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人教A版高中数学必修二第9章章末检测(含答案)

第九章章末检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)1．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层随机抽样的方法抽取样本．某中学共有学生2 000名，从中抽取了一个样本量为200的样本，其中男生103名，则该中学共有女生为( )A ．1 030名B ．97名C ．950名D ．970名【答案】D 【解析】由题意，知该中学共有女生2 000×200－103200＝970(名)．故选D ．2．(2020年北京期末)艺术体操比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分.5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是( )A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差【答案】A 【解析】根据题意，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分，与7个原始评分相比，不变的中位数．故选A ．3．(2020年河北月考)已知某校高一、高二年级学生人数均为600人，参加社团的高一和高二的人数比为2∶3，现从参加社团的同学中按分层抽样的方式抽取45人，则抽取的高二学生人数为( )A ．9B ．18C ．27D ．36【答案】C 【解析】由分层抽样的性质可得，抽取的高二学生人数为45×32＋3＝27.故选C ．4．(2020年永州月考)在样本频率分布直方图中，共有5个小长方形，已知中间小长方形的面积是其余4个小长方形面积之和的13，且中间一组的频数为10，则这个样本量是( )A ．20B ．30C ．40D ．50【答案】C 【解析】所有长方形的面积和为1，因为中间小长方形的面积是其余4个小长方形面积之和的13，所以中间的面积为14，又中间一组的频数为10，所以样本容量为10÷14＝40.故选C ．5．(2019年惠州期末)某地区连续六天的最低气温(单位：℃)为：9,8,7,6,5,7，则该六天最低气温的平均数和方差分别为( )A ．7和53B ．8和83C ．7和1D ．8和23【答案】A 【解析】由题意，六天最低气温的平均数x ＝16×(9＋8＋7＋6＋5＋7)＝7，方差s 2＝16×[(9－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2]＝53.故选A ．6．假设从高一年级全体同学(500人)中随机抽出60人参加一项活动，利用随机数法抽取样本时，先将500名同学按000,001，…，499进行编号，如果从随机数表第8行第11列的数开始，按三位数连续向右读取，最先抽出的4名同学的号码是(下面摘取了此随机数表第7行和第8行)( )84421 75331 57245 50688 77047 44767 21763 35025 63016 37859 16955 56719 98105 07175 12867 35807 A ．455 068 047 447 B ．169 105 071 286 C ．050 358 074 439 D ．447 176 335 025【答案】B 【解析】由随机数表法的随机抽样的过程可知最先抽出的4名同学的号码为169,105,071,286.7．(2020年阜阳期末)某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支(单位：万元)如图2所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为( )图1图2A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%【答案】A 【解析】由拆线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为20%，由条形图得去年水、电、交通支出合计为250＋450＋100＝800(万元)，其中水费支出250(万元)，∴去年的水费开支占总开支的百分比为250800×20%＝6.25%.故选A ．8．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )A ．甲地：总体均值为3，中位数为4B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3【答案】D 【解析】A 中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在C 中也有可能；B 中的总体方差大于0，叙述不明确，如果方差太大，也有可能存在大于7的数；D 中，因为平均数为2，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不可能为3.故选D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下列叙述正确的是( )A ．极差与方差都反映了数据的集中程度B ．方差是没有单位的统计量C ．标准差比较小时，数据比较分散D ．只有两个数据时，极差是标准差的2倍【答案】AD 【解析】由极差与方差的定义可知A 正确；方差是有单位的，其单位是原始数据单位的平方，B 错误；标准差较小时，数据比较集中，C 错误；只有两个数据x 1，x 2时，极差等于|x 2－x 1|，平均数为x 1＋x 22，所以方差s 2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 1＋x 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x 1＋x 222＝14(x 1－x 2)2，则标准差s 2＝12|x 2－x 1|，D 正确．故选AD ．10．某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个样本量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的学生有60人，则下列说法正确的是( )A ．样本中支出在[50,60)元的频率为0.03B ．样本中支出不少于40元的人数有132C ．n 的值为200D ．若该校有2 000名学生，则一定有600人支出在[50,60)元【答案】BC 【解析】A 中，样本中支出在[50,60)元的频率为1－(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.3，故A 错误；B 中，样本中支出不少于40元的人数有0.0360.03×60＋60＝132，故B 正确；C 中，n ＝600.3＝200，故C 正确；D 中，若该校有2 000名学生，则可能有600人支出在[50,60)元，故D 错误．故选BC ．11．某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考升学情况，得到如下柱状图：则下列结论正确的是()A．与2016年相比，2019年一本达线人数有所增加B．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.5倍C．与2016年相比，2019年艺体达线人数相同D．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加【答案】AD【解析】依题意，设2016年高考考生人数为x，则2019年高考考生人数为1.5x，由24%·1.5x－28%·x＝8%·x＞0，故选项A正确；由(40%·1.5x－32%·x)÷32%·x ＝0.875，故选项B不正确；由8%·1.5x－8%·x＝4%·x＞0，故选项C不正确；由28%·1.5x －32%·x＝10%·x＞0，故选项D正确．故选AD．12．给出三幅统计图如图所示：A．从折线统计图能看出世界人口的变化情况B．2050年非洲人口将达到大约15亿C ．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多D ．从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢【答案】AC 【解析】从折线统计图能看出世界人口的变化情况，故A 正确；从条形统计图中可知2050年非洲人口大约将大于15亿，故B 错误；从扇形统计图中可知2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故C 正确；由题中三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故D 错误．故选AC ．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上) 13．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个样本量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．【答案】12 【解析】抽取的男运动员的人数为2148＋36×48＝12. 14．将样本量为100的某个样本数据拆分为10组，若前七组的频率之和为0.79，而剩下的三组的频率依次相差0.05，则剩下的三组中频率最高的一组的频率为________．【答案】0.12 【解析】设剩下的三组中频率最高的一组的频率为x ，则另两组的频率分别为x －0.05，x －0.1.因为频率总和为1，所以0.79＋(x －0.05)＋(x －0.1)＋x ＝1，解得x ＝0.12.15．12,13,25,26,28,31,32,40的25%分位数为________．【答案】19 【解析】因为8×25%＝2,8×80%＝6.4，所以25%分位数为x 2＋x 32＝13＋252＝19.16．下图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图，已知该校共有学生3 000人，由统计图可得该校共捐款为________元．【答案】37 770 【解析】由扇形统计图可知，该中学高一、高二、高三分别有学生960人、990人、1 050人．由条形统计图知，该中学高一、高二、高三人均捐款分别为15元、13元、10元，所以共捐款15×960＋13×990＋10×1 050＝37 770(元)．四、解答题(本大题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．为调查某班学生的平均身高，从50名学生中抽取110，应如何抽样？若知道男生、女生的身高显著不同(男生30人，女生20人)，应如何抽样？解：从50名学生中抽取110，即抽取5人，采用简单随机抽样法(抽签法或随机数法)．若知道男生、女生的身高显著不同，则采用分层抽样法，按照男生与女生的人数比为30∶20＝3∶2进行抽样，则男生抽取3人，女生抽取2人．18．(2020年辽宁学业考试)某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)．已知上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．(1)求直方图中x的值；(2)如果上学所需时间在[60,100]的学生可申请在学校住宿，请估计该校800名新生中有多少名学生可以申请住宿．解：(1)由直方图可得到20x＋0.025×20＋0.006 5×20＋0.003×2×20＝1，解得x＝0.012 5.(2)由直方图可知，新生上学所需时间在[60,100]的频率为0.003×2×20＝0.12，所以800×0.12＝96(名)．所以800名新生中估计有96名学生可以申请住宿．19．某汽车制造厂分别从A，B两种轮胎中各随机抽取了8个进行测试，列出了每一个轮胎行驶的最远里程数(单位：1 000 km)：轮胎A96112971081001038698轮胎B10810194105969397106(1)分别计算(2)分别计算A，B两种轮胎行驶的最远里程的极差、方差；(3)根据以上数据，你认为哪种型号轮胎的性能更加稳定？解：(1)A 轮胎行驶的最远里程的平均数为18×(96＋112＋97＋108＋100＋103＋86＋98)＝100，中位数为12×(100＋98)＝99.B 轮胎行驶的最远里程的平均数为18×(108＋101＋94＋105＋96＋93＋97＋106)＝100，中位数为12×(101＋97)＝99.(2)A 轮胎行驶的最远里程的极差为112－86＝26，方差为18×[(－4)2＋122＋(－3)2＋82＋02＋32＋(－14)2＋(－2)2]＝55.25，B 轮胎行驶的最远里程的极差为108－93＝15，方差为18×[82＋12＋(－6)2＋52＋(－4)2＋(－7)2＋(－3)2＋62]＝29.5，(3)根据以上数据，A 轮胎和B 轮胎的最远行驶里程的平均数相同，但B 轮胎行驶的最远里程的极差和方差相对于A 轮胎较小，所以B 轮胎性能更加稳定．20．某幼儿园根据部分同年龄段女童的身高数据绘制了频率分布直方图，其中身高的变化范围是[96,106](单位：厘米)，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．(1)求出x 的值；(2)已知样本中身高小于100厘米的人数是36，求出总样本量N 的数值；(3)根据频率分布直方图提供的数据及(2)中的条件，求出样本中身高位于[98,104)的人数．解：(1)由题意(0.050＋0.100＋0.150＋0.125＋x )×2＝1，解得x ＝0.075. (2)设样本中身高小于100厘米的频率为p 1，则p 1＝(0.050＋0.100)×2＝0.300. 而p 1＝36N ，∴N ＝36p 1＝360.300＝120.(3)样本中身高位于[98,104)的频率p 2＝(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750，∴身高位于[98,104)的人数n ＝p 2N ＝0.750×120＝90.21．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数，满分为100分)进行统计．请你根据下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：组号分组频数频率 1 [50,60) 4 0.08 2 [60,70) 8 0.16 3 [70,80) 10 0.20 4 [80,90) 16 0.32 5 [90,100] 合计—(1)填充频率分布表中的空格；(2)如图，不具体计算频率组距，补全频率分布直方图；(3)估计这900名学生竞赛的平均成绩(结果保留整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．解：(1)40.08＝50，即样本量为50.第5组的频数为50－4－8－10－16＝12，从而第5组的频率为1250＝0.24.又各小组频率之和为1，所以频率分布表中的四个空格应分别填12,0.24,50,1.(2)设第一个小长方形的高为h 1，第二个小长方形的高为h 2，第五个小长方形的高为h 5，则h 1h 2＝48＝12，h 1h 5＝412＝13. 补全的频率分布直方图如图所示．(3)50名学生竞赛的平均成绩为x ＝4×55＋8×65＋10×75＋16×85＋12×9550＝79.8≈80(分)．所以估计这900名学生竞赛的平均成绩约为80分．22．共享单车入驻泉州一周年以来，因其“绿色出行，低碳环保”的理念而备受人们的喜爱，值此周年之际，某机构为了了解共享单车使用者的年龄段、使用频率、满意度等三个方面的信息，在全市范围内发放5 000份调查问卷，回收到有效问卷3 125份，现从中随机抽取80份，分别对使用者的年龄段、26～35岁使用者的使用频率、26～35岁使用者的满意度进行汇总，得到如下三个表格：表(一)使用者年龄段25岁以下26岁～35岁36岁～45岁45岁以上人数2040 1010表(二)使用频率 0～6次/月7～14次/月15～22次/月23～31次/月人数510 205表(三)满意度非常满意(9～10)满意(8～9)一般(7～8)不满意(6～7)人数1510105(1)依据上述表格完成下列三个统计图形：(2)某城区现有常住人口30万，请用样本估计总体的思想，试估计年龄在26岁～35岁之间，每月使用共享单车在7～14次的人数．解：(1)(2)由表(一)可知年龄在26岁～35岁之间的有40人，占总抽取人数的12，所以30万人口中年龄在26岁～35岁之间的约有30×12＝15(万人)．由表(二)可知，年龄在26岁～35岁之间每月使用共享单车在7～14次之间的有10人，占总抽取人数的14，所以年龄在26岁～35岁之间的15万人中，每月使用共享单车在7～14次之间的约有15×14＝154(万人)．。

高中人教版数学A版必修2(课时作业与单元测试卷)：第三、四章滚动检测 Word版含解析

A．4 B．3
C．2 D．1
答案：B
解析：由离为d，则由三角形ABC的面积为1可得1＝ ×2 ×d，解得d＝，即＝，解得b＝3－a或b＝1－a，又因为|OC|＝＝，所以a2＋(3－a)2＝或a2＋(1－a)2＝，整理得4a2－12a＋9＝0或4a2－4a－7＝0，解得a＝，a＝＋，a＝－，即a有三个不同的解，所以点C的个数为3.
6．若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是()
A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0
答案：A
解析：圆心为C(1,0)，∵AB⊥CP，kCP＝＝－1，∴kAB＝1，且直线AB过点P(2，－1)，∴直线方程为x－y－3＝0.
答案：3x＋y－6＝0
解析：设A(m,0)，B(0，n)．由P(1,3)是AB的中点可得m＝2，n＝6，即A，B的坐标分别为(2,0)，(0,6)．
由两点式直接得方程＝，即3x＋y－6＝0.
15．已知圆C的方程为x2＋y2－2y－3＝0，过点P(－1,2)的直线l与圆C交于A，B两点，若使|AB|最小，则直线l的方程是________．
即不论m取什么实数，它恒过两直线2x＋y－10＝0与x＋3y－15＝0的交点．两方程联立，解得交点为(3,4)．
又有(3－2)2＋(4－3)2＝2＜16，
∴点(3,4)在圆内部，
∴不论m为何实数，直线l与圆恒相交．
(2)解：从(1)的结论和直线l过定点M(3,4)且与过此点的圆C的半径垂直时，l被圆所截的弦长|AB|最短，由垂径定理得
第三、四章滚动检测
班级____姓名____考号____分数____
本试卷满分150分，考试时间120分钟．

人教A版新课标高中数学必修二第二章单元测试题(含答案)

高二周末检测题一、选择题1．下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线是异面直线；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面； ③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行； ④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行．其中正确的命题是( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．②③ 2 .垂直于同一条直线的两条直线一定 ( )A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 3．若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是( )A ．三条交线为异面直线B ．三条交线两两平行C ．三条交线交于一点D ．三条交线两两平行或交于一点4. 在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果与EF GH 、能相交于点P ，那么（）A 、点P 必在直线AC 上B 、点P 必在直线BD 上C 、点P 必在平面BCD 内 D 、点P 必在平面ABC 外5．若平面α⊥平面β，α∩β＝l ，且点P ∈α，P ∉l ，则下列命题中的假命题是( )A ．过点P 且垂直于α的直线平行于βB ．过点P 且垂直于l 的直线在α内C ．过点P 且垂直于β的直线在α内D ．过点P 且垂直于l 的平面垂直于β 6．设a ，b 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是( )A ．若a ，b 与α所成的角相等，则a ∥bB ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥bC ．若a ⊂α，b ⊂β，a ∥b ，则α∥βD ．若a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ⊥b 7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段A 1B 1，B 1C 1上的不与端点重合的动点，如果A 1E ＝B 1F ，有下面四个结论：①EF ⊥AA 1； ②EF ∥AC ； ③EF 与AC 异面； ④EF ∥平面ABCD . 其中一定正确的有( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④8．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，P A ⊥面ABC ，AB ＝AC ，D 是BC的中点，则图中直角三角形的个数是( ) A ．5 B ．8 C ．10D ．69．如右图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM ( ) A ．与AC 、MN 均垂直相交 B ．与AC 垂直，与MN 不垂直 C ．与MN 垂直，与AC 不垂直D ．与AC 、MN 均不垂直10、如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1 和 CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为( ) A 、2V B 、3V C 、4V D 、5V11．(2009·海南、宁夏高考)如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点 E 、F ，且EF ＝12，则下列结论错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A —BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等12．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 成60°的角；④AB 与CD 所成的角是60°. 其中正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4 二、填空题13、已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ，平行则四边形ABCD 一定是 .14．已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的平面角大小为 .15．如下图所示，以等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕．Q PC'B'A'C BA使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，则：(1)BD与CD的关系为________．(2)∠BAC＝________.16．在正方体ABCD—A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则①四边形BFD′E一定是平行四边形．②四边形BFD′E有可能是正方形．③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形．④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.以上结论正确的为__________．(写出所有正确结论的编号)三、解答题17、如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)直线EF∥面ACD.(2)平面EFC⊥平面BCD.18．如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．(1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小．19．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.20．如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．21．如图，△ABC中，AC＝BC＝22AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：GF∥底面ABC；(2)求证：AC⊥平面EBC；(3)求几何体ADEBC的体积V.高二周末检测题答一、选择题 1-5 BDDAB 6-10 DDBAB 11-12 DC 二、填空题13、菱形 14、90° 15、(1)BD ⊥CD (2)60° 16、①③④ 三、解答题17、证明：(1)∵E 、F 分别是AB 、BD 的中点，∴EF ∥AD .又AD ⊂平面ACD ，EF ⊄平面ACD ， ∴直线EF ∥面ACD .(2)在△ABD 中，∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ， ∴EF ⊥BD .在△BCD 中，∵CD ＝CB ，F 为BD 的中点，∴CF ⊥BD . ∵CF ∩EF ＝F ，∴BD ⊥平面EFC ，又∵BD ⊂平面BCD ， ∴平面EFC ⊥平面BCD .18、[解析] (1)证明：如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，EM ，EA ， ∵△PCD 为正三角形，∴PE ⊥CD ，PE ＝PD sin ∠PDE ＝2sin60°＝ 3. ∵平面PCD ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥平面ABCD ，而AM ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥AM . ∵四边形ABCD 是矩形，∴△ADE ，△ECM ，△ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得EM ＝3，AM ＝6，AE ＝3， ∴EM 2＋AM 2＝AE 2.∴AM ⊥EM .又PE ∩EM ＝E ，∴AM ⊥平面PEM ，∴AM ⊥PM . (2)解：由(1)可知EM ⊥AM ，PM ⊥AM ， ∴∠PME 是二面角P －AM －D 的平面角． ∴tan ∠PME ＝PEEM＝33＝1，∴∠PME ＝45°.∴二面角P －AM －D 的大小为45°.19[分析] 本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理，寻找使结论成立的充分条件． [证明] (1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， ∵F 、F 1分别是AC 、A 1C 1的中点， ∴B 1F 1∥BF ，AF 1∥C 1F .又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F，∴平面AB1F1∥平面C1BF.(2)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1⊂平面AB1F1，∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.20.(1)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，又PQ⊄平面ACD，从而PQ∥平面ACD.(2)如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB.故CQ⊥平面ABE.由(1)有PQ∥DC，又PQ＝12EB＝DC，所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ，因此DP⊥平面ABE，∠DAP为AD和平面ABE所成的角，在Rt△DP A中，AD＝5，DP＝1，sin∠DAP＝5 5，因此AD和平面ABE所成角的正弦值为5 5.21[分析] (1)转化为证明GF平行于平面ABC内的直线AC；(2)转化为证明AC垂直于平面EBC内的两条相交直线BC和BE；(3)几何体ADEBC是四棱锥C－ABED.[解] (1)证明：连接AE，如下图所示．∵ADEB 为正方形，∴AE ∩BD ＝F ，且F 是AE 的中点，又G 是EC 的中点，∴GF ∥AC ，又AC ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ， ∴GF ∥平面ABC .(2)证明：∵ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB ，又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ，EB ⊂平面ABED ， ∴BE ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AC . 又∵AC ＝BC ＝22AB ， ∴CA 2＋CB 2＝AB 2， ∴AC ⊥BC .又∵BC ∩BE ＝B ，∴AC ⊥平面BCE . (3)取AB 的中点H ，连GH ，∵BC ＝AC ＝22AB ＝22， ∴CH ⊥AB ，且CH ＝12，又平面ABED ⊥平面ABC∴GH ⊥平面ABCD ，∴V ＝13×1×12＝16.。

2019秋金版学案高中数学必修2(人教A版)练习：模块综合评价含解析

模块综合评价(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知直线l1：2x＋my＝2，l2：m2x＋2y＝1，且l1⊥l2，则m的值为() A．0B．－1C．0或1 D．0或－1解析：因为l1⊥l2，所以2m2＋2m＝0，解得m＝0或m＝－1.答案：D2．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为()A.2π B．22πC．2π D．4π解析：设底面圆的半径为r，高为h，母线长为l，由题可知，r＝h＝22l，则12(2r)2＝1，r＝1，l＝ 2.所以圆锥的侧面积为πrl＝2π.答案：A3．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成角的大小为()A．90°B．60°C．45°D．30°解析：当三棱锥D-ABC体积最大时，平面DAC⊥平面ABC.取AC的中点O，则∠DBO即为直线BD和平面ABC所成的角．易知△DOB是等腰直角三角形，故∠DBO＝45°.答案：C4．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是()A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x－1)2＋y2＝2C．y2＝2x D．y2＝－2x解析：由题意知，圆心(1，0)到点P的距离为2，所以点P在以(1，0)为圆心、2为半径的圆上．所以点P的轨迹方程是(x－1)2＋y2＝2.答案：B5．下列命题中，正确的是()A．任意三点确定一个平面B．三条平行直线最多确定一个平面C．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行解析：由线面垂直的性质，易知C正确．答案：C6．已知M(3，23)，N(－1，23)，F(1，0)，则点M到直线NF的距离为()A. 5 B．2 2C．2 3 D．3 3解析：易知NF的斜率k＝－3，故NF的方程为y＝－3(x－1)，即3x＋y－3＝0.所以M到NF的距离为|33＋23－3|（3）2＋12＝2 3.答案：C7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π解析：由题意知正四棱柱的底面积为4，所以正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面对角线长为22，正四棱柱的对角线为2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R ＝2 6.所以R ＝ 6.所以S 球＝4πR 2＝24π. 答案：C8．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，且与直线x －2y ＋5＝0相切，则圆C 的面积的最小值为( )A.45π B ．3－5π C.3－52πD ．(6－25)π解析：由题可知，(0，0)到直线x －2y ＋5＝0的距离为|5|12＋22＝ 5.又因为圆C 与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，圆C 的直径的最小值为5－1，圆C 的面积的最小值为π（5－1）24＝3－52π.答案：C9．已知α，β是不同的平面，m ，n 是不同的直线，则下列命题不正确的是( ) A ．若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥β B ．若m ∥n ，α∩β＝m ，则n ∥α，n ∥β C ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α D ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β 解：由m ⊥α，m ∥n ，得n ⊥α. 又n ⊂β，所以α⊥β，故A 正确．在B 项中，m ∥n ，α∩β＝m ，则n ⊂α，n ∥β或n ∥α，n ⊂β或n ∥α，n ∥β. 所以选项B 不正确．由线面垂直，面面垂直的判定，C 、D 正确．答案：B10．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则点B 到平面AB 1C 的距离是( )A.32B. 3C.33D ．4解析：由正方体的性质，易知AC ＝B 1C ＝AB 1＝2，所以S △AB 1C ＝34×(2)2＝32. 又S △ABC ＝12×12＝12.知V 三棱柱B 1-ABC ＝13×12×1＝16.设点B 到平面AB 1C 的距离为h ，从而V 三棱锥B-AB 1C ＝13·h ×32＝16，所以h ＝13＝33.答案：C11．已知直线(1＋k )x ＋y －k －2＝0恒过点P ，则点P 关于直线x －y －2＝0的对称点的坐标是( )A ．(3，－2)B ．(2，－3)C ．(1，3)D ．(3，－1)解析：由(1＋k )x ＋y －k －2＝0得k (x －1)＋(x ＋y －2)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，故点P 的坐标为(1，1)．设点P 关于直线x －y －2＝0的对称点的坐标是(a ，b )，则⎩⎨⎧a ＋12－b ＋12－2＝0，b －1a －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－1，所以点P 关于直线x －y －2＝0的对称点的坐标是(3，－1)．答案：D12．如图，多面体ABCD-A 1B 1C 1D 1为正方体，则下面结论正确的是()A ．A 1B ∥B 1CB ．平面CB 1D 1⊥平面A 1B 1C 1D 1 C ．平面CB 1D 1∥平面A 1BDD ．异面直线AD 与CB 1所成的角为30°解析：若A 1B ∥B 1C ，因为A 1B ∥CD 1，所以B 1C ∥CD 1，矛盾，故A 错误．因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以平面BB 1D 1D ⊥平面A 1B 1C 1D 1，则平面CB 1D 1⊥平面A 1B 1C 1D 1也是错的，故B 错误．因为A 1B ∥CD 1，A 1D ∥CB 1，所以平面CB 1D 1∥平面A 1BD ，故C 正确．因为ABCDA 1B 1C 1D 1为正方体．所以∠BCB 1＝45°，又AD ∥BC ，所以AD 与CB 1所成的角为45°，故D 错误．答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，则三棱锥P -ABC 的正视图与侧视图的面积的比值为________．解析：三棱锥P -ABC 的正视图与侧视图为底边和高均相等的三角形，故它们的面积相等，面积比值为1.答案：114．已知直线l 1的方程为y 1＝－2x ＋3，l 2的方程为y 2＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．解析：由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又l ∥l 1，所以l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，所以l 在y 轴上的截距b ＝－2.由斜截式方程可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.答案：y ＝－2x －215．若直线l ：y ＝kx 与曲线M ：y ＝1＋1－（x －3）2有两个不同交点，则k 的取值范围是________．解析：曲线M ：y ＝1＋1－（x －3）2是以(3，1)为圆心，1为半径的，且在直线y ＝1上方的半圆．要使直线l 与曲线M 有两个不同交点，则直线l 在如图所示的两条直线之间转动，即当直线l 与曲线M 相切时，k 取得最大值34；当直线l 过点(2，1)时，k 取最小值12.故k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，34.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，3416．(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．解析：如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .又由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，所以三棱锥S -ABC 的体积为V ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12SC ·OB ·OA ＝r 33，即r 33＝9.所以r ＝3.所以S 球表＝4πr 2＝36π. 答案：36π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程．解：(1)设l 2的方程为2x －y ＋m ＝0，因为l 2在x 轴上的截距为32，所以3－0＋m ＝0，m ＝－3，即l 2：2x －y －3＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2x －y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.所以直线l 1与l 2的交点坐标为(2，1)． (2)当l 3过原点时，l 3的方程为y ＝12x .当l 3不过原点时，设l 3的方程为x a ＋y2a ＝1.又直线l 3经过l 1与l 2的交点，所以2a ＋12a ＝1，得a ＝52，l 3的方程为2x ＋y －5＝0.综上，l 3的方程为y ＝12x 或2x ＋y －5＝0.18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，又因为AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，所以AB ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥PD . (2)解：S 梯形ABCD ＝12(AB ＋CD )·AD ＝332，又PA ⊥平面ABCD ，所以V 四棱锥P-ABCD ＝13×S 梯形ABCD ·PA ＝13×332×3＝32.19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值；(2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点⎝⎛⎭⎪⎫0，－23.若直线l 与圆C 相离，求a 的取值范围．解：(1)由题意可知，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1. 又|MC |＝（4－1）2＋（4－0）2＝5，所以|MN |的最小值为5－1＝4.(2)因为直线l 的斜率为43，且与y 轴相交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－23，所以直线l 的方程为y ＝43x －23. 即4x －3y －2＝0. 因为直线l 与圆C 相离，所以圆心C (a ，0)到直线l 的距离d ＞r . 则|4a －2|42＋32 ＞|a |.又a ＜0，所以2－4a ＞－5a ，解得a ＞－2. 所以a 的取值范围是(－2，0)．20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D是线段AB上的动点．(1)当点D是AB的中点时，求证：AC1∥平面B1CD；(2)线段AB上是否存在点D，使得平面ABB1A1⊥平面CDB1？若存在，试求出AD的长度；若不存在，请说明理由．(1)证明：如图，连接BC1，交B1C于点E，连接DE，则点E是BC1的中点，又点D是AB的中点，由中位线定理得DE∥AC1，因为DE⊂平面B1CD，AC1⊄平面B1CD，所以AC1∥平面B1CD.(2)解：当CD⊥AB时，平面ABB1A1⊥平面CDB1.证明：因为AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以AA1⊥CD.又CD⊥AB，AA1∩AB＝A，所以CD⊥平面ABB1A1，因为CD⊂平面CDB1，所以平面ABB1A1⊥平面CDB1，故点D满足CD⊥AB时，平面ABB1A1⊥平面CDB1.因为AB＝5，AC＝3，BC＝4，所以AC2＋BC2＝AB2，故△ABC是以角C为直角的三角形，又CD⊥AB，所以AD＝9 5.21．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若直线l过点(－2，0)且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程；(2)从圆C外一点P向圆C引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值．解：(1)x2＋y2＋2x－4y＋3＝0可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝－2，易求得直线l与圆C的交点为A(－2，1)，B(－2，3)，|AB|＝2，符合题意；当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，则圆心C到直线l的距离d＝|－k－2＋2k|k2＋1＝（2）2－12＝1，解得k＝3 4，所以直线l的方程为3x－4y＋6＝0.综上，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0. (2)如图，PM为圆C的切线，连接MC，PC，则CM⊥PM，所以△PMC为直角三角形．所以|PM|2＝|PC|2－|MC|2.设点P为(x，y)，由(1)知点C为(－1，2)，|MC|＝2，因为|PM|＝|PO|，所以（x＋1）2＋（y－2）2－2＝x2＋y2，化简得点P的轨迹方程为2x－4y＋3＝0.求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，也即求原点O到直线2x－4y＋3＝0的距离，代入点到直线的距离公式可求得|PM|的最小值为35 10.22.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(2)求证：PD⊥平面PBC；(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．(1)解：由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得AP＝AD2＋PD2＝5，故cos∠DAP＝ADAP＝55.所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为5 5.(2)证明：如图，由(1)知AD⊥PD.又因为BC∥AD，所以PD⊥BC.又PD⊥PB，PB∩BC＝B，所以PD⊥平面PBC.(3)解：过点D作DF∥AB，交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，所以PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1.由已知，得CF＝BC－BF＝2.又AD⊥DC，所以BC⊥DC.在Rt△DCF中，可得DF＝CD2＋CF2＝25；在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝PDDF＝55.所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为5 5.。

