第一章_离散时间信号与系统(2)
数字信号处理第一章课后答案
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
n
（7） y(n)= x(m) 令输入为m0
x(n－n0)
输出为
n
y′(n)= =0[DD)]x(m-n0)
m0
nn0
y(n－n0)= x(m)≠y′(n) m0
故系统是时变系统。 由于
n
T［ax1(n)+bx2(n)］=
［ax1(m)+bx2(m)
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
解：
x(n)=δ(n+4)+2δ(n+2)－δ(n+1)+2δ(n)+δ(n－1)
+2δ(n－2)+4δ(n－3)+0.5δ(n－4)+2δ(n－6)
2． 给定信号：
2n+5
－4≤n≤－1
(x(n)= 6 0
0≤n≤4 其它
(1) 画出x(n)序列的波形， 标上各序列值；
（2） y(n)=x(n)+x(n+1)
n n0
（3） y(n)= x(k) k nn0
（4） y(n)=x(n－n0) （5） y(n)=ex(n)
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
解：（1）只要N≥1， 该系统就是因果系统， 因为输出 只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。
如果|x(n)|≤M， 则|y(n)|≤M， （2） 该系统是非因果系统， 因为n时间的输出还和n时间以 后（（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|≤M, 则 |y(n)|≤|x(n)|+|x(n+1)|≤2M,
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统 题2解图（四）
第一章 离散时间信号与系统
k =−∞
∑ δ (k )
n
u (n )
1
1
1
1 L n
-1
0
1
2
3
单位阶跃序列示意图
3. 矩形序列
• 矩形序列又称门函数序列，定义如下：
1 (0 ≤ n ≤ N −1) Rn (n) = 0 (n < 0 orn ≥ N) = u(n) −u(n − n0 )
R (n )
k
1
1
1
1
卷积和计算的步骤
•置换： z(n) →z(m) •翻转：x(m) ，z(m) →z(-m) 翻转： • 移位：z(-m) → z(n-m) 移位： •相乘：z(n-m) • x(m) （m值相同） 相乘： 相加： =∑ • 相加：y(n) =∑{z(n-m) • x(m)}
图解法举例
• 设两离散信号如图，求卷积和
四、用单位抽样序列表示 任意序列
• 任意序列都可以表示成单位抽样序列的加 ∞ 权和。 x(n) = ∑ x(m)δ (n − m)
m = −∞
x ( n) x(n)δ (n − m) = 0
m=n 其他
五、序列的能量
• 序列的能量为：序列各序列值的平方和：
∞
E=
n = −∞
∑ x ( n)
L
-1 0 1 2 k −1 k n
矩形序列示意图
4. 斜变序列
单位斜变序列R(n)可以看成是单位斜变信号 R(t)的抽样信号，如下图所示，表示为：
n R (n) = nu ( n) = 0
n
0
n<0
R (n) 2 1
3
L n -1 0 1 2 3
数字信号处理第一章
-1 0
1
2
n
1/4 -1 0 1 n
2012/11/3
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11
7、序列的时间尺度变换运算(2)
（2）插值： x(n/m)
例 m=2，x(n/2)相当于两个点之间插一个点，依此类 推。通常，插值用 I 倍表示，即插入（I-1）个值。
x(n) 2 1/2 -1
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10
7、序列的时间尺度变换运算(1)
若序列为 x(n) ，其时间尺度变换序列为x(mn) 或x(n/m)，m是正整数。 （1） 抽取： x(mn) 例m=2，x(2n)相当于两个点取一点，依此类推。
x(n) 2 1/4 -2 1/2 1 1 3 x(2n) 3
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•三、单位样值响应与零状态响应 定义：在零初始条件下，输入为单位样值 序列时系统的响应。
即 h(n) T [ (n)] 显然h(n)是系统对 (n)的零状态响应。
• 若已知h(n),则当任意输入x(n),响应为：
y ( n)
x(n) xa (nT ),
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n
n为整数
2
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2.
