§3.3 简谐振动的合成
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简谐振动的合成
x
A1
2
o
A A1 A2
o
相互削弱
A
A2
3）一般情况 A1 A2 A A1 A2
21
2.n个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
xn
An
cos(t
n
)
x x1 x2 xn
19
讨论 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) 1）相位差 2 1 2kπ (k 0，1， 2,)
x
o
A1
A2
A
A A1 A2
相互加强
20
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) 2）相位差 2 1 (2k 1)π (k 0，1, )
dt 2
J ml 2
d 2
g
2 g
l 2
dt 2 l
cos(t ) m
g
l
T 2π l g
转
A
动
l
正 向
FT m
O
P
10
复摆
M l F
转动正向
O
M mgl sin J J d2
dt 2
l
*C
24
频率较大而频率之差很小的两个同方 向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而 加强时而减弱的现象叫拍.
x1 A1 cos1t A1 cos2π1t x2 A2 cos2t A2 cos2π2t
mgl J d2
dt 2
P
令 2 mgl
简谐运动的合成
x = ( 2 A1 cos 2 π
ν 2 −ν 1
2
t ) cos 2 π
ν 2 +ν1
2
t
振幅部分 振动频率 ν = (ν 1 + ν 2 ) 2 振幅 A = 2 A1 cos 2 π
合振动频率
ν 2 −ν 1
2
振 动
Amax = 2A1
t
Amin = 0
15
第九章
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
y
ϕ （1） 2 −ϕ1 = 0或 2 π ） A2 y= x A1
A2
A1
o
x
ϕ （2） 2 − ϕ1 = π ） A2 y=− x A1
第九章 振 动
y
A2
A1
o
x
7
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
x 2 y 2 2 xy 讨 + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 论 A12 A2 A1 A2
A
ϕ1
ϕ
A 1
O
x2
x1
xx
两个同方向同频率简谐运动合成后仍 两个同方向同频率简谐运动合成后仍 合成 频率的简谐 简谐运动 为同频率的简谐运动
第九章 振 动
2
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
（1）相位差 ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 = 2k π (k = 0，1，2,⋯ ） ± ± )
x
ϕ
A2
x
o
y = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
椭圆方程） 质点运动轨迹 （椭圆方程）
x 2 y 2 2 xy + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 2 A1 A2 A1 A2
ν 2 −ν 1
2
t ) cos 2 π
ν 2 +ν1
2
t
振幅部分 振动频率 ν = (ν 1 + ν 2 ) 2 振幅 A = 2 A1 cos 2 π
合振动频率
ν 2 −ν 1
2
振 动
Amax = 2A1
t
Amin = 0
15
第九章
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
y
ϕ （1） 2 −ϕ1 = 0或 2 π ） A2 y= x A1
A2
A1
o
x
ϕ （2） 2 − ϕ1 = π ） A2 y=− x A1
第九章 振 动
y
A2
A1
o
x
7
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第五版
9-5
简谐运动的合成
x 2 y 2 2 xy 讨 + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 论 A12 A2 A1 A2
A
ϕ1
ϕ
A 1
O
x2
x1
xx
两个同方向同频率简谐运动合成后仍 两个同方向同频率简谐运动合成后仍 合成 频率的简谐 简谐运动 为同频率的简谐运动
第九章 振 动
2
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
（1）相位差 ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 = 2k π (k = 0，1，2,⋯ ） ± ± )
x
ϕ
A2
x
o
y = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
椭圆方程） 质点运动轨迹 （椭圆方程）
x 2 y 2 2 xy + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 2 A1 A2 A1 A2