高中数学模块综合检测2(含解析)新人教A版选择性必修第二册-新人教A版高二选择性必修第二册数学试题

模块综合检测(二)(满分：150分时间：120分钟)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知f (x )＝ln x 2x ，则lim Δx →0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx Δx ＝( ) A ．－2－ln 2B ．－2＋ln 2C ．2－ln 2D ．2＋ln 2A [由题意，函数f (x )＝ln x 2x ，则f ′(x )＝1x ·2x －(2x )′ln x (2x )2＝2x －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12ln x 2x ，则lim Δx →0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx Δx ＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2＋ln 22×12＝－2－ln 2，故选A.] 2．等比数列{a n }是递减数列，前n 项的积为T n ，若T 13＝4T 9，则a 8a 15＝( )A ．±2B ．±4C ．2D ．4C [∵T 13＝4T 9，∴a 1a 2…a 9a 10a 11a 12a 13＝4a 1a 2…a 9，∴a 10a 11a 12a 13＝4.又∵a 10·a 13＝a 11·a 12＝a 8·a 15，∴(a 8·a 15)2＝4，∴a 8a 15＝±2.又∵{a n }为递减数列，∴q >0，∴a 8a 15＝2.]3．已知公差不为0的等差数列{a n }的前23项的和等于前8项的和．若a 8＋a k ＝0，则k ＝( )A ．22B ．23C ．24D ．25C [等差数列的前n 项和S n 可看做关于n 的二次函数(图象过原点)．由S 23＝S 8，得S n 的图象关于n ＝312对称，所以S 15＝S 16，即a 16＝0，所以a 8＋a 24＝2a 16＝0，所以k ＝24.]4．已知函数f (x )＝(x ＋a )e x 的图象在x ＝1和x ＝－1处的切线相互垂直，则a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2A [因为f ′(x )＝(x ＋a ＋1)e x ，所以f ′(1)＝(a ＋2)e ，f ′(－1)＝a e －1＝a e ，由题意有f (1)f ′(－1)＝－1，所以a ＝－1，选A.]5．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 10＝( )A ．15B ．19C ．21D ．30B [由S 3＝a 22得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3.由S 1，S 2，S 4成等比数列可得S 22＝S 1·S 4，又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )，化简得3d 2＝2a 2d ，又d ≠0，∴a 2＝3，d ＝2，a 1＝1，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴a 10＝19.]6．若函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在与直线x ＋2y －4＝0垂直的切线，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－2，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(2，＋∞)D [因为函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在与直线x ＋2y －4＝0垂直的切线，所以函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在斜率为2的切线，故k ＝f ′(x )＝a －1x ＝2有解，所以a ＝2＋1x ，x ＞0有解，因为y ＝2＋1x ，x ＞0的值域为(2，＋∞)．所以a ∈(2，＋∞)．]7．已知等差数列{}a n 的前n 项为S n ，且a 1＋a 5＝－14，S 9＝－27，则使得S n 取最小值时的n 为( )A ．1B ．6C ．7D ．6或7B [由等差数列{a n }的性质，可得a 1＋a 5＝2a 3＝－14⇒a 3＝－7，又S 9＝9(a 1＋a 9)2＝－27⇒a 1＋a 9＝－6⇒a 5＝－3，所以d ＝a 5－a 35－3＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 3＋(n －3)d ＝－7＋(n －3)×2＝2n －13，令a n ≤0⇒2n －13≤0，解得n ≤132，所以数列的前6项为负数，从第7项开始为正数，所以使得S n 取最小值时的n 为6，故选B.]8．若方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( )A ．4B ．6C ．4.5D ．8A [设底面边长为x ，高为h ，则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x 2.∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x ，∴S ′(x )＝2x －4×256x 2. 令S ′(x )＝0，解得x ＝8，∴当x ＝8时，S (x )取得最小值．∴h ＝25682＝4.]二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．设数列{}a n 是等差数列，S n 是其前n 项和，a 1＞0，且S 6＝S 9，则( )A ．d <0B ．a 8＝0C ．S 5＞S 6D ．S 7或S 8为S n 的最大值ABD [根据题意可得a 7＋a 8＋a 9＝0⇒3a 8＝0⇒a 8＝0，∵数列{}a n 是等差数列，a 1＞0，∴公差d <0，所以数列{}a n 是单调递减数列，对于A 、B ，d <0，a 8＝0，显然成立；对于C ，由a 6>0，则S 5<S 6，故C 不正确；对于D ，由a 8＝0，则S 7＝S 8，又数列为递减数列，则S 7或S 8为S n 的最大值，故D 正确．故选ABD.]10．如图是y ＝f (x )导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是( )A ．f (x )在(－2，－1)上是增函数B ．当x ＝－1时，f (x )取得极小值C ．f (x )在(－1，2)上是增函数，在(2，4)上是减函数D ．当x ＝3时，f (x )取得极小值BC [根据图象知当x ∈(－2，－1)，x ∈(2，4)时，f ′(x )＜0，函数单调递减；当x ∈(－1，2)，x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数单调递增．故A 错误；故当x ＝－1时，f (x )取得极小值，B 正确；C 正确；当x ＝3时，f (x )不是取得极小值，D 错误．故选BC.]11．已知等比数列{}a n 的公比q ＝－23，等差数列{}b n 的首项b 1＝12，若a 9>b 9且a 10>b 10，则以下结论正确的有( )A ．a 9a 10<0B ．a 9>a 10C ．b 10>0D ．b 9>b 10AD [∵等比数列{}a n 的公比q ＝－23，∴a 9和a 10异号，∴a 9a 10<0 ，故A 正确；但不能确定a 9和a 10的大小关系，故B 不正确；∵a 9和a 10异号，且a 9>b 9且a 10>b 10，∴b 9和b 10中至少有一个数是负数，又∵b 1＝12>0 ，∴d <0，∴b 9>b 10 ，故D 正确，∴b 10一定是负数，即b 10<0 ，故C 不正确. 故选AD.]12．已知函数f (x )＝x ln x ，若0＜x 1＜x 2，则下列结论正确的是( )A ．x 2f (x 1)＜x 1f (x 2)B ．x 1＋f (x 1)＜x 2＋f (x 2)C ．f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0 D ．当ln x ＞－1时，x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞2x 2f (x 1)AD [设g (x )＝f (x )x ＝ln x ，函数单调递增，则g (x 2)＞g (x 1)，即f (x 2)x 2＞f (x 1)x 1，∴x 1f (x 2)＞x 2f (x 1)，A 正确；设h (x )＝f (x )＋x ∴h ′(x )＝ln x ＋2不是恒大于零，B 错误；f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1不是恒小于零，C 错误；ln x ＞－1，故f ′(x )＝ln x ＋1＞0，函数单调递增．故(x 2－x 1)(f (x 2)－f (x 1))＝x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)－x 2f (x 1)－x 1f (x 2)＞0，即x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 2f (x 1)＋x 1f (x 2)．f (x 2)x 2＝ln x 2＞f (x 1)x 1＝ln x 1，∴x 1f (x 2)＞x 2f (x 1)，即x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞2x 2f (x 1)，D 正确．故选AD.]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋1＝11－a n(n ∈N *)，a 1＝2，则S 50＝________. 25[因为a n ＋1＝11－a n (n ∈N *)，a 1＝2，所以a 2＝11－a 1＝－1，a 3＝11－a 2＝12，a 4＝11－a 3＝2，∴数列{a n }是以3为周期的周期数列，且前三项和S 3＝2－1＋12＝32， ∴S 50＝16S 3＋2－1＝25.]14．将边长为1 m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则s 的最小值是________． 3233[设AD ＝x (0<x <1)，则DE ＝AD ＝x ，∴梯形的周长为x＋2(1－x )＋1＝3－x .又S △ADE ＝34x 2，∴梯形的面积为34－34x 2，∴s ＝433×x 2－6x ＋91－x 2(0<x <1)，则s ′＝－833×(3x －1)(x －3)(1－x 2)2. 令s ′＝0，解得x ＝13.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，s ′<0，s 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，s ′>0，s 为增函数．故当x ＝13时，s 取得极小值，也是最小值，此时s 的最小值为3233.]15．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.32[由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2相减可得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，同除以a 2可得2q 2－q －3＝0，解得q ＝32或q ＝－1.因为q >0，所以q ＝32.]16．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ＞0时，xf ′(x )＞f (x )，若f (2)＝0，则2f (3)________3f (2)(填“＞”“＜”)不等式x ·f (x )＞0的解集为________．(本题第一空2分，第二空3分)＞ (－2，0)∪(2，＋∞)[由题意，令g (x )＝f (x )x ，∵x ＞0时，g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2＞0.∴g (x )在(0，＋∞)单调递增，∵f (x )x 在(0，＋∞)上单调递增，∴f (3)3＞f (2)2即2f (3)＞3f (2)．又∵f (－x )＝f (x )，∴g (－x )＝－g (x )，则g (x )是奇函数，且g (x )在(－∞，0)上递增，又g (2)＝f (2)2＝0，∴当0＜x ＜2时，g (x )＜0，当x ＞2时，g (x )＞0；根据函数的奇偶性，可得当－2＜x ＜0时，g (x )＞0，当x ＜－2时，g (x )＜0. ∴不等式x ·f (x )＞0的解集为{x |－2＜x ＜0或x ＞2}．]四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在等差数列{}a n 中，已知a 1＝1，a 3＝－5.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若数列{}a n 的前k 项和S k ＝－25，求k 的值．[解](1)由题意，设等差数列{}a n 的公差为d ，则a n ＝a 1＋()n －1d ，因为a 1＝1，a 3＝－5，可得1＋2d ＝－5，解得d ＝－3，所以数列{}a n 的通项公式为a n ＝1＋()n －1×()－3＝4－3n .(2)由(1)可知a n ＝4－3n ，所以S n ＝n [1＋(4－3n )]2＝－32n 2＋52n ，又由S k ＝－25，可得－32k 2＋52k ＝－25，即3k 2－5k －50＝0，解得k ＝5或k ＝－103，又因为k ∈N *，所以k ＝5.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2.(1)求f (x )的单调区间；(2)函数g (x )＝23x 3－16(x ＞0)，求证：a ＝1时f (x )的图象不在g (x )的图象的上方．[解](1)f ′(x )＝a x ＋x (x ＞0)，若a ≥0，则f ′(x )＞0，f (x )在 (0，＋∞)上单调递增；若a ＜0，令f ′(x )＝0，解得x ＝±－a ，由f ′(x )＝(x －－a )(x ＋－a )x ＞0，得x ＞－a ，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜－a .从而f (x )的单调递增区间为(－a ，＋∞)，单调递减区间为(0，－a )． (2)证明：令φ(x )＝f (x )－g (x )，当a ＝1时，φ(x )＝ln x ＋12x 2－23x 3＋16(x ＞0)，则φ′(x )＝1x ＋x －2x 2＝1＋x 2－2x 3x ＝(1－x )(2x 2＋x ＋1)x. 令φ′(x )＝0，解得x ＝1.当0＜x ＜1时，φ′(x )＞0，φ(x )单调递增；当x ＞1时，φ′(x )＜0，φ(x )单调递减．∴当x ＝1时，φ(x )取得最大值φ(1)＝12－23＋16＝0，∴φ(x )≤0，即f (x )≤g (x )．故a ＝1时f (x )的图象不在g (x )的图象的上方．19．(本小题满分12分)已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若数列{}b n 满足b n ＝log 3a n ＋1，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n .[解](1)由2S n ＝3a n －1()n ∈N ＋得，2S n －1＝3a n －1－1()n ≥2.两式相减并整理得，a n ＝3a n －1()n ≥2.令n ＝1，由2S n ＝3a n －1()n ∈N ＋得，a 1＝1.故{}a n 是以1为首项，公比为3的等比数列，因此a n ＝3n －1()n ∈N ＋.(2)由b n ＝log 3a n ＋1，结合a n ＝3n －1得，b n ＝n .则1b n b n ＋1＝1n ()n ＋1＝1n －1n ＋1 故T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋1n －1n ＋1＝n n ＋1. 20．(本小题满分12分)某旅游景点预计2019年1月份起前x 个月的旅游人数的和p (x )(单位：万人)与x 的关系近似地满足p (x )＝12x (x ＋1)(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12)．已知第x 个月的人均消费额q (x )(单位：元)与x 的近似关系是q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 35－2x (x ∈N *，且1≤x ≤6)，160x (x ∈N *，且7≤x ≤12).(1)写出2019年第x 个月的旅游人数f (x )(单位：万人)与x 的函数关系式；(2)问2019年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？[解](1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37，当2≤x ≤12，且x ∈N *时，f (x )＝p (x )－p (x －1)＝12x (x ＋1)(39－2x )－12(x －1)x (41－2x )＝－3x 2＋40x ，验证x ＝1也满足此式，所以f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且1≤x ≤12)．(2)第x 个月旅游消费总额(单位：万元)为g (x )＝⎩⎨⎧ (－3x 2＋40x )(35－2x )(x ∈N *，且1≤x ≤6)，(－3x 2＋40x )·160x (x ∈N *，且7≤x ≤12)，即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧6x 3－185x 2＋1 400x (x ∈N *，且1≤x ≤6)，－480x ＋6 400(x ∈N *，且7≤x ≤12). (i)当1≤x ≤6，且x ∈N *时，g ′(x )＝18x 2－370x ＋1 400，令g ′(x )＝0，解得x ＝5或x ＝1409(舍去)．当1≤x ＜5时，g ′(x )＞0，当5＜x ≤6时，g ′(x )＜0，∴当x ＝5时，g (x )max ＝g (5)＝3 125.(ii)当7≤x ≤12，且x ∈N *时，g (x )＝－480x ＋6 400是减函数，∴当x ＝7时，g (x )max ＝g (7)＝3 040.综上，2019年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3 125万元．21．(本小题满分12分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，在等差数列{b n }中，b n >0，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列．(1)求数列{a n b n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .[解](1)∵a n ＝3n －1，∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9.∵在等差数列{b n }中，b 1＋b 2＋b 3＝15，∴3b 2＝15，则b 2＝5.设等差数列{b n }的公差为d ，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，∴(1＋5－d )(9＋5＋d )＝64，解得d ＝－10或d ＝2.∵b n >0，∴d ＝－10应舍去，∴d ＝2，∴b 1＝3，∴b n ＝2n ＋1.故a n b n＝(2n＋1)·3n－1.(2)由(1)知T n＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)3n－2＋(2n＋1)3n－1，①3T n＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n，②①－②，得－2T n＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)×3n ＝3＋2×(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)×3n＝3＋2×3－3n1－3－(2n＋1)×3n＝3n－(2n＋1)×3n＝－2n·3n.∴T n＝n·3n.22．(本小题满分12分)设函数f (x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求f (x)的极值点；(2)若关于x的方程f (x)＝a有3个不同实根，某某数a的取值X围；(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f (x)≥k(x－1)恒成立，某某数k的取值X围．[解](1)f ′(x)＝3(x2－2)，令f ′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝ 2.当x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，f ′(x)＞0，当x∈(－2，2) 时，f ′(x)＜0，因此x1＝－2，x2＝2分别为f (x)的极大值点、极小值点．(2)由(1)的分析可知y＝f (x)图象的大致形状及走向如图所示．要使直线y＝a 与y＝f (x)的图象有3个不同交点需5－42＝f (2)＜a＜f (－2)＝5＋4 2.则方程f (x)＝a有3个不同实根时，所某某数a的取值X围为(5－42，5＋42)．(3)法一：f (x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)，因为x＞1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x2＋x－5，由二次函数的性质得g(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)＞g(1)＝－3，所以所求k的取值X围是为(－∞，－3]．法二：直线y＝k(x－1)过定点(1，0)且f (1)＝0，曲线f (x)在点(1，0)处切线斜率f ′(1)＝－3，由(2)中图知要使x∈(1，＋∞)时，f (x)≥k(x－1)恒成立需k≤－3.故实数k的取值X围为(－∞，－3]．。

人教A版高中数学必修二第六章章末检测(含答案)

