高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法同步练习2无答案新人教A版选修1_2201907022243

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高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法课件新人教A版选修2_2

某个
至多 n-1个
至少 n+1个
【拓展延伸】反证法的适用范围 (1)否定性命题.
(2)命题的结论中出现“至少”“至多”“唯一”等词
语的.
(3)当命题成立非常明显,而要直接证明所用的理论太
少,且不容易说明的.
(4)要讨论的情况多或者复杂,而反面情况少或者简单的.
(5)问题共有n种情况,现要证明其中有一种情况成立时,

2
类型一
用反证法证明否定性命题
【典例1】设{an}是公比为q(q≠0)的等比数列,Sn是它的前n项和,求证:数列{Sn}不是等比数列.
【解题指南】本题为否定性命题,可以考虑用反证法证明.
【解析】假设 Sn为等比数列，则S S1 S3 ,
2 2
所以a 1 q a1 a1 1 q q ,
【微思考】 1.我们常说“否定之否定即为肯定”,你能说明反证法中的否定之否定的两个否定分别是指什么吗? 提示:第一个否定是指“否定结论”即假设,第二个否
定是指“逻辑推理结果否定了假设”.
2.反证法原理与利用等价命题即互为逆否命题的证明思路有关吗? 提示:有关,反证法的原理为“互为逆否命题的两个命题真假一致”,即:“P⇒Q”⇔“﹁Q⇒﹁P”.
形.
【证明】假设以任意三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形,四个点为A,B,C,D.
2.“自然数a,b,c中恰有一个偶数”的否定正确的为 ( A.a,b,c都是奇数 B.a,b,c都是偶数 )
C.a,b,c中至少有两个偶数
D.a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数
【解析】选D.自然数a,b,c的奇偶性共有四种情形:(1)3个都是奇数;(2)2个奇数,1个偶数;(3)1个奇数,2个偶数;(4)3个都是偶数,所以否定正确的是a,b,c 中都是奇数或至少有两个偶数.

2018年秋高中数学第二章推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法学案新人教A版选修2-2

2.2.2 反证法学习目标：1.了解反证法是间接证明的一种基本方法．(重点、易混点)2. 理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．(重点、难点)[自主预习·探新知]反证法的定义及证题的关键思考1：反证法的实质是什么？[提示]反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的．思考2：有人说反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理，这种说法对吗？为什么？[提示]反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是逻辑非常严密的演绎推理．[基础自测]1．思考辨析(1)反证法属于间接证明问题的方法．( )(2) 反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题．( )(3)反证法的实质是否定结论推出矛盾．( )[答案](1)√(2)×(3)√2．“a<b”的反面应是( )A．a≠b B．a>bC．a＝b D．a＝b或a>b[答案] D3．用反证法证明“如果a＞b，那么3a＞3b”，假设的内容应是________.【导学号：31062152】[答案]3a≤3b4．应用反证法推出矛盾的推导过程中，下列选项中可以作为条件使用的有________．(填序号)①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．[解析]反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．[答案]①②③[合作探究·攻重难][证明]假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b.∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，即b＝ac，∴a＋c＋2ac＝4ac，∴(a－c)2＝0，即a＝c.从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故a，b，c不成等差数列．[规律方法] 1.用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．用反证法证明数学命题的步骤[跟踪训练]1．设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直．[证明]假设AC⊥平面SOB，如图，∵直线SO在平面SOB内，∴SO⊥AC.∵SO⊥底面圆O，∴SO⊥AB.∴SO⊥平面SAB.∴平面SAB∥底面圆O.这显然出现矛盾，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直．【导学号：31062153】[证明]∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程2x＝3有根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的：假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，则2b1＝3,2b2＝3，两式相除得2b1－b2＝1.若b1－b2>0，则2 b1－b2>1，这与2 b1－b2＝1相矛盾．若b1－b2<0，则2 b1－b2<1，这也与2 b1－b2＝1相矛盾．∴b1－b2＝0，则b1＝b2.∴假设不成立，从而原命题得证．[规律方法]巧用反证法证明唯一性命题当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.[跟踪训练]2．求证：两条相交直线有且只有一个交点．[证明]假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不止一个交点．若直线a，b无交点，则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾．若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．[1．你能阐述一下“至少有一个、至多有一个、至少有n个”等量词的含义吗？提示：2.个”等量词的反设词吗？提示：2a＝0中至少有一个方程有实数解. 【导学号：31062154】[证明]假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：⎩⎪⎨⎪⎧a 2－－4a ＋＜0，a －2－4a 2＜0，a 2＋4×2a ＜0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12，a ＞13或a ＜－1，－2＜a ＜0.⇒－32＜a ＜－1，这与已知a ≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．母题探究：1.(变条件)将本题改为：已知下列三个方程x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实数根，如何求实数a 的取值范围？[解] 若方程没有一个有实根，则 ⎩⎪⎨⎪⎧16a 2－－4a ＜0，a －2－4a 2＜0，4a 2＋8a ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12，a ＞13或a ＜－1，－2＜a ＜0.即－32＜a ＜－1，故三个方程至少有一个方程有实根，实数a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≥－1或a ≤－32. 2．(变条件)将本题条件改为三个方程中至多有2个方程有实数根，求实数a 的取值范围． [解] 假设三个方程都有实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－－4a ＋，a －2－4a 2≥0，a 2＋4×2a ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋4a －3≥0，3a 2＋2a －1≤0，a 2＋2a ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－32或a ≥12，－1≤a ≤13，a ≤－2或a ≥0.即a ∈∅.所以实数a 的取值范围为实数R .[规律方法] 当命题中出现“至少……”、“至多……”、“不都……”、“都不……”、“没有……”、“唯一”等指示性词语时，宜用反证法.提醒：对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误.[当堂达标·固双基]1．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是( )【导学号：31062155】A．有两个内角是钝角B．有三个内角是钝角C．至少有两个内角是钝角D．没有一个内角是钝角C[“最多只有一个”的否定是“至少有两个”，故选C.]2．如果两个实数之和为正数，则这两个数( )A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．至少有一个正数D．两个都是负数C[假设两个数分别为x1、x2，且x1≤0，x2≤0，则x1＋x2≤0，这与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C.]3．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．[解析]∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．[答案]b与c平行或相交4．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为________. 【导学号：31062156】[解析]根据反证法证题的三步骤：否定结论、导出矛盾、得出结论．[答案]③①②5. 设数列{a n}是公比为q的等比数列，S n是它的前n项和．求证：数列{S n}不是等比数列．[证明]假设数列{S n}是等比数列，则S22＝S1S3，即a21(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0矛盾．所以数列{S n}不是等比数列．。