同频简谐振动合成的一般规律
同频简谐振动合成的一般规律
同频简谐振动合成是指将多个同频（或相近频率）的振动信号相加，以产生一个新的复合信号。
这种类型的合成可以用于增加信号的能量，改善信噪比，或者用于模拟复杂的振动环境。
在同频简谐振动合成中，常用的方法是将多个振动信号的相位相移，以产生最大的幅度增益。
还可以通过改变每个振动信号的幅度来调整合成信号的总幅度。
另外，同频简谐振动合成也可以用于消除振动中的干扰或杂波。
这种方法通常称为振动取样，其目的是通过采样不同时间的振动信号来消除干扰或杂波。
同频简谐振动合成还可以用于模拟特定的振动环境。
例如，在工程结构上，可以合成多个振动信号来模拟预期的风荷载或地震加速度。
这可以帮助工程师预测结构在设计环境中的行为，并确定结构的强度和稳定性。
在声学领域，同频简谐振动合成可以用于模拟声学场景，如城市环境中的噪声或工业环境中的噪
声。
这可以帮助工程师和建筑师在设计过程中考虑声学因素，并确保建筑物或空间能够提供舒适的声学环境。
总之，同频简谐振动合成是一种强有力的工具，可以用于提高信号的能量，消除干扰和杂波，模拟复杂的振动环境。
它在工程学、物理学、声学和其他领域都有广泛的应用。
简谐振动的合成实验
简谐振动的合成实验一、实验目的1.掌握谐振动的表达与合振动的分析2.掌握信号的相位、幅度、频率等参数的物理含义3.掌握用示波器观察波形以及测量电压、周期和频率的方法。
4.掌握使用信号发生器。
5.利用李萨茹图分析待测信号的相位频率等信息二、实验仪器Waveace1012型数字示波器1台、DG4062型数字信号发生器一台、传输线2条等。
三、示波器的使用（三四节的内容在实验报告中仅需概述即可）示波器就是显示波形的机器，它还被誉为“电子工程师的眼睛”。
它的核心功能就是为了把被测信号的实际波形显示在屏幕上，以供工程师查找定位问题或评估系统性能等等。
它的发展同样经历了模拟和数字两个时代，如图1和图2所示。
图1 模拟示波器图2 数字示波器模拟示波器采用的是模拟电路（示波管，其基础是电子枪）电子枪向屏幕发射电子,发射的电子经聚焦形成电子束,并打到屏幕上。
屏幕的内表面涂有荧光物质,这样电子束打中的点就会发出光来。
而数字示波器则是数据采集，A/D转换，软件编程等一系列的技术制造出来的高性能示波器。
数字示波器一般支持多级菜单，能提供给用户多种选择，多种分析功能。
还有一些示波器可以提供存储，实现对波形的保存和处理。
模拟示波器显示的波形是连续的，是信号真实的波形，而且反应速度特快。
而数字示波器显示的波形是经过数字电路采样得来的点组成的，是个不连续的波形，采样率越高的示波器，越与真实波形接近，但显示速度没有模拟机快。
反应速度快是模拟示波器最大的优点之一，是数字机很难取代的，比如，在测试某一信号时，模拟示波器能在瞬间显示波形，几乎没有延时，而数字机还需要将测试的信号进过数字电路处理后，再显示出模拟的波形，在显示时间上落后模拟示波器。
在此，我们仅介绍数字示波器的使用情况。
示波器可以将输入的波形在屏幕上显示出来，waveace1012型示波器具有两个输入通道，可以同时测量并显示2路信号的变化波形。
示波器的屏幕可以设置成横坐标为时间t，纵坐标为输入信号的电压量的大小，称为“Y-T”时基，如图所示。
第二节 两个简谐振动的合成
A12 A22 2A1A2 cos(02 01)
A A12 A22 2A1A2 cos
[注：cos( ) cos cos sin sin ]
A值的讨论，有三种情况：
(1) 2k
cos 1
A A1 A2
A值最大
(2) (2k 1) cos 1
A A1 A2 (3) 为其它值
波器显示屏上出现合成结果的图形，见右图。求x ?
解：
x y
m n
Y方向切点数 X方向切点数
x 3 x y 2 1000
x 1500 Hz
本节小结
同方向
1
2
简谐振动 A A12 A22 2A1A2 cos
同方向 1 2 拍 2 1
垂直方向
x m y n
李萨如图
x y
两个简谐振动的步调比较
同相：若两个简谐振动的频率相同、初相位相同，则两个简谐 振动的位移同时达到最大和最小。
x
1
2
t3
t1
t2
t4
t
0 ,同相
反相：若两个简谐振动的频率相同、初相位相差π，则一个振
动到达最大位移处时，另一个振动到达反向最大位移处。
1
x
t1
t2
t3
t4
t
2
,反相
超前与落后：若两个简谐振动的频率相同，初相位之差为
Y2 B2
1
X 0 t1 0 Y B
t2
2
X A Y 0
X 0 t3 Y B
t4
3 2
X A Y 0
t4 t3
t2
t1 Y超前π/2
右旋振动
t1 t2
t3
t4 Y落后π/2
同方向、不同频率的简谐振动的合成
合振幅 Acos cost Asin sin t
的仍 简然 谐是 振同 动频 。率
Acos(t )
3
式中：
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
arctg A1 sin1 A2 sin2 A1 cos1 A2 cos2
可见：
2 1 2k
k 0,1,2,
A A1 A2
2Acos (2 1）t cos[ (2 1)t ]
2
2
当1与2 都很大，且相差甚微时，可将
| 2Acos(2 1)t / 2 | 视为振幅变化部分，
合成振动是以 (2 1) / 2 为角频率的谐振动。
其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定， 即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动.
