数字信号处理DSP第二章1 z变换的定义及收敛域
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数字信号处理第2章
Z变换与拉氏变换的关系:
这一关系实际上是通过 到了Z平面。
若将Z平面用极坐标表示
标表示
，代入
将S平面的函数映射
，S平面用直角坐 ，得：
上述关系表明： z 的模 r 仅与 s 的实部 相对应， z 的幅角 则仅与 s 的虚部 对应。
映射关系：
Z变换与拉氏变换的关系
0 0,2 (S平面实轴映射到Z平面的正实轴)
解：
，求它的傅立叶变换。
其幅度谱和相位谱分别为：
典型例题
❖ 例2 已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。
解：
显然序列 h(n)不是绝对可和的，而是平方可和 的 ，但其依然存在傅立叶变换。 Parseval定理
典型例题
❖ 例3 证明复指数序列 x(n) e j0n 的傅立叶变换为：
证：根据序列的傅立叶反变换定义，利用冲击函 数 的性质，有：
即序列绝对可和
某的有 立些序些叶既列序变不，列换满若虽依足引然然绝入不存对频满在可 域足。和的以见的冲上后条击条例件函件。也数，不但满满，足足其平平傅方方立可可叶和和变条，换件其傅
也存在。如
、某些周期序列，见后例。
序列傅立叶变换的定义
5．常用序列的傅立叶变换
序列
(n)
傅立叶变换
1
1
典型例题
❖ 例1 已知
A形k(式k=求0,X取1(…：z),N)B，(此z) A( z )
时
为了方bi 便z i通常利用
i0
N
1 ai z i
X(z)/z的
i 1
若序列为因果序列，且N≥M，当X(z)的N个极点都是单
极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：
则其逆Z变换为：
第二章 Z变换
-
第2章 z变换
表 2 1 几 种 序 列 的 变 换
Z
第2章 z变换
2.3 Z反变换
已知函数X(z)及其收敛域，反过来求序列的变换称为Z反变 换，
x(n)=Z-1［X(z)］
Z
若
X (z) x(n)zn Rx | z | Rx
n
(2-10)
则
x(n) 1 X (z)zn1dz
2.5.2 傅氏变换与序列的Z变换
第2章 z变换
2.6 序列的傅里叶变换 2.7 傅里叶变换的一些对称性质 2.8 离散系统的系统函数，系统的频率响应
2.8.1 因果稳定系统 2.8.2 系统函数和差分方程的关系 2.8.3 系统频率响应的意义 2.8.4 频率响应的几何确定法 2.8.5 有理系统函数的单位脉冲响应（IIR，FIR）
2.2
2.2.1 Z变换的定义
Z变换
第2章 z变换
一个离散序列x(n)的Z变换定义为
X (z) x(n)zn
(2-1)
n
式中，z是一个复变量，它所在的复平面称为Z平面。我们常用
Z［x(n)］表示对序列x(n)进行Z变换，也即
Z[x(n)] X (z)
(2-2)
第2章 z变换
究收敛域的重要性。
第2章 z变换
（4） 双边序列： 一个双边序列可以看作一个右边序列和一个左边序列之和， 即
1
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
n
n0
n
(1-62)
因而其收敛域应该是右边序列与左边序列收敛域的重叠部分。
等式右边第一项为右边序列，其收敛域为|z|>Rx-; 第二项为左边序列，
DSP第二章Z变换
则 Z［ax(n) + by(n) ］
=aX(z)+bY(z), R m-<|z|<R m+
Rm+=min［ Rx+,Ry+］ Rm-=max［ Rx,Ry-］
2. 序列的移位
设 X(z)=Z［x(n)］, Rx-<|z|<Rx+
则 Z［x(n-m)］=z-mX(z), Rx-<|z|<Rx+
3. 乘以指数序列
n 0
X(z)存在的条件是z <1， 因此收敛域为|z|>1
1 X ( z) 1 z 1
-1
|z|>1
序列特性对收敛域的影响
1. 有限长序列
x(n)
x(n)= 0 其它
n1≤n≤n2
其Z变换为
X ( z ) x(n) z n
n n1
n2
1.
2.
n1<0， n2≤0时， 0≤z＜∞
则
Y(z) = Z [y(n)] = Z [ x(n)h(n )] 1 z H(v) v-1 dv = 2л ∮ X v j c Rx-Rh- < |z| < Rx+Rh+
12、Parseval定理 若 X(z) = Z [x(n)] Rx- < |z| < Rx+
H(z) = Z[h(n)] Rh- < |z| < Rh+
令X(z)= P(z) Q(z)
零点：使X(z)=0的点 即P(z)=0和当Q(z)阶次高于P(z)时，Q(z) 极点：使X(z)
∞ 的点 ∞ ∞
即Q(z)=0和当P(z)阶次高于Q(z)时P(z)
数字信号处理第2章 Z变换综述
例4：求序列 x(n) a u (n)的Z变换及收敛域。
n
解： X ( z )
n
n n n n 1 n a u ( n ) z a z ( az ) n 0 n 0
1 az 1 (az 1 ) 2 (az 1 ) n
1 — 64
Z -
-2
-3 1 —— Z 256
1 -3 —— Z 256
...
