2016版高考数学考前三个月复习冲刺专题9第43练不等式选讲理

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(通用版)2016年高考数学二轮复习专题十三选考部分第3讲不等式选讲课件理

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3．已知函数 f(x)＝ |x＋ 1|＋ |x－3|－ m的定义域为 R. (1)求实数 m 的取值范围； 2 1 (2)若 m 的最大值为 n，当正数 a， b 满足＋＝ n 时， 3a＋ b a＋2b 求 7a＋ 4b 的最小值．
解：(1)因为函数的定义域为 R，所以|x＋1|＋ |x－ 3|－m≥ 0 恒成立，设函数 g(x)＝ |x＋ 1|＋|x－3|，则 m 不大于函数 g(x)的最小值，又 |x＋1|＋ |x－ 3|≥|(x＋ 1)－ (x－3)|＝4，即 g(x)的最小值为 4，所以 m≤4.
(2)法一：因为 (a＋ b＋ c)2＝ a2＋ b2＋ c2＋2ab＋2bc＋ 2ca≤ 3(a2 1 ＋ b ＋ c )，又 a＋ b＋ c＝ 1，所以 a ＋ b ＋ c ≥ . 3
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法二：由柯西不等式得(a2＋ b2＋ c2)(12＋ 12＋12)≥ (a＋b＋ c)2 ＝ 1， 1 即 a ＋b ＋c ≥ . 3
当 f(x)取最小值时， f(x)＝ |x＋ 1|＋ |x－1|， (x＋1)(x－ 1)≤ 0，∴－ 1≤ x≤ 1. (2)f(0)<3，即为 m2＋ |2m＋3|<3.
2m＋3≥ 0 2m＋3<0，即 2 或 2 ， m ＋2m＋ 3<3 m －2m－ 3<3
3 3 解得－ ≤ m<0 或 1－ 7<m<－ . 2 2 3 3 ∴ m 的范围为－2， 0 ∪ 1－ 7，－2 ，即 (1－ 7， 0)．
1 1＋1 3 3＋1 解：(1)① ＜，＜，即在真分数的分子与分母上同 2 2＋1 5 5＋1 时加上同一个正数，值变大了． ②盐水变咸了，即浓度变高了． ③ kOA＜ kOC，即 a＞ b＞ 0， m＞ 0 时， b b＋ m ＜ . a a＋ m 故提炼的不等式为 b b＋ m 若 a＞ b＞ 0，且 m＞0，则有＜ . a a＋ m

2016届高考数学复习第十四章不等式选讲理

【大高考】（五年高考真题）2016届高考数学复习第十四章不等式选讲理（全国通用）考点一解绝对值不等式1．(2015·重庆，16)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________. 解析由绝对值的性质知f (x )的最小值在x ＝－1或x ＝a 时取得，若f (－1)＝2|－1－a |＝5，a ＝32或a ＝－72，经检验均不合适；若f (a )＝5，则|x ＋1|＝5，a ＝4或a ＝－6，经检验合题意，因此a ＝4或a ＝－6. 答案 4或－62．(2014·广东，9)不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________．解析原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，（x －1）＋（x ＋2）≥5或⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，－（x －1）＋（x ＋2）≥5 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－（x －1）－（x ＋2）≥5，解得x ≥2或x ≤－3.故原不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}．答案 {x |x ≤－3或x ≥2}3．(2014·湖南，13)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53<x <13，则a ＝________.解析依题意，知a ≠0.|ax －2|<3⇔－3<ax －2<3⇔－1<ax <5，当a >0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，5a ，从而有⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝13，－1a ＝－53，此方程组无解．当a <0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫5a ，－1a，从而有⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝－53，－1a ＝13，解得a ＝－3.答案－34．(2014·重庆，16)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析令f (x )＝|2x －1|＋|x ＋2|，易求得f (x )min ＝52，依题意得a 2＋12a ＋2≤52⇔－1≤a ≤12.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 5．(2013·山东，14)在区间[－3，3]上随机取一个数x ，使得|x ＋1|－|x －2|≥1成立的概率为________．解析当x ≤－1时，原不等式变为－(x ＋1)＋(x －2)≥1，即－3≥1，不成立；当－1<x <2时，原不等式变为x ＋1－(2－x )≥1，即x ≥1，∴1≤x <2；当x ≥2时，原不等式变为(x ＋1)－(x －2)≥1，即3≥1，∴x ≥2. 综上所述，不等式的解集是[1，＋∞)．对于区间[－3，3]，只有在区间[1，3]取值时不等式才能成立，故在区间[－3，3]随机取值，使不等式成立的概率是P ＝26＝13.答案 136．(2013·江西，15(2))在实数范围内，不等式||x －2|－1|≤1的解集为________．解析由||x －2|－1|≤1得：－1≤|x －2|－1≤1，即0≤|x －2|≤2，所以－2≤x －2≤2，即0≤x ≤4，故不等式的解集是{x |0≤x ≤4}．答案 {x |0≤x ≤4}7．(2013·重庆，16)若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值范围是________．解析法一设f (x )＝|x －5|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥5，8，－3<x <5，－2x ＋2，x ≤－3，可求得f (x )的值域为[8，＋∞)，因为原不等式无解，只需a ≤8，故a 的取值范围是(－∞，8]．法二由绝对值不等式，得|x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8， ∴不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解时，a 的取值范围为(－∞，8]．答案 (－∞，8]8．(2012·陕西，15A)若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．解析由|x －a |＋|x －1|≥|a －1|，则|a －1|≤3，解得－2≤a ≤4. 答案 [－2，4]9．(2012·广东，9)不等式|x ＋2|－|x |≤1的解集为________．解析由题意知，－2和0将R 分成三部分．(1)当x ≤－2时，原不等式可化简为－(x ＋2)－(－x )≤1，即－2≤1，∴x ≤－2.(2)当－2<x <0时，化简为(x ＋2)＋x ≤1，即2x ≤－1， ∴x ≤－12，∴－2<x ≤－12.(3)当x ≥0时，化简为x ＋2－x ≤1，即2≤1，此时无解．综上可得不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－12. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－1210．(2011·陕西，15A)若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是________．解析法一 |x ＋1|＋|x －2|表示数轴上一点A (x )到B (－1)与C (2)的距离之和，而|BC |＝3.∴|AB |＋|AC |≥3，∴|a |≥3， ∴a ≤－3或a ≥3.法二设f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，（x <－1）3，（－1≤x ≤2）2x －1，（x >2）∴f (x )的图象如图所示，∴f (x )≥3，∴|a |≥3，∴a ≤－3或a ≥3. 法三 ∵|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， ∴|a |≥3.∴a ≤－3或a ≥3. 答案 (－∞，－3]∪[3，＋∞)11．(2015·陕西，24)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}． (1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．解 (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t＝34－t ＋t ≤[（3）2＋12][（4－t ）2＋（t ）2] ＝24－t ＋t ＝4，当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )max ＝4.12．(2015·新课标全国Ⅰ，24)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2. 所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1，0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)．13．(2014·新课标全国Ⅱ，24)设函数f (x )＝|x ＋1a|＋|x －a |(a >0)．(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．(1)证明由a >0，有f (x )＝|x ＋1a |＋|x －a |≥|x ＋1a －(x －a )|＝1a＋a ≥2.所以f (x )≥2.(2)解 f (3)＝|3＋1a|＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a，由f (3)<5得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a，由f (3)<5得1＋52＜a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.14．(2013·辽宁，24)已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值．解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2<x <4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2<x <4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5；所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}． (2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0<x <a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.考点二不等式的证明1．(2012·湖北，6)设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则 a ＋b ＋cx ＋y ＋z 等于( )A.14B.13C.12D.34解析法一由已知得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋4b 2＋4c 2＝40， ①x 2＋y 2＋z 2＝40， ②4ax ＋4by ＋4cz ＝80. ③①＋②－③：(2a －x )2＋(2b －y )2＋(2c －z )2＝0，∴x ＝2a ，y ＝2b ，z ＝2c ， ∴a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12.故选C.法二由题设及柯西不等式得 |ax ＋by ＋cz |≤（a 2＋b 2＋c 2）（x 2＋y 2＋z 2）＝20，当且仅当a x ＝b y ＝c z时取等号，此时令a x ＝b y ＝c z ＝k ，易知k ＝12，∴a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝k ＝12，故选C.答案 C2．(2013·湖南，10)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________．解析由柯西不等式得(12＋12＋12)(a 2＋4b 2＋9c 2)≥(a ＋2b ＋3c )2，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12，当a ＝2b ＝3c ＝2时等号成立，即最小值为12. 答案 123．(2013·湖北，13)设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，则x ＋y ＋z ＝________.解析由柯西不等式得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2当且仅当x 1＝y 2＝z3时等号成立，此时y ＝2x ，z ＝3x .∵x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14， ∴x ＝1414，y ＝21414，z ＝31414. ∴x ＋y ＋z ＝61414＝3147.答案31474．(2013·陕西，15A)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为________．解析 (am ＋bn )(bm ＋an )＝abm 2＋(a 2＋b 2)mn ＋abn 2＝ab (m 2＋n 2)＋2(a 2＋b 2)≥2abmn ＋2(a 2＋b 2)＝4ab ＋2(a 2＋b 2)＝2(a 2＋2ab ＋b 2)＝2(a ＋b )2＝2(当且仅当m ＝n ＝2时等号成立)．答案 25．(2015·新课标全国Ⅱ，24)设a 、b 、c 、d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ；(2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．证明 (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd 得(a ＋b )2＞(c ＋d )2. 因此a ＋b ＞c ＋d . (2)①若|a －b |＜|c －d |，则(a －b )2＜(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd . 由(1)得a ＋b ＞c ＋d .②若a ＋b ＞c ＋d ，则(a ＋b )2＞(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ，于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |＜|c －d |.综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．6．(2014·天津，19)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n qn －1，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n }．(1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A ； (2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n qn －1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n .证明：若a n <b n ，则s <t .(1)解当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22，x i ∈M ，i ＝1，2，3}．可得，A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}． (2)证明由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n qn －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n qn －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n <b n ，可得s －t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )qn －1≤(q －1)＋(q －1)q ＋…＋(q －1)·q n －2－qn －1＝（q －1）（1－q n －1）1－q－q n －1＝－1<0.所以，s <t .。

2016版高考数学二轮复习课件：专题三函数与不等式

栏目导引第二十四页，编辑于星期五：二十三点五十一
分。
专题三函数与不等式
x＋y≥1 1．设变量 x，y 满足约束条件x－y≥0
，则目标函数 z＝x
2x－ y－ 2≤ 0
－2y 的最大值为( B )
A.3
B． 1
2
C．－1 2
D．－ 2
栏目导引第二十五页，编辑于星期五：二十三点五十一
分。
＝f[x(x＋6)]，2f(4)＝f(16)，
则 f[x(x＋6)]<f(16)．
x（x＋6）<16
由题意，得x>0
，解得 0<x<2.
x＋6>0
栏目导引
第十四页，编辑于星期五：二十三点五十一分。
考点二基本不等式
专题三函数与不等式
(2014·高考课标全国卷Ⅰ，10 分)若 a>0，b>0，且1a＋1b＝
考点三线性规划
专题三函数与不等式
(2014·高考课标全国卷Ⅱ，5 分)设 x，y 满足约束条件
x＋y－7≤0， x－3y＋1≤0，则 z＝2x－y 的最大值为( B ) 3x－ y－ 5≥ 0，
A．10 B．8 C．3 D．2
栏目导引
第二十页，编辑于星期五：二十三点五十一分。
专题三函数与不等式
解析：当 x≤1 时，
令 (1)x≥ 2＝ (1)－ 1，
2
2
得 x≤－1；
当 x>1 时，令 log2x≥2＝log24，得 x≥4.故不等式 f(x)≥2 的解
集为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．
栏目导引
第十一页，编辑于星期五：二十三点五十一分。
专题三函数与不等式