这种合振动忽强忽弱的现象称为拍。 10
arctg A1 sin 1 A2 sin 2
讨论一：
A1 cos1 A2 cos2
2 1 2k k 0,1,2,
A A1 A2 合振幅最大。
当 A1 A2 称为干涉相长。
A A2
A 2A1
A1
6
讨论二：
2 1 (2k 1)
k 0,1,2,
A2
A | A1 A2 |
A
1动、的2相位1 差0在视缓为慢同地频变率化的，合所成以，质不点过运两动个的振轨
道将不断地从下图所示图形依次的循环变化。
当 0 2 1 时是顺时针转；
sin(
20
10 )
x2 A12
y2 A22
2 xy A1 A2
cos
sin2
上式是个椭圆方程，具体形状由
(20 10) 相位差决定。
质点的运动方向与 有关。当 0 时，
的仍 简然 谐是 振同 动频 。率
Acos(t )
3
式中：
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
arctg A1 sin1 A2 sin2 A1 cos1 A2 cos2
可见：
2 1 2k
k 0,1,2,
A A1 A2
2Acos (2 1）t cos[ (2 1)t ]
2
2
当1与2 都很大，且相差甚微时，可将
| 2Acos(2 1)t / 2 | 视为振幅变化部分，
合成振动是以 (2 1) / 2 为角频率的谐振动。
其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定， 即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动.
这种合振动忽强忽弱的现象称为拍。 10
arctg A1 sin 1 A2 sin 2
讨论一：
A1 cos1 A2 cos2
2 1 2k k 0,1,2,
A A1 A2 合振幅最大。
当 A1 A2 称为干涉相长。
A A2
A 2A1
A1
6
讨论二：
2 1 (2k 1)
k 0,1,2,
A2
A | A1 A2 |
A
1动、的2相位1 差0在视缓为慢同地频变率化的，合所成以，质不点过运两动个的振轨
道将不断地从下图所示图形依次的循环变化。
当 0 2 1 时是顺时针转；
sin(
20
10 )
x2 A12
y2 A22
2 xy A1 A2
cos
sin2
上式是个椭圆方程，具体形状由
(20 10) 相位差决定。
质点的运动方向与 有关。当 0 时，
简谐振动的合成
(A1 sin1 A2 sin2 )sint
合振幅
令： A1 cos1 A2 cos2 Acos 代入上式：
A1 sin1 A2 sin2 Asin
2
x ( A1 cos1 A2 cos2)cost (A1 sin1 A2 sin2 )sint
Acos cost Asin sint Acos(t ) x Acos(t )
x1(t) a cost
M aN
x2 (t) a cos(t ) x3(t) a cos(t 2 )
C
R N
A
a3
xN (t) a cos[t (N 1) ]O a1 P
在COM中：A 2R sin(N / 2)
上两式相除得：
在OCP中： a 2Rsin( / 2)
7
A a sin(N / 2) sin / 2
若 A1 A2, A 2A1
2.当 2 1 （2k 1） (k 0,1,2, ) 时,
A
A12
A
2 2
2 A1
A2
cos(
2
1
)
| A1 A2 | 合振动振幅最小。
若 A1 A2, A 0
A2
3.一般情况 | A1 A2 | A | A1 A2 |
5
A A2 A1
A2 A A1 A A1
第二节
简谐振动的合成
1
一、同方向同频率简谐振动的合成
在同一直线上同频率的两个简谐振
动分别为：
x1 A1 cos(t 1),
x2 A2 cos( t 2 )
• 代数方法： 振动合成
x x1 x2 A1 cos(t 1) A2 cos(t 2 )
(A1 cos1 A2 cos2) cost
物理-同一直线上简谐振动的合成 频谱分析
三、同一直线上两个异频谐振动的合成
合振动 x 2Acos(2 1 t ) cos(2 1 t)
2
2
若 2 1 1 2
2
2
随时间缓变
随时间快变
合振动可视作
频率 振幅
1 2 2
2A cos 2 1 t
2
的准周期运动！
两个频率相差不大的同方向简谐运动叠加后， 出现合振动振幅时而加强时而减弱的现象称为“拍”。
一、同一直线上同频谐振动的合成
设一个质点同时参与两个沿同一直线的简谐振动，
这两个简谐振动的频率均为ω ，振幅分别为
初相位分别为
它们的振动表达式分别为：
分振动
x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 )
合振动 x x1 x2
A1 cos(t 1) A2 cos(t 2 )
t
2
)
(m)
x2 2cos(10 t ) (m)
求：（1）合振动的表达式；
（2）若另有 x3 3cos(10 t ) (m)
则 分别为何值时，三个简谐振动叠加后，合振动
