“绳、杆”模型,在竖直平面内的,圆周运动中的应用分析

“绳、杆”模型在竖直平面内的圆周运动中的应用分析一、真题再现二、考向预测：【预测1】 (多选)如图所示，半径为R 的内壁光滑的圆轨道竖直固定在桌面上，一个可视为质点的质量为m 的小球静止在轨道底部A 点。

现用小锤沿水平方向快速击打小球，使小球在极短的时间内获得一个水平速度后沿轨道在竖直面内运动。

当小球回到A 点时，再次用小锤沿运动方向击打小球，通过两次击打，小球才能运动到圆轨道的最高点。

已知小球在运动过程中始终未脱离轨道，在第一次击打过程中小锤对小球做功W 1，第二次击打过程中小锤对小球做功W 2。

设先后两次击打过程中小锤对小球做功全部用来增加小球的动能，则W 1W 2的值可能是( )A.34B.13C.23D.1解析： 第一次击打后球最多到达与球心O 等高位置，根据功能关系，有W 1≤mgR，两次击打后球可以运动到轨道最高点，根据功能关系，有W 1＋W 2－2mgR ＝12mv 2，在最高点有mg ＋N ＝m v 2R ≥mg，由以上各式可解得W 1≤mgR，W 2≥32mgR ，因此W 1W 2≤23，B 、C 正确。

答案 BC【预测2】某次摩托车的特技表演可简化为如下模型，AB 是长度为x 的水平面，BC 是半径为2R 的四分之一圆弧，DEG 是半径为R 的四分之三圆弧，D 点在C 点正上方，G 点距右侧水平面高度为R 。

质量为m 的摩托车(可视为质点)在大小恒定的牵引力F 作用下从A 点由静止出发，牵引力在ABC 段的大小恒为F ，摩托车经过C 点时关闭发动机，之后沿竖直方向从D 点进入上面的轨道做圆周运动，从G 点脱离上方轨道，进入右侧水平面，已知重力加速度为g ，假设在ABC 段摩托车所受阻力恒定，且为重力的k 倍，忽略其在DEG 及空气中所受的阻力。

(1)为了摩托车能安全通过轨道，求力F 的最小值；(2)若摩托车离开C 点的速度大小是10gR ，判断摩托车能否安全通过上方圆弧轨道。

若不能通过，计算在C 点时应具有的最小速度，若能通过，求摩托车落在右侧水平面的位置距离C 点多远。

解析： (1)当摩托车恰好能到达E 点时，此时力F 为最小值，在E 点有mg ＝m v 2ER，设在C 点的速度大小为v 0，从C 点到E 点根据动能定理可得－mg·3R ＝12mv 2E －12mv 20，解得v 0＝7gR ， 对ABC 段由动能定理可得(F －kmg)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋14·2π·2R －mg·2R＝12mv 20，代入解得F ＝11mgR2（x ＋πR ）＋kmg 。

(2)因为v C >v 0，所以摩托车可以安全通过上方圆弧轨道。

设摩托车过G 点速度大小为v G ，根据机械能守恒定律可得 12mv 2C ＝mgR ＋12mv 2G ， 过G 点后，摩托车做平抛运动，有R ＝12gt 2，在水平方向有x ＝v G t ，代入可得x ＝4R ， 所以距离C 点Δx ＝x －R ＝3R 。

答案 (1)11mgR2（x ＋πR ）＋kmg (2)见解析二、课时强化训练一、选择题(1～6题为单项选择题，7～10题为多项选择题) 1.在地面上方某点将一小球以一定的初速度沿水平方向抛出，不计空气阻力，则小球在随后的运动中( ) A.速度和加速度的方向都在不断改变 B.速度与加速度方向之间的夹角一直减小 C.在相等的时间间隔内，速率的改变量相等 D.在相等的时间间隔内，动能的改变量相等 答案： B2.某物理兴趣小组的同学在研究运动的合成和分解时，驾驶一艘快艇进行了实地演练。

如图所示，在宽度一定的河中的O 点固定一目标靶，经测量该目标靶距离两岸的最近距离分别为MO ＝15 m 、NO ＝12 m ，水流的速度平行河岸向右，且速度大小为v 1＝8 m/s ，快艇在静水中的速度大小为v 2＝10 m/s 。

