直线倾斜角和斜率
直线的倾斜角和斜率
2 (2) 40
4 4
1
∵ k BC 0 ∵ k CA 0
∴直线AB的倾斜角为零度角。 ∴直线BC的倾斜角为钝角。 ∴直线CA的倾斜角为锐角
三、小结：
1、直线的倾斜角定义及其范围： 180 0 2、直线的斜率定义： k tan a ( a 90 ) 3、斜率k与倾斜角 之间的关系：
4、斜率公式：k
y 2 y1 x 2 x1
(或 k
y1 y 2 x1 x 2
)
作业：
P98 A组1, 2, 3, 4, 5
B组5, 6
1、直线倾斜角的定义：
当直线l与X轴相交时，我们取X轴作为基 准，X轴正向与直线L向上方向之间所成的角 叫做直线的倾斜角（angle of inclination）
y
l
a
x o
注意： (1)直线向上方向； (2)x轴的正方向。
练习：
下列四图中，表示直线的倾斜角的是( A )
y y
A
y
a
x x o
C
x
o
o
a
B
y
a
o
D
x
a
2、直线倾斜角的范围：
当直线 l 与 x 轴平行或重合时，我 们规定它的倾斜角为 0 ，因此，直线 的倾斜角的取值范围为： a 180 0
按倾斜角去分类，直线可分几类？
y y y y
a
零度角
a
x x o o x
x
o
o
锐角
直角
钝角
3、直线倾斜角的意义
体现了直线对x轴正方向的倾斜程度 在平面直角坐标系中，每一条直线都 有一个确定的倾斜角。
高中数学-直线斜率与倾斜角
法是正确的（ D, F ）
A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率； B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大； C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或π； D.两直线的斜率相等，它们的倾斜角相等； E.两直线的倾斜角相等，它们的斜率相等； F.直线斜率的范围是(－∞，＋∞).
直线的倾斜角
▪ 倾斜角的取值范围是
0。 180。
y
l
x o
▪ 坐标平面上的任何一条直线都有唯一 的倾斜角；而每一个倾斜角都能确定 一条直线的方向.
▪ 倾斜角直观地表示直线对x轴正方向的 倾斜程度.
日常生活中表示倾斜程度的量？
日 常 生 活 中 ， 我 们 经 常用 “ 升 高 量 与 前 进 量 的比 ” 表 示 倾 斜 面 的 “ 坡 度 ”（ 倾 斜 程 度 ） ， 即
举例
例3 如图，直线l1 的倾斜角α1=300，直
线l2⊥l1，求l1，l2 的斜率.
y
解：
l1的斜率k1
tan
1
tan
30。
3 3
l2
1
l2的倾斜角2 90。 30。 120。 O
l1
2 x
l
的斜
2
率k
2
tan
120。
tan( 180。
60。)
tan 60。 3
举例
例4 求过A（-2，0），B（-5，3）两 点的直线的倾斜角和斜率.
1且0。
。
180
45。
当k
1时 ，tan
1且0。
。
180
135。
所 求 直 线 的 倾 斜 角 为45。或135。
再见
y y
直线斜率与倾斜角的关系
直线斜率与倾斜角的关系
倾斜角与斜率的关系：k=tanα。
k是斜率，α是倾斜角。
斜率等于倾斜角的正切值，比如简单的正比例函数y=x，斜率是1，倾斜角是45度，tan45°=1。
斜率与倾斜角
斜率k=tanα（α倾斜角）
所以只能说斜率的绝对值越大，所表示的直线越靠近y轴
而因为tan180度=0
所以实际上，当倾斜角接近180度时，斜率的绝对值是接近于0的
斜率的定义
斜率亦称“角系数”，表示平面直角坐标系中表示一条直线对横坐标轴的倾斜程度的量。
直线对X 轴的倾斜角α的正切值tgα称为该直线的“斜率”，并记作k，k=tgα。
规定平行于X轴的直线的斜率为零，平行于Y轴的直线的斜率不存在。
对于过两个已知点(x1，y1) 和(x2，y2)的直线，若x1≠x2，则该直线的斜率为k=(y1-y2)/(x1-x2)。
即k=tanα=(y1-y2)/(x1-x2)。
直线的倾斜角和斜率 课件
【解析】 (3)∵l 与 x 轴交于点 P，且倾斜角为 α，∴0°< α<180°.
