外业观测数据归算至高斯投影面
将地面观测的边长归算至高斯面.
2．高斯平面直角坐标与大地坐标的相互转换——高斯投影的正算与反算
3．高斯投影的邻带换算； 4．椭球面上观测成果（边长）归化到高斯平面上的计算
[难点]
首先要理解和掌握高斯投影的概念。高斯正算和反算计算；方向改化和距离改 化计算；高斯投影带的换算与应用。
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一、基础知识（高斯投影与高斯平面直角坐标系） 1 投影与变形
在投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，以中央子午线和 赤道的交点 O 作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标 x 轴，以赤道的投影为横坐标 y 轴。 x x
500Km
B
xB
xA
y
xB
xA
yB
yA
A
B
yB
yA
A
y
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（3）高斯平面直角坐标系 在我国 x 坐标都是正的， y 坐标的最大值（在 赤道上）约为330km。为了避免出现负的横坐标， 可在横坐标上加上500 000m。此外还应在坐标前 面再冠以带号。这种坐标称为国家统一坐标。例 如，有一点 =19 123 456.789m，该点位于 Y 6 带内，其相对于中央子午线而言的横坐标则是： 首先去掉带号，再减去500000m,最后得 =376 543.211m。
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第十四讲 将地面观测的边长归算至高斯面
本节介绍从椭球面上大地坐标系到平面上直角坐标系的正形 投影过程。研究如何将大地坐标、大地线长度和方向以及大地方 位角等向平面转化的问题。重点讲述高斯投影的原理和方法，解 决如何由球面到平面的换算问题，解决相邻投影带的坐标换算问 题。
[知识点及学习要求] 1．高斯投影的基本概念；
高斯投影3 带：它的中央子午线一部分同 6 带中央子午线重合，一部 L 表示 3 带中 分同 6 带的分界子午线重合，如用 n 表示3 带的带号， 央子午线经度，它们的关系L 3n 下图所示。我国 3 带共计22带 （24～45带）。
第8章 椭球面元素归算至高斯平面——高斯投影
（2）分带投影
高斯投影 6 带：自 0 子午线起每隔经差 6 自西向东分带，依次编号 1,2,3,…。我国 6 带中央子午线的经度，由75 起每隔 6 而至135 , 共计 L 0 表示，它 11带（13～23带），带号用 n表示，中央子午线的经度用 6 n 3,如下图所示。 们的关系是 L 0
x
x
500Km
B
xA
xB
y
xB
xA
yB
yA
A
B
yB
yA
A
y
（3）高斯平面直角坐标系 在我国 x坐标都是正的，y 坐标的最大值（在赤 道上）约为330km。为了避免出现负的横坐标， 可在横坐标上加上500 000m。此外还应在坐标前 面再冠以带号。这种坐标称为国家统一坐标。例 如，有一点 Y =19 123 456.789m，该点位于19带 内，其相对于中央子午线而言的横坐标则是：首 先去掉带号，再减去500000m,最后得 y =-376 543.211m。
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8.2
正形投影的一般条件
高斯投影首先必须满足正形投影的一般条件。图a为椭球面，图b为它 在平面上的投影。在椭球面上有无限接近的两点P1和 P2，投影后为P1′ p2 dS 和 ，其坐标均已注在图上， 为大地线的微分弧长，其方位角为 。 A 在投影面上，建立如图 b所示的坐标系， 的投影弧长为 。 ds dS
8.3 高斯平面直角坐标系与大地坐标系
1 高斯投影坐标正算公式
