1.2.1函数的概念1
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分段函数
问题:一个函数由哪几个部分组成?如果给定
函数的定义域和对应关系,那么函数的值域确定 吗?两个函数相等的条件是什么? 定义域、对应关系、值域; 函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定; 定义域相同,对应关系完全一致.
(二)已学函数的定义域和值域
1. 常数函数 2.一次函数 f ( x) ax b ( a 0)
3
3
练习、 下列各组中的两个函数是否为相同 的函数? ① ( x 3)( x 5)
y1 x3
y2 x 5
②y1 x 1 x 1 y2 ( x 1)(x 1)
③f1 ( x) ( 2x 5)
2
f 2 ( x) 2x 5
三、小结:
1.函数的定义 2、函数的值: 3、函数的三要素判断同一函数: 4、关于求定义域:
2 (2)求 f ( 3), f ( ) 的值 3
(3)当a>0时,求f(a), f(a-1)的值。
例2、求下列函数的定义域。
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1 (1) f ( x) (1 2 x)( x 1)
(2)
f ( x) x 4 x 2
;
(3) f ( x)
x 1
1 2-x
=x2x+3 求:f(-1), f(a), 例3、 已知:f (x)
1.2.1
函数的概念(1)
一、复习引入:
初中(传统)的函数的定义是什么? 初中学过哪些函数?
设在一个变化过程中有两个变量x和y,如果对于x 的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说 x是自变量,y是x的函数.并将自变量x取值的集合 叫做函数的定义域,和自变量x的值对应的y值叫 做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.这种用 变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过:正比例函数、反比例函数、 一次函数、二次函数等。
思考:y=f(x)与x=a至多有 几个交点?
例1:判断下列对应关系是否是从集合A到集合B的函数 (1) A B N * , f : x y x 3 1 x 0 f :x y 0 x 0 f :x y x f : x y x2
(2) A R, B 0,1 , (3) A B R, (4) A B N ,
k 3.反比例函 f ( x) (k 0) x
4.二次函数: f ( x) ax bx c (a 0)
2
函数
对应法则
定义域
值域
正比例 函数
反比例 函数
y kx( k 0)
R
R
{ y | y 0}
k y ( k 0) {x | x 0} x
y kx b ( k 0)
一次函数
R
R
4ac b 2 a 0时{ y | y } 4a 4ac b 2 a 0时{ y | y } 4a
y ax2 bx c 二次函数 (a 0)
R
(三)关于求定义域及函数的值:
1 例1、已知函数 f ( x) x 3 x2 (1)求函数的定义域
归纳以上三个实例,我们看到,三个实例中变量之 间的关系可以描述为: 对于数集A中的每一个x,按照某种对应关系f,在 数集B中都有惟一确定的y和它对应,记作 f: A→B.
二、讲解新课
(一)函数的有关概念 定义:设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对 应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中 都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称 f: A→B为从集合A到集合B的一个函数(function), 记作y=f (x),x∈A。 定义域(domain):x的取值范围A叫做函数的定义域; 与x值相对应的y即f (x),值叫做函数值。 值域(range):函数值的集合 f ( x) x A B
四、作业
P24 A 1----6做作业本上
补充:已知函数
f (x) =4x+3,g(x)=x2,
求f[f(x)],f[g(x)],g[f(x)],g[g(x)].
1 f(x+1), f( ),f(x2),f(f(x)), x
注意:1在 y f (x) 中f表示对应法则,不同 的函数其含义不一样。 2 f (x) 不一定是解析式,有时可能是 “列表”“图象”。 3 f (x) 与 f (a ) 是不同的,前者为变数, 后者为常数。
(四)函数的三要素判断同一函数:
叫做函数的值域。
函数符号
y f (x)表示“y是x的函数”,
有时简记作函数
f (x)
问题:y=1(x∈R)是函数吗?
问题:给出下列列表,这是不是函数?
1 2 3
0
1
2
3
是,它满足函数定义,这也说明 值域是B的子集
下列图象是函数图象吗? y
y y
o
x
o
x
o
x
y
f(x)=c o x 常函数
h=130t-5t2
(*)
炮弹飞行时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26},炮弹距 地面的高度h的变化范围是数集B={h|0≤h≤845} 从问题的实际意义可知,对于数集A中的任意一个时间 t,按照对应关系(*),在数集B中都有惟一的高度h和它 对应。
(2) 近几十年来,大气中的臭氧迅速减少,因而出现 了臭氧层空洞问题。下图中的曲线显示了南极上空臭氧 空洞的面积从1979~2001年的变化情况:
对应法则f、定义域A、值域 f ( x) | x A 只有当这三要素完全相同时,两个函数才能 称为同一函数。当有解析式时只要定义域与 解析式一样即可 例4、下列函数中哪个与函数 y x 是同一个函数?
(1) y
x
2
(3) y x
2
(2) y x 2 x (4) y x
根据下图中的曲线可知,时间t的变化范围是数集A ={t|1979≤t≤2001},臭氧层空洞面积S的变化范围 是数集B ={S|0≤S≤26}.并且,对于数集A中的每一 个时刻t,按照图中的曲线,在数集B中都有惟一确定 的臭氧层空洞面积S和它对应.
(3) 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活 质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高。下表中 恩格尔系数随时间(年)变化的情况表明,“八五”计划 以来我国城镇居民的生活质量发生了显著变化。
请仿照(1)、(2)描述恩格尔系数 和时间(年)的关系。
问题: 三个实例有什么共同点和不同点? 不同点 实例(1)是用解析式刻画变量之间的对应关系, 实例(2)是用图象刻画变量之间的对应关系, 实例(3)是用表格刻画变量之间的对应关系;
共同点
(1)都有两个非空数集
(2)两个数集之间都有一种确定的对应关系
3、请同学们考虑以下两个问题:
(1) y 1是函数吗? x2 ( )y x与y 2 是同一个函数吗? x
显然,仅用初中函数的概念很难回答这些 问题。因此,需要从新的高度认识函数。
观察实例 (1)一枚炮弹发射后,经过26s落到地面击中目标,炮 弹的射高为845m,且炮弹距地面的高度h(单位:m)随 时间t(单位:s)变化的规律是