空间向量法在立体几何中的运用
空间向量在立体几何中的应用和习题(含答案)[1]
空间向量在立体几何中的应用:(1)直线的方向向量与平面的法向量: ①如图,l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线,对空间任意一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使得a t OA OP +=,其中向量a 叫做直线的方向向量.由此可知,空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定.②如果直线l ⊥平面α ,取直线l 的方向向量a ,则向量a 叫做平面α 的法向量.由此可知,给定一点A 及一个向量a ,那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定. (2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系:设直线l ,m 的方向向量分别是a ,b ,平面α ,β 的法向量分别是u ,v ,则 ①l ∥m ⇔a ∥b ⇔a =k b ,k ∈R ; ②l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b =0; ③l ∥α ⇔a ⊥u ⇔a ·u =0; ④l ⊥α ⇔a ∥u ⇔a =k u ,k ∈R ; ⑤α ∥⇔u ∥v ⇔u =k v ,k ∈R ; ⑥α ⊥β ⇔u ⊥v ⇔u ·v =0.(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题: ①异面直线所成的角:设a ,b 是两条异面直线,过空间任意一点O 作直线a ′∥a ,b ′∥b ,则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角.设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1,v 2,a 与b 的夹角为θ ,显然],2π,0(∈θ则⋅=><⋅|||||||,cos |212121v v v v v v②直线和平面所成的角:直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角.设直线a 的方向向量是u ,平面α 的法向量是v ,直线a 与平面α 的夹角为θ ,显然]2π,0[∈θ,则⋅=><⋅|||||||,cos |v u v u v u③二面角及其度量:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.记作α -l -β 在二面角的棱上任取一点O ,在两个半平面内分别作射线OA ⊥l ,OB ⊥l ,则∠AOB 叫做二面角α -l -β 的平面角.利用向量求二面角的平面角有两种方法: 方法一:如图,若AB ,CD 分别是二面角α -l -β 的两个面内与棱l 垂直的异面直线,则二面角α -l -β的大小就是向量CD AB 与的夹角的大小.方法二:如图,m 1,m 2分别是二面角的两个半平面α ,β 的法向量,则<m 1,m 2>与该二面角的大小相等或互补.(4)根据题目特点,同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法,从不同角度解决立体几何问题. 【例题分析】例1 如图,在长方体OAEB -O 1A 1E 1B 1中,OA =3,OB =4,OO 1=2,点P 在棱AA 1上,且AP =2P A 1,点S 在棱BB 1上,且B 1S =2SB ,点Q ,R 分别是O 1B 1,AE 的中点,求证:PQ ∥RS .【分析】建立空间直角坐标系,设法证明存在实数k ,使得.RS k PQ =解:如图建立空间直角坐标系,则O (0,0,0),A (3,0,0),B (0,4,0),O 1(0,0,2),A 1(3,0,2),B 1(0,4,2),E (3,4,0).∵AP =2P A 1, ∴),34,0,0()2,0,0(32321===AA AP ∴⋅)34,0,3(P同理可得:Q (0,2,2),R (3,2,0),⋅)32,4,0(S,)32,2,3(RS PQ =-=∴RS PQ //,又R ∉PQ ,∴PQ ∥RS .【评述】1、证明线线平行的步骤:(1)证明两向量共线;(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可.2、本体还可采用综合法证明,连接PR ,QS ,证明PQRS 是平行四边形即可,请完成这个证明. 例2 已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M ,N ,E ,F 分别是棱A 1D 1,A 1B 1,D 1C 1,B 1C 1的中点,求证:平面AMN ∥平面EFBD .【分析】要证明面面平行,可以通过线线平行来证明,也可以证明这两个平面的法向量平行. 解法一:设正方体的棱长为4,如图建立空间直角坐标系,则D (0,0,0),A (4,0,0),M (2,0,4),N (4,2,4),B (4,4,0),E (0,2,4),F (2,4,4).取MN 的中点K ,EF 的中点G ,BD 的中点O ,则O (2,2,0),K (3,1,4),G (1,3,4).MN =(2,2,0),EF =(2,2,0),AK =(-1,1,4),OG =(-1,1,4), ∴MN ∥EF ,OG AK =,∴MN//EF ,AK//OG ,∴MN ∥平面EFBD ,AK ∥平面EFBD , ∴平面AMN ∥平面EFBD .解法二:设平面AMN 的法向量是a =(a 1,a 2,a 3),平面EFBD 的法向量是 b =(b 1,b 2,b 3). 由,0,0==⋅⋅AN AM a a 得⎩⎨⎧=+=+-,042,0423231a a a a 取a 3=1,得a =(2,-2,1).由,0,0==⋅⋅BF DE b b得⎩⎨⎧=+-=+,042,0423132b b b b 取b 3=1,得b =(2,-2,1).∵a ∥b ,∴平面AMN ∥平面EFBD .注:本题还可以不建立空间直角坐标系,通过综合法加以证明,请试一试.例3 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M ,N 是棱A 1B 1,B 1B 的中点,求异面直线AM 和CN 所成角的余弦值.解法一:设正方体的棱长为2,如图建立空间直角坐标系,则D (0,0,0),A (2,0,0),M (2,1,2),C (0,2,0),N (2,2,1).∴),1,0,2(),2,1,0(==CN AM设AM 和CN 所成的角为θ ,则,52||||cos ==⋅CN AM CN AM θ ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52解法二:取AB 的中点P ,CC 1的中点Q ,连接B 1P ,B 1Q ,PQ ,PC . 易证明:B 1P ∥MA ,B 1Q ∥NC ,∴∠PB 1Q 是异面直线AM 和CN 所成的角. 设正方体的棱长为2,易知,6,52211=+===QC PC PQ Q B P B∴,522cos 11221211=-+=⋅Q B P B PQ Q B P B Q PB∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52【评述】空间两条直线所成的角是不超过90°的角,因此按向量的夹角公式计算时,分子的数量积如果是负数,则应取其绝对值,使之成为正数,这样才能得到异面直线所成的角(锐角).例4 如图,正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为a ,侧棱长为a 2,求直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小.【分析】利用正三棱柱的性质,适当建立空间直角坐标系,写出有关点的坐标.求角时有两种思路:一是由定义找出线面角,再用向量方法计算;二是利用平面ABB 1A 1的法向量求解.解法一:如图建立空间直角坐标系,则A (0,0,0),B (0,a ,0),),2,0,0(1a A⋅-)2,2,23(1a aa C 取A 1B 1的中点D ,则)2,2,0(a a D ,连接AD ,C 1D .则),2,0,0(),0,,0(),0,0,23(1a AA a AB aDC ==-= ,0,0111==⋅⋅AA DC AB DC∴DC 1⊥平面ABB 1A 1,∴∠C 1AD 是直线AC 1与平面ABB 1A 1所或的角.),2,2,0(),2,2,23(1a aAD a a a AC =-= 23||||cos 111==∴AD AC AD C , ∴直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小是30°.解法二:如图建立空间直角坐标系,则A (0,0,0),B (0,a ,0),A 1(0,0,a 2),)2,2,23(1a aa C -,从而⋅-===)2,2,23(),2,0,0(),0,,0(11a aa AC a AA a AB 设平面ABB 1A 1的法向量是a =(p ,q ,r ), 由,0,01==⋅⋅AA AB a a得⎩⎨⎧==,02,0ar aq 取p =1,得a =(1,0,0). 设直线AC 1与平面ABB 1A 1所成的角为],2π,0[,∈θθ.30,21|||||||,cos |sin 111 ===〉〈=⋅θθa a a AC AC AC 【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系,再利用向量的知识求解线面角;解法二给出了一般的方法,即先求平面的法向量与斜线的夹角,再利用两角互余转换.例5 如图,三棱锥P -ABC 中,P A ⊥底面ABC ,AC ⊥BC ,P A =AC =1,2=BC ,求二面角A-PB -C 的平面角的余弦值.解法二图解法一:取PB 的中点D ,连接CD ,作AE ⊥PB 于E . ∵P A =AC =1,P A ⊥AC , ∴PC =BC =2,∴CD ⊥PB . ∵EA ⊥PB ,∴向量EA 和DC 夹角的大小就是二面角A -PB -C 的大小.如图建立空间直角坐标系,则C (0,0,0),A (1,0,0),B (0,2,0),P (1,0,1),由D 是PB 的中点,得D ⋅)21,22,21( 由,3122==AB AP EB PE 得E 是PD 的中点,从而⋅)43,42,43(E∴)21,22,21(),43,42,41(---=--=DC EA ∴⋅=>=<33||||,cos DC EA DC EA DC EA 即二面角A -PB -C 的平面角的余弦值是⋅33 解法二:如图建立空间直角坐标系,则A (0,0,0),)0,1,2(B ,C (0,1,0),P (0,0,1),).1,1,0(),0,0,2(),0,1,2(),1,0,0(-====CP CB AB AP设平面P AB 的法向量是a =(a 1,a 2,a 3),平面PBC 的法向量是b =(b 1,b 2,b 3). 由,0,0==⋅⋅AB AP a a得⎪⎩⎪⎨⎧=+=,02,0213a a a 取a 1=1,得).0,2,1(-=a 由0,0==⋅⋅CP CB b b 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,0,02321b b b 取b 3=1,得b =(0,1,1).∴⋅-=>=<⋅33||||,cos b a b a b a∵二面角A -PB -C 为锐二面角, ∴二面角A -PB -C 的平面角的余弦值是⋅=-33|33| 【评述】1、求二面角的大小,可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量,转化为这两个向量的夹角;应注意两个向量的始点应在二面角的棱上.2、当用法向量的方法求二面角时,有时不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角,但我们可以借助观察图形而得到结论,这是因为二面角是锐二面角还是钝二面角一般是明显的.练习一、选择题: 1.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 是BB 1的中点,则二面角E -A 1D 1-D 的平面角的正切值是( ) (A)2(B )2(C)5(D)222.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,直线AD 1与平面A 1ACC 1所成角的大小是( ) (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°3.已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等,A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心,则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于( ) (A)31 (B )32 (C)33 (D )32 4.如图,α ⊥β ,α ∩β =l ,A ∈α ,B ∈β ,A ,B 到l 的距离分别是a 和b ,AB 与α ,β 所成的角分别是θ 和ϕ,AB 在α ,β 内的射影分别是m 和n ,若a >b ,则下列结论正确的是( )(A)θ >ϕ,m >n (B )θ >ϕ,m <n (C)θ <ϕ,m <n(D )θ <ϕ,m >n二、填空题:5.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,G ,H 分别为AA 1,AB ,BB 1,B 1C 1的中点,则异面直线EF 与GH 所成角的大小是______. 6.已知正四棱柱的对角线的长为6,且对角线与底面所成角的余弦值为33,则该正四棱柱的体积等于______.7.如图,正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为______.4题图 7题图 9题图 8.四棱锥P -ABCD 的底面是直角梯形,∠BAD =90°,AD ∥BC ,==BC AB AD 21,P A ⊥底面ABCD ,PD 与底面ABCD 所成的角是30°.设AE 与CD 所成的角为θ ,则cos θ =______. 三、解答题:9.如图,正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB =4,点E 在CC 1上,且C 1E =3EC .(Ⅰ)证明:A 1C ⊥平面BED ;(Ⅱ)求二面角A 1-DE -B 平面角的余弦值. 10.如图,在四棱锥O -ABCD 中,底面ABCD 是边长为1的菱形,4π=∠ABC ,OA ⊥底面ABCD ,OA =2,M 为OA 的中点,N 为BC 的中点.(Ⅰ)证明:直线MN ∥平面OCD ;(Ⅱ)求异面直线AB 与MD 所成角的大小.11.如图,已知直二面角α -PQ -β ,A ∈PQ ,B ∈α ,C ∈β ,CA =CB ,∠BAP =45°,直线CA 和平面α 所成的角为30°.(Ⅰ)证明:BC ⊥PQ ;(Ⅱ)求二面角B -AC -P 平面角的余弦值.练习答案一、选择题:1.B 2.A 3.B 4.D 二、填空题:5.60° 6.2 7.548.42三、解答题:9题图 10题图 11题图 9.以D 为坐标原点,射线DA 为x 轴的正半轴,建立如图所示直角坐标系D -xyz .依题设,B (2,2,0),C (0,2,0),E (0,2,1),A 1(2,0,4).),0,2,2(),1,2,0(==DB DE ).4,0,2(),4,2,2(11=--=DA C A(Ⅰ)∵,0,011==⋅⋅DE C A DB C A ∴A 1C ⊥BD ,A 1C ⊥DE . 又DB ∩DE =D ,∴A 1C ⊥平面DBE .(Ⅱ)设向量n =(x ,y ,z )是平面DA 1E 的法向量,则.,1DA DE ⊥⊥n n ∴⎩⎨⎧=+=+.042,02z x z y 令y =1,得n =(4,1,-2).⋅==4214||||),cos(111C A C A C A n n ∴二面角A 1-DE -B 平面角的余弦值为⋅4214 10.作AP ⊥CD 于点P .如图,分别以AB ,AP ,AO 所在直线为x ,y ,z 轴建立坐标系.则A (0,0,0),B (1,0,0),)0,22,22(),0,22,0(-D P ,O (0,0,2),M (0,0,1),⋅-)0,42,421(N (Ⅰ)⋅--=-=--=)2,22,22(),2,22,0(),1,42,421(OD OP MN 设平面OCD 的法向量为n =(x ,y ,z ),则,0,0==⋅⋅OD OP n n即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-.022222,0222z y x z y 取,2=z ,得).2,4,0(=n ∵,0=⋅n MN ∴MN ∥平面OCD . (Ⅱ)设AB 与MD 所成的角为θ ,,3π,21||||cos ),1,22,22(),0,0,1(=∴==∴--==⋅θθMD AB MD AB MD AB 即直线AB 与MD 所成角的大小为⋅3π11.(Ⅰ)证明:在平面β 内过点C 作CO ⊥PQ 于点O ,连结OB .∵α ⊥β ,α ∩β =PQ ,∴CO ⊥α . 又∵CA =CB ,∴OA =OB .∵∠BAO =45°,∴∠ABO =45°,∠AOB =90°,∴BO ⊥PQ ,又CO ⊥PQ , ∴PQ ⊥平面OBC ,∴PQ ⊥BC .(Ⅱ)由(Ⅰ)知,OC ⊥OA ,OC ⊥OB ,OA ⊥OB ,故以O 为原点,分别以直线OB ,OA ,OC 为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系(如图).∵CO ⊥α ,∴∠CAO 是CA 和平面α 所成的角,则∠CAO =30°.不妨设AC =2,则3=AO ,CO =1.在Rt △OAB 中,∠ABO =∠BAO =45°,∴.3==AO BO∴).1,0,0(),0,3,0(),0,0,3(),0,0,0(C A B O).1,3,0(),0,3,3(-=-=AC AB设n 1=(x ,y ,z )是平面ABC 的一个法向量,由⎪⎩⎪⎨⎧==⋅⋅,0,0AC AB n n 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-,03,033z y y x 取x =1,得)3,1,1(1=n . 易知n 2=(1,0,0)是平面β 的一个法向量. 设二面角B -AC -P 的平面角为θ ,∴,55||||cos 2121==⋅⋅n n n n θ即二面角B -AC -P 平面角的余弦值是⋅55。
