一元二次方程与求代数式的值
中考数学复习《一元二次方程根的判别式、根与系数的关系》
专题 1.3 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系（3个考点八大题型）【题型1 由根的判别式判断方程根的情况】【题型2 由方程方程根的情况求字母的取值范围】【题型3 由根的判别式证明方程求根的必然情况】【题型4 由根与系数的关系求代数式（直接）】【题型5 由根与系数的关系求代数式（代换）】【题型6 由根与系数的关系求代数式（降次）】【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】【题型8 已知方程根的情况判断另一个根】【题型1 由根的判别式判断方程根的情况】1．（2023春•南岗区校级期中）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．无实数根C．有一个实数根D．有两个不等的实数根2．（2023•平顶山二模）定义运算：a※b＝a2b+ab﹣1，例如：2※3＝22×3+2×3﹣1＝17，则方程x※1＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根3．（2023•柘城县二模）一元二次方程x2+2x﹣5＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．只有一个实数根4．（2023•桂林二模）一元二次方程2x2﹣5x+6＝0的根的情况为（）A．无实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不等的实数根5．（2023•东城区一模）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+1＝0根的情况是（）A．无实根B．有实根C．有两个不相等实根D．有两个相等实根6．（2023•新郑市模拟）一元二次方程2x2﹣mx﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．无法确定7．（2023•三门峡一模）一元二次方程（x﹣1）2＝x+3的根的情况（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．只有一个实数根8．（2023春•瑞安市期中）关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣1＝0的根的情况，下列说法中正确的是（）A．有两个实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．无实数根【题型2 由方程方程根的情况求字母的取值范围】9．（2023•洛阳二模）已知关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个实数根，则k的值为（）A．k＝4B．k＝﹣4C．k≤4D．k＜4 10．（2023•济源一模）若关于x的一元二次方程x2+4x+m+5＝0有实数根，则m 的取值范围是（）A．m≤1 B．m≤﹣1 C．m＜﹣1D．m≥﹣1且m≠0 11．（2023•东莞市校级一模）已知方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值（）A．k＞﹣1B．k＞1C．k＞1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0 12．（2023春•洞头区期中）关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（）A．﹣36B．﹣9C．9D．36 13．（2023•阿克苏市一模）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围（）A．B．C．k＜且k≠2D．且k≠2 14．（2023•贵阳模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以是（）A．﹣5B．﹣4C．﹣3D．2【题型3 由根的判别式证明方程求根的必然情况】15．（2023春•蜀山区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k ﹣1＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1、x2，且x1+x2﹣4x1x2＝2，求k的值．16．（2023春•庐阳区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m ﹣1＝0．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）若a和b是这个一元二次方程的两个根，且a2+b2＝9，求m的值．17．（2023•门头沟区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果此方程的一个根为1，求k的值．18．（2023•金溪县模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根分别是等腰△ABC两边AB、AC的长，其中BC＝10，求k 值．19．（2023•长安区校级一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为x＝0，且m为正数，求m的值．20．（2022秋•东城区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）当该方程的判别式的值最小时，写出m的值，并求出此时方程的解．【题型4 由根与系数的关系求代数式（直接）】21．（2023•红桥区模拟）若一元二次方程x2+4x﹣12＝0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2的值等于（）A．﹣4B．4C．﹣12D．12 22．（2023•五华县校级开学）设一元二次方程x2﹣12x+3＝0的两个实根为x1和x2，则x1x2＝（）A．﹣2B．2C．﹣3D．3 23．（2023•六盘水二模）已知x1、x2是一元二次方程x2+4x+3＝0的两根，则x1+x2+2x1x2的值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2 24．（2023•长丰县模拟）若m，n是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则m+n ﹣mn的值是（）A．5B．﹣5C．1D．﹣1【题型5 由根与系数的关系求代数式（代换）】25．（2023•南山区三模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2，则的值是（）A．B．C．D．26．（2023•潍城区二模）若x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则的值为（）A．19B．9C．1D．﹣1 27．（2023•汉阳区校级模拟）若实数m，n满足条件：m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n ﹣1＝0，则的值是（）A．2B．﹣4C．﹣6D．2或﹣6 28．（2023•兴庆区校级二模）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（）A．﹣10B．10C．3D．0 29．（2022秋•南安市期末）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根分别是x1、x2，则x2+x1的值是（）A．﹣2B．2C．﹣3D．3 30．（2023•临沭县一模）已知m，n是一元二次方程x2+2x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式m2+4m+2n的值等于（）A．2023B．2022C．2020D．2019【题型6 由根与系数的关系求代数式（降次）】31．（2023•河东区一模）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式的值是（）A．4047B．4045C．2023D．1 32．（2022秋•嘉陵区校级期末）如果m，n是一元二次方程x2+x＝3的两个根，那么多项式m3+4n﹣mn+2022的值等于（）A．2018B．2012C．﹣2012D．﹣2018【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】33．（2023•安丘市模拟）已知方程x2+2023x﹣5＝0的两根分别是α和β，则代数式α2+β+2024α的值为（）A．0B．﹣2018C．﹣2023D．﹣2024 34．（2023•肥城市一模）已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式m2﹣2m﹣n的值为（）A．2020B．2021C．2022D．2023 35．（2023•鼓楼区校级模拟）已知a、b是关于x的方程x2+3x﹣2010＝0的两根，则a2﹣a﹣4b的值是（）A．2020B．2021C．2022D．2023 36．（2023•东港区校级一模）已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式m2﹣2m﹣n的值等于（）A．2020B．2021C．2022D．2023 37．（2023春•江岸区校级月考）设α、β是方程x2+2019x﹣2＝0的两根，则（α2+2022α﹣1）（β2+2022β﹣1）的值为（）A．6076B．﹣6074C．6040D．﹣6040 38．（2022秋•莲池区校级期末）若m，n是一元二次方程x2+4x﹣9＝0的两个根，则m2+5m+n的值是（）A．4B．5C．6D．12【题型8 已知方程根的情况判断另一个根】39．（2023•阿克苏市二模）若x＝2是方程x2﹣x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（）A．﹣1B．0C．1D．2 40．（2020秋•甘井子区期末）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2B．2C．﹣5D．5 41．（2020春•宣城期末）关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，则方程的另一个根x2和k的值为（）A．x2＝1，k＝2B．x2＝2，k＝2C．x2＝1，k＝﹣1D．x2＝2，k＝﹣1 42．（2023•诸暨市模拟）关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有一个解为x＝1，则该方程的另一个解为（）A．0B．﹣1C．2D．﹣2 43．（2023•洛阳一模）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0有一个根是﹣2，则另一个根是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2。
一元二次方程知识点总结归纳
一元二次方程知识点总结归纳1. 一元二次方程的定义及一般形式：（1） 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。
（2） 一元二次方程的一般形式： 20(0)ax bx c a ++=≠。
其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。
