =时，1113n n T T +=.23. （本大题满分20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题最高分10分）（理）解：（1）抛物线L 的焦点为(,0)2pF ，设111222333(,)(,)(,)P x y P x y P x y 、、，分别过123P P P 、、作抛物线L 的准线l 的垂线，垂足分别为123Q Q Q 、、.由抛物线定义得123112233123||||||||||||()()()222p p pFP FP FP PQ P Q PQ x x x ++=++=+++++ 623321=+++=px x x因为2p =，所以3321=++x x x ，故可取，，)2,1()2,21(21P P 3P )6,23(满足条件. （2）设111222333(,)(,)(,)(,)n n n P x y P x y P x y P x y 、、、、，分别过123n P P P P 、、、、作抛物线L 的准线l 垂线，垂足分别为123n Q Q Q Q 、、、、.由抛物线定义得123112233||||||||||||||||n n n FP FP FP FP PQ PQ PQ PQ ++++=++++123()()()()2222n p p ppx x x x =++++++++123()2n np x x x x =+++++ 又因为1230n FP FP FP FP ++++=⇒123()()()()02222n p p ppx x x x -+-+-++-=⇒221np x x x n =+++ ；所以123||||||||n FP FP FP FP ++++123()2n npx x x x =+++++np =. （3） ①取4=n 时，抛物线L 的焦点为(,0)2pF ，设111222333(,)(,)(,)P x y P x y P x y 、、，),(444y x P 分别过123P P P 、、4P 、作抛物线L 的准线l 垂线，垂足分别为123Q Q Q 、、4Q 、.由抛物线定义得=+++44332211Q P Q P Q P Q P +++=244321px x x x ++++p 4=，则p x x x x 24321=+++，不妨取22,411p y px ==；,22px =p y =2；,23px =p y -=3；443,4p x y ==，则=+++4321FP FP FP FP (p x x x x 24321-+++，)4321y y y y +++0,2p ⎛⎫= ⎪⎝⎭0≠.故1,42p P ⎛⎫⎪⎝⎭，2,2p P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,2p P p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，434p P ⎛⎝⎭是一个当4n =时，该逆命题的一个反例.(反例不唯一)② 设111222333(,)(,)(,)(,)n n n P x y P x y P x y P x y 、、、、，分别过123n P P P P 、、、、作抛物线L 的准线l 的垂线，垂足分别为123n Q Q Q Q 、、、、，由123||||||||n FP FP FP FP np ++++=及抛物线的定义得np np x x x n =++++221 ，即221np x x x n =+++ . 因为上述表达式与点111222333(,)(,)(,)(,)n n n P x y P x y P x y P x y 、、、、的纵坐标无关，所以只要将这n 点都取在x 轴的上方，则它们的纵坐标都大于零，则=+++n FP FP FP 21(,221npx x x n -+++ )21n y y y +++ (=,0)21n y y y +++ ，而021>+++n y y y ，所以021≠+++n FP FP FP . （说明：本质上只需构造满足条件且120n y y y +++≠的一组n 个不同的点，均为反例.）③ 补充条件1：“点i P 的纵坐标i y （1,2,,i n =）满足 1230n y y y y ++++=”，即：“当3n >时，若123||||||||n FP FP FP FP np ++++=，且点i P 的纵坐标iy （1,2,,i n =）满足1230n y y y y ++++=，则1230n FP FP FP FP ++++=”.此命题为真.事实上，设111222333(,)(,)(,)(,)n n n P x y P x y P x y P x y 、、、、，分别过123n P P P P 、、、、作抛物线L 准线l 的垂线，垂足分别为123n Q Q Q Q 、、、、，由12||||||n FP FP FP np +++=，及抛物线的定义得np np x x x n =++++221 ，即221npx x x n =+++ ，则 =+++nFP FP FP 21(,221npx x x n -+++ )21n y y y +++ (=,0)21n y y y +++ ，又由1230n y y y y ++++=，所以1230n FP FP FP FP ++++=，故命题为真.补充条件2：“点k P 与点1n k P -+(n 为偶数，*N )k ∈关于x 轴对称”，即：“当3n >时，若123||||||||n FP FP FP FP np ++++=，且点k P 与点1n k P -+(n 为偶数，*N )k ∈关于x 轴对称，则1230n FP FP FP FP ++++=”.此命题为真.（证略）23.（文）（1）解：抛物线L 焦点(1,0)F ，准线l 方程为：1-=x .由抛物线定义得11||1FP x =+，22||1FP x =+，33||1FP x =+，∴ 73||||||321321=+++=++x x x FP FP FP .（2）证明：由)0,1(F ，),1(111y x FP -=，),1(222y x FP -=，…，),1(n n n y x FP-= ， 1230n FP FP FP FP ++++=⇒0)1()1()1(21=-++-+-n x x x ，即n x x x n =+++)(21 .则12||||||n FP FP FP +++)1()1()1(21++++++=n x x xn x x x n ++++=)(21 n 2=.（3）经推广的命题：“当3n >时，若021=+++n FP FP FP ，则np FP FP FP n =+++||||||21 .” 其逆命题为：“当3n >时，若np FP FP FP n =+++||||||21 ，则021=+++n FP FP FP ”. 该逆命题为假命题.不妨构造特殊化的一个反例：设2p =，4n =，抛物线x y 42=，焦点)0,1(F .由题意知：1234||||||||8FP FP FP FP +++=；根据抛物线的定义得：8)1()1()1()1(4321=+++++++x x x x ⇒44321=+++x x x x ；不妨取四点坐标分别为)0,0(1P 、)2,1(2P 、)2,1(3-P 、)22,2(4P ，但0)22,0()22,1()2,0()2,0()0,1(4321≠=+-++-=+++FP FP FP FP ，所以逆命题是假命题.。