现要求快艇从图示中的下方河岸出发完成以下两个过程：第一个过程以最短的时间运动到目标靶；第二个过程由目标靶以最小的位移运动到图示中的上方河岸，则下列说法正确的是( )A.快艇的出发点位于M 点左侧8 m 处B.第一个过程所用的时间约为1.17 sC.第二个过程快艇的船头方向应垂直河岸D.第二个过程所用的时间为2 s解析： 快艇在水中一方面航行前进，另一方面随水流向右运动，当快艇的速度方向垂直于河岸时，到达目标靶的时间最短，所以到达目标靶所用时间t ＝MOv 2＝1.5 s ，快艇平行河岸向右的位移为x ＝v 1t ＝12 m ，则出发点应位于M 点左侧12 m 处，A 、B 错误；第二个过程要求位移最小，因此快艇应垂直到达对岸，则船头应指向河岸的上游，C 错误；要使快艇由目标靶到达正对岸，快艇的位移为12 m ，快艇的实际速度大小为v ＝v 22－v 21＝6 m/s ，所用的时间为t′＝NOv＝2 s ，D 正确。

答案 D3.某兴趣小组设计了一个滚筒式炒栗子机器，滚筒内表面粗糙，内直径为D ，工作时滚筒绕固定的水平中心轴转动。

为使栗子受热均匀，要求栗子到达滚筒最高处前与筒壁脱离，则( )A.滚筒的角速度应满足ω<2g DB.滚筒的角速度应满足ω>2g DC.栗子脱离滚筒的位置与其质量有关D.若栗子到达最高点时脱离滚筒，栗子将自由下落解析： 若栗子恰好在最高点脱离筒壁，则有mg ＝m·D 2ω2，解得ω＝2gD，要求栗子到达滚筒最高处前与筒壁脱离，则ω<2g D，选项A 正确，B 错误；栗子脱离滚筒的位置与其质量无关，选项C 错误；若栗子到达最高点脱离滚筒，由于栗子的速度不为零，栗子的运动不是自由落体运动，选项D 错误。

答案 A4.2016年12月11日，新一代静止轨道定量遥感气象卫星“风云四号”在西昌卫星发射中心成功发射。

若该卫星绕地飞行的三条轨道如图所示，其中轨道1是近地圆形轨道，轨道2和3是变轨后的椭圆轨道，它们相切于A 点。

卫星在轨道1上运行时经过A 点的速率为v ，加速度大小为a 。

下列说法正确的是(假设卫星的质量不变)( )A.卫星在轨道2上经过A点时的速率大于vB.卫星在轨道2上经过A点时的加速度大于aC.卫星在轨道2上运行的周期大于在轨道3上运行的周期D.卫星在轨道2上具有的机械能大于在轨道3上具有的机械能解析：卫星在轨道1上运行经过A点时，只有速度增大，才能由轨道1变轨到轨道2，故卫星在轨道2上经过A点时的速率大于v，选项A正确；在同一点，卫星所受的万有引力大小相等，故卫星在轨道2上经过A点时的加速度仍等于a，选项B错误；根据开普勒第三定律，可知卫星在轨道2上运行的周期小于在轨道3上运行的周期，选项C错误；卫星在轨道2上运行经过A点时，只有速度增大，才能由轨道2变轨到轨道3，同时势能也要增加，故卫星在轨道3上具有的机械能大于在轨道2上具有的机械能，选项D错误。

答案 A5.我国首颗量子科学实验卫星于2016年8月16日1点40分成功发射。

量子卫星成功运行后，我国将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信，构建天地一体化的量子保密通信与科学实验体系。