高中数学《第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法...》730PPT课件

§2.2.2 反证法
一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明
注：反证法是最常见的间接证法。
探究反证法的证明过程
反证法
意溪中学
温故迎新
1.直接证明的两种基本证法：综合法和分析法
2.这两种基本证法的推证过程和特点：
综合法: 已知条件结论由因导果
分析法: 结论已知条件执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程.
道旁苦李
王戎的结论：李子是苦的
反证法的思维方法：正难则反
例题：
c
已知：如图，直线a,b被直线c所截，
a
∠1 ≠ ∠2
1
b
求证：a∥
2
证明：（反设）假设结论不成立，则a∥b
（归缪） ∴∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等)
这与已知的∠1≠∠2矛盾 ∴假设不成立
（存真） ∴a∥b
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，否定必须要全面
∴ ax1 - ax2 = 0 ∴a（x1 - x2）= 0
∵a ≠ 0
∴x 1
-x 2
0,即x1
=
x 2
与x 1
x 矛盾 2
故假设不成立，结论成立。
注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,
是唯一性问题,常用反证法
总结回顾:
1、反证法的一般步骤:
与假设、已知、定义、定理、公理或者事实矛盾等
或等于６０度.

高中数学第2章推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 直接证明讲义(含解析)苏教版选

直接证明[对应学生用书P26]1．若实数a，b满足a＋b＝3，证明：2a＋2b≥4 2.证明：因为2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b，又a＋b＝3，所以2a＋2b≥223＝4 2.故2a＋2b≥42成立．问题1：本题利用什么公式？提示：基本不等式．问题2：本题证明顺序是什么？提示：从已知到结论．2．求证：3＋22<2＋7.证明：要证明3＋22<2＋7，由于3＋22>0,2＋7>0，只需证明(3＋22)2<(2＋7)2，展开得11＋46<11＋47，只需证明6<7，显然6<7成立．所以3＋22<2＋7成立．问题1：本题证明从哪里开始？提示：从结论开始．问题2：证题思路是什么？提示：寻求上一步成立的充分条件．1．直接证明(1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明．(2)直接证明的一般形式⎭⎪⎬⎪⎫本题条件已知定义已知公理已知定理⇒…⇒本题结论．2．综合法和分析法直接证明定义推证过程综合法从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法已知条件⇒…⇒…⇒结论分析法从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法称为分析法结论⇐…⇐…⇐已知条件1．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立．2．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立．[对应学生用书P27]综合法的应用[例1] 已知a ，b ，c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.[思路点拨]从已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论． [精解详析]∵a 2＋19≥2a 3，b 2＋19≥2b 3，c 2＋19≥2c 3，∴⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋19≥23a ＋23b ＋23c＝23(a ＋b ＋c )＝23. ∴a 2＋b 2＋c 2≥13.[一点通]综合法证明问题的步骤第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题思路．第二步：转化条件、组织过程，把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法的选取．1．设a ，b ，c 为不全相等的正数，且abc ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c>a ＋b ＋c .证明：∵a >0，b >0，c >0，且abc ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c＝bc ＋ca ＋ab .又bc ＋ca ≥2bc ·ca ＝2abc 2＝2c ，同理bc ＋ab ≥2b ，ca ＋ab ≥2a . ∵a 、b 、c 不全相等．∴上述三个不等式中的“＝”不能同时成立． ∴2(bc ＋ca ＋ab )>2(c ＋a ＋b )，即bc ＋ca ＋ab >a ＋b ＋c ，故1a ＋1b ＋1c>a ＋b ＋c .2.(1)如图，证明命题“a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥b ，则a ⊥c ”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．解：(1)证明：法一：如图，过直线b 上任一点作平面π的垂线n ，设直线a ，b ，c ，n 的方向向量分别是a ，b ，c ，n ，则b ，c ，n 共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c ＝λb ＋μn ，则a·c ＝a·(λb ＋μn )＝λ(a·b )＋μ(a·n )，因为a ⊥b ，所以a·b ＝0，又因为aπ，n ⊥π，所以a·n ＝0，故a·c ＝0，从而a ⊥c .法二：如图，记c ∩b ＝A ，P 为直线b 上异于点A 的任意一点，过P 作PO ⊥π，垂足为O ，则O ∈c . ∵PO ⊥π，a π，∴直线PO ⊥a . 又a ⊥b ，b平面PAO ，PO ∩b ＝P ，∴a ⊥平面PAO .又c平面PAO ，∴a ⊥c .(2)逆命题为：a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥c ，则a ⊥b .逆命题为真命题．分析法的应用[例2] 已知a >b >0，求证：(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b.[思路点拨]本题条件较为简单，结论比较复杂，我们可以从要证的结论入手，一步步探求结论成立的充分条件，即用分析法．[精解详析]要证明(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b 成立，只需证(a －b )24a <a ＋b －2ab <(a －b )24b 成立，即证(a －b )24a <(a －b )2<(a －b )24b 成立．只需证a －b 2a <a －b <a －b2b成立．只需证a＋b2a<1<a＋b2b成立，即证a＋b<2a且a＋b>2b，即b<a.∵a>b>0，∴b<a成立．∴(a－b)28a<a＋b2－ab<(a－b)28b成立．[一点通]在已知条件较为简单，所要证的问题较为复杂，无从入手的情况下，我们可从结论入手逆推，执果索因，找到结论成立的条件，注明必要的文字说明，再用综合法写出步骤．3．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4，a≥0，求证：P＜Q.证明：要证P＜Q，主要证P2＜Q2，只要证2a＋7＋2a(a＋7)＜2a＋7＋2(a＋3)(a＋4)，即证a2＋7a＜a2＋7a＋12，即证0＜12.因为0＜12成立，所以P＜Q成立．4．已知a、b是正实数，求证：ab＋ba≥a＋b.证明：要证ab＋ba≥a＋b，只需证a a＋b b≥ab(a＋b)．即证(a＋b－ab)(a＋b)≥ab(a＋b)，即证a＋b－ab≥ab.也就是要证a＋b≥2ab.因为a，b为正实数，所以a＋b≥2ab成立，所以ab＋ba≥a＋b.综合法与分析法的综合应用[例3] 已知0<a ≤1,0<b ≤1,0<c ≤1，求证：1＋ab ＋bc ＋ca a ＋b ＋c ＋abc≥1.[思路点拨]因为0<a ≤1,0<b ≤1,0<c ≤1，所以要证明1＋ab ＋bc ＋caa ＋b ＋c ＋abc≥1成立，可转化为证明1＋ab ＋bc ＋ca ≥a ＋b ＋c ＋abc 成立．[精解详析]∵a >0，b >0，c >0， ∴要证1＋ab ＋bc ＋ca a ＋b ＋c ＋abc≥1，只需证1＋ab ＋bc ＋ca ≥a ＋b ＋c ＋abc ，即证1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )≥0. ∵1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc ) ＝(1－a )＋b (a －1)＋c (a －1)＋bc (1－a ) ＝(1－a )(1－b －c ＋bc )＝(1－a )(1－b )(1－c )，又a ≤1，b ≤1，c ≤1， ∴(1－a )(1－b )(1－c )≥0，∴1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )≥0成立，即证明了1＋ab ＋bc ＋caa ＋b ＋c ＋abc≥1.