上海市普陀区12—13上学期高三数学(理科)期末考试试卷

上海2012学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷2013.1考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码． 2．本试卷共有23道题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．不等式1|2|≤-x 的解为_________．2．函数x x y 2cos 2sin +=的最小正周期=T _________． 3．若集合}156|{>+=x x A ，集合1{-=B ,0,1,2,}3，则A B =__________． 4．【理科】如图，正方体1111D C B A ABCD -中，直线1BD 与平面11B BCC 所成的角的大小为_________(结果用反三角函数值表示)．5．【理科】若函数3()log f x a x =-的图像经过点)1,1(，则=--)8(1f ________．6．若等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，1442=+a a ，770S =，则数列}{n a 的通项公式为___________．7．在一个袋内装有同样大小、质地的五个球，编号分别为1、2、3、4、5，若从袋中任意取两个，则编号的和是奇数的概率为_________(结果用最简分数表示)． 8．在210(2x +的二项展开式中，常数项等于_________．9．若函数)2sin()(ϕ+=x A x f (0>A ,2π2π<<-ϕ)的部分图像如右图，则=)0(f _________．10．在ABC △中，若2AB AC ⋅=,7-=⋅BC AB=________．11．【理科】若函数()f x 满足)9(2)10(+=+x f x f ，且1)0(=f ，则=-)10(f ________．12．【理科】若)0,3(-C 、)0,3(D ，M 是椭圆2214x y +=上的动点，则11MC MD+的最小值为__________．13．三棱锥S ABC -中，E 、F 、G 、H 分别为SA 、AC 、BC 、SB 的中点，则截面EFGH 将三棱锥S ABC -分成两部分的体积之比为__________．14．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤+=1,21210,1)(x x x x f x ，设0a b >≥，若)()(b f a f =，则)(a f b ⋅的取值范围是__________．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．已知函数=y )(x f (R x ∈)，则“)2()1(f f <”是“函数=y )(x f 在R 上是增函数”的( )A ．充分非必要条件．B ．必要非充分条件．C ．充要条件．D ．非充分非必要条件．16．【理科】双曲线22221x y a b λλ+=--(22b a >>λ)的焦点坐标为( ) A ．)0,(22b a +±．B ．)0,(22b a -±．C ．)0,2(22λ-+±b a ． D ．),0(22b a +±．17．已知0>a ,0>b ,若11lim 5n n n nn a b a b ++→∞-=-，则b a +的值不可能．．．是( ) A ．7． B ．8． C ．9．D ．10．18．如图,四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得CD DE =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AP AB AE λμ=+，下列判断正确．．的是( ) A ．满足λμ+2=的点P 必为BC 的中点． B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个． C ．λμ+的最大值为3． D ．λμ+的最小值不存在．三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分12分)本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径是6cm ，圆柱筒长2cm ．(1)这种“浮球”的体积是多少cm 3(结果精确到0.1)？ (2)要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶10克，共需胶多少？20．(本题满分14分)本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知动点),(y x A 到点)0,2(F 和直线2-=x 的距离相等． (1)求动点A 的轨迹方程； (2)记点)0,2(-K ，若AF AK 2=，求△AFK 的面积．21．(本题满分14分)本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分．已知a 、b 、c 是ABC △中A ∠、B ∠、C ∠的对边,34=a ,6=b ，31cos -=A ．(1)求c ； (2)求)4π2cos(-B 的值．22．(本题满分16分)本大题共有3小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分．【理科】在平面直角坐标系xOy 中，点n A 满足)1,0(1=，且)1,1(1=+n n A A ；点n B 满足)0,3(1=，且)0,)32(3(1nn n B B ⋅=+，其中*n N ∈．(1)求2OA 的坐标，并证明．．点n A 在直线1y x =+上； (2)记四边形11n n n n A B B A ++的面积为n a ，求n a 的表达式；(3)对于(2)中的n a ，是否存在最小的正整数P ，使得对任意*n N ∈都有P a n <成立？若存在，求P 的值；若不存在，请说明理由．23．(本题满分18分)本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．【理科】设函数)(x f 和)(x g 都是定义在集合M 上的函数,对于任意的x M ∈，都有))(())((x f g x g f =成立，称函数)(x f 与)(x g 在M 上互为“H 函数”．(1)函数x x f 2)(=与x x g sin )(=在M 上互为“H 函数”，求集合M ； (2)若函数x a x f =)((0a a >≠且1)与1)(+=x x g 在集合M 上互为“H 函数”,求证：1>a ；(3)函数2)(+=x x f 与)(x g 在集合1|{->=x x M 且32-≠k x ，*N ∈k }上互为“H 函数”，当10<≤x 时,)1(log )(2+=x x g ，且)(x g 在)1,1(-上是偶函数,求函数)(x g 在集合M 上的解析式．2012学年第一学期普陀区高三理科数学质量调研评分标准一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．[1,3] 2．π 3．}0,1{-4．【理科】22arctan ；【文科】 60 5．936．32n a n =-(*N ∈n ) 7．538．180 9．1- 10．3 11．【理科】1021【文科】102 12．1 13．1:1 14．)2,43[二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．【解】(1)cm 6=d ，cm 3=R ，36π27π34π343=⋅==R V 球3cm …………2分 2=h ，18π29ππ2=⨯⨯=⋅=h R V 圆柱3cm …………2分 =V 圆柱球V V +169.654π18π36π≈=+=3cm …………2分(2)36π9π442=⨯⨯==R S π球表2cm …………2分12π23π22π=⨯⨯⨯==Rh S 圆柱侧2cm …………2分1个“浮球”的表面积π10481012π36π441=+=S 2m 2500个“浮球”的表面积的和2π1π1048250042500=⨯=S 2m所用胶的质量为1200π2π1100=⨯(克)…………2分答：这种浮球的体积约为6.1693cm ；供需胶1200π克．20．【解】(1)由题意可知，动点A 的轨迹为抛物线，其焦点为)0,2(F ，准线为2-=x 设方程为px y 22=，其中22=p，即4=p ……2分所以动点A 的轨迹方程为x y 82=……2分(2)过A 作l AB ⊥，垂足为B ,根据抛物线定义，可得||||AF AB =……2分由于AF AK 2=，所以AFK ∆是等腰直角三角形………2分其中4||=KF …………2分所以84421=⨯⨯=∆AFK S …………2分 21．【解】(1)在ABC △中，由余弦定理得，A bc c b a cos 2222-+=…………2分)31(6236482-⨯⨯⨯-+=c c …………2分即01242=-+c c ，0)2)(6(=-+c c ，解得2=c …………2分(2)由031cos <-=A 得A 为钝角，所以322sin =A …………2分在ABC △中，由正弦定理，得sin sin a bA B= 则36343226sin sin =⨯=⋅=aAb B …………2分由于B 为锐角，则33cos =B ……2分 313221sin 212cos 2-=⋅-=-=B B 32233362cos sin 22sin =⋅⋅=⋅=B B B 所以)4π2cos(-B 624)32231(22)2sin 2(cos 22-=+-=+=B B………2分22．【理科】【解】(1)由已知条件得，(1,1)21=A A ,=21A A 2OA 1OA -,所以(1,2)2=OA ……2分(1,1)1=+n n A A ，则)1,1(1=-+n n OA OA设),(n n n y x OA =，则11=-+n n x x ，11=-+n n y y所以11)1(0-=⋅-+=n n x n ；n n y n =⋅-+=1)1(1………2分即),1(n n A n -=满足方程1y x =+，所以点n A 在直线1y x =+上．………1分 (证明n A 在直线1y x =+上也可以用数学归纳法证明．) (2)由(1)得),1(n n A n -)0,)32(3(11n n n n n OB OB B B ⋅=-=++………1分设),(n n n v u B ，则31=u ，01=v01=-+n n v v ，所以0=n vn n n u u )32(31⋅=-+，逐差累和得，))32(1(9n n u -=，所以)0),)32(1(9(nn B -………2分设直线1y x =+与x 轴的交点()1,0P -，则()111121210911092323n n n nn nn PA B PA B a S S n n +++∆∆⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦n a 1)32)(2(5--+=n n ，*N n ∈……2分(3)由(2)n a 1)32)(2(5--+=n n ，*N n ∈()()111224251523333n n n n n n a a n n --+⎡⎤⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…2分于是，54321a a a a a =<<<， >>>765a a a ………2分数列{}n a 中项的最大值为4516527a a ==+，则27165>P ,即最小的正整数p 的值为6，所以，存在最小的自然数6=p ，对一切*n N ∈都有p a n <成立．……2分【文科】 22．【解】(1)证明：函数)(x f 与)(x g 互为“H 函数“,则对于R ∈∀x ,))(())((x f g x g f =恒成立．即n b ax m b n mx a ++=++)()(在R 上恒成立………………2分化简得)()(n bm amx b an amx ++=++………………2分所以当n bm b an +=+时，))(())((x f g x g f =，即)()(b g n f =…1分 (2)假设函数)(x f 与)(x g 互为“H 函数”，则对于任意的M x ∈))(())((x f g x g f =恒成立．即x x 22cos cos =，对于任意]2,2[-∈x 恒成立 (2)分．当0=x 时，10cos 0cos ==．不妨取1=x ，则1cos 1cos 2=，所以1cos 1cos 2≠………………2分所以假设不成立，在集合M 上，函数)(x f 与)(x g 不是互为“H 函数”………1分． (3)由题意得，11+=+x x a a(0>a 且1≠a )………2分变形得，1)1(=-a a x，由于0>a 且1≠a11-=a a x ，因为0>xa ，所以011>-a ，即1>a ………2分此时)1(log --=a x a ，集合}1),1(log |{>--==a a x x M a ………2分23．【解】(1)由))(()((x f g x g f =得x x 2sin sin 2=化简得，0)cos 1(sin 2=-x x ，0sin =x 或1cos =x ………2分解得πk x =或π2k x =，Z ∈k ，即集合π}|{k x x M ==Z ∈k ………2分 (若学生写出的答案是集合}Z ,π|{∈==k k x x M 的非空子集，扣1分，以示区别．)(2)证明：由题意得，11+=+x x a a(0>a 且1≠a )………2分变形得，1)1(=-a a x ，由于0>a 且1≠a11-=a a x ………2分因为0>xa ，所以011>-a ，即1>a ………2分 (3)当01<<-x ，则10<-<x ，由于函数)(x g 在)1,1(-上是偶函数则)1(log )()(2x x g x g -=-=所以当11<<-x 时，|)|1(log )(2x x g +=……………2分由于2)(+=x x f 与函数)(x g 在集合M 上“互为H 函数” 所以当M x ∈，))(()((x f g x g f =恒成立,)2(2)(+=+x g x g 对于任意的)12,12(+-∈n n x (N ∈n )恒成立,即2)()2(=-+x g x g ……………2分所以2)]1(2[]2)1(2[=-+-+-+n x g n x g , 即2)]1(2[)2(=-+-+n x g n x g 所以n x g n x g 2)()2(+=+,当)12,12(+-∈n n x (N ∈n )时,)1,1(2-∈-n x|)2|1(log )2(2n x n x g -+=-……………2分所以当M x ∈时，n n x n n x g n n x g x g 2|)2|1(log 2)2(]2)2[()(2+-+=+-=+-=………2分【文科】23．【解】(1)由已知条件得，(1,1)21=A A ,=21A A 2OA 1OA -,所以(1,2)2=OA ……2分(1,1)1=+n n A A ，则)1,1(1=-+n n OA OA 设),(n n n y x OA =，则11=-+n n x x ，11=-+n n y y 所以11)1(0-=⋅-+=n n x n ；n n y n =⋅-+=1)1(1………2分即),1(n n A n -=满足方程1y x =+，所以点n A 在直线1y x =+上．………1分 (证明n A 在直线1y x =+上也可以用数学归纳法证明．)(2)由(1)得),1(n n A n -)0,)32(3(11n n n n n OB OB B B ⋅=-=++………1分设),(n n n v u B ，则31=u ，01=v01=-+n n v v ，所以0=n vn n n u u )32(31⋅=-+，逐差累和得，))32(1(9n n u -=，所以)0),)32(1(9(n n B -………2分设直线1y x =+与x 轴的交点()1,0P -，则()111121************n n n n n n n PA B PA B a S S n n +++∆∆⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦n a 1)32)(2(5--+=n n ，*N ∈n ……2分 (3)由(2)n a 1)32)(2(5--+=n n ，*N n ∈()()111224251523333n n n n n n a a n n --+⎡⎤⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…2分于是，54321a a a a a =<<<， >>>765a a a ………2分数列{}n a 中项的最大值为4516527a a ==+，则27165>P ,即最小的正整数p 的值为6，所以，存在最小的自然数6=p ，对一切*n N ∈都有p a n <成立．……2分。

