第2章 对偶理论和灵敏度分析-第5,6节
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《运筹学》胡运权 第4版 第二章 线性规划的对偶理论及灵敏度分析
b2 bm
x1, x2 , , xn 0
对 称 形 式 的
的 定 义
m W ib 1 n y 1 b 2 y 2 b m y m 对
s.t.
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
am1 y1 c1
am2 y2 amn ym
c2 cn
偶 问 题
y1, y2 , , ym 0
a23 x3 a33 x3
b2 b3
x1 0， x2 0， x3无 约 束
（2.4a） （2.4b） （2.4c） （2.4d）
先转换成对称形式，如下：
的 的一个变量，其每个变量对应于对偶问题 的一个约束。
定
义
m Z a c 1 x 1 x c 2 x 2 c n x n 一
对 偶
a11x1 a12x2 a1n xn (,)b1
a2
1x1
a22x2
a2n xn
(, )b2
般 线 性
问 题 的 定 义
am1x1 am2 x2 amnxn (,)bm xj 0( 0,或符号不限) j 1 ~ n
问题。
对
对偶问题是对原问题从另一角度进
偶
行的描述，其最优解与原问题的最 优解有着密切的联系，在求得一个
原
线性规划最优解的同时也就得到对 偶线性规划的最优解，反之亦然。
理
对偶理论就是研究线性规划及其对 偶问题的理论，是线性规划理论的
重要内容之一。
问 题 的 导 出
例2-1
我们引用第一章中美佳公司的例子，如表1
的
x1, x2, , xn 0
对
m W ib 1 n y 1 b 2 y 2 b m y m
运筹学——2对偶理论和灵敏度分析
MaxZ x1 2 x2 x3
x1 x2 x3
ST
:
x1 2 x1
x2 x2
x3 x3
2 1 2
x1 0, x2 0, x3无约束
MinW
2u1 u1 u2
u22u23 u3
1
ST
:
u1 u2 u3 u1 u2 u3
Min W =600y1+400y2+300y3+200y4
s.t. 3y1+2y2+ y3+ y4≥2000
4y1+ y2+3y3+2y4≥4000 2y1+2y2+3y3+4y4≥3000
y1, y2, y3, y4≥0
2
二、对偶问题
（1）对称LP问题的定义
第一类对称形式
MaxZ CT X
解：用x2= -x2’, x3=x3’-x3’’ 代入上述LP问题，并将其
Max
Z
= x1
x1-2x2’ +x3’-x3’’ -x2’ -x3’+x3’’ ≤ 2
化为第一类对称形式
x1+x2’+x3’ -x3’’ ≤ 1
s.t. -x1 -x2’ -x3’+x3’’ ≤-1
-2x1+x2’ -x3’+x3’’ ≤-2 x1, x2’, x3’, x3’’ ≥0
Max Z =2x1+3x2 s.t. x1+ 2x2≤8
4x1 ≤ 16 4x2≤ 12 x1 ,x2 ≥0
对偶
Min W =8y1+16y2+12y3
运筹学对偶理论与灵敏度分析
（4）（最优性定理），若X(0)、Y(0)分别是互为对偶问题的可行解，且C X(0) =
Y(0) b，则X(0) 、Y(0)分别是它们的最优解。
（5）（强对偶定理）若互为对偶问题之一有最优解，则另一问题必有最优解 ，且它们的目标函数值相等。
（6）（互补松驰性）若X*、Y*分别是原问题和对偶问题的可行解，则X*、Y* 是最优解的充要条件是：Y*XS=0,YSX*=0 (其中XS，YS分别是原问题和对偶问题的松驰变量向量)。
x4
0
x4
15
x1, x2 , x3 , x4 0
模型二：决策变量： 甲、乙两种产品的数量
max Z 3x1 5x2 2x1 3x2 25
s.tx1 2x2 15 x1, x2 0
X (5, 5)T , Z 40, Y (1,1)
X (5,5, 25,15)T, Z 40, Y (6,11,1,1)
6
对于一般情况下线性规划问题如何写出对偶问题。对于等 式约束可以把它写成两个不等式约束，对于“≥”的不等式，可 以两边同乘“－1”，再根据对称形式的对偶关系写出对偶问题 ，然后进行适当的整理，使式中出现的所有系数与原问题中的 系数相对应。
归纳-----表2.2
7
表2.2
Max 约束条件数=m 第i个约束条件 “≤” “≥” “=”
3
二、对偶理论
1、原问题与对偶问题--对称形式
max Z CX
s.t.