的振幅分别为最大与最小？
三、同一直线上两个异频谐振动的合成
合振动的“振幅”： 2A cos 2 1 t
2 单位时间内合振动振幅加强或减弱的次数——拍频
cos 2 1 t
2
的周期为π ，故振幅变化周期τ 满足：
2 1
2
2 2 1
拍频
三、同一直线上两个异频谐振动的合成
同一直线上两个频率接近的简谐振动的合成
OCP 2CPO (CPO CPP)
二、同一直线上N个同频谐振动的合成
(2) 确定合振动初相位
COP COM
大学物理简谐运动的合成
大学物理简谐运动的合 成
目录
• 简谐运动的定义与特性 • 简谐运动的合成原理 • 简谐运动的合成方法 • 简谐运动的合成应用 • 总结与展望
简谐运动的定义与特
01
性
简谐运动的定义
简谐运动
物体在平衡位置附近做往复运动，其位移、速度和加速度随时间按正弦或余弦 规律变化的运动。
简谐运动的数学描述
简谐运动可以用正弦或余弦函数表示，其数学表达式为 $x = Asin(omega t + varphi)$，其中 $A$ 是振幅，$omega$ 是角频率，$varphi$ 是初相。
简谐运动的特性
周期性
简谐运动具有周期性，即物体在每个周期内重复 相同的运动轨迹。
往复性
简谐运动是往复运动，即物体在平衡位置附近来 回振动。
能量守恒
简谐运动过程中，系统的动能和势能相互转化， 总能量保持不变。
简谐运动的分类
自由振动
不受外力作用的简谐运动。
受迫振动
受到周期性外力作用的振动，其振动频率与外力频率 相同或相近。
简谐运动的合成方法
03
旋转矢量法
总结词
旋转矢量法是一种直观且易于理解的方法，用于合成简谐运动。
详细描述
旋转矢量法是通过引入一个旋转矢量来表示简谐运动，该矢量在复平面内以角速 度旋转。通过旋转矢量的长度和角度变化，可以直观地理解简谐运动的合成过程 。
复数法
总结词
复数法是一种基于复数运算的方法，用于合成简谐运动。
自激振动
由系统内部激励产生的振动，不需要外部激励作用。
02
简谐运动的合成原理
线性合成原理
线性合成原理是指两个简谐运动的合成结果仍为简谐运动，其振幅和角频率分别为两个简谐运动振幅 和角频率的线性组合。
目录
• 简谐运动的定义与特性 • 简谐运动的合成原理 • 简谐运动的合成方法 • 简谐运动的合成应用 • 总结与展望
简谐运动的定义与特
01
性
简谐运动的定义
简谐运动
物体在平衡位置附近做往复运动，其位移、速度和加速度随时间按正弦或余弦 规律变化的运动。
简谐运动的数学描述
简谐运动可以用正弦或余弦函数表示，其数学表达式为 $x = Asin(omega t + varphi)$，其中 $A$ 是振幅，$omega$ 是角频率，$varphi$ 是初相。
简谐运动的特性
周期性
简谐运动具有周期性，即物体在每个周期内重复 相同的运动轨迹。
往复性
简谐运动是往复运动，即物体在平衡位置附近来 回振动。
能量守恒
简谐运动过程中，系统的动能和势能相互转化， 总能量保持不变。
简谐运动的分类
自由振动
不受外力作用的简谐运动。
受迫振动
受到周期性外力作用的振动，其振动频率与外力频率 相同或相近。
简谐运动的合成方法
03
旋转矢量法
总结词
旋转矢量法是一种直观且易于理解的方法，用于合成简谐运动。
详细描述
旋转矢量法是通过引入一个旋转矢量来表示简谐运动，该矢量在复平面内以角速 度旋转。通过旋转矢量的长度和角度变化，可以直观地理解简谐运动的合成过程 。
复数法
总结词
复数法是一种基于复数运算的方法，用于合成简谐运动。
自激振动
由系统内部激励产生的振动，不需要外部激励作用。
02
简谐运动的合成原理
线性合成原理
线性合成原理是指两个简谐运动的合成结果仍为简谐运动，其振幅和角频率分别为两个简谐运动振幅 和角频率的线性组合。
简谐运动的合成与分解
m
(
2 0
2
)2
4
2
2
共振
A
（1）位移共振（图1）
在一定条件下，振幅出现极大值，振动 剧烈的现象。
共振
2 0
2
2
（2）速度共振（图2）
0
一定条件下，速度幅A极大的现象。
vm
共振 0
即速度共振时，速度与策动力同相，一周期内策动力
总作正功，此时向系统输入的能量最大。
0
总结：
两个同方向频率相同的简谐振动的合成仍为简谐振动。 合振幅与两振动的相位差有关，可用旋转矢量图求得。
如果两振动的频率相差较大但有简单的整数比五谐振分析和频谱在自然界和工程技术中我们所遇到的振动大多不是简谐振动而是复杂的振动处理这类问题往往把复杂振动看成由一系列不同频率的间谐振动组合而成也就是把复杂振动分解为一系列不同频率的间谐振动这样分解在数学上的依据是傅立叶
本讲主要内容： 一、同方向同频率两个简谐振动的合成 二、同方向不同频率两个简谐振动的合成 三、两个互相垂直同频率简谐振动的合成 四、两个互相垂直不同频率简谐振动的合成 五、谐振分析和频谱
A1 sin10 A2 sin20 A1 cos10 A2 cos20
2010
x20
0
x10
AM
A1
x0
t o .P x
同方向同频率两个简谐振动的合成仍为简谐振动。
讨论两个特例 x
(1)两个振动同相
20 10 2k , k 0,1,2,...