第六章章末检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．已知AB →＝(3,0)，那么|AB →|等于( ) A ．2 B ．3 C ．(1,2)D ．5【答案】B 【解析】∵AB →＝(3,0)，∴|AB →|＝32＋02＝3.故选B ．2．若OA →＝(－1,2)，OB →＝(1，－1)，则AB →＝( ) A ．(－2,3) B ．(0,1) C ．(－1,2)D ．(2，－3)【答案】D 【解析】OA →＝(－1,2)，OB →＝(1，－1)，所以AB →＝OB →－OA →＝(1＋1，－1－2)＝(2，－3)．3．已知向量a ＝(3，k )，b ＝(2，－1)，a ⊥b ，则实数k 的值为( ) A ．－32B ．32C ．6D ．2【答案】C 【解析】∵向量a ＝(3，k )，b ＝(2，－1)，a ⊥b ，∴6－k ＝0，解得k ＝6.故选C ．4．(2019年长沙期末)设a ＝⎝⎛⎭⎫sin α，33，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30° B ．60° C ．75°D ．45°【答案】B 【解析】由a ＝⎝⎛⎭⎫sin α，33，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，13且a ∥b ，则13sin α－33cos α＝0，解得tan α＝ 3.又α为锐角，所以α＝60°.故选B ．5．(2020年宜宾模拟)已知向量a ＝(2，m )，b ＝(4，－2)，且(a ＋b )⊥(a －b )，则实数m ＝( )A ．－4B ．4C ．±2D ．±4【答案】D 【解析】∵(a ＋b )⊥(a －b )，∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝4＋m 2－16－4＝0，解得m ＝±4.故选D ．6．已知|a|＝|b|＝2，a·b ＝－2，若|c －a －b|＝1，则|c|的取值范围为( ) A ．⎣⎡⎦⎤12，32 B ．⎣⎡⎦⎤12，52 C ．[2,3]D ．[1,3]【答案】D 【解析】∵已知|a|＝|b|＝2，a·b ＝－2，|c －a －b|＝1＝|c －(a ＋b )|≥|c|－|a ＋b|，∴|c|≤1＋|a ＋b|.又|a ＋b|＝(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝4＋2·(－2)＋4＝2.∴|c|≤3.再根据|c －a －b|＝|c －(a ＋b )|≥|a ＋b|－|c|，可得|c|≥|a ＋b|－1＝2－1＝1，故有1≤|c|≤3.故选D ．7．(2019年宝鸡期末)已知在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝30°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( )A ．x ＞2B ．0＜x ＜2C ．2＜x ＜3D ．2＜x ＜4【答案】D 【解析】由AC ＝b ＝2，要使三角形有两解，就是要使以C 为圆心，半径为2的圆与BA 有两个交点．当A ＝90°时，圆与AB 相切；当A ＝30°时交于B 点，也就是只有一解，∴30°＜A ＜150°，且A ≠90°，即12＜sin A ＜1.由正弦定理可得a sin B ＝b sin A ，可得a ＝x ＝b sin Asin B＝4sin A ．∵4sin A ∈(2,4)，∴x 的取值范围是(2,4)．故选D ．8．若M 为△ABC 所在平面内一点，且满足(MB →－MC →)·(MB →＋MC →－2MA →)＝0，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形【答案】A 【解析】设BC 的中点为D ，则MB →＋MC →－2MA →＝2MD →－2MA →＝2AD →.∵满足(MB →－MC →)·(MB →＋MC →－2MA →)＝0，∴CB →·2AD →＝0.∴CB →⊥AD →.∴△ABC 的形状是等腰三角形．故选A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．以下关于正弦定理或其变形正确的有( ) A ．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C B ．在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝bC ．在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的充要条件D ．在△ABC 中，asin A ＝b ＋c sin B ＋sin C【答案】ACD 【解析】对于A ，由正弦定理，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，可得a ∶b ∶c＝2R sin A ∶2R sin B ∶2R sin C ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，故正确；对于B ，由sin 2A ＝sin 2B ，可得A ＝B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，∴a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，故B 错误；对于C ，在△ABC 中，由正弦定理可得sin A ＞sin B ⇔a ＞b ⇔A ＞B ，因此A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，正确；对于D ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，可得右边＝b ＋c sin B ＋sin C ＝2R sin B ＋2R sin Csin B ＋sin C＝2R ＝左边，故正确．故选ACD ．10．对于△ABC ，有如下命题，其中正确的有( ) A ．若sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 为等腰三角形 B ．若sin A ＝cos B ，则△ABC 为直角三角形C ．若sin 2A ＋sin 2B ＋cos 2C ＜1，则△ABC 为钝角三角形D ．若AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为32或34【答案】CD 【解析】对于A ，sin 2A ＝sin 2B ，∴A ＝B ⇒△ABC 是等腰三角形，或2A ＋2B ＝π⇒A ＋B ＝π2，即△ABC 是直角三角形，故A 不对；对于B ，由sin A ＝cos B ，∴A －B＝π2或A ＋B ＝π2，△ABC 不一定是直角三角形；对于C ，sin 2A ＋sin 2B ＜1－cos 2C ＝sin 2C ，∴a 2＋b 2＜c 2，则△ABC 为钝角三角形，C 正确；对于D ，由正弦定理，得sin C ＝c ·sin B b ＝32，而c ＞b ，∴C ＝60°或C ＝120°，则A ＝90°或A ＝30°，则S △ABC ＝12bc sin A ＝32或34.D 正确．故选CD ．11．对于任意的平面向量a ，b ，c ，下列说法错误的是( ) A ．若a ∥b 且b ∥c ，则a ∥cB ．(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·cC ．若a·b ＝a·c ，且a ≠0，则b ＝cD ．(a·b )·c ＝a·(b·c )【答案】ACD 【解析】a ∥b 且b ∥c ，当b 为零向量时，则a 与c 不一定共线，即A 错误；由向量数量积的分配律得(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ，即B 正确；因为a·b ＝a·c ，则a·(b －c )＝0，又a ≠0，则b ＝c 或a ⊥(b －c )，即C 错误；取a ，b ，c 为非零向量，且a 与b 垂直，b 与c 不垂直，则(a·b )·c ＝0，a·(b·c )≠0，即D 错误．故选ACD ．12．已知e 1，e 2是两个单位向量，λ∈R 时，|e 1＋λe 2|的最小值为32，则下列结论正确的是( )A ．e 1，e 2的夹角是π3B ．e 1，e 2的夹角是π3或2π3C ．|e 1＋e 2|＝1或 3D ．|e 1＋e 2|＝1或32【答案】BC 【解析】∵e 1，e 2是两个单位向量，且|e 1＋λe 2|的最小值为32，∴(e 1＋λe 2)2的最小值为34.设e 1，e 2的夹角为θ，(e 1＋λe 2)2＝λ2＋2λcos θ＋1＝(λ＋cos θ)2＋1－cos 2θ，∴1－cos 2θ＝34，则e 1与e 2的夹角为π3或2π3.∴|e 1＋e 2|2＝1或3，则|e 1＋e 2|＝1或 3.故选BC ．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上) 13．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为________．【答案】12 【解析】AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12.14．在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________．【答案】311 【解析】AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC→－AB →)＝13AB →＋23AC →，则AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB→＋23AC →·(λAC →－AB →)＝λ3×3＋2λ3×4－13×9－23×3＝－4⇒λ＝311.15．(2020年绵阳模拟)2019年10月1日，在庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，状军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以722千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60°的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75°的方向上，仰角为30°，则直升机飞行的高度为________千米(结果保留根号)．【答案】235 【解析】由题设条件可得线AC 平行于东西方向，∠ABD ＝60°，∠CBD＝75°，AC ＝72260，∴∠ABC ＝135°，∠BAC ＝30°.在△ABC 中，BC sin ∠BAC ＝AC sin ∠ABC ⇒BCsin 30°＝652sin 135°⇒BC ＝652×1222＝65.在直角△BCE 中，tan ∠CBE ＝CE BC ＝h BC ⇒h ＝BC ·tan ∠CBE ＝65×tan 30°＝235(km)． 16．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(a ＋2c )cos B ＋b cos A ＝0，b ＝3，△ABC 的周长为3＋23，则△ABC 的面积是________．【答案】334 【解析】已知(a ＋2c )cos B ＋b cos A ＝0，则(sin A ＋2sin C )cos B ＋sin B cosA ＝0，整理得sin A cosB ＋cos A ·sin B ＋2sinC cos B ＝0，解得cos B ＝－12.由于0＜B ＜π，所以B ＝2π3.因为△ABC 的周长为3＋23，则a ＋b ＋c ＝3＋23，由于b ＝3，则a ＋c ＝2 3.由于b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac ·cos B ，解得ac ＝3.故S △ABC ＝12ac sin B ＝334.四、解答题(本大题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知AB →＝(－1,3)，BC →＝(3，m )，CD →＝(1，n )，且AD →∥BC →. (1)求实数n 的值；(2)若AC →⊥BD →，求实数m 的值．解：因为AB →＝(－1,3)，BC →＝(3，m )，CD →＝(1，n )，所以AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(3,3＋m ＋n )．(1)因为AD →∥BC →，所以AD →＝λBC →，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝3λ，3＋m ＋n ＝λm ，解得n ＝－3.(2)因为AC →＝AB →＋BC →＝(2,3＋m )，BD →＝BC →＋CD →＝(4，m －3)，又AC →⊥BD →，所以AC →·BD →＝0，即8＋(3＋m )(m －3)＝0，解得m ＝±1.18．已知非零向量a ，b 满足|a|＝1，且(a －b )·(a ＋b )＝34.(1)求|b |；(2)当a·b ＝－14时，求向量a 与a ＋2b 的夹角θ的值．解：(1)根据条件，(a －b )·(a ＋b )＝a 2－b 2＝1－b 2＝34，∴b 2＝14.|b|＝12.(2)∵a·b ＝－14，∴a·(a ＋2b )＝a 2＋2a·b ＝1－12＝12，|a ＋2b|＝(a ＋2b )2＝1－1＋1＝1.cos θ＝a·(a ＋2b )|a||a ＋2b |＝121×1＝12.θ∈[0，π]，∴θ＝π3.19．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，已知b sin A ＝a sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3. (1)求角B 的大小； (2)求ca的取值范围．解：(1)∵b sin A ＝a sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3， ∴sin B sin A ＝sin A ⎝⎛⎭⎫12sin B ＋32cos B .又sin A ≠0，化为12sin B －32cos B ＝0，∴tan B ＝ 3.又B ∈(0，π)，解得B ＝π3.(2)由(1)可得A ＋C ＝π－B ＝2π3，又△ABC 为锐角三角形，∴0＜C ＝2π3－A ＜π2，0＜A ＜π2.∴π6＜A ＜π2.∴c a ＝sin Csin A＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A sin A＝32cos A ＋12sin A sin A ＝32tan A ＋12∈⎝⎛⎭⎫12，2.∴ca的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，2. 20．如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .(1)用a ，b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →，BF →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．(1)解：延长AD 到G ，使AD →＝12AG →，连接BG ，CG ，得到平行四边形ABGC ，所以AG →＝a ＋b ，AD →＝12AG →＝12(a ＋b )，AE →＝23AD →＝13(a ＋b )，AF →＝12AC →＝12b ，BE →＝AE →－AB →＝13(a ＋b )－a＝13(b －2a )，BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a )． (2)证明：由(1)可知BE →＝23BF →，又因为BE →，BF →有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．21．(2020年绵阳模拟)已知△ABC 中三个内角A ，B ，C 满足2cos B ＝sin(A ＋C )＋1. (1)求sin B ；(2)若C －A ＝π2，b 是角B 的对边，b ＝3，求△ABC 的面积．解：(1)∵2cos B ＝sin(A ＋C )＋1，sin(A ＋C )＝sin B ，∴2cos B ＝sin B ＋1.又sin 2B ＋cos 2B ＝1，化为3sin 2B ＋2sin B －1＝0，结合1＞sin B ＞0，解得sin B ＝13.(2)C －A ＝π2，又A ＋B ＋C ＝π，可得2A ＝π2－B ，C 为钝角．∴sin 2A ＝cos B ．又b ＝3，∴a sin A ＝c sin C ＝313＝3 3.∴a ＝33sin A ，c ＝33sin C ．∵B 为锐角，∴cos B ＝223.∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×33sin A ×33sin C ×13＝92sin A ·sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A ＝92sin A cos A ＝94sin 2A ＝94cos B ＝94×223＝322.∴△ABC 的面积为322. 22．(2020年哈尔滨月考)已知函数f (x )＝32sin x cos x －14cos 2x －14. (1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝855，D 为边AB 上一点，CD ＝2，B 为锐角，且f (B )＝0，求∠BDC 的正弦值．解：(1)f (x )＝32sin x cos x －14cos 2x －14＝34sin 2x －14cos 2x －14＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－14，要求函数f (x )的单调递减区间，令2x －π6∈⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )，得x ∈⎣⎡⎦⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z )，所以函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π3＋k π，5π6＋k π(k ∈Z )． (2)由于f (B )＝0，即12sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6－14＝0，解得B ＝π6或π2(舍去)，由B ＝π6，在△BCD 中，CD sin π6＝BCsin ∠BDC ，所以sin ∠BDC ＝8552·12＝255.。

高一数学人教A版必修2试题：综合学业质量标准检测含答案试卷分析详

本册综合学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(·泰安二中高一检测)直线y ＝kx 与直线y ＝2x ＋1垂直，则k 等于 ( C ) A ．－2B ．2C ．－12D ．13[解析] 由题意，得2k ＝－1，∴k ＝－12.2．空间中到A 、B 两点距离相等的点构成的集合是 ( B ) A ．线段AB 的中垂线 B ．线段AB 的中垂面 C ．过AB 中点的一条直线D ．一个圆[解析] 空间中线段AB 的中垂面上的任意一点到A 、B 两点距离相等． ①三角形的高线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的高线； ②三角形的中线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中线； ③三角形的角平分线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的角平分线； ④三角形的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中位线． A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④[解析] 垂直线段的平行投影不一定垂直，故①错；线段的中点的平行投影仍是线段的中点，故②正确；三角形的角平分线的平行投影，不一定是角平分线，故③错；因为线段的中点的平行投影仍然是线段的中点，所以中位线的平行投影仍然是中位线，故④正确．选D ．4．如图，在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是 ( C )[解析] 当a >0时，直线y ＝ax 的斜率k ＝a >0，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距等于a >0，此时，选项A 、B 、C 、D 都不符合；当a <0时，直线y ＝ax 的斜率k ＝a <0，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距等于a <0，只有选项C 符合，故选C ．5．已知圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋m ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为2，则实数m 的值是 ( C )A ．3B ．4C ．5D ．7[解析] 圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋m ＝0的圆心(－2,2)，半径r ＝8－m (m <8)．圆心(－2,2)到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－2＋2＋2|12＋12＝2，由题意，得m ＝5.6．在圆柱内有一个内接正三棱锥，过一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是 ( D )[解析] 如图所示，由图可知选D ．7．(·天水市高一检测)圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是 ( C )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0[解析] 圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心C 1(2，－3)，圆x 2＋y 2－6x ＝0的圆心C 2(3,0)，AB 的垂直平分线过圆心C 1、C 2，∴所求直线的斜率k ＝0＋33－2＝3，所求直线方程为y ＝3(x －3)，即3x －y －9＝0.8．(·南平高一检测)已知直线l 与直线2x －3y ＋4＝0关于直线x ＝1对称，则直线l 的方程为 ( A )A ．2x ＋3y －8＝0B ．3x －2y ＋1＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．3x ＋2y －7＝0[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＋4＝0x ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2. 由题意可知直线l 的斜率k 与直线2x －3y ＋4＝0的斜率互为相反数， ∴k ＝－23，故直线l 的方程为y －2＝－23(x －1)，即2x ＋3y －8＝0.9．某几何体的三视图如下所示，则该几何体的体积是 ( B )A ．332B ．1336C ．233D ．1136[解析] 该几何体是一个正三棱柱和一个三棱锥的组合体，故体积V ＝34×22×32＋13×34×22×2＝1336. 10．(～·郑州高一检测)过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是 ( D )A ．x －2y ＋3＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －3＝0[解析] 由圆的几何性质知，圆心角∠ACB 最小时，弦AB 的长度最短，此时应有CM ⊥AB . ∵k CM ＝1， ∴k l ＝－1.∴直线l 方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. 故选D ．11．若圆C ：x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：x －y ＋c ＝0的距离为22，则c 的取值范围是 ( C )A ．[－22，22]B ．(－22，22)C ．[－2,2]D ．(－2,2)[解析] 圆C ：x 2＋y 2－4x －4y －10＝0整理为(x －2)2＋(y －2)2＝(32)2，∴圆心坐标为C (2,2)，半径长为32，要使圆上至少有三个不同的点到直线l ：x －y ＋c ＝0的距离为22，如右图可知圆心到直线l 的距离应小于等于2，∴d ＝|2－2＋c |1＋1＝|c |2≤2，解得|c |≤2，即－2≤c ≤2.12．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M 、N 分别是圆C 1、C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为 ( A )A ．52－4B ．17－1C ．6－22D ．17[解析] 两圆的圆心均在第一象限，先求|PC 1|＋|PC 2|的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C 1′(2，－3)，则(|PC 1|＋|PC 2|)min ＝|C 1′C 2|＝52，所以(|PM |＋|PN |)min ＝52－(1＋3)＝52－4.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．(·曲阜师大附中高一检测)△ABC 中，已知点A (2,1)、B (－2,3)、C (0,1)，则BC 边上的中线所在直线的一般方程为__x ＋3y －5＝0__.[解析] BC 边的中点D 的坐标为(－1,2)，∴BC 边上的中线AD 所在直线的方程为y －21－2＝x ＋12＋1，即x ＋3y －5＝0.14．(·南安一中高一检测)已知直线y ＝kx ＋2k ＋1，则直线恒经过的定点__(－2,1)__. [解析] 解法一：直线y ＝kx ＋2k ＋1，即 k (x ＋2)＋1－y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝01－y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝1. ∴直线恒经过定点(－2,1)．解法二：原方程可化为y －1＝k (x ＋2)， ∴直线恒经过定点(－2,1)．15．一个正四棱台，其上、下底面边长分别为8 cm 和18 cm ，侧棱长为13 cm ，则其表面积为__1 012 cm 2__.[解析] 由已知可得正四棱台侧面梯形的高为 h ＝132－(18－82)2＝12(cm)，所以S 侧＝4×12×(8＋18)×12＝624(cm 2)，S 上底＝8×8＝64(cm 2)，S 下底＝18×18＝324(cm 2)，于是表面积为S ＝624＋64＋324＝1 012(cm 2)．①三棱锥A －D 1PC 的体积不变；②A 1P ∥平面ACD 1；③DP ⊥BC 1；④平面PDB 1⊥平面ACD 1.[解析] ①因为BC 1∥AD 1，所以BC 1∥平面AD 1C ，所以直线BC 1上任一点到平面AD 1C 的距离都相等，所以VA －D 1PC ＝VP －AD 1C ＝VB －AD 1C 为定值，正确；②因为AC ∥A 1C 1，AD 1∥BC 1，AC ∩AD 1＝A ，A 1C 1∩BC 1＝C 1，所以平面ACD 1∥平面A 1BC 1，因为A 1P ⊂平面A 1BC 1，所以A 1P ∥平面ACD 1，正确；③假设DP ⊥BC 1，因为DC ⊥BC 1，DC ∩DP ＝D ，所以BC 1⊥平面DPC ，所以BC 1⊥CP ，因为P 是BC 1上任一点，所以BC 1⊥CP 不一定成立，错误；④因为B 1B ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以B 1B ⊥AC ，又AC ⊥BD ，BD ∩B 1B ＝B ，所以AC ⊥平面BB 1D ，所以AC ⊥DB 1，同理可知AD 1⊥DB 1，因为AC ∩AD 1＝A ，所以DB 1⊥平面ACD 1，因为DB 1⊂平面PDB 1，所以平面PDB 1⊥平面ACD 1，正确．故填①②④.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知直线l 1：ax －by －1＝0(a 、b 不同时为0)，l 2：(a ＋2)x ＋y ＋a ＝0.(1)若b ＝0且l 1⊥l 2，求实数a 的值；(2)当b ＝2，且l 1∥l 2时，求直线l 1与l 2之间的距离． [解析] (1)若b ＝0，则l 1：ax －1＝0， l 2：(a ＋2)x ＋y ＋a ＝0.∵l 1⊥l 2，∴a (a ＋2)＝0，∴a ＝－2或0(舍去)，即a ＝－2. (2)当b ＝2时，l 1：ax －2y －1＝0， l 2：(a ＋2)x ＋y ＋a ＝0，∵l 1∥l 2，∴a ＝－2(a ＋2)，∴a ＝－43.∴l 1：4x ＋6y ＋3＝0，l 2：2x ＋3y －4＝0，∴l 1与l 2之间的距离d ＝|32＋4|22＋32＝111326.18．(本小题满分12分)自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程.[解析] 连接OP ，则OP ⊥BC ，设P (x ，y )，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·yx －4＝－1. 即x 2＋y 2－4x ＝0.①当x ＝0时，P 点坐标为(0,0)是方程①的解，所以BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内)．19．(本小题满分12分)(2019·葫芦岛高一检测)已知半径为2，圆心在直线y ＝x ＋2上的圆C .(1)当圆C 经过点A (2,2)且与y 轴相切时，求圆C 的方程；(2)已知E (1,1)、F (1,3)，若圆C 上存在点Q ，使|QF |2－|QE |2＝32，求圆心横坐标a 的取值范围．[解析] (1)设圆心坐标为(a ，－a ＋2)， ∵圆经过点A (2,2)且与y 轴相切，∴⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋[2－(－a ＋2)]2＝4|a |＝2，解得a ＝2.∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4. (2)设Q (x ，y )，由已知，得(x －1)2＋(y ＋3)2－[(x －1)2＋(y －1)2]＝32，即y ＝3.∴点Q 在直径y ＝3上．又∵Q 在圆C 上，∴圆C 与直线y ＝3相交， ∴1≤－a ＋2≤5，∴－3≤a ≤1. ∴圆心横坐标a 的取值范围为－3≤a ≤1.20．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，斜率为1的直线l 与圆C 交于A 、B 两点.(1)化圆的方程为标准形式，并指出圆心和半径；(2)是否存在直线l ，使以线段AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由；(3)当直线l 平行移动时，求△CAB 面积的最大值． [解析] (1)(x －1)2＋(y ＋2)2＝9.圆心C (1，－2)，r ＝3. (2)假设存在直线l ，设方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵以AB 为直径的圆过圆心O ， ∴OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，消去y 得2x 2＋2(m ＋1)x ＋m 2＋4m －4＝0. Δ＞0得－32－3＜m ＜32－3. 由根与系数关系得：x 1＋x 2＝－(m ＋1)，x 1x 2＝m 2＋4m －42，y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2 ∴x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝0. 解得m ＝1或－4.直线l 方程为y ＝x ＋1或y ＝x －4.(3)设圆心C 到直线l ：y ＝x ＋m 的距离为d ， |AB |＝29－d 2，S △CAB ＝12×29－d 2×d ＝9d 2－d 4＝814－(d 2－92)2≤92，此时d ＝322，l 的方程为y ＝x 或y ＝x －6. 21．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅰ文，18)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ；(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P －ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积．[解析] (1)证明：由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 因为AB ∥CD ，所以AB ⊥PD .又AP ∩DP ＝P ，且AP ，DP ⊂平面P AD 所以AB ⊥平面P AD . 因为AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD .(2)解：如图，在平面P AD 内作PE ⊥AD ，垂足为点E .由(1)知，AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥PE ，AB ⊥AD ，又∵AD ∩AB ＝A . 可得PE ⊥平面ABCD .设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝22x . 故四棱锥P －ABCD 的体积V P －ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3.由题设得13x 3＝83，故x ＝2.从而结合已知可得P A ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝2 2. 可得四棱锥P －ABCD 的侧面积为12P A ·PD ＋12P A ·AB ＋12PD ·DC ＋12BC 2sin 60°＝6＋2 3. 22．(本小题满分12分)已知⊙C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0. (1)若⊙C 的切线在x 轴、y 轴上截距相等，求切线的方程；(2)从圆外一点P (x 0，y 0)向圆引切线PM ，M 为切点，O 为原点，若|PM |＝|PO |，求使|PM |最小的P 点坐标．[解析] ⊙C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心C (－1,2)，半径r ＝2. (1)若切线过原点设为y ＝kx ，则|－k －2|1＋k 2＝2，∴k ＝0或43.若切线不过原点，设为x ＋y ＝a ，则|－1＋2－a |2＝2，∴a ＝1±22， ∴切线方程为：y ＝0，y ＝43x ，x ＋y ＝1＋22和x ＋y ＝1－2 2.(2)x 20＋y 20＋2x 0－4y 0＋1＝x 20＋y 20，∴2x 0－4y 0＋1＝0，|PM |＝x 20＋y 20＋2x 0－4y 0＋1＝5y 20－2y 0＋14∵P 在⊙C 外，∴(x 0＋1)2＋(y 0－2)2>4，将x 0＝2y 0－12代入得5y 20－2y 0＋14>0， ∴|PM |min ＝510.此时P ⎝⎛⎭⎫－110，15.。

【金版新学案】高一数学人教A版必修二练习：模块质量评估试题(含答案解析)

