米勒问题帮你解题_陈晓鹏
2025年高考数学一轮复习讲义含答案解析 高考解答题专项突破 立体几何中的翻折问题与探索性问题
[考情分析]在高考立体几何的解答题中，常常出现翻折问题与探索性问题，此类问题要求学生要有较强的空间想象能力和准确的计算能力．翻折问题是空间几何与平面几何转化的集中体现，处理这类题的关键是抓住两图的特征关系；探索性问题常常是在条件不完备的情况下探讨某些结论是否成立，处理这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决．预计2025年高考可能会考查以下几点：(1)证明平行(垂直)关系、空间角的计算与翻折问题结合；(2)证明平行(垂直)关系、空间角的计算与探索性问题结合；(3)翻折问题与探索性问题的综合．考点一立体几何中的翻折问题例1(2024·山东泰安模拟)如图1，四边形ABCD为矩形，BC＝2AB，E为AD的中点，将△ABE，△DCE分别沿BE，CE折起，使得平面ABE⊥平面BCE，平面DCE⊥平面BCE，如图2所示．(1)求证：AD∥平面BCE；(2)若F为线段BC的中点，求直线FA与平面ADE所成角的正弦值．解(1)证明：在题图2中，分别取BE，CE的中点M，N，连接AM，DN，MN，由题图1知，BC＝2AB，且E为AD的中点，则AE＝AB，所以AM⊥BE，又因为平面ABE⊥平面BCE，平面ABE∩平面BCE＝BE，AM⊂平面ABE，所以AM⊥平面BCE，同理可得，DN⊥平面BCE，所以AM∥DN.又因为AM＝DN，所以四边形AMND为平行四边形，所以AD∥MN，又AD⊄平面BCE，MN⊂平面BCE，所以AD∥平面BCE.(2)在题图1中，因为∠AEB＝45°，∠DEC＝45°，所以BE⊥CE.以E为原点，EB，EC所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝1，则E (0，0，0)，A 22，0，22，D 0，22，2222，22，0所以EA →＝22，0，22，ED →＝0，22，22设平面ADE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，n ·EA →＝0，n ·ED →＝0，x ＋z ＝0，y ＋z ＝0，取z ＝1，得n ＝(－1，－1，1)，又FA →＝0，－22，22，设直线FA 与平面ADE 所成的角为θ，则sin θ＝|FA →·n ||FA →||n |＝21×3＝63，所以直线FA 与平面ADE 所成角的正弦值为63.翻折问题的解题关键点1.(2024·湖北宜昌模拟)如图1，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ＝BC ＝DC ＝2，AB ＝4，E 为AB 的中点，以DE 为折痕把△ADE 折起，连接AB ，AC ，得到如图2的几何体，在图2的几何体中解答下列两个问题．(1)证明：AC ⊥DE ；(2)请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求二面角D －AE －C 的余弦值．①四棱锥A －BCDE 的体积为2；②直线AC 与EB 所成角的余弦值为64.注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．解(1)证明：如图，在题图1中，连接CE ，因为DC ∥AB ，DC ＝12AB ，E 为AB 的中点，所以DC ∥AE ，DC ＝AE ，所以四边形ADCE 为平行四边形，所以AD ＝CE ＝DC ＝AE ＝2，同理可证DE ＝2，在题图2中，取DE 的中点O ，连接OA ，OC ，CE ，则OA ＝OC ＝3，因为AD ＝AE ＝CE ＝DC ，所以DE ⊥OA ，DE ⊥OC ，又因为OA ∩OC ＝O ，所以DE ⊥平面AOC ，因为AC ⊂平面AOC ，所以AC ⊥DE .(2)若选择①：因为DE ⊥平面AOC ，DE ⊂平面BCDE ，所以平面AOC ⊥平面BCDE 且交线为OC ，所以过点A 作AH ⊥OC 于H ，则AH ⊥平面BCDE ，因为S 四边形BCDE ＝23，所以V A －BCDE ＝2＝13×23×AH ，所以AH ＝3＝OA ，所以AO 与AH 重合，所以AO ⊥平面BCDE ，建立空间直角坐标系，如图，则O (0，0，0)，C (－3，0，0)，E (0，1，0)，A (0，0，3)，平面DAE 的一个法向量为CO →＝(3，0，0)，设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，因为CE →＝(3，1，0)，CA →＝(3，0，3)，·CE →＝0，·CA →＝0，＋y ＝0，＋3z ＝0，取x ＝1，得n ＝(1，－3，－1)，设二面角D －AE －C 的大小为θ，则|cos θ|＝|CO →·n ||CO →||n |＝33×5＝55，易知二面角D －AE －C 的平面角为锐角，所以二面角D －AE －C 的余弦值为55.若选择②：因为DC ∥EB ，所以∠ACD 即为异面直线AC 与EB 所成的角，在△ADC 中，cos ∠ACD ＝AC 2＋4－44AC ＝64，所以AC ＝6，所以OA 2＋OC 2＝AC 2，所以OA ⊥OC ，因为DE ⊥平面AOC ，DE ⊂平面BCDE ，所以平面AOC ⊥平面BCDE ，且交线为OC ，所以AO ⊥平面BCDE ，建立空间直角坐标系，如图，则O (0，0，0)，C (－3，0，0)，E (0，1，0)，A (0，0，3)，下同选①.考点二立体几何中的探索性问题例2(2024·湖北武汉期末)如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，ED ⊥平面ABCD ，FB ⊥平面ABCD ，且ED ＝FB ＝1.(1)求证：EC ⊥平面ADF ；(2)在线段EC 上是否存在点G (不含端点)，使得平面GBD 与平面ADF 的夹角为45°？若存在，指出点G 的位置；若不存在，请说明理由．解(1)证明：以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则D (0，0，0)，A (1，0，0)，C (0，1，0)，E (0，0，1)，F (1，1，1)，∴EC →＝(0，1，－1)，DA →＝(1，0，0)，DF →＝(1，1，1)EC ·DA →＝0，EC ·DF →＝1－1＝0，∴EC ⊥DF ，EC ⊥DA ，又DA ∩DF ＝D ，DA ，DF ⊂平面ADF ，∴EC ⊥平面ADF .(2)设EG →＝λEC →(0<λ<1)，则点G 的坐标为(0，λ，1－λ)，DG →＝(0，λ，1－λ)，易知B (1，1，0)，则DB →＝(1，1，0)．设平面GBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，n ·DG →＝λy ＋（1－λ）z ＝0，n ·DB →＝x ＋y ＝0，取y ＝1－λ，则x ＝λ－1，z ＝－λ，则n ＝(λ－1，1－λ，－λ)，∵平面GBD 与平面ADF 的夹角为45°，且平面ADF 的一个法向量为EC →＝(0，1，－1)，∴cos45°＝|n ·EC →||n ||EC →|＝12（1－λ）2＋λ2×2，又0<λ<1，解得λ＝1 3，∴G为线段EC上靠近点E的三等分点．探索性问题的解题策略(1)条件探索性问题①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明．②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性．③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．(2)结论探索性问题首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论，就肯定假设，如果得到了矛盾的结论，就否定假设．2.(2024·四川成都树德中学模拟)如图1，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB⊥AD，AB＝2，BC＝3，AD＝4，线段AD的垂直平分线与AD交于点E，与BC交于点F，现将四边形CDEF沿EF折起，使C，D分别到点G，H的位置，得到几何体ABFEHG，如图2所示．(1)判断线段EH上是否存在点P，使得平面PAF∥平面BGH.若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由；(2)若AH＝22，求平面ABH与平面BGH所成角的正弦值．解(1)当P为线段EH的中点时，平面PAF∥平面BGH.证明如下：由题易知EH＝2，GF＝1，EH∥GF，因为P为线段EH的中点，所以HP＝GF＝1，HP∥GF，所以四边形HPFG是平行四边形，所以HG∥PF，因为PF⊂平面PAF，HG⊄平面PAF，所以HG∥平面PAF.连接PG，因为PE∥GF，PE＝GF＝1，所以四边形PEFG 是平行四边形，所以PG ∥EF ，且PG ＝EF ，又EF ∥AB ，EF ＝AB ，所以PG ∥AB ，PG ＝AB ，所以四边形ABGP 是平行四边形，所以PA ∥BG ，因为PA ⊂平面PAF ，BG ⊄平面PAF ，所以BG ∥平面PAF .因为HG ∩BG ＝G ，HG ，BG ⊂平面BGH ，所以平面PAF ∥平面BGH .(2)因为AH ＝22，AE ＝EH ＝2，所以AE 2＋EH 2＝AH 2，所以AE ⊥EH ，又EF ⊥EA ，EF ⊥EH ，所以EA ，EF ，EH 两两垂直．故以E 为原点，EA ，EF ，EH 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz ，则A (2，0，0)，B (2，2，0)，H (0，0，2)，G (0，2，1)，所以AB →＝(0，2，0)，BH →＝(－2，－2，2)，BG →＝(－2，0，1)．