四区联考2012学年度第二学期高三(理)

2012学年静安、杨浦、青浦、宝山区高三年级高考模拟考试数学试卷（理科） 2013.04.（满分150分，答题时间120分钟）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U .2．若复数z 满足)2(z i z -=（i 是虚数单位），则=z .3．已知直线012=++y x 的倾斜角大小是θ，则=θ2tan .4．若关于y x 、的二元一次方程组⎩⎨⎧=-+-=+-04)12(03y x m y mx 有唯一一组解，则实数m 的取值范围是 . 5．已知函数)(x f y =和函数)1(l o g 2+=x y 的图像关于直线0=-y x 对称，则函数)(x f y =的解析式为 . 6．已知双曲线的方程为1322=-y x ，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为 .7．函数xx x x x x x f sin cos sin 2)cos(cos sin )(--+=π的最小正周期=T .8．若n x )21(+展开式中含3x 项的系数等于含x 项系数的8倍，则正整数=n .9．执行如图所示的程序框图，若输入p 的值是7，则输出S 的值是 .10．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为 cm ．11．某中学在高一年级开设了4门选修课，每名学生必须参加这4门选修课中的一门，对于该年级的甲、乙、丙3名学生，这3名学生选择的选修课互不相同的概率是 (结果用最简分数表示)．12．各项为正数的无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1lim1=+∞→n n n S S ，则其公比q 的取值范围是 .13．已知两个不相等的平面向量，(0≠)满足||＝2，且与－的夹角为120°，则|α|的最大值是 . 14．给出30行30列的数表A ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1074216183150117216342720131832721159150201510511713951 ，其特点是每行每列都构成等差数列，记数表主对角线上的数10743421101，，，，，按顺序构成数列{}n b ，存在正整数)1(t s t s <<、使t s b b b ,,1成等差数列，试写出一组),(t s 的值 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．已知),2(ππα∈，53sin =α，则)4tan(πα-的值等于………………………（）（A ）71．（B ）71- ．（C ） 7．（D ）7-． 16．已知圆C 的极坐标方程为θρsin a =，则“2=a ”是“圆C 与极轴所在直线相切”的 ………………………………………………………………………………（）（A ）充分不必要条件．（B ）必要不充分条件．（C ）充要条件．（D ）既不充分又不必要条件．17．若直线2=+by ax 经过点)sin ,(cos ααM ，则 …………………………（）（A ） 422≤+b a ．（B ） 422≥+b a ．（C ）41122≤+b a ．（D ）41122≥+ba ．18．已知集合{})(),(x f y y x M ==，若对于任意M y x ∈),(11，存在M y x ∈),(22，使得02121=+y y x x 成立，则称集合M 是“Ω集合”. 给出下列4个集合：① ⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x y y x M 1),( ②{}2),(-==x e y y x M ③{}x y y x M cos ),(== ④ {}x y y x M ln ),(==其中所有“Ω集合”的序号是……………………………………………………（）（A ）②③ ．（B ）③④ ．（C ）①②④．（D ）①③④．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别为CD B A ,11的中点．（1）求直线EC 与平面11BCC B 所成角的大小；（2）求二面角B AF E --的大小．20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 的大小等于3π，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P ．（1）若C 是半径OA 的中点，求线段PC 的大小；（2）设θ=∠COP ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数a x x f +=2)(．（1）若12)()(++=bx x f x F 是偶函数，在定义域上ax x F ≥)(恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当1=a 时，令)())(()(x f x f f x λϕ-=，问是否存在实数λ，使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数，在()0,1-上是增函数？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由．22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知点)0,1(A ，1P 、2P 、3P 是平面直角坐标系上的三点，且1AP 、2AP 、3AP 成等差数列，公差为d ，0≠d ．（1）若1P 坐标为()1,1-，2d =，点3P 在直线3180x y --=上时，求点3P 的坐标；（2）已知圆C 的方程是222)3()3(r y x =-+-)0(>r ，过点A 的直线交圆于31P P 、两点，2P 是圆C 上另外一点，求实数d 的取值范围；（3）若1P 、2P 、3P 都在抛物线24y x =上，点2P 的横坐标为3，求证：线段13PP 的垂直平分线与x 轴的交点为一定点，并求该定点的坐标．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足a a =1 (3≠a )，n n n S a 31+=+，设n n n S b 3-=，*∈N n ．（1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）若1+n a ≥n a ，*∈N n ，求实数a 的最小值；（3）当4=a 时，给出一个新数列{}n e ，其中⎩⎨⎧≥==2,1,3n b n e n n ，设这个新数列的前n 项和为n C ，若n C 可以写成p t (*∈N p t ,且1,1>>p t )的形式，则称n C 为“指数型和”．问{}n C 中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．。

2012年上海市普陀区高三年级第二次质量调研二模理科试卷

1.根据提示默写（6分）【小题1】__________，浅草才能没马蹄。

【小题2】浮云游子意，。

【小题3】初中毕业前夕，同学们互相激励，用李白《行路难》中的“__________，”来表达坚定的信念和对未来的憧憬。

【小题4】诗人心中激荡着保家卫国、建功立业的强烈愿望：辛弃疾表示“__________，赢得生前身后名”,苏轼坦言“西北望，。

”2.古今诗文填空。

（6分）【小题1】（2分）我们有些同学，自己不愿意被别人叫绰号，却总热衷给别人起外号，对这些同学，我们应该用孔子的“__________，”劝诫他们。

【小题2】（1分）我寄愁心与明月，。

《闻王昌龄左迁龙标遥有此寄》【小题3】（2分）《过故人庄》中描绘农村优美的自然风光的诗句是：__________，。

【小题4】（1分）傍晚时候，上灯了，一点点黄晕的光，____________________。

《春》1.文言文阅读于令仪不责盗曹州于令仪者，市井①人也，长厚不忤物，晚年家颇富裕。

一夕，盗入其家，诸子禽之，乃邻舍人子也。

令仪曰：“汝素寡悔②，何苦而为盗耶？”曰：“迫于贫耳！”问其所欲，曰：“得十千足以衣食。

”于令仪如其所言与之。

既去，复呼之，盗大恐。

谓曰：“尔贫甚，夜负十千③以归，恐为人所诘。

留之，至明使去。

”盗大感惭，卒为良民。

（摘自《渑水燕谈录》）【注】①市井：指做生意。

②寡悔：很少做对不起自己的事。

③十千：指十贯铜钱。

【小题1】解释下列各句加点词⑴诸子禽之⑵汝素寡悔⑶问其所欲⑷卒为良民【小题2】下列句子中的“其”与“问其所欲”中的“其”意义和用法相同的一项是（）A．童微伺其睡B．叶徒相似，其实味不同C．其贤者使使贤主D．用其二三十万为河伯娶妇【小题3】下列句中没有通假字的一项是（）A．圣人非所与熙也B．吏二缚一人诣王C．之虚所卖之D．巫妪何久也？弟子趣之【小题4】请将文中画线句子“尔贫甚，夜负十千以归，恐为人所诘”翻译成现代汉语。

【小题5】请简要概括于令仪的性格特点。

2024届上海市普陀区高三下学期4月质量调研(二模)数学试卷

2024届上海市普陀区高三下学期4月质量调研（二模）数学试卷一、填空题(★) 1. 已知复数，其中为虚数单位，则在复平面内所对应的点的坐标为 ______ .(★★) 2. 已知，设集合，集合，若，则______ .(★) 3. 若，则 ________ .(★★) 4. 已知，若，则 ______ .(★★★) 5. 若实数，满足，则的最小值为 ______ .(★★★) 6. 设，若，且，则 ______ .(★★) 7. 为了提高学生参加体育锻炼的积极性，某校本学期依据学生特点针对性的组建了五个特色运动社团，学校为了了解学生参与运动的情况，对每个特色运动社团的参与人数进行了统计，其中一个特色运动社团开学第1周至第5周参与运动的人数统计数据如表所示.周次1参与运动的35人数若表中数据可用回归方程来预测，则本学期第11周参与该特色运动社团的人数约为 ______ .（精确到整数）(★★★) 8. 设等比数列的公比为，则“，，成等差数列”的一个充分非必要条件是 ______ .(★★) 9. 若向量在向量上的投影为，且，则______ .(★★★) 10. 已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点，过点的直线的法向量，与轴以及的左支分别相交，两点，若，则双曲线的实轴长为 ______ .(★★★) 11. 设，，是正整数，是数列的前项和，，，若，且，记，则______ .(★★★★) 12. 已知，若关于的不等式的解集中有且仅有一个负整数，则的取值范围是 ______ .二、单选题(★) 13. 从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球，两个红球分别标记为、，白球标记为，则它的一个样本空间可以是（）A．B．C．D．(★★) 14. 若一个圆锥的体积为，用通过该圆锥的轴的平面截此圆锥，得到的截面三角形的顶角为，则该圆锥的侧面积为（）A．B．C．D．(★★★)15. 直线经过定点，且与轴正半轴、轴正半轴分别相交于，两点，为坐标原点，动圆在的外部，且与直线及两坐标轴的正半轴均相切，则周长的最小值是（）A．3B．5C．10D．12(★★★) 16. 设是数列的前项和，若数列满足：对任意的，存在大于1的整数，使得成立，则称数列是“数列”.现给出如下两个结论：①存在等差数列是“数列”；②任意等比数列都不是“数列”.则（）A．①成立②成立B．①成立②不成立C．①不成立②成立D．①不成立②不成立三、解答题(★★) 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点.(1)求证：平面；(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小.(★★★) 18. 设函数，，，它的最小正周期为.(1)若函数是偶函数，求的值；(2)在中，角、、的对边分别为、、，若，，，求的值.(★★★) 19. 张先生每周有5个工作日，工作日出行采用自驾方式，必经之路上有一个十字路口，直行车道有三条，直行车辆可以随机选择一条车道通行，记事件为“张先生驾车从左侧直行车道通行”.(1)某日张先生驾车上班接近路口时，看到自己车前是一辆大货车，遂选择不与大货车从同一车道通行.记事件为“大货车从中间直行车道通行”，求；(2)用表示张先生每周工作日出行事件发生的次数，求的分布及期望.(★★★★) 20. 设椭圆，的离心率是短轴长的倍，直线交于、两点，是上异于、的一点，是坐标原点.(1)求椭圆的方程；(2)若直线过的右焦点，且，，求的值；(3)设直线的方程为，且，求的取值范围. (★★★★) 21. 对于函数，和，，设，若，，且，皆有成立，则称函数与“具有性质”.(1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由；(2)若函数，与“具有性质”，求的取值范围；(3)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证.。