又∵逆时针旋转后得到倾斜角为 α＋45°， ∴0°≤α＋45°<180°. 综上：00°°<≤αα<＋18405°°，<180°，解得 0°<α<135°. 【答案】 (1)B (2)90° (3)0°<α<135°
【思路分析】 直接用斜率公式去求． 【解析】 (1)kPQ＝－－21－－11＝32. (2)∵x1＝x2，∴斜率不存在． (3)当 m＝2 时，斜率不存在； 当 m≠2 时，kPQ＝m2－－12＝m－1 2.
题型三 直线的倾斜角与斜率的关系
例 3 (1)已知过点 A(2m，3)，B(2，－1)的直线的倾斜角为 45°，求实数 m 的值；
题型二 直线的斜率的求法
例 2 如图，已知 A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直线 AB，BC，CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
【思路分析】 由题目可获取以下主要信息：①已知三点 A、 B、C 的坐标；②通过斜率判断直线 AB，BC，CA 的倾斜角．
解答本题可通过斜率的定义，求出直线的斜率，根据斜率的 正、负确定直线倾斜角是锐角还是钝角．
(2)数形结合是一种常用的方法． (3)直线逆时针旋转，k 变大，顺时针旋转，k 变小．
思考题 4 经过点 P(0，－1)作直线 l，若直线 l 与连接 A(2，
1)，B(2，－3)的线段总有公共点，求直线的倾斜角与斜率的取值 范围．
【解析】 连接 PA，PB，kPA＝1－2（－－01）＝1，α1＝45°， kPB＝－3－2－ （0－1）＝－1，α2＝135°，
探究 2 根据斜率与倾斜角的关系(即当倾斜角 0°≤α< 90°时，斜率是非负的；当倾斜角 90°<α<180°时，斜率是负 的)来解答直线的倾斜角是锐角还是钝角问题．
直线的倾斜角和斜率,直线方程
直线的倾斜角和斜率，直线方程一、直线的倾斜角和斜率1．直线的倾斜角概念的注意点：1）注意旋转方向：逆时针2）规定平行x轴（或与x轴重合）的直线倾斜角为0°3）直线倾斜角的范围是0°≤<180°2．直线的倾率：直线的倾斜角的正切值tan（倾斜角不为90°时）。
概念注意点：1）倾斜角为90°的直线无斜率2）斜率k可以是任何实数，每条直线都存在唯一的倾斜角，但不是每条直线都有斜率3）=0°时，k=0；0°<<90°时，k>0；=90°时，k不存在；90°<<180°时，k<0。
3．斜率公式：设直线l的倾斜角为(≠90°)，P1(x1，y2)，P2(x2，y2)(x1≠x2)是直线l上不同两点，直线l的斜率为k，则：k=tan=，当=90°时，或x1=x2时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在。
例1．求过A(-2，0)，B(-5，3)两点的直线的斜率和倾斜角。
解：k==-1，即tan=-1，∵0°≤<180°，∴=135°。
点评：已知直线的斜率，可以直接得出直线的倾斜角，但要注意角的范围。
例2．设直线l的斜率为k，且-1<k<1，求直线倾斜角的范围。
解法1：当-1<k<0时，∈()，则，当k=0时，=0，当0<k<1时，∈(0，)，则0<<解法2：作k=tan，∈[0，π)时的图形：由上图可知：-1<k<1时，∈[0，）（）。
点评：1、当直线的斜率在某一区间内时，要注意对倾斜角范围的讨论。
2、利用正切函数图像中正切来表示倾斜角和斜率关系也是一种很好的方法。
二、直线方程的四种形式1．两个独立的条件确定一条直线，常见的确定直线的方法有以下两种（1）由一个定点和确定的方向可确定一条直线，这在解析几何中表现为直线的点斜式方程及其特例斜截式方程。
知识讲解_直线的倾斜角与斜率_提高
直线的倾斜角与斜率【学习目标】1. 了解直线倾斜角的概念，掌握直线倾斜角的范围；2. 理解直线斜率的概念，理解各倾斜角是90时的直线没有斜率；3. 已知直线的倾斜角(或斜率)，会求直线的斜率(或倾斜角)；4. 掌握经过两点P(x1, y1)和P,(x2, y2)的直线的斜率公式：k = y2一％ ( %式x2)；X2 — x〔5. 熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件【要点梳理】要点一、直线的倾斜角平面直角坐标系中，对于一条与X轴相交的直线，如果把X轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为：•，则〉叫做直线的倾斜角•规定：当直线和x轴平行或重合时，直线倾斜角为0，所以，倾斜角的范围是0： _〉180 . 要点诠释：1. 要清楚定义中含有的三个条件①直线向上方向；②X轴正向；③小于180的角.2. 从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由X轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角3•倾斜角:的范围是0：_〉<180'.当】-0时，直线与x轴平行或与x轴重合.4. 直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应5. 已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置.