极点分为：实极点、复极点 若为复极点必然是共轭极点，必然是成对出现
例：
z 1 z z X ( z) 2 1 2 1 z z z z 1 ( z 1 )2 ( 3 j)2 2 2
因为D(z)的系数是实数，所以复极点必然成对出现
§2.3
z变换性质1
一、线性: Z[a x (n)+a x (n)]=a Z[x (n)]+a Z[x (n)]
1 1 2 2 1 1 2 2
二、时移： Z[x(n)]=X(z)
Z[x(n-m)]=z-m· X(z)
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
x(n) h(n) y(n)
|a|<|z|<1/|a|
双边序列的收敛域是左边序列和右边序列z变换的 公共收敛区间。
课本P27表2.1
z nu(n) ~ ( z 1) 2
作业2.1(2)(6)
z 2 sin z sin(0 ) sin(n0 )u (n) ~ z 2 2 z cos0 1 sin z 1 sin(0 ) 1 2 z 1 cos0 z 2
z z 1 z z X ( z) 2 z 4 z 3 ( z 1)(z 3) 2 z 1 z 3
数字信号处理,第二章 Z变换讲解
二、右边序列
例3：求序列 x(n) u(n)的Z变换及收敛域。
Z[x(n)] u(n)zn zn
n
n0
1 1 1 z z2
1 1 z 1
z z 1
Z[u(n)]的极点为1，零点为0 收敛域为|z|>1
零极相消
例：
Z[u(n) u(n 1)]
Z[u(n)] Z[u(n 1)]
s1in2zz1
1 sin(0 cos0
z 2
)
§2.3 z变换性质1
一、线性:
Z[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1Z[x1(n)]+a2Z[x2(n)]
二、时移：
Z[x(n)]=X(z) Z[x(n-m)]=z-m·X(z)
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
即： x(n)z n M n
一、有限长序列
例1：求序列 x(n) RN (n) 的Z变换及收敛域。
Z[RN (n)]
RN (n)zn
n
N 1
z n
n0
1 zN 1 z1
收敛域为： 0 z ,
例2：求序列 x(n) (n)的Z变换及收敛域。
解：
Z[ (n)] (n)zn z0 1
z z1 z z 1 1
z 1
z 1 z 1
零、极点均为z=1,称为零极点相消。收敛域为整个z平面。
另：
u(n) u(n 1) (n), Z[ (n)] 1
例4：求序列 x(n) anu(n)的Z变换及收敛域。
解： X (z) anu(n)z n a n z n (az 1 )n
例2-4-2：
X
(
z)
《Z变换的收敛域》课件
1
收敛域的大小与稳定性有密切
关系
信号的频域特性
2
如果系统的输入信号Z变换的收敛域包含 了稳定域，则系统是稳定的
不同的收敛域代表着信号在频域上的不
同特性，因此收敛域在信号分析中具有
重要的地位
3
滤波器设计
不同的收敛域决定了数字滤波器的性质， 因此我们可以根据需要指定收敛域来设 计所需的数字滤波器
收敛域的边界有哪些？如何确定边界？
常见的收敛域有哪些？
1 收敛于整个平面
对于某些信号，Z变换在整个平面都收敛，这在实际应用中较为少见
2 收敛于单位圆内部
当信号的绝对值随着时间的增加而指数衰减，Z变换收敛于单位圆内部
3 收敛于单位圆外部的环状区域
如果信号的绝对值并不随着时间的增加而衰减，而是不断循环波动，Z变换就会在圆环上 收敛
动态系统中收敛域的重要性是什么？
控制系统稳定性分析
Z变换和收敛域在控制系统的分 析和设计中具有广泛应用。我们 可以利用收敛域来预测系统的稳 定性，并设计控制器来改善系统 的性能
语音信号处理
语音信号的处理和分析需要考虑 其时间和频率特性。Z变换和收 敛域是分析语音信号频率特性的 有力工具之一
Z变换与收敛域在实际应用中的局限性 与挑战
边界线的特点不同
收敛域和发散域之间的边界线有很大不同。收敛域 的边界线通常是连续的，而发散域的边界线则断断 续续
收敛定理是什么？有哪些类型？
1
极限定理
如果序列的极限存在，则它的Z变换必收
稳定定理
2
敛于某个区域内
一个因果稳定的离散系统的Z变换必定在
单位圆内收敛
3
因果性定理
如果离散系统是因果的，那么它的Z变换
数字信号处理第2章Z变换
s=jΩ X(S)
z=esT
X(z) z=ejω
模拟：x(t)
X(j) =T
X(ejω)
t=nT
s
数字：x(n)
§2.6 离散系统的系统函数和 系统的频率响应
一、离散系统的系统函数
1、差分方程和系统函数的关系
系统的差分方程为：
对方程两边做z变换，得：
整理得系统函数为：
2、 H(z)和单位抽样响应h(n) 的关系
(2)与的关系（=T）
的取值范围是从-→（负频端无意义，只是
用于数学分析），而在圆周上变化，具有明显 的周期性，以2为周期，这样的对应关系非单值
关系，所以要把限制在一个周期内。
= T,从–→， 所以在一个周期内：为–/T→/T
=0，S平面的实轴，
=0，z平面正实轴；
=0(常数)， S：平行实轴的直线，
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
系统函数：
§2.4 z反变换
部分分式法：
X(z)一般是z的有理分式，可写成X(z)=N(z)/D(z)，而N(z)、
D(z)一般是实系数多项式，则X(z)可以写成部分分式之和的形 式
再利用已知的z变换：
结合收敛域写出反变换：
需要注意的问题：
①极点zk，为D(z)=0的根 ②计算系数Ak时，要写成：
③利用已知z变换时，注意收敛域
配分法： 例2-4-1：
（在滤波器的设计中，分子、分母通常写成负幂的形式）
求系数Ak
例2-4-2：
利用z变换的时移性质： 令： 则：
长除法-原理
即D(z)除以N(z)的商为z的多项式，多项式的系数即为序列x(n) 左边序列对应z的正次幂的系数，右边序列对应z的负次幂的系数
数字信号处理DSP第二章1 z变换的定义及收敛域
在 处收敛的z变换，
j Im[ z ]
其序列必为因果序列
R
x
R e[ z ]
0