合成振动
由 A A12 A22 2A1 A2 cos(20 10 ) o
解：
A A1 A2
A2
A1 A2 A
O
2
物理-相互垂直的简谐运动的合成
y A2 x A1
质点离开 平衡位置 的位移
r(t) A12 A22 cos(t 1 )
y
A2
o A1 x
合振动是与分振动同频率的简谐振动
一、两个相互垂直的谐振动的合成
x A1
2
y A2
2
2xy cos(2 A1 A2
1 )
s in2 ( 2
1 )
(3)
若
2
1
2
x2 A12
y2 A22
合运动的 轨道方程
( x )2 ( y )2 2xycos sin2
A1
A2
A1 A2
其中： (2 1 )t (2 1 ) ——随时间变化
一般情况下，合运动的轨迹是不稳定的。
一、两个相互垂直的谐振动的合成
分振动： x A1 cos(ω1t φ1 ) y A2 cos(ω2t φ2 )
二、振动频谱分析
数学上已经证明：
任意周期函数（周期为T）：x(ωt) 其中 ω 2π /T
均可展开为三角级数
基频
x(ωt ) a0 (ak cos kωt bk sin kωt )
k 1
k次谐频
1 T/2
a0 T
f (ωt )dt
T / 2
2
ak T
T /2
f (ωt)cos kωtdt (k 0)
x A1
2
y A2
2
2xy cos(2
A1 A2
1 )
s in2 ( 2
1 )
合运动一般是在 x A1, y A2 范围内的一个椭圆。
一、两个相互垂直的谐振动的合成
2
2
x A1
y A2
简谐运动的合成和分解
A12 A22 2 A1A2 cos2 1
A A12 A22 2 A1A2 cos tan y A1 sin 1 A2 sin 2
x A1 cos1 A2 cos2
A
A2
A1
的具体象限要根
据
1
,
确定。
2
讨论 合振动的强弱与两分振动相位差的关系
O
t
O
t
n ：n 次谐频
O
t
频 谱 分 析
§4-3 阻尼振动、受迫振动和共振
4-3-1 阻尼振动
阻尼振动：振动系统在回复力和阻力作用下发 生的减幅振动。
F
v
dx dt
γ ：阻尼系数
fr
f
kx
x
o
x
动力学方程 m d2 x kx dx
dt 2
dt
x A1
cos t cos
1 sin
t sin
1
x
y A2
cos t cos
2 sin t sin 2
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(2
1 )
sin 2 (2
1 )
结论：两相互垂直同频率简谐振动的合成，其振动轨
迹为一椭圆(又称“椭圆运动”)。椭圆轨迹的形状取 决于振幅和相位差。
A
2 0
2
sin t 2
A 2 cos t f sin t
A
2 0
2
sin t 2
A A12 A22 2 A1A2 cos tan y A1 sin 1 A2 sin 2
x A1 cos1 A2 cos2
A
A2
A1
的具体象限要根
据
1
,
确定。
2
讨论 合振动的强弱与两分振动相位差的关系
O
t
O
t
n ：n 次谐频
O
t
频 谱 分 析
§4-3 阻尼振动、受迫振动和共振
4-3-1 阻尼振动
阻尼振动：振动系统在回复力和阻力作用下发 生的减幅振动。
F
v
dx dt
γ ：阻尼系数
fr
f
kx
x
o
x
动力学方程 m d2 x kx dx
dt 2
dt
x A1
cos t cos
1 sin
t sin
1
x
y A2
cos t cos
2 sin t sin 2
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(2
1 )
sin 2 (2
1 )
结论：两相互垂直同频率简谐振动的合成，其振动轨
迹为一椭圆(又称“椭圆运动”)。椭圆轨迹的形状取 决于振幅和相位差。
A
2 0
2
sin t 2
A 2 cos t f sin t
A
2 0
2
sin t 2
简谐振动的合成
动振幅周期变化的现象叫拍。
解：③拍现象
A (t) 不论 调 达到正的最大或负的最大，对加强振幅来说，都是等效的，
因此拍的圆频率为：
因此：
拍 20 10
调（拍）
20 10
2 20 10
2 拍
2
拍频为： 调（拍） 2 1
合成图像如下图：
x1 t
x2
t
x
t
程序演示：
MATLAB 程序：
t=[0:0.001:10]; %给出时间轴上 10s,分 10000 个点
%输入两组信号的振幅、频率以及初相
A1=input('振幅 1=');W1=input('频率 1=');a1=input('初相 1=');
A2=input('振幅 2=');W2=input('频率 2=');a2=input('初相 2=');
y1=A1*cos(W1*t+a1);
y2=A2*cos(W2*t+a2); %生成两个正弦波
此时 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) A1 A2 Amin 振动减弱
两个同方向、同频率简谐运动反相合成时，其合振动振幅最小，振幅为两个
分振动振幅之差的绝对值，初相位与振幅大的分振动的初相位相同，合成图像如
下图。
x
x2
o
x
t
x1
分析：同方向不同频率简谐振动的合成 x1 Acos10t , x2 Acos20t
A2 A1
A
x
此时 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) A1 A2 Amax 振动加强
两个互相垂直的简谐振动合成