上海市普陀区2012届高三4月质量调研(二模)试题

上海市普陀区2012届高三4月质量调研（二模）试题上海市普陀区2012届高三4月质量调研（二模）试题语文考生注意：1.本试卷满分为150分，其中阅读部分80分，写作部分70分，考试时间为150分钟。

阅读（80分）一、阅读下面文章，完成1—6题（16分）《解放日报》记者龚丹韵：玛雅人2012的末世预言已经流传很久，后来美国科幻大片让它全球闻名。

在2012年新年来临之际，东西方都在一个共同话题：，现在，连科学家也加入了研究，科学解释和研究理论层出不穷。

为什么在科学发达的今天，大众会对末世预言如此感兴趣呢？《新发现》杂志主编严锋：可能是古老的恐惧和新的忧虑结合起来了。

古代一直流传着关于末日的各种神话。

玛雅人的预言，是根据他们的历法得出的，现在已经有人试图从科学角度做出解释，比如说那天正好是各种天体运行到某个位置，造成了南北极的互换倒置。

听起来可怕，但是他们没有完全告诉人们的是，在地球漫长的历史中，其实南北极已经倒置过几百次了。

一些现象好像特别吓人，但是如果把它完全说穿，也就不吓人了。

又比如常常和末日论相关的几颗星连成一线的现象，每年都会出现，如果几星连珠代表凶兆，那我们早已不知道经历过多少次了。

比较有趣的是，中国古代文明一直没有出现过末日预言，只留下杞人忧天的成语，带着否定意思，可能与儒家提倡积极入世，不知生焉知死的乐观精神有关。

但不管怎么说，人类从文明诞生开始，就一直存在着对末日的恐惧心理。

而今天旧的恐惧没有完全消灭，新的技术恐惧又和它叠加在一起。

龚丹韵：新的忧虑究竟是指什么？严锋：科学让我们发现，地球比过去认为的要脆弱得多。

比如说，科学家一直担忧小行星撞击地球。

6500万年前就有一颗直径超过10公里的小行星落到地球，它释放的能量远远超过了原子弹，恐龙可能就因此彻底灭绝。

有人说，谁知道哪一天这样的景象又会重现？还有科学家提出了量子真空坍缩，认为某种状态下世界瞬间就会完全消失。

加州大学伯克利分校的一位物理学家拉斐尔布索甚至说，时间可能将在35亿年后停止……这种担忧不是出于神话和神秘主义，而是与科学发现有关。

2012年上海市普陀区高三数学试卷一模理科试卷

2011学年度第一学期普陀区高三年级质量调研一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分. 1. 函数22()sincos 22x xf x =-的最小正周期是 . 2. 二项式6)1(xx -的展开式中的常数项是．（请用数值作答）3. 函数1log 121-=x y 的定义域是 .4. 设1e 与2e 是两个不共线的向量，已知122AB e ke =+，123CB e e =+，122CD e e =-，则当A B D 、、三点共线时，k = . 5. 已知各项均为正数的无穷等比数列{}n a 中，11a =，31a ，则此数列的各项和S = .6. 已知直线l 的方程为230x y --=，点(1,4)A 与点B 关于直线l 对称，则点B 的坐标为 .7. 如图，该框图所对应的程序运行后输出的结果S 的值为 .8. 若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点的坐标为，则该双曲线的标准方程为 .9. 如图，需在一张纸上印上两幅大小完全相同，面积都是32cm 2的照片. 排版设计为纸上左右留空各3cm ，上下留空各2.5cm ，图间留空为1cm .照此设计，则这张纸的最小面积是 cm 2.10. 给出问题：已知ABC △满足cos cos a A b B ⋅=⋅，试判定ABC △的形状.某学生的解答如下：解：（i ）由余弦定理可得，22222222b c a a c b a b bc ac+-+-⋅=⋅，⇔()()()2222222a b c a b a b -=-+，第7题图第9题图⇔222c a b =+,故ABC △是直角三角形.（ii ）设ABC △外接圆半径为R .由正弦定理可得，原式等价于2sin cos 2sin cos R A A R B B =sin 2sin 2A B ⇔=A B ⇔=，故ABC △是等腰三角形.综上可知，ABC △是等腰直角三角形.请问：该学生的解答是否正确？若正确，请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法；若不正确，请在下面横线中写出你认为本题正确的结果. . 11. 已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为nS.若1020S =，2060S =，则3010S S = . 12.若一个底面边长为2的体积为 .13. 用红、黄、蓝三种颜色分别去涂图中标号为1,2,3,,9的9个小正方形（如右图），需满足任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色. 则符合条件的所有涂法中，恰好满足“1、3、5、7、9”为同一颜色，“2、4、6、8”为同一颜色的概率为 .14. 设*N n ∈，n a 表示关于x 的不等式144log log (54)21n x x n -+⨯-≥-的正整数解的个数，则数列{}n a 的通项公式n a = .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分. 15. “lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的（）A ．充分非必要条件；B ．必要非充分条件；C ．充要条件；D ．既非充分也非必要条件. 16. 设θ是直线l 的倾斜角，且cos 0a θ=<，则θ的值为（）A. arccos a π-；B. arccos a ；C. arccos a -；D. arccos a π+.17. 设全集为R ，集合22|14x M x y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，3|01x N x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，第13题图则集合2231|24x x y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫++=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭可表示为（）A. M N ；B. MN ； C. R MN ð； D. R MN ð.18. 对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是（）A ．若a m ⊥，a n ⊥，m αÜ，n αÜ,则a α⊥；B ．若a b ，b αÜ，则a α；C ．若a βÜ，b βÜ，a α，b α,则αβ；D ．若αβ，a αγ=，b βγ=，则ab .三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）已知函数()2f x kx =+，0k ≠的图像分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，且22AB ij =+，函数6)(2--=x x x g . 当x 满足不等式()()f x g x >时，求函数()1()g x y f x +=的最小值.20. （本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）如图,已知圆锥体SO 的侧面积为15π，底面半径OA 和OB 互相垂直，且3OA =，P 是母线BS 的中点.（1）求圆锥体的体积；（2）异面直线SO 与PA 所成角的大小（结果用反三角函数表示）．AB第20题图21. （本大题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）已知ABC △中，1AC =，23ABC π∠=.设BAC x ∠=，记()f x AB BC =⋅. （1）求()f x 的解析式及定义域；（2）设()6()1g x m f x =⋅+，是否存在实数m ，使函数)(x g 的值域为31,2⎛⎤⎥⎝⎦？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.22. （本大题满分16分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分）已知数列{}n a 是首项为2的等比数列，且满足n n n pa a 21+=+*(N )n ∈.（1）求常数p 的值和数列{}n a 的通项公式；（2）若抽去数列{}n a 中的第一项、第四项、第七项、……、第23-n 项、……，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列{}n b ，试写出数列{}n b 的通项公式；（3）在（2）的条件下，设数列{}n b 的前n 项和为n T .是否存在正整数n ，使得1113n n T T +=？若存在，试求所有满足条件的正整数n 的值；若不存在，请说明理由.23. （本大题满分20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题最高分10分）设点F 是抛物线L ：22y px =(0)p >的焦点，123n P P P P 、、、、是抛物线L 上的n 个不同的点（3,n ≥*N n ∈）.（1）当2p =时，试写出抛物线L 上的三个定点1P 、2P 、3P 的坐标，从而使得123||||||6FP FP FP ++=；（2）当3n >时，若1230n FP FP FP FP ++++=，求证：123||||||||n FP FP FP FP np ++++=；（3）当3n >时，某同学对（2）的逆命题，即： “若123||||||||n FP FP FP FP np ++++=，则1230n FP FP FP FP ++++=.”开展了研究并发现其为假命题.请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究：① 试构造一个说明该逆命题确实是假命题的反例（本研究方向最高得4分）； ② 对任意给定的大于3的正整数n ，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由（本研究方向最高得8分）；③ 如果补充一个条件后能使该逆命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由（本研究方向最高得10分）. 【评分说明】本小题若选择不止一个研究方向，则以实得分最高的一个研究方向的得分作为本小题的最终得分.2011学年度第一学期普陀区高三质量调研数学试卷参考答案一、填空题（每小题4分，满分56分）：1. π2；2. 20-；3. （文） )1(∞+，；（理）(0,1)(12)，； 4. 8-；5. 2232+； 6. )2,5(； 7. 3； 8. 1922=-y x ； 9. 196； 10. 等腰或直角三角形； 11. （文）6；（理）7； 12. （文）π34；（理） 29π； 13. （文）108；（理）181； 14. 1*341,N n n -⋅+∈.二、选择题（每题5分，满分20分）：三、解答题（满分74分）： 19.（本题满分12分）解：由题意知：)0,2(k A -、)2,0(B ，则)2,2()2,2(==kAB 可解得：1=k ，即2)(+=x x f因为)()(x g x f >，即622-->+x x x ，解不等式得到()4,2-∈x2()15()2g x x x y f x x +--==+ 2(2)5(2)112522x x x x x +-++==++-++因为()4,2-∈x ，则()6,0)2(∈+x 所以35212)(1)(-≥-+++=+x x x f x g ，当且仅当212+=+x x ，即12=+x ，1-=x 时，等号成立. 