2.4二次函数与幂函数

合集下载

高三数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.4二次函数与幂函数课件

解析：(1)由于 f(x)有两个零点 0 和－2，所以可设 f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)。这时 f(x)＝ax(x＋2)＝a(x＋1)2－a，由于 f(x)有最小值－1，
所以必有－a>a0＝，－1，解得 a＝1。因此 f(x)的解析式是 f(x)＝x(x＋2)＝x2＋2x。
25
(2)若 g(x)与 f(x)图象关于原点对称，求 g(x)解析式。解析：(2)设点 P(x，y)是函数 g(x)图象上任一点，它关于原点对称的点 P′(－x，－y)必在 f(x)图象上，所以－y＝(－x)2＋2(－x)，即－y＝x2－2x，y＝－x2＋2x，故 g(x)＝－x2＋2x。
解析：因为函数 f(x)＝4x2－mx＋5 的单调递增区间为m8 ，＋∞，所以m8 ≤2，即 m≤16。
答案：(－∞，16]
16
5．设函数 f(x)＝mx2－mx－1，若 f(x)＜0 的解集为 R，则实数 m 的取值范围是 __________。
m＜0，解析：当 m＝0 时，显然成立；当 m≠0 时，Δ＝－m2＋4m＜0，解得－4＜m ＜0。综上可知，实数 m 的取值范围是(－4,0]。答案：(－4,0]
26
►名师点拨二次函数解析式的求法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下： (1)已知三个点坐标，宜选用一般式； (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式； (3)已知图象与 x 轴两交点坐标，宜选用两根式。
27
通关特训 2 已知二次函数 f(x)同时满足条件： (1)f(1＋x)＝f(1－x)； (2)f(x)的最大值为 15； (3)f(x)＝0 的两根平方和等于 17。求 f(x)的解析式。解析：依条件，设 f(x)＝a(x－1)2＋15 (a<0)，即 f(x)＝ax2－2ax＋a＋15。令 f(x)＝0，即 ax2－2ax＋a＋15＝0， ∴x1＋x2＝2，x1x2＝1＋1a5。 x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－21＋1a5＝2－3a0＝17， ∴a＝－2，∴f(x)＝－2x2＋4x＋13。

2.4幂函数与二次函数课件高三数学一轮复习

单调递减，则 n 的值为( B )
A．－3
B．1
C．2
D．1 或 2
【解析】由于 f(x)为幂函数，所以 n2＋2n－2＝1，解得 n＝1 或 n＝－3，经检验只有 n＝1 符合题意，故选 B.
12
12
11
3．若 a＝ 2 3 ，b＝ 5 3 ，c＝ 2 3 ，则 a，b，c 的大小关系是( D )
A．a<b<c
B．c<a<b
C．b<c<a
D．b<a<c
【解析】
∵y＝x
2 3
(x>0)是增函数，∴a＝12
2 3
>b＝15
2 3
.∵y＝12x 是减函数，
∴a＝12
2 3
<c＝12
1 3
，∴b<a<c.故选
D.
考点二求二次函数的解析式
【例 1】已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数的解析式．
【思路探索】根据 f(2)，f(－1)可设一般式；根据 f(x)的最大值为 8，可设顶点式；根据隐含的 f(2)＋1＝0，f(－1)＋1＝0 可考虑零点式．
【解】解法一(利用一般式)：设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
4a＋2b＋c＝－1，由题意得4aa－c4－ba＋b2c＝＝8－，1，
上单调
在x∈－2ba，＋∞上单调递减
函数的图象关于 x＝－2ba 对称
提醒：二次函数系数的特征 (1)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，系数 a 的正负决定图象的开口方向及开口大小． (2)－2ba的值决定图象对称轴的位置． (3)c 的取值决定图象与 y 轴的交点． (4)b2－4ac 的正负决定图象与 x 轴的交点个数．

2.4 二次函数与幂函数

)
1 1 【解析】因为当 x＞1 时，x＞x ，当 x＝1 时，x＝x ，所以 A、 3 3 C、D 错误．
【答案】 B
4．函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(－5，－3) 上( ) B．先增后减 D．单调递增
A．先减后增 C．单调递减
【解析】 ∵f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数， ∴2m＝0，∴m＝0. 则f(x)＝－x2＋3在(－5，－3)上是增函数．【答案】 D
∴f(x)＝1⇔(x＋2t)(x－1)＝0，(*) ∴x＝1 是方程(*)的根，即 f(1)＝1. 因此 x＝1 是 f(x)＝1 的实根，即 f(x)必有实根． 1 3 (2)当＜t＜时，f(－1)＝3－4t＞0. 2 4 1 f(0)＝1－2t＝2( －t)＜0. 2 1 1 1 3 f( )＝＋ (2t－1)＋1－2t＝－t＞0. 2 4 2 4 又函数 f(x)的图象连续不间断． 1 因此 f(x)＝0 在区间(－1,0)及(0， )上各有一个实根． 2
【思路点拨】 (1)由条件，寻找a，b，c满足的方程，从而求出函数f(x)的解析式；(2)根据绝对值定义，将g(x)转化二次函数(分段)，根据二次函数的图象和性质，利用零点存在定理判定．
【尝试解答】 ∴c＝0，
(1)由 f(x)＝ax2＋bx＋c，且 f(0)＝0，
1 1 又对任意 x∈R，有 f(－2＋x)＝f(－2－x) 1 ∴f(x)图象的对称轴为直线 x＝－2， 1 b 则－2a＝－2，∴a＝b，由于 f(x)≥x，即 ax2＋(b－1)x≥0 对∀x∈R 成立， ∴a＞0，且 Δ＝(b－1)2≤0，故 a＝b＝1. 所以 f(x)＝x2＋x.
【解】由f(x)在(0，＋∞)上是减函数． ∴m2＋m－2＜0，解之得－2＜m＜1，

2020版高考数学历史专用讲义：第二章 2.4 幂函数与二次函数

§2.4 幂函数与二次函数最新考纲 1.通过实例，了解幂函数的概念.2.结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y＝1x ，y ＝12x 的图象，了解它们的变化情况.3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1．幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝12xy ＝x －1图象性质定义域 R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R 上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增在R 上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点 (1,1)2.二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 R R值域⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递减；在x ∈⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增在x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增；在x ∈⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于直线x ＝－b2a对称概念方法微思考1．二次函数的解析式有哪些常用形式？提示 (1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式：y ＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； (3)零点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．2．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，写出f (x )≥0恒成立的条件．提示 a >0且Δ≤0.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.( × ) (2)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( √ )(3)函数y ＝122x 是幂函数．( × )(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ ) (5)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．( × ) 题组二教材改编2．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案 C解析由幂函数的定义，知⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，22＝k ·⎝⎛⎭⎫12α.∴k ＝1，α＝12.∴k ＋α＝32.3．已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥3 B ．a ≤3 C ．a <－3 D ．a ≤－3答案 D解析函数f (x )＝x 2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x ＝－2a ，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x ＝－2a 的左侧， ∴－2a ≥6，解得a ≤－3，故选D. 题组三易错自纠 4．幂函数f (x )＝21023a a x－＋(a ∈Z )为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 C解析因为a 2－10a ＋23＝(a －5)2－2， f (x )＝2(5)2a x－－(a ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，所以(a －5)2－2<0，从而a ＝4,5,6，又(a －5)2－2为偶数，所以只能是a ＝5，故选C.5．已知函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1,1]，则y 的最小值是______．答案－1解析函数y ＝2x 2－6x ＋3的图象的对称轴为x ＝32>1，∴函数y ＝2x 2－6x ＋3在[－1,1]上单调递减，∴y min ＝2－6＋3＝－1.6．设二次函数f (x )＝x 2－x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则f (m －1)________0.(填“>”“<”或“＝”) 答案 >解析 f (x )＝x 2－x ＋a 图象的对称轴为直线x ＝12，且f (1)>0，f (0)>0，而f (m )<0，∴m ∈(0,1)，∴m －1<0，∴f (m －1)>0.题型一幂函数的图象和性质1．若幂函数的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，14，则它的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，0)答案 D解析设f (x )＝x α，则2α＝14，α＝－2，即f (x )＝x －2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．故选D.2.若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在同一坐标系中的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．d >c >b >aB ．a >b >c >dC ．d >c >a >bD ．a >b >d >c 答案 B解析由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x 轴，由题图知a >b >c >d ，故选B. 3．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)23n nx－(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2 答案 B解析由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意，故选B.4．(2018·潍坊模拟)若(a ＋1)13－<(3－2a )13－，则实数a 的取值范围是____________．答案 (－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫23，32 解析不等式(a ＋1)13－<(3－2a )13－等价于a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ，解得a <－1或23<a <32.思维升华 (1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．题型二求二次函数的解析式例1 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________________．答案 f (x )＝x 2－2x ＋3 解析由f (0)＝3，得c ＝3，又f (1＋x )＝f (1－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴b2＝1，∴b ＝2， ∴f (x )＝x 2－2x ＋3.(2)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x解析设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a 24a＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .思维升华求二次函数解析式的方法跟踪训练1 (1)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a ≠0)，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x ＋1解析设函数f (x )的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a (a ≠0)，又f (x )＝ax 2＋bx ＋1，所以a ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝________. 答案 x 2－4x ＋3解析因为f (2－x )＝f (2＋x )对任意x ∈R 恒成立，所以f (x )图象的对称轴为直线x ＝2.又因为f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，所以f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)，又f (x )的图象过点(4,3)，所以3a ＝3，即a ＝1，所以f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.题型三二次函数的图象和性质命题点1 二次函数的图象例2 (2018·重庆五中模拟)一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )答案 C解析若a >0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，故可排除A ；若a <0，一次函数y ＝ax ＋b 为减函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，故可排除D ；对于选项B ，看直线可知a >0，b >0，从而－b2a <0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故应排除B ，选C. 命题点2 二次函数的单调性例3 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．(－∞，－3] C ．[－2,0] D ．[－3,0]答案 D解析当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a，由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减，知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a 2a ≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3,0]．引申探究若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________. 答案－3解析由题意知f (x )必为二次函数且a <0，又3－a 2a ＝－1，∴a ＝－3. 命题点3 二次函数的最值例4 已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值．解 f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3. 综上可知，a 的值为38或－3.引申探究将本例改为：求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值．解 f (x )＝(x ＋a )2＋1－a 2，∴f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－a . (1)当－a <12即a >－12时，f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5，(2)当－a ≥12即a ≤－12时，f (x )max ＝f (－1)＝2－2a ，综上，f (x )max＝⎩⎨⎧4a ＋5，a >－12，2－2a ，a ≤－12.命题点4 二次函数中的恒成立问题例5 (1)已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，若不等式f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，则实数m 的取值范围为____________．答案 (－∞，－1)解析设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以a ＝1，b ＝－1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝⎛⎭⎫x －322－54－m ，x ∈[－1,1]，g (x )在[－1,1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，所以m <－1.(2)函数f (x )＝a 2x ＋3a x －2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则a 的最大值为________．答案 2解析令a x ＝t ，因为a >1，x ∈[－1,1]，所以1a≤t ≤a ，原函数化为g (t )＝t 2＋3t －2，t ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，显然g (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上单调递增，所以f (x )≤8恒成立，即g (t )max ＝g (a )≤8恒成立，所以有a 2＋3a －2≤8，解得－5≤a ≤2，又a >1，所以a 的最大值为2. 思维升华解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．跟踪训练2 (1)函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是( ) A ．b ≥0 B ．b ≤0 C ．b >0 D ．b <0答案 A解析 ∵函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数，∴图象的对称轴x ＝－b2在区间[0，＋∞)的左边或－b 2＝0，即－b2≤0，得b ≥0.(2)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值为________．答案－1或3解析由于函数f (x )的值域为[1，＋∞)，所以f (x )min ＝1.又f (x )＝(x －a )2－a 2＋2a ＋4，当x ∈R 时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋2a ＋4＝1，即a 2－2a －3＝0，解得a ＝3或a ＝－1.(3)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析由题意得a >2x －2x 2对1<x <4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝⎛⎭⎫1x －122＋12，14<1x <1， ∴⎝⎛⎭⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12.数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图象的影响，进行分类讨论．例设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．解 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1. 当t ＋1≤1，即t ≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t <1<t ＋1，即0<t <1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t ≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t ≤0，1，0<t <1，t 2－2t ＋2，t ≥1.1．幂函数y ＝f (x )经过点(3，3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数答案 D解析设幂函数的解析式为y ＝x α，将(3，3)代入解析式得3α＝3，解得α＝12，∴y ＝12x ，故选D. 2.幂函数y ＝24m mx－(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C 解析 ∵y ＝24m mx－(m ∈Z )的图象与坐标轴没有交点，∴m 2－4m <0，即0<m <4.又∵函数的图象关于y 轴对称且m ∈Z ， ∴m 2－4m 为偶数，∴m ＝2. 3．若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·268m m x －＋在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( )A ．1或3B ．1C ．3D ．2 答案 B解析由题意得m 2－4m ＋4＝1，m 2－6m ＋8>0，解得m ＝1.4．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，120 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－120 C.⎝⎛⎭⎫120，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－120，0 答案 C解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－20a <0，得a >120.5．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0 D ．a <0,2a ＋b ＝0答案 A解析由f (0)＝f (4)，得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－b2a＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，f (4)>f (1)，∴f (x )先减后增，于是a >0，故选A.6．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ，x ∈[0,1]有最大值2，则a 等于( ) A ．2 B ．0 C ．0或－1 D ．2或－1答案 D解析函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，其图象的对称轴方程为x ＝a .当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，所以a ＝－1；当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0，所以a ＝1±52(舍去)；当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.7．已知f (x )＝x 2，g (x )＝12x ，h (x )＝x －2，当0<x <1时，f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是________________．答案 h (x )>g (x )>f (x )解析分别作出f (x )，g (x )，h (x )的图象如图所示，可知h (x )>g (x )>f (x )．8．已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，49，且方程f (x )＝0的两个实根之差的绝对值等于7，则此二次函数的解析式是________________．答案 f (x )＝－4x 2－12x ＋40解析设f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋322＋49(a ≠0)，方程a ⎝⎛⎭⎫x ＋322＋49＝0的两个实根分别为x 1，x 2，则|x 1－x 2|＝2 －49a＝7，所以a ＝－4，所以f (x )＝－4x 2－12x ＋40.9．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝⎛⎭⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值范围是______________．答案 [7，＋∞)解析函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝⎛⎭⎫12，1上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x ＝a －12或与直线x ＝12重合或位于直线x ＝12的左侧，即应有a －12≤12，解得a ≤2，所以f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f (2)≥7.10．设函数f (x )＝－2x 2＋4x 在区间[m ，n ]上的值域是[－6，2]，则m ＋n 的取值范围是______________．答案 [0,4]解析令f (x )＝－6，得x ＝－1或x ＝3；令f (x )＝2，得x ＝1.又f (x )在[－1,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，∴当m ＝－1，n ＝1时，m ＋n 取得最小值0；当m ＝1，n ＝3时，m ＋n 取得最大值4.11．(2018·河南南阳一中月考)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎭⎫－22，0 解析因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足 ⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0. 12．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，函数图象的对称轴为x ＝－32∈[－2,3]， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，∴f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－214，15. (2)函数图象的对称轴为直线x ＝－2a －12. ①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3， ∴6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意； ②当－2a －12>1，即a <－12时， f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1，满足题意．综上可知，a ＝－13或－1.13.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b .其中正确的是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③ 答案 B解析因为图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b 2a ＝－1,2a －b ＝0，②错误；结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误；由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a .又函数图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a <b ，④正确．14．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________．答案 (－∞，－5]解析方法一 ∵不等式x 2＋mx ＋4<0对x ∈(1,2)恒成立，∴mx <－x 2－4对x ∈(1,2)恒成立，即m <－⎝⎛⎭⎫x ＋4x 对x ∈(1,2)恒成立，令y ＝x ＋4x ，x ∈(1,2)，则函数y ＝x ＋4x在x ∈(1,2)上是减函数．∴4<y <5，∴－5<－⎝⎛⎭⎫x ＋4x <－4，∴m ≤－5.方法二设f (x )＝x 2＋mx ＋4，当x ∈(1,2)时，由f (x )<0恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5，m ≤－4，即m ≤－5.15．若函数φ(x )＝x 2＋m |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，求实数m 的取值范围．解当0≤x <1时，φ(x )＝x 2－mx ＋m ，此时φ(x )单调递增，则m 2≤0，即m ≤0；当x ≥1时，φ(x )＝x 2＋mx －m ，此时φ(x )单调递增，则－m 2≤1，即m ≥－2.综上，实数m 的取值范围是[－2,0]．16．是否存在实数a ∈[－2,1]，使函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由．解 f (x )＝(x －a )2＋a －a 2，当－2≤a <－1时，f (x )在[－1,1]上为增函数，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝－2，f (1)＝2，得a ＝－1(舍去)；当－1≤a ≤0时，由⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝－2，f (1)＝2，得a ＝－1；当0<a ≤1时，由⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝－2，f (－1)＝2，得a 不存在；综上可得，存在实数a 满足题目条件，a ＝－1.。

