九年级数学上册(人教版)配套教学学案 24.1.3 弧、弦、圆心角

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人教版九上数学第24章圆 24.1.3 弧弦圆心角教案+学案

人教版九年级数学（上）第24章圆24.1圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角教案【教材内容】1．圆心角的概念；2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，•相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，•那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．【教学目标】1．了解圆心角的概念;2．掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．【教学重点】通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题．【教学难点】弧、弦、圆心角之间的相等关系是论证同圆或等圆中弧相等、角相等、线段相等的主要依据．【教学过程设计】一、情境导入人类为了获得健康和长寿，经过不断的实践探索，到十九世纪末才提出“生命在于运动”的口号．要健康长寿，更重要的是每天要摄取均衡的营养包括蛋白质、糖类、脂肪、维生素、矿物质、纤维和水．根据中国营养学会公布的“中国居民平衡膳食指南”，每人每日摄取量如图．你能求出各扇形的圆心角吗？二、合作探究知识点一：圆心角【类型一】圆心角的识别例1 如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是( )A ．∠ABCB ．∠AOBC ．∠OABD ．∠OCB 解析：根据圆心角的概念，∠ABC 、∠OAB 、∠OCB 的顶点分别是B 、A 、C ，都不是圆心O ，因此都不是圆心角．只有B 中的∠AOB 的顶点在圆心，是圆心角．故选B.方法总结：确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是．知识点二：圆心角的性质【类型一】利用圆心角的性质求角例2 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，C 、D 是BE ︵的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE 的大小是( )A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°解析：∵C 、D 是BE ︵的三等分点，∴BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE .∵∠AOE ＝60°，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE ＝13×(180°－60°)＝40°，∴∠COE ＝80°.故选C.方法总结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点三：圆心角、弦、弧之间的关系【类型一】结合三角形内角和求角例3 如图所示，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B ＝70°，则∠A ＝________．解析：由AB ︵＝AC ︵，得这两条弧所对的弦AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C .因为∠B ＝70°，所以∠C ＝70°.由三角形的内角和定理可得∠A 的度数为40°.故答案为40°.方法总结：在应用弧、弦、圆心角之间的关系定理时，注意根据具体的需要选择有关部分，本题只需由两弧相等，得到两弦相等就可以了．【类型二】弧相等的简单证明例4 如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是OA ，OB 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，垂足分别为M ，N .求证：AC ︵＝BD ︵.解析：根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，可先证明它们所对的圆心角相等或它们所对的弦相等．证法1：如图所示，连接OC ，OD ，则OC ＝OD .∵OA ＝OB .又M ，N 分别是OA ，OB 的中点，∴OM ＝ON .又∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，∴∠CMO ＝∠DNO ＝90°.∴Rt △CMO ≌Rt △DNO .∴∠1＝∠2.∴AC ︵＝BD ︵.证法2：如图①所示，分别延长CM ，DN 交⊙O 于点E ，F .∵OM ＝12OA ，ON ＝12OB ，OA ＝OB ，∴OM ＝ON .又∵OM ⊥CE ，ON ⊥DF ，∴CE ＝DF ，∴CE ︵＝DF ︵.又∵AC ︵＝12CE ︵，BD ︵＝12DF ︵.∴AC ︵＝BD ︵.图①图②证法3：如图②所示，连接AC ，BD .由证法1，知CM ＝DN .又∵AM ＝BN ，∠AMC ＝∠BND ＝90°，∴△AMC ≌△BND .∴AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵.方法归纳：在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等．知识点四：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等例5 如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为EF ．（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE=OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？•为什么？∠AOB 与∠COD 呢？解析：（1）要说明OE=OF ，只要在直角三角形AOE 和直角三角形COF 中说明AE=CF ，即说明AB=CD ，因此，只要运用前面所讲的定理即可．（2）∵OE=OF ，∴在Rt △AOE 和Rt △COF 中，又有AO=CO 是半径，∴Rt △AOE ≌Rt•△COF ，∴AE=CF ，∴AB=CD ，又可运用上面的定理得到AB =CD 解：（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE=OF 理由是：∵∠AOB=∠COD ∴AB=CD∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD ∴AE=12AB ，CF=12CD ∴AE=CF 又∵OA=OC ∴Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴OE=OF（2）如果OE=OF ，那么AB=CD ，AB =CD ，∠AOB=∠COD 理由是：∵OA=OC ，OE=OF ∴Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴AE=CF又∵OE ⊥AB ，OF ⊥CDD∴AE=12AB，CF=12CD∴AB=2AE，CD=2CF∴AB=CD∴AB=CD，∠AOB=∠COD方法归纳：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．三、教学小结师生一起总结本节学习知识要点：1．圆心角的概念；2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用．【板书设计】24.1 圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角1.圆心角的识别2.圆心角的性质3.弧、弦、圆心角之间的关系4.运用弧、弦、圆心角的关系进行证明与计算【课堂检测】1．(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的弦也．在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，•所对的弦也．(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，•所对的也相等．2. 如图，在⊙O中，AB=AC∠ACB=60 °，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC3. 如图，AB，CD是⊙O的两条弦。

人教版数学九年级上册《24.1.3弧、弦、圆心角》教学设计

人教版数学九年级上册《24.1.3弧、弦、圆心角》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册《24.1.3弧、弦、圆心角》是本册教材的重要内容之一。

它主要介绍了弧、弦、圆心角的定义及其相互关系。

这部分内容对于学生来说，有助于深化对圆的理解，为后续学习圆的性质和应用打下基础。

教材通过生动的实例和丰富的练习，引导学生探索和发现弧、弦、圆心角之间的规律，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和变换有一定的了解。

他们对圆的概念和性质有一定的认识，但弧、弦、圆心角的概念和关系可能还比较模糊。

因此，在教学过程中，教师需要从学生的实际出发，通过直观的教具和生动的实例，帮助学生理解和掌握弧、弦、圆心角的定义和相互关系。

三. 教学目标1.理解弧、弦、圆心角的定义，掌握它们的相互关系。

2.能够运用弧、弦、圆心角的性质解决实际问题。

3.培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。

四. 教学重难点1.弧、弦、圆心角的定义及其相互关系。

2.运用弧、弦、圆心角的性质解决实际问题。

五. 教学方法1.直观演示法：通过实物演示和动画展示，让学生直观地理解弧、弦、圆心角的定义和相互关系。

2.引导发现法：教师引导学生观察、思考和探索，发现弧、弦、圆心角之间的规律。

3.练习法：通过丰富的练习题，巩固学生对弧、弦、圆心角的理解和应用。

六. 教学准备1.准备相关的实物教具，如圆板、量角器等。

2.制作课件，包括弧、弦、圆心角的定义和相互关系的动画演示。

3.准备练习题，涵盖各种类型的题目，以便进行巩固和拓展。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过实物演示，如拿一个圆板，让学生观察和描述圆板上的弧、弦和圆心角。