典例分析：1、下列方程中，是一元二次方程的是：（ ）A 、2x +3x +y=0 ；B 、 x+y+1=0 ；C 、 213122+=+x x ；D 、0512=++x x2、关于x 的方程（2a +a －2）2x +ax+b=0是一元二次方程的条件是（ ）A 、a ≠0 ；B 、 a ≠－2 ；C 、a ≠－2且 a ≠1 ；D 、a ≠13、一元二次方程2x －3x = 4的一般形式是 ，一次项系数为 。
4、判断下列方程是不是一元二次方程，如果是，指出它们的各项系数和常数项。
（1）2x(x-3)=10 (2)3m ²+2=2（2m+1） (3)x(3+x ²)+1=5(4)3y-5=4(2-y) (5)(2k-3)(k+5)=7k (6)2x(x+3)=6x2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：形如x²=m(m≥0)或2+=≥的方程可以用开平方法解，()(0)x a b b两边开平方得x=m、x a+=或者x=-m、x a+=，=-。
∴x=±m、x a注意：若m<0、 b<0，方程无解。
典例分析：1、用开平方法解下列方程（1）x²=121 （2）9y²=25 （3）3a²-27=0（4）(x-3)²=16 （5）4（t+4）²=9 （6）2（n-1）²-1=0（2）配方法:用配方法解一元二次方程20(0)++=≠的一般步骤ax bx c a①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为2+=≥的形式；()(0)x m n n④用直接开平方法解变形后的方程。
一元二次方程 求值范围
一元二次方程求值范围
标题，一元二次方程的求值范围。
一元二次方程是数学中常见的形式，通常表示为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c是常数，且a不等于0。
解一元二次方程的过程中，我们经常会涉及到求解方程的值域范围。
首先，让我们回顾一下一元二次方程的标准形式。
一元二次方程的标准形式可以写成y = ax^2 + bx + c。
在这个形式中，a、b 和c是已知的常数，x和y是变量。
我们可以通过这个形式来探讨一元二次方程的求值范围。
一元二次方程的求值范围指的是方程中变量y的取值范围。
我们知道，一元二次方程表示的是一个抛物线，而抛物线的开口方向取决于a的正负性。
当a大于0时，抛物线开口向上，最小值为顶点的y坐标；当a小于0时，抛物线开口向下，最大值为顶点的y 坐标。
因此，一元二次方程的求值范围取决于抛物线的开口方向。
如果抛物线开口向上，那么y的取值范围是从最小值开始一直到正无
穷；如果抛物线开口向下，那么y的取值范围是从负无穷到最大值结束。
在求解一元二次方程时，我们可以通过求解方程的顶点来确定最值点的坐标，从而得出一元二次方程的求值范围。
这样的分析有助于我们更好地理解一元二次方程的性质和特点，为进一步的数学学习打下坚实的基础。
总之，一元二次方程的求值范围是一个重要的数学概念，它与抛物线的开口方向和顶点的坐标有密切的关系。
通过对一元二次方程求值范围的研究，我们可以更深入地理解抛物线的特性，从而更好地应用数学知识解决实际问题。
专题21.8 一元二次方程的根与系数关系-重难点题型(举一反三)(人教版)(原卷版)
专题21.8 一元二次方程的根与系数的关系-重难点题型【人教版】【题型1 利用根与系数的关系求代数式的值】【例1】（2020秋•普宁市期末）若一元二次方程x 2﹣x ﹣2＝0的两根为x 1，x 2，则（1+x 1）+x 2（1﹣x 1）＝ ． 【变式1-1】（2021•龙马潭区模拟）设x 1，x 2是方程x 2+3x ﹣3＝0的两个实数根，则x 2x 1+x 1x 2的值为 ．【变式1-2】（2020秋•解放区校级月考）一元二次方程x 2+4x +1＝0的两个根是x 1，x 2，则x 2x 1−x 1x 2的值为 ．（其中x 2＞x 1）【变式1-3】（2020秋•淇滨区校级月考）已知a 、b 是方程2x 2+5x +1＝0的两实数根，则式子a√a b +b √ba 的值为 ．【题型2 利用根与系数的关系求系数字母的值】【例2】（2021•成都模拟）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+2k ＝0有两个实数根为x 1，x 2，使得x 1x 2﹣x 12﹣x 22＝﹣16成立，则k 的值 ．【变式2-1】（2019秋•萍乡期末）关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0的二根为x 1，x 2，且x 12﹣x 1+x 2＝3x 1x 2，则m ＝ ．【变式2-2】（2020春•文登区期中）已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k +1）x +k 2﹣2＝0的两根x 1和x 2，且x 12﹣2x 1+2x 2＝x 1x 2，则k 的值是 ．【变式2-3】（2020秋•武侯区校级月考）已知二次方程x 2+（2m +1）x +m 2﹣2m +32=0的两个实数根为α和β，若|α|+|β|＝4，求m 的值 ．【题型3 利用根与系数的关系及代根法综合求值】【例3】（2021•九龙坡区校级期末）如果方程x 2﹣x ﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（ ） A ．7B ．6C ．﹣2D ．0【变式3-1】（2020秋•抚州期末）一元二次方程x 2﹣3x +1＝0的两个根为x 1，x 2，则x 12+3x 2+x 1x 2+1的值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．7【变式3-2】（2020秋•宜宾期末）已知α、β是方程x 2﹣x ﹣1＝0的两个实数根，则α4+3β的值是（ ） A ．4B ．4√2C ．5D ．5√2【变式3-3】（2020秋•雅安期末）设x 1、x 2是方程x 2﹣4x +1＝0的两个根，则x 13+4x 22+x 1﹣1的值为 ． 【题型4 构造一元二次方程求代数式的值】【例4】（2021春•柯桥区月考）如果m 、n 是两个不相等的实数，且满足m 2﹣m ＝3，n 2﹣n ＝3，那么代数式2n 2﹣mn +2m +2021＝ ．【变式4-1】（2021春•崇川区月考）实数x ，y 分别满足99x 2+2021x ＝﹣1．y 2+2021y ＝﹣99，且xy ≠1．则xy+10x+1y= ．【变式4-2】（2021•郫都区校级模拟）已知a 2﹣2a ﹣1＝0，b 2+2b ﹣1＝0，且ab ≠1，则ab+b+1b的值为 ．【变式4-3】（2020秋•蕲春县期中）已知实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，则1α2+3β的值为 ．【题型5 根与系数的关系与三角形综合】【例5】（2020秋•西工区期中）已知关于x 的方程x 2﹣8x ﹣k 2+4k +12＝0． （1）求证：无论k 取何值，这个方程总有两个实数根；（2）若△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．【变式5-1】（2020秋•吉安期中）关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2﹣2mx +m +1＝0 （1）求证：方程总有两个不相等的实数根． （2）m 为何整数时，此方程的两个根都是正整数？（3）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求m的值．【变式5-2】（2021春•西湖区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+4）x+m2+4m＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2；①求代数式x12+x22−4x1x2的最大值；②若方程的一个根是6，x1和x2是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长．【变式5-3】（2021•永州模拟）已知关于x的方程x2−2mx+14n2=0，其中m、n是等腰三角形的腰和底边长．（1）说明这个方程有两个不相等的实数根．（2）若方程的两实数根的差的绝对值是8，且等腰三角形的面积是16，求m，n的值．【题型6 根与系数关系中的新定义问题】【例6】（2020秋•武侯区校级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x1，x2，且满足数轴上x1，x2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有．（填序号）①方程x2﹣4x＝0是关于2的等距方程；②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x+1）（mx+n）＝0一定是关于2的等距方程；③若方程ax2+bx+c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；④当两根满足x1＝3x2，关于x的方程px2﹣x+34=0是关于2的等距方程．【变式6-1】（2021春•崇川区校级月考）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：①x2﹣4x﹣5＝0；②2x2﹣2√3x+1＝0；（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．【变式6-2】（2020秋•石狮市期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一根为2t，因此ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，所以有b2−92ac＝0；我们记“K＝b2−92ac”，即K＝0时，方程ax2+bx+c＝0为倍根方程：下面我们根据所获信息来解决问题：（1）以下为倍根方程的是；（写出序号）①方程x2﹣x﹣2＝0；②x2﹣6x+8＝0；（2）若关于的x方程mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，求4m2+5mn+n2的值；（3）若A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，且关于x的一元二次方程x2−√mx+23n＝0是倍根方程，求此倍根方程．【变式6-3】（2020秋•台儿庄区期中）阅读理解：材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教x，y，z构成“和谐三数组”．材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有x1+x2=−ba，x1⋅x2=c a．问题解决：（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数；（2）若x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均不为0）的两根，x3是关于x的方程bx+c＝0（b，c均不为0）的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”.。
知识卡片-估计一元二次方程的近似解
估计一元二次方程的近似解
能量储备
一元二次方程解的估算依据是代数式的值的求法，当某一x的取值使得这个方程中的ax2＋bx＋c的值无限接近0时，x的值即可看做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解．
通关宝典
★基础方法点
方法点1：估算一元二次方程的解，只是估算“解”的取值范围，比如在哪两个数之间．例：写出一个一元二次方程，使其二次项系数为1，一次项系数为－2，常数项为－4，并求出方程的近似解(精确到个位)．
解：这个一元二次方程是x2－2x－4＝0.列表计算：
所以－2<x<－1或3<x<4.