2019/2/9
数字信号处理
包 括 z 处
3）左边序列
0 nn 2 x (n ) (n ) nn x 2
n n 其 z 变 换 ： X ( z ) x ( n ) z x ( n ) z n n 1 0 n 2
2019/2/9 数字信号处理
第二章 z变换
时域分析方法 变换域分析方法：
连续时间信号与系统 Laplace变换 Fourier变换 离散时间信号与系统 z变换 Fourier变换
2019/2/9 数字信号处理
一、z变换的定义及收敛域
1、z变换的定义
序列x(n)的z变换定义为：
n X () z Z T [() x n ] x () n z n
极 点 ： z 0 （ N 1 ） 阶
0
R e[ z ]
R o c : 0 z
2019/2/9
数字信号处理
n 例 2 ： 求 x ( n ) a u ( n ) 的 z 变 换 及 其 收 敛 域
解 ： X ( z ) = x ( n ) z = a u ( n ) z = a z
当 n 0 时 ， R o c :R z 1 x 当 n 0 时 ， R o c :R z 1 x
2019/2/9 数字信号处理
R
x
R e[ z ]
n1 0
0
包 括 z 处
因果序列
n1 0 的右边序列，
Roc: R z x 因果序列的z变换必在 处收敛
数字信号处理——第2章 离散时间傅里叶变换与Z变换
• 总结：
①序列ZT的收敛域以极点为边界（包含0 和 ②收敛域内不含任何极点，可以包含0 ③相同的零极点可能对应不同的收敛域，即： 不同的序列可能有相同的ZT ④收敛域汇总：右外、左内、双环、有限长z平面
）
常见典型序列z变换
序列 Z变换 收敛域
z a
z b
注意：只有z变换和它的收敛域两者在一起才和序列相对应。 其它序列见P54： 表2-1 几种序列的z变换
2.3
z反变换
Z反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n)
X ( z ) ZT [ x ( n)]
n
x (n) z n
实质：求X(z)幂级数展开式
Z反变换的求解方法： 留数定理法
部分分式法
长除法
1. 留数定理法
根据复变函数理论，可以推导出
x ( n)
1 2 j
X ( z ) z n 1dz
1 1 3z 1
n
z 2
2 n u ( n)
z 3
3
n
n
u (n 1)
x n 2 u n 3 u n 1
3. 幂级数法（长除法）
如果序列的ZT能表示成幂级数的形式，则序列x(n) 是幂 级数 说明： ①这种方法只对某些特殊的ZT有效。 ②如果ZT为有理函数，可用长除法将X(z)展开成幂级 数。 若为右边序列（特例：因果序列），将X(z)展开成负幂 级数； 若为左边序列（特例：反因果序列），将X(z)展开成正 幂级数； 中
z z 1 1 X z 1 z 2 z 3 1 2z 1 3 z 1
1 ZT [a u (n)] z a 1 1 az 1 n ZT [a u (n 1)] z a 1 1 az
数字信号处理第二章Z变换
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
系统函数：
§2.4 z反变换
部分分式法：
X(z)一般是z的有理分式，可写成X(z)=N(z)/D(z)，而N(z)、
D(z)一般是实系数多项式，则X(z)可以写成部分分式之和的形 式
再利用已知的z变换：
结合收敛域写出反变换：
需要注意的问题：
LT主要问题：收敛域、极点、反变换
常用的LT：
S平面与Z平面的映射关系
连续信号xa(nT)抽样后为 抽样信号的拉氏变换为
抽样序列x(n)=xa(nT) 的z变换为 比较两式得s平面到z平面的映射关系为：
（主要应用于AF到DF转换）
•将s平面用直角坐标表示：
，
横坐标为，纵坐标为模拟角频率；
•将z平面用极坐标表示：
，|a|<1
|a|<|z|<1/|a|
双边序列的收敛域是左边序列和右边序列z变换的 公共收敛区间。
课本P27表2.1
作业2.1(2)(6)
§2.3 z变换性质1
一、线性:
Z[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1Z[x1(n)]+a2Z[x2(n)]
二、时移：
Z[x(n)]=X(z) Z[x(n-m)]=z-m·X(z)
，
横坐标为实轴，纵坐标为虚轴；
•两平面都是复平面。
(1)r与的关系
→
=0,即S平面的虚轴→r=1,即z平面单位圆； <0,即S的左半平面→r<1,即z的单位圆内； >0,即S的右半平面→r>1,即z的单位圆外 。
j
0
0
→
r＝0，＝0时， ＝–，＝0，即z平面的原点映射
z变换性质2
三、时域卷积：
系统函数：
§2.4 z反变换
部分分式法：
X(z)一般是z的有理分式，可写成X(z)=N(z)/D(z)，而N(z)、
D(z)一般是实系数多项式，则X(z)可以写成部分分式之和的形 式
再利用已知的z变换：
结合收敛域写出反变换：
需要注意的问题：
LT主要问题：收敛域、极点、反变换
常用的LT：
S平面与Z平面的映射关系
连续信号xa(nT)抽样后为 抽样信号的拉氏变换为
抽样序列x(n)=xa(nT) 的z变换为 比较两式得s平面到z平面的映射关系为：
（主要应用于AF到DF转换）
•将s平面用直角坐标表示：
，
横坐标为，纵坐标为模拟角频率；
•将z平面用极坐标表示：
，|a|<1
|a|<|z|<1/|a|
双边序列的收敛域是左边序列和右边序列z变换的 公共收敛区间。
课本P27表2.1
作业2.1(2)(6)
§2.3 z变换性质1
一、线性:
Z[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1Z[x1(n)]+a2Z[x2(n)]
二、时移：
Z[x(n)]=X(z) Z[x(n-m)]=z-m·X(z)
，
横坐标为实轴，纵坐标为虚轴；
•两平面都是复平面。
(1)r与的关系
→
=0,即S平面的虚轴→r=1,即z平面单位圆； <0,即S的左半平面→r<1,即z的单位圆内； >0,即S的右半平面→r>1,即z的单位圆外 。
j
0
0
→
r＝0，＝0时， ＝–，＝0，即z平面的原点映射
z变换的定义与收敛域.