【步步高】(全国通用)2016版高考数学考前三个月复习冲刺专题2 第4练用好基本不等式课件理

∵x>2，∴x－2>0.
高考题型精练
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1 ∴f(x)＝x－2＋＋2≥2 x－2
1 x－2· ＋2＝4， x－2
1 当且仅当 x－2＝，即 x＝3 时，“＝”成立. x－2
又f(x)在x＝a处取最小值.∴a＝3. 答案 C
高考题型精练
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p 解 y ＝2px(p>0)的准线 x＝－， 2
2
p 5 1 ∴1－(－ )＝，p＝， 2 4 2
∴抛物线C的方程为y2＝x. 又点M(t,1)在曲线C上， ∴t＝1.
|AB| ②记 d＝ 2，求 d 的最大值. 1＋4m
解由①知，点M(1,1)，从而n＝m，即点Q(m，m)，依题意，直线AB的斜率存在，且不为0，设直线AB的斜率为k(k≠0). 且A(x1，y1)，B(x2.y2)，
1
＝f( ab)＝p.
故p＝r＜q.选C. 答案 C
高考题型精练
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1.(2014·重庆)若 log 4(3a＋4b)＝log 2 ab，则 a＋b 的最小值是 ( A.6＋2 3 C.6 ＋4 3 B.7 ＋2 3 D.7＋4 3
a>0，所以 b>0.
点评
基本不等式及不等式性质应用十分广泛，在最优化实
际问题，平面几何问题，代数式最值等方面都要用到基本不
等式，应用时一定要注意检验“三个条件”是否具备.

高考数学总复习考前三个月中档大题规范练 6 不等式

6.不等式选讲1.(2017·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，求a 的取值范围.解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0. ①当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0，得1<x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ －1≤x ≤－1＋172.(2)当x ∈[－1，1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]等价于当x ∈[－1，1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1，1]上的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1.所以a 的取值范围为[－1，1].2.已知函数f (x )＝||2x －a ||＋x －1， a ∈R .(1)若不等式f (x )≥2－||x －1恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当a ＝1时，直线y ＝m 与函数f (x )的图象围成三角形，求m 的取值范围. 解 (1)因为f (x )≥2－||x －1恒成立，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≥1恒成立，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a2＋|x －1|min ≥1成立，由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2－x ＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a2－1，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a2－1≥1，解得a ≤0或a ≥4，所以a 的取值范围为(－∞，0]∪[4，＋∞).(2)当a ＝1时， f (x )＝||2x －1||＋x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧2－3x ，x ≤12，x ，12＜x ＜1，3x －2，x ≥1，作出f (x )的图象，如图所示.由图象可知，当12＜m ≤1时，直线y ＝m 与函数f (x )的图象围成三角形，故所求m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.3.设函数f (x )＝||x ＋2||－x －1.(1)求不等式f (x )>1的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )＋4≥||1－2m 有解，求实数m 的取值范围.解 (1)函数f (x )可化为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ≤－2，2x ＋1，－2＜x ＜1，3，x ≥1，当x ≤－2时， f (x )＝－3＜0，不合题意；当－2＜x ＜1时， f (x )＝2x ＋1>1⇒x >0，即0＜x ＜1；当x ≥1时， f (x )＝3>1，即x ≥1.综上，不等式f (x )>1的解集为(0，＋∞).(2)关于x 的不等式f (x )＋4≥||1－2m 有解等价于()f (x )＋4max ≥||1－2m ，由(1)可知，f (x )max ＝3，(也可由||f (x )＝||||x ＋2||－x －1||≤()x ＋2－(x －1)＝3，得f (x )max ＝3)，即||1－2m ≤7，解得－3≤m ≤4.4.已知f (x )＝||x ＋a ， g (x )＝||x ＋3－x ，记关于x 的不等式f (x )＜g (x )的解集为M .(1)若a －3∈M ，求实数a 的取值范围；(2)若[]－1，1⊆M ，求实数a 的取值范围.解 (1)依题意有||2a －3＜||a －()a －3，若a ≥32，则2a －3＜3，∴32≤a ＜3，若0≤a ＜32，则3－2a ＜3，∴0＜a ＜32，若a ≤0，则3－2a ＜－a －()a －3，无解.综上所述， a 的取值范围为()0，3.(2)由题意可知，当x ∈[]－1，1时，f (x )＜g (x )恒成立，∴||x ＋a ＜3恒成立，即－3－x ＜a ＜3－x ，当x ∈[]－1，1时，－2＜a ＜2.5.已知函数f (x )＝2||x ＋a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1a ()a ≠0.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )＜4；(2)求函数g (x )＝f (x )＋f (－x )的最小值.解 (1)∵ a ＝1，∴原不等式为2||x ＋1||＋x －1＜4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜－1，－2x －2－x ＋1＜4或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤1，2x ＋2－x ＋1＜4或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x ＋2＋x －1＜4， ∴－53＜x ＜－1或－1≤x ＜1或∅，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪－53＜x ＜1.(2)由题意得g (x )＝f (x )＋f (－x )＝2()||x ＋a ＋||x －a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1a ≥2||2a ＋2||a ＝4||a ＋2||a ≥42，当且仅当2||a ＝1||a ，即a ＝±22，且－22≤x ≤22时，g (x )取最小值4 2.6.已知f (x )＝||x －a ＋||2x ＋1(1)若a ＝1，解不等式f (x )≤3；(2)f (x )≤2a ＋x 在[)a ，＋∞上有解，求a 的取值范围.解 (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12，1－x －1－2x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤1，1－x ＋2x ＋1≤3或⎩⎪⎨⎪⎧ x >1，x －1＋2x ＋1≤3，－1≤x ＜－12或－12≤x ≤1或∅，所以原不等式解集为{x |－1≤x ≤1}.(2)因为x ∈[)a ，＋∞，所以f (x )＝||x －a ＋||2x ＋1||＝x －a ＋2x ＋1≤2a ＋x ，推出||2x ＋1≤3a 有解，所以a ≥0，所以不等式化为2x ＋1≤3a 有解，即2a ＋1≤3a ⇒a ≥1.所以a 的取值范围为[1，＋∞).。

高考数学压轴专题唐山备战高考《不等式选讲》技巧及练习题附答案

数学《不等式选讲》复习资料一、141．函数()f x 的定义域为A ,若存在非零实数t ，使得对于任意()x C C A ∈⊆有,x t A +∈且()()f x t f x +≤，则称()f x 为C 上的t 度低调函数.已知定义域为[)0+∞，的函数()=3f x mx --，且()f x 为[)0+∞，上的6度低调函数，那么实数m 的取值范围是（）A ．[]0,1B ．[)1+∞，C ．(],0-∞D ．][(),01,-∞⋃+∞ 【答案】D【解析】试题分析：由题意得， ()()6633f x f x mx m mx +≤⇒+-≥-对任意0x ≥都成立.当0m ≤时， 633633|m mx m mx -≤-⇒+-≥-恒成立；当0m >时，结合图象可知，要633mx m mx +-≥-对任意0x ≥都成立，只需0x =时633mx m mx +-≥-成立即可，即6331m m -≥-⇒≥.选D.考点：1、新定义函数；2、绝对值不等式.2．不等式2124x x a a +--≥-的解集为R ，则实数a 的取值范围是（） A ．(][),13,-∞+∞U B ．()(),13,-∞⋃+∞ C ．[]1,3 D ．()1,3【答案】C 【解析】【分析】令()12f x x x =+--，通过对x 的取值范围的讨论，去掉绝对值符号，可求得()min 3f x =，依题意，即可求得实数a 的取值范围.【详解】令()12f x x x =+--，当1x <-时，()()123f x x x =----+=-；当12x -≤≤时，()()[]12213,3f x x x x =+--+=-∈-；当2x >时，()()123f x x x =+--=； ∴()min 3f x =-.∵不等式2124x x a a +--≥-的解集为R ， ∴()2min 43a a f x -≤=-，即实数a 的取值范围是[]1,3.故选C. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查函数恒成立问题，解题方法是转化为求函数最值，然后解不等式．3．关于x 不等式2x x a a -+-≥在R 上恒成立，则实数a 的最大值是 A ．0 B ．1C ．－1D ．2【答案】B 【解析】由于|x －2|＋|x －a |≥|a －2|，∴等价于|a －2|≥a ，即a ≤1.故实数a 的最大值为1.4．设|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是 ( ) A ．|a+b|+|a-b|>2 B ．|a+b|+|a-b|<2 C ．|a+b|+|a-b|=2 D ．不能比较大小【答案】B 【解析】选B.当(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2, 当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2.5．设n *∈N） A>BC=D ．不能确定【答案】B 【解析】【分析】把两个代数式进行分子有理化，比较分母的大小可以比较出大小关系．【详解】22-===.22-===.*n N∈42,31n n n n+>++>+>>><<成立，因此本题选B．【点睛】对于二次根式的加減运算，分母有理化是常见的运算要求，但是有时分子有理化会起到意想不到的作用，尤其是在比较二个二次根式减法算式之间的大小关系时，经常会用到分子有理化这个方法．当然不等式的性质也是很重要的．6．已知各项均为正数的数列{}n a的前n项和为n S，且()2*21221n na a S n n N+==++∈，，若对任意的*n N∈，1211120nn a n a n aλ++⋯+-≥+++恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．(]2∞-，B．(]1∞-，C．14∞⎛⎤- ⎥⎝⎦，D．12，∞⎛⎤-⎥⎝⎦【答案】C【解析】【分析】2212,21n na a S n+==++()*n N∈，可得2n≥时，()221121210n n n n n na a S S a a+--=-+=+>，．可得11n na a+=+时，212224a a+==，解得1a．利用等差数列的通项公式可得na．通过放缩即可得出实数λ的取值范围．【详解】2212,21n na a S n+==++Q()*n N∈，2n∴≥时，()22112121n n n n na a S S a+--=-+=+，化为：222121(1)n n n na a a a+=++=+，0na>．11n na a+∴=+，即11n na a+-=，1n=时，212224a a+==，解得11a=．∴数列{}n a为等差数列，首项为1，公差为1．11n a n n ∴=+-=． 1211111112n n a n a n a n n n n∴++⋯+=++⋯+++++++. 记11112n b n n n n =++⋯++++，1111111211n b n n n n +=++⋯++++++++. ()()11111022*******n n b b n n n n n +-=+-=>+++++. 所以{}n b 为增数列，112n b b ≥=,即121111111122n n a n a n a n n n n ++⋯+=++⋯+≥++++++. Q 对任意的*n N ∈，1211120nn a n a n a λ++⋯+-≥+++恒成立， 122λ∴≤，解得14λ≤ ∴实数λ的取值范围为14∞⎛⎤- ⎥⎝⎦，．故选C ．【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则参数a 的取值范围是（） A ．()1,+∞ B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞ 【答案】A 【解析】【分析】先求|x-3|+|x-4|的最小值是1，即得解. 【详解】由题得|x-3|+|x-4|＜a 有解，由绝对值三角不等式得|x-3|+|x-4|≥|x -3-x+4|=1，所以|x-3|+|x-4|的最小值为1，所以1＜a,即a ＞1. 故选：A 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式求最值，考查不等式的有解问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，则实数a 的取值范围是（）A ．5a ≤B ．554a -≤≤C ．574a -≤≤D ．7a ≤【答案】A 【解析】【分析】原不等式等价于210x x a ---<，设()21f x x x a =---，则由题意得()()350370f a f a ⎧-=-≥⎪⎨=-≥⎪⎩，解之即可求得实数a 的取值范围. 【详解】不等式等价于210x x a ---<，设()21f x x x a =---，因为不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，所以()()350370f a f a ⎧-=-≥⎪⎨=-≥⎪⎩，解之得5a ≤.故选：A. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、二次函数的性质，体现化归与等价转化思想，属中等难度题.9．已知函数()1f x x x a =++-，若()2f x ≥恒成立，则a 的取值范围是（） A ．(][),22,-∞-+∞U B ．(][),31,-∞-+∞U C ．(][),13,-∞-+∞U D ．(][),04,-∞+∞U【答案】B 【解析】【分析】利用绝对值三角不等式确定()f x 的最小值；把()2f x ≥恒成立的问题，转化为其等价条件去确定a 的范围。

