1微分中值定理101202y

例6
2010-12-27
⇔ [ f ( x ) tan x ]′ x =ξ = 0
21
证明 设 F ( x) = f ( x) tan x,
显然，F ( x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导 且有F (0) = f (0) tan 0 = F (1) = f (1) tan1 = 0 所以，F ( x)在[0,1]上满足罗尔定理的条件.
2010-12-27 19
例5 已知f(x)在区间(a,b)内存在二阶导数， a<x1<x2<x3<b，且f(x1)=f(x2)=f(x3)，试证明 在(a,b)内至少存在一点ξ ，使f "(ξ)=0 证明：∵f(x)在区间(a,b)内二阶可导 ∴f(x)在区间[x1,x2]，[x2,x3]内连续可导 f(x1)=f(x2)=f(x3) ∵ 由罗尔定理，存在ξ 1∈(x1,x2) ， ξ 2∈(x2,x3) 使得f '(ξ 1)=0，f '(ξ 2)=0 ∵ (ξ1 , ξ 2 ) ⊂ (a , b) ∴再由罗尔定理得，
∴ 构 造 辅 助 函 数 F ( x ) = xf ( x )， 就 可 以 用
2010-12-27
罗尔定理来证明。
17
证明 令F ( x ) = xf ( x ), 则F ′( x ) = xf ′( x ) + f ( x ) ∴ F ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导， 且端点值相等：F (a ) = F (b) = ab, ∴ F ( x)在[a, b]上满足罗尔定理条件，于是 至少存在一点ξ ∈ (a, b)，使得 F ′(ξ ) = 0,
∵ f ( x) = x 2 − 2 x − 3是一个多项式 ∴ f ( x)在[−1,3]上连续,在(−1,3)内可导
解 答
又f (−1) = f (3) = 0. 因此, f ( x)满足Rolle定理的三个条件.故有 f ′(ξ ) = 2(ξ − 1) = 0(−1 < ξ < 3), 得ξ = 1 即在(−1,3)内存在一点ξ = 1，使得f ′(ξ ) = 0.
于是，至少存在一点ξ ∈(0,1),使得F (ξ ) = 0,
'
即2 f (ξ ) + f (ξ ) sin 2ξ = 0.
'
2010-12-27
22
设f ( x ) = x 2 − 2 x − 3, x)是否满足Rolle定理的条件？若满足,
求出定理中使f (ξ ) = 0的ξ .
The Mean Value Theorem
一、引言 二、微分中值定理 1、罗尔(Rolle )定理 Rolle) 2、拉格朗日(Lagrange)定理 3、柯西(Cauchy)定理 三 、小结
2010-12-27 3
一、引言(Introduction)
导数刻划函数在一点处的变化率，它反映 函数在一点处的局部变化性态；但在理论研究 和实际应用中，还需要把握函数在某区间上的 整体变化性态。 中值定理揭示了函数在某区间上的整体性 质与该区间内某一点导数之间的关系。 中值定理既是利用微分学解决应用问题的 模型，又是解决微分学自身发展的理论基石。
解 ∵ f ( x), f ′( x)都是多项式 ∴ f ( x)在闭区间[-2， -1]， [-11] ，， [1 ，上连续， 3]
f ( x)在开区间(-2， -1)， (-11) ，，， (1 3) 上可导; 且f ( −2) = f ( −1) = f (1) = f (3) = 0,
∴ f ( x)在[-2， -1]， [-11] ，， [1 ，上均满足 3] R − Th 条件 .
§4.1 微 分 中 值 定 理
易伟明
2010-12-27
1
第四章 中值定理及导数的应用
§4.1 微分中值定理 §4.2 洛必达法则 §4.3 用导数研究函数的单调性、极值、和最值 §4.4 函数曲线的凹向及拐点 §4.5曲线的渐近线与函数作图
2010-12-27
§4.6导数在经济学中的应用
2
§4.1 微分中值定理
2010-12-27
�题型3：找函数(由结论入手，求解微分方程)
12
例1 设f ( x ) = 2x − 5x − 2x + 5, x ∈ [ −1,1],
3 2
验证f ( x )是否满足Rolle定理的条件？ 若满足,求出定理中使f (ξ ) = 0的ξ .
解 ∵ f ( x) = 2x3 − 5x 2 − 2 x + 5
y A
y = f ( x)
f ′( x ) = 0, 可取(a, b)内任一点作为 ξ ; 2) 若 M ≠ m, 由 f ( a ) = f (b) 知,
M , m 至少有一个要在 ( a , b) 内取得.