设平面ABH 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，·AB →＝0，·BH →＝0，y 1＝0，2x 1－2y 1＋2z 1＝0，取z 1＝1，得m ＝(1，0，1)．设平面BGH 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，·BH →＝0，·BG →＝0，2x 2－2y 2＋2z 2＝0，2x 2＋z 2＝0，取x 2＝1，得n ＝(1，1，2)．设平面ABH 与平面BGH 所成的角为θ，则|cos θ|＝|m ·n ||m ||n |＝32×6＝32，所以sin θ＝1－cos 2θ＝1－34＝12，所以平面ABH 与平面BGH 所成角的正弦值为12.课时作业1．如图，在Rt △ABC 和Rt △DBC 中，AB ＝AC ，BC ＝2BD ＝2，∠A ＝90°，∠D ＝90°，将△ABC 翻折到△A ′BC 的位置，使二面角A ′－BC －D 的大小为30°，E 为边CD 上的点，且CE ＝2ED .(1)证明：BC ⊥A ′E ；(2)求直线A ′D 与平面A ′BC 所成角的正弦值．解(1)证明：取BC 的中点F ，连接A ′F ，EF ，如图，由A ′B ＝A ′C ，得A ′F ⊥BC .又BC ＝2BD ＝2，则CD ＝3，CE ＝233，∠BCD ＝30°，CF ＝1，∴EF 2＝CE 2＋CF 2－2CE ·CF cos30°＝13，∴EF 2＋CF 2＝13＋1＝43＝CE 2，∴EF ⊥CF ，即EF ⊥BC ，又EF ∩A ′F ＝F ，EF ，A ′F ⊂平面A ′EF ，∴BC ⊥平面A ′EF ，∵A ′E ⊂平面A ′EF ，∴BC ⊥A ′E .(2)∵A ′F ⊥BC ，EF ⊥BC ，∴∠A ′FE 为二面角A ′－BC －D 的平面角，∴∠A ′FE ＝30°.以F 为原点，建立空间直角坐标系，如图，则A ，32，B (1，0，0)，C (－1，0，0)，，32，故BC →＝(－2，0，0)，A ′B→，－32，A ′D→0，设平面A ′BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·BC →＝0，·A ′B →＝0，2x ＝0，－32y －12z ＝0，取y ＝1，则x ＝0，z ＝－3，即n ＝(0，1，－3)，设直线A ′D 与平面A ′BC 所成的角为α，则sin α＝|cos 〈n ，A ′D →〉|＝|n ·A ′D →||n ||A ′D →|＝322×22＝64，∴直线A ′D 与平面A ′BC 所成角的正弦值为64.2.(2024·福建厦门模拟)如图，在底面是菱形的四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝60°，PA ＝AC ＝1，PB ＝PD ＝2，点E 在线段PD 上，且满足PE →＝2ED →.(1)求平面EAC 与平面DAC 所成角的余弦值；(2)在线段PC 上是否存在一点Q ，使得BQ ∥平面EAC ？若存在，请指出点Q 的位置；若不存在，请说明理由．解(1)∵底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，∴AB ＝AD ＝AC ＝1，∴PA 2＋AB 2＝PB 2，由勾股定理逆定理知，PA ⊥AB ，同理可得，PA ⊥AD ，∵AB ，AD⊂平面ABCD ，AB ∩AD ＝A ，∴PA ⊥平面ABCD ，以A 为原点，AD ，AP 所在直线分别为y ，z 轴，过点A 且与AD 垂直的直线为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，，12，P (0，0，1)，D (0，1，0)，∵PE →＝2ED →，∴，23，∴AE →，23，AC →，12，设平面EAC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，⊥AE →，⊥AC →，·AE →＝23y ＋13z ＝0，·AC →＝32x ＋12y ＝0，取x ＝1，得n ＝(1，－3，23)，易知平面DAC 的一个法向量为m ＝(0，0，1)，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝32，∴平面EAC 与平面DAC 所成角的余弦值是32.(2)设PQ →＝tPC →，12t ，≤t ≤1)，∴，12t ，1又－12，则BQ →，t ＋12，1由(1)，知平面EAC 的一个法向量为n ＝(1，－3，23)，当BQ ∥平面EAC 时，n ⊥BQ →，∴n ·BQ →＝0，∴3t －32－3t ＋32＋23(1－t )＝0，∴t ＝12，即Q 为PC 的中点时，BQ →⊥n ，且BQ ⊄平面EAC ，满足BQ ∥平面EAC .3．(2024·黑龙江大庆期中)如图1，在直角梯形EFBC 中，BF ∥CE ，EC ⊥EF ，EF ＝1，BF ＝2，EC ＝3.现沿平行于EF 的AD 折叠，使得ED ⊥DC 且BC ⊥平面BDE ，如图2所示．(1)求AB 的长；(2)求二面角F －EB －C 的大小．解(1)由BC ⊥平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，得BC ⊥BD ，在直角梯形EFBC 中，由BF ∥CE ，EC ⊥EF ，EF ＝1，BF ＝2，EC ＝3，知BC ＝2，设AB ＝x (0<x <2)，则AF ＝DE ＝2－x ，CD ＝x ＋1，故BD 2＝AB 2＋AD 2＝x 2＋1，CD 2＝(x ＋1)2，由BD 2＋BC 2＝CD 2，得x 2＋1＋(2)2＝(x ＋1)2，解得x ＝1，即AB 的长为1.(2)因为ED ⊥AD ，ED ⊥DC ，AD ∩DC ＝D ，且AD ，DC ⊂平面ABCD ，所以ED ⊥平面ABCD ，结合DA ⊥DC 知，DA ，DC ，DE 两两相互垂直，故以D 为原点，DA →，DC →，DE →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (1，1，0)，C (0，2，0)，E (0，0，1)，F (1，0，1)，所以BF →＝(0，－1，1)，EF →＝(1，0，0)，BC →＝(－1，1，0)，EC →＝(0，2，－1)，设平面BCE 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 1·BC →＝－x 1＋y 1＋0＝0，n 1·EC →＝2y 1－z 1＝0，取x 1＝1，则n 1＝(1，1，2)，设平面BEF 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，2·EF →＝x 2＝0，2·BF →＝－y 2＋z 2＝0，取y 2＝－1，则n 2＝(0，－1，－1)，则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－36×2＝－32，又所求二面角为钝角，所以二面角F －EB －C 的大小为5π6.4.(2024·广东高三校联考阶段练习)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，AD ＝CD ＝12BC ＝2，点E 在平面PBC 上运动．(1)试确定一点E ，使得CD ∥平面PAE ，并说明点E 的位置；(2)若四棱锥的体积为6，在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得二面角F －AB －C 的余弦值为23417若存在，求PF 的长；若不存在，请说明理由．解(1)取BC 的中点G ，连接AG ，PG ，如图，由AD ＝12BC ，AD ∥BC ，得AD ∥GC ，AD ＝GC ，即四边形AGCD 为平行四边形，于是AG ∥CD ，而AG ⊂平面PAG ，CD ⊄平面PAG ，则CD ∥平面PAG ，所以当点E 在△PBC 的边BC 的中线PG 上运动时(E 与P 不重合)，CD ∥平面PAE .(2)由于PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥CD ，则四棱锥P －ABCD 的体积V ＝13×（2＋4）×22×PA ＝6，解得PA ＝3，由(1)知，AG ⊥BC ，AG ＝BG ＝2，则有AB ＝22，AC ＝22，有AB 2＋AC 2＝BC 2，AB ⊥AC ，以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (22，0，0)，C (0，22，0)，P (0，0，3)，假定棱PC 上存在一点F 满足条件，令PF →＝λPC →，λ∈(0，1)，则F (0，22λ，3－3λ)，AB →＝(22，0，0)，AF →＝(0，22λ，3－3λ)，设平面ABF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·n ＝22x ＝0，·n ＝22λy ＋（3－3λ）z ＝0，取z ＝22λ，得n ＝(0，3(λ－1)，22λ)，又平面ABC 的一个法向量为m ＝(0，0，1)，于是二面角F －AB －C 的余弦值为|cos 〈n ，m 〉|＝|n ·m ||n ||m |＝|22λ|9（λ－1）2＋（22λ）2＝23417，解得λ＝12，即F 为PC 的中点，此时PC ＝（22）2＋32＝17，PF ＝12PC ＝172.即当PF ＝172时，二面角F －AB －C 的余弦值为23417.5．(2023·北京昌平三模)如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6，D ，E 分别为AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2.(1)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由．