1) 2) 3)
序列的表示方法：
公式表示法； 图形表示法； 集合符号表示法：如果x(n)是通过观测得到的一组离散 数据，则其可以用集合符号表示。
例如：
x(n) x(0) x(-1) x(1) x(-2) x(2) n
当n=0时
x(n)*h(n)=1
1离散时间信号与系统2
通过一个频率特性为
Ω1 ≤ Ω ≤ Ωh 其他
的理想带通滤波器时,可恢复原来的频谱
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25
带通信号的抽样
2、带通信号的最高频率 h不为带宽 的整数倍时
即： h M • 如果 h不是的整数倍，可将人为地向频率的
低端或高端进行扩展，使 h 成为扩展后的带宽的整
数倍。 如果将带宽向频率的低端扩展到Ω0 ，扩展后Ωh 是 新的带宽 Ω1 = Ωh -Ω0的整数倍。再按Ωs = 2Ωh/M 选择M进行抽样。如令M=3，则有：
1
§3 线性时不变系统的描述
差分方程的重要特点是： 系统当前的输出（即在n时刻的输出）y(n)，不 仅与激励有关，而且与系统过去的输出 y(n-1), y(n-2), y(n-N) 有关，即系统具有记忆功能。
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2
差分方程的求解
递推法
经典解法 时域解法
详见《信号与系统》的相关章节
号，即产生了“混叠失真”，如上页图c所示。
抽样定理 要想连续带限信号抽样后能够不失真地还原出原信号，
则抽样频率必须大于或等于两倍原信号频谱的最高频率
(Ωh≤ Ωs/2)，这就是奈奎斯特抽样定理。
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12
抽样定理与A/D转换器
A/D转换器的基本原理 任何A/D转换器必须包括以下三个基本功能： 抽样、抽样保持、量化与编码
∴
h(n)= anu(n) 为因果系统
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3
例 2 经典解法
描述某线性时不变离散系统的差分方程为： y(n) 3y(n 1) 2y(n 2) 2nu(n)
试求：当初始状态为 y(-1)=0, y(-2)= ½时，求全响应。
数字信号处理教学课件-第一章 离散时间信号与系统
三、序列的基本运算 1、序列的和 ：
❖ 两序列的和是指同序号n的序列值逐项对应相加而构成
z(n) = x(n) + y(n)
的新序列x。(n)
22 1 11
0 123456 n
…… z(0) = x(0) + y(0) = 3 z(1) = x(1) + y(1) = 2 z(2) = x(2) + y(2) = 3 z(3) = x(3) + y(3) = 2 z(4) = x(4) + y(4) = 2
3 x(-n+1)
2 1
x(-n+1) 是x(-n) 右移一位后的序列
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 n
3
x(-n-1)
2
1
x(-n-1) 是x(-n) 左移一位后的序列
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 n
2020/7/27
❖ 仿真实验(Matlab)
x = wavread(‘w2.wav’); %读入声音文件 y = fliplr(x); %反褶 figure(1); plot(x); grid on; %画图显示结果 figure(2); plot(y); grid on;
……
y(n)
11 1 1 1
0 123456 n z(n)
33 2 22
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0 123456 n
❖ 仿真实验(Matlab)
x1=wavread(‘w1.wav’); %读入声音文件 x2=wavread(‘w2.wav’); y=x1+x2; %序列求和 figure(1); plot(x1); grid on; %画图显示结果 figure(2); plot(x2); grid on; figure(3); plot(y); grid on; wavwrite(y,‘w3.wav’); %结果保存为声音文件
数字信号处理-第一章(new)
2 n , n 3 x(n) 3 0, n 3 2 n 1 , n 2 x(n 1) 3 0, n 2 2 n 1 , n 4 x(n 1) 3 0, n 4
1数字信号处理第一章离散时间信号与系统11离散时间信号序列本节涉及内容序列的运算序列的周期性序列的能量几种常用序列用单位抽样序列表示任意序列2数字信号处理第一章离散时间信号与系统1离散时间信号定义??nntxnxnntxtxaanttan取整数3数字信号处理第一章离散时间信号与系统离散时间信号序列的表示形式nx表示离散时间信号序列如图1所示示0时刻的序列值表表示1时刻的序列值0x1x图14数字信号处理第一章离散时间信号与系统一序列的运算1移位m0时该移位
3、矩阵序列
RN (n) u(n) u(n N )
