高等几何第一章-朱维宗

自对应点： 自对应点： T (G ) = G 不变元素 自对应轴：g──自对应点的集合 自对应轴：g──自对应点的集合
高等几何──朱维宗 高等几何 朱维宗
1.1平行射影与仿射对应 平行射影与仿射对应
1.T 为透视仿射 线彼此平行 原象点与映像点的连
O′
2.仿射是透视仿射链。 2.仿射是透视仿射链。 仿射是透视仿射链 直线到直线的仿射为透视仿射
A = ∑ ∆ i , A′ = ∑ ∆′ i
i i
T : ∆ i a ∆′ i 于是：∆′ = k ∆ i i
故：A′ = ∑ ∆′ = ∑ k ∆ i = k ∑ ∆ i = kA i
i i i
A′ 或： = k A
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推论2 任意两条封闭曲线面积之比是仿射不变量。 推论2：任意两条封闭曲线面积之比是仿射不变量。
A′
A
(3)平行性（定理1.1） (3)平行性（定理1.1） 平行性 1.1
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1.2仿射不变性与不变量 仿射不变性与不变量
重要结论： (1)共线三点的简比： 重要结论： (1)共线三点的简比： 共线三点的简比
( ABC)
仿射不变量： 仿射不变量：
两平行线段之比 定理1.3 1.3） （定理1.3） AC 是仿射量 BC 一直线上任两线段 定理1.2 1.2） （定理1.2） 之比（定理1.4 1.4） 之比（定理1.4） 引理1.1 引理1.1
──为下节证平面仿射几何基本定理作引理用。 ──为下节证平面仿射几何基本定理作引理用。 为下节证平面仿射几何基本定理作引理用
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2.例：设透视仿射T由对应轴g和一对对应点 A a A′ 2.例 设透视仿射T由对应轴g 确定， 为一已知点， 确定，B为一已知点，求作 T ( B), T 2 ( B), T 3 ( B)
′ A = lim S n , A′ = lim S n
n →∞
n →∞
′ 其中：S n = kS n
′ 故：A′ = lim Sn = lim kSn = k lim Sn = kA.
n →∞ n →∞ n →∞
A′ 或： = k A
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1.2仿射不变性与不变量 仿射不变性与不变量
对边平行，对角线互相平分保持不变。 对边平行，对角线互相平分保持不变。 临边的相等性，对角线的互相垂直性可能被破坏。 临边的相等性，对角线的互相垂直性可能被破坏。
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1.3平面到自身的透视仿射 平面到自身的透视仿射
1.本节主要内容 1.本节主要内容 平面到自身的透视仿射： 平面到自身的透视仿射： A1
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本章内容
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1.1平行射影与仿射对应 平行射影与仿射对应
平行射影（透视仿射）： 平行射影（透视仿射）： 概念： 概念： T ( ABC L) = A′B′C ′L 仿射（平行射影链）： 仿射（平行射影链）： 平面到平面的 直线到直线的
T = Tn −1 LT2T1 : T ( ABC L) = An BnCn L
(2)图形面积的比 (2)图形面积的比 推论1 推论1 定理1.5 定理1.5 平行四边形 推论2 推论2 仿射图形 梯形 仿射不变性 仿射不变量
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Ex1.3
线段中点在仿射变换下不变 Ex1.5； Ex2.18(7)； Ex1.5； Ex2.18(7)； Ex1.12
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(a)
= k(S∆CYZ + S∆BXZ − S∆AYZ )
= kS∆ABC .