空间向量在立体几何中的应用sxz
一.平行问题
Db
(一)证明两直线平行
A ,B a;C ,D b,A BC D a∥
C
A
b
a
B
方法思路:在两分 直别 线取 上不同的
得到两向量,转明 化两 为向 证量平行
知 A ( x 1 B ,y 1 )C , ( x 2 D ,y 2 )则 ,x 1 y 2 x 有 2 y 1 a ∥ b
方 底法 线思 性路 表: 示证 (明 即方 内直 在向 存线 平向 在的 面量 一可 向用 量平 与组 相面 方基 等 的 向)一 向 e 1 e 2
则可得面内一直外线的与线面平 ,从行而证线面. 平行
(三)面面平行
1.不重合的两 与平 的面法向量 n
分别m是 和n, mn∥
方法思路:平 求面 出的 其法 中向 一法 量向 ,量 再与 证
的不共线的量 两积 向 ( 0 为 量 即的 都数 垂直两 )面 ,平 则
二.垂直问题
(一)证明两直线垂直
b
不 分重 别a合 为 和b的 , a和 直 则a直 线 有 bb线 的 0 方 a向 b 向b 量 a a
方法思路:找两直线 方的 向向量 (分别
| m|
方法思路:求出任 平一 面法 的向m(量 方程
组可求 ),在面内任取Q一与点点P得一向量
转化为 P Q在法向量的投影,的 套长 公度 式。
D
(二)求两异面直线的距离d
b
知a,b是两异面直线A,,Ba,C, Db,
B
aA
C
找一向量与两异面都 直垂 线直的向m量,
则两异面直线的距 d=离ACm
(二)证明线面垂直 l
用空间向量法求解立体几何问题典例及解析
用空间向量法求解立体几何问题典例及解析以多面体为载体,以空间向量为工具,来论证和求解空间角、距离、线线关系以及线面关系相关问题,是近年来高考数学的重点和热点,用空间向量解立体几何问题,极大地降低了求解立几的难度,很大程度上呈现出程序化思想。
更易于学生们所接受,故而执教者应高度重视空间向量的工具性。
首先,梳理一下利用空间向量解决立体几何的知识和基本求解方法 一:利用空间向量求空间角 (1)两条异面直线所成的夹角范围:两条异面直线所成的夹角的取值范围是 。
向量求法:设直线,a b 的方向向量为a,b ,其夹角为θ,则有cos ___________.θ= (2)直线与平面所成的角定义:直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。
范围:直线和平面所夹角的取值范围是 。
向量求法:设直线l 的方向向量为a ,平面的法向量为n ,直线与法向量所成角的余弦值为|cos |___________.θ=直线与平面所成的角为ϕ,则有sin ___________.ϕ=或在平面内任取一个向量m ,则|cos |___________.θ=.(3)二面角二面角的取值范围是 . 二面角的向量求法:方法一:在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量,则这两个向量所成的 即为所求的二面角的大小;方法二:设1n ,2n 分别是两个面的 ,则向量1n 与2n 的夹角(或其补角)即为所求二面角的平面角的大小。
二:利用空间向量求空间距离 (1)点面距离的向量公式平面α的法向量为n ,点P 是平面α外一点,点M 为平面α内任意一点,则点P 到平面α的距离d 就是 ,即d =||||MP ⋅n n . (2)线面、面面距离的向量公式平面α∥直线l ,平面α的法向量为n ,点M ∈α、P ∈l ,平面α与直线l 间的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值,即d = .平面α∥β,平面α的法向量为n ,点M ∈α、P ∈β,平面α与平面β的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值,即d =||||MP ⋅n n . (3)异面直线的距离的向量公式设向量n 与两异面直线a 、b 都垂直,M ∈a 、P ∈b ,则两异面直线a 、b 间的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值,即d =||||MP ⋅n n .三:利用空间向量解证平行、垂直关系1:①所谓直线的方向向量,就是指 的向量,一条直线的方向向量有 个。
空间向量在立体几何中的应用
空间向量在立体几何中的应用教学目标1、知识与技能(1) 进一步理解向量垂直的充要条件;(2)利用向量法证明线线、线面垂直;(3)利用向量解决立体几何问题,培养学生数形结合的思想方法;2、过程与方法通过学生对空间几何图形的认识,建立恰当的空间直角坐标系,利用向量的坐标将几何问题代数化,提高学生应用知识的能力。
3、情感态度与价值观通过空间向量在立体几何中的应用,让学生感受数学、体会数学的美感,从而激发学数学、用数学的热情。
教学重点建立恰当的空间直角坐标系,用向量法证明线线、线面垂直。
教学难点、关键建立恰当的空间直角坐标系,直线的方向向量; 正确写出空间向量的坐标。
教学方法启发式教学、讲练结合教学媒体ppt课件学法指导交流指导,渗透指导.课型新授课教学过程一、知识的复习与引人自主学习1.若=x i+y j+z k,那么(x,y,z)叫做向量的坐标,也叫点P的坐标.2. 如图,已知长方体的边长为AB=2,AD=2,1AA '=.以这个长方体的顶点为坐标原点,射线分别为轴、轴、轴的正半轴,建立空间直角坐标系,试求长方体各个顶点及A C '中点G 的坐标.3.设a =(x 1,y 1,z 1),b =(x 2,y 2,z 2),那么±=(x 1±x 2,y 1±y 2, ), ⊥⇔ b a ∙=x 1x 2+y 1y 2+ =0.4.设M 1(x 1,y 1,z 1),M 2(x 2,y 2,z 2),则 12M M =(2121,x x y y --, ) [探究]1.直线的方向向量:直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量,一条直线的方向向量有 个. 2.空间位置关系的向量表示[合作探究]二、新授课:利用空间向量证明线线垂直、线面垂直例1、如图,在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 为BC 的中点,N 为AB 的中点,P 为BB 1的中点.(Ⅰ)求证:BD 1⊥B 1C ;(Ⅱ)求证:BD 1⊥平面MNP .设计意图:使学生明确空间向量在证明线线垂直、线面垂直中的作用。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用课件1新人教B版选修2_1
各抒己见 百家争鸣
链接高考202X
强化作业: 在直三棱柱ABC-
A1B1C1中,∠ACB=90°,2AC=AA1= BC=2,D为AA1上一点.
(1)若D为AA1的中点,求证:平面B1CD⊥平面B1C1D; (2)若二面角B1-DC-C1的大小为60°,求AD的长
前置作业反馈
立体几何中的向 量方法
如果a⊥,那么向量a叫做平面的法向量.
l a
二、怎样求平面法向量?
利用空间向量求空间角
题型一:线线角
异面直线所成角的范围:
0,
2
C
D
A D1
B
结论: cos | cos CD, AB |
题题型型二二::线线面面角角
直线与平面所成角的范围: [0, ]
1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间 向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几 何问题转化为向量问题; (化为向量问题)
(2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题;
(进行向量运算) (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
具有大小和方向的量 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) ka+kb
加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k(a b) ka+kb
2
An
直线AB与平面α所成
B O
的角θ可看成是向量与 平面α的法向量所成的 锐角的余角,所以有
空间向量在立体几何中的应用-立体几何
点,A是α内任一点,则点P到α的距离d= | PA·m | .
|m|
考点一 用向量证明平行、垂直问题
如图,在四棱锥P—ABCD 中,PA⊥平面ABCD,底面 ABCD为矩形,且PA=AD, E,F分别为线段AB,PD的中 点.求证:
(1) AF∥平面PEC;
相等或互补 .
5.空间的距离
(1)一个点到它在一个平面内 正射影 的距离,叫做 点到这个平面的距离.
(2)已知直线l平行平面α,则l上任一点到α的距离 都 相等 ,且叫做l到α的距离.
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(3)和两个平行平面同时 垂直 的直线,叫做两 个平面的公垂线.公垂线夹在平行平面间的部分,叫做两 个平面的 公垂线段 .两平行平面的任两条公垂线段的长 都相等,公垂线段的 长度 叫做两平行平面的距离, 也是一个平面内任一点到另一个平面的距离.
EC=(
a
22 ,1,0),∴AF=
1
2 EP+
1 EC,
2
2
2
又AF⊂ 平面PEC,∴AF∥平面PEC.
(2)PD=(0,1,-1),CD=(-a,0,0), 11
∴AF·PD=(0, 2, 2)·(0,1,-1)=0, AF·CD=(0, 1 , 1 )·(-a,0,0)=0,
22 ∴AF⊥PD,AF⊥CD,又PD∩CD=D,
∴m⊥n.
∴平面ADE⊥平面A1D1F.
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考点二 用向量求线线角与线面角 如图所示,已知点P在正方体ABCDA′B′C′D′的对角线BD′上,∠PDA=60°. (1)求DP与CC′所成角的大小; (2)求DP与平面AA ′ D′D所成角的大小
【分析】建立空间直角坐标系,利用空间向量方法求解. 返回目录
空间向量在立体几何中的应用
空间向量在立体几何中的应用
空间向量在立体几何的应用
立体几何是解决空间问题的精英学科,结合了微积分、几何、代数三者之间的
有机联系,具有重要的实际意义。
它是数学的基础理论,也是应用于多向系统、工程计算、科学研究、航空航天、船舶制造等各种领域的一种重要工具。
空间向量是立体几何和向量代数交叉应用最多的分支。
空间向量具有方向和大小等三个特性,结合它们之间的线性变换,所形成的多
种变换方程和推理公式,使空间向量的应用更加简单。
另外,由于空间向量具有方向性、概括性,在机器人学和运筹学等方面具有独特的效用。
空间向量在立体几何中的应用尤以运动问题为典型,空间上的运动可以分解成
由一系列空间向量组成的连续移动序列,可以分别用空间向量进行计算。
此外,应用于立体几何中的空间向量还可以帮助我们理解几何中的前趋量及拉格朗日原理,以及如何根据旋转角度、平移距离等信息求解物体的运动轨迹的空间变换函数。
空间向量的应用不仅仅局限于立体几何,还在工程计算、航空航天研发等诸多
领域下都有着广泛的应用。
它可以用来计算和描述各种形状的多边形和曲面,以及向量结构、平面和三维体结构之间的关系,是现代科学技术发展的重要推手。
通过本文介绍,我们可以看到,空间向量在立体几何中的应用十分广泛,被广
泛用于计算、分析、操纵等几何学问题,对研究几何原理和设计工程图形有着不可磨灭的重要作用,使立体几何在实践中的运用变得更加简单,不但能满足实用需要,还拓展了几何研究的范畴,从而及臻科学繁荣。
空间向量在立体几何中的应用
练习:
正方体ABCD-A1B1C1D1中,P 为DD1的中
点,O1,O2,O3分别是平面A1B1C1D1、平面
BB1C1C、平面ABCD的中心
(2) 求异面直线PO3与O1O2Z成的角
D1 O1
C1
A1
B1
P
O2
D
C
A
O3
Y B
X
空间向量在
立几中应用
小结
本堂课的学习重点是用向量代数的方法解决 立体几何问题,但在学习中应把几何综合推 理与向量代数运算推理有机结合起来 向量代数推理是更加精练,严密的推理,每 一步都要根据运算法则进行 学习过程中应善于“前思后想”,提炼方法, 开拓思路
本题多次运用了封闭回路
空间向量在
立几中应用
利用向量求空间距离
空间距离是一种重要的几何量,利 用常规方法求距离,需要较强的转化能力, 而用向量法则相对简单
空间向量在
立几中应用
例3、正方体AC1棱长为1,求平面AD1C 与平面A1BC1的距离
Z
D
C
B A
D1 A1
X
C1 Y
B1
空间向量在
评述:
立几中应用
空间向量在
立几中应用
空间向量在立体几何中的应用
空间向量在
立几中应用
利用向量判断位置关系
利用向量可证明四点共面、线线平 行、线面平行、线线垂直、线面垂直等问 题,其方法是通过向量的运算来判断,这 是数形结合的典型问题
空间向量在
立几中应用
空间向量在
立几中应用
空间向量在
立几中应用
利用向量求空间角
利用向量可以进行求线线角、线面 角、面面角,关键是进行向量的计算
空间向量在立体几何中的应用PPT优秀课件
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*对应演练*
如图,四棱锥P—ABCD中, 底面ABCD为矩形,PD⊥ 底面ABCD,AD=PD, E,F分别为CD,PB的中点. (1)求证:EF⊥平面PAB;
【分析】可用空间向量的坐标运算来证明. 【证明】以A为原点,AB,AD,AP分别为x轴,y轴,z 轴建立空间直角坐标系,如图所示. 设AB=a,PA=AD=1,
a 则P(0,0,1),C(a,1,0),E( ,0,0), 2 1 1 D(0,1,0),F(0, 2 , 2 ). 1 1 a (1)AF=(0, , ),EP=(- ,0,1), 2 2 2 a 1 1 EC=( ,1,0),∴AF= EP+ EC, 2 2 2 又AF⊂ 平面PEC,∴AF∥平面PEC.
空间向量在立体几何
考点一
考点二 考点三 考点四
考点五
1.平面的法向量
直线l⊥α,取直线l的 做平面α的法向量.