例如N=4
1,0 n N 1 RN ( n ) 0, 其它 n
19
数字信号处理－第一章 离散时间信号与系统
4、实指数序列
a 1 a 1
x(n) a u(n) x(n) 收敛
n
x ( n)
发散
例如a=1/2及a=2时
1 n , n 1 例： x ( n) 2 0, n 1
在－6<n<6范围内求： x(n) ，x(n)
9
数字信号处理－第一章 离散时间信号与系统 n01=-1; n02=0; ns=-5; nf=5; nf1=6; ns1=-6; n1=n01:nf1; n2=ns:nf; n3=ns:nf1; x=(1/2).^n1; x=[zeros(1,(n01-ns)),x]; for n=1:11 y1(1,n)=x(1,n+1)-x(1,n); end
第1章 离散时间信号与系统
h ( m) x ( n m)
m
m
a
n
u ( m) u ( n m)
am ,
m 0
对于 n 0,,
1 a n 1 u ( n) 1 a
28
第1章 离散时间信号与系统
离散卷积运算服从交换律、结合律和分配律。即
x(n) * h(n) h(n) * x(n)
2n， n 1 3 则 x ( n) y ( n) n 1 2， 2 ( n 1) n 1， n 0
如图1.1.8所示。
15
第1章 离散时间信号与系统
图1.1.8 两序列相加
16
第1章 离散时间信号与系统
4. 积
两序列之积是指它们同序号（n）的序列值逐项对应相 乘得到的一个新序列。
图1.1.9 例1.1.5的两个序列
18
第1章 离散时间信号与系统
1.1.3 序列的周期性
如果对所有n存在一个最小的正整数N，使x(n)满足
x(n) x(n N )
（1.1.8）
则称序列x(n)是周期序列，其周期为N。 下面讨论正弦序列的周期性 由于 则
x n Asin 0n
这时正弦序列就是周期序列，其周期满足 N （N,K必 须为整数）。具体可分以下三种情况：
0
2 k
（1）当 N 2 为整数时，只要k =1，N 就为最小正整 0 2 。 数，故正弦序列的周期即为 N
0
2
（2）当 2 不是整数，而是一个有理数时， k值逐步增 0 2 加，其取值使 N k 为最小整数，这就是正弦序列的 2 N 周期。此时 k ，其中k,N是互为素数的整数，
信号与线性系统第一章
x( t ) A sin( 0 t )
连续信号x(t)的角频率为
0 2f 0
连续信号x(t)的周期为
1 2 T0 f0 0
在分析一个序列的周期性时，是通过分析2/0的值来实现的。
2 2 T0 0 0T T
(1) 当 2/0 为整数时：
2 T0 N 0 T
5、正弦序列
x(n) A sin( 0 n )
0称为数字域频率，它表示序列变化的速率，或者说表示相邻两个 序列值之间变化的弧度数. 那么它与模拟域频率0的关系？ 对连续时间正弦信号取样可以得到正弦序列。 xa(t)=sin(Ω 0t) x(n)= xa(t)|t=nT=sin(Ω 0nT) x(n)=sin(ω 0n)
设：x2(n)= f(n)+jg(n)，则有：y2(n)=Im[x2(n)]=g(n) ①：y1(n)+ y2(n)= p(n)+g(n)
②：Im[x1(n)+ x1(n)]=Im[r(n)+jp(n)+f(n)+jg(n)] =p(n)+g(n) 因为y1(n)+ y2(n)=Im[x1(n)+ x1(n)] =p(n)+g(n)，所以该系统满 足可加性。
N称为矩形序列的长度，当N=4时，R4(n)的波形如图
R4 (n) 1
n 0 1 2 3
RN(n)=u(n)-u(n-N)＝
(n k )
k 0
N 1
4、实指数序列
a n n x( n) a u( n) 0
n0 n0
当|a|≥1时，序列发散。
当|a|< 1时，序列收敛。 当|a|< 1，且a<0时，序列是摇动的
《数字信号处理题解及电子课件》第1章_离散时间信号与离散时间系统_2
(控制系统)
Communication （通信）
System Identification （系统辨识）
Statistics
（统计）
Neural Network
(神经网络)
例：
z=peaks; surf(z)；
与本章内容有关的MATLAM文件
1. rand.m 用来产生均值为0.5、幅度在 0~1之间均匀分布的伪白噪声: u=rand(N)
sin c(t) 0
t k
sin c(t) t为其它
对离散信号，相应的sinc函数定义为:
sin c() sin(N) sin()
4. conv.m 用来实现两个离散序列的线 性卷积。其调用格式是：y=conv(x,h)
5． xcorr: 其互相关和自相关。格式是： (1)rxy=xcorr(x,y) ： 求 x,y 的 互 相 关 ； (2)rx=xcorr(x,M,’flag’）：求x的自相关，M： rx的单边长度，总长度为2M+1；‘flag’是定 标标志，若 flag=biased， 则表示是“有偏” 估计，需将rx(m)都除以N，若flag=unbiased, 则表示是“无偏”估计，需将rx(m)都除以 （N－abs(m)）；若’flag’缺省，则rx不定标。 M和‘flag’同样适用于求互相关。
