高等几何第一章-朱维宗
大学高等几何课件

多面体、旋转体、组合体等。
空间几何体的性质
体积、表面积、重心等。
平面几何与立体几何的关系
平面几何是立体几何的基础
01
立体几何中的许多概念和性质都可以从平面几何中推广而来。
空间几何体的投影
02
通过投影将三维空间中的几何体投影到二维平面上,从而将三
维问题转化为平面问题。
空间几何体的展开
数形结合的思想方法
数形结合
在高等几何中,数和形是密不可分的,通过数形结合可以将几何问 题转化为代数问题,或者将代数问题转化为几何问题。
代数方法
利用代数方法研究几何问题,如线性代数中的矩阵和向量等,可以 更深入地研究几何图形的性质和关系。
几何直观
通过几何直观来理解代数概念和性质,使得代数问题更加直观易懂。
05
CATALOGUE
高等几何中的数学思想与方法
抽象思维与具体表达的结合
1 2
抽象思维
高等几何中,点、线、面等基本元素不再是具体 的实物,而是通过抽象思维来定义和理解。
具体表达
高等几何中,通过几何图形、图像等方式将抽象 的数学概念具体化,便于理解和应用。
3
结合应用
抽象思维与具体表达的结合,使得高等几何能够 更深入地探索和研究几何学中的本质和规律。
差异性
然而,射影几何和仿射几何也存在差异性。例如,在射影空 间中,无穷远点是重要的元素,而在仿射空间中则不重要。 此外,射影变换通常会改变图形的形状和大小,而仿射变换 则不会。
04
CATALOGUE
欧式几何与非欧式几何
欧式几何的基本概念
欧式几何
基于平面的二维空间,研究点 、线、面及其性质和关系。
不同空间结构
大学高等几何授课讲义

• 2、已知仿射变换
x/ 2x y 1
• 求点 P1(1, 0), P2 (1, 0)
y/
x
y
3
• 的像点,及直线 x y 2 0的像直线。
第一章、仿射坐标与仿射变换
复习仿射坐标 及代数表示式
• 正交变换
x'
y
•
所以:
x'
y'
a11x a21x
a12 y a13 a22 y a23
第一章、仿射坐标与仿射变换
例 已知三点 O(0,0), E(1,1), P(1, 1)求仿射变换T使顺次 变为 O1(2,3), E1(2,5), P1(3, 7).
• 练习:1、求使直线x 0, y 0, x 2y 1 0分别变
点集拓扑 代数拓扑 解析拓扑
分形几何
微分拓扑 微分流形 纤维丛
五、课程简介
• 周学时3,一个学期,学习第一章~第六章
• 主要参考书:
•梅向明、门淑惠等编《高等几何》,高等教育出版社出版, 2008年; • 朱德祥、朱维宗等编《高等几何》(第二版),高等教育出 版社出版,2010年; •罗崇善编《高等几何》,高等教育出版社出版,1999年6月; •朱德祥、李忠映、徐学钰等编《高等几何习题解答》。
x' y'
A
x y
a b
,
直线l1
:u
u1
u2
,l2
:vΒιβλιοθήκη v1v2l1
//
l2
u
v即
u1 u2
v1 v2
u1' u2'
A
u1 u2
高等几何第一章2013

注: 还需证明 (1.1)保持平面上 两点间的距离 不变. 见习题6. 所以, OP'=O'P'+OO', 即 (x', y')=xe'x+ye'y+(a13,a23) =x(a11,a21)+y(a12,a22)+(a13,a23) =(a11x+a12y+a13, a21x+a22y+a23). 即得(1.1)式.
| AB | | BC | | AC | | A ' B ' | | B ' C ' | | A ' C ' | .
即A', B', C'仍然为共线三点且B'在A', C'之间. 若A, B, C不共线, 则必有
| A B | | B C | | A C | | A B | | B C | | A C | | A ' B ' | | B ' C ' | | A ' C ' | | A ' B ' | | B ' C ' | | A ' C ' |
§ 1.1 引 论
一、对应与变换
4. 集合之间的对应(函数、映射) 定义1.6 设f : AB为一个对应. 如果对于集合A中的元素ab, 都有f (a)f (b), 则称f 为单射(injection),也称f 为从A到B内的对应.