解(1)证明：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，DE ∥BC ，则有CD ⊥DE ，AD ⊥DE ，折起后，有CD ⊥DE ，A 1D ⊥DE ，又CD ∩A 1D ＝D ，CD ，A 1D ⊂平面A 1CD ，∴DE ⊥平面A 1CD ，又A 1C ⊂平面A 1CD ，∴A 1C ⊥DE ，又A 1C ⊥CD ，CD ，DE ⊂平面BCDE ，CD ∩DE ＝D ，∴A 1C ⊥平面BCDE .(2)由CD ，CB ，CA 1两两相互垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0，0，0)，D (－2，0，0)，A 1(0，0，23)，B (0，3，0)，E (－2，2，0)，∴A 1B →＝(0，3，－23)，A 1E →＝(－2，2，－23)，设平面A 1BE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，1B ·n ＝0，1E ·n ＝0，y －23z ＝0，2x ＋2y －23z ＝0，取x ＝－1，则y ＝2，z ＝3，∴n ＝(－1，2，3)，又M (－1，0，3)，∴CM →＝(－1，0，3)，设CM 与平面A 1BE 所成的角为θ，∴sin θ＝|cos 〈CM →，n 〉|＝|CM →·n ||CM →||n |＝1＋31＋3×1＋4＋3＝42×22＝22，∵0°≤θ≤90°，∴CM 与平面A 1BE 所成角的大小为45°.(3)设线段BC 上存在点P ，且点P 的坐标为(0，a ，0)，则a ∈[0，3]，∴A 1P →＝(0，a ，－23)，DP →＝(2，a ，0)，设平面A 1DP 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，1－23z 1＝0，x 1＋ay 1＝0，1＝36ay 1，1＝－12ay 1，∴n 1＝(－3a ，6，3a )，假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则n1·n＝0，∴3a＋12＋3a＝0，解得a＝－2，∵0≤a≤3，∴线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直．6．(2024·山西太原小店区月考)如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，M，N分别是边BC，CD的中点，AC∩BD＝O，AC∩MN＝G.沿MN将△CMN翻折到△PMN的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2所示的五棱锥P－ABMND.(1)在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你的结论；(2)当四棱锥P－MNDB的体积最大时，在线段PA上是否存在一点Q，使得平面QMN与平面PMN夹角的余弦值为1010若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．解(1)在翻折过程中总有平面PBD⊥平面PAG.证明如下：∵M，N分别是边BC，CD的中点，又∠DAB＝60°，∴BD∥MN，且△PMN是等边三角形，在菱形ABCD中，BD⊥AC，∴MN⊥AC，∴MN⊥AG，MN⊥PG，∵AG∩PG＝G，AG⊂平面PAG，PG⊂平面PAG，∴MN⊥平面PAG，∴BD⊥平面PAG，∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAG.(2)由折叠性质得四边形MNDB为等腰梯形，且DB＝4，MN＝2，OG＝ 3.∴S等腰梯形MNDB ＝（2＋4）×32＝33，要使得四棱锥P－MNDB的体积最大，只需点P到平面MNDB的距离最大即可，∴当PG⊥平面MNDB时，点P到平面MNDB的距离的最大值为PG＝3，假设符合题意的点Q存在，以G为原点，GA，GM，GP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz，则A (33，0，0)，M (0，1，0)，N (0，－1，0)，P (0，0，3)，平面PMN 的一个法向量为n ＝(1，0，0)，设AQ →＝λAP →(0≤λ≤1)，又AP →＝(－33，0，3)，则AQ →＝(－33λ，0，3λ)，∴Q (33(1－λ)，0，3λ)，∴NM →＝(0，2，0)，QM →＝(33(λ－1)，1，－3λ)，设平面QMN 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，m ·NM →＝0，m ·QM →＝0，2y ＝0，33（λ－1）x ＋y －3λz ＝0，取x ＝λ，则y ＝0，z ＝3(λ－1)，∴m ＝(λ，0，3(λ－1))，设二面角Q －MN －P 的平面角为θ，则|cos θ|＝|n ·m ||n ||m |＝|λ|λ2＋9（λ－1）2＝1010，解得λ＝12，故符合题意的点Q 存在，且Q 为线段PA 的中点．。
量子力学课件第三章
第三章形式理论3.1希耳伯特（Hilbert ）空间在上两章中，我们已经看到了简单量子体系的一些有趣的特性。
其中有些是特定势能的“偶然”特点（例如：谐振子能级间隔的均匀分布），但是另外一些是普遍的，给它们一个彻底的一劳永逸的证明是十分必要的（例如：不确定原理和定态正交性）。
本章的目的是在一个更有力的形式上重新讨论我们的理论。
从重新讨论的角度来讲，本章没有很多完全是新的内容，其基本思想是对我们已在特定情况中的发现做更清晰的了解。
波函数和算符是量子理论的两块基石。
体系的状态用波函数表示，可观察量用算符表示。
数学上讲，波函数满足抽象矢量的定义条件，算符作为线性变换作用于矢量之上。
因此，量子力学的自然语言是线性代数。
1但是我估计它并非是一个你可以很快熟悉的形式。
在N 维空间中，可以简单地用对应于N 个正交归一基矢的分量，{}n a ，的一个N 行列矩阵表示一个矢量α，即：12.N a aa α⎛⎫ ⎪ ⎪→= ⎪ ⎪⎝⎭a [3.1]两个矢量的内积（三维空间标量积的推广）αβ是一个复数，***1122.N N a b a b a b αβ=++ [3.2]线性变换T 用矩阵（相应指定的基矢）表示，通过普通的矩阵乘法规则作用于矢量上（得到新的矢量）：11112121222212.N N N N NN N a t t t t t t a T t t t a βα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b Ta [3.3] 但是在量子力学中我们遇到的“矢量”是函数（绝大多数情况下），它们存在于无穷维空间中，对于它们，用N 行列矩阵/矩阵的方法有点笨拙，以及在有限维下有很好行为的矩阵乘法可能存在问题。
（其理由是，尽管3.2式的有限求和总是存在的，而对于无限求和或积分可能不收敛，在这种情况下内积将不存在，那么涉及到内积的任何论述都有疑问。
）因此，即使对大多数的术语和符号比较熟悉，仍要十分谨慎。
所有x 的函数的集合构成了一个矢量空间，但对于我们的目的来说它太大了。
超星课《人文的物理学》答案
科学创作是什么1.【单选题】以下哪个不是本课程要讨论的问题（B）。
A、物理xx人文？B、人文xx我们？C、物理xx我们？D、我们是谁？哪来？哪去？2.【单选题】科学的主观体现在（A）。
A、科学被创造的过程B、科学被印证的过程C、科学被人接受的过程D、科学被传播的过程3.【判断题】xx认为科学的态度是绝对客观，不含个人情感。
√物理xx人文（上）1.【单选题】人文“Humanity”这个词最早是在什么时期提出的？（D）A、xx时期B、xx时期C、中世纪时期D、文艺复兴时期2.【单选题】对当代人类学家说的文化描述不正确的是？（C）A、人类独特的适应性体系B、社会的传统信仰和行为体系C、对头脑的耕耘D、代代相传的xx3.【单选题】为什么会形成snow所说的“The twocultures” 。
（A）A、科学和人文的体系都相对封闭B、科学和人文的起源不同C、科学和人文之间本来就没有交集D、科学和人文是互相矛盾的4.【判断题】文化在xx最早是指感化大家，是大家都有礼节，有规矩。
√5.【判断题】西方最早指的文化指的是修养。
√物理xx人文（下）1.【单选题】William James认为人文是（ C）。
A、xx文和拉丁文B、文学C、人类各种领域的名著D、除开自然科学以外的知识2.【单选题】xx认为自然科学和别的学科在哪方面是一致的？（ A）A、无心插柳柳成荫B、桃李不言下自成蹊C、都从一开始就期望有很大用处D、都包罗万象3.【单选题】William James认为怎样才能赋予学科以人文价值？（ D）A、站在客观的角度B、站在主观的角度C、站在教学的角度D、站在历史的角度4.【判断题】xx是量子力学的奠基人之一。
√5.【判断题】xx认为人文和科学缺一不可。
√物理xx我们1.【单选题】xx第一任物理学会会长亨利.奥古斯特.xx认为怎样才能创造xx科学的未来？（C ）A、把电灯，电报这些时尚产品成为科学B、重视应用科学C、重视纯科学D、学习xx人2.【单选题】xx认为xx人科学进步有三期，不包含以下哪一个？（D ）A、器物上感觉不足B、制度上感觉不足C、文化根本上感觉不足D、能力上感觉不足3.【单选题】xx认为xx学术界有五大病症，不包括（ B）。
阿波罗尼斯问题详细解答