引导学生回顾圆的基本概念，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）教师利用课件，生动地展示弧、弦、圆心角的定义和相互关系。

通过动画演示，让学生直观地理解弧、弦、圆心角之间的关系。

人教版九年级数学上册：24.1.3 弦、弧、圆心角教案

2.如图，在⊙O 中， AB、CD 是两条弦，OE⊥AB，OF⊥ CD，垂足分别为 EF．（1）如果∠AOB=∠COD，那么 OE 与 OF 的大小有什么关系？为什么？
三、课堂练习：P85 1,2
四、小结归纳： 1．圆心角概念． 2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量
学生思考，明白该前提条件的不可缺性，师生分析，进一步理解定理. 教师引导学生类比定理独立用类似的方法进行探究，得到推论
和它的推论，并进行推广，得到其他几个定理，完整的把握所学知识. 给出一般叙述，以其更好的应用.
在白板上直接用笔
分析填空解答，使
教学形式变的灵活
多样。及时运用所
学知识解决问题，
培养学生的数学应
用意识和解决问题
的能力。
学生审题，理清题中的数量关系，由本节课知识思考解决方法.
培养学生解决问题的意识和能力，体会转化思想，化未知为已知，从而解决本题.
试得出关系定理，再运用多媒体形象直
进行严格的几何证观的展现了的圆心
明.
角、弧、弦之间的
学生思考，类比同圆关系，引入课题顺中得到的结论进行理成章。并通过改探究，猜想，并验证。变角顶点的位置这
种简易的操作让学
生加深圆心角的印
象。
感受类比思想，类
比中全面透彻地理
。
解和掌握关系定理
圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 3.分析定理：去掉“在同圆或等圆中”这个条件，行吗？ 4.定理拓展： ○1 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，• 所对的弦也分别相等吗？ ○2 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，• 所对的弧也分别相等吗？综上得到在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，所对的圆心角也相等．综上所述，同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等．（三）、定理应用 1.课本例 3

九年级数学上册(人教版)24.1.3弧、弦、圆心角教学设计

2.教学过程：
（1）学生观察弓箭图片，思考并回答问题。
（2）教师总结：弓箭的形状类似于圆的一部分，这就是我们今天要学习的弧、弦、圆心角。
（二）讲授新知，500字
1.教学活动设计：
在讲授新知环节，我将通过讲解、举例、演示等方法，让学生掌握弧、弦、圆心角的概念及其相互关系。
2.教学过程：
（1）教师讲解弧、弦、圆心角的概念，并通过黑板演示相关图形。
为了巩固本节课所学内容，确保学生对弧、弦、圆心角的概念、性质及相互关系有更深入的理解，特此布置以下作业：
1.基础巩固题：
（1）请学生完成课本24.1.3节的练习题1、2、3，以巩固弧、弦、圆心角的基本概念。
（2）从生活实例中找出至少3个与弧、弦、圆心角相关的现象，并简要说明它们之间的关系。
2.能力提升题：
（2）学生跟随教师思路，理解并掌握相关概念。
（3）教师通过实例讲解弧、弦、圆心角的相互关系，如圆周角定理等。
（三）学生小组讨论，500字
1.教学活动设计：
在此环节，我将组织学生进行小组讨论，旨在培养学生的合作精神和解决问题的能力。
2.教学过程：
（1）教师提出讨论主题，如：“如何证明圆周角定理？”
（2）学生分组讨论，共同探究解决问题的方法。
（二）过程与方法
1.通过观察、操作、猜想、验证等教学活动，引导学生自主探究弧、弦、圆心角的性质，培养他们的观察力和逻辑思维能力。
2.运用生活中的实例，让学生感受数学知识在实际问题中的应用，提高他们运用数学知识解决实际问题的能力。
3.采用小组合作、讨论交流等形式，培养学生的团队协作能力和语言表达能力。
（3）各小组汇报讨论成果，教师给予点评和指导。
（四）课堂练习，500字

人教版九年级数学上册(教案)24.1.3 弧、弦、圆心角教案

24．1.3弧、弦、圆心角教学目标1．了解圆心角的概念．2．探索并掌握弧、弦、圆心角的关系，了解圆的中心对称性和旋转不变性．3．能用弧、弦、圆心角的关系解决圆中的计算和证明．教学重点弧、弦、圆心角关系定理及推论．教学难点定理的探索、证明过程．教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)教学过程设计一、创设情景明确目标剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？二、自主学习指向目标1．自读教材第83至84页．2．学习至此：请完成学生用书“课前预习”部分．三、合作探究达成目标探究点一圆心角活动一：出示教材第83页“探究”，问1：你能得到什么结论？问2：把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？【展示点评】圆是中心对称图形，同时也具有旋转对称性，顶点在圆心的角叫做圆心角．【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点一探究点二弧、弦、圆心角之间的关系活动二：出示教材第84页思考，问1：AB和A'B'，弦AB和弦A'B'相等吗？问2：如何证明它们的相等关系．思考：圆是旋转对称的，即圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．那么，弧、弦、圆心角之间有何关系？【展示点评】定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．符号语言：在⊙O中，∵∠AOB＝∠A′OB′，∴AB＝A′B′.推论：1.__________________.2.__________________．符号语言：1.______________.2.________________．【小组讨论】同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量有什么关系？【反思小结】定理和推论都是以“在同圆或等圆中”为前提的，否则不成立．定理和推论可总结概括为：在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弦，两条弧中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点二四、总结梳理内化目标正确理解和使用弧、弦、圆心角三者关系：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，即一项相等，其余二项相等．五、达标检测反思目标1．已知圆O的半径为5，弦AB的长为5，则弦AB所对的圆心角∠AOB＝__60°或300°__．第2题图2．如图，在⊙O中，AB＝AC，∠B＝70°，则∠A等于__40°__．3．在⊙O中，圆心角∠AOB＝90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径的长为( B )A．42 B．82 C．24 D．164．如图，AB是⊙O的直径，BC＝CD, 求证：OC∥AD.【证明】连接OD.∵BC＝CD，∴∠BOC＝∠COD，∴∠BOD＝2∠COD.∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠BOD＝∠OAD＋∠ODA＝2∠ODA，∴∠COD＝∠ODA，∴OC∥AD.六、布置作业巩固目标1．上交作业教材第89页第3，4题．2．课后作业见学生用书的“课后作业”部分．教学反思。