定义1.7 设f : AB为一个对应. 如果集合B中的每一个元素都 是A中某个元素的像, 则称f 为满射(surjection), 也称f 为从A到B上 的对应.
2017年《高等几何》教学课件

主要困难
必须注意
来自传统笛氏坐标的干扰
齐次坐标与笛氏坐标的根本区别在于齐次性, 因此,学习诀窍是在齐次性的前提下灵活运用 线性代数知识。 尽管针对拓广平面, 但是今后通用
齐次性问题
几乎无处不在的非零比例常数和比例关系
§1.2 拓广平面上的齐次坐标
一、n 维实向量类
n 维实向量的集合 定义等价关系 ~ n 维实向量类的集合 (用圆括号记向量)
§1.1 拓广平面
理解约定1.1(1), (2)
1、对应平面上每一方向,有惟一无穷远点. 平行的直线交于同 一无穷远点;交于同一无穷远点的直线相互平行. 2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点. 3、平面上添加的无穷远点个数=过一个通常点的直线数. 4、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而,对于通常直线: 平 行 无穷远点 两直线 不平行 交于惟一 有穷远点 平面上任二直线总相交
( RP ) ( R \ {0}) / ~
n
n1 *
(n 2)
事实上, 关于齐次坐标的运算就是上述两个集合中向量类的运算 本课程仅涉及n=2, n=3.
§1.2 拓广平面上的齐次坐标
二、齐次点坐标
1. 一维齐次点坐标 定义1.4 非齐次 关系 齐次坐标
有穷远点
无穷远点 注
x
x= x1 / x2
Rn {x ( x1, x2 ,, xn ) | xi R} (Rn )* {x [ x1, x2 ,, xn ]| xi R}
x ~ y 0 R, 使得x y.
RP
n1
( R \ {0}) / ~
n
(n 2)
n维实向量空间的商空间 n 维实向量类的集合 [用方括号记向量]
几何中的调和分割及应用

几何中的调和分割及应用郑皎月(安康学院数学系 陕西 安康 725000)摘要: “调和分割”又称“调和共轭”,它是交比研究中的一个重要特例,也是 贯穿大学《高等几何》课程的一个重要概念,应用它解决初等几何中有关平分角、平分线段以及高等几何中有关对合的性质、完全四点型的调和分割、完全四线型调和分割以及拉盖尔定理的推广等性质有着积极的意义。
关键字:调和分割 高等几何 应用 性质若C 点分割线段AB 的比值和D 点分割AB 的比值只差一个符号(因而一个是内分点,另一个是外分点),这时我们说C 、D 两点调和分割AB,或C 与D 对于线段AB 成调和共轭点偶,用符号1),(-=CD AB 表示。
在调和分割中,两对点的关系是完全对等的,这意思是说,当C 与D 调和分AB 时, A 与B 也调和分割CD,因而我们已知道,若1),(-=CD AB ,便也有1),(-=AB CD .一、几何中的调和分割 1.关于平分角中的调和分割三角形中一个角的内角和外角的平分线,将对边分成两线段的比值,都和两邻边成证明:由三角形中一个角的内角和外角的平分线,将对边分成两线段的比值,都和两临边成比例有EB AEDB DA CB AC EB AE ==, 即 DB DACB AC = 1=**CBDA DBAC则1-=**BCAD BDAC因此 1),(-=CD AB2、关于线段的调和分割一线段被它的中点和这直线上的无穷远点所调和分割,即证明:1),(-=∞CP AB证: ∞∞∞∞∞*=**=AP BP BC AC BC AP BP AC CP AB ),(因为 CB AC = 所以 1-=BCAC即1-=**∞∞BC AP BP AC则 1),(-=∞CP AB 3、关于对合的调和分割对合有两个二重元素,这两个元素是不重合的,可能是共轭复元素,并且这两个二重元素调和分割任意一对对应元素。