而： y(n k) (n k)x(n k)
所以： y(n k) T[x(n k)]
本系统不具备移不变性！
另外，系统 是因果的，但不是稳定的
例2： y(n) ay(n 1) x(n)
本系统是线性系统、移不变系
统、因果系统，如果 a 1
则该系统是稳定的。
例3： y(n) Ax(n) B
信号与系统
《信号与系统》第一章知识点梳理1. 两种基本类型的信号：连续时间信号(t)、离散时间信号[n]。
2. 信号能量与功率：（1）连续时间信号：能量：E=⎰2t 1t 2t x ）（dt ，功率：P=12Et t -（2）离散时间信号：能量：E=[]22n 1n n n ∑=x ，功率：P=112E+-n n（3）三种重要的信号：①具有有限的总能量，平均功率为零；②具有平均功率有限，总能量无限大； ③具有无限大的平均功率和总能量。
3. 自变量的变换：（1）时移；（2）时间反转；（3）尺度变换。
4. 周期信号：（1）连续时间信号：x(t)=x(t+T) 其中最小正值T 称为x （t ）的基波周期To 。
x(t)=C,基波周期无意义，对于任意的T 来说x(t)都是周期。
一个信号x(t)不是周期的就是非周期的。
（2）离散时间信号：x[n]=x[n+N] 其中最小正值N 就是他的基波周期No 。
5.偶信号与奇信号：偶信号：x （-t ）=x(t);x[-n]=x[n] 奇信号：x(-t)=-x(t);x[-n]=-x[n] 任何信号都可以分解为两个信号之和εu{})]()([21)(t x t x t x -+=(偶部)和Od{x(t)}=)]()([21t x t x --（奇部）5. 连续时间复指数信号x(t)=C ate （其中C 和a 一般为复数）。
其中实指数信号C 和a 都为实数。
周期复指数信号a 是纯虚数x(t)=tjw 0etjw 0e=)(0eT t jw +。
基波周期00w 2π=T 。
正弦信号：x(t)=Acos(φ+t w 0)。
t jw j t jw j e e A e e A t w A 0022)cos(0--+=+φφφ 欧拉关系：tjw 0e=t w j t w 00sin cos + Acos(φ+t w 0)=ARe{)(0φ+t w j e};Asin(φ+t w 0)=AIm{)(0φ+t w j e};周期复指数信号具有有限平均功率P=1，总能量无限大。
1 离散时间信号与系统
其中把卷积和用 * 来表示。
• 卷积和的运算在图形表示上可分为四步：翻褶、移位、 相乘、相加。 • (1)翻褶 : 先在哑变量坐标 m 上作出 x(m)和 h(m), 将 h(m) 以 m=0 的纵轴为对称轴翻褶成 h(-m) 。 • (2) 移位 : 将 h(-m) 移位 n, 即得h(n-m) 。当 n 为正整数 时, 右移 n 位。当 n 为负整数时, 左移 n 位。 • (3) 相乘 : 再将 h(n-m) 和x(m) 的相同 m 值的对应点值 相乘。 • (4) 相加 : 把以上所有对应点的乘积叠加起来 , 即得y( n) 值。 • 依上法, 取 n= … , -2,-l ,0,1,2, …各值, 即可得全部 y(n) 值。
• 2. 结合律 • 可以证明卷积和运算服从结合律，即
• 这就是说，两个线性移不变系统级联后仍构成一个线性移不变系 统，其单位抽样响应为两系统单位抽样响应的卷积和，且线性移 不变系统的单位抽样响应与它们的级联次序无关，如图 1-21以下关系 : • 也就是说，两个线性移不变系统的并联(等式右 端)等效于一个系统，此系统的单位抽样响应等于 两系统各自单位抽样响应之和(等式左端)。如图 1-22 所示。
• 2. 翻褶 如果序列为 x(n), 则 x(-n) 是以 n=0 的纵轴为对称 轴将序列 x(n) 加以翻褶。
• 3. 和 两序列的和是指同序号 (n) 的序列值逐项对应相加而 构成一个新的序列, 表示为：z(n)=x(n)+y(n) • 4. 积 两序列相乘是指同序号 (n) 的序列值逐项对应相乘。 表示为: z(n)=x(n)﹒y(n) • 5. 累加 设某序列为 x(n), 则 x(n) 的累加序列 y(n)定义为
m m
数字信号处理教程 程佩青 课后题答案
第一章 离散时间信号与系统2.任意序列x(n)与δ(n)线性卷积都等于序列本身x(n)，与δ(n-n 0)卷积x(n- n 0),所以（1）结果为h(n) (3)结果h(n-2) （2（4）3 .已知 10,)1()(<<--=-a n u a n h n，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为 )(n h 的线性移不变系统的阶跃响应。
4. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：)6()( )( )n 313si n()( )()873cos()( )(ππππ-==-=n j e n x c A n x b n A n x a分析：序列为)cos()(0ψω+=n A n x 或)sin()(0ψω+=n A n x 时，不一定是周期序列，nmm m n n y n - - -∞ = - ⋅ = = ≥ ∑ 2 31 2 5 . 0 ) ( 01当 3 4n m nm m n n y n 2 2 5 . 0 ) ( 1⋅ = = - ≤ ∑ -∞ = - 当 aa a n y n a a an y n n h n x n y a n u a n h n u n x m m nnm mn -==->-==-≤=<<--==∑∑--∞=---∞=--1)(11)(1)(*)()(10,)1()()()(:1时当时当解①当=0/2ωπ整数，则周期为0/2ωπ；②；为为互素的整数）则周期、（有理数当 , 2 0Q Q P QP =ωπ ③当=0/2ωπ无理数 ，则)(n x 不是周期序列。
解：（1）0142/3πω=，周期为14 （2）062/13πω=，周期为6 （2）02/12πωπ=，不是周期的 7.（1）[][]12121212()()()()()()[()()]()()()()[()][()]T x n g n x n T ax n bx n g n ax n bx n g n ax n g n bx n aT x n bT x n =+=+=⨯+⨯=+所以是线性的T[x(n-m)]=g(n)x(n-m) y(n-m)=g(n-m)x(n-m) 两者不相等，所以是移变的y(n)=g(n)x(n) y 和x 括号内相等，所以是因果的。
第一章 离散时间信号和系统
30
一、线性时不变系统
1.线性系统
y1 ( n) T [ x1 ( n)]
y2 ( n) T [ x2 ( n)]
（1）可加性 （2）奇次性
y1 (n) y2 (n) T [ x1 (n) x2 (n)]
u( n) ( n m )
m 0
(n)
1
0 u(n)
1
0 1
n
…
n
22
(3). 矩形序列
1, 0 n N 1 R N ( n) 0 , 其他n
RN (n) 和 (n) 、 (n) 的关系为： u
RN (n)
RN (n) u(n) u(n N )
取和
11
例1 - 1 - 2 已知x(n) h(n) 1 ， 3，求x(n) h(n)。 2， n 0
x(m)
解：
（1）翻褶 (2) 移位、相乘、累加
n<0, y(n)=0 n＝0, y(n)=1 n=1, y(n)=1•2+2•1=4 n=2, y(n)=1•3+2•2+ 1•3 =10
(n 1) 2 (n) (n 2) 0.5 (n 3) 1.5 (n 4) 28
1.2 离散时间系统
29
离散时间系统定义: 离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。
x(n)
T[.]
y(n)
y(n)=T[x(n)]
例如 理想时延系统 : y ( n) x( n n0 )
2
数字信号处理西安邮电大学第一章 (2)
如右图所示。
2. 移位、翻转及尺度变换
设序列x(n)，其移位序列为x(n-m)；
当m >0时，称为x(n)的延时(右移）序列； 当m <0时，称为x(n)的超前(左移）序列。 x(-n)则是x(n)的翻转序列（关于纵轴翻转）。 x(mn)是x(n)序列每m（m≥1）个点取一点形成的（序
列的抽取）。如当m=2时，x(2n)是x(n)每两个点取一个点。
函数δ(t)。但是， 在连续时间系统中，δ(t)是 t=0 点脉
宽趋于零，幅值趋于无限大，面积为1的信号，是极
限概念的信号， 并非任何现实的信号。而离散时间系 统中的δ(n)，却完全是一个现实的序列， 它的脉冲幅 度是1， 是一个有限值。
2． 单位阶跃序列u(n)
1 u ( n) 0
n0 n0
(1-1)
这个序列只在n=0 处有一个单位值1，其余点上皆为0， 因
此也称为“单位采样序列”。单位采样序列如图1-2所示。
(n)
1 … －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 … n
图 1-2 δ(n)序列
这是最常用、最重要的一种序列，它在离散时间
系统中的作用，很类似于连续时间系统中的单位冲激
P 0 Q 2
其中，P,Q为互素的整数，取k=Q,则N=P。
（3）当2π/ω0是无理数时，则任何k皆不能使N取正整数。 这 时，正弦序列不是周期性的。 这和连续信号是不一样的。
同样，指数为纯虚数的复指数序列
x(n) Ae j0n
的周期性与正弦序列的情况相同。
四、 用单位采样序列来表示任意序列
…
n
－1 0 1 2 3 4 5
… n
－1 0 1 2 3 4 5
信号与系统第一章总结
信号与系统第一章总结1、信号的分类（1）周期信号和非周期信号两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T 1和T 2，若其周期之比T 1/T 2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T 1和T 2的最小公倍数。
（2）连续信号和离散信号连续时间信号：信号存在的时间范围内，任意时刻都有定义。
用t 表示连续时间变量。
离散时间信号：在时间上是离散的，只在某些不连续的规定瞬时给出函数值， 用n 表示。
（3）模拟信号，抽样信号，数字信号 模拟信号：时间和幅值均为连续的信号。
抽样信号：时间离散，幅值连续的信号。