高考数学大一轮总复习第二章函数、导数及其应用 2.4 二次函数与幂函数名师课件文北师大版

_奇__函__数____
__非__奇__非__偶_ __函__数_____
__奇__函__数___
函数
单调性
y＝x
y＝x2
y＝x3
在__(_－__∞__，__0_) _
_在__R_上__单___ 上__单__调__递__减__，_ _在__R__上__单__ 调__递__增___ 在__(_0_，__＋__∞__)上_ _调__递__增____
2

D.

52－1，2
【解析】因为函数 y＝x21的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，
所以不等式等价于 2mm2＋＋m1≥－01，≥0， 2m＋1>m2＋m－1。
解 2m＋1≥0，得 m≥－12；
－解 m2＋m－1≥0，得 m≤
25－1或 m≥
52－1。
解 2m＋1>m2＋m－1，得－1<m<2，
1
(2)幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x2，y＝x－1 的图像与性质
函数
y＝x
定义域
R
值域
R
奇偶性 _奇__函__数____
y＝x2 R
_{_y_|y_≥__0_}_
_偶__函__数Biblioteka __y＝x3y＝x－1
R
__{x_|_x_≥__0_}_ _{_x_|x_≠__0_}__
R
__{_y|_y_≥__0_} __{_y_|y_≠__0_}_
解析正确。由幂函数的图像可知。
(6)关于
x
的不等式
ax2＋bx＋c>0
a>0，恒成立的充要条件是b2－4ac<0。
( × )解析错误。当 a＝0，b＝0，c>0 时也恒成立。ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒

2020届高三理数一轮讲义：2.4-幂函数与二次函数(练习版)

第4节幂函数与二次函数最新考纲 1.了解幂函数的概念；结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x 的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.知识梳理1.幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点.(2)二次函数的图象和性质函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象(抛物线)定义域 R值域 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a对称轴 x ＝－b2a顶点坐标 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上是减函数；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上是增函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上是增函数；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上是减函数 [微点提醒]1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎨⎧a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎨⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝2x13是幂函数.()(2)当n>0时，幂函数y＝x n在(0，＋∞)上是增函数.()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数.()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是4ac－b24a.()2.(必修1P79T1改编)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫12，22，则k＋α＝()A.12 B.1 C.32 D.23.(必修1P44A9改编)若函数f(x)＝4x2－kx－8在[－1，2]上是单调函数，则实数k的取值范围是________.4.(2016·全国Ⅲ卷)已知a＝243，b＝323，c＝2513，则()A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b5.(2019·衡水中学月考)若存在非零的实数a，使得f(x)＝f(a－x)对定义域上任意的x恒成立，则函数f(x)可能是()A.f(x)＝x2－2x＋1B.f(x)＝x2－1C.f(x)＝2xD.f(x)＝2x＋16.(2018·成都诊断)幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·x m2－6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为________.考点一幂函数的图象和性质【例1】(1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是()(2)若a＝⎝⎛⎭⎪⎫1223，b＝⎝⎛⎭⎪⎫1523，c＝⎝⎛⎭⎪⎫1213，则a，b，c的大小关系是()A.a <b <cB.c <a <bC.b <c <aD.b <a <c规律方法 1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 【训练1】 (1)(2018·洛阳二模)已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12在幂函数f (x )＝(a －1)x b 的图象上，则函数f (x )是( )A.奇函数B.偶函数C.定义域内的减函数D.定义域内的增函数 (2)(2018·上海卷)已知α∈⎩⎨⎧－2，－1，－12，⎭⎬⎫12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.考点二二次函数的解析式【例2】 (一题多解)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.规律方法求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：【训练2】已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.考点三二次函数的图象及应用【例3】(1)对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是()(2)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，已知f(m)<0，则()A.f(m＋1)≥0B.f(m＋1)≤0C.f(m＋1)>0D.f(m＋1)<0规律方法 1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.【训练3】一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是()考点四二次函数的性质多维探究角度1二次函数的单调性与最值【例4－1】已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6].(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数.角度2二次函数的恒成立问题【例4－2】(2019·浙江“超级全能生”模拟)已知在(－∞，1]上递减的函数f(x)＝x2－2tx ＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数t的取值范围是() A.[－2，2] B.[1，2]C.[2，3]D.[1，2]规律方法 1.二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.【训练4】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R且a≠0)，x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围.[思维升华]1.幂函数y＝xα的性质和图象，由于α的取值不同而比较复杂，一般可从三方面考查：(1)α的正负：α>0时图象经过(0，0)点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0时图象不过(0，0)点，经过(1，1)点，在第一象限的部分“下降”；(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时曲线下凹，0<α<1时曲线上凸，α<0时曲线下凹；(3)函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性.2.求二次函数的解析式就是确定函数式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中a，b，c的值.应根据题设条件选用适当的表达形式，用待定系数法确定相应字母的值.3.二次函数与一元二次不等式密切相关，借助二次函数的图象和性质，可直观地解决与不等式有关的问题.4.二次函数的单调性与对称轴紧密相连，二次函数的最值问题要根据其图象以及所给区间与对称轴的关系确定.[易错防范]1.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.2.对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2019·济宁联考)下列命题正确的是()A.y＝x0的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1)C.若幂函数y＝xα是奇函数，则y＝xα是增函数D.幂函数的图象不可能出现在第四象限2.若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数f(x)()A.在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增B.在(－∞，3)上递增C.在[1，3]上递增D.单调性不能确定3.(2019·安阳模拟)已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为()A.1B.0C.－1D.24.(2018·岳阳一中质检)已知函数y＝ax2＋bx－1在(－∞，0]是单调函数，则y＝2ax＋b的图象不可能是()5.(2019·巢湖月考)已知p：|m＋1|<1，q：幂函数y＝(m2－m－1)x m在(0，＋∞)上单调递减，则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题6.已知函数f(x)为幂函数，且f(4)＝12，则当f(a)＝4f(a＋3)时，实数a等于________.7.(2019·泉州质检)若二次函数f(x)＝ax2－x＋b(a≠0)的最小值为0，则a＋4b的取值范围是________.8.已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是________.三、解答题9.已知奇函数y＝f(x)定义域是R，当x≥0时，f(x)＝x(1－x).(1)求出函数y＝f(x)的解析式；(2)写出函数y＝f(x)的单调递增区间.(不用证明，只需直接写出递增区间即可)10.已知幂函数f (x )＝(m －1)2xm 2－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k . (1)求m 的值；(2)当x ∈[1，2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2019·武汉模拟)幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A (1，0)，B (0，1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a ，y ＝x b 的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么a －1b＝( )A.0B.1C.12D.212.(2017·浙江卷)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A.与a 有关，且与b 有关B.与a 有关，但与b 无关C.与a 无关，且与b 无关D.与a 无关，但与b 有关13.已知函数f (x )＝mx 2＋(2－m )x ＋n (m >0)，当－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1恒成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝________.14.已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围.。

高考数学复习第二章函数概念与基本初等函数I2.4二次函数与幂函数文市赛课公开课一等奖省优质课获奖

单调性在x∈ －2ba，＋∞ 上单调递增
在x∈ －2ba，＋∞ 上单调递减
对称性 • 函数图象关于x＝对称
－2ba
6/61
2.幂函数 (1)定义：普通地，形如 y＝xα 函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. (2)幂函数图象比较几何画板展示
7/61
(3)幂函数性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②幂函数图象过定点(1，1)； ③当α>0时，幂函数图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ④当α<0时，幂函数图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
3－a x＝ 2a ，
由
a<0， f(x)在[－1，＋∞)上递减知32－aa≤－1，
解得－3≤a＜0.
综上，a取值范围为[－3，0].
22/61
引申探究若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1单调减区间是[－1，＋∞)，则a＝___－__3.
答案解析
由题意知a<0，又32－aa＝－1，∴a＝－3.
17/61
(2)已知二次函数f(x)图象经过点(4，3)，它在x轴上截得线段长为2，而且
对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)解析式.
解答
∵f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，∴f(x)对称轴为x＝2. 又∵f(x)图象被x轴截得线段长为2. ∴f(x)＝0两根为1和3. 设f(x)解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，又f(x)图象过点(4，3)， ∴3a＝3，a＝1， ∴所求f(x)解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.
23/61
命题点2 二次函数最值例3 已知函数f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求函数f(x)最小值.