AX X 0
b
minW Yb YA C
s.t.Y 0
(1) 原问题中的约束条件个数等于它的对偶问题中的变量数； (2) 原问题中目标函数的系数是其对偶问题中约束条件的右端项； (3) 约束条件在原问题中为“≤”，则在其对偶问题中为“≥”； (4) 目标函数在原问题中为求最大值，在其对偶问题中则为求最小值
Y(0) b，则X(0) 、Y(0)分别是它们的最优解。
（5）（强对偶定理）若互为对偶问题之一有最优解，则另一问题必有最优解 ，且它们的目标函数值相等。
（6）（互补松驰性）若X*、Y*分别是原问题和对偶问题的可行解，则X*、Y* 是最优解的充要条件是：Y*XS=0,YSX*=0 (其中XS，YS分别是原问题和对偶问题的松驰变量向量)。
x4
0
x4
15
x1, x2 , x3 , x4 0
模型二：决策变量： 甲、乙两种产品的数量
max Z 3x1 5x2 2x1 3x2 25
s.tx1 2x2 15 x1, x2 0
X (5, 5)T , Z 40, Y (1,1)
X (5,5, 25,15)T, Z 40, Y (6,11,1,1)
6
对于一般情况下线性规划问题如何写出对偶问题。对于等 式约束可以把它写成两个不等式约束，对于“≥”的不等式，可 以两边同乘“－1”，再根据对称形式的对偶关系写出对偶问题 ，然后进行适当的整理，使式中出现的所有系数与原问题中的 系数相对应。
归纳-----表2.2
7
表2.2
Max 约束条件数=m 第i个约束条件 “≤” “≥” “=”
3
二、对偶理论
1、原问题与对偶问题--对称形式
max Z CX
s.t.
AX X 0
b
minW Yb YA C
s.t.Y 0
(1) 原问题中的约束条件个数等于它的对偶问题中的变量数； (2) 原问题中目标函数的系数是其对偶问题中约束条件的右端项； (3) 约束条件在原问题中为“≤”，则在其对偶问题中为“≥”； (4) 目标函数在原问题中为求最大值，在其对偶问题中则为求最小值
第10次课--第二章 对偶理论与灵敏度分析
c X Y b 时 X , Y 是最优解。
^ ^
^ ^
^
^
3
信息系统与管理学院
第四节 线性规划问题的对偶理论
对偶问题的基本性质
（4）强对偶性(或称对偶定理) 若原问题有最优解，那么对 偶问题也有最优解，且目标函数值相等。 （5）互补松弛性 在线性规划问题的最优解中，如果对应
某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取等式； 反之如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一 定为零。
按此规则所对应的列的非基变量 xk 为换入变量。
22
非正
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第六节 对偶单纯形法
若所有 alj 0 ，则无可行解。
为什么？
按此规则所对应的列的非基变量 xk 为换入变量，这 样可保证得到的对偶问题的解仍为可行解。
⑷ 以 alk 为主元素，按原单纯形法在表中进行迭代运算。 得到新的计算表。 重复（1）－（4） 。
20
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第六节 对偶单纯形法
计算步骤：
⑴ 根据线性规划问题找到对偶问题的可行基， 列出单纯形表。
b 列的数字若都为非负，而检验数都为非正，则已 得到最优解。 b列的数字若至少还有一个负分量，检验数保持非
正，则进行以下计算：
21
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第六节 对偶单纯形法
⑵ 确定换出变量 按
XB
0 Ys1
XN
Xs
1
CN CB B N Ys2
CB B Y
1
Ys1 对应原问题中基变量 X B 的剩余变量。
Ys2 是对应原问题中非基变量 X N 的剩余变量。
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3
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第四节 线性规划问题的对偶理论
对偶问题的基本性质
（4）强对偶性(或称对偶定理) 若原问题有最优解，那么对 偶问题也有最优解，且目标函数值相等。 （5）互补松弛性 在线性规划问题的最优解中，如果对应
某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取等式； 反之如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一 定为零。
按此规则所对应的列的非基变量 xk 为换入变量。
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非正
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第六节 对偶单纯形法
若所有 alj 0 ，则无可行解。
为什么？
按此规则所对应的列的非基变量 xk 为换入变量，这 样可保证得到的对偶问题的解仍为可行解。
⑷ 以 alk 为主元素，按原单纯形法在表中进行迭代运算。 得到新的计算表。 重复（1）－（4） 。
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第六节 对偶单纯形法
计算步骤：
⑴ 根据线性规划问题找到对偶问题的可行基， 列出单纯形表。
b 列的数字若都为非负，而检验数都为非正，则已 得到最优解。 b列的数字若至少还有一个负分量，检验数保持非
正，则进行以下计算：
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第六节 对偶单纯形法
⑵ 确定换出变量 按
XB
0 Ys1
XN
Xs
1
CN CB B N Ys2
CB B Y
1
Ys1 对应原问题中基变量 X B 的剩余变量。
Ys2 是对应原问题中非基变量 X N 的剩余变量。
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线性规划的对偶理论与灵敏度分析报告
第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析主要内容 对偶问题、对偶基本性质、对偶单纯形方法、灵敏度分析、参数规划 讲授重点 对偶基本性质、对偶单纯形方法、灵敏度分析 讲授方式 讲授式、启发式 本章知识结构图第一节 线性规划的对偶问 题一、对偶问题的提出首先通过实际例子看对偶问题的经济意义。