模块质量评估(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题 (本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的)1． (2015 景·德镇期末 ) 已知直线 x－ 3y－ 2＝ 0，则该直线的倾斜角为()A． 30°B． 60°C． 120 °D． 150 °分析：直线 x－ 3y－ 2＝ 0 的斜率 k＝33，故倾斜角为 30°，选 A.答案：A2． (2015 濮·阳综合高中月考 )过点 A(4， a)和 B(5，b) 的直线与 y＝ x＋m 平行，则 |AB|的值为()A． 6 B. 2C． 2D．不确立b－ a＝1，得 b－a＝ 1，分析：由 k AB＝5－ 4即 |AB|＝ 5－ 4 2＋ b－ a 2＝ 2.应选 B.答案：B3． (2015 ·芦岛期末葫)在空间直角坐标系中已知点P(0,0，3)和点 C(－ 1,2,0) ，则在 y 轴上到 P 和 C 的距离相等的点 M 坐标是 ()A． (0,1,0) B. 0，－1， 0 21C. 0，2， 0D． (0,2,0)分析：设 M(0，y,0)，则 |MP |＝ |MC|，因此 y232＝－12＋21＋2－y ，解得 y＝2，应选 C.答案：C4．若直线 (1＋ a)x＋ y＋1＝ 0 与圆 x2＋ y2－2x＝ 0 相切，则 a 的值为 ()A．1或－1B．2 或－2C． 1D．－ 1圆 x2＋ y2－2x＝ 0 的圆心 (1,0)，半径为1，依题意得|1＋ a＋ 0＋ 1|分析：＝ 1，即 |a＋ 2|1＋ a 2＋ 1＝a＋ 1 2＋ 1，平方整理得 a＝－ 1，应选 D.答案： D5． (2015 中·山市杨仙逸中学检测)如图是某几何体的三视图，此中正视图是腰长为 2 的等腰三角形，俯视图是半径为 1 的半圆，则该几何体的体积是 ()431A. 3πB.2π33C. 3πD. 6π分析：由题意知，该几何体为沿轴截面切开的半个圆锥，圆锥的半径为 1 ，高为3，故所求体积为1×1× π× 12× 3＝3π，选 D.2 36答案：D6． (2015 ·川一中期末银)在空间给出下边四个命题(此中 m， n 为不一样的两条直线，α，β为不一样的两个平面)①m⊥ α，n∥ α? m⊥n ②m∥ n，n∥ α? m∥ α ③m∥ n， n⊥β，m∥ α? α⊥ β ④ m∩ n ＝A， m∥ α， m∥ β，n∥ α， n∥ β? α∥β此中正确的命题个数有()A．1个B．2 个C．3 个D．4 个分析：②中m 也可能在平面α内，②错，①③④正确，应选 C.答案：C7．直线 l 将圆 x2＋ y2－ 2x－ 4y＝0均分，且与直线 x＋2y＝ 0 垂直，则直线 l 的方程是 ()A． 2x－ y＝0B． 2x－ y－ 2＝ 0C． x＋ 2y－ 3＝0D． x－ 2y＋ 3＝ 0分析：依题意知直线l 过圆心(1,2)，斜率 k＝ 2，因此 l 的方程为 y－ 2＝ 2(x－1)，即2x－ y＝ 0，应选 A.答案：A8． (2015 ·连六校联考大 )若点 A(－3，－ 4)， B(6,3)到直线 l ： ax ＋y ＋ 1＝ 0 的距离相等，则实数 a 的值为 ()71A. 9B ．－ 3C.7或1D ．－ 7或－ 19 39 3分析：|－3a － 4＋ 1||6a ＋ 3＋ 1|71 由2 ＝ 22 ，解得 a ＝－ 9或－ 3，应选 D.2＋＋1a 1 a答案：D9．点 P 在正方形 ABCD 所在平面外， PD ⊥平面 ABCD ，PD ＝AD ，则 PA 与 BD 所成角的度数为()A ． 30°C ． 60°B ． 45°D ． 90°分析：利用正方体求解，以下图：PA 与 BD60°，故 PA 与所成的角，即为PA 与BD 所成角为 60°，选PQ 所成的角，由于△C.APQ 为等边三角形，因此∠APQ ＝答案：C10．在四周体 A －BCD中，棱AB ，AC ，AD两两相互垂直，则极点A 在底面BCD上的投影H 为△ BCD的 ()A ．垂心B ．重心C ．外心D ．心里分析：由于 AB ⊥AC ， AB ⊥AD ， AC ∩ AD ＝A ，由于 AB ⊥平面 ACD ，因此 AB ⊥CD.由于 AH ⊥平面BCD ，因此 AH ⊥CD ， AB ∩ AH ＝A ，因此 CD ⊥平面 ABH ，因此 CD ⊥BH .同理可证 CH ⊥BD ，DH ⊥BC ，则 H 是△BCD 的垂心．应选 A.答案：A11．圆 x2＋ y2＋ 2x＋ 4y－ 3＝0 上到直线 x＋ y＋ 1＝0 的距离为2的点共有 ()A．1个B．2 个C．3 个D．4 个分析：圆 x2＋ y2＋ 2x＋4y－ 3＝ 0 的圆心坐标是 (－ 1，－ 2)，半径是22，圆心到直线x＋ y＋ 1＝ 0的距离为 2，∴过圆心平行于直线x＋ y＋ 1＝ 0 的直线与圆有两个交点，另一条与直线 x＋ y＋ 1＝ 0 的距离为2的平行线与圆相切，只有一个交点，共有 3 个交点，应选 C.答案：C12． (2014 德·州高一期末 )将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使得 BD＝ a，则三棱锥 D －ABC 的体积为 ()23a3A. 12aB.122 3a3C. 4 aD. 6分析：取 AC 的中点 O，如图，则 BO＝DO＝22 a，又 BD ＝a，因此 BO ⊥DO ，又 DO ⊥AC，因此 DO ⊥平面 ACB，V D －＝1 △ABC3S ABC·DO＝1×1× a2×2a＝2a3.应选 A. 32212答案：A二、填空题 (本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分．请把正确答案填在题中横线上 ) 13．以下列图所示， Rt△ A′B′ C′为水平搁置的△ ABC 的直观图，此中 A′C′⊥ B′ C′，B′ O′＝ O′ C′＝ 1，则△ ABC 的面积为 ________．分析：由直观图画法例则将△A′ B′ C′复原为△ABC，以下图，则有 BO＝ OC＝ 1， AO＝ 2△11× 2× 2 2＝2 2.2.故 S ABC＝BC·AO＝22答案：2214．已知 A(0,8)，B(－ 4,0)， C(m，－ 4) 三点共线，则实数m 的值是 ________．8－ 00＋ 4分析：k AB＝＝ 2，k BC＝0＋ 4－ 4－ m∵k AB＝ k BC，∴m＝－ 6.答案：－ 615．直线 y＝ 2x＋ 3 被圆 x2＋ y2－ 6x－ 8y＝ 0 所截得的弦长等于________．分析：先求弦心距，再求弦长．圆的方程可化为 (x－ 3)2＋ (y－4) 2＝ 25，故圆心为 (3,4)，半径 r ＝5.又直线方程为2x－ y＋ 3＝0，|2× 3－ 4＋ 3|5，因此圆心到直线的距离为d＝4＋1＝因此弦长为 2r 2－ d2＝ 2× 25－ 5＝ 220＝ 4 5.答案：4516．已知正四棱锥 O－ ABCD 的体积为32，底面边长为3，则以 O 为球心， OA 为半2径的球的表面积为________．分析：此题先求出正四棱锥的高h，而后求出侧棱的长，再运用球的表面积公式求解．V 四棱锥O－ABCD＝1× 3×3h＝32，得 h＝32，32222AC 2186∴OA ＝ h ＋ 2 ＝4＋4＝ 6.∴S 球＝ 4πOA2＝ 24π.答案：24π三、解答题 (本大题共 6 小题，共 74 分．解答时应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤 )17．(本小题满分12 分 )(2015 河·源市高二 (上 )期中 )轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积．分析：以下图，作出轴截面，由于△ABC 是正三角形，1因此 CD ＝2AC＝ 2，因此 AC＝ 4， AD＝23× 4＝ 23，由于 Rt△AOE∽Rt△ACD，OE CD因此AO＝AC.设 OE＝R，则 AO＝ 2 3－ R，R1R＝23因此＝2，因此 3 .2 3－R因此 V球4342 3 3323π＝πR ＝π·3＝27. 33323π因此球的体积等于.2718． (本小题满分12 分 )(2015 福·建八县一中联考)已知直线 l ： kx－ y＋ 1－ 2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线 l过定点；(2)若直线 l 交 x 轴正半轴于点A，交 y 轴正半轴于点 B， O 为坐标原点，且 |OA |＝ |OB|，求 k 的值．分析： (1)证明：法一：直线 l 的方程可化为y－ 1＝k( x－2)，故不论 k 取何值，直线l 总过定点 (2,1) ．法二：设直线过定点0，y0)，(x则kx0－y0＋1－2k＝0 对随意k∈R恒建立，即 (x0－ 2)k－ y0＋ 1＝ 0 恒建立，x0－ 2＝ 0，因此－y0＋ 1＝ 0解得 x0＝2， y0＝ 1，故直线 l 总过定点 (2,1)．(2)由于直线l 的方程为y＝ kx－ 2k＋ 1，1则直线 l 在 y 轴上的截距为1－ 2k，在 x 轴上的截距为2－k，依题意 1－ 2k＝ 2－1＞ 0，解得 k＝－ 1 或 k＝1k2( 经查验，不合题意 )因此所求 k＝－ 1.19． (本小题满分 12分 )(2015 西·安一中期末 )已知正方体ABCD － A1B1C1D1， O 是底面ABCD 对角线的交点．求证： (1)C1O∥平面 AB1D 1；(2)A1C⊥平面 AB1D 1.证明：(1)连结 A1C1，设 A1C1∩ B1D1＝O1，连结 AO1，由于 ABCD －A1B1C1D1是正方体，因此 A1ACC1是平行四边形，D1 B1∩ AB1＝ B1，因此 A1C1∥AC，且 A1C1＝AC ，又 O1， O 分别是 A1C1， AC 的中点，因此 O1C1∥AO 且 O1C1＝ AO，因此 AOC1O1是平行四边形，因此 C1O∥AO1， AO1? 平面 AB1D 1，C1O?平面 AB1D 1，因此 C1O∥平面AB1D1，(2)由于 CC1⊥平面 A1B1C1D1，因此 CC 1⊥B1D 1，又由于 A1C1⊥B1D 1，因此 B1D 1⊥平面 A1C1C，即 A1C⊥B1D1，同理可证 A1C⊥AB1，又 D1B1∩ AB1＝B1，因此 A1C⊥平面 AB1D 1.20． (本小题满分12 分 )求圆心在直线y＝－ 2x 上，而且经过点A(0,1) ，与直线x＋ y＝1相切的圆的标准方程．分析：由于圆心在直线y＝－ 2x 上，设圆心坐标为( a，－ 2a)，则圆的方程为(x－ a)2＋(y＋ 2a)2＝ r2，圆经过点 A(0,1)且和直线x＋y＝ 1 相切，2＋ 2a＋122a＝r ，因此有|a－ 2a－ 1|＝ r ，212解得 a＝－3，r＝3，12222因此圆的方程为x＋3＋ y－3＝9.21．(本小题满分13 分 )以下图，在四棱锥V－ ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD⊥底面 ABCD .(1)求证： AB⊥平面 VAD；(2)求平面 VAD 与平面 VDB 所成的二面角的大小．分析：(1) 证明：∵底面 ABCD 是正方形，∴AB⊥ AD .∵平面 VAD⊥底面 ABCD ，平面 VAD∩底面 ABCD ＝ AD， AB⊥ AD， AB? 底面 ABCD ，∴AB⊥平面 VAD.(2)取 VD 的中点 E ，连结 AE ， BE.∵△ VAD 是正三角形，∴ AE ⊥ VD ， AE ＝ 3AD.2∵ AB ⊥平面 VAD ，VD ? 平面 VAD ，∴ AB ⊥ VD .又 AB ∩ AE ＝ A ，∴ VD ⊥平面 ABE.∵ BE? 底面 ABE ，∴ VD ⊥ BE.∴∠ ABE 就是平面 VAD 与平面 VDB 所成的二面角的平面角．在 Rt △BAE 中， tan ∠ BEA ＝BA＝ AD＝2 3.AE332 AD∴平面 VAD 与平面 VDB 所成的二面角的正切值为233.22.(本小题满分 132 2上的动点，点 D 是 P分)如图，设 P 是圆 x ＋ y ＝ 25 在 x 轴上的投影， M 为 PD 上一点，且 |MD |＝ 4|PD |.5(1)当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程；(2)求过点 (3,0) 且斜率为 4的直线被 C 所截线段的长度．5分析： (1)设 M 的坐标为 (x ， y)， P 的坐标为 (x p ， y p )p ＝ xx由已知得， y p ＝5y4252∵P 在圆上，∴ x ＋ 4y＝ 25，即 C 的方程为 x 2 ＋ y 2＝ 1.25 164 4(2)过点 (3,0)且斜率为 5的直线方程为 y ＝ 5(x － 3)，设直线与 C 的交点为 A(x 1， y 1) ， B(x 2 ，y 2)4将直线方程 y ＝ 5(x －3) 代入 C 的方程，得 x 2＋ x － 3 2＝ 1 整理得 x 2－ 3x － 8＝ 025253－ 413＋ 41∴x 1＝，x 2＝22∴线段 AB 的长度为|AB|＝x1－ x22＋ y1－ y22162＝1＋25x1－ x24141＝25× 41＝5 .。

高中数学模块综合检测新人教A版必修第二册

模块综合检测(时间：120分钟,满分150分)一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足i z ＋2＝i,则在复平面内,z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A2．在△ABC 中,a ＝3,b ＝2,A ＝30°,则sin B ＝( ) A ．13 B ．23 C ．23D ．223【答案】A3．某校高一年级有男生450人,女生550人,若在各层中按比例抽取样本,总样本量为40,则在男生、女生中抽取的人数分别为( )A ．17,23B ．18,22C ．19,21D ．22,18【答案】B4．已知向量a ,b 的夹角为60°,|a |＝2,|b |＝1,则a －2b 与b 的夹角是( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 【答案】C5．在某中学举行的环保知识竞赛中,将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组,绘制如图所示的频率分布直方图,图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组,已知第二小组的频数是40,则成绩在80～100分的学生人数是( )A ．25B ．20C ．18D ．15【答案】D6．2021年是中国共产党成立100周年,电影频道推出“经典频传：看电影,学党史”系列短视频,首批21支短视频全网发布,传扬中国共产党伟大精神,为广大青年群体带来精神感召．小李同学打算从《青春之歌》《闪闪的红星》《英雄儿女》《焦裕禄》等四支短视频中随机选择两支观看,则选择观看《青春之歌》的概率为( )A ．12B ．13C ．14D ．25【答案】A7．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一块三角形的沙田,三边长分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该沙田的面积为( )A ．15平方千米B ．18平方千米C ．21平方千米D ．24平方千米【答案】C【解析】设在△ABC 中,a ＝13里,b ＝14里,c ＝15里,∴由余弦定理得cos C ＝132＋142－1522×13×14＝513,∴sin C ＝1213.故△ABC 的面积为12×13×14×1213×5002×11 0002＝21(平方千米)．故选C ．8．在三棱锥ABCD 中,△ABC 与△BCD 都是正三角形,平面ABC ⊥平面BCD ,若该三棱锥的外接球的体积为2015π,则△ABC 的边长为( )A ．332 B ．634 C ．633 D ．6【答案】D【解析】如图,取BC 中点M ,连接AM ,DM .设等边△ABC 与等边△BCD 的外心分别为N ,G ,三棱锥外接球的球心为O ,连接OA ,OD ,ON ,OG .由V ＝4π3R 3＝2015π,得外接球半径R ＝15.设△ABC 的边长为a ,则ON ＝GM ＝13DM ＝36a ,AN ＝23AM ＝33a .在Rt △ANO 中,由ON 2＋AN 2＝R 2,得a 212＋a 23＝15,解得a ＝6.故选D ．二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．9．下列说法中错误的是( )A ．若事件A 与事件B 互斥,则P (A )＋P (B )＝1B ．若事件A 与事件B 满足P (A )＋P (B )＝1,则事件A 与事件B 为对立事件C ．“事件A 与事件B 互斥”是“事件A 与事件B 对立”的必要不充分条件D ．某人打靶时连续射击两次,则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”互为对立事件【答案】ABD【解析】若事件A 与事件B 互斥,则有可能P (A )＋P (B )<1,故A 不正确；若事件A 与事件B 为同一事件,且P (A )＝0.5,则满足P (A )＋P (B )＝1,但事件A 与事件B 不是对立事件,B 不正确；互斥不一定对立,对立一定互斥,故C 正确；某人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”既不互斥也不对立,D 错误．故选ABD ．10．如图是民航部门统计的今年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表,根据图表,下面叙述正确的是( )A ．深圳的变化幅度最小,北京的平均价格最高B ．深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D ．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门【答案】ABC【解析】由图可知深圳对应的小黑点最接近0%,故变化幅度最小,北京对应的条形图最高,则北京的平均价格最高,A 正确；深圳和厦门对应的小黑点在0%以下,故深圳和厦门的价格同去年相比有所下降,B 正确；条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州,C 正确；平均价格的涨幅由高到低分别为天津、西安和南京,D 错误．故选ABC ．11．△ABC 是边长为2的等边三角形,已知向量a ,b 满足AB →＝2a ,AC →＝2a ＋b ,则下列结论中正确的是( )A ．a 为单位向量B ．a ⊥bC ．b ∥BC →D ．(4a ＋b )⊥BC →【答案】ACD【解析】由AB →＝2a ,得a ＝12AB →,又AB ＝2,所以|a |＝1,即a 是单位向量,A 正确；a ,b 的夹角为120°,B 错误；因为AC →＝AB →＋BC →＝2a ＋b ,所以BC →＝b ,C 正确；(4a ＋b )·BC →＝4a ·b ＋b2＝4×1×2×cos 120°＋4＝－4＋4＝0,D 正确．故选ACD ．12．如图,点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动,则( )A ．三棱锥A －D 1PC 的体积不变B ．A 1P ∥平面ACD 1C ．DP ⊥BC 1D ．平面PDB 1⊥平面ACD 1【答案】ABD【解析】连接BD 交AC 于点O ,连接DC 1交D 1C 于点O 1,连接OO 1,则OO 1∥BC 1,所以BC 1∥平面AD 1C ,动点P 到平面AD 1C 的距离不变,所以三棱锥PAD 1C 的体积不变,又因为V 三棱锥PAD 1C ＝V 三棱锥AD 1PC ,所以A 正确；因为平面A 1C 1B ∥平面AD 1C ,A 1P ⊂平面A 1C 1B ,所以A 1P ∥平面ACD 1,B 正确；由于当点P 在B 点时,DB 不垂直于BC 1,即DP 不垂直BC 1,故C 不正确；由于DB 1⊥D 1C ,DB 1⊥AD 1,D 1C ∩AD 1＝D 1,所以DB 1⊥平面ACD 1,又因为DB 1⊂平面PDB 1,所以平面PDB 1⊥平面ACD 1,D 正确．故选ABD ．三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分．13．已知复数z ＝1＋3i 1－i ,z －为z 的共轭复数,则z 的虚部为________．【答案】－2【解析】由z ＝1＋3i 1－i ＝（1＋3i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－2＋4i2＝－1＋2i,得z －＝－1－2i,∴复数z 的虚部为－2.14．一组数据按从小到大的顺序排列为1,3,3,x ,7,8,10,11,其中x ≠7,已知该组数据的中位数为众数的2倍,则：(1)该组数据的上四分位数是________； (2)该组数据的方差为________．【答案】(1)9 (2)11.25【解析】(1)一组数据按从小到大的顺序排列为1,3,3,x ,7,8,10,11,其中x ≠7,∵该组数据的中位数为众数的2倍,∴x ＋72＝2×3,解得x ＝5.∵8×0.75＝6,∴该组数据的上四分位数是8＋102＝9.(2)该组数据的平均数为：18(1＋3＋3＋5＋7＋8＋10＋11)＝6,∴该组数据的方差为18[(1－6)2＋(3－6)2＋(3－6)2＋(5－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2＋(10－6)2＋(11－6)2]＝11.25.15．a ,b ,c 分别为△ABC 内角A ,B ,C 的对边．已知ab cos(A －B )＝a 2＋b 2－c 2,A ＝45°,a ＝2,则c ＝________.【答案】4105【解析】由ab cos(A －B )＝a 2＋b 2－c 2,得cos(A －B )＝2·a 2＋b 2－c 22ab＝2cos C ＝－2cos(A＋B ),整理,得3cos A cos B ＝sin A sin B ,所以tan A tan B ＝3.又A ＝45°,所以tan A ＝1,tan B ＝3.由sin B cos B ＝3,sin 2B ＋cos 2B ＝1,得sin B ＝31010,cosB ＝1010.所以sin C ＝sin(A ＋B )＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫31010＋1010＝255.由正弦定理,得c ＝a sin C sin A ＝4105. 16．如图,AB →＝3AD →,AC →＝4AE →,BE 与CD 交于P 点,若AP →＝mAB →＋nAC →,则m ＝________,n ＝________．【答案】311 211【解析】因为AB →＝3AD →,AC →＝4AE →,且E 、P 、B 三点共线,D 、P 、C 三点共线,所以存在x ,y 使得AP →＝xAE →＋(1－x )AB →＝14xAC →＋(1－x )AB →.因为AP →＝yAC →＋(1－y )AD →＝yAC →＋13(1－y )AB →,所以⎩⎪⎨⎪⎧14x ＝y ，1－x ＝13（1－y ），解得x ＝811,y ＝211,所以AP →＝14×811AC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－811AB →＝211AC →＋311AB →＝311AB →＋211AC →.又因为AP →＝mAB →＋nAC →,所以m ＝311,n ＝211.四、解答题：本题共6小题,17题10分,其余小题为12分,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知复数z ＝m 2－m i(m ∈R),若|z |＝2,且z 在复平面内对应的点位于第四象限． (1)求复数z ；(2)若z 2＋az ＋b ＝1＋i,求实数a ,b 的值．解：(1)∵z ＝m 2－m i,|z |＝2,∴m 4＋m 2＝2,得m 2＝1.又∵z 在复平面内对应的点位于第四象限,∴m ＝1,即z ＝1－i.(2)由(1)得z ＝1－i,∴z 2＋az ＋b ＝1＋i ⇒(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i.∴(a ＋b )－(2＋a )i ＝1＋i,∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，2＋a ＝－1，解得a ＝－3,b ＝4.18．在①b ＋b cos C ＝2c sin B ,②S △ABC ＝2CA →·CB →,③(3b －a )cos C ＝c cos A ,三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解决问题．在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足________． (1)求cos C 的值；(2)若点E 在AB 上,且AE →＝2EB →,EC ＝413,BC ＝3,求sin B ．解：(1)若选①：因为b ＋b cos C ＝2c sin B ,由正弦定理可得sin B ＋sin B cos C ＝2sin C sin B ．因为sin B ≠0,所以1＋cos C ＝2sin C ．联立⎩⎨⎧1＋cos C ＝2sin C ，sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得cos C ＝13,sin C ＝223,故cos C ＝13. 若选②：因为S △ABC ＝2CA →·CB →,所以12ab sin C ＝2ba cos C ,即sin C ＝22cos C ＞0,联立sin 2C ＋cos 2C ＝1,可得cos C ＝13.若选③：因为(3b －a )cos C ＝c cos A ,由正弦定理可得(3sin B －sin A )cos C ＝sin C cosA ,所以3sinB cosC ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ．因为sin B ≠0,所以cos C ＝13.(2)由余弦定理可得cos ∠AEC ＝AE 2＋EC 2－AC 22AE ·EC ＝49c 2＋EC 2－b 243c ·EC ,cos ∠BEC ＝BE 2＋EC 2－BC 22BE ·EC＝19c 2＋EC 2－a 223c ·EC ,因为cos ∠AEC ＋cos ∠BEC ＝0,所以49c 2＋EC 2－b 243c ·EC ＋19c 2＋EC 2－a 223c ·EC ＝0,即2c 2＋9EC 2－3b 2－6a 2＝0,则2c 2－3b 2＝6a 2－9EC 2＝6×9－9×419＝13,①同时cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝13,即b 2－c 2＝2b －9,②联立①②可得b 2＋4b －5＝0,解得b ＝1,则c ＝22,故cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝223,则sin B＝13. 19．如图所示,在四棱锥MABCD 中,底面ABCD 为直角梯形,BC ∥AD ,∠CDA ＝90°,AD ＝4,BC ＝CD ＝2,△MBD 为等边三角形．(1)求证：BD ⊥MC ；(2)若平面MBD ⊥平面ABCD ,求三棱锥CMAB 的体积． (1)证明：取BD 中点O ,连接CO 、MO ,如图所示： ∵△MBD 为等边三角形,且O 为BD 中点,∴MO ⊥BD ．又BC ＝CD ,O 为BD 中点,∴CO ⊥BD ．又MO ∩CO ＝O ,∴BD ⊥平面MCO . ∵MC ⊂平面MCO ,∴BD ⊥MC ．(2)解：∵平面MBD ⊥平面ABCD ,且平面MBD ∩平面ABCD ＝BD ,MO ⊥BD , ∴MO ⊥平面ABCD ．由(1)知MB ＝MD ＝BD ＝22,MO ＝MB 2－BO 2＝6,S △ABC ＝12BC ·CD ＝2,∴V CMAB ＝V MABC ＝13×S △ABC ×MO ＝263.20．某冰糖橙为甜橙的一种,云南著名特产,以味甜皮薄著称．该橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级(每箱有5 kg)．某采购商打算采购一批该橙子销往省外,并从采购的这批橙子中随机抽取100箱,利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表：等级珍品特级优级一级箱数 40 30 10 20 售价/(元·kg －1)36302418(2)按照分层抽样的方法,从这100箱橙子中抽取10箱,试计算各等级抽到的箱数； (3)若在(2)抽取的特级品和一级品的箱子上均编上号放在一起,再从中抽取2箱,求抽取的2箱中两种等级均有的概率．解：(1)依题意可知,样本中的100箱不同等级橙子的平均价格为36×410＋30×310＋24×110＋18×210＝29.4(元/kg)． (2)依题意,珍品抽到110×40＝4(箱),特级抽到110×30＝3(箱),优级抽到110×10＝1(箱),一级抽到110×20＝2(箱)．(3)抽到的特级有3箱,编号为A 1,A 2,A 3,抽到的一级有2箱,编号为B 1,B 2. 从中抽取2箱,有(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,A 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 3,B 1),(A 3,B 2),(B 1,B 2)共10种可能,两种等级均有的有(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 3,B 1),(A 3,B 2)共6种可能,∴所求概率p ＝610＝35.21．已知向量a ＝(3cos ωx ,sin ωx ),b ＝(cos ωx ,cos ωx ),其中ω＞0,记函数f (x )＝a ·b .(1)若函数f (x )的最小正周期为π,求ω的值；(2)在(1)的条件下,已知△ABC 的内角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c ,若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3,且a＝4,b ＋c ＝5,求△ABC 的面积．解：(1)f (x )＝a ·b ＝3cos 2ωx ＋sin ωx ·cos ωx ＝3（cos 2ωx ＋1）2＋sin 2ωx2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋32. ∵f (x )的最小正周期为π,且ω＞0,∴2π2ω＝π,解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋32.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝32. 由0＜A ＜π,得π3<A ＋π3<4π3,∴A ＋π3＝2π3,解得A ＝π3.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ,得16＝b 2＋c 2－bc .联立b ＋c ＝5,得bc ＝3. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×32＝334.22．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度,对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛,满分为100分(90分及以上为认知程度高)．现从参赛者中抽取了x 人,按年龄分成5组,第一组：[20,25),第二组：[25,30),第三组：[30,35),第四组：[35,40),第五组：[40,45),得到如图所示的频率分布直方图,已知第一组有6人．(1)求x ；(2)求抽取的x 人的年龄的中位数(结果保留整数)；(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户,五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人,42人,36人,24人,12人,分别记为1～5组,从5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛,分别代表相应组的成绩,年龄组中1～5 组的成绩分别为93,96,97,94,90,职业组中1～5 组的成绩分别为93,98,94,95,90.①分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；②以上述数据为依据,评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度,并谈谈你的感想．解：(1)根据频率分布直方图得第一组的频率为0.01×5＝0.05,∴6x＝0.05,解得x ＝120.(2)设中位数为a ,则0.01×5＋0.07×5＋(a －30)×0.06＝0.5,∴a ＝953≈32,则中位数为32.(3)①5个年龄组成绩的平均数为x 1＝15×(93＋96＋97＋94＋90)＝94,方差为s 21＝15×[(－1)2＋22＋32＋02＋(－4)2]＝6.5个职业组成绩的平均数为x 2＝15×(93＋98＋94＋95＋90)＝94,方差为s 22＝15×[(－1)2＋42＋02＋12＋(－4)2]＝6.8.②从平均数来看两组的认知程度相同,从方差来看年龄组的认知程度更稳定．。

高中数学人教A版(2019)必修二第六章平面向量及其应用章节检测试卷

高中数学人教A 版（2019）必修二第六章平面向量及其应用章节检测试卷考试时间：90分钟满分：120分(共14题；共42分)1．（3分）下列说法正确的是（）A ．零向量没有方向B ．向量就是有向线段C ．只有零向量的模长等于0D ．单位向量都相等2．（3分）下列说法中，正确的是（）A ．任意两个单位向量都是相等的向量B ．若A ，B 是平面内的两个不同的点，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C ．若向量 a ⃗ //b ⃗ ， b ⃗ //c ⃗ ，则 a⃗ //c ⃗ D ．零向量与任意向量平行3．（3分）下列说法正确的是（）A ．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C ．向量的大小与方向有关D ．向量的模可以比较大小4．（3分）如果 a⃗ ， b ⃗ 是两个单位向量，则 a ⃗ 与 b ⃗ 一定（） A ．相等 B ．平行 C ．方向相同 D ．长度相等5．（3分）已知两点 A(5,3) ， B(2,7) ，则与向量 AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 同向的单位向量是（） A ．(−35,45)B ．(35,−45)C ．(−45,35)D ．(45,−35)6．（3分）已知向量 a ⇀=(√3, 1) ，则 |a⇀|= （） A ．1 B ．√2 C ．√3 D ．27．（3分）已知平面向量 a⃗ 、 b ⃗ 的夹角为135°，且 a ⃗ 为单位向量， b ⃗ =(1，1) ，则 |a +b ⃗ |= （） A ．√5B ．3+√2C ．1D ．3−√28．（3分）已知向量 a ⇀ 和 b ⇀ 的夹角为 120° , |a ⇀|=1,|b ⇀|=3 ,则 |a ⇀−b ⇀|= ( ).2 / 10A ．2√3B ．√15C ．4D ．√139．（3分）已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为 60∘ ，那么 |a +3b| 等于（）A ．√7B ．√10C ．√13D ．410．（3分）与向量 d⃗ =(12，5) 平行的单位向量为（） A ．(1213,5)B ．(−1213,−513)C ．(1213,513) 或 (−1213,−513)D ．(±1213,±513) 11．（3分）在 ΔABC 中， AB =AC ， ∠BAC =π5 ，则向量 AB⇀ 与 BC ⇀ 的夹角为（） A ．B ．C ．D ．12．（3分）已知两点 A(2,−1),B(5,3) ，则与向量 AB⇀ 同向的单位向量是（） A ． B ． C ． D ．13．（3分）设向量 a ⇀=(x ，−4) ， b ⇀=(1，−x) ，若向量 a ⇀与 b ⇀ 同向，则 x = （） A ．0B ．-2C ．±2D ．214．（3分）设 e 1⇀ ， e 2⇀ 是平面向量 a ⇀的一组基底，则能作为平面向量 a ⇀ 的一组基底的是（）A ．e 1⇀−e 2⇀ ， e 2⇀−e 1⇀B ．e 2⇀+2e 1⇀ ， e 1⇀+12e 2⇀C ．2e 2⇀−3e 1⇀ ， 6e 1⇀−4e 2⇀D ．e 1⇀+e 2⇀ ， e 1⇀−e 2⇀(共8题；共32分)15．（4分）向量 a ⃗ =(√3sinx,sinx),b ⃗ =(cosx,sinx),x ∈[0,π2] ，且 |a |=|b ⃗ | ，则x= .16．（4分）已知向量 a →=(1,√3),b →=(2,0) ，则 |a →−2b →|=17．（4分）设向量a →=(−1,2)， b →=(2x,−1) ，若 a →//b →，则 x = .18．（4分）已知向量 a ⇀=(2,1) ， a ⇀⋅b ⇀=10 ， |a ⇀+b ⇀|=5√2 ，则 |b⇀|= . 19．（4分）已知向量 a ⃗ =(1,−2) ， b ⃗ =(−2,m) ， c ⃗ =(−1,2) ，若 (a +b ⃗ )//c ，则m = .20．（4分）已知 a ⃗ ， b ⃗ 为单位向量，且 a ⃗ ， b ⃗ 所成角为 π3，则 |2a +b ⃗ | 为．21．（4分）向量 a ⃗ 与 b ⃗ 的夹角为 π3 ，若对任意的t ∈R ，| a ⃗ −tb ⃗ |的最小值为 √3 ，则| a⃗ |= ． 22．（4分）设 e 1⃗⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗⃗ 是两个不共线的向量，已知 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1⃗⃗⃗⃗ +me 2⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1⃗⃗⃗⃗ +3e 2⃗⃗⃗⃗ ，若A ，B ，C 三点共线，则实数m= ．(共4题；共46分)23．（10分）已知 a ⃗ =（x ，1）， b ⃗ =（4，﹣2）．（Ⅰ）当 a⃗ ∥ b ⃗ 时，求| a ⃗ + b ⃗ |；（Ⅱ）若 a⃗ 与 b ⃗ 所成角为钝角，求x 的范围． 24．（12分）已知向量 a ⃗ ，b ⃗ 是夹角为 600 的单位向量， c ⃗ =3a ⃗ +2b ⃗ ，d ⃗ =ma ⃗ −4b⃗ 。