课时作业13：§2.4二次函数与幂函数

§2.4二次函数与幂函数基础组1.已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x n2－3n(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或22．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的图象是( )3．定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2－x ，则当x ∈[－2，－1]时，f (x )的最小值为( ) A ．－116B ．－18C ．－14D ．04. 对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．[0,1]C ．[－2,0)D ．[－2,1)5．幂函数f (x )＝x α的图象过点(2,4)，那么函数f (x )的单调递增区间是( ) A ．(－2，＋∞) B ．[－1，＋∞) C ．[0，＋∞)D ．(－∞，－2)6．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若a ＝c ，则函数f (x )的图象不可能是( )7.已知函数f (x )＝a sin x －12cos2x ＋a －3a ＋12(a ∈R ，a ≠0)，若对任意x ∈R 都有f (x )≤0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－32，0 B ．[－1,0)∪(0,1] C ．(0,1]D ．[1,3]8．若二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，则f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝－x 2－x －1 B ．f (x )＝－x 2＋x －1 C ．f (x )＝x 2－x －1D ．f (x )＝x 2－x ＋19． “a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足条件：①f (3－x )＝f (x )；②f (1)＝0；③对任意实数x ，f (x )≥14a －12恒成立．则其解析式为f (x )＝________.11．已知二次函数图象的对称轴为x ＝－2，截x 轴所得的弦长为4，且过点(0，－1)，求函数的解析式．12．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2. (1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－2m x 在[2,4]上单调，求m 的取值范围．能力组13.已知函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间 (－5，－3)上( ) A ．先减后增 B ．先增后减 C ．单调递减D ．单调递增14．函数f (x )＝ax 2＋ax －1在R 上恒满足f (x )<0，则a 的取值范围是( ) A ．a ≤0B ．a <－4C．－4<a<0D．－4<a≤0答案D15．当0<x<1时，函数f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x-2的大小关系是________．16．是否存在实数a，使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1, 1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．参考答案基础组1. B【解析】由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1适合题意，故选B.2．A【解析】函数f (x )＝x 2＋bx ＋c图象的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－b 2，4c －b 24，则－b 2>0.f ′(x )＝2x ＋b ，令f ′(x )＝0，得x ＝－b2>0，即导函数f ′(x )的图象与x 轴的交点位于x 轴正半轴上，且斜率为正，故选A.3．A【解析】设x ∈[－2，－1]，则x ＋2∈[0,1]，则f (x ＋2)＝(x ＋2)2－(x ＋2)＝x 2＋3x ＋2，又f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝2f (x ＋1)＝4f (x )，∴f (x )＝14(x 2＋3x ＋2)∴当x ＝－32时，取到最小值为－116.4. D【解析】解不等式x 2－1－(4＋x )≥1，得x ≤－2或x ≥3.所以f (x )＝24,(,2][3,)1,(2,3)x x x x +∈-∞-+∞⎧⎨-∈-⎩ 其图象如下图实线所示，由图可知，当－2≤k <1时，函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，故选D.5． C【解析】因为函数过点(2,4)，所以4＝2α，α＝2，故f (x )＝x 2，单调增区间为[0，＋∞)，选C.6． D【解析】由A 、B 、C 、D 四个选项知，图象与x 轴均有交点，记两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，若只有一个交点，则x 1＝x 2.因为a ＝c ，所以x 1x 2＝ca ＝1，比较四个选项，可知选项D 的x 1<－1，x 2<－1，所以D 不满足．故选D.7. C【解析】化简函数得f (x )＝sin 2x ＋a sin x ＋a －3a.令t ＝sin x (－1≤t ≤1)，则g (t )＝t 2＋at ＋a－3a ，问题转化为使g (t )在[－1,1]上恒有g (t )≤0，即3(1)103(1)120g ag a a ⎧-=-≤⎪⎪⎨⎪=+-≤⎪⎩解得0<a ≤1，故选C. 8．D【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得221(1)(1)()2c a x b x c ax bx c x=⎧⎨++++-++=⎩ 故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝1，则f (x )＝x 2－x ＋1.故选D. 9．B【解析】函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数，则满足对称轴－－4a2＝2a ≤2，即a ≤1，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．10．x 2－3x ＋2【解析】依题意可设f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －322＋k ，由f (1)＝14a ＋k ＝0，得k ＝－14a ，从而f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －322－a 4≥14a －12恒成立，则－a 4≥14a －12，且a >0，即14a ＋a 4－12≤0，即a 2－2a ＋14a ≤0，且a >0，∴a ＝1. 从而f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －322－14＝x 2－3x ＋2.11．解 ∵二次函数图象的对称轴为x ＝－2，∴可设所求函数的【解析】式为f (x )＝a (x ＋2)2＋b .∵二次函数f (x )的图象截x 轴所得的弦长为4，∴f (x )过点(－2＋2,0)和(－2－2,0)．又二次函数f (x )的图象过点(0，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝02a ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－2.∴f (x )＝12(x ＋2)2－2.即f (x )＝12x 2＋2x －1.12．解 (1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . ①当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故(3)5(2)2f f =⎧⎨=⎩∴⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.②当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，故(3)5(2)2f f =⎧⎨=⎩∴⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.∴a ＝1，b ＝0或a ＝－1，b ＝3. (2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2，g (x )＝x 2－2x ＋2－2m x ＝x 2－(2＋2m )x ＋2.若g (x )在[2,4]上单调，则2＋2m 2≤2或2m ＋22≥4，∴2m ≤2或2m ≥6，即m ≤1或m ≥log 26.故m的取值范围是(－∞，1]∪[log 26，＋∞)．能力组13. D【解析】当m ＝1时，f (x )＝2x ＋3不是偶函数；当m ≠1时，f (x )为二次函数，要使其为偶函数，则其对称轴应为y 轴，故需m ＝0，此时f (x )＝－x 2＋3，其图象的开口向下，所以函数f (x )在(－5，－3)上单调递增，故选D.14．D【解析】当a ＝0时，f (x )＝－1在R 上恒有f (x )<0；当a ≠0时，∵f (x )在R 上恒有f (x )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0a 2＋4a <0，∴－4<a <0. 综上可知：－4<a ≤0. 15．h (x )>g (x )>f (x )【解析】如图所示为函数f (x )，g (x )，h (x )在(0,1)上的图象，由此可知，h (x )>g (x )>f (x )．16．解 f (x )＝(x －a )2＋a －a 2.当a <－1时，f (x )在[－1,1]上为增函数， ∴(1)132(1)12f a f a -=+=-⎧⎨=-=⎩ ⇒a ＝－1(舍去)；当－1≤a ≤0时，2()2(1)12f a a a f a ⎧=-=-⎨=-=⎩ ⇒a ＝－1；当0<a ≤1时，2()2(1)132f a a a f a ⎧=-=-⎨-=+=⎩ ⇒a 不存在；当a >1时，f (x )在[－1,1]上为减函数， ∴(1)132(1)12f a f a -=+=⎧⎨=-=⎩ ⇒a 不存在．综上可得a ＝－1.。

2.4 二次函数与幂函数

(2) f ( x) (log ) 2 log 3( x (4，8]).
x 2 2 x 2
问题探究（二）：利用二次函数求参数值 2 2 例2. 已知函数f ( x) x 2ax 1 a 在区间[0， ] 1 上的最大值为0，求实数a的值.
问题探究（二）：利用二次函数求参数值 2 例3. 已知函数f ( x) 3 x a (6 a ) x b. (1)若关于x的不等式f ( x) 0的解集为(1 2)，，求实数a，b的值；
问题探究（三）：利用幂函数的定义求参数值 2 m 例9. 已知幂函数f ( x) x (m N )的定义域为R，其图象关于原点对称. (1)求实数m的值；
问题探究（三）：利用幂函数的定义求参数值 2 m 例9. 已知幂函数f ( x) x (m N )的定义域为R，其图象关于原点对称.
问题探究（二）：利用二次函数求参数值 1 3 2 2 例4. 已知函数f ( x) x 2mx m m . 2 2 (2)若x (0， )，使不等式f ( x) 0恒成立，求实数m的取值范围.
问题探究（二）：利用二次函数求参数值例5. 已知x R，使不等式 sin 2 x 2m cos x 2m 2 0恒成立，求实数m的取值范围.
(2)解关于a的不等式(a 2) (5 2a) .
m 2 m 2
作业安排：
1. 课内练习：教材：练习； 2. 课外练习：教辅：习题.
问题探究（三）：利用幂函数的定义求参数值 m2 m2 例8. 已知幂函数f ( x) x ( m Z ) 是偶函数，且f ( 2) f (3). (1)求实数m的值；
问题探究（三）：利用幂函数的定义求参数值 m2 m2 例8. 已知幂函数f ( x) x ( m Z ) 是偶函数，且f ( 2) f (3). ( 2)试判断函数f ( x)的单调性，并给予证明 .

第二章 2.4 二次函数与幂函数

§2.4二次函数与幂函数知识梳理：1．二次函数：(1)二次函数解析式的三种形式：①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图像和性质(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)2.幂函数(1)定义：如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．(2)幂函数的图像比较(3)幂函数的性质比较课前检测：1．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)·xn 2－3n (n ∈Z )的图像关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( ) A ．－3B ．1C ．2D ．1或2 答案 B解析由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3.当n ＝1时，f (x )＝x－2＝1x 2，在(0，＋∞)上是减函数；当n ＝－3时，f (x )＝x 18，在(0，＋∞)上是增函数．故n ＝1符合题意，应选B.2．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为________．答案 [1,2] 解析 y ＝x 2－2x ＋3的对称轴为x ＝1.当m <1时，y ＝f (x )在[0，m ]上为减函数．∴y max ＝f (0)＝3，y min ＝f (m )＝m 2－2m ＋3＝2. ∴m ＝1与m <1矛盾，舍去．当1≤m ≤2时，y min ＝f (1)＝12－2×1＋3＝2，y max ＝f (0)＝3. 当m >2时，y max ＝f (m )＝m 2－2m ＋3＝3，∴m ＝0或m ＝2，与m >2矛盾，舍去．综上所述，1≤m ≤2.3．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x22--m m 的图像不经过原点，则实数m 的值为__．答案 1或2解析由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1，m 2－m －2≤0，解得m ＝1或2. 经检验m ＝1或2都适合．4．(2014·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (－22，0) 解析作出二次函数f (x )的草图，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0. 应用示例：题型一二次函数的图像和性质例1已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值； (2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∵x ∈[－4,6]， ∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35. (2)∵函数f (x )的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，∴要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．思维升华 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键都是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图像的对称轴进行分析讨论求解．(1)如果函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b (x ∈[a ，b ])的图像关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的最小值为________．(2)若函数f (x )＝2x 2＋mx －1在区间[－1，＋∞)上递增，则f (－1)的取值范围是________．答案 (1)5 (2)(－∞，－3]解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋22＝1，a ＋b ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝6. 则f (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5≥5.(2)∵抛物线开口向上，对称轴为x ＝－m 4，∴－m4≤－1，∴m ≥4.又f (－1)＝1－m ≤－3，∴f (－1)∈(－∞，－3]．题型二二次函数的应用例2 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围．解 (1)由题意得f (－1)＝a －b ＋1＝0，a ≠0，且－b2a ＝－1，∴a ＝1，b ＝2. ∴f (x )＝x 2＋2x＋1，单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1，＋∞)．(2)f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立．设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减． ∴g (x )min ＝g (－1)＝1. ∴k <1，即k 的取值范围为(－∞，1)．思维升华有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图像是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]．(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]，所以当x ＝1时，f (x )取得最小值1；当x ＝－5时，f (x )取得最大值37. (2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图像的对称轴为直线x ＝－a ，因为y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数，所以－a ≤－5或－a ≥5，即a ≤－5或a ≥5. 故a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．题型三幂函数的图像和性质例3 (1)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)·xn 2－3n (n ∈Z )的图像关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( ) A ．－3 B ．1 C ．2D ．1或2(2)若(2m ＋1)12>(m 2＋m －1)12，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞ C ．(－1,2) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2 答案 (1)B(2)D解析 (1)由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1适合题意，故选B. (2)因为函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1>m 2＋m －1.解2m ＋1≥0，得m ≥－12；解m 2＋m －1≥0，得m ≤－5－12或m ≥5－12. 解2m ＋1>m 2＋m －1，得－1<m <2，综上所述，5－12≤m <2. 思维升华 (1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)若幂函数y ＝x α(α∈R )是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断． (3)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.(1)已知幂函数f (x )＝(m 2－m －1)·x－5m －3在(0，＋∞)上是增函数，则m ＝________.(2)若(a ＋1)12<(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)－1 (2)[－1，23)解析 (1)∵函数f (x )＝(m 2－m －1)·x －5m －3是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，－5m －3＝－13，函数y ＝x－13在(0，＋∞)上是减函数；当m ＝－1时，－5m －3＝2，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数． ∴m ＝－1. (2)易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1<3－2a ，解之得－1≤a <23.分类讨论思想在二次函数最值中的应用典例：(12分)已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值．思维点拨参数a 的值确定f (x )图像的形状；a ≠0时，函数f (x )的图像为抛物线，还要考虑开口方向和对称轴位置．规范解答解 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.[2分](2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 图像的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a .[3分]①当1a≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图像的对称轴在[0,1]内，∴f (x )在[0，1a ]上递减，在[1a ，1]上递增．∴f (x )min ＝f (1a )＝1a －2a ＝－1a .[6分]②当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图像的对称轴在[0,1]的右侧，∴f (x )在[0,1]上递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.[9分](3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图像的开口方向向下，且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.[11分]综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2， a <1，－1a， a ≥1.[12分]温馨提醒 (1)本题在求二次函数最值时，用到了分类讨论思想，求解中既对系数a 的符号进行了讨论，又对对称轴进行讨论．在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论．(2)在有关二次函数最值的求解中，若轴定区间动，仍应对区间进行分类讨论. 课堂小结：1．二次函数的三种形式： (1)已知三个点的坐标时，宜用一般式． (2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式． (3)已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便．2．二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律：(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图像数形结合来解，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图像、性质求解．3．幂函数y＝xα(α∈R)图像的特征α>0时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降，反之也成立．课后作业：。

2019版数学(理)高分计划一轮高分讲义：第2章函数、导数及其应用 2.4 二次函数与幂函数

2．4二次函数与幂函数[知识梳理］1．二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c（a≠0）．②顶点式:f(x）＝a(x－m）2＋n(a≠0）．③两根式:f(x)＝a（x－x1）(x－x2)(a≠0)．(2）二次函数的图象和性质2．幂函数(1）幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数,其中x是自变量，α为常数．（2）常见的5种幂函数的图象（3）常见的5种幂函数的性质[诊断自测］1．概念思辨（1）当α<0时，幂函数y＝xα是定义域上的减函数．（)(2）关于x的不等式ax2＋bx＋c>0恒成立的充要条件是错误!（)（3）二次函数y＝ax2＋bx＋c,x∈［a,b］的最值一定是4ac－b24a.(）（4)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0）中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．（）答案(1)×(2)×(3）×（4）√2．教材衍化(1）(必修A1P44T9）函数y＝(x2－3x＋10)－1的递增区间是(）A．(－∞，－2) B．(5,＋∞）C.错误!D。

错误!答案C解析由于x2－3x＋10〉0恒成立，即函数的定义域为（－∞,＋∞)．设t＝x2－3x－10，则y＝t－1是(0，＋∞）上的减函数,根据复合函数单调性的性质，要求函数y＝(x2－3x＋10）－1的递增区间，即求t＝x2－3x＋10的单调递减区间，∵t＝x2－3x＋10的单调递减区间是错误!，∴所求函数的递增区间为错误!.故选C。

(2)（必修A1P78探究）若四个幂函数y＝x a，y＝x b，y＝x c，y＝x d在同一坐标系中的图象如图，则a，b,c，d的大小关系是（)A．d〉c>b〉a B．a〉b>c>dC．d>c>a〉b D．a〉b〉d>c答案B解析幂函数a＝2,b＝错误!，c＝－错误!，d＝－1的图象，正好和题目所给的形式相符合,在第一象限内,x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a>b>c>d。