例1 第一章例1中美佳公司利用该公司资源生产两种家电产品时，其线性规划问题为： (LP 1) max z ＝2x l +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,524261552121212x x x x x x x现从另一角度提出问题。
假定有另一公司想把美佳公司的资源收买过来，它至少应付出多大代价，才能使美佳公司愿意放弃生产活动，出让自己的资源。
显然美佳公司愿出让自己资源的条件是，出让代价应不低于用同等数量资源由自己组织生产活动时获取的盈利。
设分别用y 1、y 2、和y 3代表单位时间(h)设备A 、设备B 和调试工序的出让代价。
因美佳公司用6小时设备A 和1小时调试可生产一件家电I ，盈利2元；用5小时设备A ，2小时设备B 及1小时调试可生产一件家电Ⅱ，盈利1元。
由此y1，y2，y3的取值应满足 6y 2+y 3≥25y 1+2y 2+y 3≥1 (2.1) 又另一公司希望用最小代价把美佳公司的全部资源收买过来，故有min z ＝15y 1+24y 2+5y 3 (2.2) 显然y i ≥0(i ＝l ，2，3)，再综合(2.1)，(2.2)式有。
(LP 2) min ω＝15y 1+24y 2+5y 3⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥+0,,125263212132y y y y y y y上述LP 1和LP 2是两个线性规划问题，通常称前者为原问题，后者是前者的对偶问题。
二、对称形式下对偶问题的一般形式定义：满足下列条件的线性规划问题称为具有对称形式：其变量均具有非负约束，其约束条件当目标函数求极大时均取“≤”号，当目标函数求极小时均取“≥”号’。
第二章 对偶理论和灵敏度分析
经整理得 : min 20 y1 10 y2 5 y3 3 y1 4 y2 y3 4 s.t. 2 y1 3 y2 y3 5 y 0, y 0, y 不限 2 3 1
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4 5 5 0
第二章 对偶理论和灵敏度分析
c
CB
CN
x
b XB -Z B-1b -CBB-1b
θ
XB
B-1B 0
XN
B-1N CN－CBB-1 N
二、对偶问题的经济含义
每一个线性规划问题，都存在一个与它密切相关的线性 规划的问题，我们称其中的任一个为原问题，另一个为对 偶问题。任何线性规划问题都有其对偶问题。 对偶思想： 周长一定的矩形,以正方形面积最大 面积一定的矩形,以正方形周长最小 P6 例1.1：MAXZ=3X1+2X2+5X3 S.T. X1+2X2+X3<=430 3X1+2X3<=460 X1+4X2<=420 X1,X2,X3>=0
《运筹学》 第二章 对偶理论和灵敏度分析 Slide 4
设X1、X2、X3分别为生产甲、乙、丙三种产品的产量。 解见P71表1.63。 假如有另外一个工厂要求租用该厂的全部生产能力另做 他用。 那么该厂的厂长应该如何来确定合理的租金（各道工序 的每分钟加工能力的定价）呢? 出租所得的利润应不小于原来用于生产甲、乙、丙三种 产品的利润。 而对于租用生产能力的厂家，考虑的是在尽量满足上述 条件的基础上，总的租用花费最少。 设Y1、Y2、Y3为第一、第二、第三道工序每分钟的租金 。
《运筹学》 第二章 对偶理论和灵敏度分析 Slide 17
五、对偶单纯形法
对偶单纯形法是应用对偶原理求解原问题线性规划的一 种方法，采用的技术是在原问题的单纯形表格上进行对偶处 理。 注意：对偶单纯形法不是求解对偶问题的单纯形法。 对偶单纯形法的基本思想：当一个原始问题从可行但不 最优开始，并继续保持可行直到取得最优解的时候，也就是 它的对偶问题从不可行但比最优还好开始并继续保持最优直 到取得可行最优解。 当原问题在寻找最优性的时候，对偶问题相应地寻找可 行性。P56图1.12
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4 5 5 0
第二章 对偶理论和灵敏度分析
c
CB
CN
x
b XB -Z B-1b -CBB-1b
θ
XB
B-1B 0
XN
B-1N CN－CBB-1 N
二、对偶问题的经济含义
每一个线性规划问题，都存在一个与它密切相关的线性 规划的问题，我们称其中的任一个为原问题，另一个为对 偶问题。任何线性规划问题都有其对偶问题。 对偶思想： 周长一定的矩形,以正方形面积最大 面积一定的矩形,以正方形周长最小 P6 例1.1：MAXZ=3X1+2X2+5X3 S.T. X1+2X2+X3<=430 3X1+2X3<=460 X1+4X2<=420 X1,X2,X3>=0
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设X1、X2、X3分别为生产甲、乙、丙三种产品的产量。 解见P71表1.63。 假如有另外一个工厂要求租用该厂的全部生产能力另做 他用。 那么该厂的厂长应该如何来确定合理的租金（各道工序 的每分钟加工能力的定价）呢? 出租所得的利润应不小于原来用于生产甲、乙、丙三种 产品的利润。 而对于租用生产能力的厂家，考虑的是在尽量满足上述 条件的基础上，总的租用花费最少。 设Y1、Y2、Y3为第一、第二、第三道工序每分钟的租金 。
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五、对偶单纯形法
对偶单纯形法是应用对偶原理求解原问题线性规划的一 种方法，采用的技术是在原问题的单纯形表格上进行对偶处 理。 注意：对偶单纯形法不是求解对偶问题的单纯形法。 对偶单纯形法的基本思想：当一个原始问题从可行但不 最优开始，并继续保持可行直到取得最优解的时候，也就是 它的对偶问题从不可行但比最优还好开始并继续保持最优直 到取得可行最优解。 当原问题在寻找最优性的时候，对偶问题相应地寻找可 行性。P56图1.12
运筹学第二章对偶理论与灵敏度分析
x1
x2
xj
xn 0
减少一件产品可以节省的资源
机会成本a1jy1+ a2jy2+ …… aijyi+ ……amjym
表示减少一件产品所节省的资源可以增加的利润
运筹学第二章对偶理论与灵敏度分析
4、产品的差额成本（Reduced Cost）
机会成本
差额成本
利润
min w b1y1 b2 y2 bm ym
运筹学第二章对偶理论与灵敏度分析
min w=YTb
ATY ≥ CT st.