高考数学江苏(理)考前三个月配套文档专题9系列4选讲第42练Word版含解析

第 42 练不等式选讲[题型剖析·高考展望 ]本部分主要考察绝对值不等式的解法．求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，联合会合的运算、函数的图象和性质、恒建立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热门，主要考察基本运算能力与推理论证能力及数形联合思想、分类议论思想．体验高考1． (2016 课·标全国甲 )已知函数 f(x)＝ x－1＋ x＋1， M 为不等式 f(x)<2 的解集．22(1)求 M；(2)证明：当a， b∈ M 时， |a＋ b|<|1＋ ab|.1－ 2x， x≤ －2，(1)解 f( x)＝1，－11，<x< 22 12x， x≥2.1当 x≤－2时，由 f(x)<2 得－ 2x<2，1解得 x>－ 1，所以－ 1<x≤－2；11当－2<x<2时， f(x)<2；1当 x≥2时，由 f(x)<2 得 2x<2 恒建立，1解得 x<1，所以，2≤ x<1.所以 f(x)<2 的解集 M＝ { x|－1<x<1} ．(2)证明由 (1)知，当 a， b∈M 时，－ 1<a<1，－ 1< b<1，进而 ( a＋ b)2－ (1＋ ab) 2＝ a2＋ b2－ a2 b2－ 1＝ (a2－ 1)(1－ b2)<0 ，即 ( a＋ b)2<(1 ＋ ab)2，所以 |a＋b|<|1＋ ab|.2． (2016课·标全国丙 )已知函数 f(x)＝ |2x－ a|＋ a.(1)当 a＝2 时，求不等式 f(x)≤ 6 的解集；(2)设函数 g(x)＝ |2x－ 1|.当 x∈R时， f(x) ＋g(x)≥ 3，求 a 的取值范围．解 (1) 当 a＝ 2 时， f(x)＝ |2x－ 2|＋ 2.解不等式 |2x－ 2|＋2≤ 6 得－ 1≤x≤ 3.所以 f(x)≤ 6 的解集为 { x|－ 1≤ x≤ 3} ．(2)当 x∈R时， f(x) ＋g( x)＝ |2x－ a|＋ a＋ |1－ 2x|≥ |2x－ a＋ 1－2x|＋ a＝ |1－a|＋ a，1当 x＝2时等号建立，所以当 x∈R时， f(x)＋ g( x)≥ 3 等价于 |1－a|＋ a≥ 3.①当 a≤1 时，①等价于 1－ a＋ a≥3，无解．当 a＞1 时，①等价于 a－ 1＋ a≥3，解得 a≥ 2.所以 a 的取值范围是[2，＋∞ )．高考必会题型题型一含绝对值不等式的解法含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|>a(a>0)? f(x)>a 或 f(x)<－ a；(2)|f(x)|<a(a>0)? － a<f(x)<a；(3)对形如 |x－ a|＋ |x－ b|≤ c， |x－ a|＋ |x－b|≥ c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．例 1 已知函数 f(x)＝ |x－ a|，此中 a＞ 1.(1)当 a＝ 2 时，求不等式 f(x)≥ 4－|x－ 4|的解集；(2)已知对于 x 的不等式 |f(2x＋ a)－ 2f(x)|≤ 2 的解集为 { x|1≤ x≤ 2} ，求 a 的值．解 (1) 当 a＝ 2 时，－2x＋ 6， x≤ 2，f(x) ＋ |x－ 4|＝2， 2＜ x＜ 4，2x－ 6， x≥ 4.当 x≤2 时，由 f(x)≥ 4－ |x－ 4|得－ 2x＋ 6≥4，解得 x≤ 1；当 2＜x＜ 4 时， f(x)≥ 4－ |x－ 4|无解；当 x≥4 时，由 f(x)≥ 4－ |x－ 4|得 2x－ 6≥ 4，解得 x ≥ 5；所以 f(x)≥ 4－ |x － 4|的解集为 { x|x ≤ 1 或 x ≥5} ．(2)记 h(x)＝ f(2x ＋a) －2f(x)，－ 2a ，x ≤ 0，则 h(x)＝ 4x － 2a ，0＜ x ＜ a ，2a ， x ≥a.a － 1a ＋ 1由 |h(x)|≤ 2，解得 2≤ x ≤2 .又已知 |h(x)|≤2 的解集为 { x|1≤ x ≤2} ，a － 12 ＝ 1，所以于是 a ＝ 3.a ＋ 1＝ 2，2评论 (1) 用零点分段法解绝对值不等式的步骤① 求零点； ② 划区间、去绝对值号； ③ 分别解去掉绝对值的不等式； ④ 取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形联合法能够求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既平常易懂，又简短直观，是一种较好的方法．变式训练 1 已知函数 f(x)＝|x － 2|－ |x － 5|. (1)证明：－ 3≤ f(x)≤ 3；(2)求不等式 f(x)≥ x 2－ 8x ＋15 的解集．－ 3， x ≤2，(1)证明 f(x) ＝ |x － 2|－ |x － 5|＝ 2x － 7， 2<x<5，3， x ≥ 5.当 2<x<5 时，－ 3<2x － 7<3.所以－ 3≤ f( x)≤3.(2)由 (1)可知，当 x ≤2 时， f(x) ≥x 2－8x ＋ 15 的解集为空集；当 2<x<5 时， f(x)≥ x 2 －8x ＋ 15 的解集为 { x|5－ 3≤ x<5} ；当 x ≥5 时， f(x) ≥x 2－8x ＋ 15 的解集为 { x|5≤ x ≤ 6} ．综上，不等式 f(x)≥ x 2－ 8x ＋ 15 的解集为 { x|5－ 3≤ x ≤6} ．题型二不等式的证明1．含有绝对值的不等式的性质|a|－ |b|≤ |a ±b|≤ |a|＋ |b|.2．算术 — 几何均匀不等式定理 1：设 a ， b ∈ R ，则 a 2＋ b 2≥ 2ab.当且仅当 a ＝ b 时，等号建立．定理 2：假如 a 、 b 为正数，则a ＋b≥ ab ，当且仅当 a ＝ b 时，等号建立．2定理 3：假如 a 、 b 、 c 为正数，则a ＋b ＋c ≥ 3abc ，当且仅当 a ＝ b ＝c 时，等号建立．3定理 4：(一般形式的算术 — 几何均匀不等式 )假如 a ，a ，，a 为 n 个正数，则 a 1＋ a 2＋＋ a n12 n n ≥ na 1a 2 a n ，当且仅当 a 1＝a 2＝＝ a n 时，等号建立．1例 2(1)已知 x ， y 均为正数，且 x>y.求证： 2x ＋ x 2－ 2xy ＋ y 2≥ 2y ＋3.(2)已知实数1 1 ，x ， y 知足： |x ＋ y|< ， |2x － y|<3 6求证： |y|<518.证明 (1) 由于 x>0， y>0，x － y>0，12－ 2y2x ＋ 2x － 2xy ＋ y ＝ 2(x － y)＋1x － y2＝ (x － y)＋ (x － y)＋1x － y2321 ＝ 3，≥ 3x － yx －y 2 所以 2x ＋ 212≥ 2y ＋3，x － 2xy ＋ y(2)由于 3|y|＝ |3y|＝ |2(x ＋ y)－ (2x － y)|≤ 2|x ＋y|＋ |2x － y|，1 1由题设知 |x ＋ y|<3， |2x －y|<6 ，2 1 5进而 3|y|<3＋ 6＝ 6，5所以 |y|<18.评论 (1) 作差法应当是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤： ①作差； ② 分解因式； ③ 与 0 比较； ④结论．重点是代数式的变形能力．(2)在不等式的证明中，适合“ 放”“ 缩 ”是常用的推证技巧．|a ＋ b||a||b|变式训练 2(1)若 a ， b ∈ R ，求证： 1＋ |a ＋ b| ≤ 1＋ |a| ＋ 1＋ |b|.2 2 2a ＋b ＋ c＞ 1.(2)已知 a ， b ， c 均为正数， a ＋ b ＝ 1，求证： b ca证明 (1) 当 |a ＋b|＝ 0 时，不等式明显建立．1≥1|a ＋ b| ＝ 1 ≤ 1 ＝当 |a ＋b|≠ 0 时，由 0<|a ＋ b|≤ |a|＋ |b|?，所以1|a ＋b| |a|＋ |b| 1＋ |a ＋ b|1＋ 1＋ 1|a ＋ b||a|＋ |b||a|＋ |b|.≤ |a| ＋ |b|1＋ |a|＋ |b| 1＋ |a| 1＋ |b|a 2b 2c 2(2)由于 b ＋ b ≥ 2a ， c ＋ c ≥ 2b ， a ＋ a ≥ 2c ，222故 a ＋ b ＋ c＋ (a ＋ b ＋ c)≥ 2(a ＋ b ＋c) ，b c aa 2b 2c 2即 b ＋ c ＋ a ≥ a ＋ b ＋ c ＝ 1＋ c ＞ 1，2 2 2abc所以 b ＋ c ＋ a ＞ 1.题型三柯西不等式的应用柯西不等式(1)设 a ， b ，c ， d 均为实数，则 (a 2＋ b 2)(c 2＋ d 2)≥( ac ＋ bd)2，当且仅当 a d ＝ bc 时等号建立．(2)设 a 1， a 2， a 3，， a n ， b 1， b 2， b 3，， b n 是实数，则 ( a 12 a 22a n 2 )(b 12 b 22b n 2 ) ≥ (a 1b 1＋a 2b 2＋＋ a n b n )2 ，当且仅当 b i ＝ 0(i ＝ 1,2，，n)或存在一个数 k ，使得 a i ＝kb i (i ＝ 1,2，， n)时，等号建立．例 3(2015·福建 )已知 a ＞0， b ＞ 0， c ＞ 0，函数 f(x)＝ |x ＋ a|＋ |x － b|＋ c 的最小值为 4.(1)求 a＋ b＋c的值；12122的最小值．(2)求 a ＋b＋ c49解 (1) 由于 f(x)＝ |x＋ a|＋ |x－ b|＋c≥ |(x＋ a)－ (x－ b)|＋ c＝ |a＋ b|＋c，当且仅当－ a≤ x≤ b 时，等号建立．又 a＞0， b＞ 0，所以 |a＋ b|＝ a＋ b.所以 f(x)的最小值为a＋ b＋c.又已知 f(x)的最小值为4，所以 a＋ b＋ c＝ 4.(2)由 (1)知 a＋ b＋c＝ 4，由柯西不等式得12122(4＋ 9＋1) a ＋b＋ c49≥a2× 2＋b3× 3＋ c× 1 2＝(a＋ b＋ c) 2＝ 16，121228即4a＋9b＋ c ≥7.112a3bc当且仅当 2 ＝3＝1，即 a＝8， b＝18， c＝2时等号建立．777121228故4a＋9b＋ c的最小值为7.评论 (1) 使用柯西不等式证明的重点是适合变形，化为切合它的构造形式，当一个式子与柯西不等式的左侧或右侧拥有一致形式时，便可使用柯西不等式进行证明．