人教版数学九年级上册教学设计24.1.3《弧、弦、圆心角》

人教版数学九年级上册教学设计24.1.3《弧、弦、圆心角》一. 教材分析《弧、弦、圆心角》是人教版数学九年级上册第24章的一部分，主要介绍了圆的基本概念和性质。

这一节内容通过讲解弧、弦和圆心角的关系，使学生掌握圆的性质和圆心角、弧、弦之间的联系。

教材以生活中的实例引入，激发学生的学习兴趣，接着通过观察、操作、推理等过程，让学生在实践中掌握知识。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对图形有了一定的认识。

他们在学习本节课的内容时，需要将已有的知识与新的知识相结合，理解圆心角、弧、弦之间的关系。

同时，学生需要具备观察、操作、推理的能力，通过实践来验证圆的性质。

三. 教学目标1.理解圆心角、弧、弦的概念及它们之间的关系。

2.掌握圆的性质，能运用圆的性质解决实际问题。

3.培养学生的观察能力、操作能力和推理能力。

四. 教学重难点1.重点：圆心角、弧、弦的概念及它们之间的关系。

2.难点：圆的性质的证明和应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过观察、操作、推理来探究圆的性质。

2.运用实例引入，激发学生的学习兴趣。

3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.准备相关教学图片和实例，用于导入和讲解。

2.准备圆规、直尺等学具，让学生动手操作。

3.准备练习题和拓展题，用于巩固和拓展知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示生活中的圆形物体，如自行车轮、地球等，引导学生关注圆的形状。

提问：“你们知道这些物体为什么是圆形的吗？”让学生思考圆的特性。

2.呈现（10分钟）介绍圆心角、弧、弦的概念，并用图片和实物进行展示。

讲解圆心角、弧、弦之间的关系，引导学生理解圆的性质。

3.操练（10分钟）让学生分组，利用圆规、直尺等学具，自己画出一个圆，并尝试找出圆心角、弧、弦。

各小组汇报结果，教师点评并讲解。

4.巩固（10分钟）出示一组练习题，让学生独立完成。

题目包括判断题、选择题和填空题，涵盖圆心角、弧、弦的概念和性质。

人教版数学九年级上册24.1.3 弧、弦、圆心角教案

24.1.3弧、弦、圆心角●情景导入(1)观察图片，我们会发现圆绕着圆心旋转任意一个角度，所得的图形与原图形重合．(2)如图①，∠AOB的顶点在圆心上，我们把顶点在圆心的角叫做圆心角．(3)如图②，连接AB，圆心角∠AOB所对的弦为弦AB，所对的弧为AB，那么圆心角与它所对的弧、弦这三个量之间有什么关系呢？【教学与建议】教学：通过实验操作，探索圆的旋转不变性与“如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧、弦是不是相等”，激发学生的学习兴趣．建议：尽量让学生自己动手操作，引导学生得出等量关系．●归纳导入(1)圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？【归纳】圆是中心对称图形，对称中心是O点．(2)如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，我们发现∠AOB__＝__∠A′OB′，弦AB__＝__A′B′，AB__＝__A′B′.【教学与建议】教学：通过归纳中心对称图形的定义，引入圆这个中心对称图形和圆的旋转性质，得出圆心角、弧、弦之间的关系．建议：让学生操作试验，得出圆心角、弧、弦的等量关系．命题角度1利用弧、弦、圆心角之间的关系进行计算在同圆或等圆中，两个相等圆心角，它们所对的弧、弦、弦心距对应相等．【例1】(1)如图，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是(D)A．CE＝DE B．BC＝BDC．∠BAC＝∠BAD D．AC＞AD[第（1）题图][第（2）题图](2)如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M，N，BA，DC的延长线交于点P.连接OP.下列四个说法中：①AB＝CD；②OM＝ON；③PB＝PD；④∠BPO＝∠DPO，其中正确的是__①②③④__．(填序号)命题角度2利用弧、弦、圆心角之间的关系进行证明在同圆或等圆中，利用弧、弦、圆心角之间的关系定理证明圆心角、弧、弦相等.【例2】(1)如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BD∥OC.求证：AC＝CD.证明：∵OB＝OD，∴∠D＝∠B.∵BD∥OC，∴∠D＝∠COD，∠AOC＝∠B，∴∠AOC＝∠COD，∴AC＝CD.(2)如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，且OD∥BC.求证：AD＝DC.证明：如图，连接OC.∵OD∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠3.又∵OB＝OC，∴∠B＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DC.高效课堂教学设计1．能识别圆心角．2．探索并掌握弧、弦、圆心角的关系，了解圆的中心对称性和旋转不变性．3．能用弧、弦、圆心角的关系解决圆中的计算题、证明题．▲重点探索圆心角、弧、弦之间的关系定理并利用其解决相关问题．▲难点圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆中”条件的理解及定理的证明．◆活动1新课导入1．你能举出生活中的圆形商标的实例吗？(至少三个)宝马车商标：星巴克标志：曼秀雷敦标志：2．把这些圆形图案绕圆心旋转一定的角度，你有什么发现？旋转前后圆中的弧、弦会有变化吗？答：图案绕圆心旋转一定的角度后能与自身重合，旋转前后圆中的弧、弦不会有变化．◆活动2探究新知1．材料P83探究．提出问题：(1)把圆绕圆心旋转180°，所得图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论？(2)圆是中心对称图形吗？对称中心是什么？(3)把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得图形与原图形重合吗？学生完成并交流展示．2．教材P84思考．提出问题：(1)我们把∠AOB连同AB绕圆心O旋转，使OA与OA′重合，旋转前后你能发现哪些等量关系？(2)若∠AOB和∠A′OB′分别在两个相等的圆中，上述等量关系还存在吗？(3)总结你所发现的规律；(4)反过来，在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角、所对的弦有什么关系？如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角、所对的弧有什么关系？◆活动3知识归纳1．顶点在__圆心__的角叫做圆心角，能够重合的圆叫做__等圆__；能够__重合__的弧叫做等弧；圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的的图形重合，这就是圆的__旋转不变__性．2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相等__，所对的弦也__相等__．3．在同圆或等圆中，两个__圆心角__，两条__弦__，两条__弧__中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．◆活动4例题与练习例1教材P84例3.例2下列说法正确吗？为什么？(1)如图，因为∠AOB＝∠A′OB′，所以AB＝A′B′；(2)在⊙O和⊙O′中，如果弦AB＝A′B′，那么AB＝A′B′.解：(1)(2)都是不对的．在图中，因为不在同圆或等圆中，不能用定理．对于(2)也缺少了等圆的条件．例3如图，AD＝BC.求证：AB＝CD.证明：∵AD＝BC，∴AD＝BC.∵AC＝AC，∴AC＋AD＝AC＋BC.∴DC＝AB.∴AB＝CD.练习1．教材P85练习第1，2题．2．如图，在⊙O中，已知弦AB＝DE，OC⊥AB，OF⊥DE，垂足分别为C，F，则下列说法中正确的有(D)①∠DOE＝∠AOB；②AB＝DE；③OF＝OC；④AC＝EF.A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，AB是⊙O的直径，AC＝CD，∠COD＝60°.(1)△AOC是等边三角形吗？请说明理由；(2)求证：OC∥BD.解：(1)△AOC是等边三角形．理由如下：∵AC＝CD，∴∠AOC＝∠COD＝60°.又∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形；(2)∵AC＝CD，∴OC⊥AD.∵∠AOC＝∠COD＝60°，∴∠BOD＝180°－(∠AOC＋∠COD)＝60°.∵OD＝OB，∴△ODB为等边三角形．∴∠ODB＝60°，∴∠ODB＝∠COD＝60°，∴OC∥BD.◆活动5课堂小结弧、弦、圆心角之间的关系是证明圆中等弧、等弦、等圆心角的常用方法．1．作业布置(1)教材P89习题24.1第2，3题；(2)对应课时练习．2．教学反思。

人教版数学九年级上册《24.1.3弧、弦、圆心角》教学设计1

人教版数学九年级上册《24.1.3弧、弦、圆心角》教学设计1一. 教材分析《24.1.3弧、弦、圆心角》是人教版数学九年级上册的一章，主要介绍了圆的基本概念和性质。

本章内容是学生在学习了直线、圆等基础知识后的进一步拓展，对于学生理解和掌握圆的相关知识具有重要意义。

本节课的内容包括弧、弦、圆心角的定义及其关系，通过学习，学生能够理解弧、弦、圆心角的含义，掌握它们之间的相互关系，并能运用这些知识解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对直线、圆等概念有一定的了解。

但是，对于弧、弦、圆心角这些概念，学生可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐渐理解和掌握。

同时，学生在这个年龄段好奇心强，善于接受新知识，但同时也可能存在一定的难度，因此需要教师在教学过程中注重启发引导，激发学生的学习兴趣，帮助他们理解和掌握知识。

三. 教学目标1.知识与技能目标：通过学习，使学生了解弧、弦、圆心角的定义及其关系，能够运用这些知识解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养他们积极思考、合作交流的良好学习习惯。

四. 教学重难点1.重点：弧、弦、圆心角的定义及其关系。

2.难点：理解和运用弧、弦、圆心角之间的关系解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实例和图片，引导学生观察和思考，激发学生的学习兴趣。

2.问题驱动法：提出问题，引导学生思考和讨论，培养学生的解决问题的能力。

3.合作学习法：小组讨论，共同解决问题，培养学生的团队合作意识。

六. 教学准备1.准备相关实例和图片，用于引导学生观察和思考。

2.准备练习题，用于巩固所学知识。

3.准备课件，用于辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例和图片，引导学生观察和思考，引出弧、弦、圆心角的概念。

2.呈现（10分钟）讲解弧、弦、圆心角的定义及其关系，通过动画和实物模型演示，帮助学生理解和掌握。

24.1.3弧、弦、圆心角-人教版九年级数学上册教案

24.1.3 弧、弦、圆心角-人教版九年级数学上册教案1. 教学背景本节课是人教版九年级数学上册的第24章，第一节课：弧、弦、圆心角。

本节课的主要内容是弧、弦、圆心角的定义和性质。

2. 教学目标2.1 知识与技能1.熟练掌握弧、弦、圆心角的基本概念。

2.能够用弧、弦、圆心角的定义和性质解决与圆有关的问题。

2.2 过程与方法1.通过观察、发现、实验，逐步理解弧、弦、圆心角的概念。

2.通过举例、练习、讨论，提高解题的能力和灵活运用定义和性质的方法。

2.3 情感态度1.培养学生对于原理性、抽象性知识的兴趣和好奇心。

2.培养学生的探究精神和创新意识。

3. 教学重难点3.1 教学重点1.弧、弦、圆心角的定义。

2.弧、弦、圆心角的性质。

3.2 教学难点1.弧、弦、圆心角的性质的灵活运用。

2.弧度制的引入和应用。

4. 教学过程4.1 导入环节1.师生互动：教师抛出问题：“你们对圆有什么认识？”学生自由发言。

2.归纳总结：教师将学生的说法进行归纳总结，导入本节课的学习内容。

4.2 学习环节4.2.1 弧、弦、圆心角的定义1.弧：教师演示弧的定义，学生观察弧与圆的关系，归纳弧的定义。

2.弦：教师演示弦的定义，学生观察弦与圆的关系，归纳弦的定义。

3.圆心角：教师演示用圆心角来描述圆的角度，学生观察圆心角与圆的关系，归纳圆心角的定义。

4.2.2 弧、弦、圆心角的性质1.弧、弦的关系：教师演示弧、弦的关系，并引导学生讨论。

2.圆心角的关系：教师演示圆心角的关系，并引导学生讨论。

4.2.3 弧度制1.弧度的引入：教师介绍弧度制的概念。

2.弧度的应用：教师演示用弧度制来计算圆的弧长和面积。

4.3 练习环节1.提供练习题，让学生巩固知识点，加深理解。

2.师生互动，引导学生讨论解题方法和思路。

4.4 总结环节1.让学生自主总结本节课的内容。

2.总结本节课的重点和难点。

5. 作业1.完成课堂练习。

2.师生互动，引导学生联想日常生活中的弧、弦、圆心角，并写一篇关于圆的文章，展示对知识的理解和应用。

九年级数学上册(人教版)配套教学1教案24.1.3弧、弦、圆心角2

全新修订版教学设计（教案）九年级数学上册老师的必备资料家长的帮教助手学生的课堂再现人教版（RJ）24.1.3 弧、弦、圆心角教学内容1．圆心角的概念．2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，?相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，?那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．教学目标了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题．重难点、关键1．重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，?所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．2．难点与关键：探索定理和推导及其应用．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下题．已知△OAB ，如图所示，作出绕O 点旋转30°、45°、60°的图形．老师点评：绕O 点旋转，O 点就是固定点，旋转30°，就是旋转角∠BOB ′=30°．二、探索新知如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．（学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题：如图所示的⊙O 中，分别作相等的圆心角∠AOB?和∠A?′OB?′将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A ′OB ′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？=，AB=A′B ′理由：∵半径OA 与O ′A ′重合，且∠AOB=∠A ′OB ′∴半径OB 与OB ′重合∵点A 与点A ′重合，点B 与点B ′重合∴与重合，弦AB 与弦A ′B ′重合∴=，AB=A ′B ′因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？?请同学们现在动手作一作．（学生活动）老师点评：如图1，在⊙O 和⊙O ′中，?分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A ′O ′B ′得到如图2，滚动一个圆，使O 与O ′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA 与O ′A ′重合．AB ''A B AB ''A B AB ''A B BAO BAOB 'BAA 'O。

人教版数学九年级上册24.1.3弧、弦、圆心角教案

24.1.3《弧、弦、圆心角》教案教材分析本节内容主要研究的是弧、弦、圆心角的关系的推导和应用.它是在学生学习了圆的有关概念和性质后学习的，是以后学习圆周角的重要基础，同时也具有培养学生逐渐养成严密的逻辑推理能力的功能.学情分析九年级学生的心理特点是形象思维大于抽象思维和认知规律从特殊到一般.结合学生实际学习情况（已较学习了圆的相关概念和性质）进行本课设计的.从引入时实物圆的构成元素的启发引导，到弧、弦、圆心角三个量的关系的学生自主探索，再到学生与学生之间的合作交流学习，都要突出学生是探索性学习活动的主体是否能充分发挥学生自主学习、探究能力的关键.教学目标知识技能1．通过观察和实验，使学生了解圆心角的概念；2．掌握圆心角定理及其推论，并应用定理和推论解决问题；3. 感悟数学思想过程与方法1．经历用圆心角和旋转的知识探索的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．情感态度1．结合本节课特点，让学生了解数学的价值，激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望．教学重点在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦也相等及其两个推论和它们的应用．教学难点探索定理和推论，以及它们的应用．教学准备与教学媒体学案、多媒体课件、教具、人教版九年级数学课本教法及学法自主、合作、探究、体验式教学法教学过程设计教学环节教学活动师生活动设计意图环节1情境引入环节2探究新知活动1：播放古老水车保稻田的视频，利用水车引入圆的有关概念和性质．1、圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.2、圆心角所对的弧和所对的弦；3、圆的性质：圆是中心对称图形，圆具有旋转不变性.活动2：探究：任意给圆心角，对应出现三个量：圆心角，圆心角所对的弦和所对的弧，这三个量之间会有什么关系呢？（出示思考题，演示教具）思考：如图，⊙O（及⊙O1和⊙O2）中，当圆心角∠AOB•和∠A•′OB•′相等时，它们所对的弧AB和''A B、弦AB和弦A′B′有怎样的数量关系？为什么？AB=''A B，AB=A′B′理由：∵半径OA与O′A′重合，且∠AOB=∠A′OB′∴半径OB与OB′重合∵点A与点A′重合，点B与点B′重合∴AB与''A B重合，弦AB与弦A′B′重合∴AB=''A B，AB=A′B′因此，在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．播放古老水车保稻田的视频，出示水车图片，学生回答在水车上看到那些圆的基本元素.教师出示思考题，并演示教具学生思考，合作讨论,教师点名回答问题.通过观看视频，感受中国人民在生产实践中表现出的聪明才智,利用水车的形象引入课题.运用教具直观形象的表示圆心角、弧、弦三组相对应的量之间的关系让学生亲自动手，进行实验、探究、得出结论，激发学生的求知欲望，进而得到成功的体验.规范学生证明过程的书写.环节4知识应用环节5大展身手练习：1、如图，AB、CD是⊙O的两条弦。

人教版九年级上册数学教案：24.1.3弧,弦,圆心角

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解弧、弦、圆心角的基本概念。弧是圆上的一段弯曲部分，弦是圆上两点间的线段，圆心角是由圆上两条半径所夹的角。它们在几何图形的研究中具有重要意义。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过一个圆的例子，展示弧、弦、圆心角在实际中的应用，以及它们如何帮助我们解决问题。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现学生在学习弧、弦、圆心角的概念及其关系时，普遍对理论知识掌握得较好，但在实际应用方面还存在一定的困难。这可能是因为我在教学过程中，对实际案例的引入和讲解还不够充分，导致学生难以将理论知识与生活实际相结合。
在讲授新课的过程中，我发现有些学生对弧、弦、圆心角的定义理解不够深入。为了帮助学生更好地理解这些概念，我决定在今后的教学中，多使用一些直观的教具和动态演示，让学生能够更直观地感受这些几何元素之间的关系。
此外，在实践活动和小组讨论环节，学生们的参与度较高，表现积极。但我也注意到，部分学生在讨论过程中较为被动，可能是因为他们对问题的理解不够深入。针对这一问题，我计划在以后的教学中，多设计一些开放性问题，引导学生主动思考，提高他们的参与度和解决问题的能力。
在小组讨论环节，我发现学生们对于弧、弦、圆心角在实际生活中的应用有很好的想法，但在分享成果时，表达能力有待提高。为了提高学生的表达能力，我打算在今后的教学中，多给予他们发言的机会，并适时给予指导和鼓励。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“弧、弦、圆心角在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。

人教版九年级上册(新)数学同步教案24.1.3 弧、弦、圆心角

24.1圆的有关性质(第3课时)一、内容和内容解析1．内容弧、弦、圆心角之间的关系．2．内容解析弧、弦、圆心角之间的关系，是继垂径定理后圆的又一个重要性质，它是圆中论证同圆或等圆中弧相等、角相等、线段相等的主要依据，也是后继研究圆周角以及圆的其他知识的重要基础，是转化思想的具体体现．在同圆或等圆中，如果两条弧、两条弧所对的弦、两条弧所对的圆心角中有一组量相等，那么其他各组量也相等．弧、弦、圆心角之间的关系，是圆的旋转不变性的具体表现，因此在研究方法上依然采用的是利用图形变化的方法，再次体现了图形变化在发现问题、解决问题时的作用．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：弧、弦、圆心角的关系的探索与应用．二、目标及其解析1．目标(1)了解圆心角的概念．掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等，以及它们在解题中的应用．(2)在探索弧、弦、圆心角的关系的过程中体会圆的旋转不变性，在应用弧、弦、圆心角的关系的过程中体会转化思想．2．目标解析达成目标(1)的标志是：学生能识别圆心角，能理解弧、弦、圆心角的关系反映了两条弧，两条弦、两个圆心角三组量中只要其中一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也都相等，并能利用这一关系进行有关的证明．达成目标(2)的标志是：学生能从旋转的角度发现问题，并能从旋转的角度对结论进行论证；学生能将证明弦相等、弧相等、圆心角相等的问题进行转化．三、教学问题诊断分析由于学生对圆的旋转不变性不甚了解，所以在探讨圆心角、弧、弦之间的相等关系时可能感到困难，另外对等弧等的理解可能不透彻；初始阶段在证明角相等，线段相等等有关问题时受思维定势的影响，学生往往会走利用“三角形全等”的老路．本课的教学难点是：探索定理和推导及其应用．四、教学过程设计引言上节课，我们研究发现圆是轴对称图形，并且利用圆的轴对称性探索出了垂径定理，这节课继续探索圆的性质．1．探索弧、弦、圆心角之间的关系问题1圆是中心对称图形吗？将圆旋转任意角度后会出现什么情况？师生活动：学生观察课件得到“圆是中心对称图形，对称中心是圆心，而且圆绕圆心旋转任意角度都能够与原来的图形重合”的性质．设计意图：通过学生亲自动手操作发现圆的旋转不变性，为后续探究打下基础．问题2观察图1中∠1，∠2，∠3，它们有何共同特点？图1师生活动：学生观察，归纳出∠1，∠2，∠3的共同特征：顶点是圆心．教师给出圆心角定义：像∠1，∠2，∠3这样，顶点在圆心的角叫做圆心角．设计意图：通过从具体实例中归纳出圆心角的特征，帮助学生准备理解圆心的概念．问题2如图2，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A'OB'的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？师生活动：教师出示问题，教师组织学生观察、思考、讨论、交流．当学生无法证明AB＝A'B'时，教师追问：追问1：目前，我们已知的证明弧相等的方法有哪些？追问2：为什么将∠AOB绕圆心O旋转到∠A'OB' 的位置时，AB与A'B'会重合？追问3：由问题2，我们可以得出怎样的结论？请用文字语言进行概括．追问4：在等圆中是否也能得出类似的结论呢？设计意图：通过探索，使学生体会从旋转的角度可以发现问题，也可以进行结论的论证．问题3在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角有何关系？所对的弦呢？在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角有何关系？所对的弧呢？师生活动：教师启发学生对照图2，类比问题2的探索方法，判断上述判断的正确性．追问：综合以上3个发现，你能说说在同圆和等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系吗？设计意图：感受类比思想，类比中全面地理解圆心角、弧、弦之间的关系，并进一步体会从旋转角度进行论证的方法．2．应用弧，弦，圆心角之间的关系练习1：教科书第85页练习第1题．设计意图：通过此练习帮助学生进一步明确圆心角、弧、弦之间的关系的条件与结论，并使学生学会如何用符号语言表达圆心角、弧、弦之间的关系．例如图3，在⊙O 中，AB ＝AC ，∠ACB ＝60°．求证：∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ．师生活动：教师组织学生思考、讨论、交流，师生共同书写证明过程．如果学生有困难，教师可进行启发：“从圆的角度看，要求证相等的三个角属于什么角？通过本堂课的学习，圆心角相等可通过什么条件得到？”追问：通过本题，你能否谈谈学习了圆心角、弧、弦之间的关系定理之后，我们可以在圆中怎样证明两个圆心角相等？怎样证明两条弧相等？两条弦相等呢？设计意图：通过例题让学生初步学会运用圆心角、弧、弦之间的关系定理进行有关的证明，建立圆心角、弧、弦之间相等关系的相互转化意识，渗透转化思想．通过追问让学生注意反思圆心角、弧、弦之间的关系定理的作用，总结圆中证明角等、弧等、线段等的方法，积累解决数学问题的经验．练习2：教科书第85页练习第2题．设计意图：帮助学生进一步掌握运用圆心角、弧、弦之间的关系定理证明角相等、弧相等、线段相等的方法．3．小结教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：(1)什么样的角叫圆心角？(2)在同圆与等圆中，圆心角、弧、弦之间有何关系？能否将定理中的“在同圆与等圆中”的条件去掉？(3)通过本节课的学习，你能总结一下在圆中，证明两个圆心角、两条弧、两条弦相等的方法吗？(4)圆具有怎样的对称性？这些对称性有何作用？设计意图：通过小结，帮助学生梳理本节课的知识、方法、数学思想，同时对定理的条图3件进一步加深理解，并对圆的对称性进行系统认识，不断丰富、更新学生的认知体系．4．布置作业教科书习题24.1第1，2题．五、目标检测设计1．下列语句正确的是( )．A．如果两条弦相等，这两条弦所对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．长度相等的弧所对的圆心角相等D．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴设计意图：考查学生对于弦、弧、圆心角关系定理条件的正确理解．2．如图4，在⊙O中，AB＝AC，∠A＝110°，求∠B的度数．图4设计意图：考查学生是否能运用定理进行弦、弧、圆心角之间相等关系的相互转化．3．如图5，在⊙O中，AB＝CD．求证：AD＝BC．图5设计意图:考查学生能否运用定理进行弦、弧、圆心角之间相等关系的相互转化，进行有关的证明．。

人教版数学九年级上册教学案：24.1.3弧、弦、圆心角

教学目标1.通过观察实验，使学生了解圆心角的概念.教学重点：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．教学难点：探索定理和推导及其应用．教学过程一．课前预习1.下列说法中，正确的是 ( )A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等2.如图24-1-3-1，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为3.一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为______4.弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是_____，图24-1-3-1弦所对的圆心角是________，5.如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，∠A=70°则∠BOC=二．课堂研讨（一）重点研讨1.如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF．（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE=OF，那么与的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？•为什么？∠AOB与∠COD呢？2.如图3和图4，MN是⊙O的直径，弦AB、CD•相交于MN•上的一点P，•∠APM=∠CPM．（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明教师活动学情分析：检查预习情况：导语：精讲点拨：课堂小结：板书设计：教学札记：（二）深化提高1.如图,AB是圆O的直径,BC是弦,OD⊥BC于点E,交弧BC于点D（1）请写出四个不同类型的正确结论（2）若BC＝8，ED＝2求⊙O的半径（三）达标测试1.如图，AB、CD是⊙O中的两条弦，M、N分别是AB、CD的中点，且∠OMN=∠ONM．求证：AB＝CD．三、课后巩固1.如图，已知⊙O的半径为2，弦AB的长为2√3 ，点C与点D分别是劣弧AB与优弧ADB上的任一点（点C、D均不与A、B重合）．（1）求∠ACB；（2）求△ABD的最大面积．6.如图 AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，我们知道EC和DF相等.若直线EF平移到与直径AB相交于P(P不与A、B 重合),在其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?为什么?当EF∥AB 时,情况又怎样?。