要点二、直线的斜率1 .定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tan> . 要点诠释：(1) 当直线丨与x轴平行或重合时，=0°, k=tan0 ° =0；(2) 直线l与x轴垂直时，二=90°, k不存在.由此可知，一条直线l的倾斜角［一定存在，但是斜率k不一定存在.2 .直线的倾斜角与斜率k之间的关系由斜率的定义可知，当:-在(0,90)范围内时，直线的斜率大于零；当 :在(90,180)范围内时，直线的斜率小于零；当〉=0时，直线的斜率为零；当〉=90时，直线的斜率不存在.直线的斜率与直线的倾斜角(90‘除外)为一一对应关系，且在0,90°)和(90 ,180)范围内分别与倾斜角的变化方向一致，倾斜角越大则斜率越大，反之亦然.因此若需在0,90或(90,80)范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然.要点三、斜率公式已知点RX，%)、F2(x2,y2)，且RP?与x轴不垂直，过两点F1(x1,y1)、F2(x2,y2)的直线的斜率公式k _y2 _y i .X2 -X i要点诠释：1. 对于上面的斜率公式要注意下面五点：(1) 当X1=X2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角? =90°,直线与x轴垂直；(2) k与P i、P2的顺序无关，即y i, y2和x i，X2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；(3) 斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；(4) 当y i=y2时，斜率k=0，直线的倾斜角:-=0°，直线与x轴平行或重合；(5) 求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到.2. 斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：(1) 由R、R＞点的坐标求k的值；(2) 已知k及x i, y i, x2, y2中的三个量可求第四个量；(3) 已知k及R、P,的横坐标(或纵坐标)可求| RP2 | ；(4) 证明三点共线.要点四、两直线平行的条件设两条不重合的直线l i,l2的斜率分别为k i,k2.若I i〃l2，则l i与12的倾斜角：i与〉2相等•由〉i=＞：可得tan：、二tan〉2，即k i二k2.因此，若l i〃12，则匕=k2.反之，若k^ k2，则l i//l2.要点诠释：1. 公式l i 〃丨2 k i = k2成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为k i, k2 •，②l i与丨2不重合；2. 当两条直线的斜率都不存在且不重合时，^与l2的倾斜角都是90，则l i //l2.要点五、两直线垂直的条件设两条直线l i」2的斜率分别为k i,k2.若l i — l2，则k i k^-i.要点诠释：i.公式l i - l2= k i k^-i成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.【典型例题】类型一：直线的倾斜角与斜率例1 •设直线丨过原点，其倾斜角为「，将直线丨绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l i的倾斜角为( )A •:- +45°B. ： -135°C. 135°- :■D. 当0°w : V 180° 时，为:-+45°，当135°w : V 180°时，为：-135°- 1【答案】D【解析】倾斜角的范围是[0 ° , 180°),因此，只有当:-+45 °€ [0 ° , 180°),即当0° V 135° 时，h的倾斜角才是:-+45 °,而当135 °W V 180 °时，I1的倾斜角为:--135 ° .故应选D .【总结升华】(1)倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；② x轴的正方向；③小于平角的正角.(2)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度.(3)平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.(4)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可.举一反三：【变式1】下列说法中，正确的是( )A .直线的倾斜角为二，则此直线的斜率为tan_：iB. 直线的斜率为tan'，则此直线的倾斜角为 vC. 若直线的倾斜角为.：:，则sin二＞0D .任一直线都有倾斜角，但它不一定有斜率【答案】D【解析】本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系.对于A ,当〉=90°时，直线的斜率不存在，••• A错；对于B ,虽然直线的斜率为tanr，但只有当二€ [0° , 180°)时，二才是此直线的倾斜角，• B错；对于C,当直线平行于x轴时，〉=0°，而sin0° =0, • C错.