(2)利用柯西不等式求最值的一般构造为22211122(a1＋ a2＋＋ a n)(a12＋a22＋＋a2n)≥ (1＋ 1＋＋ 1)＝ n .在使用柯西不等式时，要注意右侧为常数且应注意等号建立的条件．变式训练 3 已知定义在R 上的函数f(x)＝|x＋ 1|＋ |x－ 2|的最小值为 a.(1)求 a 的值；(2)若 p， q，r 是正实数，且知足p＋ q＋ r＝a，求证： p2＋q2＋ r2≥3.(1)解由于 |x＋ 1|＋ |x－ 2|≥ |(x＋ 1)－ (x－ 2)|＝ 3，当且仅当－1≤ x≤ 2 时，等号建立，所以 f(x)的最小值等于3，即 a＝ 3.(2)证明由 (1)知 p＋q＋ r＝ 3，又由于 p， q， r 是正实数，所以 (p2＋ q2＋ r2)(12＋12＋ 12)≥ (p× 1＋ q×1＋ r × 1)2＝ (p＋ q＋ r )2＝ 9，即 p2＋ q2＋ r2≥ 3.高考题型精练1．假如对于x 的不等式 |x－ 3|－ |x－4|<a 的解集不是空集，务实数a的取值范围．解设 y＝ |x－ 3|－ |x－ 4|，－ 1， x≤ 3，则 y＝ 2x－ 7， 3<x<4，1， x≥4的图象如下图．若 |x－ 3|－ |x－ 4|<a 的解集不是空集，则 (|x－ 3|－ |x－4|)min <a.由图象可知当a>－ 1 时，不等式的解集不是空集．即实数 a 的取值范围是 (－ 1，＋∞ )．1＋1＋λ≥ 0 恒建立，务实数λ的最小值．2．设 x>0， y>0，若不等式x y x＋ y11y x解∵ x>0， y>0，∴ 原不等式可化为－λ≤ (x＋y) ·(x＋ y)＝ 2＋x＋y.y x y x∵2＋＋≥2＋2·＝4，x y x y当且仅当x＝ y 时等号建立．1 1∴[( x＋y)(x＋ y)] min＝ 4，∴ －λ≤4，λ≥ －4.即实数λ的最小值是－ 4.213．若不等式 |2x－1|＋ |x＋ 2|≥ a ＋2a＋2 对随意实数x 恒建立，务实数 a 的取值范围．1解设 y＝ |2x－ 1|＋ |x＋ 2|＝－ x＋ 3，－ 2≤ x<2，13x＋ 1， x≥2.当 x<－2 时， y＝－ 3x－ 1>5；当－ 2≤ x<1时， y＝－ x＋3>5；22155当 x≥2时， y＝ 3x＋1≥2，故函数y＝|2x－ 1|＋ |x＋ 2|的最小值为2.21由于不等式 |2x－ 1|＋ |x＋ 2|≥ a ＋2a＋ 2 对随意实数 x 恒建立，5215211所以2≥ a ＋2a＋ 2.解不等式2≥ a＋2a＋ 2，得－ 1≤a≤2，1故 a 的取值范围为 [ － 1，2]．4．设不等式 |x－2|<a(a∈N* )的解集为A，且3∈ A，1?A，22(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)＝ |x＋ a|＋ |x－ 2|的最小值．解 (1) 由于3∈ A，且1?A，22所以32－ 2 <a，且12－ 2≥ a，1 3解得2<a≤2.又由于 a∈N*，所以 a＝ 1.(2)由于 |x＋ 1|＋ |x－ 2|≥ |(x＋ 1) －(x－ 2)|＝ 3，当且仅当 (x＋ 1)(x－ 2)≤ 0，即－ 1≤ x≤ 2 时取到等号，所以 f(x)的最小值为 3.5．已知 f(x)＝ |x＋ 1|＋ |x－ 1|，不等式 f(x)<4 的解集为 M.(1)求 M；(2)当 a， b∈M 时，证明： 2|a＋ b|<|4＋ab|.(1)解 f( x)＝ |x＋1|＋ |x－ 1|＝2，－ 1≤ x≤1，2x， x>1.当 x<－1 时，由－ 2x<4 ，得－ 2<x<－ 1；当－ 1≤ x≤ 1 时， f(x)＝ 2<4 恒建立；当 x>1 时，由 2x<4，得 1<x<2.∴综上可得－ 2<x<2，即 M＝ (－2,2)．(2)证明∵ a， b∈ M，即－ 2<a<2，－ 2<b<2 ，∴4(a＋b) 2－ (4＋ab)2＝ 4(a2＋ 2ab＋ b2)－ (16＋ 8ab＋a2b2) ＝ (a2－ 4)(4－ b2)<0 ，∴ 4(a＋ b)2<(4 ＋ab)2，∴2|a＋ b|<|4＋ ab|.6．已知 a2＋ 2b2＋ 3c2＝ 6，若存在实数a， b，c，使得不等式a＋ 2b＋ 3c>|x＋ 1|建立，务实数x的取值范围．解由柯西不等式知[12＋ ( 2)2＋ ( 3)2][ a2＋ ( 2b)2＋ (3c) 2]≥ (1 ·a＋2· 2b＋3· 3c)2即 6×( a2＋ 2b2＋ 3c2)≥ (a＋ 2b＋ 3c)2.又∵ a2＋2b2＋ 3c2＝ 6，∴6× 6≥ (a＋ 2b＋3c) 2，∴－ 6≤ a＋ 2b＋3c≤ 6.∵存在实数a，b， c，使得不等式a＋ 2b＋3c>|x＋ 1|建立．∴|x＋ 1|<6，∴ － 7<x<5.∴x 的取值范围是 { x|－ 7< x<5} ．7．设函数 f(x)＝ |x－a|＋ 3x，此中 a>0.(1)当 a＝ 1 时，求不等式f(x)≥ 3x＋ 2 的解集；(2)若不等式f(x)≤ 0 的解集为 { x|x≤－ 1} ，求 a 的值．解 (1) 当 a＝ 1 时， f(x)≥ 3x＋ 2 可化为 |x－ 1|≥ 2.由此可得x≥ 3 或 x≤ － 1.故当 a＝ 1 时，不等式f(x)≥ 3x＋ 2 的解集为 { x|x≥ 3 或 x≤ －1} ．(2)由 f( x)≤ 0 得 |x－ a|＋ 3x≤ 0.此不等式化为不等式组x≥ a，x<a，或x－a＋ 3x≤ 0a－ x＋ 3x≤ 0，x≥a，x<a，即a或ax≤4x≤－2.a由于 a>0，所以不等式组的解集为{ x|x≤ －2} ．由题设可得－a2＝－ 1，故 a＝ 2.8． (2015 ·标全国课Ⅰ )已知函数f(x)＝ |x＋ 1|－ 2|x－ a|，a>0.(1)当 a＝ 1 时，求不等式f(x)>1 的解集；(2)若 f( x)的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求 a 的取值范围．解 (1) 当 a＝ 1 时， f(x)>1 化为 |x＋ 1|－2|x－ 1|－ 1>0.当 x≤－ 1 时，不等式化为x－ 4>0 ，无解；当－ 1<x<1 时，不等式化为3x－ 2>0，解得23<x<1；当 x≥1 时，不等式化为－x＋ 2>0 ，解得 1≤ x<2.2所以 f(x)>1 的解集为x 3<x<2.x－ 1－2a， x<－1，(2)由题设可得，f(x)＝3x＋ 1－ 2a，－ 1≤ x≤ a，－x＋ 1＋ 2a， x>a.所以函数 f( x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个极点分别为A 2a－ 1， 0， B(2a＋ 1,0)，C(a，3a＋ 1)，高考数学江苏(理)考前三个月配套文档专题9系列4选讲第42练Word版含解析△ABC 的面积为23(a＋ 1) 2.22由题设得3(a＋ 1)>6，故 a>2.所以 a 的取值范围为(2，＋∞ )．。

2016年高考数学试题分类解析考点47 不等式选讲

考点47 不等式选讲1.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T24)同(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T24)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)画出y=f(x)的图像.(2)求不等式|f(x)|>1的解集.【解析】(1)如图所示:(2)f(x)=x 4,x 1,33x 2,1x ,234x,x ,2⎧⎪-≤-⎪⎪--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩|f(x)|>1,当x ≤-1时,|x-4|>1,解得x>5或x<3,∴x ≤-1.当-1<x<32时,|3x-2|>1,解得x>1或x<13,∴-1<x<13或1<x<32.当x ≥32时,|4-x|>1,解得x>5或x<3, ∴32≤x<3或x>5.综上,x<13或1<x<3或x>5,∴|f(x)|>1的解集为1∞,3⎛⎫- ⎪⎝⎭∪(1,3)∪(5,+∞). 2.(2016·全国卷Ⅱ文科·T24)同(2016·全国卷Ⅱ理科·T24)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=11x +x 22-+,M 为不等式f(x)<2的解集. (1)求M.(2)证明:当a,b ∈M 时,|a+b|<|1+ab|.【解题指南】(1)函数解析式含有绝对值,需要讨论去掉绝对值符号后,再解不等式.(2)可以用分析法分析,用综合法证明.【解析】(1)当x<-12时,f(x)=12 -x-x-12=-2x<2,解得-1<x<-12;当-12≤x ≤12时,f(x)=12 -x+x+12=1<2恒成立;当x>12时,f(x)=2x<2,解得12<x<1.综上可得,M={x|-1<x<1}.(2)当a,b ∈(-1,1)时,有(a 2-1)(b 2-1)>0,即a 2b 2+1>a 2+b 2,则a 2b 2+2ab+1>a 2+2ab+b 2,则(ab+1)2>(a+b)2,即|a+b|<|ab+1|.3.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T24)与(2016·全国卷3·理科·T24)相同选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-a|+a.(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集.(2)设函数g(x)=|2x-1|,当x ∈R 时,f(x)+g(x)≥3,求a 的取值范围.【解析】(1)当a=2时,f(x)= |2x-2| +2,解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x ≤3.因此f(x)≤6的解集为{}x 1x 3-≤≤.(2)当x ∈R 时, f(x)+g(x)=2x a - +a+12x - ≥2x a 12x -+-+a =1a -+a,所以当x ∈R 时,f(x)+g(x)≥3等价于1a -+a ≥3, ①当a 1时,①等价于 ≤1a 3,无解a -+≥当a 1时,①等价于 a 1a 3,解得a 2.>-+≥≥所以a 的取值范围是)2,∞.⎡+⎣4.(2016·江苏高考T21)D.[选修4-5:不等式选讲]设a>0, |x-1|<3a ,|y-2|<错误！未找到引用源。