进一步列表计算：
所以x≈－1或x≈3.
方法点2：求方程的近似解，首先应确定解的大致范围，再令x的取值逐渐使ax2＋bx＋c的值接近0，从而可求其解或近似解．
蓄势待发
考前攻略
完胜关卡。
一元二次方程整数根问题的几种思维策略
一元二次方程整数根问题的几种思维策略一、利用判别式例1. 当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数。
解：∵方程2440mx x -+=有整数根，∴⊿=16-16m ≥0，得m ≤1又∵方程2244450x mx m m -+--=有整数根∴⊿=16m 2－4(4m 2－4m －5) ≥0 得54m ≥-. 综上所述，54-≤m≤1 ∴x 可取的整数值是－1，0，1 当m=－1时，方程为－x 2-4x+4=0 没有整数解，舍去。
而m≠0 ∴ m=123.（东城） 已知关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=，0,0>>b a .（1）若方程有实数根，试确定a ，b 之间的大小关系；（2）若a ∶b 1222x x -=，求a ，b 的值；（3）在（2）的条件下，二次函数222y x ax b =++的图象与x 轴的交点为A 、C （点A 在点C 的左侧），与y 轴的交点为B ，顶点为D .若点P （x ，y ）是四边形ABCD 边上的点，试求3x －y 的最大值.解：(1) ∵ 关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=有实数根,∴ Δ=,04)2(22≥-b a 有a 2－b 2≥0，（a+b ）（a-b ）≥0. ∵ 0,0>>b a ,∴ a+b ＞0,a －b ≥0.∴ b a ≥. …………………………2分（2） ∵ a ∶b，∴ 设2,a k b ==(k ＞0).解关于x 的一元二次方程22430x kx k ++=，得 -3x k k =-或.当12,= -3x k x k =-时，由1222x x -=得2k =.当123,= -x k x k =-时，由1222x x -=得25k =-（不合题意，舍去）.∴ 4,a b ==. …………………………5分（3）当4,a b ==2812y x x =++与x 轴的交点为、C 的交点坐标分别为A （－6，0）、（－2，0），与y 轴交点坐标为（0，12），顶点坐标D 为（－4，－4）.设z ＝3x －y ，则3y x z =-.画出函数2812y x x =++和3y x =的图象，若直线3y x =平行移动时，可以发现当直线经过点C 时符合题意，此时最大z 的值等于－6 ……………7分二、利用求根公式例2．设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。
拓展学习：巧用一元二次方程根的定义解题
拓展学习：巧用一元二次方程根的定义解题巧用一元二次方程根的定义，在解题过程中能够快速找到解题途径，会收到事半功倍的效果，举例说明如下：一.求方程中字母的值例1 （08山东青岛）关于x 的一元二次方程2x 2-3x-a 2+1=0的一个根为2，则a 的值是（ ）A ．1B ．．解析：本题考查了根据一元二次方程根的定义求方程中字母的值.根据一元二次方程根的定义，把x=2代入方程2x 2-3x-a 2+1=0中，得8-6-a 2+1=0，解得a=故应选D.例2 （08哈尔滨）若x ＝1是一元二次方程x 2＋x ＋c ＝0的一个解，则c 2＝ ．解析:把x ＝1代入一元二次方程x 2＋x ＋c ＝0得c=-2,所以 c 2=4.评注:此类试题解答时运用一元二次方程的定义,即把根代入原方程后方程成立,这样就把原方程转化为关于待定字母的方程,从而可求得待定字母的值.二.求方程另一根例3 （08湖北省仙桃潜江江汉油田）关于x 的一元二次方程022=+-m mx x 的一个根为1，则方程的另一根为 .解析:把x=1代入原方程022=+-m mx x ,得m=-1,于是原方程为,022=-+x x (x-2)(x+1)=0,∴1,221=-=x x ,所以两一根为-2.例4 (08内蒙古赤峰)如果1-是一元二次方程230x bx +-=的一个根，求它的另一根．解析:1-是230x bx +-=的一个根，2(1)(1)30b ∴-+--=．解方程得2b =-．∴原方程为2230x x --=分解因式，得(1)(3)0x x +-=11x ∴=-，23x =.∴它的另一根是3．评注: 已知含字母一元二次方程的一根求另一根,解决时主要依靠方程根的定义来解决.把已知方程的根代入方程,求得字母的值,解方程求出另一根,如上述解法.三.求代数式的值例5 (08安顺改编)m 是方程012=-+x x 的根，则式子20072++m m 的值为( )A.2007B.2008C.2009D.2010解析:由于要求的代数式中的字母与一元二次方程的根有关,所以只要对一元二次方程经过必要的变形,使之贴近已经化简的代数式,整体代入即可求解. 因为m 是方程12-+x x 的根,所以有12-+m m =0,即,12=+m m所以.20082007120072=+=++m m评注:求解与一元二次方程有关的代数式的值时,应认真观察分析题目的结构特点,及时地化简代数式,巧妙地运用一元二次方程根的定义和必要的变形，以降低求解的难度.。
一元二次方程难题解析
一元二次方程难题解答 （一）1.已知m 是方程022=--x x 的一个根，则代数式)12)((2+--mm m m 的值是______ 解： m 是方程022=--x x 的一个根∴022=--m m 即22=-m m 0≠m 方程两边除以m 得： 021=--mm 12=-m m∴4)11(2)12)((2=+⨯=+--m m m m 2.已知a x =是方程0120162=+-x x 的一个根，求代数式12016140312222+-+-a a a a 的值解： a x =是方程0120162=+-x x 的一个根∴0120162=+-a a ∴120162-=-a a 或a a 201612=+12016140312222+-+-a a a a =aa a a a 2016201614032222-++-a a a a -++-=1)2016(22 3.关于m 的方程02722=--m n nm 的一个根为2，求22-+n n 的值。
解：由题意得：2=m 把2=m 代入方程得：022742=--n n整理得：01722=+-n n 方程两边除以n 得：0172=+-n n 721=+nn 方程两边平方得：281222=++nn 2622=+∴-n n 4.已知36)41(222=-+m m ，求m m 1-的值。
解： 36)41(222=-+m m 64122±=-+∴m m10122=+∴m m 或2122-=+∴mm （舍去）102)1(2=+-∴m m 即8)1(2=-m m 221±=-∴mm 5.用换元法解下列方程：解：设y x =-12，则原方程为032=-y y 0)3(=-y y 3021==∴y y当0=y 时，012=-x 1±=x 当3=y 时，312=-x 2±=x∴原方程的解为22114321-==-==x x x x6.设y x 、为实数，求542222+-++y y xy x 的最小值，并求出此时x 与y 的值。
一元二次方程根与系数的关系典型例题
一元二次方程根与系数的关系典型例题的一个根已知，可由XXX求另一根”的方法。
在解题中要注意灵活运用不同的思路和方法，找到最简便的解法。
本周教学内容是一元二次方程根与系数的关系。
学生需要熟练掌握韦达定理及逆定理，灵活运用根与系数关系确定字母系数的值，求关于两根的对称式的值，以及构作根满足某些要求的新方程。
在解题中，需要锻炼分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力，提高综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力。
同时，也要体会特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律，培养自己发现规律的兴趣，及树立勇于探索规律的精神。
教学重点是一元二次方程根与系数关系及其推导和应用。
需要注意往往不解方程，用两根和与积或各系数就可解决问题，这时解了方程反而更麻烦。
教学难点是正确理解根与系数的关系，掌握配方思想，把某些代数式配成两根和与积的形式才能将系数代入。
例题1已知方程的一个根是，求它的另一个根及b的值。
可以用韦达定理求解，设方程的另一根为x，则可得到另一根和b的值。
点拨：解法一较简单，主要原因是突出了求解的整体性。
例题2已知方程的两根，求下列代数式的值。
可以利用两根的和与积求出关于两根的对称式的值。
点拨：体会配方思想，将代数式配成含有两根的形式，再代系数即可。
例题3已知两个条件，求代数式的值。
可以将代数式配成含有两根的和与积的形式，再代入系数求解。
点拨：善于转化未见过的题，充分挖掘已知条件。
例题4已知关于x的一元二次方程，求k的值。
可以用两种解法求解，一种是利用解方程组的思想，另一种是利用“若方程的一个根已知，可由XXX定理求另一根”的方法。
在解题中要注意灵活运用不同的思路和方法，找到最简便的解法。
有公共根，则公共根必满足“两根之和”和“两根之积”的关系。
接下来，我们通过例题来探究一元二次方程根与系数的关系。
例5：已知方程 $ax^2+bx+c=0$，若方程两根之差为5，求 $a+b+c$。
分析：根据题设中方程根与系数关系，我们可以利用根与系数的关系来确定方程系数的值。
一元二次方程综合提高精选题含答案