Y ≥0
1,若原问题目标是求极大化，则对偶问题的目标是 极小化，反之亦然。
特对 点偶
问 题 的
2,原问题的约束系数矩阵与对偶问题的约束系数矩 阵互为转置矩阵。
3,极大化问题的每个约束对应于极小化问题的一个 变量，其每个变量对应于对偶问题的一个约束。
6 y2 + y3 ≥2
题对 偶
St. 5y1 + 2y2 + y3 ≥1
问
y1、y2 、y3 ≥0
最终表
210 0
CB 基 b x1 x2 x3 x4
0 x3 15/2 0 0 1 5/4 2 x1 7/2 1 0 0 1/4 1 x2 3/2 0 1 0 -1/4
cj－zj
0 0 0 -1/4
0 x5 -15/2 -1/2 3/2 -1/2
≤
≥
约束条件
≥
≤
变量
=
无约束
≥
≥
变量
≤
≤
无约束
=
运筹学第二章对偶理论与灵敏度分析
约束条件
§2.2 对偶问题的基本性质
性质1 弱对偶性
第二章 线性规划问题的对偶理论与灵敏度分析总结
第二章 线性规划问题的对偶理论与灵敏度分析总结一．对偶问题统一归纳表注意：对偶问题允许i b 小于0，也正是对于原问题i b 小于0，才引入了后面的对偶单纯形法解决问题。
二．对偶问题的基本性质⎩⎨⎧≥≤=0X ..max 设原问题为b AX t s CXz⎩⎨⎧≥≥=是列向量,0A .. min 对偶问题为TY Y C Y t s Yb TTω1.对称定理：对偶问题的对偶是原问题2.弱对偶性定理：若Y X 和分别是原问题和对偶问题的可行解，则有b TY X C ≤推论（1）max 问题的任一可行解的目标是对偶问题最优目标值的一个下界。
min 问题的任一可行解的目标函数 值是原问题最优目标值的一个上界。
（2）若原问题可行且其目标函数值无界，则对偶问题无可行解。
反之对偶问题可行且其目标函数值无界，则原问题无可行解。
（3）若原问题有可行解而对偶问题无可行解，则原问题目标函数值无界；反之对偶问题有可行解而原问题无可行解，则对偶问题目标函数值无界。
3. 最优性定理：若Y X 和分别是原问题和对偶问题的可行解，并且b TY X C =，则X 是原问题最优解，Y 是其对偶问题的最优解4. 强对偶性：若原问题及其对偶问题均具有可行解，则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。
5.互不松弛性：若Y X 和分别是原问题和对偶问题的可行解，则它们分别是最优解的充要条件是：0ˆ,ˆˆ0ˆ1j 1=<=>∑∑==i i nj ij i nj j ij i y b xa b x a y则如果，则如果练习：判断下列说法是否正确：(1) 任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题；(✓)(2) 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；(✗)(3) 设j ˆx ，i ˆy 分别为标准形式的原问题与对偶问题的可行解，*j x ，*i y 分别为其最优解，则恒有n n m m**j j j j i i i i j 1j 1i 1i 1ˆˆc x c x b y b y ====≤=≤∑∑∑∑；(✓) (5) 已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y 0>，说明在最优生产计划中第i 种资源已完全耗尽；(✓) (6) 已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y 0=，说明在最优生产计划中第i 种资源一定有剩余；(✗)简析：对(5)、(6)，由互补松弛性质判断，具体详见课本P59三．对偶单纯形法(1). 对偶单纯形法应用前提： 1.检验数行全部非正2.变量取值有负数(2). 对偶单纯形法计算步骤：1.确定换出基变量 取{}i rb min b =，其对应变量r x 为换出基的变量。
第2章对偶理论与灵敏度分析
五.互补松弛性（松紧定理）
在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束
条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取严格等式；
反之如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变
量一定为零。也即：
n
若yˆi 0, 则有 aij xˆ j bi ,即xˆsi 0
n
j 1
若 aij xˆ j bi ,即xˆsi 0, 则有yˆi 0
minW=bTy
bT (12 8 16 12 )
y1 y2 y3
4x1 16 4x2 12
x1 x2 0
minW=12y1+8y2 +16y3+12y4
y4
ATy CT
AT 2140
2204
y1
CT
y2 y3
2 3
y4
2y1 +y2 +4y3 2 2y1 +2y2 +y4 3 y1 … y4 0
x (0,5,0)
对于对偶问题的可行解y (5,0)
有 80.