[一点通](1)较为复杂问题的证明如单纯利用分析法和综合法证明较困难，这时可考虑分析法、综合法轮流使用以达到证题目的．(2)综合法和分析法的综合应用过程既可先用分析法再用综合法，也可先用综合法再用分析法，一般无具体要求，只要达到证题的目的即可．5．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 成等差数列．求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c . 证明：要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，即c a ＋b ＋ab ＋c ＝1，只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )(a ＋b )(b ＋c )＝1，即a 2＋c 2＋ab ＋bc b 2＋ab ＋ac ＋bc＝1.下面证明：a 2＋c 2＋ab ＋bcb 2＋ab ＋ac ＋bc＝1.∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°. ∴b 2＝a 2＋c 2－ac .∴a 2＋c 2＋ab ＋bc b 2＋ab ＋ac ＋bc ＝a 2＋c 2＋ab ＋bc a 2＋c 2－ac ＋ab ＋ac ＋bc＝1. 故原等式成立．6．若a ，b ，c 是不全相等的正数．求证：lga ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .证明：要证lga ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c 成立，即证lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg(abc )成立，只需证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>abc 成立，∵a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，c ＋a2≥ca >0，∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2≥abc >0，(*)又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴(*)式等号不成立， ∴原不等式成立．1．综合法是由因导果，步骤严谨，逐层递进、步步为营，书写表达过程是条理清晰、形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹、缺点是探路艰难，不易达到所要证明的结论．2．分析法是执果索因，方向明确、利于思考，便于寻找解题思路．缺点是思路逆行、叙述繁琐、表述易出错．3．在解决一个问题时，我们常常把综合法和分析法结合起来使用．根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论P 1；根据原结论的特点去寻求使结论成立的条件，寻找到条件P 2；当由P 1可以推出P 2时，结论得证．[对应学生用书P29]一、填空题1．在△ABC中，A>B是sin A>sin B的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：在△ABC中，由正弦定理得asin A＝bsin B.又∵A>B，∴a>b，∴sin A>sin B反之，若sin A>sin B，则a>b，∴A>B∴A>B是sin A>sin B的充要条件．答案：充要2．设n∈N，则n＋4－n＋3________n＋2－n＋1(判断大小)．解析：要证n＋4－n＋3<n＋2－n＋1，只需证n＋4＋n＋1<n＋3＋n＋2，只需证(n＋4＋n＋1)2<(n＋2＋n＋3)2，即2n＋5＋2(n＋4)(n＋1)<2n＋5＋2(n＋2)(n＋3).只需证(n＋1)(n＋4)<(n＋2)(n＋3)，只需证(n＋1)(n＋4)<(n＋2)(n＋3)，即n2＋5n＋4<n2＋5n＋6，即4<6即可．而4<6成立，故n＋4－n＋3<n＋2－n＋1.答案：<3．如果a a＋b b>a b＋b a，则实数a，b应满足的条件是________．解析：a a＋b b>a b＋b a⇔a a－a b>b a－b b⇔a(a－b)>b(a－b)⇔(a－b)(a－b)>0⇔(a＋b)(a－b)2>0，故只需a≠b且a，b都不小于零即可．答案：a≥0，b≥0且a≠b4．若三棱锥S－ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，则S在底面ABC上的射影为△ABC的________．(填重心、垂心、内心、外心之一)解析：如图，设S 在底面ABC 上的射影为点O ， ∴SO ⊥平面ABC ，连接AO ，BO ， ∵SA ⊥BC ，SO ⊥BC ， ∴BC ⊥平面SAO ， ∴BC ⊥AO . 同理可证，AC ⊥BO . ∴O 为△ABC 的垂心．答案：垂心5．已知函数f (x )＝10x，a ＞0，b ＞0，A ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f ()ab ，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为________．解析：由a ＋b2≥ab ≥2ab a ＋b ，又f (x )＝10x在R 上是单调增函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≥f ()ab ≥f ⎝⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，即A ≥B ≥C . 答案：A ≥B ≥C 二、解答题6．已知函数f (x )＝log 2(x ＋2)，a ，b ，c 是两两不相等的正数，且a ，b ，c 成等比数列，试判断f (a )＋f (c )与2f (b )的大小关系，并证明你的结论．解：f (a )＋f (c )＞2f (b )．证明如下：因为a ，b ，c 是两两不相等的正数，所以a ＋c ＞2ac .因为b 2＝ac ，所以ac ＋2(a ＋c )＞b 2＋4b ，即ac ＋2(a ＋c )＋4＞b 2＋4b ＋4，从而(a ＋2)(c ＋2)＞(b ＋2)2. 因为f (x )＝log 2(x ＋2)是增函数，所以log 2(a ＋2)(c ＋2)＞log 2(b ＋2)2，即log 2(a ＋2)＋log 2(c ＋2)＞2log 2(b ＋2)．故f (a )＋f (c )＞2f (b )． 7．已知a >0，用分析法证明：a 2＋1a 2－2>a ＋1a－2.证明：要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2. 因为a >0，故只需证⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22，即a 2＋1a2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋2 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2，从而只需证2a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只需证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．8．(某某高考改编)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS nn 2＋c ，n ∈N *，其中c 为实数．若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)．证明：由c ＝0，得b n ＝S n n＝a ＋n －12d .又b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ，化简得d 2－2ad ＝0.因为d ≠0，所以d ＝2a . 因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a .从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .。

高中数学第二章推理与证明 2.2 直接证明与间接证明反证法可用来解决哪些问题素材新人教A版选修2-2

反证法可用来解决哪些问题一、证明几何量之间的关系例1. 如图，设SA 、SB 是圆锥SO 的两条母线，O 是底面圆心，C 是SB 上一点。

求证：AC 与平面SOB 不垂直。

分析:结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑使用反证法，即假设“垂直”后再导出矛盾后，再肯定“不垂直”。

证明:假设AC ⊥平面SOB ，∵ 直线SO 在平面SOB 内， ∴ AC ⊥SO ， ∵ SO ⊥底面圆O ， ∴ SO ⊥AB ，∴ SO ⊥平面SAB ， ∴平面SAB ∥底面圆O ，这显然出现矛盾，所以假设不成立.即AC 与平面SOB 不垂直。