（1）高斯投影正算：已知椭球面上某点的大地坐标 L, B ，求该点 L , B ( x , y )的坐标变换。 在高斯投影平面上的直角坐标 x, y ，即 （2）投影变换必须满足的条件： 中央子午线投影后为直线； 中央子午线投影后长度不变； 投影具有正形性质，即正形投影条件。 （3）投影过程 在椭球面上有对称于中央子午线的两点 P1 和 P2 ,它们的大地坐标 分别为（l ,B）及（-l ,B），式中 l为椭球面上 P点的经度与中央子 l LL 午线( L 0 ) 的经度差： , P点在中央子午线之东, l 为正，在 0 , y) 和 P 西则为负，则投影后的平面坐标一定 为 P x , y ) 。 1(x 2(
高斯投影及计算
x y y 2 - 1= y
C
2dδ
ε 2
2dδ
δ21
dξ
B
dδ dσ
DA
Tδ12
1
y
x B′
y A′
B dδ
A dδ
η
椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面
• 二、方向改正计算 • 方向改正——正形投影后，椭球面上大地线投影
到平面上仍为曲线，化为直线方向所加的改正δ。 • 适用于三、四等三角测量的方向改正计算公式
2、将椭球面上起算元素和观测元素归算至高斯投影平面， 然后解算平面三角形，推算各边坐标方位角，在平面上进 行平差计算，求解各点的平面直角坐标。
高斯投影计算内容
归算
解算
椭球面
大地坐标
高斯投影 坐标公式
两
种
地面观测数据
方
高斯直角 平面坐标
法
归算
椭球面
高斯平面
归算
解算平面三角形
平差计算
高斯投影计பைடு நூலகம்内容
Vy 2 项。
项y，4m
西(Cauchy)—黎曼(Riemann)条件，式中，f代 表任意解析函数。
x iy f (q il)
高斯投影坐标计算
• 高斯投影坐标正算——由（B，L）求（x， y）
• 高斯投影坐标反算——由（x，y）求（B， L）
高斯投影坐标计算
大地经度L是从起始子午面开始起算的 起始子午线作为投影的中央子午线
上式的计算精度为0.1″。
椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面
• 三、距离改正计算
• 距离改正——椭球面上大地线长S改换为平面上投
影曲线两端点间的弦长D，要加距离改正△S。
椭球面元素归算至高斯平面(高斯投影)
高斯投影是等角横轴切椭圆柱投影。 高斯投影是等角横轴切椭圆柱投影。 等角横轴切椭圆柱投影 高斯投影是一种等角投影。 高斯投影是一种等角投影。它是由德国数学家高斯 (Gauss， 1855)提出 提出， (Gauss，1777 ～ 1855)提出，后经德国大地测量学家克 吕格(Kruger 1857～1923)加以补充完善 故又称“ (Kruger， 加以补充完善， 吕格(Kruger，1857～1923)加以补充完善，故又称“高 克吕格投影” 简称“高斯投影” 斯—克吕格投影”，简称“高斯投影”。
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
高斯投影带划分
6 /47
6º带与3º带中央子午线之间的关系如图: 带与3 带中央子午线之间的关系如图:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
7 /47
3º带的中央子午线与6º带中央子午线及分带子午 带的中央子午线与6 线重合，减少了换带计算。 线重合，减少了换带计算。 工程测量采用3 工程测量采用3 º带 特殊工程可采用1.5 特殊工程可采用1.5 º带或任意带
椭球面元素归算至投影面——高斯投影 高斯投影 椭球面元素归算至投影面
测绘工程系
5.1 高斯投影概述
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
一、长度比
或者
2 /47
长度比不仅随点的位置，而且随线段的方向而发生变化。 长度比不仅随点的位置，而且随线段的方向而发生变化。
二、高斯投影的基本概念
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1、椭球面三角系化算到高斯投 、 影面问题分析
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