1) |z|3
2 3 H ( z) 1 1 2z 1 3z 1 非稳定，因果
h[k ] (2
2) 2<|z|<3 非稳定， 非因果
k 1
3
k 1
)u[k ]
h[k ] 2k 1 u[k ] 3k 1 u[k 1]
3) |z|<2 稳定，非因果
h[k ] 2
单位圆 Im(z) Re(z)
单位圆
Im(z) Re(z)
稳定因果系统
非稳定非因果系统
单位圆
Im(z) Re(z)
稳定非因果系统
系统函数
对LTI系统:
y[k]=x [k]*h[k]
由z变换的性质：Y(z)=H(z)X(z) H(z)称为离散LTI系统的系统函数 当的H(z) ROC包含单位圆时
H ( e j ) H ( z ) z e j
k 1
u[k 1] 3
k 1
u[k 1]
留数法求Z反变换
1 k 1 x[k ] X ( z ) z dz c 2j
l
C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线
Re s{ X ( z ) z k 1 } z p
l
1 例：X ( z ) (1 az1 ) 2
X ( z ) z k
k 0
N 1
1 zN 1 1 z
z 0
2)右边序列
X ( z)
k N1
k
x[k ]z
k
z R
例：x[k ] ak u[k ]
X ( z) a z
k 0 k
1 1 1 az
z a
3)左边序列
2 3 H ( z) 1 1 2z 1 3z 1 非稳定，因果
h[k ] (2
2) 2<|z|<3 非稳定， 非因果
k 1
3
k 1
)u[k ]
h[k ] 2k 1 u[k ] 3k 1 u[k 1]
3) |z|<2 稳定，非因果
h[k ] 2
单位圆 Im(z) Re(z)
单位圆
Im(z) Re(z)
稳定因果系统
非稳定非因果系统
单位圆
Im(z) Re(z)
稳定非因果系统
系统函数
对LTI系统:
y[k]=x [k]*h[k]
由z变换的性质：Y(z)=H(z)X(z) H(z)称为离散LTI系统的系统函数 当的H(z) ROC包含单位圆时
H ( e j ) H ( z ) z e j
k 1
u[k 1] 3
k 1
u[k 1]
留数法求Z反变换
1 k 1 x[k ] X ( z ) z dz c 2j
l
C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线
Re s{ X ( z ) z k 1 } z p
l
1 例：X ( z ) (1 az1 ) 2
X ( z ) z k
k 0
N 1
1 zN 1 1 z
z 0
2)右边序列
X ( z)
k N1
k
x[k ]z
k
z R
例：x[k ] ak u[k ]
X ( z) a z
k 0 k
1 1 1 az
z a
3)左边序列
数字信号处理DSP第二章1z变换的定义及收敛域
n 1
n1
当 a1z 1时
a 1 z 1 a1z
1 1 az1
j Im[z]
Roc : z a
零点：z 0 极点：z a
2024/8/3
数字信号处理
a Re[z]
0
例4：求x(n) a n，a为实数，求其z变换及其收敛域
1
解：X(z)= x(n)zn = a n zn = an zn an zn
– 左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有 限极点所在圆之内
2024/8/3
数字信号处理
j Im[z]
a
b 0
c
Re[z]
j Im[z]
a 0
b Re[z] c
j Im[z]
a
b Re[z]
0 c
2024/8/3
数字信号处理
j Im[z]
a
b 0
Re[z] c
Roc : 0 z
0 n1 n2
0n n 0 Roc : 0 z
n1 n2 0
2024/8/3
0n 0 n Roc : 0 z
数字信号处理
2）右边序列
x(n)
x(n)
0
n n1 n n1
1
其Z变换：X (z) x(n)zn x(n)zn
当n2 0时，Roc : 0 z Rx 当n2 0时，Roc : 0 z Rx
2024/8/3
数字信号处理
Re[z]
0
Rx
n2 0
4）双边序列
n为任意值时皆有值
1
其z变换：X (z) x(n)zn x(n)zn
n
n0
j Im[z]
前式Roc: 0 z Rx
数字信号处理(程佩青)_第二章_Z变换
17
2. z变换的收敛域
一种最重要的右边序列：因果序列——是指在 n≥0时x(n)有值，n<0时x(n)=0的序列。其收敛
序列为：
在|z|=∞处z变换收敛是因果序列的特征。
18
2. z变换的收敛域
因果序列及其收敛域（包括z=∞ ）
19
2. z变换的收敛域
（3）左边序列
在 时 有值，在 时 的序列 。其z变换为：
有一个
一阶极点。所以
31
1.围线积分法（留数法）
(2)当n≤-2时：函数 有一个 4 一阶极点。所以 在围线C外只
综合可得：
32
2.部分分式展开法
当X(z)为有理函数时，可以表示成
X(z) 可以展成下面的部分分式形式：
其中zi是X(z)的一个r阶极点 ，zk是X(z)的单极点（k=1,2……N-r），Bn是 整式部分的系数（M≥N时存在，M=N时，只有B0 项；M<N时Bn =0）。
59
任一序列总能表示成一个共轭对称序列与 一个共轭反对称序列之和。
要证明这一点，需要找到xe(n) 和xo(n) ，这 只要令xe(n) 和xo(n)满足下式即可 ：
60
同样，一个序列x(n)的傅里叶变换也可以分 解成共轭对称分量与共轭反对称分量之和：
其中 ，是共轭对称的， 轭反对称的。
是共
61
(5)
若已知 X(z) = Z[x(n)] Rx_＜|z|＜Rx+
则有： Z [ x * (n)] X * ( z * )
(6)
若已知 则有： X(z) = Z[x(n)] Rx_＜|z|＜Rx+
1 Z [ x(n)] X ( ) z
48
2. z变换的收敛域
一种最重要的右边序列：因果序列——是指在 n≥0时x(n)有值，n<0时x(n)=0的序列。其收敛
序列为：
在|z|=∞处z变换收敛是因果序列的特征。
18
2. z变换的收敛域
因果序列及其收敛域（包括z=∞ ）
19
2. z变换的收敛域
（3）左边序列
在 时 有值，在 时 的序列 。其z变换为：
有一个
一阶极点。所以
31
1.围线积分法（留数法）
(2)当n≤-2时：函数 有一个 4 一阶极点。所以 在围线C外只
综合可得：