一元二次方程综合提高题一、选择题1.若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1m4 >-；③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】C。
【考点】抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。
【分析】①∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，∴x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故结论①错误。
②一元二次方程（x－2）（x－3）=m化为一般形式得：x2－5x＋6－m=0，∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，∴△=b2－4ac=（－5）2－4（6－m）=4m＋1＞0，解得：1m4>-。
故结论②正确。
③∵一元二次方程x2－5x＋6－m=0实数根分别为x1、x2，∴x1＋x2=5，x1x2=6－m。
∴二次函数y=（x－x1）（x－x2）+m=x2－（x1＋x2）x＋x1x2＋m=x2－5x＋（6－m）＋m =x2－5x＋6=（x－2）（x－3）。
令y=0，即（x－2）（x－3）=0，解得：x=2或3。
∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故结论③正确。
综上所述，正确的结论有2个：②③。
故选C。
2.如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为【】A．3 B．﹣3 C．13 D．﹣13【答案】B。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根，∴x 1+x 2=﹣4，x 1x 2=a 。
∴x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=x 1x 2﹣2（x 1+x 2）﹣5=a ﹣2×（﹣4）﹣5=0，即a+3=0， 解得，a=﹣3。
一元二次方程之判别式法与韦达定理
一元二次方程之判别式法与韦达定理（一）知识点梳理一元二次方程ax2+bx+c=0（a 、b 、c 属于R ，a≠0）根的判别，△=b2-4ac ，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
1、一元二次方程根的判别式：ac b 42-=∆ （1）当Δ＞0时⇔方程有两个不相等的实数根； （2）当Δ=0时⇔方程有两个相等的实数根； （3）当Δ< 0时⇔方程没有实数根，无解； （4）当Δ≥0时⇔方程有两个实数根（5）根的判别式△＝b 2－4ac 的意义，在于不解方程可以判别根的情况，还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围。
2、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）： （1）若21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根，那么：abx x -=+21，ac x x =⋅21 （2）以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212=++-x x x x x x 3、一元二次方程的两根和与两根积和系数的关系在以下几个方面有着广泛的应用： （1）已知方程的一根，求另一个根和待定系数的值。
（2）不解方程，求某些代数式的值。
（3）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程。
（4）已知两数和与积，求这两个数。
（5）二次三项式的因式分解。
注意：在应用根与系数的关系时，不要忽略隐含条件。
∆≥≠⎧⎨⎩00a例题讲解例1、当k 为何值时，关于x 的方程()222123x k x k k --=-++：⑴ 两个不相等的实数根； ⑵有两个相等的实数根； ⑶没有实数根。
例2、m x mx mx m 为何值时，关于的方程有两个相等的实数根？并2350-++=求出这时方程的根。
已知一元二次方程求代数式的值
一元二次方程专题（不解方程，整体带入）根据需要对方程变形的方法：移项、方程两边同×代数式、方程两边同÷非零代数式 已知2310x x --=求 （1） 226x x -+ (2) 1x x- (3) 327x x x -- 1．已知0132=++a a ，求4)(2)12(22+--+a a a 的值.已知240x -=，求代数式22(1)()7x x x x x x +-+--的值．（何时不解方程） 2. 已知方程2220x x --=，则代数式224x x +=________. 3.已知x 是一元二次方程x 2＋3x －1＝0的实数根，那么代数式235(2)362x x x x x -÷+---的值为＿＿＿＿4.先化简，再求值：2314223a a a a +-⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭，其中2410a a -+=． 5.已知012=--x x ，求代数式431x x x ++的值． 6. 已知x 是一元二次方程x 2－3x －2＝0的实数根，那么代数式32(1)11x x x --+-的值。
7.若a 是方程22310x x --=的根，则211(2)3a a -的值为_______________.6.已知x 2－x －1=0，则－x 3＋2x 2＋2004的值为多少?7.m 是方程2250x x --=的一个根，则代数式32259m m m ---的值是________. 8.a 是方程0120082=+-x x 的一个根，试求12008200722++-a a a 的值。
9 已知a 是方程2200910x x --=一个根，则22200920101a a a -+-=_______. 10.已知215-=x ，求1323-++x x x 的值。
（10崇文）已知210x x +-=，求222(1)(1)(1)121x x x x x x x --÷+---+的值． （10石景山）已知：0832=-+x x ，求代数式21144212+--++-⋅-x x x x x x 的值．综合题1.已知关于x 的一元二次方程220ax bx c ++=（0a >）①.（1）若方程①有一个正实根c ，且20ac b +<.求b 的取值范围； （2）当a =1 时，方程①与关于x 的方程2440x bx c ++=②有一个相同的非零实根，求 2288b c b c-+ 的值.2.请根据阅读材料提供的方法, 解答下列问题:（1）若ab ≠1，且有4a 2+11a +2=0 ① , 2b 2+11b +4=0②, 则a b= ；（2）已知关于m 的一元二次方程2km 2-5m+3=0和关于n 的一元二次方程3n 2+5n +(k +1)=0均有两个不等实数根， 若mn ≠-1, 且k 为正整数，求代数式1m n-的值. 3．已知关于x 的方程()22521204x k x k k -+++-=①。
已知一元二次方程求代数式的值
一元二次方程专题1（不解方程，整体带入求值）根据需要对方程变形的方法：移项、方程两边同×代数式、方程两边同÷非零代数式1、 已知2310x x --= 求 （1） 226x x -+ (2) 1x x- (3) 327x x x --2．已知0132=++a a ，求4)(2)12(22+--+a a a 的值.3．已知240x -=，求代数式22(1)()7x x x x x x +-+--的值．4. 已知方程2220x x --=，x 1,x 2是方程的两根，代数式求224x x +的值.5.已知x 是一元二次方程x 2＋3x －1＝0的实数根，求代数式235(2)362x x x x x -÷+---的值。
6.先化简，再求值：2314223a a a a +-⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭，其中2410a a -+=．7.已知012=--x x ，求代数式431x x x ++的值．8. 已知x 是一元二次方程x 2－3x －2＝0的实数根，那么代数式32(1)11x x x --+-的值。
9.若a 是方程22310x x --=的根，求211(2)3a a -的值.10.已知x 2－x －1=0，则－x 3＋2x 2＋2004的值为多少?11.m 是方程2250x x --=的一个根，则代数式求32259m m m ---的值.12.a 是方程0120082=+-x x 的一个根，试求12008200722++-a a a 的值。
13、已知a 是方程2200910x x --=一个根，求22200920101a a a -+-.14、已知215-=x ，求1323-++x x x 的值。
15、已知210x x +-=，求222(1)(1)(1)121x x x x x x x --÷+---+的值．16、已知：0832=-+x x ，求代数式21144212+--++-⋅-x x x x x x 的值．综合题1.已知关于x 的一元二次方程220ax bx c ++=（0a >）①.（1）若方程①有一个正实根c ，且20ac b +<.求b 的取值范围；（2）当a =1 时，方程①与关于x 的方程2440x bx c ++=②有一个相同的非零实根，求cb c +-2288b 的值.2.（1）若ab ≠1，且有4a 2+11a +2=0 ① , 2b 2+11b +4=0②, 则ba = ；（2）已知关于m 的一元二次方程2km 2-5m+3=0和关于n 的一元二次方程3n 2+5n +(k +1)=0均有两个不等实数根， 若mn ≠-1, 且k 为正整数，求代数式n1m -的值.3．已知关于x 的方程()22521204x k x k k -+++-=①。