（1）投影后需用连接各点间的弦线来代替曲线。为此，必 ）投影后需用连接各点间的弦线来代替曲线。为此， 须在每个方向上引进曲改直的水平方向改正； 须在每个方向上引进曲改直的水平方向改正； 的大地坐标B,L计算其平面坐标的坐标正 （2）根据始点 的大地坐标 ）根据始点P的大地坐标 计算其平面坐标的坐标正 算公式； 算公式； （3）反算公式； ）反算公式；
大地测量学基础》试题及部分答案
《大地测量学基础》试题班级________ 学号______ 姓名 ___________ 成绩 ________一．填空（20分，每题1分）1．大地测量学是一门地球信息学科，主要任务是测量和描绘地球并监测其变化，为人类活动提供关于地球的空间信息。
它既是基础学科，又是应用学科。
2．重力位相等的面称为重力等位面，这也就是我们通常所说的水准面。
3．两个无穷接近的水准面之间的距离不是一个常数，这是因为重力加速度在水准面不同点上的数值是不同的。
4．设想与平均海水面相重合，不受潮汐、风浪及大气压变化影响，并延伸到大陆下面处处与铅垂线相垂直的水准面称为大地水准面，它是一个没有褶皱、无棱角的连续封闭曲面。
由它包围的形体称为大地体，可近似地把它看成是地球的形状。
5．似大地水准面与大地水准面在海洋上完全重合，而在大陆上也几乎重合，在山区只有2～4m的差异。
它尽管不是水准面，但它可以严密地解决关于研究与地球自然地理形状有关的问题。
6．垂直于旋转轴的平面与椭球面相截所得的圆，叫纬圈。
7．由水准面不平行而引起的水准环线闭合差，称为理论闭合差。
8．以大地水准面为高程基准面，地面上任一点的正高坐标系指该点沿垂线方向至大地水准面的距离。
9．我国规定采用正常高高程系统作为我国高程的统一系统。
10．坐标系统是由坐标原点位置、坐标轴的指向和__尺度__所定义的。
11．_大地基准_是指能够最佳拟合地球形状的地球椭球的参数及椭球定位和定向12．过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫做法截面，该面与椭球面的交线叫法截线。
13．与椭球面上一点的子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合圈称为卯酉圈。
14．椭球面上两点间的最短程曲线叫做大地线，该线上各点的主法线与该点的曲面法线重合。
15．某一大地线常数等于椭球半径与该大地线穿越赤道时的大地方位角的正弦乘积，或者等于该大地线上具有最大纬度的那一点的平行圈半径。
16．通常将地面观测的水平方向归算至椭球面上，需要进行三差改正。
大地测量习题 题目答案分离版
《大地测量学》试题参考答案一、名词解释：1、子午圈：。
2、卯酉圈：3、椭园偏心率：4、大地坐标系：5、空间坐标系：6、法截线：7、相对法截线：8、大地线：9、垂线偏差改正：10、11、截面差改正：12、起始方位角的归算：13、勒让德尔定理：14、大地元素：15、大地主题解算：16、大地主题正算：17、大地主题反算：18、地图投影:19、高斯投影：20、平面子午线收敛角：21、方向改化：22、长度比：23、参心坐标系：24、地心坐标系：25、站心坐标系：二、填空题：1、旋转椭球的形状和大小是由子午椭园的个基本几何参数来决定的，它们分别是-_______________________________________________。
2、决定旋转椭球的形状和大小，只需知道个参数中的个参数就够了，但其中至少有一个。
3、传统大地测量利用天文大地测量和重力测量资料推算地球椭球的几何参数，我国1954年北京坐标系应用是椭球，1980年国家大地坐标系应用的是椭球，而全球定位系统（GPS）应用的是_______________________________ 椭球。
4、两个互相垂直的法截弧的曲率半径，在微分几何中统称为主曲率半径，它们是指______ 和。
5、椭球面上任意一点的平均曲率半径R等于该点和_________的几何平均值。
6、椭球面上子午线弧长计算公式推导中，从赤道开始到任意纬度B的平行圈之间的弧长表示为：____________________________________7、平行圈弧公式表示为：r= 。
8、克莱洛定理(克莱洛方程)表达式为9、某一大地线常数等于椭球半径与该大地线穿越赤道时的10、拉普拉斯方程的表达式为。