由弱对偶性,最优目标函数值z* *有上.下界。 25 z* * 80
互补松弛定理: 在线性规划问 题的最优解中，
一 . 对称性 ：
对偶问题的对偶是原问题
二. 弱对偶性：
若x′是原问题的可行解，y′是对偶问题的可行 解。则有 cx′≤y′b
弱对偶性的三个推论
推论(1)： 原问题任一可行解的目A标≦函Z数=W值是≦其B对偶
问题目标函数值的下界，反之对偶问题任一可行解的 目标函数值是其原问题目标函数值的上界。
推论(2)： 若原问题（对偶问题）为无界解，则其对 偶问题（原问题）无可行解。注 ： 其逆不成立。
由此y1，y2，y3的取值应满足:
运筹学课件第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
第二章 线性规划对偶理论与灵敏度分析
第一节 线性规划的对偶问题
一、对偶问题 若例1工厂的决策者不生产产品，有另一企业租赁 其所有资源。厂方为了在谈判时心中有数，需掌握 资源的最低价码，以便衡量对方出价，对出租与否 做出抉择。 在这个问题上厂长面临着两种选择：自行生产或出 租设备。首先要弄清两个问题： ①合理安排生产能取得多大利润? ②为保持利润水平不降低，资源转让的最低价格是
CX Yb
推论1 极大化原问题任意一个可行解的目标函数值 是其对偶问题目标函数值的下界。反之极小化问 题任意一个可行解的目标函数值是其原问题目标 函数值的上界。
推论2 若原问题(对偶问题)具有无界解，则其对偶 问题（原问题）无可行解。
推论3 若原问题(对偶问题)有可行解而其对偶问题 （原问题）无可行解，则其对偶问题（原问题） 目标函数值无界。
我们称这个线性规划问题为例1线性规划问题（我们 称为原问题）的对偶问题。
二、对称形式对偶问题
根据上述例题可见，对于对称形式的线性规划问题 ，
我们可以马上得出它的对偶问题：
Max Z C X
Min w Y 'b
AX b
X
0
A'Y C Y 0
三、非对称形式对偶问题
原问题（对偶问题）
约束条件系数矩阵 约束条件右端项向量 目标函数中价格系数向量
重复步骤2-4。
若 br 0，而对所有j，有aij 0，则原问题无可行解。
第四节 对偶单纯形法
例题：P61
练习题： minω=2x1+3x2+4x3 x1+2x2+ x3 ≥3 2x1– x2+3x3 ≥4 x1 , x2 , x3 ≥0
第五节 灵敏度分析
第一节 线性规划的对偶问题
一、对偶问题 若例1工厂的决策者不生产产品，有另一企业租赁 其所有资源。厂方为了在谈判时心中有数，需掌握 资源的最低价码，以便衡量对方出价，对出租与否 做出抉择。 在这个问题上厂长面临着两种选择：自行生产或出 租设备。首先要弄清两个问题： ①合理安排生产能取得多大利润? ②为保持利润水平不降低，资源转让的最低价格是
CX Yb
推论1 极大化原问题任意一个可行解的目标函数值 是其对偶问题目标函数值的下界。反之极小化问 题任意一个可行解的目标函数值是其原问题目标 函数值的上界。
推论2 若原问题(对偶问题)具有无界解，则其对偶 问题（原问题）无可行解。
推论3 若原问题(对偶问题)有可行解而其对偶问题 （原问题）无可行解，则其对偶问题（原问题） 目标函数值无界。
我们称这个线性规划问题为例1线性规划问题（我们 称为原问题）的对偶问题。
二、对称形式对偶问题
根据上述例题可见，对于对称形式的线性规划问题 ，
我们可以马上得出它的对偶问题：
Max Z C X
Min w Y 'b
AX b
X
0
A'Y C Y 0
三、非对称形式对偶问题
原问题（对偶问题）
约束条件系数矩阵 约束条件右端项向量 目标函数中价格系数向量
重复步骤2-4。
若 br 0，而对所有j，有aij 0，则原问题无可行解。
第四节 对偶单纯形法
例题：P61
练习题： minω=2x1+3x2+4x3 x1+2x2+ x3 ≥3 2x1– x2+3x3 ≥4 x1 , x2 , x3 ≥0
第五节 灵敏度分析
运筹学第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
现在换个角度分析这个问题。假若由于 某种原因，该企业（称为甲方）打算放弃 这些生产项目，而另一家企业（称为乙方）
希望收购这些资源。那么，如何确定三种
资源的转让价格，在自己方不受损失的前
提下、又要乙方愿意接受，使买卖能够成
交？
设三种资源的定价分别为y1，y2，y3 （单位：百元）。对甲方来说，企业甲利用 1吨原料A和5吨原料B，生产一单位甲产品， 收入2百元。转让这些原料的收入不能低于2
对偶问题的特点
•若原问题目标是求极大化，则对偶问 题的目标是极小化，反之亦然 •原问题的约束系数矩阵与对偶问题的 约束系数矩阵互为转置矩阵 •极大化问题的每个约束对应于极小化 问题的一个变量，其每个变量对应于对 偶问题的一个约束。
一 般 线 性 规 划 问 题 的 对 偶 问 题
对偶问题对应表
max z CX AX b X 0
这个性质说明，原问题与对偶问题是 相互对偶的。
定理2（弱对偶定理） 设
X ( x1 , x2 ,, xn )T
与 Y ( y1 , y2 ,, ym ) 分别是（ 2.3）与（2.4） 的可行解，则
C X Yb
。
推论1 极大化问题的任意一个可行解所 对应的目标函数值是其对偶问题最优目标 函数值的一个下界。 推论2 极小化问题的任意一个可行解所对 应的目标函数值是其对偶问题最优目标函 数值的一个上界。
i 1
m
m aij yi c j i 1 y 0 i
j 1,2,, n i 1,2,, m
（2.4）
我们称线性规划（2.4）为线性规划（2.3） 的对偶规划。
写成矩阵形式，原问题
max z CX AX b X 0 它的对偶问题
运筹学线性规划对偶理论与灵敏度分析ppt课件
2020/2/21
2020/2/21
一、单纯形法计算的矩阵描述
本节以对称形式的原始-对偶问题为讨论的基础， 除非特别需要，一般不再专门说明。
P. max z = CX AX≤b
D. min w = Yb YA≥C
X≥0
Y≥0
原问题通过加入松弛变量 Xs 可以化为标准形式：
max z = CX +0Xs st. AX + IXs = b
max z = x1－2 x4 + x5 － x6
x1 － x4 － x5 + x6 ≤ 2 x1－ x4 － x5 + x6 ≤ - 1 x1 + x4 + x5 － x6 ≤ 1 2x1+ x4 － x5 + x6 ≤- 2 x1 , x4 , x5 , x6 ≥0
（2）写出上述 对称形式线性规 划问题的对偶。
a12y1+ a22y2 + … + am2ym ≥ c2 ……
a1ny1+ a2ny2 + … + amnym ≥ cn y1 , y2 , …, ym ≥0
2020/2/21
原问题：
max z = C X AX ≤ b X ≥0
Y=(y1,y2,…,ym) 对偶问题： min w = Y b YA≥C Y≥0
max z =c1x1+ c2x2 +… + cnxn
a11x1+ a12x2 + … + a1nxn ≤ b1
st.