――――――阿波罗尼斯问题详细解答1目序号 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 附录 内 阿波罗尼斯是一个什么样的人？ 什么是阿波罗尼斯问题？ 阿波罗尼斯问题有多少个子问题？ 怎样作一条线段的垂直平分线？ 怎样过线段上一点作该线段的垂线？ 怎样过圆上一点作该圆的切线？ 怎样作两个圆的公切线？ 什么叫反演变换？ 怎样作反演圆内一点的反演点？ 怎样作反演圆外一点的反演点？ 怎样作一条直线的反演图形？ 怎样作一个圆的反演图形？ 容录页码 03 03 03 03 04 04 05 06 06 06 07 08 10 10 10 11 11 13 13 14 16 17 17 18 19 22 26 31 35 41 47 55 69怎样才能让一条直线经过反演变换后保持不变？ 怎样才能让一个圆经过反演变换后保持不变？ 怎样作线段 a、b 的比例中项 c？ 什么叫圆的幂？怎样作出圆的幂？ 什么是圆的根轴（或等幂轴）？怎样作出圆的根轴？ 什么是圆的根心？怎样作出圆的根心？ 什么叫相（位）似中心？怎样作出相（位）似中心？ 什么叫相（位）似点？什么叫正相（位）似点？什么叫逆相似点？ 什么叫两圆周的共同幂？ 什么叫相似轴？怎样作出相似轴？ 阿波罗尼斯问题之一：点点点 阿波罗尼斯问题之二：线线线 阿波罗尼斯问题之三：点线线 阿波罗尼斯问题之四：点点线 阿波罗尼斯问题之五：点点圆 阿波罗尼斯问题之六：点圆圆 阿波罗尼斯问题之七：点线圆 阿波罗尼斯问题之八：线圆圆 阿波罗尼斯问题之九：线线圆 阿波罗尼斯问题之十：圆圆圆 米勒问题和米勒定理2第 01 个问题： 阿波罗尼斯是一个什么样的人？ 个问题： 阿波罗尼斯是一个什么样的人？ 阿波罗尼斯，Apollonius，有时也翻译为“阿波罗尼奥斯” ，古希腊大数学家，生活在公 元前 260 年到公元前 190 年，著有《论相切》和《圆锥曲线》 。
小学奥数
1.小华的爸爸1分钟可以剪好5只自己的指甲。
他在5分钟内可以剪好几只自己的指甲？2.小华带50元钱去商店买一个价值38元的小汽车，但售货员只找给他2元钱，这是为什么？3.小军说：“我昨天去钓鱼，钓了一条无尾鱼，两条无头的鱼，三条半截的鱼。
你猜我一共钓了几条鱼？”同学们猜猜小军一共钓了几条鱼？4.6匹马拉着一架大车跑了6里，每匹马跑了多少里？6匹马一共跑了多少里？5.一只绑在树干上的小狗，贪吃地上的一根骨头，但绳子不够长，差了5厘米。
你能教小狗用什么办法抓着骨头呢？6.王某从甲地去乙地，1分钟后，李某从乙地去甲地。
当王某和李某在途中相遇时，哪一位离甲地较远一些？7.时钟刚敲了13下，你现在应该怎么做？8.在广阔的草地上，有一头牛在吃草。
这头牛一年才吃了草地上一半的草。
问，它要把草地上的草全部吃光，需要几年？9.妈妈有7块糖，想平均分给三个孩子，但又不愿把余下的糖切开，妈妈怎么办好呢？10.公园的路旁有一排树，每棵树之间相隔3米，请问第一棵树和第六棵树之间相隔多少米？11.把8按下面方法分成两半，每半各是多少？算术法平均分是____，从中间横着分是_ ___，从中间竖着分是____.12.一个房子4个角，一个角有一只猫，每只猫前面有3只猫，请问房里共有几只猫？13.一个房子4个角，一个角有一只猫，每只猫前面有4只猫，请问房里共有几只猫？14.小军、小红、小平3个人下棋，总共下了3盘。
问他们各下了几盘棋？（每盘棋是两个人下的）15.小明和小华每人有一包糖，但是不知道每包里有几块。
只知道小明给了小华8块后，小华又给了小明14块，这时两人包里的糖的块数正好同样多。
同学们，你说原来谁的糖多？多几块？答案：1.20只，包括手指甲和脚指甲2.因为他付给售货员40元，所以只找给他2元；3.0条，因为他钓的鱼是不存在的；4.6里，36里；5.只要教小狗转过身子用后脚抓骨头，就行了。
6.他们相遇时，是在同一地方，所以两人离甲地同样远；7.应该修理时钟；8.它永远不会把草吃光，因为草会不断生长；9.妈妈先吃一块，再分给每个孩子两块；10.15米；11.4，0，3.12.4只；13.5只；14.2盘；15.原来小华糖多；14-8=6块，因为多给了6块两人糖的块数正好同样多，所以原来小华比小明多12块。
线性代数应用题
线性代数应用题集锦郑波重庆文理学院数学与统计学院2011年10月目录案例一. 交通网络流量分析问题 (1)案例二. 配方问题 (4)案例三. 投入产出问题 (6)案例四. 平板的稳态温度分布问题 (8)案例五. CT图像的代数重建问题 (10)案例六. 平衡结构的梁受力计算 (12)案例七. 化学方程式配平问题 (15)案例八. 互付工资问题 (17)案例九. 平衡价格问题 (19)案例十. 电路设计问题 (21)案例十一. 平面图形的几何变换 (23)案例十二. 太空探测器轨道数据问题 (25)案例十三. 应用矩阵编制Hill密码 (26)案例十四. 显示器色彩制式转换问题 (28)案例十五. 人员流动问题 (30)案例十六. 金融公司支付基金的流动 (32)案例十七. 选举问题 (34)案例十八. 简单的种群增长问题 (35)案例十九. 一阶常系数线性齐次微分方程组的求解 (37)案例二十. 最值问题 (39)附录数学实验报告模板 (40)这里收集了二十个容易理解的案例. 和各类数学建模竞赛的题目相比, 这些案例确实显得过于简单. 但如果学生能通过这些案例加深对线性代数基本概念、理论和方法的理解, 培养数学建模的意识, 那么我们初步的目的也就达到了.案例一. 交通网络流量分析问题城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础。
根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设置单行线，以免大量车辆长时间拥堵。
图1 某地交通实况图2 某城市单行线示意图【模型准备】某城市单行线如下图所示, 其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行驶的车流量(单位: 辆).图3 某城市单行线车流量(1) 建立确定每条道路流量的线性方程组.(2) 为了唯一确定未知流量, 还需要增添哪几条道路的流量统计?(3) 当x 4 = 350时, 确定x 1, x 2, x 3的值.(4) 若x 4 = 200, 则单行线应该如何改动才合理?【模型假设】 (1) 每条道路都是单行线. (2) 每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等.【模型建立】 根据图3和上述假设, 在①, ②, ③, ④四个路口进出车辆数目分别满足500 = x 1 + x 2 ①400 + x 1 = x 4 + 300 ②x 2 + x 3 = 100 + 200 ③x 4 = x 3 + 300 ④【模型求解】根据上述等式可得如下线性方程组12142334500100300300x x x x x x x x +=⎧⎪-=-⎪⎨+=⎪⎪-+=⎩其增广矩阵(A , b ) =1100500100110001103000011300⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭−−−−→初等行变换10011000101600001130000000--⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭由此可得142434100600300x x x x x x -=-⎧⎪+=⎨⎪-=-⎩即142434100600300x x x x x x =-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩.为了唯一确定未知流量, 只要增添x 4统计的值即可.当x 4 = 350时, 确定x 1 = 250, x 2 = 250, x 3 = 50.若x 4 = 200, 则x 1 = 100, x 2 = 400, x 3 = -100 < 0. 这表明单行线“③←④”应该改为“③→④”才合理.【模型分析】(1) 由(A , b )的行最简形可见, 上述方程组中的最后一个方程是多余的. 这意味着最后一个方程中的数据“300”可以不用统计.(2) 由142434100600300x x x x x x =-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩可得213141500200100x x x x x x =-+⎧⎪=-⎨⎪=+⎩, 123242500300600x x x x x x =-+⎧⎪=-+⎨⎪=-+⎩, 132343200300300x x x x x x =+⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩, 这就是说x 1, x 2, x 3, x 4这四个未知量中, 任意一个未知量的值统计出来之后都可以确定出其他三个未知量的值.参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码:16-17.Matlab 实验题某城市有下图所示的交通图, 每条道路都是单行线, 需要调查每条道路每小时的车流量. 图中的数字表示该条路段的车流数. 如果每个交叉路口进入和离开图4 某城市单行线车流量(1)建立确定每条道路流量的线性方程组.(2)分析哪些流量数据是多余的. 500多余(3)为了唯一确定未知流量, 需要增添哪几条道路的流量统计.案例二. 配方问题在化工、医药、日常膳食等方面都经常涉及到配方问题. 在不考虑各种成分之间可能发生某些化学反应时, 配方问题可以用向量和线性方程组来建模.图5 日常膳食搭配 图6 几种常见的作料 【模型准备】一种佐料由四种原料A 、B 、C 、D 混合而成. 这种佐料现有两种规格, 这两种规格的佐料中, 四种原料的比例分别为2:3:1:1和1:2:1:2. 现在需要四种原料的比例为4:7:3:5的第三种规格的佐料. 问: 第三种规格的佐料能否由前两种规格的佐料按一定比例配制而成?【模型假设】 (1) 假设四种原料混合在一起时不发生化学变化. (2) 假设四种原料的比例是按重量计算的. (3) 假设前两种规格的佐料分装成袋, 比如说第一种规格的佐料每袋净重7克(其中A 、B 、C 、D 四种原料分别为2克, 3克, 1克, 1克), 第二种规格的佐料每袋净重6克(其中A 、B 、C 、D 四种原料分别为1克, 2克, 1克, 2克).