证明:由于对合的表达式是),0(,0)(2''≠-=+++b ad d u u b auu 所以决定二重元素的方程022=++d bs as不能有等根,所以两根1s 和2s 或者是不等式实根(双曲型对合),或者是共轭复根(椭圆型对合).由于对合是射影变换,因此保留交比,即),(),('21'21u u s s uu s s =,利用交比性质,此式可写作),(1),('21'21uu s s uu s s =从而1),('21=uu s s 或1),('21-=uu s s ,但1),('21=uu s s 将导致u 与'u 重合,这与对合不是恒同变换的假设抵触,从而1),('21-=uu s s . 4、关于完全四点形和完全四线形的调和分割完全四点形 完全四点形通过每一个对角点有一组调和线束,即通过这对角点的两边和对角三角形的两边。
《高等几何》 教学大纲

《高等几何》教学大纲一、课程名称《高等几何》(Projective Geometry)二、课程性质数学与应用数学专业限选课。
它跟初等几何、解析几何、高等代数等课程有紧密的联系;它对未来中学数学教师在几何方面基础的培养、观点的提高、思维的灵活、方法的多样起着重要作用,从而大有助于中学数学教学质量的提高和科研能力的培养。
本课程的主旨在于拓展读者的几何空间知识,学习了解变换群观点,进而达到训练理性思维的能力,提高数学修养的目的。
本课程包括了许多著名的定理,奇妙的图形。
通过本课程的学习,可以有效地提高数学审美意识。
本大纲要求本课程的内容处理上实行解析法与综合法并用,以解析法为主。
前修课程包括:初等几何、解析几何、数学分析、高等代数、近世代数。
三、课程教学目的通过本课程的学习,使学生掌握射影几何的基本内容和处理几何问题的方法,同时也认识射影几何、仿射几何、欧氏几何的内在联系,以及在初等几何和解析几何中的应用,并为学习数学的其他分支打好基础。
尤其是对无穷远元素的认识和理解,以开拓同学们的思维方式和视野,使同学们能以居高临下的观点来处理初等数学问题。
四、课程教学原则和方法1、理论与实践相结合的原则;2、《高等几何》知识与高等数学中的其它知识相结合原则;3、《高等几何》知识与初等几何知识相结合的原则;4、在课堂教学中使用传统的讲解法,并适当采用教具演示的方法相结合的原则;5、讲解法与自学相结合的原则。
五、课程总学时72学时,习题课占1/5。
六、教学内容要点及建议学时分配课程教学内容要点及建议学时分配第一章仿射坐标与仿射变换(计划学时6)一、本章教学目标:通过本章的学习,掌握透视仿射对应(变换),仿射对应(变换)以及其代数表达式等。
二、本章主要内容:第一节透视仿射对应1、弄清共线三点的单比和透视仿射对应的基本概念。
2、熟练掌握透视仿射对应的四个性质---保持同素性、结合性、共线三点的单比和平行性。
第二节仿射对应与仿射变换1、掌握平面上的透视链、二直线间和二平面间的仿射对应与仿射变换的概念。
高等几何绪论

•注重新颖性,趣味性,技巧性,反馈于初等几何, 提高观点,加深理解,举一反三。
20
高等几何──朱维宗
五、课程简介
几何学的研究方法有:
综合法
给定公理系统(一套相互独立、 无矛盾、完备的命题系统),演 绎出全部内容。
25
高等几何──朱维宗
五、课程简介 课程开设计划
• 周学时3,一个学期,学习第一章~第八章
• 主要参考书:
•梅向明等编《高等几何》(第三版),高等教育出版社出 版,2008年; •罗崇善编《高等几何》,高等教育出版社出版,1999年6月; •朱德祥、李忠映、徐学钰等编《高等几何习题解答》。
26
高等几何──朱维宗
学习的模式是:
辨别刺激
即时强化(学
习形成期)
刺
反应 强化
激 强化刺激
延时强化(学 习保持期)
28
高等几何──朱维宗
六、与几何学习有关的理论 2.格式塔(完形)学派认为:学习是对
情境整体和关系作出仔细了解后的豁然开朗, 是经顿悟而学会内容的,学习的模式是:
情境整体关系(完形)——反应
29
高等几何──朱维宗
贡献: (1)经验几何发展到论证几何,逻辑学与几 何相结合,为数学学科奠定了发展的基础。 (2)论证几何发展到了解析几何,在数学中 引入了变量,促使函数概念产生,为数学思 想的发展开辟了新天地。 (3)非欧几何的诞生创立了新的空间形式, 导致了哲学观点与数学观念的深刻变化。
9
高等几何──朱维宗
二、几何思想与方法的演变 贡献:(4)几何公理法的产生对数学及其他
高等几何讲义(第1章)

§1 变换与变换群
➢例
求镜射变换
x/ y/
x
的不动直线. y
解:设直线 经此镜射作用后的象为
A C/ D/
M/
➢ 性质: 1.将直线变成直线;
A/
E/ B/
/
2.保持平行性和平行线段之比;
3.对应点连线平行,直线 上的点不变.