a21x1+ a22x2 + … + a2nxn ≤ b2 ……
am1x1+ am2x2 + … + amnxn ≤ bm
2020/2/21
一、单纯形法计算的矩阵描述
本节以对称形式的原始-对偶问题为讨论的基础， 除非特别需要，一般不再专门说明。
P. max z = CX AX≤b
D. min w = Yb YA≥C
X≥0
Y≥0
原问题通过加入松弛变量 Xs 可以化为标准形式：
max z = CX +0Xs st. AX + IXs = b
max z = x1－2 x4 + x5 － x6
x1 － x4 － x5 + x6 ≤ 2 x1－ x4 － x5 + x6 ≤ - 1 x1 + x4 + x5 － x6 ≤ 1 2x1+ x4 － x5 + x6 ≤- 2 x1 , x4 , x5 , x6 ≥0
（2）写出上述 对称形式线性规 划问题的对偶。
a12y1+ a22y2 + … + am2ym ≥ c2 ……
a1ny1+ a2ny2 + … + amnym ≥ cn y1 , y2 , …, ym ≥0
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原问题：
max z = C X AX ≤ b X ≥0
Y=(y1,y2,…,ym) 对偶问题： min w = Y b YA≥C Y≥0
max z =c1x1+ c2x2 +… + cnxn
a11x1+ a12x2 + … + a1nxn ≤ b1
st.
a21x1+ a22x2 + … + a2nxn ≤ b2 ……
am1x1+ am2x2 + … + amnxn ≤ bm
第08次课--第二章 对偶理论与灵敏度分析
24
第二节 改进单纯形法
则
B E
1
1
1 r0 s0
B
1
又已知 B 故只需求
E
1 r0 s0
考虑增广矩阵
( Er0s0 I )
国防科技大学
25
第二节 改进单纯形法
( Er0s0 I )
1 0 0 1 0 0 0 0
26
r i
1
0 0 0
0 0 0
, em
1 B 1 : Er B 1 0 s0
q : ir0 ; ir0 js0 ; js0 q
第二节 改进单纯形法
例 1.11 用改进单纯形法求解以下线性规划问题：
max Z 2 x1 x2 x1 x2 x3 x1 x2 6 x1 2 x2
解：
16
国防科技大学
1
第二节 改进单纯形法
假设已对线性规划模型进行标准化
max Z CX AX b X 0
初始可行基 B 为单位阵，N 是非基变量的系数子矩阵，有:
系数矩阵：
A B, N mn
X B xi1 , xi2 ,
X N x j1 ,
基变量： 非基变量：
, xim
, an 0 ，计算 B b ai1 ,
T
1
, aim
T
xir air r 1, , m x a s 1, , n m 基可行解 X： j j s s
18
国防科技大学
第二节 改进单纯形法
（ 2 ） s 1, 其中
, n m ，计算 j C B B Pj C j ，
第二章 对偶问题与灵敏度分析(修改版)
31
（4）最优性。
□如果 xj (j=1,…,n) 是原问题的可行解，yi (i= 1,…,m)是其
第二节 对偶问题的基本性质
单纯形法计算的矩阵描述 对偶问题的基本性质
1
复习线性规划问题的标准化
加 c2 x2 ... cn xn a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a x a x ... a x b 21 1 22 2 2n n 2 ................................................... a x a x ... a x b m2 2 mn n m m1 1 x1 , x2 ,..., xn 0
1 2
2 3 1 2 3 1 2 3
厂 家
3
对 偶 问 题
18
原问题化为极小问题，最终单纯形表：
原问题 的变量
原问题松弛变量
化为极小问题
x1 x3 15 / 2 0 x1 7 / 2 1 x2 3 / 2 0 （c j z） 0 j y4
对偶问题 剩余变量
x2 0 0 1 0 y5
x3 1 0 0 0 y1
cj xB b
x4 x5
σj
3 -1 2 0 0 x1 x3 x2 x4 x5
1 0 0 1
量为XB时，此过程相当
于用B-1（基B的逆矩阵）
左乘增广矩阵。 1 1 6 2 -2 4 1 0 × 1 -1 2 3 0 1 1/2 1
6 2 -2 4 1 -1 2 3 7 4
x1 x3
σj
3 2 -1 0 0 1 0 7 1 1 0 1 5 1/2 1 0 0 -32 -4 -5
XB = B-1· b
（4）最优性。
□如果 xj (j=1,…,n) 是原问题的可行解，yi (i= 1,…,m)是其
第二节 对偶问题的基本性质
单纯形法计算的矩阵描述 对偶问题的基本性质