2016届高考数学复习第十四章不等式选讲理(全国通用)

【大高考】（三年模拟一年创新）2016届高考数学复习第十四章不等式选讲理（全国通用）A 组专项基础测试三年模拟精选填空题1．(2015·湖南长沙模拟)不等式|x －4|＋|x －3|≤a 有实数解的充要条件是________．解析 a ≥|x －4|＋|x －3|有解⇔a ≥(|x －4|＋|x －3|)min ＝1.答案 a ≥12．(2015·湖南十三校模拟)设x ，y ，z ∈R ，2x ＋2y ＋z ＋8＝0则(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2的最小值为________．解析(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2](22＋22＋12)≥[2(x －1)＋2(y ＋2)＋(z －3)]2＝(2x ＋2y ＋z －1)2＝81.答案 93．(2014·山东实验中学模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .若不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，则实数a 的值为________．解析 ∵不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，即－2，3是方程f (x )＝6的两个根，即|6－a |＋a ＝6，|a ＋4|＋a ＝6，∴|6－a |＝6－a ，|a ＋4|＝6－a ，即|6－a |＝|a ＋4|，解得a ＝1.答案 14．(2014·咸阳二模)若不等式|x ＋1x|>|a －2|＋1对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵|x ＋1x|≥2， ∴|a －2|＋1<2，即|a －2|<1，解得1<a <3.答案 (1，3)5．(2014·天津模拟)若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥|m －1|恒成立，则m 的取值范围为________．解析 ∵|x ＋1|＋|x －3|≥|(x ＋1)－(x －3)|＝4，∴不等式|x ＋1|＋|x －3|≥|m －1|恒成立，只需|m －1|≤4.即－3≤m ≤5.答案 [－3，5]一年创新演练6．设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －2|.(1)求不等式f (x )>2的解集；(2)∀x ∈R ，使f (x )≥t 2－112t ，求实数t 的取值范围．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x <－12，3x －1，－12≤x <2，x ＋3，x ≥2，当x <－12时，－x －3>2⇒x <－5，∴x <－5. 当－12≤x <2时，3x －1>2⇒x >1，∴1<x <2. 当x ≥2时，x ＋3>2⇒x >－1，∴x ≥2.综上所述，不等式f (x )>2的解集为{x |x >1或x <－5}．(2)易得f (x )min ＝－52，若∀x ∈R 都有f (x )≥t 2－112t 恒成立，则只需f (x )min ＝－52≥t 2－11t 2，解得12≤t ≤5. B 组专项提升测试三年模拟精选一、选择题7．(2015·江西师大模拟)若关于x 的不等式|x －1|＋|x －3|≤a 2－2a －1在R 上的解集为∅，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＜－1或a ＞3B ．a ＜0或a ＞3C ．－1＜a ＜3D ．－1≤a ≤3 解析 |x －1|＋|x －3|的几何意义是数轴上与x 对应的点到1、3对应的两点距离之和，故它的最小值为2，∵原不等式解集为∅，∴a 2－2a －1＜2. 即a 2－2a －3＜0，解得－1＜a ＜3. 故选C. 答案 C二、填空题8．(2014·天津模拟)设f (x )＝1ax 2－bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(－1，3)，若f (7＋|t |)>f (1＋t 2)，则实数t 的取值范围是________．解析 ∵1ax 2－bx ＋c <0的解集是(－1，3)， ∴1a >0且－1，3 是1a x 2－bx ＋c ＝0的两根，则函数f (x )＝1ax 2－bx ＋c 图象的对称轴方程为x ＝ab 2＝1，且f (x )在[1，＋∞)上是增函数，又∵7＋|t |≥7>1，1＋t 2≥1，则由f (7＋|t |)>f (1＋t 2)，得7＋|t |>1＋t 2，即|t |2－|t |－6<0，亦即(|t |＋2)(|t |－3)<0，∴|t |<3，即－3<t <3.答案 (－3，3)三、解答题9．(2014·辽宁协作体)已知函数f (x )＝|x －4|＋|x ＋5|.(1)试求使等式f (x )＝|2x ＋1|成立的x 的取值范围；(2)若关于x 的不等式f (x )<a 的解集不是空集，求实数a 的取值范围．解 (1)f (x )＝|x －4|＋|x ＋5|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ≤－5，9，－5<x <4，2x ＋1，x ≥4.又|2x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ≤－12，2x ＋1，x >12，所以若f (x )＝|2x ＋1|，则x 的取值范围是(－∞，－5]∪[4，＋∞)．(2)因为f (x )＝|x －4|＋|x ＋5|≥|(x －4)－(x ＋5)|＝9，∴f (x )min ＝9.所以若关于x 的不等式f (x )<a 的解集非空，则a >f (x )min ＝9，即a 的取值范围是(9，＋∞)．10．(2014·郑州一模)已知函数f (x )＝|x ＋2|－|x －1|.(1)试求f (x )的值域；(2)设g (x )＝ax 2－3x ＋3x(a >0)，若任意s ∈(0，＋∞)，任意t ∈(－∞，＋∞)，恒有g (s )≥f (t )成立，试求实数a 的取值范围．解 (1)函数可化为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x <－2，2x ＋1，－2≤x ≤1，3，x >1.∴f (x )∈[－3，3]．(2)若x >0，则g (x )＝ax 2－3x ＋3x ＝ax ＋3x－3≥23a －3，即当ax 2＝3时，g (x )min ＝23a －3，又由(1)知f (x )max ＝3.若∀s ∈(0，＋∞)，∀t ∈(－∞，＋∞)，恒有g (s )≥f (t )成立，则有g (x )min ≥f (x )max ， ∴23a －3≥3，∴a ≥3，即a 的取值范围是[3，＋∞)．一年创新演练11．设函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|.(1)求不等式f (x )≥3的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )≥t 2－3t 在[0，1]上无解，求实数t 的取值范围．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x ≥12，－3x －1，－2≤x ＜12，3－x ，x ＜－2，所以原不等式转化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x －3≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ＜12，－3x －1≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－2，3－x ≥3，所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪[6，＋∞)． (2)只要f (x )max ＜t 2－3t ，由(1)知f (x )max ＝－1＜t 2－3t 解得t ＞3＋52或t ＜3－52.。

高考数学(理)考前三个月考前抢分必做考前回扣5 不等式与线性规划

回扣5 不等式与线性规划1．一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)．解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0、Δ＝0、Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小． 2．一元二次不等式的恒成立问题(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.3．分式不等式f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)； f (x )g (x )≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≥0(≤0)，g (x )≠0. 4．基本不等式(1)①a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )当且仅当a ＝b 时取等号． ②a ＋b 2≥ab (a ，b ∈(0，＋∞))，当且仅当a ＝b 时取等号．(2)几个重要的不等式：①ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；②a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b(a >0，b >0，当a ＝b 时等号成立)． ③a ＋1a≥2(a >0，当a ＝1时等号成立)；④2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R ，当a ＝b 时等号成立)． 5．可行域的确定“线定界，点定域”，即先画出与不等式对应的方程所表示的直线，然后代入特殊点的坐标，根据其符号确定不等式所表示的平面区域． 6．线性规划(1)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；(2)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个．1．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错． 2．解形如一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a >0，a <0进行讨论．3．应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把f (x )g (x )≤0直接转化为f (x )·g (x )≤0，而忽视g (x )≠0.4．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f (x )＝x 2＋2＋1x 2＋2的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函数y ＝x ＋3x (x <0)时应先转化为正数再求解．5．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解．6．求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y －2x ＋2是指已知区域内的点(x ，y )与点(－2，2)连线的斜率，而(x －1)2＋(y －1)2是指已知区域内的点(x ，y )到点(1,1)的距离的平方等．1．下列命题中正确的是________．①a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d ；②a >b ，c >d ⇒a d >b c ；③a 2>b 2⇔|a |>|b |；④a >b ⇔1a <1b .答案 ①③解析 ①a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d 正确，不等式的同向可加性；②a >b ，c >d ⇒a d >bc 错误，反例：若a ＝3，b ＝2，c ＝1，d ＝－1，则a d >b c 不成立；③a 2>b 2⇔|a |>|b |正确；④a >b ⇔1a <1b 错误，反例：若a ＝2，b ＝－2，则1a <1b不成立．2．设M ＝2a (a －2)＋4，N ＝(a －1)(a －3)，则M ，N 的大小关系为________．答案 M >N解析 M －N ＝2a (a －2)＋4－(a －1)(a －3)＝a 2＋1>0.3．若不等式2kx 2＋kx －38≥0的解集为空集，则实数k 的取值范围是________．答案 (－3,0]解析由题意可知2kx 2＋kx －38<0恒成立，当k ＝0时成立，当k ≠0时需满足⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ<0，代入求得－3<k <0，所以实数k 的取值范围是(－3,0]．4．(·四川改编)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案必要不充分解析如图，(x －1)2＋(y －1)2≤2，①表示圆心为(1,1)，半径为2的圆内区域的所有点(包括边界)；⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，②表示△ABC 内部区域的所有点(包括边界)．实数x ，y 满足②则必然满足①，反之不成立．则p 是q 的必要不充分条件．5．不等式1x －1≥－1的解集为________________．答案 (－∞，0]∪(1，＋∞)解析由题意得，1x －1≥－1⇒1x －1＋1＝xx －1≥0，解得x ≤0或x >1，所以不等式的解集为(－∞，0]∪(1，＋∞)．6．设第一象限内的点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为40，则5a ＋1b 的最小值为________．答案 94解析不等式表示的平面区域如图中阴影部分，直线z ＝ax ＋by 过点(8,10)时取最大值，即8a ＋10b ＝40,4a ＋5b ＝20，从而5a ＋1b ＝(5a ＋1b )4a ＋5b 20＝120(25＋4a b ＋25b a )≥120(25＋2 4a b ×25b a )＝94，当且仅当2a ＝5b 时取等号，因此5a ＋1b 的最小值为94.7．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于________．答案 5解析作出不等式组对应的平面区域，如图所示，由目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，得y ＝x －z ，及当z ＝－1时，函数y ＝x ＋1，此时对应的平面区域在直线y ＝x ＋1的下方，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1y ＝2x －1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即A (2,3)，同时A 也在直线x ＋y ＝m 上，所以m ＝5.8．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤k (x －1)－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)解析易知直线y ＝k (x －1)－1过定点(1，－1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示．当直线y ＝k (x －1)－1位于y ＝－x 和x ＝1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域，所以直线y ＝k (x －1)－1的斜率的范围为(－∞，－1)，即实数k 的取值范围是(－∞，－1)．9．已知实数x ∈[－1,1]，y ∈[0,2]，则点P (x ，y )落在区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内的概率为________．答案 38解析不等式组表示的区域如图所示，阴影部分的面积为12×(2－12)×(1＋1)＝32，则所求的概率为38.10．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n的最小值为________．答案 8解析由已知可得定点A (－2，－1)，代入直线方程可得2m ＋n ＝1，从而1m ＋2n ＝(1m ＋2n )(2m＋n )＝n m ＋4mn＋4≥2n m ·4mn＋4＝8.当且仅当n ＝2m 时取等号． 11．已知ab ＝14，a ，b ∈(0,1)，则11－a ＋21－b 的最小值为________．答案 4＋423解析因为ab ＝14，所以b ＝14a ，则11－a ＋21－b ＝11－a＋21－14a＝11－a ＋8a 4a －1 ＝11－a ＋2(4a －1)＋24a －1 ＝11－a ＋24a －1＋2 ＝2(14a －1＋24－4a)＋2＝23(14a －1＋24－4a )[(4a －1)＋(4－4a )]＋2 ＝23[3＋4－4a 4a －1＋2(4a －1)4－4a]＋2 ≥23(3＋22)＋2＝4＋423(当且仅当4－4a 4a －1＝2(4a －1)4－4a ，即a ＝32－24时，取等号)． 12．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0，若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m ＝________.答案 1解析由可行域知，直线2x －y ＝2必过直线x －2y ＋2＝0与mx －y ＝0的交点，即直线mx －y ＝0必过直线x －2y ＋2＝0与2x －y ＝2的交点(2,2)，所以m ＝1. 13．(·上海)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，y ≥x ＋1，则x －2y 的最大值为________．答案－2解析令z ＝x －2y ，则y ＝12x －z2.当在y 轴上截距最小时，z 最大．即过点(0,1)时，z 取最大值，z ＝0－2×1＝－2. 14．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ≥0，则y －6x －5的取值范围是________．答案 [－1，92]解析作出可行域，如图△ABC 内部(含边界)，y －6x －5表示可行域内点(x ，y )与P (5,6)连线斜率，k P A ＝8－63－5＝－1，k PC ＝－3－63－5＝92，所以－1≤y －6x －5≤92.。