否定性的问题常用反证法。

例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾。

上面所举的例子，用直接证法证明比较困难，尤其是证两条直线是异面直线，常采用反证法。

二、证明“唯一性”问题例2：试证明：在平面上所有通过点)0,2(的直线中，至少通过两个有理点（有理点指坐标x 、y 均为有理数的点）的直线有一条且只有一条。

证明：先证存在性。

因为直线0=y ，显然通过点)0,2(，且直线0=y 至少通过两个有理点，例如它通过)0,0(和)0,1(。

这说明满足条件的直线有一条。

再证唯一性。

假设除了直线0=y 外还存在一条直线b kx y +=（0≠k 或0≠b ）通过点)0,2(，且该直线通过有理点A ),(11y x 与B ),(22y x ，其中1x 、1y 、2x 、2y 均为有理数。

因为直线b kx y +=通过点)0,2(，所以k b 2-=，于是)2(-=x k y ，且0≠k 。

又直线通过A ),(11y x 与B ),(22y x 两点，所以)2(11-=x k y ， ①)2(-=x k y ②①－②，得)(2121x x k y y -=- ③因为A 、B 是两个不同的点，且0≠k ，所以21x x ≠，21y y ≠，由③，得2121x x y y k --=，且k 是不等于零的有理数;由①，得k y x 112-=. 此式的左边是无理数，右边是有理数，出现了矛盾。

高中数学《第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法...》718PPT课件

B. abc≠0(D) NhomakorabeaC. a≠0，b≠0，c≠0
D. a≠0或b≠0或c≠0
课堂练习
2. 在△ABC中，若∠C是直角，则 ∠B 一定是锐角.
3. 求证： 2 ， 3 ， 5 不可能成等差数列.
课堂练习
4. 已知a，b，c均为实数，且
a x2 2 y ，b y2 2z ，
2
3
c z2 2x .
例题讲解
例1. 已知a 0，证明x的方程ax b 有且只有一个根.
例题讲解
例2. 已知直线a，b 和平面，如果 a ，b ，且a // b，求证a // .
a
b
新课讲授
注意：
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾. 这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、事实矛盾等.
6
求证：a，b，c中至少有一个大于0.
课堂小结
1.“反证法”的解题步骤： (1)提出反设（否定结论）； (2)推出矛盾（与已知、假设、定义、定理、公理、事实矛盾，这是关键的一步）； (3)否定假设，肯定结论.
2.反证法一般应用于证明“结论含有否定词、至多、至少、唯一性”的问题.
课后作业
《学案》与《习案》.
课堂练习
1. 用反证法证明命题“若a2＋b2＋c2＝0，
则a＝b＝c＝0”时，第一步应假设
(
)
A. a≠b≠c≠0
B. abc≠0
C. a≠0，b≠0，c≠0
D. a≠0或b≠0或c≠0
课堂练习
1. 用反证法证明命题“若a2＋b2＋c2＝0，
则a＝b＝c＝0”时，第一步应假设
A. a≠b≠c≠0
2.2.2 反证法

高中数学第二章推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法导学案新人教A版选修

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2。

2.2 反证法【学习目标】1。

了解反证法的基本原理；2。

掌握运用反证法的一般步骤;3.学会用反证法证明一些典型问题。

【重点难点】重点：反证法的实质.难点：如何产生矛盾。

【使用说明与学法指导】1.课前用20分钟预习课本P89—91内容.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学。

2.独立思考,认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究,答疑解惑。

【问题导学】1。

反证法?反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。

2.反证法常见矛盾类型?反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾或与假设矛盾或与定义、定理、公理、事实矛盾等.3.反证法的实质是什么?反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的。

4. 反证法属于直接证明还是间接证明?其证明过程属合情推理还是演绎推理？反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是逻辑非常严格的演绎推理.【合作探究】问题1：用反证法证明否定性命题1。