数字信号：时间和幅值均为离散的信号。
（4）按照信号能量特点分类：能量受限信号：若信号f (t)的能量有界，即E<∞ ,则称其为能量有限信号，简称能量信号，此时P = 0。
功率受限信号：若信号f(t)的功率有界，即P<∞ ,则称为功率有限信号，简称功率信号，此时E = ∞。
PS ：时限信号为能量信号；周期信号属于功率信号。
2、典型的确定性信号（1）指数信号： ， α=0 直流（常数）；α<0 指数衰减；α>0指数增长。
通常把称为指数信号的时间常数，记作τ ,代表信号衰减速度，具有时间的量纲。
对时间的微分和积分仍然是指数形式（2）正弦信号：，振幅K ，周期T=ωπ2 ,初相衰减正弦信号：对时间的微分和积分仍然是同频率的正弦信号 （3）复指数信号：α1θdt t f E 2)(⎰∞∞-∆=⎰-∞→=222|)(|1lim T T T dt t f T P t K t f αe )(=)sin()(θω+=t K t f ()0sin e )(>⎩⎨⎧<≥=-αωαt t t K t f t()()t K t K t K t f t t stωωσσsin e j cos e )( e )(+=∞<<-∞=为复数，称为复频率j ωσ+=s rad/s的量纲为 ，/s 1 的量纲为 ωσ振荡衰减增幅等幅⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≠<≠>≠= 0 ,0 0 ,0 0 ,0ωσωσωσ⎪⎩⎪⎨⎧=<=>==衰减指数信号升指数信号直流 0 ,0 0 ,0 0 ,0ωσωσωσ（4）抽样信号（重点）： 性质：1. 偶函数2. 3. 4.5. 6.（5）钟形信号（高斯函数）：3、信号的平移，反褶，展缩（1）平移：左加右减（注意符号）（2）反褶：关于y 轴对称（3）展缩：f(t)到f(at)，图形变换(1/a)倍变换方法： 1. 先展缩：a>1，压缩a 倍； a<1，扩展1/a 倍 2. 后平移：+，左移b/a 单位；－，右移b/a 单位 3. 加上倒置：4、阶跃信号和冲激信号（1）单位阶跃信号（通常以u （t ）表示）门函数：符号函数：ttt sin )Sa(=)Sa(lim ，即1)Sa(,00===→t t t t 3,2,1π,0)Sa(=±==n n t t ，⎰⎰∞∞-∞==πd sin ,2πd sin 0t t t t t t 0)Sa(lim=±∞→t t ()()t t t ππsin )sinc(=2e )(⎪⎭⎫ ⎝⎛-=τt E tf ()()()[]()0 >±=±→a a b t a f b at f t f 设()()[]a b t a f b at f -=±-()[(/)]f t f a t b a →±()()f t f at →210 0100)(点无定义或⎩⎨⎧><=t t t u ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22ττt u t u t f ⎩⎨⎧<->=0101)sgn(t t t（2）单位冲激信号：①定义：狄拉克函数 只在t=0时，函数值不为0；积分面积为1；t =0 时，为无界函数。
数字信号处理习题及解答
数字信号处理习题及解答
第三章 信号的傅里叶变换 4 已知长度为N=10的两个有限长序列：
1 x1(n) 0
0≤ n≤ 4 5≤ n≤ 9
1 x2 (n) 1
0≤ n ≤ 4 5≤ n ≤ 9
做图表示x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)， 循环卷积区间长度L=10。
数字信号处理习题及解答
故系统是非时变系统。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=［ax1(n)+bx2(n)］2 ≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ =ax21(n)+bx22(n)
因此系统是非线性系统。
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第一章 离散时间信号与离散时间系统
2 给定下述系统的差分方程， 试判定系统是否是因果稳定系统， 并说明理由。
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第二章 Z变换及离散时间系统分析
3 解答 (2) 收敛域0.5<|z|<2:
F(z) (5z 7)z n (z 0.5)(z 2)
n≥0时， c内有极点0.5，
x(n) Res[F(z), 0.5] 3 (1)n 2
n<0时， c内有极点 0.5、 0 ， 但 0 是一个n阶极点， 改成求c 外极点留数， c外极点只有一个， 即2，
x( n)
3
1
n
2
2n u(n)
2
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第三章 信号的傅里叶变换 1 设题图所示的序列x(n)的FT用X(ejω)表示， 不直接求出X(ejω)， 完成 下列运算或工作：
X (e j0 )
π X (e j )d π
X (e jπ )