高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题1 集合与常用逻辑用语第4练用好基本不等式

第4练用好基本不等式[题型分析·高考展望] 基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范围问题的有效工具，在高考中经常考查，有时也会对其单独考查．题目难度为中等偏上．应用时，要注意“拆、拼、凑”等技巧，特别要注意应用条件，只有具备公式应用的三个条件时，才可应用，否则可能会导致结果错误．体验高考1．(2015·四川)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( )A ．16B ．18C ．25 D.812答案 B解析 ①当m ＝2时，∵f (x )在[12，2]上单调递减， ∴0≤n ＜8，mn ＝2n ＜16.②m ≠2时，抛物线的对称轴为x ＝－n －8m －2. 据题意得，当m ＞2时，－n －8m －2≥2，即2m ＋n ≤12， ∵2m ·n ≤2m ＋n 2≤6， ∴mn ≤18，由2m ＝n 且2m ＋n ＝12得m ＝3，n ＝6.当m ＜2时，抛物线开口向下，据题意得，－n －8m －2≤12，即m ＋2n ≤18，∵2n ·m ≤2n ＋m 2≤9， ∴mn ≤812，由2n ＝m 且m ＋2n ＝18得m ＝9＞2，故应舍去．要使得mn 取得最大值，应有m ＋2n ＝18(m ＜2，n ＞8)．∴mn ＝(18－2n )n ＜(18－2×8)×8＝16，综上所述，mn 的最大值为18，故选B.2．(2015·陕西)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q 答案 C解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b ) ＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12＝f (ab )＝p .故p ＝r ＜q .选C.3．(2015·天津)已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．答案 4解析 log 2a ·log 2(2b )＝log 2a ·(1＋log 2b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2a ＋1＋log 2b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2ab ＋122 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 28＋122＝4，当且仅当log 2a ＝1＋log 2b ，即a ＝2b 时，等号成立，此时a ＝4，b ＝2.4．(2016·江苏)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________．答案 8解析在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )，由已知，sin A ＝2sin B sin C ，∴sin(B ＋C )＝2sin B sin C .∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，A ，B ，C 全为锐角，两边同时除以cos B cos C 得：tan B ＋tan C ＝2tan B tan C .又tan A ＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝tan B ＋tan Ctan B tan C －1. ∴tan A (tan B tan C －1)＝tan B ＋tan C .则tan A tan B tan C －tan A ＝tan B ＋tan C ，∴tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C＝tan A ＋2tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ，∴tan A tan B tan C ≥22，∴tan A tan B tan C ≥8.5．(2016·上海)设a ＞0，b ＞0.若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋y ＝1，x ＋by ＝1无解，则a ＋b 的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析由已知，ab ＝1，且a ≠b ，∴a ＋b ＞2ab ＝2.高考必会题型题型一利用基本不等式求最大值、最小值1．利用基本不等式求最值的注意点(1)在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，凑出定值是关键．(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错．2．结构调整与应用基本不等式基本不等式在解题时一般不能直接应用，而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，即把研究对象化成适用基本不等式的形式．常见的转化方法有：(1)x ＋bx －a ＝x －a ＋bx －a ＋a (x >a )．(2)若a x ＋b y ＝1，则mx ＋ny ＝(mx ＋ny )×1＝(mx ＋ny )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ≥ma ＋nb ＋2abmn (字母均为正数)．例1 (1)已知正常数a ，b 满足1a ＋2b＝3，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值是________．答案 509解析由1a ＋2b ＝3，得b ＋2a ＝3ab ， ∴(a ＋1)(b ＋2)＝2a ＋b ＋ab ＋2＝4ab ＋2，又a ＞0，b ＞0，∴1a ＋2b ≥22ab， ∴ab ≥89(当且仅当b ＝2a 时取等号)， ∴(a ＋1)(b ＋2)的最小值为4×89＋2＝509. (2)求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x ＞－1)的最小值．解设x ＋1＝t ，则x ＝t －1(t ＞0)，∴y ＝t －12＋7t －1＋10t＝t ＋4t ＋5≥2 t ·4t＋5＝9. 当且仅当t ＝4t，即t ＝2，且此时x ＝1时，取等号， ∴y min ＝9.点评求条件最值问题一般有两种思路：一是利用函数单调性求最值；二是利用基本不等式．在利用基本不等式时往往都需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值．等号能够取得．变式训练1 已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋5y ＝20，(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y的最小值．解 (1)∵x ＞0，y ＞0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，即xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x ＞0，y ＞0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2x y时等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝10 10－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋2 1020. 题型二基本不等式的综合应用例2 (1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件答案 B解析平均每件产品的费用为y ＝800＋x 28x＝800x ＋x 8≥2 800x ×x 8＝20，当且仅当800x ＝x 8，即x ＝80时取等号，所以每批应生产产品80件，才能使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小．(2)某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解设铁栅长为x 米，一侧砖墙长为y 米，则顶部面积S ＝xy ，依题设，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥2 40x ·90y ＋20xy ＝120 xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，则S ＋6S －160≤0，即(S －10)·(S ＋16)≤0，故0＜S ≤10，从而0＜S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，解得x ＝15，即铁栅的长应设计为15米．点评基本不等式及不等式性质应用十分广泛，在最优化实际问题，平面几何问题，代数式最值等方面都要用到基本不等式，应用时一定要注意检验“三个条件”是否具备．变式训练2 (1)已知直线ax ＋by －6＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是________．答案 92解析圆的方程变形为(x －1)2＋(y －2)2＝5，由已知可得直线ax ＋by －6＝0过圆心O (1,2)，∴a ＋2b ＝6(a ＞0，b ＞0)，∴6＝a ＋2b ≥22ab ，∴ab ≤92(当且仅当a ＝2b 时等号成立)，故ab 的最大值为92. (2)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．①写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；②当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 ①当0＜x ＜80时，L (x )＝1 000x ×0.05－(13x 2＋10x )－250 ＝－13x 2＋40x －250. 当x ≥80时，L (x )＝1 000x ×0.05－(51x ＋10 000x －1 450)－250 ＝1 200－(x ＋10 000x)． ∴L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －13x 2＋40x －2500＜x ＜80，1 200－x ＋10 000x x ≥80.②当0＜x ＜80时，L (x )＝－13x 2＋40x －250. 对称轴为x ＝60，即当x ＝60时，L (x )最大＝950(万元)．当x ≥80时，L (x )＝1 200－(x ＋10 000x )≤1 200－2 10 000＝1 000(万元)，当且仅当x ＝100时，L (x )最大＝1 000(万元)，综上所述，当x ＝100时，年获利最大．高考题型精练1．已知x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy () A ．有最大值e B ．有最大值eC ．有最小值eD ．有最小值e答案 C解析 ∵x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，∴ln x ·ln y ＝14≤⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋ln y 22，∴ln x ＋ln y ＝ln xy ≥1⇒xy ≥e.2．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是() A.245 B.285C ．5D ．6答案 C解析方法一由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)，∴3x ＋4y 的最小值是5.方法二由x ＋3y ＝5xy 得x ＝3y5y －1，∵x ＞0，y ＞0，∴y ＞15，∴3x ＋4y ＝9y5y －1＋4y＝135＋95·15y －15＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15≥135＋2 3625＝5，当且仅当y ＝12时等号成立，∴3x ＋4y 的最小值是5.3．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值是() A ．1 B ．6C ．9D ．16答案 B解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴b ＝aa －1＞0，解得a ＞1.同理可得b ＞1，∴1a －1＋9b －1＝1a －1＋9aa －1－1＝1a －1＋9(a －1)≥2 1a －1·9a －1＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时等号成立，∴最小值为6.故选B.4．已知a ＞0，b ＞0，若不等式m3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为( )A ．4B ．16C ．9D ．3 答案 B解析因为a ＞0，b ＞0，所以由m3a ＋b －3a －1b ≤0恒成立得m ≤(3a ＋1b )(3a ＋b )＝10＋3b a＋3ab恒成立．因为3b a ＋3a b≥23b a ·3ab＝6，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以10＋3b a ＋3ab≥16，所以m ≤16，即m 的最大值为16，故选B. 5．已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，若1x ＋m y(m ＞0)的最小值为3，则m 等于( ) A ．2 B ．2 2 C ．3 D ．4答案 D 解析由2x －3＝(12)y 得x ＋y ＝3， 1x ＋m y ＝13(x ＋y )(1x ＋m y)＝13(1＋m ＋y x ＋mx y ) ≥13(1＋m ＋2m )(当且仅当y x ＝mxy 时取等号)∴13(1＋m ＋2m )＝3，解得m ＝4，故选D.6．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c ＞0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2 答案 A解析圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0,1)，因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1. 因此4b ＋1c ＝(b ＋c )(4b ＋1c )＝4c b ＋bc＋5.因为b ，c ＞0，所以4c b ＋bc≥24c b ·bc＝4.当且仅当4c b ＝bc时等号成立．由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c取得最小值9.7．已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．答案 6解析由已知得x ＝9－3y1＋y.方法一 (消元法)∵x ＞0，y ＞0，∴0＜y ＜3， ∴x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝121＋y ＋3(y ＋1)－6≥2121＋y·3y ＋1－6＝6，当且仅当121＋y＝3(y ＋1)，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6.方法二 ∵x ＞0，y ＞0,9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时等号成立．设x ＋3y ＝t ＞0，则t 2＋12t －108≥0，∴(t －6)(t ＋18)≥0，又∵t ＞0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6. 8．已知三个正数a ，b ，c 成等比数列，则a ＋c b＋ba ＋c的最小值为________．答案 52解析由条件可知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且b 2＝ac ，即b ＝ac ，故a ＋c b≥2ac b＝2，令a ＋c b＝t ，则t ≥2，所以y ＝t ＋1t在[2，＋∞)上单调递增，故其最小值为2＋12＝52.9．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________．答案 [4,12]解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22，∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)，又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y 时取等号)，综上可知4≤x 2＋4y 2≤12. 10．当x ∈(0,1)时，不等式41－x ≥m －1x恒成立，则m 的最大值为________．答案 9解析方法一 (函数法)由已知不等式可得 m ≤1x ＋41－x，设f (x )＝1x ＋41－x ＝1－x ＋4x x 1－x ＝3x ＋1－x 2＋x ，x ∈(0,1)．令t ＝3x ＋1，则x ＝t －13，t ∈(1,4)，则函数f (x )可转化为g (t )＝t－⎝⎛⎭⎪⎫t －132＋t －13＝t－19t 2＋59t －49＝9t －t 2＋5t －4＝9－t ＋4t＋5，因为t ∈(1,4)，所以5＞t ＋4t≥4，0＜－(t ＋4t)＋5≤1，9－t ＋4t＋5≥9，即g (t )∈[9，＋∞)，故m 的最大值为9.方法二 (基本不等式法)由已知不等式可得m ≤1x ＋41－x ，因为x ∈(0,1)，则1－x ∈(0,1)，设y ＝1－x ∈(0,1)，显然x ＋y ＝1. 故1x ＋41－x ＝1x ＋4y ＝x ＋y x ＋4x ＋y y＝5＋(y x＋4x y)≥5＋2y x ·4x y＝9，当且仅当y x ＝4x y ，即y ＝23，x ＝13时等号成立．所以要使不等式m ≤1x ＋41－x恒成立，m 的最大值为9.11．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解 (1)设所用时间为t ＝130x(小时)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100]．(2)y ＝2 340x ＋1318x ≥2610，当且仅当2 340x ＝13x18，即x ＝1810时等号成立．故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元．12．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．解 (1)设每件定价为t 元，依题意，有⎝⎛⎭⎪⎫8－t －251×0.2t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意，x ＞25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解，∵150x ＋16x ≥2150x ·16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，∴a ≥10.2， ∴当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．。