八年级数学下册-专题. 一元二次方程根与系数的关系【十大题型】(举一反三)(沪科版)(解析版)
专题17.4一元二次方程根与系数的关系【十大题型】【沪科版】【题型1由根与系数的关系直接求代数式的值】 (1)【题型2由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】 (4)【题型3由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】 (6)【题型4由方程两根满足关系求字母的值】 (10)【题型5不解方程由根与系数的关系判断根的正负】 (13)【题型6由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】 (15)【题型7构造一元二次方程求代数式的值】 (19)【题型8已知方程根的情况判断另一个方程】 (21)【题型9根与系数关系中的新定义问题】 (25)【题型10根与系数的关系和根的判别式的综合应用】......................................................错误！未定义书签。
【知识点一元二次方程的根与系数的关系】若一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2=−b a，x1⋅x2=c a．注意它的使用条件为，a≠0，Δ≥0.【题型1由根与系数的关系直接求代数式的值】【例1】（2023春·广东广州·八年级统考期末）若1，2是一元二次方程2−2−3=0的两个根，则12+22+12的值是（）A．−7B．−1C．1D．7【答案】D【分析】利用两根之和为1+2=−，两根之积为12=，计算即可．【详解】解：∵1、2是一元二次方程2−2−3=0的两个根，∴1+2=2，12=−3，∴12+22+12=1+22−12=4−−3=7，故选：D．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系的公式．【变式1-1】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知m，n是一元二次方程2+3−2=0的两根，则2K−r32−2的值是（）A．−3B．−2C．−13D．−12【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出+=−3，然后将分式化简，代入+=−3即可求解．【详解】解：∵，是一元二次方程2+3−2=0的两根，∴+=−3，∴2r322===+=1+=−13，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关键．【变式1-2】（2023·上海·八年级假期作业）已知a，b是方程2+6+4=0的两个根，则+的值．【答案】−14【分析】由根与系数关系知+=−6，B=4，即知a＜0，b＜0，化简原式+=−B((rp2−2B B)，所以原式=−14故答案为：﹣14．【详解】解：∵a，b是方程2+6+4=0的两个根，∴+=−6，B=4，∴a＜0，b＜0，∴=−B =−B(+) =−B(2+2B) =−B((rp2−2B B)∴原式=−4×(−6)2−2×44=−2×7=−14故答案为：﹣14．【点睛】本题主要考查根与系数关系、完全平方公式变形及二次根式的运算及化简；能够根据a,b的关系式确定其取值范围，进而准确处理二次根式的运算及化简是解题的关键．【变式1-3】（2023春·八年级单元测试）已知1、2是方程2−7+8=0的两根，且1>2，则21+32的值为．【分析】由题意可得1+2=7，2=.【详解】解：∵1、2是方程2−7+8=0的两根，∴1+2=7，==∵1>，∴2=∴21+32=2===【点睛】本题考查了一元二次方程的求解、根与系数的关系以及二次根式的混合运算，熟练掌握一元二次方程的相关知识、正确计算是解题的关键.【题型2由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】【例2】（2023春·浙江·八年级专题练习）设α、β是方程2++2012=0的两个实数根，则2+2+的值为（）A．－2014B．2014C．2013D．－2013【答案】D【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到x2+x+2012=0，即α2+α=-2012，则α2+2α+可化为α2+α+α+β=-2012+α+β，然后利用根与系数的关系得到α+β=-1，再利用整体代入的方法计算即可．【详解】∵α是方程x2+x+2012=0的根，∴α2+α+2012=0，即α2+α=-2012，∴α2+2α+β=α2+α+α+β=-2012+α+β，∵α，β是方程x2+x+2012=0的两个实数根，∴α+β=-1，∴α2+2α+β=-2012-1=-2013．故选D．【点睛】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−，x1x2=．【变式2-1】（2023春·湖北恩施·八年级统考期中）已知，是关于x的一元二次方程2+3−1=0的两个实数根，则+22+的值为()A．32B．5C．2D．−2【答案】C【分析】根据一元二次方程的根的定义可得2+3=1，根据一元二次方程根与系数的关系可得B=−1，代入代数式即可求解．【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程2+3−1=0的两个实数根，∴2+3=1，+=−3∴+22+=2+4+4+=2+3+++4=1−3+4=2，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，得出2+3=1，+=−3是解题的关键．【变式2-2】（2023·江西萍乡·校考模拟预测）若、是一元二次方程2−3−9=0的两个根，则2−4−的值是．【答案】6【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得+=3，由根的定义可得2−3=9，代入即可得答案．【详解】∵2−3=9，+=3，∴2−4−=2−3−−=2−3−+=6．故答案为：6【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系及方程根的概念．【变式2-3】（2023春·安徽池州·八年级统考期末）已知和是方程2+2023+1=0的两个根，则2+2024+22+2024+2的值为（）A．−2021B．2021C．−2023D．2023【答案】A【分析】由和是方程2+2023+1=0的两个根，根据根于系数关系可得，⋅=1，+=−2023，由一元二次方程根的定义可得2+2023+1=0，2+2023+1=0，即可求解；【详解】∵和是方程2+2023+1=0的两个根，∴2+2023+1=0，2+2023+1=0，⋅=1，+=−2023，∴2+2024+22+2024+2=2+2023+1++12+2023+1++1=+1+1=⋅+++1=1−2023+1=−2021故选A．【点睛】该题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟记一元二次方程根与系数关系公式是解答该题的关键．【题型3由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】【例3】（2023春·广东广州·八年级广州市第二中学校考阶段练习）若p、q是方程2−3−1=0的两个不相等的实数根，则代数式3−42−2+5的值为．【答案】−2【分析】根据一元二次方程的解的定义得到2−3−1=0，再根据根与系数的关系得到+=3，然后利用整体思想计算即可．【详解】∵若p、q是方程2−3−1=0的两个不相等的实数根，∴2−3−1=0，+=3，∴2=3+1，∴3−42−2+5=2−3−1−2+−2+5=−2+−2+5=−3−1+−2+5=−2−2+4=−2++4=−2×3+4=−2，故答案为：−2．【点睛】本题考查了一元二次方程B2+B+=0的根与系数的关系，一元二次方程的解，利用整体思想降次消元是解题的关键．【变式3-1】（2023春·山东日照·八年级统考期末）已知，是方程2−−3=0的两个根，则代数2+22+ +B的值为．【答案】8【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义，得+=1，B=−3，2−−3=0，2−−3=0，再代入降次求值即可．【详解】解：由题意，得+=1，B=−3，2−−3=0，2−−3=0，2=+3，2=+3，原式=+3+2+6+−3，=2(+p+6，=2×1+6，=8．故答案为：8．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，整式的化简求值，本题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．（2023春·浙江温州·八年级校考阶段练习）已知、是方程2+−1=0的两根，则4−3+5【变式3-2】的值是（）A．7B．8C．9D．10【答案】C【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得出+=−1，B=−1，2=1−，2=1−，再对所求式子变形整理，求出答案即可．