2.4二次函数与幂函数

f(x)＝x ＋2x
2
g(x)＝－x ＋2x
2
(－∞，0]变式训练3 Nhomakorabea(2) 已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1. ①若存在x∈R使f(x)＜b·g(x)，求实数b的取值范围； ②设F(x)＝f(x)－mg(x)＋1－m－m2，且|F(x)|在[0,1]上单调递增，求实数m 的取值范围．
b＜0或b＞4
[－1,0]∪[2，＋∞)
变式训练3
(3) (2010· 广东)已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝kf(x＋2)，其中k为负数，且f(x)在区间[0,2]上有表达式f(x)＝x(x－2)． 3 ①求f(－1)，f(2.5)的值；(1)f(－1)=－k，f(2.5)＝－4k ②写出f(x)在[－3,3]上的表达式，并讨论函数f(x)在[－3，3]上的单调性．
3
2
C．[3,12]
思想方法·感悟提高
1．二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律： (1)在研究一元二次方程根的分布问题时 , 常借助于二次函数的图象数形结合来解,一般从①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． (2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解．
变式训练3
(1)(P17) 已知函数 f(x)＝x2＋mx＋n 的图象过点 (1,3), 且 f( － 1 ＋ x) ＝ f( － 1 － x) 对任意实数都成立，函数 y＝g(x)与 y＝f(x)的图象关于原点对称． ①求 f(x)与 g(x)的解析式； ②若 F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1,1]上是增函数，求实数 λ 的取值范围．
【2014年高考浙江会这样考】
1．常以集合为载体，考查二次方程的解

数学一轮复习第二章2.4二次函数与幂函数学案理含解析

第四节二次函数与幂函数【知识重温】一、必记2个知识点1．幂函数（1)定义:形如①________________的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x,y＝x2，y＝x3,y ＝12x，y＝x－1.（2）性质(ⅰ）幂函数在（0，＋∞)上都有定义；(ⅱ）当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和（0，0），且在（0,＋∞)上单调递增；(ⅲ)当α<0时，幂函数的图象都过点（1,1），且在(0，＋∞)上单调递减．2．二次函数（1)二次函数解析式的三种形式(ⅰ）一般式：f(x）＝②________________________;(ⅱ）顶点式:f(x)＝③________________________；（ⅲ)零点式：f(x）＝④________________________。

(2)二次函数的图象和性质(－∞，＋∞)(－∞，＋∞）二、必明2个易误点1．研究函数f（x)＝ax2＋bx＋c的性质，易忽视a的取值情况的讨论而盲目认为f（x)为二次函数．2．形如y＝xα(α∈R)才是幂函数，如y＝123x不是幂函数．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”）．（1）函数y＝132x是幂函数．（)（2）当n〉0时，幂函数y＝x n在（0,＋∞）上是增函数．(）（3)二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R)不可能是偶函数．（）（4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．（）(5）二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈［a,b］的最值一定是错误!。

（)二、教材改编2．已知幂函数y＝f（x）的图象过点(2，错误!），则函数y＝f(x)的解析式为________．3．函数y＝ax2－6x＋7a（a≠0)的值域为［－2，＋∞)，则a 的值为（）A．－1 B．－错误!C．1 D．2三、易错易混4．函数y＝2x2－6x＋3,x∈［－1,1]，则y的最小值是() A．－1 B．－2 C．1 D．25．若四个幂函数y＝x a，y＝x b,y＝x c，y＝x d在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（)A．d>c〉b>a B．a>b〉c〉dC．d〉c〉a〉b D．a〉b〉d〉c四、走进高考6．[2020·江苏卷]已知y＝f（x)是奇函数,当x≥0时,f(x）＝23x，则f（－8）的值是________．考点一幂函数的图象及性质[自主练透型］1．已知点错误!在幂函数f（x)的图象上,则f(x）是（）A．奇函数B．偶函数C．定义域内的减函数D．定义域内的增函数2．幂函数y＝xm2－2m－3（m∈Z）的图象如图所示，则m 的值为（)A．－1 B．0C．1 D．23．[2021·江西九江联考］已知a＝0.40.3,b＝0.30。

2.4 二次函数与幂函数

2.4 二次函数与幂函数讲读设计教学目标：1．(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 12的图象，了解它们的变化情况．2．理解二次函数的图象和性质．教学重点：理解二次函数的图象和性质．教学难点：了解幂函数的概念和图象．教学过程：一、预补反馈1．已知点M ⎝⎛⎭⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝x －2C ．f (x )＝x 12D ．f (x )＝x1－2解析：选B 设f (x )＝x α，则有3＝⎝⎛⎭⎫33α，即3＝3α2-，∴－α2＝1，∴α＝－2，∴f (x )＝x －2，故选B.2．函数y ＝x 13的图象是( )解析：选B 由幂函数y ＝x α，若0＜α＜1，在第一象限内过(1,1)，排除A 、D ，又其图象上凸，则排除C ，故选B.3．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，120 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－120 C.⎝⎛⎭⎫120，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－120，0 解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－20a <0，得a >120.4．若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.解析：f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a ，由f (x )是偶函数知a －4＝0，所以a ＝4. 答案：45．函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1,1]，则y 的最小值是________．解析：函数y ＝2x 2－6x ＋3的图象的对称轴为x ＝32>1，∴函数y ＝2x 2－6x ＋3在x ∈[－1,1]上为单调递减函数，∴y min ＝2－6＋3＝－1.答案：－1二、教学目标明确考纲要求1．(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 12的图象，了解它们的变化情况．2．理解二次函数的图象和性质．三、自学与探究（一）自学提示整合教材知识，落实基本能力1．二次函数(1)二次函数的三种形式：一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，顶点坐标为(h ，k )；零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的性质：R2．幂函数(1)定义：形如y ＝x α(α∈R)的函数叫幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)幂函数的性质：（二）探究提升精研高考题点，提升备考智能考点一幂函数图象与性质[典例](1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是()(2)(2016·长春模拟)若a＝⎝⎛⎭⎫1223，b＝⎝⎛⎭⎫1523，c＝⎝⎛⎭⎫1213，则a，b，c的大小关系是() A．a＜b＜c B．c＜a＜bC．b＜c＜a D．b＜a＜c[解析](1)令f(x)＝xα，则4α＝2，∴α＝12，∴f(x)＝x12.故C正确．(2)∵y＝x23(x>0)是增函数，∴a＝⎝⎛⎭⎫1223＞b＝⎝⎛⎭⎫1523.∵y＝⎝⎛⎭⎫12x是减函数，∴a＝⎝⎛⎭⎫1223＜c＝⎝⎛⎭⎫1213，所以b＜a＜c.[答案](1)C(2)D[变式过(0,0)，(1,1)过(0,0)，(1,1)过(1,1)训练]1.图中C 1，C 2，C 3为三个幂函数y ＝x k 在第一象限内的图象，则解析式中指数k 的值依次可以是( ) A ．－1，12，3B ．－1,3，12C.12，－1,3 D.12，3，－1 解析：选A 根据幂函数的图象知，选A.2．若(a ＋1)12＜(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________．解析：易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1＜3－2a ，解得－1≤a ＜23.答案：⎣⎡⎭⎫－1，23考点二求二次函数的解析式[典例] 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．[解] 法一(利用一般式)：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二(利用顶点式)：设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8.∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三(利用零点式)：由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值y max＝8，即4a(－2a－1)－a24a＝8.解得a＝－4或a＝0(舍)．∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.求二次函数解析式的3个策略(1)已知三个点坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；(3)已知图象与x轴两交点坐标，宜选用零点式．[变式训练]已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．解：∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.又∵f(x)图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又∵f(x)的图象过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.考点三二次函数图象与性质的应用题点一：二次函数的图象问题1．(2016·潍坊模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝2f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x，x∈[0，1)，－x2＋2x，x∈[1，2].则函数y＝f(x)在[2,4]上的大致图象是()[方法指导]解析：选A 当2≤x <3时，0≤x －2<1，又f (x ＋2)＝2f (x )，所以f (x )＝2f (x －2)＝2x －4，当3≤x ≤4时，1≤x －2≤2，又f (x ＋2)＝2f (x )，所以f (x )＝2f (x －2)＝－2(x －2)2＋4(x －2)＝－2x 2＋12x －16，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，2≤x <3，－2x 2＋12x －16，3≤x ≤4，所以A 正确．题点二：二次函数的最值问题2．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值．解：函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，对称轴方程为x ＝a . 当a ＜0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ， ∴1－a ＝2，∴a ＝－1.当0≤a ≤1时，f (x )max ＝a 2－a ＋1，∴a 2－a ＋1＝2，即a 2－a －1＝0，∴a ＝1±52(舍去)．当a ＞1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，∴a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2.二次函数在闭区间上最值问题类型和解题策略(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键都是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．(2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得．题点三：一元二次函数中的恒成立问题3．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R)，x ∈R ，其中f (x )的最小值为f (－1)＝0，且f (x )＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，则k 的取值范围是________．解析：由题意知a ≠0，f (－1)＝a －b ＋1＝0，且－b2a ＝－1，∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，f (x )＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1＞k 在[－3，－1]上恒成立．设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减．∴g (x )min ＝g (－1)＝1.∴k ＜1，即k 的取值范围为(－∞，1)．答案：(－∞，1)由不等式恒成立求参数的2个思路(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )⇔a ≤f (x )min .[方法指导][方法指导]四、当堂检测1．(2013·浙江高考)已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝0解析：选A 由f (0)＝f (4)得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－b2a ＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，∴f (x )先减后增，于是a >0.2．(2011·天津高考)对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b ＞1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x－1)，x ∈R.若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2)∪(1,2]D ．[－2，－1]解析：选B 令(x 2－2)－(x －1)≤1，得－1≤x ≤2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤2，x －1，x ＜－1或x ＞2，∵y ＝f (x )－c 与x 轴恰有两个公共点，结合函数的图象得知实数c的取值范围是(－2，－1]∪(1,2]．3．(2015·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x >2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R.若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫74，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－∞，74 C.⎝⎛⎭⎫0，74 D.⎝⎛⎭⎫74，2解析：选D 函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，即方程f (x )－g (x )＝0，即b ＝f (x )＋f (2－x )有4个不同的实数根，即直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点．又y ＝f (x )＋f (2－x )＝错误!作出该函数的图象如图所示，由图可得，当74<b <2时，直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点，故函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点时，b 的取值范围是⎝⎛⎭⎫74，2.4．(2014·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．解析：由题可得f (x )<0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝2m 2－1<0，f (m ＋1)＝2m 2＋3m <0，解得－22<m <0. 答案：⎝⎛⎭⎫－22，0 5．(2015·福建高考)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于________．解析：不妨设a ＞b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝p ＞0，ab ＝q ＞0，∴a ＞0，b ＞0，则a ，－2，b 成等比数列，a ，b ，－2成等差数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝(－2)2，a －2＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9. 答案：96．(2015·湖北高考)a 为实数，函数f (x )＝|x 2－ax |在区间[0,1]上的最大值记为g (a )．当a ＝________时，g (a )的值最小．解析：f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －a 22－a 24，其在区间[0,1]上的最大值必在x ＝0，x ＝1，x ＝a2处产生，即g (a )＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f (0)，f (1)，f ⎝⎛⎭⎫a 2＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，|1－a |，a 24＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫|1－a |，a 24，在同一坐标系中分别画出y ＝|1－a |，y ＝a 24的图象可知(图略)，在两图象的交点处，g (a )取得最小值，此时1－a ＝a 24，则a ＝22－2(－2－22舍去)．答案：22－2五、归纳小结1．二次函数(1)二次函数的三种形式：一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，顶点坐标为(h ，k )；零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的性质： 2．幂函数(1)定义：形如y ＝x α(α∈R)的函数叫幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)幂函数的性质：六、日日清：A 组、专练经典模拟1．(2016·福州质检)函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值是( )A ．－1B ．2C ．3D ．－1或2解析：选B ∵f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2.又f (x )在x ∈(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝2.2．(2016·渭南模拟)若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在同一坐标系中的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．d ＞c ＞b ＞aB ．a ＞b ＞c ＞dC ．d ＞c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞d ＞c解析：选B 幂函数a ＝2，b ＝12，c ＝－13，d ＝－1的图象，正好和题目所给的形式相符合，在第一象限内，x ＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a ＞b ＞c ＞d .故选B.3．(2016·吉林松原月考)设函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a ＞0)，已知f (m )＜0，则( ) A ．f (m ＋1)≥0 B ．f (m ＋1)≤0 C ．f (m ＋1)＞0D ．f (m ＋1)＜0解析：选C ∵f (x )的对称轴为x ＝－12，f (0)＝a ＞0，∴f (x )的大致图象如图所示．由f (m )＜0，得－1＜m ＜0， ∴m ＋1＞0，∴f (m ＋1)＞f (0)＞0.4．(2016·沧州质检)如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的x 都有f (x ＋1)＝f (－x )，那么( ) A ．f (－2)＜f (0)＜f (2) B ．f (0)＜f (－2)＜f (2) C ．f (2)＜f (0)＜f (－2) D ．f (0)＜f (2)＜f (－2)解析：选D 由f (1＋x )＝f (－x )知f (x )的图象关于直线x ＝12对称，又抛物线f (x )开口向上，∴f (0)＜f (2)＜f (－2)．5．(2016·天津调研)已知函数f (x )＝ax 2－(3－a )x ＋1，g (x )＝x ，若对于任一实数x ，f (x )与g (x )至少有一个为正数，则实数a 的取值范围是( )A ．[0,3)B ．[3,9)C ．[1,9)D ．[0,9)解析：选D 据题意只需转化为当x ≤0时，ax 2－(3－a )x ＋1>0恒成立即可．结合f (x )＝ax 2－(3－a )x ＋1的图象，当a ＝0时验证知符合条件．当a ≠0时必有a >0，当x ＝3－a2a ≥0时，函数在(－∞，0)上单调递减，故要使原不等式恒成立，只需f (0)>0即可，解得0＜a ≤3；当x ＝3－a 2a <0时，只需f ⎝⎛⎭⎫3－a 2a >0即可，解得3<a <9，综上所述可得a 的取值范围是0≤a ＜9.6．(2016·黄岛月考)两个二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与g (x )＝bx 2＋ax ＋c 的图象可能是( )解析：选D 函数f (x )图象的对称轴为x ＝－b 2a ，函数g (x )图象的对称轴为x ＝－a 2b ，显然－b2a 与－a2b同号，故两个函数图象的对称轴应该在y 轴的同侧．只有D 满足. 7．(2015·银川月考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋1)x －1，x ≥1，12ax 2－ax －1，x ＜1在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－23，0 B ．(－1,0) C.⎣⎡⎭⎫－23，0 D ．[－1,0)解析：选C 首先要保证两段都要增，有a ＋1＞0且a ＜0，其次还要保证在分界点处有12a －a －1≤a＋1－1，综上有－23≤a <0，故选C.8．(2016·昆明质检)若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4，则m 的取值范围是( )A ．[0,4] B.⎣⎡⎦⎤32，4 C.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ D.⎣⎡⎦⎤32，3解析：选D 二次函数图象的对称轴为x ＝32，且f ⎝⎛⎭⎫32＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，由图得m ∈⎣⎡⎦⎤32，3.9．(2016·乌鲁木齐二检)已知点P 1(x 1,2 015)和P 2(x 2,2 015)在二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋9的图象上，则f (x 1＋x 2)的值为________．解析：依题意得x 1＋x 2＝－b a，f (x 1＋x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫－b a ＝a ⎝⎛⎭⎫－b a 2＋b ⎝⎛⎭⎫－b a ＋9＝9. 答案：910．(2016·西安一检)若x ＞1时，x a －1＜1，则a 的取值范围是________．解析：因为x ＞1，x a －1＜1，所以a －1＜0，得a ＜1. 答案：(－∞，1)11．(2016·江西八校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是________．解析：由题意f (1－x 2)＞f (2x )等价于⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0，1－x 2＞2x ， ∴不等式的解集为(－1，2－1)．答案：(－1，2－1)12．(2016·南京三模)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎡⎦⎤－94，－2，故当m ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．答案：⎝⎛⎦⎤－94，－2B 组、专练思维规范1．已知二次函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (b ，c ∈R)．(1)若f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤1}，求实数b ，c 的值；(2)若f (x )满足f (1)＝0，且关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0,1)内，求实数b 的取值范围．解：(1)设x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个根．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－2b ，x 1x 2＝c . 即⎩⎪⎨⎪⎧－2b ＝0，c ＝－1. 所以b ＝0，c ＝－1.(2)由题知，f (1)＝1＋2b ＋c ＝0，所以c ＝－1－2b .记g (x )＝f (x )＋x ＋b ＝x 2＋(2b ＋1)x ＋b ＋c ＝x 2＋(2b ＋1)x －b －1，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (－3)＝5－7b ＞0，g (－2)＝1－5b ＜0，g (0)＝－1－b ＜0，g (1)＝b ＋1＞0⇒15＜b ＜57，即实数b 的取值范围为⎝⎛⎭⎫15，57.2．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R)．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b 2a＝－1，解得a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0. ∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2－(－2＋1)2＝8.(2)f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0,1]上恒成立．又1x －x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2， ∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2,0]．板书设计课后反思。