人教版数学九年级上册学案：24.1.3 弧、弦、圆心角

24.1.3 弧、弦、圆心角学案【学习目标】1、通过观察实验，使学生了解圆心角的概念；2、掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量都分别相等，以及它们在解题中的应用. 【重点难点】重点：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等及其两个推论和它们的应用.难点：探索定理和推论及其应用.【课堂探究】一、自主探究探究一作一个圆，并在圆中画出两个圆心角，根据你画出的角，说出圆心角的顶点的位置，两边与圆的关系是什么？探究二如图所示，OA 、OB 、OC 、OD 是⊙O 的半径.观察、思考并回答下列问题：(1)如果∠AOB =∠COD ,那么弦AB 与CD 、︵AB 与︵CD 有什么关系？.OAC DB（2）如果AB =CD ，那么∠AOB 与∠COD 、︵AB 与︵CD 有什么关系？（3）如果︵AB =︵CD ，那么∠AOB 与∠COD 、AB 与CD 有什么关系？（4）由以上探究，弧、弦、圆心角之间有怎样的关系？二、尝试运用1、下列命题中的真命题有（）个.①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；②长度相等的两条弧是等弧； ③等弧所对的圆心角相等；④相等的圆心角所对的弧相等.A .1B .2C .3D .4 2、如图所示，在⊙O 中，AB AC =,60ACB ∠=︒.求证：AOB BOC AOC ∠=∠=∠ABCO3、如图,AB ,CD 是⊙O 的两条弦.(1)如果AB =CD ,那么______=______,_____=______.(2)如果∠AOB =∠COD ,那么_____=_____,_______=________.⑶如果弧AB =弧CD ,那么_________=_________,______________=_____________ . ⑷如果AB =CD ,OE ⊥AB 于点E ,OF ⊥CD 于点F ,OE 与OF 相等吗?为什么?AEC DBE FB OOCDA4、如图A 是⊙O 的直径，BC CD DE ==,∠COD=35°.求∠AOE 的度数.三、补偿提高1、已知弦AB 把圆周分成1：5的两部分，这弦AB 所对应的圆心角的度数为 .2、如图，已知︵AB 、︵CD 是⊙O 的两条劣弧，且︵AB =2︵CD ，则弦AB 与CD 的大小关系是（）.A.AB =2CDB.AB ＜2CDC.AB ＞2CDD.不能确定CDAB.O3、如图，在⊙O 中，︵AB =︵AC ，∠B =50°，求∠A 的度数.四、小结与作业学生小结：1.必做题教材P 90第11题 2.选做题教材P 90第13题ACB.O。

人教版-数学-九上-24.1.3 弧、弦、圆心角教案

24.1.3 弧、弦、圆心角一、教学目标（一）学习目标1.探索圆的中心对称性2.了解圆心角的概念，探索并掌握在同圆或者等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的相等，就可以推出其他两个量对应相等3.掌握圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题（二）学习重点探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．（三）学习难点圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务(1)旋转的三要素是旋转中心，旋转方向，旋转角度180，它能够与另一个图形重合，那么这两个图形(2)中心对称的定义：如果把一个图形绕某个点旋转关于这个点成中心对称.2.预习自测（1）圆是_____图形，也是______ 图形【知识点】圆的中心对称性与轴对称性【答案】轴对称中心对称【解题过程】圆既是轴对称图形又是中心对称图形【思路点拨】圆既是轴对称图形又是中心对称图形（2）圆的对称中心是_____．【知识点】圆的中心对称性【答案】圆心【解题过程】圆是中心对称图形，由于它绕着圆心旋转180°后和原图形重合，所以圆的对称中心是圆心【思路点拨】根据中心对称图形的定义找到圆的对称中心（3）如图，已知O O '与的半径相等，若AOB A O B '''∠=∠，则________AB A B ''，________AB A B ''（填“>”、“<”或“=”）【知识点】在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．【答案】= =【解题过程】AOB A O B '''∠=∠，AB A B ''∴=，AB A B ''=【思路点播】在同圆或者等圆中，圆心角，弧，弦有一个量相等，就联想到其他的量也相等(4)已知O 与O '半径相等，若AB A B ''=，则________AOB A O B '''∠∠，（填“>”、“<”或“=”）【知识点】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等．【答案】=【解题过程】AB A B ''=，OA O A ''=，OB O B ''=，AOB ∴∆≌A O B '''∆，AOB A O B '''∴∠=∠【思路点拨】在同圆或者等圆中，圆心角，弧，弦有一个量相等，就联想到其他的量也相等（二）课堂设计1.知识回顾（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线（2）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧（3）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧2.问题探究探究一圆的中心对称性活动①以旧引新想一想：这些现象说明了什么？现象一：一块圆形的蛋糕，糕点师只要过圆心点在互相垂直的两个方向上切两刀，不管糕点师站在哪里，分成的四块一定是均等的. 这个现象跟圆的哪个性质有关？学生抢答答案：现象一说明对折后能够完全重合，只要是过圆心的直线，分成的两部分均对称，说明圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的任一条直线.【设计意图】复习回顾圆的轴对称性，为引发新知识铺垫现象二：机械式闹钟上钟时，每次只要转动发条上的钟钮180︒时，看上去跟没转动以前是一个样的.这个现象跟圆的哪个性质有关？现象二说明钟钮左右两端转动180︒后完全重合，而两端均在以轴心为圆心的圆上运动，说明圆是中心对称图形，对称中心是圆心.【设计意图】整合旧知识，探索圆的中心对称性活动②归纳概括想一想：由以上现象，概括圆的对称性结论：1. 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.2. 圆是中心对称图形，对称中心为圆心.探究二圆心角、弧、弦之间的关系★▲活动①大胆操作探究新知识1.按下面的步骤做一做：(1)在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下；(2)在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′，如图1所示，圆心固定．注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA 与OA′重合时，OB与O′B′不能重合．图1(3)将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合．通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系？同学们互相交流一下，说一说你的理由．教师叙述步骤，同学们一起动手操作．由已知条件可知∠AOB ＝∠A′O′B′；由两圆的半径相等，可以得到∠OAB ＝∠OBA ＝∠O′A′B′=∠O′B′A′；由△AOB ≌△A′O′B′，可得到AB ＝A′B′；由旋转法可知''AB A B =．在学生分析完毕后，教师指出在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA 与O′A′重合时，由于∠AOB ＝∠A′O′B′．这样便得到半径OB 与O′B′重合．因为点A 和点A′重合，点B 和点B′重合，所以AB 和''A B 重合，弦AB 与弦A′B′重合，即''AB A B =，AB=A′B′．进一步引导学生语言归纳圆心角、弧、弦之间相等关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．【设计意图】大胆猜想，大胆操作，激发学生兴趣，探究新知识活动② 集思广益证明新知根据对上述定理的理解，你能证明下列命题是正确的吗？（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等．本问题由学生在思考的基础上讨论解决，可以证明上述命题是真命题．【设计意图】创设问题情境，集思广益，证明新知识活动③ 反思过程发现定理定理“在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？小组讨论，可以在教师的引导下，举出反例说明条件“在同圆或等圆中”不能去掉，比如可以请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图．如图，虽然∠AOB=∠A′O′B′，但AB≠A′B′，弧AB≠弧A′B′．教师进一步引导学生用同样的思路考虑命题：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等中的条件“在同圆和等圆中”是否能够去掉．小结：弦、圆心角、弧三量关系，在同圆或者等圆中，圆心角，弧，弦有一个量相等，那么其他的量也对应相等【设计意图】反思过程，发现定理，重新认识，拓展创新探究三圆心角、弧、弦之间关系定理的应用活动① 旧题新解例1.如图，O 的直径CD 与弦AB 交于点M ，添加条件（写出一个即可），就可得到M 是AB 的中点.【知识点】垂径定理，圆心角、弧、弦之间关系定理【解答过程】补入的条件是：CD AB ⊥或AC BC AD BD ==或.【思路点拨】对开放性逆向思维的题目，首先应依题意抓住问题适合的依据定理，再由定理和题设补充条件.【答案】CD AB ⊥或AC BC AD BD ==或.练习：如图，CD 是O 的直径，AB 是弦，CD AB ⊥于M ，则可得出AM MB =，AC BC =等多个结论，请你按现有图形给出其他两个结论.【知识点】垂径定理，圆心角、弧、弦之间关系定理【解答过程】另两个结论是：AC BC =，AD BD =.【思路点拨】对开放性思维的题目，首先应依题意抓住已知条件，再由定理和题设得到结论.【设计意图】复习垂径定理，同时利用新知识解决旧问题活动② 集思广益求解角度例2.如图，在⊙O 中，AB AC =，∠ACB ＝60°，求证∠AOB=∠AOC=∠BOC ．OAB C【知识点】圆心角、弧、弦之间关系定理【解答过程】∵ AB AC =∴ AB=AC ，△ABC 是等腰三角形．又 ∠ACB ＝60°，∴ △ABC 是等边三角形，AB=BC=CA ．∴ ∠AOB=∠AOC=∠BOC ．【思路点拨】由AB AC =，有AB AC =，可得△ABC 是等边三角形，AB=AC=BC ，所以得到∠AOB=∠AOC=∠BOC ．练习．如图，AB 是⊙O 的直径，BC.CD.DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，求∠BOD 的度数．【知识点】圆心角、弧、弦之间关系定理【解答过程】由BC ＝CD ＝DA 可以得到这三条弦所对的圆心角相等，连接OC ，得到∠AOD=∠DOC=∠BOC ，而AB是直径，于是∠BOD＝23×180°＝120°【思路点拨】求圆心角度数，可先求出该圆心角度数所对弧的度数【答案】120°【设计意图】利用圆心角、弧、弦之间关系定理解决圆中简单的角度问题活动③大胆探索证明线段相等与弧度相等例3.如图，AB，CD是O的弦，M、N分别为AB.CD的中点且AMN CNM∠=∠，求证：AB=CD.【知识点】垂径定理，圆心角、弧、弦之间关系定理，全等三角形的判定定理【解答过程】证明：MN为AB，CD中点，OM AB∴⊥，ON CD⊥。