数字信号处理习题及解答
数字信号处理程佩青第三版课件(全套课件)
j0n
M 0, 1, 2
表明复指数序列具有以2为周期的周期性，在 以后的研究中，频率域只考虑一个周期就够了。
7. 周期序列
如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等
式成立： x(n) x(n N)
则称x(n)为周期序列，最小周期为N。
例：
x(n) sin( n)
4
x(n) sin[ (n 8)],
4
N 8
一般正弦序列的周期性
设 x(n) Asin( 0n )
式中，A为幅度，ω0为数字域频率，为初相。
那么 x(n N ) Asin[ 0 (n N ) ] Asin( 0n 0N )
如果 x(n) x(n N)
则 Asin( 0n ) Asin[ 0 (n N) ]
N (2 /0 )k N，k均取整数
xa(t) 0
xa(nT)
t
2T
0
t
T
这里 n 取整数。对于不同的 n 值，xa(nT) 是 一个有序的数字序列，该数字序列就是离散时间信 号。注意，这里的n取整数，非整数时无定义，另 外，在数值上它等于信号的采样值，即
x(n) xa (nT ), n
离散时间信号的表示方法：公式表示法、图形 表示法、集合符号表示法，如
线性卷积的计算
y(n) x(m)h(n m) x(n) h(n) m
计算它们的卷积的步骤如下： (1)折叠：先在哑变量坐标轴k上画出x(k)和
h(k)，将h(k)以纵坐标为对称轴折叠成 h(-k)。 (2)移位：将h(-k)移位n，得h(n-k)。当n为
正数时，右移n；当n为负数时，左移n。 (3)相乘：将h(n-k)和x(k)的对应取样值相乘。 (4)相加：把所有的乘积累加起来，即得y(n)。
数字信号处理教程-程佩青-课后题答案
第一章 离散时间信号与系统2.任意序列x(n)与δ(n)线性卷积都等于序列本身x(n)，与δ(n-n 0)卷积x(n- n 0),所以（1）结果为h(n) (3)结果h(n-2) （2（4）3 .已知 10,)1()(<<--=-a n u a n h n，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为 )(n h 的线性移不变系统的阶跃响应。
4. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：)6()( )( )n 313si n()( )()873cos()( )(ππππ-==-=n j e n x c A n x b n A n x a分析：序列为)cos()(0ψω+=n A n x 或)sin()(0ψω+=n A n x 时，不一定是周期序列，nmm m n n y n - - -∞ = - ⋅ = = ≥ ∑ 2 31 2 5 . 0 ) ( 01当 3 4n m nm m n n y n 2 2 5 . 0 ) ( 1⋅ = = - ≤ ∑ -∞ = - 当 aa a n y n a a an y n n h n x n y a n u a n h n u n x m m nnm mn -==->-==-≤=<<--==∑∑--∞=---∞=--1)(11)(1)(*)()(10,)1()()()(:1时当时当解①当=0/2ωπ整数，则周期为0/2ωπ；②；为为互素的整数）则周期、（有理数当 , 2 0Q Q P QP =ωπ ③当=0/2ωπ无理数 ，则)(n x 不是周期序列。
解：（1）0142/3πω=，周期为14 （2）062/13πω=，周期为6 （2）02/12πωπ=，不是周期的 7.（1）[][]12121212()()()()()()[()()]()()()()[()][()]T x n g n x n T ax n bx n g n ax n bx n g n ax n g n bx n aT x n bT x n =+=+=⨯+⨯=+所以是线性的T[x(n-m)]=g(n)x(n-m) y(n-m)=g(n-m)x(n-m) 两者不相等，所以是移变的y(n)=g(n)x(n) y 和x 括号内相等，所以是因果的。
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计 算 y ( n )。
两个系统级联的例子
设系统一的输出：
( n ) x ( n ) h1 ( n )
m
x ( m ) h1 ( n m )
x(m )h (n m )
1 m 0
u ( m )[ ( n m ) ( n m 4 ) u ( n ) u ( n 4 )
设 有 界 输 入 | x ( n ) | A , A为 任 意 正 数 有 :-A x(n) A, 得 :a
A
y (n) a
A
得 到 的 是 有 界 输 出,系 统 稳 定
• 判断系统不稳定
对 于 系 统 ： y (n) nx(n) 设 有 界 输 入 x ( n ) 1, 有 y ( n ) n , 得 到 的 是 无 界 输 出,系 统 不 稳 定
(N2+M2) – (N1+M1) - 1 = M + N -1
两个系统级联的例子