方向向量a,则 向量a 叫
2.直线l的方向向量是u=(a1,b1,c1),平面α的法向
a1a2+b1b2+c1c2=0 u· v=0 量v=(a2,b2,c2),则l∥α ⇔ . ⇔
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(2)PD=(0,1,-1),CD=(-a,0,0), 1 1 ∴AF· PD=(0, , )· (0,1,-1)=0, 2 2 1 1 AF· CD=(0, , )· (-a,0,0)=0, 2 2 ∴AF⊥PD,AF⊥CD,又PD∩CD=D, ∴AF⊥平面PCD.
【评析】用向量证明线面平行时,最后应说明向量 所在的基线不在平面内.
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*对应演练*
如图,在正方体ABCD— A1B1C1D1中,E,F,M分别 为棱BB1,CD,AA1的中点. 证明:
空间向量在立体几何中的应用
空间向量在立体几何中的应用【考纲说明】1. 能够利用共线向量、共面向量、空间向量基本定理证明共线、共面、平行及垂直问题;2. 会利用空间向量的坐标运算、两点间的距离公式、夹角公式等解决平行、垂直、长度、角、距离等问题;3. 培养用向量的相关知识思考问题和解决问题的能力;知识梳理】、空间向量的运算1、向量的几何运算1)向量的数量积:已知向量,则叫做的数量积,记作空间向量数量积的性质:① ;②;③.2)向量共线定理:向量a r a r r r r0 与b 共线,当且仅当有唯一一个实数,使b2、向量的坐标运算(1)若,,则.一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
2)若,,则,,3)夹角公式:(4)两点间的距离公式:若,,则二、空间向量在立体几何中的应用2. 利用空间向量证明平行问题对于平行问题,一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明.3. 利用空间向量证明垂直问题对于垂直问题,一般是利用进行证明;4. 利用空间向量求角度1)线线角的求法:设直线AB、CD对应的方向向量分别为a、b,则直线AB与CD所成的角为(线线角的范围[0 0,90 0])2)线面角的求法:(3)二面角的求法:设n1,n2 分别是二面角其补角的大小(如图)5. 利用空间向量求距离1)平面的法向量的求法:设n=(x,y,z),利用n 与平面内的两个不共线的向a, b 垂直,其数量积为零,列出两个三元一次方程,联立后取设n 是平面的法向量,是直线的方向向量,则直线与平面所成的角为其一组解,即得到平面的一个法向量(如图)就是二面角的平面角或的两个面2)利用法向量求空间距离a ) 点 A 到平面 的距离: ,其中 , 是平面 的法向量。
b ) 直线 与平面 之间的距离:,其中 , 是平面 的法向量。
c ) 两平行平面 之间的距离: ,其中 , 是平面 的法向量。
经典例题】例 1】( 2010 全国卷 1理)正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中, B B 1与平面 AC D 1所成角的余弦值为(A )23B )332C )23 D )63【解析】 D 【例 2】( 2010 全国卷 2 文)已知三棱锥 SA =3,那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为( ) S ABC 中,底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形, SA 垂直于底面ABC , A ) 3 (B) 4 5(C) 4 (D) 解析】 D 2012 全国卷)三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中,底面边长和侧棱长都相等, SABAA 1CAA 1 60o ,则异面直线 AB 1与 BC 1所成角的余弦值为 解析】影是线段BC 的中点O。
空间向量在立体几何中的应用
空间向量在立体几何中的应用
空间向量在立体几何中具有广泛的应用,这里列举了一些常见的应用:
1. 空间向量的加减法可以用于求解线段的向量表示,进而计算线段长度等相关信息。
2. 空间向量的点积可以用于计算两个向量之间的夹角,得到两个向量是否相互垂直或平行。
3. 空间向量的叉积可以用于计算多边形面积等相关信息,还可以判断三角形的方向(左手定则)。
4. 空间向量的投影可以用于求解点到平面或直线的垂足,计算平面或直线方程等。
5. 空间向量可以用于求解两条直线或两个平面的交点,并判断这两个对象之间的位置关系等。
总之,空间向量是立体几何中非常重要的工具,它们提供了一种直观、准确的表示方式,帮助我们更好地理解和计算立体几何中的问题。
空间向量解决立体几何
1 空间直角坐标系构建三策略利用空间向量的方法解决立体几何问题,关键是依托图形建立空间直角坐标系,将其它向量用坐标表示,通过向量运算,判定或证明空间元素的位置关系,以及空间角、空间距离问题的探求.所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要,下面简述空间建系的三种方法,希望同学们面对空间几何问题能做到有的放矢,化解自如.1.利用共顶点的互相垂直的三条棱例1 已知直四棱柱中,AA 1=2,底面ABCD 是直角梯形,∠DAB 为直角,AB ∥CD ,AB =4,AD =2,DC =1,试求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值.解 如图以D 为坐标原点,分别以DA ,DC ,DD 1所在的直线为x 轴,y轴,z 轴,建立空间直角坐标系,则D (0,0,0),C 1(0,1,2),B (2,4,0),C (0,1,0),所以BC 1→=(-2,-3,2),CD →=(0,-1,0).所以cos 〈BC 1→,CD →〉=BC 1→·CD →|BC 1→||CD →|=31717. 故异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值为31717. 点评 本例以直四棱柱为背景,求异面直线所成角.求解关键是从直四棱柱图形中的共点的三条棱互相垂直关系处着眼,建立空间直角坐标系,写出有关点的坐标和相关向量的坐标,再求两异面直线的方向向量的夹角即可.2.利用线面垂直关系例2 如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB ⊥面BB 1C 1C ,E 为棱C 1C 的中点,已知AB =2,BB 1=2,BC =1,∠BCC 1=π3.试建立合适的空间直角坐标系,求出图中所有点的坐标.解 过B 点作BP 垂直BB 1交C 1C 于P 点,因为AB ⊥面BB 1C 1C ,所以BP ⊥面ABB 1A 1,以B 为原点,分别以BP ,BB 1,BA 所在的直线为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系.因为AB =2,BB 1=2,BC =1,∠BCC 1=π3, 所以CP =12,C 1P =32,BP =32,则各点坐标分别为B (0,0,0),A (0,0,2),B 1(0,2,0),C (32,-12,0),C 1(32,32,0),E (32,12,0),A 1(0,2,2).点评 空间直角坐标系的建立,要尽量地使尽可能多的点落在坐标轴上,这样建成的坐标系,既能迅速写出各点的坐标,又由于坐标轴上的点的坐标含有0,也为后续的运算带来了方便.本题已知条件中的垂直关系“AB ⊥面BB 1C 1C ”,可作为建系的突破口.3.利用面面垂直关系例3 如图1,等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB =AD =2,∠ABC =60°,E 是BC 的中点.将△ABE 沿AE 折起,使平面BAE ⊥平面AEC (如图2),连接BC ,BD .求平面ABE 与平面BCD 所成的锐角的大小.解 取AE 中点M ,连接BM ,DM .因为在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB =AD ,∠ABC =60°,E 是BC 的中点, 所以△ABE 与△ADE 都是等边三角形,所以BM ⊥AE ,DM ⊥AE .又平面BAE ⊥平面AEC ,所以BM ⊥MD .以M 为原点,分别以ME ,MD ,MB 所在的直线为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系Mxyz ,如图,则E (1,0,0),B (0,0,3),C (2,3,0),D (0,3,0),所以DC →=(2,0,0),BD →=(0,3,-3),设平面BCD 的法向量为m =(x ,y ,z ),由⎩⎪⎨⎪⎧m ·DC →=2x =0,m ·BD →=3y -3z =0.取y =1,得m =(0,1,1), 又因平面ABE 的一个法向量MD →=(0,3,0),所以cos 〈m ,MD →〉=m ·MD →|m ||MD →|=22, 所以平面ABE 与平面BCD 所成的锐角为45°.点评 本题求解关键是利用面面垂直关系,先证在两平面内共点的三线垂直,再构建空间直角坐标系,然后分别求出两个平面的法向量,求出两法向量夹角的余弦值,即可得所求的两平面所成的锐角的大小.用法向量的夹角求二面角时应注意:平面的法向量有两个相反的方向,取的方向不同求出来的角度就不同,所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小.2 用向量法研究“动态”立体几何问题“动态”立体几何问题是在静态几何问题中渗透了一些“动态”的点、线、面等元素,同时由于“动态”的存在,使得问题的处理趋于灵活.本文介绍巧解“动态”立体几何问题的法宝——向量法,教你如何以静制动.1.求解、证明问题例1 在棱长为a 的正方体OABC —O 1A 1B 1C 1中,E 、F 分别是AB 、BC 上的动点,且AE =BF ,求证:A 1F ⊥C 1E .证明 以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A 1(a,0,a ),C 1(0,a ,a ).设AE =BF =x ,∴E (a ,x,0),F (a -x ,a,0).∴A 1F →=(-x ,a ,-a ),C 1E →=(a ,x -a ,-a ).∵A 1F →·C 1E →=(-x ,a ,-a )·(a ,x -a ,-a )=-ax +ax -a 2+a 2=0,∴A 1F →⊥C 1E →,即A 1F ⊥C 1E .2.定位问题例2 如图,已知四边形ABCD ,CDGF ,ADGE 均为正方形,且边长为1,在DG 上是否存在点M ,使得直线MB 与平面BEF 的夹角为45°?若存在,求出点M 的位置;若不存在,请说明理由.解题提示 假设存在点M ,设平面BEF 的法向量为n ,设BM 与平面BEF所成的角为θ,利用sin θ=|BM →·n ||BM →||n |解出t ,若t 满足条件则存在. 解 因为四边形CDGF ,ADGE 均为正方形,所以GD ⊥DA ,GD ⊥DC .又DA ∩DC =D ,所以GD ⊥平面ABCD .又DA ⊥DC ,所以DA ,DG ,DC 两两互相垂直,如图,以D 为原点建立空间直角坐标系,则B (1,1,0),E (1,0,1),F (0,1,1).因为点M 在DG 上,假设存在点M (0,0,t ) (0≤t ≤1)使得直线BM 与平面BEF 的夹角为45°.设平面BEF 的法向量为n =(x ,y ,z ).因为BE →=(0,-1,1),BF →=(-1,0,1),则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BE →=0,n ·BF →=0,即⎩⎪⎨⎪⎧-y +z =0,-x +z =0,令z =1,得x =y =1, 所以n =(1,1,1)为平面BEF 的一个法向量.又BM →=(-1,-1,t ),直线BM 与平面BEF 所成的角为45°,所以sin 45°=|BM →·n ||BM →||n |=|-2+t |t 2+2×3=22, 解得t =-4±3 2.又0≤t ≤1,所以t =32-4.故在DG 上存在点M (0,0,32-4),且DM =32-4时,直线MB 与平面BEF 所成的角为45°.点评 由于立体几何题中“动态”性的存在,使有些问题的结果变得不确定,这时我们要以不变应万变,抓住问题的实质,引入参量,利用空间垂直关系及数量积将几何问题代数化,达到以静制动的效果.3 向量与立体几何中的数学思想1.数形结合思想向量方法是解决问题的一种重要方法,坐标是研究向量问题的有效工具,利用空间向量的坐标表示可以把向量问题转化为代数运算,从而沟通了几何与代数的联系,体现了数形结合的重要思想.向量具有数形兼备的特点,因此,它能将几何中的“形”和代数中的“数”有机地结合在一起.例1 如图,在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,A 1A ⊥底面ABCD ,∠BAD =90°,AD ∥BC ,且A 1A =AB =AD =2BC =2,点E 在棱AB 上,平面A 1EC 与棱C 1D 1相交于点F .(1)证明:A 1F ∥平面B 1CE ;(2)若E 是棱AB 的中点,求二面角A 1-EC -D 的余弦值;(3)求三棱锥B 1-A 1EF 的体积的最大值.(1)证明 因为ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱柱,所以平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1.又因为平面ABCD ∩平面A 1ECF =EC ,平面A 1B 1C 1D 1∩平面A 1ECF =AF ,所以A 1F ∥EC .又因为A 1F ⊄平面B 1CE ,EC ⊂平面B 1CE ,所以A 1F ∥平面B 1CE .(2)解 因为AA 1⊥底面ABCD ,⊥BAD =90°,所以AA 1,AB ,AD 两两垂直,以A 为原点,以AB ,AD ,AA 1分别为x 轴、y 轴和z 轴,如图建立空间直角坐标系.则A 1(0,0,2),E (1,0,0),C (2,1,0),所以A 1E →=(1,0,-2),A 1C →=(2,1,-2).设平面A 1ECF 的法向量为m =(x ,y ,z ),由A 1E →·m =0,A 1C →·m =0,得⎩⎪⎨⎪⎧x -2z =0,2x +y -2z =0. 令z =1,得m =(2,-2,1).又因为平面DEC 的法向量为n =(0,0,1),所以cos 〈m ,n 〉=m ·n |m |·|n |=13, 由图可知,二面角AA 1-EC -D 的平面角为锐角,所以二面角A 1-EC -D 的余弦值为13. (3)解 过点F 作FM ⊥A 1B 1于点M ,因为平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1,FM ⊂平面A 1B 1C 1D 1,所以FM ⊥平面A 1ABB 1,所以VB 1-A 1EF =VF -B 1A 1E =13×S △A 1B 1E ×FM =13×2×22×FM =23FM . 因为当F 与点D 1重合时,FM 取到最大值2(此时点E 与点B 重合),所以当F 与点D 1重合时,三棱锥B 1-A 1EF 的体积的最大值为43. 2.转化与化归思想空间向量的坐标及运算为解决立体几何中的夹角、距离、垂直、平行等问题提供了工具,因此我们要善于把这些问题转化为向量的夹角、模、垂直、平行等问题,利用向量方法解决.将几何问题化归为向量问题,然后利用向量的性质进行运算和论证,再将结果转化为几何问题.这种“从几何到向量,再从向量到几何”的思想方法,在本章尤为重要.例2 如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=AB =2AD =2,E 为AB 的中点,F 为D 1E 上的一点,D 1F =2FE .(1)证明:平面DFC ⊥平面D 1EC ;(2)求二面角A -DF -C 的平面角的余弦值.分析 求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.解 (1)以D 为原点,分别以DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系,则A (1,0,0),B (1,2,0),C (0,2,0),D 1(0,0,2).