高考数学压轴专题新备战高考《不等式选讲》知识点总复习含答案解析

【高中数学】数学《不等式选讲》期末复习知识要点一、141．已知()()31f x x x R =+∈，若()4f x a -<的充分条件是()1,0x b a b -<>，则a 、b 之间的关系是（）A ．3b a ≤B ．3a b ≤C ．3a b >D ．3b a >【答案】B 【解析】【分析】解出不等式()4f x a -<和1x b -<，根据题中充分条件关系得出两解集之间的包含关系，然后得出不等式组，即可得出a 、b 之间的关系. 【详解】()31f x x =+Q ，且0a >，0b >，解不等式()4f x a -<，即33x a -<，解得1133a a x -<<+，解不等式1xb -<，得11b x b -<<+.由于()4f x a -<的充分条件是1x b -<，则()1,11,133a a b b ⎛⎫-+⊆-+ ⎪⎝⎭， 113113a b ab ⎧-≥-⎪⎪∴⎨⎪+≤+⎪⎩，可得3a b ≤.故选：B. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用充分条件关系求参数之间的关系，一般转化为集合的包含关系来处理，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.2．猜测使2n a n >对任意正整数n 恒成立的最小正整数a 的值为（） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】【分析】由题意结合选项利用特殊值排除选项A ，然后利用数学归纳法证明选项B 正确即可. 【详解】注意到当2,4a n ==时，2n a n >不成立，则2a =不合题意，当3a =时，不等式即23n n >，当1n =时，不等式即31>，当2n =时，不等式即94>，下面用数学归纳法证明该式对于*,3n N n ∈≥成立，当3n =时，不等式即279>，明显成立，假设()*3,n k k k N=≥∈时不等式成立，即23kk >,则当1n k =+时，123333k k k +=⋅>，而()()222*31221k k k k k N-+=--∈，结合二次函数的性质可知，当2k >时，22221222210k k -->⨯-⨯->，故当*3,k k N ≥∈时，()()2222310,31k k k k -+>>+.综上可得，23n n >对任意的n 均成立. 则最小正整数a 的值为3. 故选：B . 【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，排除法处理选择题的技巧等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．关于x 不等式2x x a a -+-≥在R 上恒成立，则实数a 的最大值是 A ．0 B ．1C ．－1D ．2【答案】B 【解析】由于|x －2|＋|x －a |≥|a －2|，∴等价于|a －2|≥a ，即a ≤1.故实数a 的最大值为1.4．325x -≥不等式的解集是（） A ．{|1}x x ≤- B ．{|14}x x -≤≤C ．{|14}x x x ≤-≥或D ．{|4}x x ≥【答案】C 【解析】【分析】根据绝对值定义化简不等式，求得解集. 【详解】因为325x -≥，所以325x -≥或325x -≤-，即14x x ≤-≥或，选C. 【点睛】本题考查含绝对值不等式解法，考查基本求解能力.5．2018年9月24日，英国数学家.M F 阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和，记222111123S n =+++++L L ，则（） A ．413S << B ．4332S << C ．322S << D ．2S >【答案】C 【解析】【分析】由题意，可知21111111(2,)1(1)(1)1n n N n n n n n n n n n+-=<<=-≥∈++--，利用放缩法和极限，即可得到答案. 【详解】由题意，可知21111111(2,)1(1)(1)1n n N n n n n n n n n n+-=<<=-≥∈++--，所以2221111111113111()()()232334121n S n n n n =+++++>+-+-++-=-++L L L 22211111111111(1)()()2232231n S n n n nL L =++++<+-+-++-=--，当n →+∞且n N +∈时，101n →+，且10n →，所以322S <<，故选C. 【点睛】本题主要考查了数列思想的应用问题，其中解答中，认真审题，利用21n 进行合理放缩，再利用极限求解是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及放缩思想的应用，属于中档试题.6．设a ＞0，b ＞0，且ab －(a ＋b)≥1，则( )A ．a ＋＋1)B ．a ＋＋1C ．a －1)2D ．a ＋b ＞＋1)【答案】A 【解析】【分析】2a b +.所以ab≤14 (a ＋b)2,所以14(a ＋b)2－(a ＋b)≥ab －(a ＋b)≥1，再解不等式 (a ＋b) 2－4(a ＋b)－4≥0得解. 【详解】2a b +.所以ab≤14(a ＋b)2. 所以14(a ＋b)2－(a ＋b)≥ab －(a ＋b)≥1. 所以(a ＋b) 2－4(a ＋b)－4≥0.因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b≥2＋故答案为：A 【点睛】本题主要考查基本不等式和不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.7．已知a ，b 均为正数，且20ab a b --=，则22214a b a b-+-的最小值为（）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】B 【解析】【分析】a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0，可得21a b+=1，根据柯西不等式求出代数式的最小值即可．【详解】∵a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0， ∴21a b+=1．则22214a b a b-+- 24a =+b 2﹣1，又因为2a +b ＝（21a b +）（2a +b ）22b a a b=++2≥2+2＝4，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴（24a +b 2）（1+1）≥（2a +b ）2≥16，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴24a +b 2≥8， ∴224a a-+b 2214a b -=+b 2﹣1≥7．故选：B ．【点睛】本题考查“乘1法”、基本不等式的性质、柯西不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．已知,,x y z R +∈,且1x y z ++=，则222x y z ++的最小值是（） A ．1 B ．13C ．12D ．3【答案】B 【解析】【分析】利用柯西不等式得出()()()2222222111x y z x y z ++++≥++，于此可得出222x y z ++的最小值。