所以，当1-=x 时，)(1)(x f x g +的最小值为3-.xCBA20.（本题满分12分）解：（1）由题意，15OA SB ππ⋅⋅=得5BS =，故4SO ==从而体积2211341233V OA SO πππ=⋅⋅=⨯⨯=. （2）如图2，取OB 中点H ，联结PH AH 、.由P 是SB 的中点知PH SO ∥，则APH ∠(或其补角)就是异面直线SO 与PA 所成角.由SO ⊥平面OAB ⇒PH ⊥平面OAB ⇒PH AH ⊥.在OAH ∆中，由OA OB ⊥得AH ==；在Rt APH ∆中，90AHP O∠=，122PH SB ==，2AH =，则tan 4AH APH PH ∠==，所以异面直线SO 与PA所成角的大小.21. （本题满分14分，其中第1小题7分，第2小题7分）解：（1）如图，在ABC ∆中，由23ABC π∠=，x BAC =∠，可得x ACB -=∠3π，又 1AC =，故由正弦定理得2sin sin()sin 33ABBC AC x x ππ===-⇒sin()3AB x π=-、BC x =.则函数()f x AB BC =⋅2||||cossin sin()333AB BC x x ==-ππ21sin (cos sin )322x x x =-212sin 63x x =-112cos 2)66x x =+-11sin(2)366x π=+-，其中定义域为0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π. 说明：亦可用积化和差方法化简：2111()sin sin()[cos cos(2)]cos(2)33333336f x x x x x ==-=---=--ππππ.（2）()6()12sin(2)16g x mf x m x m =+=+-+π由0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π可得 52(,)666x πππ+∈⇒)62sin(π+x ]1,21(∈. 显然，0m ≠，则1O当0>m 时，()(1,1]g x m ∈+，则)(x g 的值域为]23,1(⇔231=+m ⇔21=m ； 2O当0m <时，()[1,1)g x m ∈+，不满足)(x g 的值域为]23,1(；因而存在实数21=m ，使函数)(x g 的值域为31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.22. （本大题满分16分，第1小题满分5分，第二小题满分5分，第3小题满分6分）（1）解：由n n n pa a a 2,211+==+得222+=p a ，42223++=p p a ，又因为存在常数p ，使得数列{}n a 为等比数列，则3122a a a =即)422(2)22(22++=+p p p ，所以1=p .故数列{}n a 为首项是2，公比为2的等比数列，即n n a 2=.此时11222++=+=n n n n a 也满足，则所求常数p 的值为1且*2(N )n n a n =∈.（2）解：由等比数列的性质得：（i ）当*2(N )n k k =∈时，k k n a b 332==；（ii ）当*21(N )n k k =-∈时，13132--==k k n a b ，所以312*322,21,(N )2,2,n n nn k b k n k +⎧=-⎪=∈⎨⎪=⎩.（3）（文科）解：注意到21{}n b -是首项14b =、公比8q =的等比数列，2{}n b 是首项28b =、公比8q =的等比数列，则（i ）当2n k =*(N )k ∈时，21321242()()n k k k T T b b b b b b -==+++++++4(81)8(81)8181kk--=+--2128121281277n k⋅-⋅-==；（ii ）当21n k =-*(N )k ∈时，12212212812581258128777n k kk n k k k T T T b +-⋅-⋅-⋅-==-=-==. 即12*25812,217(N )12812,27n n nn k T k n k+⎧⋅-⎪=-⎪=∈⎨⎪⋅-⎪=⎩. （3）（理科）解：（续文科解答过程）假设存在正整数n 满足条件，则1111118133n n n n n n n n n T T b b b T T T T +++++==+=⇔=，则（i ）当*2,(N )n k k =∈时，3212122288888128121281237k k k n k k kn kb b T T +++⋅====⇒=⋅-⋅-1k ⇒=，即当2n =时满足条件；（ii ）当*21,(N )n k k =-∈时，128788968581258123197k k kn k k k n n b b T T +⋅====⇒=⋅-⋅-. 因为*N k ∈，所以此时无满足条件的正整数n . 综上可得，当且仅当2n =时，1113n n T T +=. 23. （理）解：（1）抛物线L 的焦点为(,0)2pF ，设111222333(,)(,)(,)P x y P x y P x y 、、，分别过123P P P 、、作抛物线L 的准线l 的垂线，垂足分别为123Q Q Q 、、. 由抛物线定义得123112233123||||||||||||()()()222p p p FP FP FP PQ P Q PQ x x x ++=++=+++++623321=+++=px x x 因为2p =，所以3321=++x x x ，故可取，，)2,1()2,21(21P P 3P )6,23(满足条件. （2）设111222333(,)(,)(,)(,)n n n P x y P x y P x y P x y 、、、、，分别过123n P P P P 、、、、作抛物线L 的准线l 垂线，垂足分别为123n Q Q Q Q 、、、、. 由抛物线定义得123112233||||||||||||||||n n n FP FP FP FP PQ PQ PQ PQ ++++=++++123()()()()2222n p p p px x x x =++++++++123()2n npx x x x =+++++又因为1230n FP FP FP FP ++++=⇒123()()()()02222n p p ppx x x x -+-+-++-=⇒221np x x x n =+++ ；所以123||||||||n FP FP FP FP ++++123()2n npx x x x =+++++np =. （3） ①取4=n 时，抛物线L 的焦点为(,0)2pF ，设111222333(,)(,)(,)P x y P x y P x y 、、，),(444y x P 分别过123P P P 、、4P 、作抛物线L 的准线l 垂线，垂足分别为123Q Q Q 、、4Q 、.由抛物线定义得=++44332211Q P Q P Q P Q P +++=244321px x x x ++++p 4=，则p x x x x 24321=+++，不妨取22,411py px ==；,22p x =p y =2；,23p x =p y -=3；443,4p x y == 则=+++4321FP FP FP FP (p x x x x 24321-+++，)4321y y y y +++⎛= ⎝⎭0≠.故1,42p P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,2p P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,2p P p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，43,42p P ⎛⎫ ⎪⎝⎭是一个当4n =时，该逆命题的一个反例.(反例不唯一)② 设111222333(,)(,)(,)(,)n n n P x y P x y P x y P x y 、、、、，分别过123n P P P P 、、、、作抛物线L 的准线l 的垂线，垂足分别为123n Q Q Q Q 、、、、，由123||||||||n FP FP FP FP np ++++=及抛物线的定义得np np x x x n =++++221 ，即221np x x x n =+++ . 因为上述表达式与点111222333(,)(,)(,)(,)n n n P x y P x y P x y P x y 、、、、的纵坐标无关，所以只要将这n 点都取在x 轴的上方，则它们的纵坐标都大于零，则=+++n FP FP 21(,221np x x x n -+++ )21n y y y +++ (=,0)21n y y y +++ ，而021>+++n y y y ，所以21≠+++n FP FP .（说明：本质上只需构造满足条件且120n y y y +++≠的一组n 个不同的点，均为反例.） ③ 补充条件1：“点i P 的纵坐标i y （1,2,,i n =）满足 1230n y y y y ++++=”，即： “当3n >时，若123||||||||n FP FP FP FP np ++++=，且点i P 的纵坐标i y （1,2,,i n =）满足1230n y y y y ++++=，则1230n FP FP FP FP ++++=”.此命题为真.事实上，设111222333(,)(,)(,)(,)n n n P x y P x y P x y P x y 、、、、，分别过123n P P P P 、、、、作抛物线L 准线l 的垂线，垂足分别为123n Q Q Q Q 、、、、，由12||||||n FP FP FP np +++=，及抛物线的定义得np np x x x n =++++221 ，即221np x x x n =+++ ，则=+++n FP FP FP 21(,221np x x x n -+++ )21n y y y +++ (=,0)21n y y y +++ ，又由1230n y y y y ++++=，所以1230n FP FP FP FP ++++=，故命题为真.补充条件2：“点k P 与点1n k P -+(n 为偶数，*N )k ∈关于x 轴对称”，即： “当3n >时，若123||||||||n FP FP FP FP np ++++=，且点k P与点1n k P -+(n 为偶数，*N )k ∈关于x 轴对称，则1230n FP FP FP FP ++++=”.此命题为真.（证略）23.（文）（1）解：抛物线L 焦点(1,0)F ，准线l 方程为：1-=x .由抛物线定义得11||1FP x =+，22||1FP x =+，33||1FP x =+，∴ 73||||||321321=+++=++x x x FP FP .（2）证明：由)0,1(F ，),1(111y x FP -=，),1(222y x FP -=，…，),1(n n n y x FP -= ， 1230n FP FP FP FP ++++=⇒0)1()1()1(21=-++-+-n x x x ，即n x x x n =+++)(21 .则12||||||n FP FP FP +++)1()1()1(21++++++=n x x xn x x x n ++++=)(21 n 2=.（3）经推广的命题：“当3n >时，若21=+++n FP FP ，则np FP FP n =+++||||||21 .” 其逆命题为：“当3n >时，若np FP FP n =+++||||||21 ，则021=+++n FP FP ”. 该逆命题为假命题.不妨构造特殊化的一个反例：设2p =，4n =，抛物线x y 42=，焦点)0,1(F .由题意知：1234||||||||8FP FP FP FP +++=；根据抛物线的定义得：8)1()1()1()1(4321=+++++++x x x x ⇒44321=+++x x x x ；不妨取四点坐标分别为)0,0(1P 、)2,1(2P 、)2,1(3-P 、)22,2(4P ，但)22,0()22,1()2,0()2,0()0,1(4321≠=+-++-=+++FP FP FP ，所以逆命题是假命题.。