∵E 为AB 的中点,∴E 点坐标为E (1,1,0),∵D 1F =2FE ,∴D 1F →=23D 1E →=23(1,1,-2) =(23,23,-43), ∴DF →=DD 1→+D 1F →=(0,0,2)+(23,23,-43) =(23,23,23),设n =(x ,y ,z )是平面DFC 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DF →=0,n ·DC →=0, ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 23x +23y +23z =0,2y =0.取x =1得平面FDC 的一个法向量为n =(1,0,-1).设p =(x ,y ,z )是平面ED 1C 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧p ·D 1F →=0,p ·D 1C →=0,∴⎩⎪⎨⎪⎧ 23x +23y -43z =0,2y -2z =0,取y =1得平面D 1EC 的一个法向量p =(1,1,1), ∵n ·p =(1,0,-1)·(1,1,1)=0,∴平面DFC ⊥平面D 1EC .(3)设q =(x ,y ,z )是平面ADF 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧ q ·DF →=0,q ·DA →=0, ∴⎩⎪⎨⎪⎧23x +23y +23z =0,x =0,取y =1得平面ADF 的一个法向量q =(0,1,-1),设二面角A -DF -C 的平面角为θ,由题中条件可知θ∈(π2,π),则cos θ=|n ·q |n |·|q ||=-0+0+12×2=-12, ∴二面角A -DF -C 的平面角的余弦值为12. 3.函数思想例3 已知关于x 的方程x 2-(t -2)x +t 2+3t +5=0有两个实根,且c =a +t b ,a =(-1,1,3),b =(1,0,-2).问|c |能否取得最大值?若能,求出实数t 的值及对应的向量b 与c 夹角的余弦值;若不能,说明理由.分析 写出|c |关于t 的函数关系式,再利用函数观点求解.解 由题意知Δ≥0,得-4≤t ≤-43, 又c =(-1,1,3)+t (1,0,-2)=(-1+t,1,3-2t ),∴|c |=(-1+t )2+(3-2t )2+1 =5⎝⎛⎭⎫t -752+65. 当t ∈⎣⎡⎦⎤-4,-43时,f (t )=5⎝⎛⎭⎫t -752+65是单调递减函数,∴y max =f (-4),即|c |的最大值存在, 此时c =(-5,1,11).b·c =-27,|c |=7 3.而|b |=5,∴cos 〈b ,c 〉=b·c |b||c |=-275×73=-91535. 点评 凡涉及向量中的最值问题,若可用向量坐标形式,一般可考虑写出函数关系式,利用函数思想求解.4.分类讨论思想例4 如图,矩形ABCD 中,AB =1,BC =a ,P A ⊥平面ABCD (点P 位于平面ABCD 上方),问BC 边上是否存在点Q ,使PQ →⊥QD →?分析 由PQ →⊥QD →,得PQ ⊥QD ,所以平面ABCD 内,点Q 在以边AD为直径的圆上,若此圆与边BC 相切或相交,则BC 边上存在点Q ,否则不存在.解 假设存在点Q (Q 点在边BC 上),使PQ →⊥QD →,即PQ ⊥QD ,连接AQ .∵P A ⊥平面ABCD ,∴P A ⊥QD .又PQ →=P A →+AQ →且PQ →⊥QD →,∴PQ →·QD →=0,即P A →·QD →+AQ →·QD →=0.又由P A →·QD →=0,∴AQ →·QD →=0,∴AQ →⊥QD →.即点Q 在以边AD 为直径的圆上,圆的半径为a 2. 又∵AB =1,由题图知,当a 2=1,即a =2时,该圆与边BC 相切,存在1个点Q 满足题意; 当a 2>1,即a >2时,该圆与边BC 相交,存在2个点Q 满足题意; 当a 2<1,即a <2时,该圆与边BC 相离,不存在点Q 满足题意. 综上所述,当a ≥2时,存在点Q ;当0<a <2时,不存在点。
第二十一讲空间向量在立体几何中的应用原卷版2023届高考数学二轮复习讲义
第二十一讲:空间向量在立体几何中的应用【考点梳理】1.法向量的求解①法向量一定是非零向量;②一个平面的所有法向量都互相平行;③向量 n 是平面的法向量,向量 m 是与平面平行或在平面内,则有0⋅= m n .第一步:写出平面内两个不平行的向()()111222,,,,,== a x y z b x y z ;第二步:那么平面法向量(),,= n x y z ,满足1112220000⎧++=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨++=⋅=⎩⎪⎩ xx yy zz n a xx yy zz n b .第三步:化解方程组令z y x ,,其中一个为1,求其它两个值.2.判定直线、平面间的位置关系①直线与直线的位置关系:不重合的两条直线a ,b 的方向向量分别为 a , b .若 a ∥ b ,即= a b λ,则∥a b ;若⊥ a b ,即0⋅= a b ,则⊥a b .②直线与平面的位置关系:直线l 的方向向量为 a ,平面α的法向量为 n ,且⊥l α.若 a ∥ n ,即= a n λ,则⊥l α;若⊥ a n ,即0⋅= a n ,则∥ a α.3.平面与平面的位置关系平面α的法向量为1 n ,平面β的法向量为2 n .若1 n ∥2 n ,即12= n n λ,则∥αβ;若1 n ⊥2 n ,即120⋅= n n ,则α⊥β.4.空间角公式.(1)异面直线所成角公式:设 a , b 分别为异面直线1l ,2l 上的方向向量,θ为异面直线所成角的大小,则cos cos ,⋅== a b a b a bθ.(2)线面角公式:设l 为平面α的斜线, a 为l 的方向向量, n 为平面α的法向量,θ为l 与α所成角的大小,则sin cos ,⋅== a n a n a nθ.(3)二面角公式:设1n ,2n 分别为平面α,β的法向量,二面角的大小为θ,则12,= n n θ或12,- n n π(需要根据具体情况判断相等或互补),其中1212cos ⋅= n n n n θ.5.点到平面的距离A 为平面α外一点(如图), n 为平面α的法向量,过A 作平面α的斜线AB 及垂线AH.||||⋅= AB n d n 【典型题型讲解】考点一:直线与平面所成的角【典例例题】例1.(2022·广东茂名·一模)如图,四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,底面ABCD 为平行四边形,E 为CD 的中点,12AE CD =.(1)证明:PC AD ⊥;(2)若三角形AED 为等边三角形,PA =AD =6,F 为PB 上一点,且13PF PB =,求直线EF 与平面PAE 所成角的正弦值.【方法技巧与总结】设l 为平面α的斜线, a 为l 的方向向量, n 为平面α的法向量,θ为l 与α所成角的大小,则sin cos ,⋅== a n a n a nθ.【变式训练】1.(2022·广东惠州·一模)如图1所示,梯形ABCD 中,AB=BC=CD=2,AD=4,E 为AD 的中点,连结BE ,AC 交于F ,将△ABE 沿BE 折叠,使得平面ABE ⊥平面BCDE (如图2).(1)求证:AF ⊥CD ;(2)求平面AFC 与平面ADE 的夹角的余弦值.2.(2022·广东广州·一模)如图,在五面体ABCDE 中,AD ⊥平面ABC ,//AD BE ,2AD BE =,AB BC =.(1)求证:平面CDE ⊥平面ACD ;(2)若AB =2AC =,五面体ABCDE ,求直线CE 与平面ABED 所成角的正弦值.3.(2022·广东汕头·一模)如图,D 为圆锥的顶点,O 是圆锥底面的圆心,AE 为底面直径,AE AD =,ABC 是底面的内接正三角形,且6DO =,P 是线段DO 上一点.(1)是否存在点P ,使得PA ⊥平面PBC ,若存在,求出PO 的值;若不存在,请说明理由;(2)当PO 为何值时,直线EP 与面PBC 所成的角的正弦值最大.考点二:二面角【典例例题】例1.(2021·广东佛山·一模)某商品的包装纸如图1,其中菱形ABCD 的边长为3,且60ABC ∠=︒,AE AF ==BE DF ==,将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后,点E ,F ,M ,N 汇聚为一点P ,恰好形成如图2的四棱锥形的包裹.(1)证明PA ⊥底面ABCD ;(2)设点T 为BC 上的点,且二面角B PA T --的正弦值为14,试求PC 与平面PAT 所成角的正弦值.【方法技巧与总结】设12, n n 是二面角--l αβ的两个半平面的法向量,其方向一个指向二面角内侧,另一个指向二面角的外侧,则二面角--l αβ的余弦值为1212n n |n ||n |⋅⋅ .【变式训练】1.(2022·广东·一模)如图,ABCD 为圆柱OO '的轴截面,EF 是圆柱上异于AD ,BC 的母线.(1)证明:BE ⊥平面DEF ;(2)若2AB BC ==,当三棱锥B DEF -的体积最大时,求二面角B DF E --的余弦值.2.(2022·广东湛江·一模)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,平面ABC ⊥平面11ACC A ,90ABC ∠= ,AB BC =,四边形11ACC A 是菱形,160A AC ∠=,O 是AC 的中点.(1)证明:BC ⊥平面11B OA ;(2)求二面角11A OB C --的余弦值.3.(2022·广东深圳·一模)如图,在四棱锥E -ABCD 中,//AB CD ,12AD CD BC AB ===,E 在以AB 为直径的半圆上(不包括端点),平面ABE ⊥平面ABCD ,M ,N 分别为DE ,BC 的中点.(1)求证://MN 平面ABE ;(2)当四棱锥E -ABCD 体积最大时,求二面角N -AE -B 的余弦值.4.(2022·广东广东·一模)如图,在四棱锥P ABCD -中,PD ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 是等腰梯形,//AB DC ,2BC CD AD ===,4AB =,M ,N 分别是AB ,AD 的中点.(1)证明:平面PMN ⊥平面PAD ;(2)若二面角C AB P --的大小为60°,求四棱锥P ABCD -的体积.5.(2022·广东韶关·一模)如图,在四棱锥M ABCD -中,底面ABCD 是直角梯形,AB ∥,90C D A D C ∠= ,MBC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形,E 为AB 中点,222AB AD D C M E ====.(1)求证:BC ME ⊥;(2)点P 为棱AM 上一点,若12AP AM =,求二面角P BD A --的余弦值.6.如图,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形,且PA ⊥底面ABCD ,2,4,60AB PA BC ABC ===∠=︒,点E 是线段BC (包括端点)上的动点.(1)探究点E 位于何处时,平面PAE ⊥平面PED ;(2)设二面角P ED A --的平面角的大小为α,直线AD 与平面PED 所成角为β,求证:π2αβ+=考点三:点到平面距离【典例例题】例1.(2022·广东中山·高三期末)已知圆锥AO 的底面半径为2,母线长为,点C 为圆锥底面圆周上的一点,O 为圆心,D 是AB 的中点,且2BOC π∠=.(1)求三棱锥D OCB -的表面积;(2)求A 到平面OCD 的距离.例2.在正方体1111ABCD A B C D -中,E 为11A D 的中点,过1AB E 的平面截此正方体,得如图所示的多面体,F 为棱1CC 上的动点.(1)点H 在棱BC 上,当14CH CB =时,//FH 平面1AEB ,试确定动点F 在棱1CC 上的位置,并说明理由;(2)若2AB =,求点D 到平面AEF 的最大距离.【方法技巧与总结】如图所示,平面α的法向量为n ,点Q 是平面α内一点,点P 是平面α外的任意一点,则点P 到平面α的距离d ,就等于向量 PQ 在法向量n 方向上的投影的绝对值,即|||cos ,|==<> d PQ PQ n 或||=||||⋅⋅ PQ n d PQ n 【变式训练】1.(2022·广东梅州·二模)如图①,在直角梯形ABCD 中,AB AD ⊥,AB DC ∥,2AB =,4AD CD ==,E 、F 分别是AD ,BC 的中点,将四边形ABFE 沿EF 折起,如图②,连结AD ,BC ,AC .(1)求证:EF AD ⊥;(2)当翻折至AC =时,设Q 是EF 的中点,P 是线段AC 上的动点,求线段PQ 长的最小值.2.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,ABC 为等边三角形,四边形11BCC B 是边长为2的正方形,D 为AB 中点,且1A D =.(1)求证:CD ⊥平面11ABB A ;(2)若点P 在线段1BC 上,且直线AP 与平面1ACD ,求点P 到平面1ACD 的距离.3.如图,矩形ABCD 和梯形ABEF ,,//AF AB EF AB ⊥,平面ABEF ⊥平面ABCD ,且2,1AB AF AD EF ====,过DC 的平面交平面ABEF 于MN .(1)求证:DN 与CM 相交;(2)当M 为BE 中点时,求点E 到平面DCMN 的距离:4.某市在滨海文化中心有滨海科技馆,其建筑有鲜明的后工业风格,如图所示,截取其中一部分抽象出长方体和圆台组合,如图所示,长方体1111ABCD A B C D -中,14,2AB AD AA ===,圆台下底圆心O 为AB 的中点,直径为2,圆与直线AB 交于,E F ,圆台上底的圆心1O 在11A B 上,直径为1.(1)求1A C 与平面1A ED 所成角的正弦值;(2)圆台上底圆周上是否存在一点P 使得1FP AC ⊥,若存在,求点P 到直线11A B 的距离,若不存在则说明理由.【巩固练习】一、单选题1.在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,在鳖臑A BCD -中,AB ⊥平面BCD ,BC CD ⊥,且AB BC CD ==,M 为AD 的中点,则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为()A .3B .3C .2D .22.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ,E 是棱1DD 的动点,则下列说法正确的()个.①若E 为1DD 的中点,则直线1//B E 平面1A BD②三棱锥11C B CE -的体积为定值313a③E 为1DD 的中点时,直线1B E 与平面11CDD C④过点1B ,C ,E 的截面的面积的范围是22⎤⎥⎣⎦A .1B .2C .3D .4二、多选题2.在空间直角坐标系Oxyz 中,已知点(1,1,1)P ,(1,0,1)A ,(0,1,0)B ,则下列说法正确的是()A .点P 关于yOz 平面对称的点的坐标为(1,1,1)-B .若平面α的法向量(2,2,2)n =- ,则直线//AB 平面αC .若PA ,PB 分别为平面α,β的法向量,则平面α⊥平面βD .点P 到直线AB 3.直三棱柱111ABC A B C -,中,AB AC ⊥,11AB AC AA ===,点D 是线段1BC 上的动点(不含端点),则()A .//AC 平面1A BDB .CD 与1AC 不垂直C .ADC ∠的取值范围为,42ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦D .AD DC +三、填空题4.如图,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,点E 为棱CD 的中点,点F 为底面ABCD 内一点,给出下列三个论断:①1A F BE ⊥;②13=A F ;③2ADF ABF S S =△△.以其中的一个论断作为条件,另一个论断作为结论,写出一个正确的命题:___________.5.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,,E F 分别为棱11A B ,BC 的中点,则EF 与平面11A BC 所成角的正弦值为___________.四、解答题6.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,11222A C AA AB AC BC ====,160BAA ∠=︒.(1)证明:平面ABC ⊥平面11AA B B .(2)设P 是棱1CC 的中点,求AC 与平面11PA B 所成角的正弦值.7.如图,ABCD 是边长为6的正方形,已知2AE EF ==,且////ME NF AD 并与对角线DB 交于G ,H ,现以ME ,NF 为折痕将正方形折起,且BC ,AD 重合,记D ,C 重合后为P ,记A ,B 重合后为Q .(1)求证:平面PGQ ⊥平面HGQ ;(2)求平面GPN 与平面GQH 所成二面角的正弦值.8.如图所示,在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 是等腰梯形,AB CD ∥,2AB CD =,60BAD ∠=︒,四边形11CDD C 是正方形.(1)指出棱1CC 与平面1ADB 的交点E 的位置(无需证明),并在图中将平面1ADB 截该四棱柱所得的截面补充完整;(2)求二面角11B AD A --的余弦值.9.如图,圆锥PO ,ABC 是⊙O 的内接三角形,平面PAC ⊥平面PBC .BC =60ABC ∠=︒.(1)证明:PA PC ⊥;(2)设点Q 满足OQ OP λ= ,其中()0,1λ∈,且二面角O QB C --的大小为60︒,求λ的值.10.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥底面111A B C ,1A C 的中点为O ',四面体111O A B C '-的体积为13,四边形11BCC B 的面积为(1)求O '到平面11BCC B 的距离;(2)设1AB 与1A B 交于点O ,ABC 是以ACB ∠为直角的等腰直角三角形且111AA A B =.求直线1'B O 与平面1A BC 所成角的正弦值.。