2019年高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法优化练习2-2

2.2.2 反证法[课时作业] [A 组基础巩固]1．命题“△ABC 中，若∠A ＞∠B ，则a ＞b ”的结论的否定应该是( ) A ．a ＜b B ．a ≤b C ．a ＝bD ．a ≥b解析：“a ＞b ”的否定应为“a ＝b 或a ＜b ”，即a ≤b .故应选B. 答案：B2．用反证法证明命题：“a ，b ，c ，d ∈R ，a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，且ac ＋bd ＞1，则a ，b ，c ，d 中至少有一个负数”时的假设为( )A ．a ，b ，c ，d 全都大于等于0B ．a ，b ，c ，d 全为正数C ．a ，b ，c ，d 中至少有一个正数D ．a ，b ，c ，d 中至多有一个负数解析：至少有一个负数的否定是一个负数也没有，即a ，b ，c ，d 全都大于等于0. 答案：A3．“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”的否定正确的为( ) A ．a ，b ，c 都是奇数 B ．a ，b ，c 都是偶数 C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a ，b ，c 的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数．所以否定正确的是a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数．答案：D4．给定一个命题“已知x 1＞0，x 2≠1且x n ＋1＝x 3n ＋3x n3x 2n ＋1，证明对任意正整数n 都有x n ＞x n ＋1”，当此题用反证法否定结论时应是( )A ．对任意正整数n 有x n ≤x n ＋1B ．存在正整数n 使x n ≤x n ＋1C ．存在正整数n 使x n ＞x n ＋1D ．存在正整数n 使x n ≥x n －1且x n ≥x n ＋1解析：“对任意正整数n 都有x n ＞x n ＋1”的否定为“存在正整数n 使x n ≤x n ＋1”．答案：B5．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c中( )A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2解析：⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1c∵a ，b ，c ∈(－∞，0)，∴a ＋1a＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ≤－2，b ＋1b＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ≤－2，c ＋1c ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1c ≤－2， ∴⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ≤－6， ∴三数a ＋1b、c ＋1a、b ＋1c中至少有一个不大于－2，故应选C. 答案：C6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________________________________________________________________________．解析：“至少有一个”的否定是“没有一个”．答案：没有一个是三角形或四边形或五边形7．△ABC 中，若AB ＝AC ，P 是△ABC 内的一点，∠APB >∠APC ，求证∠BAP <∠CAP .用反证法证明时的假设为________．解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP <∠CAP 的对立面是∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP >∠CAP . 答案：∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP >∠CAP8．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A ＝∠B ＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A ，∠B ，∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A ＝∠B ＝90°. 正确顺序的序号排列为________．解析：由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.答案：③①②9．已知a ≥－1，求证以下三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实数解．证明：假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：⎩⎪⎨⎪⎧a 2－－4a ＋＜0a －2－4a 2＜0a 2＋4×2a ＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12a ＞13或a ＜－1－2＜a ＜0⇒－32＜a ＜－1，这与已知 a ≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．10．求证：不论x ，y 取何非零实数，等式1x ＋1y ＝1x ＋y 总不成立．证明：假设存在非零实数x ，y 使得等式1x ＋1y ＝1x ＋y 成立．于是有y (x ＋y )＋x (x ＋y )＝xy ，即x 2＋y 2＋xy ＝0，即(x ＋y 2)2＋34y 2＝0.由y ≠0，得34y 2>0.又(x ＋y2)2≥0，所以(x ＋y 2)2＋34y 2>0.与x 2＋y 2＋xy ＝0矛盾，故原命题成立．[B 组能力提升]1．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中一位获奖，有人走访了这四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：若甲获奖，则甲、乙、丙、丁四位歌手说的话都是假的，同理可推出乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．答案：C2．若△ABC 能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．不确定解析：分△ABC 的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD (点D 在BC 上)，则∠ADB ＋∠ADC ＝π，若∠ADB 为钝角，则∠ADC 为锐角．而∠ADC >∠BAD ，∠ADC >∠ABD ，△ABD 与△ACD 不可能相似，与已知不符，只有当∠ADB ＝∠ADC ＝∠BAC ＝π2时，才符合题意．答案：B3．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数)，且a >b ，那么两个数列中序号与数值均相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得a n ＝b n ，由题意a >b ，n ∈N *，则恒有an >bn ，从而an ＋2>bn ＋1恒成立，∴不存在n 使a n ＝b n .答案：04．完成反证法证题的全过程．设a 1，a 2，…，a 7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p 为偶数．解析：据题目要求及解题步骤，因为a 1－1，a 2－2，...，a 7－7均为奇数，所以(a 1－1)＋(a 2－2)＋...＋(a 7－7)也为奇数．即(a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋...＋7)为奇数．又因为a 1，a 2，...，a 7是1,2，...，7的一个排列，所以a 1＋a 2＋...＋a 7＝1＋2＋...＋7，故上式为0. 所以奇数＝(a 1－1)＋(a 2－2)＋...＋(a 7－7) ＝(a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋...＋7)＝0. 答案：(a 1－1)＋(a 2－2)＋...＋(a 7－7) (a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋ (7)5．已知a ，b ，c 都是小于1的正数，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 中至少有一个不大于14.证明：假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14，即(1－a )b ＞14，(1－b )c ＞14，(1－c )a ＞14.∵a ，b ，c 都是小于1的正数， ∴－a b ＞12，－b c ＞12，－c a ＞12，∴－a b ＋－b c ＋－c a ＞32.(*)又∵－a b ≤1－a ＋b2，－b c ≤1－b ＋c2，－c a ≤1－c ＋a2，∴－a b＋－b c＋－c a≤1－a ＋b 2＋1－b ＋c 2＋1－c ＋a 2＝3－a ＋b ＋c ＋a ＋b ＋c2＝32(当且仅当1－a ＝b,1－b ＝c,1－c ＝a ，即a ＝b ＝c ＝12时，等号成立)，与(*)式矛盾．∴假设不成立，原命题成立，故(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 中至少有一个不大于14.6．求证：抛物线上任取四个不同点所组成的四边形不可能是平行四边形．证明：如图，设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，在抛物线上任取四个不同点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则y 2i ＝2px i (i ＝1,2,3,4)，于是直线AB 的斜率为k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2py 1＋y 2，同理：k BC ＝2p y 3＋y 2，k CD ＝2p y 4＋y 3，k DA ＝2py 1＋y 4. 假设四边形ABCD 为平行四边形，则有k AB ＝k CD ，k BC ＝k DA ，即有⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋y 1＝y 4＋y 3 ①y 3＋y 2＝y 1＋y 4 ②①－②得y 1－y 3＝y 3－y 1， ∴y 1＝y 3，同理y 2＝y 4，则x 1＝y 212p ＝y 232p＝x 3，同理x 2＝x 4，由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 3y 1＝y 3，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 4y 2＝y 4.显然A ，C 重合，B ，D 重合．这与A ，B ，C ，D 为抛物线上任意四点矛盾，故假设不成立． ∴四边形ABCD 不可能是平行四边形.。

高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法优化练习新人教A版选修1-2(20

2017-2018学年高中数学第二章推理与证明2.2 直接证明与间接证明2.2.2 反证法优化练习新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第二章推理与证明2.2 直接证明与间接证明2.2.2 反证法优化练习新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2。

2 反证法［课时作业］［A组基础巩固］1．用反证法证明：“自然数a,b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为( )A．a，b，c都是偶数B．a,b，c都是奇数C．a,b，c中至少有两个偶数D．a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形:3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b,c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a，b,c 中都是奇数或至少有两个偶数．”答案：D2．实数a，b，c满足a＋2b＋c＝2，则（)A．a，b，c都是正数B．a，b，c都大于1C．a，b，c都小于2D．a，b,c中至少有一个不小于1 2解析：假设a，b,c中都小于错误!，则a＋2b＋c<错误!＋2×错误!＋错误!＝2，与a＋2b＋c＝2矛盾∴a，b，c中至少有一个不小于错误!。

答案:D3．（1）已知p3＋q3＝2,求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2，（2）已知a，b∈R，|a|＋｜b|〈1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1｜≥1，以下结论正确的是( ）A．（1）与（2）的假设都错误B．(1）与(2)的假设都正确C．（1）的假设正确;(2)的假设错误D．(1）的假设错误；（2）的假设正确解析：(1)的假设应为p＋q>2；(2)的假设正确．答案：D4．设a，b,c大于0，则3个数：a＋错误!,b＋错误!，c＋错误!的值( ）A．都大于2 B．至少有一个不大于2C．都小于2 D．至少有一个不小于2解析：假设a＋错误!，b＋错误!，c＋错误!都小于2则a＋错误!<2，b＋错误!〈2，c＋错误!〈2∴a＋错误!＋b＋错误!＋c＋错误!<6,①又a，b，c大于0所以a＋错误!≥2，b＋错误!≥2，c＋错误!≥2。

高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法212数学

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2．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些
作为条件使用( )
①结论的否定，即假设；②原命题的条件；③公理、
定理、定义等；④原命题的结论．
A．①②
B．①②④
C．①②③
D．②③
解析：由反证法的定义，可将①②③作为条件使用，
而④(原命题的结论)不能作为条件使用．
答案：C
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第二章推理(tuīlǐ)与证明
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2.2 直接证明与间接证明 2．2.2 反证法
[学习目标] 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法(重点).2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题(重点、难点)．
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1．反证法 (1)反证法是间接证明的一种基本方法． (2)一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫作反证法．
归纳升华 1．反证法证明唯一性命题的适用类型：当证明结论是“有且只有”“只有一个”“唯一”等形式的命题时，由于从假设的结论中易于导出矛盾，所以用反证法证明唯一性比较简单． 2．证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个方面，即存在性问题和唯一性问题两个方面．
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[变式训练] 用反证法证明：过已知直线 a 外一点 A 只有一条直线 b 与已知直线 a 平行．
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[迁移探究 1] (变换条件)已知 a，b，c∈(0，2)，求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a 不能都大于 1.
证明：假设(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a 都大于 1. 因为 a，b，c∈(0，2) 所以 2－a>0，2－b>0，2－c>0. 所以（2－2a）＋b≥ （2－a）b>1. 同理（2－2b）＋c≥ （2－b） c>1.