拍的振幅为)cos(t A 2212 振幅的周期为121222)(T 拍频为122121T拍的振动曲线如右图三、两个互相垂直的简谐振动的合成两简谐振动为)cos( t A x （1）)cos( t B y （2）以cos 乘以(3)式，cos 乘以(4)式，后相减得改写为 sin sin cos cos t t A xsin sin cos cos t t By（3）（4）)sin(sin cos cos t ByA x （5）)(sin )cos( 222222ABxy B y A x 以sin 乘以(3)式，sin 乘以(4)式后相减得(5)式、(6)式分别平方后相加得合振动的轨迹方程)sin(cos sin sin t ByA x （6）医学物理学此式表明，两个互相垂直的、频率相同的简谐振动合成，其合振动的轨迹为一椭圆，而椭圆的形状决定于分振动的相位差（ － ）。
xA o -A-BB a b y 讨论：1. － 0 或 时02 )(B y A x 即x A B y 合振动的轨迹是通过坐标原点的直线，如图所示。
－ 0时，相位相同，取正号，斜率为B /A 。
－ 时，相位相反，取负号，斜率为-B /A 。
合振动的振幅22BA C医学物理学2. 当2时xAy B22221合振动的轨迹是以坐标轴为主轴的正椭圆，如右图所示。
－ = /2时，合振动沿顺时针方向进行；－ = /2时，合振动沿逆时针方向进行。
A =B ，椭圆变为正圆，如右图所示。
xAB o y-A-BxA A -A-Ay o医学物理学3.如果( )不是上述数值，那么合振动的轨迹为椭圆，其范围处于边长分别为2A (x 方向)和2B (y 方向)的矩形内。
两个分振动的频率相差较大，但有简单的整数比关系，合振动曲线称为利萨如图形。
简谐振动合成与分解
意义
通过将复杂振动分解为简单的简谐振动，可以更好地理解和分析振动的本质。
实际应用中的振动分解
信号处理
在信号处理领域，傅里叶变换被 广泛应用于将时域信号转换为频 域信号，从而分析信号的频率成 分。
机械振动分析
在机械工程中，通过对机械振动 的分析，可以了解机械系统的动 态特性和振动规律，为优化设计 提供依据。
实验验证与实际应用
未来可以通过实验验证和实际应用来 检验简谐振动合成与分解的理论，推 动其在解决实际问题中的应用。
THANKS
感谢观看
ERA
两个同频率简谐振动的合成
合成结果仍为同频率简谐振动，振幅 和相位由两个简谐振动的振幅和相位 决定。
当两个简谐振动的相位差为0或π时，合 成振动的振幅为两者之和；相位差为 π/2或3π/2时，合成振动的振幅为两者 之差。
两个不同频率简谐振动的合成
合成结果为非简谐振动，其频率为两个简谐振动频率的线性 组合。
地震学
在地震学中，通过分析地震波的 频谱，可以研究地球内部的结构 和性质。
04
合成与分解的应用
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
在物理学中的应用
01
波动合成
简谐振动合成与分解是研究波动 的重要基础，如声波、光波等的 合成与分解。
电磁波
02
03
原子振动
电磁波的合成与分解是研究电磁 波性质的关键，如无线电波、可 见光等。
能量守恒
简谐振动的能量是守恒的， 即振幅不变。
简谐振动的表示方法
三角函数表示法
简谐振动的位移、速度和加速度可以用三角函数来表示，如正弦函数或余弦函 数。
相图表示法
通过将复杂振动分解为简单的简谐振动，可以更好地理解和分析振动的本质。
实际应用中的振动分解
信号处理
在信号处理领域，傅里叶变换被 广泛应用于将时域信号转换为频 域信号，从而分析信号的频率成 分。
机械振动分析
在机械工程中，通过对机械振动 的分析，可以了解机械系统的动 态特性和振动规律，为优化设计 提供依据。
实验验证与实际应用
未来可以通过实验验证和实际应用来 检验简谐振动合成与分解的理论，推 动其在解决实际问题中的应用。
THANKS
感谢观看
ERA
两个同频率简谐振动的合成
合成结果仍为同频率简谐振动，振幅 和相位由两个简谐振动的振幅和相位 决定。
当两个简谐振动的相位差为0或π时，合 成振动的振幅为两者之和；相位差为 π/2或3π/2时，合成振动的振幅为两者 之差。
两个不同频率简谐振动的合成
合成结果为非简谐振动，其频率为两个简谐振动频率的线性 组合。
地震学
在地震学中，通过分析地震波的 频谱，可以研究地球内部的结构 和性质。
04
合成与分解的应用
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
在物理学中的应用
01
波动合成
简谐振动合成与分解是研究波动 的重要基础，如声波、光波等的 合成与分解。
电磁波
02
03
原子振动
电磁波的合成与分解是研究电磁 波性质的关键，如无线电波、可 见光等。
能量守恒
简谐振动的能量是守恒的， 即振幅不变。
简谐振动的表示方法
三角函数表示法
简谐振动的位移、速度和加速度可以用三角函数来表示，如正弦函数或余弦函 数。
相图表示法
简谐振动的合成
x = [2A COS2TVI——V---t)cos2;i
V+V 2 ]t
振幅部分
合振动频?率___
J振动频率卜=（匕+匕）/2 振幅
A= cos2兀匕2 * t
A=2A
max T
A. = 0 mm
V —V v + V x = (2A COS2TI ~t)cos2?i ~t
2兀比匕T二丸匚/
2
匕f
）
角谐振动
®—O——10
三、旋转矢量表示法相位
工旋转矢量表示法二
-"-f co
/ : 、卜、
/ M t «/"、、、■
/
:如二。时
-i----------------------.