【模型建立】 根据已知数据和上述假设, 可以进一步假设将x 袋第一种规格的佐料与y 袋第二种规格的佐料混合在一起, 得到的混合物中A 、B 、C 、D 四种原料分别为4克, 7克, 3克, 5克, 则有以下线性方程组24,327,3,2 5.x y x y x y x y +=⎧⎪+=⎨+=⎪+=⎩【模型求解】上述线性方程组的增广矩阵(A , b ) =214327113125⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭−−−−→初等行变换101012000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 可见{1,2.x y == 又因为第一种规格的佐料每袋净重7克, 第二种规格的佐料每袋净重6克, 所以第三种规格的佐料能由前两种规格的佐料按7:12的比例配制而成.【模型分析】(1) 若令α1 = (2, 3, 1, 1)T , α2 = (1, 2, 1, 1)T , β = (4, 7, 5, 3)T , 则原问题等价于“线性方程组Ax = b 是否有解”, 也等价于“β能否由α1, α2线性表示”.(2) 若四种原料的比例是按体积计算的, 则还要考虑混合前后体积的关系(未必是简单的叠加), 因而最好还是先根据具体情况将体积比转换为重量比, 然后再按上述方法处理.(3) 上面的模型假设中的第三个假设只是起到简化运算的作用. 如果直接设x 克第一种规格的佐料与y 克第二种规格的佐料混合得第三种规格的佐料, 则有下表因而有如下线性方程组 214(),7619327(),7619113(),7619125().7619x y x y x y x y x y x y x y x y ⎧+=+⎪⎪⎪+=+⎪⎨⎪+=+⎪⎪⎪+=+⎪⎩ (*) 【模型检验】把x = 7, y = 12代入上述方程组(*), 则各等式都成立. 可见模型假设中的第三个假设不影响解的正确性.Matlab 实验题蛋白质、碳水化合物和脂肪是人体每日必须的三种营养, 但过量的脂肪摄入不利于健康.人们可以通过适量的运动来消耗多余的脂肪. 设三种食物(脱脂牛奶、大豆面粉、乳清)每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量以及慢跑5分钟消耗蛋白质、碳水化合物和脂肪的量如下表.问怎样安排饮食和运动才能实现每日的营养需求?案例三. 投入产出问题在研究多个经济部门之间的投入产出关系时, W. Leontief 提出了投入产出模型. 这为经济学研究提供了强有力的手段. W. Leontief 因此获得了1973年的Nobel 经济学奖.图7 三个经济部门这里暂时只讨论一个简单的情形. 【模型准备】某地有一座煤矿, 一个发电厂和一条铁路. 经成本核算, 每生产价值1元钱的煤需消耗0.3元的电; 为了把这1元钱的煤运出去需花费0.2元的运费; 每生产1元的电需0.6元的煤作燃料; 为了运行电厂的辅助设备需消耗本身0.1元的电, 还需要花费0.1元的运费; 作为铁路局, 每提供1元运费的运输需消耗0.5元的煤, 辅助设备要消耗0.1元的电. 现煤矿接到外地6万元煤的订货, 电厂有10万元电的外地需求, 问: 煤矿和电厂各生产多少才能满足需求?【模型假设】假设不考虑价格变动等其他因素.【模型建立】设煤矿, 电厂, 铁路分别产出x 元, y 元, z 元刚好满足需求. 则有下表 表 3 消耗与产出情况产出(1元) 产出 消耗 订单 煤 电 运消耗 煤 0 0.6 0.5 x 0.6y + 0.5z60000 电 0.3 0.1 0.1 y 0.3x + 0.1y + 0.1z100000 运 0.2 0.1 0 z 0.2x + 0.1y根据需求, 应该有 (0.60.5)60000(0.30.10.1)100000(0.20.1)0x y z y x y z z x y -+=⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩,即0.60.5600000.30.90.11000000.20.10x y z x y z x y z --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,-0.6,-0.5;-0.3,0.9,-0.1;-0.2,-0.1,1]; b = [60000;100000;0];>> x = A\bMatlab执行后得x =1.0e+005 *1.99661.84150.5835可见煤矿要生产1.9966⨯105元的煤, 电厂要生产1.8415⨯105元的电恰好满足需求.【模型分析】令x =xyz⎛⎫⎪⎪⎝⎭, A =00.60.50.30.10.10.20.10⎛⎫⎪⎪⎝⎭, b =60000100000⎛⎫⎪⎪⎝⎭, 其中x称为总产值列向量, A称为消耗系数矩阵, b称为最终产品向量, 则Ax =00.60.50.30.10.10.20.10⎛⎫⎪⎪⎝⎭xyz⎛⎫⎪⎪⎝⎭=0.60.50.30.10.10.20.1y zx y zx y+⎛⎫⎪++⎪+⎝⎭根据需求, 应该有x-Ax = b, 即(E-A)x = b. 故x = (E-A)-1b.Matlab实验题某乡镇有甲、乙、丙三个企业. 甲企业每生产1元的产品要消耗0.25元乙企业的产品和0.25元丙企业的产品. 乙企业每生产1元的产品要消耗0.65元甲企业的产品, 0.05元自产的产品和0.05元丙企业的产品. 丙企业每生产1元的产品要消耗0.5元甲企业的产品和0.1元乙企业的产品. 在一个生产周期内, 甲、乙、丙三个企业生产的产品价值分别为100万元, 120万元, 60万元, 同时各自的固定资产折旧分别为20万元, 5万元和5万元.(1) 求一个生产周期内这三个企业扣除消耗和折旧后的新创价值.(2) 如果这三个企业接到外来订单分别为50万元, 60万元, 40万元, 那么他们各生产多少才能满足需求?案例四. 平板的稳态温度分布问题在热传导的研究中, 一个重要的问题是确定一块平板的稳态温度分布. 根据…定律, 只要测定一块矩形平板四周的温度就可以确定平板上各点的温度.图8 一块平板的温度分布图【模型准备】如图9所示的平板代表一条金属梁的截面. 已知四周8个节点处的温度(单位°C), 求中间4个点处的温度T 1, T 2, T 3, T 4.图9 一块平板的温度分布图【模型假设】假设忽略垂直于该截面方向上的热传导, 并且每个节点的温度等于与它相邻的四个节点温度的平均值.【模型建立】根据已知条件和上述假设, 有如下线性方程组1232143144231(90100)41(8060)41(8060)41(5050)4T T T T T T T T T T T T ⎧=+++⎪⎪⎪=+++⎪⎨⎪=+++⎪⎪=+++⎪⎩ 【模型求解】将上述线性方程组整理得T 1 T 2 T 3T 4 100 8090 80 60 50 60501231241342344190414041404100T T T T T T T T T T T T --=⎧⎪-+-=⎪⎨-+-=⎪--+=⎪⎩. 在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4]; b = [190;140;140;100];>> x = A\b; x ’Matlab 执行后得ans =82.9167 70.8333 70.8333 60.4167可见T 1 = 82.9167, T 2 = 70.8333, T 3 = 70.8333, T 4 = 60.4167.参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码: 15-16.Matlab 实验题假定下图中的平板代表一条金属梁的截面, 并忽略垂直于该截面方向上的热传导. 已知平板内部有30个节点, 每个节点的温度近似等于与它相邻的四个节点温度的平均值. 设4条边界上的温度分别等于每位同学学号的后四位的5倍, 例如学号为16308209的同学计算本题时, 选择T l = 40, T u = 10, T r = 0, T d = 45.图10 一块平板的温度分布图(1) 建立可以确定平板内节点温度的线性方程组.(2) 用Matlab 软件求解该线性方程组.(3) 用Matlab 中的函数mesh 绘制三维平板温度分布图.案例五. CT 图像的代数重建问题X 射线透视可以得到3维对象在2维平面上的投影, CT 则通过不同角度的X射线得到3维对象的多个2维投影, 并以此重建对象内部的3维图像. 代数重建方法就是从这些2维投影出发, 通过求解超定线性方程组, 获得对象内部3维图像的方法.图11双层螺旋CT 图12 CT 图像 这里我们考虑一个更简单的模型, 从2维图像的1维投影重建原先的2维图像.一个长方形图像可以用一个横竖均匀划分的离散网格来覆盖, 每个网格对应一个像素, 它是该网格上各点像素的均值. 这样一个图像就可以用一个矩阵表示,其元素就是图像在一点的灰度值(黑白图像). 下面我们以3⨯3图像为例来说明. 3⨯3图像 各点的灰度值 水平方向上 的叠加值x 1 = 1 x 2 = 0 x 3 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 1x 4 = 0 x 5 = 0.5 x 6 = 0.5 x 4 + x 5 + x 6 = 1x 7 = 0.5 x 8 = 0 x 9 = 1 x 7 + x 8 + x 9 = 1.5竖直方向上的叠加值x 1 + x 4 + x 7 = 1.5 x 2 + x 5 + x 8 = 0.5 x 3 + x 6 + x 9 = 1.5 i 表示灰色. 如果我们不知道网格中的数值, 只知道沿竖直方向和水平方向的叠加值, 为了确定网格中的灰度值, 可以建立线性方程组(含有6个方程, 9个未知数)123456369111x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪++=⎪⎩ 显然该方程组的解是不唯一的, 为了重建图像, 必须增加叠加值. 如我们增加从右上方到左下方的叠加值, 则方程组将增加5个方程x 1 = 1,x 2 + x 4 = 0,x 3 + x 5 + x 7 = 1,x 6 + x 8 = 0.5,x 9 = 1,和上面的6个方程放在一起构成一个含有11个方程, 9个未知数的线性方程组.