1
复习线性规划问题的标准化
加 c2 x2 ... cn xn a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a x a x ... a x b 21 1 22 2 2n n 2 ................................................... a x a x ... a x b m2 2 mn n m m1 1 x1 , x2 ,..., xn 0
1 2
2 3 1 2 3 1 2 3
厂 家
3
对 偶 问 题
18
原问题化为极小问题，最终单纯形表：
原问题 的变量
原问题松弛变量
化为极小问题
x1 x3 15 / 2 0 x1 7 / 2 1 x2 3 / 2 0 （c j z） 0 j y4
对偶问题 剩余变量
x2 0 0 1 0 y5
x3 1 0 0 0 y1
cj xB b
x4 x5
σj
3 -1 2 0 0 x1 x3 x2 x4 x5
1 0 0 1
量为XB时，此过程相当
于用B-1（基B的逆矩阵）
左乘增广矩阵。 1 1 6 2 -2 4 1 0 × 1 -1 2 3 0 1 1/2 1
6 2 -2 4 1 -1 2 3 7 4
x1 x3
σj
3 2 -1 0 0 1 0 7 1 1 0 1 5 1/2 1 0 0 -32 -4 -5
XB = B-1· b
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• (1) 对应基变量x1，x2，…,xm的检验数是 σ i=ci-zi=ci-CBB-1Pj=0，i=1,2,…,m • (2) 对应非基变量xm+1，…，xn的检验数是 σ j=cj-zj=cj-CBB-1Pj≤0，j=m+1,…,n • 每次迭代是将基变量中的负分量xl取出，去 替换非基变量中的xk，经基变换，所有检验 数仍保持非正。从原问题来看，经过每次迭 代，原问题由非可行解往可行解靠近。当原 问题得到可行解时，便得到了最优解。
yi*的值代表对第i种资源的估价-影子价格。
• 这种估价是针对具体工厂的具体产品而存在的一种特 殊价格，称它为“影子价格”。在该厂现有资源和现 有生产方案的条件下，设备的每小时租费为1.5元， 1kg原材料A的出让费为除成本外再附加0.125元，1kg 原材料B可按原成本出让，这时该厂的收入与自己组织 生产时获利相等。 • 影子价格随具体情况而异，在完全市场经济的条件下 ，当某种资源的市场价低于影子价格时，企业应买进 该资源用于扩大生产；而当某种资源的市场价高于企 业影子价格时，则企业的决策者应把已有资源卖掉。 可见影子价格对市场有调节作用。
从以上求解过程可以看到对偶单纯形法以下优点： • (1) 初始解可以是非可行解，当检验数都为负数时 就可以进行基的变换，这时不需要加入人工变量， 因此可以简化计算。 • (2) 当变量多于约束条件，对这样的线性规划问题 用对偶单纯形法计算可以减少计算工作量，因此对 变量较少，而约束条件很多的线性规划问题，可先 将它变换成对偶问题，然后用对偶单纯形法求解。 • (3) 在灵敏度分析及求解整数规划的割平面法中，有 时需要用对偶单纯形法，这样可使问题的处理简化 。对偶单纯形法的局限性主要是，对大多数线性规 划问题，很难找到一个初始可行基，因而这种方法 在求解线性规划问题时很少单独应用。
习题
• P75 2.8 (1),(2)
根据对偶问题的对称性
• 可以这样考虑：若保持对偶问题的解是基 可行解，即cj-CBB-1Pj≤0，而原问题在非可行 解的基础上，通过逐步迭代达到基可行解 ，这样也得到了最优解。
• 其优点是原问题的初始解不一定是基可行 解，可从非基可行解开始迭代。 • 方法如下：
设原问题 max z=CX AX=b X≥0 • 又设B是一个基。 • 不失一般性，令B=(P1，P2，…，Pm)，它对应的 变量为 XB=(x1，x2，…,xm) • 当非基变量都为零时，可以得到XB=B-1b。若在 B-1b中至少有一个负分量，设(B-1b)i ＜0，并且 在单纯形表的检验数行中的检验数都为非正， 即对偶问题保持可行解，它的各分量是
z
*
b
CBB
1
Y
*
由上式可知，变量yi*的经济意义是在其他条 件不变的情况下，单位资源变化所引起的目标 函的最优值的变化。
cj
CB XB 2 x1 b 4
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x1 1
3
x2 0
0
x3 0
0
x4 1/4
0
x5 0
θ
0 3
x5 x2 -z
4 2 -14
0 0 0
0 1 0
-2 1/2
1/2 -1/8
1 0 0
-3/2 -1/8
y1*=1.5，y2*=0.125，y3*=0。
• 这说明是其他条件不变的情况下，若设备增加 一台时，该厂按最优计划安排生产可多获利1.5 元；原材料A增加1kg，可多获利0.125元；原材 料B增加1kg，对获利无影响。