§1 变换与变换群
➢2.映射的乘积与逆
➢ 设点 M 先用 R作用得到 M/,再用 Ta 作用得到M//, 则由(1.3)和(1.2)可得 M 到 M// 的变换为:
|OM/| |OM|,MOM/
的点变换称为以 O 为中心的旋转变换,简称旋
转,记为R .其表达式为: y
R
:
x/ y/
xcos ysin xsin ycos
(1.3) j
o
M/
i
M x
§1 变换与变换群
➢ 例4.镜射变换 对平面上的定直线,使原象点M 与象点M/之间的线段被 垂直平分的点变换称为以 为轴的镜射变换,简称镜射.建立如图坐标系,
于直线,取分别
具有投射方向u,v
的两个平行射影 T1:
*和 T2: *,
则乘积
T T2T1:
称为 上的透视仿
射变换.
§3 仿射变换
*
N*
M*
v
M M/
N/
Nu
§3 仿射变换
➢ 几何性质: I. 将点变成点,将直线变成直线; II. 保持平行性和平行线段之比; III. 对应点连线平行;
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
仿射性:对边平行, 仿射性:对边平行,对角线互相平行 仿射量:对边相等,对角相等,面积之比 仿射量:对边相等,对角相等,
例2.在仿射变换下,菱形的什么性质保持不变?什么性 2.在仿射变换下,菱形的什么性质保持不变? 在仿射变换下 质可能被破坏? 质可能被破坏?
EX 1.1
a1 I a2 = G为自对应点。
O
性质: 性质: 直线到直线的仿射为透视仿射 EX 1.2 π1 Iπ2 = a为自对应轴。
3.同素性与结合性在仿射对应下不改变。 3.同素性与结合性在仿射对应下不改变。 同素性与结合性在仿射对应下不改变 4.距离、角度、面积在仿射对应下一般要 4.距离、角度、 距离 改变。 改变。
2.重要结论例讲 重要结论例讲 (2)定理1.5.在仿射变换下,任何一对对应三角形面积之 (2)定理1.5.在仿射变换下, 定理1.5.在仿射变换下 比是仿射不变量。 比是仿射不变量。 证明分析: 证明分析: 10 设T是一透视仿射。 是一透视仿射。 先证一个引理:在透视仿射下, 先证一个引理:在透视仿射下,任何一对对应点到对 应轴距离之比是一个常数。 应轴距离之比是一个常数。即
T : A a A′, B a B′
′ ′ A0 , B0 , A0 , B0分别为A, B, A′, B′在自对应轴g上的射影,则
′ A′A0 = k (常量)。 AA0
9
高等几何──朱维宗 高等几何 朱维宗
方法: 方法:设f、g是两个函数,若对任意的独立变量x、y, 是两个函数,若对任意的独立变量x
自对应点: 自对应点: T (G ) = G 不变元素 自对应轴:g──自对应点的集合 自对应轴:g──自对应点的集合
高等几何──朱维宗 高等几何 朱维宗
1.1平行射影与仿射对应 平行射影与仿射对应
1.T 为透视仿射 线彼此平行 原象点与映像点的连
O′
2.仿射是透视仿射链。 2.仿射是透视仿射链。 仿射是透视仿射链 直线到直线的仿射为透视仿射
19
高等几何──朱维宗 高等几何 朱维宗
1.4平面内的一般仿射 平面内的一般仿射