【模型准备】设3⨯3图像中第一行3个点的灰度值依次为x 1, x 2, x 3, 第二行3个点的灰度值依次为x 4, x 5, x 6, 第三行3个点的灰度值依次为x 7, x 8, x 9. 沿竖直方向的叠加值依次为1.5, 0.5, 1.5, 沿水平方向的叠加值依次为1, 1, 1.5, 沿右上方到左下方的叠加值依次为1, 0, 1, 0.5, 1. 确定x 1, x 2, …, x 9的值.【模型建立】由已知条件可得(含有11个方程, 9个未知数的)线性方程组1234569111x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪=⎪⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,1,1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,1,1,0,0,0;0,0,0,0,0,0,1,1,1;1,0,0,1,0,0,1,0,0;0,1,0,0,1,0,0,1,0;0,0,1,0,0,1,0,0,1;1,0,0,0,0,0,0,0,0;0,1,0,1,0,0,0,0,0;0,0,1,0,1,0,1,0,0;0,0,0,0,0,1,0,1,0;0,0,0,0,0,0,0,0,1];>> b = [1;1;1.5;1.5;0.5;1.5;1;0;1;0.5;1];>> x = A\b; x ’Matlab 执行后得Warning: Rank deficient, rank = 8 tol = 4.2305e-015.ans =1.0000 0.0000 0 -0.0000 0.5000 0.5000 0.5000 -0.0000 1.0000可见上述方程组的解不唯一. 其中的一个特解为x 1 = 1, x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 0.5, x 6 = 0.5, x 7 = 0.5, x 8 = 0, x 9 = 1.【模型分析】上述结果表明, 仅有三个方向上的叠加值还不够.可以再增加从左上方到右下方的叠加值. 在实际情况下, 由于测量误差, 上述线性方程组可能是超定的.这时可以将超定方程组的近似解作为重建的图像数据.Matlab 实验题给定一个3⨯3图像的2个方向上的灰度叠加值: 沿左上方到右下方的灰度叠加值依次为0.8, 1.2, 1.7, 0.2, 0.3; 沿右上方到左下方的灰度叠加值依次为0.6, 0.2, 1.6,1.2, 0.6.(1) 建立可以确定网格数据的线性方程组, 并用Matlab 求解.(2) 将网格数据乘以256, 再取整, 用Matlab 绘制该灰度图像.案例六. 平衡结构的梁受力计算在桥梁、房顶、铁塔等建筑结构中, 涉及到各种各样的梁. 对这些梁进行受力分析是设计师、工程师经常做的事情.图13埃菲尔铁塔全景 图14 埃菲尔铁塔局部下面以双杆系统的受力分析为例, 说明如何研究梁上各铰接点处的受力情况.【模型准备】在图15所示的双杆系统中, 已知杆1重G 1 = 200牛顿, 长L 1 = 2米, 与水平方向的夹角为θ1 = π/6, 杆2重G 2 = 100牛顿, 长L 2 = 2米, 与水平方向的夹角为θ2 = π/4. 三个铰接点A , B , C 所在平面垂直于水平面. 求杆1, 杆2在铰接点处所受到的力.图15双杆系统【模型假设】假设两杆都是均匀的. 在铰接点处的受力情况如图16所示.【模型建立】对于杆1:水平方向受到的合力为零, 故N 1 = N 3,竖直方向受到的合力为零, 故N 2 + N 4 = G 1,以点A 为支点的合力矩为零, 故(L 1sin θ1)N 3 + (L 1cos θ1)N 4 = (12L 1cos θ1)G 1.图16 两杆受力情况对于杆2类似地有 A C 杆1 杆2 C N 1 N 2N 3N 5N 6 G 1G 2 A B杆1杆2 π/6 π/4N 5 = N 7, N 6 = N 8 + G 2, (L 2sin θ2)N 7 = (L 2cos θ2)N 8 + (12L 2cos θ2)G 2. 此外还有N 3 = N 7, N 4 = N 8. 于是将上述8个等式联立起来得到关于N 1, N 2, …, N 8的线性方程组:132414800N N N N G N N -=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪-=⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> G1=200; L1=2; theta1=pi/6; G2=100; L2=sqrt(2); theta2=pi/4;>> A = [1,0,-1,0,0,0,0,0;0,1,0,1,0,0,0,0;0,0,L1*sin(theta1),L1*cos(theta1),0,0,0,0;0,0,0,0,1,0,-1,0;0,0,0,0,0,1,0,-1;0,0,0,0,0,0,L2*sin(theta2),-L2*cos(theta2);0,0,1,0,0,0,-1,0;0,0,0,1,0,0,0,-1];>> b = [0;G1;0.5*L1*cos(theta1)*G1;0;G2;0.5*L2*cos(theta2)*G2;0;0];>> x = A\b; x ’Matlab 执行后得ans =95.0962 154.9038 95.0962 45.0962 95.0962 145.0962 95.0962 45.0962【模型分析】最后的结果没有出现负值, 说明图16中假设的各个力的方向与事实一致. 如果结果中出现负值, 则说明该力的方向与假设的方向相反.参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码: 157-158.Matlab 实验题有一个平面结构如下所示, 有13条梁(图中标号的线段)和8个铰接点(图中标号的圈)联结在一起. 其中1号铰接点完全固定, 8号铰接点竖直方向固定, 并在2号, 5号和6号铰接点上, 分别有图示的10吨, 15吨和20吨的负载. 在静平衡的条件下,任何一个铰接点上水平和竖直方向受力都是平衡的. 已知每条斜梁的角度都是45º.(1) 列出由各铰接点处受力平衡方程构成的线性方程组.(2) 用Matlab 软件求解该线性方程组, 确定每条梁受力情况.图17 一个平面结构的梁案例七. 化学方程式配平问题在用化学方法处理污水过程中, 有时会涉及到复杂的化学反应. 这些反应的化学方程式是分析计算和工艺设计的重要依据. 在定性地检测出反应物和生成物之后,可以通过求解线性方程组配平化学方程式.图18 污水处理 【模型准备】某厂废水中含KCN, 其浓度为650mg/L. 现用氯氧化法处理, 发生如下反应:KCN + 2KOH + Cl 2 = KOCN + 2KCl + H 2O.投入过量液氯, 可将氰酸盐进一步氧化为氮气. 请配平下列化学方程式:KOCN + KOH + Cl 2 === CO 2 + N 2 + KCl + H 2O.(注: 题目摘自福建省厦门外国语学校2008-2009学年高三第三次月考化学试卷)【模型建立】设x 1KOCN ＋ x 2KOH ＋ x 3Cl 2 === x 4CO 2 ＋ x 5N 2 ＋ x 6KCl ＋ x 7H 2O,则1261247141527362222x x x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪+=+⎪⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎪=⎪⎩, 即1261247141527360*********x x x x x x x x x x x x x x x +-=⎧⎪+--=⎪⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-=⎪-=⎪⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,1,0,0,0,-1,0;1,1,0,-2,0,0,-1;1,0,0,-1,0,0,0;1,0,0,0,-2,0,0;0,1,0,0,0,0,-2;0,0,2,0,0,-1,0];>> x = null(A,’r ’); format rat, x ’Matlab 执行后得ans =1 2 3/2 1 1/2 3 1可见上述齐次线性方程组的通解为x = k (1, 2, 3/2, 1, 1/2, 3, 1)T .取k = 2得x = (2, 4, 3, 2, 1, 6, 2)T . 可见配平后的化学方程式如下2KOCN + 4KOH + 3Cl 2 === 2CO 2 + N 2 + 6KCl + 2H 2O.【模型分析】利用线性方程组配平化学方程式是一种待定系数法. 关键是根据化学方程式两边所涉及到的各种元素的量相等的原则列出方程. 所得到的齐次线性方程组Ax = θ中所含方程的个数等于化学方程式中元素的种数s, 未知数的个数就是化学方程式中的项数n.当r(A) = n-1时, Ax = θ的基础解系中含有1个(线性无关的)解向量. 这时在通解中取常数k为各分量分母的最小公倍数即可. 例如本例中1, 2, 3/2, 1, 1/2, 3, 1分母的最小公倍数为2, 故取k = 2.当r(A) ≤n-2时, Ax = θ的基础解系中含有2个以上的线性无关的解向量. 这时可以根据化学方程式中元素的化合价的上升与下降的情况, 在原线性方程组中添加新的方程.参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码: 84-85.Matlab实验题配平下列反应式(1) FeS + KMnO4 + H2SO4——K2SO4 + MnSO4 + Fe2(SO4)3 + H2O + S↓(2) Al2(SO4)3 + Na2CO3 + H2O ——Al(OH)3↓+ CO2↑+ Na2SO4案例八. 