第08章 非正弦周期电流电路

1．傅里叶级数 周期为T ，角频率为ω的周期函数 f ( t ) 可表示为
f (t ) f (t kT )
当其满足狄里赫利条件即：
k 0, 1, 2
1) f ( t ) 在任何一个周期内，连续或存在有限个间断点； 2) f ( t ) 在任何一个周期内，只有有限个极大值和极小值； 3) 在任何一个周期内，函数绝对值的积分为有界值，
14
8.3
非正弦周期量的有效值 平均功率
基本要求：透彻理解非正弦周期量有效值和平均功率的定义。
有效值：周期量的有效值等于其瞬时值的方均根值，即
1 T A [ f (t )]2 dt T 0
(8.11)
1．当给出函数 f ( t ) 在一个周期内的表达式，便可以直接代入上 式计算有效值。 [补充8.2] 计算图示方波的有效值
即


T
f (t ) d t
0
存在
f ( t )可以分解为如下的傅里叶级数
f (t ) A0 [ ak cos(k t ) bk sin(k t )]
k 1
(8.1)
5
f (t ) A0 [ak cos(k t ) bk sin(k t )]
k 1
ห้องสมุดไป่ตู้

(8.1)
7
例题
8.1
求图所示周期性方波的傅里叶展开式，并画其频谱。
A t
O
T/2
T
2 T 1 2π ak f (t ) cos(kt )dt f (t ) cos(kt )d( t ) T 0 π 0 2 T 1 2π bk f (t ) sin(kt )dt f (t ) sin(kt )d( t ) T 0 π 0
11
[补充8.1] 求图所示三角波的傅里叶展开式
f (t )
A
t
代入 f (t ) A0 (ak cos k t bk sin k t )
k 1

T 2
O T 4
T 2
得 f (t )
8A 1 1 (sin t sin 3t sin 5t ) π2 9 25
k 1

(8.6)
恒定分量（直流分量）
k =1 —— 基波； Am1 —— 基波振幅 ， 1 —— 基波初相 k =2,3, 等 —— 分别称为二次，三次谐波，统称为高次谐波 由于傅里叶级数是收敛的，一般谐波次数越高，振幅越小
将周期函数分解为恒定分量、基波分量和各次谐 波的方法。 谐波振幅 Amk 随角频率 kω变动的情形如图8.3所示 A1 m 图中竖线称为谱线，长度表示Amk的量值； 相邻两谱线的间隔等于基波角频率ω。这 A2 m 种谱线间具有一定间隔的频谱称为离散 A3 m A4 m A 5 m A6 m 频谱。同样可以画出相位频谱，用以表 k k 示各次谐波的初相 随角频率kω变动 O 2 4 6 的情形。 图 8.3 振幅频谱 2．谐波分析
第8章 非正弦周期电流电路
主讲教师 齐超
1
提要 本章介绍傅里叶级数及应用傅里叶级数和叠加定
理分析非正弦周期电流电路的方法，讨论非正弦周期电 流、电压有效值和平均功率的计算。
本章目次
8.1 非正弦周期电流和电压 8.2 周期函数分解为傅里叶级数
8.3 非正弦周期量的有效值、平均功率
8.4 非正弦周期电流电路的计算
[解] f (t)=-f(-t)，A0=0，ak=0，只需求 bk
f (t)=-f (t±T/2)，展开式中只有奇次谐波
有两个对称条件，可在T /4内积分，并乘以4
当 0 t T / 4 时 f (t ) (
4 2 T /4 8 T /4 4A bk 0 f (t )sin(k t )d t T 0 T t sin(k t )d t T 8A ,当k 1,5,9, 8A kπ k 2 π 2 2 2 sin k π 2 8A ,当k 3, 7,11, k 2 π2
2
8.1
非正弦周期电流和电压
基本要求：初步了解非正弦信号产生的原因。
1. 非正弦周期电流的产生 1 ） 当电路中有多个不同频率的电源同时作用，如图所示
R1
US
R2
L
U m sin t
R
图 不同频率电源作用的电路
引起的电流便是非正弦周期电流， 解 决方法是？ 根据叠加定理，分别计算不同频率的 响应，然后将瞬时值结果叠加。
T /2 0
8
因为ak=0，所以 Am k bk , k 90 于是得到
f (t ) A 2A 1 1 [cos( t 90 ) cos(3 t 90 ) cos(5 t 90 ) ] 2 π 3 5 A A 2A 1 1 (sin t sin 3 t sin 5 t ) 2 π 3 5
图8.4 周期性方波
所给波形在一个周 期内的表达式：
A, 当0 t T / 2 f (t ) 0, 当T / 2 t T
解
根据下式求A0、ak 和 bk
1 T 1 2π A0 f (t )d t 0 f (t )d(t ) 0 T 2π
2 T /2 2A bk A sin(k t )d t ( cos k t ) 0 T kT 2A (k 1,3,5, ) A (1 cos kπ) kπ kπ 0 (k 2, 4, 6, )
2 T bk f (t ) sin(kt )dt T 0 1 2 f (t ) sin( kt )d( t ) π 0
在电路分析中，一般用傅里叶级数的另一种形式。
f (t ) A0 [ Amk cos k cos(k t ) Amk sin k sin(k t )]
A t
[解] 写出所给波形在一个周期内 的表达式
T/2
O
图
周期性方波
T
A,当0 t T / 2 f (t ) 0,当T / 2 t T
f (t ) 8A 1 1 (sin t sin 3t sin 5t 9 25 π 2
k 1 2
(1) k2
sin kt )( k为奇数)
A 2 2 (1 cos t cos 2t cos 4t π 2 3 15 2 cos kt ) (k 1)( k 1) f (t ) (k为偶数)
三角波的振幅频谱如图所示
8A π2 8A 9π 2
O
3
4A )t T
8A 25π 2
5 7
k
9
三角波的频谱图
其谐波振幅与k2成反比。
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下面是几种常见周期函数的傅里叶级数 f ( t )的波形图 f ( t )的傅里叶级数
f (t )
A
4A 1 1 (sin t sin 3t sin 5t π 3 5
k
2A 3π 2 A 2 A
5π 7π
基波 分量
O
(b)
t
O
2A 9π
O
3 5 7 9
k
2 A /(3π)
3 5 7 9 k
(a)