32
2.部分分式展开法
当X(z)为有理函数时，可以表示成
X(z) 可以展成下面的部分分式形式：
其中zi是X(z)的一个r阶极点 ，zk是X(z)的单极点（k=1,2……N-r），Bn是 整式部分的系数（M≥N时存在，M=N时，只有B0 项；M<N时Bn =0）。
59
任一序列总能表示成一个共轭对称序列与 一个共轭反对称序列之和。
要证明这一点，需要找到xe(n) 和xo(n) ，这 只要令xe(n) 和xo(n)满足下式即可 ：
60
同样，一个序列x(n)的傅里叶变换也可以分 解成共轭对称分量与共轭反对称分量之和：
其中 ，是共轭对称的， 轭反对称的。
是共
61
(5)
若已知 X(z) = Z[x(n)] Rx_＜|z|＜Rx+
则有： Z [ x * (n)] X * ( z * )
(6)
若已知 则有： X(z) = Z[x(n)] Rx_＜|z|＜Rx+
1 Z [ x(n)] X ( ) z
48
Z变换的定义与收敛域
c)零点、极点和增益常数表示
H ( z ) = kz
( N M )
( z z (1))( z z (2) ( z z ( M )) ( z p(1))( z p (2)) ( z p ( N ))
L
d) 2阶因子表示
H ( z) = ∏
k =1
b0 k + b1k z 1 + b2 k z 2 1 2 a0 k + a1k z + a2 k z
单位圆 Im(z) Re(z)
单位圆
Im(z) Re(z)
稳定因果系统
非稳定非因果系统
单位圆
Im(z) Re(z)
稳定非因果系统
系统函数
对LTI系统:
y[k]=x [k]*h[k]
由z变换的性质：Y(z)=H(z)X(z) H(z)称为离散LTI系统的系统函数 当的H(z) ROC包含单位圆时
H ( e j ) = H ( z ) z = e j
(1) m! 1 = (m 1)! ( z a) 2+ m 1
m 1
= ma ( m +1) = (k + 1) a k
z =0
k
x[k ] = (k + 1)a u[k 1]
系统的稳定性和H(z) 系统的稳定性和
LTI系统稳定的充要条件：
∑ k = ∞
∞
h[k ] < ∞
H(z)的收敛域包含单位圆
留数法求Z反变换 留数法求 反变换
1 k 1 x[k ] = ∫c X ( z ) z dz 2πj
l
C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线
= ∑ Re s{ X ( z ) z k 1 } z = p
Z变换及收敛域
对于任意给定的序列x(n) ，使
X (z) =
−n x ( n ) z ∑ ∞
n = −∞
收敛的所有z 值之集合为收敛域 (ROC) 。
即满足
n = −∞
∑
∞
x ( n) z − n < ∞ 的区域
ROC: Region of convergence 不同的x(n)的z变换，可能对应于相同的z 变换，但收敛 域不同，故在确定 z 变换时，必须指明收敛域。
§2.1.1 z变换的定义及收敛域
z变换的定义 z变换的收敛域 讨论几种情况
1． z变换的定义
单边z变换 双边z变换 X ( z ) = ∑ x ( n) z − n
n= 0 ∞ ∞
X (z) =
n =－∞
−n x ( n ) z ∑
• z变换是复变量 z −1的幂级数（亦称罗朗级 数）
2．z变换的收敛域
△左边序列的z变换其ROC为 △双边序列的z变换其ROC为
j Im[z]
j Im[z]
j Im(z )
z > R1的圆外； z < R2 的圆内； R1 < z < R2 的圆环。
j Im(z )
R2
Re[z]
R1
Re[z]
22 R
1/3 R1
Re(z )
O
2
Re(z )
0
第二项为有限长序列的z变换，它的收敛域为有限z平面 第一项中若|z|=Rx 使级数收敛，则所有|z|<Rx都能使级数收敛 收敛域 所以左边序列的收敛域为 j Im( z ) 为圆内
0 <| z |< Rx +
收敛半径 如果n2<0,则为纯非因果序列
X (z) =
−n x ( n ) z ∑ ∞
n = −∞
收敛的所有z 值之集合为收敛域 (ROC) 。
即满足
n = −∞
∑
∞
x ( n) z − n < ∞ 的区域
ROC: Region of convergence 不同的x(n)的z变换，可能对应于相同的z 变换，但收敛 域不同，故在确定 z 变换时，必须指明收敛域。
§2.1.1 z变换的定义及收敛域
z变换的定义 z变换的收敛域 讨论几种情况
1． z变换的定义
单边z变换 双边z变换 X ( z ) = ∑ x ( n) z − n
n= 0 ∞ ∞
X (z) =
n =－∞
−n x ( n ) z ∑
• z变换是复变量 z −1的幂级数（亦称罗朗级 数）
2．z变换的收敛域
△左边序列的z变换其ROC为 △双边序列的z变换其ROC为
j Im[z]
j Im[z]
j Im(z )
z > R1的圆外； z < R2 的圆内； R1 < z < R2 的圆环。
j Im(z )
R2
Re[z]
R1
Re[z]
22 R
1/3 R1
Re(z )
O
2
Re(z )
0
第二项为有限长序列的z变换，它的收敛域为有限z平面 第一项中若|z|=Rx 使级数收敛，则所有|z|<Rx都能使级数收敛 收敛域 所以左边序列的收敛域为 j Im( z ) 为圆内
0 <| z |< Rx +
收敛半径 如果n2<0,则为纯非因果序列
第二章 Z变换1,2,3,4
第二章 z 变换
§2.1引言 信号与系统的分析方法中，除时域分析方法外，还有变换域 分析方法。在离散时间信号与系统中，变换域分析方法为 z 变换 及傅里叶变换。z 变换在离散时间系统中的作用就如同拉普拉斯 变换在连续时间系统中的作用一样，它把描述离散系统的差分方 程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。因此对求解离散 时间系统而言，z 变换是一个极其重要的方法（数学工具）。
12
§2.3 z 反变换（IZT） z 反变换：从给定的 z 变换闭合式 X (z ) 中还原出原序列 x(n) 。 x(n) Z 1 X ( z ) 表示式为： 通常有三种方法求出IZT：围线积分法（留数法）、部分分 式展开法和长除法。这里仅介绍前两种。 一、围线积分法（留数法） 根据复变函数的理论，若函数 X (z ) 在环状区域 Rx z Rx
n 0
所以 z 处 z 变换收敛是因果序列的特征。 3．左边序列 x n 只在 n n2 时， (n) 有非零值， n2 时，x(n) 0 。其 z 变换 为： n2 n2 0 X ( z ) x ( n) z n x ( n) z n x ( n) z n
令 z Re j ， Rx R Rx 我们已经知道柯西积分定理： 1 1 z k 1dz R k 1e j ( k 1) d ( Re j ) 2 j c 2 j c
14
Rk 2
1 ，k 0 e d 0 ，k 0 ， k为整数
Rx z
如图所示。
5
x 因果序列：即n1 0的右边序列，或者说，在 n 0时， (n) 有 n 非零值， 0 时，x(n) 0 。这时其变换中只有 z 的零幂和负幂项， 因此级数收敛域可以包括 z ，即
§2.1引言 信号与系统的分析方法中，除时域分析方法外，还有变换域 分析方法。在离散时间信号与系统中，变换域分析方法为 z 变换 及傅里叶变换。z 变换在离散时间系统中的作用就如同拉普拉斯 变换在连续时间系统中的作用一样，它把描述离散系统的差分方 程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。因此对求解离散 时间系统而言，z 变换是一个极其重要的方法（数学工具）。
12
§2.3 z 反变换（IZT） z 反变换：从给定的 z 变换闭合式 X (z ) 中还原出原序列 x(n) 。 x(n) Z 1 X ( z ) 表示式为： 通常有三种方法求出IZT：围线积分法（留数法）、部分分 式展开法和长除法。这里仅介绍前两种。 一、围线积分法（留数法） 根据复变函数的理论，若函数 X (z ) 在环状区域 Rx z Rx
n 0
所以 z 处 z 变换收敛是因果序列的特征。 3．左边序列 x n 只在 n n2 时， (n) 有非零值， n2 时，x(n) 0 。其 z 变换 为： n2 n2 0 X ( z ) x ( n) z n x ( n) z n x ( n) z n
令 z Re j ， Rx R Rx 我们已经知道柯西积分定理： 1 1 z k 1dz R k 1e j ( k 1) d ( Re j ) 2 j c 2 j c
14
Rk 2
1 ，k 0 e d 0 ，k 0 ， k为整数
Rx z
如图所示。
5
x 因果序列：即n1 0的右边序列，或者说，在 n 0时， (n) 有 n 非零值， 0 时，x(n) 0 。这时其变换中只有 z 的零幂和负幂项， 因此级数收敛域可以包括 z ，即
有限长序列的z变换收敛域
有限长序列的z变换收敛域在信号与系统理论中，有限长序列（Finite-Length Sequence）是指信号的长度为有限值的序列。
这些序列可以在数字信号处理中得到广泛的应用，因此对于它们的分析和处理是非常必要的。
而z变换则是一种广泛应用于数字信号的工具，通过对序列进行z变换可以得到序列的频域信息，从而进行频域分析。
但是，在进行z变换的过程中，我们需要考虑到收敛域的问题。
本文将会介绍有限长序列的z变换收敛域，以及如何确定它。
一、z变换的定义与性质z变换通常用于对离散时间序列进行频域分析，是一种广泛使用的变换方法。
它的定义如下：$$X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n}$$其中，x(n)表示离散时间序列，z表示复平面上的一个变量。
z变换将x(n)映射到X(z)上，其中z通常被看作是一个变量，而X(z)可以被看作是一个函数。
因此，z变换可以把一个序列从时域中转换到z域中，从而得到序列的频域信息。
z变换的性质如下：线性性： z变换具有线性性质，即a1X1(z) + a2X2(z) = X(a1x1(n) + a2x2(n))时移性： z变换具有时移性质，即如果x(n)的z变换为X(z)，那么x(n - k)的z变换为z^{-k}X(z)因果性： z变换具有因果性质，当要进行z变换的序列x(n)是一个因果序列时，那么它的收敛域位于频域中心以外的复平面上。
在有限长的序列中，x(n)在某个时刻后就变成了零。
因此，收敛域可以看成是有限的，而不像无限长序列那样需要考虑到无穷远的范围。
因此，有限长序列的z变换收敛域被定义为在复平面上的一个圆环区域。
这个圆环区域的半径由序列长度决定。
对于有限长序列，可以将其表示为一个单位脉冲函数叠加的形式：其中，N表示序列的长度，$x(k)$表示序列的值。
因此，有限长序列的z变换为：可以看出，有限长序列的z变换实际上是一个多项式。
这个多项式的根描述了序列的频率特性。
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R x
R e[ z ]
R x
当 R x R x时 ， R oc : 当 R x R x时 ， R oc : R x z R x
2012-10-11 数字信号处理
0
例 1： 求 x ( n ) R N ( n )的 z 变 换 及 其 收 敛 域
解 ： X (z)=
0
的右边序列，
R x z
Roc:
因果序列的z变换必在 处收敛
在 处收敛的z变换，
j Im [ z ]
其序列必为因果序列
R x
R e[ z ]
0
2012-10-11
数字信号处理
包 括 z 处
3）左边序列
0 x(n ) x(n ) n n2 n n2
2012-10-11
j Im [ z ]
j Im [ z ]
a
b
a
R e[ z ]
b
R e[ z ]
0
c
0
c
j Im [ z ]
j Im [ z ]
a
a
b
R e[ z ]
0
b
R e[ z ]
c
0
c
2012-10-11
数字信号处理
0
1/ a
2012-10-11
数字信号处理
给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列，
只有同时给出收敛域才能唯一确定。
X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故：
– 右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有 限极点所在圆之外 – 左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有 限极点所在圆之内
数字信号处理
n
解 ： X (z)=
n
x(n) z
n
n
=
n n
a u ( n 1) z