互付工资问题互付工资问题是多方合作相互提供劳动过程中产生的. 比如农忙季节, 多户农民组成互助组, 共同完成各户的耕、种、收等农活. 又如木工, 电工, 油漆工等组成互助组, 共同完成各家的装潢工作. 由于不同工种的劳动量有所不同, 为了均衡各方的利益, 就要计算互付工资的标准.图19 农忙互助 图20 装修互助 【模型准备】现有一个木工, 电工, 油漆工. 相互装修他们的房子, 他们有如下协议:(1) 每人工作10天(包括在自己家的日子),(2) 每人的日工资一般的市价在60~80元之间,(3) 日工资数应使每人的总收入和总支出相等. 在谁家工人 木工 电工 油漆工 木工家2 1 6 电工家4 5 1 油漆工家4 43 求每人的日工资. 【模型假设】假设每人每天工作时间长度相同. 无论谁在谁家干活都按正常情况工作, 既不偷懒, 也不加班.【模型建立】设木工, 电工, 油漆工的日工资分别为x , y , z 元, 则由下表 在谁家 工人木工 电工 油漆工 各家应付工资 木工家2x 1y 6z 2x + y + 6z 电工家4x 5y 1z 4x + 5y + z 油漆工家4x 4y 3z 4x + 4y + 3z 各人应得收入10x 10y 10z可得 2610451044310x y z x x y z y x y z z++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩, 即8604504470x y z x y z x y z -++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [-8,1,6;4,-5,1;4,4,-7];>> x = null(A,’r ’); format rat, x ’Matlab 执行后得ans =31/36 8/9 1可见上述齐次线性方程组的通解为x = k (31/36, 8/9, 1)T . 因而根据“每人的日工资一般的市价在60~80元之间”可知60 ≤3631k <98k < k ≤ 80, 即 312160≤ k ≤ 80. 也就是说, 木工, 电工, 油漆工的日工资分别为3631k 元, 98k 元, k 元, 其中312160≤ k ≤ 80. 为了简便起见, 可取k = 72, 于是木工, 电工, 油漆工的日工资分别为62元, 64元, 72元.【模型分析】事实上各人都不必付自己工资, 这时各家应付工资和各人应得收入如下由此可得6845447y z x x z y x y z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩, 即8604504470x y z x y z x y z -++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩可见这样得到的方程组与前面得到的方程组是一样的.Matlab 实验题甲, 乙, 丙三个农民组成互助组, 每人工作6天(包括为自己家干活的天数), 刚好完成他们三人家的农活, 其中甲在甲, 乙, 丙三家干活的天数依次为: 2, 2.5, 1.5; 乙在甲, 乙, 丙三家各干2天活, 丙在甲, 乙, 丙三家干活的天数依次为: 1.5, 2, 2.5. 根据三人干活的种类, 速度和时间, 他们确定三人不必相互支付工资刚好公平. 随后三人又合作到邻村帮忙干了2天(各人干活的种类和强度不变), 共获得工资500元.问他们应该怎样分配这500元工资才合理?案例九. 平衡价格问题为了协调多个相互依存的行业的平衡发展, 有关部门需要根据每个行业的产出在各个行业中的分配情况确定每个行业产品的指导价格, 使得每个行业的投入与产出都大致相等.图21 三个行业 【模型准备】假设一个经济系统由煤炭、电力、钢铁行业组成, 每个行业的产出在各个行业中的分配如下表所示: 表7 行业产出分配表产出分配 购买者 煤炭 电力 钢铁0 0.4 0.6 煤炭0.6 0.1 0.2 电力0.4 0.5 0.2 钢铁每一列中的元素表示占该行业总产出的比例. 求使得每个行业的投入与产出都相等的平衡价格.【模型假设】假设不考虑这个系统与外界的联系.【模型建立】把煤炭、电力、钢铁行业每年总产出的价格分别用x 1, x 2, x 3表示, 则123212331230.40.60.60.10.20.40.50.2x x x x x x x x x x x =+⎧⎪=++⎨⎪=++⎩, 即1231231230.40.600.60.90.200.40.50.80x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩.【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,-0.4,-0.6;-0.6,0.9,-0.2;-0.4,-0.5,0.8];>> x = null(A,’r ’); format short, x ’Matlab 执行后得ans =0.9394 0.8485 1.0000可见上述齐次线性方程组的通解为x = k (0.9394, 0.8485, 1)T .这就是说, 如果煤炭、电力、钢铁行业每年总产出的价格分别0.9394亿元, 0.8485亿元, 1亿元, 那么每个行业的投入与产出都相等.【模型分析】实际上, 一个比较完整的经济系统不可能只涉及三个行业, 因此需要统计更多的行业间的分配数据.Matlab实验题假设一个经济系统由煤炭、石油、电力、钢铁、机械制造、运输行业组成, 每个行业的产出在各个行业中的分配如下表所示:等的平衡价格.参考文献David C. Lay, 线性代数及其应用, 沈复兴, 傅莺莺等译, 北京: 人民邮电出版社, 2009. 页码: 49-50.案例十. 电路设计问题电路是电子元件的神经系统. 参数的计算是电路设计的重要环节. 其依据来自两个方面: 一是客观需要, 二是物理学定律.图22 USB 扩展板 【模型准备】假设图23中的方框代表某类具有输入和输出终端的电路. 用11v i ⎛⎫ ⎪⎝⎭记录输入电压和输入电流(电压v 以伏特为单位, 电流i 以安培为单位), 用22v i ⎛⎫ ⎪⎝⎭记录输出电压和输入电流. 若22v i ⎛⎫ ⎪⎝⎭= A 11v i ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则称矩阵A 为转移矩阵.图23 具有输入和输出终端的电子电路图 图24给出了一个梯形网络, 左边的电路称为串联电路, 电阻为R 1(单位: 欧姆). 右边的电路是并联电路, 电路R 2. 利用欧姆定理和楚列斯基定律, 我们可以得到串联电路和并联电路的转移矩阵分别是1101R -⎛⎫ ⎪⎝⎭和2101/1R ⎛⎫ ⎪-⎝⎭串联电路 并联电路图24 梯形网络设计一个梯形网络, 其转移矩阵是180.55-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. v 1 v 2 i 1i 2 R 1 v 3i 2 i 3 R 2 输入终端v 1 输出终端v 2i 1i 2 电路【模型假设】假设导线的电阻为零.【模型建立】设A 1和A 2分别是串联电路和并联电路的转移矩阵, 则输入向量x 先变换成A 1x , 再变换到A 2(A 1x ). 其中A 2A 1 =2101/1R ⎛⎫ ⎪-⎝⎭1101R -⎛⎫ ⎪⎝⎭=121211/1/R R R R -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭就是图22中梯形网络的转移矩阵.于是, 原问题转化为求R 1, R 2的值使得121211/1/R R R R -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭=180.55-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 【模型求解】由121211/1/R R R R -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭=180.55-⎛⎫ ⎪-⎝⎭可得121281/0.51/5R R R R -=-⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩. 根据其中的前两个方程可得R 1 = 8, R 2 = 2. 把R 1 = 8, R 2 = 2代入上面的第三个方程确实能使等式成立. 这就是说在图22中梯形网络中取R 1 = 8, R 2 = 2即为所求.【模型分析】若要求的转移矩阵改为180.54-⎛⎫ ⎪-⎝⎭, 则上面的梯形网络无法实现. 因为这时对应的方程组是121281/0.51/4R R R R -=-⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩. 根据前两个方程依然得到R 1 = 8, R 2 = 2,但把R 1 = 8, R 2 = 2代入上第三个方程却不能使等式成立.参考文献David C. Lay, 线性代数及其应用, 沈复兴, 傅莺莺等译, 北京: 人民邮电出版社, 2009. 页码: 129-130.练习题根据基尔霍夫回路电路定律(各节点处流入和流出的电流强度的代数和为零, 各回路中各支路的电压降之和为零), 列出下图所示电路中电流i 1, i 2, i 3所满足的线性方程组, 并用矩阵形式表示:图25 简单的回路E 12案例十一. 平面图形的几何变换随着计算机科学技术的发展, 计算机图形学的应用领域越来越广, 如仿真设计、效果图制作、动画片制作、电子游戏开发等.图26 计算机图形学的广泛应用图形的几何变换, 包括图形的平移、旋转、放缩等, 是计算机图形学中经常遇到的问题. 这里暂时只讨论平面图形的几何变换.【模型准备】平面图形的旋转和放缩都很容易用矩阵乘法实现, 但是图形的平移并不是线性运算, 不能直接用矩阵乘法表示. 现在要求用一种方法使平移、旋转、放缩能统一用矩阵乘法来实现.