•••应选D.【高清课堂：直线的倾斜角与斜率381490例2】例2 .如图所示，直线l1的倾斜角=30，直线l1与l2垂直，求l1, l2的斜率.【解析】由图形可知，〉2*90，则k1, k2可求.直线l1的斜率k, = tan〉1= tan 30 二T直线l2的倾斜角>2=90 ° +30° =120 ° ,•直线l2的斜率k2=ta n120 ° =ta n(180 ° —60° )= —tan60°所以直线的斜率为cos -：s又因为3 cos 二、■■■■/3，即--k AB =k BC,2 -1 _ 2a -1a-5 一4 一5A , B, C三点共线=A , B, C中任意两点-、、3.【总结升华】(1)本例中，利用图形的形象直观挖掘出直线11与|2的倾斜角之间的关系是解题的关键.(2)公式tan(180° —:• )= —tan〉是一个重要公式，它是求倾斜角为钝角时的直线斜率的关键，即把钝角的正切转化为锐角的正切.熟记30°, 45°, 60°角的正切值可快速求解.举一反三：【变式1】直线xcos—/3y • 2 =0的倾斜角的范围是A .-, 三B. 0, 匚二IL6 2 2 6. IL 6 _ 65 二二5 二C. 0,D. ,1 6」：6 6」【答案】B【解析】由直线xcoS'f ' 3y • 2 = 0 ,设直线的倾斜角为所以叫。
高中数学——直线的倾斜角和斜率
()
课堂小结
1. 直线的倾斜角和斜率的概念； 2. 根据倾斜角和斜率的概念解决
相关问题； 3. 利用斜率公式解决问题； 4. 数形结合思想，函数思想.
课后作业
作业:P76习题2-1 1，2， 3.
谢谢
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
说法是正确的（ D,F ）
A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率； B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大； C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或π； D.两直线的斜率相等，它们的倾斜角相等； E.两直线的倾斜角相等，它们的斜率相等； F.直线斜率的范围是(－∞，＋∞).
例题解析
例3. 如图，直线l1 的倾斜角α1=300，
解：设该直线的斜率为k, 倾斜角为
则由斜率公式得k tan 3 0 1 5 (2)
0。 180。 135。 综上可知：直线的斜率为 1，倾斜角135。
例题解析
例5. 直线 l1、 l2、 l3的斜率分别是k1、 k2、 k3，
试比较斜率的大小.
l1
l2
l3
k1 k3 k2
y y y y
tan 2 1 2 1
x1 x2 x2 x1
直线的斜率计算公式：
y
P2（x2，y2）
P
P1（x1，y1）
O
x
y y
即 k 2 1
x2 x1
例题解析
例1.直线l的倾斜角为45°，则斜率k为 1
直线l的倾斜角为120°，则斜率k为 3 例2. 关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些
O
x
(2)
y
0。
k值不存在
k 0
O
x
(3)
直线的倾斜角与斜率
求P 点坐标.
思考： 已知a,b,c ? R + , 且a
b，求证 a+c > a . b+ c b
小结：
1。正确理解直线方程与方程的直线概念
2。
直线的倾斜角
定义
三要素
取值范围 0,180
斜率 K
K tan
K ,
斜率公式
K y2 y1 x2 x1
K ,
P.89习题3.1 A组 1，2， 3，4，5
坡度（比）
升高量 前进量
升
高
量
前进量
1、直线斜率的定义： a 我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这
条直线的斜率。
用小写字母 k 表示，即：
k tan a
(1)是否每条直线都有倾斜角？ (2)是否每条直线都有斜率?
2、探究：由两点确定的直线的斜率
设直线l经过两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), 求此直线的斜率.
综上所述，我们得到经过两点P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) (x1 x2 )的直线的斜率公式：
k = y2 - y1 x2 - x1
例1：
(1)直线l1的倾斜角a1＝30o, 直线l1与l2垂直 求l1与l2的斜率.
(2)已知直线l经过点A(0,1)，B(
1 sinq
,2)，
求l的倾斜角的取值范围.
例2 : 已知直线l过原点O，且与线段MN相交,又 M(-2,4),N(3,2)
(1)求直线OM ,ON，MN的斜率.
(2)设M, N , P(4,a)三点共线, 求a的值.
(3)求直线l的斜率的取值范ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
(4)若MN
与l交与点P（x,y），求
直线的倾斜角与斜率
依题意得,
PA
=(x0,-1),
PQ'
=(2,-4),由两向量共线得-4x0+2=0,解得x0=
1 2
,
∴A
1 2
,0
.