8.7空间向量在立体几何中的应用——证明平行与垂直
1.用向量表示直线或点在直线上的位置(1)给定一个定点A 和一个向量a ,再任给一个实数t ,以A 为起点作向量AP →=t a ,则此向量方程叫做直线l 以t 为参数的参数方程.向量a 称为该直线的方向向量.(2)对空间任一确定的点O ,点P 在直线l 上的充要条件是存在唯一的实数t ,满足等式OP →=(1-t )OA →+tOB →,叫做空间直线的向量参数方程. 2.用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2,则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ,与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2,则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ,y ,使v =x v 1+y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ,平面α的法向量为u ,则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1,u 2,则α∥β⇔u 1 ∥u 2. 3.用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2,则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2=0. (2)设直线l 的方向向量为v ,平面α的法向量为u ,则l ⊥α⇔v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2,则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2=0. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( × ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的.( × ) (3)若两平面的法向量平行,则两平面平行.( √ ) (4)若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行.( √ ) (5)若a ∥b ,则a 所在直线与b 所在直线平行.( × )(6)若空间向量a 平行于平面α,则a 所在直线与平面α平行.( × )1.平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k ),若α∥β,则k 等于( ) A.2 B.-4 C.4 D.-2 答案 C解析 ∵α∥β,∴两平面法向量平行, ∴-21=-42=k-2,∴k =4. 2.已知A (1,0,0),B (0,1,0),C (0,0,1),则下列向量是平面ABC 法向量的是( ) A.(-1,1,1) B.(1,-1,1) C.(-33,-33,-33) D.(33,33,-33) 答案 C解析 设n =(x ,y ,z )为平面ABC 的法向量, 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →=0,n ·AC →=0,化简得⎩⎪⎨⎪⎧-x +y =0,-x +z =0,∴x =y =z .故选C.3.已知直线l 的方向向量为v =(1,2,3),平面α的法向量为u =(5,2,-3),则l 与α的位置关系是____________. 答案 l ∥α或l ⊂α解析 ∵v ·u =0,∴v ⊥u ,∴l ∥α或l ⊂α.4.(教材改编)设u ,v 分别是平面α,β的法向量,u =(-2,2,5),当v =(3,-2,2)时,α与β的位置关系为________;当v =(4,-4,-10)时,α与β的位置关系为________. 答案 α⊥β α∥β解析 当v =(3,-2,2)时,u ·v =(-2,2,5)·(3,-2,2)=0⇒α⊥β. 当v =(4,-4,-10)时,v =-2u ⇒α∥β.5.(教材改编)如图所示,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,O 是底面正方形ABCD 的中心,M 是D 1D 的中点,N 是A 1B 1的中点,则直线ON ,AM 的位置关系是________. 答案 垂直解析 以A 为原点,分别以AB →,AD →,AA 1→所在直线为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A (0,0,0),M (0,1,12),O (12,12,0),N (12,0,1),AM →·ON →=(0,1,12)·(0,-12,1)=0, ∴ON 与AM 垂直.题型一 利用空间向量证明平行问题例1 如图所示,平面P AD ⊥平面ABCD ,ABCD 为正方形,△P AD 是直角三角形,且P A =AD =2,E ,F ,G 分别是线段P A ,PD ,CD 的中点.求证:PB ∥平面EFG . 证明 ∵平面P AD ⊥平面ABCD ,且ABCD 为正方形,∴AB ,AP ,AD 两两垂直,以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ,则A (0,0,0),B (2,0,0),C (2,2,0),D (0,2,0),P (0,0,2),E (0,0,1),F (0,1,1),G (1,2,0). ∴PB →=(2,0,-2),FE →=(0,-1,0),FG →=(1,1,-1), 设PB →=sFE →+tFG →,即(2,0,-2)=s (0,-1,0)+t (1,1,-1), ∴⎩⎪⎨⎪⎧t =2,t -s =0,-t =-2,解得s =t =2.∴PB →=2FE →+2FG →,又∵FE →与FG →不共线,∴PB →,FE →与FG →共面. ∵PB ⊄平面EFG ,∴PB ∥平面EFG . 引申探究本例中条件不变,证明平面EFG ∥平面PBC . 证明 ∵EF →=(0,1,0),BC →=(0,2,0), ∴BC →=2EF →,∴BC ∥EF .又∵EF ⊄平面PBC ,BC ⊂平面PBC , ∴EF ∥平面PBC ,同理可证GF ∥PC ,从而得出GF ∥平面PBC . 又EF ∩GF =F ,EF ⊂平面EFG ,FG ⊂平面EFG , ∴平面EFG ∥平面PBC .思维升华 (1)恰当建立空间直角坐标系,准确表示各点与相关向量的坐标,是运用向量法证明平行和垂直的关键.(2)证明直线与平面平行,只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零,或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面,或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行,然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.如图,在四面体A -BCD 中,AD ⊥平面BCD ,BC ⊥CD ,AD =2,BD =22,M 是AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且AQ=3QC .证明:PQ ∥平面BCD .证明 方法一 如图,取BD 的中点O ,以O 为原点,OD 、OP 所在射线分别为y 、z轴的正半轴,建立空间直角坐标系Oxyz .由题意知,A (0,2,2),B (0,-2,0),D (0,2,0). 设点C 的坐标为(x 0,y 0,0). 因为AQ →=3QC →,所以Q ⎝⎛⎭⎫34x 0,24+34y 0,12.因为M 为AD 的中点,故M (0,2,1). 又P 为BM 的中点,故P ⎝⎛⎭⎫0,0,12, 所以PQ →=⎝⎛⎭⎫34x 0,24+34y 0,0.又平面BCD 的一个法向量为a =(0,0,1),故PQ →·a =0. 又PQ ⊄平面BCD ,所以PQ ∥平面BCD .方法二 在线段CD 上取点F ,使得DF =3FC ,连接OF ,同方法一建立空间直角坐标系,写出点A 、B 、C 的坐标,设点C 坐标为(x 0,y 0,0). ∵CF →=14CD →,设点F 坐标为(x ,y,0),则(x -x 0,y -y 0,0)=14(-x 0,2-y 0,0),∴⎩⎨⎧x =34x 0y =24+34y∴OF →=(34x 0,24+34y 0,0)又由方法一知PQ →=(34x 0,24+34y 0,0),∴OF →=PQ →,∴PQ ∥OF .又PQ ⊄平面BCD ,OF ⊂平面BCD , ∴PQ ∥平面BCD .题型二 利用空间向量证明垂直问题 命题点1 证线面垂直例2 如图所示,正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2,D 为CC 1的中点.求证:AB 1⊥平面A 1BD .证明 方法一 设平面A 1BD 内的任意一条直线m 的方向向量为m .由共面向量定理,则存在实数λ,μ,使m =λBA 1→+μBD →.令BB 1→=a ,BC →=b ,BA →=c ,显然它们不共面,并且|a |=|b |=|c |=2,a ·b =a·c =0,b·c =2,以它们为空间的一个基底,则BA 1→=a +c ,BD →=12a +b ,AB 1→=a -c ,m =λBA 1→+μBD →=⎝⎛⎭⎫λ+12μa +μb +λc , AB 1→·m =(a -c )·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫λ+12μa +μb +λc =4⎝⎛⎭⎫λ+12μ-2μ-4λ=0.故AB 1→⊥m ,结论得证. 方法二 如图所示,取BC 的中点O ,连接AO . 因为△ABC 为正三角形, 所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,平面ABC ⊥平面BCC 1B 1, 所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1,以O 为原点,分别以OB →,OO 1→,OA →所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则B (1,0,0),D (-1,1,0),A 1(0,2,3), A (0,0,3),B 1(1,2,0).设平面A 1BD 的法向量为n =(x ,y ,z ),BA 1→=(-1,2,3),BD →=(-2,1,0). 因为n ⊥BA 1→,n ⊥BD →,故⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1→=0,n ·BD →=0,⇒⎩⎨⎧-x +2y +3z =0,-2x +y =0,令x =1,则y =2,z =-3,故n =(1,2,-3)为平面A 1BD 的一个法向量, 而AB 1→=(1,2,-3),所以AB 1→=n ,所以AB 1→∥n , 故AB 1⊥平面A 1BD . 命题点2 证面面垂直例3 如图,在三棱锥P ABC 中,AB =AC ,D 为BC 的中点,PO ⊥平面ABC ,垂足O 落在线段AD 上.已知BC =8,PO =4,AO =3,OD =2. (1)证明:AP ⊥BC ;(2)若点M 是线段AP 上一点,且AM =3.试证明平面AMC ⊥平面BMC . 证明 (1)如图所示,以O 为坐标原点,以射线OP 为z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0,0,0),A (0,-3,0), B (4,2,0),C (-4,2,0),P (0,0,4).于是AP →=(0,3,4), BC →=(-8,0,0),∴AP →·BC →=(0,3,4)·(-8,0,0)=0, 所以AP →⊥BC →,即AP ⊥BC . (2)由(1)知|AP |=5,又|AM |=3,且点M 在线段AP 上, ∴AM →=35AP →=⎝⎛⎭⎫0,95,125, 又BC →=(-8,0,0),AC →=(-4,5,0),BA →=(-4,-5,0), ∴BM →=BA →+AM →=⎝⎛⎭⎫-4,-165,125, 则AP →·BM →=(0,3,4)·⎝⎛⎭⎫-4,-165,125=0, ∴AP →⊥BM →,即AP ⊥BM ,又根据(1)的结论知AP ⊥BC ,且BM ∩BC =C , ∴AP ⊥平面BMC ,于是AM ⊥平面BMC . 又AM ⊂平面AMC ,故平面AMC ⊥平面BCM . 思维升华 证明垂直问题的方法(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系,准确写出相关点的坐标,从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)其一证明直线与直线垂直,只需要证明两条直线的方向向量垂直;其二证明线面垂直,只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可,当然 ,也可证直线的方向向量与平面法向量平行;其三证明面面垂直:①证明两平面的法向量互相垂直;②利用面面垂直的判定定理,只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可.(1)如图所示,已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,△ABC 为等腰直角三角形,∠BAC =90°,且AB =AA 1,D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点.求证: ①DE ∥平面ABC ; ②B 1F ⊥平面AEF .证明 ①如图建立空间直角坐标系Axyz , 令AB =AA 1=4,则A (0,0,0),E (0,4,2),F (2,2,0),B (4,0,0),B 1(4,0,4). 取AB 中点为N ,连接CN , 则N (2,0,0),C (0,4,0),D (2,0,2), ∴DE →=(-2,4,0),NC →=(-2,4,0),∴DE →=NC →,∴DE ∥NC ,又∵NC ⊂平面ABC ,DE ⊄平面ABC . 故DE ∥平面ABC .②B 1F →=(-2,2,-4),EF →=(2,-2,-2),AF →=(2,2,0). B 1F →·EF →=(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0, B 1F →·AF →=(-2)×2+2×2+(-4)×0=0.∴B 1F →⊥EF →,B 1F →⊥AF →,即B 1F ⊥EF ,B 1F ⊥AF , 又∵AF ∩EF =F ,∴B 1F ⊥平面AEF .