高中数学章末检测新人教A版选择性必修第二册

第四章章末检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2021年郑州模拟)已知数列1，3，5，7，…，2n －1，若35是这个数列的第n 项，则n ＝( )A ．20B ．21C ．22D ．23【答案】D 【解析】由2n －1＝35＝45，得2n －1＝45，即2n ＝46，解得n ＝23. 2．已知3，a ＋2，b ＋4成等比数列，1，a ＋1，b ＋1成等差数列，则等差数列的公差为( )A ．4或－2B ．－4或2C ．4D ．－4【答案】C 【解析】∵3，a ＋2，b ＋4成等比数列，1，a ＋1，b ＋1成等差数列，∴(a＋2)2＝3(b ＋4)，2(a ＋1)＝1＋b ＋1，联立解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝8.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－4时，a ＋2＝0与3，a ＋2，b ＋4成等比数列矛盾，应舍去；当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝8时，等差数列的公差为(a ＋1)－1＝a ＝4.3．用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，某初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B 【解析】1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12>12764，整理得2n>128，解得n >7，所以初始值至少应取8.4．公差不为0的等差数列{a n }，其前23项和等于其前10项和，a 8＋a k ＝0，则正整数k ＝( )A ．24B ．25C ．26D ．27【答案】C 【解析】由题意设等差数列{a n }的公差为d ，d ≠0，∵其前23项和等于其前10项和，∴23a 1＋23×222d ＝10a 1＋10×92d ，变形可得13(a 1＋16d )＝0，∴a 17＝a 1＋16d ＝0.由等差数列的性质可得a 8＋a 26＝2a 17＝0，∴k ＝26.5．(2021年长春模拟)已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 6－S 4＝6a 4，则a 5＝( )A ．10B ．16C ．24D ．32【答案】B 【解析】设公比为q (q >0)，S 6－S 4＝a 5＋a 6＝6a 4.因为a 2＝2，所以2q 3＋2q 4＝12q 2，即q 2＋q －6＝0，解得q ＝2，则a 5＝2×23＝16.6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 8＝6＋a 11，则S 9＝( ) A ．54 B ．45 C ．36D ．27【答案】A 【解析】∵2a 8＝a 5＋a 11，2a 8＝6＋a 11，∴a 5＝6，∴S 9＝9a 5＝54.7．已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n＋2＞19的最大正整数n 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6【答案】B 【解析】∵a 2a 4＝4，a n ＞0，∴a 3＝2，∴a 1＋a 2＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝12，a 1q 2＝2，消去a 1，得1＋q q 2＝6.∵q ＞0，∴q ＝12，∴a 1＝8，∴a n ＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝24－n ，∴不等式a n a n ＋1a n ＋2＞19化为29－3n＞19，当n ＝4时，29－3×4＝18＞19，当n ＝5时，29－3×5＝164＜19，∴最大正整数n ＝4. 8．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足n (n ＋1)S 2n ＋(n 2＋n －1)S n－1＝0(n ∈N *)，则S 1＋S 2＋…＋S 2021＝( )A ．12021B ．12022C ．20202021D ．20212022【答案】D 【解析】∵n (n ＋1)S 2n ＋(n 2＋n －1)S n －1＝0(n ∈N *)，∴(S n ＋1)[n (n ＋1)S n－1]＝0.又∵S n >0，∴n (n ＋1)S n －1＝0，∴S n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S 1＋S 2＋…＋S 2021＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12021－12022＝20212022. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知n ∈N *，则下列表达式能作为数列0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是( )A ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为奇数，1，n 为偶数B ．a n ＝1＋(－1)n2C ．a n ＝1＋cos n π2D ．a n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sinn π2 【答案】ABC 【解析】检验知A ，B ，C 都是所给数列的通项公式．10．(2022年宿迁期末)设等差数列{a n }前n 项和为S n ，公差d >0，若S 9＝S 20，则下列结论中正确的有( )A ．S 30＝0B ．当n ＝15时，S n 取得最小值C ．a 10＋a 22>0D ．当S n >0时，n 的最小值为29【答案】BC 【解析】由S 9＝S 20⇒9a 1＋12×9×8d ＝20a 1＋12×20×19d ⇒a 1＋14d ＝0⇒a 15＝0.因为d >0，所以有S 30＝30a 1＋12×30×29d ＝30·(－14d )＋435d ＝15d ＞0，故A 不正确；因为d >0，所以该等差数列是单调递增数列，因为a 15＝0，所以当n ＝15或n ＝14时，S n 取得最小值，故B 正确；因为d >0，所以该等差数列是单调递增数列，因为a 15＝0，所以a 10＋a 22＝2a 16＝2(a 15＋d )＝2d >0，故C 正确；因为d >0，n ∈N *，所以由S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝n (－14d )＋12n (n －1)d ＝12dn (n －29)>0，可得n >29，n ∈N *，因此n 的最小值为30，故D 不正确．故选BC ．11．已知等比数列{a n }的公比为q ，满足a 1＝1，q ＝2，则( )A ．数列{a 2n }是等比数列B ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是递增数列C ．数列{log 2a n }是等差数列D ．数列{a n }中，S 10，S 20，S 30仍成等比数列【答案】AC 【解析】等比数列{a n }中，由a 1＝1，q ＝2，得a n ＝2n －1，∴a 2n ＝22n －1，∴数列{a 2n }是等比数列，故A 正确；数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是递减数列，故B 不正确；∵log 2a n ＝n －1，故数列{log 2a n }是等差数列，故C 正确；数列{a n }中，S 10＝1－2101－2＝210－1，同理可得S 20＝220－1，S 30＝230－1，不成等比数列，故D 错误．12．设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并满足条件a 1>1，a 2019a 2020>1，a 2019－1a 2020－1<0，下列结论正确的是( )A ．S 2019<S 2020B ．a 2019a 2021－1<0C ．T 2020是数列{T n }中的最大值D ．数列{T n }无最大值【答案】AB 【解析】若a 2019a 2020>1，则a 1q 2018×a 1q2019＝a 21q4037>1.又由a 1>1，必有q >0，则数列{a n }各项均为正值．又由a 2019－1a 2020－1<0，即(a 2019－1)(a 2020－1)<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2019<1，a 2020>1或⎩⎪⎨⎪⎧a 2019>1，a 2020<1，又由a 1>1，必有0<q <1，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2019>1，a 2020<1.有S 2020－S 2019＝a 2020>0，即S 2019<S 2020，则A 正确；有a 2020<1，则a 2019a 2021＝a 22020<1，则B 正确；⎩⎪⎨⎪⎧a 2019>1，a 2020<1，则T 2019是数列{T n }中的最大值，C ，D 错误．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，S n 为{a n }的前n 项和，则S 8＝________．【答案】255 【解析】由a 1＝1，a n ＋1＝2a n 知{a n }是以1为首项、2为公比的等比数列，所以S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝1·(1－28)1－2＝255.14．(2022年北京一模)中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{a n }，则a 1＝________，a n ＝________(注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”，五五数之余三是指此数被5除余3，例如“8”)．【答案】8 15n －7 【解析】被3除余2的正整数可表示为3x ＋2，被5除余3的正整数可表示为5y ＋3，其中x ，y ∈N *，∴数列{a n }为等差数列，公差为15，首项为8，∴a 1＝8，a n ＝8＋15(n －1)＝15n －7.15．(2021年淮北期末)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝[lg n ]([x ]表示不超过x 的最大整数)，T n 为数列{a n }的前n 项和，若存在k ∈N *满足T k ＝k ，则k 的值为__________．【答案】108 【解析】a n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ＜10，1，10≤n ＜100，…k ，10k≤n ＜10k ＋1.当1≤k ＜10时，T k ＝0，显然不存在；当10≤k ＜100时，T k ＝k －9＝k ，显然不存在；当100≤k ＜1000时，T k ＝99－9＋(k －99)×2＝k ，解得k ＝108.16．(2022年武汉模拟)对任一实数序列A ＝(a 1，a 2，a 3，…)，定义新序列△A ＝(a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…)，它的第n 项为a n ＋1－a n .假定序列△(△A )的所有项都是1，且a 12＝a 22＝0，则a 2＝________．【答案】100 【解析】令b n ＝a n ＋1－a n ，依题意知数列{b n }为等差数列，且公差为1，所以b n ＝b 1＋(n －1)×1，a 1＝a 1，a 2－a 1＝b 1，a 3－a 2＝b 2，…，a n －a n －1＝b n －1，累加得a n ＝a 1＋b 1＋…＋b n－1＝a 1＋(n －1)b 1＋(n －1)(n －2)2.分别令n ＝12，n ＝22，得⎩⎪⎨⎪⎧11a 2－10a 1＋55＝0①，21a 2－20a 1＋210＝0②，①×2－②，得a 2＝100. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)(2022年北京二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，________．是否存在正整数k (k ＞1)，使得a 1，a k ，S k ＋2成等比数列？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．从①a n ＋1－2a n ＝0；②S n ＝S n －1＋n (n ≥2)；③S n ＝n 2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．解：若选①a n ＋1－2a n ＝0，则a 2－2a 1＝0，说明数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，∴a 1＝1，a k ＝2k －1，S k ＋2＝1－2k ＋21－2＝2k ＋2－1.若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，则(2k －1)2＝1×(2k ＋2－1)＝2k ＋2－1.左边为偶数，右边为奇数，即不存在正整数k (k ＞1)，使得a 1，a k ，S k ＋2成等比数列．若选②S n ＝S n －1＋n (n ≥2)，即S n －S n －1＝n ⇒a n ＝n (n ≥2)且a 1＝1也适合此式， ∴{a n }是首项为1，公差为1的等差数列， ∴a k ＝k ，S k ＋2＝(k ＋2)(k ＋3)2.若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，则k 2＝1×(k ＋2)(k ＋3)2⇒k 2－5k －6＝0⇒k ＝6(k ＝－1舍去)，即存在正整数k ＝6，使得a 1，a k ，S k ＋2成等比数列．若选③S n ＝n 2，∴a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1(n ≥2)，且a 1＝1适合上式．若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，则(2k －1)2＝1×(k ＋2)2⇒3k 2－8k －3＝0⇒k ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＝－13舍去，即存在正整数k ＝3，使得a 1，a k ，S k ＋2成等比数列．18．(12分)(2022年平顶山期末)在等差数列{a n }中，设前n 项和为S n ，已知a 1＝2，S 4＝26.(1)求{a n }的通项公式； (2)令b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设{a n }的公差为d ，由已知得4×2＋4×32d ＝26，解得d ＝3，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋3(n －1)＝3n －1. (2)b n ＝1a n a n ＋1＝1(3n －1)(3n ＋2)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2，所以T n ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－18＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2＝16－13(3n ＋2)＝n 6n ＋4. 19．(12分)设a >0，函数f (x )＝ax a ＋x，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *. (1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论．(1)解：∵a 1＝1，∴a 2＝f (a 1)＝f (1)＝a1＋a，a 3＝f (a 2)＝a2＋a，a 4＝f (a 3)＝a3＋a，猜想a n ＝a(n －1)＋a.(2)证明：①易知n ＝1时，猜想正确； ②假设n ＝k 时，a k ＝a(k －1)＋a成立，则a k ＋1＝f (a k )＝a ·a k a ＋a k ＝a ·a(k －1)＋a a ＋a (k －1)＋a＝a (k －1)＋a ＋1＝a [(k ＋1)－1]＋a， ∴n ＝k ＋1时成立．由①②知，对任何n ∈N *，都有a n ＝a(n －1)＋a.20．(12分)(2022年潍坊模拟)若数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －λ(λ>0，n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }为等比数列，并求a n ；(2)若λ＝4，b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，log 2a n ，n 为偶数(n ∈N *)，求数列{b n }的前2n 项和T 2n .(1)证明：∵S n ＝2a n －λ，当n ＝1时，得a 1＝λ. 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－λ， ∴S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1，∴数列{a n }是以λ为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝λ·2n －1.(2)解：∵λ＝4，∴a n ＝4·2n －1＝2n ＋1，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋1，n 为奇数，n ＋1，n 为偶数，∴T 2n ＝22＋3＋24＋5＋26＋7＋ (22)＋2n ＋1 ＝(22＋24＋ (22))＋(3＋5＋…＋2n ＋1) ＝4－4n ·41－4＋n (3＋2n ＋1)2＝4n ＋1－43＋n (n ＋2)， ∴T 2n ＝4n ＋13＋n 2＋2n －43. 21．(12分)已知等比数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝9·2n －1，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q . ∵a n ＋1＋a n ＝9·2n －1，∴a 2＋a 1＝9，a 3＋a 2＝18， ∴q ＝a 3＋a 2a 2＋a 1＝189＝2. 又∵2a 1＋a 1＝9，∴a 1＝3， ∴a n ＝3·2n －1，n ∈N *.(2)∵b n ＝na n ＝3n ·2n －1，∴13S n ＝1×20＋2×21＋…＋(n －1)×2n －2＋n ×2n －1①， ∴23S n ＝1×21＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n②， ①－②，得－13S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n ＝1－2n1－2－n ×2n ＝(1－n )2n－1，∴S n ＝3(n －1)2n＋3.22．(12分)数列{a n }是公比为12的等比数列且1－a 2是a 1与1＋a 3的等比中项，前n 项和为S n ；数列{b n }是等差数列，b 1＝8，其前n 项和T n 满足T n ＝n λ·b n ＋1(λ为常数且λ≠1)．(1)求数列{a n }的通项公式及λ的值； (2)比较1T 1＋1T 2＋1T 3＋…＋1T n 与12S n 的大小．解：(1)由题意，得(1－a 2)2＝a 1(1＋a 3)， ∴(1－a 1q )2＝a 1(1＋a 1q 2)． ∵q ＝12，∴a 1＝12，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . ∵⎩⎪⎨⎪⎧T 1＝λb 2，T 2＝2λb 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧8＝λ(8＋d )，16＋d ＝2λ(8＋2d )， ∴λ＝12，d ＝8.(2)由(1)得b n ＝8n ，∴T n ＝4n (n ＋1)， ∴1T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. 令C n ＝1T 1＋1T 2＋…＋1T n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1，∴18≤C n ＜14.∵S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， ∴12S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴14≤12S n ＜12， ∴C n ＜12S n 即1T 1＋1T 2＋1T 3＋…＋1T n ＜12S n .。

高中数学章末检测卷(二)点、直线、平面之间的位置关系新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试

章末检测卷(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AC与直线BC1所成的角为( )A.30°B.60°C.90°D.45°解析连接A1C1，A1B，则AC∥A1C1，因为△A1BC1是正三角形，所以∠A1C1B＝60°，即直线AC 与直线BC1所成的角为60°.答案 B2.设a、b为两条直线，α、β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是( )A.若a、b与α所成的角相等，则a∥bB.若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC.若a⊂α，b⊂β，a∥b，则a∥βD.若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b解析A中a、b可以平行、相交或异面；B中a、b可以平行、相交或异面；C中的α、β可以平行或相交.答案 D3.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m∥α，m∥β，则α∥βC.若m∥n，m⊥α，则n⊥αD.若m∥α，α⊥β，则m⊥β解析A项，当m∥α，n∥α时，m，n可能平行，可能相交，也可能异面，故错误；B项，当m∥α，m∥β时，α，β可能平行也可能相交，故错误；C项，当m∥n，m⊥α时，n⊥α，故正确；D项，当m∥α，α⊥β时，m可能与β平行，可能在β内，也可能与β相交，故错误.故选C.答案 C4.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是( )1与B1E是异面直线B.AC⊥平面ABB1A1C.AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D.A1C1∥平面AB1E解析由已知AC＝AB，E为BC中点，故AE⊥BC，又∵BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，C正确.答案 C5.设l为直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中正确的是( )A.若l∥α，l∥β，则α∥βB.若l⊥α，l⊥β，则α∥βC.若l⊥α，l∥β，则α∥βD.若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析选项A，若l∥α，l∥β，则α和β可能平行也可能相交，故错误；选项B，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故正确；选项C，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故错误；选项D，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系有三种可能：l⊥β，l∥β，l⊂β，故错误.故选B.答案 B6.(2015·某某高考)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面解析对于A，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，A错；对于B，m，n平行于同一平面，m，n关系不确定，可平行、相交、异面，故B错；对于C，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C错；对于D，若假设m，n垂直于同一平面，则m∥n，其逆否命题即为D选项，故D正确.答案 D7.(2014·某某高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.( )A.若m⊥n，n∥α，则m⊥αB.若m∥β，β⊥α，则m⊥αC.若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD.若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α解析选项A，若m⊥n，n∥α，则m⊂α或m∥α或m与α相交，错误；选项B，若m∥β，β⊥α，则m⊂α或m∥α或m与α相交，错误；选项C，若m⊥β，n⊥β，可得m∥n，又n⊥α，则m⊥α，正确；选项D，若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m与α相交或m⊂α或m ∥α，错误.答案 C8.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝( )A.8B.9C.10D.11解析取CD的中点H，连接EH，HF.在四面体CDEF中，CD⊥EH，CD⊥FH，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，所以正方体的左、右两个侧面与EF平行，其余4个平面与EF相交，即n＝4.又因为CE与AB在同一平面内，所以CE与正方体下底面共面，与上底面平行，与其余四个面相交，即m＝4，所以m＋n＝4＋4＝8.答案 A9.正方体ABCD－A1B1C1D1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.以下结论中，错误的是( )A.点H是△A1BD的垂心B.AH⊥平面CB1D1C.AH的延长线经过点C1D.直线AH和BB1所成的角为45°解析因为AH⊥平面A1BD，BD⊂平面A1BD，所以BD⊥AH.又BD⊥AA1，且AH∩AA1＝A.所以BD⊥平面AA1H.又A1H⊂平面AA1H.所以A1H⊥BD，同理可证BH⊥A1D，所以点H是△A1BD的垂心，A正确；因为平面A 1BD ∥平面CB 1D 1，所以AH ⊥平面CB 1D 1，B 正确；易证AC 1⊥平面A 1BD .因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC 1和AH 重合.故C 正确；因为AA 1∥BB 1，所以∠A 1AH 为直线AH 和BB 1所成的角. 因为∠AA 1H ≠45°，所以∠A 1AH ≠45°，故D 错误. 答案 D10.已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形.若P为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( ) A.5π12B.π3C.π4D.π6解析如图所示，P 为正三角形A 1B 1C 1的中心，设O 为△ABC 的中心，由题意知：PO ⊥平面ABC ，连接OA ，则∠PAO 即为PA 与平面ABC 所成的角.在正三角形ABC 中，AB ＝BC ＝AC ＝3，则S ＝34×(3)2＝334， V ABC －A 1B 1C 1＝S ×PO ＝94，∴PO ＝ 3.又AO ＝33×3＝1，∴tan ∠PAO ＝PO AO ＝3，∴∠PAO ＝π3. 答案 B二、填空题11.矩形ABEF 和正方形ABCD 有公共边AB ，且它们所在的平面互相垂直，AB ＝BC ＝2a ，BE ＝a ，则DE ＝________，DE 与平面ABEF 所成的线面角的正弦值为________. 解析如图，在Rt △DBE 中，BD ＝22a ，BE ＝a ，∴DE ＝（22a ）2＋a 2＝3a ，∵DA ⊥平面ABEF ，∴∠DEA 即为DE 与平面ABEF 所成的角，在Rt △DAE 中，sin ∠DEA ＝DA DE ＝23. 答案 3a 2312.如图所示为一个正方体的一种表面展开图，图中的四条线段AB ，CD ，EF ，GH 在原正方体中互为异面直线的有________对，成60°角的有________对.解析正方体如图AB 与CD ，AB 与GH ，GH 与EF 互为异面直线，AB 与CD ，AB 与EF ，AB 与GH ，CD 与GH ，EF 与GH 成60°角.答案 3 513.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN 等于________.解析 ∵B 1C 1⊥平面A 1ABB 1，MN ⊂平面A 1ABB 1， ∴B 1C 1⊥MN ，又∠B 1MN 为直角. ∴B 1M ⊥MN 而B 1M ∩B 1C 1＝B 1.∴MN ⊥平面MB 1C 1又MC 1⊂平面MB 1C 1 ∴MN ⊥MC 1，∴∠C 1MN ＝90°. 答案 90°14.已知平面α∥平面β，点A ，C ∈α，点B ，D ∈β，直线AB ，CD 交于点S ，且SA ＝8，SB ＝9，CD ＝34.(1)若点S 在平面α，β之间，则SC ＝________. (2)若点S 不在平面α，β之间，则SC ＝________. 解析根据题意得AS SB ＝SCSD.当点S 在α，β之间时，有89＝CS 34－CS ，即CS ＝16；当点S 在α，β之外时，有89－8＝SC34，即SC ＝272. 答案 16 27215.如图所示，已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若PA ⊥平面AC ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值X 围是________.解析由题意知：PA ⊥DE ，又PE ⊥DE ，PA ∩PE ＝P ，所以DE ⊥面PAE ，∴DE ⊥AE .易证△ABE ∽△ECD .设BE ＝x ，则AB CE ＝BE CD，即3a －x ＝x 3.∴x 2－ax ＋9＝0，由Δ>0，解得a >6. 答案 a >616.在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E 为A ′D ′中点，则异面直线EC 与BC ′所成角的余弦值为________，二面角A ′－BC ′－D 的平面角的正切值为________.解析如图，取BC ，CC ′中点F ，H ，连A ′F ，FH ，A ′H .∵A ′F ∥EC ，FH ∥BC ′，∴∠A ′FH 即为异面直线EC 与BC ′所成的角. 设正方体的棱长为2，FH ＝2，A ′F ＝3，A ′H ＝3， cos ∠A ′FH ＝223＝26，取BC ′的中点O ，连A ′O ，DO ，则A ′O ⊥BC ′，DO ⊥BC ′，∠A ′OD 即为二面角A ′－BC ′－D 的平面角， A ′O ＝DO ＝6，A ′D ＝22，cos ∠A ′OD ＝6＋6－826×6＝13，tan ∠A ′OD ＝2 2.答案262 2 17.已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，则①棱AB 与PD 所在直线垂直； ②平面PBC 与平面ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于△PAB 的面积； ④直线AE 与直线BF 是异面直线.以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的编号) 解析由条件可得AB ⊥平面PAD ， ∴AB ⊥PD ，故①正确；若平面PBC ⊥平面ABCD ，由PB ⊥BC ，得PB ⊥平面ABCD ，从而PA ∥PB ，这是不可能的，故②错；S △PCD ＝12CD ·PD ，S △PAB ＝12AB ·PA ，由AB ＝CD ，PD >PA 知③正确；由E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，可得EF ∥CD ，又AB ∥CD ，∴EF∥AB，故AE与BF共面，④错.答案①③三、解答题18.如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D 是AB的中点.(1)求证：AC⊥B1C；(2)求证：AC1∥平面CDB1.证明(1)∵C1C⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴C1C⊥AC.∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.又BC∩C1C＝C，∴AC⊥平面BCC1B1，而B1C⊂平面BCC1B1，∴AC⊥B1C.(2)连接BC1交B1C于O点，连接OD.如图，∵O，D分别为BC1，AB的中点，∴OD∥AC1.又OD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1.∴AC1∥平面CDB1.19.如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M 为BC的中点.(1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小.(1)证明如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，EM ，EA ，∵△PCD 为正三角形，∴PE ⊥CD ，PE ＝PD sin ∠PDE ＝2sin 60°＝ 3.∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，PE ⊂平面PCD ， ∴PE ⊥平面ABCD ，而AM ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥AM .∵四边形ABCD 是矩形，∴△ADE ，△ECM ，△ABM 均为直角三角形. 由勾股定理可求得EM ＝3，AM ＝6，AE ＝3， ∴EM 2＋AM 2＝AE 2.∴AM ⊥EM .又PE ∩EM ＝E ，∴AM ⊥平面PEM ，而PM ⊂平面PEM ，∴AM ⊥PM . (2)解由(1)可知EM ⊥AM ，PM ⊥AM ， ∴∠PME 是二面角P －AM －D 的平面角. ∴tan ∠PME ＝PE EM＝33＝1，∴∠PME ＝45°.∴二面角P －AM －D 的大小为45°.20．(2016·全国Ⅲ)如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明：MN ∥平面PAB ； (2)求四面体N －BCM 的体积．(1)证明由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB .(2)解因为PA ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12PA .取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5. 由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N －BCM 的体积 V N －BCM ＝13×S △BCM ×PA 2＝453.21．(2016·全国卷Ⅱ)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ，EF 交BD 于点H ，将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置．(1)证明：AC ⊥HD ′；(2)若AB ＝5，AC ＝6，AE ＝54，OD ′＝22，求五棱锥D ′－ABCFE 的体积．(1)证明由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD ，又由AE ＝CF 得AE AD ＝CF CD，故AC ∥EF ，由此得EF ⊥HD ，折后EF 与HD 保持垂直关系，即EF ⊥HD ′，所以AC ⊥HD ′.(2)解由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4，所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3，于是OD ′2＋OH 2＝(22)2＋12＝9＝D ′H 2，故OD ′⊥OH .由(1)知AC ⊥HD ′，又AC ⊥BD ，BD ∩HD ′＝H ，所以AC ⊥平面DHD ′，于是AC ⊥OD ′，又由OD ′⊥OH ，AC ∩OH ＝O ，所以OD ′⊥平面ABC .又由EF AC ＝DH DO 得EF ＝92. 五边形ABCFE 的面积S ＝12×6×8－12×92×3＝694. 所以五棱锥D ′－ABCFE 的体积 V ＝13×694×22＝2322. 22．(2016·某某高考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD . (1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由．(2)证明：平面PAB ⊥平面PBD .(1)解取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点，理由如下：因为AD ∥BC ，BC ＝12AD .所以BC ∥AM ，且BC ＝AM . 所以四边形AMCB 是平行四边形，从而CM ∥AB .又AB ⊂平面PAB .CM ⊄平面PAB .所以CM ∥平面PAB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点)(2)证明由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交，所以PA ⊥平面ABCD .从而PA ⊥BD .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD .所以四边形BCDM 是平行四边形，所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB .又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB . 又BD ⊂平面PBD ，所以平面PAB ⊥平面PBD .。