【详解】解：∵、是方程2+−1=0的两根，∴+=−1，B=−1，2=1−，2=1−，∴4−3+5=3×−1−3+5=−1−−1−+5=−+2−+2+5=−+1−−+1−+5=−2++7=−2×−1+7=9，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，若一元二次方程B2+B+=0（a、b、c 为常数，≠0）的两根为1，2，则1+2=−，1⋅2=．【变式3-3】（2023春·八年级课时练习）已知，是方程2−−1=0的两根，则代数式23+5+33+ 3+1的值是（）A．19B．20C．14D．15【答案】D【分析】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用降次的方法即可求得结果的值．【详解】∵a与b是方程2−−1=0的两根∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0∴a2=a+1，b2=b+1∵3=2·=(+1)=2+=+1+=2+1，同理：3=2+1∴23+5+33+3+1=2(2+1)+5+3(2+1)+3+1=9+9+6=9(+p+6=9×1+6=15故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行整式的运算是解题的关键．【题型4由方程两根满足关系求字母的值】（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程2−8+=0两根为1、2，且1=32，【例4】则m的值为（）A．4B．8C．12D．16【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出1+2=8，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程2−8+=0两根为1、2，∴1+2=8，∵1=32，∴2=2,1=6，∴=12=12，故选：C．【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．【变式4-1】（2023·上海·八年级校考期中）已知关于x的方程2+(2−1)+2−1=0的两根为1,2满足：12+22=16+12，求实数k的值【答案】=−2【分析】利用根的判别式求出k的取值范围，利用根与系数的关系求出1+2=1−2，12=2−1，代入12+22=16+12，即可求得k的值.【详解】解：∵关于x的方程2+2−1+2−1=0的两根为1,2∴=2−4B=(2−1)2−4×1×(2−1)≥0解得：≤541+2=1−2，12=2−1∵12+22=16+12∴12+22−12=16(1+2)2−312=16代入1+2=1−2，12=2−1得：(1−2p2−3(2−1)=16解得：1=6,2=−2∵≤54∴=−2【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程求解，熟练掌握相关知识点是解题关键.【变式4-2】（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）方程2−2−4++1=0的两个实数根互为相反数，则的值是．【答案】−2【分析】设方程的两根分别为1，2，根据根与系数的关系得到1+2=2−4=0，解得=±2，然后分别计算Δ，最后确定=−2．【详解】解：设方程的两根分别为1，2，∵方程2−2−4++1=0的两个实数根互为相反数，，∴1+2=2−4=0，解得=±2，当=2，方程变为：2+3=0，Δ=−12＜0，方程没有实数根，所以=2舍去；当=−2，方程变为：2−1=0，Δ=4＞0，方程有两个不相等的实数根；∴=−2．故答案为：−2．【点睛】本题考查了一元二次方程B2+B+=0（≠0，，，为常数）根与系数的关系：若方程的两根分别为1，2，则1+2=−；1⋅2=．也考查了一元二次方程的根的判别式Δ=2−4B：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．【变式4-3】（2023春·安徽马鞍山·八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）若、是关于的方程2+ 2+3+2=0的两个不相等的实数根，且1+1=−1，则的值为．【答案】3【分析】根据根与系数的关系得到+=−2−3，B=2，再根据1+1=−1得到2−2−3=0，解方程求出k的值，最后用根的判别式验证是否符合题意即可．【详解】解：∵、是关于的方程2+2+3+2=0的两个不相等的实数根，∴+=−2−3，B=2，∵1+1=−1，∴r B=−1，即+=−B，∴−−2−3=2，∴2−2−3=0，解得=3或=−1，又∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=2+32−42>0，∴>−34，∴=3，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．【题型5不解方程由根与系数的关系判断根的正负】【例5】（2023春·江苏南京·八年级专题练习）关于的方程−2+1=2（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（）A．有两个相异正根B．有两个相异负根C．有一个正根和一个负根D．无实数根【答案】C【分析】先对方程进行化简，然后再根据一元二次方程根的判别式可进行求解．【详解】解：由题意得：方程可化为2−−2−2=0，∴Δ=−12−4−2−2=1+8+42=42+9>0，∴该方程有两个不相等的实数根，设该方程的两个根为1,2，则根据根与系数的关系可知：1⋅2=−2−2<0，∴该方程的两个根为一正一负，故选C．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．【变式5-1】（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）方程22−3+1=0根的符号是（）A．两根一正一负B．两根都是负数C．两根都是正数D．无法确定【答案】C【分析】利用一元二次方程根与系数的关系分析求解．【详解】解：22−3+1=0的两根分别为1，2，则1+2=32>0，1⋅2=12>0，∴方程的两根同号，且两根都是正数，故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，理解一元二次方程B2+B+=0≠0的两根1，2满足1+2=−，1⋅2=是解题关键．【变式5-2】（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知a、b、c是△A的三条边的长，那么方程B2+++4=0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的负实根D．只有一个实数根【答案】C【分析】首先根据根的判别式Δ=2−4B，结合三角形三边关系，得出方程有两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系，判断出两根之和和两根之积的符号，即可作出判断．【详解】解：在方程B2+++4=0中，可得：Δ=+2−4⋅4=+2−2，∵a、b、c是△A的三条边的长，∴>0，>0，>0．+>，即+2>2，∴+2−2>0，∴Δ>0，∴方程有两个不相等的实数根，又∵两根的和是−r<0，两根的积是4=14>0，∴方程有两个不等的负实根．故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，解本题的关键在熟练掌握根据一元二次方程根与系数的关系，判断出方程有两个不等的负实根．【变式5-3】（2023·八年级统考课时练习）已知<0，>0，<0，则方程B2−B−=0的根的情况是（）.A．有两个负根B．两根异号且正根绝对值较大C．有两个正根D．两根异号且负根绝对值较大【答案】D【分析】先计算△=b2+4ac，由a＜0，b＞0，c＜0，得到△＞0，然后根据判别式的意义得到方程有两个实数根．设方程两根为x1，x2．由12=−<0得到方程有异号两实数根，再由1+2=<0得到负根的绝对值大．【详解】△=（﹣b）2﹣4•a•（﹣c）=b2+4ac．∵a＜0，b＞0，c＜0，∴b2＞0，ac＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．设方程两根为x1，x2．∵12=−<0，∴方程有异号两实数根．∵1+2=<0，∴负根的绝对值大．故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式和根与系数的关系．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．【题型6由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】【例6】（2023·四川成都·三模）若方程x2+（m﹣4）x+134﹣m＝0有两个不相等的实数根x1和x2，且x1+x2＞﹣3，x1x2＜214，则m的取值范围为多少？【答案】﹣2＜m＜1或3＜m＜7【分析】由方程有两个不相等实数根结合根的判别式即可得出关于m的不等式，解不等式即可得出m的取值范围，结合根与系数的关系可得出关于m的不等式，解不等式可得出答案．【详解】解：∵方程x2+（m﹣4）x+134﹣m＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＝(﹣4)2﹣−＞0，整理得：2−4+3>0，即(−3)(−1)>0，根据乘法法则得：−3>0−1>0或−3<0−1<0，解前一不等式组得：m＞3；解后一不等式组得：m＞1，∴原不等式的解集为：m＞3或m＜1；由题意得x1+x8＝−＝（4﹣m）＞﹣3，解得m＜7；∵x1x2＝=134−<214，解得m＞﹣2．