高中数学第2章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法b12b高二12数学

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(2)应用反证法证明数学命题的一般步骤 ①分清_命__题__(m_ìn_g_tí_)的__条_件__和__结_论_； ②做出_与__命__题__结_论__(_jié_lù_n)_相_矛__盾_的假定； ③由_假__定_出__发__，_应__用__(y_ìn_gy_ò_ng_)正__确__的_推__理__方_法__，推出矛盾的结果； ④断定产生矛盾结果的原因，在于_开__始__所_做__的__假__定_不__真_____，于
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2．用反证法证明命题“设 a、b 为实数，则方程 x3＋ax＋b＝0 至少有一个实根”时，要做的假设是( ) A．方程 x3＋ax＋b＝0 没有实根 B．方程 x3＋ax＋b＝0 至多有一个实根 C．方程 x3＋ax＋b＝0 至多有两个实根 D．方程 x3＋ax＋b＝0 恰好有两个实根解析：选 A．“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故选 A．
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内容(nèiróng)总结
第二章推理(tuīlǐ)与证明
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设 a＞0，b＞0，且 a＋b＝1a＋1b，求证：a2＋a＜
2 与 b2＋b＜2 至多有一个成立．证明：因为 a＋b＝1a＋1b＝a＋ abb，
因为 a＞0，b＞0，所以 ab＝1.
假设 a2＋a＜2 与 b2＋b＜2 同时成立，
则由 a2＋a＜2 及 a＞0
得 0＜a＜1；同理 0＜b＜1，
从而 ab＜1，这与 ab＝1 矛盾，
4．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是______．解析：至少有两个的否定是至多有一个．答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角

(精品人教)2020年高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法优化练习1-2

2.2.2 反证法[课时作业][A 组基础巩固]1．用反证法证明：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为( )A ．a ，b ，c 都是偶数B ．a ，b ，c 都是奇数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a ，b ，c 的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为“a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数．” 答案：D2．实数a ，b ，c 满足a ＋2b ＋c ＝2，则( )A ．a ，b ，c 都是正数B ．a ，b ，c 都大于1C ．a ，b ，c 都小于2D ．a ，b ，c 中至少有一个不小于12解析：假设a ，b ，c 中都小于12，则a ＋2b ＋c <12＋2×12＋12＝2，与a ＋2b ＋c ＝2矛盾 ∴a ，b ，c 中至少有一个不小于12. 答案：D3．(1)已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2，(2)已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1，以下结论正确的是( )A ．(1)与(2)的假设都错误B ．(1)与(2)的假设都正确C ．(1)的假设正确；(2)的假设错误D ．(1)的假设错误；(2)的假设正确解析：(1)的假设应为p ＋q >2；(2)的假设正确．答案：D4．设a ，b ，c 大于0，则3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a的值( ) A ．都大于2B ．至少有一个不大于2C ．都小于2D ．至少有一个不小于2 解析：假设a ＋1b，b ＋1c ，c ＋1a 都小于2 则a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a<2 ∴a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a<6，① 又a ，b ，c 大于0所以a ＋1a ≥2，b ＋1b ≥2，c ＋1c≥2. ∴a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a≥6.② 故①与②式矛盾，假设不成立所以a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a至少有一个不小于2. 答案：D5．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是( )A ．假设三内角都不大于60°B ．假设三内角都大于60°C ．假设三内角至少有一个大于60°D ．假设三内角至多有两个大于60°解析：三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°.答案：B6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．解析：“至少有一个”的否定是“没有一个”．答案：没有一个是三角形或四边形或五边形7．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＝1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2.其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．解析：显然①、②不能推出，③中a ＋b >2能推出“a ，b 中至少有一个大于1”否则a ≤1，且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾．④中取a ＝－2，b ＝0，推不出．答案：③8．用反证法证明质数有无限多个的过程如下：假设________．设全体质数为p 1，p 2，…，p n ，令p ＝p 1p 2…p n ＋1.显然，p 不含因数p 1，p 2，…，p n .故p 要么是质数，要么含有________的质因数．这表明，除质数p 1，p 2，…，p n 之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个．解析：由反证法的步骤可得．答案：质数只有有限多个除p 1，p 2，…，p n 之外9．用反证法证明：过已知直线a 外一点A 有且只有一条直线b 与已知直线a 平行．证明：由两条直线平行的定义可知，过点A 至少有一条直线与直线a 平行．假设过点A 还有一条直线b ′与已知直线a 平行，即b ∩b ′＝A ，b ′∥a .因为b ∥a ，由平行公理知b ′∥b .这与假设b ∩b ′＝A 矛盾，所以假设错误，原命题成立．10．已知f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明方程f (x )＝0没有负数根．证明：假设x 0是f (x )＝0的负数根，则x 0<0且x 0≠－1且ax 0＝－x 0－2x 0＋1，由0<ax 0<1⇒0<－x 0－2x 0＋1<1，解之得12<x 0<2，这与x 0<0矛盾，所以假设不成立．故方程f (x )＝0没有负实根．[B 组能力提升]1．已知直线a ，b 为异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b 的位置关系为( )A ．一定是异面直线B ．一定是相交直线C ．不可能是平行直线D ．不可能是相交直线解析：假设c ∥b ，而由c ∥a ，可得a ∥b ，这与a ，b 异面矛盾，故c 与b 不可能是平行直线．答案：C2．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a 、b 为实数)”，其反设为________．解析：“a 、b 全为0”即是“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0”．答案：a ，b 不全为03．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数)，且a >b ，那么两个数列中序号与数值均相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得a n ＝b n ，由题意a >b ，n ∈N *，则恒有an >bn ，从而an ＋2>bn ＋1恒成立，∴不存在n 使a n ＝b n .答案：04．已知a ，b ，c ∈(0,1)．求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14，证明：假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14. 因为0<a <1,0<b <1，所以1－a >0. 由基本不等式－a ＋b 2≥－a b >12同理－b ＋c 2>12，－c ＋a 2>12以上三个不等式相加－a ＋b 2＋1－b ＋c 2＋－c ＋a 2>32，即32>32. 这是不可能的．故(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14. 5．设{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n .证明数列{c n }不是等比数列．证明：假设数列{c n }是等比数列，则(a n ＋b n )2＝(a n －1＋b n －1)(a n ＋1＋b n ＋1)．①因为{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p ，q ，所以a 2n ＝a n －1a n ＋1，b 2n ＝b n －1b n ＋1.代入①并整理，得2a n b n ＝a n ＋1b n －1＋a n －1b n ＋1 ＝a n b n ⎝ ⎛⎭⎪⎫p q ＋q p ，即2＝p q ＋q p .②当p ，q 异号时，p q ＋q p <0，与②相矛盾；当p ，q 同号时，由于p ≠q ，所以p q ＋q p>2，与②相矛盾．故数列{c n }不是等比数列．。