2.4二次函数与幂函数

2.4二次函数与幂函数课标要求精细考点素养达成1.了解幂函数的概念,结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y=x12的图象,了解它们的变化情况2.了解二次函数,理解二次函数图象,能结合图象理解、分析、研究二次函数的性质幂函数的图象与性质通过幂函数的图象与性质,培养直观想象和逻辑推理的素养二次函数的解析式通过求二次函数的解析式,培养逻辑推理和数学运算素养二次函数的图象与性质通过二次函数的图象与性质,培养直观想象和逻辑推理的素养1.(概念辨析)(多选)下列关于幂函数图象和性质的描述,正确的是( ). A.幂函数的图象都过点(1,1) B.幂函数的图象都不经过第四象限 C.幂函数必定是奇函数或偶函数中的一种 D.幂函数必定是增函数或减函数中的一种2.(对接教材)已知幂函数y=f (x )的图象过点(2,√2),求这个函数的解析式.3.(对接教材)若函数f (x )=4x 2kx8在[-12,14)上是减函数,则实数k 的取值范围是( ).A.[2,+∞)B.[2,+∞)C.(∞,2]D.(∞,2]4.(易错自纠)设二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0),若f (x 1)=f (x 2)(x 1≠x 2),则f (x 1+x 2)=( ). A.b 2aB.b aC.cD.4ac -b 24a5.(真题演练)(2022·北京卷改编)设函数f (x )={-ax +1,x <a,(x -2)2,x ≥a.当0<a<2时,f (x )的最小值是 .幂函数的图象和性质典例1 (1)若幂函数y=f (x )的图象过点(4,2),则幂函数y=f (x )的大致图象是( ).ABCD(2)已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m1)x n的图象上,设a=f(1),b=f(ln π),c=f2-12,则a,b,c的大小关系是( ).3A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.b<a<c训练1若幂函数f(x)=(m23m+3)x m的图象关于y轴对称,则实数m=.二次函数的解析式典例2(1)已知二次函数f(x)的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(0,0)和(2,0),且函数f(x)有最小值1,则f(x)=.求二次函数的解析式,一般用待定系数法求解,其关键是根据已知条件恰当地选择二次函数解析式的形式,一般选择规律如下:训练2已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,其图象过点(2,1),且f(x)=0的两根之和为4,两根之积为3,求不等式f(x)≤0的解集.二次函数的图象与性质典例3(1)下图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,图象过点A(3,0),对称轴为x=1.给出下列四个结论:①b2>4ac;②2ab=1;③ab+c=0;④5a<b.其中正确的是( ).A.②④B.①④C.②③D.①③(2)若函数f(x)=x2+2ax+3在[4,+∞)上为增函数,则实数a的取值范围为.(3)若函数f(x)=x2+2ax+3的单调递增区间为[4,+∞),则实数a的值为.训练3已知二次函数f(x)满足f(3+x)=f(3x),若f(x)在区间[3,+∞)上是减函数,且f(m)≥f(0)恒成立,则实数m的取值范围是( ).A.(∞,0]B.[0,6]C.[6,+∞)D.(∞,0]∪[6,+∞)典例4已知函数f(x)=ax22x(0≤x≤1),则f(x)的最小值f(x)min=.训练4若函数y=x22x,x∈[2,a],则该函数的最小值g(a)=.判别式法求最值典例(1)求函数y=1−x21+x2的值域.(2)已知a+b+c=0,a2+b2+c2=4,则a的最大值为( ).A.1B.2√23C.2√33D.2√63训练(1)已知函数y=mx2+8x+nx2+1的定义域为(∞,+∞),值域为[1,9],求m,n的值.(2)已知正实数x,y满足等式x+y+8=xy,则对任意满足条件的x,y,x+y的最小值为( ).A.8B.9C.172D.192一、单选题1.已知a=243,b=323,c=2513,则( ). A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b2.已知幂函数y=f (x )的图象过点(4,12),则幂函数y=f (x )的大致图象是( ).A B C D3.幂函数f (x )=(m 25m+7)x m2-6在(0,+∞)上单调递增,则以下说法正确的是( ).A.m=2B.m=3C.m=2或3D.函数f (x )是偶函数4.已知抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)的对称轴为直线x=1,图象如图所示,给出以下结论:①b 2>4ac ;②abc>0;③2ab=0;④9a3b+c>0.其中错误结论的个数为( ).A.0B.1C.2D.3 二、多选题5.已知幂函数f (x )的图象经过点(4,2),则下列选项正确的是( ).A.函数f (x )的定义域为RB.函数f (x )为非奇非偶函数C.函数f (x )为增函数D.若x 2>x 1>0,则f(x 1)+f(x 2)2>f (x 1+x22) 6.已知函数f (x )=x 22x3,则下列结论正确的是( ).A.函数f (x )的最小值为4B.函数f (x )在(0,+∞)上单调递增C.函数f (|x|)为偶函数D.|f (x )|的最大值为4 三、填空题7.已知函数f (x )为幂函数,且f (4)=12,则当f (a )=4f (a+3)时,实数a= .8.已知函数f (x )={x 2+x,-2≤x ≤c,1x,c <x ≤3.若c=0,则f (x )的值域是 ;若f (x )的值域是[-14,2],则实数c 的取值范围是 . 四、解答题9.已知幂函数f (x )=(m 22m+2)x 5k -2k 2(k ∈Z )是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增.(1)求函数f (x )的解析式;(2)若f (2x1)<f (2x ),求x 的取值范围.10.(2024·南通模拟)已知函数f (x )=x 22ax+5,a>1. (1)若函数f (x )的定义域和值域均为[1,a ],求a 的值;(2)若函数f (x )在区间(∞,2]上单调递减,且对任意的x 1,x 2∈[1,a+1],总有f (x 1)f (x 2)≤9成立,求实数a 的取值范围.11.定义:如果在函数y=f (x )定义域内的给定区间[a ,b ]上存在x 0(a<x 0<b ),满足f (x 0)=f(b)-f(a)b -a,则称函数y=f (x )是[a ,b ]上的“平均值函数”,x 0是它的一个均值点,如y=x 4是[1,1]上的“平均值函数”,0就是它的均值点.现有函数f (x )=x 2+mx+1是[1,1]上的“平均值函数”,则实数m 的取值范围是 .12.已知函数f (x )=ax 2+bx+1(a ,b ∈R ),F (x )={f(x),x >0,-f(x),x <0.(1)若F (1)=0,且对任意实数x 均有f (x )≥0,求F (x )的表达式;(2)在(1)的条件下,g (x )=f (kx )2x 在区间[2,2]上是单调函数,求实数k 的取值范围.。