人教版高中数学必修2第二章测试题A组及答案解析

人教版高中数学必修2第二章测试题A组及答案解析第二章点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1.设 $\alpha$，$\beta$ 为两个不同的平面，$l$，$m$ 为两条不同的直线，且 $l\subset\alpha$，$m\subset\beta$，有如下的两个命题：①若 $\alpha\parallel\beta$，则 $l\parallel m$；②若 $l\perp m$，则 $\alpha\perp\beta$。

那么()。

A。

①是真命题，②是假命题B。

①是假命题，②是真命题C。

①②都是真命题D。

①②都是假命题2.如图，ABCD为正方体，下面结论错误的是()。

A。

BD $\parallel$ 平面CBB。

AC $\perp$ BDC。

AC $\perp$ 平面CBD。

异面直线AD与CB角为60°3.关于直线 $m$，$n$ 与平面 $\alpha$，$\beta$，有下列四个命题：① $m\parallel\alpha$，$n\parallel\beta$ 且$\alpha\parallel\beta$，则 $m\parallel n$；② $m\perp\alpha$，$n\perp\beta$ 且 $\alpha\perp\beta$，则$m\perp n$；其中真命题的序号是()。

A。

①②B。

③④C。

①④D。

②③4.给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行②垂直于同一平面的两个平面互相平行③若直线 $l_1$，$l_2$ 与同一平面所成的角相等，则$l_1$，$l_2$ 互相平行④若直线 $l_1$，$l_2$ 是异面直线，则与 $l_1$，$l_2$ 都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是()。

A。

1B。

2C。

3D。

45.下列命题中正确的个数是()。

①若直线 $l$ 上有无数个点不在平面 $\alpha$ 内，则$l\parallel\alpha$②若直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 平行，则 $l$ 与平面$\alpha$ 内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行④若直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 平行，则 $l$ 与平面$\alpha$ 内的任意一条直线都没有公共点A。

2021新教材人教版高中数学A版必修第二册模块练习题--7.2.2 复数的乘、除运算

7.2.2复数的乘、除运算基础过关练题组一复数的乘、除运算1.若复数z1=1+i,z2=3-i,则z1·z2等于()A.4+2iB.2+iC.2+2iD.3+i2.(2020山东滕州一中高一检测)已知复数z=1-ii(i为虚数单位),则复数z 的虚部是()A.1B.-1C.iD.-i3.已知a+2ii=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b等于()A.-1B.1C.2D.34.若z是复数,且(3+z)i=1(i为虚数单位),则z为()A.-3+iB.3+iC.-3-iD.3-i5.已知i为虚数单位,则复数i2-i的模等于()A.√5B.√3C.√33D.√556.(2020湖北名师联盟高二期末)已知i是虚数单位,复数a+2i2-i为纯虚数,则实数a的值为()A.1B.-1C.12D.27.(2020河北辛集中学高二月考)已知(a+i)(1+bi)=1+3i,其中a,b均为实数,i为虚数单位,则|a+bi|=()A.√5B.2√5C.5D.28.(2020天津高一期末)已知i是虚数单位,z1=3-i1-i.若复数z2的虚部为2,且z1z2的虚部为0,求z2.深度解析题组二复数范围内实系数一元二次方程根的问题9.若1+3i是方程x2+bx+c=0(b,c∈R)的一个根,则方程的另一个根为()A.3+iB.1-3iC.3-iD.-1+3i10.(2019上海曹杨二中高二期末)若1+2i是关于x的实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个根,则()A.b=2,c=5B.b=-2,c=5C.b=-2,c=-5D.b=2,c=-111.(多选)(2019上海交大附中高二期末)下列关于一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a,b,c∈R,a≠0)的说法正确的是()A.两根x1,x2满足x1+x2=-ba ,x1x2=caB.两根x1,x2满足|x1-x2|=√(x1-x2)2C.若判别式Δ=b2-4ac≠0,则该方程有两个相异的根D.若判别式Δ=b2-4ac=0,则该方程有两个相等的实数根12.在复数范围内解下列方程.(1)x2+5=0;(2)3x2+2x+1=0;(3)x2+4x+6=0.13.(2020江苏南京秦淮中学高二期末)已知复数+(a2-3)i,z2=2+(3a+1)i(a∈R,i是虚数单位).z1=3a+2(1)若复数z1-z2在复平面内对应的点落在第一象限,求实数a的取值范围;(2)若虚数z1是实系数一元二次方程x2-6x+m=0的根,求实数m的值.能力提升练题组一复数运算的综合应用 1.(2020东北三省三校高三联考,)设复数z 满足z -ii=z-2i(i 为虚数单位),则z=( )A.12-32i B.12+32i C.-12-32i D.-12+32i2.()复数z=1-i1+i,则ω=z 2+z 4+z 6+z 8+z 10的值为( )A.1 B .-1 C.i D.-i 3.(多选)()对任意z 1,z 2,z ∈C,下列结论成立的是( )A.当m,n ∈N *时,有z m z n =z m+nB.z 1z 2=z 1·z 2C.互为共轭复数的两个复数的模相等,且|z |2=|z|2=z ·zD.z 1=z 2的充要条件是|z 1|=|z 2| 4.()若一个复数的实部与虚部互为相反数,则称此复数为“理想复数”.已知z=a 1-2i+bi(a,b ∈R)为“理想复数”,则( )A.a-5b=0B.3a-5b=0C.a+5b=0D.3a+5b=0 5.(2020天津一中高二期末,)已知复数z=a -i 2+i(i 为虚数单位,a 为实数)为纯虚数,则|a+2i|= . 6.()设z 的共轭复数是z ,若z+z =4,z ·z =8,则zz 等于 .7.(2020北京大兴高一期末,)已知复数z=(m 2-m)+(m+3)i(m ∈R)在复平面内对应点Z. (1)若m=2,求z ·z ;(2)若点Z在直线y=x上,求m的值.8.(2020北京通州高一期末,)已知复数z=1-i(i是虚数单位).(1)求z2-z;.(2)如图,复数z1,z2在复平面内对应的点分别为A,B,求z1+z2z题组二复数范围内方程根的问题9.(2019河南南阳高三期中,)已知1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0(a,b∈R)的一个根,则a+b=()A.-1B.1C.-3D.310.(2019上海吴淞中学高二期中,)在复数范围内分解因x2+x-3=.式:-1211.()关于复数z的方程|z|+2z=13+6i的解是.12.()已知关于x的方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b.(1)求实数a,b的值;(2)若复数z满足|z-b|=1,求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小值.深度解析答案全解全析基础过关练1.A z 1=1+i,z 2=3-i,所以z 1·z 2=(1+i)·(3-i)=3-i 2+2i=4+2i. 2.B ∵z=1-i i =i+1-1=-1-i, ∴复数z 的虚部是-1. 3.B ∵a+2ii =b+i,∴a+2i=-1+bi, ∴a=-1,b=2.∴a+b=1. 4.C 由(3+z)i=1,得3+z=1i=-i, 所以z=-3-i. 5.D因为i 2-i =i(2+i)(2-i)(2+i)=i(2+i)5=-15+25i,所以|i 2-i |=|-15+25i|=√(-15)2+(25)2=√55,故选D.6.A ∵a+2i 2-i =(a+2i)(2+i)(2-i)(2+i)=2a -2+(a+4)i 5=2a -25+a+45i 为纯虚数,∴{2a -25=0,a+45≠0,解得a=1.7.A 因为(a+i)(1+bi)=1+3i, 所以(a-b)+(1+ab)i=1+3i, 即{a -b =1,1+ab =3,解得{a =-1,b =-2或{a =2,b =1.当a=-1,b=-2时,|a+bi|=|-1-2i|=√(-1)2+(-2)2=√5; 当a=2,b=1时,|a+bi|=|2+i|=√22+12=√5. 综上,|a+bi|=√5.故选A. 8.解析 z 1=3-i 1-i =(3-i)(1+i)(1-i)(1+i)=4+2i2=2+i, 设z 2=a+2i(a ∈R),则z 1z 2=(2+i)(a+2i)=(2a-2)+(a+4)i, 因为z 1z 2的虚部为0, 所以a+4=0,即a=-4. 所以z 2=-4+2i.方法技巧复数的乘法与多项式的乘法类似,但要注意i 2=-1,复数的除法运算中,除数为虚数时,应利用分母实数化,将除法转化为乘法,体现了转化思想.9.B 根据复数范围内实系数一元二次方程的求根公式,知两个虚数根互为共轭复数,所以另一个根为1-3i.10.B 由题意可知,关于x 的实系数一元二次方程x 2+bx+c=0的两个根分别为1+2i 和1-2i,由根与系数的关系,得 {(1+2i)+(1-2i)=-b,(1+2i)·(1-2i)=c,解得{b =-2,c =5. 故选B.11.ACD 由一元二次方程根与系数的关系,可得x 1+x 2=-ba ,x 1x 2=ca ,当x 1,x 2是复数时,此关系式仍然成立,故A 正确;当x 1,x 2为虚根时,|x 1-x 2|≠√(x 1-x 2)2,故B 错误;当判别式Δ=b 2-4ac>0时,该方程有两个相异的实数根,当判别式Δ=b 2-4ac<0时,该方程有两个虚数根,且它们互为共轭复数,故C 正确;若判别式Δ=b 2-4ac=0,则方程有两个相等的实数根,D 正确. 12.解析 (1)因为x 2+5=0, 所以x 2=-5,又因为(√5i)2=(-√5i)2=-5, 所以x=±√5i,所以方程x 2+5=0的根为x=±√5i. (2)因为Δ=4-4×3×1=-8<0, 所以方程3x 2+2x+1=0的根为x=-2±√8i 2×3=-13±√23i. (3)解法一:由x 2+4x+6=0,知Δ=42-4×1×6=-8<0, 所以方程x 2+4x+6=0的根为x=-4±√8i2×1,即x=-2±√2i.解法二:因为x 2+4x+6=0, 所以(x+2)2=-2, 因为(√2i)2=(-√2i)2=-2, 所以x+2=√2i 或x+2=-√2i, 即x=-2+√2i 或x=-2-√2i,所以方程x 2+4x+6=0的根为x=-2±√2i.13.解析 (1)由条件得,z 1-z 2=(3a+2-2)+(a 2-3a-4)i. 因为z 1-z 2在复平面内对应的点落在第一象限,所以{3a+2-2>0,a 2-3a -4>0,所以{-2<a <-12,a <-1或a >4,解得-2<a<-1.所以a 的取值范围是{a|-2<a<-1}.(2)因为虚数z 1是实系数一元二次方程x 2-6x+m=0的根, 所以z 1+z 1=6a+2=6,即a=-1, 所以z 1=3-2i,z 1=3+2i, 所以m=z 1·z 1=13.能力提升练1.B z=2+i 1-i =(2+i)(1+i)2=1+3i 2=12+32i. 2.B z=1-i 1+i =-i(1+i)1+i=-i,z 2=(-i)2=-1, 所以ω=-1+1-1+1-1=-1.3.ABC 由复数乘法的运算律知A 正确;设z 1=a+bi,z 2=c+di(a,b,c,d ∈R),则z 1=a-bi,z 2=c-di,所以z 1z 2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,z 1·z 2=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i,所以z 1z 2=(ac-bd)-(ad+bc)i=z 1·z 2,故B 正确;由复数的模及共轭复数的概念知C 正确;由z 1=z 2能推出|z 1|=|z 2|,但由|z 1|=|z 2|推不出z 1=z 2,因此|z 1|=|z 2|是z 1=z 2的必要不充分条件,D 错误.4.D z=a 1-2i +bi=a(1+2i)(1-2i)(1+2i)+bi=a 5+(2a5+b)i. 由题意知,a 5=-2a5-b,则3a+5b=0. 5.答案√172解析因为z=a -i2+i =(a -i)·(2-i)(2+i)·(2-i)=2a -1-(a+2)i5为纯虚数,所以a=12,所以|a+2i|=|12+2i|=√172,故答案为√172.6.答案 ±i解析设z=a+bi(a,b ∈R),则z =a-bi, 由z+z =4,z ·z =8,得{2a =4,a 2+b 2=8,∴{a =2,b =±2.∴z=2+2i,z =2-2i 或z=2-2i,z =2+2i, ∴z z =2-2i2+2i =-i 或z z =2+2i2-2i =i,即zz =±i. 7.解析 (1)因为m=2, 所以z=2+5i,z =2-5i, 所以z ·z =(2+5i)(2-5i)=29.(2)复数z=(m 2-m)+(m+3)i(m ∈R).在复平面内对应的点为Z(m 2-m,m+3). 因为点Z 在直线y=x 上, 所以m 2-m=m+3, 所以m=-1或m=3. 8.解析 (1)∵z=1-i,∴z 2-z=(1-i)2-(1-i)=1-2i+i 2-1+i =-1-i.(2)由题图得,z 1=2i,z 2=2+i, ∴z 1+z 2z =2i+2+i 1-i =2+3i 1-i =(2+3i)(1+i)(1-i)(1+i) =-12+52i.9.A 当a=0时,解得b ∉R,不符合题意,所以原方程为一元二次方程.因为实系数一元二次方程的虚根互为共轭复数,所以方程的另一个根为1-i, 根据根与系数的关系,可得{(1+i)+(1-i)=-ba ,(1+i)(1-i)=2a ,解得{a =1,b =-2. 所以a+b=-1.10.答案 -12(x-1+√5i)(x-1-√5i)解析将-12x 2+x-3=0化简并整理,得x 2-2x+6=0,Δ=(-2)2-4×1×6=-20<0,则x=2±√20i 2=1±√5i,所以-12x 2+x-3=-12(x-1+√5i)(x-1-√5i). 11.答案 z=4+3i 解析设z=x+yi(x,y ∈R),则有√x 2+y 2+2x+2yi=13+6i,于是{√x2+y 2+2x =13,2y =6,解得{x =4,y =3或{x =403,y =3.因为13-2x=√x 2+y 2≥0,所以x ≤132,故x=403舍去,故z=4+3i.12.解析 (1)因为b 是方程x 2-(6+i)x+9+ai=0(a ∈R)的实数根,所以(b 2-6b+9)+(a-b)i=0,故{b 2-6b +9=0,a =b,解得a=b=3. (2)由(1)得,b=3,所以|z-b|=1即为|z-3|=1,设z=m+ni(m,n ∈R),则z 在复平面内对应的点Z 的坐标为(m,n),|z-3|=1可以看成是点Z(m,n)到点(3,0)的距离为1,则点Z(m,n)是以(3,0)为圆心,1为半径的圆,如图所示.由图可知,当z=2时,|z|的最小值为2.深度剖析一元二次方程az 2+bz+c=0(a ≠0)的系数为虚数时,仍然可以用求根公式z=-b±√Δ2a 求出方程的根,但是不能用“根的判别式”判别方程有无实数根,也可以设方程的根为z=x+yi(x,y ∈R),利用待定系数法将z=x+yi 代入原方程,利用复数相等的充要条件,得出关于x,y 的方程(组),从而求出x,y 的值,进而得出方程的根.。

新人教A版)2020高中数学第三章直线与方程单元测试(二)必修2

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知直线l 经过两点()()1,2,2,1P Q -，那么直线l 的斜率为（）A ．3-B ．13-C ．13D ．32．直线l 过点P (－1,2)，倾斜角为45°，则直线l 的方程为（） A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x －y －3＝0D ．x －y ＋3＝03．如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，则a 的值为（） A ．－3 B ．－6C ．32D ．234．直线2x a －2y b ＝1在y 轴上的截距为（） A ．|b |B ．－b 2C ．b 2D ．±b5．已知点A (3,2)，B (－2，a )，C (8,12)在同一条直线上，则a 的值是（） A ．0B ．－4C ．－8D ．46．如果AB <0，BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是（） A ．－2B ．－7C ．3D ．18．经过直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＝5＝0的交点，并且经过原点的直线方程是（） A ．19x －9y ＝0 B ．9x ＋19y ＝0 C ．3x ＋19y ＝0D ．19x －3y ＝09．已知直线(3k －1)x ＋(k ＋2)y －k ＝0，则当k 变化时，所有直线都通过定点（） A ．(0,0)B ．(17，27) C ．(27，17) D ．(17，114) 10．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是（） A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝011．已知直线l 的倾斜角为135°，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于（） A ．－4 B ．－2 C ．0 D ．212．等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，若点A ，C 的坐标分别为(0,4)，(3,3)，则点B 的坐标可能是（） A ．(2,0)或(4,6)B ．(2,0)或(6,4)C ．(4,6)D ．(0,2)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为_________．14．点A (3，－4)与点B (5,8)关于直线l 对称，则直线l 的方程为_________．15．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为_________．16．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°，其中正确答案的序号是_________．(写出所有正确答案的序号)三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(10分)已知直线l 经过点P (－2,5)且斜率为－34，（1）求直线l 的方程；（2）若直线m 平行于直线l ，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．18．(12分)求经过两直线3x－2y＋1＝0和x＋3y＋4＝0的交点，且垂直于直线x＋3y＋4＝0的直线方程．19．(12分)已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离等于2．20．(12分)△ABC中，A(0,1)，AB边上的高CD所在直线的方程为x＋2y－4＝0，AC边上的中线BE所在直线的方程为2x＋y－3＝0．（1）求直线AB的方程；（2）求直线BC的方程；（3）求△BDE的面积．21．(12分)直线过点P (43，2)且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：（1）△AOB 的周长为12；（2）△AOB 的面积为6．若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．22．(12分)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，如图，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上．（1）若折痕所在直线的斜率为k ，试求折痕所在直线的方程；（2）当－2＋3≤k ≤0时，求折痕长的最大值．答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【答案】C【解析】根据斜率公式可得，直线l的斜率121213k-==--，故选C．2．【答案】D【解析】由题意k＝tan45°＝1，∴直线l的方程为y－2＝1·(x＋1)，即x－y＋3＝0，故选D．3．【答案】B【解析】由题意得a·(－1)－2×3＝0，∴a＝－6，故选B．4．【答案】B【解析】令x＝0，则y＝－b2，故选B．5．【答案】C【解析】根据题意可知k AC＝k AB，即12283--＝223a---，解得a＝－8，故选C．6．【答案】D【解析】Ax＋By＋C＝0可化为y＝－ABx－CB，由AB<0，BC<0，得－AB>0，－CB>0，故直线Ax＋By＋C＝0经过第一、二、三象限，不经过第四象限．故选D．7．【答案】C【解析】由已知条件可知线段AB的中点(12m+，0)在直线x＋2y－2＝0上，把中点坐标代入直线方程，解得m＝3，故选C．8．【答案】C【解析】解340250x yx y-+=⎧⎨-+=⎩得19737xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即直线l1，l2的交点是(－197，37)，由两点式可得所求直线的方程是3x＋19y＝0，故选C．9．【答案】C【解析】直线方程变形为k(3x＋y－1)＋(2y－x)＝0，则直线通过定点(27，17)．故选C．10．【答案】D【解析】将“关于直线对称的两条直线”转化为“关于直线对称的两点”：在直线x－2y＋1＝0上取一点P(3,2)，点P关于直线x＝1的对称点P′(－1,2)必在所求直线上，故选D．11．【答案】B【解析】因为l 的斜率为tan135°＝－1，所以l 1的斜率为1，所以k AB ＝()213a---＝1，解得a ＝0．又l 1∥l 2，所以－2b＝1，解得b ＝－2，所以a ＋b ＝－2，故选B ． 12．【答案】A【解析】设B (x ，y )，根据题意可得1AC BC k k BC AC ⋅=-⎧⎪⎨=⎪⎩，即3431303y x --⎧⋅=-⎪--⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝6，所以B (2,0)或B (4,6)．故选A ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】－23【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 22＝－1，又y 1＝1，∴y 2＝－3，代入方程x －y －7＝0，得x 2＝4，即B (4，－3)，又x 1＋x 22＝1，∴x 1＝－2，即A (－2,1)，∴k AB ＝()3142----＝－23．14．【答案】x ＋6y －16＝0【解析】直线l 就是线段AB 的垂直平分线，AB 的中点为(4,2)，k AB ＝6，所以k l ＝－16，所以直线l 的方程为y －2＝－16(x －4)，即x ＋6y －16＝0．15．【答案】3 2【解析】依题意，知l 1∥l 2，故点M 所在直线平行于l 1和l 2，可设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式，得|m ＋7|2＝|m ＋5|2⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝32．16．【答案】①⑤【解析】两平行线间的距离为d ＝|3－1|1＋1＝2，由图知直线m 与l 1的夹角为30°，l 1的倾斜角为45°，所以直线m 的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）3x ＋4y －14＝0；（2）3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0．【解析】（1）直线l 的方程为：y －5＝－34(x ＋2)整理得3x ＋4y －14＝0．（2）设直线m 的方程为3x ＋4y ＋n ＝0，d＝3，解得n ＝1或－29．∴直线m 的方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0． 18．【答案】3x －y ＋2＝0．【解析】解法一：设所求直线方程为3x －2y ＋1＋λ(x ＋3y ＋4)＝0，即(3＋λ)x ＋(3λ－2)y ＋(1＋4λ)＝0，由所求直线垂直于直线x ＋3y ＋4＝0，得－13·(－3＋λ3λ－2)＝－1，解得λ＝310，故所求直线方程是3x －y ＋2＝0．解法二：设所求直线方程为3x －y ＋m ＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋1＝0，x ＋3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即两已知直线的交点为(－1，－1)．又3x －y ＋m ＝0过点(－1，－1)，故－3＋1＋m ＝0，m ＝2．故所求直线方程为3x －y ＋2＝0． 19．【答案】P (1，－4)或P (277，－87)．【解析】解法1：设点P (x ，y )．因为|PA |＝|PB |，① 又点P 到直线l 的距离等于2，所以|4x ＋3y －2|5＝2．②由①②联立方程组，解得P (1，－4)或P (277，－87)．解法2：设点P (x ，y )．因为|PA |＝|PB |，所以点P 在线段AB 的垂直平分线上．由题意知k AB ＝－1，线段AB 的中点为(3，－2)，所以线段AB 的垂直平分线的方程是y ＝x －5，所以设点P (x ，x －5)．因为点P 到直线l 的距离等于2，所以()|4352|5x x +--＝2，解得x ＝1或x ＝277，所以P (1，－4)或P (277，－87)．20．【答案】（1）2x －y ＋1＝0；（2）2x －y ＋1＝0；（3）110．【解析】（1）由已知得直线AB 的斜率为2，∴AB 边所在的直线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0．（2）由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，2x ＋y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2.即直线AB 与直线BE 的交点为B (12，2)．设C (m ，n )，则由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n －4＝0，2·m 2＋n ＋12－3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1，∴C (2,1)．∴BC 边所在直线的方程为y －12－1＝x －212－2，即2x ＋3y －7＝0．（3）∵E 是线段AC 的中点，∴E (1,1)．∴|BE |＝52，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，x ＋2y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝95，∴D (25，95)，∴D 到BE 的距离为d ＝|2×25＋95－3|22＋12＝255，∴S △BDE ＝12·d ·|BE |＝110． 21．【答案】）存在，3x ＋4y －12＝0．【解析】设直线方程为x a ＋yb＝1(a >0，b >0)，若满足条件(1)，则a ＋b ＋a 2＋b 2＝12 ① 又∵直线过点P (43，2)，∵43a ＋2b＝1．②由①②可得5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝125，b ＝92，∴所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或5x 12＋2y9＝1，即3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0，若满足条件(2)，则ab ＝12，③ 由题意得，43a ＋2b ＝1，④由③④整理得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝6，∴所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或x 2＋y6＝1，即3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0．综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x ＋4y －12＝0．22．【答案】（1）y ＝kx ＋k 22＋12；（2）2(6－2)．【解析】(1)①当k ＝0时，A 点与D 点重合，折痕所在的直线方程为y ＝12．②当k ≠0时，将矩形折叠后A 点落在线段DC 上的点记为G (a,1)， ∴A 与G 关于折痕所在的直线对称，有k OG ·k ＝－1⇒1a·k ＝－1⇒a ＝－k ，故G 点坐标为(－k,1)，从而折痕所在直线与OG 的交点坐标(即线段OG 的中点)为M (－k 2，12)．故折痕所在的直线方程为y －12＝k (x ＋k 2)，即y ＝kx ＋k 22＋12．由①②得折痕所在的直线方程为y ＝kx ＋k 22＋12．(2)当k ＝0时，折痕的长为2．当－2＋3≤k ＜0时，折痕所在直线交直线BC 于点E (2，2k ＋k 22＋12)，交y 轴于点N (0，k 2＋12)．则|NE |2＝22＋[k 2＋12－(2k ＋k 22＋12)]2＝4＋4k 2≤4＋4(7－43)＝32－163．此时，折痕长度的最大值为32－163＝2(6－2)．而2(6－2)＞2，故折痕长度的最大值为2(6－2)．。