11、若球面三角形的各角减去____________，即可得到一个对应边相等的平面三角形。
12、投影变形一般分为 变形。
13、地图投影中有 投影等。
14、高斯投影是_________，保证了投影的 的不变性，图形的 性，以及在某点各方向上的 的同一性。
椭球面元素归算至高斯平面详解
长度比:
投影面上的边长与原面上的相应长度之比，称为长度比。
AB E A m AB EA
有关投影的基本知识（了解）
• 1、地图投影的概念
在数学中，投影（Project）的含义是指建立两个点集 间一一对应的映射关系。同样，在地图学中，地图投影就 是指建立地球表面上的点与投影平面上点之间的一一对应 关系。地图投影的基本问题就是利用一定的数学法则把地 球表面上的经纬线网表示到平面上。由于地球椭球体表面 是曲面，而地图通常是要绘制在平面图纸上，因此制图时 首先要把曲面展为平面，然而球面是个不可展的曲面，即 把它直接展为平面时，不可能不发生破裂或褶皱。若用这 种具有破裂或褶皱的平面绘制地图，显然是不实际的，所 以必须采用特殊的方法将曲面展开，使其成为没有破裂或 褶皱的平面。
S
UTM与高斯投影的异同：
（1）UTM是对高斯投影的改进，改进的目的是为了减少投影变形。 （2）UTM投影的投影变形比高斯的要小，最大在0.001。但其投影变形 规律比高斯要复杂一点，因为它用的是割圆柱，所以，它的m＝1的地方 是在割线上，实际上是一个圆，处在正负1°40′的位置，距离中央经线大 约180km。 （3）UTM投影在中央经线上，投影变形系数m＝0.9996，而高斯投影的 中央经线投影的变形系数m＝1。 （4）UTM为了减少投影变形也采用分带，它采用6°分带。但起始的1带 是（e174°－e180°），所以，UTM的6°分带的带号比高斯的大30。 （5）很重要的一点， 高斯投影与UTM投影可近似计算。计算公式是： XUTM=0.9996 * X高斯 YUTM=0.9996 * Y高斯 这个公式的误差在1米范围内，完全可以接受。
[知识点及学习要求]
1．高斯投影的基本概念； 2．正形投影的一般条件；
大地测量习题11
第五章 高程控制测量1．何谓一对水准标尺零点差及基、辅分划读数差常数？在作业中采取何种措施才能消除其影响？为什么？答：两水准标尺的零点误差不相等，他们都会在水准标尺上长生误差！同一高度的基本分划与辅助分划读数相差一个常数，称为基辅差故在实际水准测量作业中各测段的测站数目应安排成偶数，且在相邻测站上使两水准标尺轮流作为前视尺和后视尺测站Ⅰ上顾及两水准标尺的零点误差对前后视水准标尺上读数b1，a1的影响，则测站Ⅰ的观测高差为 在测站Ⅱ上，顾及两水准标尺零点误差对前后视水准标尺上读数a2,b2的影响，则测站Ⅱ的观测高差为 则1﹑3点的高差，即I 、Ⅱ测站所测高差之和为由此可见，尽管两水准标尺的零点误差 , 但在两相邻测站的观测高差之和中，抵消了这种误差的影响。
2．水准观测误差来源有哪些？各由什么因素引起？对观测有何影响？如何减弱或消除？3．分析超限原因：1）闭合路线中环线闭合差很小，而测段往返测高差不符值超限；2）附合路线中各测段往返测高差不符值均很小，而路线闭合差超限。
4．水准测量作业时，一般要求采取下列措施：(1)前后视距相等；(2)按“后一前一前—后”程序操作；(3)同一测站的前、后视方向不得作两次调焦；(4)旋转微倾斜螺旋及测微轮最后为“旋进”。
试述上列措施分别可以减弱哪些误差的影响？还有哪些主要误差不能由这些措施得到消除？5、名词解释(1)正常位水准面 (2)重力异常 (3)重力位水准面 (4)理论闭合差(5)正高系统 (6)正高 (7)正常高系统 (8)似大地水准面。
6、大地测量上使用哪几种高程系统？说明各种高程系统的相互关系？如何求地面上一点在各高程系统中的高程值？7、精密水准仪的角和交叉误差是如何产生的，它们对水准测量成果有什么影响？进行观测时应采取哪些措施以削弱由于角的变化和交叉误差残余影响所引起的误差。