输 入 ： x ( n ) u ( n ), 系 统 一 ： h1 ( n ) ( n ) ( n 4 ), 系 统 二 ： h 2 ( n ) a u ( n ), | a | 1,
n
2、h(n) a u (n)
n
讨论因果性： u(n) 为因果序列，系统为因果系统 讨论稳定性：
h ( m)
m
m
a u(n) a lim a lim
n n n m 0 N n 0 N
N 1
1 a
N
1 a
只有当|a|<1时，
离散时间系统四个特征
• 系统的线性性、时不变性、因果性和稳定 性反映的是系统的四个不同特性，相互之 间没有直接关联。
线性性、时不变性：约束的是输入、输出 之间的关系，系统求解规则； 因果性和稳定性反映的是系统的可实现性。
离散时间系统四个特征
• 线性性：零输入=>零输出 • 线性时不变系统：输出等于单位脉冲响应与输入 的线性卷积：
m 0
( n ) ( n 1) ( n 2 ) ( n 3) R 4 ( n )
两个系统级联的例子
y ( n ) ( n ) h2 ( n ) [ ( n ) ( n 1) ( n 2 ) ( n 3)] h 2 ( n ) h 2 ( n ) h 2 ( n 1) h 2 ( n 2 ) h 2 ( n 3) a u ( n ) a u ( n 1) a 因此有： y ( n ) 0 , n 0
y1 (n) T [ x(n)] T [ (n)] n (n) 0 y2 (n) T [ x(n 1)] T [ (n 1)] n (n 1) (n 1)
y2 (n) y1 (n 1)
系统是时变系统。若系统有一移（时） 变增益n,系统一定是移变系统。
不是线性系统，事实上系统不符合零输 入 》零输出的条件。
不区分时不变和移不变，Time-Invariant ,Shift-Invariant
例：证明下列系统是时不变系统：
y (n) T [ x(n)] ax(n) b a, b为常数
证明：
y (n) T [ x(n)] ax(n) b
0
m) x(n) (n n0 )
一般规则：
3、对长度分别为N和M的两个有限长序列的线 性卷积，输出序列的长度为N+M-1，
x(n), n N1,...N 2
N = N2 - N1 + 1 M = M2 - M1 + 1
h(n), n M 1,...M 2
而且，输出序列长度:
或
D
图解法：
特例：
1、序列与单位脉冲序列的卷积等于序列本身：
x ( n)
x(m) (n m) x(n) (n)
m
2、序列与移位的单位脉冲序列的卷积等于序列 本身移位：
x(n n0 )
x(m) (n n
m
y ( n) h( n) x ( n )
• 因果稳定的线性时不变系统：
y ( n) h( n) x ( n )
，h(n) h(n)u (n)
n
h( n)
The End
ห้องสมุดไป่ตู้
n n 1 n2 n3
u (n 2) a
u ( n 3)
y ( 0 ) 1, n 0 y (1) 1 a , n 1 y (2) 1 a a , n 2
2
尝试用结合律求解
a
n3
y (n) a a
n
n 1
a
n2
,n 3
计算方法如下： 一个序列相对另一序列进行移位，对应点相乘并求和。
h ( m)
m
1 1 a
系统稳定
另外，可以依据定义判断系统的稳定性： • 判断系统不稳定 只需举特例证明，有界输入得出有界输出 即可； • 判断系统稳定 需要证明所有有界输入下系统稳定（输出 有界）。
• 判断系统稳定
对 于 系 统 ： y (n) a
x(n)
, a为 正 整 数
y ( n) x ( n) u ( n)
x(m)u(n m) x(m)
m m
n
讨论因果性： u(n) 为因果序列，系统为因果系统 讨论稳定性：
h ( m)
m
u ( n)
m
n
1
m 0
系统不稳定
例1-2-5 讨论下列系统的因果、稳定性
y(n n0 ) T [ x(n n0 )] ax(n n0 ) b
尽管系统不是线性系统，但却是时不变系统。 可见：线性性和时不变性是系统两个相互独 立的特性。
例：证明下列系统不是时不变系统：
y (n) T [ x(n)] nx(n)
可以按定义证明，也可举出特例 证明：以 x(n) (n) 为输入的特例：
y (n0 )
m
n0
x(m)h(n0 m)
x ( m) h ( n
m n0 1
0
m)
如果序列满足x(n) =0, n<0,称为因果序列
即单位脉冲响应 绝对可和。
0
n>-1,h(n)=0
例1-2-4 讨论下列系统的因果、稳定性
1 h( n ) u ( n ) 、
a, b为非零常数
证明：
y1 (n) T [ x1 (n)] ax1 (n) b
y2 (n) T [ x2 (n)] ax2 (n) b
y(n) T [ x1 (n) x2 (n)] ax1 (n) ax2 (n) b
y(n) y1 (n) y2 (n)
加权和：同时满 足可加性和比例 性。
*一般性质的叠加原理
a y ( n) T [ a x ( n )]
i i i i i 1 i 1
N
N
信号和比例常数均可为复数。 输入序列的线性组合得出输出的 线性组合。 显然：零输入 》零输出
例：证明下列系统是非线性系统：
y (n) T [ x(n)] ax(n) b