1.本节主目的 1.本节主目的 在1.3中,我们知道一条对应轴和一对对应点完全 1.3中 确定平面内的一个透视放射变换。 确定平面内的一个透视放射变换。当每一个透视 仿射确定时,就确定了由它们所组成的放射变换。 仿射确定时,就确定了由它们所组成的放射变换。 但这种确定的方法必须先知道组成放射变换的透 视仿射的个数及每一个透视仿射的自对应轴。 视仿射的个数及每一个透视仿射的自对应轴。因 而受到限制。实际上不能依靠这样的方法。 而受到限制。实际上不能依靠这样的方法。怎么 去确定一个仿射变换呢?这就是本节所要解决的。 去确定一个仿射变换呢?这就是本节所要解决的。
A = ∑ ∆ i , A′ = ∑ ∆′ i
i i
T : ∆ i a ∆′ i 于是:∆′ = k ∆ i i
故:A′ = ∑ ∆′ = ∑ k ∆ i = k ∑ ∆ i = kA i
i i i
A′ 或: = k A
14
高等几何──朱维宗 高等几何 朱维宗
推论2 任意两条封闭曲线面积之比是仿射不变量。 推论2:任意两条封闭曲线面积之比是仿射不变量。
──为下节证平面仿射几何基本定理作引理用。 ──为下节证平面仿射几何基本定理作引理用。 为下节证平面仿射几何基本定理作引理用
17
高等几何──朱维宗 高等几何 朱维宗
2.例:设透视仿射T由对应轴g和一对对应点 A a A′ 2.例 设透视仿射T由对应轴g 确定, 为一已知点, 确定,B为一已知点,求作 T ( B), T 2 ( B), T 3 ( B)
5
高等几何──朱维宗 高等几何 朱维宗
1.2仿射不变性与不变量 仿射不变性与不变量
1.本节主要内容 本节主要内容 概念: 概念: 仿射不变性:经过一切透视仿射不改变的性质。 仿射不变性:经过一切透视仿射不改变的性质。 仿射不变量:经过一切透视仿射不改变的数量。 仿射不变量:经过一切透视仿射不改变的数量。 重要结论: 重要结论: (1)同素性 (1)同素性 相切性 (2)结合性 仿射不变性 (2)结合性
T = Tn −1 L T2T1 , k = k1k 2 L k n −1
T
1
T
2
T
n − 1
则 S ∆ An B n C n = kS ∆ A B C S ∆ An B n C n = k
或
S ∆ABC
13
高等几何──朱维宗 高等几何 朱维宗
推论1 在仿射变换下, 推论1:在仿射变换下,任意一对对应多边形面积 之比是常量。 之比是常量。
T
C
A A′
′ C0
C0 B g B′
S ∆A′B′C ′ S ∆ABC
1 A′B′ C ′C0′ =2 1 AB CC0 2
A′B′ = AB
=
C ′C0′ 引理 = k CC0
C′
10
高等几何──朱维宗 高等几何 朱维宗
(b)一般情况
S∆A′B′C ′ = S∆C′YX + S∆B′XZ − S∆A′YZ
A
B B′′ = T 2 (B) Z X
Y
g
A′
B′′′ = T 3 (B) B′ = T (B)
20:连 AB′交轴g于点Y,连 A′Y与 BB′交于 B′′点,则 B′′ = T ( B′) = T (T ( B)) = T 2 ( B ) 30:连 AB′′交轴g于点Z,连 A′Z与 BB′交于 B′′′点,则 B′′′ = T ( B′′) = T (T 2 ( B)) = T 3 ( B)
A A′
C
D E′ E D′
C′
B
g
B′
C ′E ′ − D′E ′ k (CE − DE ) = = =k CE − DE CE − DE
引理
π
[注]若透视仿射无对应抽,则 若透视仿射无对应抽,
S ∆A′B′C ′ =1 S ∆ABC
π′
12
高等几何──朱维宗 高等几何 朱维宗