π 2
(b)
3 次谐 波分量
t
O
(c)
9
图8.6 周期性方波的振幅频谱和相位频谱
图8.5 周期性方波的波形分解
3. 周期函数的波形与傅里叶系数的关系 当周期函数的波形具有某种对称性质时，利用函数对称性可使系数 A0、ak、bk的确定简化。 只含有正弦项, 不含恒定分量和余弦项, 3.1 f (t)为奇函数如图 因为恒定分量和余弦项都是偶函数. f (t ) 3.2 f (t)为偶函数，即 f (t ) f (t ) 函数 对称于纵轴，如图 T
1 T A0 f (t )dt T 0 1 2 0 f (t )d( t ) 2π 2 T ak f (t ) cos(kt )dt T 0 1 2 f (t ) cos(kt )d( t ) π 0

2π / T 2π f
是角频率, T是 f ( t )的周期。
(a)
图8.2 二极管整流电路及半波整流电压
响应也是非正弦周期量，如何求响应？ 这些非正弦周期函数首先分解为不同频率的傅里叶级数，然后求 解不同频率的正弦激励的响应，最后将瞬时值结果叠加 。 非正弦周期电流电路分析方法：谐波分析法
4
8.2
周期函数分解为傅里叶级数
基本要求：掌握傅里叶级数的三角形式，理解谐波概念。

A 2A 1 2n 1 sin[(2n 1) t ] 2 π n 1
直流 分量

t
O
T/2
T
图8.4 周期性方波
A/ 2
说明: 式中引入新的正整数 n 以区别原来的正整数 k 。
这一方波的分解情况如图8.5所示
O 2A/ π
(a)
t
方波振幅频谱和相位频谱如下所示
2A π
A 2
周期性偶函数
a k 0 , bk 0
3.3 f(t)为镜像对称函数如图
f (t )
t
T /2
O
T /2
T
上下半波镜像对称的函数
a2k b2k 0 展开式中只有奇次谐波。计算 奇次谐波系数，只需计算半个 周期内积分
n为偶数 0 an 4 T 2 T 0 f (t ) cos n t dt n为奇数 n为偶数 0 bn 4 T 2 T 0 f (t ) sin n t dt n为奇数
O
T /2
t
f (t )
T /2
周期性奇函数
O
T
t