8、设有一水准网如图所示，A 、B 、C 为已知点，F 为结点，（1，2，3）表示各水准路线之长度（以公里为单位），试问网中最弱点在哪条路线上？在何位置？又若要求网中最弱点相对已知点之高程中误差不大于15mm ，问应配置何等级水准测量？ba b a b b a a h ∆+∆--=∆--∆-=)()()(111112ab a b a a b b h ∆+∆--=∆--∆-=)()()(222223)()(2211231213a b b a h h h -+-=+=b a ∆≠∆9、三角高程测量求得的高差是什么高差？怎样求得正常高高差（列出基本公式，并说明各量的意义）？10、沿着同一纬度圈进行水准测量是否需要加入正常重力位不平行性改正，为什么?11、什么叫正常高？根据水准测量的高差求一点的正常高需加哪些改正（列出基本公式，并说明各量的意义）？12、精密水准测量外业计算时，应求出哪些高差改正数？接着按什么公式计算每公里高差中数的中误差。
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dS
dD m
S
D
0
dD dy dD m sin T
y2 y1
y2 (1 2 )dy 2R
2 4 ym ym y 2 D (1 )S 2 2 2 2R 24 R 24 R
上式即为大地线长度S归算到高斯平面上直线距离D的计算公式， 对于一等边长的归算完全可满足要求，对于二等边长的归算可略去 4 y 2 项，对于三四等边长的归算又可再略去 项。 ym
（2）经差l愈大， γ值也愈大； （3）当经差l不变时（即点在同一经线上），纬度愈 大， γ值也愈大，在极点处γ达到最大。
1 平面子午线收敛角的计算
2、由平面直角坐标（x,y）计算平面子午线收敛角γ
按上式公式计算可精确到0.001”,若只计 算前两项，则可精确至1”.
应用大地测量学
1 平面子午线收敛角的计算
谢谢大家
外业观测数据归算 到高斯平面
归算步骤
上 （2）测量测量边长归算到椭球面上 （3）天文方位角转化为大地方位角 （4）高斯正反算 （5）子午线收敛角计算 （6）方向改正 （7）距离改正
椭球面上的方向和长度归算至高斯 投影平面
1 平面子午线收敛角的计算
" 12
"
对于三、四等三角测量的方向改正计算公式：
上式的计算精度为0.1″。
椭球面上的方向和长度归算至高斯 投影平面
3 距离改正计算
3 距离改正计算
距离改正——椭球面上大地线长S改换为平面上投影曲线两端点 间的弦长D，要加距离改正△S。
3 距离改正计算
投影长度比公式：
m ds dD dS dS
3、计算平面子午线收敛角γ 的数值公式
克拉索夫斯基椭球
1975年国际椭球
椭球面上的方向和长度归算至高斯 投影平面
2 方向改正计算
2 方向改正计算
正形投影后，椭球面上大地线投影到平面上为曲线，要用其弦线 代替，所以要加入“曲改直”所带来的“方向改正数”，化为直线方 向所加的改正δ。
方向改正：大地线的投影曲线与连接大地线两端点的弦线之间的 夹角。
按照
(1 x)1 1 x x2 x3 展开 ，有
y 1 1 l2 l4 2 2 2 ( ) [1 cos B(1 t ) cos 4 B(1 6t 2 5t 4 )] l N cos B 2 24
设x
tan
则：
1 3 1 5 tan tan tan .... 3 5
2 方向改正计算
3 距离改正计算
椭球面上的方向和长度归算至高斯 投影平面
1 平面子午线收敛角的计算
平面子午线收敛角：通过某点的子午线投影像的 切线方向与过该点的的纵坐标线之间的夹角。
①由大地坐标（B，L）计算
②由平面直角坐标（x,y）计算
1 平面子午线收敛角的计算
1、由大地坐标计（B，L）算平面子午线收敛角γ
2 方向改正计算
x
y2 - y1= y
2
ε
x
21
C
2dδ
δ
2dδ dξ dδ A
x2 - x1= x
B dζ
dx
B′ y A′ A
B
dδ
D T
dδ
δ
12
1
y
η
2 方向改正计算
y1 y2 2 ( x1 x2 )( ym ) 2R 6 当ym<250km时，计算精度为0.01 ″. " y2 y1 " 21 2 ( x2 x1 )( ym ) 2R 6
1 平面子午线收敛角的计算
1、由大地坐标计算平面子午线收敛角γ
l2 l4 l sin B[1 cos B(1 3 2 2 4 ) cos 4 B(2 t 2 )] 3 15
由公式总结规律：
（1）γ为l的奇函数，在北半球γ与l同号，即当点缀 中央子午线以东时γ为正，以西时为负；