学案5：§2.4 二次函数与幂函数

§2.4 二次函数与幂函数知识梳理1.幂函数(1)幂函数的定义:形如(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是,α是.(2)五种幂函数的图象(3)五种幂函数的性质2.二次函数(1)二次函数的三种形式一般式:;顶点式:,其中为顶点坐标;零点式:,其中为二次函数的零点.(2)二次函数的图象和性质常用结论1.幂函数y=x α在第一象限的两个重要结论: (1)恒过点(1,1);(2)当x ∈(0,1)时,α越大,函数值越小;当x ∈(1,+∞)时,α越大,函数值越大.2.研究二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)在区间[m ,n ](m<n )上的单调性与值域时,分类讨论-b2a 与m 或n 的大小.3.一元二次方程f (x )=x 2+px+q=0的实根分布:①方程f (x )=0在区间(m ,+∞)内有根的充要条件为f (m )<0或{p 2−4q ≥0,−p2>m;②方程f (x )=0在区间(m ,n )内有根的充要条件为f (m )f (n )<0;③方程f (x )=0在区间(-∞,m )内有根的充要条件为f (m )<0或{p 2−4q ≥0,−p2<m.考点自测1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)函数y=-x 2与y=2x 12都是幂函数.( ) (2)幂函数的图象经过第四象限,当α>0时,幂函数y=x α是定义域上的增函数. ( ) (3)二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0),当x=-b2a 时,y 取得最小值4ac -b 24a.( ) (4)幂函数的图象不经过第四象限.( )(5)二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的函数值恒为负的充要条件是{a <0,b 2-4ac <0. ( )2.已知函数y=x 2+ax+6在[52,+∞)内是增函数,则a 的取值范围为( ) A.a ≤-5B.a ≤5C.a ≥-5D.a ≥53.如图是①y=x a ;②y=x b ;③y=x c 在第一象限的图象,则a ,b ,c 的大小关系为( )A.a>b>cB.a<b<cC.b<c<aD.a<c<b4.已知a=243,b=425,c=2513,则( ) A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b5.若幂函数y=(m 2-3m+3)x m2−m−2的图象不经过原点,则实数m 的值为 .考点一幂函数的图象和性质例1 (1)若幂函数y=f (x )的图象经过点(4,2),则幂函数y=f (x )的图象是( )(2)已知幂函数f (x )=(n 2+2n -2)·x n 2−3n(n ∈Z )的图象关于y 轴对称,且在(0,+∞)内是减函数,则n的值为 ( ) A.-3B.1C.2D.1或2思考幂函数与指数函数有怎样的区别?幂函数有哪些重要的性质?对点训练1 (1)若(a+1)12<(3-2a )12,则实数a 的取值范围是 ; (2)若a=(35)25,b=(25)35,c=(25)25,则a ,b ,c 的大小关系是 .考点二求二次函数的解析式例2 已知二次函数f (x )满足f (2)=-1,f (-1)=-1,且f (x )的最大值是8,求f (x )的解析式.思考求二次函数的解析式时如何选取恰当的表达形式?对点训练2 已知二次函数f(x)有两个零点0和-2,且它有最小值-1,则f(x)的解析式为.考点三二次函数的图象与性质(多考向)考向1二次函数在闭区间上的最值问题例3 (1)已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上有最大值2,则a的值为; (2)若函数y=x2-2x+3在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围为.思考如何求二次函数在含参数的闭区间上的最值?考向2与二次函数有关的存在性问题例4 已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),对任意的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0),则实数a的取值范围是.思考如何理解本例中对任意的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0)?考向3与二次函数有关的恒成立问题例5 (1)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是;(2)已知函数f(x)=x2+2x+1,f(x)>x+k在区间[-3,-1]上恒成立,则k的取值范围为.思考由不等式恒成立求参数取值范围的解题思路是什么?考向4与二次函数有关的零点分布问题例6 已知方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,则实数k的取值范围是.思考已知与二次函数有关的零点分布,如何求参数的取值范围?对点训练3 (1)若函数f(x)=x2-ax-a在[0,2]上的最大值为1,则实数a等于()A.-1B.1C.-2D.2(2)已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在[-1,1]上的值恒小于零,则a的取值范围为;(3)已知f(x)=x2-2x+4,g(x)=a x(a>0,且a≠0),若对任意的x1∈[1,2]都存在x2∈[-1,2],使得f(x1)<g(x2)成立,则实数a的取值范围是;(4)若关于x的方程ax2+(a+1)x+a2-4=0的两根满足一个根大于1,另一个根小于1,则a的取值范围是.要点归纳小结1.幂函数y=xα(α∈R)的图象的特征:当α>0时,图象过原点和点(1,1),在第一象限内从左到右图象逐渐上升;当α<0时,图象过点(1,1),但不过原点,在第一象限内从左到右图象逐渐下降.2.求二次函数的解析式时,应根据题目给出的条件,选择恰当的表示形式.3.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系,即f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立,应求f(x)的最小值;若存在x∈D,使得f(x)≥g(a)成立,应求f(x)的最大值.易错易混警示1.幂函数的图象一定会出现在第一象限,一定不会出现在第四象限.如果幂函数与坐标轴有交点,那么交点一定是原点.2.对于函数y=ax2+bx+c,若它是二次函数,则必须满足a≠0.当题目条件中未说明a≠0时,就要分a=0和a≠0两种情况讨论.【参考答案】知识梳理1.幂函数 (1) y=x α自变量常数(3) RR R [0,+∞){x|x ∈R ,且x ≠0}R[0,+∞)R[0,+∞) {y|y ∈R ,且y ≠0} 增x ∈[0,+∞)时,增,x ∈(-∞,0)时,减增增x ∈(0,+∞)时,减,x ∈(-∞,0)时,减2.二次函数(1) f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0) f (x )=a (x -h )2+k (a ≠0) (h ,k ) f (x )=a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0) x 1,x 2(2) x=-b2a考点自测1.(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2.C【解析】∵y=x 2+ax+6在[-a2,+∞)内是增函数, 由题意得-a2≤52.∴a ≥-5,故选C .3.D【解析】根据幂函数的性质,可知选D . 4.A【解析】因为a=243=423>425=b ,c=2513=523>423=a ,所以b<a<c. 5.1或2【解析】由题意知{m 2-3m +3=1,m 2-m -2≤0,解得m=1或m=2.经检验m=1或m=2都适合.故m 的值为1或2.考点一幂函数的图象和性质例1 (1)C (2)B【解析】(1)令f (x )=x α,则4α=2,解得α=12,故f (x )=x 12.故选C . (2)因为f (x )为幂函数,所以n 2+2n -2=1,解得n=1或n=-3. 又幂函数f (x )在(0,+∞)内是减函数,所以n 2-3n<0.所以舍去n=-3,得n=1.当n=1时,n 2-3n=-2,满足题意.故选B .解题心得 1.幂函数中底数是自变量,指数是常数,而指数函数中底数是常数,指数是自变量. 2.幂函数的主要性质:(1)幂函数在(0,+∞)内都有定义,幂函数的图象都过定点(1,1).(2)当α>0时,幂函数的图象经过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)内单调递增. (3)当α<0时,幂函数的图象经过点(1,1),且在(0,+∞)内单调递减.(4)幂函数图象在第一象限的特点:当α>1时,曲线下凸;当0<α<1时,曲线上凸;当α<0时,曲线下凸.对点训练1 (1)[-1,23) (2)a>c>b【解析】(1)因为函数y=x 12的定义域为[0,+∞),且在定义域内为增函数, 所以{a +1≥0,3-2a ≥0,a +1<3-2a ,解之,得-1≤a<23.(2)因为y=x 25在(0,+∞)内为增函数,所以a>c. 又y=(25)x在R 上为减函数,所以c>b ,所以a>c>b.考点二求二次函数的解析式例2 解: (方法一)设f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0). 由题意得{4a +2b +c =-1,a -b +c =-1,4ac -b 24a=8,解得{a =-4,b =4,c =7. 故所求二次函数的解析式为f (x )=-4x 2+4x+7. (方法二)设f (x )=a (x -m )2+n ,∵f (2)=f (-1),∴抛物线的对称轴的方程为x=2+(-1)2=12.∴m=12.又根据题意知函数的最大值为8,∴n=8.∴f (x )=a (x -12)2+8.∵f (2)=-1,∴a (2-12)2+8=-1,解得a=-4. 故f (x )=-4(x -12)2+8=-4x 2+4x+7.(方法三)由已知f (x )+1=0的两根为x 1=2,x 2=-1, 故可设f (x )+1=a (x -2)(x+1),即f (x )=ax 2-ax -2a -1. 又函数的最大值为8,即4a(−2a−1)−a 24a=8,解得a=-4.因此所求函数的解析式为f (x )=-4x 2+4x+7.解题心得根据已知条件确定二次函数的解析式,一般用待定系数法,选择规律如下: (1)已知三个点的坐标,宜选用一般式.(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式. (3)已知图象与x 轴的两个交点坐标,宜选用交点式. 对点训练2 f (x )=x 2+2x【解析】因为f (x )有两个零点0和-2,所以可设f (x )=ax (x+2)(a ≠0),此时f (x )=ax (x+2)=a (x+1)2-a. 因为f (x )有最小值-1,所以{a >0,-a =-1,解得a=1.因此f (x )的解析式是f (x )=x (x+2)=x 2+2x.考点三二次函数的图象与性质(多考向)考向1 二次函数在闭区间上的最值问题例3 (1)-1或2 (2)[1,2]【解析】(1)函数f (x )=-x 2+2ax+1-a=-(x -a )2+a 2-a+1,对称轴方程为x=a. 当a<0时,f (x )max =f (0)=1-a ,则1-a=2,即a=-1.当0≤a ≤1时,f (x )max =a 2-a+1,则a 2-a+1=2,即a 2-a -1=0,解得a=1±√52(舍去). 当a>1时,f (x )max =f (1)=a ,则a=2.综上可知,a=-1或a=2. (2)作出函数y=x 2-2x+3的图象如图所示.由图象可知,要使函数在区间[0,m ]上取得最小值2,则1∈[0,m ],从而m ≥1. 当x=0时,y=3;当x=2时,y=3,所以要使函数取得最大值为3,则m ≤2. 故所求m 的取值范围为[1,2].解题心得二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考虑对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论,当确定了对称轴和区间的关系,就明确了函数的单调性,从而确定函数的最值.考向2 与二次函数有关的存在性问题例4 (0,12]【解析】当x 0∈[-1,2]时,由f (x )=x 2-2x ,得f (x 0)∈[-1,3]. 因为对任意的x 1∈[-1,2]都存在x 0∈[-1,2],使得g (x 1)=f (x 0), 所以{g (x 1)min ≥f (x 0)min ,g (x 1)max ≤f (x 0)max ,即当x 1∈[-1,2]时,g (x 1)∈[-1,3].所以当a>0时,{-a +2≥-1,2a +2≤3,解得a ≤12.故实数a 的取值范围是(0,12].解题心得已知函数f (x ),g (x ),若对任意的x 1∈[a ,b ]都存在x 0∈[a ,b ],使得g (x 1)=f (x 0),求g (x )中参数的取值范围,说明g (x 1)在[a ,b ]上的取值范围是f (x 0)在[a ,b ]上的取值范围的子集,即{g(x 1)min ≥f(x 0)min ,g(x 1)max ≤f(x 0)max .考向3 与二次函数有关的恒成立问题例5 (1)(-√22,0) (2)(-∞,1)【解析】(1)作出二次函数f (x )的草图,对于任意x ∈[m ,m+1],都有f (x )<0, 则有{f (m )<0,f (m +1)<0,即{m 2+m 2-1<0,(m +1)2+m (m +1)-1<0,解得-√22<m<0.(2)由题意得x 2+x+1>k 在区间[-3,-1]上恒成立. 设g (x )=x 2+x+1,x ∈[-3,-1],则g (x )在[-3,-1]上递减. ∴g (x )min =g (-1)=1.∴k<1.故k 的取值范围为(-∞,1).解题心得由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键:(1)一般有两种解题思路:一是分离参数,将问题归结为求函数的最值;二是不分离参数,通常结合函数图象寻求使不等式恒成立的条件.(2)两种思路都比较简便,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离. 考向4 与二次函数有关的零点分布问题例6 (12,23)【解析】设f (x )=x 2+(k -2)x+2k -1,由题意知{f (0)>0,f (1)<0,f (2)>0,即{2k -1>0,3k -2<0,4k -1>0,解得12<k<23.解题心得已知与二次函数有关的零点分布求参数的取值范围,主要采取数形结合的方法,通过二次函数的图象的开口方向、对称轴、特殊点对应的函数值等列出满足题意的不等式,解不等式得参数的取值范围.对点训练3 (1)B (2)(-∞,12) (3)(0,14)∪(2,+∞) (4)(-∞,-3)∪(0,1)【解析】(1)由题意知函数图象的对称轴方程为x=a 2,当a 2≤1,即a ≤2时,f (x )max =f (2)=4-3a=1,解得a=1,符合题意;当a>2时,f (x )max =f (0)=-a=1,解得a=-1(舍去).综上所述,a=1,故选B .(2)由题意知2ax 2+2x -3<0在[-1,1]上恒成立.当x=0时,-3<0,符合题意;当x ≠0时,a<32(1x -13)2−16.令g (x )=32(1x -13)2−16,可知1x ∈(-∞,-1]∪[1,+∞),当x=1时,g (x )取得最小值12,所以a<12. 综上,实数a 的取值范围是(-∞,12). (3)由题意知g (x )在[-1,2]上的最大值大于f (x )在[1,2]上的最大值. ∵f (x )在[1,2]上单调递增,∴当x=2时,f (x )max =4.当1>a>0时,g (x )在[-1,2]上为减函数,当x=-1时,a -1>4,得a ∈(0,14). 当a>1时,g (x )在[-1,2]上为增函数,当x=2时,a 2>4,解得a ∈(2,+∞). 故a 的取值范围为(0,14)∪(2,+∞).(4)设f (x )=ax 2+(a+1)x+a 2-4,∵关于x 的方程ax 2+(a+1)x+a 2-4=0的一个根大于1,一个根小于1, 则a>0,f (1)<0或a<0,f (1)>0.当a>0时,由f (1)=a+(a+1)+a 2-4<0,得0<a<1;当a<0时,由f (1)=a+(a+1)+a 2-4>0,得a<-3.综上所述,实数a 的取值范围是(-∞,-3)∪(0,1).。