综上所述，﹣2＜m＜1或3＜m＜7．【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，根据题意得出关于m的不等式是解题的关键【变式6-1】（2023·山东日照·日照港中学统考二模）已知关于x的一元二次方程2−4+−1=0的实数根1,2，满足312−1−2>5，则m的取值范围是．【答案】4<≤5【分析】根据根的判别式Δ≥0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，求得m的取值范围．【详解】解：由题意得：1+2=4,12=−1，所以312−1−2=3×(−1)−4，依题意得：(−4)2−4(−1)≥03×(−1)−4>5，解得4＜m≤5．故答案是：4＜m≤5．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2-4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知关于x的方程42−+5−−【变式6-2】9=0有两个不相等的实数根1，2，且1=−1，0<2<1，则k的取值范围是（）A．−18<<−10B．0<<8C．−9<<−5D．−18<<−10且≠−13【答案】C【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．根据12=−K94，1=−1，可得2=r94，结合0<2<1，从而最后确定的取值范围．【详解】解：∵方程42−+5−−9=0有两个不相等的实数根，∴Δ=−+52−4×4×−−9=+132>0，解得：≠−13，∵12=−K94，1=−1，∴2=r94又∵0<2<1，∴0<r94<1，解得：−9<<−5，综上，的取值范围为：−9<<−5．故选：C．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，关键是得到2=r94．【变式6-3】（2023春·八年级单元测试）设关于的方程B2+(+2)+9=0有两个不相等的实数根1，2，且1<−1<2，那么实数的取值范围是．【答案】0<<29【分析】由方程有两个不相等的实数根利用根的判别式Δ＞0，可得出a的取值范围，利用根与系数的关系可得出1+2=−r2，12=9，由1<−1<2可得出(1+1)(2+1)<0，展开代入后可得出a的不等式，解之即可求出a取值范围．【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴△=(+2)2−4×9=−352+4+4>0，解得：−27<<25，∵1+2=−r2，12=9，1<−1<2，∴1+1<0，2+1>0，∴(1+1)(2+1)<0，∴12+(1+2)+1<0，即9−r2+1<0，当I0时，解得>29（舍去）；当>0时，解得0<<29，又∵−27<<25，∴的取值范围为0<<29．故答案为：0<<29．【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，由根与系数的关系结合(1+1)(2+1)<0，找出关于a的不等式是解题的关键．【题型7构造一元二次方程求代数式的值】【例7】（2023·陕西西安·校考二模）已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则的值为（）A．﹣402B．59C．95D．6703【答案】C【详解】将9n2+2010n+5=0方程两边同除以n2，变形得：5×（1）2+2010×1+9=0，又5m2+2010m+9=0，∴m与1为方程5x2+2010x+9=0的两个解，则根据一元二次方程的根与系数的关系可得m•1==95．故选：C．【变式7-1】（2023春·广东梅州·八年级校考阶段练习）已知≥2,2−2B+2=0,2−2B+2=0，则(−1)2+(−1)2的最小值是（）．A．6B．3C．-3D．0【答案】A【分析】由已知得m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根，根据根与系数的关系得到m＋n ＝2a，mn＝2，再根据完全平方公式展开化简，利用二次函数的性质解决问题．【详解】解：∵m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0，∴m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根，∴m＋n＝2a，mn＝2，∴(m－1)2＋(n－1)2＝m2－2m＋1＋n2－2n＋1＝(m＋n)2－2mn－2(m＋n)＋2＝4a2－4－4a＋2＝4(a－12)2－3，∵a≥2，∴当a＝2时，(m－1)2＋(n－1)2有最小值，∴(m－1)2＋(n－1)2的最小值＝4(2－12)2－3＝6，故选A．【点睛】本题考查了根与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．【变式7-2】（2023·山东德州·统考一模）已知互不相等的三个实数a、b、c满足=−−3，=−−3，求2+2−9的值．【答案】﹣2【分析】将已知的两等式去分母得到关系式a2+3a+c=0和b2+3b+c=0，把a、b看成方程x2+3x+c=0的两根，由根与系数的关系得到a+b=﹣3，ab=c，所求式子变形后，把a+b=﹣3，ab=c代入，即可求出值．【详解】由=﹣a﹣3得：a2+3a+c=0①；由=﹣b﹣3得：b2+3b+c=0②；∵a≠b，∴a、b可以看成方程x2+3x+c=0的两根，∴a+b=﹣3，ab=c；∴2+2﹣9=2+2−9=(rp2−2B−9=9−2K9=−2=﹣2．故答案为﹣2．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及分式的加减运算，灵活变换已知等式是解答本题的关键．【变式7-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）设，，，为互不相等的实数，且(2−2)(2−2)=1，(2−2)(2−2)=1，则22−22的值为（）A．-1B．1C．0D．0.5【答案】A【分析】把2,2看作以上方程的两个不同的根，可得4−2+22−22−1=0，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可【详解】解：∵(2−2)(2−2)=1，(2−2)(2−2)=1，∴2,2看作以上方程的两个不同的根，即2,2是方程4−2+22−22−1=0的两根，故22=−22−1，即22−22=−1故选A【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，整体代入是解题的关键．【题型8已知方程根的情况判断另一个方程】【例8】（2023春·浙江·八年级期中）若关于x的一元二次方程B2+2B+=0(≠0)的一个根为m，则方程（−1）2+2（−1）+=0的两根分别是（）．A．+1，−−1B．+1，−+1C．+1，+2D．−1，−+1【答案】A【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出方程B2+2B+=0的另一个根，设−1=，根据方程B2+2B+=0的根代入求值即可得到答案；【详解】解：∵一元二次方程B2+2B+=0(≠0)的一个根为m，设方程另一根为n，∴+=−2=−2，解得：=−2−，设−1=，方程（−1）2+2（−1）+=0变形为B2+2B+=0，由一元二次方程B2+2B+=0(≠0)的根可得，1=，2=−2−，∴−1=−2−，−1=，∴1=−−1，2=1+，故答案为：A．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系及换元法解一元二次方程，解题的关键是用换元法变形方程代入求解．【变式8-1】（2023春·江西萍乡·八年级统考期中）有两个一元二次方程：：B2+B+=0；：B2+B+ =0，其中−≠0，以下四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么15是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是=1【答案】D【分析】求出方程：B2+B+=0的判别式△=2−4B，方程：B2+B+=0的判别式△=2−4B，再根据判别式的意义、根与系数的关系以及方程的解的意义求解即可．【详解】解：A、∵M有两个不相等的实数根，∴△>0即2−4B>0，∴此时N的判别式△=2−4B>0，∴N也有两个不相等的实数根，故此选项正确，不符合题意；B、∵M的两根符号相同：即1⋅2=>0，∴N的两根之积也大于0，∴N的两个根也是同号的，故此选项正确，不符合题意；C、如果5是M的一个根，则：25+5+=0①，我们只需要考虑将15代入N方程看是否成立，代入得：125+15+=0②，比较①与②，可知②式是由①式两边同时除以25得到，故②式成立，故此选项正确，不符合题意；D、比较方程M与N可得：B2+B+−B2−B−=0，∴−2=−，∵−≠0，∴2=1，∴=±1，∴它们如果有根相同的根可能是1或−1，故此选项错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了根的判别式，根与系数的关系以及一元二次方程的解的意义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程，根的判别式△=2−4B，根与系数的关系1+2=−，1⋅2=．