S∆A′B′C′ 或 =k S∆ABC
Y
C
A B
X
B′
Zg
A′
C′
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(c)特殊情形
S ∆A′B′C ′ S ∆ABC 1 A′B′ C ′D′ AA′B′B为 ′ ′ CD 2 = = AB = A′B′ CD 1 AB CD 2
AB AB BD AB BD = =− CD BD CD DB CD 简比是仿射量 A′B′ B′D′ A′B′ = − = . D′B′ C′D′ C′D′
D
C
D ′
B A
T
C ′ B ′ A′
AB A′B′ 即： = . CD C′D′
a
a′
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1.2仿射不变性与不变量 仿射不变性与不变量
2.重要结论例讲 重要结论例讲 (2)定理1.5.在仿射变换下，任何一对对应三角形面积之 (2)定理1.5.在仿射变换下， 定理1.5.在仿射变换下 比是仿射不变量。 比是仿射不变量。 证明分析： 证明分析： 10 设T是一透视仿射。 是一透视仿射。 先证一个引理：在透视仿射下， 先证一个引理：在透视仿射下，任何一对对应点到对 应轴距离之比是一个常数。 应轴距离之比是一个常数。即
T : A a A′, B a B′
′ ′ A0 , B0 , A0 , B0分别为A, B, A′, B′在自对应轴g上的射影，则
′ A′A0 = k (常量)。 AA0
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方法： 方法：设f、g是两个函数，若对任意的独立变量x、y， 是两个函数，若对任意的独立变量x
A
B B′′ = T 2 (B) Z X
Y
g
A′
B′′′ = T 3 (B) B′ = T (B)
过点B 10：连AB交轴g于点X，连 A′X ,过点B作 AA′ 的平行线 交 A′X于 B′点，则 B′ = T ( B)
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2.例 设透视仿射T由对应轴g 2.例：设透视仿射T由对应轴g和一对对应点 A a A′ 确定， 为一已知点， 确定，B为一已知点，求作 T ( B), T 2 ( B), T 3 ( B)
3.示例 示例 例1.平行四边形在仿射变换下，哪些性质和量保持不变？ 1.平行四边形在仿射变换下，哪些性质和量保持不变？ 平行四边形在仿射变换下
仿射性：对边平行， 仿射性：对边平行，对角线互相平行 仿射量：对边相等，对角相等，面积之比 仿射量：对边相等，对角相等，
例2.在仿射变换下，菱形的什么性质保持不变？什么性 2.在仿射变换下，菱形的什么性质保持不变？ 在仿射变换下 质可能被破坏？ 质可能被破坏？
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1.4平面内的一般仿射 平面内的一般仿射
1.本节主目的 1.本节主目的 在1.3中，我们知道一条对应轴和一对对应点完全 1.3中 确定平面内的一个透视放射变换。 确定平面内的一个透视放射变换。当每一个透视 仿射确定时，就确定了由它们所组成的放射变换。 仿射确定时，就确定了由它们所组成的放射变换。 但这种确定的方法必须先知道组成放射变换的透 视仿射的个数及每一个透视仿射的自对应轴。 视仿射的个数及每一个透视仿射的自对应轴。因 而受到限制。实际上不能依靠这样的方法。 而受到限制。实际上不能依靠这样的方法。怎么 去确定一个仿射变换呢？这就是本节所要解决的。 去确定一个仿射变换呢？这就是本节所要解决的。
f ( x) f ( y ) f = , 则 = k (常数) 有 g ( x) g ( y ) g 转化 ′ ′ ′ A′A0 A′A0 B′B0 =k →证 = 故证 AA0 AA0 BB0
在此引理下，分三种情况证明： 在此引理下，分三种情况证明：
(a)∆ABC → ∆A′B′C ′
其中A = A′, B = B′
T = T2T1 : A a A′; B a B′ ( AA1 A′) //( BB1 B′)
π1
B1
l1
l2
A a B A′ a′ B′
──说明平面 ──说明平面 π 内的透视 仿射存在。 仿射存在。
平面内透视仿射的确定：定理： 平面内透视仿射的确定：定理：平面内的透视仿射 由对应轴与其外一对对应点完全确定。 由对应轴与其外一对对应点完全确定。 作图：已知：对应轴 g , T : A a A′ 作图：已知： 求作： 求作：一点B 的象
T = Tn −1 L T2T1 , k = k1k 2 L k n −1