人教版九年级数学上册学案：24.1.3 弧、弦、圆心角

24.1.3 弧、弦、圆心角学习目标：了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧、弦心距中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．一、导学过程：（阅读教材P82 —83 , 完成课前预习）1、知识准备（1）圆是轴图形，任何一条所在直线都是它的对称轴．（2）垂径定理推论．2、预习导航。

（1）圆心角：顶点在的角叫做圆心角。

（2）等圆：能够的圆叫做等圆，同圆或等圆的半径。

（3）弧、弦、弦心距、圆心角的关系：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的弦也．同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，•所对的弦也，所对的弦心距也。

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的、、相等．注：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也。

二、课堂练习。

1．如果两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D．以上说法都不对2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD ，则两条弧AB 与CD 的关系是（） A. AB=2CD B ．AB>2CD C ．AB<2CD D ．不能确定 3. 一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________． 4．如图，在⊙O 中，AB=AC ，∠AOB=60 °，求证∠AOB=∠BOC=∠AOC三、课堂小结在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的弦也．在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的、、相等．四、反馈检测。

1．如图，⊙O 中，如果AB=2CD ，那么（）．A ．AB=ACB ．AB=AC C ．AB<2ACD ．AB>2AC2．如图，以平行四边形ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交BC 、AD 于E 、F ，若∠D=50°，求BE 的度数和BF 的度数．3.如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N•在⊙O上．（1）求证：AM=BN（2）若C、D分别为OA、OB中点，则AM=MN=NB 成立吗？4．如图，∠AOB=90°，C、D是AB三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=BF=CD．5.如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，求弦CE长度。

新人教版九年级数学上册24.1.3 弧、弦、圆心角学案

优质文档'BAA 'O新人教版九年级数学上册24.1.3 弧、弦、圆心角学案一、学习目标：1．理解圆心角的概念，掌握圆的旋转不变性（中心对称性）；2．掌握弧、弦、圆心角之间的相等关系定理及推论，并初步学会运用这些关系进行有关的计算和证明.二、设问导读：阅读课本P83-84完成下列问题：知识点.弧、弦、圆心角的关系（难点） ☆ 圆心角：顶角在______的角叫做圆心角.☆ 圆的中心对称性：圆既是轴对称图形，又是______ 对称图形，它的对称中心是 ______.3.（1）如图1所示的⊙O 中，将圆心角∠AOB 旋转到∠A ′OB ′的位置，你发现的等量关系是___________________. （2）在等圆中，是否也能得到类似的结论？把你的想法展示给大家.（如图2）B A 'B B O(O ')O 'OA '2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的________相等，所对的______也相等.如果去掉“在同圆或等圆中”结论还成立吗？为什么？举例说明.3. 同样，还可以得到以下结论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角______，•所对的弦也_______．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角______，•所对的弧也______.4.阅读课本例题1，并说明每一步的理由. 三、自学检测：1.课本P85页练习1（直接填在书上） 2．如果两个圆心角相等，那么这两个圆心角（）A ．所对的弦相等B ．所对的弧相等 C. 所对的弦的弦心距（圆心到弦的距离）相等 D ．以上说法都不对3.如图4，AB 是 ⊙O 的直径，C,D 是BE上的三等分点，∠AOE=60°则 ∠COE 是（） A ． 40° B. 60°C. 80°D. 120 °O EDC BA （图4）O B C 图54.一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的圆心角是_________．5.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD ，则两条弧AB 与CD 关系是（） A ．AB =2 CD B ．AB >CD C ．AB <2 CD D ．不能确定四、巩固训练：1．如图5，⊙O 中，如果AB =2AC ，那么（）． A ．AB=2AC B ．AB=AC C ．AB<2AC D ．AB>2AC2.如图6，AB 是⊙O 的直径.(1)若OD ∥AC ，CD 与BD 的大小有什么关系？为什么？ABCDO图6(2)把(1)中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由.4.如图7，∠AOB=90°，C ，D 是AB 的三等分点，AB 分别交OC ，OD 于点E ，F. 求证：AE=BF=CD ．五、拓展延伸：如图8所示，点A 是半圆上的一个三等分点，B 是劣弧的中点，点P 是直径MN 上的一个动点，⊙O 的半径为1，则AP+PB 的最小值( )．图8图7OC ED F。