(2)如图所示,在四棱锥P -ABCD 中,PC ⊥平面ABCD ,PC =2,在四边形ABCD 中,∠B =∠C =90°,AB =4,CD =1,点M 在PB 上,PB =4PM ,PB 与平面ABCD 成30°角.①求证:CM ∥平面P AD ; ②求证:平面P AB ⊥平面P AD .证明 ①以C 为坐标原点,分别以CB 所在直线为x 轴,CD 所在直线为y 轴,CP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz , ∵PC ⊥平面ABCD ,∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角, ∴∠PBC =30°.∵PC =2,∴BC =23,PB =4.∴D (0,1,0),B (23,0,0),A (23,4,0),P (0,0,2), M (32,0,32), ∴DP →=(0,-1,2),DA →=(23,3,0),CM →=(32,0,32),令n =(x ,y ,z )为平面P AD 的一个法向量, 则⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n =0,DA →·n =0,即⎩⎨⎧-y +2z =0,23x +3y =0,∴⎩⎨⎧z =12y ,x =-32y ,令y =2,得n =(-3,2,1).∵n ·CM →=-3×32+2×0+1×32=0,∴n ⊥CM →,又CM ⊄平面P AD , ∴CM ∥平面P AD .②取AP 的中点E ,则E (3,2,1),BE →=(-3,2,1). ∵PB =AB ,∴BE ⊥P A .又∵BE →·DA →=(-3,2,1)·(23,3,0)=0, ∴BE →⊥DA →,∴BE ⊥DA ,又P A ∩DA =A ,∴BE ⊥平面P AD , 又∵BE ⊂平面P AB , ∴平面P AB ⊥平面P AD .题型三 利用空间向量解决探索性问题例4 如图,棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2,∠ABC 和∠A 1AC 均为60°,平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD . (1)求证:BD ⊥AA 1;(2)求二面角D -A 1A -C 的余弦值;(3)在直线CC 1上是否存在点P ,使BP ∥平面DA 1C 1,若存在,求出点P 的位置,若不存在,请说明理由. (1)证明 设BD 与AC 交于点O ,则BD ⊥AC ,连接A 1O ,在△AA 1O 中,AA 1=2,AO =1,∠A 1AO =60°,∴A 1O 2=AA 21+AO 2-2AA 1·AO cos 60°=3, ∴AO 2+A 1O 2=AA 21, ∴A 1O ⊥AO .由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ,∴A 1O ⊥平面ABCD .以OB ,OC ,OA 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,-1,0),B (3,0,0),C (0,1,0),D (-3,0,0),A 1(0,0,3),C 1(0,2,3). 由于BD →=(-23,0,0),AA 1→=(0,1,3), AA 1→·BD →=0×(-23)+1×0+3×0=0, ∴BD →⊥AA 1→,即BD ⊥AA 1. (2)解 由于OB ⊥平面AA 1C 1C ,∴平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1=(1,0,0). 设n 2=(x ,y ,z )为平面DAA 1D 1的一个法向量, 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AA 1→=0,n 2·AD →=0, 即⎩⎨⎧y +3z =0,-3x +y =0,取n 2=(1,3,-1),则〈n 1,n 2〉即为二面角D -A 1A -C 的平面角,∴cos 〈n 1,n 2〉=n 1·n 2|n 1||n 2|=55,所以,二面角D -A 1A -C 的余弦值为55. (3)解 假设在直线CC 1上存在点P ,使BP ∥平面DA 1C 1,设CP →=λCC 1,P (x ,y ,z ),则(x ,y -1,z )=λ(0,1,3). 从而有P (0,1+λ,3λ),BP →=(-3,1+λ,3λ). 设n 3=(x 3,y 3,z 3)⊥平面DA 1C 1,则⎩⎪⎨⎪⎧n 3⊥A 1C 1→,n 3⊥DA 1→,又A 1C 1→=(0,2,0),DA 1→=(3,0,3),则⎩⎨⎧2y 3=0,3x 3+3z 3=0,取n 3=(1,0,-1),因为BP ∥平面DA 1C 1,则n 3⊥BP →, 即n 3·BP →=-3-3λ=0,得λ=-1, 即点P 在C 1C 的延长线上,且C 1C =CP .思维升华 对于“是否存在”型问题的探索方式有两种:一种是根据条件作出判断,再进一步论证;另一种是利用空间向量,先设出假设存在点的坐标,再根据条件求该点的坐标,即找到“存在点”,若该点坐标不能求出,或有矛盾,则判定“不存在”.在四棱锥P —ABCD 中,PD ⊥底面ABCD ,底面ABCD 为正方形,PD =DC ,E 、F 分别是AB 、PB 的中点. (1)求证:EF ⊥CD ;(2)在平面P AD 内求一点G ,使GF ⊥平面PCB ,并证明你的结论. (1)证明 如图,分别以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,设AD =a ,则D (0,0,0), A (a,0,0),B (a ,a,0), C (0,a,0),E ⎝⎛⎭⎫a ,a2,0, P (0,0,a ),F ⎝⎛⎭⎫a 2,a 2,a 2.EF →=⎝⎛⎭⎫-a 2,0,a 2,DC →=(0,a,0). ∵EF →·DC →=0,∴EF →⊥DC →,即EF ⊥CD .(2)解 设G (x,0,z ),则FG →=⎝⎛⎭⎫x -a 2,-a 2,z -a 2, 若使GF ⊥平面PCB ,则由FG →·CB →=⎝⎛⎭⎫x -a2,-a 2,z -a 2·(a,0,0) =a ⎝⎛⎭⎫x -a 2=0,得x =a2;由FG →·CP →=⎝⎛⎭⎫x -a2,-a 2,z -a 2·(0,-a ,a ) =a 22+a ⎝⎛⎭⎫z -a 2=0,得z =0. ∴G 点坐标为⎝⎛⎭⎫a 2,0,0,即G 点为AD 的中点.17.利用向量法解决立体几何问题典例 (12分)(2014·湖北)如图,在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,M ,N 分别是棱AB ,AD ,A 1B 1,A 1D 1的中点,点P ,Q 分别在棱DD 1,BB 1上移动,且DP =BQ =λ(0<λ<2).(1)当λ=1时,证明:直线BC 1∥平面EFPQ ;(2)是否存在λ,使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由. 规范解答解 以D 为原点,射线DA ,DC ,DD 1分别为x ,y ,z 轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .[1分]由已知得B (2,2,0),C 1(0,2,2),E (2,1,0),F (1,0,0),P (0,0,λ),M (2,1,2),N (1,0,2),BC 1→=(-2,0,2),FP →=(-1,0,λ),FE →=(1,1,0),MN →=(-1,-1,0),NP →=(-1,0,λ-2).[3分] (1)证明 当λ=1时,FP →=(-1,0,1), 因为BC 1→=(-2,0,2), 所以BC 1→=2FP →,即BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ,且BC 1⊄平面EFPQ , 故直线BC 1∥平面EFPQ .[7分](2)解 设平面EFPQ 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则由⎩⎪⎨⎪⎧ FE →·n =0,FP →·n =0,可得⎩⎪⎨⎪⎧x +y =0,-x +λz =0. 于是可取n =(λ,-λ,1).[9分]同理可得平面PQMN 的一个法向量为m =(λ-2,2-λ,1).若存在λ,使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角,则m ·n =(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得λ=1±22.[11分] 故存在λ=1±22,使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角.[12分] 温馨提醒 (1)利用向量法证明立体几何问题,可以建坐标系或利用基底表示向量;(2)建立空间直角坐标系时,要根据题中条件找出三条互相垂直的直线;(3)利用向量除了可以证明线线平行、垂直,线面、面面平行、垂直外,还可以利用向量求夹角、距离,从而解决线段长度问题、体积问题等.[方法与技巧]1.用向量法解决立体几何问题,是空间向量的一个具体应用,体现了向量的工具性,这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算,降低了空间想象演绎推理的难度,体现了由“形”转“数”的转化思想.2.两种思路:(1)选好基底,用向量表示出几何量,利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断.(2)建立空间直角坐标系,进行向量的坐标运算,根据运算结果的几何意义解释相关问题.[失误与防范]用向量知识证明立体几何问题,仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行,只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,即化归为证明线线平行,用向量方法证明直线a ∥b ,只需证明向量a =λb (λ∈R )即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行,仍需强调直线在平面外.A 组 专项基础训练(时间:40分钟)1.若直线l 的方向向量为a =(1,0,2),平面α的法向量为n =(-2,0,-4),则( )A.l ∥αB.l ⊥αC.l ⊂αD.l 与α相交答案 B解析 ∵n =-2a ,∴a 与α的法向量平行,∴l ⊥α.2.已知平面α内有一点M (1,-1,2),平面α的一个法向量为n =(6,-3,6),则下列点P 中,在平面α内A.P (2,3,3)B.P (-2,0,1)C.P (-4,4,0)D.P (3,-3,4)答案 A解析 逐一验证法,对于选项A ,MP →=(1,4,1),∴MP →·n =6-12+6=0,∴MP →⊥n ,∴点P 在平面α内,同理可验证其他三个点不在平面α内.3.若AB →=λCD →+μCE →,则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( )A.相交B.平行C.在平面内D.平行或在平面内答案 D解析 ∵AB →=λCD →+μCE →,∴AB →、CD →、CE →共面,∴AB 与平面CDE 平行或在平面CDE 内.4.如图,正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直,AB =2,AF =1,M 在EF 上,且AM ∥平面BDE ,则M 点的坐标为( )A.(1,1,1)B.(23,23,1) C.(22,22,1) D.(24,24,1) 答案 C解析 设M 点的坐标为(x ,y,1),AC ∩BD =O ,则O (22,22,0), 又E (0,0,1),A (2,2,0),∴OE →=(-22,-22,1),AM →=(x -2,y -2,1), ∵AM ∥平面BDE ,∴OE →∥AM →,∴⎩⎨⎧ x -2=-22,y -2=-22,⇒⎩⎨⎧ x =22,y =22.5.已知平面α内的三点A (0,0,1),B (0,1,0),C (1,0,0),平面β的一个法向量n =(-1,-1,-1),则不重合的两个平面α与β的位置关系是___________________________________.解析 设平面α的法向量为m =(x ,y ,z ),由m ·AB →=0,得x ·0+y -z =0⇒y =z ,由m ·AC →=0,得x -z =0⇒x =z ,取x =1,∴m =(1,1,1),m =-n ,∴m ∥n ,∴α∥β.6.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点,如果AB →=(2,-1,-4),AD →=(4,2,0),AP →=(-1,2,-1).对于结论:①AP ⊥AB ;②AP ⊥AD ;③AP →是平面ABCD 的法向量;④AP →∥BD →.其中正确的是________.答案 ①②③解析 ∵AB →·AP →=0,AD →·AP →=0,∴AB ⊥AP ,AD ⊥AP ,则①②正确.又AB →与AD →不平行,∴AP →是平面ABCD 的法向量,则③正确.∵BD →=AD →-AB →=(2,3,4),AP →=(-1,2,-1),∴BD →与AP →不平行,故④错误.7.如图,四棱锥P -ABCD 的底面为正方形,侧棱P A ⊥底面ABCD ,且P A =AD=2,E ,F ,H 分别是线段P A ,PD ,AB 的中点.求证:(1)PB ∥平面EFH ;(2)PD ⊥平面AHF .证明 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz .∴A (0,0,0),B (2,0,0),C (2,2,0),D (0,2,0),P (0,0,2),E (0,0,1),F (0,1,1),H (1,0,0).(1)∵PB →=(2,0,-2),EH →=(1,0,-1),∴PB →=2EH →,∴PB ∥EH .∵PB ⊄平面EFH ,且EH ⊂平面EFH ,∴PB ∥平面EFH .(2)PD →=(0,2,-2),AH →=(1,0,0),AF →=(0,1,1),∴PD →·AF →=0×0+2×1+(-2)×1=0,PD →·AH →=0×1+2×0+(-2)×0=0,∴PD ⊥AF ,PD ⊥AH ,又∵AF ∩AH =A ,∴PD ⊥平面AHF .8.如图,四边形ABCD 为正方形,PD ⊥平面ABCD ,PD ∥QA ,QA =AB =12PD .证明:平面PQC ⊥平面DCQ .证明 如图,以D 为坐标原点,线段DA 的长为单位长,射线DA 、DP 、DC 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz .依题意有Q (1,1,0),C (0,0,1),P (0,2,0),则DQ →=(1,1,0),DC →=(0,0,1),PQ →=(1,-1,0).∴PQ →·DQ →=0,PQ →·DC →=0.即PQ ⊥DQ ,PQ ⊥DC ,又DQ ∩DC =D ,∴PQ ⊥平面DCQ ,又PQ ⊂平面PQC ,∴平面PQC ⊥平面DCQ .9.如图,在底面是矩形的四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,E ,F 分别是PC ,PD 的中点,P A =AB =1,BC =2.(1)求证:EF ∥平面P AB ;(2)求证:平面P AD ⊥平面PDC .证明 以A 为原点,AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴,AP 所在直线为z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,0,0),B (1,0,0),C (1,2,0),D (0,2,0),P (0,0,1),∴E (12,1,12),F (0,1,12),EF →=(-12,0,0),PB →=(1,0,-1),PD →=(0,2,-1),AP →=(0,0,1),AD →=(0,2,0),DC →=(1,0,0),AB →=(1,0,0).(1)∵EF →=-12AB →,∴EF →∥AB →,即EF ∥AB , 又AB ⊂平面P AB ,EF ⊄平面P AB ,∴EF ∥平面P AB .(2)∵AP →·DC →=(0,0,1)·(1,0,0)=0,AD →·DC →=(0,2,0)·(1,0,0)=0,∴AP →⊥DC →,AD →⊥DC →,即AP ⊥DC ,AD ⊥DC .