T
1
T
2
T
n − 1
则 S ∆ An B n C n = kS ∆ A B C S ∆ An B n C n = k
或
S ∆ABC
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推论1 在仿射变换下， 推论1：在仿射变换下，任意一对对应多边形面积 之比是常量。 之比是常量。
T
C
A A′
′ C0
C0 B g B′
S ∆A′B′C ′ S ∆ABC
1 A′B′ C ′C0′ =2 1 AB CC0 2
A′B′ = AB
=
C ′C0′ 引理 = k CC0
C′
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(b)一般情况
S∆A′B′C ′ = S∆C′YX + S∆B′XZ − S∆A′YZ
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1.2仿射不变性与不变量 仿射不变性与不变量
1.本节主要内容 本节主要内容 概念： 概念： 仿射不变性：经过一切透视仿射不改变的性质。 仿射不变性：经过一切透视仿射不改变的性质。 仿射不变量：经过一切透视仿射不改变的数量。 仿射不变量：经过一切透视仿射不改变的数量。 重要结论： 重要结论： (1)同素性 (1)同素性 相切性 (2)结合性 仿射不变性 (2)结合性
A A′
C
D E′ E D′
C′
B
g
B′
C ′E ′ − D′E ′ k (CE − DE ) = = =k CE − DE CE − DE
引理
π
[注]若透视仿射无对应抽，则 若透视仿射无对应抽，
S ∆A′B′C ′ =1 S ∆ABC
π′
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20 设T是仿射
∆ 1 → ∆ 2 → ∆ 3 → L → ∆ n s1 s 3 = k n − 1 L k 1 s1 s2 = k1s1 s3 = k2 s2 = k2 k1s1
EX 1.1
a1 I a2 = G为自对应点。
O
性质： 性质： 直线到直线的仿射为透视仿射 EX 1.2 π1 Iπ2 = a为自对应轴。
3.同素性与结合性在仿射对应下不改变。 3.同素性与结合性在仿射对应下不改变。 同素性与结合性在仿射对应下不改变 4.距离、角度、面积在仿射对应下一般要 4.距离、角度、 距离 改变。 改变。
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第一章 仿射几何学的基本概念
教材分析
本章地位 从透视仿射（平行射影）引入仿 从透视仿射（平行射影） 射不变性与仿射不变量， 射不变性与仿射不变量，为拓广 欧氏平面作准备。 欧氏平面作准备。 定义透视仿射， 定义透视仿射，学习仿射不变性与 仿射不变量， 仿射不变量，证明平面仿射几何基 本定理，引入仿射变换的代数表示。 本定理，引入仿射变换的代数表示。 将注意力集中在仿射变换及其特 征上，学习用综合法、 征上，学习用综合法、代数法证 明几何命题的方法。 明几何命题的方法。
1.2仿射不变性与不变量 仿射不变性与不变量
2.重要结论例讲 重要结论例讲 (1)定理1.4.一直线上任两线段之比是仿射不变量(Ex1.11) (1)定理1.4.一直线上任两线段之比是仿射不变量(Ex1.11) 定理1.4.一直线上任两线段之比是仿射不变量 上任意四点， [证]设 A、B、C、D是直线a上任意四点， ′、B′、C ′、D′ A 是其仿射象， 是其仿射象，则
云南师范大学
高等几何（ 朱维宗编） 高等几何（第二版 朱德祥 朱维宗编）
第一章：仿射几何学的基本概念 第一章：
云南师范大学数学学院
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提 纲
1.1平行射影与仿射对应 1.1平行射影与仿射对应 1.2仿射不变性与不变量 1.2仿射不变性与不变量 1.3平面到自身的透视仿射 1.3平面到自身的透视仿射 1.4平面内的一般仿射 1.4平面内的一般仿射 1.5仿射变换的代数表示 1.5仿射变换的代数表示 第一章 总结
A
B B′′ = T 2 (B) Z X
Y
g
A′
B′′′ = T 3 (B) B′ = T (B)
20：连 AB′交轴g于点Y，连 A′Y与 BB′交于 B′′点，则 B′′ = T ( B′) = T (T ( B)) = T 2 ( B ) 30：连 AB′′交轴g于点Z，连 A′Z与 BB′交于 B′′′点，则 B′′′ = T ( B′′) = T (T 2 ( B)) = T 3 ( B)