n n
n
= a z
n 1
= a
n 1
z
n
当 a
1
z 1时
a z 1 a z
1
1
1 1 az
1
j Im [ z ]
Roc :
z a
n N 1
x(n ) z
n
=
n
RN (n ) z
n
= z
n0
n
1 z
N 1
n n1
n2
q
n
q
n1
q
n2 1
1 q
1 z
z
z
N
1
n2 时 须 满 足 q 1
N 1
( z 1)
j Im [ z ]
零点：z e
j
a
R e[ z ] 零点：z 0 极点：z a
2012-10-11 数字信号处理
0
例 4： 求 x ( n ) a ， a 为 实 数 ， 求 其 z 变 换 及 其 收 敛 域
解 ： X (z)=
n
n
x(n) z
n
=
n
n
a z
n
n
=
n
1
a
n
z
n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a z
n
n
n0
= a z
n n n 1
a z
n
n0
a z
n n n 1
az 1 az 1 1 az
1
az 1 z 1 / a
a z
n
n
az
1
1 z a
n0
当 a 1时 ， 无 公 共 收 敛 域 ， X ( z ) 不 存 在
其 z变 换 ： X ( z )
n
0
x(n ) z
n
n2
x(n ) z
n
n 1
前 式 R oc : 0 z R x
j Im [ z ]
后 式 R oc : z 0
R e[ z ]
当 n 2 0时 ， R o c : 0 z R x 当 n 2 0时 ， R o c : 0 z R x
2 r N
r 1, ..., N 1
R e[ z ]
0
极 点 ： z 0 （ N 1） 阶
Roc : 0 z
2012-10-11
数字信号处理
例 2： 求 x ( n ) a u ( n )的 z 变 换 及 其 收 敛 域
n
解 ： X (z)=
n
x(n ) z
2012-10-11
即 Q ( z ) 0 和 当 数字信号处理次 高 于 Q ( z )时 P ( z ) P ( z )阶
1）有限长序列
x(n ) x(n ) 0 n1 n n 2 其它n
其 Z 变 换 ：X ( z )
n n1
n2
x(n ) z
n
第二章学习目标
掌握z变换及其收敛域，掌握因果序列的概念及
判断方法
会运用任意方法求z反变换
理解z变换的主要性质
理解z变换与Laplace/Fourier变换的关系 掌握序列的Fourier变换并理解其对称性质 掌握离散系统的系统函数和频率响应，系统函数
与差分方程的互求，因果/稳定系统的收敛域
2012-10-11 数字信号处理
当 a 1时 ， X ( z )
az 1 az
1 1 az
1
z (1 a )
2
(1 a z )( z a )
Roc : a < z 1 / a
j Im [ z ]
零 点 ： z 0,
极 点 ： z a,a
1
a
R e[ z ]
j Im [ z ]
R o c至 少 为 ： 0 z
R e[ z ]
0
2012-10-11
数字信号处理
n1 0 n 2
X ( z ) x ( n1 ) z
n1
x ( n 1 1) z
1
( n1 1 )
x ( 1) z
( n 2 1 )
n
=
n
a u(n ) z
n
n
= a z
n n0
n
1 1 az
1
当 az
1
1时
j Im [ z ]
Roc :
z a
a
零点：z 0
R e[ z ]
0
极点：z a
2012-10-11
数字信号处理
例 3： 求 x ( n ) a u ( n 1)的 z 变 换 及 其 收 敛 域
1
x ( 0 ) z x (1) z
0
x ( n 2 1) z
x(n2 ) z
n2
0 n1 n 2
0
n2
n1
Roc : 0
n
0 z
n
0
Roc : 0
n
0 z
n
n1 n 2 0
2012-10-11 数字信号处理
0
R x
n2 0
4）双边序列
n为 任 意 值 时 皆 有 值
1
其 z变 换 ： X ( z )
n
x(n ) z
n
x(n ) z
n
n0
j Im [ z ]
前 式 R oc : 0 z R x 后 式 R oc : R x z
2012-10-11 数字信号处理
第二章 z变换
时域分析方法 变换域分析方法：
连续时间信号与系统 Laplace变换 Fourier变换 离散时间信号与系统 z变换 Fourier变换
2012-10-11 数字信号处理
一、z变换的定义及收敛域
1、z变换的定义
序列x(n)的z变换定义为：
X ( z ) Z T [ x ( n )]
0
Roc :
0 z
2012-10-11
数字信号处理
2）右边序列
x(n ) x(n ) 0 n n1 n n1
1
其 Z变 换 ： X ( z)
前 式 R oc :
n n1
x(n ) z
n
x(n ) z
n
n0
0 z
j Im [ z ]
后 式 R oc : R x z
当 n 1 0时 ， R o c : R x z 当 n 1 0时 ， R o c : R x z
2012-10-11 数字信号处理
R x
R e[ z ]
0
n1 0
包 括 z 处
因果序列
n1
n
x(n ) z
n
z 是复变量，所在的复平面称为z平面
例：
X ( z ) 2 z 1 1 .5 z
1
z
R e[ z ]
R x
当 R x R x时 ， R oc : 当 R x R x时 ， R oc : R x z R x
2012-10-11 数字信号处理
0
例 1： 求 x ( n ) R N ( n )的 z 变 换 及 其 收 敛 域
解 ： X (z)=
0
的右边序列，
R x z
Roc:
因果序列的z变换必在 处收敛
在 处收敛的z变换，
j Im [ z ]
其序列必为因果序列
R x
R e[ z ]
0
2012-10-11
数字信号处理
包 括 z 处
3）左边序列
0 x(n ) x(n ) n n2 n n2
2012-10-11
j Im [ z ]
j Im [ z ]
a
b
a
R e[ z ]
b
R e[ z ]
0
c
0
c
j Im [ z ]
j Im [ z ]
a
a
b
R e[ z ]
0
b
R e[ z ]
c
0
c
2012-10-11
数字信号处理
0
1/ a
2012-10-11
数字信号处理
给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列，
只有同时给出收敛域才能唯一确定。
X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故：
– 右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有 限极点所在圆之外 – 左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有 限极点所在圆之内
数字信号处理
n
解 ： X (z)=
n
x(n) z
n
n
=
n n
a u ( n 1) z
n n
n
= a z
n 1
= a
n 1
z
n
当 a
1
z 1时
a z 1 a z
1
1
1 1 az
1
j Im [ z ]
Roc :
z a
n N 1
x(n ) z
n
=
n
RN (n ) z
n
= z
n0
n
1 z
N 1
n n1
n2
q
n
q
n1
q
n2 1
1 q
1 z
z
z
N
1
n2 时 须 满 足 q 1
N 1
( z 1)
j Im [ z ]
零点：z e
j
a
R e[ z ] 零点：z 0 极点：z a
2012-10-11 数字信号处理
0
例 4： 求 x ( n ) a ， a 为 实 数 ， 求 其 z 变 换 及 其 收 敛 域
解 ： X (z)=
n
n
x(n) z
n
=
n
n
a z
n
n
=
n
1
a
n
z
n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a z
n
n
n0
= a z
n n n 1
a z
n
n0
a z
n n n 1
az 1 az 1 1 az
1
az 1 z 1 / a
a z
n
n
az
1
1 z a
n0
当 a 1时 ， 无 公 共 收 敛 域 ， X ( z ) 不 存 在
其 z变 换 ： X ( z )
n
0
x(n ) z
n
n2
x(n ) z
n
n 1
前 式 R oc : 0 z R x
j Im [ z ]
后 式 R oc : z 0
R e[ z ]
当 n 2 0时 ， R o c : 0 z R x 当 n 2 0时 ， R o c : 0 z R x
2 r N
r 1, ..., N 1
R e[ z ]
0
极 点 ： z 0 （ N 1） 阶
Roc : 0 z
2012-10-11
数字信号处理
例 2： 求 x ( n ) a u ( n )的 z 变 换 及 其 收 敛 域
n
解 ： X (z)=
n
x(n ) z
2012-10-11
即 Q ( z ) 0 和 当 数字信号处理次 高 于 Q ( z )时 P ( z ) P ( z )阶
1）有限长序列
x(n ) x(n ) 0 n1 n n 2 其它n
其 Z 变 换 ：X ( z )
n n1
n2
x(n ) z
n
第二章学习目标
掌握z变换及其收敛域，掌握因果序列的概念及
判断方法
会运用任意方法求z反变换
理解z变换的主要性质
理解z变换与Laplace/Fourier变换的关系 掌握序列的Fourier变换并理解其对称性质 掌握离散系统的系统函数和频率响应，系统函数
与差分方程的互求，因果/稳定系统的收敛域
2012-10-11 数字信号处理
当 a 1时 ， X ( z )
az 1 az
1 1 az
1
z (1 a )
2
(1 a z )( z a )
Roc : a < z 1 / a
j Im [ z ]
零 点 ： z 0,
极 点 ： z a,a
1
a
R e[ z ]
j Im [ z ]
R o c至 少 为 ： 0 z
R e[ z ]
0
2012-10-11
数字信号处理
n1 0 n 2
X ( z ) x ( n1 ) z
n1
x ( n 1 1) z
1
( n1 1 )
x ( 1) z
( n 2 1 )
n
=
n
a u(n ) z
n
n
= a z
n n0
n
1 1 az
1
当 az
1
1时
j Im [ z ]
Roc :
z a
a
零点：z 0
R e[ z ]
0
极点：z a
2012-10-11
数字信号处理
例 3： 求 x ( n ) a u ( n 1)的 z 变 换 及 其 收 敛 域
1
x ( 0 ) z x (1) z
0
x ( n 2 1) z
x(n2 ) z
n2
0 n1 n 2
0
n2
n1
Roc : 0
n
0 z
n
0
Roc : 0
n
0 z
n
n1 n 2 0
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0
R x
n2 0
4）双边序列
n为 任 意 值 时 皆 有 值
1
其 z变 换 ： X ( z )
n
x(n ) z
n
x(n ) z
n
n0
j Im [ z ]
前 式 R oc : 0 z R x 后 式 R oc : R x z
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第二章 z变换
时域分析方法 变换域分析方法：
连续时间信号与系统 Laplace变换 Fourier变换 离散时间信号与系统 z变换 Fourier变换
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一、z变换的定义及收敛域
1、z变换的定义
序列x(n)的z变换定义为：
X ( z ) Z T [ x ( n )]
0
Roc :
0 z
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2）右边序列
x(n ) x(n ) 0 n n1 n n1
1
其 Z变 换 ： X ( z)
前 式 R oc :
n n1
x(n ) z
n
x(n ) z
n
n0
0 z
j Im [ z ]
后 式 R oc : R x z
当 n 1 0时 ， R o c : R x z 当 n 1 0时 ， R o c : R x z
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R x
R e[ z ]
0
n1 0
包 括 z 处
因果序列
n1
n
x(n ) z
n
z 是复变量，所在的复平面称为z平面
例：
X ( z ) 2 z 1 1 .5 z
1
z