2020版人教A数学必修2：第二章检测试题

第二章检测试题(时间:120分钟满分:150分)选题明细表一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.直线l与平面α不平行,则( C )(A)l与α相交(B)l⊂α(C)l与α相交或l⊂α(D)以上结论都不对解析:直线与平面的位置关系有:直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交.因为直线l与平面α不平行,所以l与α相交或l⊂α.2.下列推理不正确的是( C )(A)A∈b,A∈β,B∈b,B∈β⇒b⊂β(B)M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α∩β=直线MN(C)直线m不在α内,A∈m⇒A∉α(D)A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线⇒α与β重合解析:由空间中点线面的位置关系知选C.3.已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是( D )(A)若α,β垂直于同一平面,则α与β平行(B)若m,n平行于同一平面,则m与n平行(C)若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线(D)若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面解析:A项,α,β可能相交,故错误;B项,直线m,n的位置关系不确定,可能相交,平行或异面,故错误; C项,若m⊂α,α∩β=n,m∥n,则m∥β,故错误;D项,假设m,n垂直于同一平面,则必有m∥n,所以原命题正确,故D项正确.4.α,β是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定α∥β的是( D )(A)α,β都与平面γ垂直(B)α内不共线的三点到β的距离相等(C)l,m是α内的两条直线,且l∥β,m∥β(D)l,m是两条异面直线,且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β解析:对于D,设过l和α内的一点的平面与平面α的交线为l′,因为l∥α,所以l′∥l.又因为l∥β,l′⊄β,所以l′∥β.设过m和α内的一点的平面与α的交线为m′,同理可证m′∥β.因为m与l是异面直线,所以m′与l′相交,所以α∥β.5.如图,四棱锥P ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,则( B )(A)MN∥PD(B)MN∥PA(C)MN∥AD(D)以上均有可能解析:四棱锥P ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD, MN⊂平面PAC,平面PAC∩平面PAD=PA,由直线与平面平行的性质定理可得:MN∥PA.故选B.6.在正方体ABCD A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则( B )(A)AE⊥CC1(B)AE⊥B1D1(C)AE⊥BC (D)AE⊥CD解析:如图所示:连接AC,BD,因为ABCD A1B1C1D1是正方体,所以四边形ABCD是正方形,AC⊥BD,CE⊥平面ABCD,所以BD⊥AC,BD⊥CE,而AC∩CE=C,故BD⊥平面ACE,因为BD∥B1D1,且B1D1⊄平面ACE,故B1D1⊥平面ACE,故B1D1⊥AE,故选B.7.在正方体ABCD A1B1C1D1中,异面直线A1C1与B1C所成角的余弦值为( B )(A)0 (B)(C)(D)解析:连接A1D,C1D,如图所示,A1D∥B1C,所以∠DA1C1是异面直线A1C1与B1C所成角(或所成角的补角),因为A1D=A1C1=DC1,所以∠C1A1D=60°,所以异面直线A1C1与B1C所成角的余弦值为cos 60°=.故选B.8.如图,在直三棱柱ABC A1B1C1中,D为A1B1的中点,AB=BC=BB1=2,AC= 2,则异面直线BD与AC所成的角为( C )(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°解析:如图,取B1C1的中点E,连接BE,DE,则AC∥A1C1∥DE,则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角.由条件可知BD=DE=EB=,所以∠BDE=60°,故选C.9.如图所示,ABCD A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是( A )(A)A,M,O三点共线(B)A,M,O,A1不共面(C)A,M,C,O不共面(D)B,B1,O,M共面解析:连接A1C1,AC,则A1C1∥AC,所以A,C,C1,A1四点共面,所以A1C⊂平面ACC1A1.因为M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1,又M∈平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,所以A,M,O三点共线,故选A.10.如图,在下列四个正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F,G均为所在棱的中点,过E,F,G作正方体的截面,则在各个正方体中,直线BD1与平面EFG 不垂直的是( D )解析:如图在正方体中,E,F,G,M,N,Q均为所在棱的中点,是一个平面图形,直线BD1与平面EFMNQG垂直,并且选项A,B,C中的平面与这个平面重合,满足题意,只有选项D直线BD1与平面EFG不垂直.故选D.11.如图所示,在四棱锥P ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面ABCD为菱形,M是PC上的一个动点,若要使得平面MBD⊥平面PCD,则应补充的一个条件可以是( B )(A)MD⊥MB(B)MD⊥PC(C)AB⊥AD(D)M是棱PC的中点解析:因为在四棱锥P ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等, M是PC上的一动点,所以BD⊥PA,BD⊥AC,因为PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,所以BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD.故选B.12.如图,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD=NB=1,E为MC的中点,则下列结论不正确的是( C )(A)平面BCE⊥平面ABN(B)MC⊥AN(C)平面CMN⊥平面AMN(D)平面BDE∥平面AMN解析:分别过A,C作平面ABCD的垂线AP,CQ,使得AP=CQ=1,连接PM, PN,QM,QN,将几何体补成棱长为1的正方体.因为BC⊥平面ABN,BC⊂平面BCE,所以平面BCE⊥平面ABN,故A正确;连接PB,则PB∥MC,显然PB⊥AN,所以MC⊥AN,故B正确;取MN的中点F,连接AF,CF,AC.因为△AMN和△CMN都是边长为的等边三角形,所以AF⊥MN,CF⊥MN,所以∠AFC为二面角A MN C的平面角,因为AF=CF=,AC=,所以AF2+CF2≠AC2,即∠AFC≠,所以平面CMN与平面AMN不垂直,故C错误;因为DE∥AN,MN∥BD,所以平面BDE∥平面AMN,故D正确.故选C.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.设α,β为两个不重合的平面,l,m,n为两两不重合的直线,给出下列四个命题:①若m⊂β,n⊂β,m∥α,n∥α,则α∥β;②若α∥β,l⊂β,则l∥α;③若l⊥m,l⊥n,则m∥n;④若l⊥α,l∥β,则α⊥β.其中真命题的序号是.解析:由α,β为两个不重合的平面,l,m,n为两两不重合的直线,知: 在①中,若m⊂β,n⊂β,m∥α,n∥α,则α与β相交或平行,故①错误;在②中,若α∥β,l⊂β,则由面面平行的性质定理得l∥α,故②正确;在③中,若l⊥m,l⊥n,则m与n相交、平行或异面,故③错误;在④中,若l⊥α,l∥β,则由面面垂直的判定定理得α⊥β,故④正确.答案:②④14.如图,圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=2,P为SB的中点.则异面直线SA与PD所成角的正切值为.解析:连接PO,则PO∥SA,PO==,所以∠OPD即为异面直线SA与PD所成的角,且△OPD为直角三角形,∠POD为直角,所以tan ∠OPD===.答案:15.在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,对角线AC=BD=2,且AC⊥BD,则四边形EFGH的面积为.解析:因为点E,H分别为四边形ABCD的边AB,AD的中点,所以EH∥BD,且EH=BD=1.同理求得FG∥BD,且FG=1,所以EH∥FG,EH=FG,又因为AC⊥BD,AC=BD=2,所以EF⊥EH,EF=EH.所以四边形EFGH是正方形.所以四边形EFGH的面积为EF·EH=1.答案:116.在正方体ABCD A1B1C1D1中,下列结论中正确的序号有.①AC∥平面A1BC1;②AC⊥BD1;③AC1⊥平面CB1D1;④异面直线A1D与B1C1所成的角为45°.解析:①AC∥A1C1,AC⊄平面A1BC1,A1C1⊂平面A1BC1;所以AC∥平面A1BC1.①正确;②因为AC⊥BD,AC⊥DD1,所以AC⊥平面BDD1B1,所以AC⊥BD1,②正确;③在正方体ABCD A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,B1D1⊥AA1,又A1C1∩AA1=A1,则B1D1⊥平面A1AC1,又AC1⊂平面A1AC1,所以B1D1⊥AC1,同理得B1C⊥AC1,又B1D∩B1C=B,所以AC1⊥平面CB1D1,所以③正确.④如图,∠CB1C1等于异面直线A1D与B1C1所成的角,由正方形中BB1C1C 中可得∠CB1C1为45°,因此④正确.答案:①②③④三、解答题(共70分)17.(本小题满分10分)如图,空间四边形ABCD中,E,F分别是AD,AB 的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.(1)求证:E,F,G,H四点共面;(2)设FG与HE交于点P,求证:P,A,C三点共线.证明:(1)△ABD中,因为E,F分别为AD,AB中点,所以EF∥BD.△CBD中,BG∶GC=DH∶HC=1∶2,所以GH∥BD,所以EF∥GH(平行线公理),所以E,F,G,H四点共面.(2)因为FG∩HE=P,P∈FG,P∈HE,所以P∈平面ABC,P∈平面ADC,又平面ABC∩平面ADC=AC,所以P∈直线AC.所以P,A,C三点共线.18.(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABC A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥底面ABC,AA1=A1C=AC,AB=BC,O为AC中点.(1)证明:A1O⊥BC;(2)若E为BC1的中点,求证:OE∥平面A1ABB1.证明:(1)因为在三棱柱ABC A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥底面ABC,AA1=A1C=AC,O为AC中点.所以A1O⊥AC,又平面AA1C1C∩底面ABC=AC,所以A1O⊥底面ABC,因为BC⊂底面ABC,所以A1O⊥BC.(2)连接AB1,连接CB1交BC1于点E,连接OE,则E为CB1的中点,所以OE∥AB1,因为AB1⊂平面A1ABB1,OE⊄平面A1ABB1,所以OE∥平面A1ABB1.19.(本小题满分12分)如图所示的多面体中,底面ABCD为正方形, △GAD为等边三角形,BF⊥平面ABCD,∠GDC=90°,点E是线段GC上除两端点外的一点,若点P为线段GD的中点.(1)求证:AP⊥平面GCD;(2)求证:平面ADG∥平面FBC.证明:(1)因为△GAD是等边三角形,点P为线段GD的中点,故AP⊥GD.因为AD⊥CD,GD⊥CD,且AD∩GD=D,AD,GD⊂平面GAD,故CD⊥平面GAD,又AP⊂平面GAD,故CD⊥AP,又CD∩GD=D,CD,GD⊂平面GCD,故AP⊥平面GCD.(2)因为BF⊥平面ABCD,所以BF⊥CD,因为BC⊥CD,BF∩BC=B,BF,BC⊂平面FBC,所以CD⊥平面FBC,由(1)知CD⊥平面GAD,所以平面ADG∥平面FBC.20.(本小题满分12分)如图,在四棱锥A BCDE中,平面ADC⊥平面BCDE,∠CDE=∠BED=∠ACD=90°,AB=CD=2,DE=BE=1,(1)证明:平面ABD⊥平面ABC;(2)求直线AD与平面ACE所成的角的正弦值.(1)证明:取CD的中点M,连接BM,可得四边形BMDE是正方形.BC2=BM2+MC2=2.因为BD2+BC2=DE2+BE2+BC2=DC2,所以∠CBD=90°,所以BD⊥BC.又AC⊥平面BCDE,BD⊂平面BCDE,所以BD⊥AC,故BD⊥平面ABC.因为BD⊂平面ABD,所以平面ABD⊥平面ABC.(2)解:过点D作DH⊥CE.因为AC⊥DH,所以DH⊥平面ACE.所以∠DAH即为AD与平面ACE所成的角.AB=DC=2.在Rt△DCE中,DE=1,CD=2,所以CE=,所以DH===.因为AC==,所以AD==,在Rt△AHD中,sin ∠DAH==.21.(本小题满分12分)如图所示,在长方体ABCD A1B1C1D1中,AB= 2,BB1=BC=1,E为D1C1的中点,连接ED,EC,EB和DB.(1)求证:平面EDB⊥平面EBC;(2)求二面角E DB C的正切值.(1)证明:在长方体ABCD A1B1C1D1中,AB=2,BB1=BC=1,E为D1C1的中点.所以△DD1E为等腰直角三角形,∠D1ED=45°.同理∠C1EC=45°.所以∠DEC=90°,即DE⊥EC.在长方体ABCD A1B1C1D1中,BC⊥平面D1DCC1,又DE⊂平面D1DCC1,所以BC⊥DE.又EC∩BC=C,所以DE⊥平面EBC.因为DE⊂平面DEB,所以平面DEB⊥平面EBC.(2)解:如图所示,过E在平面D1DCC1中作EO⊥DC于O.在长方体ABCD A1B1C1D1中,因为平面ABCD⊥平面D1DCC1,所以EO⊥平面ABCD.过O在平面DBC中作OF⊥DB于F,连接EF,所以EF⊥BD.∠EFO为二面角E DB C的平面角.利用平面几何知识可得OF=,又OE=1,所以tan ∠EFO=.22.(本小题满分12分)如图,在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中,底面ABCD 是边长为2的正方形,E,F分别为线段DD1,BD的中点.(1)求证:EF∥平面ABC1D1;(2)四棱柱ABCD A1B1C1D1的外接球的表面积为16π,求异面直线EF与BC所成的角的大小.(1)证明:连接BD1,在△DD1B中,E,F分别为线段DD1,BD的中点,所以EF为中位线,所以EF∥D1B,因为D1B⊂平面ABC1D1,EF⊄平面ABC1D1,所以EF∥平面ABC1D1.(2)解:连接CD1,由(1)知EF∥D1B,故∠D1BC即为异面直线EF与BC所成的角,因为四棱柱ABCD A1B1C1D1的外接球的表面积为16π,所以四棱柱ABCD A1B1C1D1的外接球的半径R=2,设AA 1=a,则=2,解得a=2,在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中,因为BC⊥平面CDD1C1,CD1⊂平面CDD1C1,所以BC⊥CD1,在Rt△BCD1中,BC=2,CD 1=2,D1C⊥BC,所以tan ∠D 1BC==,则∠D1BC=60°,所以异面直线EF与BC所成的角为60°.。

2021-2022学年人教版高中数学必修二教材用书：模块综合检测(一) Word版含答案

模块综合检测(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(共10小题，每小题6分，共60分)1．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()答案：C2．如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是()A．6πB．12πC．18π D．24π答案：B3．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2 cm，则球的表面积是()A．8π cm2B．12π cm2C．2π cm2D．20π cm2答案：B4．已知高为3的直棱柱ABC-A′B′C′的底面是边长为1的正三角形(如图所示)，则三棱锥B′-ABC 的体积为()A.14 B.12C.36 D.34答案：D5．已知直线l1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l2经过两点(2,1)，(x,6)，且l1∥l2，则等于() A．2 B．－2C．4 D．1答案：A6．一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其体积等于()A．6 B．2C. 3 D．2 3答案：C7．当0＜r≤8时，两圆x2＋y2＝9与(x－3)2＋(y－4)2＝r2的位置关系为()A．相交B．相切C．相交或相切D．相交、相切或相离答案：D8．过点(0，－1)的直线l与半圆C：x2＋y2－4x＋3＝0(y≥0)有且只有一个交点，则直线l的斜率k的取值范围为()A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫kk＝0或k＝43B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫k13≤k＜1C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫kk＝43或13≤k＜1D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫kk＝43或13≤k≤1答案：C9．在四周体A-BCD中，棱AB，AC，AD两两相互垂直，则顶点A在底面BCD上的投影H为△BCD的()A．垂心B．重心C．外心D．内心答案：A10．过直线y＝x上的一点作圆(x－5)2＋(y－1)2＝2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于y＝x对称时，它们之间的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案：C二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．答案：12π12．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β.(1)当满足条件________时，有m∥β；(2)当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号)答案：(1)③⑤(2)②⑤13．如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥D-ABC中，给出下列三种说法：①△DBC是等边三角形；②AC⊥BD；③三棱锥D-ABC 的体积是2 6.其中正确的序号是________(写出全部正确说法的序号)．答案：①②14．已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦长为8，则直线l的方程是________．答案：4x＋3y＋25＝0或x＝－4三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l经过点D(－2,0)，且斜率为k.(1)求以线段CD为直径的圆E的方程；(2)若直线l与圆C相离，求k的取值范围．解：(1)将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为C(0,4)，半径为2.所以CD的中点E(－1,2)，|CD|＝22＋42＝25，所以r＝5，故所求圆E的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.(2)直线l的方程为y－0＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.若直线l与圆C相离，则有圆心C到直线l的距离|0－4＋2k|k2＋1＞2，解得k＜34.所以k的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，34.16．(本小题满分12分)某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点．(1)依据三视图，画出该几何体的直观图．(2)在直观图中，①证明：PD∥平面AGC；②证明：平面PBD⊥平面AGC.解：(1)该几何体的直观图如图①所示．(2)证明：如图②.①连接AC，BD交于点O，连接OG，由于G为PB的中点，O 为BD的中点，所以OG∥PD.又OG⊂平面AGC，PD⊄平面AGC，所以PD∥平面AGC.②连接PO，由三视图，PO⊥平面ABCD，所以AO⊥PO.又AO⊥BO，BO∩PO＝O，所以AO ⊥平面PBD .由于AO ⊂平面AGC ，所以平面PBD ⊥平面AGC .17．(本小题满分12分)已知点P (2,0)，及圆C ：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋4＝0. (1)当直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1时，求直线l 的方程；(2)设过点P 的直线与圆C 交于A 、B 两点，当|AB |＝4时，求以线段AB 为直径的圆的方程．解：(1)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则方程为y －0＝k (x －2)，又圆C 的圆心为(3，－2)，r ＝3，由|3k －2k ＋2|k 2＋1＝1⇒k ＝－34.所以直线l 的方程为y ＝－34(x －2)，即3x ＋4y －6＝0，当k 不存在时，l 的方程为x ＝2，符合题意． (2)由弦心距d ＝ r 2－⎝⎛⎭⎫|AB |22＝5，又|CP |＝5，知P 为AB 的中点，故以AB 为直径的圆的方程为(x－2)2＋y 2＝4.18．(本小题满分12分)多面体P -ABCD 的直观图及三视图如图所示，其中正视图、侧视图是等腰直角三角形，俯视图是正方形，E 、F 、G 分别为PC 、PD 、BC 的中点．(1)求证：PA ∥平面EFG ； (2)求三棱锥P -EFG 的体积．解：(1)法一：如图，取AD 的中点H ，连结GH ，FH . ∵E ，F 分别为PC ，PD 的中点，∴EF ∥CD . ∵G 、H 分别为BC 、AD 的中点，∴GH ∥CD . ∴EF ∥GH .∴E ，F ，H ，G 四点共面．∵F ，H 分别为DP 、DA 的中点，∴PA ∥FH .∵PA ⊄平面EFG ，FH ⊂平面EFG ， ∴PA ∥平面EFG .法二：∵E ，F ，G 分别为PC ，PD ，BC 的中点． ∴EF ∥CD ，EG ∥PB . ∵CD ∥AB ， ∴EF ∥AB .∵PB ∩AB ＝B ，EF ∩EG ＝E ， ∴平面EFG ∥平面PAB . ∵PA ⊂平面PAB ， ∴PA ∥平面EFG .(2)由三视图可知，PD ⊥平面ABCD ，又∵GC ⊂平面ABCD ， ∴GC ⊥PD .∵四边形ABCD 为正方形， ∴GC ⊥CD . ∵PD ∩CD ＝D ，∴GC ⊥平面PCD .∵PF ＝12PD ＝1，EF ＝12CD ＝1，∴S △PEF ＝12EF ·PF ＝12.∵GC ＝12BC ＝1，∴V P －EFG ＝V G －PEF ＝13S △PEF ·GC ＝13×12×1＝16.19．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)．(1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围； (2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M ，N 为切点，当MN ＝455时，求MN 所在直线的方程．解：(1)过点A 的切线存在，即点A 在圆外或圆上， ∴1＋a 2≥4，∴a ≥ 3或a ≤－ 3.即实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(2)如图所示，设MN 与AC 交于点D . ∵MN ＝455，∴DM ＝255.又MC ＝2，∴CD ＝4－45＝455. ∴cos ∠MCA ＝4552＝255，∴AC ＝2255＝5，OC ＝2，AM ＝1，MN 是以A 为圆心，半径AM ＝1的圆A 与圆C 的公共弦，圆A 的方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆C 的方程为x 2＋(y －2)2＝4或x 2＋(y ＋2)2＝4，∴MN 所在直线方程为(x －1)2＋y 2－1－x 2－(y －2)2＋4＝0，即x －2y ＝0，或(x －1)2＋y 2－1－x 2－(y ＋2)2＋4＝0，即x ＋2y ＝0.因此，MN 所在的直线方程为x －2y ＝0或x ＋2y ＝0.20．(本小题满分12分)(四川高考)如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .(1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由；(2)证明：平面PAB ⊥平面PBD .解：(1)取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点．理由如下：连接MC ，由于AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AM ，且BC ＝AM .所以四边形AMCB 是平行四边形，所以CM ∥AB .又AB ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ，所以CM ∥平面PAB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)证明：由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD ，由于AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交，所以PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD .连接BM .由于AD ∥BC ，BC ＝12AD ，M 为AD 的中点，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD ，所以四边形BCDM 是平行四边形，所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB .又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB . 又BD ⊂平面PBD ，所以平面PAB ⊥平面PBD .。

数学试题人教a版必修2 同步练习第二章检测测试题(两套)