又AP ∩AD =A ,∴DC ⊥平面P AD .∵DC ⊂平面PDC ,∴平面P AD ⊥平面PDC .B 组 专项能力提升(时间:25分钟)10.如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E ,F 分别是棱BC ,DD 1上的点,如果B 1E ⊥平面ABF ,则CE 与DF 的和的值为________.答案 1解析 以D 1A 1,D 1C 1,D 1D 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,设CE =x ,DF =y ,则易知E (x,1,1),B 1(1,1,0),F (0,0,1-y ),B (1,1,1),∴B 1E →=(x -1,0,1),∴FB →=(1,1,y ),由于B 1E ⊥平面ABF ,∴FB →·B 1E →=(1,1,y )·(x -1,0,1)=0⇒x +y =1.11.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点,O 为底面正方形ABCD 的中心,M ,N 分别为AB ,BC 的中点,点Q 为平面ABCD 内一点,线段D 1Q与OP 互相平分,则满足MQ →=λMN →的实数λ有________个.答案 2解析 建立如图的空间直角坐标系,设正方体的边长为2,则P (x ,y,2),O (1,1,0),∴OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x +12,y +12,1, 又知D 1(0,0,2),∴Q (x +1,y +1,0),而Q 在MN 上,∴x Q +y Q =3,∴x +y =1,即点P 坐标满足x +y =1.∴有2个符合题意的点P ,即对应有2个λ.12.如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=AD =1,E 为CD 的中点.(1)求证:B 1E ⊥AD 1;(2)在棱AA 1上是否存在一点P ,使得DP ∥平面B 1AE ?若存在,求AP 的长;若不存在,说明理由.(1)证明 以A 为原点,AB →,AD →,AA 1→的方向分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).设AB =a ,则A (0,0,0),D (0,1,0),D 1(0,1,1),E ⎝⎛⎭⎫a 2,1,0,B 1(a,0,1),故AD 1→=(0,1,1),B 1E →=⎝⎛⎭⎫-a 2,1,-1,AB 1→=(a,0,1),AE →=⎝⎛⎭⎫a 2,1,0. ∵B 1E →·AD 1→=-a 2×0+1×1+(-1)×1=0, ∴B 1E ⊥AD 1.(2)解 假设在棱AA 1上存在一点P (0,0,z 0).使得DP ∥平面B 1AE ,此时DP →=(0,-1,z 0).又设平面B 1AE 的法向量n =(x ,y ,z ).∵n ⊥平面B 1AE ,∴n ⊥AB 1→,n ⊥AE →,得⎩⎪⎨⎪⎧ ax +z =0,ax 2+y =0. 取x =1,得平面B 1AE 的一个法向量n =⎝⎛⎭⎫1,-a 2,-a . 要使DP ∥平面B 1AE ,只要n ⊥DP →,有a 2-az 0=0, 解得z 0=12. 又DP ⊄平面B 1AE ,∴存在点P ,满足DP ∥平面B 1AE ,此时AP =12. 13.如图所示,四棱锥S —ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的2倍,P 为侧棱SD 上的点.(1)求证:AC ⊥SD .(2)若SD ⊥平面P AC ,则侧棱SC 上是否存在一点E ,使得BE ∥平面P AC .若存在,求SE ∶EC 的值;若不存在,试说明理由.(1)证明 连接BD ,设AC ∩BD =O ,则AC ⊥BD .由题意知SO ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点,OB →,OC →,OS →分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图.设底面边长为a ,则高SO =62a , 于是S ⎝⎛⎭⎫0,0,62a ,D ⎝⎛⎭⎫-22a ,0,0, B ⎝⎛⎭⎫22a ,0,0,C ⎝⎛⎭⎫0,22a ,0,OC →=⎝⎛⎭⎫0,22a ,0, SD →=⎝⎛⎭⎫-22a ,0,-62a ,则OC →·SD →=0. 故OC ⊥SD .从而AC ⊥SD .(2)解 棱SC 上存在一点E ,使BE ∥平面P AC .理由如下:由已知条件知DS →是平面P AC 的一个法向量,且DS →=⎝⎛⎭⎫22a ,0,62a ,CS →=⎝⎛⎭⎫0,-22a ,62a ,BC →=⎝⎛⎭⎫-22a ,22a ,0. 设CE →=tCS →,则BE →=BC →+CE →=BC →+tCS → =⎝⎛⎭⎫-22a ,22a (1-t ),62at , 而BE →·DS →=0⇔t =13. 即当SE ∶EC =2∶1时,BE →⊥DS →.而BE 不在平面P AC 内,故BE ∥平面P AC .∴存在一点E ,使得BE ∥平面P AC ,此时SE ∶EC =2.。
空间向量,向量法在立体几何中的应用
空间向量在立体几何中的应用1.常见角的范围:(1)异面直线的夹角:0<θ≤π2; (2)直线与平面所成的角:0≤θ≤π2;(3)二面角:0≤θ≤π; (4)直线的倾斜角:0≤θ<π; (5)向量的夹角:0≤θ≤π; 2.空间向量在立体几何中的应用:3.空间向量与距离的关系: (1)点到线的距离如上图,点C 为直线AB 外一点,则点C 到直线AB 的距离:θsin ⋅=−→−AC d ,因为−→−−→−−→−−→−⋅⋅=ABAC ABAC θcos ,所以可以求出θsin ,进而求出d.(2)点到面的距离如下图,设直线AB 为平面α的一条斜线,点A 在平面内,点B 在平面外,−→−n 为平面α的法向量,设θ>=<−→−−→−n AB ,,则−→−−→−−→−−→−⋅⋅=nAB nAB 1cos θ.点B 到平面α的距离:−→−−→−−→−−→−⋅=⋅=nnAB AB d θcos .注意:点到面的距离有时也可以用等体积法来求解。
另外,由于知道了−→−−→−−→−−→−⋅⋅=nAB nAB 1cos θ,所以可以求出θsin 的值,进而可以求出点A 到直线OB 的距离为:θsin ⋅=−→−−→−AB AO ;点O 到AB 的距离:θθθθsin sin cos sin ⋅⋅=⋅⋅=⋅−→−−→−−→−−→−nnAB AB d .(3)线到面的距离如下图,直线AD 平行于平面A 1BCD 1(直线AD 平行于直线A 1D 1),则直线AD 到平面A 1BCD 1的距离等于直线AD 上任意一点到平面A 1BCD 1的距离(线面距转化为点面距),设−→−n 为平面A 1BCD 1的法向量。
所以,直线AD 到平面A 1BCD 1的距离:−→−−→−−→−−→−⋅=⋅=n nAB AB d θcos 或者−→−−→−−→−−→−⋅=⋅=nnAC AC d θcos ;或者−→−−→−−→−−→−⋅=⋅=n nBD BD d θcos 或者−→−−→−−→−−→−⋅=⋅=nnCD CD d θcos .(4)异面直线的距离如上图(同(3)中的图),直线AD 和直线BC 为异面直线,直线A 1D 1平行于直线AD 且与直线BC 共面,则异面直线AD 和直线BC 的距离等于直线AD 到平面A 1BCD 1的距离(线线距转化为线面距,线面距再转化为点面距)。
高中数学选修一3.4空间向量在立体几何中的应用-知识点
小初高个性化辅导,助你提升学习力! 1 高中数学选修一3.4空间向量在立体几何中的应用-知识点1、线线关系.①两条直线平行的充要条件: 方向向量平行 ;②两条直线垂直的充要条件:方向向量垂直 。
2、线面关系.①直线和平面垂直的充要条件:直线的 方向向量垂直于 平面内的两个相交向量 ,即 AB ⋅d =0 ,且 AC ⋅d =0 ,AB 和AC 是平面上的相交向量。
②不在平面上的一条直线和平面平行的充要条件:直线的 方向向量垂直于 平面的 法向量 ,即 n d ⋅=0 。
(d 表示直线的 方向向量 )3、面面关系.①两个平面垂直的充要条件: 法向量垂直 ,即 21n n ⋅=0 。
②两个平面平行的充要条件: 法向量平行 ,即 21n n ∥ 。
4、平面α外一点A 到平面的距离公式:d= n ABn ⋅ ,其中,点B是平面内的 任意一点,n 是平面α的 法向量 。
5、求线线角(两直线 共面 或 异面 都可以).假定直线l 1的方向向量是1r ,直线l 2的方向向量是2r ,两直线的夹角为θ,则cos θ= 2121r r r r ⋅ 。
6、求线面角.假定直线l 1的方向向量是r ,n 是平面α的法向量,直线l 1与平面α的夹角为θ,则sin θ=cos (2π-θ)= n nr r ⋅ 。
7、求二面角.假定1n 是平面α1的法向量,假定2n 是平面α2的法向量,当两个平面所成的二面角θ是 锐 二面角(或 直 二面角)时,cos θ=2121n n n n ⋅ 。
当两个平面所成的二面角θ是 钝 二面角时,cos (π-θ)= 2121n n nn ⋅ ,即θ=π-arccos 2121n n n n ⋅。
新课标下核心素养的空间向量在立体几何中的应用
新课标下核心素养的空间向量在立体几何中的应用摘要:本文探究了新课标下核心素养的空间向量在立体几何中的应用,比较全面地进行总结,结合实例,在教学中提供参考与借鉴。
关键词:核心素养;空间向量;立体几何数学核心素养是指众多的数学素养内那些关键的,处于重要位置上,使用频度较高的素养,是适应个人终身发展和社会发展需要的,具有数学基本特征的思维品格和关键能力,包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等六个方面。
数学核心素养是学习者学习数学、运用数学解决学习、生活中的实际问题时所应当具备的一种综合性能力和数学品格,是学生在长期的学习过程中形成的,运用所学空间向量知识与方法解决立体几何中的问题充分反映出这一本质属性与思想,空间向量在立体几何中有着广泛的应用,能解决空间几何中的很多问题,下面谈一下新课标下核心素养的空间向量在立体几何中的具体应用.一、用空间向量证明立何几何中的平行与垂直1.证明线面平行方法一:证明直线的方向向量与平面内某一直线的方向向量共线,然后得出线线平行,再利用线面平行的判定定理证明;方法二:先求出平面的法向量,再求出直线的方向向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;方法三:证明直线的方向向量与平面内某一任意二个不共线向量共面,即可说明直线与这二个不共线的向量确定的平面平行。
2.证明面面平行方法一:利用线面平行的证明,再用面面平行的判定定理进行证明;方法二:求出二个平面的法向量,再证明二个法向量共线从而得到面面平行;方法三:先求出一个平面的法向量,再证出此法向量与另一平面垂直。
3.证明线面平垂直方法一:求出直线所在的一个方向向量和平面内二条相交直线所在的二个方向向量,然后证明它们的数量积为0.方法二:算出平面的法向量和直线所在的方向向量,然后证明直线所在的向量和法向量共线即可。
4.证明面面垂直方法一:先用线面垂直方法证出线面垂直,再证到此直线与另一平面平行,从而证得面面垂直。
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用空间向量法解决立体几何问题对立体几何中的向量方法部分,主要以解答题的方式进行考查,而且偏重在第二问或者第三问中使用这个方法,考查的重点是使用空间向量的方法进行空间角和距离等问题的计算,把立体几何问题转化为空间向量的运算问题.空间向量的引入为空间立体几何问题的解决提供了新的思路,作为解决空间几何问题的重要工具,首先要从定义入手,抓住实质,准确记忆向量的计算公式,注意向量与线面关系、线面角、面面角的准确转化;其次要从向量的基本运算入手,养成良好的运算习惯,确保运算的准确性.必备方法1.空间角的范围(1)异面直线所成的角(θ):0<θ≤π2;例如:(2)直线与平面所成的角(θ):0≤θ≤π2;例如(3)二面角(θ):0≤θ≤π. 例如2.用向量法证明平行、垂直问题的步骤(1)建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系,也可以不建系),用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面;(2)通过向量运算研究平行、垂直问题; (3)根据运算结果解释相关问题.3.空间向量求角时考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系(1)求线面角时,得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦,而不是线面角的余弦; (2)求二面角时,两法向量的夹角有可能是二面角的补角,要注意从图中分析. 关于这两点,下面会详细谈到。
必备知识一、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l ,m 的方向向量分别为a =(a 1,b 1,c 1),b =(a 2,b 2,c 2).平面α、β的法向量分别为μ=(a 3,b 3,c 3),v =(a 4,b 4,c 4)(以下相同).(1)线面平行 l ∥α⇔a ⊥μ⇔a ·μ=0⇔a 1a 3+b 1b 3+c 1c 3=0. 操作步骤:(2)线面垂直 l ⊥α⇔a ∥μ⇔a =k μ⇔a 1=ka 3,b 1=kb 3,c 1=kc 3. 操作步骤:(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ=λv⇔a3=λa4,b3=λb4,c3=λc4. 操作步骤:(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·v=0⇔a3a4+b3b4+c3c4=0.操作步骤:二、空间角的计算(1)两条异面直线所成角的求法设直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为θ,则cos φ=|cos θ|=|a·b||a||b|(其中φ为异面直线a,b所成的角).操作步骤:(2)直线和平面所成角的求法如图所示,设直线l的方向向量为e,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为φ,两向量e与n的夹角为θ,则有sin φ=|cos θ|=|e·n| |e||n|.注意:求出直线l的方向向量l与平面α的法向量n的夹角β(锐角)并不是直线与平面所成角,应取其余角.操作步骤:(3)二面角的求法①利用向量求二面角的大小,可以不作出平面角,如图所示,〈m,n〉即为所求二面角的平面角.②对于易于建立空间直角坐标系的几何体,求二面角的大小时,可以利用这两个平面的法向量的夹角来求.如图所示,二面角α-l-β,平面α的法向量为n 1,平面β的法向量为n 2,〈n 1,n 2〉=θ,则二面有α-l-β的大小为θ或π-θ.注意:通过平面的法向量求二面角时,若二面角的两个面的法向量1n 、2n 方向相反时,则二面角的大小等于22<>n ,n ,若两个面的法向量1n 、2n 方向相同时,则二面角大小为22π-<>n ,n .操作步骤:三、空间距离的计算直线到平面的距离,两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离.点P 到平面α的距离,d =|PM →·n ||n |(其中n 为α的法向量,M 为α内任一点).操作步骤:利用向量法求空间角要破“四关”利用向量法求解空间角,可以避免利用定义法作角、证角、求角中的“一作、二证、三计算”的繁琐过程,利用法向量求解空间角的关键在于“四破”.第一破“建系关”,第二破“求坐标关”;第三破“求法向量关”;第四破“应用公式关”,熟记线面成的角与二面角的公式,即可求出空间角.例1.(2012·山东)在如图所示的几何体中,四边形ABCD 是等腰梯形,AB ∥CD ,∠DAB =60°,FC⊥平面ABCD ,AE ⊥BD ,CB =CD =CF .(1)求证:BD ⊥平面AED ; (2)求二面角F - BD - C 的余弦值.(1)证明 因为四边形ABCD 是等腰梯形,AB ∥CD ,∠DAB =60°, 所以∠ADC =∠BCD =120°.又CB =CD ,所以∠CDB =30°, 因此∠ADB =90°,AD ⊥BD ,又AE ⊥BD ,且AE ∩AD =A , AE ,AD ⊂平面AED ,所以BD ⊥平面AED .