\ 「…9_____________闵x \ -XQ = Acos^?： /
''、 二二【二二二二匕
、
I
I
、、、；x= Acos^yt+ ^9）；
M = A COS(6Jt + ^9n) X= * +% H-----Xn x= A多co个s(a同>t方+向(p同) 频率简谐运动合成仍为
简谐运动
= A cos以
% = A COS(69t + △饥
% = A cos(6Jt +
2A<^>)
——" °A A A A Ax
A=ZA = NA
i
B(l) △中=2kji
§8-2 简谙振动的合成
一、同方向简谐振动的合成
1 .两个同方向同频率相位差恒定的简谐运动的合成
[X] = Acos（（^t + 01 ） 1x2 = &COS（69t + 02）
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用旋转矢量图示法分析
x1 = A1 cos(ω t + ϕ 1 ) x2 = A2 cos(ω t + ϕ 2 )
x = x1 + x2
x = A cos( ω t + ϕ )
0
2 1 2 2
v A2
ϕ2
ω
v A
x
x
x2
ϕ1
ϕ
x1
v A 1
A = A + A + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 )
o
ω 0 = g l = 3.13s Fr = −6π rηv = −Cv 2 −4 −1 δ = C 2m = 9η 4r ρ = 6.04 × 10 s
−1
Q δ << ω 0
∴T =
2π
ω −δ
2 0
2
≈
2π
ω0
≈ 2s
（2） 有阻尼时 ）
A'= Ae − δ t1 0 .9 A = A e
2 1 2 2
x
x
o ϕ2
ω A2
A1
A = A1 − A2 ϕ = ϕ2
o
T
t
A
相位差
ϕ 2 − ϕ1 = 2 k π
A = A1 + A2
ϕ 2 − ϕ1 = (2k + 1)π
A = A1 − A2
当A1=A2 时，A=0
(k = 0 ， 1， ) ± L
相互加强
相位差
(k = 0 ， 1， ) ± L
§3.3 简谐振动的合成 同方向、 一、同方向、同频率简谐振动的合成
若质点同时参与沿同一方向（ 轴 若质点同时参与沿同一方向（x轴）的两个 独立的同频率的简谐振动
x1 = A1 cos(ω t + ϕ 1 ) x2 = A2 cos(ω t + ϕ 2 )
则质点的位移为两个振动位移的代数和
x = x1 + x2
相互削弱
一般情况
A1 + A2 > A > A1 − A2
同方向、 二、同方向、不同频率简谐振动的合成 拍现象
若质点同时参与沿同一方向（ 轴 若质点同时参与沿同一方向（x轴）的两个 独立的频率不同的简谐振动， 独立的频率不同的简谐振动，则合振动一般不再 是谐振动。 是谐振动。 但是如果在振幅相同、 但是如果在振幅相同、初相位相同且频率差 很小的条件下， 很小的条件下，可做如下分析
t1 = ln 1
−δt
δ
0.9 = 174s ≈ 3 min
（3） ）
E' A' 2 − 2δt = ( ) = e E A
0 .9 = e
t2 = ln 1 2δ
−2δt2
0.9 = 87s ≈ 1.5 min
二
受迫振动
2
d x dx m 2 + C + kx = F cos ω p t dt dt
角频率
振幅
ω = ω −δ
T=
2π
ω
= 2π
2 ω0 − δ 2
d x dx m 2 + C + kx = 0 A dt dt
2
x
阻尼振动位移时间曲线
Ae
−δt
x = Ae
− δt
cos( ω t + ϕ )
2 0 2
Ae
T
−δt
cos ωt
t
O
ω = ω −δ
a）欠阻尼 b）过阻尼
2 0
(ϕ = 0 )
三、相互垂直的简谐振动的合成 1. 频率相同
若质点同时参与两个同频率的相互垂直的分运 动，其位移表达式分别为
x = A1 cos(ωt + ϕ1 ) y = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
消去时间参数， 消去时间参数，得
x 2 y 2 2 xy + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 2 A1 A2 A1 A2
x = A1 cos(ω1t + ϕ1 ) y = A2 cos(ω 2t + ϕ 2 )
李 萨 如 图
ϕ1 = 0
π π 3π π ϕ 2 = 0, , , , 8 4 8 2
ω1 m = ω2 n
测量振动频率 和相位的方法
练习 课后题
P72 第7题 P74 17、18题
§3.4 阻尼振动 受迫振动 共振
共振现象的危害
1940 年7月1日美国 Tocama 悬索桥因共振而坍塌 月 日美国