二次函数与幂函数

2．4二次函数与幂函数1．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝ (a ≠0)； (2)顶点式：f (x )＝ (a ≠0)； (3)零点式：f (x )＝ (a ≠0)． 2．二次函数的图象与性质二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是：(1)对称轴：x ＝； (2)顶点坐标：；(3)开口方向：a ＞0时，开口，a ＜0时，开口； (4)值域：a ＞0时，y ∈ ，a ＜0时，y ∈ ；(5)单调性：a ＞0时，f (x )在上是减函数，在上是增函数；a ＜0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－b2a 上是，在⎝⎛⎭⎫－b2a ，＋∞上是________． 3．二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的零点(图象与x 轴交点的横坐标)是相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的，也是一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0(或ax 2＋bx ＋c ≤0)解集的． 4．二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上必有最大值和最小值．它只能在区间的或二次函数的处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值． 5．一元二次方程根的讨论(即二次函数零点的分布)设x 1，x 2是实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的两实根，则x 1，x 2的分布范围与系数之间的关系如表根的分布(m ＜n ＜p 且m ，n ，p 均为常数)图象满足的条件x 1＜x 2＜m① ⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a <m ，f （m ）>0. m ＜x 1＜x 2② ⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a >m ，f （m ）>0.x 1＜m ＜x 2③f (m )<0.m ＜x 1＜x 2＜n④ ⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，m <－b 2a <n ，f （m ）>0，f （n ）>0.m ＜x 1＜n ＜x 2＜p⑤ ⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）>0，f （n ）<0，f （p ）>0.m <x 1＝x 2<n⑥ ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，m <－b2a <n . 只有一根在区间(m ，n )内⑦ f (m )·f (n )<0.6.幂函数(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．函数图象性质定义域值域奇偶性单调性公共点y ＝xRR____函数在R 上单调递增___y ＝x 2R________函数在____上单调递减；在____上单调递增y ＝x 3RR____函数在R 上单调递增y ＝x 12____________函数在____上单调递增y ＝x －1____________函数在____和____上单调递减自查自纠1．(1)ax 2＋bx ＋c (2)a (x －h )2＋k(3)a (x －x 1)(x －x 2)2．(1)－b 2a (2)⎝⎛⎭⎫－b 2a ，4ac －b 24a (3)向上向下(4)⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a(5)⎝⎛⎭⎫－∞，－b 2a ⎝⎛⎭⎫－b2a ，＋∞ 增函数减函数 3．根端点值 4．端点顶点6．{x |x ≥0}{x |x ≠0}{y |y ≥0}{y |y ≥0} {y |y ≠0}奇偶奇非奇非偶奇(－∞，0] [0，＋∞)[0，＋∞)(－∞，0) (0，＋∞)(1，1)幂函数的图象过点(2，4)，则它的单调递增区间为() A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0)∪(0，＋∞) D ．R解：令2α＝4⇒α＝2⇒y ＝x 2.单调递增区间为[0，＋∞)．故选B . (2015·)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是() A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a解：由指数函数y ＝0.6x 在(0，＋∞)上单调递减，可知0.61.5＜0.60.6，由幂函数y ＝x 0.6在(0，＋∞)上单调递增，可知0.60.6＜1.50.6，所以b ＜a ＜c .故选C .设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是()解：由A ，C ，D 知，f (0)＝c ＜0.因为abc ＞0，所以ab ＜0，所以对称轴x ＝－b2a ＞0，知A ，C 错误，D 符合要求．由B 知f (0)＝c ＞0，所以ab ＞0，所以x ＝－b2a＜0，B 错误．故选D .f (x )是二次函数，且f ′(x )＝2x ＋2，若方程f (x )＝0有两个相等实根，则f (x )的解析式为f (x )＝________. 解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．f ′(x )＝2ax ＋b ，所以a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c .Δ＝4－4c ＝0，所以c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.故填x 2＋2x ＋1.若方程x 2－11x ＋30＋a ＝0的两个不等实根均大于5，则实数a 的取值范围是________．解：令f (x )＝x 2－11x ＋30＋a .对称轴x ＝112，故只要⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，f （5）>0 即可，解得0<a ＜14.故填⎝⎛⎭⎫0，14.类型一求二次函数的解析式已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1, f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．解法一：(利用一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数为y ＝－4x 2＋4x ＋7. 解法二：(利用顶点式)设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12，所以m ＝12，又根据题意，函数有最大值为8，所以n ＝8，所以f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8.因为f (2)＝－1，即a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1.解之得a ＝－4. 所以f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 解法三：(利用零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，即g (x )＝f (x )＋1的两个零点为2，－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y max ＝8，即4a （－2a －1）－a 24a ＝8，解之得a ＝－4，所以所求函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x －2×(－4)－1 ＝－4x 2＋4x ＋7.点拨由条件f (2)＝f (－1)及f (x )的最大值是8，根据对称性知其对称轴为x ＝12，故此题利用顶点式较为简捷．如果把2，－1看作函数g (x )＝f (x )＋1的两个零点，利用零点式求g (x )的解析式，再求f (x )的解析式也很方便．与对称轴有关的二次函数一般设为顶点式．如果与零点有关，则要注意函数的对称性及韦达定理的应用．(1)已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且它有最小值－1，则f (x )＝________.解：由于f (x )有两个零点0和－2，所以可设f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)，这时f (x )＝ax (x ＋2)＝a (x ＋1)2－a ，由于f (x )有最小值－1，所以必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－a ＝－1.解得a ＝1.因此f (x )的解析式是f (x )＝x (x ＋2)＝x 2＋2x . 故填x 2＋2x.(2)二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式是y ＝________. 解：设y ＝a (x －2)2－1(a ＞0)，当x ＝0时，4a －1＝1，a ＝12，所以y ＝12(x －2)2－1＝12x 2－2x ＋1.故填12x 2－2x ＋1.(3)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.解：因为f (x )＝bx 2＋(ab ＋2a )x ＋2a 2是偶函数，所以ab ＋2a ＝0，则a ＝0或b ＝－2，当a ＝0时，f (x )＝bx 2，值域不可能为(－∞，4]，故a ≠0，则b ＝－2，此时f (x )＝－2x 2＋2a 2.当x ＝0时，2a 2＝4，所以f (x )＝－2x 2＋4.故填－2x 2＋4.类型次函数的图象与性质(1)一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是()解：若a >0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，故可排除A ；若a ＜0，同理可排除D.对于选项B ，由直线可知a >0，b >0，从而－b2a <0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故应排除B.故选C .点拨本题巧妙地利用二次函数与一次函数图象经过特殊点，结合排除法解答．在遇到此类问题时，要牢记在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 的正负决定抛物线开口的方向，c 确定抛物线在y 轴上的截距，b 与a 确定顶点的横坐标(或对称轴的位置)．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≤1，ax 2＋x ，x ＞1在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是()A ．(－2，＋∞)B ．(－2，－1)C ．(－∞，－2] D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12 解：由函数f (x )＝x 2＋ax 在(－∞，1]上单调递减，得－a2≥1，即a ≤－2；由函数f (x )＝ax 2＋x 在(1，＋∞)上单调递减，得a <0且－12a ≤1，即a ≤－12.而12＋a ×1＝a ×12＋1，综上可知，a ≤－2.故选C .点拨对于分段二次函数的单调性，先确定各段的单调性，再确定分界点的函数值，从而确定函数在整个定义域上的单调性．(3)若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则a 的取值集合为() A ．[－3，3] B ．[－1，3] C ．{－3，3} D ．{－1，－3，3}解：函数f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，其图象的对称轴方程为x ＝1. 因为f (x )在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，令x 2－2x ＋1＝4⇒x ＝－1或3.令a ＋2＝－1或a ＝3，得a ＝－3或3，故a 的取值集合为{－3，3}．故选C .点拨(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论．(1)(2016·杭州模拟)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2＞4ac ； ②2a －b ＝1； ③a －b ＋c ＝0； ④5a ＜b . 其中正确的是()A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④解：因为图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac ＞0，即b 2＞4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1，2a－b ＝0，②错误；结合图象，当x ＝－1时，y ＞0，即a －b ＋c ＞0，③错误；由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a ，又函数图象开口向下，所以a ＜0，所以5a ＜2a ，即5a ＜b ，④正确．故选B .(2)函数f (x )＝x 2＋2ax 在[1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是() A ．(－∞，1] B ．[1，＋∞) C ．(－∞，－1] D ．[－1，＋∞) 解：－a ≤1⇒a ≥－1.故选D .(3)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a (x ∈[0，1])有最大值2，则a ＝________.解：函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，其图象的对称轴方程为x ＝a . 当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，所以a ＝－1.当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0，所以a ＝1±52(舍去)．当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2.故填－1或2.类型三二次方程根的分布已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的取值范围； (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的取值范围．解：(1)条件说明抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，作出函数f (x )的大致图象，得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝2m ＋1<0，f （－1）＝2>0，f （1）＝4m ＋2<0，f （2）＝6m ＋5>0⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56.所以－56<m <－12.故m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |－56＜m ＜－12.(2)由抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，作出函数f (x )的大致图象，得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝2m ＋1>0，f （1）＝4m ＋2>0，Δ＝（2m ）2－4（2m ＋1）≥0，0<－m <1.⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >－12，m >－12，m ≥1＋2或m ≤1－2，－1<m <0.所以－12<m ≤1－ 2.故m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |－12＜m ≤1－2.点拨对一元二次方程根的问题的研究，主要分三个方面：(1)根的个数问题，由判别式判断；(2)正负根问题，由判别式及韦达定理判断；(3)根的分布问题，依函数与方程思想，通过考查开口方向、对称轴、判别式、端点函数值等数形结合求解(详见“考点梳理”)．(1)如果方程(1－m 2)x 2＋2mx －1＝0的两个根一个小于零，另一个大于1，则m 的取值范围为________．解：令f (x )＝(1－m 2)x 2＋2mx －1，因为f (0)＝－1，所以f (x )图象过定点(0，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m 2＞0，f （1）＜0，解得－1<m <0.故填(－1，0)．(2)若抛物线y ＝x 2＋ax ＋2与连接两点M (0，1)，N (2，3)的线段(包括M 、N 两点)有两个相异的交点，则实数a 的取值范围为________．解：过两点(0，1)、(2，3)的直线方程为y ＝x ＋1，而抛物线y ＝x 2＋ax ＋2与线段MN 有两个交点就是方程x 2＋ax ＋2＝x ＋1在区间[0，2]上有两个不等的实根．令f (x )＝x 2＋(a －1)x ＋1.则⎩⎪⎨⎪⎧0<－a ＋12<2，Δ＝（a －1）2－4>0，f （0）＝1≥0，f （2）＝2a ＋3≥0.解得－32≤a ＜－1，所以a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－32，－1. 故填⎣⎡⎭⎫－32，－1. 类型四二次函数的综合应用(1)(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则1mi i x =∑＝()A ．0B ．mC ．2mD ．4m解：由f(x)＝f(2－x)知函数f(x)的图象关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象也关于直线x ＝1对称，所以这两函数的交点也关于直线x ＝1对称．不妨设x 1<x 2<…<x m ，则x 1＋x m2＝1，即x 1＋x m ＝2，同理有x 2＋x m －1＝2，x 3＋x m －2＝2，…，又1mi i x =∑=x m xm 1…x 1，所以21mii x =∑=（x 1x m）（x 2xm 1）…（x m x 1）=2m ，所以1mi i x =∑=m .故选B .(2)设f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x .若对任意的x ∈[a ，a ＋2]，不等式f (x ＋a )≥[f (x )]2恒成立，则实数a 的取值范围是________．解：由题知函数f (x )＝2|x |，故f (x ＋a )≥[f (x )]2，即2|x ＋a |≥(2|x |)2＝|x |，即|x ＋a |≥2|x |，即3x 2－2ax －a 2≤0对任意的x ∈[a ，a ＋2]恒成立．令g (x )＝3x 2－2ax －a 2，则只要g (a )≤0且g (a ＋2)≤0即可，g (a )＝0，满足要求，g (a＋2)＝3(a ＋2)2－2a (a ＋2)－a 2＝8a ＋12≤0，即a ≤－32.故填⎝⎛⎦⎤－∞，－32. 点拨(1)由对称性求解；(2)把问题转化为一元二次不等式恒成立问题，结合二次函数图象得出关于a 的不等式，解不等式即得a 的取值范围．(1)(2016·九江模拟)已知f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4，如果对x ∈[－3，1]，f (x )＞0恒成立，则实数a 的取值范围为________．(2)(2017·枣庄一模)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，如果函数g (x )＝f (x )－m (m ∈R )恰有4个零点，则m 的取值范围是________．解：(1)因为f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4，对称轴x ＝－(a －2)，对x ∈[－3，1]，f (x )＞0恒成立，所以讨论对称轴与区间[－3，1]的位置关系得：⎩⎪⎨⎪⎧－（a －2）＜－3，f （－3）＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧－3≤－（a －2）≤1，Δ＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧－（a －2）＞1，f （1）＞0，解得a ∈∅或1≤a ＜4或－12＜a ＜1，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，4.故填⎝⎛⎭⎫－12，4.(2)函数g (x )＝f (x )－m (m ∈R )恰有4个零点可化为函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝m 恰有4个交点，作函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象如图所示，故m 的取值范围是(－1，0)．故填(－1，0)．类型五幂函数的图象和性质(1)(2017·济南诊断测试)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α等于()A.12 B ．1 C.32D ．2 解：由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝⎛⎭⎫12＝22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.故选C .(2)若(2m ＋1)12>(m 2＋m －1)12，则实数m 的取值范围是()A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞C ．(－1，2) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2解：因为函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1＞m 2＋m －1.解得⎩⎨⎧m ≥－12，m ≤－5－12或m ≥5－12，－1＜m ＜2，即5－12≤m ＜2.故选D . 点拨(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(2)α的正负：当α>0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，过(1，1)，在第一象限的图象下降；(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握常见的几个幂函数的图象和性质是解题的关键．(1)若幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的图象大致是()(2)已知幂函数f (x )＝x m 2 2m 3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，则f (2)的值为________．解：(1)令f (x )＝x α，则4α＝2，所以α＝12，所以f (x )＝x 12.故选C .(2)根据幂函数性质可得－m 2－2m ＋3>0，即m 2＋2m －3<0，解得－3<m <1.又m ∈Z ，所以m ＝－2，－1，0.当m ＝－2时，－m 2－2m ＋3＝3，不合题意；当m ＝－1时，－m 2－2m ＋3＝4，符合题意；当m ＝0时，－m 2－2m ＋3＝3，不合题意．所以f (x )＝x 4，所以f (2)＝24＝16.故填16.1．求二次函数的解析式利用已知条件求二次函数的解析式常用的方法是待定系数法，但须根据不同条件选取适当形式的f (x )，一般规律是：①已知三个点的坐标时，常用一般式；②已知抛物线的顶点坐标、对称轴、最大(小)值时，常用顶点式； ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，常选用零点式． 2．含有参数的二次函数在闭区间上的最值或值域二次函数在区间[m ，n ]上的最值或值域问题，通常有两种类型：其一是定函数(解析式确定)，动区间(区间的端点含有参数)；其二是动函数(解析式中含有参数)，定区间(区间是确定的)．无论哪种情况，解题的关键都是抓住“三点一轴”，“三点”即区间两端点与区间中点，“一轴”即为抛物线的对称轴．对于动函数、动区间的类型同样是抓住“三点一轴”，只不过讨论要复杂一些而已． 3．二次函数的综合应用解二次函数的综合应用问题，要充分应用二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的密切关系，对所求问题进行等价转化，要注意f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的结构特点和a ，b ，c 的几何意义(可结合解析几何中的抛物线方程x 2＝±2py 理解a 的几何意义)，注意一些特殊点的函数值，如f (0)＝c ，f (1)＝a ＋b ＋c ，f (－1)＝a －b ＋c 等．4．幂函数的图象特征与指数的大小关系，大都可通过幂函数的图象与直线x ＝2或x ＝12的交点纵坐标的大小反映．一般地，在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大、图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，图象越远离x 轴(不包括幂函数y ＝x 0)．5．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，则要看函数的定义域和奇偶性．函数的图象最多只能同时出现在两个象限内，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．6．判断一个函数是否为幂函数，一定要根据幂函数定义给出的“标准”形式y ＝x α(α∈R )．1．已知幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则log 2f (2)＝()A.12 B ．－12C ．2D ．－2 解：设幂函数为f (x )＝x α，则f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，所以f (x )＝x ，所以f (2)＝2，所以log 2f (2)＝log 22＝12.故选A .2．(2016·湖北孝感调研)函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是() A ．－1 B ．2 C ．3 D ．－1或2解：f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数⇒m 2－m －1＝1⇒m ＝－1或m ＝2.又f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝2.故选B .3．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，－2]时是减函数，则f (1)等于() A ．－3 B ．13 C ．7 D ．5解：由题意知f (x )的对称轴x ＝m 4，要使f (x )在[－2，＋∞)上是增函数，在(－∞，－2]上是减函数，则m4＝－2，所以m ＝－8，所以f (1)＝2＋8＋3＝13.故选B .4．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是() A ．[1，＋∞) B ．[0，2] C ．(－∞，2] D ．[1，2]解：由题可知f (0)＝3，f (1)＝2，f (2)＝3，结合图象可知1≤m ≤2.故选D .5．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月内生产某种商品x 万件的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(单位：万元)，1万件商品售价是20万元，为获得最大利润，该企业一个月应生产该商品的数量为()A ．36万件B ．18万件C ．万件D ．9万件解：利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )取得最大值．故选B .6．(2017·焦作模拟)函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f （x ）x 在区间(1，＋∞)上一定()A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解：因为f (x )＝x 2－2ax ＋a 在(－∞，1)上有最小值，且f (x )关于x ＝a 对称，所以a <1，则g (x )＝x ＋ax －2a (x >1)．若a ≤0，则g (x )在(1，＋∞)上是增函数，若0<a <1，则g (x )在(a ，＋∞)上是增函数，所以g (x )在(1，＋∞)上是增函数，综上可得g (x )＝x ＋ax －2a 在(1，＋∞)上是增函数．故选D .7．已知函数y ＝ln(x 2＋ax －1＋2a )的值域为R ，则a 的取值范围是________．解：令t ＝g (x )＝x 2＋ax －1＋2a ，要使函数y ＝ln t 的值域为R ，则说明(0，＋∞)⊆{y |y ＝g (x )}，即二次函数g (x )的判别式Δ≥0，即a 2－4(2a －1)≥0，即a 2－8a ＋4≥0，解得a ≥4＋23或a ≤4－2 3.故填(－∞，4－23]∪[4＋23，＋∞)．8．(2015·衡水模拟)函数f (x )＝x 2＋2x ，若f (x )>a 在区间[1，3]上满足： ①恒有解，则实数a 的取值范围为________； ②恒成立，则实数a 的取值范围为________．解：①f (x )>a 在区间[1，3]上恒有解，则a <f (x )max ，又f (x )＝x 2＋2x 且x ∈[1，3]，当x ＝3时，f (x )max ＝15，故a 的取值范围为a <15.②f (x )>a 在区间[1，3]上恒成立，则a <f (x )min ，又因f (x )＝x 2＋2x 且x ∈[1，3]，当x ＝1时，f (x )min ＝3，故a 的取值范围为a <3.故填(－∞，15)；(－∞，3)． 9．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值范围．解：(1)由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝－1，f （－1）＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. 所以f (x )＝x 2＋2x ＋1.由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]． (2)由题知，x 2＋2x ＋1>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k <x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k <1，故k 的取值范围是(－∞，1)．10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx －1(a ，b ∈R 且a >0)有两个零点，其中一个零点在区间(1，2)内，求a －b 的取值范围．解：易知x 1x 2＝－1a<0，即两根为一正一负，若一个零点在区间(1，2)内，则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝a ＋b －1<0，f （2）＝4a ＋2b －1>0，a ＞0，如图，作出点(a ，b )对应的平面区域，易知点A (0，1)使得目标函数z ＝a －b 取得最小值，由于边界为虚线，故有z >－1，即a －b 的取值范围为(－1，＋∞)．(2017·长沙一中期中测试)函数f (x )＝(m 2－m －1)x4m 9 m 53是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，∞)，且x 1≠x 2，满足f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，若a ，b ∈R ，且a ＋b >0，则f (a )＋f (b )的值()A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断解：依题意，幂函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1，4m 9－m 5＋3＞0，解得m ＝2，则f (x )＝x 2 019.所以函数f (x )＝x 2 019在R 上是奇函数，且为增函数．由a ＋b >0，得a >－b ，所以f (a )>f (－b )，则f (a )＋f (b )>0.故选A .1．函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是() A ．(－∞，－3] B ．[－3，＋∞) C ．(－∞，5] D ．[5，＋∞)解：函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝1－a ，要使函数f (x )在(－∞，4]上是减函数，则1－a ≥4，即a ≤－3.故选A .2．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x n 2 3n(n ∈Z )在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为()A ．－3B ．1C ．2D ．1或2 解：因为幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x n 2 3n在(0，＋∞)上是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋2n －2＝1，n 2－3n ＜0，所以n ＝1.故选B .3．(2016·成都模拟)若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4，则m 的取值范围是() A ．(0，4] B.⎣⎡⎦⎤32，3 C.⎣⎡⎦⎤32，4 D.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 解：二次函数y ＝x 2－3x －4图象的对称轴是x ＝32，开口向上，最小值是y min ＝－254，在x ＝32处取得，所以由函数的值域是⎣⎡⎦⎤－254，－4，可知m 应该在对称轴的右边，当函数值是－4时，对应的自变量的值是x ＝0或x ＝3，如果m 比3大，那么函数值就超出⎣⎡⎦⎤－254，－4这个范围，所以m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，3.故选B . 4．(2016·温州模拟)方程x 2＋ax －2＝0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为()A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B ．(1，＋∞)C.⎣⎡⎦⎤－235，1 D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－235 解法一：令f (x )＝x 2＋ax －2，而f (0)＝－2，故只要⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （5）≥0，解得－235≤a ≤1.解法二：由a ＝2x－x 在区间[1，5]上单调递减知a ∈⎣⎡⎦⎤－235，1.故选C . 5．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与其导函数f ′(x )在同一坐标系内的图象可能是()A B C D解：若二次函数f (x )的图象开口向上，则导函数f ′(x )为增函数，排除A ；同理排除D ；若f ′(x )＝2ax ＋b 过原点，则b ＝0，则y ＝f (x )的对称轴为y 轴，排除B.故选C .6．(2016·揭阳测试)已知f (x )＝2x 2＋px ＋q ，g (x )＝x ＋4x 是定义在集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1≤x ≤52上的两个函数．对任意的x ∈M ，存在常数x 0∈M ，使得f (x )≥f (x 0)，g (x )≥g (x 0)，且f (x 0)＝g (x 0)．则函数f (x )在集合M 上的最大值为()A ．4 B.92 C ．6 D.892解：利用导数可知函数g (x )＝x ＋4x 在区间⎣⎡⎦⎤1，52上的最小值为4，最大值为5，对任意的x ∈M ，存在常数x 0∈M ，使得g (x )≥g (x 0)，则g (x 0)＝g (x )min ＝4，此时x 0＝2.根据题意知，f (x )min ＝f (x 0)＝4，即二次函数f (x )＝2x 2＋px ＋q 的顶点坐标为(2，4)，因此f (x )＝2(x －2)2＋4，在集合M 上的最大值为f (1)＝6.故选C . 7．已知幂函数f (x )＝x 12，若f (a ＋1)＜f (10－2a )，则a 的取值范围是________．解：因为f (x )＝x 12＝1x (x ＞0)，易知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a ＋1)＜f (10－2a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞0，10－2a ＞0，a ＋1＞10－2a ，所以3＜a ＜5.故填(3，5)．8．已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋b ，满足f (3)＝3，且f (x )≥x 恒成立，则a ＋b ＝________. 解：f (3)＝3，则9＋3(a ＋1)＋b ＝3，即b ＝－3a －9. f (x )≥x 恒成立，即x 2＋(a ＋1)x ＋b －x ≥0恒成立．所以x 2＋ax ＋b ≥0恒成立，所以a 2－4b ≤0，将b ＝－3a －9代入得(a ＋6)2≤0，a ＝－6.所以b ＝9，a ＋b ＝3.故填3.9．(2016·汕头一中月考)已知函数f (x )是二次函数，不等式f (x )<0的解集是(0，5)，且f (x )在区间[－1，4]上的最大值为12. (1)求f (x )的解析式；(2)设函数f (x )在[t ，t ＋1]上的最小值为g (t )，求g (t )的表达式．解：(1)因为f (x )是二次函数，且f (x )＜0的解集是(0，5)，所以可设f (x )＝ax (x －5)(a ＞0)，所以f (x )在区间[－1，4]上的最大值是f (－1)＝6a . 由已知得6a ＝12，所以a ＝2，所以f (x )＝2x (x －5)＝2x 2－10x . (2)由(1)知f (x )＝2x 2－10x ＝2⎝⎛⎭⎫x －522－252，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝52.①当t ＋1≤52，即t ≤32时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递减，所以g (t )＝2(t ＋1)2－10(t ＋1)＝2t 2－6t －8； ②当t ≥52时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递增，所以g (t )＝2t 2－10t ；③当t ＜52＜t ＋1，即32＜t ＜52时，f (x )在x ＝52处取得最小值，所以g (t )＝f ⎝⎛⎭⎫52＝－252. 综上所述，g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t 2－6t －8，t ≤32，－252，32＜t ＜52，2t 2－10t ，t ≥52.10．(2016·汕头一中月考)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （xx ＞0，－f （xx ＜0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围．解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2.所以f (x )＝(x ＋1)2.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x ＞0，－（x ＋1）2，x ＜0. 所以F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0，1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0，1]上恒成立．又1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2. 所以－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2，0]．(2017·兰州调研)已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)． (1)求f (x )的最小值；(2)若f (x )≥－1恒成立，求a 的取值范围；(3)若f (x )＝0的两根都在[0，1]内，求a 的取值范围．解：(1)①当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0，1]上递减，所以f (x )min ＝f (1)＝－2.②当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.当0<1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的对称轴在[0，1]内，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤0，1a 上递减，在⎣⎡⎦⎤1a ，1上递增．所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1a －2a ＝－1a . 当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的对称轴在[0，1]的右侧，所以f (x )在[0，1]上递减．所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.③当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧，所以f (x )＝ax 2－2x 在[0，1]上递减．所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a ＜1，－1a ，a ≥1.(2)只需f (x )min ≥－1，即可．由(1)知，当a <1时，a －2≥－1，所以a ≥1(舍去)；当a ≥1时，－1a≥－1恒成立，所以a ≥1.故a 的取值范围为[1，＋∞)．(3)由题意知f (x )＝0时，x ＝0，x ＝2a(a ≠0)，0∈[0，1]，所以0<2a ≤1，所以a ≥2.故a 的取值范围为[2，＋∞)．。