(2)解 连接AC ,由(1)知AD ⊥BD ,所以AC ⊥BC .又FC ⊥平面ABCD ,因此CA ,CB ,CF 两两垂直,以C 为坐标原点,分别以CA ,CB ,CF 所在的直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设CB =1,则C (0,0,0),B (0,1,0),D ( ),F (0,0,1),因此BD →=( ),BF →=(0,-1,1). 设平面BDF 的一个法向量为m =(x ,y ,z ),则m ·BD →=0,m ·BF →=0,所以x =3y =3z , 取z =1,则m =(3,1,1).由于CF →=(0,0,1)是平面BDC 的一个法向量,则cos 〈m ,CF →〉=m ·CF →|m ||CF →|=15=55,下面说明〈m ,CF →〉是否就是二面角F - BD - C 的平面角:取BD 的中点S 、FC 的中点T,求出ST 的坐标,再分别计算STm 和ST CF →的值,可知两个值异号,从而〈m ,CF →〉就是二面角F - BD - C 的平面角. 所以二面角F - BD - C 的余弦值为55.例 2.如图,四边形PCBM 是直角梯形,90PCB ∠=,PM ∥BC ,12PM BC ==,,又1AC =,120ACB AB PC ∠=,⊥,直线AM 与直线PC 所成的角为60.(1)求证:平面PAC ⊥平面ABC ;(2)求二面角M AC B --余弦值的大小.解:(1)∵,,PC AB PC BC ABBC B ⊥⊥= ∴PC ABC ⊥平面,又∵PC PAC ⊂平面 ∴平面PAC ⊥平面ABC .(2)在平面ABC 内,过C 作CD CB ⊥, 建立空间直角坐标系C xyz -.由题意有1,02A ⎫-⎪⎪⎝⎭,设()()000,0,0P z z >, 则()()000310,1,,,,,0,0,22M z AM z CP z ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭,由直线AM 与直线PC 所成的解为060,得cos60AM CP AM CP =⋅⋅︒, 即200z z =,解得01z=∴()310,0,1,,02CM CA ⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭,设平面MAC 的一个法向量为n {}111,,x y z =, 则11110102y z y z +=⎧-=,取11x =,得{=n (正方向), 平面ABC 的法向量取为()0,0,1=m (正方向),∴3cos ,-<>==⋅m n m n m n . 下面验证二面角M AC B --的大小为,<>m n 的补角:取AC 中点S ,取MB 中点T ,计算ST 的坐标,然后计算ST m ,ST n ,可知两个值同号, ∴二面角M AC B --的大小为,<>m n 的补角,故二面角M AC B --评注:如果1n ,2n 分别是二面角l αβ--的面,αβ的法向量,则12,<>n n 就是所求二面角的平面角或其补角的大小.何时就是二面角的平面角?何时又是其补角?资料上(包括高考试题的答案上)是这样说的:由图形不难(显然)得出12,<>n n 就是所求二面角的平面角或其补角的大小,说的含糊其辞,毫无判断依据,让同学们辨别不清,对结果的处理困惑不解,往往导致错误的结果,走入了解题的一个个误区.为了让同学们思维走入清淅化,能得到一个正确的结果.在此例题1、2介绍了“二面角棱中点向量数量积符号判断法”确定法向量的夹角与二面角的平面角之间的关系.例 3.如图,是一个直三棱柱(以111A B C 为底面)被一平面所截得到的几何体,截面为ABC .已知11111A B B C ==,11190A B C ∠=,14AA =,12BB =,13CC =. (1)设点O 是AB 的中点,证明://OC 平面111A B C ;(2)求二面角1B AC A --的大小; 解:(1)以1B 为原点建立空间直角坐标系,则(014)A ,,,(002)B ,,,(103)C ,,,因为O 是AB 的中点,所以1032O ⎛⎫⎪⎝⎭,,,1102OC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,,.易知,n (001)=,,是平面111A B C 的一个法向量. 因为OC 0=n ,OC ⊄平面111A B C ,所以OC ∥平面111A B C . (2)(012)AB =--,,,(101)BC =,,, 设m ()x y z =,,是平面ABC 的一个法向量,则则AB 0=m ,BC 0=m 得:200y z x z --=⎧⎨+=⎩取1x z =-=,(121)=-,,m (负方向).显然,l (110)=,,为平面11AAC C 的一个法向量(正方向).而cos ,22<>===⨯m l m l m l ,故,<>m l =30︒ 下面验证,<>m l 大小即为二面角1B AC A --的大小,取AC 中点S ,取BA 1的中点T ,计算ST 的坐标。
再分别计算ST m 与ST l的值,可知两个值异号, 所以二面角1B AC A --的大小是30︒.向量法证明垂直与平行多以多面体(特别是棱柱、棱锥)为载体,求证线线、线面、面面的平行或垂直,其中逻辑推理和向量计算各有千秋,逻辑推理要书写清晰,“充分”地推出所求证(解)的结论;向量计算要步骤完整,“准确”地算出所要求的结果.111x【例1】► 如图所示,已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1中,△ABC 为等腰直角三角形,∠BAC =90°,且AB =AA 1,D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点.求证:(1)DE ∥平面ABC ;(2)B 1F ⊥平面AEF .[审题视点] 建系后,(1)在平面ABC 内寻找一向量与DE →共线;(2)在平面AEF 内寻找两个不共线的向量与B 1F →垂直.证明 如图建立空间直角坐标系Axyz ,令AB =AA 1=4, 则A (0,0,0),E (0,4,2),F (2,2,0),B (4,0,0),B1(4,0,4). (1)取AB 中点为N ,连接CN , 则N (2,0,0),C (0,4,0),D (2,0,2), ∴DE →=(-2,4,0),NC →=(-2,4,0),∴DE →=NC →, ∴DE ∥NC ,又∵NC ⊂平面ABC , DE ⊄平面ABC .故DE ∥平面ABC . (2)B 1F →=(-2,2,-4), EF →=(2,-2,-2),AF →=(2,2,0). B 1F →·EF →=(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0, B 1F →·AF →=(-2)×2+2×2+(-4)×0=0. ∴B 1F →⊥EF →,B 1F →⊥AF →,即B 1F ⊥EF ,B 1F ⊥AF , 又∵AF ∩FE =F ,∴B 1F ⊥平面AEF .(1)要证明线面平行,只需证明DE →与平面ABC 的法向量垂直;另一个思路则是根据共面向量定理证明向量DE →与NC →相等.(2)要证明线面垂直,只要证明B 1F →与平面AEF 的法向量平行即可;也可根据线面垂直的判定定理证明B 1F →⊥EF →,B 1F →⊥AF →.用向量法求线线角、线面角多以空间几何体、平面图形折叠成的空间几何体为载体,考查线线角、线面角的求法,正确科学地建立空间直角坐标系是解此类题的关键.【例2】如图,四棱锥P ABCD 中,底面ABCD 为菱形,P A ⊥底面ABCD ,AC =22,P A =2,E 是PC 上的一点,PE =2EC .(1)证明:PC ⊥平面BED ; (2)设二面角APBC 为90°,求PD 与平面PBC 所成角的大小.[审题视点] (1)由PC FC =ACEC可得△FCE ∽△PCA ,则∠FEC =90°,易得PC ⊥EF 、PC ⊥BD .(2)作AG ⊥PB 于G ,由二面角APBC 为90°, 易得底面ABCD 为正方形,可得AD ∥面PBC ,则点D 到平面PCB 的距离d =AG ,找出线面角求解即可.也可利用法向量求解,思路更简单,但计算量比较大.(1)证明 以A 为坐标原点,射线AC 为x 轴的正半轴, 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz .C (22,0,0),设D (2,b,0),其中b >0,则P (0,0,2),E (423,0,23),B (2,-b,0).于是PC →=(22,0,-2),BE →=(23,b ,23),DE →=(23,-b ,23),从而PC →·BE →=0,PC →·DE →=0, 故PC ⊥BE ,PC ⊥DE .又BE ∩DE =E ,所以PC ⊥平面BDE .(2)解 AP →=(0,0,2),AB →=(2,-b,0).设m =(x ,y ,z )为平面P AB 的法向量,则m ·AP →=0,m ·AB →=0,即2z =0且2x -by =0, 令x =b ,则m =(b ,2,0).设n =(p ,q ,r )为平面PBC 的法向量,则n ·PC →=0,n ·BE →=0,即22p -2r =0且2p 3+bq +23r =0,令p =1,则r =2,q =-2b ,n =(1,-2b,2).因为面P AB ⊥面PBC ,故m ·n =0,即b -2b=0,故b =2,于是n =(1,-1,2),DP →=(-2,-2,2).cos 〈n ,DP →〉=n ·DP →|n ||DP →|=12,〈n ,DP →〉=60°.因为PD 与平面PBC 所成角和〈n ,DP →〉互余,故PD 与平面PBC 所成的角为30°.(1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为:①建立恰当的空间直角坐标系;②求出相关点的坐标;③写出向量坐标;④结合公式进行论证、计算;⑤转化为几何结论.(2)求直线与平面所成的角θ,主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角α求得,即sin θ=|cos α|.用向量法求二面角用空间向量法求二面角的大小是高考的热点.考查空间向量的应用以及运算能力,题目难度为中等. 【例3】如图,在四棱锥P ABCD 中,P A ⊥平面ABCD ,AC ⊥AD ,AB ⊥BC ,∠BAC =45°,P A =AD =2,AC =1.(1)证明:PC ⊥AD ;(2)求二面角APCD 的正弦值. [审题视点] 建立空间坐标系,应用向量法求解. 解 如图,以点A 为原点建立空间直角坐标系,依题意得A (0,0,0),D (2,0,0),C (0,1,0),B -12,12,0,P (0,0,2).(1)证明:易得PC →=(0,1,-2),AD →=(2,0,0).于是PC →·AD →=0,所以PC ⊥AD .(2)二面角APCD 的正弦值为306. 解答如下:借助向量求二面角是解决空间角问题的常用方法.求解过程中应注意以下几个方面:(1)两平面的法向量的夹角不一定就是所求的二面角,有可能两法向量夹角的补角为所求;(2)求平面的法向量的方法:①待定系数法:设出法向量坐标,利用垂直关系建立坐标的方程解之;②先确定平面的垂线,然后取相关线段对应的向量,即确定了平面的法向量.当平面的垂线较易确定时,常考虑此方法.利用向量法解决立体几何中的探索性问题此类问题命题背景宽,涉及到的知识点多,综合性较强,通常是寻找使结论成立的条件或探索使结论成立的点是否存在等问题,全面考查考生对立体几何基础知识的掌握程度,考生的空间想象能力、逻辑思维能力和运算求解能力.【例4】► 如图所示,四边形ABCD 是边长为1的正方形,MD ⊥平面ABCD ,NB ⊥平面ABCD ,且MD =NB =1,E 为BC 的中点.(1)求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值;(2)在线段AN 上是否存在点S ,使得ES ⊥平面AMN ?若存在, 求线段AS 的长;若不存在,请说明理由.[审题视点] 建立以D 为原点的空间直角坐标系,利用向量法求解,第(2)问中设AS →=λAN →,由ES ⊥平面AMN 可得λ值.解 (1)如图,以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系Dxyz .依题意,易得D (0,0,0),A (1,0,0),M (0,0,1),C (0,1,0),B (1,1,0),N (1,1,1), E (12,1,0).∴NE →=(-12,0,-1),AM →=(-1,0,1).∵cos 〈NE →,AM →〉=NE →·AM →|NE →|·|AM →|=-1252×2=-1010,∴异面直线NE 与AM 所成角的余弦值为1010.(2)假设在线段AN 上存在点S ,使得ES ⊥平面AMN .空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题,它无需进行复杂的作图、论证、推理,只需通过坐标运算进行判断.解题时,把要成立的结论当作条件,据此列方程或方程组,把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围的解”等,因此使用问题的解决更简单、有效,应善于运用这一方法解题.【示例】如图所示,在三棱锥P ABC 中,已知PC ⊥平面ABC ,点C 在平面PBA 内的射影D 在直线PB 上.(1)求证:AB ⊥平面PBC ;(2)设AB =BC ,直线P A 与平面ABC 所成的角为45°, 求异面直线AP 与BC 所成的角;(3)在(2)的条件下,求二面角C-P A-B 的余弦值.[满分解答] (1)∵PC ⊥平面ABC ,AB ⊂平面ABC ,∴AB ⊥PC .∵点C 在平面PBA 内的射影D 在直线PB 上,∴CD ⊥平面P AB .又∵AB ⊂平面PBA ,∴AB ⊥CD . 又∵CD ∩PC =C ,∴AB ⊥平面PBC .(4分)(2)∵PC ⊥平面ABC ,∴∠P AC 为直线P A 与平面ABC 所成的角. 于是∠P AC =45°,设AB =BC =1,则PC =AC =2, 以B 为原点建立如图所示的空间直角坐标系, 则B (0,0,0),A (0,1,0),C (1,0,0),P (1,0,2),AP →=(1,-1,2),BC →=(1,0,0),∵cos 〈AP →,BC →〉=AP →·BC →|AP →|·|BC →|=12,∴异面直线AP 与BC 所成的角为60°.(8分)(3)取AC 的中点E ,连接BE ,则BE →=12,12,0,∵AB =BC ,∴BE ⊥AC .又∵平面PCA ⊥平面ABC ,∴BE ⊥平面P AC .∴BE →是平面P AC 的法向量. 设平面P AB 的法向量为n =(x ,y ,z ),∴所求二面角的余弦值为33.(12分)评卷老师叮咛:(1)解决此类问题,一定要先分析已知条件中,是否直接说出此三条直线是两两垂直,否则,要先证明以后才能建立坐标系,另外,要在作图时画出每条坐标轴的方向.(2)有的考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系,如求解二面角时,不能根据几何体判断二面角的范围,忽视法向量的方向,误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角,导致出错.如本例中求得cos BE →=-33,不少考生回答为:二面角的余弦值为-33,这是错误的,原因是忽视了对二面角CP AB 的大小的判断.【试一试】如图所示,在三棱柱ABCA 1B 1C 1中,AA 1⊥平面ABC ,AB =BC =CA =AA 1,D 为AB 的中点.(1)求证:BC 1∥平面DCA 1;(2)求二面角DCA 1C 1的平面角的余弦值.(1)证明 如图所示,以BC 的中点O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz ,设AB =BC =CA =AA 1=2. 设n =(x ,y ,z )是平面DCA 1的一个法向量,(2)解 设m =(x 1,y 1,z 1)是平面CA 1C 1的一个法向量,所以所求二面角的余弦值为-155.【试一试】(2014新课标1)如图,三棱柱111C B A ABC -中,侧面C C BB 11为菱形,C B 1的中点为O ,且⊥AO 平面C C BB 11. (1)证明:;1AB C B ⊥(2)若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB求三棱柱111C B A ABC -的高.。