假设量子卫星轨道在赤道平面，如图所示。

已知量子卫星的轨道半径是地球半径的m倍，同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，图中P点是地球赤道上一点，由此可知( )A.同步卫星与量子卫星的运行周期之比为n 3m 3B.同步卫星与P 点的速度之比为1nC.量子卫星与同步卫星的速度之比为nmD.量子卫星与P 点的速度之比为n 3m解析： 由开普勒第三定律，R 3同R 3量＝T 2同T 2量可知，T 2同T 2量＝n 3m3，可知同步卫星与量子卫星的运行周期之比为n 3m 3，选项A 错误；由于同步卫星的周期与地球自转周期相同，由v ＝ωr ＝2πT r 可得同步卫星与P 点的速度之比为v 同∶v P ＝n∶1，选项B 错误；由G Mm r 2＝m v 2r ，解得v ＝GM r，量子卫星与同步卫星的速度之比为v 量v 同＝R 同R 量＝nm，选项C 错误；量子卫星与P 点的速度之比为v 量v P ＝v 量v 同·v 同v P ＝n 3m，选项D 正确。

答案 D6.如图所示，固定在竖直面内、半径均为R 的两段四分之一光滑圆弧轨道AB 、CD 与粗糙水平轨道BC 分别相切于B 点和C 点，圆弧CD 的圆心O 2在水平地面上。

现将质量为m 的小球从圆弧轨道AB 上A 点下面某个位置由静止释放，结果小球落在水平地面上的E 点，且小球运动到圆弧轨道CD 上的C 点时对轨道的压力为零；再将小球在圆弧轨道AB 上释放的位置适当提高些，结果小球落在水平地面上的F 点。

空气阻力不计，重力加速度为g 。

下列判断正确的是( )A.O 2E>2RB.小球两次在C 点的速度均为gRC.小球第二次从B 点运动到F 点的时间比第一次从B 点运动到E 点的时间长D.若再次改变小球的高度，小球到达B 点时的速度为gR ，则小球在该点时对圆弧轨道的压力大小为2mg解析： 小球第一次运动到圆弧轨道CD 上的C 点时对轨道的压力为零，所以有mg ＝m v 2CR ，解得v C ＝gR ，根据平抛运动的规律有O 2E ＝v C2Rg＝2R ，所以选项A 错误；小球第二次在C 点的速度大于gR ，选项B 错误；因为第二次在BC 面上运动的时间短，小球第二次从B 点运动到F 点的时间比第一次从B 点运动到E 点的时间短，选项C 错误；在B 点根据向心力公式可得F NB －mg ＝m v 2BR ，若小球到达B 点时的速度v B ＝gR ，可解得F NB ＝2mg ，选项D 正确。

答案 D7.学校组织“骑车投球”比赛，甲、乙两参赛者沿规定直轨道匀速骑行过程中，将手中网球沿垂直于骑行方向水平抛向地面上的塑料筐O 中，如图所示，A点是轨道上离筐最近的点。

甲以3 m/s的速度骑行，在B点将网球以速度v水平抛出，网球恰好落入筐中；乙以4 m/s的速度骑行，要想将球投入筐中，乙参赛者应(不计空气阻力)( )A.在到达B点之后将球抛出B.在到达B点之前将球抛出C.将球也以速度v水平抛出D.将球以大于v的速度水平抛出解析：竖直方向上做自由落体运动，两次网球的运动时间相同，水平方向网球有两个分运动：分别是沿骑行方向与车相同的速度和抛出的速度，垂直于骑行方向上水平距离相等，则两次球抛出的速度相同，C项正确，D项错误；由于乙的骑行速度大，网球沿骑行方向的速度大，而运动时间相同，故乙应在到达B点之前将球抛出，A项错误，B项正确。

答案BC8.如图所示，在水平转台的光滑水平横杆上穿有两个质量分别为2m 和m的小球A和B，A、B间用劲度系数为k的轻质弹簧连接，弹簧的自然长度为L，转台的直径为2L，当转台以角速度ω绕竖直轴匀速转动时，如果A、B仍能相对横杆静止而不碰左右两壁，则( )A.小球A和B具有相同的角速度B.小球A和B做圆周运动的半径之比为1∶2C.若小球不与壁相碰，则ω>k mD.若小球不与壁相碰，则ω<k 2m解析：A、B两球共轴转动，角速度相同，故A正确；两球靠弹簧的弹力提供向心力，知两球向心力大小相等，2mr1ω2＝mr2ω2，解得r1∶r2＝1∶2，故B正确；转台的直径为2L，则r2<L。