高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法a22a高二22数学

12/13/2021
当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，
可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：
结论词
反设词
结论词
反设词
至少有一个至多有一个
一个也没有至少有两个
对所有 x 成立存在某个 x0 不成立对任意 x 不成立存在某个 x0 成立
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2．(2014·高考山东卷)用反证法证明命题“设 a，b 为实数，则方程 x3＋ax＋b＝0 至少有一个实根”时，要做的假设是( ) A．方程 x3＋ax＋b＝0 没有实根 B．方程 x3＋ax＋b＝0 至多有一个实根 C．方程 x3＋ax＋b＝0 至多有两个实根 D．方程 x3＋ax＋b＝0 恰好有两个实根解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程 x3＋ax＋b＝0 没有实根”．答案：A
因为 x>0 且 y>0，
所以 1＋x≥2y 且 1＋y≥2x，
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两式相加，得 2＋x＋y≥2x＋2y，所以 x＋y≤2，这与已知条件 x＋y>2 矛盾，因此1＋y x<2 和1＋x y<2 中至少有一个成立．
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探究三用反证法证明唯一性命题
[典例 3] 求证：两条相交直线有且只有一个交点． [证明] 已知：a与b是两条相交直线，求证：a与b有且只有一个交点．证明：假设结论不正确，则有两种可能：a与b无交点，或不止有一个交点．若直线a，b无交点，则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾．若直线a，b不止有一个交点，则至少有两个交点A和B，
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[随堂训练] 1．用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于 60°”时，应假设( ) A．三个内角都不大于 60° B．三个内角都大于 60° C．三个内角至多有一个大于 60° D．三个内角至多有两个大于 60°

【2019最新】高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法优化练习

2.2.2 反证法[课时作业] [A 组基础巩固]1．命题“△ABC 中，若∠A ＞∠B ，则a ＞b ”的结论的否定应该是( ) A ．a ＜b B ．a ≤b C ．a ＝bD ．a ≥b解析：“a ＞b ”的否定应为“a ＝b 或a ＜b ”，即a ≤b .故应选B. 答案：B2．用反证法证明命题：“a ，b ，c ，d ∈R ，a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，且ac ＋bd ＞1，则a ，b ，c ，d 中至少有一个负数”时的假设为( )A ．a ，b ，c ，d 全都大于等于0B ．a ，b ，c ，d 全为正数C ．a ，b ，c ，d 中至少有一个正数D ．a ，b ，c ，d 中至多有一个负数解析：至少有一个负数的否定是一个负数也没有，即a ，b ，c ，d 全都大于等于0. 答案：A3．“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”的否定正确的为( ) A ．a ，b ，c 都是奇数 B ．a ，b ，c 都是偶数 C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a ，b ，c 的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数．所以否定正确的是a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数．答案：D4．给定一个命题“已知x 1＞0，x 2≠1且x n ＋1＝x 3n ＋3x n3x 2n ＋1，证明对任意正整数n 都有x n ＞x n ＋1”，当此题用反证法否定结论时应是( )A ．对任意正整数n 有x n ≤x n ＋1B ．存在正整数n 使x n ≤x n ＋1C ．存在正整数n 使x n ＞x n ＋1D ．存在正整数n 使x n ≥x n －1且x n ≥x n ＋1解析：“对任意正整数n 都有x n ＞x n ＋1”的否定为“存在正整数n 使x n ≤x n ＋1”．答案：B5．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c中( )A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2解析：⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1c∵a ，b ，c ∈(－∞，0)，∴a ＋1a＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ≤－2，b ＋1b＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ≤－2，c ＋1c ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1c ≤－2， ∴⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ≤－6， ∴三数a ＋1b、c ＋1a、b ＋1c中至少有一个不大于－2，故应选C. 答案：C6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________________________________________________________________________．解析：“至少有一个”的否定是“没有一个”．答案：没有一个是三角形或四边形或五边形7．△ABC 中，若AB ＝AC ，P 是△ABC 内的一点，∠APB >∠APC ，求证∠BAP <∠CAP .用反证法证明时的假设为________．解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP <∠CAP 的对立面是∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP >∠CAP .答案：∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP >∠CAP8．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A ＝∠B ＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A ，∠B ，∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A ＝∠B ＝90°. 正确顺序的序号排列为________．解析：由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.答案：③①②9．已知a ≥－1，求证以下三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实数解．证明：假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：⎩⎪⎨⎪⎧a 2－－4a ＋＜0a －2－4a 2＜0a 2＋4×2a ＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12a ＞13或a ＜－1－2＜a ＜0⇒－32＜a ＜－1，这与已知 a ≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．10．求证：不论x ，y 取何非零实数，等式1x ＋1y ＝1x ＋y 总不成立．证明：假设存在非零实数x ，y 使得等式1x ＋1y ＝1x ＋y 成立．于是有y (x ＋y )＋x (x ＋y )＝xy ，即x 2＋y 2＋xy ＝0，即(x ＋y 2)2＋34y 2＝0.由y ≠0，得34y 2>0.又(x ＋y2)2≥0，所以(x ＋y 2)2＋34y 2>0.与x 2＋y 2＋xy ＝0矛盾，故原命题成立．[B 组能力提升]1．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中一位获奖，有人走访了这四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：若甲获奖，则甲、乙、丙、丁四位歌手说的话都是假的，同理可推出乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．答案：C2．若△ABC 能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不确定解析：分△ABC 的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD (点D 在BC 上)，则∠ADB ＋∠ADC ＝π，若∠ADB 为钝角，则∠ADC 为锐角．而∠ADC >∠BAD ，∠ADC >∠ABD ，△ABD与△ACD 不可能相似，与已知不符，只有当∠ADB ＝∠ADC ＝∠BAC ＝π2时，才符合题意．答案：B3．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数)，且a >b ，那么两个数列中序号与数值均相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得a n ＝b n ，由题意a >b ，n ∈N *，则恒有an >bn ，从而an ＋2>bn ＋1恒成立，∴不存在n 使a n ＝b n .答案：04．完成反证法证题的全过程．设a 1，a 2，…，a 7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p 为偶数．解析：据题目要求及解题步骤，因为a 1－1，a 2－2，...，a 7－7均为奇数，所以(a 1－1)＋(a 2－2)＋...＋(a 7－7)也为奇数．即(a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋...＋7)为奇数．又因为a 1，a 2，...，a 7是1,2，...，7的一个排列，所以a 1＋a 2＋...＋a 7＝1＋2＋...＋7，故上式为0. 所以奇数＝(a 1－1)＋(a 2－2)＋...＋(a 7－7) ＝(a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋...＋7)＝0. 答案：(a 1－1)＋(a 2－2)＋...＋(a 7－7) (a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋ (7)5．已知a ，b ，c 都是小于1的正数，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 中至少有一个不大于14.证明：假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14，即(1－a )b ＞14，(1－b )c ＞14，(1－c )a ＞14.∵a ，b ，c 都是小于1的正数， ∴－a b ＞12，－b c ＞12，－c a ＞12，∴－a b ＋－b c ＋－c a ＞32.(*)又∵－a b ≤1－a ＋b2，－b c ≤1－b ＋c2，－c a ≤1－c ＋a2，∴－a b ＋－b c ＋－c a ≤1－a ＋b 2＋1－b ＋c 2＋1－c ＋a2＝3－a ＋b ＋c ＋a ＋b ＋c 2＝32(当且仅当1－a ＝b,1－b ＝c,1－c ＝a ，即a ＝b ＝c ＝12时，等号成立)，与(*)式矛盾．∴假设不成立，原命题成立，故(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 中至少有一个不大于14.6．求证：抛物线上任取四个不同点所组成的四边形不可能是平行四边形．证明：如图，设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，在抛物线上任取四个不同点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则y 2i ＝2px i (i ＝1,2,3,4)，于是直线AB 的斜率为k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2py 1＋y 2，同理：k BC ＝2p y 3＋y 2，k CD ＝2p y 4＋y 3，k DA ＝2py 1＋y 4. 假设四边形ABCD 为平行四边形，则有k AB ＝k CD ，k BC ＝k DA ，即有⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋y 1＝y 4＋y 3 ①y 3＋y 2＝y 1＋y 4 ②①－②得y 1－y 3＝y 3－y 1， ∴y 1＝y 3，同理y 2＝y 4，则x 1＝y 212p ＝y 232p＝x 3，同理x 2＝x 4，由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 3y 1＝y 3，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 4y 2＝y 4.显然A ，C 重合，B ，D 重合．这与A ，B ，C ，D 为抛物线上任意四点矛盾，故假设不成立．∴四边形ABCD 不可能是平行四边形.。