(全国通用)高考数学考前三个月复习冲刺专题9 第43练不等式选讲理-人教版高三全册数学试题

第43练不等式选讲[题型分析·高考展望] 本部分主要考查绝对值不等式的解法．求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值X围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想．常考题型精析题型一含绝对值不等式的解法例1 已知函数f(x)＝|x－a|，其中a＞1.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．点评 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．变式训练1 (2014·某某改编)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，某某数a 的取值X 围．题型二不等式的证明例2 (1)已知x ，y 均为正数，且x >y .求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3. (2)已知实数x ，y 满足：|x ＋y |<13，|2x －y |<16，求证：|y |<518.点评 (1)作差法应该是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力．(2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧．变式训练2 (1)若a ，b ∈R ，求证：|a ＋b |1＋|a ＋b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |. (2)已知a ，b ，c 均为正数，a ＋b ＝1，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.题型三利用算术—几何平均不等式或柯西不等式证明或求最值例3 (1)已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1c)2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立；(2)已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值．点评利用算术—几何平均不等式或柯西不等式求最值时，首先要观察式子特点，构造出基本不等式或柯西不等式的结构形式，其次要注意取得最值的条件是否成立．变式训练3 (2015·某某)已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值；(2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．高考题型精练1．(2015·某某)解不等式x ＋|2x ＋3|≥2.2．(2015·某某)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}．(1)某某数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．3．(2014·课标全国Ⅰ)若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab . (1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．4．设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．5．设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ca ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.6．(2014·课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值X 围．7．(2014·某某)已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a .(1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3.8．(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值X 围．答案精析第43练不等式选讲常考题型精析例1 解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5；所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}．(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.变式训练1 解设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －1，x <－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12.当x <－2时，y ＝－3x －1>5；当－2≤x <12时，y ＝－x ＋3>52；当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52，故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a ＋2.解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故a 的取值X 围为[－1，12]．例2 证明 (1)因为x >0，y >0，x －y >0，2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y )＋1x －y 2＝(x －y )＋(x －y )＋1x －y 2≥ 33x －y 21x －y 2＝3，所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3， (2)因为3|y |＝|3y |＝|2(x ＋y )－(2x －y )|≤2|x ＋y |＋|2x －y |，由题设知|x ＋y |<13，|2x －y |<16，从而3|y |<23＋16＝56，所以|y |<518. 变式训练2 证明 (1)当|a ＋b |＝0时，不等式显然成立．当|a ＋b |≠0时，由0<|a ＋b |≤|a |＋|b |⇒1|a ＋b |≥1|a |＋|b |，所以|a ＋b |1＋|a ＋b |＝11|a ＋b |＋1 ≤11＋1|a |＋|b |＝|a |＋|b |1＋|a |＋|b | ≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c＋c ≥2b ， c 2a＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c ，所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 例3 解 (1)方法一因为a ，b ，c 均为正数，由算术—几何平均不等式得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc ) 23，①1a ＋1b ＋1c≥3(abc )13-，所以(1a ＋1b ＋1c)2≥9(abc )23-.② 故a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1c)2 ≥3(abc ) 23＋9(abc )23-. 又3(abc ) 23＋9(abc ) 23-≥227＝63，③ 所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc )23＝9(abc )23-时，③式等号成立．故当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原不等式等号成立．方法二因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac .所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac .①同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac，② 故a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1c)2 ≥ab ＋bc ＋ac ＋3ab ＋3bc ＋3ac ≥63.③ 所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立．故当且仅当a＝b＝c＝314时，原不等式等号成立．(2)方法一利用算术—几何平均不等式(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)2＝(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)＋23a＋1·3b＋1＋23b＋1·3c＋1＋23a＋1·3c＋1≤(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)＋[(3a＋1)＋(3b＋1)]＋[(3b＋1)＋(3c＋1)]＋[(3a＋1)＋(3c＋1)]＝3[(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)]＝18，∴3a＋1＋3b＋1＋3c＋1≤32，∴(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)max＝3 2.方法二利用柯西不等式∵(12＋12＋12)[(3a＋1)2＋(3b＋1)2＋(3c＋1)2]≥(1·3a＋1＋1·3b＋1＋1·3c＋1)2∴(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)2≤3[3(a＋b＋c)＋3]．又∵a＋b＋c＝1，∴(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)2≤18，∴3a＋1＋3b＋1＋3c＋1≤32，当且仅当3a＋1＝3b＋1＝3c＋1时，等号成立．∴(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)max＝3 2.变式训练3 解(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，当且仅当－a≤x≤b时，等号成立．又a＞0，b＞0，所以|a＋b|＝a＋b.所以f(x)的最小值为a＋b＋c.又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4.(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1) ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b 3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16，即14a 2＋19b 2＋c 2≥87. 当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立．故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值为87. 高考题型精练1．解原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜－32，－x －3≥2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥－32，3x ＋3≥2.解得x ≤－5或x ≥－13. 综上，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－5或x ≥－13. 2．解 (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[32＋12][4－t 2＋t 2]＝24－t ＋t ＝4，当且仅当4－t 3＝t 1，即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )max ＝4. 3．解 (1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立．所以a 3＋b 3的最小值为4 2. (2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.4．解 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2.由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}．(2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ x <a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧ x <a ，x ≤－a 2. 因为a >0，所以不等式组的解集为{x |x ≤－a2}．由题设可得－a 2＝－1，故a ＝2. 5．证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 6．(1)证明由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a －x －a ＝1a＋a ≥2. 所以f (x )≥2.(2)解 f (3)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |. 当a >3时，f (3)＝a ＋1a，由f (3)<5，得3<a <5＋212. 当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a，由f (3)<5，得1＋52<a ≤3. 综上，a 的取值X 围是(1＋52，5＋212)． 7．(1)解因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立，所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3.(2)证明由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又因为p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3.8．解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2. 由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2. 所以a 的取值X 围为(2，＋∞)．。

(五年高考真题)2016届高考数学复习第十四章不等式选讲理(全国通用)

【大高考】（五年高考真题）2016届高考数学复习第十四章不等式选讲理（全国通用）考点一解绝对值不等式1．(2015·重庆，16)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________. 解析由绝对值的性质知f (x )的最小值在x ＝－1或x ＝a 时取得，若f (－1)＝2|－1－a |＝5，a ＝32或a ＝－72，经检验均不合适；若f (a )＝5，则|x ＋1|＝5，a ＝4或a ＝－6，经检验合题意，因此a ＝4或a ＝－6. 答案 4或－62．(2014·广东，9)不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________．解析原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，（x －1）＋（x ＋2）≥5或⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，－（x －1）＋（x ＋2）≥5 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－（x －1）－（x ＋2）≥5，解得x ≥2或x ≤－3.故原不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}．答案 {x |x ≤－3或x ≥2}3．(2014·湖南，13)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53<x <13，则a ＝________.解析依题意，知a ≠0.|ax －2|<3⇔－3<ax －2<3⇔－1<ax <5，当a >0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，5a ，从而有⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝13，－1a ＝－53，此方程组无解．当a <0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫5a ，－1a，从而有⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝－53，－1a ＝13，解得a ＝－3.答案－34．(2014·重庆，16)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析令f (x )＝|2x －1|＋|x ＋2|，易求得f (x )min ＝52，依题意得a 2＋12a ＋2≤52⇔－1≤a ≤12.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 5．(2013·山东，14)在区间[－3，3]上随机取一个数x ，使得|x ＋1|－|x －2|≥1成立的概率为________．解析当x ≤－1时，原不等式变为－(x ＋1)＋(x －2)≥1，即－3≥1，不成立；当－1<x <2时，原不等式变为x ＋1－(2－x )≥1，即x ≥1，∴1≤x <2；当x ≥2时，原不等式变为(x ＋1)－(x －2)≥1，即3≥1，∴x ≥2. 综上所述，不等式的解集是[1，＋∞)．对于区间[－3，3]，只有在区间[1，3]取值时不等式才能成立，故在区间[－3，3]随机取值，使不等式成立的概率是P ＝26＝13.答案 136．(2013·江西，15(2))在实数范围内，不等式||x －2|－1|≤1的解集为________．解析由||x －2|－1|≤1得：－1≤|x －2|－1≤1，即0≤|x －2|≤2，所以－2≤x －2≤2，即0≤x ≤4，故不等式的解集是{x |0≤x ≤4}．答案 {x |0≤x ≤4}7．(2013·重庆，16)若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值范围是________．解析法一设f (x )＝|x －5|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥5，8，－3<x <5，－2x ＋2，x ≤－3，可求得f (x )的值域为[8，＋∞)，因为原不等式无解，只需a ≤8，故a 的取值范围是(－∞，8]．法二由绝对值不等式，得|x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8， ∴不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解时，a 的取值范围为(－∞，8]．答案 (－∞，8]8．(2012·陕西，15A)若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．解析由|x －a |＋|x －1|≥|a －1|，则|a －1|≤3，解得－2≤a ≤4. 答案 [－2，4]9．(2012·广东，9)不等式|x ＋2|－|x |≤1的解集为________．解析由题意知，－2和0将R 分成三部分．(1)当x ≤－2时，原不等式可化简为－(x ＋2)－(－x )≤1，即－2≤1，∴x ≤－2.(2)当－2<x <0时，化简为(x ＋2)＋x ≤1，即2x ≤－1， ∴x ≤－12，∴－2<x ≤－12.(3)当x ≥0时，化简为x ＋2－x ≤1，即2≤1，此时无解．综上可得不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－12. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－1210．(2011·陕西，15A)若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是________．解析法一 |x ＋1|＋|x －2|表示数轴上一点A (x )到B (－1)与C (2)的距离之和，而|BC |＝3.∴|AB |＋|AC |≥3，∴|a |≥3， ∴a ≤－3或a ≥3.法二设f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，（x <－1）3，（－1≤x ≤2）2x －1，（x >2）∴f (x )的图象如图所示，∴f (x )≥3，∴|a |≥3，∴a ≤－3或a ≥3. 法三 ∵|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， ∴|a |≥3.∴a ≤－3或a ≥3. 答案 (－∞，－3]∪[3，＋∞)11．(2015·陕西，24)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}． (1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．解 (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t＝34－t ＋t ≤[（3）2＋12][（4－t ）2＋（t ）2] ＝24－t ＋t ＝4，当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )max ＝4.12．(2015·新课标全国Ⅰ，24)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2. 所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1，0)，C (a ，a ＋1)， △ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)．13．(2014·新课标全国Ⅱ，24)设函数f (x )＝|x ＋1a|＋|x －a |(a >0)．(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．(1)证明由a >0，有f (x )＝|x ＋1a |＋|x －a |≥|x ＋1a －(x －a )|＝1a＋a ≥2.所以f (x )≥2.(2)解 f (3)＝|3＋1a|＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a，由f (3)<5得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a，由f (3)<5得1＋52＜a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.14．(2013·辽宁，24)已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值．解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2<x <4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2<x <4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5；所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}． (2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0<x <a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.考点二不等式的证明1．(2012·湖北，6)设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则 a ＋b ＋cx ＋y ＋z 等于( )A.14B.13C.12D.34解析法一由已知得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋4b 2＋4c 2＝40， ①x 2＋y 2＋z 2＝40， ②4ax ＋4by ＋4cz ＝80. ③①＋②－③：(2a －x )2＋(2b －y )2＋(2c －z )2＝0，∴x ＝2a ，y ＝2b ，z ＝2c ， ∴a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12.故选C.法二由题设及柯西不等式得 |ax ＋by ＋cz |≤（a 2＋b 2＋c 2）（x 2＋y 2＋z 2）＝20，当且仅当a x ＝b y ＝c z时取等号，此时令a x ＝b y ＝c z ＝k ，易知k ＝12，∴a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝k ＝12，故选C.答案 C2．(2013·湖南，10)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________．解析由柯西不等式得(12＋12＋12)(a 2＋4b 2＋9c 2)≥(a ＋2b ＋3c )2，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12，当a ＝2b ＝3c ＝2时等号成立，即最小值为12. 答案 123．(2013·湖北，13)设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，则x ＋y ＋z ＝________.解析由柯西不等式得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2当且仅当x 1＝y 2＝z3时等号成立，此时y ＝2x ，z ＝3x .∵x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14， ∴x ＝1414，y ＝21414，z ＝31414. ∴x ＋y ＋z ＝61414＝3147.答案31474．(2013·陕西，15A)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为________．解析 (am ＋bn )(bm ＋an )＝abm 2＋(a 2＋b 2)mn ＋abn 2＝ab (m 2＋n 2)＋2(a 2＋b 2)≥2abmn ＋2(a 2＋b 2)＝4ab ＋2(a 2＋b 2)＝2(a 2＋2ab ＋b 2)＝2(a ＋b )2＝2(当且仅当m ＝n ＝2时等号成立)．答案 25．(2015·新课标全国Ⅱ，24)设a 、b 、c 、d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ；(2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．证明 (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd 得(a ＋b )2＞(c ＋d )2. 因此a ＋b ＞c ＋d . (2)①若|a －b |＜|c －d |，则(a －b )2＜(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd . 由(1)得a ＋b ＞c ＋d .②若a ＋b ＞c ＋d ，则(a ＋b )2＞(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ，于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |＜|c －d |.综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．6．(2014·天津，19)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n qn －1，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n }．(1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A ； (2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n qn －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n qn －1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n .证明：若a n <b n ，则s <t .(1)解当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22，x i ∈M ，i ＝1，2，3}．可得，A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}． (2)证明由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n qn －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n qn －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n <b n ，可得s －t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)qn －2＋(a n －b n )qn－1≤(q －1)＋(q －1)q ＋…＋(q －1)·qn －2－qn －1＝（q －1）（1－q n －1）1－q－q n －1＝－1<0.所以，s <t .。

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