20 设T是仿射
∆ 1 → ∆ 2 → ∆ 3 → L → ∆ n s1 s 3 = k n − 1 L k 1 s1 s2 = k1s1 s3 = k2 s2 = k2 k1s1
云南师范大学
高等几何( 朱维宗编) 高等几何(第二版 朱德祥 朱维宗编)
第一章:仿射几何学的基本概念 第一章:
云南师范大学数学学院
1
高等几何──朱维宗 高等几何 朱维宗
提 纲
1.1平行射影与仿射对应 1.1平行射影与仿射对应 1.2仿射不变性与不变量 1.2仿射不变性与不变量 1.3平面到自身的透视仿射 1.3平面到自身的透视仿射 1.4平面内的一般仿射 1.4平面内的一般仿射 1.5仿射变换的代数表示 1.5仿射变换的代数表示 第一章 总结
2
高等几何──朱维宗 高等几何 朱维宗
第一章 仿射几何学的基本概念
教材分析
本章地位 从透视仿射(平行射影)引入仿 从透视仿射(平行射影) 射不变性与仿射不变量, 射不变性与仿射不变量,为拓广 欧氏平面作准备。 欧氏平面作准备。 定义透视仿射, 定义透视仿射,学习仿射不变性与 仿射不变量, 仿射不变量,证明平面仿射几何基 本定理,引入仿射变换的代数表示。 本定理,引入仿射变换的代数表示。 将注意力集中在仿射变换及其特 征上,学习用综合法、 征上,学习用综合法、代数法证 明几何命题的方法。 明几何命题的方法。
1.2仿射不变性与不变量 仿射不变性与不变量
2.重要结论例讲 重要结论例讲 (1)定理1.4.一直线上任两线段之比是仿射不变量(Ex1.11) (1)定理1.4.一直线上任两线段之比是仿射不变量(Ex1.11) 定理1.4.一直线上任两线段之比是仿射不变量 上任意四点, [证]设 A、B、C、D是直线a上任意四点, ′、B′、C ′、D′ A 是其仿射象, 是其仿射象,则
(2)图形面积的比 (2)图形面积的比 推论1 推论1 定理1.5 定理1.5 平行四边形 推论2 推论2 仿射图形 梯形 仿射不变性 仿射不变量
7
Ex1.3
线段中点在仿射变换下不变 Ex1.5; Ex2.18(7); Ex1.5; Ex2.18(7); Ex1.12
高等几何──朱维宗 高等几何 朱维宗
A
B B′′ = T 2 (B) Z X
Y
g
A′
B′′′ = T 3 (B) B′ = T (B)
过点B 10:连AB交轴g于点X,连 A′X ,过点B作 AA′ 的平行线 交 A′X于 B′点,则 B′ = T ( B)
18
高等几何──朱维宗 高等几何 朱维宗
2.例 设透视仿射T由对应轴g 2.例:设透视仿射T由对应轴g和一对对应点 A a A′ 确定, 为一已知点, 确定,B为一已知点,求作 T ( B), T 2 ( B), T 3 ( B)
对边平行,对角线互相平分保持不变。 对边平行,对角线互相平分保持不变。 临边的相等性,对角线的互相垂直性可能被破坏。 临边的相等性,对角线的互相垂直性可能被破坏。
16
高等几何──朱维宗 高等几何 朱维宗
1.3平面到自身的透视仿射 平面到自身的透视仿射
1.本节主要内容 1.本节主要内容 平面到自身的透视仿射: 平面到自身的透视仿射: A1
f ( x) f ( y ) f = , 则 = k (常数) 有 g ( x) g ( y ) g 转化 ′ ′ ′ A′A0 A′A0 B′B0 =k →证 = 故证 AA0 AA0 BB0
在此引理下,分三种情况证明: 在此引理下,分三种情况证明: