米勒问题帮你解题_陈晓鹏

中学生数学·２０１３年１２月上·第４７９期（高中） 网址：ｚｘｓｓ．ｃｂｐｔ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ 电子邮箱：ｚｘｓｓ＠ｃｈｉｎａｊｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃ
ｎ数学史
话首都师范大学数学科学学院（１０００４８）　陈晓鹏导师　姚芳 米勒（Ｊｏｈａｎｎｅｓ　Ｍｉｉｌｌｅｒ　１４３６－１４７６），德国数学家，对三角学做出了巨大贡献，是斐波那契以来欧洲最有影响的数学家．米勒１５３３年发表的名著《三角全书》是使三角学在欧洲取得独立地位的第一部系统性著作．该书共分五册，前两册讲平面三角，后三册讲球面三角．此外，他还讨论到一个新颖的极值问题：天花板挂一垂直的杆，长１０尺，下端离地面４尺，在地面上找一点（或这点的轨迹）使对杆的张角最大（即可见角最大）．【答案：以悬杆的延长线和水平地面的交点为圆心，以悬杆两端点到地面的距离的积的算术平方根（２槡１４尺）为半径在地面上作圆，圆周上的点对悬杆的可见角最大．】上述极值问题就是著名的米勒问题．该问题本身并不难，然而作为数学史上第一次明确讨论的极值问题而引人注目．米勒问题一般化：设点Ｍ，Ｎ是∠ＡＯＢ（锐角或直角）的一边ＯＡ上的两点，试在射线ＯＢ上找一点Ｐ使得∠ＭＰＮ最大．【答案：当点Ｐ为过Ｍ，Ｎ两点且和射线ＯＢ相切的圆Ｃ的切点，即当｜ＯＰ｜＝｜ＯＭ｜·｜ＯＮ槡
｜时，∠ＭＰＮ最大．】图１证明　（反证法）在射线ＯＢ上除点Ｐ外任取点Ｐ′，则Ｐ′在圆外，连接ＭＰ′，ＮＰ′．设ＮＰ′与圆Ｃ交于点Ｄ，连接ＭＤ．假设∠ＭＰ′Ｎ最大，则由平面几何知识得∠ＭＰＮ＝∠ＭＤＮ＞∠ＭＰ′Ｎ，与∠ＭＰ′Ｎ最大矛盾，从而∠ＭＰＮ最大．此时由切割线定理，得｜ＯＰ｜２＝｜ＯＭ｜·｜ＯＮ｜，于是｜ＯＰ｜＝｜Ｏ
Ｍ｜·｜ＯＮ槡｜．
图２问题　（２０１０年江苏省理科高考题）某兴趣小组要测电视塔ＡＥ的高度Ｈ（单位：ｍ），如图２，垂直放置的标杆ＢＣ的高度ｈ＝４ｍ，仰角∠ＡＢＥ＝α，∠ＡＤＥ＝β．
（Ⅰ）略．
（Ⅱ）该小组分析若干测得的数据后，认为
适当调整标杆到电视塔的距离ｄ（单位：ｍ），使α与β之差较大，可以提高测量精度，若电视塔的实际高度为１２５ｍ，试问ｄ为多少时，α－β最大？解　在线段ＡＥ上取点Ｆ，使ＥＦ＝ＣＢ，连接ＢＦ（如图２）．于是四边形ＢＦＥＣ为平行四形，∴　∠ＣＥＢ＝∠ＥＢＦ．由于α为△ＤＢＥ的外角，∴　α－β＝∠ＣＥＢ．于是α－β＝∠ＥＢＦ．由米勒问题，我们知道当ｄ＝｜ＡＥ｜·｜ＡＦ槡｜＝５５槡５时，∠ＥＢＦ最大，即α
－β最大．于是当ｄ＝５５
槡５ｍ时，α－β最大．
图３编后　其实米勒定理的应用早在１９８６年高考全国理科试卷第五题就已经出现：“如图３，在平面直角坐标系中，在ｙ轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点Ａ，Ｂ．试在ｘ轴的正半轴（坐标原点除外）上求点Ｃ，使∠ＡＣＢ取得最大值．”有兴趣的读者，不妨用米勒定理来解答本题．（责审　周春荔）·２２·。