高中数学第二章推理与证明 2.2 直接证明与间接证明反证法证明素材新人教A版选修22

反证法证明
反证法的证明主要用到“一个命题与其逆否命题同真假”的结论，为什么？这个结论可以用穷举法证明：
某命题：若A则B，则此命题有4种情况：
1.当A为真，B为真，则A→B为真，得﹁B﹁A为真；
2.当A为真，B为假，则A→B为假，得﹁B→﹁A为假；
3.当A为假，B为真，则A→B为真，得﹁B→﹁A为真；
4.当A为假，B为假，则A→B为真，得﹁B→﹁A为真；
∴一个命题与其逆否命题同真假
即关于〉=〈的问题：
大于 -〉反义：小于或等于
都大于-〉反义：至少有一个不大于
小于 -〉反义：大于或等于
都小于-〉反义：至少有一个不小于
即反证法是正确的。

与若A则B先等价的是它的逆否命题若﹁B则﹁A
假设﹁B,推出﹁A,就说明逆否命题是真的,那么原命题也是真的.
但实际推证的过程中,推出﹁A是相当困难的,所以就转化为了推出与﹁A相同效果的内容即可,这个相同效果就是与A(已知条件)矛盾,或是与已知定义,定理,大家都知道的事实等矛盾.
1。

【2020】最新高中数学第2章推理与证明2-2直接证明与间接证明2-2-2反证法学案新人教A版选修1-2

从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，
故，，不成等差数列．
[规律方法]
1．用反证法证明否定性命题的适用类型
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．
2．用反证法证明数学命题的步骤
[跟踪训练]
1．设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直．
【2020】最新高中数学第2章推理与证明2-2直接证明与间接证明2-2-2反证法学案新人教A版选修1-2
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2.2.2 反证法
学习目标：1.了解反证法是间接证明的一种基本方法．(重点、易混点)2. 理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．(重点、难点)
[自主预习·探新知]
反证法的定义及证题的关键
思考1：反证法的实质是什么？
[提示]反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的．
思考2：有人说反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理，这种说法对吗？为什么？
[提示]反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是逻辑非常严密的演绎推理．
B．有三个内角是钝角
C．至少有两个内角是钝角
D．没有一个内角是钝角
C[“最多只有一个”的否定是“至少有两个”，故选C.]
2．如果两个实数之和为正数，则这两个数( )
【导学号：48662085】
A．一个是正数，一个是负数
B．两个都是正数
C．至少有一个正数
D．两个都是负数
C[假设两个数分别为x1、x2，且x1≤0，x2≤0，则x1＋x2≤0，这与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C.]

高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法课件新人教B版选修22

2 -2
1 -2
−
2 +1 1 +1
> 0.
故函数 f(x)在(-1,+∞)内为增函数.
(2)假设存在 x0<0(x0≠-1),满足 f(x0)=0,则
0 = −
0 -2
, 且0<
0 +1
0 -2
∴0<−
0 +1
<
0 < 1,
1
1, 即
2
< 0 < 2, 与假设x0<0 矛盾,故方程 f(x)=0
2.2.2
反证法
第一页，共21页。
1.掌握间接证明的常见(chánɡ jiàn)方法(反证法)的推理特点.
2.学会写出命题的否定,并以此作条件推出矛盾结论,即学习用反证法证
明简单题目.
第二页，共21页。
反证法
一般地,由证明p⇒q转向证明:¬ q⇒r⇒…⇒t,t与假设矛盾,或与某个真
命题矛盾.从而判定¬ q为假,推出q为真的(zhēn de)方法,叫做反证法.
处是“假设”易错写成“设”.
反证法不是直接证明结论,而是先否定结论,在否定结论的基础上运用演
绎推理,导出矛盾,从而肯定结论的正确性.
第八页，共21页。
题型一
题型二
题型三
题型四
命题的结论(jiélùn)是否定型
【例题 1】已知函数 f(x)=a
x
-2
+ +1 (
> 1).
(1)证明函数f(x)在(-1,+∞)内为增函数;
答案：D
第十九页，共21页。
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