2012年上海市普陀区初三数学二模试题答案

普陀区2011学年度第二学期九年级数学期终考试试卷参考答案及评分说明一、单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．(C)； 2．(C)； 3．(C)； 4．(A)； 5．(D)； 6．(B).二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.－4； 8. 5x =±； 9.123y y-= ； 10. 2； 11．1k <； 12. 2(1)a x -； 13．6； 14．9； 15．1:16； 16．π3； 17．5； 18．6．三、解答题（本大题共7题，其中第19---22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分） 19．解：原式=)1()111(+⋅++-a aa a ………………………………………………………（3分）=aa a 11++- ……………………………………………………………………（2分）=aa 12+ ……………………………………………………………………………（2分）当2=a 时，原式=21)2(2+223=……………………………………………………（3分）20．解法1：由①得：(2)(3)0x y x y ++=∴20x y +=或30x y += ………………………………………………（4分）原方程组可化为 20,2;x y x y +=⎧⎨+=⎩30,2.x y x y +=⎧⎨+=⎩……………………………………（2分）分别解这两个方程组，得原方程组的解为114,2;x y =⎧⎨=-⎩223,1.x y =⎧⎨=-⎩ …………（4分）解法2：由②得2y x =- ③ ………………………………………………………（1分）把③代入①得225(2)6(2)0x x x x +-+-=整理得27120x x -+=……………………………………………………………（3分）解得124,3x x ==…………………………………………………………………（2分）分别代入③得112,1y y =-=-……………………………………………………（2分） ∴原方程组的解为114,2;x y =⎧⎨=-⎩223,1.x y =⎧⎨=-⎩ ………………………………………（2分）21．解： ∵CD ⊥AB ，∴∠CDA =90°…………………………………………………………………（1分）∵ sin A =54=AC CD ，CD =12， ∴ AC =15…………………………………………………………………………（3分） ∴AD =9. …………………………………………………………………………（2分） ∴BD =4. …………………………………………………………………………（2分） ∴tan B =3=BDCD………………………………………………………………（2分）22、解：（1）2.68……………………………………………………………………………………（3分）（2）6…………………………………………………………………………………………（2分）（3）设12月份全市共成交商品房x 套，600002400200x= 5000=x …………………………………………………………………………（3分）()50006%17%1150⨯+=（套）……………………………………………………（2分） ∴估计12月份在全市所有的60000套可售商品房中已成交的并且每平方米价格低于2万21F DECAB元的商品房的成交套数为1150套．23．（1）证明：∵CE BE DE ⋅=2，∴DEBECE DE =． ……………………………………………………………（2分）∵E E ∠=∠， ……………………………………………………………（1分）∴DBE∆∽CDE ∆．……………………………………………………………（1分）∴CDE DBE ∠=∠． ……………………………………………………………（1分）(2)∵CDE DBE ∠=∠，又∵AFD DBE ∠=∠，∴=∠CDE AFD ∠．……………………………………………………………（1分）∴DC AB //． ……………………………………………………………（1分）又∵BC AD //，∴四边形ABCD 是平行四边形 …………………………………………………（1分）∵BC AD //，∴1∠=∠ADB ． …………………………………………………………（1分）∵DB 平分ABC ∠，∴21∠=∠． ………………………………………………………（1分）∴2∠=∠ADB ．∴AD AB =． …………………………………………………………（1分）∴四边形ABCD 是菱形． ……………………………………………………（1分）24．解：（1）二次函数()21236y x =+的图像的顶点A ()23,0-，与y 轴的交点B ()0,2，……（2分）设直线AB 的表达式为(0)y kx b k =+≠，可求得 33k =，2b =．所以直线AB 的表达式为323y x =+．…………………（1分）可得30BAO ∠=,∵60BAC ∠=,∴90CAO ∠=．………………………………………………………………………（1分）在Rt △BAO 中，由勾股定理得：AB =4．∴AC =4．点()23,4C -．………………………………………………………………（1分）（2）∵点C 、M 都在第二象限，且△ABM 的面积等于△ABC 的面积，∴CM ∥AB ．…………………………………………………………………………………（1分）设直线CM 的表达式为33y x m =+，点()23,4C -在直线CM 上，可得 6m =．∴直线CM 的表达式为363y x =+．……………………………………………………（1分）可得点M 的坐标：()53,1-．……………………………………………………………（1分）（3）点N 的坐标()323,0--，()323,0-，()3323,0--，()3323,0-．…………………………………………………………………………………………（4分）25．（1）①证明：过点P 作PM ⊥AC ，PN ⊥BC ，垂足分别为M 、N ．…………………（1分）∵CD 是ACB ∠的平分线， ∴PM ＝PN ．由90PMC MCN CNP ∠=∠=∠=，得90MPN ∠=． ∴190FPN ∠+∠=． ∵290FPN ∠+∠=，∴12∠=∠．∴△PMF ≌△PNE ．……………………………（3分） ∴PF = PE ． ②解：∵2CP =，∴1CN CM ==．∵△PMF ≌△PNE ， ∴1NE MF x ==-．∴2CE x =-．……………………………………………………………………（2分） ∵CF ∥PN ，∴CF CGPN GN=． ∴1xCG x=-．……………………………………………………………………（2分） ∴21xy x x=+--（0≤x ＜1）．………………………………………………（2分）（2）当△CEF 与△EGP 相似时，点F 的位置有两种情况： ①当点F 在射线CA 上时，∵90GPE FCE ∠=∠=，1PEG ∠≠∠， ∴1G ∠=∠． ∴FG FE =． ∴CG CE =．在Rt △EGP 中，222EG CP ==2分）②当点F 在AC 延长线上时，∵90GPE FCE ∠=∠=，12∠≠∠， ∴32∠=∠．21NM AB CEDPFFDPGE C BA1GFM NABCEPD∵1455∠=+∠，1452∠=+∠， ∴52∠=∠．易证34∠=∠，可得54∠=∠．∴FC CP ==∴1FM =+．易证△PMF ≌△PNE ，可得1EN =+．∵CF ∥PN ，∴CF CGPN GN=．∴1GN =．∴EG =2分）。