答案
(1)
29 4
,
35 4
(2)
1 2
,0
两条直线垂直的判定与应用
判断两条直线是否垂直的两种方法 1.利用直线的斜率判断: (1)在两条直线斜率都存在的前提下,只需看它们的斜率之积是否等于-1即可; (2)一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,这两条直线也垂直. 2.利用直线的方向向量判断: 设直线l1的方向向量为n,直线l2的方向向量为m,则l1⊥l2⇔n⊥m⇔n·m=0.
1-(-2) 3 -1-(-2)
所以 y 3 的最大值为8,最小值为 4 .
x2
3
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
1.理解两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件. 2.能根据直线的斜率判断两条直线平行或垂直. 3.能应用两条直线平行或垂直解决相关问题,理解用代数法解决几何问题.
两条直线(不重合)平行的判定
两条直线平行的判定与应用
判断两条不重合的直线是否平行的两种方法 1.利用直线的斜率判断,其方法步骤是:
2.利用直线的方向向量判断:求出两直线的方向向量,通过判断两向量是否共线,进而判断两 直线是否平行.
(1)已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A
13 4
,
51 4
、B
-
5 4
,-
3 4
∴点D的坐标为
29 4
,
35
4.
(2)解法一:Q(2,3)关于x轴的对称点为Q'(2,-3),设A(x0,0),
直线的倾斜角与斜率.直线的方程
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法二：由 A1A2＋B1B2＝0 得，a＋2(a－1)＝0， 2 ∴a＝ . 3 2 ∴当 l1⊥l2 时，a＝ . 3
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[备选例题] 已知直线 x＋a2y＋6＝0 与直线(a－2)x＋ 3ay＋2a＝0 平行，则 a 的值为 ( A．0 或 3 或－1 C．3 或－1 ) B．0 或 3 D．0 或－1
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，解得 a＝－1.
综上可知当 a＝－1 时，l1∥l2.
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法二：由 a· (a－1)－2· 1＝0 得 a＝2 或 a＝－1. 由 2· 2－1)－(a－1)· (a 6≠0 得 a≠1 且 a≠2. ∴当 a＝－1 时，l1∥l2.
意义，借助数形结合，将求最值问题转化为求斜率取值范围问 题，简化了运算过程，收到事半功倍的效果．
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热点之二
直线的平行与垂直关系
[例2] 已知两条直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m， l2：2x＋(5＋m)y＝8.当m分别为何值时，l1与l2： (1)相交？(2)平行？(3)垂直？
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名称 截距式
方程 x y ＋ ＝1 a b
Ax＋By＋C
适用范围 不含垂直于坐标轴和过原 点的直线 平面直角坐标系内的直线
一般式
＝0(A2＋B2≠0) 都适用
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直线的倾斜角和斜率 课件
(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式 k＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式 k＝xy22－－yx11(x1≠x2)求解． (3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．
3．已知直线 l 经过点 A(1,2)，且不经过第四象限，则直线 l 的斜率 k 的
(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项 ①运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与 x 轴垂直，因为当直 线与 x 轴垂直时，斜率是不存在的； ②斜率公式与两点 P1，P2 的先后顺序无关，也就是说公式中的 x1与 x2， y1 与 y2 可以同时交换位置．
(2)在 0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记．
取值范围是( )
A．(－1,0]
B．[0,1]
C．[1,2]
D．[0,2]
解析：由图，可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意， 所以直线 l 的斜率满足 0≤k≤2.故选 D.
答案：D
数形结合思想在求直线的斜率和倾斜角中的应用 [典例] 已知 A(－3,4)，B(3,2)，P(1,0)，过点 P 的直线 l 与线段 AB 有公 共点． (1)求直线 l 的斜率 k 的取值范围； (2)求直线 l 的倾斜角 α 的取值范围．
y2－y1 k＝ x2－x1 .
探究一 直线的倾斜角
[典例 1] 设直线 l 过原点，其倾斜角为 α，将直线 l 绕坐标原点沿逆时
针方向旋转 45°，得到直线 l1，则直线 l1 的倾斜角为( )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．α＋45°或 α－135°
[ 解 析 ] 由 倾 斜 角 的 取 值 范 围 知 ， 只 有 当 0°≤α ＋
直线的斜率与倾斜角ppt
斜率的计算公式
对于直线上的两点$(x_1, y_1)$和 $(x_2, y_2)$，斜率$m$可由下式计算： $m = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
当$x_2$与$x_1$相等时，斜率不存在 ，表示直线垂直于x轴。
斜率与倾斜角的关系
斜率与倾斜角$alpha$之间存在一一 对应关系，即斜率等于倾斜角正切值， 即$m = tanalpha$。
倾斜角定义
直线倾斜角是指直线与x 轴正方向之间的夹角，通 常用α表示，取值范围为 [0,π)。
计算方法
斜率m=tan(α)，其中α为 直线的倾斜角。
直线的斜率与倾斜角的关系及应用
关系
直线的斜率与倾斜角α是线性关系，即 m=tan(α)。当α在[0,π/2)范围内时，斜 率为正，表示直线从左下到右上上升； 当α在(π/2,π)范围内时，斜率为负，表 示直线从左上到右下下降。
直线的斜率与倾斜角
目录
• 直线的斜率 • 直线的倾斜角 • 直线的斜率与倾斜角的应用 • 特殊情况的讨论 • 总结与回顾
01 直线的斜率
斜率的定义
01
斜率是直线在平面上的倾斜程度 ，表示为直线上的任意两点间纵 坐标差与横坐标差之商。
02
斜率是直线的重要属性，用于描 述直线的方向和倾斜程度，是解 析几何中重要的概念之一。
中研究直线的基础。
计算距离和角度
利用直线的斜率和倾斜角，可以计 算直线上的点到直线的垂直距离， 以及两条直线之间的夹角。
解决几何问题
在解决几何问题时，如求两条直线 的交点、判断直线与圆的位置关系 等，需要使用直线的斜率和倾斜角。
在物理学中的应用
描述运动轨迹
在物理学中，直线的斜率和倾斜 角可以用来描述物体的运动轨迹， 如自由落体运动、抛物线运动等。
直线的倾斜角、斜率与直线的方程
(2)设所求直线的斜率为 k,依题意 k=-14×3=-34.又直线经过点
A(-1,-3),
所以所求直线方程为 y+3=-34(x+1), 即 3x+4y+15=0.
关闭
(1)A (2)3x+4y+15=0
解析 答案
第九章
考点1
考点2
考点3
9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
知识体系
知识梳理
核心考点
.
当
α∈
π 6
,
π 4
时,k=tan α∈
3 3
,1
;
当
α∈
2π 3
,π
时,k=tan α∈[-
3 3
,1
.
[-
3,0)∪
3 3
,1
关闭
关闭
解析 答案
第九章
9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
知识体系
知识梳理
核心考点
学科素养
考点1
考点2
考点3
考点 2
求直线的方程
的取值范围是( )
A.[0,π)
C.
π 4
,
3π 4
B.
π 4
,
π 2
D.
π 4
,
π 2
∪
π 2
,
3π 4
(2)经过点P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(1,-2),B(2,1)的线段总
有公共点,则直线l的倾斜角α的取值范围
是
.
思考直线倾斜角的取值范围和斜率的取值范围的关系有哪些?
第九章
9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
关闭
解析 答案
直线的倾斜角和斜率
o
x
o p
x
y
l
o x
当直线l和x轴不相交，即l与x轴重合 或平行时，我们规定它的倾斜角是0。
任意一条直线l都能确定唯一的倾斜角， 的取值范围是 :
[0, )
直线的倾斜角可以用来表示平面内直 线对于x轴正向的倾斜程度。
直线的斜率
当直线l的倾斜角90时，倾斜角 的正切值，即tan叫做直线的斜率，用k 表示。即k=tan。 当直线l的倾斜角=90，tan不 存在，所以我们说倾斜角是90的直线 的斜率不存在。 存在斜率不存在的直线，那就是垂直 于x轴的直线，亦即倾斜角是90的直线。
斜率倾斜角方向向量间的关系
(1)已知 d (u, v ), k ? ? v k tan ( u 0, ) u 2 (2)已知 k ? d ? k tan , o d (1, tan )或d (cos , sin ) (3)已知k ? d ? tan k , d (1, k )
一般式方程？
2、直线的一般式方程可 以 三种形式方程？ (1) 3 x y 6 0 ( 2) 3 x 2 y 1 0
( 3) 3 x 5 0 ( 4) 2 y 1 0
思考 求过点( 1， 2)且满足下列条件的直线 方程
(1)与直线2 x 3 y 4 0平行； ( 2)与直线2 x 3 y 4 0垂直; ( 3)与直线3 y 4 0平行; (4)与直线3 y 4 0垂直。
直线的一般式方程
直线的一般式方程