图2-1
max z = 2x1+3x2 x1+2x2=8 4x1=16
换入变量的确定：
• 按上述对偶单纯形法计算步骤(3)，即在单纯形表 中检查xl所在行的各系数α lj(j=1,2,…，n)。若所有 α lj≥0，则无可行解，停止 计算。
4 2 2 min , , 1 3 2 2
• 计算故x1 为换入变量。换入、换出变量的所在列 、行的交叉处“-2”为主元素。按单纯形法计算步 骤进行迭代，得表2-7。
表 2-7
CB 0 -2 cj→ XB x4 x1 cj-zj b -1 2 -2 x1 0 1 0 -3 x2 [-5/2] -1/2 -4 -4 x3 1/2 3/2 -1 0 x4 1 0 0 0 x5 -1/2 -1/2 -1
由表 2-7 看出，对偶问题仍是可行解，而 b 列中仍有负分量。 故重复上述迭代步骤，得表 2-8。
表 2-8
cj→ CB -3 -2 XB b x2 2/5 x1 11/5 cj-zj -2 x1 0 1 0 -3 x2 1 0 0 -4 x3 -1/5 7/2 -3/5 0 x4 -2/5 -1/5 -8/5 0 x5 1/5 -2/5 -1/5
表2-8中，b列数字全为非负，检验数全为非正，故问 题的最优解为 X*=(11/5，2/5，0，0，0)T 若对应两个约束条件的对偶变量分别为y1和y2， 则对偶问题的最优解为 Y*=(y1*,y2*)=(8/5,1/5)
第6节 对偶单纯形法
• 前节讲到原问题与对偶问题的解之间的对 应关系时指出：在单纯形表中进行迭代时 ，在b列中得到的是原问题的基可行解，而 在检验数行得到的是对偶问题的基解。
• 通过逐步迭代，当在检验数行得到对偶问 题的解也是基可行解时，根据性质(2)、(3) 可知，已得到最优解。即原问题与对偶问 题都是最优解。
解 先将此问题化成下列形式，以便得到对偶问 题的初始可行基
max z=-2x1-3x2-4x3 - x1-2x2- x3+x4 =-3 -2x1+ x2-3x3 +x5=-4 xj≥0，j=1,2,…,5
例6的初始单纯形表，见表2-6。
cj→ XB x4 x5 cj-zj -2 x1 -1 [-2] -2 -3 x2 -2 1 -3 -4 x3 -1 -3 -4 0 x4 1 0 0 0 x5 0 1 0
(3) 确定换入变量 • 在单纯形表中检查xl所在行的各系数 α lj(j=1,2,…，n)。若所有α lj≥0，则无可行解 ，停止 计算。
若存在α lj＜0 (j=1,2,…，n), 计算
cj z min j a lj
j
a lj
ck zk 0 a lk
第2章 对偶理论和灵敏度分析
第5节 对偶问题的经济解释 ——影子价格
在单纯形法的每步迭代中，目标函数取值 z=CBB-1b，和检验数CN-CBB-1N中都有乘子Y=CBB-1
，那么Y的经济意义是什么?
• 设B是｛max z=CX｜AX≤b，X≥0｝的最优基，由 -Yb= -CB B-1b (2-12)式可知 • z*=CBB-1b=Y*b 。 • 对z求偏导数，得
CB 0 0
b -3 -4
从表2-6看到，检验数行对应的对偶问题的解是可行解。 因b列数字为负，故需进行迭代运算。
换出变量的确定：
• 按上述对偶单纯形法计算步骤(2)，即按 min｛(B-1b)i ｜(B-1b)i ＜0＝(B-1b)l 对应的基 变量xi为换出变量。计算 • min(-3,-4)=-4 • 故x5为换出变量。
4x2=12
• 从图2-1可看到，设备增加一台时，代表该约 束条件的直线由①移至①′，相应的最优解由 (4 ， 2) 变 为 (4 ， 2.5) ， 目 标 函 数 z=2×4+3×2.5=15.5，即比原来的增大1.5。 • 若原材料A增加1kg时，代表该约束方程的直线 由②移至②′，相应的最优解从(4，2)变为 (4.25 ， 1.875) ， 目 标 函 数 z= ２ ×4.25+3×1.875=14.125 。 比 原 来 的 增 加 0.125。 • 原材料B增加1kg时，该约束方程的直线由③移 至③′，这时的最优解不变。
按θ 规则所对应的列的非基变量xk为换入变量， 这样才能保持得到的对偶问题解仍为可行解。
(4) 以α lk为主元素，按原单纯形法在表中进行 迭代运算，得到新的计算表。 重复步骤(1)～(4)。
例6 用对偶单纯形法求解 min ω =2x1+3x2+4x3 x1+2x2+ x3≥3 2x1- x2+3x3≥4 x1，x2，x3≥0
对偶单纯形法的计算步骤如下：
• (1) 根据线性规划问题，列出初始单纯形表。 检查b列的数字，若都为非负，检验数都 为非正，则已得到最优解。停止计算。 若检查b列的数字时，至少还有一个负分 量，检验数保持非正，那么进行以下计算。
(2) 确定换出变量
• 按min｛(B-1b)i｜(B-1b)i＜0＝(B-1b)l对应的基变量 xi为换出变量