2012年上海普陀区高三数学二模试卷

2012学年度第二学期普陀区高三年级质量调研数学试卷一、填空题（本大题满分56分）1. 双曲线2212x y -=的实轴长为 . 2. （理）极坐标平面内一点A 的极坐标为(3,4)-，则点A 到极点O 的距离OA = . 3. 二项式9(21)x -的展开式中的第八项为 .4. 已知点()2,3在函数2()f x x a =-，()1,x ∈+∞的图像上，则()f x 的反函数1()f x -= .5. 若行列式122112xD x x =的第三行、第三列元素的代数余子式等于3-，则行列式D 的值为 . 6. 在球心为O，体积为的球体表面上两点A 、B之间的球面距离为，则AOB ∠的大小为 .7. 已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和n S 的极限存在，且3=4a ，527S S -=，则数列{}n a 各项的和为 .8. （理）若直线⎩⎨⎧+=-=,32,21t y t x （t 为参数）的方向向量与直线14=+ky x 的法向量平行，则常数k = .9.已知一个圆柱的侧面展开图是一个长和宽分别为π3和π的矩形，则该圆柱的体积是 . 10.已知数列{}n a 是等差数列，415a =，555S =，则过点()20104,P a 和点()20113,Q a 的直线的倾斜角是 .（用反三角函数表示结果）11.设抛物线24y x =上一点P 到该抛物线准线与直线l ：4360x y -+=的距离之和为d ，若d 取到最小值，则点P 的坐标为 .12. （理）设整数m 是从不等式0822≤--x x 的整数解的集合S 中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ2m =，则ξ的数学期望E ξ= .13. （理）已知函数[]()2011sin ,0,1,()log ,1,,x x f x x x π∈⎧=⎨∈+∞⎩若满足()()()f a f b f c ==，（a 、b 、c 互不相等），则a b c ++的取值范围是 .14. 把正整数排列成如图1三角形数阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数和第奇数行中的所有偶数，可得到如图2的三角形数阵. 现将图2中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列{}n a ，若2011k a =，则k = ．第14题图-1第14题图-2二、选择题（本大题满分20分）15. 设实数a 、b 、c 满足c b a <<,且0ac <,那么下列不等式中不一定成立．．．．．的是（） A. ab ac >； B. ()0c b a ->； C.cb ab <； D. ()0ac a c -<.16. 已知方程220x x a +-=，其中0a <，则在复数范围内关于该方程的根的结论正确的是( ）A. 该方程一定有一对共轭虚根；B. 该方程可能有两个正实根；C. 该方程两根的实部之和等于-2；D. 若该方程有虚根，则其虚根的模一定小于1. 17. （理）已知向量()2cos ,2sin a ϕϕ=，,2πϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，向量()0,1b =-，则向量a 与b 的夹角为 ( ）A. ϕ；B.2πϕ+； C. 2πϕ-； D.32πϕ-. 18. 已知函数b x a x f x -+=)(的零点)1,(0+∈k k x )(Z k ∈，且常数b a ,分别满足23a=，32b=，则=k （）A. 1-;B. 0;C. 1;D. 2.三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）已知复数w 满足4(32)w w i -=-（i 为虚数单位），复数5|2|z w w=+-，试确定一个以z 为根的实系数一元二次方程.20. （本题满分14分）124579101214161719212325262830323436123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536为了缓解城市道路拥堵的局面，某市拟提高中心城区内占道停车场的收费标准，并实行累进加价收费。

【恒心】【好卷速递】上海市普陀区2012届高三4月质量调研(二模)试题(数学理)

上海市普陀区2012年高三年级第二次质量调研数学试卷（理科） 2012.04说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。