【变式8-2】（2023春·安徽合肥·八年级校考期末）关于x的一元二次方程2+B+=0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程2+B+=0也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（）A．p是正数，q是负数B．(−2)2+(−2)2＜8C．q是正数，p是负数D．(−2)2+(−2)2>8【答案】D【分析】设方程x2+px+q＝0的两根为x1、x2，方程y2+qy+p＝0的两根为y1、y2．根据方程解的情况，结合根与系数的关系可得出x1•x2＝q＞0，y1•y2＝p＞0，即可判断A与C；②由方程有两个实数根结合根的判别式得出p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，利用不等式的性质以及完全平方公式得出（p﹣2）2+（q﹣2）2＞8，即可判断B 与D．【详解】解：设方程x2+px+q＝0的两根为x1、x2，方程y2+qy+p＝0的两根为y1、y2．∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，∴x1•x2＝q＞0，y1•y2＝p＞0，故选项A与C说法均错误，不符合题意；∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，∴p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，∴（p﹣2）2+（q﹣2）2＝p2﹣4q+4+q2﹣4p+4＞8（p、q不能同时为2，否则两个方程均无实数根），故选项B说法错误，不符合题意；选项D说法正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析四个选项说法的正误是解题的关键．【变式8-3】（2023春·八年级单元测试）一元二次方程G B2+B+=0；G B2+B+=0，其中B≠0，≠，给出以下四个结论：①若方程M有两个不相等的实数根，则方程N也有两个不相等的实数根；②若方程M的两根符号相同，则方程N的两根符号也相同；③若m是方程M的一个根，则1是方程N的一个根；④若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根必是=1，其中正确的结论是（）A．①③B．①②③C．①②④D．①③④【答案】B【分析】根据根的判别式，根的定义，计算判断即可．【详解】∵G B2+B+=0有两个不相等的实数根，∴Δ=2−4B＞0，∵G B2+B+=0的判别式为Δ=2−4B=2−4B＞0，∴方程N也有两个不相等的实数根，故①正确；∵G B2+B+=0两根符号相同，∴Δ=2−4B≥0,＞0，∴Δ=2−4B≥0,＞0，∴方程N的两根符号也相同，故②正确；∵m是方程G B2+B+=0的一个根，∴B2+B+=0，∵2+×1+=rB+B22=0∴1是方程N的一个根；故③正确；设方程M和方程N相同的根为0，根据题意，得B02+B0+=0,B02+B0+=0，∴−02=−，∵B≠0，≠，∴02=1，解得0=±1，故这个根是=±1，故④错误；故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，公共根，方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，熟练掌握根的判别式是解题的关键．【题型9根与系数关系中的新定义问题】【例9】（2023春·山东日照·八年级日照市田家炳实验中学校考阶段练习）定义：如果实数a、b、c满足a²+b²=c²，那么我们称一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)为“勾股”方程；二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)为“勾股”函数．(1)理解：下列方程是“勾股”方程的有．①x²-1=0；②2-r2=0；③132+14r15=0；④4x²+3x=5(2)探究：若m、n是“勾股”方程ax²+bx+c=0的两个实数根，试探究m、n之间的数量关系．【答案】(1)①②④；(2)22-(rp2=1；【分析】（1）运用“勾股”方程的定义，即可得出答案；（2）利用根与系数关系可得：m+n=-，mn=，再结合2+2=2，即可得出答案；另解：根据题意可得：B2+B+J0①，B2+B+J0②，再结合2+2=2，即可得出答案；【详解】（1）根据“勾股”方程的定义，在方程2-1=0中，J1，J0，J-1，∵2+2=1，2=1，∴2+2=2，∴一元二次方程2-1=0为“勾股”方程；在方程2-r2=0中，J1，J-1，J2，∵2+2=12+(-1)2=2，2=(2)2=2，∴2+2=2，∴一元二次方程2-r2=0为“勾股”方程；在方程132+14r15=0中，J13，J14，J15，∵2+2=(13)2+(14)2=25144，2=(15)2=125，∴2+2≠2，∴一元二次方程132+14r15=0不是“勾股”方程；在方程42+3J5中，J4，J3，J-5，∵2+2=42+32=25，2=(-5)2=25，∴2+2=2，∴一元二次方程42+3J5为“勾股”方程；故答案为：①②④；（2）22-(rp2=1；理由如下：∵、是“勾股”方程B2+B+J0的两个实数根，。
学生版 一元二次方程根与系数的关系典型例题
一元二次方程根与系数的关系例1. 已知方程的一个根是，求它的另一个根及b的值。
例2. 已知方程的两根为，求下列代数式的值：（1）；（2）；（3）例3. 已知：是两个不相等的实数，且满足，那么求的值。
例4. 已知关于x的一元二次方程与有一个相同的根，求k的值。
例5. 已知方程（1）若方程两根之差为5，求k。
（2）若方程一根是另一根2倍，求这两根之积。
例6. 已知方程两根之比为1：3，判别式值为16，求a、b的值。
例7. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根。
（1）用含m的代数式表示；（2）当时，求m的值。
例8. 已知方程的两根为，求一个一元二次方程，使它两根为和。
【模拟试题】（答题时间：40分钟）一. 选择题。
1. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k与另一根分别为（）A. 2，-1B. -1，2C. -2，1D. 1，-22. 已知方程的两根互为相反数，则m的值是（）A. 4B. -4C. 1D. -13. 若方程有两根，一根大于1,一根小于1.则k的取值范围是（）A. B. C. D.4. 若方程的两根中，只有一个是0，那么（）A. B.C. D. 不能确定5. 方程的大根与小根之差等于（）A. B. C. 1 D.6. 以为根的，且二次项系数为1的一元二次方程是（）A. B.C. D.二. 填空题。
7. 关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则m＝________。
8. 已知一元二次方程两根比2：3，则a，b，c之间的关系是______。
9. 已知方程的两根，且，则________。
10. 已知是方程的两根，不解方程可得：________，________，________。
11. 已知，则以为根的一元二次方程是______ ________________________。
三. 解答题。
12. 已知方程的两个实根中，其中一个是另一个的2倍，求m的值。
13.已知方程的两根不解方程，求和的值。
一元二次方程(讲义)
是一元二次方程的重要组成部分。
方程，只有当时，才叫做一元二次方程。
如果且，它就是一元二次方程了。
解题时遇到字母系数的方程可能出现以下情况：（1）一元二次方程的条件是确定的，如方程（），把它化成一般形式为，由于，所以，符合一元二次方程的定义。
（2）条件是用“关于的一元二次方程”这样的语句表述的，那么它就隐含了二次项系数不为零的条件。
如“关于的一元二次方程”，这时题中隐含了的条件，这在解题中是不能忽略的。
（3）方程中含有字母系数的项，且出现“关于的方程”这样的语句，就要对方程中的字母系数进行讨论。
如：“关于的方程”，这就有两种可能，当时，它是一元一次方程；当时，它是一元二次方程，解题时就会有不同的结果。
ax2+bx+c=0 (a≠0)1）．提问a＝0时方程还是一无二次方程吗?为什么?(如果a＝0、b≠就成了一元一次方程了)。
2）．讲解方程中ax2、bx、c各项的名称及a、b的系数名称．3）．强调：一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现、但二次项必须存在、而且左边通常按x的降幂排列：特别注意的是“＝”的右边必须整理成0。
1．说出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项：（1）x2十3x十2＝O （2）x2—3x十4＝0； (3)3x2-5＝0（4）4x2十3x—2＝0； (5)3x2—5＝0； (6)6x2—x=0。
2.把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数、常数项：(1)6x2＝3-7x； (3)3x(x-1)＝2(x十2)—4；(5)(3x十2)2＝4(x-3)2一、关于一元二次方程概念的题目（一）选择题1．下列方程中有（）是一元二次方程（1）（2）（3）（4）（5）（6）（A）（1）（5）（6）（B）（1）（4）（5）（C）（1）（3）（4）（D）（2）（4）（5）2．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（）（A）（B）（C）或（D）且（二）填空题已知关于的方程当时，方程为一元二次方程，当时，方程为一元一次方程。