2.4 幂函数与二次函数

§2.4 幂函数与二次函数最新考纲 1.了解幂函数的概念；结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x 的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)常见的5种幂函数的图象 (3)常见的5种幂函数的性质2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f (x )＝顶点式：f (x )＝，顶点坐标为．零点式：f (x )＝，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的图象和性质知识拓展1．幂函数的图象和性质(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (3)当α＞0时，y ＝x α在[0，＋∞)上为增函数；当α＜0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数．2．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.题组一思考辨析：1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a .( )(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( )(3)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( ) (4)函数y ＝212x 是幂函数．( )(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( ) (6)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．( )题组二教材改编：2．[P79T1]已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 3．[P44A 组T9]已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( )A ．a ≥3B ．a ≤3C ．a ＜－3D ．a ≤－3题组三易错自纠： 4．幂函数f (x )＝x21023a a －＋(a ∈Z )为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．65．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )6．已知函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1,1]，则y 的最小值是______．题型一幂函数的图象和性质1．已知点⎝⎛⎭⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．定义域内的减函数D ．定义域内的增函数 2．若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在同一坐标系中的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．d ＞c ＞b ＞aB ．a ＞b ＞c ＞dC ．d ＞c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞d ＞c 3．若a <0，则0.5a ，5a ，5－a的大小关系是( )A ．5－a <5a <0.5a B ．5a <0.5a <5－aC ．0.5a <5－a <5aD ．5a <5－a <0.5a思维升华 (1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．题型二求二次函数的解析式典例 (1)已知二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为__________________．(2)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________. 思维升华求二次函数解析式的方法跟踪训练 (1)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a ≠0)，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________.(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________. 题型三二次函数的图象和性质命题点1 二次函数的图象典例两个二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c与g(x)＝bx2＋ax＋c的图象可能是()命题点2二次函数的单调性典例函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是() A．[－3,0) B．(－∞，－3] C．[－2,0]D．[－3,0]引申探究若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a＝________.命题点3二次函数的最值典例已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值．引申探究将本例改为：求函数f(x)＝x2＋2ax＋1在区间[－1,2]上的最大值．命题点4二次函数中的恒成立问题典例(1)已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________________．(2)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围为________．思维升华解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．跟踪训练(1)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()(2)已知函数f(x)＝x2－2ax＋2a＋4的定义域为R，值域为[1，＋∞)，则a的值为________．(3)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，则实数a的取值范围为________．。

2.4二次函数与幂函数

高三数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.4二次函数与幂函数课件

2.4幂函数与二次函数课件高三数学一轮复习

2.4 二次函数与幂函数

2020版高考数学历史专用讲义：第二章 2.4 幂函数与二次函数

高考数学大一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.4 二次函数与幂函数名师课件 文 北师大版

2020届高三理数一轮讲义：2.4-幂函数与二次函数(练习版)

高考数学复习第二章函数概念与基本初等函数I2.4二次函数与幂函数文市赛课公开课一等奖省优质课获奖

课时作业13：§2.4二次函数与幂函数

2.4 二次函数与幂函数

第二章 2.4 二次函数与幂函数

2019版数学(理)高分计划一轮高分讲义：第2章 函数、导数及其应用 2.4 二次函数与幂函数

2.4二次函数与幂函数

数学一轮复习第二章2.4二次函数与幂函数学案理含解析

2.4 二次函数与幂函数

2.4二次函数与幂函数

学案5：§2.4 二次函数与幂函数

二次函数与幂函数

2.4 幂函数与二次函数

高考数学大一轮总复习第二章函数、导数及其应用 2.4 二次函数与幂函数名师课件文北师大版

2019版数学(理)高分计划一轮高分讲义：第2章函数、导数及其应用 2.4 二次函数与幂函数