不妨设 M 在 ( a , b ) 内点 ξ 处取得, 即 o
B x
aξ
b
f (ξ ) = M ≠ f ( a ) ⇒ f (ξ + ∆x ) ≤ f (ξ )
2010-12-27 4
二、微分中值定理The Mean Value Theorem
在微分中值定理的三个定理中，拉格 朗日(Lagrange)中值定理是核心定理，罗 尔中值定理是它的特例，柯西中值定理 是它的推广。 下面我们逐一介绍微分中值定理。
2010-12-27 5
2010-12-27
6
1、罗尔 ( Rolle ) 定理(RTh ) (R-Th Th)
2）唯一性 设另有 x1 ∈ (0,1), x1 ≠ x 0 , 使 f ( x1 ) = 0.
∵ f ( x) 在 x0 , x1 之间满足罗尔定理的 条件, ∴ 至少存在一个 ξ (在 x0 , x1 之间), 使得 f ′( ξ ) = 0. 但 f ′( x ) = 5 x 4 + 1 > 0( x ∈ (0,1)) 矛盾, ∴ 为唯一实根 .
2 ′ f ( x) = 6x − 10x − 2都是多项式；
∴ f ( x)在[−1,1]上连续,在(−1,1)内可导 且f (−1) = f (1) = 0. ∴ f ( x)满足Rolle定理的三个条件.
2010-12-27 13
而 f ′(ξ ) = 6ξ − 10ξ − 2 = 0 (−1 < ξ < 1)
注：本例中，应用定理的关键是主动找区间。
2010-12-27 16
例3 设f ( x)在[a, b](0 < a < b)上连续，在(a, b) 内可导，且f (a ) = b, f (b) = a, 证明在(a, b)内至 f (ξ ) 少存在一点ξ，使得f ′(ξ ) = − . ξ f ( x) 分 析 f ′( x ) = − ⇒ xf ′( x ) + f ( x ) = 0 x ⇒ ( xf ( x )) ′ = 0; 若 令 F ( x ) = xf ( x ) 则 问 题 的 结 论 就 转 化 为 证 明 F ′( x ) = 0
2010-12-27
存在 ξ3 ∈ (ξ1 , ξ 2 ) ⊂ (a, b), 使得
f "(ξ3 ) = 0.
20
f ( x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导， 且f (1) = 0, 证明 : 至少存在一点ξ ∈ (0,1)使得 2 f (ξ ) + f ′(ξ ) sin 2ξ = 0.
2010-12-27 15
∴ 在(−2, −1)内至少存在一点ξ1 ,使f ′(ξ1 ) = 0； 在(−1,1)内至少存在一点ξ 2 ,使f ′(ξ 2 ) = 0； 在(1,3)内至少存在一点ξ3 ,使f ′(ξ3 ) = 0. 即 ξ1、ξ 2、ξ3是f ′( x) = 0的三个实根.
又 ∵ f ′( x) = 0为三次方程 ∴它最多只有三个实根这三个实根，它们 分别在区间(-2， -1),(-11),(1 ， ，内 3) .
分 析 当ξ ∈ （ 0， 1） 时 ,有 2 f (ξ ) + f ′(ξ )sin2ξ = 0
⇔ f (ξ ) + f ′(ξ ) sin ξ cos ξ = 0
解 答
1 ⇔ f (ξ ) + f ′(ξ ) sin ξ = 0 cos ξ 1 ⇔ f (ξ ) + f ′(ξ ) tan ξ = 0 2 cos ξ
23
2010-12-27
证明方程 x 5 + x − 1 = 0 有且仅有一个正实根 .
5 1）存在性 设 f ( x ) = x + x − 1, 则 f ( x )在[0,1]连续 ,且 f (0) = −1, f (1) = 1.由零点定理 5
解 答
∃ x 0 ∈ (0,1), 使 f ( x 0 ) = 0. 即为方程的正实根.
2
5 − 37 得 ξ1 = ∈ (−1,1)， 6 5 + 37 ξ2 = ∉ (−1,1) (舍去) 6 ∴ 在(−1,1)内存在一点ξ1，使得f ′(ξ1 ) = 0.
2010-12-27
14
例2 已知f ( x) = ( x + 2)( x + 1)( x − 1)( x − 3), 不求导 数，试确定f ′( x) = 0有几个实根及其所在范围.
⎧ 1) 在闭区间 [a , b] 上连续; 若函数 f ( x ) 满足：⎪ ⎨ 2) 在开区间 ( a , b) 内可导; ⎪ ⎩ 3) f ( a ) = f (b), 则在 ( a , b ) 内至少 有一点 ξ ( a < ξ < b ), 使 f ′(ξ ) = 0 .
y
y = f ( x)
注意：在后面，本题还将用其他方法加以证明。
2010-12-27
24