合运动是在 2A1 ( x 向)和 2A2 ( y 向)范围内的一 和 范围内的一 个椭圆。 个椭圆。 椭圆的性质(方位、长短轴、 椭圆的性质(方位、长短轴、左右旋 )在 A1 确定之后, 确定之后,主要决定于
、A2
几种特殊情况： 几种特殊情况： A2 x (1) ϕ 2 − ϕ1 = 0 或 2π两个分振动同相位，得 y = 两个分振动同相位，
x1 = A cos(ω1t + φ )
x2 = Acosx = x1 + x2
= 2 Acos(
因 有
ω2 − ω1
2
t )cos(
ω2 + ω1
2
t +ϕ)
ω1 ~ ω2
ω2 - ω1 = ω1 或 ω2
ω2 + ω1 换ω1 2 ω2
因而合振动可近似地视为是角频率为 ω1 或 ω2 ,振 幅为 2 Acos(
讨论
2 1 2 2
x
o ϕ A
x
o
T
A = A1 + A2 x = ( A1 + A2 ) cos( ω t + ϕ ) ϕ = ϕ 2 = ϕ1 + 2 k π
A ω
A2
1
t
A = A + A + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 ) ± 2）相位差 ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 = ( 2k + 1)π ( k = 0 ， 1, L) x1 = A1 cos ω t x = ( A2 − A1 ) cos(ωt + π) x 2 = A 2 cos( ω t + π )
ω2 − ω1
2
t ) 的简谐振动。 的简谐振动。
合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化， 合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化， 振动出现时强时弱的拍现象。 振动出现时强时弱的拍现象。
定义拍频:单位时间内强弱变化的次数。 定义拍频:单位时间内强弱变化的次数。
ω2 - ω1 ν= = ν2 - ν1 2π
一 阻尼振动 阻尼力
2
阻力系数
Fr = −Cv
− kx − Cv = ma
k ω0 = 固有角频率 m
d x dx m 2 +C + kx = 0 dt dt 2 d x dx 2 + 2δ + ω0 x = 0 2 dt dt
δ = C 2m
阻尼系数
x = Ae
2 0 2
− δt
cos( ω t + ϕ )
2
小阻尼 阻尼 → 0
共振振幅 Ar =
f 2δ ω − δ
2 0 2
大阻尼
o
ω0
ωP
共振频率 共振演示实验
ω r = ω − 2δ
2 0
2
共振振幅
3
6 5 4
Ar =
f
2 2δ ω 0 − δ 2
1
2
单摆1作垂直于纸面 单摆 作垂直于纸面 的简谐运动时，单摆5将 共振现象在实际中的应用 的简谐运动时，单摆 将 作相同周期的简谐运动， 作相同周期的简谐运动， 乐器、 乐器、收音机 …… 其它单摆基本不动. 其它单摆基本不动
A1 sin ϕ 1 + A2 sin ϕ 2 tan ϕ = A1 cos ϕ 1 + A2 cos ϕ 2
两个同方向同 两个同方向同频 率简谐运动合成 率简谐运动合成 后仍为简谐 简谐运动 后仍为简谐运动
A = A + A + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 ) ± ± 1）相位差 ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 = 2k π (k = 0 ， 1， 2,L)
A1
在任一时刻离开坐标原点位移为： 在任一时刻离开坐标原点位移为： (2) ϕ 2 − ϕ1 = π 两个分运动反相位， 两个分运动反相位， 得
A2 y= x A1
y A2
o
A1
x
(3) φ2−φ1=π/2，得
x y + 2=1 2 A1 A2
2
2
这是坐标轴为主轴的椭圆，质 这是坐标轴为主轴的椭圆， 点的轨迹是顺时针旋转。 点的轨迹是顺时针旋转。 (4) φ2−φ1=3π/2，仍然得
驱动力
k ω0 = m 2δ = C m
d x dx 2 + 2δ + ω 0 x = f cos ω p t 2 dt dt
x = A0 e
A=
− δt
2
f =F m
驱动力的角频率
cos( ω t + ϕ ) + A cos( ω p t + ψ )
f
2 p 2 2 p
(ω − ω ) + 4δ ω
x2 y2 + 2=1 2 A1 A2
(3)相同 相同， 与(3)相同，只是质点的轨迹 沿逆时针旋转。 沿逆时针旋转。
用 旋 转 矢 量 描 绘 振 动 合 成 图
两 相 互 垂 直 同 频 率 不 同 相 位 差
简 谐 运 动 的 合 成 图