本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须．．写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分. 1. 函数22()sin cos22x x f x =-的最小正周期是 .2. 二项式6)1(xx -的展开式中的常数项是．（请用数值作答）3. 函数1log121-=x y 的定义域是 . 4. 设1e 与2e 是两个不共线的向量，已知122AB e k e =+ ，123CB e e =+ ，122CD e e =-，则当A B D 、、三点共线时，k = .5. 已知各项均为正数的无穷等比数列{}n a中，11a =，31a =-，则此数列的各项和S = .6. 已知直线l 的方程为230x y --=，点(1,4)A 与点B 关于直线l 对称，则点B 的坐标为 .7. 如图，该框图所对应的程序运行后输出的结果S 的值为 .8. 若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点的坐标为0)，则该双曲线的标准方程为 .9. 如图，需在一张纸上印上两幅大小完全相同，面积都是32cm 2的照片. 排版设计为纸上左右留空各3cm ，上下留空各2.5cm ，图间留空为1cm .照此设计，则这张纸的最小面积是 cm 2.10. 给出问题：已知A B C △满足cos cos a A b B ⋅=⋅，试判定A B C △的形状.某学生的解答如下：解：（i ）由余弦定理可得，第7题图第9题图22222222b c aa c ba b bcac+-+-⋅=⋅，⇔()()()2222222abc a b ab-=-+，⇔222c a b =+,故A B C △是直角三角形.（ii ）设A B C △外接圆半径为R .由正弦定理可得，原式等价于2sin cos 2sin cos R A A R B B =sin 2sin 2A B ⇔=A B ⇔=，故A B C △是等腰三角形.综上可知，A B C △是等腰直角三角形.请问：该学生的解答是否正确？若正确，请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法；若不正确，请在下面横线中写出你认为本题正确的结果. .11. 已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S .若1020S =，2060S =，则3010S S = .12.2，的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为 .13. 用红、黄、蓝三种颜色分别去涂图中标号为1,2,3,,9 的9个小正方形（如右图），需满足任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色. 则符合条件的所有涂法中，恰好满足“1、3、5、7、9”为同一颜色，“2、4、6、8”为同一颜色的概率为 .14. 设*N n ∈，n a 表示关于x 的不等式144log log (54)21n x x n -+⨯-≥-的正整数解的个数，则数列{}n a 的通项公式n a = .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分. 15. “lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的（）A ．充分非必要条件；B ．必要非充分条件；C ．充要条件；D ．既非充分也非必要条件.第13题图16. 设θ是直线l 的倾斜角，且cos 0a θ=<，则θ的值为（）A. arccos a π-；B. arccos a ；C. arccos a -；D. arccos a π+.17. 设全集为R ，集合22|14x M x y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，3|01x N x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，则集合2231|24x x y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫++=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭可表示为（）A. M N ；B. M N ；C. R C M N ⋂；D. R M C N ⋂18. 对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是（）A ．若,,a m a n ⊥⊥,m n αα≠≠⊂⊂，则a α⊥； B. 若//,,a b b α≠⊂则//a α； C. 若,,//,//a b a b ββαα≠≠⊂⊂，则//a β； D. 若//,,,a a b βαγβγ⋂=⋂=则//a b ．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤. 19. （本题满分12分）已知函数()2f x kx =+，0k ≠的图像分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，且22A B i j =+，函数6)(2--=x x x g . 当x 满足不等式()()f xg x >时，求函数()1()g x y f x +=的最小值.20. （本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）如图,已知圆锥体S O 的侧面积为15π，底面半径O A 和O B 互相垂直，且3O A =，P 是母线B S 的中点. （1）求圆锥体的体积；（2）异面直线S O 与PA 所成角的大小（结果用反三角函数表示）．21. （本大题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）已知A B C △中，1A C =，23A B C π∠=.设B A C x ∠=，记()f x AB BC =⋅ .AB第20题图（1）求()f x 的解析式及定义域；（2）设()6()1g x m f x =⋅+，是否存在实数m ，使函数)(x g 的值域为31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.22. （本大题满分16分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分）已知数列{}n a 是首项为2的等比数列，且满足n n n pa a 21+=+*(N )n ∈. （1）求常数p 的值和数列{}n a 的通项公式；（2）若抽去数列{}n a 中的第一项、第四项、第七项、……、第23-n 项、……，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列{}n b ，试写出数列{}n b 的通项公式；（3）在（2）的条件下，设数列{}n b 的前n 项和为n T .是否存在正整数n ，使得1113n nT T +=？若存在，试求所有满足条件的正整数n 的值；若不存在，请说明理由.23. （本大题满分20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题最高分10分）设点F 是抛物线L ：22y px =(0)p >的焦点，123n P P P P 、、、、是抛物线L 上的n个不同的点（3,n ≥*N n ∈）.（1）当2p =时，试写出抛物线L 上的三个定点1P 、2P 、3P 的坐标，从而使得 123||||||6FP FP FP ++=；（2）当3n >时，若1230n FP FP FP FP ++++=，求证：123||||||||n FP FP FP FP np ++++=；（3）当3n >时，某同学对（2）的逆命题，即：“若123||||||||n FP FP FP FP np ++++= ，则1230n FP FP FP FP ++++=.” 开展了研究并发现其为假命题.请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究：① 试构造一个说明该逆命题确实是假命题的反例（本研究方向最高得4分）； ② 对任意给定的大于3的正整数n ，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由（本研究方向最高得8分）；③ 如果补充一个条件后能使该逆命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由（本研究方向最高得10分）.【评分说明】本小题若选择不止一个研究方向，则以实得分最高的一个研究方向的得分作为本小题的最终得分.2012年普陀区高三第二次质量调研数学试卷参考答案一、填空题（每小题4分，满分56分）：1. π2；2. 20-；3. （文） )1(∞+，；（理）(0,1)(12) ，； 4. 8-； 5. 2232+； 6. )2,5(； 7. 3； 8. 1922=-yx ； 9. 196；10. 等腰或直角三角形； 11. （文）6；（理）7； 12. （文）π34；（理） 29π；13. （文）108；（理）181； 14. 1*341,N n n -⋅+∈.二、选择题（每题5分，满分20分）：三、解答题（满分74分）： 19.（本题满分12分）解：由题意知：)0,2(kA -、)2,0(B ，则)2,2()2,2(==kAB可解得：1=k ，即2)(+=x x f因为)()(x g x f >，即622-->+x x x ，解不等式得到()4,2-∈x2()15()2g x x x y f x x +--==+2(2)5(2)112522x x x x x +-++==++-++因为()4,2-∈x ，则()6,0)2(∈+x 所以35212)(1)(-≥-+++=+x x x f x g ，当且仅当212+=+x x ，即12=+x ，1-=x 时，等号成立.所以，当1-=x 时，)(1)(x f x g +的最小值为3-.xCBA20.（本题满分12分）解：（1）由题意，15O A SB ππ⋅⋅=得5B S =，故4SO ===从而体积2211341233V O A SO πππ=⋅⋅=⨯⨯=.（2）如图2，取O B 中点H ，联结PH AH 、.由P 是SB 的中点知P H SO ∥，则A P H ∠(或其补角)就是异面直线S O 与P A 所成角.由SO ⊥平面O A B ⇒PH ⊥平面O A B ⇒PH AH ⊥. 在O A H ∆中，由O A O B ⊥得2AH ==；在R t A P H ∆中，90AHP O ∠=，122P H SB ==，2AH =，则tan 4AH APH PH∠==，所以异面直线S O 与P A所成角的大小arctan4.21. （本题满分14分，其中第1小题7分，第2小题7分）解：（1）如图，在ABC ∆中，由23A B C π∠=，x BAC =∠，可得x ACB -=∠3π，又 1A C =，故由正弦定理得2sin sin()sin33ABBC AC xx ππ===-⇒)3AB x π=-、BC x =.则函数()f x AB BC =⋅ 2||||cos sin sin()333A B B C x x ==- ππ21sin sin )322x x x =-212sin 63x x =-112cos 2)66x x =+-11sin(2)366x π=+-，其中定义域为0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π.说明：亦可用积化和差方法化简：2111()sin sin()[coscos(2)]cos(2)33333336f x x x x x ==-=---=--ππππ.（2）()6()12sin(2)16g x m f x m x m =+=+-+π由0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π可得52(,)666x πππ+∈⇒)62sin(π+x ]1,21(∈.显然，0m ≠，则1O 当0>m 时，()(1,1]g x m ∈+，则)(x g 的值域为]23,1(⇔231=+m ⇔21=m ；2O 当0m <时，()[1,1)g x m ∈+，不满足)(x g 的值域为]23,1(；因而存在实数21=m ，使函数)(x g 的值域为31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.22. （本大题满分16分，第1小题满分5分，第二小题满分5分，第3小题满分6分）（1）解：由n n n pa a a 2,211+==+得222+=p a ，42223++=p p a ，又因为存在常数p ，使得数列{}n a 为等比数列，则3122a a a =即)422(2)22(22++=+p p p ，所以1=p .故数列{}n a 为首项是2，公比为2的等比数列，即nn a 2=.此时11222++=+=n n n n a 也满足，则所求常数p 的值为1且*2(N )n n a n =∈.（2）解：由等比数列的性质得：（i ）当*2(N )n k k =∈时，kk n a b 332==；（ii ）当*21(N )n k k =-∈时，13132--==k k n a b ，所以312*322,21,(N )2,2,n n nn k b k n k +⎧=-⎪=∈⎨⎪=⎩. （3）（文科）解：注意到21{}n b -是首项14b =、公比8q =的等比数列，2{}n b 是首项28b =、公比8q =的等比数列，则（i ）当2n k =*(N )k ∈时，21321242()()n k k k T T b b b b b b -==+++++++4(81)8(81)8181kk--=+--2128121281277nk⋅-⋅-==；（ii ）当21n k =-*(N )k ∈时，12212212812581258128777n kkkn k k k T T T b +-⋅-⋅-⋅-==-=-==.即12*25812,217(N )12812,27n n nn k T k n k+⎧⋅-⎪=-⎪=∈⎨⎪⋅-⎪=⎩.（3）（理科）解：（续文科解答过程）假设存在正整数n 满足条件，则1111118133n n n n n nnnnT T b b b T T T T +++++==+=⇔=，则（i ）当*2,(N )n k k =∈时， 3212122288888128121281237k kkn k kknkb b T T +++⋅====⇒=⋅-⋅-1k ⇒=，即当2n =时满足条件；（ii ）当*21,(N )n k k =-∈时， 128788968581258123197kkkn k k knnb b T T +⋅====⇒=⋅-⋅-.因为*N k ∈，所以此时无满足条件的正整数n . 综上可得，当且仅当2n =时，1113n nT T +=.23. （本大题满分20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题最高分10分）（理）解：（1）抛物线L 的焦点为(,0)2p F ，设111222333(,)(,)(,)P x y P x y P x y 、、，分别过123P P P 、、作抛物线L 的准线l 的垂线，垂足分别为123Q Q Q 、、.由抛物线定义得123112233123||||||||||||()()()222p p pFP FP FP P Q P Q P Q x x x ++=++=+++++623321=+++=px x x因为2p =，所以3321=++x x x ，故可取，，)2,1()2,21(21P P 3P )6,23(满足条件.（2）设111222333(,)(,)(,)(,)n n n P x y P x y P x y P x y 、、、、，分别过123n P P P P 、、、、作抛物线L 的准线l 垂线，垂足分别为123n Q Q Q Q 、、、、.由抛物线定义得 123112233||||||||||||||||n n n FP FP FP FP P Q P Q P Q P Q ++++=++++123()()()()2222n p p pp x x x x =++++++++123()2n np x x x x =+++++又因为1230n FP FP FP FP ++++=⇒123()()()()02222n p p p p x x x x -+-+-++-=⇒221np x x x n =+++ ；所以123||||||||n FP FP FP FP ++++ 123()2n np x x x x =+++++ np =.（3） ①取4=n 时，抛物线L 的焦点为(,0)2p F ，设111222333(,)(,)(,)P x y P x y P x y 、、，),(444y x P 分别过123P P P 、、4P 、作抛物线L 的准线l 垂线，垂足分别为123Q Q Q 、、4Q 、.由抛物线定义得=+++44332211Q P Q P Q P Q P +++=244321p x x x x ++++p 4=，则p x x x x 24321=+++，不妨取22,411p y p x ==；,22p x =p y =2；,23p x =p y -=3；443,42p x y ==，则=+++4321FP FP FP FP (p x x x x 24321-+++，)4321y y y y +++2⎛= ⎝⎭0≠.故1,42p P ⎛⎫⎪⎝⎭，2,2p P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,2p P p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，4342p P ⎛ ⎝⎭是一个当4n =时，该逆命题的一个反例.(反例不唯一)② 设111222333(,)(,)(,)(,)n n n P x y P x y P x y P x y 、、、、，分别过123n P P P P 、、、、作抛物线L 的准线l 的垂线，垂足分别为123n Q Q Q Q 、、、、，由123||||||||n FP FP FP FP np ++++=及抛物线的定义得np np x x x n =++++221 ，即221np x x x n =+++ .因为上述表达式与点111222333(,)(,)(,)(,)n n n P x y P x y P x y P x y 、、、、的纵坐标无关，所以只要将这n 点都取在x 轴的上方，则它们的纵坐标都大于零，则 =+++n FP FP FP 21(,221np x x x n -+++ )21n y y y +++(=,0)21n y y y +++ ，而021>+++n y y y ，所以021≠+++n FP FP FP .（说明：本质上只需构造满足条件且120n y y y +++≠ 的一组n 个不同的点，均为反例.） ③ 补充条件1：“点i P 的纵坐标i y （1,2,,i n = ）满足 1230n y y y y ++++= ”，即： “当3n >时，若123||||||||n FP FP FP FP np ++++=，且点i P 的纵坐标i y （1,2,,i n = ）满足1230n y y y y ++++= ，则1230n FP FP FP FP ++++=”.此命题为真.事实上，设111222333(,)(,)(,)(,)n n n P x y P x y P x y P x y 、、、、，分别过123n P P P P 、、、、作抛物线L 准线l 的垂线，垂足分别为123n Q Q Q Q 、、、、，由12||||||n FP FP FP np +++=，及抛物线的定义得np np x x x n =++++221 ，即221np x x x n =+++ ，则=+++n FP FP FP 21(,221np x x x n -+++ )21n y y y +++(=,0)21n y y y +++ ，又由1230n y y y y ++++= ，所以1230n FP FP FP FP ++++=，故命题为真.补充条件2：“点k P 与点1n k P -+(n 为偶数，*N )k ∈关于x 轴对称”，即：“当3n >时，若123||||||||n FP FP FP FP np ++++=，且点k P 与点1n k P -+(n 为偶数，*N )k ∈关于x 轴对称，则1230n FP FP FP FP ++++=”.此命题为真.（证略）23.（文）（1）解：抛物线L 焦点(1,0)F ，准线l 方程为：1-=x .由抛物线定义得11||1FP x =+ ，22||1FP x =+ ，33||1FP x =+，∴ 73||||||321321=+++=++x x x FP FP FP .（2）证明：由)0,1(F ，),1(111y x FP -=，),1(222y x FP -=，…，),1(n n n y x FP -= ， 1230n FP FP FP FP ++++=⇒0)1()1()1(21=-++-+-n x x x ，即n x x x n =+++)(21 .则12||||||n FP FP FP +++)1()1()1(21++++++=n x x xn x x x n ++++=)(21 n 2=.（3）经推广的命题：“当3n >时，若021=+++n FP FP FP ，则np FP FP FP n =+++||||||21 .” 其逆命题为：“当3n >时，若np FP FP FP n =+++||||||21 ，则021=+++n FP FP FP ”. 该逆命题为假命题.不妨构造特殊化的一个反例：设2p =，4n =，抛物线x y 42=，焦点)0,1(F .由题意知：1234||||||||8FP FP FP FP +++=；根据抛物线的定义得：8)1()1()1()1(4321=+++++++x x x x ⇒44321=+++x x x x ；不妨取四点坐标分别为)0,0(1P 、)2,1(2P 、)2,1(3-P 、)22,2(4P ，但0)22,0()22,1()2,0()2,0()0,1(4321≠=+-++-=+++FP FP FP FP ，所以逆命题是假命题.。