【模型假设】设平移变换为(x, y) → (x+a, y+b)旋转变换(绕原点逆时针旋转θ角度)为(x, y) → (x cosθ-y sinθ, x sinθ + y cosθ)放缩变换(沿x轴方向放大s倍, 沿y轴方向放大t倍)为(x, y) → (sx, ty)【模型求解】R2中的每个点(x, y)可以对应于R3中的(x, y, 1). 它在xOy平面上方1单位的平面上. 我们称(x, y, 1)是(x, y)的齐次坐标. 在齐次坐标下, 平移变换(x, y) → (x+a, y+b)可以用齐次坐标写成(x, y, 1) → (x+a, y+b, 1).于是可以用矩阵乘积1001001ab⎛⎫⎪⎪⎝⎭1xy⎛⎫⎪⎪⎝⎭=1x ay b+⎛⎫⎪+⎪⎝⎭实现.旋转变换(x, y) → (x cosθ-y sinθ, x sinθ + y cosθ) 可以用齐次坐标写成(x, y, 1) → (x cosθ-y sinθ, x sinθ + y cosθ, 1).于是可以用矩阵乘积cos sin0sin cos0001θθθθ-⎛⎫⎪⎪⎝⎭1xy⎛⎫⎪⎪⎝⎭=cos sinsin cos1x yx yθθθθ-⎛⎫⎪+⎪⎝⎭实现.放缩变换(x, y) → (sx, ty) 可以用齐次坐标写成(x, y, 1) → (sx, ty, 1).于是可以用矩阵乘积0000001s t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1x y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=1sx ty ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭实现. 【模型分析】由上述求解可以看出, R 2中的任何线性变换都可以用分块矩阵1⎛⎫ ⎪⎝⎭A O O 乘以齐次坐标实现, 其中A 是2阶方阵. 这样, 只要把平面图形上点的齐次坐标写成列向量, 平面图形的每一次几何变换, 都可通过左乘一个3阶变换矩阵来实现.参考文献David C. Lay, 线性代数及其应用, 沈复兴, 傅莺莺等译, 北京: 人民邮电出版社, 2009. 页码: 139-141.Matlab 实验题在Matlab 命令窗口输入以下命令>>clear all , clc,>>t = [1,3,5,11,13,15]*pi/8;>>x = sin(t); y=cos(t);>>fill(x,y,'r');>>grid on ;>>axis([-2.4, 2.4, -2, 2])运行后得图25.图26 Matlab 绘制的图形(1) 写出该图形每个顶点的齐次坐标; (2) 编写Matlab 程序, 先将上面图形放大0.9倍; 再逆时针旋转3π; 最后进行横坐标加0.8, 纵坐标减1的图形平移. 分别绘制上述变换后的图形.。
波哥原创（85）问题解决技巧：表征转换技术
波哥原创（85）问题解决技巧：表征转换技术解决问题，一个很重要的环节就是问题表征。
问题表征就是学生审题并对题意深刻理解的过程。
问题表征过程一般要经历三个阶段：问题信息的搜索和提取、问题理解、表征转换。
本文重点讨论表征转换。
一个很难的问题，换一个角度，就变得很简单。
换角度，就是进行了表征转换。
什么是表征？不懂表征的老师，不是好老师。
对老师来说，表征为什么这么重要？信息呈现和信息传递是老师最基础的工作。
信息呈现和信息传递离不开信息的表征。
简单来说，表征是信息存在的形式，而且一个信息有多种表征形式。
比如“一”这个信息在不同语言中有不同的表征：汉语：壹英语：one古罗马：Ⅰ印度人：1原始人：打结根据表征是否储存在大脑，可以分为内部表征（心理表征）和外部表征。
信息在书本等外部载体上呈现，这是外部表征。
信息进入头脑内部，这是内部表征。
根据表征的形式，分为四大类：动作表征：用动作来表征信息，成人与婴儿打交道方式很多是用动作加声音一起来表征信息。
图像表征：用图像来表征信息，用图片、视频来表征信息。
一般情况下，图像表征信息更具体、更丰富。
符号表征：用文字或其他符号来表征信息。
声音表征：用声音来表征信息，声音表征是在建立在符号表征的基础之上的，还可以加入动作表征。
其中，动作表征和图像表征为形象表征，符号表征为抽象表征。
声音表征可能是形象表征，也可能是抽象表征。
什么是表征转换？有一道数学题是这样的：一位老师分发饼干，给每一个学生分3块饼干，结果还有5块饼干，剩下5块饼干分不下去。
如果给每个人分4块饼干，有一个人就少了一块，请问有多少位学生、一共有多少块饼干？这道数学题是用文字来表征的。
怎么解这道题呢？设未知数解方程来解，很简单。
但现在规定不准用方程法来解题，怎么办？就要进行表征转换了。
首先要把这些文字转换成图像，站着一排学生，每个学生手中有3块饼干，教师手中还剩5块。
再把“每个人分4块”，表征转换成“每个学生在原有3块的基础上，教师给每人再发1块”。
新版精编逻辑思维训练模拟题库288题(含标准答案)
2020年逻辑思维训练试题288题[含答案]一、问答题1．某公司的一道面试题目~~题目：请问，你对 [女人]→自行车[女人]→冰箱[女人]→开水壶这三样的理解~在这个回答中，有一位学生说出了一个经典答案~~看看你的答案是什么？答案：2．帮无语兄弟发题:关于两人取硬币的概率问题,大家来看看题目：两人取25枚硬币,每次只可取1至3枚,取完为止,最后双数者胜.问:谁(先取的或者后取的)胜的概率高?胜率为多少?答案：3．找规律 , 猜数字*****题目：1. ? 12 480 30240 29030402. 0 6 24 ? 120 210答案：4．乘车兜风题目：你在忙乎什么吧，比尔，教授留意地说。
这时他的这位朋友正一口气喝完剩下的咖啡，站起来要走.准备带三个女孩乘车游览！比尔答道。
教授笑了：原来如此！敢问三位佳丽芳龄几许？比尔思考片刻说：把她们年龄乘在一起得到2450，可她们年龄和恰是您年龄的两倍。
教授摇了摇头说：非常灵巧，但对她们的年龄仍然有疑问。
比尔还在那里，他补充道：是的，我忘了提起，我的年龄至少要比那个岁数最大的小一岁。
而这使得一切都变得清楚了！当然，教授是知道他朋友的年龄的，请问，你能算出他们的年龄吗？答案：5．面积题目：面积一位农夫请了工程师、物理学家和数学家来，想用最少的篱笆围出最大的面积。
工程师用篱笆围出一个圆，宣称这是最优设计。
物理学家将篱笆拉开成一条长长的直线，假设篱笆有无限长，认为围起半个地球总够大了。
数学家好好嘲笑了他们一番。
然后数学家用最少的篱笆围出了最大的面积，请问他是如何做到的呢？答案：6．呵呵，纯属娱乐题目：一小学数学女教师提问一道简单的数学题：「树上有五只鸟，猎人用枪打下一只，还剩几只？」一聪明的小男孩回答：「树上没有鸟了。
猎人打下了一只，吓走了其余的。
」年青的女教师不屑地看著小男孩，评论说：「其实我的答案很简单，五只减去一只还剩四只」。
言外之意是，你又何必自作聪明，思考过多？这时小男孩反问老师：「我可以考你一个问题吗？」「当然，随便考。
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中学生数学·２０１３年１２月上·第４７９期（高中） 网址：ｚｘｓｓ．ｃｂｐｔ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ 电子邮箱：ｚｘｓｓ＠ｃｈｉｎａｊｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃ
ｎ数学史
话首都师范大学数学科学学院（１０００４８） 陈晓鹏导师 姚芳 米勒（Ｊｏｈａｎｎｅｓ Ｍｉｉｌｌｅｒ １４３６－１４７６），德国数学家，对三角学做出了巨大贡献，是斐波那契以来欧洲最有影响的数学家．米勒１５３３年发表的名著《三角全书》是使三角学在欧洲取得独立地位的第一部系统性著作．该书共分五册，前两册讲平面三角，后三册讲球面三角．此外，他还讨论到一个新颖的极值问题：天花板挂一垂直的杆，长１０尺，下端离地面４尺，在地面上找一点（或这点的轨迹）使对杆的张角最大（即可见角最大）．【答案：以悬杆的延长线和水平地面的交点为圆心，以悬杆两端点到地面的距离的积的算术平方根（２槡１４尺）为半径在地面上作圆，圆周上的点对悬杆的可见角最大．】上述极值问题就是著名的米勒问题．该问题本身并不难，然而作为数学史上第一次明确讨论的极值问题而引人注目．米勒问题一般化：设点Ｍ，Ｎ是∠ＡＯＢ（锐角或直角）的一边ＯＡ上的两点，试在射线ＯＢ上找一点Ｐ使得∠ＭＰＮ最大．【答案：当点Ｐ为过Ｍ，Ｎ两点且和射线ＯＢ相切的圆Ｃ的切点，即当｜ＯＰ｜＝｜ＯＭ｜·｜ＯＮ槡
｜时，∠ＭＰＮ最大．】图１证明 （反证法）在射线ＯＢ上除点Ｐ外任取点Ｐ′，则Ｐ′在圆外，连接ＭＰ′，ＮＰ′．设ＮＰ′与圆Ｃ交于点Ｄ，连接ＭＤ．假设∠ＭＰ′Ｎ最大，则由平面几何知识得∠ＭＰＮ＝∠ＭＤＮ＞∠ＭＰ′Ｎ，与∠ＭＰ′Ｎ最大矛盾，从而∠ＭＰＮ最大．此时由切割线定理，得｜ＯＰ｜２＝｜ＯＭ｜·｜ＯＮ｜，于是｜ＯＰ｜＝｜Ｏ
Ｍ｜·｜ＯＮ槡｜．
图２问题 （２０１０年江苏省理科高考题）某兴趣小组要测电视塔ＡＥ的高度Ｈ（单位：ｍ），如图２，垂直放置的标杆ＢＣ的高度ｈ＝４ｍ，仰角∠ＡＢＥ＝α，∠ＡＤＥ＝β．
（Ⅰ）略．
（Ⅱ）该小组分析若干测得的数据后，认为
适当调整标杆到电视塔的距离ｄ（单位：ｍ），使α与β之差较大，可以提高测量精度，若电视塔的实际高度为１２５ｍ，试问ｄ为多少时，α－β最大？解 在线段ＡＥ上取点Ｆ，使ＥＦ＝ＣＢ，连接ＢＦ（如图２）．于是四边形ＢＦＥＣ为平行四形，∴ ∠ＣＥＢ＝∠ＥＢＦ．由于α为△ＤＢＥ的外角，∴ α－β＝∠ＣＥＢ．于是α－β＝∠ＥＢＦ．由米勒问题，我们知道当ｄ＝｜ＡＥ｜·｜ＡＦ槡｜＝５５槡５时，∠ＥＢＦ最大，即α
－β最大．于是当ｄ＝５５
槡５ｍ时，α－β最大．
图３编后 其实米勒定理的应用早在１９８６年高考全国理科试卷第五题就已经出现：“如图３，在平面直角坐标系中，在ｙ轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点Ａ，Ｂ．试在ｘ轴的正半轴（坐标原点除外）上求点Ｃ，使∠ＡＣＢ取得最大值．”有兴趣的读者，不妨用米勒定理来解答本题．（责审 周春荔）·２２·。