第二章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列命题正确的是( )A.没有公共点的两条直线是平行直线B.互相垂直的两条直线是相交直线C.既不平行又不相交的两条直线是异面直线D.不在同一平面内的两条直线是异面直线解析:没有公共点的两条直线还可能异面,所以A选项不正确;互相垂直的直线还可能是异面直线,所以B选项不正确;D选项中,缺少任一平面内,所以D选项不正确;很明显C选项正确.答案:C2.如图,已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,l⊂平面A1B1C1D1,且l与B1C1不平行,则下列结论一定不成立的是( )A.l与AD平行B.l与AB异面C.l与CD所成的角为30°D.l与BD垂直答案:A3.对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面α,使得( )A.a⊂α,b⊂αB.a⊂α,b∥αC.a⊥α,b⊥αD.a⊂α,b⊥α解析:对于选项A,当a与b是异面直线时,A错误;对于选项B,若a,b不相交,则a与b平行或异面,都存在α,使a⊂α,b∥α,B正确;对于选项C,a⊥α,b⊥α,一定有a∥b,但当a与b异面时,不存在平面α,使结论成立,C错误;对于选项D,a⊂α,b⊥α,一定有a⊥b,但当a与b平行时,不存在平面α,使结论成立,D错误.答案:B4.给出下列四个命题:①垂直于同一条直线的两条直线互相平行;②垂直于同一个平面的两个平面互相平行;③若直线l1,l2与同一平面所成的角相等,则l1,l2互相平行.其中不正确的个数是( )A.1B.2C.3D.0解析:利用特殊的几何体正方体进行验证,我们不难发现①②③均不正确.故选C.答案:C5.若l为直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l⊥α,l⊥β,则α∥βC.若l⊥α,l∥β,则α∥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥β解析:对于A,若l∥α,l∥β,则α和β可能平行也可能相交,故A错误;对于B,由线面垂直的性质可得,B 正确;对于C,若l⊥α,l∥β,应推出α⊥β,故C错误;对于D,l与β的位置关系不确定,l∥β,l⊂β,l 与β相交,都有可能,故D错误.答案:B6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1的中点,则直线CE垂直于( )A.BDB.ACC.ADD.A1D1解析:由BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,则BD⊥平面ACC1A1.又CE⊂平面ACC1A1,所以BD⊥CE.答案:A7.如图,点S在平面ABC外,SB⊥AC,SB=AC=2,E,F分别是SC和AB的中点,则EF的长是( )A.1 BC解析:如图,取CB的中点D,连接ED,DF,则∠EDF(或其补角)为异面直线SB与AC所成的角,即∠EDF=90°.在△EDF中,ED EF答案:B8.已知四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,底面为正方形,则侧棱与底面所成的角为( )A.75°B.60°C.45°D.30°解析:如图,O为底面ABCD的中心,连接AC,BD,SO,易得SO⊥平面ABCD.所以∠OCS为侧棱SC与底面ABCD所成的角.又由已知可求得OC因为SC=1,所以∠OCS=45°.答案:C9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段A1B1,B1C1上与端点不重合的动点,A1E=B1F,有下面四个结论:①EF⊥AA1; ②EF∥AC;③EF与AC异面; ④EF∥平面ABCD.其中一定正确的是( )A.①②B.②③C.②④D.①④解析:如图,由于AA1⊥平面A1B1C1D1,EF⊂平面A1B1C1D1,则EF⊥AA1,所以①正确;当E,F分别是线段A1B1,B1C1的中点时,EF∥A1C1,又AC∥A1C1,则EF∥AC,所以③不正确;当E,F不是线段A1B1,B1C1的中点时,EF与AC异面,所以②不正确;由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD,EF⊂平面A1B1C1D1,所以EF∥平面ABCD,所以④正确.答案:D10.已知平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n 所成角的正弦值为( )A解析:(方法一)∵α∥平面CB1D1,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,α∩平面ABCD=m,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,∴m∥B1D1.∵α∥平面CB1D1,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,α∩平面ABB1A1=n,平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,∴n∥CD1.∴B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即∠B1D1C等于m,n所成的角.∵△B1D1C为正三角形,∴∠B1D1C=60°,∴m,n所成角的正弦值(方法二)由题意画出图形如图,将正方体ABCD-A1B1C1D1平移,补形为两个全等的正方体.易证平面AEF∥平面CB1D1,所以平面AEF即为平面α,m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角.因为△AEF是正三角形,所以∠EAF=60°,故m,n所成角的正弦值答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.直线l1∥l2,在l1上取2个点,l2上取2个点,由这4个点能确定平面的个数是.解析:因为l1∥l2,所以经过l1,l2有且只有一个平面.答案:112.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,直线l过点A且垂直于平面ABC,动点P∈l,当点P逐渐远离点A时,∠PCB 的大小会.(填“变大”“变小”或“不变”)解析:∵l⊥平面ABC,∴l⊥BC.∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC.又PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,∴BC⊥平面PAC.∴BC⊥PC.∴∠PCB=90°.故当点P逐渐远离点A时,∠PCB的大小不变.答案:不变13.已知长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形,它的体积解析:由已知可求得长方体ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1,侧棱长过点A1作A1E⊥AB1于点E,如图.因为B1C1⊥平面ABB1A1,所以B1C1⊥A1E.因为AB1∩B1C1=B1,所以A1E⊥平面AB1C1.所以∠A1B1E即为A1B1与平面AB1C1所成的角.因为AA1所以AB1=2,A1E因为sin∠A1B1E所以∠A1B1E=60°.答案:60°14.已知三棱锥S -ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径,若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S -ABC的体积为9,则球O的表面积为.解析:取SC的中点O,连接OA,OB.因为SA=AC,SB=BC,所以OA⊥SC,OB⊥SC.因为平面SAC⊥平面SBC,且OA⊂平面SAC,所以OA⊥平面SBC.设OA=r,则V A-SBC△SBC×OA所r=3.所以球O的表面积为4πr2=36π.答案:36π15.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形A1B1C1D1满足条件时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种情况即可,不必考虑所有可能的情况).解析:由直四棱柱可知CC1⊥平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1D1.要使得B1D1⊥A1C,只要B1D1⊥平面A1C1C,即只要B1D1⊥A1C1.此题还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形、正方形等条件.答案:B1D1⊥A1C1(答案不唯一)三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点.求证:(1)E,C,D1,F四点共面;(2)CE,D1F,DA三线共点.证明:(1)如图,连接EF,CD1,BA1.因为E,F分别是AB,AA1的中点,所以EF∥BA1.又BA1∥CD1,所以EF∥CD1.所以E,C,D1,F四点共面.(2)因为EF∥CD1,EF<CD1,所以CE与D1F必相交,设交点为P.由P∈CE,CE⊂平面ABCD,得P∈平面ABCD.同理,得P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,所以P∈直线DA.所以CE,D1F,DA三线共点.17.(8分) 如图,PA⊥正方形ABCD所在的平面,经过点A且垂直于PC的平面分别交PB,PC,PD于E,F,G,求证:AE⊥PB.证明:因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC.又ABCD是正方形,所以AB⊥BC.而PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB.因为AE⊂平面PAB,所以BC⊥AE.由PC⊥平面AEFG,得PC⊥AE.因为PC∩BC=C,所以AE⊥平面PBC.所以AE⊥PB.18.(9分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.(1)求证:DC⊥平面PAC.(2)求证:平面PAB⊥平面PAC.(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.(1)证明:因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥DC.又因为DC⊥AC,所以DC⊥平面PAC.(2)证明:因为AB∥DC,DC⊥AC,所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥AB.所以AB⊥平面PAC.所以平面PAB⊥平面PAC.(3)解:棱PB上存在点F,使得PA∥平面CEF.理由如下:取PB中点F,连接EF,CE,CF,如图. 因为E为AB的中点,所以EF∥PA.又因为PA⊄平面CEF,所以PA∥平面CEF.19.(10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P-ABCD的体积(1)证明:由已知∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.由于AB∥CD,故AB⊥PD,从而AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.(2)解:在平面PAD内作PE⊥AD,垂足为E.由(1)知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PE,可得PE⊥平面ABCD.设AB=x,则由已知可得AD故四棱锥P-ABCD的体积V P-ABCD·AD·PE由题设x=2.从而PA=PD=2,AD=BC=可得四棱锥P-ABCD的侧面积·PD·AB·DC60°=6+20.(10分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)求证:C1F∥平面ABE;(3)求三棱锥E-ABC的体积.(1)证明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥底面ABC.所以BB1⊥AB. 又因为AB⊥BC,所以AB⊥平面B1BCC1.所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明:取AB的中点G,连接EG,FG,如图.因为E,F分别是A1C1,BC的中点,所以FG∥AC,且FG因为AC∥A1C1,且AC=A1C1,所以FG∥EC1,且FG=EC1.所以四边形FGEC1为平行四边形.所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE,C1F⊄平面ABE,所以C1F∥平面ABE.(3)解:因为AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,所以AB所以三棱锥E-ABC的体积V△ABC·AA1第二章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下面给出了四个条件:①空间三个点;②一条直线和一个点;③和直线a都相交的两条直线;④两两相交的三条直线.其中,能确定一个平面的条件有( )A.3个B.2个C.1个D.0个解析:①当空间三点共线时不能确定一个平面;②点在直线上时不能确定一个平面;③两直线若不平行也不相交时不能确定一个平面;④三条直线交于一点且不共面时不能确定一个平面.故4个条件都不能确定一个平面.答案:D2.对于直线m,n和平面α,下列结论正确的是( )A.如果m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线,那么n∥αB.如果m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线,那么n与α相交C.如果m⊂α,n∥α,m,n共面,那么m∥nD.如果m∥α,n∥α,m,n共面,那么m∥n解析:当m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线时,n与α可以平行,也可以相交,故A,B错误;对于C,由线面平行的性质定理可知C正确;对于D,m与n还可以相交,故D错误.答案:C3.如图是长方体被一平面所截得到的几何体,四边形EFGH为截面,长方形ABCD为底面,则四边形EFGH的形状为( )A.梯形B.平行四边形C.可能是梯形也可能是平行四边形D.不确定解析:因为平面ABFE∥平面CDHG,又平面EFGH∩平面ABFE=EF,平面EFGH∩平面CDHG=HG,所以EF∥HG.同理EH∥FG,所以四边形EFGH的形状是平行四边形.答案:B4.已知a,b,c是直线,则下面四个命题:①若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面;②若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交;③若a∥b,则a,b与c所成的角相等.其中真命题的个数为( )A.0B.3C.2D.1解析:异面、相交关系在空间中不能传递,故①②错;根据等角定理,可知③正确.答案:D5.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )解析:选项B,C中,易知AB∥MQ,且MQ⊂平面MNQ,AB⊄平面MNQ,则AB∥平面MNQ;选项D中,AB∥NQ,且NQ⊂平面MNQ,AB⊄平面MNQ,则AB∥平面MNQ,故排除选项B,C,D.故选A.答案:A6.把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.90°解析:当三棱锥D-ABC的体积最大时,平面DAC⊥ABC,取AC的中点O,连接OD,OB(图略),则△DBO是等腰直角三角形,即∠DBO=45°.答案:B7.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,侧面AA1D1D为正方形,E为棱CD上任意一点,则( )A.AD1⊥B1EB.AD1∥B1EC.AD1与B1E共面D.以上都不对解析:连接A1D(图略),则由正方形的性质,知AD1⊥A1D.又B1A1⊥平面AA1D1D,所以B1A1⊥AD1,所以AD1⊥平面A1B1ED.又B1E⊂平面A1B1ED,所以AD1⊥B1E,故选A.答案:A8.已知一个正方体的展开图如图所示,其中A,B为所在棱的中点,C,D为原正方体的顶点,则在原来的正方体中AB与CD所成角的大小是( )A.30°B.45°C.60°D.90°解析:展开图还原为正方体(如图),其中EF,FG,EG分别为所在面的对角线.因为A,B分别为相应棱的中点,所以EF∥AB.易知CD∥EG,所以∠FEG为AB与CD所成的角(或其补角).又因为EG=EF=FG,所以∠FEG=60°,即AB与CD所成角的大小为60°.答案:C9.在三棱锥P-ABC中,∠ABC=90°,PA=PB=PC.则下列说法正确的是( )A.平面PAC⊥平面ABCB.平面PAB⊥平面PBCC.PB⊥平面ABCD.BC⊥平面PAB解析:如图,因为PA=PB=PC,所以点P在底面的射影是底面△ABC的外心.又因为∠ABC=90°,所以射影O为AC的中点.则PO⊥平面ABC,所以平面PAC⊥平面ABC.答案:A10.如图,在多面体ACBDE中,BD∥AE,且BD=2,AE=1,F在CD上,要使AC∥平面EFB,A.3B.2C.1 D解析:连接AD交BE于点O,连接OF.因为AC∥平面EFB,平面ACD∩平面EFB=OF,所以AC∥OF.所又因为BD∥AE,所以△EOA∽△BOD,所答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.已知a,b,c是空间中的三条相互不重合的直线,给出下列说法:①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;③若a⊂平面α,b⊂平面β,则a,b一定是异面直线;④若a,b与c成等角,则a∥b.其中正确的是.(只填序号)解析:由公理4知①正确;当a与b相交,b与c相交时,a与c可能相交、平行,也可能异面,故②不正确;当a⊂平面α,b⊂平面β时,a与b可能平行、相交或异面,故③不正确;当a,b与c成等角时,a与b可能相交、平行,也可能异面,故④不正确.答案:①12.在矩形ABCD中,若AB=3,BC=4,PA⊥平面ABCD,且PA=1,则点P到对角线BD的距离为.解析:如图,过点A作AE⊥BD于点E.因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD.又PA∩AE=A,所以BD⊥平面PAE,所以BD⊥PE.又因为ABCD为矩形,且AB=3,BC=4,所以AE所以PE答案:13.如图,正方形ABEF和正方形ABCD有公共边AB,∠EBC=60°,AB=CB=BE=a,则DE=.解析:由已知∠EBC=60°,连接EC(图略).因为BE=BC=a,所以EC=a,又可证CD⊥平面EBC,所以CD⊥EC.因为CD=a,所以DE答案:14.如图,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,且PA=AC=BC=a,则异面直线PB与AC所成角的正切值等于.解析:不妨将几何体放在如图所示的正方体中,则PB与AC所成的角等于PB与PQ所成的角.设正方体的棱长为a,连接BQ,则在△BPQ中,PQ=a,BQ所以tan∠BPQ答案:15.如图,在棱长均相等的四棱锥P-ABCD中,O为底面正方形的中心,M,N分别为侧棱PA,PB的中点,有下列结论:①PC∥平面OMN;②平面PCD∥平面OMN;③OM⊥PA;④直线PD与直线MN所成角的大小为90°.其中正确结论的序号是.解析:连接AC(图略),易得PC∥OM,所以PC∥平面OMN,结论①正确.同理PD∥ON,所以平面PCD∥平面OMN,结论②正确.由于四棱锥的棱长均相等,所以AB2+BC2=PA2+PC2=AC2,所以PC⊥PA.又PC∥OM,所以OM⊥PA,结论③正确.由于M,N分别为侧棱PA,PB的中点,所以MN∥AB.又四边形ABCD为正方形,所以AB∥CD,所以直线PD与直线MN所成的角即为直线PD与直线CD所成的角,即为∠PDC.又三角形PDC为等边三角形,所以∠PDC=60°,故④错误.答案:①②③三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠ABC=90°,点D,E在线段AC上,且DE=EC,PD=PC,点F在线段AB上,且EF∥BC.证明:AB⊥平面PFE.证明:由DE=EC,PD=PC知,E为等腰三角形PDC中DC边上的中点,故PE⊥AC.又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PE⊂平面PAC,所以PE⊥平面ABC.因为AB⊂平面ABC,所以PE⊥AB.因为∠ABC=90°,EF∥BC,故AB⊥EF.从而AB与平面PFE内的两条相交直线PE,EF都垂直,所以AB⊥平面PFE.17.(8分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明:(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.18.(9分) 如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是梯形,AB∥CD,且AB∥平面PAD?若能,请确定点E的位置,并给出证明;若不能,请说明理由.解:在PC上能找到点E,且满BE∥平面PAD.证明如下:延长DA和CB交于点F,连接PF,如图.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB所所所以在△PFC所以BE∥PF.而BE⊄平面PAD,PF⊂平面PAD,所以BE∥平面PAD.19.(10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC∠BAD=∠ABC=90°.(1)证明:直线BC∥平面PAD;(2)若△PCD的面积为(1)证明:在平面ABCD内,因为∠BAD=∠ABC=90°,所以BC∥AD.又BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,故BC∥平面PAD.(2)解:如图,取AD的中点M,连接PM,CM.由AB=BCBC∥AD,∠ABC=90°,得四边形ABCM为正方形,则CM⊥AD.因为侧面PAD垂直底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以CM⊥侧面PAD, 所以CM⊥PM.设BC=x,则CM=x,CD取CD的中点N,连接PN,则PN⊥CD,所以PN因为△PCD的面积所解得x=-2(舍去),x=2.于是AB=BC=2,AD=4,PM=所以四棱锥P-ABCD的体积V20.(10分)如图,在Rt△AOB中,∠OAB=30°,斜边AB=4,Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到,且平面AOB⊥平面AOC.动点D在斜边AB上.(1)求证:平面COD⊥平面AOB;(2)当D为AB的中点时,求异面直线AO与CD所成角的正切值.(1)证明:由题意知,CO⊥AO,平面AOB⊥平面AOC,所以CO⊥平面AOB.又CO⊂平面COD,所以平面COD⊥平面AOB.(2)解:作DE⊥OB,垂足为E,连接CE(如图),则DE∥AO.所以∠CDE是异面直线AO与CD所成的角.由(1)知CO⊥BO,在Rt△OCB中,CO=BO=2,OE第21 页共22 页所以CE又DE所以在Rt△CDE中,tan∠CDE故异面直线AO与CD 所成的角的正切值第22 页共22 页。

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模块检测一、选择题1.(2014-临沂高一检测)过点4(3, -4), B( — 2,加)的直线2的斜率为一2,则加的值为()A. 6 B・ 1C. 2 D・ 4答案 A解析加+4由述意知滋〃一c a——2, ..m—6.—厶―\2.在x轴、y轴上的截距分别是一2、3的直线方程是()A. 2兀—3y—6 = 0 B・ 3兀—2y—6=0C・ 3兀一2y+6=0 D. 2兀一3y+6 = 0答案C解析由直线的截距式得，所求直线的方程为^+|=1,即3x-2y+6 = 0.3.在空间直角坐标系中，点B是A(l,2,3)在yOz坐标平面内的射影，O为坐标原点，则|OB|等于()A.V14B.V13C. 2^3D.VTT答案B解析点A(l,2,3)在yOz坐标平面内的射影为B(0,2,3)，・•・|OB|=A/02+22+32=V13-4.已知两直线y=ax_2和y=(a+2)x+l互相垂直，则。

等于 ( )A. 2 B・ 1C・ 0 D. -1答案D解析由题知(Q+2)Q= — 1 =>/ + 2口+1 = (a+1)2 = 0, *.a—— 1.也可以代入检验.5.动点P到点A(&0)的距离是到点3(2,0)的距离的2倍,则动点P的轨迹方程()B.疋+)2=16D・ d + Cy—1尸=16答案B解析设P(x, y),则由题意可得：2\j(x—2)2+y28)2+y2,化简整理得/+)‘2=16,故选B.6.设长方体的长，宽，高分别为2G a,。

其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A. 3兀/C.12 击答案B解析由题可知，球的直径等于长方体的体对角线的长度，故2R =y)4a2+a2+a2,解得R=^a,所以球的表面积5=4兀疋=6兀/.7.一个三棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积(单位：cn?)为 ()A. 48+12迈C. 36+12迈答案A解析该棱锥为一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，如图，由已知可知：SD=4, AB=BC=6,:・SE =5,AC=6V2./.S=|X6X6+2X|X5X6+|X6V2心=48+12返8.过点P(l,l)的直线，将圆形区域｛(兀，y)\x2+y2^4｝正视图侧视图俯视图为A・ ^+/=32C. (X-1)2+/=16B・6na2D. 24兀/B. 48+24迈D. 36+24边分为两部分，使得这两部分解析圆心O 与P 点连线的斜率k=\,:.直线OP 垂直于兀+)；—2=0,故选A.9. 如图所示，在正方体ABCD-AiB^iDi 屮，E 、F 、G 、H 分别为AA 】、AB. BB {.5G 的中点，则异面肓线EF 与GH 所成的角等于A. 45° C. 90° 答案B解析如图，取的中点M,连接GM, HM.由题意易知EF 〃GM,且△GA/H 为正三角形・・•・异面直线EF 与GH 所成的角即为GM 与GH 的夹角ZHGM. 而在正三角形GMH 中ZHGM= 60°,故选B.10. 若曲线 Ci ： x 2+^2—2%=0 与曲线 C2： y(y —mx —ni)=0有四个不同的交点，则实数加的取值范围是A ・ x+y —2 = 0 C ・ x~y=0 答案AB ・ y —1=0 D. 兀+3y — 4 = 0()(-罟A.答案B解析Ci：（x—1）2+＞,2= 1,C*2: _y=0 或y=twc+m=加（兀 +1）・当m=0时，C2：y=0,此时Ci与C?显然只有两个交点；当加H0时，要满足题意，需圆（x~\）2+y2= 1与直线y=m（x+l）有两交点, 当圆与直线相切时，加=±¥，即直线处于两切线之间时满足题意，则一¥＜加＜0或0＜加＜¥.综上知一平<m<0或0<加< 3 •二、填空题11・（201牛宁波高一检测）若直线厶：ax+y+2a=0与® x+ay+3 = 0互相平行,则实数 ___________ ・答案±1解析由两直线平行的条件AiB2 - A2B[ = 0且A I C2-A2C I^0得[tz2—1=0,] 亠得Q = ±l・〔3d—2dH0,12.（2013-浙江高考）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于cm3.13 T侧视图俯视图答案24解析由三视图可知该几何体为一个直三棱柱被截去了一个小三棱锥，如图所示.三棱柱的底面为直角三角形，且直角边长分别为3和4,三棱柱的高为5,故其体积X3X4X5 = 30(cm3),小三棱锥的底面与三棱柱的上底面相同，髙为3,故其体积V2=|x|x3X4X3 = 6(cm3),所以所求几何体的体积为30-6 = 24(cm3).13.(2013-山东高考)过点(3,1)作圆(兀一2)2+®—2尸=4的弦,其中最短眩的长为答案2^2解析借助圆的几何性质，确定圆的最短弦的位置，利用半径、弦心距及半弦长的关系求弦长.设A(3,l),易知圆心C(2,2),半径r=2,当弦过点A(3,l)且与CA垂直时为最短弦.|CA|=Q(2_3)2 + (2_1)2=V1二半弦长=寸/_|(4|2=寸4_2=迈.二最短弦长为2迈.14.若圆?+/=4与圆x2+/+2^-6 = 0(f/>0)的公共弦的长为2羽，则a=■答案1解析两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(,+于+3与一6)—(2+ b)= o_43y=£又°>0,结合图象，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知占=寸2?_(书『=]» =]三、解答题15・(201牛吉林高一检测)已知两条盲线厶：mx+Sy+n = 0和伍：2兀+心一1=0, 试确定n的值，使(1)/1与“相交于点伽，-1);⑵（3）厶丄①且厶在y 轴上的截距为一1.解（1）因为A 与伍相交于点（加，-1）, 所以点（加，一1）在厶、＜2上，将点伽，一1）代入％,得2m —m — 1 =0,解得加=1. 又因为m= 1,把（1, 一1）代入厶，所以n=7. 故 m= 1,斤=7.m-16=0,mX(-l)-2/2^0, （3）要使厶丄仏，则有m-2 + 8-m=0,得m=0.则厶为y=—殳，由于厶在y 轴上的截距为一1, 所以一|=-1,即川=& 故 771 = 0,斤=&16. （2013-江苏高考）如图，在三棱锥S-ABC 中，平面S4B 丄平面SBC, AB 丄 BC,AS=AB.H A 作AF 丄SB,垂足为F,点E, G 分别是棱SA, SC 的中点.求证：（1）平面EFG 〃平面ABC ；（2）BC 丄 SA.证明（1）因为 AS=AB, AFA.SB, 垂足为F,所以F 是SB 的中点. 又因为E 是SA 的中点，所以 EF//AB.因为EFQ 平面ABC, ABU 平面ABC, 所以EF 〃平面ABC. 同理EG 〃平面ABC.又EFOEG=E,（2）要使厶〃"，则有解得所以平面EFG 〃平面ABC.(2)因为平面SAB 丄平面SBC,且交线为SB,又AFC 平面S4B, AFLSB,所以AF丄平面SBC.因为3CU 平面SBC,所以AF 丄BC.又因为 ABA.BC, AFHAB=A, AFU 平面 SAB, ABU 平面 SAB,所以 BC± 平面SAB. 因为SAU 平面SAB,所以BC 丄SA.17. (201牛济宁高一检测)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是正方形，E, F 分别为AC和PB 上的点，它的直观图，正视图，侧视图.如图所示， ⑴求EF 与平面ABCD 所成角的大小；(2)求二面角B-PA-C 的大小；解根据三视图可知：刊垂直平面ABCD,E 、F 分别为PB 和AC 的中点.ABCD 是边长为4的正方形，且B4=4.(1)如图，取中点G,连接FG, GE,则FG 〃/?4, GE//BC 所以FG 丄平 ® ABCD, ZFEG 为EF 与平面ABCD 所成的角，在RtAFGE 中，FG=2, GE=2, ••・ZFEG=45。

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人教A 版数学必修2模块检测
本试题包括选择题、填空题和解答题三部分。

时量120分钟。

满分100分
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．已知点P(-2，3)，则点P 关于原点对称的点的坐标（）
A 、（-2，-3）
B 、（2，3）
C 、（2，-3）
D 、（-3，2） 2．已知点A （0，6），B （-8，0），原点到直线AB 的距离=（） A ．
524 B ．25 C ．512 D ．3
4
3．以下四个正方体中,P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，则P 、Q 、R 、S 四点共面的图是（）
Q
R
D
C
R Q
Q
R
B A
R Q
4. 已知直线l 经过第一、二、四象限，倾斜角为θ，y 轴上截距为b ，则正确的是（） A. bsin θ﹤0 B. bcos θ﹤0 C. bsin θ≤0 D. bcos θ≤0
5．直线3x-2y=4的斜截式方程是( )
A 、y=
23x-2 B 、y=2
3
x+2 C 、123
4=-y x D 、1234=-+
y x 6．空间中三个不同的平面把空间分成的区域可能有 ( ) 个
A 4或6
B 6或7
C 7或8
D 以上都有可能 7.在正四面体P —ABC 中,D 、
E 、
F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．的是( ) A . BC ∥平面PDF B . DF ⊥平面PAE C . 平面PDF ⊥平面ABC D. 平面PAE ⊥平面ABC
8．若直线kx-y=k-2与直线ky-x=k 的交点位于第二象限，则k 的取值范围是（） A . (-1,1) B . (-∞,-1) ∪(1,+ ∞) C . (-1,0) D . (-∞, 0) ∪(1,+ ∞) 9．关于直线a 、b 与平面α、β，有下列四个命题：
①若a ∥α，b ∥β且α∥β，则a ∥b ②若a ⊥α，b ⊥β且α⊥β,则a ⊥b ③若a ⊥α，b ∥β且α∥β，则a ⊥b ④若a ∥α，b ⊥β且α⊥β,则a ∥b 其中真命题的序号是( )
A 、①②
B 、②③
C 、③④
D 、④① 10．光线从点P （-3，3）射到Y 轴上，经Y 轴反射后经过点Q （-1，-5），则光线从P 到Q 走过的路程为( )
A.10
B.5+17
C.45
D.217
二、填空题（每小题4分，共20分）
11.用数学符号语言将“直线l 既经过平面α内的一点A ，也经过平面α外的一点B ”记作 .
12．已知空间直角坐标系中，A 是x 轴上的一点，点B （-1，1，0），且∣AB ∣=5，则点A 的坐标是 . 13．给出下列四个命题：
① 过点M (–1, 2)的直线方程表示为y –2=k (x +1)；
② 过点M (–1, 2)且在x 轴、y 轴上截距相等的的直线方程是x +y –1=0； ③ 过点M (–1, 2)且与直线l : Ax +By +C =0(AB ≠0)垂直的直线方程是B (x +1)-A (y –2)=0；
④ 若点M (–1, 2)不在直线l : Ax +By +C =0(AB ≠0)上，则过点M 且与l 平行的直线方程是 A (x +1)+B (y –2)=0；
以上命题中，真命题的序号是。

14．已知实数x 、y 满足x 2
+y 2
=1，则
3
x 1y ++的最大值为，最小值为。

15．圆(x+1) 2
+ (y+1) 2
=16上的点到直线3x-4y-2=0的距离的最大值为，最小值为。

三、解答题： (共40分)
16. （8分）已知两条直线l 1: x –2y+4=0和l 2: 3x+y –2=0的交点是P ，求：
⑴点P 到直线a ：3x –4y+5=0的距离； ⑵经过点P ，且与直线b ：2x –4y-3=0垂直的直线方程。

17．（8分）如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，O 是底面ABCD 的中心，E 是C 1C 的中点。

⑴求异面直线OE 与BC 所成角的余弦值； ⑵求直线OE 与平面BCC 1B 1所成角的正切值； ⑶求证：对角面AA 1C 1C 与对角面BB 1D 1D 垂直。

E C 1A C
A
18．（8分）已知直线l ：y=x+2，一个圆的圆心C 在x 轴上且该圆与y 轴相切，该圆经过点A （-1，2）。

求：⑴圆C 的方程； ⑵直线l 被圆截得的弦长。

19．（8分）一个正三棱锥P —ABC 的三视图如图所示，尺寸单位：cm . 求⑴正三棱锥P —ABC 的表面积； ⑵正三棱锥P —ABC 的体积。

俯视图
侧视图
正视图
1212
20.（8分）已知圆C ：x 2+y 2-8y+12=0和直线l ：mx+y+2m=0.
(1) 当m 为何值时，直线l 与圆C 相切；
(2) 当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且22 AB 时，求直线l 的方程。