ax by c 0(a , b不同时为零)
法向量n (a, b), 方向向量d (b,a ) c a 过一点(0, ), 斜率 b b c c ax b( y ); ax b( y ) 0 b b c a y ( x 0) b b
倾斜角与斜率
直线斜率的计算公式
公式
对于直线上的两点$P(x_1, y_1)$和$Q(x_2, y_2)$，其直线的斜率为$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
特殊情况
当直线与$x$轴垂直时，斜率不存在；当直线与$y$轴垂直时，斜率为0。
曲线斜率的计算方法
方法
对于曲线$y = f(x)$上的两点$P(x_1, y_1)$和$Q(x_2, y_2)$，其曲线在点$P$ 处的切线的斜率为$k = \frac{f(x_2) f(x_1)}{x_2 - x_1}$。
极坐标系下的倾斜角与斜率
定义
极坐标系是平面直角坐标系的 扩展，由极径和极角组成
范围
$\alpha \in \lbrack 0,2\pi)$
斜率
$k = \frac{\rho\cos\alpha}{\rho\si n\alpha}$，其中$\rho$是极径
特殊情况下的倾斜角与斜率
重合与垂直直线的倾斜角与斜率
电磁波的传播方向
在电磁波的传播过程中，波的传播方向可以通过斜率来表示 ，斜率越大表示波的传播方向越倾斜
量子力学中的应用
量子态与波函数
在量子力学中，描述粒子状态的波函数可以用一个复数函数来表示，这个函 数的模方可以表示粒子在某个位置的概率密度，而函数的相位可以表示粒子 的动量
波函数的导数
在量子力学中，波函数的导数可以表示粒子受到外界作用力时的加速度，也 可以表示粒子的能量
THANKS
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平行线的倾斜角与斜率
• 平行线的倾斜角相等，但斜率不一定相等，因为斜 率是直线的属性，而平行线不一定是直线。同时， 平行线距离不一定相等。
05
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唐山市宏文中学数学必修二 直线与方程 编写：阚顺玲、杨颜景、王跃丽
3.1.1倾斜角与斜率
【学习目标】1.理解直线的倾斜角和斜率的概念
2.掌握斜率的两种求解方式
3.会解决与直线有关的倾斜角和斜率问题
【重点难点】根据倾斜角求斜率和根据斜率求倾斜角
【新知自学】
阅读课本8582-P P 整理知识点如下：
1.直线l 的倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴作为基
准，x 轴_________与直线l ___________方向之间所成的角α叫
做直线l 的倾斜角。
规定：直线l 与x 轴_______________时，
它的倾斜角为00，倾斜角α的取值范围是______________-
2.确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：直线上的
一个______及它的___________
3.直线的斜率：一条直线的倾斜角α的_______叫做这条直线
的斜率，记为k ，表示k=
4.表示直线倾斜程度的量为：______________和__________
5.已知直线l 上的两点()()()21222111,,,x x y x P y x P ≠斜率为k,
倾斜角为α，则=αtan
当直线l 与x 轴平行或重合时，=αtan _________________
当直线l 与y 轴平行或重合时，αtan ____________________
【自主小测】
1.已知直线的倾斜角，求直线的斜率:
()()()()00001354 1203 452 301====ααα
2.求过直线上两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角、直角
还是钝角：
()()()()()()()()()
()()()()()()c a a c b b c a b a c b c a ++,, 5 ,, 4,, 3 22,23,1 2 2,20,0 1和和和和，和
【例题演练】 例题1：已知直线斜率的绝对值等于1，求直线的倾斜角 例题2： ()()12m 3,1 6-m 的直线的斜率是，为何值时，经过两点B m A 拓展：()()0601-m 2-m - 2m m 倾斜角是的直线的，，，为何值时，经过两点B A .()()()上，为什么？这三点是否在同一直线三点，，，，：已知例题 43 01 213C B A - 方法一： 方法二： 拓展： ()()()的值求在同一条直线上，，，，已知三点m m 2 86 12-C B A 【能力提高】 已知点()()()32 03 2,1---，，P B A ,经过点P 的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围为： 作业：1.已知点()2,1A ，点P 在x 轴上，且直线PA 的倾斜角为0135，求点P 的坐标 2.已知点()()()4,1,1,2, 3,---+-C m B m m A ，直线AC 的斜率是直线BC 的斜率的2倍，求实数m 的值。